Intuicionista matematikafilozfia

Csji Balzs Csandtmavezet: Csaba Ferenc

szigorlati dolgozat, filozfia szakELTE-BTK, 2003/2004 tavaszi flv

1. Bevezets

Ebben a dolgozatban egy matematikai anti-realista llspontot vizsglokmeg, nevezetesen az intuicionizmust. A dolgozat egyik f clja annak bemuta-tsa, hogy milyen rvek szolglnak az intuicionista logikai funktorok kizrlagoselfogadsa mellett, s annak vizsglata, hogy ez milyen kvetkezmnyekkel jr amatematikra nzve. Az elssorban Brouwer s Heyting nevhez kthet intuicio-nizmus mint ahogyan azt ksbb ltni fogjuk nem teljsen egyezik meg Bishopkonstruktivizmusval vagy Markov konstruktv rekurzv matematikjval, de alegtbb rv amely a dolgozatban szerepel s az intuicionizmus elfogadsa mel-lett szl, alkalmazhat ms konstruktivista llspontok vdelmben is. Ebben abevezet fejezetben rviden ismertetem, hogy mit is jelent lltsok egy bizonyososztlyval kapcsolatban realistnak vagy anti-realistnak lenni. A realizmus fo-galmnak meghatrozsnl Michael Dummett Realizmus cm cikkben [3]tallhat fogalmi keretet fogom hasznlni.

Kijelentsek egy osztlyval kapcsolatban amely osztlyt az adott osz-tlynak nevezzk realistnak hvjuk az olyan szemantikai llspontokat, ame-lyek szerint az adott osztly kapcsolatban van egy olyan valsggal, amely atudsunktl fggetlenl ltezik, oly mdon, hogy ez a valsg igazz vagy ha-miss teszi lltsainkat az osztlybl, fggetlenl attl, hogy mi ismerjk-e vagyegyltaln kpesek vagyunk megismerni ezeket az igazsgrtkeket [3]. Azok azllspontok, amelyek a tudsunktl fggetlen igazsgrtkek ltezst tagadjkaz adott osztly lltsaitl: anti-realistk. Az adott osztly-ra val hivatkozsegy nem elhagyhat eleme a realizmus / anti-realizmus defincijnak, ugyanisknnyen elkpzelhet, hogy valaki realista lltsok egy osztlyra vonatkozan(pldul a matematikai lltsokkal kapcsolatban), de anti-realista egy msikosztllyal kapcsolatban (pldul a mentlis llapotokra vonatkozan).

Dummett szerint [3] a realizmus maga utn vonja a ktrtksg (bivaliancia)elvnek elfogadst az adott osztlyra vonatkozan, nevezetesen, hogy minden azadott osztlyba tartoz llts hatrozottan igaz vagy hamis. Ebbl kvetkezik,hogy a kizrt harmadik (tertium non datur) elvnek tagadsa egy osztllyalkapcsolatban egytt jr az anti-realista llsponttal.

A matematikai lltsokkal kapcsolatos realizmust (amikor az adott osztly amatematikai lltsok osztlya) szoks matematikai platonizmusnak vagy mate-matikai idealizmusnak is nevezni. Ebben a dolgozatban mivel csak matematikailltsokrl lesz sz a matematikai jelzt gyakran elhagyom s egyszeren csak

platonizmusnak, realizmusnak vagy idealizmusnak hvom. Az anti-realistk sze-rint nem ltezik egy a tudsunktl fggetleg valsg, amely igazz vagy hamisstenn a matematikai lltsokat s a matematikai objektumok csak az elmnkkonstrukcii. Ebbl kifolylag az intuicionistk tagadjk a kizrt harmadik el-vnek rvnyessgt s j alapokra helyeztk a matematikt a nem-klasszikus(konstruktv) logikai konstansok bevezetsvel. Termszetesen, nem az intuicio-nista logikai funktorok elfogadsa jelenti a klnbsget a realista s anti-realistallspontok kztt. Egy platonista is rtkelheti, ha egy bizonyts konstruk-tv mivel az tbb informcival szolgl a szmra s bevezethet jellseketa konstruktv ltezik vagy a konstruktv vagy jellsre. A f klnbsg anem-klasszikus konstansok hasznlatnak kizrlagos elfogadsban ll, annakelismersben, hogy csak ezek az elfogadhat eszkzk a matematikban.

Egy gyakran idzett plda nem-konstruktv matematikai bizonytsokra akvetkez ttelre adhat: bizonytsuk be, hogy a, b R \ Q : ab Q. A Dum-mett ltal adott gyes nem-konstruktv bizonyts [2] gy szl: vagy (

2)2

racionlis, s ekkor j vlaszts az a = b =2 vagy (

2)2 irracionlis s

ekkor a = (2)2 s b =

2 megfelel vlaszts. Vegyk szre, hogy ez a bizo-

nyts nem adja meg szmunkra, hogy melyik a kt keresett irracionlis szm.Megjegyzem, hogy adhat konstruktv bizonyts is a ttelre, pldul a GelfondSchneider ttel felhasznlsval [15], amely szerint ha a 6 {0, 1}, s a algebrai,b irracionlis algebrai, akkor ab transzcendentlis.

2. Trtneti ttekints

Mieltt elkezdenm megvizsglni, hogy milyen rvek hozhatk fel a klasszi-kus logikai konstansok elvetse mellett s ez milyen kvetkezmnyekkel jr amatematikra nzve, vzlatosan (a teljessg ignye nlkl) ismertetem a kon-struktivizmus trtneti kialakulst.

Taln rdemes Immanuel Kant (17241804) jellegzetes matematika felfog-sval kezdeni, mivel ez ers hatssal volt a ksbbi intuicionista matematikakialakulsra. Kant A tiszta sz kritikja -ban kifejti [6], hogy a matema-tika lltsai szintetikus1 a priori termszetek (ellenttben mondjuk GottfriedWilhelm Leibniz (16461716) felfogsval, aki abszolt mdon rvnyes szigaz-sgoknak tartotta a matematika lltsait). Kant az aritmetikra vonatkozanezt a 7 + 5 = 12 pldjn mutatja be. Szerinte nem az ellentmonds trvnyealapjn kvetkezik, hogy 7 s 5 sszege 12 mivel a 7 s az 5 sszegnek fogalmasemmi tbbet nem tartalmaz csak a kt szm egyetlen szmban val egyeststde nem foglalja magban azt, hogy melyik szmot gondoljuk a kett sszefogla-lsaknt. Teht minden aritmetikai ttel szintetikus. Hasonlan a geometria s amatematika tbbi ga is szintetikus Kant szerint. A matematika bzisa szerintea tr s az id tiszta bels (az rzki tapasztalst megelz) szemllete, intuci-

1 Kant szintetikusnak hvja az olyan alany-lltmny szerkezet lltsokat, amelyek-ben az lltmny ismeretbvt jelleg, teht amelyekben az lltmny az alany fo-galmban mg rejtve sincs benne [6].

2

ja. A matematika szintetikus jellege abban nyilvnul meg, hogy a matematikaittelek gondolati konstrukcik eredmnyei [13].

2.1. Korai konstruktivistk

A matematikai platonizmusnak sok ellenfele akadt mr a XIX. szzad folya-mn. Taln a legismertebb kzlk Leopold Kronecker (18231891) akit a kon-struktivizmus vagy mg inkbb a finitizmus elfutrnak is tekinthetnk [14].Sokat elrul intuicionizmushoz kzel ll nzeteirl gyakran idzett mondsa:Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.2(Heinrich Weber gyszbeszdbl). Kronecker krvonalazott egy aritmetizlsitervet, mely az algebra s az analzis szmokkal val megalapozsra vonatko-zott. Ezt a programjt ksbb Jules Molk folytatta.

Fontos llomst jelentettek a konstruktv matematika kialakulsban a fran-cia pre-intuicionistk, akik a Zermelo-Fraenkel-fle halmazelmletet megalapozaximarendszer kivlasztsi aximjnak kritikja kapcsn fejtettek ki tbb-kevsb konstruktivista nzeteket. A legfontosabb alakjai ezen irnyvonalnak[14]: Baire, Borel, Lebesgue, Lusin s Poincar.

Julius Henri Poincar (18541912) tmadta a Cantor fle halmazelmletet(pldul az aktulis vgtelen fogalmt) s a logicizmust. Logikai szkepticizmu-st jellemzi mondsa, miszerint: Egy szillogizmus nem tud semmilyen esszen-cilisan jat tantani neknk. (1902). Amellett rvelt, hogy a matematikbantbbre van szksgnk mint logikra: intucikra. Szigoran vve nem volt in-tuicionista, de kritikja a logikval kapcsolatban (pldul a teljes indukcivalkapcsolatban) a konstruktivizmus egyik eldjv teszi.

Emile Borel (18711956) nzetei kzel lltak Kroneckerhez, pldul gy gon-dolta, hogy csak az effektven (pl.: vges sok szval) definilt objektumok ltez-nek a tudomnyban s a konzisztencia nem elgsges a ltezshez. Megjegyzem,hogy ezen elmlet liberlisabb mint az intuicionista matematika, mivel mgmegenged olyan fggvnyeket (mint amilyen a Dirichlet fggvny3) amelyeketaz intuicionista matematika amint azt ltni fogjuk nem tekint fggvnynek.

2.2. Brouwer s Heyting intuicionizmusa

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (18811966) holland matematikus nevhezfzdik az intuicionizmus els megfogalmazsa, aki elszr 1907-ben Amszter-damban a matematika megalapozsrl szl doktori disszertcijban fejtetteki anti-realista nzeteit. Brouwer szerint a matematika az elme bels szabadalkotsa s fggetlen mindenfle nyelvtl vagy platonikus valsgtl. Szerintea matematika nem fgg a logiktl s a logika a matematika rsze, valaminta matematikt nem lehet axiomatikus mdon megalapozni. (Ezen nzetei pl-dul teljesen ellenttben llnak a logikai-pozitivistk gondolkodsval, pl.: Rudolf

2 Az egsz szmokat Isten teremtette, minden ms emberi alkots.3 d : R {0, 1}, d(x) = 0 ha x Q s d(x) = 1 ha x 6 Q

3

Carnap (1891-1970) tbb helyen kifejti, hogy a matematika analitikus s a lo-gika rsze [1].) Brouwer elutastotta a Hilbert fle formalizmust s a Cantor flehalmazelmletet. A logika szmra csak egy megbzhatatlan eszkz a kommuni-kcira. Logikn Arisztotelsz szillogizmusait, nha Peano s Russell elmleteitrtette. A matematikai gondolkods Brouwer szerint matematikai struktrkmegalkotsbl ll, s a szillogizmusokhoz hasonl logikai struktrk megjelen-st csak a szably alkalmazsa kzben vgzett matematikai konstrukci igazolja.A logikt alkalmazott matematiknak tekintette s empirikus tudomnynak [14].Szerinte nem ltezik meghatrozott matematikai igazsg a gondolkodson kvl,s egy llts csak akkor lesz igaz ha a szubjektum megtapasztalta az igazsgt(amit a megfelel mentlis konstrukci vghezvitelvel tud megtenni). Hason-lkppen, egy llts csak akkor lesz hamis, ha a szubjektum megtapasztalta ahamissgt (mivel felismerte, hogy egy meghatrozott logikai konstrukci nemlehetsges). Teht Brouwer szerint nincsenek nem megtapasztalt (tudsunktlfggetlen) igazsgok. Ezen nzetei a konstruktv matematika megalkotshozvezettek, valamint a klasszikus matematika egy jelents rsznek elutastshoz[17]. Azonban Brouwer nem csak negatv mdon jrult hozz az intuicionista ma-tematikhoz, nem csak azzal, hogy elutastott nhny ltala nem-megfelelnektartott klasszikus matematikai mdszert. Nevhez fzdik a kivlasztsi soroza-tok [choice sequence] fogalmnak kidolgozsa. Ezen sorozatok bevezetse vezetteel Brouwert az egyenletes folytonossg ttelnek kimondshoz4. Ezen ttelrl mint az intuicionista matematika jellegzetes ttelrl ksbb mg lesz sz s mint ltni fogjuk a kivlasztsi sorozatokon kvl egyb alapelvek is szksge-sek bizonytshoz (pl.: a folytonos vlaszts elve).

Brouwer filozfijra Kant s Schopenhauer volt a legnagyobb hatssal. Fi-lozfijnak legnagyobb eltrse Kanttl az, hogy a matematikai intuci bzi-sbl elhagyta a teret (mivel el akarta kerlni a nem-euklideszi geometrikkalval konfrontcit) s rsaiban kizrlag az id intucijra hivatkozik [13].

Brouwer ugyan visszautastotta a formalizmust, de elismerte hasznossgtltalnos intuicionista logikai elvek lersra. Formlis intuicionista rendszerekettantvnya Arend Heyting (18981980) dolgozott ki, pldul a formlis intuicio-nista propozicionlis s prediktum logikt valamint az intuicionista aritmetikt.Ksbb Glivenko, Gentzen s Gdel bizonytottk be az intuicionista s a klasszi-kus elmletek ekvikonzisztencijt. Ezen eredmnyekrl az intuicionista logikalersakor ejtnk majd szt rszletesebben. Heyting Kroneckerrel ellenttben az egsz szmoknak sem tulajdontott semmifle transzcendentlis, gondolko-dstl fggetlen ltezst. Szerinte minden matematikai objektum mg ha talnfggetlen is az egyedi gondolati tevkenysgtl lnyegt tekintve az emberigondolkods ltal meghatrozott. Azonban Brouwer s Heyting filozfiai nze-teinek elfogadsa nem szksges az intuicionista matematikhoz. Teljesen ms(pldul nyelvfilozfiai) alapokon is rvelhetnk a konstruktv logikai funktorokkizrlagos elfogadsa mellett. Ezen rvekkel ksbb foglalkozunk.

4 Az intuicionista matematikban rvnyes ttel, mely szerint minden f : R Rfggvny egyenletesen folytonos.

4

2.3. Finitizmus

Brouwer s Heyting matematikja mg tartalmazott absztrakt fogalmakat,pldul: halmazokat s kivlasztsi sorozatokat. Tbb matematikus kritizltaaz absztrakt fogalmak hasznlatt a matematikban, pldul: Kronecker, Sko-lem s Goodstein [14]. Ezen matematikusok egy nagyon korltozott konstruktvmatematika bevezetst javasoltk, amelyben csak szigoran vges matemati-kai objektumok hasznlata megengedett (mint amilyen egy termszetes szm)s ezeken az objektumokon csak konkrt (effektv) kombinatorikus mveleteketszabad rtelmezni (mint amilyet pldul egy szorztbla definil). Termszetesena finitizmus teljesen konstruktv, s gy rsze az intuicionista matematiknak.

A finitista matematika feltnik David Hilbert (18621943) nmet matemati-kus programjban is. Hilbert kifejtette, hogy a matematikai aximarendszerekkonzisztencijt vges (finit) a vgtelensg matematikai fogalmtl mentes eszkzkkel kell bizonytani, s ezltal kell a matematikt vglegesen biztos ala-pokra helyezni. Kurt Gdel (19061978) osztrk logikus nemteljessgi tteleitltalban gy rtkelik, mint amelyek meta-matematikai bizonytst adjk an-nak, hogy Hilbert bizonytselmleti programja megvalsthatatlan [13].

A finitizmusnak egy mg radiklisabb vltozata is ismert, az n. ultra fini-tizmus. Pldul Borel gy goldolta, hogy egy nagyon nagy vges objektum (pl.:szm) legalbb olyan problematikus mint egy vgtelen. Direkt mdon megfogal-mazott olyan krdseket, hogy pdul a 1010

10egy vges szm-e. A XX. szzad

msodik felben trtntek ksrletek az alkalmas [feasible] szmok fogalmnakmegalkotsra, de ezen trekvsek mg kezdetleges llapotban vannak.

2.4. Konstruktv rekurzv matematika

A konstruktv rekurzv matematika fleg Andrej Andrejevics Markov (18561922) nevhez fzdik, s az algoritmusok vagy rekurzv fggvnyek elmletnnyugszik. Primitv rekurzv fggvnyeket elszr Gdel hasznlt nem-teljessgitteleinek bizonytshoz (1931). Alonzo Church (1903-1995) dolgozta ki (tel-jesen ms alapokon) a -kalkulust (1932), amely elmlet csak -absztrakcithasznl s benne minden rekurzv fggvny -definilhat [14]. Tle fggetlenl1937-ben Alan Mathison Turing (19121954) bevezette az absztrakt matematikaigpek egy osztlyt: a Turing gpeket. A Turing gpekkel kiszmthat fggv-nyek osztlya megegyezik a Church fle -kalkulussal kiszmthat fggvnyekosztlyval. Church tzise, amely azonostja a hatkonyan kiszmthatsg s arekurzvan kiszmthatsg fogalmt ChurchTuring tzis nven vlt ismert.

Ezt a tzist Markov npszerstette s fektette le konstruktv matematikjaalapjait: (1) a matematika objektumai klnbz abc-k fltti szavak; (2) reali-zlhat absztrakci megengedett a matematikban, de nem megengedhetek azaktulis vgtelent hasznl absztrakcik. Markov a norml algoritmusok elmle-tn keresztl formalizlta matematikjt. Elmlete tekinthet gy, mint egy re-kurzv matematika intuicionista logikai alapokon. Bizonyos rtelemben azonbanMarkov szigorbb mint az intuicionistk, ugyanis csak olyan kivlasztsi soro-zatokat enged meg, amelyek egy vges algoritmus (pldul egy Turing gp) ltal

5

elre meghatrozottak [17]. Markov ms tekintetben azonban engedkenyebb azintuicionistknl, amire pldaknt a Markov-elvet [Markovs principle] hozhat-juk. Az elv egyszeren azt mondja ki, hogy ha lehetetlen, hogy egy bizonyosTuring-gp rkk fut, akkor ltezik egy olyan algoritmus, amely a kimenetetellltja s fel kell tennnk, hogy a gp egyszer megll (terminl). Binris soro-zatokra ezt az elvet pldul gy mondhatjuk ki, hogy ha egy (an {0, 1})nNsorozatra ellentmonds, hogy minden ai tagja egyenl 0, akkor ltezik egy olyantagja a sorozatnak amely egyenl 1-el. Az intuicionistk ezt az elvet, mint intu-itvan nem tisztt, elutastottk [14].

2.5. Bishop konstruktv matematikja

Egyik kulcseleme az intuicionista matematiknak / logiknak, hogy tagadja akizrt harmadik elvnek rvnyessgt (ennek indoklsrl a 3. fejezet szl rszle-tesebben). Sokan vltk gy, hogy ez rendkvl korltozott teszi az intuicionistamatematikt, pldul Hilbert a Grundlagen der Mathematik (1928) cm mv-ben gy rt: A kizrt harmadik elvnek kihagysa a matematikbl ugyanolyan,mintha, pldul a csillagszokat megfosztannk a teleszkptl vagy a boxolkatattl, hogy az klket hasznljk.. Ezen nzetek radiklsan megvltoztak, miu-tn Erret Bishop (19281983) publiklta A konstruktv analzis megalapozsa(1967) cm knyvt, melyben a modern analzis nagy rszt intuicionista alapo-kon jra felptette. Olyan absztrakt ttelek konstruktvista vltozatt talljukknyvben, mint amilyen a StoneWeierstrass ttel, HahnBanach ttel, Hilberttr beli nadjunglt opertorok spektrl ttele, az absztrakt integrlok Lebes-gue fle konvergencia ttele s olyan fogalmak intuicionista megfelelit adta meg,mint a Haar mrtk s a Fourier transzformci [17].

Bishop elmletnek egyik alapgondolata, hogy minden matematiknak nu-merikus jelentssel kell rendelkeznie. Ezen nzete kzelebb ll Kronecker arit-metizlsi programjhoz, mint Brouwer s Heyting megkzeltshez, amely-ben a termszetes szmok is csak az emberi elme termkei. Bishop matema-tikja ontolgiailag neutrlis, gy az rendszert pontosabb episztemolgiai-intuicionizmusnak hvni, szemben Brouwer ontolgiai-intuicionizmusval.

2.6. Martin-Lf tpuselmlete

Per Martil-Lf elmletben a matematikai objektumok olyan konstrukcikamelyek mindig egyttjrnak a tpusukkal. A tpus megmutatja, hogy mit kelltennnk ahhoz, hogy egy ilyen objektumot megkonstruljunk. Egy tpus jl-definilt, ha rtjk, hogy mit jelent egy adott tpushoz tartozni. Ezrt, pldul azN N egy tpus, nem azrt mert ismernk bizonyos szmelmleti fggvnyeket,hanem mert azt hisszk, hogy rtjk a szmelmleti fggvny fogalmt ltalban.

Rendszerben minden llts reprezentlhat gy, mint egy tpus: nevezete-sen az llts bizonytsainak tpusa. Megfordtva, minden tpushoz tartozik egyllts, az, amelyik azt mondja ki, hogy a tpus nem res. Martin-Lf elmle-tben minden konstruktv bizonyts egy algoritmust testest meg, st a bizo-nyts konstrukcija maga egy ellenrzs arra, hogy az algoritmus helyes, vagyis

6

megfelel a specifikcijnak. Ezen tulajdonsgai a szmtstudomny szmrais nagyon gretess teszik megkzeltst [8].

3. A tertium non datur elvetse

Az intuicionista matematika egyik alaptzise, hogy a klasszikus (platonista)matematika rvnytelen kvetkeztetsi formkat tartalmaz (pldul a kizrt har-madik elvt) s ezeket intuicionista (konstruktv) mdszerekkel kell helyettes-teni. Ebben a fejezetben megvizsglom, hogy milyen rveket szoktak felhozniaz intuicionistk ezen lltsaik altmasztsra. Elszr Brouwer ellenpldikerlnek bemutatsra, majd Pourciau s Dummett rveit ismertetem.

3.1. Brouwer gyenge ellenpldi

Brouwer egy 1908-as cikkben mutatta be els kritikit a kizrt harmadikelvrl. E dolgozatban adott nhny pldt olyan esetekre, amikor nincs okunkarra, hogy a kizrt harmadik elvt igaznak tartsuk. Mivel ezek a pldk szigorrtelemben nem cfoljk meg a kizrt harmadik elvt (tovbbiakban: KHE),ezrt szoks ezeket gyenge ellenpldknak nevezni [17]. Vegynk pldul egymg mindig megoldatlan matematikai problmt, mondjuk a Goldbach sejtst5.Ezt a sejtst Goldbach egy Eulerhez rt levelben fogalmazta meg 1742-ben,de az azta eltelt vszzadokban mg senkinek sem sikerlt bebizonytania vagycfolnia. Brouwer szerint mr maga a Goldbach sejts is egy ellenplda a KHE-re, ugyanis a jelenben mg senki sem tapasztalta meg az igazsgt (senki semkonstrult hozz bizonytst az elmjben) s senki sem tapasztalta meg a cfo-latt, ezrt szigoran szlva nem llthatjuk, hogy: a Goldbach sejts vagy igazvagy hamis. Egy bcsi eladsban Brouwer szintn a Goldbach sejts segts-gvel tovbbi ellenpldkat konstrult (KHE-re). A tovbbiakban legyen G(n)igaz, ha n elll kt primszm sszegeknt s hamis klnben. Ekkor nzzk akvetkez racionlis szmokbl ll rekurzv (an) sorozatot: a0 = 1 s

an ={an1 (1/2)n ha j n: G(2j + 2),an1 ha k n: G(2k + 2), (1)

ez a sorozat jl definilt, mivel minden elemre van egy vges determinisztikus al-goritmus amely kiszmtja azt. Tovbb a sorozat Cauchy-sorozat (intuicionistartelemben is), mivel a sorozat n-nl nagyobb index tagjai legfeljebb (1/2)n t-volsgra vannak egymstl. Ebbl kifolylag a sorozat konvergl s egy valsszmot definil (a intuicionista vals szmokrl s Cauchy-sorozat intuicionistadefincijrl az 5. fejezetben lesz sz rszletesebben). A sorozat defincijblkvetkezik, hogy csak akkor tudjuk, hogy = 0 ha tudjuk, hogy mindig a defin-ci els fele az rvnyes, teht ha bebizonytottuk a Goldbach sejtst. Hasonlan 6= 0 -t is csak akkor tudnnk ha mr cfoltuk volna a sejtst, de ezidig5 Mely szerint minden 2-nl nagyobb pros szm elll kt primszm sszegeknt.

7

egyiket sem tette meg mg senki. Ezen megllaptsok a kvetkez meglep k-vetkezmnyhez vezetnek: nem llthatjuk, hogy x R : x = 0 x 6= 0 mivelegy konkrt szmra ezt csak akkor tudjuk ha mr bizonytottuk, hogy = 0vagy 6= 0. Teht el kell vetnnk a kizrt harmadik elvt ha a vals szmok ef-fektv intuicionista defincijt fogadjuk el. Megjegyzem, hogy az intuicionistalogikban (amiben pldul nincs KHE) abbl, hogy x R : x = 0 x 6= 0termszetesen nem kvetkezik, hogy x R : x 6= 0 x = 0 (ami ellentmonds).

3.2. Brouwer ers ellenpldi

Brouwer 1928-ban az Intuitionistische Betrachtungen ber den Formalis-mus cm mvben kzli az els ers ellenpldjt a KHE-re, melyben meg-mutatja, hogy az intuicionista valsszm-, fggvny- s halmaz-fogalom elfoga-dsval nem lehetsges sztvgni a valsszmok testt racionlis s irracionlisszmokra [17]. Bebizonytotta, hogy x R : (P (x)P (x)), ahol P (x) akkorigaz ha x racionlis s R az intuicionista valsszm test. Az 5. fejezetben rsz-letesen bemutatom az intuicionista valsszm fogalmat, addig is megellegzem,hogy egy vals szm az intuicionista matematikban egy racionlis szmokblll Cauchy-sorozat (kivlasztsi sorozat). A fenti lltsnl tbb is igaz, neve-zetesen, hogy egyltaln nem lehet a valsszmok testt kettvgni gy, hogyA,B R olyan nem-res halmazok [spread], hogy A B = s A B = R. Abizonyts a kvetkez: tegyk fel, hogy szt lehet vgni R-t nem-res diszjunkthalmazokra, ekkor ltezik egy olyan f : R R fggvny, hogy:

f(x) ={0 ha x A,1 ha x B, (2)

ezen fggvny totlis, teht Brouwer folytonossgi ttelbl kvetkezen (amely-rl az 5. felyezetben lesz sz) folytonos is. De ekkor konstansnak is kell lennie,teht vagy A vagy B egyenl R-el, s a msik halmaz res. De feltettk, hogyegyik halmaz sem res, gy ellentmondshoz jutottunk, teht nem lehet nem-resdiszjunkt halmazokra kettvgni R-t (quod erat demonstrandum). Teht, ha el-fogadjuk az intuicionistk fogalmait, el kell vetnnk a KHE-t [17]. Termszete-sen ez a nem-sztvghatsgi [non-splittability] ttel nem rvnyes a klasszikusmatematikban, s kimondshoz Brouwer felhasznlta, hogy az intuicionistamatematikban mind a vals szmok, mind a halmazok6 mind a fggvnyek k-lnbzkppen vannak definilva, mint a klasszikus esetben. Ksbbi munkibanBrouwer hasonl eszkzkkel mutatta meg, hogy: x R : (x < 0 x < 0)valamint, x R : (x 6= 0 x < 0 x > 0).

3.3. Pourciau tudomnymetodikai rvei

Bruce Pourciau llspontja szerint [10] egy kuhni rtelemben vett tudom-nyos forradalom [7] elmletileg lehetsges a matematikban. Azonban eddig mg6 Ugyan Brouwer a Menge vagyis halmaz szt hasznta, de a ksbbi angol nyelvirodalom az esetleges zavarok elkerlsre a spread kifejezst vezette be.

8

nem tudunk rla, hogy a matematikban valaha lezajlott volna olyasfajta tu-domnyos forradalom, mely utn az j paradigmban a rgi paradigma lltsaiinkoherensnek, nem megfelelen altmasztottnak vagy egyszeren hamisnak bi-zonyultak. Pourciau vlemnye szerint azonban az intuicionizmus egy ilyen tudo-mnyos forradalom lehetsgt hordozta magban, de fkpp trtneti okokbl(pldul Brouwer extravagns nzetei miatt) elbukott.

Pourciau egy msik cikkben [11] amit egy szndarab formjban rt meg azon az llsponton van, hogy ha nhny nagyon egyszer (szinte nevidens-nek ltsz) alapelvet elfogadunk a tudomnyos vizsglatok alapelveiknt, akkorezekbl mr kvetkezik a intuicionizmus. Ezen elvek a kvetkezk:

1. Ismernnk kell egy llts jelentst, mieltt azt vizsglnnk, hogy igaz-e.2. Ne ptsnk teljesen megalapozatlan feltevsekre.3. Az egyszertl haladjuk a kevsb egyszer fel.

A matematika elsdlegessgt a logikval szemben (Brouwer szellemben)pldul (1) s (2) tmaszja al: mivel a logika az lltsok jelentstl fgget-lenl vizsglja igazsgrtkket ez ellentmond (1)-nek, a ktrtksg elvnekkritika nlkl val elfogadsa pedig (2)-nek lltja Pourciau [11]. A termsze-tes szmok axiomatikus felptse ellen a (3) felttel alapjn lehet rvelni, mivela termszetes szmok fogalma sokkal vilgosabb s egyszerbb, mint mondjuk aZermelo-Fraenkel fle aximarendszer. Pourciau llspontja szerint (1)-(3) elfo-gadsval nem egyeztethet ssze a klasszikus platonista matematika.

3.4. Dummett szemantikai rve

Dummett a The Philosophical Basis of Intuitionistic Logic (1973) cm cik-kben [4] tbb rvet is elemez, melyek azt prbljk meg altmasztani, hogya matematikban az intuicionista logika rja le a helyes rvelsformkat s nema klasszikus logika. A kt legfontosabb rv amit megvizsgl egy ontolgiai segy szemantikai rv. Az ontolgiai rv szerint a matematikai lltsok nem egytlnk fggetlen valsgra, hanem csak az ltalunk ltrehozott trgyakra vo-natkoznak. Ez azonban mg kevs Dummett szerint az intuicionista lls-pont vdelmhez, hacsak nem fogadunk el bizonyos feltevseket a feltteles mdkondicionlisokra vonatkozan. A msik rv a jelentselmlet s szemantika szt-vlasztsnak kritikjn alapul. Szerinte egy mondat jelentse nem vlaszthatel attl a krdstl, hogy hogyan alapozhat meg a mondat igazsga. A mate-matikai lltsok jelentst valamiflekppen a bizonytsok ltal adottknt kelltekintennk. Ezt az rvt rszletesen vizsglta meg Dag Prawitz 1977-ben [12], amost kvetkez rekonstrukci is rszben Prawitz gondolatmenett kveti. Dum-met szemantikai rvnek hrom legfontosabb fzisa a kvetkez:

Dummett elszr egy wittgensteininus jelentselmlet mellett rvel. Lud-wig Wittgenstein (18891951) a Filozfiai vizsgldsok -ban [16] ezt rja (43.szakasz): Az esetek nagy rszben ha nem is minden esetben , amikor a je-lents szt hasznljuk, a szt gy magyarzzuk: egy sz jelentse hasznlataa nyelvben.. Tbb rv szl ezen jelentselmleti elv elfogadsa mellett: a leg-ltalnosabban taln gy tmaszthat al, hogy a jelentsnek kzlhetnek, a

9

kzlsnek pedig megfigyelhetnek kell lennie. Egy ms rv lehetne a nyelvta-nuls rve, mely szerint egy nyelvet megtanulni annyit tesz, mint megtanulniegy bizonyos mdon hasznlni. Termszetesen, ezen dolgozat kereteibe nem frbele ennek az elmletnek mlyrehat vizsglata. Annyit azonban megjegyeznkvele kapcsolatban, hogy jelentselmleti alapon rvelni az intuicionizmus mellettteljesen ellenttes Brouwer (sokak ltal szolipszisztikusnak tartott) nzeteivel,mivel teljesen nyelvfggetlen tevkenysgnek tartotta a matematikt.

Msodik lpsknt Dummett a platonista jelentselmlet mely szerint egyF mondat jelentsnek az ismerete F igazsgfeltteleinek az ismerete [12] ellenrvel. Rmutat, hogy az eldnthetetlen lltsok jelentsvel komoly gond vanegy platonista elmletben, ugyanis nem egszen vilgos, hogy mit kellene rteniilyen esetekben az igazsgfelttelek ismeretn. Dummett gy gondolja, hogy amatematika-tanuls sorn nem az lltsok igazsgfeltteleit tanuljuk meg, ha-nem sokkal inkbb azt, hogy mi szmt igazsguk megalapozsnak. Teht ssze-rbbnek tnik azt lltani, hogy a jelents a bizonytsok ltal meghatrozott.Azonban egy mondat hasznlatnak a matematikban vannak ms jellemzi is:nemcsak azt tanuljuk meg, hogy hogyan bizonytsuk be az lltsokat, hanemazt is, hogy hogyan hasznljuk ezen lltsokat ms lltsok bizonytsaiban.Amikor matematikai lltsok hasznlatt tanuljuk meg, akkor tulajdonkppenebbe a kt tpusba tartoz szablyokat tanulunk meg. Teht a jelents hasznlatltal val adottsga a matematikban alkalmazva az jelenti, hogy az lltsokjelentst7 a bizonytsok s a bizonytsi szablyok hatrozzk meg.

Utols lpsknt Dummett arra hvja fel a figyelmet, hogy mg ha el is fogad-juk, hogy egy matematikai llts jelentst a bizonytsok illetve a bizonytsiszablyok hatrozzk meg, ebbl mg nem kvetkezik, hogy a klasszikus logiktaz intuicionista logikval kell helyettesteni. Ehhez al kell tmasztanunk, hogya szban forg bizonytsok az intuicionista s nem a klasszikus bizonytsok:fell kell vizsglnunk a matematikai lltsok hasznlatt. Dummett a fenti witt-gensteininus jelentselmlet hrom lehetsges vltozatt vizsglja meg, olyanszempontbl, hogy ezen vltozatok elfogadsval mennyire lehet a hasznlat in-tuicionista alapokon val fellvizsglatt altmasztani. Az els egy holisztikuselmlet, amely szerint az egyes mondatok jelentst nem kevesebb, mint a hasz-nlat egsze szablyozza. Ezen llspont szerint nem ltezik a jelentsnek ms,lnyegi alapelve, gy a bizonytsokkal adott jelents sem egyeztethet ssze vele.

A msodik vizsglt elmlet annyiban ms mint a holisztikus, hogy kivlasztjaa mondatok azon osztlyt, melyek tartalma a nyelv fennmarad rsznek hasz-nlattl fggetlenl adott. A tbbi mondat jelentst az hatrozza meg, hogymiknt hasznljuk ket e kitntetett osztly vonatkozsban. Pldul a reduk-cionizmus amit Quine mint az empirizmus egyik dogmjt elutast [9] atudomnyfilozfiban ilyen jelentselmleti llspontnak tekinthet. A matema-tikban ilyen elmlet a Hilberti program [12]. Ezekben esetekben a hasznlat fe-llvizsglatt az teszi szksgess, hogy a kitntetett mondatok igazsgra ktf-lekppen is kvetkeztethetnk: egyrszt sajt jelentsk alapjn igazak, msrszt

7 rdekessgknt jegyzem meg, hogy egy radiklis fizikalista llspont szerint a mate-matikai lltsoknak nincsen jelentsk, lsd E. Szab Lszl cikkt [5].

10

ms mondatokbl is kvetkeztethetnk rjuk. De mi trtnik, ha konfliktusbakerl egy mondat ktfle megalapozsa, nevezetesen azok a szablyok melyekalapjn a mondatot lltjuk s azok a szablyok melyek alapjn kvetkeztethe-tnk belle. Ilyen esetekben az els fajtj hasznlatnak van elsbbsge s ppenezen konfliktushelyzetek elkerlse miatt kell lecserlnnk a klasszikus logikt azintuicionistra. A harmadik vizsglt llspont amolekulris jelentselmlet, melyszerint egy mondat jelentse az alkotelemeinek jelentstl s ezek kompozci-jnak mdjtl fgg. Ha ezt az elmletet fogadjuk el, akkor nemcsak a kitntetettmondatokra, de valamennyi mondatra kiterjeszthetjk, hogy egy lltshoz kt-fle mdon lehet eljutni (ti. kzvetlenl s kzvetve). Meg kell kvetelnnk, hogya ktfle jelents sszhangban legyen egymssal, teht nem szabad megengedni,hogy kzvetett eszkzkkel olyan dolgot lehessen lltani, amit kzvetlenl nemlehet beltni. Ebbl a kiktsbl mr kvetkezik, hogy a klasszikus logikt fellkell vizsglnunk s az intuicionista logikt kell elfogadnunk.

4. Intuicionista logika

Az intuicionista logika legfontosabb klnbsge a klasszikus logikhoz kpest,hogy benne az alternci s az egzisztencia szigorbb (nem-klasszikus) mdonvan rtelmezve. Pldul ` A B csak akkor ll fenn, ha ` A s ` B kzllegalbb az egyik fennll, s ennek kvetkeztben az intuicionista logikban nemrvnyes a kizrt harmadik elve: ` A A (mivel ha pldul A egy egyenlreeldntetlen lltst jell, akkor sem ` A sem ` A nem ll fnn). Az alterncirtelmezshez hasonlan a ` xA(x) is csak gy lehetsges, ha van egy olyan tterminus, amellyel ` A(t).

4.1. BrouwerHeytingKolmogorov interpretci

Az elsrend prediktum-logika egy konstruktv interpretcijt adja az gy-nevezett BHK (BrouwerHeytingKolmogorov) interpretci. A most bemuta-tsra kerl interpretcit Andrej Nyikolajevics Kolmogorov (19031987) adta alogikai konstansok jelentsrl. Ezt az interpretcit nevezik kvzi szemanti-knak is (azrt kvzi mert az eljrs s a konstrukci kifejezsek nincsenekpontosan definilva benne):

A B bizonytst megadtuk, ha megadtuk A egy bizonytst s B egybizonytst;

AB bizonytst megadtuk, ha megadtuk A s B kzl legalbb az egyik-nek a bizonytst;

A B bizonytsa olyan eljrs, amelynek alapjn A tetszleges bizony-tsbl megkaphatjuk B bizonytst;

xA(x) bizobnytsa olyan eljrs, amelynek alapjn tetszleges t objektumkonstrukcija alapjn megkaphat A(t) bizonytsa;

xA(x) bizonytsa kt rszbl ll: egy t objektum konstrukcijbl s A(t)bizonytsbl;

11

Az ellentmondsnak nincs bizonytsa. A bizonytsa egy eljrs, amelyA egy tetszleges (felttelezett) bizonytsbl egy ellentmonds (pldul0 = 1) bizonytst lltja el.

4.2. FregeHilbert-stlus kalkulus

Az elsrend intuicionista prediktum-logikra adhatunk mind termszeteslevezetsre pl mind FregeHilbert-stlus kalkulust (amelyekrl belthat,hogy deduktve ekvivalensek). Most helytakarkossgbl csak egy FregeHilbert-stlus kalkulust mutatok be, amit IQC-nek fogok nevezni. Egy eltrsa klasszikus prediktum-kalkulus (QC) felptshez kpest, hogy az aximas-mkban majdnem minden logikai konstans szerepel (kivve mondjuk A Bamely az A B B A formult rvidti) mivel a klasszikus defincikkifejezsei az intuicionista logikban nem rvnyesek. Nyilvn, nem mindegyiksma, amit QC flptsnl alapsmnak tekintettnk szerepel IQC smiban:

A (B A)(A B) {[A (B C)] (A C)}A [B (A B)](A B) A(A B) BA (A B)B (A B)(A C) {(B C) [(A B) C]}(A B) [(A B) AA (A B)xA(x) A(t)A(t) xA(x)

Temszetesen, az utols kt sma csak akkor rvnyes, ha x nem szerepel t-ben.A kvetkeztetsi szablyok kzl a szoksos modus ponens alkalmazhat:

A A BB

a kvantoros formulkra vonatkozan pedig:

A BxA(x) B s

B AB xA(x)

amennyiben x-nek nincs szabad elfordulsa B-ben. Megjegyzem, hogy nemcsak a kizrt harmadik elve (A A) de a ketts tagads elve (A A)is kimaradt a smk kzl, ennek oka pedig, hogy belle s az intuicionistalogikban is rvnyes (AA) formulbl a modus ponens segtsgvel KHE-tle lehetne vezetni. Ha az AA vagy a A A smt csatoljuk IQC-hez, akkora klasszikus elsrend logika valamelyest redundns kalkulust kapjuk (QC).Az intuicionista logikban (a KHE elvetse miatt) a reductio ad absurdum tpusrvek csak negatv lltsokat bizonytanak (mivel A A ltalban nem

12

rvnyes IQC-ben). rdemes mg a kvetkez ltalnos megjegyzseket tenni: azintuicionista propozicionlis-logikban nem minden formulnak van konjunktvvagy diszjunktv normlformja valamint az intuicionista prediktum-logikbannem minden formulhoz van vele ekvivalens prenex formula [17].

4.3. A klasszikus logika fordtsa intuicionistra

Egy alapvet eredmny az intuicionista logikval kapcsolatban, hogy a klasszi-kus s intuicionista (propozicionlis- s prediktum-) logika ekvikonzisztens. Apropozicionlis logikra ezt Glivenko bizonytotta be elszr 1929-ben. A klasszi-kus propozicionlis-kalkulust jelljk PC-vel mg az intuicionista megfeleljtIPC-vel (amit IQC-bl gy kaphatunk, hogy elhagyjuk az utols kt aximas-mt s a formulk csak propozcikat s , , , jeleket tartalmazhatnak).Glivenko bebizonytotta, hogy egy A formulra PC-ben ` A akkor s csak akkor,ha IPC-ben ` A. (St negcival kezdd formulkra: PC-ben ` A akkor scsak akkor, ha IPC-ben ` A [13].)

A prediktum-kalkulus esetre egy ennl bonyolultabb a negatv fordts fo-galmt hasznl ttel mondhat ki, amit egymstl fggetlenl Gdel s Gentzenbizonytott be. E ttel szerint egy L nyelv minden A formuljra megadhat egyolyan g(A) formula, hogy a kvetkez hrom llts teljesl [17]:

1. QC-ben ` A g(A);2. IQC-ben ` g(A) g(A);3. Ha QC-ben ` A, akkor IQC-ben ` g(A).A g(A) formult nevezik az A negatv fordtsnak, konstrukcija a kvetkez:

g(A) legyen A ha A atomi formula; g(A B) legyen g(A) g(B); g(A B) legyen (g(A) g(B)); g(A B) legyen g(A) g(B); g(A) legyen g(A); g(xA(x)) legyen xg(A(x)); g(xA(x)) legyen xg(A(x)).

4.4. Kripke-modellek

Sokfle interpretci ltezik az intuicionista rendszerekhez (pldul Klenee,Beth s Aczl is adtak interpretcikat) azonban most csak Kripke lehetsges-vilg szemantikjt (1965) fogom rviden ismertetni. Erre a szemantikra nzveaz intuicionista prediktum-logika helyes s teljes [17].

Informlisan a Kripke-modellre gy gondolhatunk, mint amelyik egy idelisszubjektum lehetsges (tudat) llapotait rja le. Ez a szubjektum tteleket bizo-nyt s (matematikai) objektumokat konstrul. Idealizlt abban az rtelemben,hogy -ot sohasem bizonytja be s amit egyszer bebizonytott vagy megkonst-rult azt sohasem felejti el. Ennek a szubjektumnak a lehetsges llapotait egyfa-szer struktrval reprezentlhatjuk: minden (id)pontnak megfelel egy

13

D univerzum s egy D alaphalmaz R struktra (D-n rtelmezett rel-cik egy sszessge). jelli azt, hogy nem elbbi (idpont), mint ; alehetsges idpontok sszessgt jellje T . nem felttlenl lineris rendezs.

Formlisan egy Kripke-modell egy M = T,, D, S, rendezett-ts, aholT egy halmaz (a lehetsges idpontok vagy llapotok halmaza), reflexv,tranzitv s antiszimmetrikus relci T -n, D s S pedig T -n rtelmezett fggv-nyek: S() minden esetn egy D() alaphalmaz struktra; tovbb amennyi-ben , gy S() S() minden , T -re.

A jelli azt, hogy az idpontban A igaz. (Az idelis szubjektum tudja,hogy A.) Ha A atomi mondat, akkor

(0) A S() A;A logikai konstansokra vonatkoz szablyok:

(1) A B A s B;(2) A B A vagy B;(3) A B esetn, ha A, akkor B;(4) xA(x) s t D() esetn A(t);(5) xA(x) t D(), hogy A(t);(6) A esetn 1 A.

5. Intuicionista matematika

Ebben a fejezetben nagyon rviden ismertetem az intuicionista matematikanhny alavet fogalmt s ttelt. A termszetes szmok segtsgvel (amelyekpldul a Heyting-aritmetika ltal adottak) az egsz s a racionlis szmokatugyanolyan mdon konstrulhatjuk meg, mint a klasszikus matematikban. Azintuicionista matematikban egy vals szm egy x =< x1, x2, . . . > racionlisszmokbl ll Cauchy-sorozat, amelyet nem felttlenl kell egy szablynak elremeghatroznia (csak Markov elmletben). Nem felttlenl szksges az sem,hogy ekvivalencia-osztlyokba rendezzk az gy kapott sorozatokat. A Cauchy-sorozat (Bishop ltal adott) intuicionista defincija a kvetkez:

m,n N : |xm xn| 1/m+ 1/nAz ilyen racionlis Cauchy-sorozatokat hvjuk kivlasztsi sorozatoknak. Az in-tuicionista matematika egy alapvet tulajdonsgra mutat r a kvetkez meg-figyels. Legyen P (N Q) N gy, hogy minden a N Q -ra ltezikegy olyan n N, hogy (a, n) P . Konstruktivista nzpontbl ez azt jelenti,hogy van egy vges eljrs, amelyik brmely a sorozatra kiszmtja n-t. Brou-wer elmlete alapjn, egy a N Q konstrukcija mindig befejezetlen, tehtbrmely pillanatban csak egy vges szelett ismerjk a-nak. Teht az eljrsnakmindenkppen a egy vges < a1, a2, . . . , aN > kezdszeletbl kell meghatroz-nia azt az n-et amelyre (a, n) P . Vegyk szre, hogy ekkor az eljrs ugyanaztaz n-t fogja rendelni minden olyan b N Q -ra is amelyre teljesl, hogy

14

ai = bi ha i N . Ebbl a konstruktivista elvbl mely szerint minden kivlasz-tsi sorozatokon rtelmezett fggvny minden sorozatra annak vges kedzdrszealapjn kell, hogy eldntse, hogy mit rendel ahhoz a sorozathoz (amely elvet afolytonos vlaszts elvnek [principle of continuous choice] nevezik) kvetke-zik, hogy minden R-et nmagba kpez fggvny (egyenletesen) folytonos, stltalnosabban minden teljes, nem-res, szeparbilis metrikus teret egy msikmetrikus trbe kpez fggvny is folytonos. Ezt az eredmnyt is felhasznltaBrouwer ers ellenpldinak megalkotshoz.

Hivatkozsok

1. Carnap, Rudolf: A rgi s az j logika. Erkenntnis (1930). In: A Bsi Kr filozfija,Gondolat Kiad (1972) pp. 197217

2. Dummett, Michael: Elements of Intuitionism. Oxford: Clarendon Press (1977)3. Dummett, Michael: Realism. Synthese Vol. 55 (1982) pp. 551124. Dummett, Michael: The Philosophical Basis of Intuitionistic Logic (1973). In: Truth

and Other Enigmas, Duckworth (1978) pp. 2152475. E. Szab Lszl: Formal Systems as Physical Objects: A Physicalist Account of

Mathematical Truth. International Studies in the Philosophy of Science, Vol. 17,No. 2 (2003) pp. 117125

6. Kant, Immanuel: A tiszta sz kritikja (1781). ICTUS Kiad, Budapest (1995)7. Kuhn, Thomas: A tudomnyos forradalmak szerkezete (1962). Osiris Kiad (2000)8. Martin-Lf, Per: On the Meanings of the Logical Constants and the Justifications

of the Logical Laws. Nordic Journal of Philosophical Logic, Vol. 1 (1996) pp. 11609. Quine, Willard Van Orman: Az empirizmus kt dogmja (1951). In: ForraiSzegedi

(szerk.): Tudomnyfilozfiai szveggyjtemny, ron Kiad (1999) pp. 13115310. Pourciau, Bruce: Intuitionism as a (Failed) Kuhnian Revolution in Mathematics.

Studies in History and Philosophy of Science, Vol. 31, No. 2 (2000) pp. 29732911. Pourciau, Bruce: The Education of a Pure Mathematician. The American Mathe-

matical Monthly, October 1999, Vol. 106, No. 8, (1999) pp. 72073212. Prawitz, Dag: Jelents s bizonyts: a klasszikus s az intuicionista logika konf-

liktusa (1977). In: Csaba Ferenc (szerk.): A matematika filozfija a 21. szzadkszbn. Osiris Kiad, Budapest (2003) pp. 123163

13. Ruzsa Imre; Mt Andrs: Bevezets a modern logikba. Osiris Kiad (1997)14. Troelstra, Anne Sjerp; Van Dalen, Dirk: Constructivism in Mathematics. Vol. 1,

North-Holland, Amsterdam (1988)15. Weisstein, W. Eric (editor): MathWorld A Wolfram Web Resource. Wolfram

Research, Inc. http://mathworld.wolfram.com16. Wittgenstein, Ludwig: Filozfiai vizsgldsok (1953). Atlantisz Kiad (1998)17. Zalta, Edward N. (editor): The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer

2003 Edition) http://www.seop.leeds.ac.uk

15

Tartalomjegyzk

1. Bevezets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Trtneti ttekints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Korai konstruktivistk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Brouwer s Heyting intuicionizmusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3. Finitizmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4. Konstruktv rekurzv matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5. Bishop konstruktv matematikja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6. Martin-Lf tpuselmlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. A tertium non datur elvetse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1. Brouwer gyenge ellenpldi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2. Brouwer ers ellenpldi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3. Pourciau tudomnymetodikai rvei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4. Dummett szemantikai rve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Intuicionista logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1. BrouwerHeytingKolmogorov interpretci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2. FregeHilbert-stlus kalkulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3. A klasszikus logika fordtsa intuicionistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4. Kripke-modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5. Intuicionista matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Hivatkozsok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15