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1

EJEMPLOS ADICIONALES DE PROGRAMACIN ENTERA

Ejercicio desarrollado No 1

Maximizar Z = 15X1 + 14X2

Sujeto a:

6X1 + 5X2 10X1 + 13X2 X1, X2

Encontramos la solucin relajada mediante el mtodo simplex Solucin Solucin

0 0 0 6 5 1 0 1200 10 13 0 1 2600

Solucin Solucin

5/2 0 3000

1 5/6 1/6 0 200 0 14/3 1 600

Solucin Solucin

55/28 9/28 22350/7 1 0 13/28 650/7=92+6/7

0 1 3/14 900/7=128+4/7

La fila correspondiente a tiene la mayor fraccin (6/7), por tanto elegimos a sta para generar el plano de corte.

La factorizacin de la ecuacin da por resultado

(

) (

)

Si movemos todos los componentes enteros al lado izquierdo y todos los componentes fraccionarios al lado

derecho, obtenemos

Por consiguiente, el corte asociado es

Podemos escribirlo en forma de ecuacin agregando su variable de holgura como

Agregamos este corte a la solucin relajada Solucin Solucin

55/28 9/28 0 22350/7

1 0 13/28 0 650/7 0 1 3/14 0 900/7 0 0 1

La variable que sale de la base es y la entra es Max {(55/28)/(-13/28), (9/28)/(-23/28)}= {-55/13, -9/23} = -9/23

Solucin Solucin 41/23 0 9/23 73428/23

1 0 13/23 2140/23=93+1/23 0 1 0 6/23 2952/23=128+8/23 0 0 3=1+1/23

2



(

) (

)


derecho, obtenemos




41/23 0 9/23 0 73428/23 1 0 13/23 0 2140/23 0 1 0 6/23 0 2952/23

0 0 0 3 0 0 0 1

La variable que sale de la base es y la entra es Max {(41/23)/(-12/23), (9/23)/(-6/23)}= {-41/12, -3/2} = -3/2, que

corresponde a

Solucin Solucin 1 0 0 3/2 3192 1 0 1 5/6 280/3=93+1/3

0 1 0 0 1 128 0 0 14/3 3=2+2/3 0 0 0 =1 + 1/3




derecho, obtenemos



3


1 0 0 3/2 0 3192 1 0 1 5/6 0 280/3=93+1/3

0 1 0 0 1 0 128 0 0 14/3 0 3=2+2/3 0 0 0 0 =1 + 1/3 0 0 0 0 0 1

Solucin Solucin

1 0 0 0 3189 1 0 1 95 0 1 0 0 0 3 126 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0

Ejercicio desarrollado No 2

Maximizar Z = 9X1 + 23X2

Sujeto a:

X1 + 2X2 -4X1 + 5X2 X1 + 7X2 X1, X2 Primero encontramos la solucin relajada

Bsica Solucin

0 0 0 0 1 2 1 0 0 20 5 0 1 0 20 1 7 0 0 1 49

Bsica Solucin

0 0 23/5 0 92 13/5 0 1 0 12 1 0 1/5 0 4 33/5 0 0 1 21

Bsica Solucin

0 0 0 137/33 1971/11 0 0 1 41/11 1 0 1/33 4/33 72/11 1 0 0 5/33 35/11

Bsica Solucin

0 0 8 1 209 0 0 33/5 123/5=24+3/5 1 0 1/5 29/5=5+4/5 1 0 7/5 42/5=8+2/5

X1 = 8.4, X2 = 5.8, Z = 209

4




derecho, obtenemos


5


Agregamos este corte a la solucin relajada

Bsica Solucin

0 0 8 1 0 209 0 0 33/5 0 123/5 1 0 1/5 0 29/5 1 0 7/5 0 42/5 0 0 0 1

La tabla es ptima pero no factible. Aplicamos el mtodo simplex dual para recuperar la factibilidad.

Sale de la base Ingresa a la base Max { (8/(- 4/5), 1/(-1/5} = {-10,-5} = - 5, elegimos , la cual da como resultado

Bsica Solucin

0 0 4 0 5 205 0 0 17 35 1 0 0 1 5 1 0 4/5 10 0 0 0

Solucin optima y entera es:

Ejemplo desarrollado No 3

Minimizar Z = Sujeto a

Primero encontramos la solucin relajada

Bsica Solucin

0 0 0 0 1 0 1 0 0 9 1 0 1 0 8 0 0 1 40

Aplicamos el mtodo simplex dual, por tanto sale e ingresa el Min {-9/-4, -10/-3}=9/4 que corresponde a la variable . Elegimos el coeficiente mnimo debido a que estamos minimizando.

Bsica Solucin

0 0 90 0 1 0 1/4 1 1 0 1 0 8 3/4 0 0 1/4 10

En el cuadro anterior sale y entra Min{(-13/4)/(-3/4),(-9/4)/(-1/4)}= {13/3, 9}=13/3, que corresponde a la variable

Bsica Solucin

283/3 0 /3 0 /3 4/3 0 /3 /3 20/3 0 1 0

6

Bsica Solucin

283/3 0 /3 0 /3 4/3=1+1/3 0 /3 /3 20/3=6+2/3 0 1 0



7

(

)


derecho, obtenemos




Bsica Solucin

0 283/3 0 /3 0 /3 0 4/3 0 /3 /3 0 20/3 0 1 0 0 0 0 /3 0 /3 1 /3

La variable que sale de la base es y la entra es Min {(-13/3)/(-1/3), (-10/3)/(-1/3)}= {13, 10} = 10, que corresponde a

Bsica Solucin

0 0 0 101 0 0 2 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

Solucin factible optima:

ECUACION DEL PLANO DE CORTE EN FUNCION DE X1 Y X2


Agregando las variables de holgura, tenemos

Despejando tenemos

8

Plano de corte:

Adicionando esta restriccin al problema original, tendremos


Solucionando el problema original con esta nueva restriccin tendremos una solucin entera


Maximizar Z = Sujeto a

Primero encontramos el valor de la ecuacin relajada

Bsica Solucin

0 0 0 0 1 1 1 0 0 5 1 0 1 0 0 0 0 1

Bsica Solucin

9

0 0 0 1/3 21/3 0 2/3 1 0 3/2 0 4/3 0 1 1/6 21/6 1 0 0 1/6

Bsica Solucin

0 0 0 1/3 21/3 0 2/3 1 0 3/2 0 4/3 0 1 1/6 21/6 1 0 0 1/6

Bsica Solucin

0 0 1/4 31/4 0 1 3/2 0 9/4=2+1/4 0 0 1 1 0 = 2+3/4

10



(

)


derecho, obtenemos




Bsica Solucin

0 0 1/4 0 31/4 0 1 3/2 0 0 9/4=2+1/4 0 0 1 0 1 0 0 = 2+3/4 0 0 0 1 (-2)

Aplicamos el mtodo simplex dual, por tanto sale e ingresa el Max {(1/2)/(-2/3), (1/4)/(-1/4}={-1.-1} hay empate, arbitrariamente elegimos a la variable .

Bsica Solucin

0 0 0 0 1 7 0 1 0 0 3 0 0 0 1 3/2 7/2=3+1/2 1 0 1/2 7/2=3+1/2 0 0 0 =1+1/2

Arbitrariamente elegimos porque todas tienen la misma fraccin (1/2), por tanto elegimos a sta para generar el plano de corte.


(

)


derecho, obtenemos



11


Bsica Solucin

0 0 0 0 1 0 7 0 1 0 0 3 0 0 0 0 1 3/2 0 7/2=3+1/2 1 0 1/2 0 7/2=3+1/2 0 0 0 0 =1+1/2

0 0 0 0 0 1

Bsica Solucin

0 0 0 0 1 0 7 0 1 0 0 3 1 0 0 1 0 3/2 2 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0

El valor ptimo es:



Bsica Solucin 0 0 0 6 7 1 0 34

6 0 1 43

Bsica Solucin 0 7/10 301/10

0 17/5 1 41/5

3/5 0 1/10 43/10

Bsica Solucin 0 7/10 301/10 0 17/5 1 41/5

3/5 0 1/10 43/10

Bsica Solucin 14/17 7/34 1253/34 0 1 5/17 41/17

0 7/34 97/34

12

METODO DE RAMIFICACION Y ACOTACION Solucin relajada: Subproblema 1


13

Subproblema 2


Subproblema 3


Subproblema 4

14


Subproblema 5


15

Subproblema 7


Subproblema 8


16

METODO PLANOS DE CORTE

Bsica Solucin

14/17 7/34 1253/34 0 1 5/17 41/17= 2 + 7/17

0 7/34 97/34 = 2+29/34

La fila de es la que tiene la mayor fraccin (29/34), por tanto a partir de esta fila generamos un plano de corte


(

) (

)


derecho, obtenemos



Agregamos este corte a la solucin relajada Bsica Solucin

14/17 7/34 0 1253/34

0 1 5/17 0 41/17

0 7/34 0 97/34 0 0 1

Aplicamos el mtodo simplex dual, por tanto sale e ingresa el Max {(14/17)/(-14/17), (7/34)/(-7/34}={-1,-1} =-1, por lo que la variable que entra es puede ser o . Arbitrariamente elegimos .

Bsica Solucin

14/17 7/34 0 1253/34 0 1 5/17 0 41/17

0 7/34 0 97/34

0 0 1 (-34/7)

Bsica Solucin

0 1 36 0 1 1 22/7 = 3+1/7

0 1 2

0 0 1


3+1/7


3+1/7


derecho, obtenemos

17



Bsica Solucin

0 1 0 36 0 1 1 0 22/7 = 3+1/7

0 1 0 2 0 0 1 0

0 0 0 0 1

Bsica Solucin

0 0 0 35 0 1 1 4

0 0 7 1 0 0 1 9

0 0 0 0

Solucin ptima:



Bsica Solucin

0 0 0 0 2 1 0 0 4 2 0 1 0 16 0 0 1

Bsica Solucin

0 0 11/2 11 3/2 1 0 1/2 5 9/2 0 1 11 0 0 1/2

Bsica Solucin

0 19/9 2/9 308/9 0 1 4/3 4/3=1+1/3 1 0 2/9 22/9=2+4/9 0 1/9 2/9 20/9=2+2/9


+4/9

18


+4/9


derecho, obtenemos




Bsica Solucin

0 19/9 2/9 0 308/9 0 1 4/3 0 4/3 1 0 2/9 0 22/9 0 1/9 2/9 0 20/9 0 0 0 1

La variable que sale es y la que entra es la que tiene el coeficiente Max {(19/9)/(-2/9), (2/9)/(-4/9)} = Max{-19/2, -1/2}= -1/2, que corresponde a la variable

Bsica Solucin

0 2 0 1/2 34 0 1 0 3 0 1 0 3 0 0 0 1/2 2 0 0 0

Solucin optima


Minimizar Z = X1 + X2

Sujeto a

3X1 + 5X2

-2X1 + 7X2

10X1 + 3X2

X1, X2 0

Bsica Solucin

0 0 0 0 1 0 0 45 7 0 1 0 42 0 0 1

Aplicando el mtodo simplex dual, sale la variable e ingresa la variable que tiene el coeficiente Min {-1/-3,

-1/-5}={1/3, 1/5} = 1/5, que corresponde a la variable

Bsica Solucin

1/5 0 0 9 1/5 0 0 0 7/5 1 0 3/5 0 1 93

La variable que sale de la base es e ingresa la variable por tener el nico valor negativo. Bsica Solucin

/31 /31 0 321/31

19

/31 3/31 0 216/31 0 7/31 /31 0 76/31 41/31 1 2022/31

20

Bsica Solucin

/31 /31 0 321/31 /31 3/31 0 216/31=6+30/31 0 7/31 /31 0 =3+12/31 76/31 41/31 1 2022/31=65+7/31


+ 30/31


+ 30/31


derecho, obtenemos



+


Bsica Solucin

/31 /31 0 0 321/31 /31 3/31 0 0 216/31 0 7/31 /31 0 0 76/31 41/31 1 0 2022/31 0 0 /31 /31 0 1 /31

Aplicamos el mtodo dual simplex para restaurar la factibilidad, por tanto sale de la base e ingresa la que tiene el coeficiente Min{(-9/31)/(-29/31), (-2/31)/(-3/31)}={9/29, 2/3}=9/29, que corresponde a la variable

Bsica Solucin

/29 0 /29 309/29 3/29 0 /29 204/29=7+1/29 0 /29 0 7/29 =3+18/29 0 31/29 1 76/29 1818/29=62+20/29 0 0 /29 0 /29 /29=1+1/29


+ 20/29


+ 20/29


derecho, obtenemos



21


Bsica Solucin

/29 0 /29 0 309/29 3/29 0 /29 0 204/29 0 /29 0 7/29 0 0 31/29 1 76/29 0 1818/29 0 0 /29 0 /29 0 /29

0 0 0 /29 0 /29 1 /29 Aplicamos el mtodo dual simplex para restaurar la factibilidad, por tanto sale de la base e ingresa la que tiene el coeficiente Min{(-1/29)/(-2/29), (-9/29)/(-18/29)}={1/2, 1/2}=1/2, que corresponde a la variable o Arbitrariamente elegiremos a

Bsica Solucin

0 11 0 0 3/2 6 0 0 0 0 1 31/2 52 0 0 0 3/2 0

0 0 0 0 /2 10 Solucin optima:

PLANOS DE CORTE EN FUNCION DE LAS VARIABLES X1 Y X2 Minimizar z = x1 + x2

sujeto a

3x1 + 5x2 -2x1 + 7x2 10x1 + 3x2 x1, x2 0 Agregando las variables de holgura, tenemos

3x1 + 5x2 +

-2x1 + 7x2 +

10x1 + 3x2

x1, x2 0

El primer plano de corte generado es

Multiplicando por 31 ambos lados

Primer plano de corte:

Para el segundo plano de corte

22

Segundo plano de corte:

Resolviendo este problema con las dos restricciones adicionales, obtendremos una solucin entera

Minimizar z = x1 + x2

Sujeto a

3x1 + 5x2 -2x1 + 7x2 10x1 + 3x2 x1, x2 0

RESOLUCION DEL PROBLEMA CON DOS PLANOS DE CORTE EN FUNCION DE X1 Y X2

23

PROBLEMA PROPUESTO

Sujeto a:

clase1_ioejemplosadicionalespe

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