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Chapter 5: Principles of Convection

■ 서론

현재까지 학습한 대류의 개념은 전도에 있어서 경계조건으로만 사용되었다. 지금부터 학습할 내용은 대류

자체에 초점을 맞춰 대류열전달을 계산하는 방법과 대류열전달계수 h 를 어떻게 결정하는가에 대한

내용이다.

대류열전달은 유체의 유동/흐름과 매우 밀접한 관련이 있으므로, (교과서에 나와 있는 것처럼) 대류열전의

기초적인 이해를 위해서 “유체역학 → 유체의 흐름이 유체내의 온도 구배에 미치는 영향 → 온도분포로 인한

유체에서의 열전달 결정”의 순서로 수업을 진행 하도록 한다.

▶ 대류: 높은 온도를 전달 받은 유체내의 분자들의 이동에 의해 열이 전달되는 형태의 열전달

∙ 전도는 푸리에의 법칙 – 열전달은 전달방향으로의 온도구배와 단면적에 비례한다

∙ 대류는 뉴턴의 냉각법칙을 이용하여 효과적으로 나타낼 수 있다 – 열 손실률은 주변과 물체 사이의

온도 차에 비례한다.

𝑞 = ℎ𝐴(𝑇 − 𝑇∞): 식을 보면 열이 온도 차에 비례함을 알 수 있으며, 이 식을 통해서 외부 표면에

유체가 흐를 때 대류에 의한 열 손실을 계산할 수 있다.

Figure 1. Newton’s law of cooling

♠ 면적이 식에 포함되어 있음을 유의하고 이 경우의 면적은 경우 유체와 닿는 부분은 면적이다.

(예시) 만약 평판 위에 뜨거운 바람이 수평으로 분다면, 뜨거운 바람과 맞닿는 부분의 면적

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h 를 대류열전달계수, 열전달계수, 혹은 막컨덕턴스라고 함 – 열전도계수와 마찬가지로 물체에 따라

다르지만 열전도계수와 다르게 주변환경에 따라 급격히 변하므로 정확한 측정이 어렵다. 다시 말해서, h 가

알려져 있는 경우 뉴턴의 냉각법칙을 통해서 열손실을 계산할 수 있다. 하지만, 열전달 계수는 여러인자, 즉

유체의 형태, 흐름조건(층류 혹은 난류), 유속 그리고 표면의 기하학적 구조등의 함수라서 정확한 측정이

어렵다 (오차가 25%까지 발생).

▶ 강제대류와 자연대류

∙ 자연대류: 외부의 기구(펌프 혹은 팬)없이 온도 차에 의해 발생한 밀도 차에 의해서 생기는 대류

∙ 강제대류: 외부 기구에 의해 발생하는 대류

♠ 일반적으로 강제대류는 자연대류에 비해 더 높은 열전달 계수를 나타낸다.

♠ 강제대류와 자연대류의 예시

1. 자연대류:

① 맨틀의 대류: 아래쪽의 맨틀이 위쪽 보다 더 뜨겁고 더 밀도가 낮다. 대류가 발생하여 맨틀이

움직인다.

② 바람 (해풍과 육풍): 바다와 육지의 비열의 차이로 인해 대류가 발생하여, 따뜻한 공기가 위로

올라가고 찬 공기가 아래로 내려오면서 해풍과 육풍이 발생. 육지의 비열이 낮아서 빨리 데워져서

따뜻한 공기가 상승하고, 바다의 차가운 공기가 육지쪽으로 불어오면서 해풍이 발생. 반대로 밤에는

바다가 천천히 식어서 따뜻한 공기가 상승하고, 빨리 식은 육지의 찬공기가 바다쪽으로 불면서

육풍이 발생

2. 강제대류: 난방 시스템, 에어컨 등 외부기구에 의해 발생하는 모든 대류 형태

① (재미) 적벽대전에서 제갈량의 동남풍에 의한 화공은 강제대류인가 자연대류인가?

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■ 점성흐름

▶ 점성: 흐름에 대한 유체저항의 척도 (유체의 중요한 물성)

(예시) 물의 점도에 비해 침의 점도는 크다

(참고) 모든 유체는 점도를 갖고 있으며, 기체의 점도는 액체보다 매우 낮다 (점도가 매우 낮은

것이지 점도가 없는 것이 아님).

점도의 수학적 설명은 그림과 같이 평행한 표면위를 흐르는 유체를 고려해 봄으로써 얻을 수 있다. 바닥판과

접촉하고 있는 유체는 판에 고정되어 있다고 할 수 있으므로, 표면에 대한 상대속도가 0 이고, 표면에서

멀어질수록 속도가 증가한다. 이 속도의 차이가 모멘텀(속도의 기울기)이 생기고 (분자간의 운동에너지

차이가 생겨서 에너지를 전달하게 된다), 이 모멘텀의 전달로 인해 유체의 흐름방향과 평행하게 작용하는

전단응력(shear stress)이 나타가게 된다 (전단응력: 비행기 날개, 선체 또는 터빈의 날개와 같은 표면에서

마찰항력을 유발)

Figure 2. Concept of viscous flow

유체내의 전단응력 τ는 속도구배(수직방향의 속도의 기울기)에 직접적으로 비례한다고 하면 점성의 방정식은

속도구배와 점성계수(혹은 동력학 점도)를 이용하여 나타낼 수 있다.

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♠ (참고) 점성계수는 온도의 함수이다. 액체에 있어서 온도의 상승은 점성계수의 감소를 유발하고

기체에서는 점성계수가 증가한다.

다시 그림으로 돌아가서, 앞서 말했듯이 표면에 접해있는 유체입자는 표면에 붙어있어서 표면에 대한

상대속도는 0 이고, 표면에서 멀어질수록 인접해 있는 유체입자가 흐름을 방해하는 힘이 점점 상실되어 결국

유속은 일정한 값에 도달하게 된다 – 이를 자유흐름 속도라 한다 (U∞).

점성의 영향으로 인하여 평판의 선단에서 시작하여 형성되는 흐름의 영역을 경계층이라고 한다.

경계층의 두께는 (경계층이 끝나는 지점) 평판으로부터 속도가 자유흐름속도의 99%가 되는 곳까지의

거리이다.

그림에서 보듯이, 경계층의 두께는 흐름방향으로의 거리에 따라 변한다. 경계층의 두께는 원점(선단)에서

0 이며 𝑥가 증가함에 따라 점차 증가한다. 선단에서 가까운쪽은 유체는 부드럽고 순차적으로 미끌어져 간다.

이러한 흐름형태를 층류라 한다. 층류영역에서는 속도 프로파일이 명확한 형태를 갖으면 경계층 두께도

예측가능한 비율로 증가한다.

표면을 따라 어떤 거리에 도달하면 유체내에서 층류를 파괴하는 작은 불안정이 시작되어 전이흐름의 형태가

된다. 전이흐름 영역은 작고 층류에 덧붙여진 작고 불규칙한 유속의 변동으로 특징지을 수 있다.

표면을 따라 흘럼감에 따라 불규칙한 속도의 변동이 커져서 난류가 시작된다. 난류 상대적으로 큰 불규칙한

유속의 변동으로 특징지을 수 있다. ♠ (예시) 담배 연기

▶ 레이놀즈 수

1) 평판에서의 레이놀즈 수

평판에서 흐르는 유체의 거동은 레이놀즈 수(무차원)를 이용해 적절히 나타낼 수 있으며, 레이놀즈의 수는

자유흐름속도와 선단으로부터의 거리 그리고 동점성계수(점성계수를 밀도로 나눈 것)를 통해서 정의 된다.

♠ (물리적 의미) 점성력에 대한 관성력의 비

레이놀즈 수가 크다: 관성력이 지배적

레이놀즈 수가 작다: 점성력이 우세

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Figure 3. Reynolds number on flat-plate flow

2) 관내에서의 레이놀즈 수

관내의 흐름을 보면, 경계층이 입구에서 형성되어 결국 경계층은 관전체를 메우게 되고 이때 흐름은 완전히

발달되었다고 한다(층류의 경우 포물선 형태의 속도분포). 이 흐름이 점차 난류가 되면 속도분포가 포물선의

형태가 아닌 무뎌진 형태가 된다. 관내의 흐름에서도 층류와 난류를 결정하는 기준으로 레이놀즈 수를

사용한다. 관내에서는 평균속도와 관의 지름을 사용한다.

Figure 4. . Reynolds number on tube (Holman 10th edition, 2011)

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3) 연속방정식: 관내에서의 1 차원 흐름에 대한 연속방정식

�̇� = 𝜌𝑢𝑚𝐴

단위시간당 흐르는 질량(질량유량)은 밀도 곱하기 유체의 평균속도 곱하기 단면적이다. 질량속도 G 를

단위면적당 질량유량 = 밀도와 평균속도의 곱이되고, 레이놀즈의 수는 질량속도와 관의 지름 그리고

점성계수를 이용해서 정의된다.

𝑅𝑒𝑑 =𝐺𝑑

𝜇

𝐺 =�̇�

𝐴= 𝜌𝑢𝑚

Figure 5. Continuity equation in 1D tube (Holman 10th edition, 2011)

■ 비점성흐름

실제로는 비점성유체가 존재 하지 않지만, 유체를 비점성적이라고 가정하여 취급할 수 있는 경우가 많기

때문에 이때 적용할 수 있는 방정식에 대해 배운다. 예를 들면, 판으로부터 수직방향으로 충분히 먼 곳에서의

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흐름은 비점성흐름과 같이 취급할 수 있다 (충분히 먼 곳에서는 수직방향으로의 속도기울기가 매우 작아서

점성응력도 작기 때문).

Figure 6. Inviscid flow

▶ 베르누이 방정식

Figure 7. Bernoulli’s equation

𝑝

𝜌+

1

2

𝑉2

𝑔𝑐

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

𝑑𝑝

𝜌+

𝑉𝑑𝑉

𝑔𝑐

= 0

베르누이 방정식(Bernoulli's equation)은 이상 유체(ideal fluid)에 대하여, 유체에 가해지는 일이 없는

경우에 대해, 유체의 속도와 압력, 위치 에너지 사이의 관계를 나타낸 식이다.

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베르누이 방정식을 적용하기 위해서는 다음과 같은 가정이 만족되어야 한다.

유체는 비압축성이어야 한다. 압력이 변하는 경우에도 밀도는 변하지 않아야 한다.

유선이 경계층(boundary layer)를 통과하여서는 안 된다.

점성력(viscous force)이 존재하지 않아야 한다.

시간에 대한 변화가 없어야 한다(정상상태, steady state)

베르누이 방정식은 일종의 에너지 방정식이다 – 압력을 포함한 위치에너지와 속도를 포함한 운동에너지의

항이 존재하고 두 항의 합은 항상 일정하다는 것을 보여준다 (고전 역학에서 위치에너지 + 운동에너지 = 일정)

1) 비압축성 유체: 압력이나 온도의 변화에 관계없이 밀도가 일정 (혹은 밀도의 변화가 무시할 수 있을 정도로

작다)

2) 압축성 유체: 유체의 밀도가 압력 혹은 온도의 변화에 따라 변한다 – 계의 내부 열에너지에 대응하는

온도변화를 고려하여야 한다.

1 차원에서의 베르누이 방정식은 어떤 검사체적에 관한 정상 흐름의 에너지 방정식이다.

𝑖1 +1

2

𝑉12

𝑔𝑐

+ 𝑄 = 𝑖2 +1

2

𝑉22

𝑔𝑐

+ 𝑊𝑘

1 과 2 를 각각 입구조건과 출구조건을 뜻하고, i 는 엔탈피를 의미함 (엔탈피 = 내부에너지 + 압력×비체적

(𝑖 = 𝑒 + 𝑝𝑣) – 원래 엔탈피는 h 로 표기하나 대류열전달 계수와 혼동하지 않도록 i 로 표기)

검사체적에서의 열역학 제 1 법칙은 다음과 같다.

입구의 엔탈피 + 운동에너지 + 열량 = 출구에서의 엔탈피 + 운동에너지 + 일

다시 말해, 열과 일의 차이는 엔탈피와 운동에너지의 차이와 같다

압축성 유체의 흐름에서 응력강하를 계산하려면 유체의 상태방정식을 알아야 한다. 즉, 이상기체에 대해서는

다으모가 같은 관계식이 성립한다.

𝑝 = 𝜌𝑅𝑇, ∆𝑒 = 𝑐𝑣∆𝑇, ∆𝑖 = 𝑐𝑝∆𝑇

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기체상수는 일반기체상수를 분자량으로 나누어서 구할 수 있다.

𝑅 =𝔑

𝑀=

8314.5 J/kg∙mol∙K

28.96

그러므로, 공기의 물성은 다음과 같다.

𝑅𝑎𝑖𝑟 = 287 J/kg∙K

𝑐𝑝,𝑎𝑖𝑟 = 1.005 kJ/kg∙℃

𝑐𝑣,𝑎𝑖𝑟 = 0.718 kJ/kg∙℃

특정한 문제를 풀기 위해서는 과정을 정해야 한다.

(예시) 노즐을 통과하는 가역단열흐름 – 흐름의 어떤 점에서의 상태를 마하수 및 속도가 0 이 되는

정체점(유체의 속도가 0 인지점)에서의 상태와 관련시켜주는 다음과 같은 관계식이 성립한다.

𝑇0

𝑇= 1 +

𝛾 − 1

2𝑀2

𝑝0

𝑝= (1 +

𝛾 − 1

2𝑀2)

𝛾/(𝛾−1)

𝜌0

𝜌= (1 +

𝛾 − 1

2𝑀2)

1/(𝛾−1)

𝑀 =𝑉

𝑎,

𝑎 = √𝛾𝑔𝑐𝑅𝑇 이상기체

𝑎 = 20.045√𝑇 공기 (이상기체로 가정했을시)

예제 1 (교과서 예제 5.1)

300 도 0.7MPa 의 공기가 탱크로부터 등엔트로피 과정으로 팽창하여 속도가 300m/s 로 되었다. 이때

공기의 온도, 압력 및 마하수를 구하여라. 단, 공기에 대해서 감마=1.4 이다.

1) 과정을 정해야 함 – 열역학 제 1법칙 식을 이용 – 조건에 따라 필요없는 항을 지움

2) 열역학 제1법칙 식을 주어진 조건에 맞게 변형 – 이 문제의 경우 온도를 포함한 식으로

바꾼다 (“엔탈피의 변화는 정압비열과 온도 변화의 곱”을 이용한다.) – 온도를 구한다.

3) 등엔트로피 과정식을 이용한다 – 온도에 관한 식과 압력에 관한 식을 연립하면, 압력과

온도의 관계를 통해 속도가 높을때의 압력를 구할 수 있다.

4) 마하수는 속도를 a로 나누어주면 되고, a는 공기를 이상기체로 가정했을시 구할 수 있으므로,

마하수를 구할 수 있다.

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■ 평판위의 층류 경계층

그림에서 보여지는 검사체적을 생각할 때, 힘과 운동량의 평형조건을 사용하여 경계층의 운동방정식을

유도한다.

해석의 편의를 위해 다음과 같은 가정을 한다.

1) 유체는 비압축성이고 흐름은 정상이다.

2) 평판에 수직한 방향으로는 압력 변화가 없다.

3) 점성은 일정하다

4) y방향으로의 점성 전단력은 무시할 수 있다.

♠ 층류경계층? 경계층의 두께(경계층이 끝나는 지점)는 평판으로부터 속도가 자유흐름속도의 99%가

되는 곳까지의 거리이다 – 유체의 점성의 영향이 미치는 경계로서, 경계층 이후부터는 관성력이

지배한다고 할 수 있다.

Figure 8. Force balance in laminar boundary

힘과 운동량, 질량의 평형조건을 통해서 식을 유도하면(책에 나와있으므로 생략) 다음과 같은 두개의 식을

얻을 수 있다.

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1) 경계층에 대한 연속 방정식

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

2) 층류경계층의 운동량 방정식

𝜌 (𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = 𝜇

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2−

𝜕𝑝

𝜕𝑥

♠ (참고) 연속방정식: 물리학에서 연속 방정식(continuity equation)은 어떤 물리량이 보존되는 상태로

이송되는 것을 기술하는 방정식이다. 질량, 운동량, 에너지 등이 보존되는 양이기 때문에 수많은 물리적

현상들이 연속 방정식에 의해 기술될 수 있다.

두 식을 적절하게 풀면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다 (이식을 이용하면 층류경계층의 두께를 알 때 u 값을

구할 수 있다 (에제 5-3)

𝑢

𝑢∞

=3

2

𝑦

𝛿−

1

2(

𝑦

𝛿)

3

궁극적으로는 x 지점에서의 층류경계측의 두께를 계산할 수 있는 식을 얻게 된다.

𝛿

𝑥=

5.0

√𝑅𝑒𝑥

예제

27 도 1 기압 상태의 공기가 평평한 표면위를 1.2m/s 의 유속으로 흐르고 있다. 선단으로부터 30cm

거리에서 레이놀즈 수, 경계층 두께, 경계층 두께의 절반인 높이에서 유속 u 를 구하여라.

𝑅𝑒 =𝑢∞𝑥

𝜈=

1.2 × 0.3

15.86 × 10−6= 22656 < 2 × 105 이므로 층류라 판단 할 수 있다

𝛿

𝑥=

5.0

√𝑅𝑒𝑥 ⇒ δ =

5𝑥

√𝑅𝑒𝑥

=5 × 0.3

√22656= 0.00997𝑚 = 9.7𝑚𝑚 𝑥가 증가할수록 두께가 두꺼워질 것이다

𝑢

𝑢∞

=3

2

𝑦

𝛿−

1

2(

𝑦

𝛿)

3

=3

2

𝛿2𝛿

−1

2(

𝛿2𝛿

)

3

=3

4−

1

2(

1

2)

3

= 0.6875 ⇒ u = 0.6875 × 1.2 = 0.825m/s

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■ 경계층의 에너지 방정식

층류경계층에 대한 유체역학적면을 고려하였으니, 이제는 층류경계층에 대한 에너지 방정식을 고려해 보자.

대류에 의한 열전달을 구하기 위해서는 표면에서의 온도구배를 결정해야만 한다

- 층류경게층에서의 온도 분포를 결정하는 방정식은 에너지 보존(열역학 제 1법칙)을 이용하여 구할

수 있다.

해석의 편의를 위해서 가정은 다음과 같다.

1) 비압축성 정상흐름

2) 점성, 열전도 계수, 비열이 일정

3) 유체가 흐르는 x방향을 열전도는 무시될 수 있다.

그림에서 보이는 검사체적에 에너지 보존의 법칙을 적용하면 다음과 같이 에너지 평형을 쓸 수 있다.

왼쪽면에서의 에너지 대류전달 + 밑면에서의 에너지 대류전달 + 밑면에서의 전도 + 점성에 의한 일

= 오른쪽면으로 나가는 대류전달 + 윗면에서의 대류전달 + 윗면에서의 전도

위의 에너지 보존을 이용하면 다음과 같은 층류경계층에서의 에너지방정식을 세울 수 있다.

𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦= 𝛼

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2+

𝜇

𝜌𝑐𝑝

(𝜕𝑢

𝜕𝑦)

2

위의 식에서 왼쪽은 검사체적으로 들어간 총 에너지 이고, 오른쪽은 전도를 통한 에너지 유출 + 점성에 의한

일을 뜻한다. 점성에 의한 일은 속도가 클때만 중요하다 (전단응력은 속도구배에 비례하므로, 속도가 크다는

것은 점성에 의한 응력이 크다 – 결국 일이 크다).

층류경계층에 대해 고려하고 있으므로, 속도는 자유흐름의 속도, 높이(두께)는 층류경계층의 두께가 된다. 즉,

𝑢 ~ 𝑢∞, 𝑦 ~ 𝛿 이므로, 왼쪽은 두 항은 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.

𝛼𝜕2𝑇

𝜕𝑦2~𝛼

𝑇

𝛿2,

𝜇

𝜌𝑐𝑝

(𝜕𝑢

𝜕𝑦)

2

~𝜇

𝜌𝑐𝑝

𝑢∞2

𝛿2

그러므로, 이 둘의 비(점성에 의한 일 / 전도)가 작으면, 즉, 다음과 같으면 점성에 의한 일은 전도에 비해

매우작다.

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𝜇

𝜌𝑐𝑝𝛼

𝑢∞2

𝑇≪ 1

여기서, 무차원 number 인 프란틀 숫자가 나온다. 프란틀 숫자는 동점성계수를 열확산계수로 나누어준

것이고, 정압비열과 점성계수의 곱을 열전도계수로 나누어준것과 같다.

Pr =𝜈

𝛼=

𝑐𝑝𝜇

𝑘

프란틀 수를 이용하면, 앞선 점성에 대한 전도의 비는 다음과 같이 쓸 수 있다 (프란틀 수의 물리적의미는

조금 있다가 살펴보기로 한다).

Pr𝑢∞

2

𝑐𝑝𝑇≪ 1

결과적으로 에너지 방정식은 다음과 같이 간단히 할 수 있다.

𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦= 𝛼

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2