บทที่ 7 การวิเคราะหความเคนในระนาบ(Plane Stresses Analysis)

7.1 เกริ่นนํา7.2 การแปรผันของความเคนที่จุด

(Variation of Stresses at point)7.3 วงกลมของมอหร (Mohr’s Circle)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 1

7.1 เกริ่นนํา (Introduction)• ความเคนที่จดุใดๆจะแปรผันไปตามลักษณะระนาบการเอียงของพื้นที่ ดังนั้น ณ จุดใดๆ ความเคนจะเปลี่ยนแปลงตั้งแตคาที่นอยที่สุดไปจนถึงคาที่มากที่สุด • ถาทราบลักษณะการเปลี่ยนแปลงความเคนในรูปแบบทั่วไปแลว ยอมสามารถหาความเคนสูงสุดและต่ําสุด พรอมกับระนาบเอียงที่เกิดขึ้นได ทั้งความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือน

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 2

• สมการความเคนตางๆ เปนการคํานวณหาคาตามทิศทางหลัก เชน ความยาว ในกรณีของความเคนดัดในคาน และในหนาตัด (ตามขวาง) ในกรณขีองความเคนเฉือนจากแรงบิด• ถาหากทําการหมุนอณูความเคนไปจากระนาบเริม่ตน จะพบระนาบที่เกิดความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนทีม่ากที่สุดได

• มี 2 วธิีในการหาความเคนสูงสุด• การวิเคราะหดวยสมการ• การใชวงกลมของมอหร (กราฟฟก)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 3

7.2 การแปรผันของความเคนที่จุด (Variation of stresses at a point)

• ความเคนที่จดุใดๆ เปนคาเฉลี่ย มขีนาดเทากันตลอดพื้นที่เล็กมาก (อณ)ู ที่พจิารณา• ความเคนในระบบ 2 มิติ หรอื ความเคนในระนาบ จะประกอบดวย ความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนในแนวแกนทั้งคูของระนาบนั้น เชน สําหรับระนาบ x-y โดยจะไมมีความเคนใดๆในแนวแกน z

• จากบทที่ 5 ความเคนเฉือนตามขวาง (แกน y) และตามแนวยาว (แกน x) จะมขีนาดเทากัน ดังนั้น

yxxyyx ττσσ ,,,

yxxy ττ =

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 4

• โดยการใชระนาบตัดเปนรูปลิม่ โดยแกน N ซึ่งตั้งฉากกับผิวเอียง ทํามุม กับแนวแกน x

• เมือ่คดิในเชิงสมดุลของแรงโดยให A เปนพื้นที่ของผิวเอียงจะมีผังวัตถุอสิระ (FBD) ดังรูปหรือ เขยีนเปนแรงกระทํารวมจดุดังรูปขวามือ

θ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 5

• สมดุลในแนวแกน N

• สมดุลในแนวแกน T

• ซึ่งจากการที่

และ

จะได (7.1)

และ (7.2)

θθτθθτθθσθθσσ cos)sin(sin)cos(sin)sin(cos)cos( AAAAA yxxyyx −−+=

θθτθθτθθσθθστ sin)sin(cos)cos(cos)sin(sin)cos( AAAAA yxxyyx −+−=

yxxy ττ =

22sincossin,

22cos1sin,

22cos1cos 22 θθθθθθθ =

−=

+=

θτθσσσσ

σ 2sin2cos22 xy

yxyx −−

++

=

θτθσσ

τ 2cos2sin2 xy

yx +−

=

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 6

• จากสมการ (7.1)จะได (7.3)

เปนระนาบซึ่งเกิดความเคนตั้งฉากสูงสุดหรือต่ําสุด ซึ่งจะไดมมุ ออกมา 2 คา หางกัน ดังนั้น ระนาบที่เกิดความเคนตั้งฉากสูงสุดและต่ําสุดจึงหางกัน (เชนเดียวกันกับที่แกน x และ แกน y หางกัน นั่นเอง)• จากสมการ (7.2)

จะได (7.4)

เปนระนาบซึ่งเกิดความเคนเฉือนสงูสุดหรือต่ําสุด ซึ่งจะไดมมุ ออกมา 2 คา หางกัน ดังนั้น ระนาบที่เกิดความเคนตั้งฉากสูงสุดและต่ําสุดจึงหางกัน • จากสมการ (7.2) ถาใหความเคนเฉือนมคีาเทากับศูนย จะไดวา

0=θσ

dd

xy

yx

s τσσ

θ2

2tan−

=

yx

xy

σστ

θ−

−=2

2tan

0=θτ

dd

θ2°180 °90

sθ2°180 °90

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 7yx σσxyτ

θ −=2

2tan

°90

−

• นั่นคือ ระนาบที่เกิดความเคนตั้งฉากสูงสุดและต่ําสุด จะมีความเคนเฉือนเปนศูนย เรียกความเคนตั้งฉากสูงสุดและต่ําสุดนี้วา ความเคนหลัก (Principal stresses) และเรียกระนาบนี้วา ระนาบหลัก (Principal planes)• จากสมการ (7.4) เปนสวนกลับที่มีเครื่องหมายตรงกันขามของสมการ (7.3) แสดงวามมุในสมการจะหางกัน ดังนั้น ระนาบที่เกิดความเคนเฉือนสูงสุดอยูหางจากระนาบหลักออกไป • แทนคาสมการ (7.3) ลงในสมการ (7.1) จะได

(7.5)

แทนคาสมการ (7.4) ลงในสมการ (7.2) จะได

(7.6)

°45°90

( )22

minmax, 22 xy

yxyx τσσσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

( )22

minmax, 2 xy

yx τσσ

τ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±=

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 8

• ความเคนตั้งฉากในระนาบซึ่งมีแกนของระนาบตั้งฉากกับแกน N ไดจากการแทนคามมุ ลงในสมการ (7.1) ซึ่งจะไดวา

(7.1 ก)

• ในทํานองเดียวกัน จะไดความเคนเฉือนเปน

(7.2 ข)

• ซึ่งเมื่อนําสมการ (7.1) และ (7.1 ก) มาบวกกัน จะไดหมายความวา ผลรวมของความเคนตั้งฉากในคูระนาบที่ตั้งฉากกันจะมคีาคงที่เสมอ• สวนการเปรยีบเทียบสมการ (7.2) และ (7.2 ข) นั้น จะไดวา ความเคนเฉือนในระนาบที่ตั้งฉากกันจะมีคาเทากัน หรือ คือ การยืนยันวาความเคนเฉือนตามยาวและตามขวางมีขนาดเทากันนั่นเอง

θτθσσσσ

σ 2sin2cos22 xy

yxyx +−

−+

=′

θτθσσ

τ 2cos2sin2 xy

yx +−

=′

)2180( θ+°

yx σσσσ +=′+

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 9

7.3 วงกลมของมอหร (Mohr’s Circle)• ไมมีความจําเปนที่ตองทองจําสมการ (7.1 – 7.6) แตอยางใด เนื่องจาก ออตโต มอหร วิศวกรชาวเยอรมันไดแปรความหมายสมการมาเปนรูปภาพที่สามารถมองความ สัมพันธตางๆไดอยางชัดเจน เรียกชื่อวา วงกลมของมอหร• โดยการจดัเทอมในสมการ (7.1) ใหม ยกกําลังสองและนํามาบวกกับสมการ (7.2) ยกกําลังสอง จะไดวา

ซึ่งความเคนเริ่มตนทั้ง 3 เปนคาคงที่ จงึเหลือตัวแปรเพียง 2 ตัว คือ และ ดังนั้น จะไดวา

ซึ่ง คือ สมการวงกลม ที่มจีุดศูนยกลางอยูที่

และมีรัศมีของวงกลมเปน

( )22

2

2

22 xy

yxyx τσσ

τσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

( ) 222 RC =+− τσσ τ

ave

yxC σσσ

=+

=2

( )กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 10

2

2

2 xy

yxR τσσ

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

=⎠⎝

กฎสําหรับการประยุกตใชวงกลมของมอหรกับการวิเคราะหความเคนในระนาบ1. แกนของวงกลมมอหร คือ แกน ซึ่งตั้งฉากกัน โดยจะเปนการพล็อตจุด และจุด และมขีอตกลงเรื่องเครื่องหมาย คือ ความเคนตั้งฉากที่เปนความเคนดึงจะมคีาเปน บวก ความเคนกด มีคาเปน ลบ สวนความเคนเฉือน จะเปน บวก ถาหมุนรอบจุดศูนยกลางของอณูในทิศทาง ตามเขม็นาฬิกา

τσ − ( )xyx τσ ,( )yxy τσ ,

xyτ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 11

2. ลากเสนตรงเชื่อมทั้ง 2 จดุเขาดวยกัน เปนเสนผาศูนยกลางของวงกลม จุดทีเ่สนนี้ตัดแกน จะเปนจุดศูนยกลางของวงกลม และสรางวงกลม3. จุดตางๆบนเสนรอบวง จะเปนคาความเคนในระนาบที่เสนตั้งฉากกับระนาบนั้นทํามมุ วัดจากแกน x ในวงกลมมอหร4. มุมในวงกลมมอหรเปน 2 เทาของมมุตามความจริงเสมอ สวนทิศทางการหมุนในวงกลมมอหรจะเหมือนกันกับทิศทางการหมุนของระนาบตามความจริง

จากวงกลมมอหร

σ

θ2

ROC ±=minmax,σ

R=maxτกลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 12

ตัวอยางที่ 7.1อณูหนึ่งมีความเคนหลักเปนใหหา (ก) ความเคนในระนาบที่แกนตั้งฉากกับระนาบนั้นทํามุม และ กับแกน x

(ข) วาดภาพความเคนของอณู ณ ระนาบตามขอ (ก) ดวย

MPaMPa yx 40,80 −=+= σσ°+ 30 °+120

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 13

ตัวอยางที่ 7.1 (ตอ)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 14

ตัวอยางที่ 7.2อณูที่มีคาความเคนเริ่มตนดังรูป ใหหา (ก) ความเคนในระนาบหลกั (ข) ความเคนในระนาบความเคนเฉือนสูงสุด (ค) ความเคนในระนาบที่มีแกนตั้งฉากกับระนาบทํามุม และ กับแกน x°+ 8.126°+ 8.36

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 7 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 15