cetveropoli_tutorijali

7/31/2019 Cetveropoli_TUTORIJALI

http://slidepdf.com/reader/full/cetveropolitutorijali 1/8

Č ETVEROPOLI

Zadatak broj 1.Za č etveropol prema slici odrediti y parametre. Da li je mreža simetri č na?

U1

I1 I2

U2

R R

L

1’ 2’

1 2 + +

Rješenje:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

(1)

(2)

I Y U Y U

I Y U Y U

= +

= +

a) 1 0U = : Nadomjesna mreža ima oblik:

I1 I2

U2

R R

L

1’ 2’

1 2 +

pri č emu je grana sa serijskom vezom R kratkospojena, pa nije teško zaklju č iti da je:L−

21 2

U I I

R= − = −

Prema jedna č inama (1) i (2) važi:

112

2

1I Y

U R= = − , 2

222

1I Y

U R= =

b) 2 0U = : Nadomjesna mreža ima oblik:

U1

I1 I2R R

L

1’ 2’

1 2 +

1

2U

I R

= − ; 1 1 11 2

1 1( )U U U

I I U R j L R R j L R R j L

= − + = + = ++ ω + ω + ω 1

1



Prema jedna č inama (1) i (2) važi:

111

1

1 1I Y

U R R j = = +

+ ωL, 2

211

1I Y

U R= = −

Da bi mreža bila simetri č na, potrebno je ispuniti uslov11 22

Y Y = , što u analiziranom primjeru nijeslu č aj.

Zadatak broj 2.Odrediti parametre č etveropola, te provjeriti simetri č nost mreže.y

U1 R 2

R 1

I1 I2

U2

1’ 2’

1 2 + +

C

L

Rješenje:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

(1)

(2)

I Y U Y U

I Y U Y U

= +

= +

a) 1 0U = : Nadomjesna mreža ima oblik:

R 2 R 2

R 1 R 1

I1

I1

I2 I2

U2 U2

1’ 1’2’ 2’

1 12 2 + +

C

L L

21

1

U I

R j L= −

+ ω , odakle je prema jedna č ini (1):

112

12

1I Y

U R j = = −

+ ωL

22 1

2 1 2

1 1(U

I I U R R j L R

= − + = ++ ω 2) , odakle je prema jedna č ini (2):

222

1 22

1 1I Y

U R j L R= = +

+ ω

2




U1 U1R 2

R 1 R 1

I1 I1I2

I2

1’ 1’2’ 2’

1 12 2 + +

C C

L L

1

21

U I

R j L= −


221

11

1I Y

U R j = = −

+ ωL

1 1 21

1(I j CU I j C U R j L= ω − = ω + + ω 1) , odakle je prema jedna č ini (1):

111

11

1I Y j C

U R= = ω +

+ ω j L

Da bi mreža bila simetri č na, potrebno je ispuniti uslov 11 22Y Y = , što u analiziranom primjeru nijeslu č aj. Da bi se ispunio uslov simetri č nosti 11 22Y Y = , odnosno:

1 1

1 1 j C

R j L R j L Rω + = +

+ ω + ω2

1

potrebno je obezbijediti zadovoljenje relacije:

2

10 j C

Rω − =

a koja je ispunjena za 2R = ∞ i . Samo u tom slu č aju mreža je simetri č na. To prakti č no zna č i da je za ispunjenje uslova simetri č nosti potrebno odstraniti oto č ne grane sa otpornikom otpornosti ikondenzatorom kapaciteta C . Dakle, za pravilno odre đ enje na pitanje o ispunjenju simetri č nostianalizirane mreže, odgovor je da se nikada (bez odstranjivanja elemenata mreže) uslov simetri č nosti nemože ispuniti.

0C =

2R

Zadatak broj 3.Odrediti parametre č etveropola, te provjeriti simetri č nost mreže.z

U1 R 2

R 1I1 I2

U2

1’ 2’

1 2 + +

C

L

3



Rješenje:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

(1)

(2)

U Z I Z I

U Z I Z I

= +

= +

a) 1 0I = :

2 21 2

22

1( )

1 1

R j RC U I jR C R j

C

−ω= =

+ ω−ω

2I , odakle je prema jedna č ini (1):

1 212

22 1U R

Z I jR

= =+ ωC

22 1 2

2(1

RU U j LI j L I 2)

jR C = + ω = + ω


2 222

22 1U R

Z j I jR C

= = + ω+ ω

L

b) 2 0I = :

2 21 11 1 1

22

1( )(1 1

R j RC U R I I R I jR C R j

C

−ω= + = +

+ ω−ω

1) , odakle je prema jedna č ini (1):

1 2111

21 1U R

Z RI j = = + + ωR C

22

2 122

1( )

1 1

R j RC U I jR C R j

C

−ω= =

+ ω−ω

1I , odakle je prema jedna č ini (2):

2 221

21 1U R

Z I jR

= =+ ωC

Da bi mreža bila simetri č na, potrebno je ispuniti uslov 11 22Z Z = , što u analiziranom primjeru nije

slu č aj. Da bi se ispunio uslov simetri č nosti 11 22Z Z = , odnosno:

2 21

2 21 1R R

R j LR C jR C

+ = ++ ω + ω

ω

potrebno je obezbijediti zadovoljenje relacije:

1 0R j L− ω =

a koja je ispunjena za 1 0R = i . Samo u tom slu č aju mreža je simetri č na. To prakti č no zna č i da jeza ispunjenje uslova simetri č nosti potrebno kratko spojiti (premostiti) serijske grane sa otpornikomotpornosti i zavojnicom induktiviteta L . Dakle, za pravilno odre đ enje na pitanje o ispunjenjusimetri č nosti analizirane mreže, odgovor je da se nikada (bez odstranjivanja elemenata mreže) uslovsimetri č nosti ne može ispuniti.

0L =

1R

4



Zadatak broj 4.Za rezistivni č etveropol sa slike odrediti a parametre, te provjeriti simetri č nost mreže.

U1 R

R R

R

I1 I2

U2

1’ 2’

1 2 + +

Rješenje: Ako se za analizirani, složeni č etveropol izvrši ekvivalentiranje T č etveropola (crtkano ozna č eno na

slici) u zamjenskiΠ

četveropol, a nakon toga dobijeni

četveropol uprosti, dobija se mreža jednostavnaza odre đ ivanje a parametara. U nastavku je predstavljena ova procedura. Ekvivalentiranje T č etveropola

u zamjenski Π č etveropol sa proizvoljno datim impedansama, dato je kao postupak klasi č netransfiguracije veze zvijezda u vezu trougao:

U1 U1

Z1’ Z3’ Z1

Z2’

I1 I1I2 I2

U2 U2Z2 Z3

1’ 1’2’ 2’

1 12 + + + +

2

' '1 3' '

1 1 3 '2

Z Z Z Z Z

Z = + +

' '1 2' '

2 1 2 '3

Z Z Z Z Z

Z = + +

' '2 3' '

3 2 3 '1

Z Z Z Z Z

Z = + +

U razmatranom slu č aju vrijedi:

' ' '1 2 3Z Z Z R= = =

pa se za impedanse grana ekvivalentnog Π č etveropola dobijaju izrazi:

1 2 3 3Z Z Z R= = =

Tada se polazni č etveropol može predstaviti sa jednostavnijom strukturom kao što to ilustruje sljede ć aslika:

U1 U1

3R 3R 4

3R 3R 3R 3R

I1 I1I2 I2

U2 U2

R

1’ 1’2’ 2’

1 12 + + + +

2

5



1 2

1 2

U AU BI

I CU DI

= −

= −2

2

a) 2 0I = :

1 11 23

34 534

U U RU U R

R= + =+

2U + , odakle je: 154U U = 2 , pa je 1

2

54

U A U = =

1 2 2 21 2

53 3 4 3 3 4U U U U

I U R R R R R

= + = + = 3 , odakle je: 1

2

34

I C

U R= =


U1 U1

3R 4

3R 4

3R 3R 3R

I1 I1I2

I2

1’ 1’2’ 2’

1 12 + +

2

134R

U = − 2I , odakle je: 1

2

34

U RB

I = =

−

11 2 2 2

1 3 5( )3 3 4

U RI I I I

R R

= − = − − = − 24

I , odakle je: 1

2

5

4

I D

I

= =

−

Pošto je ispunjen uslov A D = , to se može zaklju č iti da je analizirani č etveropol simetri č an.

Zadatak broj 5.Za č etveropol sa slike odrediti a parametre, a na osnovu toga impedansu 3Z koju treba vezati nasekundar induktivno spregnutih zavojnica tako da mreža bude simetri č na. U mreži vrijedi uslov

1 2 0Z Z ≠ ≠ .

L L

(k)

U1 Z1 Z3

Z2

I1

I2

U2

1’

2’

1

2

+

+

Rješenje:

U cilju pojednostavljenja strukture analizirane mreže najprije ć e se izvršiti svo đ enje impedanse 3Z sasekundarne na primarnu stranu induktivno spregnutih zavojnica. Taj postupak, u opštem slu č aju,

predstavljen je u nastavku:

6



L1 L2

(k)

Ux Z

Ix Iy +

1 1 2

1 2 20 (

x x y

x y

U j L I j k L L I

j k L L I j L Z I

= ω + ω

= ω + ω + )

1 2

2y x

k L LI j I

j L Z

ω= −

ω +

2 21 2

12

x x k L L

U j L I j L Z

⎧ ⎫ω⎪ ⎪= ω +⎨ ⎬ω +⎪ ⎪⎩ ⎭

2 21 2

12

x e

x

U k L LZ j L

I j L

ω= = ω +Z ω +

U našem slu č aju, uz i1 2L L L= = 3Z Z = , za impedansu 3Z svedenu na primarnu stranu spregnutihzavojnica dobija se izraz:

2 2 2

33

e k L

Z j L j L Z

ω= ω + ω +

Sa ovako izvršenim svo đ enjem impedanse 3Z , analizirana mreža dobija pojednostavljenu strukturu kaošto je to postupno prikazano na sljede ć im slikama.

U1 U1Z1

Z1

Z3e

Z3e

Z2

Z2

I1 I1 I2

I2

U2

U2

1’1’ 2’

2’

11 2

2

+ + +

+

Za tako dobijenu pojednostavljenu mrežu mogu se napisati jedna č ine ravnoteže u obliku:

1 31 2

1 32

1 22

e

e

Z Z U U I

Z Z

U I I

Z

= ++

= −

1

koje se mogu predstaviti i u formi:

1 3 2 1 3 1 31 2 2 2

1 3 2 1 3 2 1 3

21 2

2

1( ) ( )

e e

e e

Z Z U Z Z Z Z U U I U I

Z Z Z Z Z Z Z Z

U I I

Z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= −

2e

e +

Pošto je:

7



1 2

1 2

U AU BI

I CU DI

= −

= −2

2

to je:

1 3

1 31

( )

e

e

Z Z A

Z Z Z = +

+ 2; 1 3

1 3

e

e

Z Z B

Z Z =

+;

2

1C

Z = ; 1D =

Da bi č etveropol bio simetri č an, potrebno je ispuniti uslov A D = , odnosno:

1 3

1 3 21 1

( )e

e

Z Z Z Z Z

+ =+

, odakle je:

1 3

1 3 20

( )e

e

Z Z Z Z Z

=+

Pošto je 1 2 0Z Z ≠ ≠ , to je posljednja relacija zadovoljena za:

3 0e Z = , odnosno:

2 2 2

33

0e k L

Z j L j L Z

ω= ω + =ω +

, odakle je:

23 (1 )Z j k = − − ωL

Dobijeni izraz za impedansu 3Z predstavlja impedansu kondenzatora kapaciteta odre đ enog kao:

3 2 23

1 1(1 )

Z j C j C Z k L

= − → = − =ω ω − ω

1

8

cetveropoli_tutorijali

Documents