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C.C. ANALYSE IV /2015/UABT Page 1

Universit de Tlemcen 15/04/2015

Dpartement de Mathmatiques

L2-Math / Analyse IV (dure 1h30)

Charge du module : Z.NEDJRAOUI

Contrle continu & Corrig

Exercice 1 : 09 points

Soit : 2 telle que, = 600 2 4 21) Montrer que fest de classe C

1dans 2.

La hauteur dune montagne en chacun de ses points P est donne par = , o ,sont lescoordonnes de la projection du point P sur le plan de la base muni dun repre orthonorm dont laxe Ox

dsigne la direction Est et laxe Oy la direction Nord.

2) Calculer le gradient de f, en dduire la pentes la surface de la montagne au point P10,10,360dans ladirections Nord-ouest ; dire si lon commence par monter ou descendre lorsque lon se dplace depuis ce

point dans cette direction.

Dans quelle direction la pente est-elle maximale ? Calculer sa valeur.

3) Ecrire lquation du plan tangent la surface de la montagne en ce point.

Soit g: 3

telle que,, = , , 04) Trouver les extrema de la fonction g. Donner la nature des points 0,2, 12et 0,2, 1.5) Ecrire le dveloppement limit de g lordre 2 au voisinage du point 0,2, 1

2.

Exercice2:04,5 points

1/ Soient : + de classe C1et:: 0, + 2 , 2 , = , . Exprimer en fonction de .2/Dterminer lensemble les fonctions relles de classe C

1sur + telles que :1 + = ,

2

+

= 0.

Exercice 3: 02,5points

Vrifier que la forme diffrentielle suivante est une diffrentielle totale : = ( 12 + ) + 12 Trouver la solution de lquation diffrentielle

(12 + ) + 12 = 0

qui vrifie la condition initiale 1 = 1.Exercice4: 04 points

Soient :3 2de classe C1et g 2 2telles que :

,

=

2

,

,

et

1,1,1

=

1 3

4

2 1 3

Montrer que est de classe C1 dans 2et dterminer 2 , 2.Calculer la drive de g au point 2 , 2suivantla direction de la premire bissectrice.

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Corrig

Exercice 1 :

: 2 telle que, = 600 2 4 2 1) fest une fonction polynomiale dans 2alors elle est de classe C1dans 2.

2) Soit la surface : (S) = , fx = 2xfy = 4 2y 10,10 =

fx 10, fy 10 = 20,24. 10,10 =< 10,10,v>= 20 24. Direction nord-ouest : = 3

4, 10,10 = 22 < 0 alors on commence par descendre

lorsque lon se dplace depuis ce point dans cette direction.

La pente est maximale dans la direction du gradient 10,10 = 20,24a pour direction = 2420 = 1290 , 80 . La valeur maximale de la pente est 10,10 = 461.

3) Lquation du plan tangent la surface de la montagne en ce point scrit:

(P) : 600 = 20 10 24 10 ou (P) : = 20 24 + 800.4) g: 3 ,, = , , 0 = 22 2 4 2 .

g est une fonction polynomiale dans 3alors est de classe C2dans 3 .

Les points critiques sont solutions du systme :

gx = 2x1 z2 = 0gy

=

4

4y = 0

gz = 2x2z = 0On obtient une droite dans 3: 0,2, 0: 0

La matrice Hessienne de g est H= 21 z2 0 40 2 04 0 22

=0,=2,=0 21 z02 0 00 2 00 0 0

La forme quadratique associe H , est Q ,, = 21 z02X2 2Y2

Si 1 z02 < 0alors Q est indfinie : les points 0,2, 0sont des points selles. Si

1

z0

2

0alors Q est dfinie ngative : les points

0,

2,

0

sont des points

de maxima relatifs pour g.

Ainsi g 0,2, 12et g 0,2, 1sont des maxima relatifs .

5) Ecrire le dveloppement limit de g lordre 2 au voisinage du point a= 0,2, 12.

Soit X=,, , = , + 2, 12,le dl(2) de g au voisinage du point a scrit:

g = + + 122" 2 + 2" + 22 + 2" 122 + 2" + 2 +

2" 12 + 2" + 2 12 + 2 avec 0 0.g

= 4 +

3

4

2

2

+ 2

2 +

2

avec

0

0

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Exercice2:

1/ : + de classe C1et : 0, + 2 , 2 , = , . = . + . = + = +

=

. +

.

=

+

=

1

+

.

2/ Lensemble les fonctions relles de classe C1

sur + telles que :1 + = , = ou = , = , ,ou, = ( /)Ou2 + = 0 =0, = ou , = + o et t de classe C1.Avec = / et r=2 + 2 Exercice 3:

La forme diffrentielle = 12 + + 1 2 est une diffrentielle totale puisque :Avec

= 1

2 + =1

2 : = = 1

22.

= ,, = = 1 + = = 12 + = 12 + , ainsi = =( )22 + , la solution y de lquation diffrentielle (

12 + ) + 1 2 = 0, vrifie , = .On dduit , = 1 + ( )22 = ou = 1( )2

2+

la solution qui vrifie la condition initiale 1 = 1 ,est enfin, = 1( )22

+1.

Exercice4: 04 points

Soient :3

2

de classe C

1

et g 2

2

telles que :, = 2, , et1,1,1 = 1 3 42 1 3 = , = 2, , = 1, , 2, ,3, . Les fonctions , = 1,2,3sont de classe C1 , alors h est de classe C1dans 2. f et h sont de classe C

1,alors g est de classe C

1dans 2et , = , . , .

, = 2 et 2 , 2 = 2 00 1

1 1 2 , 2 = 1,1,1. 2 , 2 = 1 3 4

2 1 3

2 00 11

1

= 6 77

2

2 , 2 = 2 , 2 . = 6 77 2 . 2

2 22

= 22 15

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