SOCIEDADE UNIVERSITRIA REDENTOR

FACULDADE REDENTOR

CURSO DE GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA

Dinmica II

CINTICA PLANA DE CORPOS RGIDOS

Prof. MSc. Valtency Ferreira Guimares Itaperuna, 2010

SUMRIO

1. Cintica Planar de Corpos Rgidos: Fora e Acelerao ................................................. 1.1. Introduo ........................................................................................................ 1.2. Momento de inrcia de uma massa ................................................................. 1.3. Equaes Cinticas Planares do Movimento .................................................. 1.4. Equao do movimento de translao ............................................................ 1.5. Equaes do movimento de rotao em torno de um eixo fixo ..................... 1.6. Equaes do movimento: movimento plano geral ..........................................

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1. CINTICA PLANAR DE CORPOS RGIDOS: FORA E ACELERAO 1.1. Introduo A cintica de corpos rgidos trata das relaes entre as solicitaes (foras e momentos) que atuam num corpo e o correspondente movimento (translao e rotao) desse corpo. As relaes cinemticas para o movimento plano de corpos rgidos foram anteriormente desenvolvidas, sendo agora necessrias neste estudo do movimento planar de corpos rgidos. Este estudo aplicado a movimentos planares de corpos rgidos que, tal como as solicitaes aplicadas, so considerados simtricos relativamente a um plano de referncia fixo. Este plano de referncia contm o centro de massa e todas as foras e momentos que atuam no corpo podem ser projetados para esse plano de referncia. Um corpo que tenha dimenses apreciveis na direo normal ao plano de referncia pode ser tratado como possuindo movimento plano. Estas idealizaes incluem claramente um vasto nmero de movimentos de corpo rgido. Uma forma bsica de abordar a Cintica pelo isolamento do corpo ou sistema a ser analisado. Para problemas que envolvem as relaes instantneas entre fora, massa e acelerao ou quantidade de movimento, o corpo ou sistema deve ser explicitamente definido isolando-se o mesmo com o seu diagrama de corpo livre. Quando forem empregados os princpios do trabalho e energia, um diagrama de foras que mostra somente aquelas foras externas que realizam trabalho sobre o sistema pode ser usado no lugar do diagrama de corpo livre. Nenhuma soluo de um problema deve ser tentada sem primeiro definir o contorno externo completo do corpo ou sistema, e identificar todas as foras externas que atuam sobre ele.

1.2. Momento de inrcia de uma massa Uma vez que um corpo rgido tem uma forma e tamanho definidos, um sistema de foras aplicadas ao corpo poder no ser concorrente, provocando momentos que iro resultar numa acelerao angular do r r corpo. O movimento de rotao descrito por uma equao do tipo M G = I G . , referindo-se o smbolo IG a uma quantidade designada por momento de inrcia. Por comparao, pode-se afirmar que o momento de inrcia uma medida da resistncia do corpo acelerao angular, da mesma forma que r r a massa uma medida da resistncia do corpo acelerao, F = m.a Como calcular o momento de inrcia? Para o corpo representado na figura 1 abaixo, o momento de inrcia relativamente ao eixo z definido como

I = r 2 .dmm

A distncia r medida na perpendicular a partir do eixo z at ao elemento de massa dm.

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No estudo da cintica planar, o eixo em torno do qual normalmente se calcula o momento de inrcia passa no centro de massa G do corpo, sendo designado por IG . A unidade mais comum desta grandeza kg.m . Se o corpo for constitudo por um material de massa volmica varivel, =(x,y,z), o elemento de massa elementar dm do corpo pode ser expresso em termos do seu volume e massa volmica dm = dV Substituindo dm, o momento de inrcia do corpo pode ser calculado por integrao usando elementos de volume, I = r 2 . .dVV

2

No caso de = C , este termo pode ser colocado fora do integral, sendo a integrao funo apenas da geometria do corpo, I = r 2 .dVV

te

Quando o elemento de volume escolhido para integrao tem dimenses infinitesimais nas trs direes, dV = dx.dy.dz, o momento de inrcia tem de ser determinado por integrao tripla (figura 2-a). Este processo de integrao pode ser simplificado se o elemento de volume utilizado tiver dimenso ou espessura diferencial apenas numa direo. Elementos de volume do tipo casca (figura 2-b), ou do tipo disco (figura 2-c) so usados com frequncia para este fim.

Figura 2-a

2-b

2-c

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Teorema dos eixos paralelos Desde que o momento de inrcia do corpo calculado relativamente a um eixo que passa no seu centro de massa seja conhecido, ento o momento de inrcia relativamente a qualquer outro eixo paralelo pode ser determinado, usando o teorema de Steiner (ou dos eixos paralelos). Este teorema pode ser deduzido considerando o corpo representado na figura 3.

O eixo z passa atravs do centro de massa, enquanto o eixo paralelo z se encontra afastado a uma distncia d. Escolhendo o elemento de massa dm, localizado no ponto (x, y), e usando o teorema de Pitgoras, r2 = (d + x)2 + y2 Podemos expressar o momento de inrcia do corpo relativamente ao eixo z como I = r 2 dm = (d + x') + y ' 2 dm = x' 2 + y ' 2 dm + 2d x' dm + d 2 dm2 m m m m m

[

]

(

)

Como r = x + y , o primeiro integral representa IG . O segundo integral nulo, uma vez que o eixo z' passa no centro de massa do corpo, isto ,m

2

2

2

x' dm = x ' dm = 0 , uma vez que x' = 0.m

Finalmente, o terceiro integral representa a massa total m do corpo. Assim, o momento de inrcia relativamente ao eixo z pode ser escrito comoI = I G + md 2

Sendo: IG : momento de inrcia relativamente a um eixo z que passa no centro de gravidade G. m : massa do corpo d : distncia medida na perpendicular entre os dois eixos paralelos.

Raio de Girao O momento de inrcia relativamente a um determinado eixo frequentemente referido em termos do raio de girao, k. Esta grandeza tem unidades de comprimento, e quando conhecida juntamente com a massa, o momento de inrcia do corpo determinado a partir da equao

I = md 2

ou

k=

I m

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Assim, k uma medida da distribuio da massa de um corpo em torno do eixo em questo e a sua definio anloga definio de raio de girao para o momento de inrcia de rea. Se toda a massa m pudesse ser concentrada a uma distncia k do eixo, o momento de inrcia permaneceria inalterado.

Corpos Compostos Tal como no caso dos momentos de inrcia de rea, o momento de inrcia de massa de um corpo composto a soma dos momentos de inrcia individuais relativos ao mesmo eixo. Pode-se utilizar o teorema dos eixos paralelos para relacionar o momento de inrcia de cada uma das partes no seu centro de massa, IG , com o do momento de inrcia no centro de massa do corpo.

muitas vezes conveniente tratar um corpo composto como sendo definido por volumes positivos e volumes negativos. O momento de inrcia de um elemento negativo, como o material que removido para formar um furo, deve ser considerado como uma quantidade negativa. A tabela seguinte apresenta algumas das frmulas mais teis para os momentos de inrcia de corpos com as formas mais comuns.Propriedades de Slidos Homogneos

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47

48

1.3. Equaes Cinticas Planares do Movimento A anlise que segue limitada a movimentos planares de corpos rgidos que, tal como as solicitaes aplicadas, so considerados simtricos relativamente a um plano de referncia fixo. Neste caso a trajetria de cada partcula uma curva plana paralela ao plano de referncia. Uma vez que o movimento do corpo pode ser visto sob o plano de referncia, todas as foras e momentos que atuam no corpo podem ser projetados para o plano de referncia. Um exemplo do movimento de um corpo pode ser visto na figura 4, em que o sistema inercial de referncia x, y, z, tem a sua origem coincidente com o ponto arbitrrio P do corpo. Por definio de sistema inercial, estes eixos no rodam e, ou esto fixos, ou transladam com velocidade constante.

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1.4. Equao do movimento de translao As foras representadas na Figura 4 (acima) so foras externas, que representam o efeito de foras gravitacionais, eltricas, magnticas ou de contacto com corpos adjacentes. Uma vez que este sistema de foras foi j estudado na anlise de um sistema de partculas, a equao que da resultou pode ser aqui usada: r r F = m.a G

Esta equao conhecida como equao do movimento de translao para um corpo rgido, estabelecendo que a Soma de todas as foras externas a atuar no corpo = massa do corpo x acelerao do seu centro de massa

Para o movimento do corpo no plano x-y, a equao do movimento

F = m.a

r

rG

pode ser escrita sob a

forma de duas equaes escalares independentes apenas; uma vez que no existe nenhum movimento r r angular de translao do corpo, e assim, a acelerao angular igual a zero, M G = I G . = 0 , e ento as equaes do movimento que se aplicam neste caso so:

F F M

x y

= m(a G ) x =0

= m(a G ) yG

Observao: Para a translao retilnea, figura 5-a, se a direo de x escolhida como sendo a da

acelerao, ento as duas equaes escalares para as foras ficam escalares para as foras ficam

F

x

= m(aG )x e

F

y

= m(aG ) y = 0 . =0 .

Para a translao curvilnea, figura 5-b, utilizando-se o sistema de coordenadas n-t, as duas equaes

F

n

= m(aG )n e

F

t

= m(aG )t . Em ambos os casos

M

G

Figura 5-a

Figura 5-b

Pode-se tambm empregar uma equao alternativa de momentos com o auxlio do diagrama

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cintico; assim para a translao retilnea tem-se que curvilnea o diagrama cintico permite escrever

M

P

=mad e

M

A

=0 . Para translao

M

A

=man d A no sentido horrio e

M

B

=mat d B no

sentido anti-horrio. Assim, tem-se total liberdade de escolher o ponto em relao ao qual os momentos devem ser calculados, adotando-se, portanto, aquele que for mais adequado.

Exemplo 1 Uma caminhonete de 1500 Kg atinge uma velocidade de 50 Km/h, a partir do repouso, em uma distncia de 60 m subindo uma ladeira com 10 % de inclinao, com acelerao constante. Calcule a fora normal exercida pela pista sobre cada par de rodas e a fora de atrito atuante nas rodas motoras na traseira. Sabe-se que o coeficiente de atrito efetivo entre os pneus e a pista de no mnimo 0,8, e que a acelerao gravitacional 9,81 m/s2.

Resoluo: Admite-se que as massas das rodas sejam desprezveis se comparadas com a massa total da caminhonete, e que esta possa ser considerada um nico corpo rgido em translao retilnea com uma acelerao de2.60 O diagrama de corpo livre da caminhonete completa mostra as foras normais N1 e N2, a fora de atrito F no sentido contrrio ao deslizamento das rodas motoras e o peso W representado por suas duas componentes. Com = tg-1 1/10 = 5,71, essas componentes so: W.cos = 1500.9,81.cos 5,71 = 14,64.103 N e W.sen = 1500.9,81.sen 5,71 = 1464 N v =v2 2 0

(50 / 3,6)2 + 2 a S a =

= 1,608 m/s2

O diagrama cintico mostra a resultante, que passa pelo centro de massa e possui a orientao da acelerao do veculo. Seu mdulo : FR = m.a = 1500.1,608 = 2410 N Aplicando as trs equaes de movimento para as trs incgnitas, tem-se

F = ma F = ma = 0 M =I . = 0x x y y G

F 1464 = 2410 F = 3880 N N1 + N2 14,64.103 = 0 1,5N1 + 3880.0,6 1,5N2 = 0

Resolvendo as duas ltimas equaes simultaneamente, obtm-se 51

N1 = 6550 N

N2 = 8100 N

Comentrio: Para suportar uma fora de atrito de 3880 N necessrio um coeficiente de atrito de no mnimo F/N2 = 3880/8100 = 0,48. Uma vez que o coeficiente de atrito de pelo menos 0,8, as superfcies so suficientemente rugosas para suportar o valor calculado de F.

Exemplo 2 Para que acelerao a da estrutura a barra delgada uniforme mantm a orientao mostrada na figura? Despreze o atrito e a massa dos pequenos roletes em A e B.

Resoluo: Considerando as foras que agem na barra AB representadas na figura abaixo, pode-se escrever para as equaes de movimento

F = ma NA = ma F = ma = 0 NB = mg M =mad NA(lsen 30) - mg(l/2cos 30) = ma(l/2sen 30)x x y y B

Resolvendo a ltima expresso com as devidas substituies e simplificaes, temos: a = g3

EXERCCIOS 1. Observa-se que, quando engrenadas ainda em repouso, as rodas traseiras de um cortador de grama giram instantaneamente ao se acelerar o cortador. Se os coeficientes de atrito entre os pneus traseiros e o gramado so e = 0,70 e d = 0,50, determinar a acelerao a do cortador para a frente. A massa do cortador com o saco preso a ele de 50 Kg com o centro de massa em G. Admita que o operador no empurre a empunhadeira, de modo que P = 0.

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2. Um caixote homogneo de massa m montado sobre pequenas rodas, conforme mostrado na figura. Determinar a fora mxima P que pode ser aplicada sem tombar o caixote em relao (a) a seu bordo frontal mais baixo com h = b e (b) a seu bordo anterior mais baixo, com h = 0.

3. A barra uniforme OB, de 30 Kg, fixada a uma estrutura acelerada na posio de 30 com a horizontal, atravs da rtula O e do rolete A. Se a acelerao horizontal da estrutura a = 20 m/s2, calcule a fora FA sobre o rolete e as componentes x e y da fora suportada pelo pino em O.

1.5. Equaes do movimento de rotao em torno de um eixo fixo Considere um corpo rgido que se desloca no plano vertical, em torno de um eixo fixo que passa no ponto O, Figura 6, sujeito ao de foras e momentos.

Para esse movimento verifica-se que todos os pontos do corpo descrevem trajetrias circulares em torno do eixo de rotao, e todas as linhas traadas sobre o corpo, sujeito a um movimento plano, tm a mesma velocidade angular e a mesma acelerao angular . As componentes da acelerao do centro de massa para o caso do movimento circular so mais facilmente expressas em termos das coordenadas n-t, e assim tem-se an = r2 e at = r, para a rotao do corpo rgido em relao ao eixo fixo que passa por O. Os diagramas de corpo livre e o correspondente diagrama cintico deste corpo esto representados na 53

r figura 7 abaixo, e mostram a fora resultante ma em funo de suas componentes n e t e o momento r resultante I G .

As equaes do movimento que se aplicam neste caso so:

F = m(a ) F = m(a ) M =I n t G G

G n

= m 2 rG = m .rG

G t

Ao se aplicar a equao de momentos em relao a G deve-se considerar o momento da fora aplicada ao corpo em O, logo essa fora no deve ser omitida do diagrama de corpo livre. Para os problemas de rotao em relao a um eixo fixo, geralmente interessante aplicar uma equao de momento diretamente em relao ao eixo de rotao O. Ento, a equao resultante para os momentos pode ser escrita

M

O

=I O .

Com base no diagrama cintico pode-se obter a equao dos momentos das resultantes em relao a O, tomando que Como (aG)t = rG., substituindo na equao anterior, obtm-se Pelo teorema dos eixos paralelos, IO = IG + m rG , conclui-se que2

M

O

=I O .

Assim, as equaes do movimento para o caso de rotao em torno de um eixo fixo que passe no ponto O podem-se tambm escrever da seguinte forma:

F = m(a ) F = m(a ) M =I n t O O

G n

= m 2 rG = m .rG

G t

Observao: Para o caso comum de rotao de um corpo rgido em torno de um eixo fixo que passa r r r r pelo seu centro de massa G, evidentemente a = 0 e, portanto, F = 0 . O resultado das foras r aplicadas , ento, o momento I .

Exemplo 1 O bloco de concreto de 300 Kg elevado pelo mecanismo de iamento mostrado na figura, onde os

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cabos so enrolados sem folga em torno dos respectivos tambores. Os tambores, que so unidos e giram como um conjunto nico em torno do seu centro de massa em O, possuem uma massa combinada de 150 Kg e um raio de girao de 450 mm em relao a O. Se uma fora de trao constante P de 1800 N mantida pela unidade de potncia em A, determine a acelerao vertical do bloco.

Resoluo: Os diagramas de corpo livre e cintico dos tambores e do bloco de concreto so desenhados mostrando todas as foras atuantes, incluindo as componentes Ox e Oy da reao normal em O.

Como neste caso a rotao se faz em torno de um eixo fixo (O) que passa pelo seu centro de massa, a r resultante do sistema de foras sobre os tambores o momento I = I O , e sendo I = r2m faz-se: r I = I O = (0,450)2.150 = 30,4 Kg.m2 O clculo dos momentos em relao ao centro de massa O da polia no sentido da acelerao angular fornece:

M

O

=I O

1800.0,6 T.0,3 = 30,4.

A acelerao do bloco descrita por:

F

y

=ma y

T 300.9,81 = 300.ay

Pela equao at = r, tem-se a = 0,3.. Com essa substituio, as equaes anteriores combinadas ay = 1,031 m/s2 fornecem: T = 3250 N = 3,44 rad/s2

Exemplo 2 A barra uniforme de 20 Kg mostrada na figura pivotada em O, e oscila livremente no plano vertical. Se a barra liberada a partir do repouso na posio horizontal, calcule o valor inicial da fora Exercida pelo mancal sobre a barra no instante imediatamente aps ela ser liberada.

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Resoluo: Considerando as foras que agem sobre a barra, representadas na figura abaixo, podemos escrever as equaes do momento em relao a O

M=I O

O

=I O , e sendo o momento de inrcia da barra

1 I O = ml 2 , temos: 3

Mmgl =

O

1 2 ml 20.9,81.0,8 = 1/3.20.(1,6)2 = 9,2 rad/s2 3

Utilizando a expresso da fora, calculamos R:

F

t

= mat = mr

20.9,81 R = 20.0,8.9,2 R = 49 N

EXERCCIOS 1. Cada um dos dois tambores e correspondentes cubos de 250 mm de raio possui uma massa de 100 Kg e um raio de girao em relao a seu centro de 375 mm. Calcule a acelerao angular de cada tambor. O atrito em cada mancal desprezvel.

2. A barra uniforme de 8 Kg mostrada na figura articula em relao a um eixo horizontal que passa pelo mancal O. Ela liberada da posio horizontal a partir do repouso. Determine a distncia b do centro de massa at o mancal O para a qual se tem uma acelerao angular inicial de 16 rad/s2, e obtenha a fora R exercida pelo mancal sobre a barra no mancal O no instante imediatamente aps a barra ser liberada.

3. A barra uniforme AB, mostrada na figura, possui uma massa de 8 Kg e oscila no plano vertical em torno do piv A. Se = 2 rad/s quando = 30, calcule a fora suportada pelo pino em A nesse instante.

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1.6. Equaes do movimento: movimento plano geral A dinmica de um corpo rgido em movimento plano geral combina os movimentos de translao e rotao. Como nos casos anteriores necessrio apenas estabelecer-se a equivalncia entre o sistema de foras externas, como mostrado no diagrama de corpo livre, e as resultantes das foras para resolverse o problema de movimento plano. Podemos considerar novamente um corpo rgido que se desloca no plano vertical, em movimento plano geral, figura 8 abaixo, sujeito ao de foras e momentos.

Os diagramas de corpo livre e diagrama cintico deste corpo esto representados na figura 9.

Para o movimento plano geral de um corpo simtrico rgido, podem-se escrever 3 equaes escalares:

F F M

x y

= m(a G ) x =I G .

= m(a G ) yG

Para aplicao destas equaes, deve-se sempre desenhar os diagramas de corpo livre e diagrama cintico, para o instante considerado. Diagrama de corpo livre Representar graficamente os termos envolvendo

F , F ,Mx y

G

Diagrama cintico

Representar graficamente os termos envolvendo m(aG)x, m(aG)y, IG.

Os dois diagramas so igualados, Figura 9 acima, j que as foras e momentos no diagrama de corpo livre causam o movimento acelerado indicado pelos 3 vetores mostrados no diagrama cintico. 57

Notas:

-

M

G

=I G . aplica-se somente no ponto G.

- Para outros pontos, devem-se considerar tambm os momentos cinticos provocados pelas componentes de m(aG) em relao a esse ponto e por IG.. - IG. tem as mesmas propriedades de um binrio e pode atual em qualquer ponto no diagrama cintico. - m(aG)x e m(aG)y so tratados da mesma maneira que uma fora, isto , podem atuar em qualquer ponto das suas linhas de ao. Especial ateno deve ser dada a dois casos especiais do movimento plano, casos que ocorrem com frequncia suficiente para precisarem ateno. O primeiro ocorre quando o centro de momentos O, como ponto do corpo ou da extenso deste, no tem acelerao. A equao de momentos em relao a O torna-se ento

M

O

=I O . , que satisfaz s mesma condies que para um corpo que gira em

relao a um eixo fixo em O. O ponto O na precisa necessariamente ser fixo; pode ter uma velocidade constante. O segundo caso de frequncia corrente existe, quando o centro de momento O escolhido de tal modo que tem uma acelerao dirigida diretamente para G, Figura 10-a. A acelerao de G, escrita em funo r da acelerao O, tem as componentes a0, r2 e r de tal modo que a fora resultante ma tenha as componentes ma0, mr2 e mr, como mostrado na parte b da Figura 10. A soma dos momentos em r r r r relao a O torna-se M P =I . + mr 2 . A substituio de I O = I + mr 2 , d M O =I O . . A figura 10-c mostra o exemplo frequentemente encontrado da situao descrita, que ocorre para uma roda que gira, com o centro de massa G no centro geomtrico. O centro instantneo de rotao C tem uma acelerao dirigida para o centro de massa. Se a roda deslizasse ou se o centro de massa no fosse o centro geomtrico, ento a acelerao do ponto de contato C no passaria em G.

Observao: Deve-se enfatizar acentuadamente a escolha do corpo a ser isolado e sua representao atravs de correto diagrama de corpo livre. Somente aps esse passo ter sido completado, pode-se avaliar adequadamente a equivalncia entre as foras externas e suas resultantes. De igual importncia na anlise do movimento plano, a compreenso da Cinemtica envolvida. Muito frequentemente as dificuldades experimentadas, no estudo do movimento planar, esto relacionadas diretamente com cinemtica. Deve ser reconhecido, na formulao da soluo de um problema que as direes de certas foras ou aceleraes no sejam conhecidas no comeo, de tal modo que, seja necessrio fazer hipteses iniciais cujas validades sero aprovadas ou desaprovadas, quando a soluo efetuada. essencial, entretanto, que todas as hipteses feitas sejam coerentes com o princpio da ao e reao e com quaisquer requisitos cinemticos, que tambm so chamados de condies de construo. Assim, se uma roda est girando em superfcie

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horizontal, seu centro est limitado a mover-se em linha horizontal. Alm do mais, se a acelerao linear desconhecida a do centro da roda suposta positiva para a direita, a acelerao angular desconhecida deve ser positiva no sentido positivo, de tal forma que a = + r, supondo-se que a roda no deslize. Deve ser notado tambm que para uma roda que gira sem deslizamento a = r, mas a fora de atrito F entre a roda e sua superfcie de apoio geralmente menor que o seu valor mximo, de modo que F fN. Mas se a roda desliza quando gira a r, muito embora a fora de atrito tenha atingido o seu valor limite, de forma que F = fN. Pode ser necessrio testar a validade de uma ou outra hiptese em dado problema.

Exemplo 1 Um aro metlico com raio r = 150 mm liberado do repouso sobre a ladeira com 20 de inclinao. Determine a acelerao angular do aro e o tempo t para que ele se mova de uma distncia de 3 m ladeira abaixo.

Resoluo: O diagrama de corpo livre mostra o peso mg no especificado, a fora normal N e a fora de atrito F atuante no ponto de contato C do aro com a ladeira. O diagrama cintico mostra a fora resultante ma que passa por G no sentido de sua acelerao e o momento I. A acelerao angular no sentido antihorrio requer um momento tambm no sentido anti-horrio em relao a G, logo a fora F deve ser orientada ladeira acima.

Admitindo que o aro rola sem deslizamento pode-se escrever a = r, e ainda que o momento de inrcia do aro I = mr2. A aplicao das componentes das foras nas direes x e y fornece:

F F M

x y

= m(a G ) x =I G .

mgsen 20 - F = ma N - mgcos 20 = 0 Fr = mr2

= m(a G ) yG

Eliminando F entre a primeira e a terceira equao e substituindo a hiptese cinemtica a = r encontrase: a = (g/2)sen 20 = 1,678 m/s2 O tempo necessrio para o centro G do aro mover-se 3 m a parir do repouso com acelerao constante : x = at2 t = 1,633 s Exemplo 2 59

O disco de 12 kg tem velocidade angular de 20 rad/s. Se o freio ABC aplicado de tal forma que a intensidade da fora P varia com o tempo como se mostra na figura, determine o tempo necessrio para o disco parar. O coeficiente de atrito cintico em B k=0.4.

Resoluo: Representando o diagrama de corpo livre e diagrama cintico para cada um dos corpos:

Estabelecendo as equaes do movimento necessrias para cada corpo, temos: Para o freio: Para o disco: Sendo

M M

A

=0 =I G

0,5 NB 0,4Fa P = 0 0,2Fa = IG.

G

1 1 I G = mr 2 = 12(0,2) 2 = 0,240 Kg.m2 2 2 Uma vez que existe escorregamento em B, a fora de atrito FA dada por Fa = kNB = 0,4NB NB = Fa/0,4 Substituindo NB na primeira relao e resolvendo em ordem a FA, obtm-se: F P P 0,5 a 0,4 Fa P = 0 Fa = = 0,5 0,4 0,4 0,85 0,4 Substituindo FA na segunda relao, obtm-se: 0,2 Fa 0,2 P = = = 0,9804 P IG 0,85 I G 60

61 Para determinar o tempo t que demora o disco a parar: = 0 + dt0 t

Assumindo, por hiptese, que t ser superior a 5 s, temos:

0 = 20 + dt + dt 0 = 20 + 0,9804 Pdt + 0,9804 Pdt0 2 0 2

2

t

2

t

Substituindo a expresso correspondente para P(t), podemos enfim obter:0 = 20 + 0,9804.2.5tdt + 0,9804.5dt 0 = 20 + 0,9804.1.25t t = 5,08s Uma vez que se obteve t > 2, a hiptese assumida est correta!2 t

[

0

2 2 0

] + [0,9804.5t ]

2

t 2

0 = 20 + 0,9804.1.25(2 2 0 2 ) + 0,9804.5(t 2)

EXERCCIOS 1. Ao tambor A imposta uma acelerao angular constante 0 de 3 rad/s2, que faz com que o carretel B de 70 Kg role sobre a superfcie horizontal. O tambor A aciona o carretel B por meio do cabo de conexo, que se enrola em volta do centro do carretel. O raio de girao k do carretel, em relao ao eixo que passa pelo seu centro de massa G, de 250 mm, e o coeficiente de atrito esttico entre o carretel e a superfcie horizontal de 0,25. Determine a fora trativa T atuante no cabo e a fora de atrito F exercida pela superfcie horizontal sobre o carretel.

2. A barra AB de 30 Kg se move no plano vertical, com suas extremidades obrigadas a seguir as guias horizontal e vertical. Se a fora de 150 N aplicada em A com a barra inicialmente em repouso na posio para a qual o ngulo = 30, calcule a acelerao angular resultante da barra e as foras sobre os pequenos roletes das extremidades A e B.

3. A roda de 10 Kg com raio de girao de 180 mm em relao ao seu centro O liberada a partir do repouso sobre a rampa de 60 e desliza enquanto rola. Se o coeficiente de atrito dinmico d = 0,30, 61

62 calcule a acelerao aO do centro O da roda e sua acelerao angular .

4. Uma esfera homognea de massa m e raio R abandonada a partir do repouso sobre uma rampa que est inclinada de um ngulo em relao horizontal e, a partir desse instante, desce a rampa rolando sem deslizar como indica a figura. O momento de inrcia da esfera em relao a um eixo que passa pelo seu centro de massa I = (2/5)mR2. Calcule o mdulo da fora de atrito que a superfcie inclinada exerce sobre a esfera.

5. O disco circular de massa m e raio r mostrado na figura est rolando ao longo da parte mais baixa da superfcie circular de raio R. Se o disco possui uma velocidade angular , determine a fora N exercida pela superfcie sobre o disco.

6. Um disco circular com 200 mm de raio e massa de 25 Kg, com raio de girao centroidal k = 175 mm, tem uma ranhura circular concntrica de 75 mm de raio nele entalhada. Uma fora estacionria T fazendo um ngulo com a horizontal aplicada a um fio enrolado em torno da ranhura, conforme mostrado na figura. Se T = 30 N, = 0, e = 0,10 e d = 0,08, determine a acelerao angular do disco, a acelerao a do seu centro de massa G e a fora de atrito F que a superfcie exerce sobre o disco.

7. Repita o problema anterior considerando T = 50 N e = 30

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