Föreläsning 2, 050830Vektorer!

(I vanliga fall är boken vår primära litteratur, men för just detta avsnitt är dessa bilder tänkt att ersätta bokens kapitel 2)

DefinitionerSumma och differens av vektorer

VektorkoordinaterSkalärt produkt ’prickprodukt’Vektorprodukt ’kryssprodukt’

VektorfunktionerGradientvektor

Räkneövningar i morgon onsdagen den 31 augusti:Inlämningsuppgifter: Se separat blad: IU2Räkneövningsuppgifter: RÖ2: Exercises E2: 8, 27, 39, 49

Problems P2: 11

Dessutom uppgiften på separata bladet RÖ2

Vektorer:• Många fysikaliska storheter går att beskriva med

ett enkelt tal (och en enhet). Detta gäller t. ex. Massa, laddning, energi, temperatur, etc….. Dessa storheter kallas för skalärer.

• I många andra fall är det inte så enkelt. Hastighet, kraft, acceleration, rörelsemängd, förflyttning, etc….. Är storheter, där det inte hjälper mycket att veta storleken om man inte också vet riktningen. Alla dessa storheter är vektorer och måste beskrivas mha den vektoralgebra som ni ska lära er i denna kurs.

Exempel:

• Tänk er följande enkla fysik-uppgift:– En kloss med massan M=2 kg ligger på ett bord.

Klossen påverkas av en kraft på 10N. Vad blir klossens acceleration?

– Enkelt (eller? - se upp nu!) om man inte har glömd bort Newtons andra lag som säger att F=ma (Kraften är massan gånger accelerationen). Svaret är alltså att accelerationen är 5 m/s2.

FEL!

Man måste veta kraftens riktning!!!

Kraftens riktning är avgörande!!

• Kraft är en vektor!!

???

Pil-representation av vektor

• En vektor kan representeras som en pil med en längd som relaterar till storleken av vektor-storheten och en riktning som motsvarar vektorstorhetens.

A eller A är vanlig notation för en vektor.

En parallell pil med samma längd är representation av samma vektor.

|A| är längden av vektorn A

Kan vi räkna med vektorer?? - Ja!!

• Multiplikation med ett tal:

A 3A

-A=(-1)A0=(0)A (noll-vektoren)

• Kommutativa lagen: (A+B=B+A)

A

C=A+B

B

AB

AB

C=A+B

C=B+A

En summa av två vektorer definieras så här:

Differensen mellan två vektorer:A-B=A+(-B)

-B

A

AB

C=A+BC=A+B

B

D=A-B

D=A-B =A+(-B)

Vektorkoordinater• Vektorer med längd én kallas för enhetsvektorer.

Låt i och j vara enhetsvektorer som är vinkelrätta mot varandra. Dessa kan då definiera ett koordinatsystem.

x

y

ji

AVi kan då skriva:

A=Axi+Ayj

Koordinaterna Ax och Ay är ett annat sätt att beskriva vektorn A

Vi vill identifiera vektorn med dens koordinater:A=(Ax,Ay)

Vektorkoordinater• Tal gånger vektor:

rA=r(Axi+Ayj)=rAxi+rAyjPå koordinatform:r(Ax, Ay)=(rAx,rAy)

• Vektorsumma:A+B= Axi+Ayj+ Bxi+Byj= (Ax+ Bx)i+(Ay+By)jPå koordinatform:(Ax, Ay)+(Bx, By)=(Ax+ Bx,Ay+By)

Exempel:

(2,3)+(2,1)=(4,4), 5(2,1)=(10,5), (6,2)-(3,3)=(3,-1), etc….

Vad kan vi om vektorer?

A

C=A+B

B

-B

A

B

D=A-B

A 3A• Produkt av tal och vektor:

• Summa av två vektorer:

• Differens mellan två vektorer:

Koordinatrepresentation:

• Vi kan även beskriva en vektor med koordinater

x

y

ji

AA=Axi+Ayj

Alternativ notation:

A=(Ax,Ay)

• Produkt av tal och vektor:rA= r(Ax,Ay)= (rAx,rAy)

• Summa av två vektorer:A+B=(Ax,Ay)+(Bx,By)=(Ax+Bx,Ay+By)

• Differens mellan två vektorer:A-B=(Ax,Ay)-(Bx,By)=(Ax-Bx,Ay-By)

Vinkel i radian: Avståndet längs enhetscirkeln från x-axlen till ändpunkten för enhetsvektorn e:

1 varv = 2 rad = 360o

Enhetsvektorer, enhetscirkel och vinklar.

x

y

cos

sin eenhetsvektorn e

enhetscirkeln

c

a=c sin

b=c cos

Två sätt att beskriva en vektor:

• Längd och riktning|A|=A,

• x- och y-koordinaterx

y

A

Ax

Ay

Om |A| och är kända:

Ax= |A|cos och Ay= |A|sin

Om Ax och Ay är kända:

|A|= och fås genom (t. ex) cos = Ax/|A|2y

2x AA

• En färja befinner sig vid punkten I på figuren intill. För att ta sig till hamnen (vid punkten III) måste man åka 5.0 km rakt mot nord (från I till III). På grund av ett språkligt missförstånd (Kaptenen är dansk och navigatören svensk) åker man i stället mot nordost. Efter 4.5 km har man nått punkten II, felet upptäcks och man ändrar kurs och åker raka vägen från II till III.

A: Hur långt har man att åka från punkt II till hamnen (punkt III)?

B: Vad är vinkeln mellan den riktning man ska åka i och x-axlen?

Exempel

A B

C

Lösning

• Skriv A och B på koordinatform

• Beräkna C = A - B

• Räkna om C till längd och riktning.

Lösning (fortsatt)• A=(0,5)

• B=(4.5 cos , 4.5 sin )= (4.5, 4.5)

• C=A-B=(- 4.5, 5- 4.5)

• Avstånd till hamnen: |C|=

• Vinkel mot x-axlen: cos =Cx/|C|=-0.8683 =150.3º

2

1

2

1

2

1

22 )2

5.45()

2

5.4(

=3.66 km

Skalärt produkt mellan två vektorer

• Definierar den skalära produkten A·B (’A prick B’):• A·B=|A||B|cos , där är vinkeln mellan A och B.

A·B är alltså ingen vektor, utan ett vanligt tal.• (arbetet som en kraft F utför på en partikel som

flytter sig enligt förflyttningsvektorn s är W=F · s)

A

BOm A och B är parallella (= 0º) är cos = 1 och A·B=|A||B|

Om A och B är vinkelrätta (= 90º) är cos = 0 och A·B=0

För enhetsvektorerna gäller då: i · i = j · j = 1 och i · j = 0

Några exempel

• En vektors skalära produkt med sig själv: A·A=|A||A|cos 0=|A||A|=A2.

• En vektors skalära produkt med enhetsvektor: A·i=(Axi+Ayj) ·i =Ax i·i +Ay i·j=Ax.

• VIKTIGT:Skalära produkten mellan två vektorer på koordinatform A·B=(Axi+Ayj)·(Bxi+Byj) =AxBxi·i+AyByj·j+AxByi·j+AyBxj·i =AxBx+AyBy.

Vinkeln mellan två vektorer:

A=(2,2)

A·B=AxBx+AyBy.=2·1+ 2·3=8

A·B=|A||B|cos

cos = =26.689440.

80

8

3122

82222BA

BA

B=(1,3)

I 3 dimensioner!

• Världen är tre-dimensionell!

• Vi kan enkelt generalisera till 3D:

• A= Axi+Ayj+Azk

• A+B=(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)

• A·B=AxBx+AyBy+AzBz=|A||B|cos

• |A|=

• etc…….

• Allt vi har gjord med 2D vektorer görs på samma sätt i 3D!

x

y

z

2z

2y

2x AAA

Vektor-produkten (kryss-produkten)• Vektorn, C vars längd är |C|=|A||B|sin och som

är vinkelrätt mot båda A och B och orienterat som visas, kallas för vektorprodukten av A med B.

A

B

C=A B

Fysik-exempel:

Kraften på en partikel med laddning q och hastighetsvektor v i ett magnetiskt fält B är F=qv B.

Koordinatform:

Cx=AyBz-AzBy

Cy=AzBx-AxBz

Cz=AxBy-AyBx

Om två vektorer är parallella( =0) är deras vektorproduktlika med noll-vektorn.

Skalära produkten A·B och vektor-produkten AB • A·B=|A||B|cos = AxBx+AyBy+AzBz är ett tal (en skalär)

• AB är en vektor med längd |AB| = |A||B| sin och riktning vinkelrätt mot båda A och B.

A

B

C=A BKoordinatform:

Cx=AyBz-AzBy

Cy=AzBx-AxBz

Cz=AxBy-AyBx

Vektorfunktioner

• Exempel: Låt r vara lägesvektorn för en partikel (dvs. den vektorn som anger partikelns läge i forhållande till ett koordinatsystem). Om partiklen rör sig är r en funktion av tiden, r=r(t).

r(t)r(t+t)

r=r(t+t) - r(t)

x

yDerivatan definieras som vanligt:

t)t()tt(

lim)t(dtd

rr

rt 0

Derivatan av lägesvektorn är hastigheten:

)t(dtd

)t( rv

Derivatan av hastigheten är accelerationen:

)t(dtd

)t(dtd

)t( rva2

2

Komponentfunktioner

• r(t)=(x(t),y(t))

• v(t)=r’(t)=(x’(t),y’(t))=(vx(t),vy(t))

• a(t)=v’(t)=(vx’(t),vy’(t))=(ax(t),ay(t))

Det finns en poäng med detta:

Vi kan behandla varje komponent för sig och lösa ut rörelseekvationerför rörelse i x-led och y-led separat

Exempel: Cirkelrörelse med konstant fart.

• r(t)=(Rcos(t), Rsin(t))• v(t)=(-Rsin(t),Rcos(t))• a(t)=(-R2cos(t),-R2sin(t))

=-2r(t)• Accelerationsvektorn pekar

alltså in mot cirkelns centrum.x

y

Rcos (t)

Rsin (t)r(t)

v(t)

a(t)

Funktioner av fler variabler• En funktion kan ju bero av mer än

en variabel!• Ex. f(x,y)=2+x2-y2

• Då kan vi inte rita en funktions-kurva, men vi kan rita en yta i ett 3D-koordinatsystem

X

Y

Z

x

y

z=f(x,y)

Derivata av en funktion av flera variabler??

Partiella derivata xxf

2

yyf

2

Vektorfunktionen kallas för gradienten av f.)yf

,xf

(f

Men vad betyder gradienten?

Exempel :Gradienten av funktionen f(x,y)=2xy+y-x för (x,y)=(1,2)

12

yxf 12

xyf

)x,y()yf

,xf

(f 1212

),()x,y()yf

,xf

(f 331212

Sätt in (x,y)=(1,2):

Gradientvektorns belopp (längd) talar om hur brant ytan är.

Gradientvektorns riktning är den riktning man ska gå i (x,y)-planen för att funktionsvärdet ska öka som mest. Dvs den riktning där ytan är som brantast uppför.

Den glider i den riktning där det är som brantast nedför!

Dvs i riktningen bestämt av -f(x,y)

Tänk på en backe!• f(x,y) kan t. ex. beteckna höjd över havsytan som funktion av

läget (x,y) eller längdgrad och breddgrad.

• Låt oss säga att backen är täckt med is så att det inte är någon friktion.

• Om vi lägger en puck på isen vilket håll börjar den då glida??

FYSIK!-

Om U(x,y) är en potentiell energi-funktion tillhörende kraften F gäller

F=-U