UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIHUAHUA

Facultad De Ingeniería

Materia: Ecuaciones Diferenciales

Fecha de entrega 25/11/2014

Deflexión De Una Viga

Se resolverá la deflexión de una viga con valores en la frontera por medio de la transformada de Laplace.

Catedrática: Ing. Karla Bojorquez Gutiérrez

Alumnos MatriculaIrving Martin Salcido Medrano 282103Alejandro Romo González 281972Marcos Gallegos Hernández 281834

IntroducciónLa transformada de Laplace es un operador lineal sumamente útil a la hora de resolver de manera más eficaz las ecuaciones diferenciales de orden superior las cuales tienen una gran aplicación en diversas ramas de las matemáticas y de la física.

En esta ocasión abordaremos una de sus aplicaciones en ingeniería civil, la cual se centra en las vigas. Estas últimas son un elemento fundamental en la construcción, no solo soportan presión y peso, sino también flexión y tensión, además han ayudado a construir muchas estructuras incluso en el mundo antiguo.

El problema que resolveremos se trata sobre la deflexión de una viga con valores en la frontera, por lo tanto para iniciar necesitamos saber más sobre estos elementos estructurales lineales o unidimensionales de la construcción.

Después nos adentraremos en el modelo matemático del fenómeno que analizaremos (deflexión de una viga), veremos los métodos con los cuales vamos a solventar el problema que se nos plantea.

Por último nos centraremos en la resolución del problema en particular, realizando los cálculos necesarios y explicándolos de manera detallada, una vez hecho esto mostraremos la gráfica que se genera con el ejercicio caso particular que se nos ha planteado, para así pasar a la conclusión del problema.

VigasLa viga es una estructura horizontal que puede sostener carga entre 2 apoyos sin crear empuje lateral en estos. El uso más importante de estas, es quizás el que se aplica a la estructura de puentes. Son un elemento estructural, es decir, forma parte del diseño de una estructura rigiéndose por los principios de la resistencia de materiales y de la ingeniería.

Son elementos lineales, los cuales también son llamados prismas mecánicos o unidimensionales. Estos son alargados y son sometidos a un estado de tensión plana.

Por lo anterior dicho se sabe que las vigas estas sometidas a una tensión por lo tanto con los distintos materiales se comportara de una forma diferente por ejemplo el acero hace a las vigas mas rígidas, las de aluminio son más flexibles y las de madera tienen mayor elasticidad, no obstante cualquier viga se romperá cuando se aplica una cantidad de presión excesiva.

El uso de vigas está sumamente extendido por lo cual se utilizan en la construcción desde rascacielos a estadios, aunque también se pueden utilizar en la construcción residencial por lo tanto existe una gran variedad de tipos y clasificación de las vigas, que van desde el tipo de material, forma en que se colocan hasta el tipo de soporte necesario para cada estructura.

Deflexión de una vigaSe entiende por deflexión a la deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas, tornándose en una curvatura o desviación de un curso o línea horizontal.

La problemática de la deflexión de vigas y ejes en una determinada estructura, es un tema muy importante para los ingenieros y en especial para los ingenieros civiles que al construir una edificación pueden presentar inconvenientes debido a la deflexión de las vigas de la obra que se esté realizando.

Para prevenir daños como la deflexión de las vigas es necesario identificar adecuadamente cada uno de los factores que pueden llegar a tener un gran impacto en una edificación en el futuro, lo que ocasionaría un colapso de la edificación.

La deflexión, matemáticamente es una función y (x ) que está gobernada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden.Considérese una viga de longitud L de un material homogéneo y que también es uniforme en su sección transversal tal como se muestra en la figura a. El eje de simetría se indica por la línea punteada.

Si se aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de simetría, la viga experimenta una distorsión y la curva que conecta los centroides de las secciones transversales se llama curva de deflexión o curva elástica, esto se muestra en la figura b.

La curvatura de deflexión se aproxima a la forma de una viga. El eje x coincide con el eje de simetría de la viga y que la deflexión y (x ), medida desde este eje es positiva si es hacia abajo.

En la teoría de elasticidad se muestra que el momento de flexión M (x) en un punto x lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad de longitud w (x) mediante la ecuación:

d2Md x2

=w (x)

Además, el momento de flexión M (x) es proporcional a la curvatura de κ de la curva elástica.

M (x )=EIκ

Donde E e I son constantes; E es el modulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de una sección transversal de la viga. El producto se llama rigidez flexional de la viga.La curvatura está dada por κ= y ' ' /¿. Cuando la deflexión y(x) es pequeña, la pendiente se acerca a cero, y por tanto y ' ' /¿ se acerca a uno. Si se permite que κ ≈ y' ', la ecuación M (x )=EIκ se convierte en M=EI y ' '. La segunda derivada de esta última expresión es:

d2Mdx2

=EI d2

dx2y ' '=EI d

4 ydx4

Por lo tanto la deflexión y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto orden.

EI d4 ydx4

=w (x)

Las condiciones de frontera (contorno o región donde está definida la ecuación diferencial) asociadas con esta ultima ecuación depende de los apoyos extremos de la viga.

Empotrada en ambos extremos

Las condiciones en la frontera en x=0 y x=L son y=0 , y '=0

Libres

Las condiciones en la frontera del lado en voladizo son x=0 y x=L son y ' '=0 , y ' ' '=0

Apoyados

Las condiciones en la frontera en x=0 y x=L son y=0 , y ' '=0

Planteamiento del problema

El problema que se nos plantea en el proyecto es el siguiente:

Una viga esta empotrada en su extremo izquierdo y simplemente apoyado en el derecho.Encuentre la deflexión y (x ) cuando la carga está dada por:

w ( x )={w0 ,0<x< L2

0 , L2< x<L }

Graficar la solución cuando w0=48EI y la viga mide un metro de largo. Considere que la viga es de granito y el momento de inercia es de I=1kgm2

Existen varias maneras de resolver este tipo de situaciones, a nosotros se nos indico que debe de ser resuelta por el método de la transformada de Laplace y una función llamada función escalón unitario o función de Heaviside, la cual se explicara mejor.

Función escalón unitario

En ingeniería es común encontrar funciones que están ya sea “activadas” o “desactivadas”. Es conveniente entonces definir una función especial la cual se llama función escalón unitario o función de Heaviside en honor al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función matemática que tiene como característica, el tener un valor de 0 para todos los números negativos (desactivado) y de 1 para todos los positivos (activado), esta función se aplica en la fuerza externa que actúa en un sistema mecánico, o un voltaje aplicado a un circuito.La función escalón unitario U (t−a) se define como.

U ( t−a )={0 ,0≤ t<a1 , t ≥ a

Para nuestro problema solo tomaremos el eje t positivo tal como muestra la figura.Cando una función f definida para t ≥0 se multiplica por u=(t−a), la función escalo unitario “desactiva” una parte de la grafica de esa función.

La función escalón unitario también se puede usar para escribir funciones definidas por tramos en forma compacta, tenemos 2 tipos distintos los cuales son:

f ( t )={g (t ) ,0≤ t<ah ( t ) ,t ≥a }

Estas se puede escribir como: f (t )=g (t )−g ( t )u ( t−a )+h (t )u(t−a)

Y análogamente tenemos.

f ( t )={ 0 ,0≤ t<ag ( t ) , a≤ t<b0 , t ≥b }

f (t )=g (t )[u (t−a )−u (t−b)]

Transformada de LaplaceLa transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales, comúnmente a problemas con coeficientes constantes.Cuando se resuelven estas ecuaciones usando la técnica de la transformada, se cambia de una ecuación diferencial a una ecuación algebraica.

Sea f una función definida para t ≥0, la transformada de Laplace de f (t) se define como

L {f ( t)}=∫0

+∞

e−st f (t)dt

Transformada de una derivadaSi necesitamos encontrar la transformada de Laplace de una derivada de orden n de una funcion f (t) se aplica lo siguiente.

L { dn

d t nf (t )}=S

n

F (s )−Sn−1 f (0 )−Sn−2 f ' (0 )−Sn−3 f ' ' (0 )−…−f n−1(0)

Resolución del problema

La función es a tramos por lo tanto convertimos w (x)={w0 ,0<x< L2

0 , L2< x<L }

a su forma compacta a partir de la función escalón, por lo cual para dejar un cero en la primera parte tal como en la función de Heaviside, de la función a tramos extraemos w0 y realizamos la operación necesaria para hacer que la segunda parte de la función siga siendo cero.

w ( x )=wo { 0 ,0<x< L2

−wo , L2<x<L}

La segunda parte de la función a tramos es la que se multiplica por la función de escalón unitario dando como resultado lo siguiente.

w0−w0u(x−L2)

Ya que nuestra viga esta empotrada en x=0 y apoyado simplemente en x=L tenemos las siguientes condiciones:

y (0 )=0 , y ' (0 )=0 , y ' ' (L )=0Y y ' ' ' (L )=0

Igualamos w(x) a la ecuación diferencial de cuarto orden que satisface la deflexión de una viga.

EI y ' ' ' '=w0[1−u(x− L2)]

Aplicamos la transformada de una derivada a la ecuación anterior.

EI L { y ' ' ' ' }=w0L {[1−u(x−L2)]}

EI [S4Y (S )−S3 y (0 )−S2 y ' (0 )−S y ' ' (0 )− y ' ' ' (0)]

Aplicando linealidad en la segunda parte de la ecuación.

w0[L {1 }−L {u(x− L2 )}]

Resolviendo.

L {1 }=1S

Con el segundo teorema de traslación.

L {u( x−L2 )}f ( t )=1 , a= L

2∴ (e

−LS2 )( 1S )

La expresión total seria.

EI [S4Y (S )−S3 y (0 )−S2 y ' (0 )−S y ' ' (0 )− y ' ' ' (0)]=w0[ 1S−e−LS2

S ]Dadas nuestras condiciones en la frontera y (0 ) y y ' (0 ) serán cero por lo tanto la ecuación se simplifica a lo siguiente.

EI [S4Y (S )−S y ' ' (0 )− y ' ' ' ]=w0[ 1S− e−LS2

S ]De aquí hacemos y ' '=C 1 y y ' ' '=C 2 y despejamos Y (S), a continuación se muestran el resultado de las operaciones antes mencionadas.

EI [ S4Y (S )−SC 1−C2 ]=w0[ 1S− e−LS2

S ]S4Y (S )−SC 1−C2=

w0EI [ 1S− e

−LS2

S ]S4Y (S )=SC 1−C2+

w0

EI [1S− e−LS2

S ]

Y (S )=SC 1S4

−C 2S4

+w0

EI

[ 1S− e−LS2

S ]S4

Y (S )=C1S3

+C 2S4

+w0

EI [ 1S5− e−LS2

S5 ]Aplicamos la transformada inversa para encontrar y (x ).

L−1 {Y (S)}=L−1 {C 1S3 +C 2S4

+w0

EI [ 1S5− e−LS2

S5 ]}L−1 {Y (S)}= y (x )

Aplicando linealidad.

L−1C1{ 1S3 }n=2 ,2!=2∴ C12

x2

L−1C2{ 1S4 }n=3 ,3!=6∴ C 26

x3

L−1 { 1S5 }n=4 ,4 !=24∴ 124

x4

L−1−{(e LS2 )( 1S5 )}n=4 ,4 !=24 , a= L

2∴− 1

24 (x− L2 )

4

La expresión general es.

y ( x )=C 12

x2+ c 26

x3+w0EI

¿

Tomamos nuestras segundas condiciones y (L )=0 y y ' ' (L )=0 por lo tanto igualamos a cero nuestra expresión general y sustituimos nuestras variables por la longitud L.

Aplicamos la primera condición.

y (L )=C12

L2+C26

L3+w0EI

¿

Ya que L> L2 no “desactiva” la función por lo cual no se multiplica por la

función escalón unitario, entonces:

y (L )=C12

L2+C26

L3+w0EI

¿

y (L )=C12

L2+C 26

L3+w0EI [ 124 L4− 1

384L4]=0

y (L )=C12

L2+C26

L3+5w0L

4

128 EI=0

Aplicamos la segunda condición por lo tanto sacamos la segunda derivada.

y (x )'=C1x+C22

x2+w0EI [16 x3−16 (x− L

2 )3]

y (x )' '=C1+C 2x+w0

EI [12 x2−12 ( x−L2 )

2]y (L)' '=C 1+C2L+

w0EI [ 12 L2−12 (L− L

2 )2]=0

y (L)' '=C 1+C 2L+w0EI [ 12 L2−18 L2]=0

y (L)' '=C 1+C 2L+3w0L

2

8 EI=0

Entonces tenemos nuestro sistema de ecuaciones para averiguar el valor de las constantes.

C 12

L2+C 26

L3+5w0L

4

128 EI=0

C 1+C 2 L+3w0 L

2

8 EI=0

Resolviendo el sistema de ecuaciones, despejamos “C1” en la segunda ecuación.

C1=−C2L−3w0 L

2

8 EI

Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación.

(−C 2L−3w0L

2

8 EI)

2L2+C2

6L3+

5w0 L4

128EI=0

(−C2 L2

−3w 0L

2

16 EI)L2+C2

6L3+

5w0L4

128 EI=0

−C2 L3

2−3w0L

4

16 EI+C 26

L3+5w0 L

4

128EI=0

Dejamos los términos con “C2” de un lado y del otro, los términos independientes.

−C22

L3+C26

L3=3w0 L

4

16 EI−5w0L

4

128 EI

Sacamos “C2” y “w0 L4

EI” como factor común.

C2(−L3

2+ L3

6)=3w0L

4

16 EI−5w0L

4

128 EI

C2(−L3

3)=

w0L4

EI( 316

− 5128

)

C2(−L3

3)=

w0L4

EI( 19128

)

Ahora despejamos “C2”.

C 2=

w0L4

EI( 19128

)

(−L3

3)

Realizamos la división y obtenemos el valor de “C2”.

C2=−( 57128

)w0 LEI

Lo sustituimos en la segunda ecuación.

C1=−(−( 57128

)w0LEI

)L−3w0L

2

8 EI

Resolvemos.

C1=( 57128 ) w0 L2

EI−( 38)w0 L

2

EI

C1=w0L

2

EI( 57128

−38)

C1=( 9128

)w0 L

2

EI

Sustituimos los valores de C1 y C2 en la expresión general.

y ( x )=( 9128

)w0L

2

EI2

x2+−( 57128

)w0LEI

6x3+

w0EI

¿

Simplificando

y ( x )=9w0 L

2

256 EIx2−

19w0L256 EI

x3+w0

EI¿

Factorizando

y ( x )=9w0 L

2

256 EIx2−

19w0L256 EI

x3+w024 EI [ x4−(x− L

2 )4

u(x− L2 )]

A continuación se observa la representación gráfica de la deflexión de la viga, con el caso particular de w0=48EI , I=1kgm

2 con la viga de granito y un metro de largo.

Bibliografía:

Dennis G. Zill y Michael R. Cullen. Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera. 7th ed.; 2009.

F.P. Beer & F- Russell. . Mecánica de materiales. 2nd ed.; 1982