Chap6 B-S 期权定价模型

1973 年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black& Myron Scholes 提出了著名的 B-S 定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年， Robert C. Merton 独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了 1997 年的诺贝尔经济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克 - 舒尔斯 - 默顿期权定价模型（简称 B-S-M 模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。

Harry Morkowitz William Sharpe Robert Merton M. Scholes

B-S 定价的基本思路

为什么要研究证券价格的变化过程？ 期权是其标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产

价格（股票）的波动，期权价格受到标的资产价格的影响。期权定价使用的是相对定价法，即相对于证券价格的价格，因而要为期权定价首先必须研究证券价格变化规律。在了解了标的资产价格的规律后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。

期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其所遵循的随机过程。

研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思想。

6.1 证券价格的变化过程 一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以

用漂移率为 　 、方差率为 的 Ito 过程来表示：

ttS

S

22S

SdzSdtdS

dzdtS

dS

),(~ ttS

S

S

离散形式

效率市场假说

效率市场的三个层次： 1 、弱式效率市场假说 2 、半强式效率市场假说 3 、强式效率市场假说

根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（ Markov Stochastic Process ）是内在一致的。因此我们可以用数学来刻画股票的这种特征。

随机过程 (Stochastic Process)

随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。

根据时间是否连续：离散 / 连续时间随机过程 根据变量取值范围是否连续：离散 / 连续变量随机过程

从严格意义上说，证券价格的变化过程属于离散变量的离散时间随机过程，为了研究方便，我们可以把它近似为连续变量的连续时间的随机过程。

马尔可夫过程（ Markov process ）

该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。

布朗运动

悬浮微粒不停地做无规则运动的现象叫做布朗运动。

是微观分子热运动造成的宏观现象。

布朗运动在金融市场的应用 布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。 维纳过程是马尔科夫过程（ Markov process ）的一种特

殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。数学界也常把布朗运动称为维纳过程 (Wiener Process) 。

20 世纪 40 年代，日本数学家伊藤清 (Ito Kiyosi) 发展了维纳的研究成果，建立了带有布朗运动干扰项 B(t) 的随机微分方程。

股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性 (the weak form of market efficiency) 相一致，也就是说，一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。

但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。

对于标准布朗运动来说：设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量 z 在 时间内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征：特征 1： 和 的关系满足： ＝其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。特征 2：对于任何两个不同时间间隔 ， 的值相互独立。

t

tz

z

z t

t z

z t

维纳过程的性质

[z (T ) – z (0)] 的均值等于 0 [z (T ) – z (0)] 的方差等于 T

[z (T ) – z (0)] 的标准差等于 T

n

i i tzTz1

)0()(

将标准布朗运动扩展，就得到普通布朗运动，令漂移率为 a ，方差率为 b2 ，我们就可得到变量 x 的普通布朗运动：

or ： 标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移率为0 ，方差为 1 的普通布朗运动。

bdzadtdx dztxbdttxadx ),(),(

ttbdzdsaxtx

000)(

Ito 过程

bz(t)atxx(t) 0

Ito 引理

如果我们知道 x遵循的随机过程，通过伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机过程。

由于衍生产品价格是标的资产价格和时间的函数，因此随机过程在衍生产品分析中扮演重要的角色。

泰勒展开式

忽略比 t高阶的项 在常微分中，得到：

在随机微分中得到：

因为最后一项的阶数为 t

GG

xx

G

tt

G

xx

G

x tx t

G

tt

½

½

2

22

2 2

22

G GG x t

x t

2

22

1( )

2

G G GG x t x

x t x

22 2

2

= +

x a t b t

t

G G GG x t b t

x t x

将 代入最后一项，并忽略比 高阶的项,则

１２

2 2

2

2

2

22

2

~ (0,1) ( ) 0

( ) [ ( )] 1

( ) 1

( )

1

2

E

E E

E

E t t

t t

G G GG x t b t

x t x

由于

因此

而 的方差 与 同阶，可以忽略，因此

Taking limits ½

Substituting

We obtain ½

This is Ito's Lemma

dGG

xdx

G

tdt

G

xb dt

dx a dt b dz

dGG

xa

G

t

G

xb dt

G

xb dz

2

22

2

22

•取极限

Ito 引理

变量 x 和 t 的函数 G也遵循 Ito 过程：

　　 根据 Ito引理，衍生证券的价格 G应遵循如下过程：

bdzx

Gdtb

x

G

t

Ga

x

GdG

)

2

1( 2

2

2

SdzSdtdS

SdzS

GdtS

S

G

t

GS

S

GdG

)2

1( 22

2

2

** 随机微积分与非随机微积分的差别 lndS

d SS

证券价格自然对数变化过程

令 　

由于

证券价格对数 G遵循普通布朗运动 , 且：

SG ln

0t

G,

S

1

S

G,

S

1

S

G22

2

dzdtdG )2

(2

]),)([(~lnln 2

2

tTtTSST

1、几何布朗运动中的期望收益率。

2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率 是无关的。

3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 　　　＜ ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。

2/2

1 、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差

2 、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越近越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天数。

B-S 期权定价模型 -1

B-S 微分方程及其推导过程：

　 假设 f 是依赖于 S 的衍生证券的价格，则：

SdzSdtdS zStSS

SdzS

fdtS

S

f

t

fS

S

fdf

)

2

1( 22

2

2

zSS

ftS

S

f

t

fS

S

ff

)2

1( 22

2

2

B-S 期权定价模型 -2 为了消除 的影响，构建一个包括一单位衍生

证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值，则：

z

S

f

SS

ff

SS

ff

tSS

f

t

f

)2

1( 22

2

2

B-S 期权定价模型 -3 在没有套利机会的条件下：

　因此：

这就是著名的 B-S 微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格 S 的所有衍生证券的定价

tr

tSS

ffrtS

S

f

t

f

)()2

1( 22

2

2

rfS

fS

S

frS

t

f

2

222

2

1

风险中性定价原理 假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。

尽管风险中性假定仅仅是为了求解 B-S 微分方程而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。

P124 的例子

B-S 期权定价模型 -4

B-S 期权定价公式：假设条件

1. 证券价格遵循几何布朗运动 ,, 为常数2.允许卖空标的证券3.没有交易费用或税收4. 所有证券都是无限可分的5. 标的证券在有效期内没有红利支付6. 不存在无风险套利机会7.交易是连续的8.无风险利率为常数

B-S 期权定价公式 经典的 B-S 期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。 在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时 (T 时刻 )

的期望值为：

　现值为：

　

　求解得：

)]0,XS[max(E T

)]0,[max()( XSEec TtTr

]),)(2

([ln~ln2

tTtTrSST

)()( 2)(

1 dNXedSNc tTr

其中

tTdtT

tTrXSd

tT

tTrXSd

1

2

2

2

1

))(2/()/ln(

))(2/()/ln(

dy

dyedN 2

2

2

1)(

B-S公式的方便之处在于除股价的波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。

正态分布：回顾

若随机变量 X的概率密度是

则称 X 服从正态分布，记作： X~N(μ,σ2)

)x(e2

1)x(p

2

2

2

)x(

期权价格曲线随到期时间 T 的变化

N(d2) 是在风险中性世界中 ST 大于 X 的概率，即欧式看涨期权被执行的概率， e-r(T-t)XN(d2) 是 X 的风险中性期望值的现值。 SN(d

1)= e-r(T-t)ST N(d1) 是 ST 的风险中性期望值的现值。

　　　　　是复制交易策略中股票的数量， SN(d1) 是股票的市值， -e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。

从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 (Asset-or-noting call option) 多头和现金或无价值看涨期权 (cash-or-nothing option)空头， SN(d1) 是资产或无价值看涨期权的价值， -e-r(T-t)XN(d2) 是 X份现金或无价值看涨期权空头的价值。

)( 1dN

B-S 期权定价公式：金融含义

在标的资产无收益情况下，由于 C=c ，因此上式也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。

根据平价关系，得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：

由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。

)()( 12)( dSNdNXep tTr

有收益资产欧式期权的定价公式 当标的证券已知收益的现值为 I 时，我们只要用

（ S－ I ）代替公式中的 S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。

当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q(单位为年 ) 时，我们只要将　　　　代替公式中的 S 就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。

)( tTqSe

对于欧式期货期权，其定价公式为：

其中：

)]()([ 21)( dXNdFNec tTr

)]()([ 12)( dFNdXNep tTr

tTdtT

tTXFd

tT

tTXFd

1

2

2

2

1

)(2)/ln(

)(2)/ln(

例 6.4

假设当前英镑的即期汇率为 $1.5000 ，美国的无风险连续复利年利率为 7%，英国的无风险连续复利年利率为 10%，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为 10%，求 6 个月期协议价格为 $1.5000 的英镑欧式看涨期权价格。

3.05 美分

有收益资产美式期权的定价 1．美式看涨期权

当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，可用一种近似处理的方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若在 tn提前执行有可能是合理的，则要分别计算在 T 时刻和 tn 时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。

2．美式看跌期权由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。

例 6.5

假设一种 1 年期的美式股票看涨期权，标的股票在 5个月和 11 个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为 1.0元，标的股票当前的市价为 50元，期权协议价格为 50元，标的股票波动率为每年 30%，无风险连续复利年利率为 10%，求该期权的价值。

近似为 7.2824元