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제1장 벡터

1.1 공학과 수학에서의 벡터와 행렬 및 -공간

스칼라와 벡터

- 속도

- 힘

- 변위

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- 벡터를 , , , ,

동치벡터

- 제한벡터(bound vector), 자유벡터(free vector)

- 두 벡터 와 가 상등(equal) 또는 동치(equivalent)

: 와 가 동치벡터 로 표기

․ 영벡터(zero vector)

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벡터덧셈

- 벡터덧셈의 평행사변형규칙

- 벡터덧셈의 삼각규칙

- 평행이동으로서의 벡터덧셈

․ 를 각각 의 에 의한 평행이동(translation)

또는 의 에 의한 평행이동

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[예제 1] 물리학과 공학에서의 벡터덧셈

벡터뺄셈

- 의 덧셈역원(negative) :

- 에서 까지의 차이(difference)

- 스칼라곱

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좌표계에서의 벡터

- 2-공간의 직교좌표계

․ 의 좌표(coordinate) :

- 3-공간의 직교좌표계 : 왼손 좌표계, 오른손 좌표계

․ 순서 3-짝의 수들을 의 좌표：

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- 의 좌표계에 대한 성분(component)

시점이 원점에 있지 않은 벡터들의 성분

<정리 1.1.1>

(a) 2-공간에서 시점이 , 끝점

(b) 3-공간에서 시점이 , 끝점

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[예제 2] 시점이 원점에 있지 않은 벡터의 성분

시점 , 끝점

의 벡터

<정의 1.1.2> 양수 에 대하여 순서 -짝(ordered -tuple)이란 개의 실수들의 수열 을 뜻한다.

이러한 순서 -짝들을 모두 모아놓은 집합을 -공간이라

하고 으로 표기한다.

- , , 을 가시공간(visible space)

- , , …를 고차원 공간(higher-dimensional space)

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[예제 3] 고차원 공간 내의 벡터들의 보기

실험데이터 : 실험의 결과 벡터

창고관리 : 관리창고에 있는 트럭의 분포

전기회로 : 입력벡터 를 출력벡터

으로 변환

그래픽 이미지 : 하나의 칼라이미지는 와 같

은 형태로 주어지는 5-짝들의 모임, 와

는 화면의 각 화소의 좌표이고 , ,

는 화소의 색상, 채도, 명도 값

경제 : 전체 경제가 산출하는 원화가치는

역학계 : 좌표가 각각 ,,…,이고 속도가 각각

…

시각 일 때의 상태(state)

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벡터의 상등(equality)

<정의 1.1.3> 의 벡터 과

이 동치(또는 상등)(equivalent, equal)

<정의 1.1.4> 내의 두 벡터 과 과 임의의 스칼라

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<정리 1.1.15> ,,가 의 벡터들, 와 이 스칼라

증명(b) , ,

<정리 1.1.16> 가 내의 벡터이고 가 스칼라이면

셋 또는 그 이상의 벡터들의 합

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평행한 벡터와 동일직선 상의 벡터

<정의 1.1.7> 의 두 벡터가 평행하다(parallel) 또는 동일직선 상에 있다(collinear)란 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라배수인 경우를 뜻한다. 양의 스칼라배수이면 이 두 벡터는 같은 방향, 음의 스칼라배수이면 이들은 반대방향.

일차결합

<정의 1.1.8> 의 벡터 가 벡터 , ,…,의 일차결

합(linear combination)이란

스칼라 , ,…,은 일차결합의 계수(coefficient)

인 경우 : , 가 의 일차결합은 가 의

스칼라배수

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컴퓨터 색상모델로의 응용

- RGB 색상모델(RGB color model)

․ 모든 색벡터들의 집합을 RGB공간 또는 RGB 색정육면

체

․ 색정육면체 내의 각 색벡터 는 ≤ ≤ 인 다음 일

차결합

회색

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벡터의 다른 표기방식

의 벡터의 표기 : 괄호표기(comma-delimited) 형식

행벡터(row-vector) 형식

열벡터(column-vector) 형식

행렬

- 행렬(matrix)을 성분(entry)

․ 행렬이 개의 행과 개의 열 : 크기(size) = ×

․ 한 개의 행, 행벡터(row vector)

․ 한 개의 열, 열벡터(column vector)

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- 연결성 그래프(connectivity graph)/ 그래프

⇐ 꼭지점(vertex)와 변(edge)

- 유향그래프 : 인접성행렬(adjacency matrix)로 표시가능

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1.2 점곱과 직교성

벡터의 길이

- 또는 에서의 벡터 의 길이는 보통

<정의 1.2.1> 가 의 벡터, 의 길이

(length) 또는 놈(norm) 혹은 크기(magnitude)는

[예제 1] 길이의 계산

의 벡터 의 길이

의 벡터 의 길이

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<정리 1.2.2> 가 의 벡터이고 가 임의의 스칼라

단위벡터

- 길이가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)

․ 의 정규화(normalizing)

[예제 2] 벡터의 정규화

와 같은 방향을 갖는 단위벡터

(풀이) 벡터 의 길이는

[개념문제] 단위벡터는 2-공간 또는 3-공간에서 방향을

나타낼 때 사용

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표준단위벡터

- 나 의 직교좌표계에서 좌표축의 양의 방향의 단위

벡터들을 기본단위벡터 (standard unit vectors)

- 에서는

- 의 모든 벡터 는 기본단위벡터들로 표현

- 에서의 기본단위벡터는

- 의 벡터

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내의 점들 간의 거리

- 과 가 또는 상의 점이면 벡터 의 길이

는 두 점간 거리

- 과 가 의 점이라면

<정의 1.2.3> 과 이 의

점이면 이들 와 사이의 거리(distance)를

<정리 1.2.4> 와가 의 점이라면

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점곱

<정의 1.2.5> 와 가 의 벡

터이면 와 의 점곱(dot product) 또는 와 의 Euclid 내적 (Euclidean inner product)은 ⋅

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[예제 3] 점곱의 ISBN에의 응용

국제 표준 서적번호 (International Standard Book

Number) 또는 ISBN이라 하는 10자리 숫자가 부여, 처음

아홉자리는 세 부분으로 나뉘는데, 처음 부분은 책이 기원

된 나라나 나라의 집단, 두 번째 부분은 출판사, 세 번째

부분은 책 제목 자체에 부여, 열 번째 마지막 자리수는 확

인자리수(check digit)

ISBN의 처음 아홉자리수를 의 벡터 라 하고

벡터

확인자리수 는 다음 과정을 통해 계산

①점곱 ⋅를 계산

②⋅를 11로 나누어 그 나머지를 . 는 0보다 크거나

같고 10보다 작거나 같은 수. 를 확인자리수. 이 되

는 경우는 로 표기.

Howard Anton이 저술한 미적분학 개정 6판의 ISBN

∴ 확인자리수는 9

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점곱의 대수적 성질

<정리 1.2.6> 만약 ,,가 의 벡터이고 가 실수

<정리 1.2.7> 만약 ,,가 의 벡터이고 가 스칼라

와 의 벡터의 사이각

- 와 의 사이각(angle)

: 의 라디안 값은 ≤≤

: 에서는 각 는 시계반대방향의 각도

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<정리 1.2.8> 와 가 또는 의 벡터들이고 가 이들 벡터의 사이각이라 하면

[예제 5] 사이각 공식의 응용

정육면체의 대각선과 한변이 이루는 사이각 를 구하라.

(풀이)

는 정육면체의 대각선

벡터 , ,

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[예제 6] 에서 주어진 벡터와 수직인 벡터 구하기

에서 영이 아닌 벡터 와 수직인 영이 아닌 벡터

(풀이)∙

가 수직인 벡터

도 수직인 벡터

의 임의의 스칼라배수도 수직

직교성

<정의 1.2.9> 의 벡터 와 가 직교한다(orthogonal)란

⋅ , 공집합이 아닌 의 벡터들의 집합이 직교집합(orthogonal set)이란 이 집합의 임의의 서로 다른 한쌍의 벡터가 직교

- 가 공집합이 아닌 의 벡터들의 집합이고 가 의

모든 벡터들과 직교한다면 가 와 직교한다

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정규직교집합

<정의 1.2.10> 의 두 벡터 와 가 정규직교(orthonomal)한다란 이들이 직교하고 길이가 1인 경우를 뜻하고, 벡터들의 집합이 정규직교집합(orthonomal set)이란 이 집합의 모든 벡터들의 길이가 1이고 이 집합 속의 서로 다른 임의의 한 쌍의 벡터들이 직교

[예제 10] 의 정규직교집합

다음 벡터들은 에서 정규직교집합

과

에서의 Euclid 기하학

<정리 1.2.11> (Pythagoras 정리) 와 가 의 직교하는 벡터이면

증명

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<정리 1.2.12> (에서의 Cauchy-Schwarz 부등식) 와

가 의 벡터이면

(제곱근을 취해주면) 동치적으로

<정리 1.2.13> (벡터에 관한 삼각부등식) ,,가 의 벡터이면

<정리 1.2.14> (벡터에 관한 평행사변형 등식) ,,가

의 벡터이면

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<정리 1.2.15> (거리의 삼각부등식) ,,가 의 점이라면

[미리보기] 에서의 길이, 사이각, 거리 등은 점곱(또는

Euclid 내적)을 사용하여 표현

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1.3 직선과 평면의 벡터방정식

직선의 벡터방정식과 매개방정식

- 또는 의 직선은 그 위의 한점 와 직선에 평행

한 영이 아닌 벡터

- →

- 를 지나고 와 평행한 직선의 벡터방정식

․ 인 경우

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- 매개방정식(parametric equation)

: 를 점 를 지나고 벡터 에

평행한 직선

- 매개방정식

- 를 점 를 지나고 벡터

에 평행한 직선 상의 일반적인 점

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[예제 1] 직선의 벡터방정식

(a) 상에서 원점을 지나고 벡터 에 평행한 직

선의 벡터 및 매개방정식을 구하여라.

(b) 상에서 점 을 지나고 벡터 에

평행한 직선의 벡터 및 매개방정식을 구하여라.

(c) 항목 (b)에서 구한 벡터방정식을 사용하여 와는 다

른 직선 상의 두 점을 구하여라.

(풀이 a) ,

(풀이 b)

(풀이 c)

을 취해주면 : 점 이면 점 , 이면 점

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두 점을 지나는 직선

- 과 이 또는 의 서로 다른

두 점이라면 이들 점을 지나는 직선

은 벡터 와 평행

- 와 을 지나는 직선의 두 점 벡터방정식(two-point

vector equation)

- 가 구간 ≤ ≤로 제한되었다면 에서 까지의 선

분(line segment)

[예제 2]

상의 점 과 점 을 지나는 직선의 벡터 및

매개방정식을 구하여라.

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평면의 점-법선형 방정식

- 내의 평면은 이 평면 안의 한 점

과 평면에 수직인 벡터 에 의하

여 유일

․ 벡터 을 평면의 법선벡터(normal)

- 벡터 은 과 직교

- 가 을 지나고 를 법선

벡터로 갖는 평면 위의 점

- 평면의 일반적인 방정식(general equation)

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[예제 3] 평면의 점-법선형 방정식 구하기

한 점 을 지나고 법선벡터가 인 평면

의 점-법선형방정식과 일반적인 방정식을 구하여라.

(풀이)

평면의 벡터 및 매개방정식

- 평면 는 내의 한점 와 서로 스칼라배수가 되지

않고 에 평행한 두 벡터 과 에 의하여 유일하게

결정

․

․

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- 을 지나고 과 에 평행한 평면은 다음 방정식으로

표현

․ 을 지나고 과 에 평행한 평면의 벡터방정식

[예제 4] 평면의 벡터 및 매개방정식

(a) 상의 원점을 지나고 벡터 과

와 평행한 평면의 벡터 및 매개방정식을

구하여라.

(b) 항목 (a)에서 구한 평면에 있는 세 점을 구하여라.

(풀이 a) 평면의 벡터방정식은

[예제 5] 세 점을 지나는 평면

평면은 동일직선 상에 있지 않은 세 점으로 유일하게 결

정된다. ,,가 그러한 세 점이라면 벡터 과

은 평면과 평행하게 되어서 (그림을 그려라),

(20)으로 부터 평면의 벡터방정식

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세 점 , , 을 지나는 평면

의 벡터 및 매개방정식을 구하여라.

(풀이) ,,를 각각 점 , ,

[예제 6] 매개방정식으로부터 벡터방정식 구하기

(풀이)

점 을 지나고 벡터 , 과 평행

한 평면의 벡터방정식

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[예제 7] 일반적인 방정식으로 부터 매개방정식 구하기

평면 의 매개방정식을 구하여라.

(풀이)

에서의 직선과 평면

<정의 1.3.1>

(a) 이 의 벡터이고 가 에서 영이 아닌 벡터라

하면 을 지나고 에 평행한 직선

(b) 이 의 벡터이고 과 가 에서 영이 아니고 하나가 다른 하나의 스칼라배수가 아닌 벡터라 하면 을 지나고 과 에 평행한 평면

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[예제 8] 의 직선과 평면의 매개방정식

(a) 의 원점을 지나고 벡터 과 평행한 직선

의 벡터 및 매개방정식

(b) 에서 점 을 지나고 벡터 와

과 평행한 평면의 벡터 및 매개방정식

(풀이 a) 라 놓으면 벡터방정식 는

(풀이 b) 벡터방정식 는

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용어에 대한 설명

vector 가 직선 L에 있다는 의미