deflexion eléctrica y magnética de electrones

3. Deflexión Eléctrica y Magnética de Electrones

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3. DEFLEXIÓN ELÉCTRICA Y MAGNÉTICA DE

ELECTRONES

TAREA DE PREPARACION

Nombre Estudiante:__________________________ Código: ___________ Plan: _____

Fecha: ______________________

1. Un electrón es acelerado por un potencial acelerador Va entre dos electrodos. Si la velocidad

inicial es cero: ¿Cuál es su energía cinética final?

2. En una región limitada del espacio existe un campo eléctrico uniforme de magnitud E, cuyas

líneas de campo son verticales, dirigidas hacia arriba.

a) ¿Cuál es la trayectoria de un electrón que entra horizontalmente a la región de campo con velocidad v0? Explique.

b) Encuentre la expresión para la velocidad v (magnitud y dirección) con que el electrón

abandona la región de campo en función del campo E, la velocidad inicial v0, el ancho s donde existe el campo eléctrico. Haga un esquema y explique.

4. Asuma que se acelera un electrón con un voltaje acelerador de 500 V, los cuales entran

perpendicularmente a una región donde hay campo eléctrico uniforme E y campo magnético uniforme B, perpendiculares entre sí. Si el campo E es creado entre dos placas plano paralelas

separadas una distancia de 2 mm y entre ellas hay un diferencia de potencial de 50 Voltios,

¿Cuál debe ser la magnitud del campo magnético para que los electrones no se desvien? Haga un esquema de los tres vectores velocidad E y B para que eso se cumpla.

4. Identifique cada una de las magnitudes físicas que Ud. va a medir en este experimento. ¿Cuáles son las magnitudes físicas definidas en la ecuación que describe el fenómeno físico?

Guía Electromagnetismo

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3. DEFLEXIÓN ELÉCTRICA Y MAGNÉTICA DE ELECTRONES

1. OBJETIVOS

Estudiar el movimiento de electrones bajo la acción de campos eléctricos

y magnéticos uniformes.

Determinar la relación carga / masa del electrón.

2. MODELO TEÓRICO

En este capítulo discutiremos primero el equipamiento que nos permite obtener partículas cargadas

y el campo eléctrico para desviarlas, este se llama Tubo de Rayos Catódicos (TRC) o tubo Brawn.

Luego discutiremos como producir un campo magnético a la par que discutiremos la física de la

desviación de electrones por campos eléctricos y magnéticos que nos permiten medir

experimentalmente la relación carga/masa del electrón.

2.1 Principio de funcionamiento del Tubo de Rayos Catódicos (TRC)

Un tubo de rayos catódicos (TRC) conocido como Tubo de Braun (Phywe), (fig. 1), nos provee de un haz de electrones y de un campo eléctrico uniforme que nos permite deflectar el haz.

Podemos controlar la velocidad que adquieren los electrones, la magnitud del campo eléctrico, y podemos visualizar el haz sobre una pantalla. Un TRC consta esencialmente consta de tres partes:

un cañón de electrones, una etapa de deflexión y un indicador donde incide el haz sobre una

pantalla.

2.1.1. El Cañón de Electrones: cátodo, ánodo enfocador y ánodo acelerador. Esta etapa consta de

un filamento que al calentarse emite electrones por un proceso físico conocido como termoemisión.

Los electrones emitidos son acelerados con un voltaje acelerado Va en la dirección del eje principal

del TRC (que llamaremos eje x), por ánodos con simetría cilíndrica que están a un potencial positivo con respecto al filamento, ó cátodo. Cuando los electrones pasan a través de los agujeros

se coliman formando un haz, mientras sufren una o dos aceleraciones sucesivas. Al salir del ánodo

acelerador, cada electrón del haz lleva una velocidad v que conserva (si despreciamos choques inelásticos con las moléculas del gas residual) hasta llegar a la pantalla. El voltaje Va se puede

controlar a voluntad y así mismo su velocidad.

2.1.2. Etapa de Deflexión: C consiste en un par de placas metálicas plano-paralelas,

sometidas a una diferencia de potencial VD que varía entre 0 y 80 V. El haz de electrones

incide siempre perpendicularmente al campo eléctrico entre placas, de tal manera que actúa

sobre el haz una fuerza transversal a la dirección de su movimiento desviándolos de su

trayectoria. La desviación del haz es vertical si las placas están colocadas horizontalmente.

La magnitud del campo E puede controlarse a voluntad variando el voltaje VD entre las

placas.

2.1.3. El indicador de deflexión del haz es una pantalla circular recubierta por un material

fosforescente que produce luminiscencia cuando los electrones rápidos chocan contra ella.

Sobre la pantalla se mide la deflexión D del haz desde su posición de deflexión cero. Todo

el conjunto compuesto por cañón de electrones, placas deflectoras, y pantalla se encierra en

una ampolla de vidrio al vacío (o con gas noble llamado gas residual, a muy baja presión).


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Figura 1: Representación esquemática Tubo de rayos catódicos (TRC)

2.2 Campo Magnético creado por bobinas Helmholtz

El campo magnético uniforme lo vamos a crear con ayuda de dos bobinas en la configuración

Helmholtz. Esto es dos bobinas idénticas, de N espiras, radio R y separadas una distancia 2a, Fig.

2. Si circula una corriente I el campo magnético en cualquier punto x sobre el eje de las bobinas

está dado por la expresión:

𝐵(𝑥) =𝜇𝑜𝑁𝐼𝑅2

2[

1

[𝑅2 + (𝑥 + 2𝑎)2]3 2⁄+

1

[𝑅2 + (𝑥 − 2𝑎)2]3 2⁄] (1)

En donde hemos escogido el origen de coordenadas en el punto equidistante a los centros de las

bobinas a lo largo del eje común. Si la distancia 2a entre las bobinas es igual al radio R0, el campo

magnético es uniforme en todo el volumen entre las bobinas. Esta geometría de las bobinas se conoce como configuración Helmholtz. El campo magnético B creado viene dado por:

𝐵(𝑥) =8√5

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𝜇0𝑁

𝑅𝐼 (2)

(a) (b)

Figura 2. (a) Dos bobinas paralelas en configuración Helmholtz para crear campos

magnéticos uniformes, en ellas se observan las líneas de campo magnético. (b) Foto de las

bobinas Helmholtz.


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2.3 Deflexión de un haz de electrones bajo la acción de campos eléctrico y magnético.

Todo electrón que entre con una velocidad �⃗� a una región del espacio donde hay un campo

eléctrico �⃗⃗� y uno magnético �⃗⃗� experimenta la fuerza de Lorentz, �⃗�𝐿:

𝐹𝐿⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑒�⃗⃗� − 𝑒�⃗� × �⃗⃗� (3)

La fuerza de Lorentz puede ser cero si:

�⃗� × �⃗⃗� = −�⃗⃗� (4)

Esta ecuación nos indica que �⃗⃗� debe ser perpendicular al plano formado por �⃗� y �⃗⃗�. Si además los

vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� son perpendiculares entre sí y la magnitud del campo eléctrico está dada por:

𝐸 = 𝑣𝐵 (5)

Y las direcciones de �⃗⃗�, �⃗� y �⃗⃗� se rigen por el producto vectorial de la ecuación (4). Es decir, si

tenemos los dos campos son perpendiculares entre sí, y el electrón entra a la región de campo con

velocidad �⃗� = 𝑣𝑦𝑗̂ perpendicular a los dos campos, �⃗⃗� = 𝐸𝑧�̂� y �⃗⃗� = 𝐵𝑥 �̂� como se ilustra en la Fig. 3,

el electrón atraviesa la región de campos sin sufrir ninguna deflexión si su velocidad es tal que:

𝑣𝑦 = 𝐸𝑧/𝐵𝑥 (6)

Conociendo la velocidad del electrón, el campo eléctrico Ez que lo desvía en una dirección y el

campo magnético Bx que lo desvía en dirección opuesta, con magnitudes tales que hacen que la

DESVIACIÓN DEL HAZ DE ELECTRONES MEDIDA SOBRE LA PANTALLA SEA CERO,

podemos encontrar una expresión para la relación carga masa del electrón: e/me

Figura 3. Esquema de campos uniformes perpendiculares entre sí y la dirección de la velocidad.

¿Cómo calcular la velocidad del electrón?

Un electrón de masa m y carga e abandona un cañón de electrones con una velocidad 𝑣𝑦, Fig. 3, la

cual puede calcularse a partir de la ley de conservación de la energía de acuerdo con la expresión:

1

2𝑚𝑣𝑦

2 = 𝑒𝑉𝑎

(7)

𝑣𝑦2 =

2𝑒𝑉𝑎

𝑚 (8)


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Donde 𝑉𝑎 es el voltaje acelerador en el cañón de electrones, 𝑣𝑦 es la velocidad de los

electrones en la dirección y, adquirida bajo la acción del potencial acelerador 𝑉𝑎 . El voltaje

acelerador es mensurable y podemos calcular 𝑣𝑦.

¿Cómo calcular los campos E y B para desviación cero de un electrón?

Si el electrón con velocidad 𝑣𝑦 entra a una región de un campo eléctrico uniforme 𝐸𝑧 perpendicular

a la dirección de su velocidad, experimenta una aceleración en la dirección opuesta a la dirección

del campo eléctrico. El campo eléctrico no es mensurable pero si lo creamos por dos placas

conductoras plano, separadas una distancia d, entre las cuales hay una diferencia de potencial 𝑉𝐷,

Fig. 3, la relación entre 𝐸𝑧 y 𝑉𝐷 es:

𝐸𝑧 = 𝑉𝐷/𝑑. (9)

El campo magnético �⃗⃗� lo podemos calcular si medimos la corriente I que circula por las bobinas,

de acuerdo con la ecuación (2). Llevando las expresiones (2), (8) y (9) a la ecuación (6):

√ 2𝑒𝑉𝑎

𝑚𝑒=

𝑉𝐷

𝑑

25

8√5

𝑅0

𝜇0𝑁𝐼 (10)

Asumiendo que la variable dependiente es 𝑉𝐷 y la independiente es 𝐼, la ecuación (10) queda:

𝑉𝐷 = √𝑒

𝑚𝑒 8√10

25

𝜇0𝑑𝑁

𝑅0√𝑉𝑎𝐼 (11)

En donde vemos que la pendiente de esa relación lineal contribuyen 4 factores: relación

carga/masa del electrón; un factor geométrico que depende de las bobinas que crean los campos

eléctrico (separación entre las placas) y magnético (radio y número de espiras); la velocidad de los

electrones medida por el voltaje acelerador 𝑉𝑎.

Sin embargo debemos hacer una corrección a esta ecuación debido a la geometría del TRC.

Esto es, los electrones son deflectados por el campo eléctrico mientras estén en la región entre las

placas de ancho s. Una vez abandonan las placas continúan con una trayectoria rectilínea hasta

alcanzar la pantalla a una distancia L, Figura 4, y sobre la pantalla la deflexión es D. Además, el

campo magnético sigue actuando sobre los electrones una vez ellos abandonan las placas, como se

esquematiza en la Fig. 5 y la deflexión magnética sobre la pantalla es Dm. Así que el factor de

corrección depende del ancho de las placas, s, es decir, la distancia recorrida por los electrones bajo

la acción del campo eléctrico; 𝑠 + 𝐿 la distancia recorrida por los electrones bajo la acción del

campo magnético. El factor de corrección está dado por la expresión:

2𝑠𝐿/(𝑠 + 𝐿)2 (12)

Así nuestra ecuación (11) queda modificada así:

Carga/masa Factor geométrico Voltaje acelerador


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𝑉𝐷 = √𝑒

𝑚𝑒

𝑠𝐿

(𝑠 + 𝐿)2

16√10

25

𝜇0𝑑𝑁

𝑅0√𝑉𝑎𝐼 (13)

𝑽𝑫 = √𝒆

𝒎𝒆 𝑮√𝑽𝒂𝑰 = 𝒎𝒆𝒙𝒑𝑰 (14)

Figura 4. Diagrama de la deflexión de un haz de electrones que incide con velocidad 𝑣𝑦 a una

región donde existe un campo eléctrico uniforme vertical.

Figura 5. Deflexión de un haz de electrones que incide con velocidad 𝑣𝑦 en una región donde existe

un campo magnético uniforme entrando al plano de la hoja.

Donde 𝐺 es el factor geométrico:

𝐺 =𝑠𝐿

(𝑠 + 𝐿)2

16√10

25

𝜇0𝑑𝑁

𝑅0

(15)

A partir de medidas de la corriente I en las bobinas que desvían el haz y el voltaje deflector 𝑉𝐷 que

lo regresa a posición cero, para cada valor de voltaje acelerador 𝑉𝑎, podemos a partir del cálculo

experimental de la pendiente 𝑚 calcular √𝑒 𝑚𝑒⁄ , dado que el factor geométrico G, ecuación 15, se

conoce.


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3. DISEÑO EXPERIMENTAL:

3.1. Materiales y equipo:

Tubo de rayos catódicos TRC

Fuente de poder para el TRC

Fuente de poder para las placas deflectoras

Bobinas de Helmholtz para la creación del campo magnético

Fuente de poder para las bobinas

Cables de conexión

Voltímetro DC

Regla

3.2. Magnitudes Físicas a medir: Voltaje acelerador Va, voltaje deflector VD (en la deflexión

eléctrica), corriente I que circula por las bobinas, desviación D (ó deflexión) medida desde el

centro de la pantalla ó la posición correspondiente cuando VD = 0. Del Tubo de Braun o TRC debe

tomar las medidas de: longitud de las placas s, separación entre placas d, distancia desde el final de

las placas a la pantalla L.

Algunas características del tubo son:

Filamento: Vf = 6.3V AC, I ˜ 0.5 A

Voltaje de grilla VG: 0 → + 12 V DC

Voltaje wehnelt V1: 0 → + 50 V DC

Voltaje ánodo acelerador V2: 0 →+ 300 V DC Con un voltaje fijo +300V

Voltaje placas deflectoras VD: - 80 → 0 →+80 V

s =18mm, L= 10cm, d= 13mm

Algunas características de las bobinas:

Número de espiras N=154

Diámetro = 40cm

3.3. Montaje:

En la Fig.6 se muestra un esquema del panel de conexiones del tubo de rayos catódicos con

casquete y las bobinas de Helmholtz. Identifique: El TRC; la fuente que alimenta al TRC (en su panel ofrece salidas del voltaje de hasta 12 V, hasta 50 V, hasta 300 V, una fija de 300V y una

salida alterna de 6.3 V para calentar el filamento; la fuente que alimenta las placas deflectoras con

voltajes entre + 80 V a -80 V; las bobinas de Helmholtz; la fuente que alimenta las bobinas con una salida de voltaje de hasta 18 V con controlador de corriente de salida hasta 5 A; voltímetro y

amperímetro.

Vf es el voltaje alterno que se aplica al filamento (6,3 Vac). Los bornes negativos de la fuente aceleradora se conectan entre si y uno va al borne indicado con el símbolo tierra en el tubo. La

fuente de 300V se conecta en serie con la de 0 a 300 V, conectando con un cable el borne positivo

+ 300 al borne negativo de la salida variable 0 a 300 V. Los bornes positivos de las fuentes

variables van respectivamente a los bornes del tubo indicados con el valor respectivo: 0 a 12 V, VG; 0 a 50 V, aplicado al ánodo enfocador y se llama V1; 300 a 600 V es el que acelera y se llama V2.

Los bornes de salida de la fuente deflectora (c), VD, de -80 V a +80 V, van a los bornes de las

placas de desviación.


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Figura 6 (a) Esquema de conexión tubo de rayos catódicos con casquete. Conexión del tubo Brown con la fuente de poder y la unidad de operación

Figura 6 (b) Esquema de conexión bobinas deflectoras.


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Borne inferior de la fuente a borne Left en el tubo; y borne superior de la fuente al borne Right del

tubo. Las bobinas deben ser orientadas y conectadas tal que el campo magnético que crean sea

horizontal, perpendicular al eje del tubo de rayos catódicos y perpendicular al campo eléctrico

creado por las placas. Verifique estas posiciones con su profesor.

3.4. Precauciones:

La operación de un TRC es relativamente simple, pero Ud. debe asegurarse de que todas las

conexiones son correctas y que conoce el rango de operación del TRC.

Debe asegurar que la orientación del TRC es tal que el haz sufre la mínima desviación posible

debido a la acción del campo magnético terrestre sobre el haz de electrones.

La medición de la desviación D sobre la pantalla debe hacerse cuidando de corregir el error de

paralaje que podría presentarse al no mirar perpendicularmente el punto luminoso que forma el haz cuando llega a la pantalla.

Antes de enchufar y prender la fuente verifique que todos los voltajes de salida están en la

posición cero, y que el profesor ha verificado sus conexiones.

4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:

4.1. Conecte el TRC a su fuente de poder, conecte las placas deflectoras a su fuente de poder,

conecte las bobinas y el amperímetro a su fuente de poder, esquema Figura 6. Verifque

polaridad y escala del amperímetro; van a circular hasta 3 A. Prenda la fuente del TRC. Para

que el haz llegue a la pantalla, aumente el voltaje VG a 12 V; aumente el voltaje V1 lentamente

hasta 50 V o hasta que se vea una mancha en la pantalla; aumente muy lentamente el voltaje

V2 hasta obtener una punto iluminado y enfocado sobre la pantalla. Usted puede manipular V1,

V2 y VG para buscar el mejor punto. El voltaje total Va es la suma de las tres fuentes: VG: 0 a

12 V; V1: 0 a 50 V, V2: 300 a 600 V (los 300 V los provee los bornes de la fuente constante).

4.2. Mida con el voltímetro VG, V1 y V2. Calcule Va y lleve los valores a la tabla de datos. No

varíe ninguno de estos voltajes de salida en ningún momento. Conecte ahora el voltímetro

entre los bornes de salida de la fuente de las placas deflectoras. Borne negativo del voltímetro

a borne inferior de la fuente y borne positivo al al borne superior. Verifique que la perilla de

salida esté cerca de la línea de cero (0). Prenda la fuente de las placas deflectoras.

4.3. Asegurando que el voltaje deflector VD = 0 verifique que el haz sobre la pantalla esté muy

cerca del centro geométrico de la pantalla. Si el haz se encuentra desviado del centro de la

pantalla oriente el tubo hasta que la desviación sea mínima (debida a la acción del campo

magnético terrestre). Aumente lentamente el voltaje deflector en las placas VD y observe la

dirección en que se desvía el haz si mueve la perilla hacia + 80 V o si la mueve hacia -80.

Mida la posición del haz cuando VD es cero (medida con el voltímetro)

4.4. Prenda la fuente de poder de las bobinas; aumente la perilla de corriente a 3 A. Aumente MUY

LENTAMENTE la perilla de voltaje y observe en qué dirección se desvía el haz. Regrese el

haz a su posición inicial. Ese punto es el (0,0).

4.5. Vamos a desviar el haz una distancia D de máximo 2 mm con el campo magnético creado por

las bobinas aumentando lentamente la perilla de voltaje. Mida la corriente para esta

desviación, Varíe la escala del amperímetro si es necesario. Lleve su dato a la Tabla

4.6. Varíe lentamente el voltaje deflector sobre las placas DE TAL FORMA que el punto sobre

la pantalla retorne a LAS COORDENADAS (0, 0). Mida el valor del voltaje deflector.

Tome el valor absoluto si es negativo.


32

4.7 De nuevo aumente la corriente I hasta que el punto se desvié 2 mm y varíe VD hasta que el

punto regrese a la coordenada (0,0). Repita este paso hasta alcanzar los máximos valores de VD. Consigne sus valores en la tabla de datos.

4.8 Vuelva la corriente de las bobinas a cero y el voltaje deflector a cero.

5 ANÁLISIS:

5.1 Determine el valor nominal del factor geométrico G, ecuación (15); y el valor teórico de la

relación √𝑒 𝑚𝑒⁄ , de acuerdo con los valores definidos para estas dos constantes universales.

Lleve sus datos a la tabla 2.

5.2 Grafique I en función de VD. Determine la pendiente, Tabla No. 1. ¿Que representa está

pendiente?

5.3 Calcule el valor experimental de la raíz de la relación carga masa del electrón √𝑒 𝑚𝑒⁄ , con su

respectiva incertidumbre, de acuerdo con la ecuación (14). Consigne los valores calculados en

la Tabla 2. 5.5 Analice sus resultados. Determine claramente y explique en su informe la incertidumbre en la

medida de √𝑒 𝑚𝑒⁄ .

6 BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA [1] R. A. Serway, Física tomo II, cap. 28, 3ra edición. Editorial. Mc. Graw Hill.

[2] Halliday – Resnick, Física Para Ciencias e Ingeniería, Tomo 2; Editorial CECSA

[3] M. Alonso, E. Finn, Física; tomo 2 Editorial Addison Wesley Iberoamericana


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3. DEFLEXIÓN ELÉCTRICA Y MAGNÉTICA DE ELECTRONES

TABLAS DE DATOS

Fecha: DD MM AA

Profesor:

Asistente. de Docencia:

Grupo de Laboratorio: ______

Nombre: Código Plan

Datos del equipo:

s= L = d =

Tabla 1 Deflexión Eléctrica y Magnética

DATOS EXPERIMENTALES DATOS TEÓRICOS

gV ±

1V ±

2V ±

aV ±

√𝑒 𝑚𝑒⁄ , teórico = ( ) I ( ) ± VD ( ) ±

2𝑠𝐿/(𝑠 + 𝐿)2 =

G = ± ( )

mexp = ± ( )

√𝑒

𝑚𝑒 experimental = ± ( )

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