chuyen de gioi han 11

Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011

45

Chöông 4:

GIỚI HẠN

§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giới hạn 0

1.1. Định nghĩa : Dãy số ( )nu được gọi là có giới hạn 0 , nếu 0ε∀ > nhỏ tùy ý luôn luôn 0N∃ sao cho

0n N∀ > ta đều có : nu ε< . Kí hiệu : ( )lim 0nu = hoặc lim 0n

u = hoặc 0n

u →

1.2. Nhận xét :

• lim 0 lim 0n nu u= ⇔ = .

• Nếu ( )nu có *0 ,n

u n= ∀ ∈� thì lim lim0 0n

u = = .

• Cho hai dãy số ( )nu và ( )nv . Nếu *,n nu v n≤ ∀ ∈� và lim 0n

v = thì lim 0n

u = .

• Các dãy số có giới hạn 0:

o 1lim 0

n n→+∞= ; +

→+∞= ∈�

1lim 0 , ( )kn

kn

; ( )→+∞

= <lim 0 , 1n

nq q .

2. Dãy số có giới hạn hữu hạn 2.1. Định nghĩa : Dãy số ( )nu được gọi là có giới hạn hữu hạn là số thực L , nếu ( )lim 0nu L− = .

Kí hiệu : ( )lim nu L= hoặc limn

u L= hoặc n

u L→

2.2. Các định lí cơ bản về giới hạn của dãy số : • Định lí 1: Nếu C là hằng số thì limC C= . • Định lí 2: Giả sử lim

nu L= . Khi đó :

o lim nu L= và 33lim nu L= .

o Nếu *0 ,n

u n≥ ∀ ∈� thì 0L ≥ và lim nu L= .

• Định lí 3: Nếu limn

u L= và limn

v M= ; C là hằng số . Thì :

o ( )lim n nu v L M± = ± ;

o ( )lim n nu v L M⋅ = ⋅ ;

o ( )lim . nC u C L= ⋅ ;

o lim n

n

u L

v M= nếu 0M ≠ .

• Định lí 4: Cho ba dãy số ( )nu ; ( )nv và ( )wn . Nếu wn n n

v u≤ ≤ với mọi n và

( )lim lim ,n nv w L L= = ∈� thì limn

u L= .

• Định lí 5: Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn . Nếu một dãy số giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn .

2.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

= + + + + =−

��2 3 1

1 1 1 1 1u

S u u q u q u qq

nếu ( )1q < .

3. Dãy số có giới hạn vô cực 3.1. Định nghĩa :

• Dãy số ( )nu được gọi là có giới hạn +∞ nếu 0M∀ > lớn tùy ý luôn luôn 0N∃ sao cho 0n N∀ > ta

đều có : n

u M> . Kí hiệu : ( )lim nu = + ∞ hoặc limn

u = + ∞ hoặc n

u → + ∞ .

• Dãy số ( )nu được gọi là có giới hạn −∞ nếu 0M∀ < nhỏ tùy ý luôn luôn 0N∃ sao cho 0n N∀ > ta

đều có : n

u M< . Kí hiệu : ( )lim nu = −∞ hoặc limn

u = −∞ hoặc n

u → −∞ .

3.2. Các quy tắc tính giới hạn vô cực :

toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT

46

• Nếu = + ∞lim nu thì 1lim 0nu

= ;

• Nếu limn

u L= , limn

v = ± ∞ thì lim n

n

u

v= 0 ;

• Nếu limn

u = + ∞ ; lim 0n

v L= ≠ thì ( )+ ∞ >

⋅ = −∞ <

0lim0n n

neáu Lu v

neáu L ;

• Nếu limn

u = −∞ ; lim 0n

v L= ≠ thì ( )−∞ >

⋅ = + ∞ <

0lim0n n

neáu Lu v

neáu L ;

• Nếu lim 0n

u L= ≠ , lim 0n

v = thì lim =n

n

u

v

+ ∞ >

−∞ <

. 0

. 0n

n

neáu L v

neáu L v ;

• lim n = +∞ ; lim ( )kn k += +∞ ∈� ; lim ( 1)nq q= +∞ > .

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : 1. Tìm giới hạn của dãy số theo định nghĩa

1.1. Phương pháp : Để chứng minh dãy số có giới 0 ta có thể thực hiện theo 2 cách sau : • Cách 1 : Áp dụng trực tiếp định nghĩa .

• Cách 2 : Áp dụng định lí : Cho hai dãy số ( )nu và ( )nv . Nếu *,n nu v n≤ ∀ ∈� và lim 0n

v = thì

lim 0n

u = .

• Để tìm giới hạn của dãy số theo định nghĩa ta dựa vào định nghĩa:

Dãy số ( )nu được gọi là có giới hạn hữu hạn là số thực L , nếu : ( )lim 0nu L− = .

1.2. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số ( )nu có giới hạn 0 :

a) ( )1

3 2

n

nu

n

−=

+ ; b)

3

sin 2

2n

n nu

n=

+ ; c)

3 sin 2 4

2 4.5

n n

n n n

nu

+=

+ ; d) 3 32 1

nu n n= + − + .

Ví dụ 2. Áp dụng định nghĩa , tìm các giới hạn sau :

a) 3

3lim

1

n

n

−

+ ; b)

2

2

3 2lim

2

n n

n n

+ +

+ ; c)

3.3 sin 3lim

3

n

n

n −

.

2. Tìm giới hạn hữu hạn của dãy số theo định lí và công thức

2.1. Phương pháp : • Dựa vào các định lí cơ bản về giới hạn hữu hạn của dãy số và một số công thức về giới hạn của một số dãy

số cơ bản , ta sẽ tìm được hầu hết các giới hạn của các dãy số thông thường . • Phương pháp tìm giới hạn của các dãy số thường gặp :

o Dạng 1: Nếu dãy số ( )nu có ( )

( )n

P nu

Q n= (trong đó ( ) ( ),P n Q n là các đa thức của n ) , thì chia tử

và mẫu cho kn với k

n là lũy thừa có số mũ cao nhất của ( )P n và ( )Q n sau đó áp dụng các định lí

về giới hạn hữu hạn .

o Dạng 2: Nếu dãy số ( )nu có n

u là biểu thức chứa n dưới dấu căn , thì đưa kn ra ngoài dấu căn (với

k là số cao nhất của n trong dấu căn) rồi áp dụng các định lí , Nếu gặp dạng (vô định) k

nn u⋅ với

lim 0n

u = , thì phải nhân và chia với biểu thức liên hợp của biểu thức chứa căn tiến về 0 . Cần chú ý

các hằng đẳng thức :

( )( )− + = −a b a b a b ; ( )( )± + = ±∓3 33 3 2 3 2a b a ab b a b

o Dạng 3: Nếu dãy số ( )nu có n

u là một phân thức mà tử và mẫu là các biểu thức của các lũy thừa

có dạng ( ), ,n na b n ∈� � trong đó , ,a b � là các hằng số , thì chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có

cơ số có trị tuyệt đối lớn nhất trong các lũy thừa ở tử và mẫu , rồi áp dụng các định lí .




47

o Dạng 4: Nếu dãy số ( )nu trong đó n

u là một tổng hoặc một tích của n số hạng (hoặc n thừa số) ,

thì phải rút gọn n

u rồi tìm limn

u theo định lí , hoặc dùng nguyên lí kẹp để suy ra limn

u .

o Dạng 5: Nếu dãy số ( )nu trong đó n

u được cho bởi một hệ thức truy hồi , thì ta tìm công thứ tổng

quát của n

u rồi tìm limn

u theo định lí , hoặc chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn sau đó dựa

vào hệ thức truy hồi để suy ra limn

u .


Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau :

a) 2

2

4 2lim

2 1

n n

n n

− + +

+ + ; b) ( )

2

2 2

3 1lim 2 1

2 3 1n

n n n n

+ −

+ + − .


a) 29 2 3

lim4 3

n n n

n

+ −

+ ; b)

54

54

3 4 2lim

2 3

n n

n n

+ −

− .


a) ( )2lim 4 2 2n n n+ − ; b) 3 3lim 2 1 n n n

− + −

.


a) 32 6

4 2

1lim1

n n

n n

+ −

+ −

; b) ( )32 2 3lim 2 3n n n n+ + − + .


a) n

nn

5.37

5.23lim

+

− ; b)

2

21 2 2 ... 2lim1 3 3 ... 3

n

n

+ + + +

+ + + + .


a) 1 1 1lim ...

1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n

+ + +

− + ; b)

− − −

2 2 21 1 1lim 1 1 ... 12 3 n

.


a) + + +

+ + +

�2 2 2

1 1 1lim4 1 4 2 4n n n n

; b) ( )( )

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

�

�

1 3 5 7 2 1lim

2 4 6 2

n

n .

Ví dụ 10. Cho dãy số (un) được xác định bởi: +

=

= + ≥

1

1

11 , ( 1)2n n n

u

u u n

a) Đặt 1n n nv u u

+= − . Tính 1 2 n

v v v+ + +� theo n ;

b) Tính n

u theo n ;

c) Tìm limn

u .

Ví dụ 11. Cho dãy số (un) biết : ( )

1

1

6

6 , 1n n

u

u u n+

=

= + ≥

. Tìm limn

u .

3. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

3.1. Phương pháp : • Dựa theo công thức :

= + + + + =−

��2 3 1

1 1 1 1 1u

S u u q u q u qq

nếu ( )1q < .

• Để biểu diễn một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số , ta biểu diễn số đó thành tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và suy ra kết quả .





48

Ví dụ 12. Tính các tổng sau :

a) 2

1 1 1

3 3 3nS = + + + +� � ; b) 16 8 4 2S = − + − +��

Ví dụ 13. Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: a) 0,353535a = � ; b) 5, 231231b = � .

4. Giới hạn vô cực của dãy số

4.1. Phương pháp : • Dựa theo các quy tắc để tìm giới hạn vô cực của các dãy số :

o Nếu limn

u = + ∞ ; lim 0n

v L= ≠ thì ( )+ ∞ >

⋅ = −∞ <

0lim0n n

neáu Lu v

neáu L ;

o Nếu limn

u = −∞ ; lim 0n

v L= ≠ thì ( )−∞ >

⋅ = + ∞ <

0lim0n n

neáu Lu v

neáu L ;

o Nếu lim 0n

u L= ≠ , lim 0n

v = thì =lim n

n

u

v

+ ∞ >

−∞ <

. 0

. 0n

n

neáu L v

neáu L v .

• Chú ý :

o = + ∞lim n ; lim ( )kn k += +∞ ∈� ; lim ( 1)nq q= +∞ > .



a) 964

2lim

23

45

++

−−+

nn

nnn ; b)

3 6 37 5 8lim

12

n n n

n

− − − +

+ .


a) ( )132lim +−+ nn ; b) ( )( )2

4 2

1 2 3lim

1

n n

n n

+ +

− + .


a) 1 1

( 3) 6lim

( 3) 5

n n

n n+ +

− +

− + ; b) 31

lim 2sin 2 3

3n n

+ +

.

� Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây : • Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. • Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất

của tử và của mẫu. • Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu

cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tìm các giới hạn sau theo định nghĩa :

a) sinlim n

n ; b)

23sin 4coslim

2 1n n

n

−

+;

c) ( )

+

−+

2

12lim

n

n

; d) 2( 1) sin(3 )lim

3 1

n n n

n

− +

− ;

e)

−1

4

3sinlim

n

n ; f)

2 3 2

23sin ( 2)lim

2 3n n

n

+ +

− .

Bài 2. Tìm các giới hạn sau :

a) 75

3342lim

3

23

+−

++−

nn

nnn ; b)

4

2lim

( 1)(2 )( 1)n

n n n+ + + ;



Ñaïi soá lôùp 11 Naêm: 2010 - 2011

TTLT – 1A – Tan Hai 49

c) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 3 4 7lim

3 4 5 1

n n

n n

− +

− + ; d)

( ) ( )

( )4

22

12

271lim

+

+−

n

nn ;

e)

+

−+

+ 15

51

32

2lim

2

2

3

n

n

n

n ; f)

nnn

nn

3

1173lim

45

35

−+

−+−


a) + +

+ +

32 6

4 2

1lim1

n n

n n ; b)

nnn

nn

−+

++

4 3

2 1lim ;

c) 2

lim3 3

+

+

n

nn ; d)

32

232lim

2

4

+−

−+

nn

nn;

e) ( ) ( )

5

52

52 11

limn

nnnn −++−− ; f)

12lim

43

+

++

n

nnn .


a) ( )1213lim −−− nn ; b) 2 2lim 2 n n n + − +

;

c) 2 2

2

4 4 1lim3 1

n n n

n n

− − +

+ −

; d) 3 3lim 2 1 n n n

− + −

;

e) ( )3 3lim 1n n+ − ; f) ( )32 2 3lim 2 3n n n n+ + − + .


a) 1 3lim4 3

n

n

+

+ ; b)

14.3 7lim2.5 7

n n

n n

++

+;

c) 1 2.3 7lim

5 2.7

n n

n n

+ −

+ ; d)

n

nn

5.37

5.23lim

+

− ;

e) 1

1 2.3 6lim2 (3 5)

n n

n n+

− +

− ; f)

2

2

2 2 21 ...

3 3 3lim

1 1 11 ...

5 5 5

n

n

+ + + +

+ + + +

.


a) 2

...21lim

n

n+++ ; b) 2

. 1 3 ... (2 1)lim

2 1

n n

n n

+ + + −

+ + ;

c) ( )22 2

3

1 3 ... 2 1lim

n

n

+ + + + ; d)

++++

)22(2

1...

6.4

1

4.2

1lim

nn;

e) Cho = + + ++ + + + +

�1 1 1

1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1)nun n n n

.

Tìm limn

u .

f) ( )

( )

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

�

�

2 4 6 8 2lim

3 5 7 2 1

n

n ; g)

12

cos4sin3lim

+

+

n

nn .

Bài 7. Cho dãy số (un) được xác định bởi: + +

= =

= + ≥

1 2

2 1

0; 12 , ( 1)n n n

u u

u u u n

a) Chứng minh rằng: +

− +11 12n nu u , ∀n ≥ 1.

b) Đặt 2

3n nv u= − . Tính

nv theo n . Từ đó tìm lim

nu .




50

Bài 8. Tìm limn

u biết :

a) ( )

1

*1

3

1

2n

n

u

uu n

+

= +

= ∈�

; b) ( )( )

1

1

1

: 2 3, 1

2n n

n

n

u

u uu n

u+

=

+= ≥ +

.

Bài 9. Tính các tổng sau :

a) 1 1

5 5 155

S = − + − + +� ; b) 2 3

3 3 3

4 4 4S

= + + +

� .

Bài 10. Tìm công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn . Biết tổng của nó là 64 và 3 6u = .

Bài 11. Cho cấp số nhân ( )nu lùi vô hạn có tổng là 12 , hiệu số hạng đầu và số hàng thứ hai là 3

4 và số hạng đầu

tiên là số dương . Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó . Bài 12. Biểu diễn dưới dạng phân số , các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau :

a) 0,467467467x = � b) 3,123412341234y = − �


a) 4 2

3 22 3lim3 2 1n n

n n

+ −

− + ; b) ( )1173lim 3

+− nn ;

c) 3 321lim nn −+ ; d) 12

1lim

+−+ nn ;

e) ( )nnn ++− 3lim 2 ; f) + +

+

+

1 24 8lim5 6

n n

n n ;

g) ( )3 3 2lim 3 3n n n n− − ; h) 4 61 4 2

limn n

n n

+ +−

;

i) ( )2lim 2cos3 2n n− + ; k) 2

2

2 3lim

3 4

n

n n

+

+ +.

��





§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm

1.1. Giới hạn hữu hạn : Cho ( )0 ;x a b∈ , ( )f x là hàm số xác định trên tập hợp: ( ) { }0; \D a b x= , nếu với

mọi dãy số ( )nx với ( ) { }0; \nx a b x∈ sao cho 0limn

x x= , ta đều có : ( )lim nf x L= , thì lúc đó ta nói

hàm số ( )f x có giới hạn là L khi dần đến 0x và được kí hiệu : ( )0

limx x

f x L→

= .

••• Chú ý : 0

0limx x

x x→

= ; →

=0

limx x

C C , (C : hằng số).

1.2. Giới hạn vô cực : Cho ( )0 ;x a b∈ , ( )f x là hàm số xác định trên tập hợp: ( ) { }0; \D a b x= ,

••• Nếu với mọi dãy số ( )nx với ( ) { }0; \nx a b x∈ sao cho 0limn

x x= , ta đều có : ( )lim nf x = + ∞ thì ta

nói ( )→

= + ∞0

limx x

f x .

••• Nếu với mọi dãy số ( )nx với ( ) { }0; \nx a b x∈ sao cho 0limn

x x= , ta đều có : ( )lim nf x = −∞ thì ta

nói ( )→

= −∞0

limx x

f x .

2. Giới hạn của hàm số tại vô cực 2.1. Các định nghĩa :

••• Cho ( )f x là hàm số xác định trên ( );a + ∞ , nếu với mọi dãy số ( )nx với ( );nx a∈ + ∞ và

limn

x = + ∞ , ta đều có : ( )lim nf x L= thì ta nói ( )→+∞

=limx

f x L .

••• Các giới hạn : ( )→+∞

= + ∞limx

f x ; ( )→+∞

= −∞limx

f x ; ( )→−∞

=limx

f x L ;

( )→−∞

= + ∞limx

f x ; ( )→−∞

= −∞limx

f x được định nghĩa hoàn toàn tương tự .

2.2. Các giới hạn đặc biệt :

••• lim k

xx

→+∞= +∞ ; lim k

x

neáu k chaünx

neáu k leû→−∞

+∞=

−∞

••• →±∞

=limx

C C , (C là hằng số) ; →±∞

=lim 0kx

C

x .

3. Một số định lí về giới hạn 3.1. Định lí 1 : Nếu

( )→

→±∞

=0

lim ( )x xx

f x L và

( )→

→±∞

=0

lim ( )x xx

g x M thì :

•••

( )

[ ]→

→±∞

+ = +0

lim ( ) ( )x xx

f x g x L M ;

( )

[ ]→

→±∞

− = −0

lim ( ) ( )x xx

f x g x L M

•••

( )

[ ]→

→±∞

=0

lim ( ). ( ) .x xx

f x g x L M ;

( )

[ ]→

→±∞

= ⋅0

lim . ( )x xx

C f x C L ; →

= ⋅0

0lim . k k

x xC x C x , (C là hằng số , k

+∈� ).

•••

( )→

→±∞

=0

lim( )( )

x xx

f x L

g x M (nếu M ≠ 0) .

3.2. Định lí 2 : Giả sử

( )→

→±∞

=0

lim ( )x xx

f x L

•••

( )→

→±∞

=0

lim ( )x xx

f x L ;

( )→

→±∞

=0

33lim ( )x xx

f x L ;





••• Nếu ( ) ( ) { } ( )0 0 00 , ; \ , 0f x x x x xε ε ε≥ ∀ ∈ − + > và 0

lim ( )x x

f x L→

= thì 0L ≥ và

0

lim ( )x x

f x L→

= .

3.3. Định lí 3 : Cho 3 hàm số ( ) ( ) ( ), ,f x g x h x xác định trên tập : ( ) { } ( )0 0 0; \ , 0D x x xε ε ε= − + >

Nếu ( ) ( ) ( ) ,g x f x h x x D≤ ≤ ∀ ∈ và → →

= =0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

g x h x L thì : →

=0

lim ( )x x

f x L .

••• Từ đó ta chứng minh được : ( )

( )( )

→ → →= ⇒ = =

0 00

sinsinlim 1 lim 1 khi lim 0x x x x x

u xxu x

x u x.

4. Giới hạn một bên 4.1. Các định nghĩa :

••• Giới hạn bên phải : Giả sử ( )f x là hàm số xác định trên khoảng ( )0 ;x b , nếu với mọi dãy số ( )nx với

0nx x> và 0lim

nx x= , ta đều có : ( )lim nf x L= , thì lúc đó ta nói hàm số ( )f x có giới hạn bên phải

là số thực L khi dần đến 0x và được kí hiệu : ( )0

limx x

f x L+

→

= .

••• Giới hạn bên trái : Giả sử ( )f x là hàm số xác định trên khoảng ( )0;a x , nếu với mọi dãy số ( )nx với

0nx x< và 0lim

nx x= , ta đều có : ( )lim nf x L= , thì lúc đó ta nói hàm số ( )f x có giới hạn bên trái là

số thực L khi dần đến 0x và được kí hiệu : ( )0

limx x

f x L−

→

= .

••• Giới hạn vô cực : Giả sử ( )f x là hàm số xác định trên khoảng ( )0 ;x b , nếu với mọi dãy số ( )nx với

0nx x> và 0lim

nx x= , ta đều có : ( )lim nf x = + ∞ , thì lúc đó ta nói hàm số ( )f x có giới hạn bên

phải là vô cực khi dần đến 0x và được kí hiệu : ( )0

limx x

f x+

→

= + ∞ .

Các định nghĩa : ( )0

limx x

f x+

→

= −∞ , ( )0

limx x

f x−

→

= + ∞ , ( )0

limx x

f x−

→

= − ∞ được phát biểu tương tự trên .

4.2. Định lí : ( ) ( ) ( )0 0 0

lim lim limx x x x x x

f x L f x f x L+ −→ → →

= ⇔ = =

( ) ( ) ( )0 0 0


f x f x f x+ −→ → →

= + ∞ ⇔ = = + ∞

( ) ( ) ( )0 0 0


f x f x f x+ −→ → →

= −∞ ⇔ = = −∞ .

5. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực :

••• Nếu →

= + ∞0

lim ( )x x

f x thì ( )→

=0

1lim 0x x f x

;

••• Nếu 0

lim ( )x x

f x L→

= ≠ 0 và →

= ± ∞0

lim ( )x x

g x thì:→

→→

+∞

⋅ = −∞

0

00

neáu vaø cuøngdaáu

neáu vaø traùi daáu

lim ( )lim ( ) ( )

lim ( )x x

x xx x

L g x

f x g xL g x

;

••• Nếu 0

lim ( )x x

f x L→

= ≠ 0 và →

=0

lim ( ) 0x x

g x thì:→

+ ∞ >=

− ∞ <0

neáuneáu

( ) . ( ) 0lim. ( ) 0( )x x

f x L g xL g xg x

.

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : 1. Tìm giới hạn của hàm số

1.1. Phương pháp : ••• Dựa theo các định nghĩa về giới hạn của hàm số ( giới hạn hữu hạn , giới hạn vô cực …) . ••• Dựa vào các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số , các quy tắc tìm giới hạn vô cực … ••• Chú ý :

Để chứng minh một hàm số không có giới hạn khi 0x x→ (hoặc x → ± ∞ ) , ta chọn hai dãy số ( ) ( ), 'n nx x

cùng thuộc tập xác định của hàm số sao cho 0 0, 'n n

x x x x≠ ≠ và ( ) ( ) 0lim lim 'n nx x x= = rồi chứng

minh ( ) ( )lim lim 'n nf x f x≠ , hoặc chứng minh một trong hai giới hạn trên không tồn tại .






Ví dụ 1. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau :

a) →−

− −

+

2

1

3 4lim1x

x x

x ; b)

( )→

−

−

2

21

4lim1x

x

x ;

c) →− ∞

− +

2lim 9 2x

x x ; d) ( )→

−−

22lim 2 sin

4x

xx

x .

Ví dụ 2. Chứng minh các giới hạn sau không tồn tại :

a) →− +1

3lim sin1x x

; b) ( )→−∞

+lim cos 2 1x

x


a) ( )→−

− +2

1lim 3 2 1x

x x ; b) ( )( )

→

− +

+

3

22

3 1lim

3x

x x x

x .


a) 6

lim3

2

3 −−→ xx

x

x ; b) 3

2

4

2 2

232lim

+−

++

−→ xx

xx

x .


a) 2

22

3 2lim

4x

x x

x→

− +

− ; b)

3

2 3

3 1lim

2x

x x

x x→−∞

− +

− .


a) 3 2

1lim

4x

xx

x x→+∞

−

+ ; b)

2

3 1lim

9 2 1x

x

x x→−∞

−

+ − .


a) +

→

− + −

−

2

1

1 3 2lim1x

x x

x; b)

→

− +

−

2

3

4 3lim3x

x x

x .

Ví dụ 8. Cho hàm số :

− +>

−= − ≤

2

2khi

khi

3 2 11( )

12

x xx

xf xx

x

. Tìm các giới hạn sau :

a) ( )−

→1limx

f x ; b) ( )+

→1limx

f x ; c) ( )→1

limx

f x , (nếu có) .


a) 2

15lim2x

x

x+→

−

− ; b)

−→

+ −

−

2

3

1 3 2lim3x

x x

x .

( )+


a) → −

− +

+

2

2

3 1lim2x

x x

x ; b)

( )( )→+∞

− + −

− +

2 1 3 2lim

4 2x

x x x

x x .

2. Các dạng vô định

2.1. Dạng 0

0 : Nếu

( ) ( )→ →

→±∞ →±∞

= =0 0

lim ( ) 0 ; lim ( ) 0x x x xx x

f x g x thì

( )( )→

→±∞0

( )limx xx

f x

g xđược gọi là có dạng vô định

0

0. Để

tính được các giới hạn dạng này ta phải khử dạng vô định , có một số loại thường gặp và cách khử dạng vô định của chúng như sau :

• Nếu biểu thức dưới dấu giới hạn có dạng : ( )

( )

P x

Q x trong đó ( ) ,P x ( )Q x là hai đa thức của x .





Để khử dạng vô định ta biến đổi ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

0 1

0 1

m

n

P x x x P x

Q x x x Q x

− ⋅=

− ⋅ rồi giản ước các thừa số có dạng

( ) ( )0 ; max ,k

x x k m n− = .

• Nếu biểu thức dưới dấu giới hạn có chứa dấu căn : ta nhân và chia với biểu thức liên hợp của biểu thức chứa căn tiến về 0, rồi làm tương tự như dạng trên ta sẽ khử được dạng vô định .

2.2. Dạng ∞

∞ :

Nếu

( ) ( )→ →

→±∞ →±∞

= ± ∞ = ± ∞0 0

lim ( ) ; lim ( )x x x xx x

f x g x thì

( )→

→±∞0

( )lim( )x x

x

f x

g xđược gọi là có dạng vô định

∞

∞.

Chia tử và mẫu cho kx với k

x là lũy thừa có số mũ lớn nhất của tử và mẫu , (hoặc rút kx làm nhân tử ) sau

đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn hoặc các quy tắc về giới hạn vô cực .

2.3. Dạng 000×××∞∞∞ ; ∞∞∞ −−− ∞∞∞ : Nếu

( ) ( )→ →

→±∞ →±∞

= = ± ∞0 0

lim ( ) 0 ; lim ( )x x x xx x

f x g x thì

( )→

→±∞

0

lim ( ). ( )x xx

f x g x được gọi là có

dạng vô định 0×∞ .

Nếu

( ) ( )→ →

→±∞ →±∞

= + ∞ = + ∞0 0

lim ( ) ; lim ( )x x x xx x

f x g x thì

( )→

→±∞

− 0

lim ( ) ( )x xx

f x g x được gọi là có dạng vô định

∞ − ∞ . Khi gặp hai dạng này thì ta tìm các đưa về một trong hai dạng đầu . 2.4. Chú ý :

Để tìm giới hạn của hàm khi 0x x→ (hoặc x → ± ∞ ) , thì trước hết ta phải xét xem có gặp phải dạng vô

định hay không ? Nếu không gặp phải dạng vô định thì ta có ngay kết quả . Nếu gặp phải dạng vô định thì vận dụng các phương pháp nêu trên để khử dạng vô định .



a) 253

103lim

2

2

2 −−

−+

→ xx

xx

x ; b)

6

293lim

3

23

2 −−

−−+

→ xx

xxx

x .


a) →

+ + + −

−

�2

1lim

1

n

x

x x x n

x ; b)

21 )1(

1lim

−

−+−

→ x

nnxxn

x .


a) 22

4 1 3lim4x

x

x→

+ −

− ; b)

2

2 2lim7 3x

x

x→

+ −

+ − .


a) x

x

x

141lim

3

0

−+

→; b)

23

2423lim

2

3 23

1 +−

−−−−

→ xx

xxx

x .


a) 23

1lim

2

3

1 −+

+

−→ x

x

x ; b)

1

75lim

2

3 23

1 −

+−−

→ x

xx

x .


a) 3

2 3

3 1lim

2 6 6x

x x

x x→+∞

+ +

− − ; b)

( ) ( )

( )

20 30

50

2 3 3 2lim

2 1x

x x

x→−∞

− +

+ .


a) 2

2(2 1) 3lim

5x

x x

x x→−∞

− −

− ; b)

2

2

4 2 1 2lim9 3 2x

x x x

x x x→±∞

− + + −

− +






a) +

→

−

− + − + 2 22

1 1lim3 2 5 6x x x x x

; b) 2lim 2 1 4 4 3x

x x x→+∞

− − − −

.


a) 32 3lim 1 1

xx x

→+∞

+ − −

; b) ( )3 3 2lim 3 1 2

xx x

→−∞− + + .


a) +

→

−−

22lim ( 2)

4x

xx

x ; b)

→+∞

+ −

− +

21 8 3lim4 2 4x

x x

x x.

3. Giới hạn hàm lượng giác

3.1. Phương pháp : Dùng các công thức lượng giác biến đổi giới hạn đã cho thành tích và ước lược các thừa số

tiến tới 0 để khử dạng vô định 0

0 hoặc thành dạng có thể áp dụng được các công thức sau :

• →

=0

sinlim 1x

x

x hoặc

( )( )

( )→ →

= =0 0

khisin

lim 1 lim 0x x x x

u xu x

u x

3.2. Chú ý : Ta có thể chứng minh được :

• →

=0

lim 1sinx

x

x ;

→ →= =

0 0

tanlim lim 1tanx x

x x

x x .

• →

=0

0lim sin sinx x

x x ;→

=0

0lim cos cosx x

x x ; π

π→

= ≠ +

00 0lim tan tan ,

2x xx x x k

( )π→

= ≠0

0 0lim cot cot ,x x

x x x k .



a) x

x

x

5sinlim

0→ ; b)

20

cos1lim

x

x

x

−

→

.


a) 0

cos5 cos3lim

.sin 2x

x x

x x→

− ; b)

20

1 cos .cos2 .cos3limx

x x x

x→

− .


a)

−

→

xxx 4

tan.2tanlim4

π

π ; b)

x

x

x sin21

4sin

lim4

−

−

→

π

π .


a) )1tan(

23lim

1 −

−+

→ x

xx

x; b)

x

xx

x sin

112lim

3 2

0

+−+

→ .

C. BÀI TẬP Bài 1. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau :

a) ( )→−

− +2

1lim 2 3 2x

x x ; b)

( )→

− −

−

2

23

3 4lim3x

x x

x ;

c) →+ ∞

+ − +

2 2lim 1 9 2x

x x x ; d) ( )→

−−

21lim 1 cos

1x

xx

x .

Bài 2. Chứng minh các dãy số sau không có giới hạn:





a) ( )→+ ∞

+lim cos 3 1x

x ; b)→

+

−1

2lim sin1x

x

x ;

c) ( ) ( )( )( )→

+ − ≥=

+ <

2

2khi

2 1 1lim

3 5 1x

x x xf x f x

x x .


a) 2 3

0

1lim1x

x x x

x→

+ + +

+ ; b)

41

1lim3x

x

x x→−

−

+ −

c) 2

1

2 3lim1x

x x

x→

− +

+ ; d)

3 2

2

3 4 3 2lim1x

x x

x→

− − −

+

e)

2

sin4lim

x

x

x→

−

π

π

; f) ( )→

+2

0lim 1 cos3x

x x .


a) 5

152lim

2

5 +

−+

−→ x

xx

x ; b)

2012

65lim

2

2

4 +−

+−

−→ xx

xx

x ;

c) 6

23lim

2

23

2 −−

++

−→ xx

xxx

x ; d)

32

1lim

2

4

1 −+

−

→ xx

x

x ;

e) 1

1lim1

m

nx

x

x→

−

− ; f)

2

1

)(

)(lim

ax

axnaaxnnn

ax −

−−−−

→ .


a) 2

0

1 1limx

x

x→

+ − ; b)

( )

x

xxx

x

+−+−

→

121lim

2

0 ;

c) →

+ −

+ −

2

0 2

4 2lim9 3x

x

x; d)

2

583lim

3

2 −

+−

→ x

xx

x ;

e) 0

1 4 . 1 6 1limx

x x

x→

+ + −; f)

0

9 16 7limx

x x

x→

+ + + − ;

g) →

+ + + + − +

−

2 2 2

21

3 2 4 19 3 46lim1x

x x x x

x .


a) 11

lim30 −+→ x

x

x ; b)

→

−

+ −

3

31

1lim4 4 2x

x

x ;

c) x

axa

x

33

0lim

−+

→ ; d)

1

1lim

4

3

1 −

−

→ x

x

x ;

e) x

xn

x

11lim

0

−+

→; f)

0

1 2 1lim

1 3 1

n

mx

x

x→

+ −

+ − .


a) x

xx

x

3

0

812lim

−−−

→; b)

3

0

2 1 8limx

x x

x→

+ − − ;

c) 23

2423lim

2

23

1 +−

−−−−

→ xx

xxx

x; d)

3

22

8 11 7lim2 5 2x

x x

x x→

+ − +

− + ;

e)3 3

21

3 4 24 2 8 2 3lim

4x

x x x

x→

− + + − −

− .






a) 2

3

1 3 2lim3x

x x

x+→

+ −

− ; b)

2

2

4lim2x

x

x+→

−

− ;

c) 22

2lim2 5 2x

x

x x+→

−

− +; d)

22

2lim2 5 2x

x

x x−→

−

− +;

e) 2

4463lim

2

2 −

+−+−

→ x

xxx

x; f)

320 4

2lim

xx

x

x+

→ .

Bài 9. Tìm giới hạn của các hàm số sau , tại các điểm đã chỉ ra :

a)

29 3( ) 331 3

xkhi xf x taïi xx

x khi x

− <= = − − ≥

;

b) 31 1 01 1( ) 0

3 02

xkhi x

xf x taïi x

khi x

+ −>

+ −= =

≤

;

c) ( )

( )

( )

( )

21(2 3) , 1

56 5 , 1 3

3 , 3

x x

f x x x

x x

+ ≤

= − < <

− ≥

. Tìm )(lim1

xfx→

; )(lim3

xfx→

;

d) ( ) 3

2 2

khi

khi

1 31

1 1

2 1 1

xf x x x

m x mx x

− >

= − − − + ≤

, tại 0 1x = ;

e) Cho 2 5 6 ; 2

( )4 ; 2

x x xf x

mx x

− + >=

+ ≤

. Tìm m để ( )f x có giới hạn tại 2x = .


a) 2

21lim

2 1x

x

x x→+∞

+

− + ; b)

→−∞

+

− +

2

3 22 1lim

3 2x

x

x x ;

c) 2

2(2 1) 3lim

5x

x x

x x→−∞

− −

−; d)

2 5 2lim2 1x

x x

x→−∞

− +

+ ;

e) 2

2

2 3lim4 1 2x

x x x

x x→+∞

+ +

+ − +

; f) 2

1lim1x

x x

x x→+∞

+

+ +

g) 2

2

4 2 1 2lim9 3 2x

x x x

x x x→±∞

− + + −

− +

; h) 2

2

2 3 4 1lim4 1 2x

x x x

x x→±∞

+ + + +

+ + −

.


a) ( )21lim 22−−+

+∞→xxx

x

; b)

−++

+∞→xxxx

x3333lim ;

c) ( )3 3 2lim 6x

x x x→± ∞

+ − ; d) ( )3 3 2lim 3 1 2x

x x→−∞

− + + ;

e) ( )xxxx

+−−++∞→

122lim ; f) ( )xxxxxx

++−++∞→

22 22lim ;

g) ( )32 3 2lim 2 4 3 3 7 3x

x x x x x→+∞

− + − − + .






a) x

x

x 3

2tanlim

0→

; b) 30 45

sin.3sin.5sinlim

x

xxx

x→ ;

c) ax

ax

ax −

−

→

sinsinlim ; d)

xx

x

x sin

cos1lim

3

0

−

→

;

e) 20

1 coslimx

ax

x→

−; f)

20

1 cos .cos 2 . .coslimx

x x nx

x→

− � ;

g) ( )2

tan1lim1

xx

x

π−

→; h)

x

x

x −→ 12

coslim

1

π

;

i) x

xx

x 4

cossinlim

4+

+

−→ ππ ; k)

( )

x

x

x sin21

sinlim 6

6−

−

→

π

π ;

l) 30

sin1tan1lim

x

xx

x

+−+

→

; m)

2

cos3 1 sin 3lim

1 sinx

x x

xπ→

+ −

− ;

n) 32 2

0

2 1 4 1lim

1 cosx

x x

x→

+ − +

− ; o) 3sin 2cos

lim1x

x x

x x→+∞

+

+ + .





§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Các khái niệm về hàm số liên tục

1.1. Hàm số liên tục tại một điểm : Hàm số ( )y f x= liên tục tại 0x khi và chỉ khi 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x→

= .

1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng : Hàm số ( )y f x= liên tục trên khoảng ( );a b khi nó liên tục tại

mọi điểm thuộc khoảng đó.

1.3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a ; b]: Hàm số ( )y f x= liên tục trên [ ];a b khi nó liên tục trên

khoảng ( );a b và +

−

→

→

=

=

lim ( ) ( )

lim ( ) ( )x a

x b

f x f a

f x f b .

2. Các tính chất của hàm số liên tục 2.1. Định lí 1 :

••• Hàm số đa thức liên tục trên � . ••• Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

2.2. Định lí 2 : Giả sử ( ) ( ),y f x y g x= = liên tục tại điểm 0x . Khi đó:

• Các hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,y f x g x y f x g x y f x g x= + = − = ⋅ liên tục tại 0x .

• Hàm số =( )( )f x

yg x

liên tục tại 0x nếu ( )0 0g x ≠ .

2.3. Định lí 3 : Nếu ( )y f x= liên tục trên [ ];a b . Đặt

=;

min ( )a b

m f x ,

=;

max ( )a b

M f x . Khi đó với mọi

( );C m M∈ luôn tồn tại ít nhất một số ( );c a b∈ sao cho ( )f c C= .

••• Hệ quả 1: Nếu ( )y f x= liên tục trên [ ];a b và ( ) ( ) 0f a f b⋅ < thì tồn tại ít nhất một số ( );c a b∈

sao cho ( ) 0f c = .

�� Nói cách khác: Nếu ( )y f x= liên tục trên [ ];a b và ( ) ( ) 0f a f b⋅ < thì phương trình ( ) 0f x = có

ít nhất một nghiệm ( );c a b∈ .

••• Hệ quả 2: Nếu ( )y f x= liên tục trên [ ];a b và ( ) ( )0, ;f x x a b≠ ∀ ∈ thì ( )f x không đổi dấu

trên ( );a b .

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

1.1. Phương pháp : Để xét tính liên tục của hàm số ( )y f x= tại điểm 0x ta thực hiện các bước:

••• Tính ( )0f x .

••• Tính 0

lim ( )x x

f x→

(trong nhiều trường hợp để tính 0

lim ( )x x

f x→

ta cần tính 0

lim ( )x x

f x+

→

và 0

lim ( )x x

f x−

→

) .

••• So sánh 0

lim ( )x x

f x→

với ( )0f x và rút ra kết luận .


Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số tại các điểm đã chỉ ra :

a) − ≠

= = +− =

khi taïikhi

3 1( ) , 111 1

xxf x xxx

; b)

−>

= = − − − + ≤

2

khitaïi

khi

5 5( ) , 52 1 3

( 5) 3 5

xx

f x xx

x x

.

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số liên tục tại điểm đã chỉ ra : − + − ≠= = − + =

3 2khi taïikhi

2 2 1( ) 113 1

x x xxf x xx

x m x

.





2. Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng , đoạn

2.1. Phương pháp :

••• Để xét tính liên tục của hàm số ( )y f x= trên một khoảng đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số liên tục

trên khoảng , đoạn và các định lí 1 , 2 để suy ra kết luận .

••• Cần biết thêm ( )f x liên tục trên [ );a b khi nó liên tục trên khoảng ( );a b và +

→

=lim ( ) ( )x a

f x f a .

( )f x liên tục trên ( ];a b khi nó liên tục trên khoảng ( );a b và −

→

=lim ( ) ( )x b

f x f b .


Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó :

−≠

= −

=

2 khi

khi

2 2( ) 22 2 2

xx

f x x

x

.

Ví dụ 4. Tìm m để hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó :

+ <= = + >

2 khikhikhi

1( ) 2 1

1 1

x x xf x x

mx x .

Ví dụ 5. Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau :

a) ( )2

2

3 4 5

4 3

x xf x

x x

− +=

− + ; b)

− ≤=

+ >

khikhi

1 cos 0( )1 0x x

f xx x

.

3. Chứng minh phương trình có nghiệm


••• Biến đổi phương trình thành dạng : ( ) 0f x =

••• Tìm ra hai số ,a b sao cho ( )⋅ <( ) 0f a f b .

••• Chứng minh ( )f x liên tục trên [ ];a b từ đó suy ra =( ) 0f x có nghiệm .

�� Chú ý :

o Nếu ( )⋅ ≤( ) 0f a f b thì phương trình có nghiệm thuộc [ ];a b .

o Nếu ( )f x liên tục trên [ );a + ∞ và ( )→+∞

⋅ <( ) lim 0x

f a f b thì phương trình =( ) 0f x có

nghiệm thuộc ( );a + ∞ .

o Nếu ( )f x liên tục trên [ ); b−∞ và ( )→−∞

⋅ <lim ( ) 0x

f x f b thì phương trình =( ) 0f x có

nghiệm thuộc ( ); b−∞ .

o Để chứng minh =( ) 0f x có ít nhất n nghiệm trên [ ];a b , ta chia đoạn [ ];a b thành n đoạn

nhỏ rời nhau , rồi chứng minh trên mỗi khoảng đó phương trình có ít nhất một nghiệm .


Ví dụ 6. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm::

a) 5 3 3 0x x− + = ; b) + − + + =4 3 23 1 0x x x x .

Ví dụ 7. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm::

a) 2 3 2(1 )( 1) 3 0m x x x− + + − − = ; b) (2cos 2) 2sin5 1m x x− = + .

Ví dụ 8. Chứng minh rằng phương trình: 5 35 4 1 0x x x− + − = (1) có đúng 5 nghiệm trên ( )2 ; 2− .

Ví dụ 9. Tìm m để phương trình : ( ) ( )3 23 2 2 3 0 1x x m x m− + − + − = có 3 nghiệm phân biệt 1 2 3, ,x x x sao

cho 1 2 31x x x< − < < .

Ví dụ 10. Chứng minh phương trình 4 3 0x x− − = luôn có ít nhất một nghiệm 0x thỏa mãn điều kiện : 70 48x >





4. Xét dấu một biểu thức


Ta áp dụng hệ quả : Nếu ( )y f x= liên tục trên[ ];a b và ( ) 0,f x ≠ ( );x a b∀ ∈ thì ( )f x không đổi

dấu trên ( );a b để xét dấu biểu thức ( )f x trên miền D theo các bước sau :

••• Tìm các điểm gián đoạn của ( )f x trên D .

••• Tìm tất cả các số ( ), 1,i

x D i n∈ = sao cho ( ) 0if x = .

••• Chia miền D thành những khoảng nhỏ bởi các điểm gián đoạn của ( )f x và các điểm ( ), 1,i

x D i n∈ =

vừa tìm ở bước 2 .

••• Trên mỗi khoảng nhỏ đó lấy một số m tùy ý , tính ( )f m , dấu của ( )f x trên khoảng đó chính là dấu của

( )f m . Từ đó suy ra được dấu của ( )f x trên miền D .


Ví dụ 11. Xét dấu các biểu thức sau :

a) ( ) = − − + −4 3 22 7 5 28 12f x x x x x ; b) ( ) = − + −

2 23 9g x x x .

Ví dụ 12. Giải các bất phương trình sau:

a) ( )− − ≥ −2 23 4 9x x x ; b) ( )( )1 4 1 4 5x x x x+ + − + + − ≥ .

� Chú ý : Dựa vào phương pháp này ta có thể chuyển việc giải một bất phương trình ( ) 0f x > (thường là phải

lập luận phức tạp) về giải việc giải một phương trình ( ) 0f x = (có cách giải đơn giản hơn) , sau đó xét dấu

( )f x và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình .

C. BÀI TẬP Bài 13. Xét tính liên tục của các hàm số sau , tại các điểm đã được chỉ ra:

a)

+ − ≠

= = − =

2

2khi taïi

khi

2 3 1( ) , 112 1

x xxf x x

xx

; b)

− + − ≠

= = − + =

2 3

2khi taïi

khi

2 7 5 2( ) , 23 22 2

x x xxf x x

x xx

c)

+ −≠ −= =

=

khitaïi

khi

3 2 11( ) , 1

1 14

xx

xf x x

x

; d)

−>

= = − − − + ≤

2

khitaïi

khi

5 5( ) , 52 1 3

( 5) 3 5

xx

f x xx

x x

;

e)

+ − −>

− += = = +

<

3khi

khi taïi

khi

3 1 1 12 2 6

3( ) 1 , 12

1 12

x xx

x

f x x x

xx

; f)

−<

= = + ≥

2khi

taïikhi

1 cos 0( ) , 0

1 02

xx

xf x x

x x

.

Bài 14. Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:

a) − + − ≠= = − + =

3 2khi taïikhi

2 2 1( ) , 113 1

x x xxf x xx

x m x

; b)

= − −

= ≠ ≠−

=

2khi

khi

khi

06( ) 0, 3

( 3)3

m x

x xf x x x

x xn x





= =taïi vaø0 3x x .

c)

+ <= − > = + =

2 khikhi taïikhi

1( ) 2 3 1 , 1

2 1

x n xf x mx x x

m x ; d)

+ + − ≠= = −

+ =

3 2khi taïi

khi

2 9 2 9 3( ) , 32 63 3

x xxf x x

xx m x

.

Bài 15. Xét tính liên tục của các hàm số sau :

a) + − ≥ −=

− < −

2 khikhi

2 3 1( )3cos 1 1x x xf x

x x ; b)

+ +≠ −

+= = −

3

3khi

khi

2 11( )

4 13

x xx

xf x

x

;

c)

+<

−= =

− >

3

2khi

khikhi

27 39

( ) 5 32 1 3

xx

xf x x

x x; d)

−≠ − ≠

− −= =

= −

4

2khi

khikhi

8 1 , 22

( ) 8 214 1

x xx x

x xf x x

x .

Bài 16. Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:

a) − − ≠= − =

2khi

khi

2 2( ) 22

x xxf x x

m x

; b) − + − ≠= − + =

3 2khi

khi

2 2 1( ) 13 1

x x xxf x x

x m x

;

Bài 17. Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:

a) 43

1)(

2−−

−=

xx

xxf ; b)

1

cos.)(

2

2

++=

xx

xxxf ; c)

−≠

= −

=

2khi

khi

2 2( ) 22 2 2

xx

f x x

x

.

Bài 18. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) −3

+ =3 3 0x x ; b) 5 1 0x x+ − = ; c) + − + − =4 3 22010 1 0x x x x ; d) + + − =

3 6 1 2 0x x . Bài 19. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) 3 3 1 0x x− + = ; b) 3 26 9 1 0x x x+ + + = ; c) 32 6 1 3x x+ − = ; d) 3 3 31 2 2 3x x x− + − = − . Bài 20. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

a) 3( 1) ( 2) 2 3 0m x x x− − + − = ; b) 4 2 2 2 0x mx mx+ − − =

c) + + =.cos2 sin cos 0a x b x x ; d) mxx

=+sin

1

cos

1 .

Bài 21. Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) 3 2 0x ax bx c+ + + = ; b) 2 0ax bx c+ + = nếu 2 3 6 0a b c+ + = ;

c) 2 0ax bx c+ + = nếu 2 6 19 0a b c+ + = thì luôn có nghiệm dương ;

d) 3 2 0x ax bx c+ + + = nếu 4 8 21 2 0a b c+ + + = ;

e) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0a x b x c b x c x a c x a x b− − + − − + − − = ;

f) 4 3 2 2 20

3 3

bx ax bx cx+ + + − − = ; g) 4 3 3cos cos 2 .cos 2 .sina x b x c x a x+ − = .

Bài 22. Chứng minh phương trình 5 2 2 0x x− − = luôn có ít nhất một nghiệm 0x thỏa mãn điều kiện : 9

016 2x< < .





chuyen de gioi han 11

Documents