UNIVERSIDAD DE ORIENTE

NÚCLEO – BOLÍVAR

ESCUELA DE CIENCIAS DE LA TIERRA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL

D E F L E X I Ó N D E V I G A S

PROF: Cristian castillo

REALIZADO POR:

Romero Wendy, C.I: 18.828.724

Jiménez Darwing, C.I: 19.095.699

Torres Adrián, C.I: 20.284.771

Cuidad Bolívar, 19 de Noviembre de 2008.

INTRODUCCIÓN

El estudio de la flexión de vigas, barras y placas constituye una parte importante y

esencial del estudio del campo de la ingeniería. Todas las estructuras se deforman

cuando se someten a cargas y estas cargas pueden ser estáticas, dinámicas térmicas,

aeroelásticas o hidroelásticas, etc. Las teorías lineales son aproximaciones de primer

orden utilizadas en el estudio del comportamiento de los elementos estructurales antes

mencionados cuando se deforman bajo la acción de las cargas aplicadas.

Las vigas al ser sometidas a cargas tienden a flexionarse por esta acción, y resulta

ser un factor importante a la hora de su estudio o diseño. Las deflexiones son

importantes de estudiar para estructuras metálicas, sistemas de tuberías, e inclusive

para la fabricaron de de cualquier estructura de simple diseño.

En el estudio de una viga, ella podrá flectar de acuerdo a ciertos factores tales

como: distancia entre apoyos, material de la viga, la carga aplicada, propiedades

geométricas de la viga, tipo de vinculación (apoyos).

DEFINICION DE VIGAS

La viga es un elemento lineal fundamental en la construcción que trabaja

principalmente a flexión, sea ésta de la índole que fuera. Será el tipo, calidad y fin de la

construcción lo que determinará medidas, materiales de la viga, y sobre todo, su

capacidad de sostener y contener pesos y tensiones. Una viga está pensada para

soportar no sólo presión y peso, sino también flexión y tensión, según cuál finalidad

predomine será el concepto de viga para ingeniería o arquitectura, que predomine.

A lo largo de la historia de la construcción se han utilizado vigas para innumerables

fines y de diferentes materiales. El material por antonomasia en la elaboración de vigas

ha sido la madera dado que puede soportar todo tipo de tracción, incluso hasta

esfuerzos muy intensos sin sufrir demasiadas alteraciones, y como no ocurre con otros

materiales, como cerámico o ladrillos próximos a quebrarse ante determinadas

presiones qué sí soporta la viga de madera. La madera es un material de tipo ortotrópico

que presenta, según de qué se obtenga, diferentes niveles de rigidez. Esta mayor o

menor rigidez es la que dará a la viga su fortaleza.

Con los avances tecnológicos y el desarrollo industrial, las vigas pasaron a

elaborarse de hierro y luego, de acero. El acero es un material isotrópico, y las vigas de

acero tienen, por ejemplo, respecto del hormigón una mayor resistencia, pero menor

peso, y puede resistir tanto tracciones como compresiones. El hormigón como material

de llenado y conformación de vigas, se comenzó a utilizar en el siglo XIX antes del uso del

acero y casi paralelamente a la implementación del hierro como material de elaboración

de las vigas.

DEFINICION DE DEFLEXIÓN

La deflexión es una curvatura o desviación de un curso o línea horizontal. Esto

quiere decir; que en análisis estructural, la deflexión hace referencia al grado en el que

un elemento estructural se desplaza bajo la aplicación de una fuerza.

DEFLEXIÓN DE VIGAS

Considere una viga horizontal AB tal como se muestra en la fugura, se asume que la

viga es uniforme en su sección transversal y de material homogéneo. El eje de simetría

se indica por la línea punteada.

Cuando está sometida a fuerzas, las cuales se asumen que están en un plano que

contiene el eje de simetría la viga, debido a su elasticidad, puede distorsionarse en su

forma como se muestra en la segunda figura. Estas fuerzas pueden ser debidas al peso

de la viga, a cargas aplicadas externamente, o a una combinación de ambas. El eje de

simetría distorsionado resultante, punteado en la segunda figura, se llama la curva

elástica. La determinación de esta curva es de importancia en la teoría de elasticidad y

será parte del propósito de esta sección mostrar cómo se hace.

APOYO Y APLICACIÓN DE FUERZAS SOBRE LAS VIGAS

Hay muchas maneras de apoyar vigas. Por ejemplo, la figura muestra una viga en la

cual el extremo A está rígidamente fijo, .mientras que el extremo B está libre, para

moverse. Esto se llama una viga en voladizo.

Figura A

Figura A

En la segunda Figura la viga está apoyada en los extremos A y B. Esta se llama una

viga simplemente apoyada. En tales casos la viga está asegurada en los extremos A y B

de modo que aunque esté fija en estos extremos, la rotación se puede dar alrededor de

los extremos.

Figura B

Figura C

La última figura (figura C) muestra otra forma de apoyo de una viga.

A B

Así como hay diferentes maneras de apoyar vigas, también hay diferentes maneras

de aplicar fuerzas de carga externa. Por ejemplo, en la Figura(A) hay una carga

uniformemente distribuida sobre toda la viga. Puede haber una carga variable sobre

toda la viga o sólo en una parte de ella como en la Figura (b). Por otro lado puede haber

una carga concentrada como se indica en la Figura(c).

DEFLEXIÓN DE VIGAS: ANÁLISIS

La vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama curva

elástica, o simplemente, elástica de la viga. Es la curvatura que forma el eje longitudinal,

inicialmente recto. Concretamente la ecuación de la curva elástica es una ecuación que

rige los desplazamientos que sufre el eje de la viga al aplicársele una determinada carga

desde una posición indeformada.

El desplazamiento Y de la curva elástica desde el eje X se llama la deflexión de la

viga en la posición X. Así si determinamos la ecuación de la curva elástica, se conocerá la

deflexión de la viga.

Este es el método generalmente usado para solucionar problemas de vigas

hiperestáticas; es decir indeterminadas (que tienen muchas incógnitas) Como por

ejemplo:

Tenemos una viga empotrada en ambos lados, estas son muy comunes en la

construcción de edificios. Así mismo una fuerza aplicada P.

P

P

Ma Mb

byaxay bx

P

Ma Mb

byaxay bx

P

Ma Mb

byaxay bx

P

Esto es la representación de su

diagrama

Representa un momento

Representa las fuerzas verticales

Representa las fuerzas horizontales

Como todo cuerpo en equilibrio se generan tres ecuaciones:

Pero como las fuerzas horizontales son muy pequeñas, es decir, con valores muy

cercanos a cero, no se toman en cuenta.

Es importante señalar las consideraciones de Robert hooke y sus famosos resortes,

donde nos enseña la siguiente gráfica que relaciona la deflexión o deformación de los

materiales con cargas o fuerzas aplicados sobre ellos.

F

Fuerza o carga aplicada

Limite de proporcionalidad

Limite elástico

Punto de cadencia

Punto de ruptura

Zona elástica Zona plástica

Recuperable Deformación permanente

Matemáticamente para resolver estos problemas aplicamos el denominado

MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN PARA RESOLVER SISTEMAS, CON LA ECUACIÓN

DIFERENCIAL DE LA CURVA ELÁSTICA.

Donde es el momento flexionante con respecto al eje X de la viga o suma

algebraica de los momentos.

E es el módulo de elasticidad de Young y depende del material usado en el diseño

de la viga, e I es el momento de inercia de la sección transversal de la viga en X con

respecto a una línea horizontal que pasa por el centro de gravedad de esta sección

transversal. El producto EI se llama la rigidez flexural, y se considerará como una

constante.

Y’’ o Es la segunda derivada de y o desplazamiento vertical respecto a x.

Es la ecuación de la pendiente de la curva elástica.

Pero como la viga se dobla sólo levemente o muy poco, lo cual es válido para

muchos propósitos prácticos, la pendiente y’ de la curva elástica es tan pequeña que su

cuadrado es despreciable, y por eso solo nos queda:

Lugo esta ecuación se le aplica la doble integración para obtener así la deflexión de

la viga, quedando de esta forma:

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CURVA ELÁSTICA

A continuación imaginamos que necesitamos construir un corredor al final de una casa o una extensión de techo de un local, y debemos realizar la siguiente viga. Por su forma se conoce como viga simplemente soportada.

Donde L es la longitud total de la viga.P es el peso concentrado (centro de gravedad)

Entonces como M(x) es igual a la suma de algebraica de los momentos a un lado del punto p, tenemos el siguiente análisis: “lo que se busca encontrar es la ecuación diferencial de la curva elástica”.En la figura anterior se muestra la figura elástica de la viga (línea punteada), como la viga esta simplemente apoyada, cada uno de sus extremos lleva la mitad del peso de la viga,

o sea (donde w es el peso de la viga y l la longitud de la viga).

Escogemos primero el lado izquierdo de P en este actúan dos fuerzas: la fuerza hacia

arriba a una distancia x de P, produciendo un momento negativo. (Negativo pro que

va en sentido opuesto al giro tomado); la fuerza hacia abajo wx a una distancia

produciendo un momento positivo.Partiendo de

Por el lado izquierdo

Se busca los momentos de cada fuerza, es decir

Sustituyendo por

Aplicamos el método de doble integración

Siguiendo las condiciones:

Obtenemos de la siguiente forma:

Sustituyendo nos queda:

Sacamos el factor común

Por ultimo despejamos y

Nos queda una ecuación que representara la máxima deflexión de la viga.

Ahora lo aremos por el lado derecho

A partir de aquí se hace exactamente igual que la parte anterior, obtenido ésta ecuación se le aplica el método de doble integración y se resuelve despejando la y que nos dará la deflexión de la viga.

Ahora aplicaremos el método en otro ejemplo pero esta vez sobre una viga en voladizo.

Aplicamos entonces la doble integración

Podemos sacar w como constante

Resolviendo la integral nos queda:

De acuerdo a las condiciones

Sustituimos y nos queda: