1

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

1. Αν u μιγαδικός με |u| = κ ≠ 0 τότε ū =

, u =

, u =

2. Αν u μιγαδικός και u3 = 1 ↔u2 + u + 1 = 0 ↔u = -

i

3. |u|2 = u2 ↔ u ϵ R

4. |z| = | | = |-z| = |iz| = |-iz|

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5. Μια γνησίως μονότονη συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα ανοιχτό διάστημα δεν έχει ακρότατα.

6. Αν f συνάρτηση γνησίως αύξουσα τότε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης με

αυτή της f-1 , όταν αυτή ορίζεται, είναι σημεία της y = x

7. Αν f και g γνησίως αύξουσες τότε και η gof είναι γν. αύξουσα.

8. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και f(x1) < f(x2) τότε x1 < x2. (Εις άτοπον απαγωγή)

9. Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα.

10. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε και η f-1 είναι γνησίως αύξουσα.

11. Αν για μια συνάρτηση f, ορισμένη και συνεχή στο [α, β], ισχύει ότι:

f(α)f(β) ≤ 0 τότε έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [α, β].

12. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει: = 0 τότε = 0

13. Αν για δυο συναρτήσειςf και g ορισμένες στο [α, β]ισχύουν ότι:

i. Υπάρχει m ϵ R+ τ.ω. |f(x)| < m για κάθε χ ϵ[α, β]

ii. = 0, γ ϵ[α, β] τότε:

= 0 (Κριτήριο παρεμβολής)

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

14. Η f(x) = |x| έχει f’(x) =

=

(Για χ ≠ 0 Είναι γνωστό ότι η f παραγωγίζεται στο 0)

15. Ισχύει ότι: (εφχ)΄ = 1 + εφ2χ

16. Αν f(x) ≤ g(x), σε μια περιοχή του α, τότε άμεσα από τους ορισμούς έχουμε:

i. = +∞ → = +∞

ii. = -∞ → = -∞

17. Μεταξύ δύο ριζών της παραγωγίσιμης f υπάρχει μια ρίζα της f΄

18. Αν για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει: f΄ = f τότε f(χ) = cex, c ϵ R κάποια σταθερά.

19. Για κάθε χ > 0 ισχύει: lnx ≤ x – 1 ( Το ίσον όταν χ = 1) (σελ 266 παράγωγοι – μονοτονία)

20. Για κάθε χ ισχύει: ex ≥ x + 1( Το ίσον όταν χ = 0) (Από την προηγούμενη για χ = ex)

Bbs

2

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

21. Η συνάρτηση f(x) = xlnx – x είναι μια παράγουσα της lnx.

22. Έστω συνεχής συνάρτηση f: [-α, α] → R

i.

= 2

αν η f είναι άρτια.

ii.

= 0 αν η f είναι περιττή.

23. Αν οι f, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο διάστημα [α,β]και για κάθε χ ισχύει:

f(x) ≥ g(x) τότε:

≥

Bbs