Heat transfer 8th week lecture

Chapter 4: Two-dimensional steady-state conduction

■ 대류경계조건

대부분의 고체에서의 열전달은 고체의 표면이 공기에 노출되어 있는한, 대류경계조건과 반드시 연관된다.

따라서 대류 경계조건을 고려할 수 있도록 미분방정식을 수정해야 한다.

반무한고체에 대해서 대류 경계 조건은 [표면에서 대류된 열전달 = 표면으로 전도된 열전달]로써 나타낼수

있다. 즉, 다음과 같은 공식을 쓸 수 있다 (𝑥 = 0은 표면을 뜻함).

ℎ𝐴(𝑇∞ − 𝑇)𝑥=0 = −𝐾𝐴𝜕𝑇

𝜕𝑥]

𝑥=0

주어진 식의 풀이는 매우 복잡하지만, Schneider 가 이미 풀어서 다음과 같은 식을 도출하였다.

𝑇 − 𝑇𝑖

𝑇∞ − 𝑇𝑖

= 1 − erf 𝑋 − [exp (ℎ𝑥

𝑘+

ℎ2𝛼𝑡

𝑘2)] [1 − erf (𝑋 +

ℎ√𝛼𝑡

𝑘)]

𝑋 =𝑥

2√𝛼𝑡

𝑇𝑖 = initial temperature of solid

𝑇∞ = environment temperature

도출된 식을 그래프로 그린 것이 아래의 그림 1 이다(교재의 그림 4.5). X 축의 값: 𝒙𝟐

𝟒𝜶𝒕을 계산하고,

ℎ√𝛼𝑡

𝑘를

계산하면, 1 −𝑇−𝑇𝑖

𝑇∞−𝑇𝑖 값을 표를 통해서 얻을 수 있다. 결과적으로, 주위의 온도값과 초기온도를 알고 있으면

선도를 통해 얻은 값으로부터 온도를 계산할 수 있을 것이다.

♠ 열확산계수

𝛼 = 𝑘/𝜌𝑐, 이 때의 𝜌𝑐를 열용량(열을 담아둘수 있는 능력)이라 한다. 즉, 열확산 계수는 열이 얼마나 빨리

확산되는지를 나타낸다. 즉, 알파의 값이 클수록 열이 빨리 물질에서 확산한다.

∙ 알파값이 크다

1) 열전도 계수 크다 – 열확산이 빠르다

2) 열용량( 𝜌𝑐 )이 작다 – 물질내에서 흡수되어 온도를 높이는데 소모되는 에너지가 작고,

대부분의 열이 통과

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Figure 1. Temperature distribution in the semi-infinite solid with convection boundary condition (Holman 10th

edition, 2011)

▶ 3 가지 기하학적 형상(무한평판, 무한원통, 구)에서의 온도 분포 및 열손실

다른 기하학적 형상에 대한 해도 있지만, 여기에서는 가장 기본적인 중요한 3 가지 경우를 고려하기로 한다.

1. 다른 차원에 비해서 두께가 매우 얇은 평판

2. 길이에 비해 지름이 상대적으로 작은 원통

3. 구

다시 말해서, 위의 경우들은 결과적으로 한 차원이 다른 차원에 비해 상대적으로 무한한 경우이므로,

특정방향의 열전달만 중요하게 고려할 수 있고, 이에 따라 1 차원 열전달로 간주하여 문제를 접근하면 된다.

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Figure 2.Three types of geometric shape used in Heisler chart (Holman 10th edition, 2011)

▶ Heisler 도표

앞선 3 가지 기하학적 형상에대한 해석 결과는 헤슬러에 의해서 도식적으로 주어졌다(헤슬러 선도). 선도에서

사용된 3 가지 경우에 대한 온도의 정의는 (선도에서 사용된 온도 기호의 정의는);

∙ 주위온도 T∞,

∙ 중심온도 (x=0 (무한평판), 혹은 r=0 (무한 원통 및 구)에서) T0를 사용 (반무한고체의 경우는 표면이

𝑥 = 0이 었지만, 이 3가지 형상에서는 중심이 𝑥 = 0이 되는 것에 유의해야 한다. 즉, 경우에 따라서

𝑥의 값은 달리 설정할 수 있다.

∙ 초기온도 (t=0일때)의 온도는 Ti라 한다.

𝜃와 𝜃𝑖 , 𝜃𝑜은 구하고자하는 온도, 초기온도, 중심온도와 주위의 온도의 차이로 나타난다. 교재의 그림을

중심으로 도표에 대한 설명을 하자면, 교재의 그림 4.7 부터 4.13 까지 각각의 기하학적 형상에 대한 헤슬러

선도가 주어져 있다. 이중에서 4.7 부터 4.9 까지는 𝜽𝟎

𝜽𝒊 (중심온도와 초기온도의 차이에 대한 중심온도와

주변온도의 차이)가 주어져 있고, 4.10 부터 4.12 까지는 𝜽

𝜽𝟎 (온도 T 와 주변온도와의 차이를 중심온도와

주변온도의 차이로 나눈 것)이 주어져 있다.

따라서, 만약에 초기온도에 대한 특정 위치에서의 온도변화를 구하고자 한다면 두가지 선도를 결합하여, 즉,

(𝜽

𝜽𝒊=

𝜽𝟎

𝜽𝒊∙

𝜽

𝜽𝟎)의 관계를 이용하여 각각의 값을 선도에서 구한 후에 서로 곱함으로써 초기온도에 대한 중심이

아닌 위치에서의 온도를 구할 수 있을 것이다.

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그림 3 에서 5 까지(교재 그림 4.7~4.9)는 각각의 3 가지 기하학적 형상에 대한 헤슬러 선도이며, 중심온도와

초기온도 값을 중심으로 온도 분포가 주어져 있다. 나머지 선도들은 교재에 주어져 있으므로 참고하길

바란다.

Figure 3. Dimensionless temperature distribution in infinite plane with 2L of width (Holman 10th edition, 2011)

Figure 4. Dimensionless temperature distribution in infinite cylinder with r0 of radius (Holman 10th edition, 2011)

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Figure 5. Dimensionless temperature distribution in sphere with r0 of radius (Holman 10th edition, 2011)

연손실과 관련해서는 무한평판, 무한원통, 구에 대한 열손실을 그림 4.14~4.16 에 주어졌다. 𝑄0 는 주위

유체온도를 기준으로한 물체의 초기내부에너지 𝑄0 = 𝜌𝑐𝑉(𝑇𝑖 − 𝑇∞) = 𝜌𝑐𝑉𝜃𝑖 (이 식은 𝑄 = 𝑐𝑚∆𝑇 로부터

생각해 볼 수 있다)이며, 𝑄는 시간 τ동안 물체로부터 빠져나간 실제 열손실을 의미한다.

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결론적으로, 무한평판, 무한원통, 구의 경우에 있어서 온도는 식을 이용해서 직접적으로 풀수도 있지만,

그것보다는 헤슬러 선도를 통해서 효율적으로 구할 수 있으며, 열 손실의 경우도 마찬가지이다.

▶ 집중열용량계의 분석

만약, 대상 고체를 집중열용량계로 고려한다면 (내부저항이 표면저항에 비해서 매우 작다: Biot number 를

통해서 판단하며, 조건을 만족할 경우 물체내부의 온도가 일정하다고 가정할 수 있다). 이런 경우, 그림

3(교재 그림 4-5)의 그래프는 그림 6(교재 그림 4-13)의 형태로 다시 그릴 수 있고, 이때 𝒙축은 𝐁𝐢 ∙ 𝐅𝐨가 된다.

𝒙축의 A/V(고체의 특성길이 s)는 이 경우에는 다음과 같이 정의된 매개변수를 이용한다.

(𝐴

𝑉)

𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒=

1

𝐿

(𝐴

𝑉)

𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟=

2

𝑟0

(𝐴

𝑉)

𝑠𝑝ℎ𝑒𝑟𝑒=

3

𝑟0

Figure 6. Changes in temperature with consideration of lumped heat capacity (Holman 10th edition, 2011)

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▶ Biot 수와 Fourier 수

헤슬러 도표에는 2 개의 무차원 매개변수 Biot 수와 Fourier 수를 사용한다. 이는 편의를 위해 무차원

온도분포와 무차원 열전달을 사용하기 위함이다(온도를 온도로 나누고, 열량을 열량으로 나누면 단위가

삭제됨: 무차원 형태, 즉 단위가 없는 형태가 된다). 이 때, x 축의 Bi Fo에 대한 의미를 살펴보고 또한, 어떻게

집중열용량계와 관련이 있는 지를 살펴보자.

Biot 수는 표면의 대류저항에 대한 물체의 내부저항의 비 (<0.1 물체내의 온도를 균일하다고 가정)

Fourier 수는 물체의 특성길이에 대한 주어진 시간동안 물체내부로 전달된 근사적인 온도파

침투깊이의 비

두경우 모두 s(고체의 특성길이)가 포함되어 있음을 알 수 있다.

앞서 배웠듯이 집중열용량계에서는 물체의 내부온도가 일정하다고 가정하기 때문에 물체의 열손실

(대류열손실) = 물체의 내부에너지 감소 (열역학 제 1 법칙)가 되고, 미분방정식을 풀면 온도의 변화는

지수함수의 형태로 나타난다.

이때 지수함수의 지수 ℎ𝐴

𝜌𝑐𝑉𝜏 (𝜏나 t 모두 시간을 나타내고 혼용되어 쓰임)는다음과 같이 쓸 수 있다.

ℎ𝜏

𝜌𝑐𝑠=

ℎ𝑠

𝑘∙

𝑘𝜏

𝜌𝑐𝑠2

이는, Bi Fo(Biot number × Fourier number)라 할 수 있으면, 이는 선도 4.13 의 x 축이 된다.

결론적으로, 집중열용량계의 경우 4.5 선도 대신에 4.13 의 선도를 이용하여, Bi 와 Fo 의 숫자값에 따라

온도의 분포를 구할 수 있다. 단, 이때 고체의 특성길이는 앞에서 주어졌듯이 일반적인 경우와 다르게 정의가

된다 (1/L, 2/r0, 3/r0)

▶ Heisler 도표의 사용법

책에 의하면, Heisler 도표는 무한급수로 표현된 풀이 중에서 앞쪽 몇 개의 항만 취한 근사값이므로 오차가

발생하게 된다. 이 오차로 인해 Heisler 도표는 Fourier 수가 0.2 보다 큰 경우에만 사용할 수 있다.

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(참고) 반무한대의 응용성

엄밀히 말해서 반무한대의 기하학적 구조를 접하는 경우는 거의 없지만, 특정경우를 근사하기 위해서 사용할

수 있다. 즉, 두께가 유한하더라도, 경계조건의 갑작스런 적용에 의해 표면에서 야기된 온도변화가 영역의

반대쪽 표면에까지 관통되지 않는 한 반무한대 영역으로서 취급할 수 있다.

𝐿 ≫ √𝛼𝑡

𝐿은 두께이고, 𝛼𝑡는 시간 t 후에 얼마만큼의 열이 침투했는가를 의미하므로 두께가 열침투보다 매우 크다면

반무한대로 취급이 가능하다 할 수 있다.

■ 대류경계조건 예제

1. 온도가 200℃로 일정하게 유지되고 있는 4 cm 두께의 매우 큰 순수한 알루미늄 판이 갑자기 유체의

온도가 50℃이고 열전달 계수가 500 𝑊/𝑚2℃인 대류환경에 노출되었다. 2 분 후에 표면으로부터 0.8 cm 의

깊이에서 판의 온도를 계산하여라. 단, 알루미늄 평판의 𝑘 = 200 𝑊/𝑚 ∙ 𝐾, 𝛼 = 9.33 × 10−5𝑚2/𝑠 이다.

(solution)

Heisler 선도를 읽기 위한 매개변수를 구하면,

𝐿 =0.04

2= 0.02 𝑚

1

𝐵𝑖=

𝑘

ℎ𝐿=

200

500 × 0.02= 20

𝐹𝑜 =𝛼𝑡

𝐿2=

9.33 × 10−5 × 120

0.022= 28

교재의 그림 4.7 을 이용하면,

𝜃0

𝜃𝑖

= 0.25

표면으로부터 0.8 cm 이므로,

𝑥 = 0.02 − 0.008 = 0.012 𝑚

𝑥

𝐿=

0.012

0.02= 0.6

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교재의 그림 4.10 을 이용하면,

𝜃

𝜃0

= 0.98

𝜃

𝜃𝑖

=𝜃0

𝜃𝑖

×𝜃

𝜃0

= 0.25 × 0.98 = 0.245

∴ 𝑇 = 0.245 × (𝑇𝑖 − 𝑇∞) + 𝑇∞ = 0.245 × (200 − 50) + 50 = 86.75℃