TRIÁNGULO

Triángulo. Superficie plana limitada por tres líneas (lados).

Polígono más pequeño.

Criterios de igualdad entre triángulos.

Dos triángulos son igualessi tienen los tres ladosrespectivamente iguales .

a = a’b = b’c = c’

Dos triángulos son igualessi tienen iguales dos ladosy el ángulo que forman.

a = a’b = b’

a = a’

Dos triángulos son iguales sitienen un lado y dos ángulosiguales.

a = a

w = w

’’

a = a’

Dos triángulos son iguales sitienen dos lados (uno mayor queel otro) y el ángulo opuesto almayor de ellos iguales.

a = a’b = b’

p = p’

b c

a

p

a w

b’ c’

a’

p

a w

’

’ ’

Propiedades de los triángulos.La suma de los ángulos interiores de cualquiertriángulo es siempre 180 grados.

Un lado es siempre menor que la suma de los otrosdos y mayor que su diferencia.

Amayor lado se opone siempre mayor ángulo.

p

a w

p + a + w = 180o

a p

a < b + ca > b - c

Clasificación de los triángulos.

ESCALENO

Tiene los lados yángulos diferentes.

ISÓSCELES

Tiene dos lados y dosángulos iguales.

EQUILÁTERO

Tiene los lados y losángulos iguales.

ÁngulosLados

ACUTÁNGULO

Tiene los tres ángulosagudos.

OBTUSÁNGULO

Tiene un ángulo obtusoy dos agudos.

RECTÁNGULO

Tiene un ángulo recto ydos agudos.

Noexiste

Noexiste

b c

a

MEDIATRICES

Rectas perpendiculares a cada ladode un triángulo por su punto medio.

ALTURAS

Rectas perpendiculares desde losvértices de un triángulo a los ladosopuesto.

MEDIANAS

Rectas que unen los vértices de untriángulo con los puntos medios delos lados opuestos.

P U N T O S Y L Í N E A S E N E L T R I Á N G U L O

m

Cm”

m’

ORTOCENTRO

Punto común de las alturas de untriángulo.Si unimos los pies de lasalturas obtenemos el TRIÁNGULOÓRTICO.

INCENTRO

Punto común de las bisectrices delos ángulos de un triángulo yequidistante de sus lados.Centro dela circunferencia inscrita.

b’I b”b

CIRCUNCENTRO

Punto común de las mediatrices delos lados de un triángulo. Centro dela circunferencia circunscrita.

BARICENTRO

Punto común de las medianas de untriángulo y su centro de gravedad,situado a dos tercios del vértice y untercio del lado.

o

a BA

a”a’ C

CIRCUNFERENCIAS EXINCRITAS

Circunferencias tangentes a un lado del triángulo y a lasprolongaciones de los otros dos.

EXINCENTROS

Puntos de convergencia de dos bisectrices exteriores de untriángulo con la bisectriz interior del tercer vértice.

Los tres exincentros de un triángulo determinan otrotriángulo cuyos lados son las bisectrices de los ángulosexteriores del primero.

Las bisectrices interiores de un triángulo coinciden con lasalturas del que forman los exincentros.

Triángulo órtico.

Triángulo acutángulo inscrito en otro al unir los pies de las alturas(puntode corte de altura y lado).Las alturas de un triángulo acutángulo son las bisectrices de su órtico.Los lados de un triángulo acutángulo son las bisectrices de los ángulos exteriores de su órtico.

A 21

B C

3

BISECTRICES

Rectas que pasando por los vérticesde un triángulo equidistan de loslados que los forman.

m m’

B m”

½

½

1/3

Triángulo escaleno. Tres lados.

Situar un lado cualquiera como base deltriángulo.Trazar arcos, haciendo centro en los extremosdel lado base y con radios equivalentes a cadauno de los otros dos lados respectivamente, parahallar el tercer vértice.

a

b c

C a B

b c

A

Construcciones de triángulos conociendo sus tres lados.

Triángulo escaleno. Dos lados y el ánguloopuesto a uno de ellos.

Construir el ángulo dado sobre un extremo dellado.Trazar un arco, con centro en el otro extremo yradio el lado opuesto al ángulo, que corte en dos(o uno) puntos el lado del ángulo dando el tercervértice.

a

a

b

a

Ba C

A’ b

A

C

ab

BA

aaab

Triángulo escaleno. Dos lados y el ángulo queabarcan.

Construir el ángulo dado.Llevar a partir del vértice las medidas de loslados y unir los extremos libres.

Construcciones de triángulos conociendo dos lados y un ángulo.

Escaleno. Tres ángulos.

Los tres ángulos no son datos suficientes,necesitando otro para poder definir suconstrucción

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS.

Construcciones de triángulos conociendo sus tres ángulos.

a b

g

a b

g

Construcciones de triángulos conociendo dos ángulos y un lado.

Triángulo escaleno. Lado y ángulos de susextremos.

Situar el lado y construir un ángulo en cadaextremo.Los lados de los ángulos no coincidentes con ellado al cortarse dan el tercer vértice.

B a C

A

a ba b

a

Construcción del TRIÁNGULO EQUILÁTERO.

AB C

O

D

Inscrito.

Trazar la mediatriz de un radio.E l s egmen to de med ia t r i zcorrespondiente a la cuerda de lacircunferencia es el lado deltriángulo.

D B C

h

A

Altura.

Llevar sobre la bisectriz de unángulo de 60 y a partir del vértice laaltura. Trazar por el pie de ésta unaperpendicular que determine en loslados del ángulo los otros vértices.

0

AB C

A

Lado.

Trazar dos arcos que se corten, deradio el lado y con centro en losextremos de éste. El punto común delos arcos trazados corresponde altercer vértice.

D B C

h

A

Altura - 1Semejanza de triángulos.

Construir sobre una recta untriángulo equilátero y colocar conlos pies en común la altura dada y ladel auxiliar.Trazar paralelas a los lados deltriángulo auxiliar por el otroextremo de la altura dada hastacortar la recta base.

F B G

D EC

h

A

Altura - 2Semejanza de triángulos(inscrito)

Trazar dos circunferencias, de radiola mitad de la altura, una desde elpunto medio de ésta y otra desde supie en la recta base.Los lados del triángulo pasarán porel punto de corte de ambascircunferencias y el otro extremo dela altura.

E FB

h

DC

A

Altura - 3Relaciones entre ángulos .

Colocar la altura coincidiendo conel lado de un ángulo recto y dividiréste en dos complementarios de 30y 60 .La recta perpendicular por el pie dela altura se corta con la común deestos ángulos complementariosdeterminado el lado.

0

0

Altura - 5Propiedad de la mediana.

Dividir la altura en tres partesiguales.La circunferencia trazada concentro en la primera división y conradio equivalente a dos partes es lacircunscrita al triángulo y da el ladoal cortar la recta base trazada por elpie de la altura.

E B F

C

D

A

Altura - 4Relaciones entre ángulos.

Trazar un arco de circunferenciadesde el pie de la altura que la corteen un punto y, desde éste, otro deigual radio que corte al primero.Trazar por el otro extremo de laaltura perpendiculares a la recta queune el pie de la altura con los cortesde ambos arcos para obtener el lado.

Altura - 6Semejanza de ángulos.

Construir un ángulo de 60 a partirde un punto cualquiera de la rectabase y esta por lado.Trazar paralelas al otro lado delángulo por el extremo de la alturalibre hasta cortar a la recta base paraobtener los lados del triánguloequilátero.

0

C E B F

D

A

h

F B GD E

Ch

A

Construcción del TRIÁNGULO ISÓSCELES.

Base y altura.

Trazar la mediatriz del lado base y llevar la longitud dela altura sobre ella para determinar el vértice opuesto.

Lados iguales y altura coincidentes.

Trazar una recta perpendicular a la altura por su pie.

Con centro en el otro extremo de la altura trazar unarco, con radio uno de los lados iguales, que corte a larecta dando los vértices y extremos de la base.

Base y ángulo opuesto.Propiedad ángulos interiores.

Construir el ángulo con vértice en un extremo de labase y lado su prolongación.

La bisectriz del suplementario determina la medida delos ángulos de la base.

Base y radio de la circunferencia circunscrita.

Trazar una perpendicular por el extremo de undiámetro de la circunferencia y llevar sobre ella (mitada cada lado)la base.

Las perpendiculares por los extremos de la basedeterminan los vértices al cortar la circunferencia.

B

A a’O a A’

C

Base y radio de la circunferencia circunscrita. 1

Trazar la mediatriz de la base.

Hallar el centro de la circunferencia circunscritatrazando un arco, con el radio dado, desde el extremode la base y cortando a la mediatriz.

El trazado de la circunferencia da dos solucionesposibles.

B

AO A’

C

ra

A B

C

a

A

ah

B

c

C a = c

A

B h

C

Construcción del TRIÁNGULO ISÓSCELES. 1

Suma de la altura y un lado igual y el ánguloopuesto a la base.

Trazar, al segmento suma del lado y la altura, unaperpendicular por un extremo y en el otro construir unángulo igual a la cuarta parte del dado.

La mediatriz del segmento que une el vértice delángulo y el punto de corte del lado en la perpendicularda el punto(vértice) de unión entre el lado y la altura.

Â/4

b’

A

hb

B C

Suma de la altura y un lado igual y el ánguloopuesto a la base. 1(Proporcionalidad de los triángulos.)

Colocar sobre la bisectriz del ángulo y a partir delvértice el segmento suma de altura y lado.Trazar una perpendicular al segmento suma por unpunto cualquiera. Llevar, la longitud que hay desdeeste punto hasta el vértice, a partir de éste y sobre unlado del ángulo.El segmento que crea la perpendicular sobre el ladollevarlo sobre éste y a partir del punto halladoanteriormente.La paralela, al segmento que une el nuevo puntoencontrado con el extremo libre del segmento suma,trazada por el primer punto hallado en el lado separadicho segmento suma.

A

b h l’

E

F Dl

B G C h+b

E’b

G’

Semiperímetro y altura.Perímetro y altura.

Trazar la altura y el semiperímetro formandoángulo recto.La mediatriz de la hipotenusa separa elsemiperímetro.(Repetir la operación si se da el perímetro).

Perímetro y ángulos iguales.

Construir en los extremos del perímetro ángulosde valor la mitad de los dados.

La mediatriz del segmento que va desde elextremo del perímetro hasta el corte de los ladosde los ángulos construidos separa los lados.

A

h

A’ B D C A“

a a ½

Construcción del TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

Hipotenusa y suma de los catetos.

Construir un ángulo de 45 en un extremo del segmentocorrespondiente a la suma de los catetos.

Con centro en el otro extremo y radio la hipotenusa, trazarun arco que corte al lado del ángulo dando una o dosposibles soluciones iguales.

o

C

a

B D c A

a +c

450

Hipotenusa y diferencia de los catetos.

Construir un ángulo de 45 en un extremo del segmentodiferencia de los catetos y sobre su prolongación.

Con centro en el otro extremo y radio la hipotenusa, trazarun arco que corte al lado del ángulo dando el vértice.

La perpendicular trazada por este punto a la prolongacióndetermina el tercer vértice.

0

Hipotenusa y diferencia de los catetos. 1

Construir el arco capaz de un ángulo de 135 y segmentola hipotenusa.

Con centro en un extremo de la hipotenusa y radio elsegmento diferencia entre catetos, cortar al arco capaz.

El segmento que une el extremo usado de la hipotenusa yel punto hallado corta, en su prolongación al arco capazdel ángulo recto y segmento la hipotenusa dando lasolución.

0

Cateto y su mediana.

Con centro en la mitad del cateto y radio su mediana,trazar el arco que limita el extremo del otro cateto.

Cateto y la mediana del otro cateto.

Con centro en un extremo del cateto y radio la mediana,trazar el arco que corta en su mitad al otro cateto, situadoperpendicularmente en el otro extremo.

C

a a’b

D 45 A B

c c-b

o

C

ab

AB

90o

a- b

a

A D B

a

C

A D C

a

B

Construcción del TRIÁNGULO RECTÁNGULO. 1

Mediana de un cateto y de la hipotenusa.

Construir el arco capaz de la mediana del cateto.Con centro en el punto situado a un tercio del extremo dedicha mediana y radio dos tercios de la mediana de lahipotenusa, trazar el arco que corta al capaz dando elvértice entre catetos y facilitando la construcción.

B

DA

m1/3E

C

Mediana y altura correspondientes a la hipotenusa.

Construido el arco capaz de un segmento de longitud dosveces la mediana correspondiente a la hipotenusa, trazar,con distancia la altura dada, una paralela al segmento quecorta al arco capaz y da el tercer vértice.

A a D B

h h’

C C’

m

Cateto, bisectriz del otro cateto.

Construir el arco(circunferencia) capaz de la bisectriz.Con centro en un extremo de la bisectriz(primer vértice)trazar un arco de radio el cateto que corta a lacircunferencia capaz en dos puntos: uno es el segundovértice y el otro por donde pasará el lado.

B

A D

B’ C

O b

Hipotenusa y de mediana de un cateto.

Desde el punto medio de la hipotenusa trazar un arco deradio la sexta parte de ésta y su arco capaz.Con centro en un extremo de la hipotenusa y radio dostercios de la mediana del cateto, trazar un arco que corte alprimero hallando el baricentro del triángulo y la situaciónde la mediana.Uniendo los extremos libres de la mediana y lahipotenusa se obtiene el tercer vértice al cortar el arcocapaz.

H/6

A D h B

m

EF m

C

b

b2/3

Mediana de un cateto y ángulo de su extremo.

Sobre un segmento cualquiera levantar una perpendicularen un extremo y construir el ángulo dado en el otro,determinando un vértice. Situar la mediana desde dichovértice y pasando por la mitad del segmento auxiliar.Por el extremo libre de la mediana trazar una paralela alsegmento auxiliar para obtener los otros vértices al cortarlas prolongaciones de los lados que divergen del vérticeprimero.

A

m

B’ C’D’

B D C

a

Construcción de TRIÁNGULOS.

Perímetro y ángulos de la base.

Construir en los extremos del perímetro ángulos de valor lamitad de los dados.La mediatriz del segmento que va desde el extremo delperímetro hasta el corte de los lados de los ángulosconstruidos separa los lados.

Dos lados y mediana del tercero.

A partir de un punto colocar la longitud de la mediana enambos sentidos. Haciendo centro en los extremos libres ycon los lados por radios trazar arcos que se cortan en unpunto. La unión del punto común de las medianas con elhallado da la mitad del tercer lado.

A b’ B’

c’ c m’D

B C

m b

Tres medianas.

Construir un triángulo de lados iguales a los dos tercios decada mediana. El segmento que une un vértice de estetriángulo con el punto medio del lado opuesto equivale a lamitad de un lado.

CG

E BD

FA

m 2/3c

m 2/3b m2/3a

Lado, ángulo opuesto y otro lado. aLado, ángulo opuesto y la altura. bLado, ángulo opuesto y la mediana. c

Construir el arco capaz del ángulo y el lado conocidos.

A. Con centro en un extremo del lado y por radio el otrolado, trazar un arco que corta al arco capaz dando el vérticeopuesto.

b. Trazar una paralela al lado, a la distancia de la altura,que al cortar al arco capaz da el vértice opuesto (dossoluciones)

c. Con centro en el punto medio del lado y radio lamediana, trazar un arco que al cortar al arco capaz da elvértice opuesto (dos soluciones)

b’

C

A

m

D E

B

h’

Lado, ángulo de un extremo y bisectriz del ángulo delotro extremo.

Construir en un extremo del lado el ángulo dado.Con centro en el otro extremo del lado y radio la bisectriz,trazar un arco que corta al otro lado del ángulo fijando labisectriz.Construir un ángulo, simétrico respecto de la bisectriz igualal obtenido para determinar el tercer lado del triángulo.

C

D

A BE

b Fb

a

a a p½ p ½

A

A’ B C A“

Construcción de TRIÁNGULOS. 1

Lado su altura y otra altura.

Trazar el lado y una paralela a la distancia de la alturacorrespondiente. Con centro en uno de los extremos del ladodescribir un arco de radio la otra altura. La tangente al arcopor el otro extremo del lado da el tercer vértice al cortar a laparalela.

C

h h

A B

c a

Dos ángulos y altura correspondiente al lado opuesto auno de ellos.

Construir un ángulo en el extremo de una semirrecta.Trazar, a la distancia de la altura, una paralela que corte allado dando el vértice donde construir el otro ángulo.

Bisectriz, su ángulo y otro ángulo.

Construir el ángulo y la bisectriz dados.Sobre uno de los lados del ángulo construir el otro y trazarpor el extremo libre de la bisectriz una paralela al lado delángulo construido.

Ángulo, su altura y otra altura.

Trazar sobre una recta base una paralela a la distancia de unaaltura. Construir el ángulo sobre la recta base y que corte a laparalela dando otro vértice. El tercero se determina trazandopor este último una recta tangente al arco de radio la alturadel ángulo y centro su vértice.

Ángulo su bisectriz y la circunferencia inscrita.

Construir sobre una recta base el ángulo y su bisectriz.Trazar la circunferencia inscrita y por el extremo libre de labisectriz una tangente a ella para obtener el tercer lado.

Lado, ángulo de un extremo y su bisectriz.

Construir sobre una recta base el ángulo y su bisectriz.Trazar una recta que una el otro extremo del lado y pase porextremo libre de la bisectriz para obtener el tercer lado.

Dos lados y altura del tercero.

Trazar una paralela a una recta base a la distancia de la altura.Desde un punto cualquiera de la paralela trazar arcos conradios iguales a las medidas de los lados que corten a la rectabase dando varias soluciones.

A

h

B C’ C B’

B

Db

A Ca b

DB

b

A Ca

B

h

C A

b

a

E

DC

A Bb ra

B

h h

A C

b a

a

Construcción de TRIÁNGULOS. 2

Lado, ángulo opuesto y la suma de los otros dos lados.

* Proceso de construcción en los ejercicios:Perímetro y ángulos de la base.Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Altura y mediana de un lado, sabiendo que éste es eldoble que otro de los lados del triángulo.

Sobre una recta base llevar perpendicularmente la altura..Desde su extremo libre trazar un arco que corte la recta basefijando el punto medio del lado y la mediana. La mediatriz dela mediana corta a la recta base dando otro vértice siendosimétrico el tercero.

A

D B C E

Lado, ángulo de su extremo y altura.

Llevar sobre una recta base el lado y construir el ángulo enuno de sus extremos. Trazar una paralela al lado a la distanciade la altura que corte al ángulo dando la solución.

Lado, ángulo de su extremo y mediana.

Llevar sobre una recta base el lado y construir el ángulo enuno de sus extremos. Trazar un arco, con radio la medianadel lado, que al cortar al ángulo da la solución

Lado, altura y mediana relativas.

Llevar sobre una recta base el lado y trazar una paralela a ladistancia de su altura. El arco trazado con su mediana corta adicha paralela dando las soluciones.

Dos lados y mediana de uno de ellos.

Llevar sobre una recta base el lado y describir dos arcos: unocon la mediana y otro, desde un extremo, con el otro lado. Elpunto común de ambos arcos es el tercer vértice.

Dos lados y altura de uno de ellos.

Llevar sobre una recta base el lado y trazar una paralela a ladistancia de su altura. Desde un extremo del lado trazar unarco que al cortar a la paralela da las soluciones.

C’

A B

C

h

D

b’ m’

bA C B

m

D D’

m h

A C B

C

h

A Ba

D

m’m

A C Ba

C

b

C’ c Ba/2 a