ders9_köklerinyereğrisi

7/25/2019 Ders9_KklerinYerErisi

1/16

KKLERN GEOMETRK YERLER YNTEM (KKLERN YER ERLER)

(ROOT LOCUS)

OTOMATK KONTROL SSTEMLER


2/16

Kklerin Yer Erileri Giri

2

Kontrol sistemlerinin davranlarn incelemek iin kullanlan bir yntemdir. Sistemindavrann analiz edebilmek iin ncelikle basit bir sistem ele alalm.

=1

( + 3)

Bu sistem iine basit bir oransal kontrol uygulayalm ;

Bu sistemin dng (loop) kazanc K.G(s),Kapal evrim kazanc ise ;

T = ( )

( ) = ( )1+ ( ) =

( ) 1+

( ) =

+3 + = +3 +

Elde edilen sistemi birka yntem ile analiz edebiliriz.


3/16


3

1) K ya gre zaman cevabn izerek analiz edebiliriz;

K=1 iin T = 1

+3 +1

K=1 iin sistemk ok yavatr. K=10 iin sistemk yaklak iyidir. K=100 iin sistemk salnmldr.

Deneme yanlma ile K deerinin en uygun deerini bulmak hem g hem de zaman alcdr.

K=10 iin T = 10+3 +10

K=100 iin T = 100+3 +100


4/16


4

2) En uygun Kdeeri, kkler bulunarak hesap edilebilir veya 2. derece sisteme ait temelforml kullanlarak hesaplanabilir;

=1 ise K=2.25 olarak bulunur. = 22 = 0.707 ise K = 4.5 olarak bulunur.

T(s)=

( +2 + )= +3 +

Buradan ; K= ve 2 = 3 . .


5/16


5

3) Basit sistemlerde K nn farkl deerleri iin kkler bulunabilir ;

T(s)= +3 + Buradan karakteristik denklemin K ya bal kklerini bulacak

olursak ;

4) stenilen bir kutup deeri iin gerekli K hesaplanabilir ;

T = ( )( ) = ( )1+ ( ) 1 + = 0 =

1( )

s=-1.5 kutbu iin Kdeerini hesaplayalm .

G(s)= 1( +3 ) = 1.5 1.5 = 12.25 = 2.25 .

K=2.25 i T(s) formlnde yerine koyup kkdoruyalm ?

NOT: Yukarda anlatlanlar basit sistemler iin uygulanabilir. Ancak karmak sistemlerdeRoot Locus Yntemi kullanlr.


6/16

6

leri yol kazanc :K.G(s)

Dng (Loop) kazanc :K.G(s).H(s)

Kapal evrim kazanc :T(s)=( )( )

= ( )

1+ ( )

Karakteristik denklem : 1+K.G(s).H(s)=1+K( )( )

= 0 Karakteristik denklemi 0 aeitlersek bize kutuplar verir.

Karakteristik denklem : 1+K.G(s).H(s)=1+K+ + ..+ ++ + ..+ + = 0

Bir kapal evrim kontrol sisteminin karakteristik denkleminin kklerinin deiimini, ak evrim transfer fonksiyonunun kutup ve sfrlarn kullanarak, sistem kazan parametresi

deiimine gre s dzleminde izmeye kklerin yer erisi yntemi denir. Kk-yer erisi yntemi kazan parametreli ak evrim kutup ve sfrlarndan kapal evrim kutuplarnn bulunmasn salar. Karakteristik denklemin kkleri, ak evrim transfer fonksiyonununkazan sabiti, kutup ve sfrlarna baldr. Bu parametreler deitike kklerde deiir.Kklerin s dzleminde oluturduu noktalarn birletirilmesi ile kklerin yer erisi eldeedilmi olur.

Kklerin Yer Erileri


7/16

7

1) Simetri2) Kol says 3) Balang ve Biti noktalar 4) Reel eksen zerinde geometrik yerler5) Asimtotlarn says ve as 6) Asimtotlarn reel ekseni kestii nokta 7) Kklerin yer erisinin imajiner ekseni kestii nokta 8) Reel eksenden kopma ayrlma noktalar

9) Kutuplardan k as 10) Sfrlara var as

Kklerin Yer Erileri- Kurallar

Not : Snav esnasndakurallar yazarak soruyuzmelisiniz.

Kural 1) Simetri : Karakteristik denklem reel katsaylara sahiptir. K deitii durumda erilerreel eksene gre simetrik deiir.

Kural 2) Kol Says : N(s)in derecesi mdir. n>m ise kol says : ndir

1+KG(s)H(s)=1+K ( )( )

D(s)in derecesi ndir. m>n ise kol says mdir.

rnek 1:

K( )( )

= 1 +1 ( +3 ) m=0 n>m Kol says: 3

n=3


8/16

8

Kklerin Yer Erileri- KurallarKural 3) Balama ve Biti Noktalar : Kklerin yer erisine ilikin kollar (K=0) deeri iinkutuplarda balar. (K=) deeri iin sfrlarda son bulur.

Eer kutuplarn says, sfrlarn saysndan byk ise (n>m) ; (n-m) adet kol da biter.Eer sfrlarn says, kutuplarn saysndan byk ise (m>n) ; (m-n) adet kol da balar.

Kural 4) Reel Eksen zerinde Geometrik Yerler : Reel eksenin zerinde bir noktann kklerinyer erisine ilikin bir kol zerinde bulunabilmesi iin gerek ve yeter koul; bahsedilennoktann sanda bulunan kutup ve sfrlarn toplamnn tek say olmasdr.

rnek 2: K

( )( )

= 1 +1 ( +3 )

Kural 5)Asimtotlarn says ve As: Asimtot Says = (n-m) formlnden bulunur.Asimtot As =180 .

(r:1,3,5,7.)


9/16

9


Asimtot says = 3-0= 3 Asimtot As =180 .13 = 60 r=1 iin

Asimtot As =180 .33 = 180 r=3 iin

Asimtot As =180 .53 = 300 r=5 iin

Asimtot As =180 .73 = 420 = 60 r=7 iin

Kural 6)Asimtotlarn Reel EkseniKestii Nokta:

= =1 =1

rnek 4: K ( )( )

= 1 +1 ( +3 )

p1=0 z1=0 = 0+ 1 + 3 [0]30 =43 = 1.33

p2=-1p3=-3

rnek 3: K ( )( )

= 1 +1 ( +3 )

Pi : Kutup noktalar Zi: Sfr noktalar


10/16

10

Kklerin Yer Erileri- KurallarKural 7) Kklerin YerErisinin majiner Ekseni Kestii Nokta: Asimtotlar her zaman imajinerekseni kesmeyebilir. Eer kesiyor ise Routh Hurwitz kriteri ile bulunabilir. Routh Hurwitzkriterini uygulamak iin karakteristik denklem bulunmaldr.rnek 5: KG s H s = K ( )

( )= 1 +1 ( +3 )

T(s)= ( )1+ ( )

= 1+ ( )

= +4 +3 +

3 1 3 4 2+K=0 4 2+12=0 1,2 = 3 =1.7j2 4 124 = 0 = 12 1 0

Kural 8) Reel Eksenden Kopma, Ayrlma Noktalar : Reel eksen zerindeki ayrlma ve var noktalar karakteristik denklemde K y ektikten sonra Knn sye gre trevi sfra eitlenerek bulunur. Yada aadaki forml kullanlarak bulunabilir.

1+ KG s H s = 1 + K( )( )

= 0 1 + K =

= 0

= 0


11/16

11


rnek 6: K ( )( )

= 1 +1 ( +3 )

I.Yol : N(s)=1 1.(32 + 8 + 3) 0. 3 + 4 2 + 3 = 0 D(s)= 3 + 4 2 + 3 1 = 2.2153 2 = 0.4514

II.Yol:T(s)=

+4 +3 + -> 3 + 4 2 + 3 + =0 -> K= 3 4 2 3

= 32

8 3 = 0 -> 1 = 2.2153 2 = 0.4514 Kural 9) Kutuplardan k As (zellikle kompleks kutuplardan):

Herhangi Pj kompleks kutuptan k as =180+

=180+

Kural 10) Sfrlara Var As (Kompleks sfrlara):

Herhangi Zjkompleks sfrlara as =180- +

=180-

+


12/16

12

Kklerin Yer Erileri- Kurallarrnek 7: K ( ) = 1

( +3 ) Verilen transfer fonksiyonu kklerin yer erisiyle

inceleyiniz.


13/16

13

Kklerin Yer Erileri- Kurallarrnek 8: ( ) = 1

( +5 +6 ) Verilen transfer fonksiyonu kklerin yer erisiyle

inceleyiniz.


14/16

14

Kklerin Yer Erileri- Kurallarrnek 9: ( ) = +3 2 Verilen transfer fonksiyonu kklerin yer erisiyle

inceleyiniz.


15/16

15


rnek 10: ( ) = +2 +2( +9 +33 +51 +26 )

Verilen transfer fonksiyonu kklerin

yer erisiyle inceleyiniz.


16/16

16


rnek 10: ( ) = +2 +2( +9 +33 +51 +26 )

Verilen transfer fonksiyonu kklerin

yer erisiyle inceleyiniz.

MatLab zm :

Ns=[1 2 1]Ds=[1 9 33 51 26 0]Ts=tf(Ns,Ds)Rlocus(Ts)

Sisotool(Ts)

ders9_köklerinyereğrisi

Documents