digitalna_obrada_signala__zbirka_
DESCRIPTION
knjiga o signalimaTRANSCRIPT
![Page 1: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/1.jpg)
Procesiranje Signala Sadržaj
Viša Tehnička Škola Subotica 1
Sadržaj
1. Diskretni signali i sistemi 3
2. Furijeova Transformacija 27Z-transformacija
Diskretna Furijeova Transformacija
3. Spektar uzorkovanog signala,decimacija, interpolacija 54
4. Projektovanje analognih filtara 65
5. Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) 88
6. Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR ) 120
7. Reference 144
![Page 2: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/2.jpg)
2
![Page 3: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/3.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni signali i sistemi
Viša Tehnička Škola Subotica 3
Diskretni signali i sistemi
Fizičke veličine koje zavise od vremena nazivamo signalima. Po svojoj prirodi signale delimo u dvekalse:
1. Deterministički signaliDeterministički signal je signal čija je vremenska zavisnost poznata, tako da se njene vrednosti moguodrediti u bilo kom trenutku.
2. Slučajni signali.Slučajni signal je signal čija vremenska zavisnost nije poznata. Buduće vrednosti signala se nemoguodrediti ali ako je signal poznat u prošlosti tada se njena buduća vrednost može proceniti sa nekomverovatnoćom.
Signali čija je vremenska zavisnost kontinualna nazivaju se kontinualnim signalima. Analognisignali su vremenski kontinualni signali čija amplituda može biti bilo koja vrednost iz nekog dozvoljenogopsega.
Vremenski diskretni signali su signali koje su definisane samo u diskretnim vremenskimtrenucima.Važno je uočiti da iz gornje definicije ne sledi da su vrednosti diskretnog signala jednake nuli uonim tačkama koje ne pripadaju skupu gore datih trenutaka. U tim trenucima vrednost signala nije poznata ai nije od značaja. Sa aspekta diskretne obrade signala potpuno je nevažno koje vrednosti signal ima u timtrenucima.
Digitalni signal je diskretni signal čija je amplituda takođe diskretizovana.
Elementarni diskretni signali koje se često koriste u diskretnoj obradi signala su:
Jedinični diskretni impuls:
≠=
=0;00;1
][nn
nδ .
Jedinični diskretni odskočni signal:
<≥
=0;00;1
][nn
nu .
Linearni diskretni signal:
.;0;0
0;][ consta
nnna
nr =
<≥⋅
= .
Eksponencijalni diskretni signal:
..,;0;0
0;][ constaconstA
nnaA
nen
==
<≥⋅
= .
![Page 4: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/4.jpg)
Diskretni signali i sistemi Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica4
Diskretni sistemi vrše transformaciju diskretnog ulaznog signala ][nx u diskretni izlazni signal][ny . Transformacija se u matematičkom obliku iskazuje
][][ nxSny = ,
gde je •S operator koji preslikava ][nx u ][ny .
Sistemi se u opštem slučaju dele na linearne i nelinearne sisteme.
Linearni sistemi zadovoljavaju osobinu linearnosti tj.
=⋅+⋅=⋅+⋅= ][][][][][ 2121 nxSnxSnxnxSny βαβα
][][][][ 2121 nynynxSnxS ⋅+⋅=⋅+⋅= βαβα .
Osobina realizljivih linearnih sistema je da su kauzalni i stabilni.
Diskretni sistemi se mogu opisati
1. Relacijom ulaz-izlaz ( RUI ).RUI predstavlja diferencnu jednačinu koja definiše vezu između ulaznog i izlaznog diskretnogsignala ( pobude i odziva ), i ona je oblika
Cmnylnyny ml
M
mm
L
ll ∈−⋅=−⋅+ ∑∑
==
βαβα ,;][][][11
.
Zavisno od oblika RUI, diskretne sisteme delimo na:
1.1. Rekurzivne sisteme 0,0 ≠≠ ml βα ,1.2. Nerekurzivne sisteme 0,0 ≠= ml βα .
2. impulsnim odzivom diskretnog sistema ][nh .Impulsni odziv diskretnog sistema predstavlja odziv sistema na jediničnu impulsnu pobudu
][nδ .
Zavisno od dužine impulsnog odziva sisteme delimo na:
2.1. sisteme sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR – infinit impuls respons ),2.2. sisteme sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR – finit impuls respons ).
3. prenosnom finkcijom )(),( ωjeHzH .Prenosna funkcija u potpunosti definiše osobine diskretnog sistema u transformacionomdomenu. Ona predstavlja transfornmaciju impulsnog odziva.
Odziv sistema na poznatu pobudu se određuje konvolucijom ulaznog signala (pobude) i impulsnogodziva sistema. U transformacionom domenu transformacija izlaza je jednaka proizvodu transformacijeulaznog (pobudnog) signala i impulsnog odziva (prenosna funkcija).
![Page 5: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/5.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni signali i sistemi
Viša Tehnička Škola Subotica 5
Zadatak 1.
Odrediti periodu sledećih diskretnih signala.
a) nns ∀= ;1][ b) +∞<<−∞= nnns );43cos(][ c) 0);
5sin(][ ≥= nnns π
d) 0);5
sin(5.1)43cos(5][ ≤⋅+⋅= nnnns π
e) nnnns ∀⋅+⋅= );8
2cos(3.8)6
2cos(8.7][ ππ
f) 11;][ 3 ≥= nensnjπ
g) nens nj ∀= ;][ 2
h)
i)
Rešenje :
a) Signal ][ns je prikazan na slici.
Sa slike se može uočiti da se vrednost signala ponavlja nakon svakogdiskretnog trenutka, pa je perioda signala jednaka 1=N .
b) Po uslovu periodičnosti diskretnih signala ][][ Nnsns += , mora da važi jednakost
)43
43cos())(
43cos()
43cos( NnNnn +=+= za proizvoljno NNn ∈, .
![Page 6: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/6.jpg)
Diskretni signali i sistemi Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica6
Jednačina je zadovoljena ukoliko je kN π243 = gde je Nk ∈ , odnosno ako je kN π
38= . Kako brojevi
N i k pripadaju skupu celih brojeva sledi da se uslov ne može zadovoljiti ni za koje vrednosti N i k , pastoga signal ][ns nije periodičan.+
c) Analogno predhodnom zadatku za uslov periodičnosti se dobija
)55
sin())(5
sin()5
sin( NnNnn ππππ +=+= za proizvoljno NNn ∈, .
Jednačina se zadovoljava ako je kN ππ 25
= , odnosno ako je kN ⋅=10 gde je Nk ∈ . Najmanji broj
punih oscilacija signala ][ns se dobija za 1=k , iz čega sledi da je perioda signala .10=N
d) U zadatku pod b) smo pokazali da diskretni signal čija učestanost nije deljivo sa π neposeduje osobinuperiodičnosti, pa stoga ni zbirni signal ][ns nemože biti periodičan što se vidi i sa slike koja pokazujesegment signala u intervalu 100100 ≤≤− n .
e) Posmatrajmo posebno periodičnost pojedinih članova signala ][ns .Po uslovu periodičnosti za prvi član signala se dobija da je 11 6 kN ⋅= , dok za drugi 22 8 kN ⋅= . Periodazbirnog signala je broj 21 NNN == koji obuhvata minimalan broj punih oscilacija oba podsignala.Minimalan broj punih oscilacija se dobija ako su 41 =k i 32 =k . Sledi da je perioda signala ][ns jednako
243846 =⋅=⋅=N .
f) Postavimo jednačinu za uslov periodičnosti diskretnih signala za posmatrani signal ][ns .NjnjNnjnj
eeee 33)(
33ππππ
⋅==+
. Jasno je da je jednačina zadovoljena ako je 13 =Nj
eπ
odnosno ako važi
kN ππ 23
= gde je Nk ∈ . Odavde se dobija da je NkkN ∈⋅= ;6 . Za 1=k sledi da je perioda signala
][ns jednako 6=N .
g) Za uslov periodičnosti se dobija NjnjNnjnj eeee 22)(22 ⋅== + . Jednačina se zadovoljava ako je12 =Nje , odnosno ako je kN π22 = za proizvoljno NkN ∈, . Vidi se da se ulsov nemože zadovoljiti za
prirodne brojeve N i k pa sledi da signal nije periodičan.+
+ Kada bi tačke signala povezali kontinualnom krivom tada bi se uočilo da tačka koja predstavlja kraj periodekontinualne krive, se nalazi između dva odbirka diskretnog signala. Međutim kako ta tačka nije deo diskretnevremenske ose (vremensku osu čini skup celih brojeva) to sledi da signal nije periodičan.
![Page 7: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/7.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni signali i sistemi
Viša Tehnička Škola Subotica 7
h) Posmatranjem signala prikazanog na slici može se uočiti da se signal ponavlja nakon izvesnog brojatrenutaka. Broj trenutaka nakon čega sledi ponavljanje vrednosti je jednak 6 odnosno perioda diskretnogsignala je 6=N .
i) Analogno predhodnom zadatku posmatranjem signala može da se uoči perioda diskretnog signala kojaiznosi 6=N .
Zadatak 2.
a) Skicirati signal ][][][ 21 nsnsns += ako su signali nnns ∀⋅= );3
2cos(5][1π
, ≤≤−
=drugde
nnns
;050;5
][2 .
b) Skicirati signale ][][][' 21 nsnsns −= i ][][]['' 12 nsnsns −= ako su signali
≤≤−≤≤−+
=50;505;5
][1 nnnn
ns , ≤≤−+
=drugde
nnns
;005;5
][2 .
c) Skicirati signal ][][][ 21 nsnsns ⋅= za navedene slučajeve signala ][1 ns i ][2 ns .c.1) 150;][1 ≤≤= nans n , c.2) 100;2][1 ≤≤= nns n , c.3) 150;3][1 ≤≤= nns n ,
nns ∀= ;3][2 . 100;3[[2 ≤≤= nns n . 110;21][2 ≤≤−
−= nns
n
.
d) Skicirati signal ][ns .d.1) ][][ 01 nnsns −= ako je ][100][1 nns δ⋅= i 1000 =n .
d.2) ]10[]5[][ 21 −−+= nsnsns ako je ,150;][1 ≤≤= nans n 115;1][2 ≤≤−
−= n
ans
n
.
d.3) ][]10[]10[][][ 11 nunsnunsns ⋅−+−⋅= ako je 0;3][1 ≥= − nns n .
e) Skicirati konvolucioni signal ][ns .e.1) ][][][ 0nnnns −∗= δδ . e.2) ]10[][][ −∗= nnuns δ . e.3) ][][][ nununs ∗= .
e.4) ][][ nuans n ∗= . e.5) nn aans ∗=][ .
f) Skicirati korelacioni signal ][ns .f.1) ][][][ 11 nsnsns −∗= , f.2) ][][][ 21 nsnsns ∗−= ,
0;][1 ≥= nans n . ][][1 nns δ= , ]3[][2 −= nns δ .
f.3) ][][][ 21 nsnsns −∗= , f.4) ][][][ 21 nsnsns −∗= ,
0;3
2cos][1 ≥
= nnns π
, 0;5
2cos][1 ≤
= nnns π
,
][][2 nuns = . ( ) 0;2sin][2 ≥⋅= nnns .
f.5) ][][][ 21 nsnsns −∗= ,
nnns ∀
= ;
32cos][1π
,
nnns ∀
= ;
45sin][2π
.
![Page 8: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/8.jpg)
Diskretni signali i sistemi Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica8
Rešenje :
a) Sabiranjem signala u odgovarajućim intervalima za rezultat se dobija
≤≤−+=
drugden
nnnns
);3
2cos(5
50);5()3
2cos(5][ π
π
b) Nalaženjem razlike signala dobijamo da su signali
≤≤−
=drugde
nnns
;051;5
][' ≤≤−
=drugde
nnns
;051;5
][''
c.1) ≤≤⋅
=drugde
nans
n
;0150;3
][ , za 5.0=a sledi slika
c.2) ≤≤=⋅
=drugde
nns
nnn
;0100;632
][
c.3)
=
=
=
drugde
n
n
ns
;0
1;23
0;1
][
e) vremensko pomeranje
d.1) ]100[100][ −⋅= nns δ
d.2) ≤≤−
=+drugde
nans
n
;0105;
]5[1
![Page 9: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/9.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni signali i sistemi
Viša Tehnička Škola Subotica 9
≤≤−
=−drugde
nans
n
;0
115;1]10[2
≤≤−
+=
drugde
na
ans
nn
;0
115;1][
d.3) ≥
=−⋅−
drugden
nunsn
;010;3
]10[][1
≥
=⋅−−−
drugden
nunsn
;010;3
][]10[)10(
1
≥+
=−−−
drugden
nsnn
;010;33
][)10(
f) konvolucija signala ( ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
⋅−=−⋅=mm
msmnsmnsmsns ][][][][][ 2121 )
U slučaju signala sa složenim analitičkim opisom često se konvolucioni signal ][ns rešava grafičkim putem.U sledećim primerima će se primeniti ova metoda.
e.1) Neka je signal ][][][1 mnmsmn
δδ ===
. Ovim smo signal ][nδ preslikali u m-domen u kome se vrši
sumiranje signala (sumiranje po promenljivoj ’m’). Signal ][2 mns − se dobija na sledeći način :1. preslika se signal u m-domen i tako se dobija ][][ 02 nmms −= δ .2. nalazi se signal ][2 ms − koji predstavlja lik u
ogledalu signala ][2 ms , tj. vrednosti signala sanegativne se perslikavaju na pozitvnu vremensku osu asa pozitivne na negativnu vremensku osu, kao lik uogledalu.
3. pomeri se signal ][2 ms − za neki proizvoljan korak’ n ’ čime se dobija signal ][2 mns − (za 0<n signalse pomera ulevo n koraka, za 0>n signal se pomera udesno n koraka).
![Page 10: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/10.jpg)
Diskretni signali i sistemi Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica10
Oređivanje ][ns podrazumeva određivanje njenih vrednosti za svako n odnosno za +∞<<∞− n . Grafičkise postupak može predstaviti kao pomeranje signala ][2 ms po m osi od ∞− do ∞+ , nalaženjemproizvoda ][][ 21 mnsms −⋅ i sabiranjem vrednosti dobijenih proizvoda. Za konkretni primer se dobija
jednačina ∑∞
−∞=
−−⋅=m
mnnmns ][][][ 0δδ . Na osnovu definicije jediničnih impulsa se može uočiti da je
proizvod u sumi različito od nule samo za 0nn = , pa je zato i suma različita od nule za tu vrednost, dok zaostale vrednosti n , proizvod pa i suma su jednaki nuli. Grafička interpretacija : neka se određuje vrednostsignala u trenutku 01 nnn ≠= tj. ][ 1nns = . S obzirom da se pomera samo signal ][2 ms , to ćemo imati daje ][][ 0112 mnnmns −−=− δ . Prikažimo oba signala u istom dijagramu predpostavljajući da je
001 <− nn . To znači da je pomereni jedinični impuls lociran na levoj strani vremenske ose tj. za negativnom . Sa slike se vidi da se signali ne preklapaju pa je njihov proizvod jednak nuli pa je i suma jednaka nuli.Signal ][2 ms je različito od nule tamo gde je signal ][1 ms jednaka nuli, dok je signal ][1 ms različito odnule tamo gde je signal ][2 ms jednaka nuli. Isti zaključak se može izvesti i za slučaj kada se signal ][2 msnalazi desno od signala ][1 ms . Predpostavimo da smo signal ][2 ms pomerili tako da se signali preklapaju.Kako su signali različiti od nule za isti trenutak, to će i njihov proizvod biti različito od nule, dok za ostaletrenutke proizvod je jadnak nuli. Kako postoji samo jedan član u sumi koji je različito od nule to će ivrednost signala biti jednaka tom članu. Postavlja se pitanje za koju vrednost n ćemo dobiti sumu različituod nule, odnosno koliko treba da se pomeri signal ][2 ms u odnosu na signal ][1 ms da bi dobili rezultatrazličitu od nule. Kao što je to već pre uočeno signali se moraju preklapati. Signal ][1 ms je lociran u tačku
0=m . Ako se signali preklapaju tada je signal ][2 ms isto lociran u toj tački tj.0000 =−=−−
=nnmnn
m. Iz toga onda sledi da za trenutak 0nn = vrednost sume je različito od nule,
odnosno za rezultat važi
≠=
=0
0
;0;1
][nnnn
ns . Rezultujući signal je zapravo jedinični impuls pomeren za 0n
koraka ulevo ako je 00 <n ili udesno ako je 00 >n .
e.2) Neka su signali ][][1 nuns = ]10[][2 −= nns δ . Za konvolucionu jednačinu se tada dobija
∑∞
−∞=
−−⋅=m
mnmuns ]10[][][ δ . Grafički prikaz oba signala za 5−=n je dato na slici.
Analogno predhodnom zadatku i u ovom slučaju jekonvoluciona suma različita od nule samo tada kada se obasignala preklapaju tj. kada se signal ][2 ms nalazi desno odtačke 0=m . Preklapanje signala počinje od trenutka kadaje 010
0 =−−=m
mn tj kada je 10=n i traje do ∞+ .Konvoluciona suma i sada sadrži samo jedan član jer seostali članovi zbog jediničnog impulsa množe sa nulom, te je
rezultat konvolucije
−=<≥
= ]10[10;010;1
][ nunn
ns .
e.3) Signali ][][1 mums = i ][][2 mnums −= su prikazanina slici 1. Ako se signali ne preklapaju tada je i proizvodjednak nuli kao što se to vidi i sa slike 1. Preklapanje signalanastaje u trenutku 0
0 =−=m
mn tj za 0≥n što je prikazanona slici 2. Konvoluciona suma će tada da glasi
∑∞
−∞=
−⋅=m
mnumuns ][][][ .
![Page 11: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/11.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni signali i sistemi
Viša Tehnička Škola Subotica 11
Sa slike 2. se može uočito da je donja granica sume 0=m jersignal ][1 ms je različito od nule samo za pozitivne vrednostim . Gornju granicu sume određuje signal ][2 ms . Sa slike sevidi je signal ][2 ms različito od nule ako je nm ≤ pa sledi daje gornja granica sume nm = . Uvrštavanjem se dobija
∑=
≥+=⋅=n
mnnns
0
0;111][ .
e.4) Neka je signal ≥
=drugde
nams
n
;00;
][1 a signal
][][2 mnums −= . Posmatrajmo signal ][ns posebno zainterval 0<<∞− n i posebno za interval +∞<≤ n0 . Zainterval 0<n međusobni položaj signala ][1 ms i ][2 ms jeprikazano na slici 1. dok za interval 0≥n na slici 2. Analognopredhodnom zadatku sa slike 1. se može uočiti da zbognepreklapanja signala proizvod signala je jednaka nuli, pa je isuma jednaka nuli. Iz ove analize zaključujemo da je signal
0;0][ <= nns . Preklapanje nastaje kada se signal ][2 mspomeri za 0≥n . Donju granicu sume opet određuje signal
][1 ms koji je definisan samo za 0≥m , pa zato sumiranjepočinjemo od tačke 0=m . Gornja granica zavisi od položajasignala ][2 ms odnosno u kojoj meri se signali preklapaju. Kao iu predhodnom primeru signal ][2 ms je različit od nule za
nm ≤ pa je gornja granica sume nm = . Nakon ove analizekonvoluciona suma će da glasi
∑ ∑= =
=⋅=n
m
n
m
mm aans0 0
1][ . Ova suma postoji samo za vrednosti
1<a i ona je jednaka a
aann
m
m
−−=
+
=∑ 1
1 1
0. Za ostale vrednosti broja a , suma divergira ili osciluje oko
vremenske ose. Na osnovu predhodne analize konačno dolazimo do rešenja
≥−
−<
= +
0;11
0;0][ 1
na
an
ns n .
e.5) Analogno predhodnim primerima signal 0][ =ns za 0<n jer se signali ne preklapaju. Za 0≥n signali
se preklapaju pa je )1(1][00
+⋅=⋅=⋅= ∑∑==
− naaaans nn
m
nn
m
mnm . Određivanje granica sume je analogan
predhodnim postupcima. Za 1−≤a signal ][ns teži ka beskonačnosti menjajući predznak u svakomtrenutku (slika 1). Za 01 <<− a signal naizmenično menja predznak i teži ka nuli (slika 2). Za 10 << asignal je uvek pozitivan i teži ka nuli (slika 3). Za 1≥a signal teži ka beskonačnosti (slika 4).
![Page 12: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/12.jpg)
Diskretni signali i sistemi Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica12
f) korelacija signala ( ∑∞
−∞=
+⋅=m
mnsmsns ][][][ 21 )
f.1) postupak rešavanja korelacione jednačine je sličan postupku za rešavanje konvolucione jednačine. Bitnarazlika je u signalu koja se pomera u odnosu na drugi fiksni signal. U slučaju konvolucije smo imali da sejedan od signala preslikava kao lik u ogledalu i tako ulazi u konvolucionu jednačinu. Kako se signal pomeraopo vremenskoj osi to smo dobijali različite vrednosti za rezultat tražene sume. Kod korealcione jednačinenema gore opisanog preslikavanja nego se signal pomera za određeni korak i tako ulazi u račun sume.Rezultat toga je da se sada signal pomera u suprotnom smeru tj. kreće se od desne strane ka levoj. Za 0<nimaćemo da se signal nalazi na desnoj strani vremenske ose dok se za 0>n nalazi na levoj stranivremenske ose.Posmatrajmo prvo intrval 0<n koji je prikazan naslici 1.Kako se signali preklapaju to je njihov proizvod različito od nulepa je i suma različita od nule. Napišimo izraz za sumiranje iz kojećemo zatim da odredimo zavisnost signala ][ns od vremena
0<n . ∑∑∞
=
−∞
=
+− ⋅=⋅=nm
mn
nm
mnm aaaans 2][ .Granice su
očigledne jer se signali preklapaju samo za +∞<≤ mn . Da bisumu rešili u tabličnom obliku napisaćemo je na sledeći način
2
2
2
2
2
1
0
2
0
22
111
11
aa
aa
aaaa
nnn
m
m
m
m
nm
m
−=
−−−
−=−= ∑∑∑
−
=
∞
=
∞
=
.
Konačno se dobija 22
2
11][
aa
aaans
nnn
−=
−⋅= − za 0<n .
Posmatrajmo sada signal ][ns u intervalu 0>n i međusobnipoložaj signala koji je prikazan na slici 2. Kao što se to vidi sa slikedonja granica sume je 0=m dok je gornja granica ∞→m . Na
osnovu ovoga ∑ ∑∞
=
∞
=
+
−=⋅=⋅=
02
0
2
1][
m
n
m
mnmnm
aaaaaans za
0≥n . Upoređujući izraze signala ][ns za različite intervale nuočava se jedna bitna osobina autokorelacionog signala : ako sudiskretni signali realni tada je njihov autokorelacioni signal uvekparna funkcija vremena.
Konačno se za signal može napisati na
ansn
∀−
= ;1
][ 2 .
f.2) Uvrštavanjem signala u formulu korelacije signala dolazimo do izraza ∑∞
−∞=
+−⋅=m
mnmns ]3[][][ δδ .
Poznavajući osobine impulsnih funkcija može se zaključiti da je data suma različita od nule ako se impulsipoklapaju tj. nalaze se na istom mestu. Iz ovog uslova sledi 03
0=+−
=mmn pa se dobija da je 3=n .
Konačno imamo da je =
=drugden
ns;0
3;1][ .
f.3) Korelaciona suma za ovaj primer će da glasi
∑∞
−∞=
+⋅=m
mnumns ][)3
2cos(][ π. Posmatrajmo sumu posebno za 0>n
i za 0<n . Međusobni položaj signala za slučaj 0<n je prikazan naslici 1. Kao što se to sa slike vidi, suma je različita od nule samo za
nm ≥ pa prema tome ∑∞
=
⋅=nm
mns )3
2cos(1][ π. Primenom Ojlerovog
obrazca i preuređivanjem sume se dobija
![Page 13: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/13.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni signali i sistemi
Viša Tehnička Škola Subotica 13
∑∑−
=
−∞
=
−+−+=
1
0
32
32
0
32
32
22][
n
m
mjmj
m
mjmjeeeens
ππππ
. Razbijanjem sume na parcijalne sume i primenom
tabličnih rešenja gornjih suma sledi
−
−−−
−−−
+−
⋅=−
−
−3
2
32
32
32
32
32
1
1
1
1
1
1
1
121][ π
π
π
π
ππ j
nj
j
nj
jje
e
e
e
eens .
Sređivanjem izraza u zagradi dolazi se do rešenja
=−
−−⋅=
−+
−⋅=
−
−
)3
2cos(22
))1(3
2cos(2)3
2cos(2
21
1121][
32
32
32
32
π
ππ
π
π
π
π nn
e
e
e
ensj
nj
j
nj
)3
sin(
)33
2sin(
21
)3
(sin
)3
sin()33
2sin(
21
2 π
ππ
π
πππ −−=
⋅−⋅−=
nn za 0<n .
Međusobni položaj signala za interval 0>n prikazana je na slici 2.
Tražena suma će tada biti ∑∞
=
⋅=0
)3
2cos(1][m
mns π. Primenom
Ojlerovog obrazca sledi
=+= ∑∞
=
−
0
32
32
2][
m
mjmjeens
ππ
21
)3
2cos(22
)3
2cos(22
21
1
1
1
121
32
32 =
−
−⋅=
−+
−⋅=
− π
π
ππ jjee
.
Iz prethodne analize sledi da je
<−
⋅−
≥
=0;
)3
sin(
)33
2sin(
21
0;21
][n
n
n
ns
π
ππ.
f.4) Analogno predhodnim primerima može se zaključiti da je korelacionisignal za 0≥n jednaka nuli jer se signali zbog svojih oblastidefinisanosti ne preklapaju kao što je to prikazano na slici 1.Za slučaj 0<n imamo delimično preklapanje signala do tačke nm =
pa je stoga korelaciona suma ∑=
−⋅=n
mnmmns
0
))(2sin()3
2cos(][ π.
Primenom smena 3
2πα = , 2=β i Ojlerovog obrazca za sumu se
![Page 14: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/14.jpg)
Diskretni signali i sistemi Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica14
dobija ∑=
−−−− −⋅+=n
m
nmjnmjmjmj
jeeeens
0
)()(
22][
ββαα
. Sređivanjem sume dolazi se do izraza
( ) ( )∑∑=
+−−
=
−−+−
+−+=n
m
mjmjnjn
m
mjmjnj
eej
eeej
ens0
)()(
0
)()(
44][ βαβα
ββαβα
β
.
Koristeći tablična rešenja konačnih suma, dobijena suma se pretvara u oblik
−
−+−
−⋅−
−
−+−
−⋅= +−
++−
−
+−
−−
+−−
+
++−
)(
)1)((
)(
)1)((
)(
)1)((
)(
)1)((
11
11
411
11
4][ βα
βα
βα
βαβ
βα
βα
βα
βαβ
j
nj
j
njnj
j
nj
j
njnj
ee
ee
je
ee
ee
jens .
Nakon množenja prve zagrade sa nje β− i druge sa nje β i kombinovanjem prvog člana prve zagrade sadrugim članom druge zagrade i drugog člana prve zagrade sa prvim članom druge zagrade dobija se
+
++−++−
−
−−−−+⋅=
)2
sin(
)2
cos()2
cos(
)2
sin(
)2
cos()2
cos(
41][
βα
βαββαα
βα
βαββαα nnnnns .
Nakon uvrštavanja α i β dolazi se do konačnog rezultata koji glasi
≥
<−
++−++−
+
+−−−+
=
0;0
0;)1
3sin(4
)13
2cos()133
2cos(
)13
sin(4
)13
2cos()133
2cos(
][
n
nnnnn
ns π
πππ
π
πππ
.
Dobijeni korelacioni signal je prikazan na slici 2.
Gornja slika prikazuje korelacioni signal u širem intervalu,dok donja slika prikazuje izdvojeni segment signala uintervalu 20120 ≤≤− n . I sa grafikona i iz analitičkogoblika signala može da se zapazi da korelacioni signal nijeperiodičan.
f.5) Konvoluciona suma za ova dva signala će da glasi ∑+∞
−∞=
+⋅=m
mnmns ))(4
5sin()3
2cos(][ ππ.
Primenom osnovnih trigonometrijskih transformacija suma se može svesti na oblik
=
⋅+
⋅= ∑∑
∞
−∞=
∞
−∞= mmmmnmmnns )
45sin()
32cos()
45cos()
45cos()
32cos()
45sin(][ ππππππ
![Page 15: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/15.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni signali i sistemi
Viša Tehnička Škola Subotica 15
−⋅+
+⋅= ∑∑
∞
−∞=
∞
−∞= mm
mmn
mmn
2
)127sin()
1223sin(
)4
5cos(2
)127cos()
1223cos(
)4
5sin(
πππ
πππ
.
Može se uočiti da su svi trigonometrijski diskretni signali pod sumom periodični sa periodom 24=N .Razbijanjem sume na zbir parcijalnih suma po jednoj periodi signala tj.
∑ ∑∑∑∑∑∑∑+∞
−∞=
−+
=
−+
===
−
−=
++−
−=
∞
−∞=
=+⋅++++⋅+=r
r
rm
n
nmmmm
n
nmmmgmgmgmgmgmgmg
124)1(
24
124)1(
24
47
24
23
0
1
24
124)1(
24
][][][][][][][ .
Izdvojimo iz niza parcijalnih suma tu koja sumira vrednosti periodičnog trigonometrijskog signala u njenoj
osnovnoj periodi, to je ∑=
23
0
][m
mg . Neka je )1223sin(][ mmg π= . Za ][mg se može izabrati bilo koji gore
navedeni signal, zaključak koji će da sledi važi za svaki od tih signala. Vrednosti koje će signal poprimati udatoj periodi za različite vrednosti m su sledeće
+++++++++++−−−−−−−−−−−
=258.0,5.0,707.0,866.0,965.0,1,965.0,866.0,707.0,5.0,258.0,0
0;258.0,5.0,707.0,866.0,965.0,1,965.0,866.0,707.0,5.0,258.0,0|[ms .
Ako sumiramo vrednosti signala po celoj periodi vidimo da se za rezultat dobija nula. Kako je signalperiodičan, njene vrednosti se ponavljaju za svaku parcijalnu sumu, te će svaka parcijalna suma, analognopredhodnom, biti jednaka nuli. Sledi da su vrednost pojedinih beskonačnih suma jednake nuli tj.
00)4
5cos(0)4
5sin(][ =⋅+⋅= nnns ππ. Iz dobijenog rezultata se može zaključiti da je korelacija gore
navedenih signala jednaka nuli za bilo koju vrednost n tj. nns ∀= ;0][ .+
Gore navedeni zaključak smo izveli u vremenskom domenu primenom nekih od trigonometrijskih adicionihtransformacija. Do istog zaključka ćemo doći i u sledećem poglavlju gde ćemo analizu sprovesti utransformacionom domenu signala.
Zadatak 3.
a) Za svaki od sledećih sistema odrediti dali je sistem stabilan, kauzalan, linearan, vremenski nepromenljiv,bez memorije
a.1) ][][][ nxngnxS ⋅= , a.2) ∑=
=n
nkkxnxS
0
][][ , a.3) ∑+
−=
=0
0
][][nn
nnkkxnxS ,
a.4) ][][ 0nnxnxS −= , a.5) ][][ nxenxS = , a.6) bnxanxS +⋅= ][][ ,
a.7) ][][ nxnxS −= , a.8) ]1[3][][ +⋅+= nunxnxS .
+ Gore izvedenoj sumi se može dati i drugačije tumačenje: suma neke funkcije po nekom intervalu predstavlja srednjuvrednost date fumkcije. Svaka od gornjih trigonometrijskih signala ima istu periodu i simetrične su u svakoj periodi nadiskretnu vremesku osu. Kako su one simetrične po svakoj periodi te njihova srednja vrednost mora biti nula po svakojperiodi pa je zato i njihova beskonačna suma jednaka nuli.
![Page 16: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/16.jpg)
Diskretni signali i sistemi Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica16
b) Primenom impulsnog odziva odrediti odziv sistema na datu pobudu
b.1)
][nx , ][nh
b.2)
][nx , ][nh
b.3) Za impulsni odziv je poznato da je 10;0][ NnNnh ≤≤≠ . Za ulazni signal se zna da je
32;0][ NnNnx ≤≤≠ . Izlazni signal je 54;0][ NnNny ≤≤≠ .Odrediti ),,,( 32104 NNNNfN = i ),,,( 3210 NNNNfN = .
c) Odrediti odziv sistema ako je poznata relacija ULAZ-IZLAZ .
c.1) RUI : ]1[2]2[81]1[
43][ −=−+−− nxnynyny , ][][ nnx δ= , 8]2[,0]1[ −=−=− yy .
c.2) RUI : ]1[2]2[6]1[5][ −=−+−− nxnynyny , 0]2[]1[ =−=− yy . c.2.a) odrediti homogeno rešenje diferencne jednačine c.2.b) naći odziv na pobudu ][][ nnx δ= c.2.c) naći odziv na pobudu ][][ nunx = .
Rešenje:
a.1) Uslov stabilnosti:Sistem je stabilan ako se na bilo koji ograničen ulaz ( ∞<< xBnx ][ ) na izlazu sistema dobija ograničen
odziv tj. ∞<< yBny ][ .
Neka je ][][][][ nxngnxSny ⋅== odziv sistema na ograničenu pobudu ( ∞<< xBnx ][ ). Po datoj
definiciji sledi xBngnxngnxngny ⋅<⋅=⋅= ][][][][][][ . Ukoliko je i sekvenca ][ng ograničena tj.
∞<< gBng ][ tada je ∞<⋅<⋅= xg BBnxngny ][][][ tj. zaključujemo da je sistem ograničen jer je injegov odziv ograničen.
Uslov kauzalnosti:Sistem je kauzalan ako se za bilo koji proizvoljno odabrani trenutak 0n , izlazni signal u trenutku
0nn = zavisi samo od vrednosti ulaznog signala u trenucima 0nn ≤ .
![Page 17: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/17.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni signali i sistemi
Viša Tehnička Škola Subotica 17
Primenom gornjeg uslova na dati sistem, dobija se da je za trenutak 0nn = izlazni signal jednak][][][ 000 nxngny ⋅= tj. da vrednost izlaznog signala za posmatrani trenutak zavisi samo od vrednosti
sekvence ][ng i ][nx u posmatranom trenutku. Znači sistem jeste kauzalan.
Uslov linearnosti:Klasa linearnih sistema je definisana principom superpozicije.Ako su ][1 ny i ][2 ny odzivi na pojedine pobude ][1 nx i ][2 nx respektivno, tada je sistem linearan ako isamo ako važi
][][][][][][ 212121 nynynxSnxSnxnxS +=+=+i
][][][ nyanxSanxaS ⋅=⋅=⋅
gde je a proizvoljno odabrana konstanta.Prva osobina se naziva osobinom aditivnosti dok je druga, osobina homogenosti ili drugačije osobinaskaliranja.Testirajmo prvo osobinu aditivnosti. Tada se dobija
[ ] ][][][][][][][][][][][ 21212121 nynynxngnxngnxnxngnxnxS +=⋅+⋅=+⋅=+
iz čega zaključujemo da sistem zadovoljava osobinu aditivnosti.Za osobinu homogenosti dobijamo ][][][][][][ nyanxnganxangnxaS ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅ iz čega se vidi dasistem zadovoljava datu osobinu. Kako sistem zadovoljava date uslove sledi da je linearan.
Uslov vremenske invarijantnosti:Za sistem se kaže da je vremenski invarijantan ako se za vremenski pomerenu pobudu na izlazu dobija odzivvremenski pomerenu za istu veličinu.Neka je 00 <n vremenski pomeraj ulaznog signala koji se dovodi na ulaz testiranog sistema. Tada je ][][][][][][ 00000 nnxnngnnynnxngnnxS −⋅−=−≠−⋅=− iz čega sledi da sistem nije vremenski
invarijantan.
Uslov koji definiše sistem bez memorije:Sistem je bez memorije ako se vrednost izlaznog signala u bilo kom trenutku n zavisi samo od vrednostiulaznog signala u istom trenutku n .Iz definicije sistema se vidi da izlaz u trenutku n zavisi samo od proizvoda sekevnce ][ng i ][nx u istomtrenutku te sledi da je sistem bez memorije.
a.2) Stabilnost: ∑∑∑===
−⋅=<≤=n
nkxx
n
nk
n
nknnBBnxkxny
000
)(][][][ 0 . Iz dobijene jednakosti sledi da ako
∞→n tada i ∞→][ny , te sistem nije stabilan.
Kauzalnost: Za proizvoljno 1nn = imaćemo ][]1[]1[][][][ 11001
1
0
nxnxnxnxkxnyn
nk+−+⋅⋅⋅+++== ∑
=
.
Kao što se vidi izlazni signal u datom trenutku zavisi samo od predhodnih vrednosti ulaznog signala tj.10 nnn ≤≤ . Te zaključujemo da je sistem kauzalan.
Linearnost: Obuhvatajući obe ososbine linearnosti u jednu jednačinu, dobijamo da za linearne sistema važi
][][][][][][][][ 21212121 nybnyanxSbnxSanxbSnxaSnxbnxaS ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅ .
![Page 18: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/18.jpg)
Diskretni signali i sistemi Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica18
Primenimo dati uslov na posmatrani sistem. Dobijamo jednačinu
[ ] ][][][][][][][][ 21212121000
nybnyakxbkxakxbkxanxbnxaSn
nk
n
nk
n
nk⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅ ∑∑∑
===
iz koje sledi da je posmatrani sistem linearan.
Vremenska invarijantnost:
][][][][][][][ 110101
1
10
1
0
nnxnnxkxnnxnxkxnnynn
nnk
nn
nk−+⋅⋅⋅+−=≠−+⋅⋅⋅+==− ∑∑
−
−=
−
=
.
Iz dobijene relacije sledi da sistem nije vremenski invarijantan.
Sistem bez memorije: ][1[]1[][][][ 000
nxnxnxnxkxnyn
nk+−+⋅⋅⋅+++== ∑
=
. Kao što se vidi trenutna
vrednost odziva zavisi i od predhodnih vrednosti ulaznog signala, te sledi da dati sistem nije bez memorije.
a.3) Stabilnost: ∞<=+−+=<≤= ∑∑∑+
−=
+
−=
+
−=000 2)(][][][
0
0
0
0
0
0
nBnnnnBBkxkxny xx
nn
nnkx
nn
nnk
nn
nnk. Kako je
odziv ograničen za bilo koje n sledi da je dati sistem stabilan.
Kauzalnost: Za trenutak 1nn = odziv sistema je
∑+
−=
++−++⋅⋅⋅++−+−==01
01
][]1[]1[][][][ 010101011
nn
nnknnxnnxnnxnnxkxny .
Očigledno sistem nije kauzalan jer izlazni signal u trenutku 1nn = ne zavisi samo od vrednosti ulaznogsignala u predhodnim trenucima ( 1001010101 ,...,2,1, nnnnnnnnnn =+−+−+−− ) već i od vrednosti ubudućim trenucima ( 01111 ,...,3,2,1 nnnnn ++++ ).
Linearnost: Primenom uslova linearnosti dobija se izraz
[ ] ][][][][][][][][ 21212121
0
0
0
0
0
0
nybnyanxbnxanxbnxanxbnxaSnn
nnk
nn
nnk
nn
nnk⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅ ∑∑∑
+
−=
+
−=
+
−=
.
Dati sistem zadovoljava uslov linearnosti te sledi da je sistem linearan.
Vremenska invarijantnost: Za proizvoljnu pomerenu ulaznu pobudu dobjamo
⋅⋅⋅++−−+−−==− ∑+−
−−=
]1)[(])[(][][ 01011
01
01
nnnxnnnxkxnnxSnnn
nnnk
][])[(]1)[( 10101 nnynnnxnnnx −=+−+−+−+⋅⋅⋅ .
Zaključujemo da je sistem vremenski invarijantan.
Sistem bez memorije: Kako izlazni signal zavisi i od predhodne vrednosti ulaznog signala zaključujemo daposmatrani sistem nije bez memorije.
![Page 19: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/19.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni signali i sistemi
Viša Tehnička Škola Subotica 19
a.4) Stabilnost: Ako na ulaz dovedemo ograničenu pobudu tada na izlazu dobijamo isto ograničen odzivtj. ∞<<−= xBnnxny ][][ 0 , te sledi da je sistem stabilan.
Kauzalnost: Odziv sistema u trenutku 1nn = je ][][ 011 nnxny −= tj. zavisi samo od predhodne vrednostiulaznog signala pa je stoga sistem kauzalan.
Linearnost: Primenom uslova sledi
][][][][][][ 21020121 nybnyannxbnnxanxbnxaS ⋅+⋅=−⋅+−⋅=⋅+⋅ .
Pa zaključujemo da je sistem linearan.
Vremenska invarijantnost: Za proizvoljno odabranu vrednost 1n odziv na pobudu ][ 1nnx − će biti][])[(])[(][' 10110 nnynnnxnnnxny −=−−=−−= pa je sistem vremenski invarijantan.
Sistem bez memorije: Po datom opisu sistema, trenutna vrednost odziva zavisi od neke od predhodnihvrednosti pobudnog signala pa stoga sistem nije bez memorije.
a.5) Stabilnost: ∞<<<= xBnxnx eeeny ][][][ . Iz formule sledi da je sistem stabilan.
Kauzalnost: Odziv sistema u proizvoljno odabranom trenutku 1nn = je ][1
1][ nxeny = tj. zavisi samo odvrednosti ulaznog signala u istom trenutku, pa sledi da je sistem kauzalan.
Linearnost: ][][][][][][21
212121][][ nxnxnxbnxanxbnxa ebeaeeenxbnxaS ⋅+⋅≠⋅==⋅+⋅ ⋅⋅⋅+⋅ . Kao što se vidisistem ne zadovoljava uslov linearnosti.
Vremenska invarijantnost: Za proizvoljno vremenski pomereni ulazni signal na izlazu se dobija odziv][ 0
][ 0 nnye nnx −=− koji je pomeren u vremenu za istu vrednost. Sledi da je sistem vremenski invarijantan.
Sistem bez memorije: Iz uslova kauzalnosti smo zaključili da vrednost odziva u proizvoljnom trenutkuzavisi samo od vrednosti pobude u istom tom trenutku tj. sistem ne pamti predhodne vrednosti ulaznogsignala. Sledi da je sistem bez memorije.
a.6) Stabilnost: Iz jednačine ∞<+⋅<+⋅=+⋅=+⋅= bBabnxabnxabnxany x][][][][ sledi da jeposmatrani sistem stabilan.
Kauzalnost: U proizvoljno odabranom trenutku odziv sistema će biti bnxany +⋅= ][][ 11 , što namukazuje, analogno predhodnom zadatku, da je sistem kauzalan.
Linearnost:
[ ] [ ] [ ]!!"!!#$!!"!!#$
][
22
][
1122112211
21
][][][][][][nyny
bnxaabnxaabnxanxaanxanxaS +⋅⋅++⋅⋅≠+⋅+⋅⋅=⋅+⋅ .
Iz date nejednakosti se zaključuje da posmatrani sistem nije linearan.
Vremenska invarijantnost: Za proizvoljno vremensko pomeranje ulaznog signala na izlazu se dobija][][][' 00 nnybnnxany −=+−⋅= pomereni odziv u vremenu za istu vrednost, pa je zato sistem
vremenski invarijantan.
![Page 20: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/20.jpg)
Diskretni signali i sistemi Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica20
Sistem bez memorije: Kako vrednost odziva sistema na proizvoljnu pobudu u proizvoljnom trenutku zavisisamo od vrednosti pobude u istom trenutku, zaključujemo da je sistem bez memorije.
a.7) Stabilnost: Kako je ∞<<−= xBnxny ][][ sledi da je sistem stabilan.
Kauzalnost: Po definiciji kauzalnosti može da se zaključi da sistemi koji poseduju osobinu kauzalnosti nemogu da vrše predikciju izlaznog signala, ako je poznat ulazni signal do nekog trenutka tj. nemaju osobinupredviđanja odziva na osnovu dotad poznatih vrednosti pobude. Predpostavimo da smo ulazni signalposmatrali u beskonačno dugom vremenskom intervalu. Neka je trenutak kraja posmatranja odabran tako dase nalazi u tački 0=n na diskretnoj vremenskoj osi. Tada su nam poznati vrednosti pobude za 0<n .Odredimo vrednost odziva za proizvoljno 0>n tako da su nam vrednosti u predhodnim trenutcimanepoznate. Neka je taj ternutak 00 >= nn . Iz definicije sistema sledi da je odziv ][][ 11 nxny −= tj. da suvrednosti odziva u budućim trenucima već određene vrednostima pobude do trenutka posmatranja. Pa sledida sistem nije kauzalan jer na osnovu predhodno posmatranih vrednosti pobude uvek se može predvidetibuduća vrednost odziva sistema. Posmatrani sistem ima osobinu preslikavanja prošlosti u budućnost.
Linearnost: Iz uslova linearnosti
][][][][][][][][ 21212121 nybnyanxbnxanxSbnxSanxbnxaS ⋅+⋅=−⋅+−⋅=⋅+⋅=⋅+⋅
sledi da je posmatrani sistem linearan.
Vremenska invarijantnost: Po uslovu vremenske invarijantnosti zakasnela pobuda na ulazu sistema trebada da zakasneli odziv na izlazu sistema za isti vremenski pomeraj. Predpostavimo da smo pobudni signalzakasnili za izvesno vreme ][ 0nnx − . Tada je odziv )]([][ 0nnxny −−= što nam pokazuje da odzivprednjači isto toliko vremena. Znači sistem nije vremenski invarijantan.
Sistem bez memorije: Sistem nije bez memorije jer se vrednosti odziva određuju na osnovu predhodnoposmatranih vrednosti pobude.
a.8) Stabilnost: Iz ∞<+<⋅+≤⋅+= 3][3][][3][][ xBnunxnunxny sledi da je sistem stabilan.
Kauzalnost: U proizvoljno odabranom trenutku 0nn = odziv sistema je ][3][][ 111 nunxny ⋅+= tj. nezavisi od budućih vrednosti pobudnog signala. Sledi da je sistem kauzalan.
Linearnost:
][3][][3][][3][][][][ 212121 nunxbnunxanunxbnxanxbnxaS ⋅+⋅+⋅+⋅≠⋅+⋅+⋅=⋅+⋅
tj. sistem nije linearan.
Vremenska invarijantnost: Za proizvoljno vremenski pomereni ulazni signal ][ 0nnx − na izlazu sistemase dobija odziv ][][3][][3][][' 0000 nnynnunnxnunnxny −=−⋅+−≠⋅+−= koji nije vremenskipomeren signal. Zaključujemo da sistem nije vremenski invarijantan.
Sistem bez memorije: U razmatranju uslova kauzalnosti već smo ukazali na činjenicu da odziv sistemazavisi samo od trenutne vrednosti pobude, te je stoga sistem bez memorije.
![Page 21: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/21.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni signali i sistemi
Viša Tehnička Škola Subotica 21
b.1) Odziv sistema na proizvoljnu poznatu pobudu je data konvolucionom jednačinom
∑−∞=
−⋅=n
mmnhmxny ][][][ u kome je ][nx pobudni signal doveden na ulaz sistema, dok je ][nh impulsni
odziv sistema koji se dobija na izlazu ako je pobuda jedinični impulsni signal. Sa slike se vidi da je pobudnisignal ][nx zakasneli jedinični impuls sa 10 =n , gde je 0n odgovarajuće vremensko kašnjenje signala tj
]1[][][ 0 −=−= nnnnx δδ . Kao što smo rekli odziv na jediničnu impulsnu pobudu jeste impulsni odzivsistema ][nh . Kako je po predpostavci sistem linearan i vremenski nepromenljiv (LVN) sledi da će se navremenski pomerenu pobudu na izlazu sistema dobiti vremenski pomereni odziv. Iz gornjeg tada sledi da jeodziv na pobudni signal ]1[][][ 0 −=−= nhnnhny . Dobijeno rešenje ćemo pokazati i rešavanjemkonvolucione jednačine.
∑−∞=
−⋅=n
mmnhmxny ][][][ . Kako je
≠=
=1;01;1
][mm
mx to će suma biti ]1[1][ −⋅= nhny . Za vrednosti
1<n odziv sistema je 0][ =ny jer je i 0]1[ =−nh , kao što se to vidi sa slike. Za 1=n vrednost odziva je2]0[]11[]1[ ==−= hhy . Za 2=n odziv je 1]1[]12[]2[ ==−= hhy . Za 2>n izlazni signal je jednak
nuli jer je i impulsni odziv jednak nuli. I time smo dokazali gore opisan način razmišljanja.
b.2) Traženi odziv ćemo rešiti na dva načina.
Prvi način: direktno rešavanje konvolucione jednačine.Kako je ulazni signal različit od nule samo u dva trenutka, to će i konvoluciona suma da sadrži dva člana tj.
]1[1][2]1[]1[]0[]0[][][][ −⋅−⋅=−⋅+−⋅=−⋅= ∑−∞=
nhnhnhxnhxmnhmxnyn
m. Kako je impulsni odziv
jednak nuli za 0<n , to će i odziv biti nula. Za 0=n odziv je ( ) 2012]1[]0[2]0[ −=−−⋅=−−⋅= hhy .Za 1=n odziv se dobija analogno kao i malopre 5)1(22]0[]1[2]1[ =−−⋅=−⋅= hhy . Za 2=n sedobija 0212]1[]2[2]2[ =−⋅=−⋅= hhy . Dalje za 3=n imaćemo 1102]2[]3[2]3[ −=−⋅=−⋅= hhy .Za vrednosti 3>n oba člana sume je jednaka nuli pa je i odziv jednak nuli. Analitički oblik odziva je
=−===−
=
drugden
nnn
ny
;03;1
2;01;50;2
][ .
Drugi način: primena osobina LVN sistema.Ulazni signal možemo da prikažemo kao zbir dva signala u kome su pojedini signali jedinični impulsnisignali pomnoženi sa odgovarajućim konstantama i vremenski pomereni za određeni položaj tj.
]1[][2][][][ 1;2
]1[][];[][2121
−−⋅=⋅+⋅= −==
−==nnnxbnxanx ba
nnxnnxδδ
δδ. Ako se na ulaz dovede signal
][][1 nnx δ= tada će se na izlazu pojaviti impulsni odziv sistema (vidi predhodni zadatak) tj. imaćemo][][1 nhny = . Ako se na ulaz dovede pobuda ]1[][2 −= nnx δ tada će se na izlazu pojaviti odziv
]1[][2 −= nhny . Kako je po predpostavci sistem LVN, to će se na zbirnu pobudu ][nx pojaviti zbir odzivapojedinih pobuda tj. ]1[1][2][][][ 21 −⋅−⋅=⋅+⋅= nhnhnybnyany . Dobijeni izraz je identičan zadnjemidentitetu kojeg smo izveli za prvi način rešavanja, te je i rezultat identičan.
![Page 22: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/22.jpg)
Diskretni signali i sistemi Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica22
h[m]
N1N0
n+N3n-N2
x[n-m]
Slika 1.
h[m]
mN0 N1
x[n-m]
n-N2 n+N3Slika 2.
m
b.3) Odziv sistema na proizvoljnu pobudu je data konvolucionom jednačinom ∑∞
−∞=
−⋅=m
mnxmhny ][][][ .
Data suma će biti različita od nule ako je proizvod ][][ mnxmh −⋅različito od nule za bilo koje n i m . Dati uslov je zadovoljen akose signali ][mh i ][ mnx − preklapaju kao što je to prikazano naslici 1. i slici 2.. Prvi trenutak preklapanja signala nastaje ako je
02 NNn =− , pa će i rezultat konvolucije biti različito od nuleako je 20 NNn +≥ (Slika 1.). Sve dok važi uslov da je
13 NNn ≤− tj. da je 31 NNn +≤ , signali se još uvekpreklapaju, pa je i rezultat konvolucije različito od nule (Slika 2.).Nakon ove tačke prizvod posmatranih signala je jednaka nuli jer seviše ne preklapaju, pa je i rezultat konvolucije jednaka nuli. Iz dateanalize sledi da je konvoluciona suma različita od nule za interval
3120 NNnNN +≤≤+ odnosno, izlazni signal je različit odnule u intervalu 54 NnN ≤≤ gde je 204 NNN += i
215 NNN += .
c.1) Rešavanje diferencnih jednačina se svodi na posmatranje oblika karakteristične jednačine i oblikapobude, koja se dovodi na ulaz sistema, čime se zapravo određuje homogeno i partikularno rešenjediferencne jednačine.
Određivanje homogenog rešenja.
Leva strana jedančine se izjednači sa nulom tj. formiramo 0]2[81]1[
43][ =−+−− nynyny . Iz ove
jednačine formiramo karakteristični polinom, tako što ćemo izvršiti formalnu smenu mzmny −=− ][ , gde
je z kompleksna promenljiva. Za naš primer karakteristični polinom glasi 211
81
431)( −−− +−= zzzP .
Izjednačavanjem karakterističnog polinoma sa nulom dobija se karakteristična jednačina tj.
081
431)( 211 =+−= −−− zzzP . Rešenje ove jednačine (koreni polinoma) predstavljaju fundamentalna
rešenja, pomoću kojih se formira opšte rešenje homogenog dela diferencne jednačine. Korenikaraterističnog polinoma mogu biti:
1. realni i različiti mmm λλλλλ ,,,...,, 1221 −− , i tada su fundamentalna rešenja data u oblikunmm
nmm
nn nfnfnfnf λλλλ ==== −− ][,][,...,][,][ 112211 čija linearna kombinacija čini opšterešenje homogenog dela tj. mmmm fcfcfcfcny ++++= −− 112211hom ...][ .
2. realni i r-to struki. Neka je koren 1λ r-to struki koren karakteristične jednačine. Tada jepripadajuće fundamentalno rešenje oblika nrnrnnn nnnnnf 1
11
21
2111 ...][ λλλλλ −− +++++= . Na
isti način se formiraju ostala fundamentalna rešenja u slučaju r-to strukosti. Opšte rešenjehomogenog dela opet predstavlja linearnu kombinaciju fundamentalnih rešenja.
3. koreni su kompleksni oblika nn jn
jn ezez αα ρρ −== 21 , . Tada je fundamentalno rešenje
za koren 1z oblika nnnnf αρ cos][1 = dok je za koren 2z oblika n
nnnf αρ sin][2 = . Ukoliko
su u pitanju r-to struki kopmleksni koreni tada je ∑−
=
⋅⋅=1
01 cos][
r
in
nn
innf αρ dok je
∑−
=
⋅⋅=1
02 sin][
r
in
nn
innf αρ . Opšte rešenje homogenog dela predstavlja linearna kombinacija
fundamentalnih rešenja.
![Page 23: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/23.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni signali i sistemi
Viša Tehnička Škola Subotica 23
Za dati primer koreni karakterističnog polinoma su 21
1 =z i 41
2 =z . Fundamentalna rešenja tada glase
n
nf
=
21][1 i
n
nf
=
41][2 . Opšte rešenje će biti
nn
ccccny
⋅+
⋅=
41
21],,[ 2121hom .
Konstante 1c i 2c određujemo pomoću početnih uslova koja su po zadatku jednake 0]1[ =−y ,8]2[ −=−y . Tada je 042],,1[ 2121hom =⋅+⋅=− ccccy i 8164],,2[ 2121hom −=⋅+⋅=− ccccy .
Iz datog sistema jednačina za pojedine konstante se dobija 1;2 21 −== cc . Opšte rešenje homogenog dela
glasi nn
ny
−
⋅=
41
212][hom . Ovo rešenje se često naziva i kao odziv usled delovanja početnih
uslova.
Određivanje partikularnog rešenja.
Kada se određuje nehomogeno rešenje posmatra se diferencna jednačina sa datom pobudom ali bezdelovanja početnih uslova. Kako je pobudni signal jedinični impuls koji je kauzalan to ćemo rešenjenehomogenog dela predstaviti kao ][][ˆ][ nunyny ⋅= . Tada će se dobiti
][][ˆ][],...,2[]2[ˆ]2[],1[]1[ˆ]1[ mnumnymnynunynynunyny −⋅−=−−⋅−=−−⋅−=− .
Uvrštavanjem ovih izraza u diferencnu jednačiniu dobija se jednačina
∑∑==
⋅−⋅±=−⋅−⋅+⋅m
ii
m
ii nuinyninuinynuny
11
][][ˆ][][][ˆ][][ˆ αδα .
Na desnoj strani jednačine predznak poslednje sume predstavlja zbir članova te sume kojom smo proširilidesnu stranu jednačine tj. dodali smo i oduzeli isti član na desnoj strani. Za dati primer ova operacija će datijednačinu
][]2[ˆ81][]1[ˆ
43][]2[]2[ˆ
81]1[]1[ˆ
43][][ˆ nunynunynnunynunynuny ⋅−±⋅−=−⋅−+−⋅−−⋅ %δ .
Prebacivanjem sume sa desne strane na levu i sređivanjem iste, dolazi se do izraza
[ ] ][][][][ˆ][][ˆ][ˆ11
ninunuinynumnynym
ii
m
ii δαα =−−⋅−⋅−⋅
−⋅+ ∑∑
==
tj. za navedeni primer imaćemo
[ ] [ ] ][]2[][]2[ˆ81]1[][]1[ˆ
43][]2[ˆ
81]1[ˆ
43][ˆ nnununynununynunynyny δ=−−⋅−−−−⋅−+⋅
−+−− .
Kako je ∑−
=
−=−−1
0][][][
i
jjninunu δ sledi da je
][][][ˆ][][ˆ][ˆ1
1
01njninynumnyny
m
i
i
ji
m
ii δδαα =−⋅−⋅−⋅
−⋅+ ∑ ∑∑
=
−
==
.
![Page 24: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/24.jpg)
Diskretni signali i sistemi Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica24
Upoređivanjem signala sa leve strane sa signalima na desnoj strani dolazimo do sledećeg sistema jednačina.Izraz u zagradi gornje jednačine množi signal ][nu kojeg nema na desnoj strani te je
0][ˆ][ˆ1
=
−⋅+∑
=
m
ii mnyny α . Signal ][nδ na levoj strani množi izraz ∑
=
−⋅−m
ii iy
1
][ˆα koji je jednak
jedinici jer taj signal postoji i na desnoj strani. Signal ]1[ −nδ nepostoji na desnoj strani pa je zato izraz na
levoj strani 0][ˆ1
1=−⋅−∑
−
=
m
ii iyα . Isti zaključak važi i za signale )]1([],...,3[],2[ −−−− mnnn δδδ . Ovim
se dobija sledeća šema
0]1[ˆ)]1([
0]2[ˆ]3[ˆ]2[ˆ]1[ˆ]2[0]1[ˆ]2[ˆ]2[ˆ]1[ˆ]1[
1][ˆ]1[ˆ]2[ˆ]1[ˆ][0][ˆ)]1([ˆ]2[ˆ]1[ˆ][ˆ][
143
132
121
12
=−⋅−−−
=+−⋅−+−⋅−−−⋅−−⋅−−=+−⋅−+−⋅−−−⋅−−⋅−−
=−⋅−+−⋅−−−⋅−−⋅−=−⋅+−−⋅++−⋅+−⋅+
−
−
−
−
ymn
mymyyynmymyyyn
mymyyynmnymnynynynynu
m
mm
mm
mm
mmi
αδ
ααααδααααδ
ααααδαααα
&
'
(&
(&
(&
(&
.
Rešavajući ovu šemu počev od zadnje jednakosti dobija se da su početne vrednost signala ][ˆ ny jednake
m
mymymyyyα1][ˆ;0]1[ˆ]2[ˆ]2[ˆ]1[ˆ −=−=+=+−==−=− ( koje zadovoljavaju diferencnu jednačinu
uz signal ][nu tj.
0][ˆ)]1([ˆ]2[ˆ]1[ˆ][ˆ 12 =−⋅+−−⋅++−⋅+−⋅+ − mnymnynynyny mmi αααα ( .
Ova diferencna jednačina ima samo homogeno rešenje i njeno određivanje smo već pokazali. Ovim relativnosloženim postupkom uspeli smo da određivanje partikularnog rešenja neke diferencne jednačine svedemo narešavanje samo homogenih rešenja. Za dati posmatrani primer imaćemo
[ ] ][]1[][]2[ˆ81][]1[ˆ
43][]2[ˆ
81]1[ˆ
43][ˆ nnnnynnynunynyny δδδδ =−+⋅−−⋅−+⋅
−+−− .
Šema koju smo malo pre definisali biće
nn
nyyy
yn
yyn
nynynynu
+
⋅−=⇒
−=−=−
⇒
=−⋅−−
=−⋅−−⋅
=−+−−
41
212][ˆ
8]2[ˆ0]1[ˆ
0]1[ˆ81]1[
1]2[ˆ81]1[ˆ
43][
0]2[ˆ81]1[ˆ
43][ˆ ][
&
&
&
δ
δ .
Odavde sledi da je partikularno rešenje ][41
212][ nuny
nn
part ⋅
+
⋅−= .
Rešenje polazne diferencne jednačine će tada biti
][41
212
41
212][][][ hom nunynyny
nnnn
part ⋅
+
⋅−+
−
⋅=+= .
![Page 25: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/25.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni signali i sistemi
Viša Tehnička Škola Subotica 25
c.2) RUI : ]1[2]2[6]1[5][ −=−+−− nxnynyny .
c.2.a) homogeno rešenjekarakteristični polinom: 211 651)( −−− ⋅+⋅−= zzzP .karakteristična jednačina: 0651)( 211 =⋅+⋅−= −−− zzzP .koreni karakteristične jednačine: 3;2 21 −=−= zz .
fundamentalna rešenja: ( ) ( )nn nfnf 3][;2][ 21 −=−= .opšte rešenje homogenog dela:
( ) ( )nn ccnfcnfcccny 32][][],,[ 21221121hom −⋅+−⋅=⋅+⋅= .
konačno rešenje homogenog dela uz nulte početne uslove 0]2[]1[ =−=− yy :
( ) ( ) ( ) ( ) 0302032][][],,[ 21221121hom =−⋅+−⋅=−⋅+−⋅=⋅+⋅= nnnn ccnfcnfcccny .
c.2.b) Videli smo da je homogeno rešenje diferencne jednačine jednaka nuli, pa je zato ovde nećemoponoviti. Određivanje partikularnog rešenja ćemo sprovesti korak po korak kao što smo to učinili upredhodnom zadatku.Kako je pobudni signal kauzalan rešenje ćemo predpostaviti u obliku ][][ˆ][ nunyny ⋅= .S obzirom da rešenje mora da zadovolji diferencnu jednačinu to će diferencna jednačina da glasi
]1[2]2[]2[ˆ6]1[]1[ˆ5][][ˆ −⋅=−⋅−⋅+−⋅−⋅−⋅ nnunynunynuny δ .
Proširimo diferencnu jednačinu
][]2[ˆ6][]1[ˆ5]1[2]2[]2[ˆ6]1[]1[ˆ5][][ˆ nunynunynnunynunynuny ⋅−±⋅−−=−⋅−+−⋅−−⋅ %δ
i sredimo dati oblik u pogodniji. Tada se dobija
[ ] [ ] [ ] ]1[2]2[][]2[ˆ6]1[][]1[ˆ5][]2[ˆ6]1[ˆ5][ˆ −=−−⋅−−−−⋅−+⋅−+−− nnununynununynunynyny δ
odnosno dobijamo
[ ] [ ] ]1[2]1[][]2[ˆ6][]1[ˆ5][]2[ˆ6]1[ˆ5][ˆ −=−+⋅−−⋅−+⋅−+−− nnnnynnynunynyny δδδδ .
Napišimo šemu za određivanje početnih uslova
( ) ( )nnnyy
y
ynyyn
nynynynu382
314][ˆ
185]2[ˆ31]1[ˆ
2]1[ˆ6]1[0]2[ˆ6]1[ˆ5][
0]2[ˆ6]1[ˆ5][ˆ ][−⋅+−⋅−=⇒
−=−
−=−⇒
=−⋅−−=−⋅−−⋅
=−+−−
&
&
&
δδ .
Odziv na sistema na datu pobudu uz nulte početne uslove je
( ) ( ) ][382314][ nuny nn ⋅
−⋅+−⋅−= .
![Page 26: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/26.jpg)
Diskretni signali i sistemi Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica26
c.2.c) Odredimo partikularno rešenje odziva na datu pobudu. Pobudni signal se može predstaviti i u obliku( ) 011][ jn
u eznu ⋅=== . Uvrštavanjem promenljive 1−uz u karakterističnu jednačinu vidimo da ona ne
predstavlja njen koren, pa je prema tome opšti oblik partikularnog rešenja .],[ constAnAy part ==Zamenom opšteg partikularnog rešenja u polaznu diferencnu jednačinu određuje se konstanta A .
2]2[6]1[5][ =−+−− nynyny partpartpart ,
1265 =⇒=⋅+⋅− AAAA .
Znači partikularno rešenje diferencne jednačine na datu pobudu je oblika
1;1][ ≥= nny part .
![Page 27: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/27.jpg)
Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.
Viša Tehnička Škola Subotica 27
Furijeova transformacija,Z-transformacija,
Diskretna Furijeova transformacija
Po definiciji signali su fizičke veličine zavisne od vremena. Međutim njihov opis u vremenskomdomenu, bili oni analogni ili diskretni signali, predstavlja mnogo složeniji problem nego što se to na prvipogled čini.
Da bi se izbegli problemi oko vremenske reprezentacije signala, primenjuju se posebnetransformacione tehnike. Uloga transformacionih tehnika je da vremenski signal preslika u transformacionidomen i da se u tom domenu pomoću neke, u opštem slučaju kompleksne, funkcije opišu osobine signala.
Kao najjednostavniji primer bi se mogao navesti prikaz naizmeničnih električnih veličina (struja,napon) pomoću kompleksnih brojeva i vektora. Mada se to ne ističe na osnovnim studijama, ali ona jestejedan način transformacije vremenskih signala. Pomoću nje vremenski signali se prikazuju kompleksnimvektorima čime se sve složene operacije u vremenskom domenu svode na proste algebarske i vektorskeoperacije.
Za analogne signale često korišćene transformacije su Laplasova transformacija koja omogućavaanalizu signala u prelaznom režimu, zatim Furijeova transformacija ( kao specijalan slučaj Laplasovetransformacije ) za analizu signala u frekvencijskom domenu, itd.
Transformacije koje služe za analizu diskretnih signala su:
- Z-transformacija ( analogne uloge Laplasovoj transformaciji )- dvostrana (bilateralna) Z-transformacija
∑∞
−∞=
−⋅=n
nznxzX ][)( ,
- jednostrana (unilateralna) Z-transformacija
∑∞
=
−⋅=0
][)(n
nznxzX .
- Inverzna Z-transformacija
∫ ⋅⋅⋅= −
C
n dzzzXj
nx 1)(21][π
.
- Furijeova transformacija diskretnog signala ( FTD )
∑∞
−∞=
−⋅=n
jnj enxeX ωω ][)( ,
- Inverzna Furijeova transformacija diskretnog signala ( IFTD )
∫−
⋅⋅⋅=π
π
ωω ωπ
deeXnx jj )(21][ .
![Page 28: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/28.jpg)
F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T. Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica28
Pojavom namenske računarske arhitekture ( DSP procesori ) FTD je izrastao svoj teorijski značaj.Međutim nedostatak njene praktične primene je ta što za rezultat daje kontinualnu kompleksnu funkciju, kojaje nepogodna za smeštaj u memoriju procesora. Rešenje ovog nedostatka je predstavljala diksretizacijaspektra signala čime je nastala diskretna Furijeova transformacija ( DFT ).
- Diskretna Furijeova transformacija ( DFT )
1,,1,0;][][1
0
2
−=⋅= ∑−
=
⋅⋅−NkenxkX
N
n
knN
j)
π
,
- Inverzna diskretna Furijeova transformacija ( IDFT )
1,,1,0;][][1
0
2
−=⋅= ∑−
=
⋅⋅NnekXnx
N
n
knN
j)
π
.
Ova transformacija je dala kasnije i osnovu za pojavu nekih drugih transformacija, sa boljim iekonomičnijim osobinama u računksom smislu, kao što su:
- diskretna Hartlejeva transformacija,- diskretna kosinusna transformacija,- Karhunen-Leve transformacija,- brza Furijeova transformacija,- itd.
Ovo poglavlje ima cilj da da uvid u primenu osnovnih transformacijonih tehnika i da pokaže nekeosnovne metode rešavanja problema iz ove oblasti.
![Page 29: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/29.jpg)
Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.
Viša Tehnička Škola Subotica 29
Zadatak 1.Odredit Furijeovu transformaciju sledećih diskretnih signala (FTD)
a) nns ∀= ;1][ . b.) nnns ∀⋅= );43cos(][ . c.) 0);
5sin(][ ≥⋅= nnns π
.
d.) 0);5
sin(5.1)43cos(5][ ≤⋅⋅+⋅⋅= nnnns π
. e.) nnnns ∀⋅+⋅= );8
2cos(3.8)6
2cos(8.7][ ππ.
f.) ][][][ 21 nsnsns += ako su nnns ∀⋅= );3
2cos(5][1π
i ≤≤−
=drugde
nnns
;050;5
][2 .
g.) ][][][ 21 nsnsns −= ako su
≤≤−≤≤−+
=50;505;5
][1 nnnn
ns i ≤≤−+
=drugde
nnns
;005;5
][2 .
h.) ][][][ 21 nsnsns ⋅= ako su 150;][1 ≤≤= nans n i nns ∀= ;3][2 .
i.) ][][ 01 nnsns −= ako je ][100][1 nns δ⋅= i 1000 =n .
j.) ∑∞
−∞=
−⋅=∗=m
mnsmsnsnsns ][][][][][ 2121 za slučajeve
j.1.) ][][1 nns δ= j.2) ][][1 nuns = j.3) ][][1 nuns = ][][ 02 nnns −= δ . ]10[][2 −= nns δ . 0;][2 ≥= nans n .
k.1.) ∑∞
−∞=
+⋅=m
mnsmsns ][][][ 21 ako je 0;][][ 21 ≥== nansns n .
k.2.) ∑∞
−∞=
⋅+=m
msmnsns ][][][ 21 ako je ][][1 nns δ= i ]3[][2 −= nns δ .
k.3.) ∑∞
−∞=
+⋅=m
mnsmsns ][][][ 21 ako je nnns ∀= );3
2cos(][1π
nnns ∀= );4
5sin(][2π
.
l.) Rešavanje diferencnih jednačina pomoću FTD za slučaj sa nultim početnim uslovima.
l.1) ]1[2]2[81]1[
43][ −⋅=−⋅+−⋅− nxnynyny ako je ][][ nnx δ= .
l.2) ][2]2[6]1[5][ nxnynyny ⋅=−⋅+−⋅− ako je ][][ nnx δ= i ][][ nunx = .
Rešenje:
a.) Signal ][ns ne zadovoljava uslov ∞<∑∞
−∞=nnx ][ te stoga njegovo FTD ne može u klasičnom smislu da
se izvede. Međutim nekim transformacijama može se pokazati da FTD ovog signala ipak postoji. Ako sesignal prikaže u grafičkom obliko uočava se da signal predstavlja beskonačni niz vremenski pomerenih
diskretnih Dirakovih impulsa tj. ∑∞
−∞=
−==k
knns ][1][ δ . Nađimo sada FTD signala u ovom obliku. Tada se
dobija ∑ ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
− ⋅−=⋅=n k
jn
n
jn eknensjS ωω δω ][][)( . Zamenom redosleda sumiranja dobijamo
∑∑ ∑∞
−∞=
−∞
−∞=
∞
−∞=
− =⋅−=k
jk
k n
jn eeknjS ωωδω ][)( .
![Page 30: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/30.jpg)
F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T. Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica30
Iz telekomunikacija je poznata veza ∑∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
⋅−⋅==nn
jnT
n
jnT
Tn
Tee )2(2 πωδπωω , pa za vrednost 1=T
dobija se ∑∞
−∞=
⋅−⋅=k
kjS )2(2)( πωδπω . S obzirom da je FTD bilo kog signala periodična funkcija po
promenljivoj normalizovane učestanosti ω sa periodom π2 , tada je dovoljno posmatrati FTD spektarsignala u njegovom osnovnom opsegu u ],[ ππω +−∈ ili ]2,0[ πω +∈ . Te je stoga FTD signala datog uprimeru jednaka πωπωδπω +≤≤−⋅= );(2)( jS tj. FTD spektar diskretnog signala je Dirakov impulslociran u tački 0=ω . Dobijeni rezultat je logičan jer posmatrani signal ima samo jednosmernu komponentute ni spektar takvog signala nemože da ima komponente na drugim normalizovanim učestanostima osim za
0=ω .
b.) Napišimo izraz za FTD signala. ∑∞
−∞=
−⋅⋅=n
jnenjS ωω )43cos()( . Primenom Ojlerove transformacije ovaj
izraz se svodi na oblik
∑∑∑∑∞
−∞=
+−∞
−∞=
−−∞
−∞=
−−∞
−∞=
− +=+=n
nj
n
nj
n
jnnj
n
jnnjeeeeeejS
)43()
43(
43
43
21
21
21
21)(
ωωωωω .
Sume u ovom izrazu su one poznate od predhodnog zadatka te dobijamo da je FTD jednak
πωπωπδωπδωδπωδπω +≤≤−−++=+⋅+−⋅= );43()
43()
43(
22)
43(
22)( jS .
Iz ovog primera se može zaključiti bitna razlika između spektra kontinualnih i diskretnih signala. Naimespektar kontinualnih signala predstavlja niz periodičnih komponenata (signala) koje sadrži signal. Međutimkod diskretnih signala to nije slučaj jer komponente na nekim normalizovanim učestanostima nemoraju dadaju periodične diskretne signale u vremenskom domenu. Dati signal ima diskretni FTD spektar međutimovoj komponenti ne odgovara periodični diskretni signal kao što smo to pokazali u prvom poglavlju.
c.) Primenom Ojlerove transformacije za FTD se dobija ∑∑∞
=
+−∞
=
−−−=
0
)5
(
0
)5
(
21
21)(
n
nj
n
nje
je
jjS
πωπωω .
Rešenje ovog tabličnog izraza će biti )
5cos()cos(
)5
sin(
21
1
121
1
121)(
)5
()5
( πω
π
ω πωπω −−=
−−
−=
+−−− jje
je
jjS .
d.) Izraz za FTD glasi ∑∑−∞=
−∞
−∞=
− ⋅
+=⋅=
0
)5
sin(5.1)43cos(5][)(
n
jn
n
jn ennensjS ωω πω . Rastavljanjem
sume na parcijalne oblike dobija se ∑∑−∞=
−
−∞=
− ⋅+⋅==00
)5
sin(5.1)43cos(5)(
n
jn
n
jn enenjS ωω πω . Primenom
Ojlerovog obrazca i smene nl −= sledi
=
++
+= ∑∑∑∑
−∞=
+−
−∞=
−−
−∞=
+−
−∞=
−− 0 )5
(0 )5
(0 )43(0 )
43(
25.1
25)(
n
nj
n
nj
n
nj
n
njee
jeejS
πωπωωωω
++
+= ∑∑∑∑
∞
=
+∞
=
−∞
=
+∞
=
−
0
)5
(
0
)5
(
0
)43(
0
)43(
25.1
25
l
lj
l
lj
l
lj
l
ljee
jee
πωπωωω.
![Page 31: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/31.jpg)
Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.
Viša Tehnička Škola Subotica 31
Dobijene sume u zagradama predstavljaju tablične izraze pa je tada konačno rešenje dato u obliku
[ ]ππωπω
π
ωω
ω
ω +−∈−
⋅−−
⋅−⋅⋅= − ,;
)5
cos()cos(
)5
sin(
25.1
)43cos()cos(
)43cos(1
25)(
j
je
ejS .
e.) Analogno predhodnim primerima imaćemo da je ][ nsFTD jednako
∑∑∑∞
−∞=
−∞
−∞=
−−∞
−∞=
+=⋅
+=
n
jn
n
jnjn
nenenennjS ωωω ππππω )
82cos(3.8)
62cos(8.7)
82cos(3.8)
62cos(8.7)(
Primenom Ojlerovog obrazca dobijamo
∑∑∑∑∞
−∞=
+−∞
−∞=
−−∞
−∞=
+−∞
−∞=
−−+++=
n
nj
n
nj
n
nj
n
njeeeejS
)8
2()8
2()6
2()6
2(
23.8
23.8
28.7
28.7)(
πωπωπωπωω .
Posmatrajući spektar u osnovnom intervalu za rezultat se dobija
πωππωπδπωπδπωπδπωπδω ≤≤−−⋅+−⋅++⋅++⋅= );6
2(8.7)8
2(3.8)8
2(3.8)6
2(8.7)( jS .
f.) U predhodnim primerima smo videli da je FTD zbira signala jednaka zbiru FTD-a pojedinih signala tj.
[ ] )()(][][][][)( 212121 ωωω ωωω jSjSensensensnsjSn
jn
n
jn
n
jn +=⋅+⋅=⋅+= ∑∑∑∞
−∞=
−∞
−∞=
−∞
−∞=
− .
Primenom ove osobine dobijamo
πωππωπδπωπδω ≤≤−
−⋅+
+⋅= ;
325
325)(1 jS
[ ]2
65
0
5
0
5
0
5
0
5
02
1655)5()(
ω
ωωωωωωωω
ω j
jj
n
jn
n
jn
n
jn
n
jn
n
jnj
eeee
ddjeeneeneS
−
−−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−=
⋅−⋅=⋅−⋅=⋅−= ∑∑∑∑∑
Konačno rešenje će biti
[ ] πωππωπδπωπδω
ωωω +≤≤−
−
−+
−⋅+
+⋅=
−
−−
;1
63
253
25)( 2
6
j
jjj
eeeeS .
g.) [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∑∑=
−
−=
−
=
−
−=
− ⋅+=⋅−−⋅++⋅−=5
1
0
5
5
1
0
5
5555)(n
jn
n
jn
n
jn
n
jnj eneneneneS ωωωωω . Razvojem date
sume dobija se reultat u obliku
πωπωωωωω ≤≤−+++= −−−− ;234)( 432 jjjjj eeeeeS .
![Page 32: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/32.jpg)
F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T. Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica32
h.) Odredimo prvo opšti oblik FTD-a proizvodu dva diskretna signala tj. [ ]∑∞
−∞=
−⋅⋅=n
jnj ensnseS ωω ][][)( 21 .
Poznato je da je inverzna Furijeova transformacija diskretnog signala (IFTD) ∫−
=π
π
ωω ωπ
deeSns jnj )(21][ .
Primenimo ovaj izraz na signal ][1 ns . Tada je FTD ωπ
π
ω
πjn
n
jnjj ensdeeSeS −∞
−∞= −
ΩΩ ⋅
⋅Ω= ∑ ∫ ][)(
21)( 21 .
Kako su suma i integral konačni, zamenom matematičkih operacija se dobija
∫∑∫−
Ω−Ω∞
−∞=
Ω−−
−
Ω ∗=Ω⋅⋅=Ω
⋅=
Ω−
π
π
ωωωωπ
π
ω
ππω
)()()()(21][)(
21)( 11
)(21
)(
)(21
)(2
jjjj
eS
n
njjj eSeSdeSeSdenseSeS
j!!! "!!! #$
Odavde zaključujemo da je FTD spektar proizvoda dva signala jednaka periodičnoj konvoluciji FTDspektara pojedinih diskretnih signala. Primenjujuči ovu osobinu prvo čemo da odredimo FTD spektarpojedinih signala. Tako dobijamo da su FTD spektri pojedinih signala jednaka
[ ] [ ] πωπω
ωωωω ≤≤−
⋅−⋅−=⋅=⋅= −
−
=
−
=
− ∑∑ ;11)(
1615
0
15
01 j
j
n
nj
n
jnnj
eaeaeaeaeS
πωπωπδωω ≤≤−⋅=⋅= ∑∞
−∞=
− );(233)(2n
jnj eeS .
Odnosno da je spektar proizvoda signala jednak
[ ] [ ] πωπωδππ
ω
ωπ
π
ω +≤≤−⋅−
⋅−⋅=Ω⋅Ω−⋅⋅−
⋅−⋅= −
−
−Ω−
Ω−
∫ ;113)(
11
223)(
1616
j
j
j
jj
eaead
eaeaeS .
i.) Izvedimo prvo izraz za FTD vremenski pomerenog signala. Neka je ][][' 0nnsns −= . Tada je FTDjednaka
==−== ∑∑∑∞
−∞=
+−−=+=
∞
−∞=
−∞
−∞=
−
k
nkjnnknkn
n
jn
n
jnj eksennsenseS )(0
00
0][][][')(' ωωωω
)(][ 00 ωωωω jnjnjk
k
jn eSeekse −−∞
−∞=
− == ∑ .
Odavde sledi da je FTD spektar traženog signala
πωπωω ≤≤−⋅= − ;100)( 1001
jj eeS .
![Page 33: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/33.jpg)
Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.
Viša Tehnička Škola Subotica 33
j.) Izvedimo FTD spektar izraza ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
⋅−=−⋅=∗=mm
msmnsmnsmsnsnsns ][][][][][][][ 212121 .
Dobjamo da je ∑ ∑∞
−∞=
−∞
−∞=
⋅
−⋅=
n
jn
m
j emnsmseS ωω ][][)( 21 . Zamenom redosleda sumiranja sledi izraz
∑ ∑∞
−∞=
−∞
−∞=
⋅⋅−⋅=
m
jn
n
j emnsmseS ωω ][][)( 21 . Proširimo izraz u zagradi sa 1=⋅− ωω jmjm ee što će da da
)()(][)(][][)( 21
)(
12
)(
)(21
12
ωωωωωωω
ωω
jj
eS
m
jmj
m
eS
mnj
n
jmj eSeSemseSemnsemseS
jj
⋅=⋅⋅=
⋅⋅−⋅⋅= ∑∑ ∑∞
−∞=
−∞
−∞=
−−∞
−∞=
−
!! "!! #$!!!! "!!!! #$
Odavde sledi da je FTD spektar konvolucionog signala jednaka proizvodu FTD spektra pojedinihsignala. Za date primere imaćemo:
ј.1)
πωππωπδ
ωωπδωωω
ωωω
ωω
≤≤−=⋅=⇒
≤≤−=⋅−=
≤≤−=⋅=−
−∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
∑
∑;)()()(
;][)(
;1][)(0
0
21
02
1jnjjj
jn
n
jnj
n
jnj
eeSeSeSeenneS
eneS
j.2)
( ) ( ) πωωπδδ
ωπδ
ω
ωω
ωωω
ωωω
≤−
+=⇒
=−=
−+==
−
−
−∞
−∞=
−
−
∞
−∞=
−
∑
∑;
12)(
;]10[)(
;11)(2][)( 10
102
1
j
jj
j
n
jnj
jn
jnj
eeeS
eeneS
eenueS
.
j.3)
( ) ( )( ) πωωδπωπδ
ωωω
ωωω
ωωω
≤−−
+−
=⇒
−==
−+==
−−
−
∞
−∞=
−
−
∞
−∞=
−
∑
∑;
111
12)(
;1
1)(
;11)(2][)(
2
1
jjj
jn
jnnj
jn
jnj
eaeaeS
aeeaeS
eenueS
.
k.1) Izvedimo opšti izraz za FTD spektar traženog signala.
)()(][)()(][
][][][][)(
211221
)(2121
ωωωωωω
ωωωω
jjjm
m
j
m
jmj
m
jmmnj
nn
jn
m
j
eSeSemseSeeSms
eemnsmsemnsmseS
⋅=
⋅⋅=⋅⋅=
=⋅
⋅+=⋅
+⋅=
∗∗
−∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
+−∞
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
∑∑
∑ ∑∑ ∑.
Ako su signali ][][ 21 nsns = tada je FTD spektar jednak 2
111 )()()()( ωωωω jjjj eSeSeSeS =⋅= ∗ tj.rečima: FTD spektar autokorelacionog signala je jednak spektralnoj gustini energije (snage) signala.
![Page 34: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/34.jpg)
F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T. Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica34
Za dati primer imaćemo πωω
ωω
ω ≤+−
=
−−
;cos21
)(2
cos1sin
1aa
eeSa
ajarctg
j pa je traženi spektar dat u obliku
πωω
ω ≤+−
= ;cos211)( 2aa
eS j .
k.2.) Izvedimo i za ovaj slučaj traženi izraz za proračun FTD spektra.
)()(][)()(][
][][][][)(
212112
)(1221
ωωωωωω
ωωωω
jjjm
m
j
m
jmj
m
jmmnj
nn
jn
m
j
eSeSemseSeeSms
eemnsmsemsnmseS
∗∗
−∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
+−∞
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
⋅=
⋅⋅=⋅⋅=
=⋅
⋅+=⋅
⋅+=
∑∑
∑ ∑∑ ∑.
Zaključak kojeg smo izveli u predhodnom primeru i ovde važi. Za date signale imaćemo
πωπω
πω ωωωωωωω
ω
≤=⋅=⋅=⇒
≤=≤= +∗
− ;1)()()(;)(
;1)( 33213
2
1 jjjjjjj
j
eeeSeSeSeeS
eS.
k.3.) U predhodnim primerima smo već izveli izraz za FTD spektar prostoperiodičnih signala. Pa sledi
πωπωδππωδπ ωω ≤=−⋅++⋅= ∗ );()3
2(2)3
2(2)( 11jj eSeS
πωπωδππωδπππ
ω ≤⋅−⋅+⋅+⋅=−
;)4
5(2)4
5(2)( 221
jjj eeeS .
Na osnovu datih izraza vidimo da su delta impulsi pojedinih spektara na različitim položajima frekvencijskeose. Poznato nam je i to da proizvod dva delta impuls je različito od nule ako su oni smešteni na isto mesto.Kako ovaj uslov nije zadovoljen za ova dva data spektra sledi da je njihov proizvod jednak nuli po celojfrekvencijskoj osi. Ovaj zadatak smo rešavali u prvom poglavlju u kome smo ovom problemu pristupili uvremenskom domenu gde smo dobili isti rezultat.
l) Primena FTD analize u određivanju odziva nekog sistema, koji je opisan diferencnom jednačinom, napoznatu pobudu se svodi na nalaženje •FTD obe strane diferencne jednačine. Neka je data diferencna
jednačina u obliku KMknxbmnyanyK
kk
M
mm ≥−⋅=−⋅+ ∑∑
==
;][][][01
. Primenimo •FTD na obe strane
jednačine. Na osnovu linearne osobine •FTD dobija se jednačina
KMknxFTDbmnyFTDanyFTDK
kk
M
mm ≥−⋅=−⋅+ ∑∑
==
;][][][01
.
Poznato je nadalje da je
)(][][ ωωω jjmjm eYenyFTDemnyFTD ⋅=⋅=− −−
)(][][ ωωω jjkjk eXenxFTDeknxFTD ⋅=⋅=− −− .
![Page 35: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/35.jpg)
Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.
Viša Tehnička Škola Subotica 35
Konačno se dobija jednačina
KMebeXeaeYK
k
jkk
jM
m
jmm
j ≥
⋅⋅=
⋅+⋅ ∑∑
=
−
=
− ;)(1)(01
ωωωω .
Ako nam je poznat FTD spektar pobudnog signala tj. )( ωjeX tada izražavajući )( ωjeY dobijamo FTDspektar izlaznog signala tj. odziva
)(1
)(
1
0 ω
ω
ω
ω jM
m
jmm
K
k
jkk
j eXea
ebeY ⋅
⋅+
⋅=
∑
∑
=
−
=
−
.
Primenom invrezne FTD ( •−1FTD ) na spektar izlaznog signala možemo da odredimo vremenski oblikodziva.
l.1) Primenimo gore navedene operacije na datu diferencnu jednačinu. Tada dobijamo
)(281
431)( 2 ωωωω jjjj eXeeeY ⋅=
⋅+⋅−⋅ −− . FTD spektar izlaznog signala će tada biti
)(
81
431
2)(2
ω
ωω
ω j
jj
j eXee
eY ⋅⋅+⋅−
=−−
. Kako je ωω jj eeX −=)( , primenom razbijanja na parcijalnih
razlomaka dati izraz, sledi ωωωω
ωω
jjjj
jj
eeee
eeY−−−−
−
⋅−+
⋅−
−=
⋅−⋅
⋅−
⋅=
211
8
411
8
211
411
2)( .
Primenom ωjeYFTD (1− nalazimo odziv sistema u vremenskom domenu na datu pobudu. Na osnovu
tabličnog oblika izraza spektra izlaznog signala sledi da je odziv ][218
418][ nuny
nn
⋅
⋅+
⋅−= .
Prenosna funkcija datog sistema je
ωωωωω
ωω
jjjjj
jj
eeeeeXeYeH
−−−− ⋅−+
⋅−
−=⋅+⋅−
==
211
4
411
2
81
431
2)()()(
2.
Kako je prenosna funkcija diskretnog sistema FTD impulsnog odziva tj. ][)( nhFTDeH j =ω , impulsniodziv će tada biti
][214
412][ nunh
nn
⋅
⋅+
⋅−= .
l.2.) FTD transformacija na datu diferencnu jednačinu daje
[ ] )(2651)( 2 ωωωω jjjj eXeeeY ⋅=⋅+⋅−⋅ −− .
![Page 36: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/36.jpg)
F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T. Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica36
Izražavanjem spektar izlaznog signala dobijamo jednačinu
( ) ( ) )(2131
2)(651
2)( 2ω
ωωω
ωωω j
jjj
jjj eX
eeeX
eeeY ⋅
⋅−⋅⋅−=⋅
⋅+⋅−= −−−− .
Prenosna funkcija diskretnog sistema će biti
( ) ( ) ωωωωω
ωω
jjjjj
jj
eeeeeXeYeH −−−− ⋅−
−⋅−
=⋅−⋅⋅−
==21
431
62131
2)()()( ,
pa je impulsni odziv datog sistema
( ) ( )[ ] ][2436][ nunh nn ⋅⋅−⋅= .
Ako se na ulaz sistema dovodi impulsna pobuda tada je odziv jednak impulsnom odzivu sistema, pa sledi daje za ][][ nnx δ= izlazni signal ( ) ( )[ ] ][2436][][ nunhny nn ⋅⋅−⋅== .
Ako na ulazu deluje pobuda ][][ nunx = čiji je FTD spektar ωωω ωδπ j
jj
eeUeX −−
+⋅==11)(2)()( ,
spektar izlaznog signala će tada da glasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωωωωω πωδπ jjjjjj
j
eeeeeeeY −−−−−− −⋅⋅−⋅⋅−
+=
−+⋅⋅
⋅−⋅⋅−=
1213122
11)(2
21312)(
Nakon rastavljanja zadnjeg člana u oblik parcijalnih razlomaka dobija se tablični izraz za spektar odziva
( ) ( )[ ] ][12839][2][11
218
3192)( nunnh
eeeeY nn
jjjj ⋅+⋅−⋅+⋅=⇒
−+
⋅−−
⋅−+= −−− δππ ωωω
ω .
Zadatak 2.Odredit Z-transformaciju sledećih diskretnih signala
a.) 0);5
sin(][ ≥⋅= nnns π. b.) 0);
5sin(5.1)
43cos(5][ ≤⋅⋅+⋅⋅= nnnns π
. c.) 11;][ 3 ≥= nensjπ
.
d.) ][][][ 21 nsnsns −= ako su
≤≤−≤≤−+
=50;505;5
][1 nnnn
ns i ≤≤−+
=drugde
nnns
;005;5
][2 .
e.1.) ][][ 01 nnsns −= ako je ][100][1 nns δ⋅= i 1000 =n .
e.2.) ]10[]5[][ 21 −−+= nsnsns ako su 150;][1 ≤≤= nans n i 115;1][2 ≤≤−
−= n
ans
n
.
f.) ∑∞
−∞=
−⋅=∗=m
mnsmsnsnsns ][][][][][ 2121 za slučajeve
f.1.) ][][1 nns δ= f.2) ][][1 nuns = f.3) ][][1 nuns = ][][ 02 nnns −= δ . ]10[][2 −= nns δ . 0;][2 ≥= nans n .
![Page 37: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/37.jpg)
Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.
Viša Tehnička Škola Subotica 37
g.1.) ∑∞
−∞=
+⋅=m
mnsmsns ][][][ 21 ako je 0;][][ 21 ≥== nansns n .
g.2.) ∑∞
−∞=
⋅+=m
msmnsns ][][][ 21 ako je ][][1 nns δ= i ]3[][2 −= nns δ .
h.) Rešavanje diferencnih jednačina pomoću Z-transformacije za slučaj sa nultim početnim uslovima.
h.1) ]1[2]2[81]1[
43][ −⋅=−⋅+−⋅− nxnynyny ako je ][][ nnx δ= .
h.2) ][2]2[6]1[5][ nxnynyny ⋅=−⋅+−⋅− ako je ][][ nnx δ= i ][][ nunx = .
i.) Rešavanje diferencnih jednačina pomoću jednostrane Z-transformacije za slučaj sa nenultim početnimuslovima.
i.1.) ][]1[3][ nxnyny =−⋅+ ako je ][21][ nunx
n
⋅
= i ako je 1]1[ =−y .
i.2.) ]1[21][]1[
21][ −⋅−=−⋅− nxnxnyny ako je ][][ nunx = i ako je 1]1[ =−y .
Rešenje:
a.) Primenom Ojlerovog obrazca izraz za •Z transformaciju će biti
∑∑∑∑∞
=
−−∞
=
−∞
=
−
−∞
−∞=
−
⋅⋅−
⋅⋅=⋅
−=⋅=
0
15
0
15
0
55
21
21
2][)(
n
nj
n
nj
n
n
njnj
n
n zej
zej
zjeeznszS
ππππ
.
Date sume postoje ukoliko one konvergiraju. Uslovi koji zadovoljavaju konvergenciju datih suma su
1111 11515 >⇒<⇒<⋅⇒<⋅ −−− zzzezejj ππ
1111 11515 >⇒<⇒<⋅⇒<⋅ −−−−−zzzeze
jj ππ
.
Iz datog sledi da ako je moduo kompleksne promenljive z veće od jedan tada gornje sume konvergiraju.Oblast u z-ravni za koje se zadovoljavaju gornji uslovi predstavlja oblast konvergencije tj. ROC. Znači oblastkonvergencije datih suma a i same Z-transformacije je oblast koja se nalazi izvan jedinične kružnice Z-ravni.Primenom tabličnih rešenja dobijamo da je rešenje kompleksne funkcije
1)5
cos(2
)5
sin(
)5
cos(21
)5
sin(
1
121
1
121)(
221
1
1515 +⋅−=
+⋅−
⋅=
⋅−⋅−
⋅−⋅=
−−
−
−−−π
π
π
π
ππzzzz
z
zej
zej
zSjj
.
Polovi i nule date Z-transformacije su 52
51 ;
ππ j
p
j
p ezez−
== .
![Page 38: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/38.jpg)
F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T. Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica38
Prema tome rešenje Z-transformacije datog signala je
1:;1)
5cos(2
)5
sin()(
2>
+⋅−= zROC
zzzS
π
π
.
b.) Primenom Ojlerove formule Z-transformacija signala će biti
=⋅−⋅+⋅+⋅= ∑∑∑∑−∞=
−−
−∞=
−
−∞=
−−
−∞=
−0
430
50
430
43
25.1
25.1
25
25)(
n
nnj
n
nnj
n
nnj
n
nnjze
jze
jzezezS
π
l
l
jl
l
jl
l
jl
l
j
n
n
jn
n
jn
n
jn
n
j
zej
zej
zeze
nlsmena
zej
zej
zeze
∑∑∑∑
∑∑∑∑∞
=
∞
=
−∞
=
∞
=
−
−
−∞=
−
−∞=
−−
−∞=
−
−∞=
−
⋅−
⋅+
⋅+
⋅=
=−=
=
⋅−
⋅+
⋅+
⋅=
0
5
0
5
0
43
0
43
05
05
0430
43
25.1
25.1
25
25
25.1
25.1
25
25
ππ
ππ
Gornji izraz postoji ukoliko su uslovi konvergencije datih suma zadovoljene tj. ako važi
1111
1111
1111
111111
5
5
5
5
43
43
43
43
<⇒=<⇒<
<⇒=<⇒<
<⇒=<⇒<
<⇒==<⇒<
−
−
−
−
ze
zze
ze
zze
ze
zze
ze
zze
j
j
j
j
j
j
j
j
π
π
π
π
Iz gornjih uslova se uočava da je svaka suma konvergentna ako je kompleksna promenljiva z po modulumanja od jedinice tj. za proizvoljno odabrani kopmleksni broj u Z-ravni koji se nalazi u unutrašnjostijediničnog kruga, svaka suma je konvergentna pa i kompleksna funkcija )(zS postoji. Odavde onda sledi daje oblast konvergencije Z-transformacije unutrašnjost jedinične kružnice u Z-ravni tj. 1: <zROC . Nakonprimene tabličnih rešenja datih suma izraz za Z-transformaciju će biti
=⋅−
⋅−⋅−
⋅+⋅−
⋅+⋅−
⋅=−−
zej
zej
zezezS
jjjj554
343
1
12
5.1
1
12
5.1
1
125
1
125)( ππ
![Page 39: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/39.jpg)
Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.
Viša Tehnička Škola Subotica 39
432
32
22 081.3367.4081.31535.4201.12635.125
)5
cos(21
)5
sin(5.1
)43cos(21
)43cos(1
5zzzz
zzz
zz
z
zz
z
+⋅−⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−=
+⋅−
⋅⋅−
+⋅−
⋅−⋅=
π
π
.
Nule funkcije su: 571487.0771685.0;571487.0771685.0;983629.0 321 jzjzz nnn −=+== .
Polovi funkcije su: 54
53
43
243
1 ;;;ππ j
p
j
p
j
p
j
p ezezezez−−
==== .
1:;081.3367.4081.31
535.4201.12635.125)( 432
32
<+⋅−⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−= zROC
zzzzzzzzS .
c.) Dati signal je kompleksni diskretni signal. Njena Z-transformacija će biti po definiciji
∑∑∑∑∑=
−∞
=
−∞
=
−∞
=
−∞
−∞=
−
⋅−
⋅=
⋅=⋅=⋅=
10
0
13
0
13
11
13
11
3][)(n
nj
n
nj
n
nj
n
nnj
n
n zezezezeznszSππππ
.
Prva suma konvergira ako je 111 113 >⇒<⇒<⋅ −− zzzejπ
. Konačne sume uvek konvergiraju jer
sadrže konanačan broj članova te sledi da je druga suma konvergentna za bilo koju vrednost kompleksnepromenljive z . Logično je tada da oblast konvergencije mora biti ta oblast u Z-ravni koja zadovoljava obauslova konvergencije tj. oblast konvergencije Z-transformacije mora biti presek pojedinih oblasti. Odavdesledi da je 1: >zROC . Primenom tabličnih rešenja gornjih suma, izraz za Z-transformaciju glasi
( ) 1:;11
1
1
1)(310
3
13
1113
11
13
11
13
13
>
−⋅
=⋅−
⋅=⋅−
⋅−
−⋅−
=−
−
−
−
−
−
zROCezz
e
ze
zeze
ze
zezS
j
j
j
j
j
j
j π
π
π
π
π
π
π .
Iz izraz se vidi da Z-transformacija nema nula. Jedan pol se nalazi u tački 31
πj
p ez−
= dok je drugi lociran u
kordinatni početak Z-ravni tj. 02 =pz , i on je desetostruki pol naše funkcije.
d.) Nađimo prvo izraz za Z-transformaciju zbira dva signala.
[ ] [ ] )()(][][][][][][)( 21212121 zSzSznsznsznsznsznsnszSn
n
n
n
n
nn
n
n +=+=+=+= ∑∑∑∑∞
−∞=
−∞
−∞=
−∞
−∞=
−−∞
−∞=
−
Vidimo da je Z-transformacija zbira dva signala jednaka zbiru njihovih Z-transformacija. Nakon ovogzaključka odredimo Z-transformaciju datog signala.
( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑=
−
−=
−
=
−
−=
− ⋅−=⋅+−⋅−+⋅+=5
0
0
5
5
0
0
5
5555)(n
n
n
n
n
n
n
n znznznznzS .
![Page 40: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/40.jpg)
F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T. Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica40
Razvojem date suma dobijamo
4
324321 43211234)(
zzzzzzzzzS ⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅= −−−− .
Nule funkcije su: 546869.1174685.0;546869.1174685.0;650629.1 321 jzjzz nnn +−=−−=−= .Z-transformacija ima samo jedan pol koji je četvorostruki pol i koji se nalazi u kordinatnom početku. Odavdeonda možemo da zaključimo da je oblast konvergencije cela Z-ravan izuzev tačke 0=z jer za tu vrednostfunkcija )(zS nije definisana tj. 0: >zROC .
e.1.) Izvedimo opšti izraz za Z-transformaciju vremenski pomerenog diskretnog signala.
)(][][][][)( 11)(
10
001
000 zSzzkszzksnknnnk
znnsznszS n
k
kn
k
nk
n
n
n
n −∞
−∞=
−−∞
−∞=
+−∞
−∞=
−∞
−∞=
− ===+=−=
−== ∑∑∑∑ .
Kao što se to vidi vremensko pomeranje diskretnog signala u Z-domenu predstavlja množenjeZ-transformacije nepomerenog signala sa kompleksnim brojev 0nz − . Na osnovu gore izvedenog za navedeni
primer signala dobijamo da je 100100][100)( 01 =⋅=⋅⋅= ∑
∞
−∞=
− zznzSn
nδ pa će tražena
Z-transformacija biti 100100 100100)(
zzzS =⋅= − . Dobijena kompleksna funkcija nema nule međutim ima
jedan pol u tački 0=z koji je stotostruki. Odavde sledi da je oblast konvergencije 0: >zROC . U ovomprimeru je bitno uočiti da se tokom vremenskog pomeranja menja oblast konvergencije Z-transformacijerezultantnog signala tj. u opštem slučaju je nemoguće predvideti ROC rezultata pomeranja čisto na osnovuposmatranja ROC nepomerenog signala.
e.2) Na osnovu razmatranja predhodnog primera sledi da je )()()(][ 210
15 zSzzSzzSnsZ ⋅−⋅== − .
Z-transformacija pojedinih signala su:
[ ] [ ]( )azz
azza
zazazazSn
n
n
nn
−⋅−=
⋅−⋅−=⋅=⋅= −
−
=
−
=
− ∑∑ 15
1616
1
16115
0
115
01 1
1)(
Z-transformacija signala ][1 ns ima jedan višestruki pol u tački 0=z . Nule polinoma u brojiocu su date
formulom 15,,1,0;162
)=⋅= keazkj
nk
π
. Odavde se vidi da nula za 0=k eliminiše pol az p = . Odavde
sledi da su nule Z-transformacije 15,,1;162
)=⋅= keazkj
nk
π
koje su ekvidistantno raspoređene na kružnicipoluprečnika ar = .
( )[ ] ( )( )zaza
zazaza
za
za
za
zSl
l
n
n
n
nn
⋅+⋅⋅⋅−−−=⋅−+⋅−=⋅−
⋅
−=⋅
−= ∑∑∑
=
−−
−=
−
−=
−
111111)(
1715
0
110
15
11
152 .
Dobijena Z-transformacija signala ][2 ns ima polove u tačkama a
zz pp1;0 21 −== . Nule su određene
formulom 16,,1,0;1 172
)=⋅−= kea
zkj
nk
π
.
![Page 41: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/41.jpg)
Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.
Viša Tehnička Škola Subotica 41
Uvrštavanjem izraza u traženu Z-transormaciju dobija se sledeći izraz
( )( )( ) ( )
( )( )zaza
zazazazz
zazazaz
azzazzzS
⋅+⋅⋅⋅+⋅+
−−⋅=
⋅+⋅⋅
⋅+−⋅−
−⋅
−⋅= −−−
11
11)(
1710
161610
1710
15
16165 .
Primenom algebarskih identiteta ( ) ( ) ( ) ( ) ( )azazazazazaz −⋅+⋅+⋅+⋅+=− 2244881616 i
( ) ( ) ( )∑=
⋅−⋅⋅+=⋅+16
0
17 11i
izazaza izraz za Z-transformaciju će biti
( )( )( )( )( ) ( ) ( )
11
16
0
3
0
2216
022448810 1)(z
azazaz
aaz
azazazazazzzS i
i
ii
i ii ∑∏∑===−
−++=
−+++++⋅= .
Kao što se to vidi Z-transformacija ima pol u tački 0=pz koji je jedanaestostruki pol. Kako oblastkonvergencije nemože da sadrži u sebi polove jer bi tada funkcija )(zS bila nedefinisana sledi da je
0: >zROC . Nule Z-transformacije se mogu odrediti iz polinoma u brojiocu.
f.) Izvedimo prvo opšti oblik Z-transformacije konvolucije dva proizvoljna diskretna signala.
( )=⋅⋅⋅−⋅=⋅−⋅= ∑ ∑∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−−∞
−∞=
∞
−∞=
−
m n
mmn
n m
n zzzmnsmszmnsmszS ][][][][)( 2121
)()(][][ 21)(
21 zSzSzmnszmsn
mn
m
m ⋅=⋅−⋅⋅= ∑∑∞
−∞=
−−∞
−∞=
− .
Sledi da Z-transformacija konvolucije dva signala je jednak proizvodu Z-transformacija pojedinih signala.Na osnovu gornjeg sledi da su rešenja za pojedine primere
f.1.)
0:;11)(][)(
1][)(21
02
1
0
00
0
>===⋅=⇒
=⋅−=
=⋅=−−
−∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
∑
∑zROCROCROC
zzzzS
zznnzS
znzSn
nn
n
n
n
n
n
*
δ
δ.
Z-transformacija konvolucionog signala ima višestruki pol u tački 0=pz .
f.2.)
( ) 1:;1
11
)(0:;]10[)(
1:;111)(
91
10
210
2
110
1
>−
=−
=⇒
>=⋅−=
>−
=⋅=
−
−
−∞
−∞=
−
−
∞
=
−
∑
∑zROC
zzzzzS
zROCzznzS
zROCz
zzS
n
n
n
n
δ.
Funkcija )(zS nema nule, jedan pol se nalazi u tački 11 =pz dok je drugi devetostruki pol u tački 02 =pz .
![Page 42: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/42.jpg)
F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T. Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica42
f.3.)
( ) ( )
<>>>
−⋅−=⇒
>−
==
>−
=⋅=
−
∞
=
−
−
∞
=
−
∑
∑1;11;
:;1
)(1:;
11)(
:;11)( 2
210
2
110
1
azaaz
ROCazz
zzSzROC
zzzS
azROCaz
zazS
n
n
n
nn
.
Dobijena Z-transformacija ima dvostruku nulu u tački 0=nz i ima polove u tačkama azz pp == 21 ;1 .
g.1) Slično predhodnom zadatku izvešćemo opšti izraz za Z-transformaciju datog izraza.
( )=⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅= ∑ ∑∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−−∞
−∞=
∞
−∞=
−
m n
mmn
n m
n zzzmnsmszmnsmszS ][][][][)( 2121
( ) )()(][][][][ 21
1)(
21
1)(
21 zSzSzmnszmszmnszmsn
mn
m
m
n
mn
m
m ⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅= −∞
−∞=
+−∞
−∞=
−−∞
−∞=
+−∞
−∞=∑∑∑∑ .
Primenom izvedenog obrazca rešenje datog primera će biti
azROCaz
zza
zazSn
nn >−
=⋅−
=⋅= −
∞
=
−∑ :;1
1)( 110
1 .
azROC
azz
zazazS
n
nn 1:;11)( 111
1
0
11 <
−=
⋅−=⋅= −
−∞
=
− ∑ .
Na osnovu dobijenih izraza sledi da je Z-transformacija korelacionog signala jednaka
( )
−⋅−
⋅−=+⋅+−
⋅−=−
⋅−
=⋅= −
−−
azaz
zaz
aaz
zaaz
zaz
zzSzSzS1
1
111)()()( 2
21
1
11
1 .
Z-transformacija ima nulu u tački 0=nz i ima polove u tačkama a
zaz pp1; 21 == . Oblast konvergencije
predstavlja presek oblasti konvergencije kompleksnih funkcija )(1 zS i )(2 zS tj. a
zaROC 1: << .
Ovim smo onda u potpunosti definisali Z-transformaciju korelacionog signala.
g.2.) Analogno predhodnom primeru opšti oblik Z-transformacije glasi
( )=⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅+= ∑ ∑∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−−∞
−∞=
∞
−∞=
−
m n
mmn
n m
n zzzmnsmszmsnmszS ][][][][)( 1221
( ) )()(][][][][ 121
)(1
12
)(12
−∞
−∞=
+−∞
−∞=
−−∞
−∞=
+−∞
−∞=
⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅= ∑∑∑∑ zSzSzmnszmszmnszmsn
mn
m
m
n
mn
m
m .
![Page 43: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/43.jpg)
Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.
Viša Tehnička Škola Subotica 43
Pojedine Z-transformacije su zzS ∀= ;1)(1 i 0;1)( 32 >= zz
zS . Odavde se onda dobija rešenje u obliku
zROCzz
zS ∀=⋅= − :;11)( 33 . Dobijena funkcija nema polove ali ima trostruku nulu u tački 0=nz . Kao
što se to vidi oblast konvergencije obuhvata celu z-ravan tj. Z-transformacija postoji za bilo koju proizvoljnoodabranu kompleksnu promenljivu z .
h) Rešavanje diferencnih jednačina pomoću dvostrane •Z transformacije se vrši tako što se primenjujetransformacija na obe strane jednačine. Neka je data diferencna jednačina u obliku
KMknxbmnyanyK
kk
M
mm ≥−⋅=−⋅+ ∑∑
==
;][][][01
.
Na osnovu već pokazanih osobina Z-transformacije važi da je )(][][ zYznyZzmnyZ mm ⋅=⋅=− −− ida je )(][][ zXznxZzknxZ kk ⋅=⋅=− −− . Primenom ovih osbina dobijamo
KMknxZbmnyZanyZK
kk
M
mm ≥−⋅=−⋅+ ∑∑
==
;][][][01
KMzbzXzazYK
k
kk
M
m
mm ≥
⋅⋅=
⋅+⋅ ∑∑
=
−
=
− ;)(1)(01
.
Izražavanjem )(zY dobijamo Z-transformaciju izlaznog signala na poznatu pobudu koja deluje na ulazusistema i čija je Z-transformacija )(zX
KMzXza
zbzY M
m
mm
K
k
kk
≥⋅
⋅+
⋅=
∑
∑
=
−
=
−
);(1
)(
1
0 .
Primenom inverzne Z-transformacije •−1Z možemo da odredimo odziv sistema ][ny tj. izlazni signalsistema na čijem ulazu deluje pobuda ][nx . Odnos Z-transformacija izlaza i ulaza određuje prenosnufunkciju sistema u Z-domenu i koja predstavlja Z-transformaciju impulsnog odziva sistema
tj. ][)()()( nhZ
zXzYzH == .
h.1.) Primena Z-transformacije na datu diferencnu jednačinu daje
11
1
21
21
211
8
411
8
81
431
2)()(281
431)(
−−
−
−−
−−
⋅−+
⋅−
−=⋅⋅+⋅−
=⇒⋅=
⋅+⋅−⋅
zzz
zzzYzXzzzY .
Izraz za )(zY u obliku parcijalnih suma nam omogućuje da nađemo inverznu Z-transformaciju u tabličnomobliku. Pa onda sledi da je odziv
][218
418)(][ 1 nuzYZny
nn
⋅
⋅+
⋅−== − .
![Page 44: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/44.jpg)
F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T. Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica44
Prenosna funkcija sistema je
81
43
2
81
431
2)()()(
2
2
21 +⋅−
⋅=⋅+⋅−
==−− zz
z
zzzXzYzH .
Ova funkcija ima dvostruku nulu u tački 0=nz i polove u tačkama 21;
41
21 == pp zz . Osobina realnih
sistema je da su kauzalni tj. da im je oblast konvergencije izvan najudaljenijeg pola Z-transformacije.
Odavde sledi da je 21: >zROCh . Rastavljanjem izraza prenosne funkcije u oblik parcijalnih razlomaka i
primene tablične inverzne transformacije dobijamo izraz za impulsni odziv sistema
][214
412][ nunh
nn
⋅
⋅+
⋅−= .
h.2.) Analogno predhodnom zadatku za diferencnu jednačinu se dobija
[ ] 111
2121
212
312
6512)()(2651)( −−
−−−
−−
⋅−−
⋅−=⋅
⋅+⋅−=⇒⋅=⋅+⋅−⋅
zzz
zzzYzXzzzY .
Inverznom Z-transformacijom se dobija
( ) ( )[ ] ][2232][][ nunhny nn ⋅⋅−⋅== .
Na ulaznu pobudu oblika ][][ nunx = dobijamo
[ ] 12121
11
6512)()(2651)( −−−
−−
−⋅
⋅+⋅−=⇒⋅=⋅+⋅−⋅
zzzzYzXzzzY .
Nakon rastavljanja u oblik parcijalnih razlomaka inverzna Z-transformacija će biti
( ) ( )[ ] ][39281][319
218
11)( 111 nuny
zzzzY nn ⋅⋅+⋅−=⇒
⋅−+
⋅−−
−= −−− .
i.1.) Primenom jednostrane Z-transformacije na diferencnu jednačinu sa nenultim početnim uslovima ima se
[ ]( )
=
⋅−⋅⋅+
+⋅+
−=⋅+−=⇒=−+⋅⋅+
−−−−
−
1111
1
21131
1313
313)()()(]1[)(3)(
zzzzzXzYzXyzYzzY
111
11 311
715
211
171
211
171
311
76
313
−−−
−− ⋅+⋅−
⋅−⋅=
⋅−⋅+
⋅+⋅+
⋅+−=
zzzzz.
Primenom inverzne Z-transformacije
( ) 0;31521
71][ ≥
−⋅−
⋅= nny n
n
.
![Page 45: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/45.jpg)
Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.
Viša Tehnička Škola Subotica 45
i.2.) Analogno predhodnom primeru
[ ] [ ]]1[)(21)(]1[)(
21)( 11 −+⋅⋅−=−+⋅⋅− −− xzXzzXyzYzzY .
Kako je pobudni signal po definiciji različit od nule samo za 0≥n sledi da je 0]1[ =−x . Te stoga sledi
[ ]
⋅−⋅=−
⋅−⋅⇒⋅⋅−=+⋅⋅− −−−− 1111
211)(
21
211)()(
21)(1)(
21)( zzXzzYzXzzXzYzzY .
Uvrštavanjem odgovarajuće Z-transformacije pobudnog signala 111)( −−
=z
zX dobija se izraz
][121
21)(][
11
211
121)( 1
11
nuzYZnyzz
zYn
⋅
+
⋅==⇒
−+
⋅−⋅= −
−−
.
Zadatak 3.Odrediti diskretnu Furijeovu transformaciju (DFT) sledećih diskretnih signala
a) nns ∀= ;1][ . b.) nnns ∀⋅= );43cos(][ . c.) nens
j∀= ;][ 3
π
.
d.)
≤≤≤≤
=54;030;15
][nn
ns signal je dat u svojoj osnovnoj periodi.
e.)
≤≤−≤≤−+
=50;505;5
][nnnn
ns signal je dat u svojoj osnovnoj periodi.
Rešenje:
a.) U prvom poglavlju smo već razmatrali ovaj diskretni signal za koga smo zaključili da je periodičan saperiodom 1=N i da je FTD spektar ovog signala πωωδπω ≤⋅= );(2)( jeS tj. da se spektar sastoji izjedne komponente koja se nalazi u tački 0=ω i pokazuje na prisustvo diskretne jednosmerne komponente usignalu. Poznato je da se svaki periodičan diskretni signal može razviti u diskretni Furieov red koji uvek
sadrži konačan broj periodičnih eksponencijalnih funkcija 1,,0;][2
−== Nkenfnk
Nj
k )π
. Doprinos tihfunkcija u posmatranom signalu se proračunava pomoću diskretne Furieove transformacije
1,,0;][][1
0
2
−=⋅= ∑−
=
−NkenskS
N
n
nkN
j)
π
. Naj taj način signal ][ns se može pokazati kao linearna
kombinacija eksponencijalnih periodičnih funkcija u obliku
[ ] =⋅−+⋅−++⋅+⋅+⋅= −− ][]1[][]2[][]2[][]1[][]0[1][ 12210 nfNSnfNSnfSnfSnfSN
ns NN(
⋅−+⋅−++⋅+⋅+⋅⋅=
−− nNN
jnNN
jnN
jnN
jnN
jeNSeNSeSeSeS
N)1(2)2(2221202
]1[]2[]2[]1[]0[1 πππππ
( .
![Page 46: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/46.jpg)
F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T. Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica46
Iz gornjeg tada sledi da su kompleksni koeficijenti diskretnog Furieovog reda
1]0[0;][][0
0
2 =⇒=⋅= ∑=
− SkenskSn
nkj π
pa i diskretni spektar (DFT) signala sadrži samo jednu komponentu
1,,0;0;00;1
][ −=
≠=
= Nkkk
kS ) .
b.) Posmatrani periodični diskretni signal ima peiodu 24=N iz čega sledi da ga možemo prikazati kaolinearnu kombinaciju dvadesetčetiri kompleksnih periodičnih signala oblika
23,,0;][ 242
)== kenfnkj
k
π
gde ćemo udeo pojedinih signala proračunati po izrazu 23,,0;][][23
0
242
)=⋅= ∑=
−kenskS
n
nkj π
. Primenom
Ojlerovog obrazca za izraz diskretne Furieove transformacije dobijamo
=⋅
−⋅+⋅
+⋅= ∑∑
=
−−
=
−−
23
0
2428
28
223
0
2426
26
2
23.8
28.7][
n
nkjnjnj
n
nkjnjnj
ejeeeeekS
πππ
πππ
∑∑∑∑=
+−
=
−−
=
+−
=
−−−++=
23
0
)3(24223
0
)3(24223
0
)4(24223
0
)4(242
23.8
23.8
28.7
28.7
n
knj
n
knj
n
knj
n
knje
je
jee
ππππ
.
Izrazi 4+k i 3+k s mogu prikazati i u obliku 2024 −+k i 2124 −+k . Smenom ovih oblika u gornjujednačinu i deljenjem u eksponentu sa 24=N dobijamo
∑∑∑∑=
−−
=
−−
=
−−
=
−−−++=
23
0
)21(24223
0
)3(24223
0
)20(24223
0
)4(242
23.8
23.8
28.7
28.7][
n
knj
n
knj
n
knj
n
knje
je
jeekS
ππππ
.
Pokazali smo da je spektar diskretnog signala uvek periodična kompleksna funkcija sa periodom π2 ili akose posmatra diskretizovani spektar tada je ona periodična sa NK = gde je K perioda u k-domenu. Odavdeonda sledi da su komponente, u posmatranom intervalu [ ]1,,1,0 −∈ Nk ) , koje određuje druga i četvrtasuma zapravo komponente koje se nalaze u okolini K⋅1 u tačkama 1kK − i 2kK − .Posmatrajmo posebno rešenja pojedinih suma.
=≠
=−⋅=
−
−
−−
⋅⋅=−
−=−−
−−
−−
−−
=
−−
∑ 4;244;0
]4[24
)4(24
)4(24
sin
)4()4(sin
241
1)4(
24
)4(
)4(242
)4(223
0
)4(242
kk
k
k
k
kk
e
e
e
eekj
kj
kj
kj
n
knjδ
π
πππ
π
π
π
ππ
.
![Page 47: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/47.jpg)
Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.
Viša Tehnička Škola Subotica 47
=≠
=−⋅=
−
−
−−
⋅⋅=−
−=−−
−−
−−
−−
=
−−
∑ 20;2420;0
]20[24
)20(24
)20(24
sin
)20()20(sin
241
1)20(
24
)20(
)20(242
)20(223
0
)20(242
kk
k
k
k
kk
e
e
e
eekj
kj
kj
kj
n
knjδ
π
πππ
π
π
π
ππ
.
=≠
=−⋅=
−
−
−−
⋅⋅=−
−=−−
−−
−−
−−
=
−−
∑ 3;243;0
]3[24
)3(24
)3(24
sin
)3()3(sin
241
1)3(
24
)3(
)3(242
)3(223
0
)3(242
kk
k
k
k
kk
e
e
e
eekj
kj
kj
kj
n
knjδ
π
πππ
π
π
π
ππ
.
=≠
=−⋅=
−
−
−−
⋅⋅=−
−=−−
−−
−−
−−
=
−−
∑ 21;2421;0
]21[24
)21(24
)21(24
sin
)21()21(sin
241
1)21(
24
)21(
)21(242
)21(223
0
)21(242
kk
k
k
k
kk
e
e
e
eekj
kj
kj
kj
n
knjδ
π
πππ
π
π
π
ππ
.
Odavde dobijamo da je izraz za proračun koeficijenata
=−⋅⋅−−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅⋅= ]21[242
3.8]20[2428.7]4[24
28.7]3[24
23.8][ k
jkkk
jkS δδδδ
23,,1,0;
21,20,4,3;021,;6.99
3;6.99
20,4;6.93
2
2
)=
≠=⋅
=⋅
=
=−
k
kke
ke
k
π
π
.
Kao što se vidi diskretni spektar ima samo četiri komponente različite od nule pa je stoga i signal ][ns
oblika [ ]][]3[][]4[][]4[][]3[241][ 212043 nfSnfSnfSnfSns ⋅+⋅+⋅+⋅⋅= .
c.) Dati signal je periodičan sa periodom 6=N iz čega onda sledi da opis ovog signala linearnomkombinacijom periodičnih eksponencijalnih funkcija sadrži samo šest komponenata. Navedimo tekomponente
===njnjnjnjnjnjnkj
k eeeeeekenf5
624
623
622
62
620
62
62
,,,,,1|5,,1,0;][πππππππ
) .
![Page 48: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/48.jpg)
F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T. Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica48
Doprinos pojedinih funkcija se računa pomoću diskretne Furieove transformacije. Izvođenjem dobijamo
]1[6
)1(6
)1(6
sin
)1()1(sin
61
1][)1(
65
)1(6
2
)1(25
0
)1(6
25
0
62
3 −⋅=
−
−
−−
⋅⋅=−
−==⋅=−−
−−
−−
=
−−
=
−
∑∑ k
k
k
kk
ee
eeeekSkj
kj
kj
n
knj
n
nkjjδ
π
πππ
π
π
ππππ
.
Vidimo da u diskretnom spektru postoji samo jedna nenulta komponenta za 1=k dok su sve ostale jednakenuli. Odavde onda sledi da u obliku linearne kombinacije postoji samo jedna kompleksna funkcija tj.
[ ] njnjeenfnfnfnfnfnfns 36
2
543210 661][0][0][0][0][6][0
61][
ππ
=⋅⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅= .
d.) Po definicji datog signala uočavamo da je perioda ovog signala 6=N , pa je njen opis pomoću
diskretnog Furieovog reda 5,,1,0;][61][
5
0
62
)=⋅⋅= ∑=
nekSnsk
nkj π
. Furieovi koeficijenti ][kS će biti
5,,1,0;
6
6sin
32
32sin
4151
11515][][ 2
62
46
23
0
625
0
62
)=⋅⋅⋅=−
−⋅=⋅=⋅=−
−
−
=
−
=
−
∑∑ k
k
k
k
k
ee
eeenskSkj
kj
kj
n
nkj
n
nkj
π
π
π
π
π
π
πππ
.
Za različite vrednosti k , kompleksni koeficijenti diskretnog Furieovog reda će imati vrednosti
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⋅⋅
⋅⋅=
−−22 315,5,15,4,0,3,15,2,315,1,60,0|,][ππ jj
eetkoeficijenkomponentakS .
Smenom datih vrednosti koeficijenata i kompleksnih funkcija u izraz za signal ][ns , dobijamo
=
⋅−⋅++⋅+⋅+⋅=
−− njjnjnjnjjeeeeeens
56
22
46
226
26
22 3151501531560
61][
ππππππ
=
⋅+⋅++⋅+⋅+⋅=
−−− njjnjnjnjjeeeeee 6
22
26
226
26
22 3151501531560
61 ππππππ
=
⋅+
−⋅⋅+⋅= nn 2
62cos30
262cos33060
61 πππ
=
⋅+
⋅⋅+⋅= nn 2
62cos30
62sin33060
61 ππ
![Page 49: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/49.jpg)
Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.
Viša Tehnička Škola Subotica 49
⋅+
⋅⋅+= nn 2
62cos5
62sin3510 ππ
.
Kao što se vidi dat periodični signal se može predstaviti u obliku diskretnog Furieovog reda koji za datiprimer ima tri komponente, jednu jednosmernu komponentu i dve naizmenične komponente.
Zadatak 4.
Data su četiri vremenski diskretna signala. Klasifikovati njihovu DFT-u kao realnu, imaginarnu, ilikomleksnu. Predpostaviti da je N=10 u svim slučajevima. a)
Rešenje:Prvo što možemo zaključiti da signal ][nx p predstavlja parnu funkciju, pa na osnovu nekog iskustvamožemo očekivati da ćemo dobiti realnu DFT.Primenom izraza za DFT
1,,1,0;][][1
0
2−=⋅= ∑
−
=
⋅−
NkenxkXN
n
Nknj
pp )π
sledi da je:
++⋅+⋅+⋅+⋅= ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅− kjkjkjkjkj
p eeeeekX πππππ5
45
35
25 8.06.04.02.0][
kjkjkjkj
eeee⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−
⋅+⋅+⋅+⋅+ 59
58
57
56
2.04.06.08.0ππππ
.
Uparivanjem simetričnih članova i sredjivanjem izraza dobija se:
⋅⋅⋅=
+⋅=
+⋅ ⋅⋅−
⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−keeeeee kj
kjkj
kjkjkj
54cos4.0
24.02.0
54
54
59
5 ππ
ππ
πππ
⋅⋅⋅=
+⋅=
+⋅ ⋅⋅−
⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−keeeeee kj
kjkj
kjkjkj
53cos8.0
28.04.0
53
53
58
52 ππ
ππ
πππ
10 n
1xp[n]
20
![Page 50: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/50.jpg)
F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T. Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica50
⋅⋅⋅=
+⋅=
+⋅ ⋅⋅−
⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−keeeeee kj
kjkj
kjkjkj
52cos2.1
22.16.0
52
52
57
53 ππ
ππ
πππ
⋅⋅⋅=
+⋅=
+⋅ ⋅⋅−
⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−keeeeee kj
kjkj
kjkjkj
5cos6.1
26.18.0
555
65
4 ππ
ππ
πππ
.
Konačno se za DFT signala dobija izraz
( )
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅+⋅−= kkkkkX k
p 54cos4.0
53cos8.0
52cos2.1
5cos6.111][ ππππ
Kao što smo i predpostavili izraz za DFT datog signala je realna funkcija promenljive k .
Amplitudski i fazni spektar se određuje prema izrazima:
22 ][Im][Re][][ kXkXkAkX ppp +== ,
−=
][Re][Im
][kXkX
arctgkp
pθ .
k A[k] θ[k] k A[k] θ[k]0 5 00 5 0.2 -1800
1 2.09 -1800 6 0 00
2 0 00 7 0.31 -1800
3 0.31 -1800 8 0 00
4 0 00 9 2.09 -1800
Kako je u ovom slučaju imaginarni deo jednak nuli, za fazno kašnjenje se dobija uvek vrednost nula.Međutim kako je amplitudska karakteristika uvek parna funkcija, negativne realne brojeve možemo daprikažemo samo tako što odgovarajućoj komponenti dodamo fazu π± jer je ππ jj ee −==−1 .
Amplitudski i fazni spektar su prikazani na slici.
0.20.31 0.31
2.09 2.09
5Amplitudski spektar
k9
A [k]
9
Fazni spektar
-1800
k
θ[k]
![Page 51: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/51.jpg)
Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.
Viša Tehnička Škola Subotica 51
b)
Rešenje:Sa slike vidimo da signal nije ni parna ni neparna funkcija, pa možemo očekivati kompleksnu DFT.
−+⋅+⋅+⋅+⋅= ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅− kjkjkjkjkj
p eeeeekX πππππ5
45
35
25 8.06.04.02.0][
kjkjkjkj
eeee⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−
⋅−⋅−⋅−⋅− 59
58
57
56
2.04.06.08.0ππππ
.
Sličnim sređivanjem izraza, kao u predhodnom zadatku, za rezultat se dobija:
( )
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅−= kkkkjkX k
p 54cos4.0
53cos8.0
52cos2.1
5cos6.111][ ππππ
Prema očekivanjima dobili smo kompleksnu DFT, pošto imamo i realni i imaginarni deo.
Amplitudska i fazna karakteristika se računa prema izrazima:
22 ][Im][Re][][ kXkXkAkX ppp +== ,
−=
][Re][Im
][kXkX
arctgkp
pθ .
k A[k] θ[k] k A[k] θ[k]0 1 00 5 1 1800
1 3.24 -720 6 1.1 180
2 1.7 -540 7 1.2 360
3 1.2 -360 8 1.7 540
4 1.1 -180 9 3.24 720
Na osnovu izračunatih vrednosti za amlitudski i fazni spektar se dobija:
10 n
1
20
xp[n]
11.2 1.2
3.24 3.24
1.7
Amplitudski spektar
k
1.7
1.11.11
9
A [k]
-720
9
Fazni spektar
k
720
360
-360
540
-540
180
-180
180 0θ[k]
![Page 52: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/52.jpg)
F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T. Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica52
c)
Rešenje:Primećujemo da je signal neparna funkcija, pa očekujemo imaginarnu DFT.
kjkjkjkjkjkjkjkj
p eeeeeeeekX⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−
−−−−+++= 59
58
57
56
54
53
52
5][ππππππππ
.
Posle sređivanja izraza slično kao u predhodnim zadacima dobija se:
( )
⋅+
⋅+
⋅+
⋅⋅⋅⋅−= kkkkjkX k
p 54sin
53sin
52sin
5sin21][ ππππ
.
Vidimo da imamo samo imaginarni deo, pa smo dobili imaginarnu DFT.
22 ][Im][Re][][ kXkXkAkX ppp +== ,
−=
][Re][Im
][kXkX
arctgkp
pθ .
k A[k] θ[k] k A[k] θ[k]0 0 00 5 0 00
1 6.1 900 6 0 00
2 0 00 7 1.4 -900
3 1.4 900 8 0 00
4 0 00 9 6.1 -900
Na osnovu izračunatih vrednosti za amlitudski i fazni spektar se dobija:
10 n
1
20
xp[n]
k
1.4 1.4
6.16.1
Amplitudski spektar
9
A [k]
9
Fazni spektar
-900
900θ[k]
k
![Page 53: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/53.jpg)
Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.
Viša Tehnička Škola Subotica 53
d)
Rešenje:U ovom slučaju možemo primetiti da signal ne predstavlja ni parnu ni neparnu funkciju, pa opet očekujemoza rezultat kompleksnu DFT.
kjkjkjkjkj
p eeeeekX⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−
+++++= 59
58
53
52
51][πππππ
.
Posle sređivanja izraza sledi da je konačno:
( )
⋅+
⋅⋅⋅−++=
⋅−kkekX kkj
p 54cos
53cos211][ 5
3 πππ
.
Prema očekivanjima dobili smo kompleksnu DFT.
22 ][Im][Re][][ kXkXkAkX ppp +== ,
−=
][Re][Im
][kXkX
arctgkp
pθ .
k A[k] θ[k] K A[k] θ[k]0 6 00 5 0 00
1 3.08 180 6 1 -720
2 1 360 7 0.75 -540
3 0.75 540 8 1 -360
4 1 720 9 3.08 -180
Na osnovu izračunatih vrednosti za amlitudski i fazni spektar se dobija:
10 n
1
20
xp[n]
0.75 0.75
3.08 3.08
1
k
111
6Amplitudski spektar
9
A [k] Fazni spektar
9
720
-720
360
-360
540
-540
180
-180
θ[k]
k
![Page 54: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/54.jpg)
Spektar uzorkovanog signala, decimacija, interpolacija Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica54
Spektar uzorkovanog signala,decimacija,interpolacija
Zbog mnogo boljih osobina diskretnih sistema (linearna fazna karakteristika, bolja selektivnost,lakša realizacija) oblikovanje spektra analognih signala se vrše u diskretnom domenu. Postupak koji analognisignal preslikava u diskretni signal se zove diskretizacija signala.
Diskretizacija signala se sastoji iz dva postupka.
1. Uzorkovanje analognog signala.Proces se sastoji iz množenja analognog signala sa periodičnom povorkom idealnihDirakovih delta impulsa. Perioda ovih impulsa mora biti tako odabrana da zadovoljiteoremu o odabiranju tj.
max21f
Ts ⋅≤ ,
gde je maxf maksimalna učestanost u spektru analognog signala. Za rezultat ovog procesase dobija signal čije su vrednosti različite od nule samo u trenucima odabiranja, dok jejednak nuli u intervalima između dva odmeravanja. Znači dobijen je opet analogni signal.
2. ovako dobijeni analogni signal se zatim pretvara u diskretni signal sa svim svojimosobinama koje su već navedene u prvom poglavlju.
Drugi postupak ima pretežno teorijski značaj i njime se želi samo ukazati na razliku koja postoji izmeđudiskretizovanog i diskretnog signala.
Često se u praktičnim slučajevima javlja potreba za promenom periode uzorkovanja. Međutimvećina uređaja koje vrše uzorkovanje analognih signala nedaju mogućnost te promene. U tim slučajevima tapotreba se zadovoljava u diskretnom domenu.
Decimacija je postupak kojim se povećava perioda uzorkovanja za neki ceo broj M , u diskretnomdomenu. Postupak se izvodi tako što se iz diskretnog signala bira svaki tiM − element. U tom slučajuspektar novodobijenog signala je širi od spektra polaznog signala.
Interpolacija je postupak kojim se vrši smanjivanje periode odabiranja za neki ceo broj M .Postupak se izvodi tako što se između elemenata diskretnog signala ubacuju nulte vrednosti. Dobijenidiskretni signal se zatim propušta kroz idealni niskopropusni diskretni sistem koji vrši interpolaciju signala utačkama gde su ubačene nule. Treba zapaziti da se u ovom slučaju spektar signala sabija.
Rekonstrukcija analognog signala na osnovu njegovih odbiraka u diskretnom domenu se sastoji izdva postupka.
1. Pretvaranje diskretnog signala u diskretizovani signal. Ovim postupkom se dobijaanalogni signal koji se sastoji od Dirakovih delta impulsa amplitude jednakimamplitudama diskretnog signala.
2. Rekonstrukcija analognog kontinualnog signala na osnovu diskretizovanog signala.Rekonstrukciju vrši idealan niskopropusni sistem na čiji ulaz se dovode delta impulsi sanekom periodom T . Rekonstrukcija je zapravo interpolacija izlaznog analognog signala,na osnovu njegovih odmerenih vrednosti.
![Page 55: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/55.jpg)
Procesiranje Signala Spektar uzorkovanog signala, decimacija, interpolacija
Viša Tehnička Škola Subotica 55
Zadatak 1.
Analogni signal idealnog niskopropusnog spektra, granične učestanosti gf , se uzorkovao frekvencijom
uzorkovanja gs ff ⋅> 2 . Analitički oblik spektra uzorkovanog signala je tada
( )[ ]∑∞
−∞=
Ω⋅+Ω=Ωn
sas
s njST
jS 1)( .
a) ako se na ulaz niskopropusnog filtra sa prenosnom karakteristikom
gsNFgNFs
NF ffffdrugde
fTjH −<<
⋅≤Ω
=Ω ;;0
2;)(
π
dovedu uzorci analognog signala, odrediti rekonstruisani signal na izlazu filtra.
b) ako je prenosna karakteristika oblika
sNFgsNFs
NF ffffdrugde
fTjH <<−
⋅≤Ω⋅
=Ω ;;0
2;3)(
π
naći rekonstruisani analogni signal na izlazu filtra.
c) ako je brzina uzorkovanja gs ff ⋅< 2 i ako je prenosna funkcija niskopropusnog sistema
⋅≤Ω
=Ωdrugde
fTjH gs
NF ;02;
)(π
,
odrediti signal na izlazu rekonstrukcionog filtra.
d) Spektar analognog signala je oblika
( )
( )
≤≤−⋅
≤≤−+⋅
=
drugde
fffff
fffff
jfS ggg
ggg
a
;0
0;1
0;1
)( .
Analogni signal se uzorkuje frekvencijom gs ff ⋅> 2 . Ako je prenosna funkcija na čiji ulaz se dovodeuzorci analognog signala oblika
⋅≤Ω
=Ωdrugde
fTjH gs
NF ;02;
)(π
,
odrediti analogni signal na izlazu filtra.
![Page 56: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/56.jpg)
Spektar uzorkovanog signala, decimacija, interpolacija Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica56
e) Ako je spektar analognog signala koji se uzorkuje sa Hzf s 750=
( )
( )
≤≤−⋅
≤≤−+⋅
=
drugde
Hzff
fHzf
jfSa
;0
5000;5005001
0500;5005001
)(
i ako je prenosna funkcija niskopropusnog filtra
≤⋅
=drugde
HzfTjfH s
NF ;0375;5
)( ,
odrediti izlazni signal iz NF filtra.
f) Ako je analogni signal oblika ( )ttsa ⋅⋅−= 5002cos1)( π i ako se on uzorkuje frekvencijomHzf s 750= , odrediti rekonstruisani signal na izlazu NF filtra sa prenosnom funkcijom
≤
=drugde
HzfTjfH s
NF ;0600;
)( .
g) Analogni signal je oblika ( )( )21002sin1)( ttsa ⋅⋅−= π koji se uzorkuje sa Hzf s 150= . Odreditiizlazni signal NF filtra čija je prenosna funkcija oblika
≤
=drugde
HzfTjfH s
NF ;0300;
)( .
Rešenje:
a) Spektar idealnog NF signala je oblika
≤
=drugde
ffjfS g
a ;0;1
)( .
Uzorkovani signal će tada da ima spektar oblika
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] (
!! "!! #$!"!#$!! "!! #$
( +−++++=
==−= 101
111)(
n
sas
n
as
n
sas
s ffjST
fjST
ffjST
jfS .
Proučimo član ovog spektra koji je označen sa 0=n . Kao što se to vidi on je istog oblika kao i analogni
spektar samo što su komponente u tom opsegu pomnožene sa koeficijentom sT1
. Opseg učestanosti u kome
je ovaj deo spektra različit od nule je [ ]gg fff ;−∈ .
![Page 57: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/57.jpg)
Procesiranje Signala Spektar uzorkovanog signala, decimacija, interpolacija
Viša Tehnička Škola Subotica 57
Član koji je označen sa 1−=n je isto spektar analognog signala pomnožen sa sT1
ali je pomeren po
frekvencijskoj osi za sf ulevo. Opseg u kome je spektar različit od nule je [ ]gsgs fffff +−−−∈ ; .
Kako je gs ff ⋅> 2 , gornja granica ovog opsega je sigurno manja od gf tj. važi ggs fff −<+− . Odavdeonda sledi da se spektri 0=n i 1−=n ne preklapaju.
Član koji je označen sa 1=n je isto spektar analognog signala pomnožen sa sT1
ali je pomeren po
frekvencijskoj osi za sf udesno. Opseg u kome je spektar različit od nule je [ ]gsgs fffff +−∈ ; .
Kako je gs ff ⋅> 2 , donja granica ovog opsega je sigurno veća od gf tj. važi ggs fff >− . Odavde ondasledi da se spektri 0=n i 1=n ne preklapaju.
Slična analiza se može izvesti za svaki od članova sume, koja će pokazati da se nijedna replika spektraanalognog signala ne preklapa sa nijednom drugom replikom tj. nepostoji pojava spektralnog preklapanja uspektru uzorkovanog signala.
Niskopropusni filtar na čiji ulaz se dovode uzorci analognog signala ima takvu prenosnu funkciju da
eliminiše faktor sT1
i iz spektra izdvaja samo član 0=n koji je zapravo spektar analognog signala.
Spektar izlaznog signala i odziv će tada biti
( )t
tfdfety
drugdeff
jfY gf
f
tfjgg
g⋅
⋅⋅=⋅⋅=⇒
≤
= ∫−
⋅⋅⋅
πππ 2sin
1)(;0;1
)( 2 .
b) Kako je brzina uzorkovanja ista kao pod a) analiza koja je sprovedena za taj slučaj važi i ovde. Međutimkako je propusni opseg niskopropusnog filtra sada širi i obuhvata deo spektra označenog sa 1±=n to ćetada izlazni signal biti
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫∫−
⋅⋅⋅∞
∞−
⋅⋅⋅NF
NF
f
f
tfjs
tfjNFs dfejfSdtejfHjfSty ππ 22 )(3)()()(
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ∫∫∫−
⋅⋅
−
⋅⋅+−
−
⋅⋅NF
gs
g
g
gs
NF
f
ff
tfjf
f
tfjff
f
tfj dfedfedfe πππ 222 333
( ) ( ) ( )( )t
tfft
tft
tf gsNFg
⋅⋅−⋅
⋅−⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅=π
πππ
ππ 2sin
32sin
32sin
3 .
Kao što se vidi rekonstrukcija signala nije uspešno izvedena zbog preširokog propusnog opsegarekonstrukcionog filtra.
c) Analizirajmo opseg koji NF filtar za rekonstrukciju propušta bez izobličenja tj. opseg frekvencije[ ]gg fff ;−∈ . Proverimo koji od članova spektra uzorkovanog signala deluju u tom opsegu.
Član označen sa 1−=n zbog gornj granice 0<+−<− gsg fff očigledno ima uticaja na oblik spektrakoji se izdvaja NF filtrom. Njegov uticaj se manifestuje u spektralnom preklapanju sa članom koji je označensa 0=n . U opsegu u kome je nastalo preklapanje rezultantni oblik spektra predstavlja zbir pojedinihspektara. Isto se može reći i za opseg učestanosti u intervalu gff ≤≤0 . U ovom slučaju spektralno
![Page 58: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/58.jpg)
Spektar uzorkovanog signala, decimacija, interpolacija Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica58
preklapanje nastaje usled člana sa oznakom 1=n , i rezultantni spektar je zbir pojedinih spektara. Na osnovuovoga oblik spektra u opsegu od značaja koji se izdvaja NF filtrom je
≤<−−≤≤+−
+−<≤−=
gsg
sgsg
sgg
s
fffffffff
ffffjfS
;2;1
;2)( .
Izlazni signal koji se dobija izdvajanjem gore opisanog opsega će biti
=⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫∫−
⋅⋅⋅∞
∞−
⋅⋅⋅g
g
f
f
tfjs
tfjNFs dfejfSdtejfHjfSty ππ 22 )()()()(
=⋅⋅+⋅+⋅⋅= ∫∫∫−
⋅⋅−
+−
⋅⋅+−
−
⋅⋅g
gs
gs
gs
gs
g
f
ff
tfjff
ff
tfjff
f
tfj dfedfedfe πππ 222 22
( )( ) ( ) ( )( )=
⋅⋅−⋅
⋅−⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅−⋅
=t
tfft
tft
tff gsggs
ππ
ππ
ππ 2sin
22sin
22sin
( ) ( )( )t
tfft
tf gsg
⋅⋅−⋅
−⋅
⋅⋅⋅=
ππ
ππ 2sin2sin
2 .
Kao što se vidi rekonstrukciju analognog signala opet nije bilo moguće izvršiti zbog nedovoljno visokebrzine uzorkovanja analognog signala, koje je prouzrokovalo spektralno preklapanje (ALIASING EFECT) uspektralnom domenu.
d) Iz uslova zadatka se uočava da je i teorema o odabiranju zadovoljena i da je propusni opseg rekonstruk-cionog filtra takođe dobro odabrana. Izlazni signal će tada biti
=⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫∫−
⋅⋅⋅∞
∞−
⋅⋅⋅g
g
f
f
tfjs
tfjNFs dfejfSdtejfHjfSty ππ 22 )()()()(
( ) ( ) =⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅= ∫∫ ⋅⋅
−
⋅⋅g
g
ftfj
ggf
tfjg
g
dfefff
dfefff 0
20
2 11 ππ
2
22sin
⋅
⋅⋅
=t
tf g
π
π.
e) Po uslovu zadatka brzina uzorkovnja signala sa ograničenim spektrom uvek mora biti takva da zadovoljiuslov kHzff gs 150022 =⋅=⋅> . Kako ovaj uslov nije zadovoljen to će obavezno doći do spektralnogpreklapanja u spektru uzorkovanog signala. U opsegu koji se propušta kroz rekonstrukcioni filtar važi oblikspektra
![Page 59: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/59.jpg)
Procesiranje Signala Spektar uzorkovanog signala, decimacija, interpolacija
Viša Tehnička Škola Subotica 59
( )
( )
≤≤
≤≤−⋅
≤≤−+⋅
−≤≤−
=
HzfHzT
HzffT
fHzfT
HzfHzT
jfS
s
s
s
s
s
375250;5.0
2500;5005001
0250;5005001
250375;5.0
)( .
Kako se samo ovaj deo spektra propušta kroz filtar tada će i spektar izlaznog signala biti istog oblika alipomnožen sa faktorom sT⋅5 . Odavde je tada izlazni signal
=⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫∫−
⋅⋅⋅∞
∞−
⋅⋅⋅g
g
f
f
tfjs
tfjNFs dfejfSdtejfHjfSty ππ 22 )()()()(
( ) ( ) =+⋅−+⋅++= ∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅
−
⋅⋅−
−
⋅⋅375
250
2250
0
20
250
2250
375
2 5.2500500
550050055.2 dfedfefdfefdfe tfjtfjtfjtfj ππππ
( ) ( ) ( ) 2
12521252sin6252502sin53752sin5.2
⋅⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅⋅=
tt
tt
tt
ππ
ππ
ππ
.
Kao što se vidi zbog nedovoljno visoke brzine uzorkovanja nije moguće rekonstruisati analogni signal naosnovu njegovih uzoraka.
f) Ako se analizira fizički spektar analognog signala tada je izraz spektra uzorkovanog signala jednaka
( )[ ]∑∞
=
⋅−⋅=0
1)(n
sas
s fnfjST
jfS ,
gde je )( jfSa fizički spektar analognog signala koji se uzorkuje. Ova predstava spektra uzorkovanogsignala je jako pogodna ako se analiziraju postupci uzorkovanja periodičnih signala.
Pogledajmo koje komponente uzorkovanog signala se nalaze u propusnom opsegu NF filtra.
Za 0=n imamo komponente koje se nalaze u tačkama HzfHzf 500;0 ==Za 1=n imamo komponente 500;0 ±± ss ff koje se nalaze u okolini učestanosti uzorkovanja. Oni senalaze na učestanostima HzfHzfHzf sss 1250500;7500;250500750500 =+=±=−=− . Od ovihkomponenata samo je komponenta na Hz250 unutar propusnog opsega dok se svi ostali odsecaju.Ostale komponente za različite vrednosti 1>n ispadaju iz propusnog opsega pa se oni ni ne pojavjuju naizlazu NF filtra. Odavde sledi da su komponente koje čine izlazni signal na učestanostima
HzHzHz 500,250,0 , tj izlazni signal će biti
( ) ( )ttty ⋅⋅−⋅⋅−= 5002cos2502cos1)( ππ .
Očigledno da zbog nedovoljno visoke brzine uzorkovanja nije moguće korektno rekonstruisati analognisignal. Komponenta na Hz250 koja je prisutna u izlaznom signalu se pojavila zbog nedovoljno visokebrzine uzorkovanja odnosno zbog spektralnog preklapanja u frekventnom domenu.
![Page 60: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/60.jpg)
Spektar uzorkovanog signala, decimacija, interpolacija Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica60
g) Analogni signal u razvijenom obliku glasi
( ) ( )tttsa ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−= 2002cos5.01002sin25.1)( ππ .
Za 0=n tj. u okolini učestanosti sf⋅0 se nalaze komponente osnovnog spektra analognog signala i to naučestanostima HzHzHz 200,100,0 . Sve navedene komponente, osim jednosmerne imaju negativanpredznak.U okolini sf⋅1 imamo komponente na učestanostima HzHzf s 15001 =±⋅ , HzHzf s 250,501001 =±⋅ ,
HzHzf s 350,502001 =±⋅ . Komponenta koja se nalazi na Hz50200150 −=− se preslikava ukomponentu na Hz50 zbog parnosti kosinusne funkcije ( )502cos())50(2cos( tt ππ =− .U okolini sf⋅2 imamo komponente na učestanostima HzHzf s 30002 =±⋅ ,
HzHzf s 400,2001002 =±⋅ , HzHzf s 500,1002002 =±⋅ . Komponente koje se nalaze izvan propusnogopsega NF fitra se ne pojavljuju na izlazu, pa su zbog toga prisutne samo komponente
HzHzHz 300,200,100 .U okolini sf⋅3 postoji samo jedna komponenta koja može da prođe kroz NF filtar, u tački
Hzf s 2502003 =−⋅ . Sve ostale se nalaze izvan propusnog opsega tj. one se odsecaju.
Zbrajanjem svih komponenata koje prolaze kroz filtar dobijamo da je izlazni signal oblika
( ) ( ) ( ) ( )+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+= ttttty 1002sin21002cos5.0502cos5.0502sin25.1)( ππππ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+ ttttt 2502sin22502cos5.02002sin22002cos5.01502cos5.1 πππππ( )t⋅⋅⋅+ 3002cos5.1 π .
Nakon sređivanja izraza u pregledniji oblik dobija se
+⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅+= )1502cos(061.2)325.11002cos(061.2)325.1502cos(061.25.1)( tttty πππ)3002cos(5.1)325.12502cos(061.2)325.12002cos(061.2 ttt ⋅⋅+−⋅⋅+−⋅⋅− πππ .
Zadatak 2.
Neka je spektar analognog signala ograničen sa maksimalnom kružnom učestanošću 1
max Tπ=Ω . Neka se
ovaj signal uzorkuje sa periodom uzorkovanja 1TTs = i neka se uzorci signala šalju na idealni DA pretvaračsa periodom 2T pri čemu je 21 TT ≠ . Naći vezu između izlaznog i ulaznog analognog signala.
Rešenje:
Pre rešavanja zadatka objasnimo rad idealnog DA pretvarača.Idealni DA pretvarač se sastoji iz dva redno vezana sistema. Jedan od njih je pretvarač koji ima ulogu davrednosti diskretnog signala (koji je definisan samo u trenucima odabiranja) pretvori u niz Dirakovihimpulsa periode 2T . Time se zapravo dobija analogni uzorkovani signal. Ovaj analogni signal se zatim šaljena ulaz NF filtra koji vrši rekonstrukciju analognog signala odnosno na osnovu delta impulsa na njegovomulazu vrši interpolaciju kontinulanog analognog signala.Ako se gore definisani analogni signal uzorkuje periodom uzorkovanja 1T tada će spektar diskretnog signalada zauzima opseg frekvencije prema transformaciji 1T⋅Ω=ω , [ ] [ ]ππω ,, 1max1max −=⋅Ω⋅Ω−∈ TT . Kaošto se vidi brzina uzorkovanja je optimalno odabrana jer nema spektralnog preklapanja ali i frekventni opsegkoji je na raspolaganju je maksmalno iskorišćen.
![Page 61: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/61.jpg)
Procesiranje Signala Spektar uzorkovanog signala, decimacija, interpolacija
Viša Tehnička Škola Subotica 61
Ako se sada diskretni signal šalje na idealni diskretni-analogni pretvarač koji radi periodom 2T tada ćespektar izlaznog kontinualnog analognog signala prema gornjoj transformaciji da zauzima opesg kružne
učestanosti
−=
−∈Ω
222
max
2
max ,,TTTTππωω
. Za 21 TT ≠ možemo da razlikujemo dva slučaja.
1. 21 TT > . U ovom slučaju imamo da je 21 TT
ππ < tj. da je spektar izlaznog kontinualnog analognog
signala širi u odnosu na spektar ulaznog analognog signala. Fizički to znači da se uzorci diskretnogsignala brže konvertuju u analogni izlazni signal pa je prema tome i vremenska promena izlaznoganalognog signala brža. Ako je signal brži tada njegov spektar mora da sadrži i komponente na višimfrekvencijama tj. njegov spektar se širi u odnosu na ulazni signal.
2. 21 TT < . U ovom slučaju imamo da je 21 TT
ππ > tj. da je spektar izlaznog analognog signala uži u
odnosu na ulazni analogni spektar. Fizičko objašnjenje ove pojave je ta da se sada uzorci diskretnogsignala konvertuju sporije u kontinualni analogni signal na izlazu, pa je prema tome i izlazni signalvremenski sporiji. To tada znači da je spektar takvog signala pretežno lociran na niskim učestanostima uodnosu na ulazni analogni signal.
Zadatak 3.
Spektar analognog signala je oblika
( )( )
⋅≤≤−⋅⋅⋅
≤≤⋅−+⋅⋅⋅
=
drugde
ff
ff
jfSa
;0
1050;1051051
0105;1051051
)( 333
333
.
Nakon uzorkovanja analognog signala sa periodom uzorkovanja 1T diskretni signal sa idealnog anaologno-diskretnog pretvarača se propušta kroz diskretni sistem sa prenosnom karakteristikom oblika
≤=
drugdeeH j
;02
;1)(πωω .
Diskretni signal sa izlaza diskretnog sistema se tada šalje na ulaz idealnog diskretno-analognog pretvarača uu kome se diskretni signal pretvara u analogni sa periodom konverzije 2T .Za sledeće navedene slučajeve odrediti spektar analognog signala na izlazu idealnog DA pretvarača:
a) 4
21
1011 ==TT
b) 4
21
10211 ⋅==TT
c) 4
2
4
1
101,1021 =⋅=TT
d) 4
2
4
1
1021,101 ⋅==TT
.
![Page 62: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/62.jpg)
Spektar uzorkovanog signala, decimacija, interpolacija Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica62
Rešenje:
a)Spektar diskretnog signala, koji se dobija uzorkovanjem analognog signala će da zauzima opseg učestanosti
[ ] [ ] [ ]ππππω ,101052,101052, 43431max1max −=⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅Ω⋅Ω−∈ −−TT . Idealni diskretni sistem
propušta samo opseg
−
2,
2ππ
pa će diskretni signal na izlazu sistema biti
≤≤
≤=
πωπ
πωω
ω
2;0
2);(
)(j
dj
eSeY .
Rekonstrukcijom signala ][ny pomoću idealnog diskretnog-analognog pretvarača na izlazu se dobija signalčiji je spektar jednak
( )( )
⋅≤≤−⋅⋅⋅
≤≤⋅−+⋅⋅⋅
=
drugde
ff
ff
jfYa
;0
105.20;1051051
0105.2;1051051
)( 333
333
.
Gore opisani postupak predstavlja jedan način ograničenja spektra analognog signala. S obzirom da diskretnisistemi za filtriranje pokazuju mnoge bolje ososbine od analognih filtarskih sistema, često se efekatanalognog filtriranja postiže tako što se analogni signal diskretizuje, u diskretnom domenu na zahtevaninačin se filtrira pa se opet pretvara u kontinualni analogni signal.
b)Frekvencijski opseg u kome se nalazi diskretni signal je
[ ] [ ]
−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅Ω⋅Ω−∈ −−
2,
21021052,1021052, 4343
1max1maxππππω TT .
S obzirom da se ceo spektar diskretnog signala nalazi u propusnom opsegu diskretnog sistema sledi da ćeulazni diskretni signal ][nsd da se pojavi na izlazu bez ikakvog izobličenja. Kako je i perioda izlaznogpretvarača ista sa periodom uzorkovanja sledi da se na izlazu dobija neizobličen ulazni analogni signal
)(tsa .
c)Frekvencijski opseg u kome se nalazi diskretni signal je
[ ] [ ]
−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅Ω⋅Ω−∈ −−
2,
21021052,1021052, 4343
1max1maxππππω TT .
Kao što se vidi diskretni sistem neće imati efekta jer se ulazni diskretni signal u potpunosti nalazi unjegovom propusnom opsegu. Zbog različite vrednosti periode konverzije na izlazu se dobija kontinualni
analogni signal koji zauzima opseg [ ]33
2
max
2
max 105.22,105.22, ⋅⋅⋅⋅−=
−∈Ω ππ
ωωTT
. Vidimo da je
analogni spektar sa ulaza celog sistema sabijen u opseg koji je upola manji od ulaznog. Kako je i odnos
121
2 ≠=TT
, sledi da će vrednost spektra u pojedinim tačkama biti dva puta veća. Konačno sledi da je spektar
izlaznog signala oblika
![Page 63: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/63.jpg)
Procesiranje Signala Spektar uzorkovanog signala, decimacija, interpolacija
Viša Tehnička Škola Subotica 63
( )( )
⋅≤≤−⋅⋅⋅
≤≤⋅−+⋅⋅⋅
=
drugde
ff
ff
jfYa
;0
105.20;105.2105.2
2
0105.2;105.2105.2
2
)( 333
333
.
d)Frekvencijski opseg u kome se nalazi diskretni signal je
[ ] [ ] [ ]ππππω ,101052,101052, 43431max1max −=⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅Ω⋅Ω−∈ −−TT .
U ovom slučaju dolazi do izražaja efekta filtriranja pa će zbog toga diskretni signal na izlazu sistema dazauzima opseg definisan diskretnim sistemom tj.
≤≤
≤=
πωπ
πωω
ω
2;0
2);(
)(j
dj
eSeY .
Nakon idealne rekonstrukcije spektar kontinualnog analognog signala na izlazu će da zauzima opseg kružne
učestanosti [ ]33
2
max
2
max 10102,10102, ⋅⋅⋅⋅−=
−∈Ω ππ
ωωTT
. Zbog različitih vrednosti perioda
konverzije vrednosti spektra se množe sa vrednošću 5.0 . Treba zapaziti da je spektar signala na izlazuglobalnog sistema izobličena varijanta ulaznog signala, zbog efekta filtracije, koju je uneo diskretni sistem,pa je zbog toga oblik spektra izlaznog analognog signala definisan izrazom
( )( )
⋅≤≤−⋅⋅⋅
≤≤⋅−+⋅⋅⋅
=
drugde
ff
ff
jfYa
;0
10100;102010205.0
01010;102010205.0
)( 333
333
.
Zadatak 4.
Neka je spektar diskretnog signala ][nx oblika
( )
≤≤
≤−⋅=
πωω
ωωωωωω
H
HHH
jeX;0
;1)( .
Naći izraz spektra signala ][nxs i ][nxd ako je 3=M za slučajeve 2πω =H i
4πω =H . Diskretni signali
su oblika
±±=
=drugde
MMnMnxnxi
;0
,2,,0;][ ),
][][ nMxnxd ⋅= .
![Page 64: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/64.jpg)
Spektar uzorkovanog signala, decimacija, interpolacija Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica64
Rešenje:
Posmatrajmo signal ][nxd . Na osnovu definicije signala uočava se da se signal sastoji od svakog togM −odbiraka signala ][nx poređani jedan pored drugog. Logično je tada zaključiti da je vremenska promenasignala dobijena ovim postupkom brža od signala ][nx . Ako su promene signala brže tada su uvek prisutnekomponente na višim frekvencijama pa je prema tome i spektar novodobijenog signala širi. Sa druge straneako signal predstavimo kao rezultat uzorkovanja polaznog analognog signala tada je jasno da signal ][nxd
dobijen tako što je perioda uzorkovanja signala ][nx sada sd TMT ⋅= . Proverimo datu analizu izvođenjemspektra signala ][nxd .Ako je signal ][nxd dobijen uzorkovanjem signala )(tx tako što je perioda uzorkovanja bila sd TMT ⋅=tada je spektar uzorkovanog signal po već poznatom izrazu
( )[ ] ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
Ω
⋅+Ω⋅
=Ω⋅+Ω=Ωn
sa
snda
dd M
njXTM
njXT
jX 11)( .
Analogne kružne učestanosti se preslikavaju u normalizovane učestanosti po izrazu dT⋅Ω=ω pa će tadaspektar diskretnog signala biti
)(1211)( Mj
na
s
jd eX
MMnjX
TMeX
ωω πω ⋅=
⋅+⋅= ∑
∞
−∞=
.
Vidi se da je spektar novodobijenog signala širi i zauzima putaM − veći opseg nego inače i da su vrednostipojedinih komponenata u tom opsegu podeljene faktorom M . Gore opisani proces se naziva decimacijadiskretnog signala i ona omogućava da se već diskretizovanom signalu poveća perioda uzorkovanja nadiskretnom nivou za celobrojno M puta.
Signalu ][nxi se može dati slično tumačenje. Kao što se vidi signal je dobijen tako što su između vrednostisignala ][nx ubačene nule. Time je postignut efekat kao da su promene signala sporije u odnosu na signal
][nx . Ako su promene sporije to znači da je spektar signala pretežno lociran na nižim učestanostim, odnosnoda je spektar postao uži usled ovog postupka. Ako se signal ][nxi tumači kao rezultat neke vrste odabiranja
onda je jasno da se dobio kao odmeravanje analognog signala )(tx periodom odabiranja MTT s
i = , tj. kao da
smo ubrzali postupak uzorkovanja. Nađimo spektar dobijenog signala. Spektar diskretizovanog signala ćetada biti
( )[ ] ( )[ ]∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
⋅Ω⋅+Ω=Ω⋅+Ω=Ωn
sasn
iai
i MnjXTMnjX
TjX 1)( ,
dok je spektar diskretizovanog signala nakon smene MTT s
i ⋅Ω=⋅Ω=ω jednak
( )( )[ ] )(21)( ωω πω ⋅∞
−∞=
⋅=⋅+⋅⋅= ∑ jM
na
s
ji eXMnMjX
TMeX .
Iz izraz se uočava da je spektar signala ][nxi uži i da zauzima putaM − manji opseg učestanosti negosignal ][nx i da su vrednosti komponenata putaM − povećani nego inače. Opisani postupak sabijanjaspektra diskretnog signala se naziva interpolacija. Obično se nakon promene periode uzorkovanja signala nadiskretnom nivou, dobijeni diskretni signal se propušta kroz idealni niskopropusni diskretni sistem. U tomslučaju diskretni sistem ima ulogu da rekonstruiše nulte vrednosti diskretnog signala odnosno da izvršiinterpolaciju nedostajućih diskretnih vrednosti.
![Page 65: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/65.jpg)
Procesiranje Signala Projektovanje analognih filtara
Viša Tehnička Škola Subotica 65
Projektovanje analognih filtara
Projektovanje prenosnih funkcija analognih filtara se svodi na određivanje aproksimacionih funkcija,koje treba da zadovolje određene karakteristike. Te karakteristike se obično zadaju unapred i to ufrekvencijskom domenu.
Kod prenosnih karakteristika filtara razlikujemo tri značajne oblasti:
- propusna oblast, u kojoj filtar propušta komponenete signala sa minimalnim slabljenjem,- prelazna oblast, u ovoj oblasti ampitudska karakteristika ima strogo monotono opadajući ili
rastući karater, zavisno od tipa filtra koji se projektuje,- nepropusna oblast, u kojoj filtar potiskuje komponente signala sa maksimalnim slabljenjem.
Karakteristike koje se zadaju odnose se na osobine filtara u ovim oblastima, definišu ponašanjeprenosne karakteristike unutar određenih gabarita. Gabariti na osnovu kojih se projektuju filtri su:
- granična kružna učestanost propusnog opsega ( pΩ ),
- granična kružna učestanost nepropusnog opsega ( nΩ ),- maksimalno slabljenje u propusnoj oblasti ( pα ),
- minimalno slabljenje u nepropusnoj oblasti ( nα ).
Projektovanje je moguće izvršiti pomoću unapred zadatih funkcija, ili pomoću računarskih programaza nalaženje optimalne prenosne funkcije.
Batervortova aproksimacija.
Osobina: amplitudska karakteristika je maksimalno ravna u kordinatnom početku.
Kvadrat amplitudske karateristike je:
N
p
B sH 2
2
2
1
1)(
ΩΩ⋅+
=
ε
,
gde je ε -slabljenje na granici propusnog opsega,
110 1.0 −= ⋅ pαε ,
dok je N -red filtra,
ΩΩ
−−
⋅≥⋅
⋅
p
n
p
n
Nlog
110110log
21 1.0
1.0
α
α
.
![Page 66: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/66.jpg)
Projektovanje analognih filtara Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica66
Čebiševljeva aproksimacija.
Osobina: maksimalno ravna amplitudska karakteristika u nepropusnoj oblasti, uža prelazna oblastnego što to ima Batervortova aproksimacija ali na račun oscilacija u propusnoj oblasti.
Red Čebiševljevog filtra se određuje pomoću izraza:
ΩΩ
−−
≥−
⋅
⋅−
p
n
p
n
N1
1.0
1.01
cosh
110110cosh α
α
.
Polovi prenosne funkcije su tada:
Nkjs kkk ,,2,1; )=+= ωσ ,
⋅−+⋅⋅
−⋅=
⋅
− πσα N
NkN p
k 212sin
110
1sinh1sinh1.0
1 ,
⋅−+⋅⋅
−⋅=
⋅
− πωα N
NkN p
k 212cos
110
1sinh1cosh1.0
1 .
Prenosna funkcija će biti:
( )
( )
( )
−−
−−⋅=
−=
∏
∏
∏=
=
⋅−
=
neparnoNss
parnoNssH
ss
HsH N
kk
N
kk
N
kk
C
p
;
;10;)(
1
1
05.0
0
1
0
α
.
Inverzna Čebiševljeva aproksimacija.
Osobina: maksimalno ravna amplitudska karakteristika u propusnoj oblasti, uža prelazna oblastnego što to ima Batervortova aproksimacija ali na račun oscilacija u nepropusnoj oblasti.
Postoji još mnogo funkcija koje se koriste u projektovanju filtarskih funkcija, kao što su eliptičkefunkcije ili Beselove funkcije, itd. Zbog složenosti proračuna njih nećemo analizirati.
U slučaju da se želi projektovati filtar različit od NF tipa, tada se obično pribegava preslikavanju NFtipa u neki drugi, potrebni tip filtara. Osnovna preslikavanja su:
- sassmenaNFNF ˆ:; ⋅=→ ,
- sassmenaVFNFˆ
:; =→ ,
- sB
sssmenaPONFˆ
ˆ:;
20
2
⋅Ω+
=→ ,
- 20
2ˆˆ
:;Ω+⋅=→
ssBssmenaPONF .
![Page 67: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/67.jpg)
Procesiranje Signala Projektovanje analognih filtara
Viša Tehnička Škola Subotica 67
Zadatak 1.
Projektovati analogni normalizovani Batervortov filtar za sledeće redove filtraa.) 1=N b.) 2=N c.) 3=N d.) 4=N e.) 5=N .Za svaki od navedenih primera nacrtati amplitudsku i faznu karakteristiku, položaj nule i polova u S-ravni iodrediti impulsni odziv filtara. Smatrati da je maksimalno slabljenje filtra na granici propusnog opsega
dBAp 3= .
Rešenje:
a.) Kvadrat modua BW filtra N-tog reda je oblika ( ) NNBWH 2
2
11)(Ω+
=Ω . Polovi ove funkcije se
određuju po polinomu imenioca. Iz algebre je poznato da polinom oblika ( ) 1)( 2 +Ω=Ω NP ima ukupnoN2 korena koje leže na jediničnom krugu ekvidistantno respoređeno. Položaj polova su dati formulom
NkneparnoNe
parnoNejsN
kj
Nkj
kkk 2,,2,1;;
;)1(
2)12(
)=
→
→=+= −
−
π
π
ωσ .
Za dati primer imamo da je 1=N tj. filtar prvog reda. Tada je ( )2
2
1 11)(Ω+
=ΩBWH . Funkcija ima dva
pola koje se nalaze na 11;11 20
1 −=⋅==⋅= πjj eses . Da bi filtar bio realizljiv prenosna funkcija mora daima polove u levoj poluravni S-ravni. Kako je pol 2s jedini pol u levoj poluravni to će tada prenosna
funkcija da glasi 111)(
21 +
=−
=sss
sH BW . Primenom inverzne Laplasove transformacije nalazimo i
impulsni odziv datog filtra 0;)()( 1 ≥== −− tesHLth tBWBW .
Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici respektivno.
b.) Napišimo analogno predhodnom zadatku oblik funkcije iz kojeg se određuju polovi prenosne funkcije
( )42
2 11)(Ω+
=ΩBWH . Položaj polova su tada 44
43
34
3
24
1 ;;;ππππ jjjj
eseseses−−
==== . Od navedenih
polova samo polovi 2s i 3s leže u levoj poluravni koji odgovaraju polovima stabilnoj prenosnoj funkcijifiltra drugog reda. Stoga će prenosna funkcija filtra biti
![Page 68: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/68.jpg)
Projektovanje analognih filtara Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica68
−−
−
⋅
=−⋅−
=−⋅−
=−−
)(
1
)(
1
43sin2
1
)()(
1)()(
1)(4
34
34
34
332
2 ππππ π jjjjBW
esesjesesssss
sH .
Nakon što je prenosna funkcija rastavljena u oblik parcijalnih razlomaka, inverzna L-transformacija se svodina tablično rešenje
−
⋅
=
−
⋅
=
−
−
43sin
43cos
43sin
43cos
43sin2
1
43sin2
1)( 43
43 ππππ
ππ
ππ jttjtttete
BW eeeej
eej
thjj
.
Nakon rastavljanja polova na realne i imaginarne delove i izvlačenjem zajedničkih keoficijenata ispredzagrade impulsni odziv će biti
0;)4
3sin(sin
43sin
43sin2
)(4
3cos
43sin
43sin4
3cos
≥
⋅⋅
=
−
⋅
=
⋅
−
tteeej
etht
jtjtt
BWπ
ππ
πππ
π
.
Kao što se to vidi impulsni odziv je prigušenog oscilatornog karaktera sa kružnom učestanošću
=
43sin0πω i prigušenjem
=
43cos πσ .
Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici respektivno.
c.) Analogno predhodnim primerima imamo ( )6
2
3 11)(Ω+
=ΩBWH . Položaj polova ove funkcije će biti
36
32
543
2
33
21 ;;1;;;1ππππ jjjj
esessesess−−
==−==== . Polovi koji odgovaraju stabilnom filtru trećegreda moraju da leže u levoj poluravni S-ravni, pa je stoga prenosna funkcija oblika
=−⋅+⋅−
=−⋅−⋅−
=−
)()1()(
1)()()(
1)(3
23
2543
3 ππ jjBW
essesssssss
sH
32
3
32
3
2
1
32sin2
3cos2
1
32sin2
3cos21
1
3cos2
1π
π
π
π
πππππ j
j
j
j
esj
e
esj
es −
−
−⋅
⋅
−−
⋅
⋅
++
⋅
= .
![Page 69: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/69.jpg)
Procesiranje Signala Projektovanje analognih filtara
Viša Tehnička Škola Subotica 69
Primenom inverzne transformacije impulsni odziv će da glasi
=
⋅
⋅⋅−
⋅
⋅⋅+
=
−
−−
32sin2
3cos2
32sin2
3cos2
3cos2
)(3
2sin3
2cos33
2sin3
2cos3
2 πππππ
ππππππ
j
eee
j
eeeethjttjjttjt
BW
=
⋅
⋅−
⋅
⋅+
=
−
−
−
−
32sin2
3cos2
32sin2
3cos2
3cos2
332
sin3
2cos33
2sin
32cos
2 πππππ
ππππππ
j
ee
j
eeetjttjt
t
=
−⋅
⋅
+
=
−
−
−
−
jeeee
tjtjtt
23
2sin3
cos23
cos2
332sin
332sin
32cos
2
πππππ
πππ
0;33
2sinsin
32sin
3cos2
3cos2
32cos
2≥
−
⋅⋅
⋅
+
=
−
tteet
t πππππ
π
.
Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici respektivno.
d.) Kvadrat modua prenosne funkcije glasi ( )8
2
4 11)(Ω+
=ΩBWH . Polovi su tada po datom obrazcu
88
83
78
5
68
7
58
7
48
5
38
3
28
1 ;;;;;;;ππππππππ jjjjjjjj
eseseseseseseses−−−−
======== . Polovi koje leže ulevoj poluravni S-ravni su 6543 ;;; ssss pa je tada prenosna funkcija filtra ćetvrtog reda dat u obliku
)()()()(
1)()()()(
1)(8
78
58
78
56543
4 ππππ jjjjBW
esesesesssssssss
sH−−
−⋅−⋅−⋅−=
−⋅−⋅−⋅−= .
Rastavljanjem izraza u oblik parcijalnih razlomaka dobija se
85
85
87
874
191.0462.0191.0462.0115.1462.0115.1462.0)( ππππ jjjjBW
es
j
es
j
es
j
es
jsH−−
−
+−−
−−−
++−
−= .
![Page 70: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/70.jpg)
Projektovanje analognih filtara Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica70
Inverzna transformacija zbira prva dva razlomka će da da
( ) ( ) =⋅⋅++⋅⋅−
−
87sin
87cos
87sin
87cos
115.1462.0115.1462.0ππππ jttjtt
eejeej
=
−⋅−
+⋅=
−
−
87sin
87sin
87cos
87sin
87sin
87cos
115.1462.0ππππππ jtjttjtjtt
eeejeee
=
⋅+
⋅⋅=
87sinsin23.2
87sincos924.0 8
7cos8
7cos ππ ππ
tetett
−
⋅⋅=
178.18
7sincos41.2 87cos ππ
tet
.
Analogno za zbir druga dva razlomka dobija se
( ) ( ) =⋅⋅+−⋅⋅−−
−
85sin
85cos
85sin
85cos
191.0462.0191.0462.0ππππ jttjtt
eejeej
=
−⋅+
+⋅−=
−
−
85sin
85sin
85cos
85sin
85sin
85cos
191.0462.0ππππππ jtjttjtjtt
eeejeee
=
⋅−
⋅⋅−=
85sinsin382.0
85sincos924.0 8
5cos8
5cos ππ ππ
tetett
−−
⋅⋅=
392.08
7sincos9997.0 87cos
πππ
tet
.
Konačno se zbrajanjem dobijenih izraza dolazi do analitičkog oblika impulsnog odziva BW filtra četvrtogreda
0;392.08
7sincos9997.0178.18
7sincos41.2)( 87cos
87cos
≥
−−
⋅+
−
⋅=
ttetethtt
BW πππ ππ
.
Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici respektivno.
![Page 71: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/71.jpg)
Procesiranje Signala Projektovanje analognih filtara
Viša Tehnička Škola Subotica 71
e.) Kvadrat modua prenosne funkcije filtra petog reda je ( )10
2
5 11)(Ω+
=ΩBWH . Polovi ove funkcije su
510
52
95
3
85
4
765
4
55
3
45
2
35
21 ;;;;1;;;;;1ππππππππ jjjjjjjj
esesesessesesesess−−−−
====−====== .
Polovi koji odgovaraju stabilnoj prenosnoj funkciji su 87654 ,,,, sssss . Prenosna funkcija je tada oblika
=−⋅−⋅−⋅−⋅−
=)()()()()(
1)(87654
5 sssssssssssH BW
)()()1()()(
1
53
54
54
53 ππππ jjjj
esesseses−−
−⋅−⋅+⋅−⋅−= .
Nakon rastavljanja izraza u oblik parcijalnih suma dobija se
53
53
54
545
425.0138.0425.0138.0113.1809.0113.1809.01
894.1)( ππππ jjjjBW
es
j
es
j
es
j
es
js
sH−−
−
+−−
−−−
−−−
+−+
= .
Analogno predhodnom primeru inverzne transformacije će da daju
( ) ( ) =⋅⋅−−⋅⋅+−
−
54sin
54cos
54sin
54cos
113.1809.0113.1809.0ππππ jttjtt
eejeej
=
−⋅−
+⋅−=
−
−
54sin
54sin
54cos
54sin
54sin
54cos
113.1809.0ππππππ jtjttjtjtt
eeejeee
=
⋅+
⋅⋅−=
54sinsin226.2
54sincos618.1 5
4cos5
4cos ππ ππ
tetett
+−
⋅⋅=
942.05
4sincos751.2 54cos
πππ
tet
.
( ) ( ) =⋅⋅+−⋅⋅−−
−
53sin
53cos
53sin
53cos
425.0138.0425.0138.0ππππ jttjtt
eejeej
=
−⋅+
+⋅−=
−
−
53sin
53sin
53cos
53sin
53sin
53cos
425.0138.0ππππππ jtjttjtjtt
eeejeee
=
⋅−
⋅⋅−=
53sinsin85.0
53sincos276.0 5
3cos5
3cos ππ ππ
tetett
−−
⋅⋅=
25.15
3sincos893.0 53cos
πππ
tet
.
![Page 72: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/72.jpg)
Projektovanje analognih filtara Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica72
Konačno impulsni odziv je oblika
+⋅= −tBW eth 894.1)(
+
+−
⋅⋅+
942.05
4sincos751.2 54cos
πππ
tet
0;25.15
3sincos893.0 53cos
≥
−−
⋅⋅+
ttet
πππ
.
Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici respektivno.
Zadatak 2.
Projektovati analogni normalizovani Čebiševljev filtar za sledeće redove filtraa.) 1=N b.) 2=N c.) 3=N d.) 4=N e.) 5=N .Za svaki od navedenih primera nacrtati amplitudsku i faznu karakteristiku, položaj nule i polova u S-ravni iodrediti impulsni odziv filtara. Smatrati da je maksimalno slabljenje filtra na granici propusnog opsega
dBAp 1= .
Rešenje:
a.) Projektovanje Čebiševljvog filtra ćemo izvršiti u koracima.
1. Korak: Neka je broj 965227.1110
111.0
=−
==pA
xε
.
2. Korak: Hiperbolične funkcije koje su nam potrebne
( ) 427975.11ln1sinh 21 =++=
− xxε
.
3. Korak: Određivanje polova funkcije 2)(NC sH po izrazima
NkN
kNk 2,,2,1;
2)12(sin1sinh1sinh 1 )=
−⋅
⋅±= − πε
σ ,
NkN
kNk 2,,2,1;
2)12(cos1sinh1cosh 1 )=
−⋅
⋅= − πε
ω .
Za navedeni primer imamo 0;965227.1 11 == ωσ i da je 0;965227.1 22 =−= ωσ .
![Page 73: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/73.jpg)
Procesiranje Signala Projektovanje analognih filtara
Viša Tehnička Škola Subotica 73
4. Korak: Određivanje prenosne funkcije i impulsnog odziva filtra. Nakon što su određeni polovi izpredhodnog koraka, biraju se oni koji se nalaze u levoj poluravni S-ravni. Ti polovi odgovaraju polovimarealizljivog i stabilnog sistema (filtra). Prenosna funkcija je data izrazom
;)(
)(
1
0
∏=
−= N
ii
NC
ss
HsH
( )
( )
−−
−−⋅=
∏
∏
=
=
neparanNs
paranNsH N
ii
N
ii
Ap
;
;10
1
1
05.0
0
gde su is polovi sa leve poluravni S-ravni.Za navedeni primer imamo da se pol 965227.12 −=s nalazi u levoj poluravni i da je 1=Nneparan broj pa je stoga 965227.10 =H .Prenosna funkcija i impulsni odziv filtra će tada da glasi
0;965227.1)()(965227.1
965227.1)( 965227.11
11 ≥⋅==⇒
+= ⋅−− tesHLth
ssH t
CC .
Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici respektivno.
b.) Za Čebiševljev filtar drugog reda imaćemo sledeće korake.
1. Korak: Kako je minimalno slabljenje na granici propusnog opsega isto predhodnom zadatku imamo da je
965227.1110
111.0
=−
==pA
xε
.
2. Korak: ( ) 427975.11ln1sinh 21 =++=
− xxε
.
3. Korak: polovi funkcije 2
2)(sH C su
8951.0548.0;8951.0548.0;8951.0548.0;8951.0548.0 4321 jsjsjsjs −−=+−=−=+= .
![Page 74: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/74.jpg)
Projektovanje analognih filtara Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica74
4. Korak: Prenosnu funkciju određuju polovi sa leve strane S-ravni pa je stoga
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )8951.0548.08951.0548.0
9817.010)(
43
435.0
2 jsjsssssss
sH C −−−⋅+−−=
−⋅−−⋅−
=−
.
Nakon rastavljanja izraza u oblik parcijalnih suma, inverzna Laplasova transformacija se svodi natablična rešenja. Uparivanjem dobijenih izraza kao u zadatku 1. dolazi se do rešenja impulsnog odziva
0);8951.0sin()8951.0sin(
9817.0)(548.0
≥⋅⋅⋅=⋅−
ttetht
C .
Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici respektivno.
c.) Određivanje Čebiševljevog filtra trećeg reda.
1. Korak: 965227.1110
111.0
=−
==pA
xε
.
2. Korak: ( ) 427975.11ln1sinh 21 =++=
− xxε
.
3. Korak: polovi funkcije 2
3)(sH C su
;9659.024708.0;04941.0;9659.024708.0 321 jsjsjs −=−=+=
9659.024708.0;04941.0;9659.024708.0 654 jsjsjs +−=+−=−−= .
4. Korak: polovi prenosne funkcije filtra su 654 ;; sss , pa je prenosna funkcija oblika
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =
−⋅−⋅−−⋅−⋅−
=654
6543)(
sssssssss
sH C
( )( ) ( )( ) ( )4941.09659.024708.09659.024708.04882.0
+⋅−−−⋅+−−=
sjsjs.
![Page 75: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/75.jpg)
Procesiranje Signala Projektovanje analognih filtara
Viša Tehnička Škola Subotica 75
Prenosna funkcija u obliku parcijalnih razlomaka glasi
9659.024708.00628.0245.0
9659.024708.00628.0245.0
4941.0492.0)( 3 js
jjs
js
sH C ++−−
−++−
+= .
Analognim metodama koje smo primenili u predhodnom zadatku impulsni odziv će u analitičkom obliku daglasi
( ) 0;249.09659.0cos505.0492.0)( 24708.04941.0 ≥+−⋅⋅⋅−⋅= ⋅−⋅− tteeth ttC π .
Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici respektivno.
d.) Koraci Čebiševljevog filtra četvrtog reda
1. Korak: 965227.1110
111.0
=−
==pA
xε
.
2. Korak: ( ) 427975.11ln1sinh 21 =++=
− xxε
.
3. Korak: polovi funkcije 2
4)(sH C su
;407.0337.0;983.014.0;983.014.0;407.0337.0 4321 jsjsjsjs −=−=+=+=
407.0337.0;983.014.0;983.014.0;407.0337.0 8765 jsjsjsjs +−=+−=−−=−−= .
4. Korak: Prenosna funkcija Čebiševljevog filtra četvrtog reda data u obliku sekcija drugog reda je
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =
−⋅−⋅−⋅−−⋅−⋅−⋅−
=8765
876505.0
410
)(sssssssssssssH C
( ) ( )986.028.028.0673.0245.0
22 +⋅+⋅+⋅+=
ssss.
Rastavljena u obliku parcijalnih suma
983.014.013.0066.0
983.014.013.0066.0
407.0336.0346.0066.0
407.0336.0346.0066.0)( 4 js
jjsj
jsj
jsjsH C ++
+−−+−−
++++
−+−= .
![Page 76: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/76.jpg)
Projektovanje analognih filtara Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica76
Impulsni odziv se dobija inverznom Laplasovom transformacijom nakon čega se primene dodatnauparivanja po Ojlerovom obrazcu, slična koja su navedena u prvom zadatku.
( ) ( ) 0;101.1983.0cos291.041.1407.0cos824.0)( 14.0336.0 ≥−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅= ⋅−⋅− tteteth ttC .
Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici respektivno.
e.) Koraci Čebiševljevog filtra petog reda
1. Korak: 965227.1110
111.0
=−
==pA
xε
.
2. Korak: ( ) 427975.11ln1sinh 21 =++=
− xxε
.
3. Korak: polovi funkcije 2
5)(sH C su
;99.0089.0;612.0234.0;289.0;612.0234.0;99.0089.0 54321 jsjssjsjs −=−==+=+=
99.0089.0;612.0234.0;289.0;612.0234.0;99.0089.0 109876 jsjssjsjs +−=+−=−=−−=−−= .
4. Korak: Prenosna funkcija Čebiševljevog filtra četvrtog reda data u obliku sekcija drugog reda je
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅−
=109876
1098765)(
sssssssssssssss
sH C
( ) ( ) ( )988.0179.043.068.0289.0122.0
22 +⋅+⋅+⋅+⋅+=
sssss.
Rastavljena u obliku parcijalnih suma
99.0089.0057.0074.0
99.0089.0057.0074.0
612.0234.0089.0234.0
612.0234.0089.0234.0
289.0318.0)(
jsj
jsj
jsj
jsj
ssH
++−+
−+++
++−−
−++−
+=
Impulsni odziv se dobija inverznom Laplasovom transformacijom nakon čega se primene dodatnauparivanja po Ojlerovom obrazcu slična koja su navedena u prvom zadatku.
( ) ( ) 0;656.099.0cos186.0363.0612.0cos5.0318.0)( 089.0234.0289.0 ≥−⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅−⋅= ⋅−⋅−⋅− tteteeth tttC .
![Page 77: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/77.jpg)
Procesiranje Signala Projektovanje analognih filtara
Viša Tehnička Škola Subotica 77
Zadatak 3.
Projektovati analogni inverzni Čebiševljev filtar na osnovu zadatka 2. za 1=N i 2=N .
Rešenje:
a.) Projektovanje inverznog Čebiševljevog filtra je moguće izvršiti sledećom transformacijom
ssCIC sHsH
ˆ1
22 )(1)ˆ(=
−=
gde je 2)(sH C kvadrat modua Čebiševljevog filtra koji je projektovan po koracima kao što je to dato u
drugom zadatku. Čebiševljev filtar prvog reda je bio oblika 965227.1
965227.1)( 1 +=
ssH C . Moduo na kvadrat
ove funkcije se može napisati u obliku
( )( ) 22
2
112
965227.1965227.1
965227.1965227.1
965227.1965227.1)()()(
ssssHsHsH CCC −
=−
⋅+
=−⋅= .
Kvadrat amplitudske karakteristike inverznog Čebiševljevog filtra će tada biti
( )( ) ( )
( )
( )2
2
2
ˆ122
2
ˆ122
22
ˆ965227.11965227.11
965227.1965227.1965227.11)ˆ(
sss
ssH
ss
ssIC
−=
−−=
−−=
==.
Polovi ove funkcije su 965227.11ˆ;
965227.11ˆ 21 −== ss . Analogno predhodnim zadacima pol tražene
prenosne funkcije mora da leži u levoj poluravni kompleksnog domena pa je stoga prenosna funkcija iimpulsni odziv inverznog Čebiševljevog filtra prvog reda
0;965227.11)(
965227.11
965227.11
)( 965227.11
≥⋅=⇒+
=⋅−
teths
sHt
ICIC .
b.) Prenosna funkcija Čebiševljevog filtra drugog reda je
( )( ) ( )( )8951.0548.08951.0548.09817.0)( 2 jsjs
sH C −−−⋅+−−= .
Kvadrat amplitudske karakteristike inverznog Čebiševljevog filtra će tada biti
ssCCIC sHsHsH
ˆ1
2 )()(1)ˆ(=
−⋅−= .
![Page 78: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/78.jpg)
Projektovanje analognih filtara Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica78
Zbog složenosti izvođenja ove funkcije, prenosnu funkciju ćemo odrediti prema sledećim izrazima. Poloviprenosne funkcije inverznog Čebiševljevog filtra, kao što smo to u predhodnom primeru videli, su recipročne
vrednosti polova Čebiševljevog filtra tj. Ck
ICk ss 1ˆ = . Prenosna funkcija je oblika
( )
( )
( )
∏
∏
∏
∏
=
=
=
=
−=
−
+⋅= N
kk
N
kICk
N
kICk
N
kk
IC
sH
ss
sHsH
1
2min
10
1
1
2min
2
0
ˆ;
ˆˆ
ˆ)ˆ(
ω
ω
gde su Nk
Nkk ,,2,1;
2sin
1)=
=π
ω kružne učestanosti u kojima amplitudska karaktristika poprima
minimalne i maksimalne vrednosti, od kojih se u izrazu za prenosnu funkciju uzimaju tačke u kojimafunkcija ima minimum.Odredimo polove inverznog Čebiševljevog filtra.
985.0603.08951.0548.0
1ˆ 1 jj
sIC −−=+−
= ; 985.0603.08951.0548.0
1ˆ 1 jj
sIC +−=−−
= .
Minimumi i maksimumi su tačkama
1
42sin
1;2
4sin
121 =
==
=π
ωπ
ω .
Odredimo konstantu koja množi prenosnu funkciju
( ) ( ) 666.02
985.0603.0985.0603.00 =+−⋅−−= jjH .
Prenosna funkcija će tada da glasi
( )( ) ( )( ) 333.1ˆ206.1ˆ2ˆ
666.0985.0603.0ˆ985.0603.0ˆ
2ˆ666.0)ˆ( 2
22
+⋅++⋅=
+−−⋅−−−+⋅=
sss
jsjsssH IC .
Napisana u obliku parcijalnih suma
( ) ( )985.0603.0ˆ471.0401.0
985.0603.0ˆ471.0401.0666.0)ˆ(
jsj
jsjsH IC −−−
−−+−−
+−= .
Primenom inverzne transformacije slično predhodnim primerima, impulsni odziv će biti
( ) 0;865.0985.0cos237.1)(666.0)( 603.0 ≥−⋅⋅⋅−⋅= ⋅− ttetth tIC δ .
![Page 79: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/79.jpg)
Procesiranje Signala Projektovanje analognih filtara
Viša Tehnička Škola Subotica 79
Zadatak 4.
Preslikati niskopropusni normalizovani Batervortov filtar iz zadatka 1. za 2=N u niskopropusni filtar sa
sec13 radp k=ω .
Rešenje:
Preslikavanje normalizovanog NF filtra u NF filtar se vrši smenom promenljivih sas ⋅=ˆ . Odavde ondasledi da se granične kružne učestanosti normalizovanog filtra pomoću date smene preslikavaju u nove poformuli pp a ωω ⋅=ˆ . Za normalizovani filtar važi sec1 rad
p =ω . Po zadataku mora da bude sec13ˆ radp =ω .
Odavde onda sledi da je konstanta 13=a pa je tražena smena koju treba primeniti 13ss = .
Prenosna funkcija BW filtra iz prvog zadatka čiji je red 2=N glasi
−−
−
⋅
=−⋅−
=−⋅−
=−−
)(
1
)(
1
43sin2
1
)()(
1)()(
1)(4
34
34
34
332
2 ππππ π jjjjBW
esesjesesssss
sH .
Traženi Nf filtar se dobija primenom date smene tj. 13ˆ2)()ˆ( ssBWNF sHsH
== . Tada se dobija
( ))13ˆ()13ˆ(
13
)13ˆ
()13ˆ
(
1)ˆ(4
34
3
2
43
432 ππππ jjjj
NF
esesesessH
−−⋅−⋅⋅−
=−⋅−
= .
U obliku parcijalnih suma data prenosna funkcija će da bude
⋅−−
⋅−
⋅
=−
)13ˆ(
1
)13ˆ(
1
43sin2
13)ˆ(4
34
32 πππ jjNF
esesjsH .
Inverznom Laplasovom transformacijom dobijamo da je impulsni odziv preslikanog NF-filtra
0;)4
3sin(13sin
43sin
13
43sin2
13)(4
3cos13
43sin13
43sin134
3cos13
≥
⋅⋅⋅
⋅=
−
⋅
⋅=
⋅⋅
⋅−
⋅
⋅
tteeej
etht
tjtjt
BWπ
ππ
πππ
π
.
Položaj polova, amplitudska i fazna karakteristika su prikazane na slici respektivno.
![Page 80: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/80.jpg)
Projektovanje analognih filtara Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica80
Zadatak 5.
Preslikati niskopropusni normalizovani Čebiševljev filtar iz zadatka 2. za 3=N u visokopropusni filtar sa
sec33 radp =ω .
Rešenje:
Preslikavanje NF filtra u VF filtar se vrši smenom sasˆ
= . Granične kružne učestanosti se tada preslikavaju
po izrazu p
pa
ωω =ˆ iz kojeg sledi da je 33=a . Prenosna funkcija trećeg reda iz prvog zadatka ima oblik
( )( ) ( )( ) ( )4941.09659.024708.09659.024708.04882.0)(
+⋅−−−⋅+−−=
sjsjssH C .
Primenom date smene prenosna funkcija VF filtra glasi
( ) ( )=
+⋅
−−−⋅
+−−
=4941.0
ˆ9659.024708.0
ˆ9659.024708.0
ˆ
4882.0)ˆ(
saj
saj
sa
sH C
( ) ( )
+⋅
−
−−⋅
−
+−
⋅=sas
jas
ja
s
ˆ4941.0
ˆ9659.024708.0
ˆ9659.024708.0
ˆ4882.0.
Uvrštavanjem proračunate konstante i sređivanjem izraza dobijamo
( )( ) ( )( ) ( )ssjsjssH CVF ˆ788.66ˆ066.32202.8ˆ066.32202.8ˆ4882.0)ˆ(
3
+⋅−+−⋅−−−⋅= .
Razvojem u oblik parcijalnih suma prenosna funkcija će biti
( ) ( )( ) ( )( )sjj
sjj
ssH CVF ˆ066.32202.8
024.1003.4ˆ066.32202.8
024.1003.4ˆ788.66
606.324882.0)ˆ(−−−
−−−+−
+−+
−= .
Primenom inverzne Laplasove transformacije impulsni odziv će biti
( ) 0;354.14066.32cos26.8606.32)(4882.0)( 202.8788.66 ≥−⋅⋅⋅+⋅−⋅= ⋅−⋅− tteetth ttVF δ .
Položaj polova, amplitudska i fazna karakteristika su prikazane na slici respektivno.
![Page 81: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/81.jpg)
Procesiranje Signala Projektovanje analognih filtara
Viša Tehnička Škola Subotica 81
Zadatak 6.
Projektovati Batervortov filtar sa sledećim specifikacijama:maksimalno slabljenje u propusnom opsegu: dBp 10=α ,
granica propusnog opsega: kHzf p 5= ,
minimalno slabljenje u nepropusnom opsegu: dBn 30=α ,granica nepropusnog opsega: kHzfn 25= .
Odrediti prenosnu funkciju i impulsni odziv niskopropusnog filtra.
Rešenje:
1. Korak: Određivanje red filtra N i konstante ε .
( ) 246.15log9
999log
21
log
110110log
21
min10
10
10
1.0
1.0
10
=⇒=
⋅=
−−
⋅≥⋅
⋅
N
ff
N
p
n
p
n
α
α
3110 1.0 =−= ⋅ pαε .
2. Korak: kvadrat modua prenosne funkcije ja tada
4
3
2
2
2
105291
1
1
1)(
⋅⋅+
=
⋅+
=
πω
ωωε
N
p
BW sH .
Ova funkcija ima polove u S-ravni koje se određuju prema izrazu Nkef
s NNkjp
k 2,,1;2
212
)=⋅=−+π
επ
.
Za dati primer polovi će biti
434
433
43
32
43
31 10138.18;10138.18;10138.18;10138.18
ππππ jjjjeseseses ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=
−−.
3. Korak: Polovi prenosne funkcije su one koje leže u levoj poluravni S-ravni tj. polovi 21 , ss . Prenosnafunkcija će tada biti
( ) ( )( )
⋅⋅−⋅
⋅⋅−
⋅=−⋅−
=−
43
343
3
23
21
0
10138.1810138.18
10138.18)(ππ
jjBW
esesssss
HsH .
Primenom metode parcijalnih razlomaka prenosna funkcija filtra se može prikazati u obliku
⋅⋅−−
⋅⋅−⋅
⋅=
−4
334
33
3
10138.18
1
10138.18
1
43sin2
10138.18)( πππ jjBW
esesjsH .
![Page 82: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/82.jpg)
Projektovanje analognih filtara Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica82
Primenom inverzne Laplasove transformacije i Ojlerovih obrazaca dolazimo do impulsnog odziva filtra
( ) 0;1082.12sin106.25)( 310133 3
≥⋅⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅− tteth tjBW .
Zadatak 7.
Projektovati Čebiševljev filtar sa sledećim specifikacijama:maksimalno slabljenje u propusnom opsegu: dBp 10=α ,
granica propusnog opsega: Hzf p 10= ,
minimalno slabljenje u nepropusnom opsegu: dBn 21=α ,granica nepropusnog opsega: Hzfn 50= .
Odrediti prenosnu funkciju i impulsni odziv niskopropusnog filtra. Odrediti odziv sistema na pobude
a.) odskočnu pobudu )()( tutx = , b.) sinusoidalnu pobudu ( )ttx ⋅= 0cos)( ω .
Rešenje:
1. Korak: Određivanje reda filtra po izrazu
−−
≥−
⋅
⋅−
p
n
ff
Np
n
1
1.0
1.01
cosh
110110cosh α
α
.
Za dati primer imaćemo da je minimalni red filtra koji zadovoljava date specifikacije 1min =N .2. Korak: kvadrat modua prenosne funkcije je tada
2
2
2
1
1)(
+
=
p
C
ff
sH
ε
.
Polovi ove funkcije računati po izrazu koja je data u drugom zadatku su
031;0
31
222111 jjsjjs +−=+=+=+= ωσωσ .
Oba pola su realna od kojih 1s leži u desnoj poluravni dok 2s u levoj poluravni S-ravni.
3. Korak: prenosnu funkciu karakteriše pol koji leži u levoj poluravni tj. pol 2s pa je prema tome prenosnafunkcija
0;31)(
31
31
)( 31
≥⋅=⇒+
=⋅−
teths
sHt
CC .
![Page 83: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/83.jpg)
Procesiranje Signala Projektovanje analognih filtara
Viša Tehnička Škola Subotica 83
a.) Odziv na odskočnu pobudu 0;1)( ≥= ttu će biti
≥−=⋅⋅
<= ∫
−−t ttede
tty
0
31
31
0;1131
0;0)( τ
τ .
b.) Odziv na sinusoidalnu pobudu ( )ttx ⋅= 0cos)( ω ćemo odrediti na sledeći način.Poznato je da spektar izlaznog signala čini proizvod spektara ulaznog signala i impulsnog odziva tj.prenosne funkcije ( ) ( ) ( )ωωω jHjXjsY ⋅== . Poznato je i to da spektar kosinusnog signala čini dvaDirakova impulsa u frekventom domenu koji su locirani u tačkama 0ωω ±= i čija je amplituda π tj.
)()()( 00 ωωδπωωδπω −⋅++⋅=jX .
Evidentno je da proizvod kojeg čine prenosna funkcija filtra i spektar ulaznog signala je različito od nulesamo u tačkama gde su locirani Dirakovi impulsi pa je stoga i spektar izlaznog signala različit od nule utim tačkama dok je u ostalima jednaka nuli tj. matematički rečeno
[ ] )()()()()()()()( 000000 ωωδωπωωδωπωωπδωωπδωω −⋅++⋅−=−++⋅= jHjHjHjY .
Kao što se to vidi spektar izlaznog signala se takođe sastoji od dva Dirakovog impulsa ali sapromenjenim amplitudama što je nastalo uslad delovanja datog filtra. Znači da je i odziv na periodičansignal takođe periodičan signal čija je faza i amplituda modifikovana usled delovanja filtra. Amplitudnupromenu možemo odrediti na osnovu amplitudne karakteristike filtra
( ) 20
20
00
911
31
91
131)()(
ωωωωωω
+⋅=
±+⋅===±= jjHA .
Koliko se menja faza izlaznog signala u odnosu na ulazni signal zavisi od fazne karakteristike filtrakoja je za datu kružnu učestanost
( )( )
−=⋅+=⋅−
==00
00
;3;3
)(arg)(ωωωωωω
ωωθarctgarctg
jH .
Na osnovu gornjeg rezona odziv filtra na datu pobudu će biti
( ) ( )( )0020
000 3cos
911
31)(cos)()( ωω
ωωωθωωω ⋅−⋅⋅
+⋅==−⋅⋅== acrtgttAty .
Zadatak 8.
Preslikati normalizovani niskopropusni Batervortov filtar prvog reda iz prvog zadatka u filtar propusnikaopsega sa sledećim specifikacijama :centralna učestanost pojasnog filtra sec10 rad
C k=Ω ;
širina propusnog opsega sec310 radB = .
![Page 84: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/84.jpg)
Projektovanje analognih filtara Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica84
Rešenje:Prenosna funkcija i impulsni odziv projektovanog niskopropusnog filtra iz prvog zadatka glasi
0;)(11)( ≥=⇒+
= − teths
sH tB .
Smena koja se primenjuje prilikom preslikavanja PONF → je oblika sB
ss C
ˆˆ 22
⋅Ω+
= . Uvrštavanjem
dobijamo
632
3
2222ˆ
ˆ 10100ˆ10ˆˆ10
ˆˆˆ
1ˆ
ˆ1)()ˆ( 22
⋅+⋅+⋅=
Ω+⋅+⋅=
+⋅Ω+
==⋅Ω+
= sss
sBssB
sBs
sHsHCCsB
ss
BBPO C.
Polovi prenosne funkcije su ( ) ( )975.191500ˆ;975.191500ˆ 21 jsjs pp −⋅−=+⋅−= .
Prenosna funkcija ima jednu nulu u kordinatnom početku 0ˆ =ns .Prenosna funkcija u obliku parcijalnih suma će biti
( ) ( )
−⋅+
−
−+⋅+
+
⋅=975.191500ˆ
975.19975.191
975.191500ˆ975.19
975.191
10)( 3
jsj
j
jsj
j
sH BPO .
Primenom inverzne Laplasove transformacije impulsni odziv filtra glasi
( ) ( )[ ] =⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅= − tteth tBPO 975.19500sin2975.19500cos975.192
975.1910)( 500
3
( ) =
−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= −
975.191975.19500cos975.191
975.19102 2500
3
arctgte t
( ) 0;05.05.9987cos5.2002 500 ≥−⋅⋅⋅= − tte t .
Amplitudska i fazna karakteristika su prikazane na slici respektivno.
![Page 85: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/85.jpg)
Procesiranje Signala Projektovanje analognih filtara
Viša Tehnička Škola Subotica 85
Zadatak 9.
Preslikati normalizovani niskopropusni Čebiševljev filtar prvog reda iz drugog zadatka u filtar nepropusnikaopsega sa sledećim specifikacijama :
centralna učestanost pojasnog filtra sec1 radC =Ω ;
širina propusnog opsega sec2.0 radB = .
Rešenje:
Prenosna funkcija i impulsni odziv projektovanog niskopropusnog filtra iz prvog zadatka glasi
0;965.1)(965.1
965.1)( 965.1 ≥=⇒+
= − teths
sH tCC .
Smena koja se primenjuje prilikom preslikavanja NONF → je oblika 22ˆˆ
CssBsΩ+⋅= . Uvrštavanjem
dobijamo
( )( ) 1ˆ101.0ˆ
1ˆˆ965.1ˆ
ˆ965.1
965.1ˆ
ˆ965.1)()ˆ( 2
2
22
22
22ˆ
ˆ22 +⋅+
+=Ω+⋅+⋅
Ω+⋅=
+Ω+⋅
==Ω+⋅
= sss
ssBs
ssB
sHsHC
C
C
ssBsCCNO
C
.
Polovi prenosne funkcije su 094705.0ˆ;947.005.0ˆ 21 jsjs pp −−=+−= .
Nule prenosne funkcije su jsjs nn −== 21 ˆ;ˆ .
Rastavjanjem prenosnu funkciju u obliku parcijalnih suma dolazi se do izraza
−+
−
−++
+
⋅−=+⋅+
⋅−=947.005.0ˆ
947.0947.005.0
947.005.0ˆ947.0
947.005.0
101.011ˆ101.0ˆ
ˆ101.01)ˆ( 2 jsj
j
jsj
j
ssssH CNO .
Primenom inverzne Laplasove transformacije dolazi se do impulsnog odziva traženog filtra
( ) ( )[ ] =⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−= − ttetth tCNO 947.0sin05.02947.0cos947.02
947.0101.0)()( 05.0δ
( ) ( ) =
−⋅⋅+⋅⋅⋅−= −
947.005.0947.0cos947.005.0
947.0101.02)( 2205.0 arctgtet tδ
( ) 0;052.0947.0cos202.0)( 05.0 ≥−⋅⋅⋅−= − ttet tδ .
![Page 86: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/86.jpg)
Projektovanje analognih filtara Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica86
Amplitudska i fazna karakteristika projektovanog filtra je prikazana na slici.
Zadatak 10.
Preslikati normalizovani niskopropusni inverzni Čebiševljev filtar drugog reda projektovanog u trećemzadatku u filtar nepropusnika opsega sa sledećim specifikacijama :
centralna učestanost pojasnog filtra sec1 radC =Ω ;
širina propusnog opsega sec2.0 radB = .
Rešenje:
Prenosna funkcija inverznog Čebiševljevog filtra projektovanog u trećem zadatku je oblika
906.0994.02453.0)( 2
2
+⋅++⋅=
ssssH IC .
Primenom smene iz predhodnog zadatka nova prenosna funkcija glasi
=+
+⋅⋅+
+⋅
+
+⋅
⋅==+⋅
=
906.01ˆˆ2.0994.0
1ˆˆ2.0
21ˆˆ2.0
453.0)()ˆ(
2
2
2
2
2
1ˆˆ2.0
2
ss
ss
ss
sHsHs
ssICICNO
1ˆ218.0ˆ044.2ˆ218.0ˆ1ˆ02.2ˆ
234
24
+⋅+⋅+⋅++⋅+=
ssssss
.
Nule prenosne funcije su: 151.1ˆ;151.1ˆ;868.0ˆ;868.0ˆ 4321 jsjsjsjs nnnn −==−==Polovi su: ;912.0049.0ˆ;912.0049.0ˆ 21 jsjs pp −−=+−=
092.1059.0ˆ;092.1059.0ˆ 43 jsjs np −−=+−= .
![Page 87: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/87.jpg)
Procesiranje Signala Projektovanje analognih filtara
Viša Tehnička Škola Subotica 87
Oblik prenosne funkcije u vidu parcijalnih suma će tada biti
092.1059.0ˆ001.0059.0
092.1059.0ˆ001.0059.0
912.0049.0ˆ003.0048.0
912.0049.0ˆ003.0048.01)ˆ(
jsj
jsj
jsj
jsjsH ICNO ++
−−−+
+−++
−−−+
+−= .
Primenom inverzne Laplasove transformacije impulsni odziv će da glasi
( ) ( ) 0;017.0092.1cos118.0062.0912.0cos096.0)()( 059.0049.0 ≥−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−= −− ttetetth ttICNO δ .
Amplitudska i fazna karakteristika dobijenog analognog filtra su prikazane na slici.
Kao što se to vidi, osobina inverznog Čebiševljevog filtra se lepo ispoljava u nepropusnom opsegu, gdeamplitudska karakteristika zaoscilira.
![Page 88: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/88.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica88
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom,IIR sistemi
Projektovanje IIR sistema se svodi na preslikavanje već poznatih analognih prenosnih funkcija udiskretne prenosne funkcije.
Postupak i realizacija sadrži četiri faze:
1) zadavanje specifikacija ( karateristika ) traženog diskretnog sistema,2) preslikavanje granica oblasti u analogni domen,3) projektovanje analogne prenosne funkcije na osnovu proračunatih specifikacija u
analognom domenu,4) preslikavanje analogne prenosne funkcije u diskretnu prenosnu funkciju.
Najčešće korišćene transformacije analognih prenosnih funkcija su:
Impulsna invarijantna transformacija ( IIT).
Ideja impulsne invarijantne transformacije je da se dobije diskretni sistem koji ima diskretniimpulsni odziv identičan diskretizovanom analognom impulsnom odzivu ekvivalentnog analognog sistema,tj.
)(][ sad nTthnh == .
Jedinična odskočna invarijantna transformacija ( UIT ).
Ideja ove transformacije je da se dobije diskretni sistem koji daje odziv na jediničnu odskočnupobudu identičnu odzivu ekvivalentog analognog sistema na analognu jediničnu odskočnu pobudu.
Prilikom primene gore navedenih transformacija treba voditi računa o osobini spektra analognogfiltra. Ukoliko je spektar ograničen, transformacija neće prouzrokovati spektralno preklapanje. Ukoliko jespektar neograničen ( realan spektar ) tada mora da se vodi računa o greškama transformacije koje nastajuusled spektralnog preklapanja.
Bilinearna transformacija.
Bilinearna transformacija predstavlja nelinearnu transformaciju, pošto ona preslikava opsegnegativnih kružnih učestanosti ( 0<Ω ) u opseg diskretnih učestanosti [ )0,πω −∈ , dok pozitivne ( 0>Ω )u opseg ( ]πω ,0∈ . Zbog osobine nelinearnosti ove transformacije, druga faza projektovanja, koje smo gorenaveli, se sastoji iz predistorzije graničnih učestanosti pojedinih oblasti. Nakon obavezno primenjenepredistorzije pristupa se nalaženju odgovarajuće analogne prenosne funkcije koja se zatim preslikava udiskretnu prenosnu funkciju primenom smene
1
1
112
−
−
+−⋅=
zz
Ts
s
.
Treba obratiti pažnju da konstanta sT u toku projektovanja se eliminiše pa se za nju obično usvaja vrednost1=sT .
![Page 89: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/89.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 89
Nakon što je određena diskretna prenosna funkcija, pristupa se njenoj realizaciji. Prvi korakrealizacije da se napiše relacija ulaz-izlaz ( RUI ) odnosno diferencna jednačina koja povezuje izlaznidiskretni signal sa ulaznim diskretnim signalom. U ovom poglavlju posvetićemo se najčešće primenjenimrealizacijama, kaskadnoj realizacij i paralelnoj realizaciji.
Kaskadna realizacija omogućava realizaciju redno vezanih sistema drugog reda čime se izbegavajukompleksni koeficijenti diferencne jednačine i dobija se visoki stepen modularnosti u slučaju proširivanjaveć postojeće prenosne funkcije.
Paralelna realizacija zahteva da se prenosna funkcija diskretnog sistema da u obliku parcijalnih razlomakaprvog ili drugog reda. Tada se za svaku od tih razlomaka realizuje diskretni sistem čiji izlazi se zatimzbrajaju da bi dali izlaz celog sistema. I ova struktura poseduje osobinu modularnosti, međutim ono što ječini posebnim je to što je najmanje osetljiva na kvantizaciju koeficijenata prenosnog sistema.
![Page 90: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/90.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica90
Zadatak 1.
Primenom impulsne invarijantne transformacije (IIT) preslikati u diskretne sisteme sledće analogne filtre:
a) normalizovani Batervortov filtar reda 2=N i 4=N iz prvog zadatka četvrtog poglavljab) normalizovani Čebiševljev filtar reda 1=N i 3=N iz trećeg zadatka četvrtog poglavlja
Rešenje:
a) 2N= Batervortov filtar
Impulsni odziv prototipnog analognog filtra je ( ) 0;707.0sin41.1)( 707.0 ≥⋅⋅⋅= − tteth ta . Granična kružna
učestanost anaognog filtra je sec1 radg =Ω . Kako je amplitudna karakteristika analognog filtra neograničena,
sa izborom peiode uzorkovanja sT moramo biti pažljivi, da bi spektralno preklapanje replika amplitudske
karakteristike sveli na najmanju meru. Neka je za ovaj primer sec5
2π=sT . Tada će uzorkovani impulsni
odziv da glasi
( ) ( ) 0;888.0sin41.1707.0sin41.1)(][ 888.0707.0 ≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅== ⋅−⋅− nneTnenThnh ns
Tnsad
s .
Prenosna funkcija diksretnog sistema sa datim diskretnim imulsnim odzivom se nalazi primenom •Ztransformacije na gore dati izraz
( )( ) ( ) =
⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅=⋅==−−−−
−−∞
−∞=
−∑ 2888.02888.01
888.01
888.0cos21888.0sin41.1][][)(
ezezezznhnhZzH
n
ndd
411.0:;168.0517.0
448.0168.0517.01
318.041.1 221
1
>+⋅−
⋅=⋅+⋅−
⋅⋅= −−
−
zROCzz
zzz
z.
Polovi prenosne funkcije su: 318.0258.0;318.0258.0 21 jzjz pp −=+= .
Prenosna funkcija ima jednu nulu u koordinatno početku 0=nz .
Rekurzivna jednačina koja povezuje vrednosti odziva sa vrednostima proizvoljne pobude će biti
]1[448.0]2[168.0]1[517.0][: −⋅=−⋅+−⋅− nxnynynyRUI ,
gde je ][nx pobudni signal, ][ny odziv na datu pobudu. Direktna I realizacija ove strukture koja se dobijana osnovu jednačine ]1[448.0]2[168.0]1[517.0][ −⋅+−⋅−−⋅= nxnynyny prikazana je na slici. Naistoj slici su prikazane i amplitudska karakteristika i karakteristika faznog kašnjenja realizovanog diskretnogsistema.
1−z
1−z
][nx ][ny
655.2
000.0
000.0
061.3
904.5−
![Page 91: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/91.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 91
4N= Batervortov filtar
Impulsni odziv prototipnog analognog filtra je
( ) ( ) 0;392.0923.0cos999.0178.1382.0cos41.2)( 382.0923.0 ≥−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅= ⋅−⋅− tteteth tta .
Neka je sada perioda uzorkovanja sec102π=sT . Tada je diskretni impulsni odziv traženog sistema oblika
( ) ( ) 0;392.0579.0cos999.0178.1240.0cos41.2)(][ 24.0579.0 ≥−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅== ⋅−⋅− nnenenThnh nnsad .
•Z transformacija ovog izraza će da da prenosnu funkciju traženog sistema. Z-transformacija prvog članaje
( ) ( )( ) ( )
( ) 56.0:;313.0087.1
222.092.024.0cos21
418.1cos178.1cos41.2)( 22579.02579.01
579.01
1 >+⋅−
−⋅⋅=+⋅⋅⋅−
⋅⋅−=−−−−
−−
zROCzz
zzezez
ezzH
dok će drugi član biti
( ) ( )( ) ( )
( ) 786.0:;617.0315.1
479.0923.0579.0cos21
971.0cos392.0cos999.0)( 2224.0224.01
24.01
2 >+−
−=+⋅−
−=−−−−
−−
zROCzz
zzezez
ezzH
Tražena prenosna funkcija će tada biti razlika gornjih Z-transformacija
=
+⋅−−−
+⋅−−⋅=−=
617.0315.1479.0923.0
313.0087.1222.092.0)()()( 2221 zz
zzz
zzzHzHzH
( )( ) ( ) 786.0:;
617.0315.1313.0087.11231928001.0 2122
23
>∩=+⋅−⋅+⋅−
−⋅−⋅−⋅⋅−= zROCROCROCzzzz
zzzz
Polovi prenosne funkcije su: 132.0543.0;132.0543.0 21 jzjz pp −=+= ;
429.0657.0;429.0657.0 43 jzjz pp −=+= .
Nule prenosne funkcije su realne: 663.8;367.0;037.0;0 4321 −==−== nnnn zzzz .
Amplitudska karakteristika i karakteristika faznog kašnjenja je prikazana na slici.
![Page 92: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/92.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica92
Kaskadna realizacija ove prenosne funkcije je moguće dobiti ako prenosnu funkciju napišemo u oblikuproizvoda dve prenosne funkcije drugog reda kao na primer
( ) ( ) ( )617.0315.1663.8037.0
313.0087.1367.0001.0)( 22 +⋅−
+⋅+⋅+⋅−
−⋅⋅−=zzzz
zzzzzH .
Prenosne funkcije kauzalnih i stabilnih sistema su date u funkciji promenljive 1−z na taj način diferencnajednačina sadrži članove ulaznog i izlaznog signala koje kasne za odgovarajući vremenski korak. Na tajnačin gornji izraz se može izraziti u obliku
( ) ( ) ( )21
11
21
1
617.0315.11663.81037.01
313.0087.11367.01001.0)( −−
−−
−−
−
⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅
⋅+⋅−⋅−⋅−=
zzzz
zzzzH .
Prvi sistem čini prvi razlomak čija rekurzivna jednačina glasi
]1[367.0][]2[313.0]1[087.1][ 111 −⋅−+−⋅−−⋅= nxnxnynyny ,
dok je drugi sistem dat rekurzivnom jednačinom
]2[32.0]1[7.8][]2[617.0]1[315.1][ 222 −⋅+−⋅++−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny .
Treba zapaziti da su dobijeni sistemi redno vezani pa prema tome važi ][][ 12 nynx = dok su signali ][nx i][ny ulazni i izlazni signali respektivno celog realizovanog sistema. Dobijena struktura je prikazana na slici
kao redna veza dva sistema drugog reda.
1−z
1−z
1−z
1−z
][nx ][ny
367.0−
0.0
087.1
313.0−
7.8
32.0
315.1
617.0−
Paralelna realizacija prenosne funkcije podrazumeva rastavljanje izraza u oblik parcijanih suma. Ukoliko supolovi konjugovani kompleksni tada je prikladnije primeniti oblik u kome figurišu samo realni koeficijenti,tj. da se prenosna funkcija da u obliku parcijalnih razlomaka drugog reda. Takav oblik smo već dali kadasmo nalazili Z-transformaciju impulsnog odziva. Koristeći te izraze imaćemo da je jedna od paralelnovezanih grana data rekurzivnom jednačinom
]1[204.0][922.0]2[313.0]1[087.1][ 111 −⋅−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny ,
dok je druga od grana data rekurzivno jednačinom
]1[442.0][923.0]2[617.0]1[315.1][ 222 −⋅−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny .
![Page 93: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/93.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 93
Izlaz realizovanog sistema čini razlika ][][][ 21 nynyny −= . Realizovana paralelna struktura traženogsistema je data na slici.
1−z
1−z
1−z
1−z
][ nx ][ ny
922.0
204.0−
00.0
087.1
313.0−
923.0
442.0−
00.0 617.0−
315.1
000.0
1−
b) 1N= Čebiševljev filtar
Impulsni odziv prototipnog analognog filtra je 0;965.1)( 965.1 ≥⋅= ⋅− teth ta . Na osnovu analogne prenosne
funkcije koja je data u četvrtom poglavlju nalazimo da je granična kružna učestanost na kojoj amplitudskakarakteristika opadne za dB3 iznosi sec965.1 rad
g =Ω . Da bi smanjili efekat spektralnog preklapanja periodu
uzorkovanja ćemo odabrati tako da ona zadovolji teoremu odabiranja. Neka je ona sec319.010
2=
Ω=
gsT π
.
Tada je diskretni impulsni odziv jednak 0;965.1)(][ 628.0 ≥⋅== ⋅− nenThnh nsad .
Primenom Z-transformacije na diskretni impulsni odziv dobija se diskretna prenosna funkcija traženogsistema koja glasi
533.0:;533.01965.1
11965.1][][)( 11628.0
0>
⋅−=
⋅−⋅=⋅== −−−
∞
=
−∑ zROCzze
znhnhZzHn
ndd .
Pol prenosne funkcije je 533.0=pz , dok je nula u tački 0=nz .Rekurzivna jednačina koja će da odredi realizaciju sistema glasi
][965.1]1[533.0][ nxnyny ⋅+−⋅= .
![Page 94: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/94.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica94
Realizacija dobijene rekurzivne jednačine kao i amplitudska karakteristika i karakteristika grupnog kašnjenjaje prikazana na slici.
1−z
1−z
][nx ][ny
965.1
000.0
000.0
533.0
00.0
3N= Čebiševljev filtar
Impulsni odziv prototipnog analognog filtra je
( ) 0;249.0966.0cos505.0492.0)( 247.0492.0 ≥+⋅⋅⋅+⋅= ⋅−⋅− tteeth tta .
Ako za periodu uzorkovanja odaberemo vrednost sec314.01020
2==
Ω= ππ
gsT tada će diskretni impulsni
odziv biti
( ) 0;249.0303.0cos505.0492.0)(][ 077.0154.0 ≥+⋅⋅⋅+⋅== ⋅−⋅− nneenThnh nnsad .
Primenom Z-transformacije za diskretnu prenosnu funkciju sistema se dobija izraz
21
1
121
1
1 855.0765.11397.0489.0
857.01492.0
855.0765.11787.0969.0505.0
857.01492.0)( −−
−
−−−
−
− ⋅+⋅−⋅−+
⋅−=
+−−+
−=
zzz
zzzz
zzH .
Oblast konvergencije čini presek oblasti konvergencije prvog i drugog člana gornje sume pa se tako dobijada je 925.0: >zROC .
Polovi prenosne funkcije su: 552.0882.0;552.0882.0;857.0 321 jzjzz ppp −=+== .
Nule prenosne funkcije su: 986.1;284.0 21 == nn zz .
Amplitudska karakteristika i karakteristika grupnog kašnjenja je prikazana na slici.
![Page 95: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/95.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 95
Za paralelnu realizaciju se može iskoristiti gornji izraz prenosne funkcje koja je već data u obliku parcijalnihsuma. Prvi član će da određuje rekurzivnu jednačinu jednu od grana paralelne realizacije koja glasi
][492.0]1[857.0][ 11 nxnyny ⋅+−⋅= ,
dok drugi član određuje rekurzivnu jednačinu druge grane
]1[397.0][489.0]2[855.0]1[765.1][ 222 −−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny .
Izlaz diskretnog sistema se dobija sabiranjem pojedinih grana tj. ][][][ 21 nynyny += . Paralelna realizacijaovog sistema je prikazana na slici.
1−z
1−z
1−z
1−z
][ nx ][ ny
492.0
00.0
00.0
857.0
00.0
489.0
397.0−
00.0 855.0−
765.1
000.0
Za kaskadnu realizaciju prenosnu funkciju može da se prikaže i u obliku
21
21
1 855.0765.11565.0271.21
857.01981.0)( −−
−−
− ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅
⋅−=
zzzz
zzH .
Prvi razlomak određuje rekurzivnu jednačinu jednog od redno vezanih sistema koja glasi
][981.0]1[857.0][ 11 nxnyny ⋅+−⋅= ,
dok drugi određuje rekurzivnu jednačinu drugog redno vezanog sistema koja glasi
]2[565.0]1[271.2][]2[855.0]1[765.1][ 222 −⋅+−⋅−+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny .
![Page 96: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/96.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica96
Kako su sistemi redno vezani jasno je da važi da je ][][ 12 nynx = . Kaskadna realizacija sistema je prikazanana slici.
1−z
1−z
1−z
1−z
][nx ][ny
00.0
0.0
857.0
00.0
271.2−
565.0
765.1
855.0−
981.0
Zadatak 2.
Primenom jedinične odskočne invarijantne transformacije (UIT) preslikati u diskrtene sistema sledećeanalogne filtre:
a) normalizovani Batervortov filtar reda 2=N i 4=N iz prvog zadatka četvrtog poglavljab) normalizovani Čebiševljev filtar reda 1=N i 3=N iz trećeg zadatka četvrtog poglavlja
Rešenje:a) 2N= Batervortov filtar
Odredimo odziv analognog filtra na jedniničnu odskočnu pobudu. Odziv možemo odrediti u frekventnomdomenu inverznom Laplasovom transformacijom proizvoda prenosne funkcije filtra i Laplasovetransformacije pobudnog signala ili u vremenskom domenu primenom konvolucije. U ovom primeruprimenićemo konvoluciju. Pobudni signala je jedinična odskočna funkcija tj. 0;1)( ≥= ttx . Tada je odzivdefinisan
( )∫∫ ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=∗= ⋅−tt
aaa dedhthtxty0
707.0
0
707.0sin41.1)(1)()()( ττττ τ .
Primenom identiteta
( )
−+⋅⋅
+−
+
−
=⋅+⋅⋅⋅−
⋅−∫ βαγβ
βαβα
βαγ
τγτβα
τα arctgtearctg
dett
coscos
sin2222
0
nalazimo da je rešenje odziva analognog filtra jednaka
0;4
707.0cos41.11)( 707.0 ≥
−⋅⋅⋅−= ⋅− ttety t
aπ
.
![Page 97: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/97.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 97
Uzorkovanjem analognog odziva sa sec5
2π=sT dobija se diskretni signal oblika
0;4
888.0cos41.11)(][ 888.0 ≥
−⋅⋅⋅−== ⋅− nnenTyny n
sadπ
.
Odredimo Z-transformaciju datog diskrtenog signala
21
1
1 243.0622.0105.0707.041.1
11)( −−
−
− ⋅+⋅−⋅+⋅−
−=
zzz
zzY .
Kako je Z-transformacija izlaznog signala jednaka proizvodu Z-transformacija ulaznog signala prenosne
funkcije diskretnog signala tj. )()()( zXzHzY ⋅= i kako je 111)( −−
=z
zX to će prenosna funkcija u biti
jednaka
( ) 21
21
21
1
11
243.0622.0107.0929.011
243.0622.0105.0707.041.1
111
)()()( −−
−−
−−
−
−−
⋅+⋅−⋅−⋅−−=
⋅+⋅−
⋅+−−
−==zzzz
zzz
zz
zXzYzH .
Paralelna realizacija ovog sistema može da se definiše kao ][][][ 1 nynxny −= gde je signal ][1 nydefinisan rekurzivnom jednačinom
]2[07.0]1[929.0][]2[243.0]1[622.0][ 111 −⋅−−⋅−+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny
koja predstvalja realizaciju drugog člana prenosne funkcije.
Prenosna funkcija se može dati i u obliku
243.0622.0019.1307.0
243.0622.01313.0307.0)( 221
21
+⋅−+⋅=
⋅+⋅−⋅+⋅= −−
−−
zzz
zzzzzH
koja je pogodnija za određivanje kaskadne realizacije. Rekurzivna jednačina koja definiše realizaciju jeoblika
]2[313.0]1[307.0]2[243.0]1[622.0][ −⋅+−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny .
Kaskadna realizacija je data na slici.
1−z
1−z
][ nx ][ ny
00.0
307.0
313.0
622.0
243.0−
![Page 98: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/98.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica98
Prenosna funkcija ima polove u tačkama: 382.0311.0;382.0311.0 21 jzjz pp −=+= .
Prenosna funkcija ima jednu nulu u tački 019.1−=nz .
Amplitudska i fazna karakteristika su dati na slici.
4N= Batervortov filtar
Odziv analognog sistema na jediničnu odskočnu pobudu će biti
( ) ( )[ ] 0;392.0923.0cos999.0178.1382.0cos41.2)(0
382.0923.0 ≥⋅−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅= ∫ ⋅−⋅− tdeetyt
a τττ ττ .
Na osnovu identiteta
( )
++⋅⋅
+−
+
+
=⋅+⋅⋅⋅−
⋅−∫ βαγβ
βαβα
βαγ
τγτβα
τα arctgtearctg
dett
coscos
cos2222
0
nalazimo da je odziv jednak
( ) ( ) 0;785.0382.0cos786.0923.0cos1)( 923.0382.0 ≥−⋅⋅−+⋅⋅+= ⋅−⋅− ttetety tta .
![Page 99: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/99.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 99
Diskretizacijom analognog odziva nalazi se odziv diskretng sistema koji će na jediničnu odskočnu pobudu
dati identičan odziv tj. diskretni odziv za sec102π=sT će da glasi
( ) ( ) 0;785.024.0cos786.058.0cos1)(][ 58.024.0 ≥−⋅⋅−+⋅⋅+== ⋅−⋅− nnenenTyny nnsad .
Nakon primene Z-transformacije sledi
21
1
21
1
1 313.0087.1129.0707.0
618.0316.1177.0706.0
11)( −−
−
−−
−
− ⋅+⋅−⋅−−
⋅+⋅−⋅−+
−=
zzz
zzz
zzY .
Nakon množenja sa ( )11 −− z i sređivanja izraza prenosna funkcija diskretnog sistema će biti
4321
4321
193.0083.1361.2403.21254.0383.1917.2719.2999.0)( −−−−
−−−−
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−=
zzzzzzzzzH .
Polovi prenosne funkcije: 431.0657.0;128.0543.0 4,32,1 jzjz pp ±=±= .
Nule penosne funkcije: 444.0897.0;197.0463.0 4,32,1 jzjz nn ±=±= .
Amplitudska i fazna karateristika je prikazana na slici.
Za kaskadnu realizaciju prenosna funkcija se može napisati i u obliku
21
21
21
21
617.0314.11001.1794.11
311.0086.11253.0926.01)( −−
−−
−−
−−
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅
⋅+⋅−⋅+⋅−=
zzzz
zzzzzH .
Rekurzivne jednačine za kaskadnu realizaciju glase
]2[253.0]1[926.0][]2[311.0]1[086.1][ 111 −⋅+−⋅−+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny ;
]2[001.1]1[794.1][]2[617.0]1[314.1][ 222 −⋅+−⋅−+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny
pri čemu je ][][ 12 nynx = .
![Page 100: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/100.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica100
Realizacija je prikazana na slici.
1−z
1−z
1−z
1−z
][nx ][ny
926.0−
253.0
086.1
311.0−
794.1−
001.1
314.1
617.0−
Paralelna realizacija zahteva prenosnu funkciju u obliku parcijalnih razlomaka tj.
21
21
21
21
313.0087.1141.041.11707.0
618.0316.1109.109.21706.01)( −−
−−
−−
−−
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅−
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+=
zzzz
zzzzzH .
Kao što se to vidi paralelna realizacija sadrži tri grane tj. važi ][][][][ 21 nynynxny −+= gde su izlaznisignali ][1 ny i ][2 ny dati rekurzivnim jednačinama
]2[77.0]1[476.1][706.0]2[618.0]1[316.1][ 111 −⋅+−⋅−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny ;
]2[29.0]1[997.0][707.0]2[313.0]1[087.1][ 222 −⋅+−⋅−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny .
Paralelna realizacija traženog sistema je prikazana na slici.
1−z
1−z
1−z
1−z
][ nx ][ ny
707.0
997.0−
29.0
087.1
313.0−
706.0
476.1−
77.0 618.0−
316.1
1
1−
![Page 101: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/101.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 101
b) 1N= Čebiševljev filtar
Impulsni odziv prototipnog analognog filtra je 0;965.1)( 965.1 ≥⋅= ⋅− teth ta . Odziv analognog filtra na
jediničnu odskočnu pobudu će biti
0;1965.1)( 965.1
0
965.1 ≥−=⋅⋅= ⋅−⋅−∫ tedety tt
a ττ .
Diskretizacijom analognog odziva nalazi se diskretni odziv ekvivalentnog diskretnog sistema tj.
0;11)(][ 626.0965.1 ≥−=−== ⋅−⋅⋅− neenTyny nnTsad
s .
Z-transformacija ovog izraza glasi
( ) ( )11
1
1626.01 534.011465.0
11
11)( −−
−
−−− ⋅−⋅−⋅=
⋅−−
−=
zzz
zezzY .
Diskretna prenosna funkcija će tada biti
534.0456.0
534.01456.0)( 1
1
−=
⋅−⋅= −
−
zzzzH .
Prenosna funkcija ima samo jedan pol 543.0=pz dok nule nema.
Amplitudska i fazna karateristika je prikazana na slici.
![Page 102: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/102.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica102
Direktna realizacija koja sadrži samo jedan element za kašnjenje je prikazano na slici.
1−z
1−z
][ nx ][ ny
00.0
456.0
00.0
534.0
00.0
3N= Čebiševljev filtar
Impulsni odziv analognog prototipnog filtra je
( ) 0;249.0966.0cos505.0492.0)( 247.0492.0 ≥+⋅⋅⋅+⋅= ⋅−⋅− tteeth tta .
Odziv filtra na jediničnu odskočnu pobudu će biti
( ) 0;569.1966.0cos505.01)( 247.0492.0 ≥+⋅⋅⋅−−= ⋅−⋅− tteety tta .
Diskretizacijom odziva sa sec314.01020
2 ==Ω
= ππ
gsT dobija se
( ) 0;569.1303.0cos505.01)(][ 077.0154.0 ≥+⋅⋅⋅−−== ⋅−⋅− nneenTyny nnsad .
Z-transformacija odziva je tada
21
1
11 856.0052.11385.0001.0
857.011
11)( −−
−
−− ⋅+⋅−⋅−−
⋅−−
−=
zzz
zzzY .
Diskretna prenosna funkcija nakon množenja sa ( )11 −− z će da glasi
21
21
1
1
856.0052.11385.0386.0001.0
857.0111)( −−
−−
−
−
⋅+⋅−⋅+⋅−−
⋅−−−=
zzzz
zzzH .
Ovaj oblik prenosnog sistema daje mogućnost za paralelnu realizaciju diskretnog sistema. Izlaz traženogsistema je definisan zbirom ][][][][ 21 nynynxny −−= gde su signali ][1 ny i ][2 ny dati rekurzivnimjednačinama
]1[][]1[857.0][ 11 −−+−⋅= nxnxnyny ;
]2[385.0]1[386.0][001.0]2[856.0]1[052.1][ 222 −⋅+−⋅−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny .
![Page 103: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/103.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 103
Paralelna realizacija je prikazana na slici.
1−z
1−z
1−z
1−z
][ nx ][ ny
001.0
386.0−
385.0
052.1
856.0−
1−
00.0 00.0−
857.0
1
1−
1−
Diskretna prenosna funkcija u obliku razlomka racionalnih polinoma glasi
( ) ( )211
321
856.0052.11857.014468665291001.0)( −−−
−−−
⋅+⋅−⋅⋅−⋅−⋅+⋅−⋅−=
zzzzzzzH .
Polovi prenosne funkcije su: 761.0526.0;857.0 3,21 jzz pp ±== .
Nule prenosne funkcije su: 415.082.0;052.0 2,11 jzz nn ±== .
Amplitudska i fazna karakteristika je data na slici.
![Page 104: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/104.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica104
Sređivanjem gornjeg izraza dobija se
21
21
1
1
856.0052.11844.064.11
857.01052.01001.0)( −−
−−
−
−
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅
⋅−⋅−⋅−=
zzzz
zzzH .
Rekurzivne jednačine koje definišu pojedine sisteme su
]1[052.0][]1[857.0][ 11 −⋅−+−⋅= nxnxnyny ;
]2[844.0]1[64.1][]2[856.0]1[052.1][ 222 −⋅+−⋅−+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny ,
pri čemu važi ][][ 12 nynx = . Kaskadna realizacija je prikazana na slici.
1−z
1−z
1−z
1−z
][nx ][ny
1−
00.0
857.0
00.0
64.1−
844.0
052.1
856.0−
Zadatak 3.
Primenom bilinearne transformacije izvršiti preslikavanje sledećih analognih filtara:
a) normalizovani Batervortov filtar reda 2=N i 4=N iz prvog zadatka četvrtog poglavljab) normalizovani Čebiševljev filtar reda 1=N i 3=N iz trećeg zadatka četvrtog poglavlja
Rešenje:
a) 2N= Batervortov filtar
Primenom smene 1
1
112
−
−
+−⋅=
zz
Ts
s
analogni prototipni filtar je moguće preslikati u diskretni tako da se u
toku bilinearne transformacije izbegne efekat spektralnog preklapanja. S obzirom da se efekat promenljivesT u toku transformacije eliminiše u daljim primerima ćemo za tu promenljivu uzeti vrednost sec1=sT .
Prototipni analogni filtar koji se preslikava u diskretni ima prenosnu funkciju oblika
121)(
2 +⋅+=
sssH .
Primenom smene 1
1
112 −
−
+−⋅=
zzs dobija se da je prenosna funkcija traženog diskretnog sistema jednaka
![Page 105: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/105.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 105
21
21
1
12
1
1112 277.0766.01
21127.0
11122
112
1)()(1
1 −−
−−
−
−
−
−+−
⋅= ⋅+⋅−+⋅+⋅=
++−⋅⋅+
+−⋅
==−
− zzzz
zz
zz
sHzHzzs
.
Kao što se vidi prenosna funkcija ima polove 361.0383.02,1 jz p ±= i ima jednu dvostruku nulu 1−=nz .
Rekurzivna jednačina koja definiše realizaciju ovog sistema je oblika
]2[127.0]1[254.0][127.0]2[277.0]1[766.0][ −⋅+−⋅+⋅+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny .
Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici.
Realizacija ovog sistema je prikazana na slici.
1−z
1−z
][ nx ][ ny
127.0
254.0
127.0
766.0
277.0−
![Page 106: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/106.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica106
4N= Butterworthov filtar
Prenosna funkcija prototipnog analognog filtra je
( ) ( )1923.01765.01)( 22 +⋅+⋅+⋅+
=ssss
sH .
Primenom već sponetu smene prenosna funkcija diskretnog sistema će da bude
=
++−⋅+
+−⋅
⋅
++−⋅+
+−⋅
==
−
−
−
−
−
−
−
−+−
⋅= −
−
111923.0
112
1
111765.0
112
1)()(
1
12
1
1
1
12
1
1112 1
1
zz
zz
zz
zz
sHzHzzs
21
21
21
21
46.0876.0121146.0
531.0918.0121153.0 −−
−−
−−
−−
⋅+⋅−+⋅+⋅⋅
⋅+⋅−+⋅+⋅=
zzzz
zzzz
.
Prenosna funkcija ima četvorostruku nulu 1−=nz dok su polovi 566.0459.02,1 jz p ±=517.0438.04,3 jz p ±= .
Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici.
![Page 107: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/107.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 107
Kaskadna realizaciju ovog sistema definišu rekurzivne jednačine
]2[153.0]1[306.0][153.0]2[531.0]1[918.0][ 111 −⋅+−⋅+⋅+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny ;
]2[146.0]1[292.0][146.0]2[46.0]1[876.0][ 222 −⋅+−⋅+⋅+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny .
Realizacija sistema je prikazana na slici.
1−z
1−z
1−z
1−z
][nx ][ny
306.0
153.0
918.0
531.0−
292.0
146.0
876.0
46.0−
153.0 146.0
Razlaganjem prenosnu funkciju u zbir parcijalnih razlomaka drugog reda
21
21
21
21
46.0876.01201.2049.4
531.0918.01579.292.3022.0)( −−
−−
−−
−−
⋅+⋅−⋅−⋅+
⋅+⋅−⋅−⋅−=
zzzz
zzzzzH
može da se zaključi da paralelna realizacija ove prenosne funkcije sadrži tri paralelne grane koje su povezanerelacijom ][][][022.0][ 21 nynynxny +−⋅= . Pojedine grane su definisane rekurzivnim jednačinama
]2[579.2]1[92.3]2[531.0]1[918.0][ 111 −⋅−−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny ;
]2[201.2]1[049.4]2[46.0]1[876.0][ 222 −⋅−−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny .
b) 1N= Čebiševljev filtar
Prenosna funkcija analognog filtra je
965.1965.1)(
+=
ssH .
Koristeći smenu 1
1
112 −
−
+−⋅=
zzs diskeretna prenosna funkcija će da glasi
1
1
1
1112 008.01
1495.0965.1
112
965.1)()(1
1 −
−
−
−+−
⋅= ⋅−+⋅=
++−⋅
==−
− zz
zz
sHzHzzs
.
Prenosna funkcija ima jedan pol i jednu nulu 1;008.0 −== np zz .
![Page 108: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/108.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica108
Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici.
Transponovana direktna realizacija ovog sistema je prikazana na slici.
1−z
1−z
][ nx ][ ny
495.0
495.0
00.0
008.0
00.0
![Page 109: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/109.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 109
3N= Čebiševljev filtar
Prenosna funkcija prototipnog filtra koji se želi preslikati je
( ) ( )994.0494.0494.0488.0)( 2 +⋅+⋅+
=sss
sH .
Primenom smene diskretna prenosna funkcija će da glasi
=
+
+−⋅⋅+
+−⋅⋅
+
+−⋅
==
−
−
−
−
−
−+−
⋅= −
−
994.0112494.0
112494.0
112
48.0)()(
1
12
1
1
1
1112 1
1
zz
zz
zz
sHzHzzs
21
21
1
1
82.0095.1121
603.011035.0 −−
−−
−
−
⋅+⋅−+⋅+⋅
⋅−+⋅=
zzzz
zz
.
Prenosna funkcija ima polove u tačkama 721.0547.0;603.0 3,21 jzz pp ±== i ima jednu trostruku nulu u
tački 1−=nz .
Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici.
Gornji oblik prenosne funkcije je pogodan za određivanje rekurzivnih jednačina za kaskadnu realizaciju kojeglase
]1[035.0][035.0]1[603.0][ 11 −⋅−+−⋅= nxnxnyny ;
]2[]1[2][]2[82.0]1[095.1][ 222 −+−⋅++−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny ,
pri čemu važi ][][ 12 nynx = .
![Page 110: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/110.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica110
Kaskadna realizacija je prikazana na slici.
1−z
1−z
1−z
1−z
][nx ][ny
035.0−
00.0
603.0
00.0
2 095.1
82.0−
035.0
Razlaganjem prenosnu funkciju u zbir parcijalnih razlomaka drugog reda
21
21
1
1
85.0095.11189.0088.0
603.01075.0035.0)( −−
−−
−
−
⋅+⋅−⋅+⋅+
⋅−⋅+=
zzzz
zzzH ,
uočavamo da je paralelna realizacija sastavljena iz tri grane tj. ][][][035.0][ 21 nynynxny ++⋅= . Pojedinegrane su definisane rekurzivnim jenačinama
]1[075.0]1[603.0][ 11 −⋅+−⋅= nxnyny ;
]2[189.0]1[088.0]2[82.0]1[095.1][ 22222 −⋅+−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny .
Paralelna realizacijaje prikazana na slici.
1−z
1−z
1−z
1−z
][ nx ][ ny
00.0
088.0
189.0
095.1
82.0−
075.0
00.0 00.0
603.0
035.0
00.0
![Page 111: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/111.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 111
Zadatak 4.
Primenom bilinearne transformacije projektovati diskretni NF filtar sa sledećim specifikacijama udiskretnom domenu:
dBrad pp 10;5
== απω
dBrad nn 20;3
== απω .
Rešenje:
U predhodnim zadacima videli smo da je bilinearna transformacija nelinearna transformacija, što se ogleda utome da se unapred zadate granice propusnog i nepropusnog opsega pomera u neke druge tačke udiskretnom domenu. Zbog toga se pre primene bilinearne transformacije normalizovane učestanosti udiskretnom domenu, koje su unapred zadate i predstavljaju one specifikacije diskretnog sistema koje taj morada zadovolji, primenjuje takozvana predistorzija normalizovanih učestanosti. Rezultat predistorzije suanalogne kružne učestanosti po kojima se tada projektuje analogni prototipni filtar. Kada je analogni filtarizprojektovan tada se primenjuje smena za bilinearnu transformaciju, čiji rezultat, zbog predhodneprimenjene predistorzije, već zadovoljava unapred zadate specifikacije.
Izvršimo predistorziju diskretnih učestanosti koja je definisana izrazom
⋅=Ω
22 ωtgTs
. Tada će
specifikacije analognog filtra da glase:
dBtg prad
p 10;65.010
2 sec ==
⋅=Ω απ
;
dBtg prad
n 20;15.16
2 sec ==
⋅=Ω απ
.
Neka se za prototipnog analognog filtra uzme Batervortov filtar.Red analognog filtra će tada biti
( )( ) 101.2
769.1log11log
21
65.015.1log
110110log
21
log
110110log
21
2
1.0
1.0
=⋅=
−−
⋅=
ΩΩ
−−
⋅≥⋅
⋅
p
n
p
n
Nα
α
.
Minimalni red filtra koji zadovoljava gornju nejednakost je 3=N , tj. traženi prototipni analogni filtar jetrećeg reda. Polovi filtra su tada
64
64
31 45.0365.0 ππ jj
ees ⋅=⋅= ,
45.0365.0
32 −=⋅= πjes ,
64
64
33 45.0365.0 ππ jj
ees−−
⋅=⋅= .
![Page 112: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/112.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica112
Prenosna funkcija analognog filtra je tada
( )( ) ( ) ( ) ( )202.045.045.0
202.0202.045.045.0
45.0)( 22
3
+⋅+⋅+=
+⋅+⋅+=
sssssssH .
Amplitudska i fazna karakteristika prototipnog analognog filtra ja prikazana na slici.
Primenom smene 1
1
112 −
−
+−⋅=
zzs nalazimo odgovarajuću prenosnu funkciju diskretnog sistema
21
21
1
1
112 35.022.11
2122.01
1006.0)()(1
1 −−
−−
−
−
+−
⋅= ⋅+⋅−+⋅+⋅
⋅−+⋅==
−
− zzzz
zzsHzH
zzs
.
Amplitudska karakteristika i karakteristika faznog kašnjenja je prikazana na slici.
![Page 113: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/113.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 113
Realizacija prenosne funkcije može da se izvrši i po obliku po kome smo je zadali. To bi tada bila kaskadnarealizacija čije rekurzivne jednačine glase
]1[006.0][006.0]1[22.0][ 11 −⋅+⋅+−⋅= nxnxnyny ;
]2[]1[2][]2[35.0]1[22.1][ 222 −+−⋅++−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny ,
pri čemu važi ][][ 12 nynx = . Kaskadna realizacija je prikazana na slici.
1−z
1−z
1−z
1−z
][nx ][ny
006.0
00.0
22.0
00.0
2 22.1
35.0−
006.0
Ukoliko se zahteva paralelna realizacija, prenosna funkcija se razlaže u oblik parcijalnih suma drugog reda tj.
21
21
1
1
35.022.11126.0079.0
22.01106.0006.0)( −−
−−
−
−
⋅+⋅−⋅−⋅−
⋅−⋅+=
zzzz
zzzH .
Paralelna realizacija zahteva tri grane koje čine izlazni signali ][][][006.0][ 21 nynynxny −+⋅= .Poslednja dva izlazna signala sudata rekurzivnim jednačinama
]1[106.0]1[22.0][ 11 −⋅+−⋅= nxnyny ;
]2[126.0]1[079.0]2[35.0]1[22.1][ 222 −⋅−−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny .
Paralelna realizacija je prikazana na slici.
1−z
1−z
1−z
1−z
][ nx ][ ny
00.0
079.0
126.0−
22.1
35.0−
106.0
00.0 00.0
22.0
0060
00.0
1−
![Page 114: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/114.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica114
Zadatak 5.
Primenom bilinerane transformacije projektovati diskretni VF filtar sa sledećim specifikacijama udiskretnom domenu:
dBrad pp 10;4
3 == απω
dBrad nn 30;8
== απω .
Rešenje:
Primenom predistorzije specifikacije koje prototipni analogni VF filtar treba da zadovolji glase
dBtg prad
pVF 10;82.48
32 sec ==
⋅=Ω απ
,
dBtg nrad
nVF 30;397.016
2 sec ==
⋅=Ω απ
.
Pokazali smo da se svi tipovi filtara projektuju pomoću odgovarajućih transformacija NF filtara. Tu šemućemo primeniti za ovaj slučaj. Neka je faktor normaliozacije 1=a . Tada su specifikacije NF filtra kojegtreba projektovati i koji će se zatim preslikati u VF analogni filtar
dBprad
pVFpNF 10;207.01
sec ==Ω
=Ω α ,
dBnrad
nVFnNF 30;518.21
sec ==Ω
=Ω α .
Nakon što su nađene tražene specifikacije pristupa se nalaženju prenosne funkcije analognog NF filtra. Nekase projektuje Čebiševljev filtar. Red filtra se određuje po izrazu
( ) 95.016.12cosh111cosh
16.121
111110110
1cosh
cosh1
11.0
1.0
1
1
=≥⇒=
ΩΩ
=
=−−=
→
≥ −
−⋅
⋅
−
−
N
k
D
k
DN
p
n
p
n
α
α
.
Najmanji red filtra koji zadovoljava gornju nejednakost je filtar prvog reda tj. 1=N .
Pol prenosne funkcije je tada 31−=ps pa će prenosna funkcija da bude
0;31)(
31
31
)( 31
≥⋅=⇒+
=⋅−
teths
sHt
NFNF .
![Page 115: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/115.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 115
Prenosna funkcija VF filtra dobijamo ako primenimo preslikavanje ss
asˆ1
ˆ== tj. tada imamo
0;3)()(3ˆ
ˆ
31
ˆ1
31
)()ˆ( 3
ˆ1 ≥⋅−=⇒
+=
+== ⋅−
=tetth
ss
s
sHsH tVF
ssNFVF δ .
Amplitudska i fazna karateristika dobijenog VF filtra je prikazana na slici
Nakon što je traženi prototipni analogni VF filtar određen može da se primeni bilinearna transformacija da bi
se analogni preslikao u diskretni filtar. Smenom 1
1
112ˆ
−
−
+−⋅=
zzs tražena prenosna funkcija diskretnog sistema
će da bude
2.0:;2.01
14.03
112
112
)ˆ()( 1
1
1
1
1
1
112ˆ
1
1 >⋅+
−⋅=+
+−⋅
+−⋅
== −
−
−
−
−
−
+−
⋅= −
− zROCz
z
zz
zz
sHzHzzs
VF .
Kao što se to vidi prenosna funkcija ima jedan pol 2.0−=pz i jednu nulu 1=nz .Amplitudska karateristika i karateristika faznog kašnjenja diskretnog sistema je prikazana na slici
![Page 116: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/116.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica116
Rekurzivna jednačina po kome se dobijeni diskretni sistem može realizovati je oblika
]1[4.0][4.0]1[2.0][ −⋅−⋅+−⋅−= nxnxnyny .
Realizacija sa najmanje elemenata za kašnjenje je prikazano na slici
1−z
1−z
][ nx ][ ny
4.0
4.0−
00.0
2.0−
00.0
Zadatak 6.
Primenom bilinearne transformacije projektovati diskretni filtar NO tipa sa sledećim specifikacijama:
.2
;30;4
3;4
;10;1615;
16
21
21
rad
dBradrad
dBradrad
C
nnn
ppp
πω
απωπω
απωπω
=
===
===
Rešenje:
Postupak rešavanja problema je sličan postupku kojeg smo dali u predhodnom zadatku. Pre primenebilinearne transformacije, zbog njene nelinearne osobine, obavezno mora da se primeni predistorzijaučestanosti. Tada će specifikacije analognog NO filtra da glase
.24
2
;30;82.48
32;828.08
2
;10;306.2032152;197.0
322
sec
sec2sec1
sec2sec1
radC
nrad
nrad
n
prad
prad
p
tg
dBtgtg
dBtgtg
=
⋅=Ω
==
⋅=Ω=
⋅=Ω
==
⋅=Ω=
⋅=Ω
π
αππ
αππ
Da bi iz NF filtra mogli preslikati traženi NO filtar on mora da zadovolji uslov geometrijske simetrije tj. davaži 2121
2nnppC Ω⋅Ω=Ω⋅Ω=Ω . Za ovaj primer ovaj uslov je zadovoljen. Neka je analogni NF filtar
kojeg ćemo preslikati u analogni NO filtar Batervortov filtar drugog reda sa specifikacijama
dBkHzf ppNF 10;5 == α ,
dBkHzf nnNF 30;25 == α .
![Page 117: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/117.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 117
Širina propusnog opsega koja figuriše u izrazu za transformaciju je tada
412 1027.150002
828.082.42
−⋅=⋅⋅−=
⋅Ω−Ω
=ππ nNF
nn
fB ,
412 1028.1250002
197.0306.202
−⋅=⋅⋅−=
⋅Ω−Ω
=ππ pNF
pp
fB .
Od ova dva ćemo usvojiti veći tj. 41028.1 −⋅=B .
NF filtar koji zadovoljava gornje zadate specifikacije ima polove
43
31 10138.18
πjes ⋅⋅= ,
43
32 10138.18
πjes
−⋅⋅= .
Prenosna funkcija će tada biti
( ) ( )( )2332
23
43
343
3
23
10138.181065.2510138.18
10138.1810138.18
10138.18)(⋅+⋅⋅+
⋅=
⋅⋅−⋅
⋅⋅−
⋅=− sseses
sHjj
NF ππ.
Amplitudska i fazna karateristika je prikazanana slici.
Prenosnu funkciju traženog NO filtra nalazimo primenom smene 22ˆˆ
CssBsΩ+⋅= tj.
( )256ˆ104ˆ8ˆ10ˆ
4ˆ)()ˆ( 82384
22
ˆˆ
22 +⋅⋅+⋅+⋅++== −−
Ω+⋅
= ssssssHsH
CssBsNFNO .
![Page 118: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/118.jpg)
Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica118
Amplitudska i fazna karateristika NO filtra je prikazanana slici.
Sada primenom bilinearne transformacije preslikava se analogni prtotipni NO filtar u diskretni NO filtar.Nakon sređivanja izraza prenosna funkcija diskretnog sistema u obliku razlomaka racionalnih polinoma ćeda glasi
( )439219
22
1075.14.41075.1111.0)( −−−−−−
−
+⋅⋅+⋅+⋅⋅−+⋅=
zzzzzzH NO .
Prenosna funkcija ima dve dvostruke nule u tačkama jzjz nn −== 21 ; .Polovi prenosne funkcije su: 039.2;49.0 4,32,1 jzjz pp ±=±= .
Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici.
![Page 119: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/119.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 119
Oblik prenosne funkcije koja je pogodna za kaskadnu realizaciju glasi
2
2
2
2
157.411
24.0111.0)( −
−
−
−
⋅++⋅
⋅++⋅=
zz
zzzH NO .
Rekurzivne jednačine su tada
]2[1.0][1.0]2[24.0][ 11 −⋅+⋅+−⋅−= nxnxnyny ,
]2[][]2[157.4][ 22 −++−⋅−= nxnxnyny ,
pri čemu važi da je ][][ 12 nynx = . Realizacija je prikazana na slici.
1−z
1−z
1−z
1−z
][nx ][ny
00.0
1.0
00.0
24.0−
00.0 00.0
157.4−
1.0
Prenosna funkcija u obliku zbira parcijalnih razlomaka drugog reda će tada biti
2
2
2
2
157.41311.0
24.01018.01.0)( −
−
−
−
⋅+⋅−
⋅+⋅+=
zz
zzzH NO .
Paralelna realizacija se sastoji iz tri grana tj. izlaz diksretnog sistema je jednaka
][][][1.0][ 21 nynynxny −+⋅= ,
gde su rekurzivne jednačine druge i treće grane date sa
]2[018.0]2[24.0][ 11 −⋅+−⋅−= nxnyny ,
]2[311.0]2[157.4][ 22 −⋅+−⋅−= nxnyny .
![Page 120: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/120.jpg)
Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odyivom ( FIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica120
Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom,FIR sistemi
Ono što ističe značaj ovih sistema u odnosu na IIR sisteme je njihova linearna fazna karakteristika.
Zavisno od toga dali se zadovoljavaju uslovi konstantnog grupnog i faznog kašnjenja,
( )[ ] constdd
g =−= ωθω
θ ,
( ) constf =−=ωωθθ ,
FIR sistemi se dele u četiri klase:
1) sistemi sa simetričnim impulsnim odzivom čija je dužina neparan broj ( I tip FIR ),constconst fg == θθ , ,
2) sistemi sa simetričnim impulsnim odzivom čija je dužina paran broj ( II tip FIR ),constconst fg == θθ , ,
3) sistemi sa antisimetričnim impulsnim odzivom čija je dužina neparan broj ( III tipFIR ), constg =θ ,
4) sistemi sa antisimetričnim impulsnim odzivom čija je dužina paran broj ( IV tipFIR ), constg =θ .
Projektovanje FIR sistema se može izvršiti na više načina.
I način.Na osnovu specifikacija se odredi idealna diskretna prenosna funkcija. Nakon toga se odredi impulsni odzividealnog sistema. S obzirom da idealni sistemi imaju impulsni odziv beskonačnog trajanja, ona se ograničavanekom od prozorskih funkcija. Ovaj postupak je poznat pod nazivom prozoriranje. Često korišćeneprozorske funkcije su:
Jedinična prozorska funkcija
−≤=
drugde
Nnnw;0
21;1][ ,
Hanova prozorska funkcija
−≤
⋅
−⋅+=
drugde
NnnNnw
;021;
12cos5.05.0][π
,
![Page 121: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/121.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 121
Hamingova prozorska funkcija
−≤
⋅
−⋅+=
drugde
NnnNnw
;021;
12cos46.054.0][π
,
Blekmanova prozorska funkcija
−≤
⋅
−⋅+
⋅
−⋅+=
drugde
NnnN
nNnw
;021;
14cos08.0
12cos5.042.0][
ππ.
Zbog ograničavanja impulsnog odziva u amplitudskoj karakteristici obavezno nastaju oscilacije koje supoznate pod nazivom Gibsove oscilacije. Da bi se njihova pojava ublažila poželjno je da prozorske funkcijena krajevima intervala imaju blago opadanje ka nuli.
II način.Razvoj željene ampitudske karakteristike u Furijeov red. Kako Furijeovi koeficijenti zapravo predstavljajuvrednosti impulsnog odziva sledi da se razvojem u red odmah dobija i impulsni odziv. Mana ovog postupkaprojektovanja je slaba konvergencija reda što prouzrokuje oscilacije u amplitudskoj karakteristici koje smoveć opisali malopre. Postupak potiskivanja ovih oscilacija je primena prozoriranja impulsnog odziva.
Osim ovih načina postoje još brojni postupci projektovanja FIR sistema. Većina njih zahtevarelativno složene proračune, čak i posebna računarska algoritamska rešenja, koja su izvan domašaja ovogudžbenika..
![Page 122: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/122.jpg)
Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odyivom ( FIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica122
Zadatak 1.
Nerekurzivni filtar je okarakterisan prenosnom funkcijom
a) 6
65432 234321)(z
zzzzzzzH +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=
b) 6
65432 234321)(z
zzzzzzzH +⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−= .
Odrediti grupno kašnjenje zadatih filtara.
Rešenje:
Grupno kašnjenje filtra predstavlja prvi izvod fazne karateristike sistema po kružnoj (normalizovanoj)učestanosti tj.
( )ωωθθ
dd
g −= .
U toku projektovanja i realizacije različitih tipova filtara, bez obzira dali se radilo o analognim ili diskretnimsistemima, uvek se teži da fazna karakteristika sistema bude što je moguće linearnija tj. da je grupnokašnjenje konstantno u celom frekventnom opsegu ili ako to nije moguće zadovoljiti onda barem u opseguod značaja.
a) Prenosna funkcija se može napisati u obliku
( )654326 234321)( zzzzzzzzH +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= −
što će nakon množenja dati
123432)( 123456 +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+= −−−−−− zzzzzzzH .
Ako se sada primeni smena ωjez = dobija se
123432)( 23456 +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+= −−−−−− ωωωωωωω jjjjjjj eeeeeeeH .
Izvlačenjem zajedničkog eksponencijalnog faktora dolazi se do izraza
( )ωωωωωωωω 32233 23432)( jjjjjjjj eeeeeeeeH +⋅+⋅++⋅+⋅+⋅= −−−− .
Primenom Ojlerovih obrazaca konačno se nalazi
( ) ( ) ( )( )ωωωωω ⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅= − 3cos22cos4cos64)( 3jj eeH .
Odavde se onda vidi da je amplitudska karakteristika prenosne funkcije data jednačinom
( ) ( ) ( )ωωωω ⋅⋅+⋅⋅+⋅+= 3cos22cos4cos64)(A ,
dok je fazna karakteristika data jednačinom
ωωθ ⋅−= 3)( .
Nalaženjem prvog izvoda fazne karateristike po promenljivoj ω grupno kašnjenje će biti
![Page 123: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/123.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 123
( ) [ ] constdd
dd
g ==⋅−−=−= 33 ωωω
ωθθ .
Kako je grupno kašnjenje konstantno zaključujemo da je fazna karakteristika linearna što se moglo uočiti ina osnovu posmatranja same fazne karakteristike.
Amplitudska i fazna karateristika sistema je prikazana na slici.
b) Slična analiza se može izvesti i za drugi primer. Prenosna funkcija se može napisati u obliku
( )654326 234321)( zzzzzzzzH +⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= −
što će nakon množenja dati
123432)( 123456 +⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−= −−−−−− zzzzzzzH .
Ako se sada primeni smena ωjez = dobija se
123432)( 23456 +⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−= −−−−−− ωωωωωωω jjjjjjj eeeeeeeH .
Izvlačenjem zajedničkog eksponencijalnog faktora dolazi se do izraza
( )ωωωωωωωω 32233 23432)( jjjjjjjj eeeeeeeeH +⋅−⋅+−⋅+⋅−⋅= −−−− .
![Page 124: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/124.jpg)
Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odyivom ( FIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica124
Primenom Ojlerovih obrazaca konačno se nalazi
( ) ( ) ( )( )ωωωωω ⋅⋅+⋅⋅−⋅+−⋅= − 3cos22cos4cos64)( 3jj eeH .
Odavde se onda vidi da je amplitudska karakteristika prenosne funkcije data jednačinom
( ) ( ) ( )ωωωω ⋅⋅+⋅⋅−⋅+−= 3cos22cos4cos64)(A ,
dok je fazna karakteristika data jednačinom
ωωθ ⋅−= 3)( .
Nalaženjem prvog izvoda fazne karateristike po promenljivoj ω grupno kašnjnje je tada
( ) [ ] constdd
dd
g ==⋅−−=−= 33 ωωω
ωθθ .
Kako je grupno kašnjenje konstantno zaključujemo da je fazna karakteristika linearna što se moglo uočiti ina osnovu posmatranja same fazne karakteristike.
Amplitudska i fazna karateristika sistema je prikazana na slici.
![Page 125: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/125.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 125
Zadatak 2.
Projektovati nerekurzivni filtar sa idealizovanim frekventnim odzivom
≤≤≤≤
≤=
πωωωωω
ωωω
2
21
1
;1;0
;1)(
c
cc
cjeH .
Rešenje:
Odredimo impulsni odziv zadatog sistema.Primenom inverzne Furijeove transformacije diskretnog signala (IFTD) nalazimo da je
∫−
⋅ =⋅⋅⋅=π
π
ωω ωπ
deeHnh njj )(21][
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= ∫∫∫∫∫−
⋅⋅−
−
⋅−
−
⋅−
−
⋅π
ω
ωω
ω
ωω
ω
ωω
ω
ωω
π
ω ωπ
ωπ
ωπ
ωπ
ωπ
2
2
1
1
1
1
2
2
1210
211
210
211
21
c
c
c
c
c
c
c
c
dedededede njnjnjnjnj
=⋅+⋅+⋅= ∫∫∫−
⋅−
−
⋅−
−
⋅π
ω
ωω
ω
ωω
π
ω ωπ
ωπ
ωπ
2
1
1
2
21
21
21
c
c
c
c
dedede njnjnj
( ) ( ) ( ) =⋅⋅+
⋅⋅
−⋅
⋅=
−+−+−⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅−
nn
nn
nn
jnee
jnee
jnee cc
njnjnjnjnjnj cccc
ππ
πω
πω
π
ωπωωπω sinsinsin21 21
2112
( ) ( )
≠⋅
⋅−
⋅⋅
=−+=
0;sinsin
0;1
21
21
nn
nn
n
n
cc
cc
πω
πω
πω
πω
.
Kao što se to vidi dobijeni impulsni odziv nije konačnog trajanja, što jeste jedna od osobina nerekurzivnihfiltara sa konačnim impulsnim odzivom. U ovim slučajevima se često koristi postupak prozoriranja čime sepostiže konačnost u vremenskom trajanju odziva. Međutim zbog ovakvog odsecanja tražena prenosnakarakteristika se menja i dobijamo neku amproksimativnu prenosnu karakteristiku. Odstupanje od zahtevanekarakteristike zavisi od načina prozoriranja (koji tip prozorskih funkcija se primenjuje) i od broja tačaka kojeimpulsni odziv sadrži. Na slikama su prikazane amplitudske i fazne karakteristike sistema primenomjedinične prozorske funkcije kada su dužine impulsnog odziva ograničene na 100;50;10=N tačakarespektivno.
![Page 126: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/126.jpg)
Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odyivom ( FIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica126
Zadatak 3.
Frekventni odziv diskretnog sistema mora da zadovolji sledeće uslove
≤≤≤≤≤≤≤≤
≤
=
πωωωωωωωωωωω
ωω
ω
4
43
32
21
1
;0;1;0;1
;0
)(
c
cc
cc
cc
c
jeH .
Projektovati kauzalni diskretni sistem primenom metode Furijeovog razvoja.
Rešenje:
Napišimo izraz za nalaženje kompleksnih Furijeovih koeficijenata date prenosne funkcije. Kako jekompleksni spektar diskretnog signala periodična kompleksna funkcija to će biti
∫−
⋅ ⋅⋅⋅=π
π
ωω ωπ
deeHC njjn )(
21
.
Kao što se da uočiti, izraz Furijeovog integrala i IFTD je identičan, pa sledi da su kompleksni koeficijentiFurijeovog reda zapravo vrednosti impulsnog odziva u diskretnim trenucima tj. ][nhCn = . Da li su dobijene
vrednosti kompleksne ili realne to zavisi od osbine funkcije )( ωjeH .
Odredimo impulsni odziv datog sistema.
∫−
⋅ =⋅⋅⋅=π
π
ωω ωπ
deeHnh njj )(21][
=⋅+⋅+⋅+⋅= ∫∫∫∫ ⋅−
−
⋅−
−
⋅−
−
⋅4
3
2
1
1
2
3
4
1211
211
211
21 c
c
c
c
c
c
c
c
dededede njnjnjnjω
ω
ωω
ω
ωω
ω
ωω
ω
ω ωπ
ωπ
ωπ
ωπ
=
−+−+−+−⋅=⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅−⋅−
jnee
jnee
jnee
jnee njnjnjnjnjnjnjnj cccccccc 34122143
21 ωωωωωωωω
π
( ) ( ) ( ) ( )=
⋅⋅
−⋅
⋅+
⋅⋅
−⋅
⋅=
nn
nn
nn
nn cccc
πω
πω
πω
πω 3412 sinsinsinsin
( ) ( ) ( ) ( )
≠⋅
⋅−
⋅⋅
+⋅
⋅−
⋅⋅
=−+−=
0;sinsinsinsin
0;
3412
3412
nn
nn
nn
nn
n
n
cccc
cccc
πω
πω
πω
πω
πω
πω
πω
πω
.
![Page 127: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/127.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 127
Kao i u predhodnom zadatku impulsni odziv sistema je beskonačnog trajanja. Ako se odziv ograniči na
21−= NL tačaka simetrično raspoređenih oko tačke 0=n , tada se dobija aproksimativna varijanta tražene
prenosne funkcije. Zaključak u vezi aproksimacije kojeg smo izveli u predhodnom primeru važi i za ovajslučaj. Zbog slabe konvergencije Furijeovih redova u spektralnom domenu mogu da se uoče oscilacionepojave. Te pojave su poznate pod nazivom Gibsove oscilacije.
Na slikama su prikazane ampitudske i fazne karakteristike prenosne funkcije za dužine odziva100;50;10=N tačaka respektivno.
Zadatak 4.
Projektovati nerekurzivni visokopropusni filtar sa specifikacijama
≤Ω≤≤Ω
=Ωsecsec
sec
0.55.2;15.2;0
)(radrad
rad
jH
ako je kružna učestanost uzorkovanja sec10 rads =Ω i ako je zahtevana dužina impulsnog odziva 21=N . U
projektovanju primeniti metodu prozoriranja.
Rešenje:
Za zadatu kružnu učestanost uzorkovanja nalazimo da je perioda uzorkovanja jednaka 628.02 =Ω
=s
sT π.
Ako se impulsni odziv uzorkuje periodom uzorkovanja sT tada se granične kružne učestanosti preslikavaju u
diskretne (normalizovane) učestanosti po izrazu radTs
s ΩΩ⋅=⋅Ω= πω 2 . Odavde onda diskretna
prenosna funkcija mora da zadovolji sledeće specifikacije
≤≤
≤=
πωπ
πωω
2;1
2;0
)( jeH .
![Page 128: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/128.jpg)
Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odyivom ( FIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica128
Odredimo impulsni odziv traženog sistema.
∫−
⋅ =⋅⋅⋅=π
π
ωω ωπ
deeHnh njj )(21][
=
−+−⋅=⋅+⋅=
⋅⋅⋅−⋅−
⋅
−
−
⋅ ∫∫ jnee
jneedede
njnjnjnj
njnj22
2
2
211
211
21
πππ
ππ
π
ω
π
π
ω
πω
πω
π
( )
≠⋅
⋅
−
=
=⋅
⋅
−⋅⋅=
0;2sin
0;5.02
sinsin
nn
n
n
n
n
nn
π
ππ
π
ππ
.
Kako traženo rešenje mora biti filtar sa konačnim impulsnim odzivom, mora da se primeni prozoriranje.
Ograničenje dužine impulsnog odziva primenom jedinične prozorske funkcije.
Jedinična prozorska funkcija je definisana izrazom
=−≤=
drugde
Nnnw;0
1021;1][ .
Vremenski oblik i frekvencijske karakteristike ove funkcije su prikazane na slici.
Željeni filtar se dobija tako što se neograničen impulsni odziv izmnoži sa prozorskom funkcijom tj.
][][][ nwnhnhFIR ⋅= .
![Page 129: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/129.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 129
Rezultat prozoriranja na spektar signala je prikazano na slici.
Ograničenje dužine impulsnog odziva primenom Hanove prozorske funkcije.
Hanova prozorska funkcija je definisana izrazom
≤
⋅⋅+=
−≤
⋅
−⋅+=
drugde
nn
drugde
NnnNnw
;0
10;202cos5.05.0
;021;
12cos5.05.0][
ππ
Vremenski oblik i frekvencijske karakteristike ove funkcije su prikazana na slici.
Željeni filtar se dobija tako što se neograničen impulsni odziv izmnoži sa prozorskom funkcijom tj.
][][][ nwnhnhFIR ⋅= .
![Page 130: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/130.jpg)
Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odyivom ( FIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica130
Rezultat prozoriranja je prikazano na slici.
Ograničenje dužine impulsnog odziva primenom Hamingove prozorske funkcije.
Hamingova prozorska funkcija je definisana izrazom
≤
⋅⋅+=
−≤
⋅
−⋅+=
drugde
nn
drugde
NnnNnw
;0
10;202cos46.054.0
;021;
12cos46.054.0][
ππ
Vremenski oblik i frekvencijske karakteristike ove funkcije su prikazana na slici.
Željeni filtar se dobija tako što se neograničen impulsni odziv izmnoži sa prozorskom funkcijom tj.
][][][ nwnhnhFIR ⋅= .
![Page 131: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/131.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 131
Rezultat prozoriranja je prikazano na slici.
Ograničenje dužine impulsnog odziva primenom Blekmanove prozorske funkcije.
Blekmanova prozorska funkcija je definisana izrazom
−≤
⋅
−⋅+
⋅
−⋅+=
drugde
NnnN
nNnw
;021;
14cos08.0
12cos5.042.0][
ππ.
Konkretno za ovaj primer prozorska funkcija je
≤
⋅⋅+
⋅⋅+=
drugde
nnnnw;0
10;204cos08.0
202cos5.042.0][
ππ.
Vremenski oblik i frekvencijske karakteristike ove funkcije su prikazana na slici.
![Page 132: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/132.jpg)
Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odyivom ( FIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica132
Željeni filtar se dobija tako što se neograničen impulsni odziv izmnoži sa prozorskom funkcijom tj.
][][][ nwnhnhFIR ⋅= .
Rezultat prozoriranja je prikazano na slici.
Zadatak 5.
Projektovati nerekurzivni filtar propusnika opsega sa sledećim specifikacijama
≤Ω<≤Ω≤
<Ω=Ω
sec
secsec
sec
1000600;0600400;1
400;0)(
rad
radrad
rad
jH .
Primeniti Hanovu prozorsku funkciju ako je sec2000 rads =Ω i 21=N .
![Page 133: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/133.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 133
Rešenje:
Za datu brzinu uzorkovanja dobijamo da diskretni filtar mora da zadovolji sledeće uslove
≤<
≤≤
<
=
πωπ
πωπ
πω
ω
53;0
53
52;1
52;0
)( jeH .
Impulsni odziv filtra će tada biti
∫−
⋅ =⋅⋅⋅=π
π
ωω ωπ
deeHnh njj )(21][
=
−+−⋅=⋅+⋅=
⋅⋅⋅−⋅−
⋅
−
−
⋅ ∫∫ jnee
jneedede
njnjnjnj
njnj5
25
35
35
25
3
52
52
53 2
11211
21
πππππ
π
ω
π
π
ω
πω
πω
π
≠⋅
⋅
−⋅
⋅
=
=⋅
⋅
−⋅
⋅
=
0;52sin
53sin
0;51
52sin
53sin
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
π
π
π
ππ
π
π
π
.
Primenom Hanove prozorske funkcije
≤
⋅⋅+=
drugde
nnnw;0
10;202cos5.05.0][π
,
impulsni odziv diskretnog sistema će biti ][][][ nwnhnhFIR ⋅= koja je prikazana na slici.
![Page 134: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/134.jpg)
Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odyivom ( FIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica134
Amplitudska i fazna karakteristika projektovanog diskretnog sistema je prikazana na slici.
Zadatak 6.
Projektovati nerekurzivni filtar nepropusnika opsega sa sledećim specifikacijama
≤Ω<≤Ω≤
<Ω=Ω
sec
secsec
sec
1000700;1700300;0
300;1)(
rad
radrad
rad
jH .
Primeniti Hamingovu prozorsku funkciju ako je sec2000 rads =Ω i 21=N .
![Page 135: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/135.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 135
Rešenje:
Za datu brzinu uzorkovanja dobijamo da diskretni filtar mora da zadovolji sledeće uslove
≤≤
<<
≤
=
πωπ
πωπ
πω
ω
107;1
107
103;0
103;1
)( jeH .
Impulsni odziv filtra će tada biti
∫−
⋅ =⋅⋅⋅=π
π
ωω ωπ
deeHnh njj )(21][
=⋅+⋅+⋅= ∫∫∫ ⋅
−
⋅
−
−
⋅π
π
ω
π
π
ω
π
π
ω ωπ
ωπ
ωπ
107
103
103
107
1211
211
21 dedede njnjnj
( )n
nn
n
n
n
⋅⋅+
⋅
⋅
−⋅
⋅
=ππ
π
π
π
πsin10
7sin103sin
.
Primenom Hamingove prozorske funkcije
≤
⋅⋅+=
drugde
nnnw;0
10;202cos46.054.0][π
,
impulsni odziv diskretnog sistema će biti ][][][ nwnhnhFIR ⋅= koja je prikazana na slici.
![Page 136: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/136.jpg)
Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odyivom ( FIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica136
Amplitudska i fazna karakteristika projektovanog diskretnog sistema je prikazana na slici.
Zadatak 7.
Digitalni filtar ima periodičan spektar. Analitički opis spektra u njegovoj osnovnoj periodi je
≤≤+
≤≤−−=
πωπω
ωππω
ω
0;
0;)( jeH .
Projektovati nerekurzivni filtar primenom jedinične, Hanove i Hamingove prozorske funkcije za 21=N .
Rešenje:
Kako je prenosna funkcija periodična primenićemo metodu razvoja u Furijeov red. U predhodnim primerimasmo već ukazali na činjenicu da je razvoj u Furierov red zapravo inverzna Furijeova transformacijadiskretnog signala (IFTD). Na osnovu toga impulsni odziv će tada biti
![Page 137: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/137.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 137
∫−
⋅ =⋅⋅⋅=π
π
ωω ωπ
deeHnh njj )(21][
=⋅
+⋅
−= ∫∫ ⋅
−
⋅π
ω
π
ω ωπω
πω
πω
π 0
0
21
21 dede njnj
( )
≠
⋅
⋅
⋅−
=
=
⋅
⋅
⋅−⋅⋅=
0;
2
2sin
41
0;43
2
2sin
41sin
2
2
nn
n
n
n
n
nn
π
ππ
π
ππ
.
Uticaj pojedinih prozorskih funkcija na amplitudsku i faznu karakteristiku su prikazane na slici respektivno.
Zadatak 8.
Primenom Kajzerove metode projektovati nerekurzivni niskopropusni filtar sa sledećim specifikacijama:
sec20;1.0 radpp dB =Ω≤α ,
sec30;44 radnn dB =Ω≥α ,
sec100 rads =Ω .
![Page 138: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/138.jpg)
Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odyivom ( FIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica138
Rešenje:
Kajzerova metoda projektovanja nerekurzivnih filtara se sastoji iz više koraka.
Korak 1. Određivanje impulsnog odziva idealnog filtra.
Za graničnu kružnu učestanost idealnog NF filtra se uzima sredina prelazne oblasti tj.
sec252
radnpg =
Ω+Ω=Ω .
Ova kružna učestanost se preslikava u normalizovanu učestanost
22 ππω =
ΩΩ
=s
gg .
Prenosna funkcija i impulsni odziv idealnog NF filtra je tada definisana
n
ndenh
drugdeeH njj
⋅
⋅
=⋅=⇒
≤= ∫
−
⋅
π
π
ωπω
π
π
ωω 2sin
][;0
2;1)(
2
2
Korak 2. Određivanje dozvoljenog odstupnja frekventne karakteristike.
( ) 3213
05.0
05.0
2
34405.005.01
1075.5,min1075.5
110110
1031.61010−
−⋅−
⋅−
−⋅−⋅−
⋅==⇒
⋅=+−=
⋅===δδδ
δ
δ
α
α
α
p
p
n
.
Korak 3. Određivanje minimalnog slabljenja po novoj vrednosti odstupanja.
( ) dBn 8.44log20 =⋅−= δα .
Korak 4. Izbor vrednosti koeficijenta 'α
( ) ( )( )
>−⋅≤<−⋅+−⋅
≤=
50;7.81102.05021;2107886.0215842.0
21;0' 4.0
nn
nnn
n
ααααα
αα .
Iz ove formule nalazimo da je ( ) ( ) 952.3218.4407886.0218.445842.0' 4.0 =−⋅+−⋅=α .
Korak 5. Izbor vrednosti koeficijenta D i određivanje dužine impulsnog odziva N .
>−
≤= 21;
36.1495.7
21;9222.0
nn
nD α
αα
.
Odavde imamo da je 566.236.14
95.78.44 =−=D .
![Page 139: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/139.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 139
Dužina Kajzerove prozorske funkcije se određuje iz obrazca 66.261 =+Ω−Ω⋅Ω
≥pn
s DN iz kojeg onda sledi
da je potrebna dužina impulsnog odziva 27=N tj.
−≤⋅=
drugde
Nnnwnhnh oideaFIR
;021];[][][ ln .
Vrednosti Kajzerove prozorske funkcije se računaju pomoću Beselovih redova nulte vrste. Zbog složenostiproračuna ovde je nećemo dati niti izučavati, ali se obično primenjuju računarski algoritmi u rešavanju.
Zadatak 9.
Primenom Kajzerove metode projektovati nerekurzivni visokopropusni filtar sa sledećim specifikacijama:
sec3;3.0 radpp dB =Ω≤α ,
sec2;0.45 radnn dB =Ω≥α ,
sec10 rads =Ω .
Rešenje:
Korak 1. Određivanje impulsnog odziva idealnog filtra.
Za graničnu kružnu učestanost idealnog VF filtra se uzima sredina prelazne oblasti tj.
sec5.22
radnpg =
Ω+Ω=Ω .
Ova kružna učestanost se preslikava u normalizovanu učestanost
22 ππω =
ΩΩ
=s
gg .
Prenosna funkcija i impulsni odziv idealnog NF filtra je tada definisana
n
nnnheH j
⋅
⋅
−=⇒
<≤
≤=
π
π
δπωπ
πωω 2
sin][][
2;1
2;0
)( .
Korak 2. Određivanje dozvoljenog odstupnja frekventne karakteristike.
( ) 3213
05.0
05.0
2
34505.005.01
1062.5,min1026.17
110110
1062.51010−
−⋅−
⋅−
−⋅−⋅−
⋅==⇒
⋅=+−=
⋅===δδδ
δ
δ
α
α
α
p
p
n
.
![Page 140: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/140.jpg)
Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odyivom ( FIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica140
Korak 3. Određivanje minimalnog slabljenja po novoj vrednosti odstupanja.
( ) dBn 45log20 =⋅−= δα .
Korak 4. Izbor vrednosti koeficijenta 'α
( ) ( )( )
>−⋅≤<−⋅+−⋅
≤=
50;7.81102.05021;2107886.0215842.0
21;0' 4.0
nn
nnn
n
ααααα
αα .
Iz ove formule nalazimo da je ( ) ( ) 97.3214507886.021455842.0' 4.0 =−⋅+−⋅=α .
Korak 5. Izbor vrednosti koeficijenta D i određivanje dužine impulsnog odziva N .
>−
≤= 21;
36.1495.7
21;9222.0
nn
nD α
αα
.
Odavde imamo da je 58.236.14
95.745 =−=D .
Dužina Kajzerove prozorske funkcije se određuje iz obrazca 8.251=+Ω−Ω⋅Ω
≥pn
s DN iz kojeg onda sledi
da je potrebna dužina impulsnog odziva 26=N tj.
−≤⋅=
drugde
Nnnwnhnh oideaFIR
;021];[][][ ln .
Zadatak 10.
Primenom Kajzerove metode projektovati nerekurzivni filtar propusnika opsega sa sledećim specifikacijama:
sec2sec1 60,40;5.0 radp
radpp dB =Ω=Ω≤α ,
sec2sec1 80,20;0.35 radn
radnn dB =Ω=Ω≥α ,
sec200 rads =Ω .
Rešenje:
Pre nego što bi pristupili koracima rešavanja problema treba da se odredi potrebna širina prelazne oblasti poizrazu
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] [ ] sec2211 2020,20min6080,2040min,min radpnnptB ==−−=Ω−ΩΩ−Ω= .
![Page 141: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/141.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 141
Odavde su tada granične kružne učestanosti idealnog filtra propusnika oopsega
sec11 3010402
radtpg
B=−=−Ω=Ω ,
sec22 7010602
radtpg
B=+=+Ω=Ω .
Za datu brzinu uzorkovanja ove kružne učestanosti se preslikavaju u 103
1πω =g ,
107
2πω =g .
Korak 1. Određivanje impulsnog odziva idealnog filtra.
Prenosna funkcija i impulsni odziv idealnog PO filtra je tada definisana
n
n
n
ndedenh
drugdeeH njnjj
⋅
⋅
−⋅
⋅
=⋅+⋅=⇒
≤≤= ∫∫
−
⋅
−
−
⋅
π
π
π
π
ωωπωπ
π
π
ω
π
π
ωω 103sin
107sin
][;0
107
103;1)(
107
103
103
107
.
Korak 2. Određivanje dozvoljenog odstupnja frekventne karakteristike.
( )
−
−⋅−
⋅−
−⋅−⋅−
⋅==⇒
⋅=+−=
⋅===δδδ
δ
δ α
.
Korak 3. Određivanje minimalnog slabljenja po novoj vrednosti odstupanja.
( ) =⋅−= δα .
Korak 4. Izbor vrednosti koeficijenta α
( ) ( )( )
>−⋅≤<−⋅+−⋅
≤=
ααααα
αα .
Iz ove formule nalazimo da je ( ) ( ) =−⋅+−⋅=α .
Korak 5. Izbor vrednosti koeficijenta i određivanje dužine impulsnog odziva .
>−
≤=
αα
α.
Odavde imamo da je
=−= .
Dužina Kajzerove prozorske funkcije se određuje iz obrazca =+⋅Ω
≥
iz kojeg onda sledi da
je potrebna dužina impulsnog odziva = tj.
−≤⋅=
.
![Page 142: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/142.jpg)
Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odyivom ( FIR ) Procesiranje Signala
Viša Tehnička Škola Subotica142
Zadatak 11.
Primenom Kajzerove metode projektovati nerekurzivni filtar nepropusnika opsega sa sledećimspecifikacijama:
=Ω=Ω≤α ,
=Ω=Ω≥α ,
=Ω .
Rešenje:
Pre nego što bi pristupili koracima rešavanja problema treba da se odredi potrebna širina prelazne oblasti poizrazu
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] [ ] σεχ2211 10001000,1000µιν30004000,10002000µιν,µιν ραπννπτΒ ==−−=Ω−ΩΩ−Ω= .
Odavde su tada granične kružne učestanosti idealnog filtra propusnika oopsega
,
.
Za datu brzinu uzorkovanja ove kružne učestanosti se preslikavaju u
,
.
Korak 1. Određivanje impulsnog odziva idealnog filtra.
Prenosna funkcija i impulsni odziv idealnog NO filtra je tada definisana
.
Korak 2. Određivanje dozvoljenog odstupnja frekventne karakteristike.
.
Korak 3. Određivanje minimalnog slabljenja po novoj vrednosti odstupanja.
.
![Page 143: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/143.jpg)
Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR )
Viša Tehnička Škola Subotica 143
Korak 4. Izbor vrednosti koeficijenta
!
.
Iz ove formule nalazimo da je .
Korak 5. Izbor vrednosti koeficijenta " i određivanje dužine impulsnog odziva # .
$!
%
%
"
.
Odavde imamo da je $
$!
%
" .
Dužina Kajzerove prozorske funkcije se određuje iz obrazca iz kojeg onda sledi da
je potrebna dužina impulsnog odziva # tj.
&'(
#
)
)*(
+,-
././
./ .
![Page 144: Digitalna_obrada_signala__zbirka_](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102718/55cf9adb550346d033a3bf62/html5/thumbnails/144.jpg)
Reference Procesiranje Signala
144
Reference
1. A.V. Oppenheim, R.W. Schafer : Discrete-Time Signal Processing
2. M.V. Popović : Digitalna Obrada Signala
3. A. Antoniou : Digital Filters: Analysis and Design
4. A. Antoniou : D-Filter (Program za analizu i projektovanje digitalnih filtara)
5. M.J.T. Smith, R.M. Mersereau : Introduction to Digital Signal Processing: A Computer LaboratoryTextbook