digitalna_obrada_signala__zbirka_

Procesiranje Signala Sadržaj

Viša Tehnička Škola Subotica 1

Sadržaj

1. Diskretni signali i sistemi 3

2. Furijeova Transformacija 27Z-transformacija

Diskretna Furijeova Transformacija

3. Spektar uzorkovanog signala,decimacija, interpolacija 54

4. Projektovanje analognih filtara 65

5. Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) 88

6. Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR ) 120

7. Reference 144

Procesiranje Signala Diskretni signali i sistemi


Diskretni signali i sistemi

Fizičke veličine koje zavise od vremena nazivamo signalima. Po svojoj prirodi signale delimo u dvekalse:

1. Deterministički signaliDeterministički signal je signal čija je vremenska zavisnost poznata, tako da se njene vrednosti moguodrediti u bilo kom trenutku.

2. Slučajni signali.Slučajni signal je signal čija vremenska zavisnost nije poznata. Buduće vrednosti signala se nemoguodrediti ali ako je signal poznat u prošlosti tada se njena buduća vrednost može proceniti sa nekomverovatnoćom.

Signali čija je vremenska zavisnost kontinualna nazivaju se kontinualnim signalima. Analognisignali su vremenski kontinualni signali čija amplituda može biti bilo koja vrednost iz nekog dozvoljenogopsega.

Vremenski diskretni signali su signali koje su definisane samo u diskretnim vremenskimtrenucima.Važno je uočiti da iz gornje definicije ne sledi da su vrednosti diskretnog signala jednake nuli uonim tačkama koje ne pripadaju skupu gore datih trenutaka. U tim trenucima vrednost signala nije poznata ai nije od značaja. Sa aspekta diskretne obrade signala potpuno je nevažno koje vrednosti signal ima u timtrenucima.

Digitalni signal je diskretni signal čija je amplituda takođe diskretizovana.

Elementarni diskretni signali koje se često koriste u diskretnoj obradi signala su:

Jedinični diskretni impuls:

≠=

=0;00;1

][nn

nδ .

Jedinični diskretni odskočni signal:

<≥

=0;00;1

][nn

nu .

Linearni diskretni signal:

.;0;0

0;][ consta

nnna

nr =

<≥⋅

= .

Eksponencijalni diskretni signal:

..,;0;0

0;][ constaconstA

nnaA

nen

==

<≥⋅

= .

Diskretni signali i sistemi Procesiranje Signala

Viša Tehnička Škola Subotica4

Diskretni sistemi vrše transformaciju diskretnog ulaznog signala ][nx u diskretni izlazni signal][ny . Transformacija se u matematičkom obliku iskazuje

][][ nxSny = ,

gde je •S operator koji preslikava ][nx u ][ny .

Sistemi se u opštem slučaju dele na linearne i nelinearne sisteme.

Linearni sistemi zadovoljavaju osobinu linearnosti tj.

=⋅+⋅=⋅+⋅= ][][][][][ 2121 nxSnxSnxnxSny βαβα

][][][][ 2121 nynynxSnxS ⋅+⋅=⋅+⋅= βαβα .

Osobina realizljivih linearnih sistema je da su kauzalni i stabilni.

Diskretni sistemi se mogu opisati

1. Relacijom ulaz-izlaz ( RUI ).RUI predstavlja diferencnu jednačinu koja definiše vezu između ulaznog i izlaznog diskretnogsignala ( pobude i odziva ), i ona je oblika

Cmnylnyny ml

M

mm

L

ll ∈−⋅=−⋅+ ∑∑

==

βαβα ,;][][][11

.

Zavisno od oblika RUI, diskretne sisteme delimo na:

1.1. Rekurzivne sisteme 0,0 ≠≠ ml βα ,1.2. Nerekurzivne sisteme 0,0 ≠= ml βα .

2. impulsnim odzivom diskretnog sistema ][nh .Impulsni odziv diskretnog sistema predstavlja odziv sistema na jediničnu impulsnu pobudu

][nδ .

Zavisno od dužine impulsnog odziva sisteme delimo na:

2.1. sisteme sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR – infinit impuls respons ),2.2. sisteme sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR – finit impuls respons ).

3. prenosnom finkcijom )(),( ωjeHzH .Prenosna funkcija u potpunosti definiše osobine diskretnog sistema u transformacionomdomenu. Ona predstavlja transfornmaciju impulsnog odziva.

Odziv sistema na poznatu pobudu se određuje konvolucijom ulaznog signala (pobude) i impulsnogodziva sistema. U transformacionom domenu transformacija izlaza je jednaka proizvodu transformacijeulaznog (pobudnog) signala i impulsnog odziva (prenosna funkcija).



Zadatak 1.

Odrediti periodu sledećih diskretnih signala.

a) nns ∀= ;1][ b) +∞<<−∞= nnns );43cos(][ c) 0);

5sin(][ ≥= nnns π

d) 0);5

sin(5.1)43cos(5][ ≤⋅+⋅= nnnns π

e) nnnns ∀⋅+⋅= );8

2cos(3.8)6

2cos(8.7][ ππ

f) 11;][ 3 ≥= nensnjπ

g) nens nj ∀= ;][ 2

h)

i)

Rešenje :

a) Signal ][ns je prikazan na slici.

Sa slike se može uočiti da se vrednost signala ponavlja nakon svakogdiskretnog trenutka, pa je perioda signala jednaka 1=N .

b) Po uslovu periodičnosti diskretnih signala ][][ Nnsns += , mora da važi jednakost

)43

43cos())(

43cos()

43cos( NnNnn +=+= za proizvoljno NNn ∈, .



Jednačina je zadovoljena ukoliko je kN π243 = gde je Nk ∈ , odnosno ako je kN π

38= . Kako brojevi

N i k pripadaju skupu celih brojeva sledi da se uslov ne može zadovoljiti ni za koje vrednosti N i k , pastoga signal ][ns nije periodičan.+

c) Analogno predhodnom zadatku za uslov periodičnosti se dobija

)55

sin())(5

sin()5

sin( NnNnn ππππ +=+= za proizvoljno NNn ∈, .

Jednačina se zadovoljava ako je kN ππ 25

= , odnosno ako je kN ⋅=10 gde je Nk ∈ . Najmanji broj

punih oscilacija signala ][ns se dobija za 1=k , iz čega sledi da je perioda signala .10=N

d) U zadatku pod b) smo pokazali da diskretni signal čija učestanost nije deljivo sa π neposeduje osobinuperiodičnosti, pa stoga ni zbirni signal ][ns nemože biti periodičan što se vidi i sa slike koja pokazujesegment signala u intervalu 100100 ≤≤− n .

e) Posmatrajmo posebno periodičnost pojedinih članova signala ][ns .Po uslovu periodičnosti za prvi član signala se dobija da je 11 6 kN ⋅= , dok za drugi 22 8 kN ⋅= . Periodazbirnog signala je broj 21 NNN == koji obuhvata minimalan broj punih oscilacija oba podsignala.Minimalan broj punih oscilacija se dobija ako su 41 =k i 32 =k . Sledi da je perioda signala ][ns jednako

243846 =⋅=⋅=N .

f) Postavimo jednačinu za uslov periodičnosti diskretnih signala za posmatrani signal ][ns .NjnjNnjnj

eeee 33)(

33ππππ

⋅==+

. Jasno je da je jednačina zadovoljena ako je 13 =Nj

eπ

odnosno ako važi

kN ππ 23

= gde je Nk ∈ . Odavde se dobija da je NkkN ∈⋅= ;6 . Za 1=k sledi da je perioda signala

][ns jednako 6=N .

g) Za uslov periodičnosti se dobija NjnjNnjnj eeee 22)(22 ⋅== + . Jednačina se zadovoljava ako je12 =Nje , odnosno ako je kN π22 = za proizvoljno NkN ∈, . Vidi se da se ulsov nemože zadovoljiti za

prirodne brojeve N i k pa sledi da signal nije periodičan.+

+ Kada bi tačke signala povezali kontinualnom krivom tada bi se uočilo da tačka koja predstavlja kraj periodekontinualne krive, se nalazi između dva odbirka diskretnog signala. Međutim kako ta tačka nije deo diskretnevremenske ose (vremensku osu čini skup celih brojeva) to sledi da signal nije periodičan.



h) Posmatranjem signala prikazanog na slici može se uočiti da se signal ponavlja nakon izvesnog brojatrenutaka. Broj trenutaka nakon čega sledi ponavljanje vrednosti je jednak 6 odnosno perioda diskretnogsignala je 6=N .

i) Analogno predhodnom zadatku posmatranjem signala može da se uoči perioda diskretnog signala kojaiznosi 6=N .

Zadatak 2.

a) Skicirati signal ][][][ 21 nsnsns += ako su signali nnns ∀⋅= );3

2cos(5][1π

, ≤≤−

=drugde

nnns

;050;5

][2 .

b) Skicirati signale ][][][' 21 nsnsns −= i ][][]['' 12 nsnsns −= ako su signali

≤≤−≤≤−+

=50;505;5

][1 nnnn

ns , ≤≤−+

=drugde

nnns

;005;5

][2 .

c) Skicirati signal ][][][ 21 nsnsns ⋅= za navedene slučajeve signala ][1 ns i ][2 ns .c.1) 150;][1 ≤≤= nans n , c.2) 100;2][1 ≤≤= nns n , c.3) 150;3][1 ≤≤= nns n ,

nns ∀= ;3][2 . 100;3[[2 ≤≤= nns n . 110;21][2 ≤≤−

−= nns

n

.

d) Skicirati signal ][ns .d.1) ][][ 01 nnsns −= ako je ][100][1 nns δ⋅= i 1000 =n .

d.2) ]10[]5[][ 21 −−+= nsnsns ako je ,150;][1 ≤≤= nans n 115;1][2 ≤≤−

−= n

ans

n

.

d.3) ][]10[]10[][][ 11 nunsnunsns ⋅−+−⋅= ako je 0;3][1 ≥= − nns n .

e) Skicirati konvolucioni signal ][ns .e.1) ][][][ 0nnnns −∗= δδ . e.2) ]10[][][ −∗= nnuns δ . e.3) ][][][ nununs ∗= .

e.4) ][][ nuans n ∗= . e.5) nn aans ∗=][ .

f) Skicirati korelacioni signal ][ns .f.1) ][][][ 11 nsnsns −∗= , f.2) ][][][ 21 nsnsns ∗−= ,

0;][1 ≥= nans n . ][][1 nns δ= , ]3[][2 −= nns δ .

f.3) ][][][ 21 nsnsns −∗= , f.4) ][][][ 21 nsnsns −∗= ,

0;3

2cos][1 ≥

= nnns π

, 0;5

2cos][1 ≤

= nnns π

,

][][2 nuns = . ( ) 0;2sin][2 ≥⋅= nnns .

f.5) ][][][ 21 nsnsns −∗= ,

nnns ∀

= ;

32cos][1π

,

nnns ∀

= ;

45sin][2π

.



Rešenje :

a) Sabiranjem signala u odgovarajućim intervalima za rezultat se dobija

≤≤−+=

drugden

nnnns

);3

2cos(5

50);5()3

2cos(5][ π

π

b) Nalaženjem razlike signala dobijamo da su signali

≤≤−

=drugde

nnns

;051;5

][' ≤≤−

=drugde

nnns

;051;5

][''

c.1) ≤≤⋅

=drugde

nans

n

;0150;3

][ , za 5.0=a sledi slika

c.2) ≤≤=⋅

=drugde

nns

nnn

;0100;632

][

c.3)

=

=

=

drugde

n

n

ns

;0

1;23

0;1

][

e) vremensko pomeranje

d.1) ]100[100][ −⋅= nns δ

d.2) ≤≤−

=+drugde

nans

n

;0105;

]5[1



≤≤−

=−drugde

nans

n

;0

115;1]10[2

≤≤−

+=

drugde

na

ans

nn

;0

115;1][

d.3) ≥

=−⋅−

drugden

nunsn

;010;3

]10[][1

≥

=⋅−−−

drugden

nunsn

;010;3

][]10[)10(

1

≥+

=−−−

drugden

nsnn

;010;33

][)10(

f) konvolucija signala ( ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

⋅−=−⋅=mm

msmnsmnsmsns ][][][][][ 2121 )

U slučaju signala sa složenim analitičkim opisom često se konvolucioni signal ][ns rešava grafičkim putem.U sledećim primerima će se primeniti ova metoda.

e.1) Neka je signal ][][][1 mnmsmn

δδ ===

. Ovim smo signal ][nδ preslikali u m-domen u kome se vrši

sumiranje signala (sumiranje po promenljivoj ’m’). Signal ][2 mns − se dobija na sledeći način :1. preslika se signal u m-domen i tako se dobija ][][ 02 nmms −= δ .2. nalazi se signal ][2 ms − koji predstavlja lik u

ogledalu signala ][2 ms , tj. vrednosti signala sanegativne se perslikavaju na pozitvnu vremensku osu asa pozitivne na negativnu vremensku osu, kao lik uogledalu.

3. pomeri se signal ][2 ms − za neki proizvoljan korak’ n ’ čime se dobija signal ][2 mns − (za 0<n signalse pomera ulevo n koraka, za 0>n signal se pomera udesno n koraka).



Oređivanje ][ns podrazumeva određivanje njenih vrednosti za svako n odnosno za +∞<<∞− n . Grafičkise postupak može predstaviti kao pomeranje signala ][2 ms po m osi od ∞− do ∞+ , nalaženjemproizvoda ][][ 21 mnsms −⋅ i sabiranjem vrednosti dobijenih proizvoda. Za konkretni primer se dobija

jednačina ∑∞

−∞=

−−⋅=m

mnnmns ][][][ 0δδ . Na osnovu definicije jediničnih impulsa se može uočiti da je

proizvod u sumi različito od nule samo za 0nn = , pa je zato i suma različita od nule za tu vrednost, dok zaostale vrednosti n , proizvod pa i suma su jednaki nuli. Grafička interpretacija : neka se određuje vrednostsignala u trenutku 01 nnn ≠= tj. ][ 1nns = . S obzirom da se pomera samo signal ][2 ms , to ćemo imati daje ][][ 0112 mnnmns −−=− δ . Prikažimo oba signala u istom dijagramu predpostavljajući da je

001 <− nn . To znači da je pomereni jedinični impuls lociran na levoj strani vremenske ose tj. za negativnom . Sa slike se vidi da se signali ne preklapaju pa je njihov proizvod jednak nuli pa je i suma jednaka nuli.Signal ][2 ms je različito od nule tamo gde je signal ][1 ms jednaka nuli, dok je signal ][1 ms različito odnule tamo gde je signal ][2 ms jednaka nuli. Isti zaključak se može izvesti i za slučaj kada se signal ][2 msnalazi desno od signala ][1 ms . Predpostavimo da smo signal ][2 ms pomerili tako da se signali preklapaju.Kako su signali različiti od nule za isti trenutak, to će i njihov proizvod biti različito od nule, dok za ostaletrenutke proizvod je jadnak nuli. Kako postoji samo jedan član u sumi koji je različito od nule to će ivrednost signala biti jednaka tom članu. Postavlja se pitanje za koju vrednost n ćemo dobiti sumu različituod nule, odnosno koliko treba da se pomeri signal ][2 ms u odnosu na signal ][1 ms da bi dobili rezultatrazličitu od nule. Kao što je to već pre uočeno signali se moraju preklapati. Signal ][1 ms je lociran u tačku

0=m . Ako se signali preklapaju tada je signal ][2 ms isto lociran u toj tački tj.0000 =−=−−

=nnmnn

m. Iz toga onda sledi da za trenutak 0nn = vrednost sume je različito od nule,

odnosno za rezultat važi

≠=

=0

0

;0;1

][nnnn

ns . Rezultujući signal je zapravo jedinični impuls pomeren za 0n

koraka ulevo ako je 00 <n ili udesno ako je 00 >n .

e.2) Neka su signali ][][1 nuns = ]10[][2 −= nns δ . Za konvolucionu jednačinu se tada dobija

∑∞

−∞=

−−⋅=m

mnmuns ]10[][][ δ . Grafički prikaz oba signala za 5−=n je dato na slici.

Analogno predhodnom zadatku i u ovom slučaju jekonvoluciona suma različita od nule samo tada kada se obasignala preklapaju tj. kada se signal ][2 ms nalazi desno odtačke 0=m . Preklapanje signala počinje od trenutka kadaje 010

0 =−−=m

mn tj kada je 10=n i traje do ∞+ .Konvoluciona suma i sada sadrži samo jedan član jer seostali članovi zbog jediničnog impulsa množe sa nulom, te je

rezultat konvolucije

−=<≥

= ]10[10;010;1

][ nunn

ns .

e.3) Signali ][][1 mums = i ][][2 mnums −= su prikazanina slici 1. Ako se signali ne preklapaju tada je i proizvodjednak nuli kao što se to vidi i sa slike 1. Preklapanje signalanastaje u trenutku 0

0 =−=m

mn tj za 0≥n što je prikazanona slici 2. Konvoluciona suma će tada da glasi

∑∞

−∞=

−⋅=m

mnumuns ][][][ .



Sa slike 2. se može uočito da je donja granica sume 0=m jersignal ][1 ms je različito od nule samo za pozitivne vrednostim . Gornju granicu sume određuje signal ][2 ms . Sa slike sevidi je signal ][2 ms različito od nule ako je nm ≤ pa sledi daje gornja granica sume nm = . Uvrštavanjem se dobija

∑=

≥+=⋅=n

mnnns

0

0;111][ .

e.4) Neka je signal ≥

=drugde

nams

n

;00;

][1 a signal

][][2 mnums −= . Posmatrajmo signal ][ns posebno zainterval 0<<∞− n i posebno za interval +∞<≤ n0 . Zainterval 0<n međusobni položaj signala ][1 ms i ][2 ms jeprikazano na slici 1. dok za interval 0≥n na slici 2. Analognopredhodnom zadatku sa slike 1. se može uočiti da zbognepreklapanja signala proizvod signala je jednaka nuli, pa je isuma jednaka nuli. Iz ove analize zaključujemo da je signal

0;0][ <= nns . Preklapanje nastaje kada se signal ][2 mspomeri za 0≥n . Donju granicu sume opet određuje signal

][1 ms koji je definisan samo za 0≥m , pa zato sumiranjepočinjemo od tačke 0=m . Gornja granica zavisi od položajasignala ][2 ms odnosno u kojoj meri se signali preklapaju. Kao iu predhodnom primeru signal ][2 ms je različit od nule za

nm ≤ pa je gornja granica sume nm = . Nakon ove analizekonvoluciona suma će da glasi

∑ ∑= =

=⋅=n

m

n

m

mm aans0 0

1][ . Ova suma postoji samo za vrednosti

1<a i ona je jednaka a

aann

m

m

−−=

+

=∑ 1

1 1

0. Za ostale vrednosti broja a , suma divergira ili osciluje oko

vremenske ose. Na osnovu predhodne analize konačno dolazimo do rešenja

≥−

−<

= +

0;11

0;0][ 1

na

an

ns n .

e.5) Analogno predhodnim primerima signal 0][ =ns za 0<n jer se signali ne preklapaju. Za 0≥n signali

se preklapaju pa je )1(1][00

+⋅=⋅=⋅= ∑∑==

− naaaans nn

m

nn

m

mnm . Određivanje granica sume je analogan

predhodnim postupcima. Za 1−≤a signal ][ns teži ka beskonačnosti menjajući predznak u svakomtrenutku (slika 1). Za 01 <<− a signal naizmenično menja predznak i teži ka nuli (slika 2). Za 10 << asignal je uvek pozitivan i teži ka nuli (slika 3). Za 1≥a signal teži ka beskonačnosti (slika 4).



f) korelacija signala ( ∑∞

−∞=

+⋅=m

mnsmsns ][][][ 21 )

f.1) postupak rešavanja korelacione jednačine je sličan postupku za rešavanje konvolucione jednačine. Bitnarazlika je u signalu koja se pomera u odnosu na drugi fiksni signal. U slučaju konvolucije smo imali da sejedan od signala preslikava kao lik u ogledalu i tako ulazi u konvolucionu jednačinu. Kako se signal pomeraopo vremenskoj osi to smo dobijali različite vrednosti za rezultat tražene sume. Kod korealcione jednačinenema gore opisanog preslikavanja nego se signal pomera za određeni korak i tako ulazi u račun sume.Rezultat toga je da se sada signal pomera u suprotnom smeru tj. kreće se od desne strane ka levoj. Za 0<nimaćemo da se signal nalazi na desnoj strani vremenske ose dok se za 0>n nalazi na levoj stranivremenske ose.Posmatrajmo prvo intrval 0<n koji je prikazan naslici 1.Kako se signali preklapaju to je njihov proizvod različito od nulepa je i suma različita od nule. Napišimo izraz za sumiranje iz kojećemo zatim da odredimo zavisnost signala ][ns od vremena

0<n . ∑∑∞

=

−∞

=

+− ⋅=⋅=nm

mn

nm

mnm aaaans 2][ .Granice su

očigledne jer se signali preklapaju samo za +∞<≤ mn . Da bisumu rešili u tabličnom obliku napisaćemo je na sledeći način

2

2

2

2

2

1

0

2

0

22

111

11

aa

aa

aaaa

nnn

m

m

m

m

nm

m

−=

−−−

−=−= ∑∑∑

−

=

∞

=

∞

=

.

Konačno se dobija 22

2

11][

aa

aaans

nnn

−=

−⋅= − za 0<n .

Posmatrajmo sada signal ][ns u intervalu 0>n i međusobnipoložaj signala koji je prikazan na slici 2. Kao što se to vidi sa slikedonja granica sume je 0=m dok je gornja granica ∞→m . Na

osnovu ovoga ∑ ∑∞

=

∞

=

+

−=⋅=⋅=

02

0

2

1][

m

n

m

mnmnm

aaaaaans za

0≥n . Upoređujući izraze signala ][ns za različite intervale nuočava se jedna bitna osobina autokorelacionog signala : ako sudiskretni signali realni tada je njihov autokorelacioni signal uvekparna funkcija vremena.

Konačno se za signal može napisati na

ansn

∀−

= ;1

][ 2 .

f.2) Uvrštavanjem signala u formulu korelacije signala dolazimo do izraza ∑∞

−∞=

+−⋅=m

mnmns ]3[][][ δδ .

Poznavajući osobine impulsnih funkcija može se zaključiti da je data suma različita od nule ako se impulsipoklapaju tj. nalaze se na istom mestu. Iz ovog uslova sledi 03

0=+−

=mmn pa se dobija da je 3=n .

Konačno imamo da je =

=drugden

ns;0

3;1][ .

f.3) Korelaciona suma za ovaj primer će da glasi

∑∞

−∞=

+⋅=m

mnumns ][)3

2cos(][ π. Posmatrajmo sumu posebno za 0>n

i za 0<n . Međusobni položaj signala za slučaj 0<n je prikazan naslici 1. Kao što se to sa slike vidi, suma je različita od nule samo za

nm ≥ pa prema tome ∑∞

=

⋅=nm

mns )3

2cos(1][ π. Primenom Ojlerovog

obrazca i preuređivanjem sume se dobija



∑∑−

=

−∞

=

−+−+=

1

0

32

32

0

32

32

22][

n

m

mjmj

m

mjmjeeeens

ππππ

. Razbijanjem sume na parcijalne sume i primenom

tabličnih rešenja gornjih suma sledi

−

−−−

−−−

+−

⋅=−

−

−3

2

32

32

32

32

32

1

1

1

1

1

1

1

121][ π

π

π

π

ππ j

nj

j

nj

jje

e

e

e

eens .

Sređivanjem izraza u zagradi dolazi se do rešenja

=−

−−⋅=

−+

−⋅=

−

−

)3

2cos(22

))1(3

2cos(2)3

2cos(2

21

1121][

32

32

32

32

π

ππ

π

π

π

π nn

e

e

e

ensj

nj

j

nj

)3

sin(

)33

2sin(

21

)3

(sin

)3

sin()33

2sin(

21

2 π

ππ

π

πππ −−=

⋅−⋅−=

nn za 0<n .

Međusobni položaj signala za interval 0>n prikazana je na slici 2.

Tražena suma će tada biti ∑∞

=

⋅=0

)3

2cos(1][m

mns π. Primenom

Ojlerovog obrazca sledi

=+= ∑∞

=

−

0

32

32

2][

m

mjmjeens

ππ

21

)3

2cos(22

)3

2cos(22

21

1

1

1

121

32

32 =

−

−⋅=

−+

−⋅=

− π

π

ππ jjee

.

Iz prethodne analize sledi da je

<−

⋅−

≥

=0;

)3

sin(

)33

2sin(

21

0;21

][n

n

n

ns

π

ππ.

f.4) Analogno predhodnim primerima može se zaključiti da je korelacionisignal za 0≥n jednaka nuli jer se signali zbog svojih oblastidefinisanosti ne preklapaju kao što je to prikazano na slici 1.Za slučaj 0<n imamo delimično preklapanje signala do tačke nm =

pa je stoga korelaciona suma ∑=

−⋅=n

mnmmns

0

))(2sin()3

2cos(][ π.

Primenom smena 3

2πα = , 2=β i Ojlerovog obrazca za sumu se



dobija ∑=

−−−− −⋅+=n

m

nmjnmjmjmj

jeeeens

0

)()(

22][

ββαα

. Sređivanjem sume dolazi se do izraza

( ) ( )∑∑=

+−−

=

−−+−

+−+=n

m

mjmjnjn

m

mjmjnj

eej

eeej

ens0

)()(

0

)()(

44][ βαβα

ββαβα

β

.

Koristeći tablična rešenja konačnih suma, dobijena suma se pretvara u oblik

−

−+−

−⋅−

−

−+−

−⋅= +−

++−

−

+−

−−

+−−

+

++−

)(

)1)((

)(

)1)((

)(

)1)((

)(

)1)((

11

11

411

11

4][ βα

βα

βα

βαβ

βα

βα

βα

βαβ

j

nj

j

njnj

j

nj

j

njnj

ee

ee

je

ee

ee

jens .

Nakon množenja prve zagrade sa nje β− i druge sa nje β i kombinovanjem prvog člana prve zagrade sadrugim članom druge zagrade i drugog člana prve zagrade sa prvim članom druge zagrade dobija se

+

++−++−

−

−−−−+⋅=

)2

sin(

)2

cos()2

cos(

)2

sin(

)2

cos()2

cos(

41][

βα

βαββαα

βα

βαββαα nnnnns .

Nakon uvrštavanja α i β dolazi se do konačnog rezultata koji glasi

≥

<−

++−++−

+

+−−−+

=

0;0

0;)1

3sin(4

)13

2cos()133

2cos(

)13

sin(4

)13

2cos()133

2cos(

][

n

nnnnn

ns π

πππ

π

πππ

.

Dobijeni korelacioni signal je prikazan na slici 2.

Gornja slika prikazuje korelacioni signal u širem intervalu,dok donja slika prikazuje izdvojeni segment signala uintervalu 20120 ≤≤− n . I sa grafikona i iz analitičkogoblika signala može da se zapazi da korelacioni signal nijeperiodičan.

f.5) Konvoluciona suma za ova dva signala će da glasi ∑+∞

−∞=

+⋅=m

mnmns ))(4

5sin()3

2cos(][ ππ.

Primenom osnovnih trigonometrijskih transformacija suma se može svesti na oblik

=

⋅+

⋅= ∑∑

∞

−∞=

∞

−∞= mmmmnmmnns )

45sin()

32cos()

45cos()

45cos()

32cos()

45sin(][ ππππππ



−⋅+

+⋅= ∑∑

∞

−∞=

∞

−∞= mm

mmn

mmn

2

)127sin()

1223sin(

)4

5cos(2

)127cos()

1223cos(

)4

5sin(

πππ

πππ

.

Može se uočiti da su svi trigonometrijski diskretni signali pod sumom periodični sa periodom 24=N .Razbijanjem sume na zbir parcijalnih suma po jednoj periodi signala tj.

∑ ∑∑∑∑∑∑∑+∞

−∞=

−+

=

−+

===

−

−=

++−

−=

∞

−∞=

=+⋅++++⋅+=r

r

rm

n

nmmmm

n

nmmmgmgmgmgmgmgmg

124)1(

24

124)1(

24

47

24

23

0

1

24

124)1(

24

][][][][][][][ .

Izdvojimo iz niza parcijalnih suma tu koja sumira vrednosti periodičnog trigonometrijskog signala u njenoj

osnovnoj periodi, to je ∑=

23

0

][m

mg . Neka je )1223sin(][ mmg π= . Za ][mg se može izabrati bilo koji gore

navedeni signal, zaključak koji će da sledi važi za svaki od tih signala. Vrednosti koje će signal poprimati udatoj periodi za različite vrednosti m su sledeće

+++++++++++−−−−−−−−−−−

=258.0,5.0,707.0,866.0,965.0,1,965.0,866.0,707.0,5.0,258.0,0

0;258.0,5.0,707.0,866.0,965.0,1,965.0,866.0,707.0,5.0,258.0,0|[ms .

Ako sumiramo vrednosti signala po celoj periodi vidimo da se za rezultat dobija nula. Kako je signalperiodičan, njene vrednosti se ponavljaju za svaku parcijalnu sumu, te će svaka parcijalna suma, analognopredhodnom, biti jednaka nuli. Sledi da su vrednost pojedinih beskonačnih suma jednake nuli tj.

00)4

5cos(0)4

5sin(][ =⋅+⋅= nnns ππ. Iz dobijenog rezultata se može zaključiti da je korelacija gore

navedenih signala jednaka nuli za bilo koju vrednost n tj. nns ∀= ;0][ .+

Gore navedeni zaključak smo izveli u vremenskom domenu primenom nekih od trigonometrijskih adicionihtransformacija. Do istog zaključka ćemo doći i u sledećem poglavlju gde ćemo analizu sprovesti utransformacionom domenu signala.

Zadatak 3.

a) Za svaki od sledećih sistema odrediti dali je sistem stabilan, kauzalan, linearan, vremenski nepromenljiv,bez memorije

a.1) ][][][ nxngnxS ⋅= , a.2) ∑=

=n

nkkxnxS

0

][][ , a.3) ∑+

−=

=0

0

][][nn

nnkkxnxS ,

a.4) ][][ 0nnxnxS −= , a.5) ][][ nxenxS = , a.6) bnxanxS +⋅= ][][ ,

a.7) ][][ nxnxS −= , a.8) ]1[3][][ +⋅+= nunxnxS .

+ Gore izvedenoj sumi se može dati i drugačije tumačenje: suma neke funkcije po nekom intervalu predstavlja srednjuvrednost date fumkcije. Svaka od gornjih trigonometrijskih signala ima istu periodu i simetrične su u svakoj periodi nadiskretnu vremesku osu. Kako su one simetrične po svakoj periodi te njihova srednja vrednost mora biti nula po svakojperiodi pa je zato i njihova beskonačna suma jednaka nuli.



b) Primenom impulsnog odziva odrediti odziv sistema na datu pobudu

b.1)

][nx , ][nh

b.2)

][nx , ][nh

b.3) Za impulsni odziv je poznato da je 10;0][ NnNnh ≤≤≠ . Za ulazni signal se zna da je

32;0][ NnNnx ≤≤≠ . Izlazni signal je 54;0][ NnNny ≤≤≠ .Odrediti ),,,( 32104 NNNNfN = i ),,,( 3210 NNNNfN = .

c) Odrediti odziv sistema ako je poznata relacija ULAZ-IZLAZ .

c.1) RUI : ]1[2]2[81]1[

43][ −=−+−− nxnynyny , ][][ nnx δ= , 8]2[,0]1[ −=−=− yy .

c.2) RUI : ]1[2]2[6]1[5][ −=−+−− nxnynyny , 0]2[]1[ =−=− yy . c.2.a) odrediti homogeno rešenje diferencne jednačine c.2.b) naći odziv na pobudu ][][ nnx δ= c.2.c) naći odziv na pobudu ][][ nunx = .

Rešenje:

a.1) Uslov stabilnosti:Sistem je stabilan ako se na bilo koji ograničen ulaz ( ∞<< xBnx ][ ) na izlazu sistema dobija ograničen

odziv tj. ∞<< yBny ][ .

Neka je ][][][][ nxngnxSny ⋅== odziv sistema na ograničenu pobudu ( ∞<< xBnx ][ ). Po datoj

definiciji sledi xBngnxngnxngny ⋅<⋅=⋅= ][][][][][][ . Ukoliko je i sekvenca ][ng ograničena tj.

∞<< gBng ][ tada je ∞<⋅<⋅= xg BBnxngny ][][][ tj. zaključujemo da je sistem ograničen jer je injegov odziv ograničen.

Uslov kauzalnosti:Sistem je kauzalan ako se za bilo koji proizvoljno odabrani trenutak 0n , izlazni signal u trenutku

0nn = zavisi samo od vrednosti ulaznog signala u trenucima 0nn ≤ .



Primenom gornjeg uslova na dati sistem, dobija se da je za trenutak 0nn = izlazni signal jednak][][][ 000 nxngny ⋅= tj. da vrednost izlaznog signala za posmatrani trenutak zavisi samo od vrednosti

sekvence ][ng i ][nx u posmatranom trenutku. Znači sistem jeste kauzalan.

Uslov linearnosti:Klasa linearnih sistema je definisana principom superpozicije.Ako su ][1 ny i ][2 ny odzivi na pojedine pobude ][1 nx i ][2 nx respektivno, tada je sistem linearan ako isamo ako važi

][][][][][][ 212121 nynynxSnxSnxnxS +=+=+i

][][][ nyanxSanxaS ⋅=⋅=⋅

gde je a proizvoljno odabrana konstanta.Prva osobina se naziva osobinom aditivnosti dok je druga, osobina homogenosti ili drugačije osobinaskaliranja.Testirajmo prvo osobinu aditivnosti. Tada se dobija

[ ] ][][][][][][][][][][][ 21212121 nynynxngnxngnxnxngnxnxS +=⋅+⋅=+⋅=+

iz čega zaključujemo da sistem zadovoljava osobinu aditivnosti.Za osobinu homogenosti dobijamo ][][][][][][ nyanxnganxangnxaS ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅ iz čega se vidi dasistem zadovoljava datu osobinu. Kako sistem zadovoljava date uslove sledi da je linearan.

Uslov vremenske invarijantnosti:Za sistem se kaže da je vremenski invarijantan ako se za vremenski pomerenu pobudu na izlazu dobija odzivvremenski pomerenu za istu veličinu.Neka je 00 <n vremenski pomeraj ulaznog signala koji se dovodi na ulaz testiranog sistema. Tada je ][][][][][][ 00000 nnxnngnnynnxngnnxS −⋅−=−≠−⋅=− iz čega sledi da sistem nije vremenski

invarijantan.

Uslov koji definiše sistem bez memorije:Sistem je bez memorije ako se vrednost izlaznog signala u bilo kom trenutku n zavisi samo od vrednostiulaznog signala u istom trenutku n .Iz definicije sistema se vidi da izlaz u trenutku n zavisi samo od proizvoda sekevnce ][ng i ][nx u istomtrenutku te sledi da je sistem bez memorije.

a.2) Stabilnost: ∑∑∑===

−⋅=<≤=n

nkxx

n

nk

n

nknnBBnxkxny

000

)(][][][ 0 . Iz dobijene jednakosti sledi da ako

∞→n tada i ∞→][ny , te sistem nije stabilan.

Kauzalnost: Za proizvoljno 1nn = imaćemo ][]1[]1[][][][ 11001

1

0

nxnxnxnxkxnyn

nk+−+⋅⋅⋅+++== ∑

=

.

Kao što se vidi izlazni signal u datom trenutku zavisi samo od predhodnih vrednosti ulaznog signala tj.10 nnn ≤≤ . Te zaključujemo da je sistem kauzalan.

Linearnost: Obuhvatajući obe ososbine linearnosti u jednu jednačinu, dobijamo da za linearne sistema važi

][][][][][][][][ 21212121 nybnyanxSbnxSanxbSnxaSnxbnxaS ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅ .



Primenimo dati uslov na posmatrani sistem. Dobijamo jednačinu

[ ] ][][][][][][][][ 21212121000

nybnyakxbkxakxbkxanxbnxaSn

nk

n

nk

n

nk⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅ ∑∑∑

===

iz koje sledi da je posmatrani sistem linearan.

Vremenska invarijantnost:

][][][][][][][ 110101

1

10

1

0

nnxnnxkxnnxnxkxnnynn

nnk

nn

nk−+⋅⋅⋅+−=≠−+⋅⋅⋅+==− ∑∑

−

−=

−

=

.

Iz dobijene relacije sledi da sistem nije vremenski invarijantan.

Sistem bez memorije: ][1[]1[][][][ 000

nxnxnxnxkxnyn

nk+−+⋅⋅⋅+++== ∑

=

. Kao što se vidi trenutna

vrednost odziva zavisi i od predhodnih vrednosti ulaznog signala, te sledi da dati sistem nije bez memorije.

a.3) Stabilnost: ∞<=+−+=<≤= ∑∑∑+

−=

+

−=

+

−=000 2)(][][][

0

0

0

0

0

0

nBnnnnBBkxkxny xx

nn

nnkx

nn

nnk

nn

nnk. Kako je

odziv ograničen za bilo koje n sledi da je dati sistem stabilan.

Kauzalnost: Za trenutak 1nn = odziv sistema je

∑+

−=

++−++⋅⋅⋅++−+−==01

01

][]1[]1[][][][ 010101011

nn

nnknnxnnxnnxnnxkxny .

Očigledno sistem nije kauzalan jer izlazni signal u trenutku 1nn = ne zavisi samo od vrednosti ulaznogsignala u predhodnim trenucima ( 1001010101 ,...,2,1, nnnnnnnnnn =+−+−+−− ) već i od vrednosti ubudućim trenucima ( 01111 ,...,3,2,1 nnnnn ++++ ).

Linearnost: Primenom uslova linearnosti dobija se izraz

[ ] ][][][][][][][][ 21212121

0

0

0

0

0

0

nybnyanxbnxanxbnxanxbnxaSnn

nnk

nn

nnk

nn

nnk⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅ ∑∑∑

+

−=

+

−=

+

−=

.

Dati sistem zadovoljava uslov linearnosti te sledi da je sistem linearan.

Vremenska invarijantnost: Za proizvoljnu pomerenu ulaznu pobudu dobjamo

⋅⋅⋅++−−+−−==− ∑+−

−−=

]1)[(])[(][][ 01011

01

01

nnnxnnnxkxnnxSnnn

nnnk

][])[(]1)[( 10101 nnynnnxnnnx −=+−+−+−+⋅⋅⋅ .

Zaključujemo da je sistem vremenski invarijantan.

Sistem bez memorije: Kako izlazni signal zavisi i od predhodne vrednosti ulaznog signala zaključujemo daposmatrani sistem nije bez memorije.



a.4) Stabilnost: Ako na ulaz dovedemo ograničenu pobudu tada na izlazu dobijamo isto ograničen odzivtj. ∞<<−= xBnnxny ][][ 0 , te sledi da je sistem stabilan.

Kauzalnost: Odziv sistema u trenutku 1nn = je ][][ 011 nnxny −= tj. zavisi samo od predhodne vrednostiulaznog signala pa je stoga sistem kauzalan.

Linearnost: Primenom uslova sledi

][][][][][][ 21020121 nybnyannxbnnxanxbnxaS ⋅+⋅=−⋅+−⋅=⋅+⋅ .

Pa zaključujemo da je sistem linearan.

Vremenska invarijantnost: Za proizvoljno odabranu vrednost 1n odziv na pobudu ][ 1nnx − će biti][])[(])[(][' 10110 nnynnnxnnnxny −=−−=−−= pa je sistem vremenski invarijantan.

Sistem bez memorije: Po datom opisu sistema, trenutna vrednost odziva zavisi od neke od predhodnihvrednosti pobudnog signala pa stoga sistem nije bez memorije.

a.5) Stabilnost: ∞<<<= xBnxnx eeeny ][][][ . Iz formule sledi da je sistem stabilan.

Kauzalnost: Odziv sistema u proizvoljno odabranom trenutku 1nn = je ][1

1][ nxeny = tj. zavisi samo odvrednosti ulaznog signala u istom trenutku, pa sledi da je sistem kauzalan.

Linearnost: ][][][][][][21

212121][][ nxnxnxbnxanxbnxa ebeaeeenxbnxaS ⋅+⋅≠⋅==⋅+⋅ ⋅⋅⋅+⋅ . Kao što se vidisistem ne zadovoljava uslov linearnosti.

Vremenska invarijantnost: Za proizvoljno vremenski pomereni ulazni signal na izlazu se dobija odziv][ 0

][ 0 nnye nnx −=− koji je pomeren u vremenu za istu vrednost. Sledi da je sistem vremenski invarijantan.

Sistem bez memorije: Iz uslova kauzalnosti smo zaključili da vrednost odziva u proizvoljnom trenutkuzavisi samo od vrednosti pobude u istom tom trenutku tj. sistem ne pamti predhodne vrednosti ulaznogsignala. Sledi da je sistem bez memorije.

a.6) Stabilnost: Iz jednačine ∞<+⋅<+⋅=+⋅=+⋅= bBabnxabnxabnxany x][][][][ sledi da jeposmatrani sistem stabilan.

Kauzalnost: U proizvoljno odabranom trenutku odziv sistema će biti bnxany +⋅= ][][ 11 , što namukazuje, analogno predhodnom zadatku, da je sistem kauzalan.

Linearnost:

[ ] [ ] [ ]!!"!!#$!!"!!#$

][

22

][

1122112211

21

][][][][][][nyny

bnxaabnxaabnxanxaanxanxaS +⋅⋅++⋅⋅≠+⋅+⋅⋅=⋅+⋅ .

Iz date nejednakosti se zaključuje da posmatrani sistem nije linearan.

Vremenska invarijantnost: Za proizvoljno vremensko pomeranje ulaznog signala na izlazu se dobija][][][' 00 nnybnnxany −=+−⋅= pomereni odziv u vremenu za istu vrednost, pa je zato sistem

vremenski invarijantan.



Sistem bez memorije: Kako vrednost odziva sistema na proizvoljnu pobudu u proizvoljnom trenutku zavisisamo od vrednosti pobude u istom trenutku, zaključujemo da je sistem bez memorije.

a.7) Stabilnost: Kako je ∞<<−= xBnxny ][][ sledi da je sistem stabilan.

Kauzalnost: Po definiciji kauzalnosti može da se zaključi da sistemi koji poseduju osobinu kauzalnosti nemogu da vrše predikciju izlaznog signala, ako je poznat ulazni signal do nekog trenutka tj. nemaju osobinupredviđanja odziva na osnovu dotad poznatih vrednosti pobude. Predpostavimo da smo ulazni signalposmatrali u beskonačno dugom vremenskom intervalu. Neka je trenutak kraja posmatranja odabran tako dase nalazi u tački 0=n na diskretnoj vremenskoj osi. Tada su nam poznati vrednosti pobude za 0<n .Odredimo vrednost odziva za proizvoljno 0>n tako da su nam vrednosti u predhodnim trenutcimanepoznate. Neka je taj ternutak 00 >= nn . Iz definicije sistema sledi da je odziv ][][ 11 nxny −= tj. da suvrednosti odziva u budućim trenucima već određene vrednostima pobude do trenutka posmatranja. Pa sledida sistem nije kauzalan jer na osnovu predhodno posmatranih vrednosti pobude uvek se može predvidetibuduća vrednost odziva sistema. Posmatrani sistem ima osobinu preslikavanja prošlosti u budućnost.

Linearnost: Iz uslova linearnosti

][][][][][][][][ 21212121 nybnyanxbnxanxSbnxSanxbnxaS ⋅+⋅=−⋅+−⋅=⋅+⋅=⋅+⋅

sledi da je posmatrani sistem linearan.

Vremenska invarijantnost: Po uslovu vremenske invarijantnosti zakasnela pobuda na ulazu sistema trebada da zakasneli odziv na izlazu sistema za isti vremenski pomeraj. Predpostavimo da smo pobudni signalzakasnili za izvesno vreme ][ 0nnx − . Tada je odziv )]([][ 0nnxny −−= što nam pokazuje da odzivprednjači isto toliko vremena. Znači sistem nije vremenski invarijantan.

Sistem bez memorije: Sistem nije bez memorije jer se vrednosti odziva određuju na osnovu predhodnoposmatranih vrednosti pobude.

a.8) Stabilnost: Iz ∞<+<⋅+≤⋅+= 3][3][][3][][ xBnunxnunxny sledi da je sistem stabilan.

Kauzalnost: U proizvoljno odabranom trenutku 0nn = odziv sistema je ][3][][ 111 nunxny ⋅+= tj. nezavisi od budućih vrednosti pobudnog signala. Sledi da je sistem kauzalan.

Linearnost:

][3][][3][][3][][][][ 212121 nunxbnunxanunxbnxanxbnxaS ⋅+⋅+⋅+⋅≠⋅+⋅+⋅=⋅+⋅

tj. sistem nije linearan.

Vremenska invarijantnost: Za proizvoljno vremenski pomereni ulazni signal ][ 0nnx − na izlazu sistemase dobija odziv ][][3][][3][][' 0000 nnynnunnxnunnxny −=−⋅+−≠⋅+−= koji nije vremenskipomeren signal. Zaključujemo da sistem nije vremenski invarijantan.

Sistem bez memorije: U razmatranju uslova kauzalnosti već smo ukazali na činjenicu da odziv sistemazavisi samo od trenutne vrednosti pobude, te je stoga sistem bez memorije.



b.1) Odziv sistema na proizvoljnu poznatu pobudu je data konvolucionom jednačinom

∑−∞=

−⋅=n

mmnhmxny ][][][ u kome je ][nx pobudni signal doveden na ulaz sistema, dok je ][nh impulsni

odziv sistema koji se dobija na izlazu ako je pobuda jedinični impulsni signal. Sa slike se vidi da je pobudnisignal ][nx zakasneli jedinični impuls sa 10 =n , gde je 0n odgovarajuće vremensko kašnjenje signala tj

]1[][][ 0 −=−= nnnnx δδ . Kao što smo rekli odziv na jediničnu impulsnu pobudu jeste impulsni odzivsistema ][nh . Kako je po predpostavci sistem linearan i vremenski nepromenljiv (LVN) sledi da će se navremenski pomerenu pobudu na izlazu sistema dobiti vremenski pomereni odziv. Iz gornjeg tada sledi da jeodziv na pobudni signal ]1[][][ 0 −=−= nhnnhny . Dobijeno rešenje ćemo pokazati i rešavanjemkonvolucione jednačine.

∑−∞=

−⋅=n

mmnhmxny ][][][ . Kako je

≠=

=1;01;1

][mm

mx to će suma biti ]1[1][ −⋅= nhny . Za vrednosti

1<n odziv sistema je 0][ =ny jer je i 0]1[ =−nh , kao što se to vidi sa slike. Za 1=n vrednost odziva je2]0[]11[]1[ ==−= hhy . Za 2=n odziv je 1]1[]12[]2[ ==−= hhy . Za 2>n izlazni signal je jednak

nuli jer je i impulsni odziv jednak nuli. I time smo dokazali gore opisan način razmišljanja.

b.2) Traženi odziv ćemo rešiti na dva načina.

Prvi način: direktno rešavanje konvolucione jednačine.Kako je ulazni signal različit od nule samo u dva trenutka, to će i konvoluciona suma da sadrži dva člana tj.

]1[1][2]1[]1[]0[]0[][][][ −⋅−⋅=−⋅+−⋅=−⋅= ∑−∞=

nhnhnhxnhxmnhmxnyn

m. Kako je impulsni odziv

jednak nuli za 0<n , to će i odziv biti nula. Za 0=n odziv je ( ) 2012]1[]0[2]0[ −=−−⋅=−−⋅= hhy .Za 1=n odziv se dobija analogno kao i malopre 5)1(22]0[]1[2]1[ =−−⋅=−⋅= hhy . Za 2=n sedobija 0212]1[]2[2]2[ =−⋅=−⋅= hhy . Dalje za 3=n imaćemo 1102]2[]3[2]3[ −=−⋅=−⋅= hhy .Za vrednosti 3>n oba člana sume je jednaka nuli pa je i odziv jednak nuli. Analitički oblik odziva je

=−===−

=

drugden

nnn

ny

;03;1

2;01;50;2

][ .

Drugi način: primena osobina LVN sistema.Ulazni signal možemo da prikažemo kao zbir dva signala u kome su pojedini signali jedinični impulsnisignali pomnoženi sa odgovarajućim konstantama i vremenski pomereni za određeni položaj tj.

]1[][2][][][ 1;2

]1[][];[][2121

−−⋅=⋅+⋅= −==

−==nnnxbnxanx ba

nnxnnxδδ

δδ. Ako se na ulaz dovede signal

][][1 nnx δ= tada će se na izlazu pojaviti impulsni odziv sistema (vidi predhodni zadatak) tj. imaćemo][][1 nhny = . Ako se na ulaz dovede pobuda ]1[][2 −= nnx δ tada će se na izlazu pojaviti odziv

]1[][2 −= nhny . Kako je po predpostavci sistem LVN, to će se na zbirnu pobudu ][nx pojaviti zbir odzivapojedinih pobuda tj. ]1[1][2][][][ 21 −⋅−⋅=⋅+⋅= nhnhnybnyany . Dobijeni izraz je identičan zadnjemidentitetu kojeg smo izveli za prvi način rešavanja, te je i rezultat identičan.



h[m]

N1N0

n+N3n-N2

x[n-m]

Slika 1.

h[m]

mN0 N1

x[n-m]

n-N2 n+N3Slika 2.

m

b.3) Odziv sistema na proizvoljnu pobudu je data konvolucionom jednačinom ∑∞

−∞=

−⋅=m

mnxmhny ][][][ .

Data suma će biti različita od nule ako je proizvod ][][ mnxmh −⋅različito od nule za bilo koje n i m . Dati uslov je zadovoljen akose signali ][mh i ][ mnx − preklapaju kao što je to prikazano naslici 1. i slici 2.. Prvi trenutak preklapanja signala nastaje ako je

02 NNn =− , pa će i rezultat konvolucije biti različito od nuleako je 20 NNn +≥ (Slika 1.). Sve dok važi uslov da je

13 NNn ≤− tj. da je 31 NNn +≤ , signali se još uvekpreklapaju, pa je i rezultat konvolucije različito od nule (Slika 2.).Nakon ove tačke prizvod posmatranih signala je jednaka nuli jer seviše ne preklapaju, pa je i rezultat konvolucije jednaka nuli. Iz dateanalize sledi da je konvoluciona suma različita od nule za interval

3120 NNnNN +≤≤+ odnosno, izlazni signal je različit odnule u intervalu 54 NnN ≤≤ gde je 204 NNN += i

215 NNN += .

c.1) Rešavanje diferencnih jednačina se svodi na posmatranje oblika karakteristične jednačine i oblikapobude, koja se dovodi na ulaz sistema, čime se zapravo određuje homogeno i partikularno rešenjediferencne jednačine.

Određivanje homogenog rešenja.

Leva strana jedančine se izjednači sa nulom tj. formiramo 0]2[81]1[

43][ =−+−− nynyny . Iz ove

jednačine formiramo karakteristični polinom, tako što ćemo izvršiti formalnu smenu mzmny −=− ][ , gde

je z kompleksna promenljiva. Za naš primer karakteristični polinom glasi 211

81

431)( −−− +−= zzzP .

Izjednačavanjem karakterističnog polinoma sa nulom dobija se karakteristična jednačina tj.

081

431)( 211 =+−= −−− zzzP . Rešenje ove jednačine (koreni polinoma) predstavljaju fundamentalna

rešenja, pomoću kojih se formira opšte rešenje homogenog dela diferencne jednačine. Korenikaraterističnog polinoma mogu biti:

1. realni i različiti mmm λλλλλ ,,,...,, 1221 −− , i tada su fundamentalna rešenja data u oblikunmm

nmm

nn nfnfnfnf λλλλ ==== −− ][,][,...,][,][ 112211 čija linearna kombinacija čini opšterešenje homogenog dela tj. mmmm fcfcfcfcny ++++= −− 112211hom ...][ .

2. realni i r-to struki. Neka je koren 1λ r-to struki koren karakteristične jednačine. Tada jepripadajuće fundamentalno rešenje oblika nrnrnnn nnnnnf 1

11

21

2111 ...][ λλλλλ −− +++++= . Na

isti način se formiraju ostala fundamentalna rešenja u slučaju r-to strukosti. Opšte rešenjehomogenog dela opet predstavlja linearnu kombinaciju fundamentalnih rešenja.

3. koreni su kompleksni oblika nn jn

jn ezez αα ρρ −== 21 , . Tada je fundamentalno rešenje

za koren 1z oblika nnnnf αρ cos][1 = dok je za koren 2z oblika n

nnnf αρ sin][2 = . Ukoliko

su u pitanju r-to struki kopmleksni koreni tada je ∑−

=

⋅⋅=1

01 cos][

r

in

nn

innf αρ dok je

∑−

=

⋅⋅=1

02 sin][

r

in

nn

innf αρ . Opšte rešenje homogenog dela predstavlja linearna kombinacija

fundamentalnih rešenja.



Za dati primer koreni karakterističnog polinoma su 21

1 =z i 41

2 =z . Fundamentalna rešenja tada glase

n

nf

=

21][1 i

n

nf

=

41][2 . Opšte rešenje će biti

nn

ccccny

⋅+

⋅=

41

21],,[ 2121hom .

Konstante 1c i 2c određujemo pomoću početnih uslova koja su po zadatku jednake 0]1[ =−y ,8]2[ −=−y . Tada je 042],,1[ 2121hom =⋅+⋅=− ccccy i 8164],,2[ 2121hom −=⋅+⋅=− ccccy .

Iz datog sistema jednačina za pojedine konstante se dobija 1;2 21 −== cc . Opšte rešenje homogenog dela

glasi nn

ny

−

⋅=

41

212][hom . Ovo rešenje se često naziva i kao odziv usled delovanja početnih

uslova.

Određivanje partikularnog rešenja.

Kada se određuje nehomogeno rešenje posmatra se diferencna jednačina sa datom pobudom ali bezdelovanja početnih uslova. Kako je pobudni signal jedinični impuls koji je kauzalan to ćemo rešenjenehomogenog dela predstaviti kao ][][ˆ][ nunyny ⋅= . Tada će se dobiti

][][ˆ][],...,2[]2[ˆ]2[],1[]1[ˆ]1[ mnumnymnynunynynunyny −⋅−=−−⋅−=−−⋅−=− .

Uvrštavanjem ovih izraza u diferencnu jednačiniu dobija se jednačina

∑∑==

⋅−⋅±=−⋅−⋅+⋅m

ii

m

ii nuinyninuinynuny

11

][][ˆ][][][ˆ][][ˆ αδα .

Na desnoj strani jednačine predznak poslednje sume predstavlja zbir članova te sume kojom smo proširilidesnu stranu jednačine tj. dodali smo i oduzeli isti član na desnoj strani. Za dati primer ova operacija će datijednačinu

][]2[ˆ81][]1[ˆ

43][]2[]2[ˆ

81]1[]1[ˆ

43][][ˆ nunynunynnunynunynuny ⋅−±⋅−=−⋅−+−⋅−−⋅ %δ .

Prebacivanjem sume sa desne strane na levu i sređivanjem iste, dolazi se do izraza

[ ] ][][][][ˆ][][ˆ][ˆ11

ninunuinynumnynym

ii

m

ii δαα =−−⋅−⋅−⋅

−⋅+ ∑∑

==

tj. za navedeni primer imaćemo

[ ] [ ] ][]2[][]2[ˆ81]1[][]1[ˆ

43][]2[ˆ

81]1[ˆ

43][ˆ nnununynununynunynyny δ=−−⋅−−−−⋅−+⋅

−+−− .

Kako je ∑−

=

−=−−1

0][][][

i

jjninunu δ sledi da je

][][][ˆ][][ˆ][ˆ1

1

01njninynumnyny

m

i

i

ji

m

ii δδαα =−⋅−⋅−⋅

−⋅+ ∑ ∑∑

=

−

==

.



Upoređivanjem signala sa leve strane sa signalima na desnoj strani dolazimo do sledećeg sistema jednačina.Izraz u zagradi gornje jednačine množi signal ][nu kojeg nema na desnoj strani te je

0][ˆ][ˆ1

=

−⋅+∑

=

m

ii mnyny α . Signal ][nδ na levoj strani množi izraz ∑

=

−⋅−m

ii iy

1

][ˆα koji je jednak

jedinici jer taj signal postoji i na desnoj strani. Signal ]1[ −nδ nepostoji na desnoj strani pa je zato izraz na

levoj strani 0][ˆ1

1=−⋅−∑

−

=

m

ii iyα . Isti zaključak važi i za signale )]1([],...,3[],2[ −−−− mnnn δδδ . Ovim

se dobija sledeća šema

0]1[ˆ)]1([

0]2[ˆ]3[ˆ]2[ˆ]1[ˆ]2[0]1[ˆ]2[ˆ]2[ˆ]1[ˆ]1[

1][ˆ]1[ˆ]2[ˆ]1[ˆ][0][ˆ)]1([ˆ]2[ˆ]1[ˆ][ˆ][

143

132

121

12

=−⋅−−−

=+−⋅−+−⋅−−−⋅−−⋅−−=+−⋅−+−⋅−−−⋅−−⋅−−

=−⋅−+−⋅−−−⋅−−⋅−=−⋅+−−⋅++−⋅+−⋅+

−

−

−

−

ymn

mymyyynmymyyyn

mymyyynmnymnynynynynu

m

mm

mm

mm

mmi

αδ

ααααδααααδ

ααααδαααα

&

'

(&

(&

(&

(&

.

Rešavajući ovu šemu počev od zadnje jednakosti dobija se da su početne vrednost signala ][ˆ ny jednake

m

mymymyyyα1][ˆ;0]1[ˆ]2[ˆ]2[ˆ]1[ˆ −=−=+=+−==−=− ( koje zadovoljavaju diferencnu jednačinu

uz signal ][nu tj.

0][ˆ)]1([ˆ]2[ˆ]1[ˆ][ˆ 12 =−⋅+−−⋅++−⋅+−⋅+ − mnymnynynyny mmi αααα ( .

Ova diferencna jednačina ima samo homogeno rešenje i njeno određivanje smo već pokazali. Ovim relativnosloženim postupkom uspeli smo da određivanje partikularnog rešenja neke diferencne jednačine svedemo narešavanje samo homogenih rešenja. Za dati posmatrani primer imaćemo

[ ] ][]1[][]2[ˆ81][]1[ˆ

43][]2[ˆ

81]1[ˆ

43][ˆ nnnnynnynunynyny δδδδ =−+⋅−−⋅−+⋅

−+−− .

Šema koju smo malo pre definisali biće

nn

nyyy

yn

yyn

nynynynu

+

⋅−=⇒

−=−=−

⇒

=−⋅−−

=−⋅−−⋅

=−+−−

41

212][ˆ

8]2[ˆ0]1[ˆ

0]1[ˆ81]1[

1]2[ˆ81]1[ˆ

43][

0]2[ˆ81]1[ˆ

43][ˆ ][

&

&

&

δ

δ .

Odavde sledi da je partikularno rešenje ][41

212][ nuny

nn

part ⋅

+

⋅−= .

Rešenje polazne diferencne jednačine će tada biti

][41

212

41

212][][][ hom nunynyny

nnnn

part ⋅

+

⋅−+

−

⋅=+= .



c.2) RUI : ]1[2]2[6]1[5][ −=−+−− nxnynyny .

c.2.a) homogeno rešenjekarakteristični polinom: 211 651)( −−− ⋅+⋅−= zzzP .karakteristična jednačina: 0651)( 211 =⋅+⋅−= −−− zzzP .koreni karakteristične jednačine: 3;2 21 −=−= zz .

fundamentalna rešenja: ( ) ( )nn nfnf 3][;2][ 21 −=−= .opšte rešenje homogenog dela:

( ) ( )nn ccnfcnfcccny 32][][],,[ 21221121hom −⋅+−⋅=⋅+⋅= .

konačno rešenje homogenog dela uz nulte početne uslove 0]2[]1[ =−=− yy :

( ) ( ) ( ) ( ) 0302032][][],,[ 21221121hom =−⋅+−⋅=−⋅+−⋅=⋅+⋅= nnnn ccnfcnfcccny .

c.2.b) Videli smo da je homogeno rešenje diferencne jednačine jednaka nuli, pa je zato ovde nećemoponoviti. Određivanje partikularnog rešenja ćemo sprovesti korak po korak kao što smo to učinili upredhodnom zadatku.Kako je pobudni signal kauzalan rešenje ćemo predpostaviti u obliku ][][ˆ][ nunyny ⋅= .S obzirom da rešenje mora da zadovolji diferencnu jednačinu to će diferencna jednačina da glasi

]1[2]2[]2[ˆ6]1[]1[ˆ5][][ˆ −⋅=−⋅−⋅+−⋅−⋅−⋅ nnunynunynuny δ .

Proširimo diferencnu jednačinu

][]2[ˆ6][]1[ˆ5]1[2]2[]2[ˆ6]1[]1[ˆ5][][ˆ nunynunynnunynunynuny ⋅−±⋅−−=−⋅−+−⋅−−⋅ %δ

i sredimo dati oblik u pogodniji. Tada se dobija

[ ] [ ] [ ] ]1[2]2[][]2[ˆ6]1[][]1[ˆ5][]2[ˆ6]1[ˆ5][ˆ −=−−⋅−−−−⋅−+⋅−+−− nnununynununynunynyny δ

odnosno dobijamo

[ ] [ ] ]1[2]1[][]2[ˆ6][]1[ˆ5][]2[ˆ6]1[ˆ5][ˆ −=−+⋅−−⋅−+⋅−+−− nnnnynnynunynyny δδδδ .

Napišimo šemu za određivanje početnih uslova

( ) ( )nnnyy

y

ynyyn

nynynynu382

314][ˆ

185]2[ˆ31]1[ˆ

2]1[ˆ6]1[0]2[ˆ6]1[ˆ5][

0]2[ˆ6]1[ˆ5][ˆ ][−⋅+−⋅−=⇒

−=−

−=−⇒

=−⋅−−=−⋅−−⋅

=−+−−

&

&

&

δδ .

Odziv na sistema na datu pobudu uz nulte početne uslove je

( ) ( ) ][382314][ nuny nn ⋅

−⋅+−⋅−= .



c.2.c) Odredimo partikularno rešenje odziva na datu pobudu. Pobudni signal se može predstaviti i u obliku( ) 011][ jn

u eznu ⋅=== . Uvrštavanjem promenljive 1−uz u karakterističnu jednačinu vidimo da ona ne

predstavlja njen koren, pa je prema tome opšti oblik partikularnog rešenja .],[ constAnAy part ==Zamenom opšteg partikularnog rešenja u polaznu diferencnu jednačinu određuje se konstanta A .

2]2[6]1[5][ =−+−− nynyny partpartpart ,

1265 =⇒=⋅+⋅− AAAA .

Znači partikularno rešenje diferencne jednačine na datu pobudu je oblika

1;1][ ≥= nny part .

Procesiranje Signala F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T.


Furijeova transformacija,Z-transformacija,

Diskretna Furijeova transformacija

Po definiciji signali su fizičke veličine zavisne od vremena. Međutim njihov opis u vremenskomdomenu, bili oni analogni ili diskretni signali, predstavlja mnogo složeniji problem nego što se to na prvipogled čini.

Da bi se izbegli problemi oko vremenske reprezentacije signala, primenjuju se posebnetransformacione tehnike. Uloga transformacionih tehnika je da vremenski signal preslika u transformacionidomen i da se u tom domenu pomoću neke, u opštem slučaju kompleksne, funkcije opišu osobine signala.

Kao najjednostavniji primer bi se mogao navesti prikaz naizmeničnih električnih veličina (struja,napon) pomoću kompleksnih brojeva i vektora. Mada se to ne ističe na osnovnim studijama, ali ona jestejedan način transformacije vremenskih signala. Pomoću nje vremenski signali se prikazuju kompleksnimvektorima čime se sve složene operacije u vremenskom domenu svode na proste algebarske i vektorskeoperacije.

Za analogne signale često korišćene transformacije su Laplasova transformacija koja omogućavaanalizu signala u prelaznom režimu, zatim Furijeova transformacija ( kao specijalan slučaj Laplasovetransformacije ) za analizu signala u frekvencijskom domenu, itd.

Transformacije koje služe za analizu diskretnih signala su:

- Z-transformacija ( analogne uloge Laplasovoj transformaciji )- dvostrana (bilateralna) Z-transformacija

∑∞

−∞=

−⋅=n

nznxzX ][)( ,

- jednostrana (unilateralna) Z-transformacija

∑∞

=

−⋅=0

][)(n

nznxzX .

- Inverzna Z-transformacija

∫ ⋅⋅⋅= −

C

n dzzzXj

nx 1)(21][π

.

- Furijeova transformacija diskretnog signala ( FTD )

∑∞

−∞=

−⋅=n

jnj enxeX ωω ][)( ,

- Inverzna Furijeova transformacija diskretnog signala ( IFTD )

∫−

⋅⋅⋅=π

π

ωω ωπ

deeXnx jj )(21][ .

F.T. diskretnih signala, Z-transformacija, Diskretna F.T. Procesiranje Signala


Pojavom namenske računarske arhitekture ( DSP procesori ) FTD je izrastao svoj teorijski značaj.Međutim nedostatak njene praktične primene je ta što za rezultat daje kontinualnu kompleksnu funkciju, kojaje nepogodna za smeštaj u memoriju procesora. Rešenje ovog nedostatka je predstavljala diksretizacijaspektra signala čime je nastala diskretna Furijeova transformacija ( DFT ).

- Diskretna Furijeova transformacija ( DFT )

1,,1,0;][][1

0

2

−=⋅= ∑−

=

⋅⋅−NkenxkX

N

n

knN

j)

π

,

- Inverzna diskretna Furijeova transformacija ( IDFT )

1,,1,0;][][1

0

2

−=⋅= ∑−

=

⋅⋅NnekXnx

N

n

knN

j)

π

.

Ova transformacija je dala kasnije i osnovu za pojavu nekih drugih transformacija, sa boljim iekonomičnijim osobinama u računksom smislu, kao što su:

- diskretna Hartlejeva transformacija,- diskretna kosinusna transformacija,- Karhunen-Leve transformacija,- brza Furijeova transformacija,- itd.

Ovo poglavlje ima cilj da da uvid u primenu osnovnih transformacijonih tehnika i da pokaže nekeosnovne metode rešavanja problema iz ove oblasti.



Zadatak 1.Odredit Furijeovu transformaciju sledećih diskretnih signala (FTD)

a) nns ∀= ;1][ . b.) nnns ∀⋅= );43cos(][ . c.) 0);

5sin(][ ≥⋅= nnns π

.

d.) 0);5

sin(5.1)43cos(5][ ≤⋅⋅+⋅⋅= nnnns π

. e.) nnnns ∀⋅+⋅= );8

2cos(3.8)6

2cos(8.7][ ππ.

f.) ][][][ 21 nsnsns += ako su nnns ∀⋅= );3

2cos(5][1π

i ≤≤−

=drugde

nnns

;050;5

][2 .

g.) ][][][ 21 nsnsns −= ako su

≤≤−≤≤−+

=50;505;5

][1 nnnn

ns i ≤≤−+

=drugde

nnns

;005;5

][2 .

h.) ][][][ 21 nsnsns ⋅= ako su 150;][1 ≤≤= nans n i nns ∀= ;3][2 .

i.) ][][ 01 nnsns −= ako je ][100][1 nns δ⋅= i 1000 =n .

j.) ∑∞

−∞=

−⋅=∗=m

mnsmsnsnsns ][][][][][ 2121 za slučajeve

j.1.) ][][1 nns δ= j.2) ][][1 nuns = j.3) ][][1 nuns = ][][ 02 nnns −= δ . ]10[][2 −= nns δ . 0;][2 ≥= nans n .

k.1.) ∑∞

−∞=

+⋅=m

mnsmsns ][][][ 21 ako je 0;][][ 21 ≥== nansns n .

k.2.) ∑∞

−∞=

⋅+=m

msmnsns ][][][ 21 ako je ][][1 nns δ= i ]3[][2 −= nns δ .

k.3.) ∑∞

−∞=

+⋅=m

mnsmsns ][][][ 21 ako je nnns ∀= );3

2cos(][1π

nnns ∀= );4

5sin(][2π

.

l.) Rešavanje diferencnih jednačina pomoću FTD za slučaj sa nultim početnim uslovima.

l.1) ]1[2]2[81]1[

43][ −⋅=−⋅+−⋅− nxnynyny ako je ][][ nnx δ= .

l.2) ][2]2[6]1[5][ nxnynyny ⋅=−⋅+−⋅− ako je ][][ nnx δ= i ][][ nunx = .

Rešenje:

a.) Signal ][ns ne zadovoljava uslov ∞<∑∞

−∞=nnx ][ te stoga njegovo FTD ne može u klasičnom smislu da

se izvede. Međutim nekim transformacijama može se pokazati da FTD ovog signala ipak postoji. Ako sesignal prikaže u grafičkom obliko uočava se da signal predstavlja beskonačni niz vremenski pomerenih

diskretnih Dirakovih impulsa tj. ∑∞

−∞=

−==k

knns ][1][ δ . Nađimo sada FTD signala u ovom obliku. Tada se

dobija ∑ ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−∞

−∞=

− ⋅−=⋅=n k

jn

n

jn eknensjS ωω δω ][][)( . Zamenom redosleda sumiranja dobijamo

∑∑ ∑∞

−∞=

−∞

−∞=

∞

−∞=

− =⋅−=k

jk

k n

jn eeknjS ωωδω ][)( .



Iz telekomunikacija je poznata veza ∑∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−∞

−∞=

⋅−⋅==nn

jnT

n

jnT

Tn

Tee )2(2 πωδπωω , pa za vrednost 1=T

dobija se ∑∞

−∞=

⋅−⋅=k

kjS )2(2)( πωδπω . S obzirom da je FTD bilo kog signala periodična funkcija po

promenljivoj normalizovane učestanosti ω sa periodom π2 , tada je dovoljno posmatrati FTD spektarsignala u njegovom osnovnom opsegu u ],[ ππω +−∈ ili ]2,0[ πω +∈ . Te je stoga FTD signala datog uprimeru jednaka πωπωδπω +≤≤−⋅= );(2)( jS tj. FTD spektar diskretnog signala je Dirakov impulslociran u tački 0=ω . Dobijeni rezultat je logičan jer posmatrani signal ima samo jednosmernu komponentute ni spektar takvog signala nemože da ima komponente na drugim normalizovanim učestanostima osim za

0=ω .

b.) Napišimo izraz za FTD signala. ∑∞

−∞=

−⋅⋅=n

jnenjS ωω )43cos()( . Primenom Ojlerove transformacije ovaj

izraz se svodi na oblik

∑∑∑∑∞

−∞=

+−∞

−∞=

−−∞

−∞=

−−∞

−∞=

− +=+=n

nj

n

nj

n

jnnj

n

jnnjeeeeeejS

)43()

43(

43

43

21

21

21

21)(

ωωωωω .

Sume u ovom izrazu su one poznate od predhodnog zadatka te dobijamo da je FTD jednak

πωπωπδωπδωδπωδπω +≤≤−−++=+⋅+−⋅= );43()

43()

43(

22)

43(

22)( jS .

Iz ovog primera se može zaključiti bitna razlika između spektra kontinualnih i diskretnih signala. Naimespektar kontinualnih signala predstavlja niz periodičnih komponenata (signala) koje sadrži signal. Međutimkod diskretnih signala to nije slučaj jer komponente na nekim normalizovanim učestanostima nemoraju dadaju periodične diskretne signale u vremenskom domenu. Dati signal ima diskretni FTD spektar međutimovoj komponenti ne odgovara periodični diskretni signal kao što smo to pokazali u prvom poglavlju.

c.) Primenom Ojlerove transformacije za FTD se dobija ∑∑∞

=

+−∞

=

−−−=

0

)5

(

0

)5

(

21

21)(

n

nj

n

nje

je

jjS

πωπωω .

Rešenje ovog tabličnog izraza će biti )

5cos()cos(

)5

sin(

21

1

121

1

121)(

)5

()5

( πω

π

ω πωπω −−=

−−

−=

+−−− jje

je

jjS .

d.) Izraz za FTD glasi ∑∑−∞=

−∞

−∞=

− ⋅

+=⋅=

0

)5

sin(5.1)43cos(5][)(

n

jn

n

jn ennensjS ωω πω . Rastavljanjem

sume na parcijalne oblike dobija se ∑∑−∞=

−

−∞=

− ⋅+⋅==00

)5

sin(5.1)43cos(5)(

n

jn

n

jn enenjS ωω πω . Primenom

Ojlerovog obrazca i smene nl −= sledi

=

++

+= ∑∑∑∑

−∞=

+−

−∞=

−−

−∞=

+−

−∞=

−− 0 )5

(0 )5

(0 )43(0 )

43(

25.1

25)(

n

nj

n

nj

n

nj

n

njee

jeejS

πωπωωωω

++

+= ∑∑∑∑

∞

=

+∞

=

−∞

=

+∞

=

−

0

)5

(

0

)5

(

0

)43(

0

)43(

25.1

25

l

lj

l

lj

l

lj

l

ljee

jee

πωπωωω.



Dobijene sume u zagradama predstavljaju tablične izraze pa je tada konačno rešenje dato u obliku

[ ]ππωπω

π

ωω

ω

ω +−∈−

⋅−−

⋅−⋅⋅= − ,;

)5

cos()cos(

)5

sin(

25.1

)43cos()cos(

)43cos(1

25)(

j

je

ejS .

e.) Analogno predhodnim primerima imaćemo da je ][ nsFTD jednako

∑∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

−−∞

−∞=

+=⋅

+=

n

jn

n

jnjn

nenenennjS ωωω ππππω )

82cos(3.8)

62cos(8.7)

82cos(3.8)

62cos(8.7)(

Primenom Ojlerovog obrazca dobijamo

∑∑∑∑∞

−∞=

+−∞

−∞=

−−∞

−∞=

+−∞

−∞=

−−+++=

n

nj

n

nj

n

nj

n

njeeeejS

)8

2()8

2()6

2()6

2(

23.8

23.8

28.7

28.7)(

πωπωπωπωω .

Posmatrajući spektar u osnovnom intervalu za rezultat se dobija

πωππωπδπωπδπωπδπωπδω ≤≤−−⋅+−⋅++⋅++⋅= );6

2(8.7)8

2(3.8)8

2(3.8)6

2(8.7)( jS .

f.) U predhodnim primerima smo videli da je FTD zbira signala jednaka zbiru FTD-a pojedinih signala tj.

[ ] )()(][][][][)( 212121 ωωω ωωω jSjSensensensnsjSn

jn

n

jn

n

jn +=⋅+⋅=⋅+= ∑∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

−∞

−∞=

− .

Primenom ove osobine dobijamo

πωππωπδπωπδω ≤≤−

−⋅+

+⋅= ;

325

325)(1 jS

[ ]2

65

0

5

0

5

0

5

0

5

02

1655)5()(

ω

ωωωωωωωω

ω j

jj

n

jn

n

jn

n

jn

n

jn

n

jnj

eeee

ddjeeneeneS

−

−−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

−

−=

⋅−⋅=⋅−⋅=⋅−= ∑∑∑∑∑

Konačno rešenje će biti

[ ] πωππωπδπωπδω

ωωω +≤≤−

−

−+

−⋅+

+⋅=

−

−−

;1

63

253

25)( 2

6

j

jjj

eeeeS .

g.) [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∑∑=

−

−=

−

=

−

−=

− ⋅+=⋅−−⋅++⋅−=5

1

0

5

5

1

0

5

5555)(n

jn

n

jn

n

jn

n

jnj eneneneneS ωωωωω . Razvojem date

sume dobija se reultat u obliku

πωπωωωωω ≤≤−+++= −−−− ;234)( 432 jjjjj eeeeeS .



h.) Odredimo prvo opšti oblik FTD-a proizvodu dva diskretna signala tj. [ ]∑∞

−∞=

−⋅⋅=n

jnj ensnseS ωω ][][)( 21 .

Poznato je da je inverzna Furijeova transformacija diskretnog signala (IFTD) ∫−

=π

π

ωω ωπ

deeSns jnj )(21][ .

Primenimo ovaj izraz na signal ][1 ns . Tada je FTD ωπ

π

ω

πjn

n

jnjj ensdeeSeS −∞

−∞= −

ΩΩ ⋅

⋅Ω= ∑ ∫ ][)(

21)( 21 .

Kako su suma i integral konačni, zamenom matematičkih operacija se dobija

∫∑∫−

Ω−Ω∞

−∞=

Ω−−

−

Ω ∗=Ω⋅⋅=Ω

⋅=

Ω−

π

π

ωωωωπ

π

ω

ππω

)()()()(21][)(

21)( 11

)(21

)(

)(21

)(2

jjjj

eS

n

njjj eSeSdeSeSdenseSeS

j!!! "!!! #$

Odavde zaključujemo da je FTD spektar proizvoda dva signala jednaka periodičnoj konvoluciji FTDspektara pojedinih diskretnih signala. Primenjujuči ovu osobinu prvo čemo da odredimo FTD spektarpojedinih signala. Tako dobijamo da su FTD spektri pojedinih signala jednaka

[ ] [ ] πωπω

ωωωω ≤≤−

⋅−⋅−=⋅=⋅= −

−

=

−

=

− ∑∑ ;11)(

1615

0

15

01 j

j

n

nj

n

jnnj

eaeaeaeaeS

πωπωπδωω ≤≤−⋅=⋅= ∑∞

−∞=

− );(233)(2n

jnj eeS .

Odnosno da je spektar proizvoda signala jednak

[ ] [ ] πωπωδππ

ω

ωπ

π

ω +≤≤−⋅−

⋅−⋅=Ω⋅Ω−⋅⋅−

⋅−⋅= −

−

−Ω−

Ω−

∫ ;113)(

11

223)(

1616

j

j

j

jj

eaead

eaeaeS .

i.) Izvedimo prvo izraz za FTD vremenski pomerenog signala. Neka je ][][' 0nnsns −= . Tada je FTDjednaka

==−== ∑∑∑∞

−∞=

+−−=+=

∞

−∞=

−∞

−∞=

−

k

nkjnnknkn

n

jn

n

jnj eksennsenseS )(0

00

0][][][')(' ωωωω

)(][ 00 ωωωω jnjnjk

k

jn eSeekse −−∞

−∞=

− == ∑ .

Odavde sledi da je FTD spektar traženog signala

πωπωω ≤≤−⋅= − ;100)( 1001

jj eeS .



j.) Izvedimo FTD spektar izraza ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

⋅−=−⋅=∗=mm

msmnsmnsmsnsnsns ][][][][][][][ 212121 .

Dobjamo da je ∑ ∑∞

−∞=

−∞

−∞=

⋅

−⋅=

n

jn

m

j emnsmseS ωω ][][)( 21 . Zamenom redosleda sumiranja sledi izraz

∑ ∑∞

−∞=

−∞

−∞=

⋅⋅−⋅=

m

jn

n

j emnsmseS ωω ][][)( 21 . Proširimo izraz u zagradi sa 1=⋅− ωω jmjm ee što će da da

)()(][)(][][)( 21

)(

12

)(

)(21

12

ωωωωωωω

ωω

jj

eS

m

jmj

m

eS

mnj

n

jmj eSeSemseSemnsemseS

jj

⋅=⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅= ∑∑ ∑∞

−∞=

−∞

−∞=

−−∞

−∞=

−

!! "!! #$!!!! "!!!! #$

Odavde sledi da je FTD spektar konvolucionog signala jednaka proizvodu FTD spektra pojedinihsignala. Za date primere imaćemo:

ј.1)

πωππωπδ

ωωπδωωω

ωωω

ωω

≤≤−=⋅=⇒

≤≤−=⋅−=

≤≤−=⋅=−

−∞

−∞=

−

∞

−∞=

−

∑

∑;)()()(

;][)(

;1][)(0

0

21

02

1jnjjj

jn

n

jnj

n

jnj

eeSeSeSeenneS

eneS

j.2)

( ) ( ) πωωπδδ

ωπδ

ω

ωω

ωωω

ωωω

≤−

+=⇒

=−=

−+==

−

−

−∞

−∞=

−

−

∞

−∞=

−

∑

∑;

12)(

;]10[)(

;11)(2][)( 10

102

1

j

jj

j

n

jnj

jn

jnj

eeeS

eeneS

eenueS

.

j.3)

( ) ( )( ) πωωδπωπδ

ωωω

ωωω

ωωω

≤−−

+−

=⇒

−==

−+==

−−

−

∞

−∞=

−

−

∞

−∞=

−

∑

∑;

111

12)(

;1

1)(

;11)(2][)(

2

1

jjj

jn

jnnj

jn

jnj

eaeaeS

aeeaeS

eenueS

.

k.1) Izvedimo opšti izraz za FTD spektar traženog signala.

)()(][)()(][

][][][][)(

211221

)(2121

ωωωωωω

ωωωω

jjjm

m

j

m

jmj

m

jmmnj

nn

jn

m

j

eSeSemseSeeSms

eemnsmsemnsmseS

⋅=

⋅⋅=⋅⋅=

=⋅

⋅+=⋅

+⋅=

∗∗

−∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

+−∞

−∞=

∞

−∞=

−∞

−∞=

∑∑

∑ ∑∑ ∑.

Ako su signali ][][ 21 nsns = tada je FTD spektar jednak 2

111 )()()()( ωωωω jjjj eSeSeSeS =⋅= ∗ tj.rečima: FTD spektar autokorelacionog signala je jednak spektralnoj gustini energije (snage) signala.



Za dati primer imaćemo πωω

ωω

ω ≤+−

=

−−

;cos21

)(2

cos1sin

1aa

eeSa

ajarctg

j pa je traženi spektar dat u obliku

πωω

ω ≤+−

= ;cos211)( 2aa

eS j .

k.2.) Izvedimo i za ovaj slučaj traženi izraz za proračun FTD spektra.

)()(][)()(][

][][][][)(

212112

)(1221

ωωωωωω

ωωωω

jjjm

m

j

m

jmj

m

jmmnj

nn

jn

m

j

eSeSemseSeeSms

eemnsmsemsnmseS

∗∗

−∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

+−∞

−∞=

∞

−∞=

−∞

−∞=

⋅=

⋅⋅=⋅⋅=

=⋅

⋅+=⋅

⋅+=

∑∑

∑ ∑∑ ∑.

Zaključak kojeg smo izveli u predhodnom primeru i ovde važi. Za date signale imaćemo

πωπω

πω ωωωωωωω

ω

≤=⋅=⋅=⇒

≤=≤= +∗

− ;1)()()(;)(

;1)( 33213

2

1 jjjjjjj

j

eeeSeSeSeeS

eS.

k.3.) U predhodnim primerima smo već izveli izraz za FTD spektar prostoperiodičnih signala. Pa sledi

πωπωδππωδπ ωω ≤=−⋅++⋅= ∗ );()3

2(2)3

2(2)( 11jj eSeS

πωπωδππωδπππ

ω ≤⋅−⋅+⋅+⋅=−

;)4

5(2)4

5(2)( 221

jjj eeeS .

Na osnovu datih izraza vidimo da su delta impulsi pojedinih spektara na različitim položajima frekvencijskeose. Poznato nam je i to da proizvod dva delta impuls je različito od nule ako su oni smešteni na isto mesto.Kako ovaj uslov nije zadovoljen za ova dva data spektra sledi da je njihov proizvod jednak nuli po celojfrekvencijskoj osi. Ovaj zadatak smo rešavali u prvom poglavlju u kome smo ovom problemu pristupili uvremenskom domenu gde smo dobili isti rezultat.

l) Primena FTD analize u određivanju odziva nekog sistema, koji je opisan diferencnom jednačinom, napoznatu pobudu se svodi na nalaženje •FTD obe strane diferencne jednačine. Neka je data diferencna

jednačina u obliku KMknxbmnyanyK

kk

M

mm ≥−⋅=−⋅+ ∑∑

==

;][][][01

. Primenimo •FTD na obe strane

jednačine. Na osnovu linearne osobine •FTD dobija se jednačina

KMknxFTDbmnyFTDanyFTDK

kk

M

mm ≥−⋅=−⋅+ ∑∑

==

;][][][01

.

Poznato je nadalje da je

)(][][ ωωω jjmjm eYenyFTDemnyFTD ⋅=⋅=− −−

)(][][ ωωω jjkjk eXenxFTDeknxFTD ⋅=⋅=− −− .



Konačno se dobija jednačina

KMebeXeaeYK

k

jkk

jM

m

jmm

j ≥

⋅⋅=

⋅+⋅ ∑∑

=

−

=

− ;)(1)(01

ωωωω .

Ako nam je poznat FTD spektar pobudnog signala tj. )( ωjeX tada izražavajući )( ωjeY dobijamo FTDspektar izlaznog signala tj. odziva

)(1

)(

1

0 ω

ω

ω

ω jM

m

jmm

K

k

jkk

j eXea

ebeY ⋅

⋅+

⋅=

∑

∑

=

−

=

−

.

Primenom invrezne FTD ( •−1FTD ) na spektar izlaznog signala možemo da odredimo vremenski oblikodziva.

l.1) Primenimo gore navedene operacije na datu diferencnu jednačinu. Tada dobijamo

)(281

431)( 2 ωωωω jjjj eXeeeY ⋅=

⋅+⋅−⋅ −− . FTD spektar izlaznog signala će tada biti

)(

81

431

2)(2

ω

ωω

ω j

jj

j eXee

eY ⋅⋅+⋅−

=−−

. Kako je ωω jj eeX −=)( , primenom razbijanja na parcijalnih

razlomaka dati izraz, sledi ωωωω

ωω

jjjj

jj

eeee

eeY−−−−

−

⋅−+

⋅−

−=

⋅−⋅

⋅−

⋅=

211

8

411

8

211

411

2)( .

Primenom ωjeYFTD (1− nalazimo odziv sistema u vremenskom domenu na datu pobudu. Na osnovu

tabličnog oblika izraza spektra izlaznog signala sledi da je odziv ][218

418][ nuny

nn

⋅

⋅+

⋅−= .

Prenosna funkcija datog sistema je

ωωωωω

ωω

jjjjj

jj

eeeeeXeYeH

−−−− ⋅−+

⋅−

−=⋅+⋅−

==

211

4

411

2

81

431

2)()()(

2.

Kako je prenosna funkcija diskretnog sistema FTD impulsnog odziva tj. ][)( nhFTDeH j =ω , impulsniodziv će tada biti

][214

412][ nunh

nn

⋅

⋅+

⋅−= .

l.2.) FTD transformacija na datu diferencnu jednačinu daje

[ ] )(2651)( 2 ωωωω jjjj eXeeeY ⋅=⋅+⋅−⋅ −− .



Izražavanjem spektar izlaznog signala dobijamo jednačinu

( ) ( ) )(2131

2)(651

2)( 2ω

ωωω

ωωω j

jjj

jjj eX

eeeX

eeeY ⋅

⋅−⋅⋅−=⋅

⋅+⋅−= −−−− .

Prenosna funkcija diskretnog sistema će biti

( ) ( ) ωωωωω

ωω

jjjjj

jj

eeeeeXeYeH −−−− ⋅−

−⋅−

=⋅−⋅⋅−

==21

431

62131

2)()()( ,

pa je impulsni odziv datog sistema

( ) ( )[ ] ][2436][ nunh nn ⋅⋅−⋅= .

Ako se na ulaz sistema dovodi impulsna pobuda tada je odziv jednak impulsnom odzivu sistema, pa sledi daje za ][][ nnx δ= izlazni signal ( ) ( )[ ] ][2436][][ nunhny nn ⋅⋅−⋅== .

Ako na ulazu deluje pobuda ][][ nunx = čiji je FTD spektar ωωω ωδπ j

jj

eeUeX −−

+⋅==11)(2)()( ,

spektar izlaznog signala će tada da glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωωωωω πωδπ jjjjjj

j

eeeeeeeY −−−−−− −⋅⋅−⋅⋅−

+=

−+⋅⋅

⋅−⋅⋅−=

1213122

11)(2

21312)(

Nakon rastavljanja zadnjeg člana u oblik parcijalnih razlomaka dobija se tablični izraz za spektar odziva

( ) ( )[ ] ][12839][2][11

218

3192)( nunnh

eeeeY nn

jjjj ⋅+⋅−⋅+⋅=⇒

−+

⋅−−

⋅−+= −−− δππ ωωω

ω .

Zadatak 2.Odredit Z-transformaciju sledećih diskretnih signala

a.) 0);5

sin(][ ≥⋅= nnns π. b.) 0);

5sin(5.1)

43cos(5][ ≤⋅⋅+⋅⋅= nnnns π

. c.) 11;][ 3 ≥= nensjπ

.

d.) ][][][ 21 nsnsns −= ako su

≤≤−≤≤−+

=50;505;5

][1 nnnn

ns i ≤≤−+

=drugde

nnns

;005;5

][2 .

e.1.) ][][ 01 nnsns −= ako je ][100][1 nns δ⋅= i 1000 =n .

e.2.) ]10[]5[][ 21 −−+= nsnsns ako su 150;][1 ≤≤= nans n i 115;1][2 ≤≤−

−= n

ans

n

.

f.) ∑∞

−∞=

−⋅=∗=m

mnsmsnsnsns ][][][][][ 2121 za slučajeve

f.1.) ][][1 nns δ= f.2) ][][1 nuns = f.3) ][][1 nuns = ][][ 02 nnns −= δ . ]10[][2 −= nns δ . 0;][2 ≥= nans n .



g.1.) ∑∞

−∞=

+⋅=m

mnsmsns ][][][ 21 ako je 0;][][ 21 ≥== nansns n .

g.2.) ∑∞

−∞=

⋅+=m

msmnsns ][][][ 21 ako je ][][1 nns δ= i ]3[][2 −= nns δ .

h.) Rešavanje diferencnih jednačina pomoću Z-transformacije za slučaj sa nultim početnim uslovima.

h.1) ]1[2]2[81]1[

43][ −⋅=−⋅+−⋅− nxnynyny ako je ][][ nnx δ= .

h.2) ][2]2[6]1[5][ nxnynyny ⋅=−⋅+−⋅− ako je ][][ nnx δ= i ][][ nunx = .

i.) Rešavanje diferencnih jednačina pomoću jednostrane Z-transformacije za slučaj sa nenultim početnimuslovima.

i.1.) ][]1[3][ nxnyny =−⋅+ ako je ][21][ nunx

n

⋅

= i ako je 1]1[ =−y .

i.2.) ]1[21][]1[

21][ −⋅−=−⋅− nxnxnyny ako je ][][ nunx = i ako je 1]1[ =−y .

Rešenje:

a.) Primenom Ojlerovog obrazca izraz za •Z transformaciju će biti

∑∑∑∑∞

=

−−∞

=

−∞

=

−

−∞

−∞=

−

⋅⋅−

⋅⋅=⋅

−=⋅=

0

15

0

15

0

55

21

21

2][)(

n

nj

n

nj

n

n

njnj

n

n zej

zej

zjeeznszS

ππππ

.

Date sume postoje ukoliko one konvergiraju. Uslovi koji zadovoljavaju konvergenciju datih suma su

1111 11515 >⇒<⇒<⋅⇒<⋅ −−− zzzezejj ππ

1111 11515 >⇒<⇒<⋅⇒<⋅ −−−−−zzzeze

jj ππ

.

Iz datog sledi da ako je moduo kompleksne promenljive z veće od jedan tada gornje sume konvergiraju.Oblast u z-ravni za koje se zadovoljavaju gornji uslovi predstavlja oblast konvergencije tj. ROC. Znači oblastkonvergencije datih suma a i same Z-transformacije je oblast koja se nalazi izvan jedinične kružnice Z-ravni.Primenom tabličnih rešenja dobijamo da je rešenje kompleksne funkcije

1)5

cos(2

)5

sin(

)5

cos(21

)5

sin(

1

121

1

121)(

221

1

1515 +⋅−=

+⋅−

⋅=

⋅−⋅−

⋅−⋅=

−−

−

−−−π

π

π

π

ππzzzz

z

zej

zej

zSjj

.

Polovi i nule date Z-transformacije su 52

51 ;

ππ j

p

j

p ezez−

== .



Prema tome rešenje Z-transformacije datog signala je

1:;1)

5cos(2

)5

sin()(

2>

+⋅−= zROC

zzzS

π

π

.

b.) Primenom Ojlerove formule Z-transformacija signala će biti

=⋅−⋅+⋅+⋅= ∑∑∑∑−∞=

−−

−∞=

−

−∞=

−−

−∞=

−0

430

50

430

43

25.1

25.1

25

25)(

n

nnj

n

nnj

n

nnj

n

nnjze

jze

jzezezS

π

l

l

jl

l

jl

l

jl

l

j

n

n

jn

n

jn

n

jn

n

j

zej

zej

zeze

nlsmena

zej

zej

zeze

∑∑∑∑

∑∑∑∑∞

=

∞

=

−∞

=

∞

=

−

−

−∞=

−

−∞=

−−

−∞=

−

−∞=

−

⋅−

⋅+

⋅+

⋅=

=−=

=

⋅−

⋅+

⋅+

⋅=

0

5

0

5

0

43

0

43

05

05

0430

43

25.1

25.1

25

25

25.1

25.1

25

25

ππ

ππ

Gornji izraz postoji ukoliko su uslovi konvergencije datih suma zadovoljene tj. ako važi

1111

1111

1111

111111

5

5

5

5

43

43

43

43

<⇒=<⇒<

<⇒=<⇒<

<⇒=<⇒<

<⇒==<⇒<

−

−

−

−

ze

zze

ze

zze

ze

zze

ze

zze

j

j

j

j

j

j

j

j

π

π

π

π

Iz gornjih uslova se uočava da je svaka suma konvergentna ako je kompleksna promenljiva z po modulumanja od jedinice tj. za proizvoljno odabrani kopmleksni broj u Z-ravni koji se nalazi u unutrašnjostijediničnog kruga, svaka suma je konvergentna pa i kompleksna funkcija )(zS postoji. Odavde onda sledi daje oblast konvergencije Z-transformacije unutrašnjost jedinične kružnice u Z-ravni tj. 1: <zROC . Nakonprimene tabličnih rešenja datih suma izraz za Z-transformaciju će biti

=⋅−

⋅−⋅−

⋅+⋅−

⋅+⋅−

⋅=−−

zej

zej

zezezS

jjjj554

343

1

12

5.1

1

12

5.1

1

125

1

125)( ππ



432

32

22 081.3367.4081.31535.4201.12635.125

)5

cos(21

)5

sin(5.1

)43cos(21

)43cos(1

5zzzz

zzz

zz

z

zz

z

+⋅−⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−=

+⋅−

⋅⋅−

+⋅−

⋅−⋅=

π

π

.

Nule funkcije su: 571487.0771685.0;571487.0771685.0;983629.0 321 jzjzz nnn −=+== .

Polovi funkcije su: 54

53

43

243

1 ;;;ππ j

p

j

p

j

p

j

p ezezezez−−

==== .

1:;081.3367.4081.31

535.4201.12635.125)( 432

32

<+⋅−⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−= zROC

zzzzzzzzS .

c.) Dati signal je kompleksni diskretni signal. Njena Z-transformacija će biti po definiciji

∑∑∑∑∑=

−∞

=

−∞

=

−∞

=

−∞

−∞=

−

⋅−

⋅=

⋅=⋅=⋅=

10

0

13

0

13

11

13

11

3][)(n

nj

n

nj

n

nj

n

nnj

n

n zezezezeznszSππππ

.

Prva suma konvergira ako je 111 113 >⇒<⇒<⋅ −− zzzejπ

. Konačne sume uvek konvergiraju jer

sadrže konanačan broj članova te sledi da je druga suma konvergentna za bilo koju vrednost kompleksnepromenljive z . Logično je tada da oblast konvergencije mora biti ta oblast u Z-ravni koja zadovoljava obauslova konvergencije tj. oblast konvergencije Z-transformacije mora biti presek pojedinih oblasti. Odavdesledi da je 1: >zROC . Primenom tabličnih rešenja gornjih suma, izraz za Z-transformaciju glasi

( ) 1:;11

1

1

1)(310

3

13

1113

11

13

11

13

13

>

−⋅

=⋅−

⋅=⋅−

⋅−

−⋅−

=−

−

−

−

−

−

zROCezz

e

ze

zeze

ze

zezS

j

j

j

j

j

j

j π

π

π

π

π

π

π .

Iz izraz se vidi da Z-transformacija nema nula. Jedan pol se nalazi u tački 31

πj

p ez−

= dok je drugi lociran u

kordinatni početak Z-ravni tj. 02 =pz , i on je desetostruki pol naše funkcije.

d.) Nađimo prvo izraz za Z-transformaciju zbira dva signala.

[ ] [ ] )()(][][][][][][)( 21212121 zSzSznsznsznsznsznsnszSn

n

n

n

n

nn

n

n +=+=+=+= ∑∑∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

−∞

−∞=

−−∞

−∞=

−

Vidimo da je Z-transformacija zbira dva signala jednaka zbiru njihovih Z-transformacija. Nakon ovogzaključka odredimo Z-transformaciju datog signala.

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑=

−

−=

−

=

−

−=

− ⋅−=⋅+−⋅−+⋅+=5

0

0

5

5

0

0

5

5555)(n

n

n

n

n

n

n

n znznznznzS .



Razvojem date suma dobijamo

4

324321 43211234)(

zzzzzzzzzS ⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅= −−−− .

Nule funkcije su: 546869.1174685.0;546869.1174685.0;650629.1 321 jzjzz nnn +−=−−=−= .Z-transformacija ima samo jedan pol koji je četvorostruki pol i koji se nalazi u kordinatnom početku. Odavdeonda možemo da zaključimo da je oblast konvergencije cela Z-ravan izuzev tačke 0=z jer za tu vrednostfunkcija )(zS nije definisana tj. 0: >zROC .

e.1.) Izvedimo opšti izraz za Z-transformaciju vremenski pomerenog diskretnog signala.

)(][][][][)( 11)(

10

001

000 zSzzkszzksnknnnk

znnsznszS n

k

kn

k

nk

n

n

n

n −∞

−∞=

−−∞

−∞=

+−∞

−∞=

−∞

−∞=

− ===+=−=

−== ∑∑∑∑ .

Kao što se to vidi vremensko pomeranje diskretnog signala u Z-domenu predstavlja množenjeZ-transformacije nepomerenog signala sa kompleksnim brojev 0nz − . Na osnovu gore izvedenog za navedeni

primer signala dobijamo da je 100100][100)( 01 =⋅=⋅⋅= ∑

∞

−∞=

− zznzSn

nδ pa će tražena

Z-transformacija biti 100100 100100)(

zzzS =⋅= − . Dobijena kompleksna funkcija nema nule međutim ima

jedan pol u tački 0=z koji je stotostruki. Odavde sledi da je oblast konvergencije 0: >zROC . U ovomprimeru je bitno uočiti da se tokom vremenskog pomeranja menja oblast konvergencije Z-transformacijerezultantnog signala tj. u opštem slučaju je nemoguće predvideti ROC rezultata pomeranja čisto na osnovuposmatranja ROC nepomerenog signala.

e.2) Na osnovu razmatranja predhodnog primera sledi da je )()()(][ 210

15 zSzzSzzSnsZ ⋅−⋅== − .

Z-transformacija pojedinih signala su:

[ ] [ ]( )azz

azza

zazazazSn

n

n

nn

−⋅−=

⋅−⋅−=⋅=⋅= −

−

=

−

=

− ∑∑ 15

1616

1

16115

0

115

01 1

1)(

Z-transformacija signala ][1 ns ima jedan višestruki pol u tački 0=z . Nule polinoma u brojiocu su date

formulom 15,,1,0;162

)=⋅= keazkj

nk

π

. Odavde se vidi da nula za 0=k eliminiše pol az p = . Odavde

sledi da su nule Z-transformacije 15,,1;162

)=⋅= keazkj

nk

π

koje su ekvidistantno raspoređene na kružnicipoluprečnika ar = .

( )[ ] ( )( )zaza

zazaza

za

za

za

zSl

l

n

n

n

nn

⋅+⋅⋅⋅−−−=⋅−+⋅−=⋅−

⋅

−=⋅

−= ∑∑∑

=

−−

−=

−

−=

−

111111)(

1715

0

110

15

11

152 .

Dobijena Z-transformacija signala ][2 ns ima polove u tačkama a

zz pp1;0 21 −== . Nule su određene

formulom 16,,1,0;1 172

)=⋅−= kea

zkj

nk

π

.



Uvrštavanjem izraza u traženu Z-transormaciju dobija se sledeći izraz

( )( )( ) ( )

( )( )zaza

zazazazz

zazazaz

azzazzzS

⋅+⋅⋅⋅+⋅+

−−⋅=

⋅+⋅⋅

⋅+−⋅−

−⋅

−⋅= −−−

11

11)(

1710

161610

1710

15

16165 .

Primenom algebarskih identiteta ( ) ( ) ( ) ( ) ( )azazazazazaz −⋅+⋅+⋅+⋅+=− 2244881616 i

( ) ( ) ( )∑=

⋅−⋅⋅+=⋅+16

0

17 11i

izazaza izraz za Z-transformaciju će biti

( )( )( )( )( ) ( ) ( )

11

16

0

3

0

2216

022448810 1)(z

azazaz

aaz

azazazazazzzS i

i

ii

i ii ∑∏∑===−

−++=

−+++++⋅= .

Kao što se to vidi Z-transformacija ima pol u tački 0=pz koji je jedanaestostruki pol. Kako oblastkonvergencije nemože da sadrži u sebi polove jer bi tada funkcija )(zS bila nedefinisana sledi da je

0: >zROC . Nule Z-transformacije se mogu odrediti iz polinoma u brojiocu.

f.) Izvedimo prvo opšti oblik Z-transformacije konvolucije dva proizvoljna diskretna signala.

( )=⋅⋅⋅−⋅=⋅−⋅= ∑ ∑∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−−∞

−∞=

∞

−∞=

−

m n

mmn

n m

n zzzmnsmszmnsmszS ][][][][)( 2121

)()(][][ 21)(

21 zSzSzmnszmsn

mn

m

m ⋅=⋅−⋅⋅= ∑∑∞

−∞=

−−∞

−∞=

− .

Sledi da Z-transformacija konvolucije dva signala je jednak proizvodu Z-transformacija pojedinih signala.Na osnovu gornjeg sledi da su rešenja za pojedine primere

f.1.)

0:;11)(][)(

1][)(21

02

1

0

00

0

>===⋅=⇒

=⋅−=

=⋅=−−

−∞

−∞=

−

∞

−∞=

−

∑

∑zROCROCROC

zzzzS

zznnzS

znzSn

nn

n

n

n

n

n

*

δ

δ.

Z-transformacija konvolucionog signala ima višestruki pol u tački 0=pz .

f.2.)

( ) 1:;1

11

)(0:;]10[)(

1:;111)(

91

10

210

2

110

1

>−

=−

=⇒

>=⋅−=

>−

=⋅=

−

−

−∞

−∞=

−

−

∞

=

−

∑

∑zROC

zzzzzS

zROCzznzS

zROCz

zzS

n

n

n

n

δ.

Funkcija )(zS nema nule, jedan pol se nalazi u tački 11 =pz dok je drugi devetostruki pol u tački 02 =pz .



f.3.)

( ) ( )

<>>>

−⋅−=⇒

>−

==

>−

=⋅=

−

∞

=

−

−

∞

=

−

∑

∑1;11;

:;1

)(1:;

11)(

:;11)( 2

210

2

110

1

azaaz

ROCazz

zzSzROC

zzzS

azROCaz

zazS

n

n

n

nn

.

Dobijena Z-transformacija ima dvostruku nulu u tački 0=nz i ima polove u tačkama azz pp == 21 ;1 .

g.1) Slično predhodnom zadatku izvešćemo opšti izraz za Z-transformaciju datog izraza.

( )=⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅= ∑ ∑∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−−∞

−∞=

∞

−∞=

−

m n

mmn

n m

n zzzmnsmszmnsmszS ][][][][)( 2121

( ) )()(][][][][ 21

1)(

21

1)(

21 zSzSzmnszmszmnszmsn

mn

m

m

n

mn

m

m ⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅= −∞

−∞=

+−∞

−∞=

−−∞

−∞=

+−∞

−∞=∑∑∑∑ .

Primenom izvedenog obrazca rešenje datog primera će biti

azROCaz

zza

zazSn

nn >−

=⋅−

=⋅= −

∞

=

−∑ :;1

1)( 110

1 .

azROC

azz

zazazS

n

nn 1:;11)( 111

1

0

11 <

−=

⋅−=⋅= −

−∞

=

− ∑ .

Na osnovu dobijenih izraza sledi da je Z-transformacija korelacionog signala jednaka

( )

−⋅−

⋅−=+⋅+−

⋅−=−

⋅−

=⋅= −

−−

azaz

zaz

aaz

zaaz

zaz

zzSzSzS1

1

111)()()( 2

21

1

11

1 .

Z-transformacija ima nulu u tački 0=nz i ima polove u tačkama a

zaz pp1; 21 == . Oblast konvergencije

predstavlja presek oblasti konvergencije kompleksnih funkcija )(1 zS i )(2 zS tj. a

zaROC 1: << .

Ovim smo onda u potpunosti definisali Z-transformaciju korelacionog signala.

g.2.) Analogno predhodnom primeru opšti oblik Z-transformacije glasi

( )=⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅+= ∑ ∑∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−−∞

−∞=

∞

−∞=

−

m n

mmn

n m

n zzzmnsmszmsnmszS ][][][][)( 1221

( ) )()(][][][][ 121

)(1

12

)(12

−∞

−∞=

+−∞

−∞=

−−∞

−∞=

+−∞

−∞=

⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅= ∑∑∑∑ zSzSzmnszmszmnszmsn

mn

m

m

n

mn

m

m .



Pojedine Z-transformacije su zzS ∀= ;1)(1 i 0;1)( 32 >= zz

zS . Odavde se onda dobija rešenje u obliku

zROCzz

zS ∀=⋅= − :;11)( 33 . Dobijena funkcija nema polove ali ima trostruku nulu u tački 0=nz . Kao

što se to vidi oblast konvergencije obuhvata celu z-ravan tj. Z-transformacija postoji za bilo koju proizvoljnoodabranu kompleksnu promenljivu z .

h) Rešavanje diferencnih jednačina pomoću dvostrane •Z transformacije se vrši tako što se primenjujetransformacija na obe strane jednačine. Neka je data diferencna jednačina u obliku

KMknxbmnyanyK

kk

M

mm ≥−⋅=−⋅+ ∑∑

==

;][][][01

.

Na osnovu već pokazanih osobina Z-transformacije važi da je )(][][ zYznyZzmnyZ mm ⋅=⋅=− −− ida je )(][][ zXznxZzknxZ kk ⋅=⋅=− −− . Primenom ovih osbina dobijamo

KMknxZbmnyZanyZK

kk

M

mm ≥−⋅=−⋅+ ∑∑

==

;][][][01

KMzbzXzazYK

k

kk

M

m

mm ≥

⋅⋅=

⋅+⋅ ∑∑

=

−

=

− ;)(1)(01

.

Izražavanjem )(zY dobijamo Z-transformaciju izlaznog signala na poznatu pobudu koja deluje na ulazusistema i čija je Z-transformacija )(zX

KMzXza

zbzY M

m

mm

K

k

kk

≥⋅

⋅+

⋅=

∑

∑

=

−

=

−

);(1

)(

1

0 .

Primenom inverzne Z-transformacije •−1Z možemo da odredimo odziv sistema ][ny tj. izlazni signalsistema na čijem ulazu deluje pobuda ][nx . Odnos Z-transformacija izlaza i ulaza određuje prenosnufunkciju sistema u Z-domenu i koja predstavlja Z-transformaciju impulsnog odziva sistema

tj. ][)()()( nhZ

zXzYzH == .

h.1.) Primena Z-transformacije na datu diferencnu jednačinu daje

11

1

21

21

211

8

411

8

81

431

2)()(281

431)(

−−

−

−−

−−

⋅−+

⋅−

−=⋅⋅+⋅−

=⇒⋅=

⋅+⋅−⋅

zzz

zzzYzXzzzY .

Izraz za )(zY u obliku parcijalnih suma nam omogućuje da nađemo inverznu Z-transformaciju u tabličnomobliku. Pa onda sledi da je odziv

][218

418)(][ 1 nuzYZny

nn

⋅

⋅+

⋅−== − .



Prenosna funkcija sistema je

81

43

2

81

431

2)()()(

2

2

21 +⋅−

⋅=⋅+⋅−

==−− zz

z

zzzXzYzH .

Ova funkcija ima dvostruku nulu u tački 0=nz i polove u tačkama 21;

41

21 == pp zz . Osobina realnih

sistema je da su kauzalni tj. da im je oblast konvergencije izvan najudaljenijeg pola Z-transformacije.

Odavde sledi da je 21: >zROCh . Rastavljanjem izraza prenosne funkcije u oblik parcijalnih razlomaka i

primene tablične inverzne transformacije dobijamo izraz za impulsni odziv sistema

][214

412][ nunh

nn

⋅

⋅+

⋅−= .

h.2.) Analogno predhodnom zadatku za diferencnu jednačinu se dobija

[ ] 111

2121

212

312

6512)()(2651)( −−

−−−

−−

⋅−−

⋅−=⋅

⋅+⋅−=⇒⋅=⋅+⋅−⋅

zzz

zzzYzXzzzY .

Inverznom Z-transformacijom se dobija

( ) ( )[ ] ][2232][][ nunhny nn ⋅⋅−⋅== .

Na ulaznu pobudu oblika ][][ nunx = dobijamo

[ ] 12121

11

6512)()(2651)( −−−

−−

−⋅

⋅+⋅−=⇒⋅=⋅+⋅−⋅

zzzzYzXzzzY .

Nakon rastavljanja u oblik parcijalnih razlomaka inverzna Z-transformacija će biti

( ) ( )[ ] ][39281][319

218

11)( 111 nuny

zzzzY nn ⋅⋅+⋅−=⇒

⋅−+

⋅−−

−= −−− .

i.1.) Primenom jednostrane Z-transformacije na diferencnu jednačinu sa nenultim početnim uslovima ima se

[ ]( )

=

⋅−⋅⋅+

+⋅+

−=⋅+−=⇒=−+⋅⋅+

−−−−

−

1111

1

21131

1313

313)()()(]1[)(3)(

zzzzzXzYzXyzYzzY

111

11 311

715

211

171

211

171

311

76

313

−−−

−− ⋅+⋅−

⋅−⋅=

⋅−⋅+

⋅+⋅+

⋅+−=

zzzzz.

Primenom inverzne Z-transformacije

( ) 0;31521

71][ ≥

−⋅−

⋅= nny n

n

.



i.2.) Analogno predhodnom primeru

[ ] [ ]]1[)(21)(]1[)(

21)( 11 −+⋅⋅−=−+⋅⋅− −− xzXzzXyzYzzY .

Kako je pobudni signal po definiciji različit od nule samo za 0≥n sledi da je 0]1[ =−x . Te stoga sledi

[ ]

⋅−⋅=−

⋅−⋅⇒⋅⋅−=+⋅⋅− −−−− 1111

211)(

21

211)()(

21)(1)(

21)( zzXzzYzXzzXzYzzY .

Uvrštavanjem odgovarajuće Z-transformacije pobudnog signala 111)( −−

=z

zX dobija se izraz

][121

21)(][

11

211

121)( 1

11

nuzYZnyzz

zYn

⋅

+

⋅==⇒

−+

⋅−⋅= −

−−

.

Zadatak 3.Odrediti diskretnu Furijeovu transformaciju (DFT) sledećih diskretnih signala

a) nns ∀= ;1][ . b.) nnns ∀⋅= );43cos(][ . c.) nens

j∀= ;][ 3

π

.

d.)

≤≤≤≤

=54;030;15

][nn

ns signal je dat u svojoj osnovnoj periodi.

e.)

≤≤−≤≤−+

=50;505;5

][nnnn

ns signal je dat u svojoj osnovnoj periodi.

Rešenje:

a.) U prvom poglavlju smo već razmatrali ovaj diskretni signal za koga smo zaključili da je periodičan saperiodom 1=N i da je FTD spektar ovog signala πωωδπω ≤⋅= );(2)( jeS tj. da se spektar sastoji izjedne komponente koja se nalazi u tački 0=ω i pokazuje na prisustvo diskretne jednosmerne komponente usignalu. Poznato je da se svaki periodičan diskretni signal može razviti u diskretni Furieov red koji uvek

sadrži konačan broj periodičnih eksponencijalnih funkcija 1,,0;][2

−== Nkenfnk

Nj

k )π

. Doprinos tihfunkcija u posmatranom signalu se proračunava pomoću diskretne Furieove transformacije

1,,0;][][1

0

2

−=⋅= ∑−

=

−NkenskS

N

n

nkN

j)

π

. Naj taj način signal ][ns se može pokazati kao linearna

kombinacija eksponencijalnih periodičnih funkcija u obliku

[ ] =⋅−+⋅−++⋅+⋅+⋅= −− ][]1[][]2[][]2[][]1[][]0[1][ 12210 nfNSnfNSnfSnfSnfSN

ns NN(

⋅−+⋅−++⋅+⋅+⋅⋅=

−− nNN

jnNN

jnN

jnN

jnN

jeNSeNSeSeSeS

N)1(2)2(2221202

]1[]2[]2[]1[]0[1 πππππ

( .



Iz gornjeg tada sledi da su kompleksni koeficijenti diskretnog Furieovog reda

1]0[0;][][0

0

2 =⇒=⋅= ∑=

− SkenskSn

nkj π

pa i diskretni spektar (DFT) signala sadrži samo jednu komponentu

1,,0;0;00;1

][ −=

≠=

= Nkkk

kS ) .

b.) Posmatrani periodični diskretni signal ima peiodu 24=N iz čega sledi da ga možemo prikazati kaolinearnu kombinaciju dvadesetčetiri kompleksnih periodičnih signala oblika

23,,0;][ 242

)== kenfnkj

k

π

gde ćemo udeo pojedinih signala proračunati po izrazu 23,,0;][][23

0

242

)=⋅= ∑=

−kenskS

n

nkj π

. Primenom

Ojlerovog obrazca za izraz diskretne Furieove transformacije dobijamo

=⋅

−⋅+⋅

+⋅= ∑∑

=

−−

=

−−

23

0

2428

28

223

0

2426

26

2

23.8

28.7][

n

nkjnjnj

n

nkjnjnj

ejeeeeekS

πππ

πππ

∑∑∑∑=

+−

=

−−

=

+−

=

−−−++=

23

0

)3(24223

0

)3(24223

0

)4(24223

0

)4(242

23.8

23.8

28.7

28.7

n

knj

n

knj

n

knj

n

knje

je

jee

ππππ

.

Izrazi 4+k i 3+k s mogu prikazati i u obliku 2024 −+k i 2124 −+k . Smenom ovih oblika u gornjujednačinu i deljenjem u eksponentu sa 24=N dobijamo

∑∑∑∑=

−−

=

−−

=

−−

=

−−−++=

23

0

)21(24223

0

)3(24223

0

)20(24223

0

)4(242

23.8

23.8

28.7

28.7][

n

knj

n

knj

n

knj

n

knje

je

jeekS

ππππ

.

Pokazali smo da je spektar diskretnog signala uvek periodična kompleksna funkcija sa periodom π2 ili akose posmatra diskretizovani spektar tada je ona periodična sa NK = gde je K perioda u k-domenu. Odavdeonda sledi da su komponente, u posmatranom intervalu [ ]1,,1,0 −∈ Nk ) , koje određuje druga i četvrtasuma zapravo komponente koje se nalaze u okolini K⋅1 u tačkama 1kK − i 2kK − .Posmatrajmo posebno rešenja pojedinih suma.

=≠

=−⋅=

−

−

−−

⋅⋅=−

−=−−

−−

−−

−−

=

−−

∑ 4;244;0

]4[24

)4(24

)4(24

sin

)4()4(sin

241

1)4(

24

)4(

)4(242

)4(223

0

)4(242

kk

k

k

k

kk

e

e

e

eekj

kj

kj

kj

n

knjδ

π

πππ

π

π

π

ππ

.



=≠

=−⋅=

−

−

−−

⋅⋅=−

−=−−

−−

−−

−−

=

−−

∑ 20;2420;0

]20[24

)20(24

)20(24

sin

)20()20(sin

241

1)20(

24

)20(

)20(242

)20(223

0

)20(242

kk

k

k

k

kk

e

e

e

eekj

kj

kj

kj

n

knjδ

π

πππ

π

π

π

ππ

.

=≠

=−⋅=

−

−

−−

⋅⋅=−

−=−−

−−

−−

−−

=

−−

∑ 3;243;0

]3[24

)3(24

)3(24

sin

)3()3(sin

241

1)3(

24

)3(

)3(242

)3(223

0

)3(242

kk

k

k

k

kk

e

e

e

eekj

kj

kj

kj

n

knjδ

π

πππ

π

π

π

ππ

.

=≠

=−⋅=

−

−

−−

⋅⋅=−

−=−−

−−

−−

−−

=

−−

∑ 21;2421;0

]21[24

)21(24

)21(24

sin

)21()21(sin

241

1)21(

24

)21(

)21(242

)21(223

0

)21(242

kk

k

k

k

kk

e

e

e

eekj

kj

kj

kj

n

knjδ

π

πππ

π

π

π

ππ

.

Odavde dobijamo da je izraz za proračun koeficijenata

=−⋅⋅−−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅⋅= ]21[242

3.8]20[2428.7]4[24

28.7]3[24

23.8][ k

jkkk

jkS δδδδ

23,,1,0;

21,20,4,3;021,;6.99

3;6.99

20,4;6.93

2

2

)=

≠=⋅

=⋅

=

=−

k

kke

ke

k

π

π

.

Kao što se vidi diskretni spektar ima samo četiri komponente različite od nule pa je stoga i signal ][ns

oblika [ ]][]3[][]4[][]4[][]3[241][ 212043 nfSnfSnfSnfSns ⋅+⋅+⋅+⋅⋅= .

c.) Dati signal je periodičan sa periodom 6=N iz čega onda sledi da opis ovog signala linearnomkombinacijom periodičnih eksponencijalnih funkcija sadrži samo šest komponenata. Navedimo tekomponente

===njnjnjnjnjnjnkj

k eeeeeekenf5

624

623

622

62

620

62

62

,,,,,1|5,,1,0;][πππππππ

) .



Doprinos pojedinih funkcija se računa pomoću diskretne Furieove transformacije. Izvođenjem dobijamo

]1[6

)1(6

)1(6

sin

)1()1(sin

61

1][)1(

65

)1(6

2

)1(25

0

)1(6

25

0

62

3 −⋅=

−

−

−−

⋅⋅=−

−==⋅=−−

−−

−−

=

−−

=

−

∑∑ k

k

k

kk

ee

eeeekSkj

kj

kj

n

knj

n

nkjjδ

π

πππ

π

π

ππππ

.

Vidimo da u diskretnom spektru postoji samo jedna nenulta komponenta za 1=k dok su sve ostale jednakenuli. Odavde onda sledi da u obliku linearne kombinacije postoji samo jedna kompleksna funkcija tj.

[ ] njnjeenfnfnfnfnfnfns 36

2

543210 661][0][0][0][0][6][0

61][

ππ

=⋅⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅= .

d.) Po definicji datog signala uočavamo da je perioda ovog signala 6=N , pa je njen opis pomoću

diskretnog Furieovog reda 5,,1,0;][61][

5

0

62

)=⋅⋅= ∑=

nekSnsk

nkj π

. Furieovi koeficijenti ][kS će biti

5,,1,0;

6

6sin

32

32sin

4151

11515][][ 2

62

46

23

0

625

0

62

)=⋅⋅⋅=−

−⋅=⋅=⋅=−

−

−

=

−

=

−

∑∑ k

k

k

k

k

ee

eeenskSkj

kj

kj

n

nkj

n

nkj

π

π

π

π

π

π

πππ

.

Za različite vrednosti k , kompleksni koeficijenti diskretnog Furieovog reda će imati vrednosti

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅⋅

⋅⋅=

−−22 315,5,15,4,0,3,15,2,315,1,60,0|,][ππ jj

eetkoeficijenkomponentakS .

Smenom datih vrednosti koeficijenata i kompleksnih funkcija u izraz za signal ][ns , dobijamo

=

⋅−⋅++⋅+⋅+⋅=

−− njjnjnjnjjeeeeeens

56

22

46

226

26

22 3151501531560

61][

ππππππ

=

⋅+⋅++⋅+⋅+⋅=

−−− njjnjnjnjjeeeeee 6

22

26

226

26

22 3151501531560

61 ππππππ

=

⋅+

−⋅⋅+⋅= nn 2

62cos30

262cos33060

61 πππ

=

⋅+

⋅⋅+⋅= nn 2

62cos30

62sin33060

61 ππ



⋅+

⋅⋅+= nn 2

62cos5

62sin3510 ππ

.

Kao što se vidi dat periodični signal se može predstaviti u obliku diskretnog Furieovog reda koji za datiprimer ima tri komponente, jednu jednosmernu komponentu i dve naizmenične komponente.

Zadatak 4.

Data su četiri vremenski diskretna signala. Klasifikovati njihovu DFT-u kao realnu, imaginarnu, ilikomleksnu. Predpostaviti da je N=10 u svim slučajevima. a)

Rešenje:Prvo što možemo zaključiti da signal ][nx p predstavlja parnu funkciju, pa na osnovu nekog iskustvamožemo očekivati da ćemo dobiti realnu DFT.Primenom izraza za DFT

1,,1,0;][][1

0

2−=⋅= ∑

−

=

⋅−

NkenxkXN

n

Nknj

pp )π

sledi da je:

++⋅+⋅+⋅+⋅= ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅− kjkjkjkjkj

p eeeeekX πππππ5

45

35

25 8.06.04.02.0][

kjkjkjkj

eeee⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−

⋅+⋅+⋅+⋅+ 59

58

57

56

2.04.06.08.0ππππ

.

Uparivanjem simetričnih članova i sredjivanjem izraza dobija se:

⋅⋅⋅=

+⋅=

+⋅ ⋅⋅−

⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−keeeeee kj

kjkj

kjkjkj

54cos4.0

24.02.0

54

54

59

5 ππ

ππ

πππ

⋅⋅⋅=

+⋅=

+⋅ ⋅⋅−

⋅⋅−⋅⋅


kjkj

kjkjkj

53cos8.0

28.04.0

53

53

58

52 ππ

ππ

πππ

10 n

1xp[n]

20



⋅⋅⋅=

+⋅=

+⋅ ⋅⋅−

⋅⋅−⋅⋅


kjkj

kjkjkj

52cos2.1

22.16.0

52

52

57

53 ππ

ππ

πππ

⋅⋅⋅=

+⋅=

+⋅ ⋅⋅−

⋅⋅−⋅⋅


kjkj

kjkjkj

5cos6.1

26.18.0

555

65

4 ππ

ππ

πππ

.

Konačno se za DFT signala dobija izraz

( )

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅+⋅−= kkkkkX k

p 54cos4.0

53cos8.0

52cos2.1

5cos6.111][ ππππ

Kao što smo i predpostavili izraz za DFT datog signala je realna funkcija promenljive k .

Amplitudski i fazni spektar se određuje prema izrazima:

22 ][Im][Re][][ kXkXkAkX ppp +== ,

−=

][Re][Im

][kXkX

arctgkp

pθ .

k A[k] θ[k] k A[k] θ[k]0 5 00 5 0.2 -1800

1 2.09 -1800 6 0 00

2 0 00 7 0.31 -1800

3 0.31 -1800 8 0 00

4 0 00 9 2.09 -1800

Kako je u ovom slučaju imaginarni deo jednak nuli, za fazno kašnjenje se dobija uvek vrednost nula.Međutim kako je amplitudska karakteristika uvek parna funkcija, negativne realne brojeve možemo daprikažemo samo tako što odgovarajućoj komponenti dodamo fazu π± jer je ππ jj ee −==−1 .

Amplitudski i fazni spektar su prikazani na slici.

0.20.31 0.31

2.09 2.09

5Amplitudski spektar

k9

A [k]

9

Fazni spektar

-1800

k

θ[k]



b)

Rešenje:Sa slike vidimo da signal nije ni parna ni neparna funkcija, pa možemo očekivati kompleksnu DFT.

−+⋅+⋅+⋅+⋅= ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅− kjkjkjkjkj

p eeeeekX πππππ5

45

35

25 8.06.04.02.0][

kjkjkjkj

eeee⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−

⋅−⋅−⋅−⋅− 59

58

57

56

2.04.06.08.0ππππ

.

Sličnim sređivanjem izraza, kao u predhodnom zadatku, za rezultat se dobija:

( )

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅⋅+⋅−= kkkkjkX k

p 54cos4.0

53cos8.0

52cos2.1

5cos6.111][ ππππ

Prema očekivanjima dobili smo kompleksnu DFT, pošto imamo i realni i imaginarni deo.

Amplitudska i fazna karakteristika se računa prema izrazima:


−=

][Re][Im

][kXkX

arctgkp

pθ .

k A[k] θ[k] k A[k] θ[k]0 1 00 5 1 1800

1 3.24 -720 6 1.1 180

2 1.7 -540 7 1.2 360

3 1.2 -360 8 1.7 540

4 1.1 -180 9 3.24 720

Na osnovu izračunatih vrednosti za amlitudski i fazni spektar se dobija:

10 n

1

20

xp[n]

11.2 1.2

3.24 3.24

1.7

Amplitudski spektar

k

1.7

1.11.11

9

A [k]

-720

9

Fazni spektar

k

720

360

-360

540

-540

180

-180

180 0θ[k]



c)

Rešenje:Primećujemo da je signal neparna funkcija, pa očekujemo imaginarnu DFT.

kjkjkjkjkjkjkjkj

p eeeeeeeekX⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−

−−−−+++= 59

58

57

56

54

53

52

5][ππππππππ

.

Posle sređivanja izraza slično kao u predhodnim zadacima dobija se:

( )

⋅+

⋅+

⋅+

⋅⋅⋅⋅−= kkkkjkX k

p 54sin

53sin

52sin

5sin21][ ππππ

.

Vidimo da imamo samo imaginarni deo, pa smo dobili imaginarnu DFT.


−=

][Re][Im

][kXkX

arctgkp

pθ .

k A[k] θ[k] k A[k] θ[k]0 0 00 5 0 00

1 6.1 900 6 0 00

2 0 00 7 1.4 -900

3 1.4 900 8 0 00

4 0 00 9 6.1 -900


10 n

1

20

xp[n]

k

1.4 1.4

6.16.1

Amplitudski spektar

9

A [k]

9

Fazni spektar

-900

900θ[k]

k



d)

Rešenje:U ovom slučaju možemo primetiti da signal ne predstavlja ni parnu ni neparnu funkciju, pa opet očekujemoza rezultat kompleksnu DFT.

kjkjkjkjkj

p eeeeekX⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−

+++++= 59

58

53

52

51][πππππ

.

Posle sređivanja izraza sledi da je konačno:

( )

⋅+

⋅⋅⋅−++=

⋅−kkekX kkj

p 54cos

53cos211][ 5

3 πππ

.

Prema očekivanjima dobili smo kompleksnu DFT.


−=

][Re][Im

][kXkX

arctgkp

pθ .

k A[k] θ[k] K A[k] θ[k]0 6 00 5 0 00

1 3.08 180 6 1 -720

2 1 360 7 0.75 -540

3 0.75 540 8 1 -360

4 1 720 9 3.08 -180


10 n

1

20

xp[n]

0.75 0.75

3.08 3.08

1

k

111

6Amplitudski spektar

9

A [k] Fazni spektar

9

720

-720

360

-360

540

-540

180

-180

θ[k]

k

Spektar uzorkovanog signala, decimacija, interpolacija Procesiranje Signala


Spektar uzorkovanog signala,decimacija,interpolacija

Zbog mnogo boljih osobina diskretnih sistema (linearna fazna karakteristika, bolja selektivnost,lakša realizacija) oblikovanje spektra analognih signala se vrše u diskretnom domenu. Postupak koji analognisignal preslikava u diskretni signal se zove diskretizacija signala.

Diskretizacija signala se sastoji iz dva postupka.

1. Uzorkovanje analognog signala.Proces se sastoji iz množenja analognog signala sa periodičnom povorkom idealnihDirakovih delta impulsa. Perioda ovih impulsa mora biti tako odabrana da zadovoljiteoremu o odabiranju tj.

max21f

Ts ⋅≤ ,

gde je maxf maksimalna učestanost u spektru analognog signala. Za rezultat ovog procesase dobija signal čije su vrednosti različite od nule samo u trenucima odabiranja, dok jejednak nuli u intervalima između dva odmeravanja. Znači dobijen je opet analogni signal.

2. ovako dobijeni analogni signal se zatim pretvara u diskretni signal sa svim svojimosobinama koje su već navedene u prvom poglavlju.

Drugi postupak ima pretežno teorijski značaj i njime se želi samo ukazati na razliku koja postoji izmeđudiskretizovanog i diskretnog signala.

Često se u praktičnim slučajevima javlja potreba za promenom periode uzorkovanja. Međutimvećina uređaja koje vrše uzorkovanje analognih signala nedaju mogućnost te promene. U tim slučajevima tapotreba se zadovoljava u diskretnom domenu.

Decimacija je postupak kojim se povećava perioda uzorkovanja za neki ceo broj M , u diskretnomdomenu. Postupak se izvodi tako što se iz diskretnog signala bira svaki tiM − element. U tom slučajuspektar novodobijenog signala je širi od spektra polaznog signala.

Interpolacija je postupak kojim se vrši smanjivanje periode odabiranja za neki ceo broj M .Postupak se izvodi tako što se između elemenata diskretnog signala ubacuju nulte vrednosti. Dobijenidiskretni signal se zatim propušta kroz idealni niskopropusni diskretni sistem koji vrši interpolaciju signala utačkama gde su ubačene nule. Treba zapaziti da se u ovom slučaju spektar signala sabija.

Rekonstrukcija analognog signala na osnovu njegovih odbiraka u diskretnom domenu se sastoji izdva postupka.

1. Pretvaranje diskretnog signala u diskretizovani signal. Ovim postupkom se dobijaanalogni signal koji se sastoji od Dirakovih delta impulsa amplitude jednakimamplitudama diskretnog signala.

2. Rekonstrukcija analognog kontinualnog signala na osnovu diskretizovanog signala.Rekonstrukciju vrši idealan niskopropusni sistem na čiji ulaz se dovode delta impulsi sanekom periodom T . Rekonstrukcija je zapravo interpolacija izlaznog analognog signala,na osnovu njegovih odmerenih vrednosti.

Procesiranje Signala Spektar uzorkovanog signala, decimacija, interpolacija


Zadatak 1.

Analogni signal idealnog niskopropusnog spektra, granične učestanosti gf , se uzorkovao frekvencijom

uzorkovanja gs ff ⋅> 2 . Analitički oblik spektra uzorkovanog signala je tada

( )[ ]∑∞

−∞=

Ω⋅+Ω=Ωn

sas

s njST

jS 1)( .

a) ako se na ulaz niskopropusnog filtra sa prenosnom karakteristikom

gsNFgNFs

NF ffffdrugde

fTjH −<<

⋅≤Ω

=Ω ;;0

2;)(

π

dovedu uzorci analognog signala, odrediti rekonstruisani signal na izlazu filtra.

b) ako je prenosna karakteristika oblika

sNFgsNFs

NF ffffdrugde

fTjH <<−

⋅≤Ω⋅

=Ω ;;0

2;3)(

π

naći rekonstruisani analogni signal na izlazu filtra.

c) ako je brzina uzorkovanja gs ff ⋅< 2 i ako je prenosna funkcija niskopropusnog sistema

⋅≤Ω

=Ωdrugde

fTjH gs

NF ;02;

)(π

,

odrediti signal na izlazu rekonstrukcionog filtra.

d) Spektar analognog signala je oblika

( )

( )

≤≤−⋅

≤≤−+⋅

=

drugde

fffff

fffff

jfS ggg

ggg

a

;0

0;1

0;1

)( .

Analogni signal se uzorkuje frekvencijom gs ff ⋅> 2 . Ako je prenosna funkcija na čiji ulaz se dovodeuzorci analognog signala oblika

⋅≤Ω

=Ωdrugde

fTjH gs

NF ;02;

)(π

,

odrediti analogni signal na izlazu filtra.



e) Ako je spektar analognog signala koji se uzorkuje sa Hzf s 750=

( )

( )

≤≤−⋅

≤≤−+⋅

=

drugde

Hzff

fHzf

jfSa

;0

5000;5005001

0500;5005001

)(

i ako je prenosna funkcija niskopropusnog filtra

≤⋅

=drugde

HzfTjfH s

NF ;0375;5

)( ,

odrediti izlazni signal iz NF filtra.

f) Ako je analogni signal oblika ( )ttsa ⋅⋅−= 5002cos1)( π i ako se on uzorkuje frekvencijomHzf s 750= , odrediti rekonstruisani signal na izlazu NF filtra sa prenosnom funkcijom

≤

=drugde

HzfTjfH s

NF ;0600;

)( .

g) Analogni signal je oblika ( )( )21002sin1)( ttsa ⋅⋅−= π koji se uzorkuje sa Hzf s 150= . Odreditiizlazni signal NF filtra čija je prenosna funkcija oblika

≤

=drugde

HzfTjfH s

NF ;0300;

)( .

Rešenje:

a) Spektar idealnog NF signala je oblika

≤

=drugde

ffjfS g

a ;0;1

)( .

Uzorkovani signal će tada da ima spektar oblika

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] (

!! "!! #$!"!#$!! "!! #$

( +−++++=

==−= 101

111)(

n

sas

n

as

n

sas

s ffjST

fjST

ffjST

jfS .

Proučimo član ovog spektra koji je označen sa 0=n . Kao što se to vidi on je istog oblika kao i analogni

spektar samo što su komponente u tom opsegu pomnožene sa koeficijentom sT1

. Opseg učestanosti u kome

je ovaj deo spektra različit od nule je [ ]gg fff ;−∈ .



Član koji je označen sa 1−=n je isto spektar analognog signala pomnožen sa sT1

ali je pomeren po

frekvencijskoj osi za sf ulevo. Opseg u kome je spektar različit od nule je [ ]gsgs fffff +−−−∈ ; .

Kako je gs ff ⋅> 2 , gornja granica ovog opsega je sigurno manja od gf tj. važi ggs fff −<+− . Odavdeonda sledi da se spektri 0=n i 1−=n ne preklapaju.

Član koji je označen sa 1=n je isto spektar analognog signala pomnožen sa sT1

ali je pomeren po

frekvencijskoj osi za sf udesno. Opseg u kome je spektar različit od nule je [ ]gsgs fffff +−∈ ; .

Kako je gs ff ⋅> 2 , donja granica ovog opsega je sigurno veća od gf tj. važi ggs fff >− . Odavde ondasledi da se spektri 0=n i 1=n ne preklapaju.

Slična analiza se može izvesti za svaki od članova sume, koja će pokazati da se nijedna replika spektraanalognog signala ne preklapa sa nijednom drugom replikom tj. nepostoji pojava spektralnog preklapanja uspektru uzorkovanog signala.

Niskopropusni filtar na čiji ulaz se dovode uzorci analognog signala ima takvu prenosnu funkciju da

eliminiše faktor sT1

i iz spektra izdvaja samo član 0=n koji je zapravo spektar analognog signala.

Spektar izlaznog signala i odziv će tada biti

( )t

tfdfety

drugdeff

jfY gf

f

tfjgg

g⋅

⋅⋅=⋅⋅=⇒

≤

= ∫−

⋅⋅⋅

πππ 2sin

1)(;0;1

)( 2 .

b) Kako je brzina uzorkovanja ista kao pod a) analiza koja je sprovedena za taj slučaj važi i ovde. Međutimkako je propusni opseg niskopropusnog filtra sada širi i obuhvata deo spektra označenog sa 1±=n to ćetada izlazni signal biti

=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫∫−

⋅⋅⋅∞

∞−

⋅⋅⋅NF

NF

f

f

tfjs

tfjNFs dfejfSdtejfHjfSty ππ 22 )(3)()()(

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ∫∫∫−

⋅⋅

−

⋅⋅+−

−

⋅⋅NF

gs

g

g

gs

NF

f

ff

tfjf

f

tfjff

f

tfj dfedfedfe πππ 222 333

( ) ( ) ( )( )t

tfft

tft

tf gsNFg

⋅⋅−⋅

⋅−⋅

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅

⋅=π

πππ

ππ 2sin

32sin

32sin

3 .

Kao što se vidi rekonstrukcija signala nije uspešno izvedena zbog preširokog propusnog opsegarekonstrukcionog filtra.

c) Analizirajmo opseg koji NF filtar za rekonstrukciju propušta bez izobličenja tj. opseg frekvencije[ ]gg fff ;−∈ . Proverimo koji od članova spektra uzorkovanog signala deluju u tom opsegu.

Član označen sa 1−=n zbog gornj granice 0<+−<− gsg fff očigledno ima uticaja na oblik spektrakoji se izdvaja NF filtrom. Njegov uticaj se manifestuje u spektralnom preklapanju sa članom koji je označensa 0=n . U opsegu u kome je nastalo preklapanje rezultantni oblik spektra predstavlja zbir pojedinihspektara. Isto se može reći i za opseg učestanosti u intervalu gff ≤≤0 . U ovom slučaju spektralno



preklapanje nastaje usled člana sa oznakom 1=n , i rezultantni spektar je zbir pojedinih spektara. Na osnovuovoga oblik spektra u opsegu od značaja koji se izdvaja NF filtrom je

≤<−−≤≤+−

+−<≤−=

gsg

sgsg

sgg

s

fffffffff

ffffjfS

;2;1

;2)( .

Izlazni signal koji se dobija izdvajanjem gore opisanog opsega će biti

=⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫∫−

⋅⋅⋅∞

∞−

⋅⋅⋅g

g

f

f

tfjs

tfjNFs dfejfSdtejfHjfSty ππ 22 )()()()(

=⋅⋅+⋅+⋅⋅= ∫∫∫−

⋅⋅−

+−

⋅⋅+−

−

⋅⋅g

gs

gs

gs

gs

g

f

ff

tfjff

ff

tfjff

f

tfj dfedfedfe πππ 222 22

( )( ) ( ) ( )( )=

⋅⋅−⋅

⋅−⋅

⋅⋅⋅+

⋅⋅−⋅

=t

tfft

tft

tff gsggs

ππ

ππ

ππ 2sin

22sin

22sin

( ) ( )( )t

tfft

tf gsg

⋅⋅−⋅

−⋅

⋅⋅⋅=

ππ

ππ 2sin2sin

2 .

Kao što se vidi rekonstrukciju analognog signala opet nije bilo moguće izvršiti zbog nedovoljno visokebrzine uzorkovanja analognog signala, koje je prouzrokovalo spektralno preklapanje (ALIASING EFECT) uspektralnom domenu.

d) Iz uslova zadatka se uočava da je i teorema o odabiranju zadovoljena i da je propusni opseg rekonstruk-cionog filtra takođe dobro odabrana. Izlazni signal će tada biti

=⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫∫−

⋅⋅⋅∞

∞−

⋅⋅⋅g

g

f

f

tfjs


( ) ( ) =⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅= ∫∫ ⋅⋅

−

⋅⋅g

g

ftfj

ggf

tfjg

g

dfefff

dfefff 0

20

2 11 ππ

2

22sin

⋅

⋅⋅

=t

tf g

π

π.

e) Po uslovu zadatka brzina uzorkovnja signala sa ograničenim spektrom uvek mora biti takva da zadovoljiuslov kHzff gs 150022 =⋅=⋅> . Kako ovaj uslov nije zadovoljen to će obavezno doći do spektralnogpreklapanja u spektru uzorkovanog signala. U opsegu koji se propušta kroz rekonstrukcioni filtar važi oblikspektra



( )

( )

≤≤

≤≤−⋅

≤≤−+⋅

−≤≤−

=

HzfHzT

HzffT

fHzfT

HzfHzT

jfS

s

s

s

s

s

375250;5.0

2500;5005001

0250;5005001

250375;5.0

)( .

Kako se samo ovaj deo spektra propušta kroz filtar tada će i spektar izlaznog signala biti istog oblika alipomnožen sa faktorom sT⋅5 . Odavde je tada izlazni signal

=⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫∫−

⋅⋅⋅∞

∞−

⋅⋅⋅g

g

f

f

tfjs


( ) ( ) =+⋅−+⋅++= ∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅

−

⋅⋅−

−

⋅⋅375

250

2250

0

20

250

2250

375

2 5.2500500

550050055.2 dfedfefdfefdfe tfjtfjtfjtfj ππππ

( ) ( ) ( ) 2

12521252sin6252502sin53752sin5.2

⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅=

tt

tt

tt

ππ

ππ

ππ

.

Kao što se vidi zbog nedovoljno visoke brzine uzorkovanja nije moguće rekonstruisati analogni signal naosnovu njegovih uzoraka.

f) Ako se analizira fizički spektar analognog signala tada je izraz spektra uzorkovanog signala jednaka

( )[ ]∑∞

=

⋅−⋅=0

1)(n

sas

s fnfjST

jfS ,

gde je )( jfSa fizički spektar analognog signala koji se uzorkuje. Ova predstava spektra uzorkovanogsignala je jako pogodna ako se analiziraju postupci uzorkovanja periodičnih signala.

Pogledajmo koje komponente uzorkovanog signala se nalaze u propusnom opsegu NF filtra.

Za 0=n imamo komponente koje se nalaze u tačkama HzfHzf 500;0 ==Za 1=n imamo komponente 500;0 ±± ss ff koje se nalaze u okolini učestanosti uzorkovanja. Oni senalaze na učestanostima HzfHzfHzf sss 1250500;7500;250500750500 =+=±=−=− . Od ovihkomponenata samo je komponenta na Hz250 unutar propusnog opsega dok se svi ostali odsecaju.Ostale komponente za različite vrednosti 1>n ispadaju iz propusnog opsega pa se oni ni ne pojavjuju naizlazu NF filtra. Odavde sledi da su komponente koje čine izlazni signal na učestanostima

HzHzHz 500,250,0 , tj izlazni signal će biti

( ) ( )ttty ⋅⋅−⋅⋅−= 5002cos2502cos1)( ππ .

Očigledno da zbog nedovoljno visoke brzine uzorkovanja nije moguće korektno rekonstruisati analognisignal. Komponenta na Hz250 koja je prisutna u izlaznom signalu se pojavila zbog nedovoljno visokebrzine uzorkovanja odnosno zbog spektralnog preklapanja u frekventnom domenu.



g) Analogni signal u razvijenom obliku glasi

( ) ( )tttsa ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−= 2002cos5.01002sin25.1)( ππ .

Za 0=n tj. u okolini učestanosti sf⋅0 se nalaze komponente osnovnog spektra analognog signala i to naučestanostima HzHzHz 200,100,0 . Sve navedene komponente, osim jednosmerne imaju negativanpredznak.U okolini sf⋅1 imamo komponente na učestanostima HzHzf s 15001 =±⋅ , HzHzf s 250,501001 =±⋅ ,

HzHzf s 350,502001 =±⋅ . Komponenta koja se nalazi na Hz50200150 −=− se preslikava ukomponentu na Hz50 zbog parnosti kosinusne funkcije ( )502cos())50(2cos( tt ππ =− .U okolini sf⋅2 imamo komponente na učestanostima HzHzf s 30002 =±⋅ ,

HzHzf s 400,2001002 =±⋅ , HzHzf s 500,1002002 =±⋅ . Komponente koje se nalaze izvan propusnogopsega NF fitra se ne pojavljuju na izlazu, pa su zbog toga prisutne samo komponente

HzHzHz 300,200,100 .U okolini sf⋅3 postoji samo jedna komponenta koja može da prođe kroz NF filtar, u tački

Hzf s 2502003 =−⋅ . Sve ostale se nalaze izvan propusnog opsega tj. one se odsecaju.

Zbrajanjem svih komponenata koje prolaze kroz filtar dobijamo da je izlazni signal oblika

( ) ( ) ( ) ( )+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+= ttttty 1002sin21002cos5.0502cos5.0502sin25.1)( ππππ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+ ttttt 2502sin22502cos5.02002sin22002cos5.01502cos5.1 πππππ( )t⋅⋅⋅+ 3002cos5.1 π .

Nakon sređivanja izraza u pregledniji oblik dobija se

+⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅+= )1502cos(061.2)325.11002cos(061.2)325.1502cos(061.25.1)( tttty πππ)3002cos(5.1)325.12502cos(061.2)325.12002cos(061.2 ttt ⋅⋅+−⋅⋅+−⋅⋅− πππ .

Zadatak 2.

Neka je spektar analognog signala ograničen sa maksimalnom kružnom učestanošću 1

max Tπ=Ω . Neka se

ovaj signal uzorkuje sa periodom uzorkovanja 1TTs = i neka se uzorci signala šalju na idealni DA pretvaračsa periodom 2T pri čemu je 21 TT ≠ . Naći vezu između izlaznog i ulaznog analognog signala.

Rešenje:

Pre rešavanja zadatka objasnimo rad idealnog DA pretvarača.Idealni DA pretvarač se sastoji iz dva redno vezana sistema. Jedan od njih je pretvarač koji ima ulogu davrednosti diskretnog signala (koji je definisan samo u trenucima odabiranja) pretvori u niz Dirakovihimpulsa periode 2T . Time se zapravo dobija analogni uzorkovani signal. Ovaj analogni signal se zatim šaljena ulaz NF filtra koji vrši rekonstrukciju analognog signala odnosno na osnovu delta impulsa na njegovomulazu vrši interpolaciju kontinulanog analognog signala.Ako se gore definisani analogni signal uzorkuje periodom uzorkovanja 1T tada će spektar diskretnog signalada zauzima opseg frekvencije prema transformaciji 1T⋅Ω=ω , [ ] [ ]ππω ,, 1max1max −=⋅Ω⋅Ω−∈ TT . Kaošto se vidi brzina uzorkovanja je optimalno odabrana jer nema spektralnog preklapanja ali i frekventni opsegkoji je na raspolaganju je maksmalno iskorišćen.



Ako se sada diskretni signal šalje na idealni diskretni-analogni pretvarač koji radi periodom 2T tada ćespektar izlaznog kontinualnog analognog signala prema gornjoj transformaciji da zauzima opesg kružne

učestanosti

−=

−∈Ω

222

max

2

max ,,TTTTππωω

. Za 21 TT ≠ možemo da razlikujemo dva slučaja.

1. 21 TT > . U ovom slučaju imamo da je 21 TT

ππ < tj. da je spektar izlaznog kontinualnog analognog

signala širi u odnosu na spektar ulaznog analognog signala. Fizički to znači da se uzorci diskretnogsignala brže konvertuju u analogni izlazni signal pa je prema tome i vremenska promena izlaznoganalognog signala brža. Ako je signal brži tada njegov spektar mora da sadrži i komponente na višimfrekvencijama tj. njegov spektar se širi u odnosu na ulazni signal.

2. 21 TT < . U ovom slučaju imamo da je 21 TT

ππ > tj. da je spektar izlaznog analognog signala uži u

odnosu na ulazni analogni spektar. Fizičko objašnjenje ove pojave je ta da se sada uzorci diskretnogsignala konvertuju sporije u kontinualni analogni signal na izlazu, pa je prema tome i izlazni signalvremenski sporiji. To tada znači da je spektar takvog signala pretežno lociran na niskim učestanostima uodnosu na ulazni analogni signal.

Zadatak 3.

Spektar analognog signala je oblika

( )( )

⋅≤≤−⋅⋅⋅

≤≤⋅−+⋅⋅⋅

=

drugde

ff

ff

jfSa

;0

1050;1051051

0105;1051051

)( 333

333

.

Nakon uzorkovanja analognog signala sa periodom uzorkovanja 1T diskretni signal sa idealnog anaologno-diskretnog pretvarača se propušta kroz diskretni sistem sa prenosnom karakteristikom oblika

≤=

drugdeeH j

;02

;1)(πωω .

Diskretni signal sa izlaza diskretnog sistema se tada šalje na ulaz idealnog diskretno-analognog pretvarača uu kome se diskretni signal pretvara u analogni sa periodom konverzije 2T .Za sledeće navedene slučajeve odrediti spektar analognog signala na izlazu idealnog DA pretvarača:

a) 4

21

1011 ==TT

b) 4

21

10211 ⋅==TT

c) 4

2

4

1

101,1021 =⋅=TT

d) 4

2

4

1

1021,101 ⋅==TT

.



Rešenje:

a)Spektar diskretnog signala, koji se dobija uzorkovanjem analognog signala će da zauzima opseg učestanosti

[ ] [ ] [ ]ππππω ,101052,101052, 43431max1max −=⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅Ω⋅Ω−∈ −−TT . Idealni diskretni sistem

propušta samo opseg

−

2,

2ππ

pa će diskretni signal na izlazu sistema biti

≤≤

≤=

πωπ

πωω

ω

2;0

2);(

)(j

dj

eSeY .

Rekonstrukcijom signala ][ny pomoću idealnog diskretnog-analognog pretvarača na izlazu se dobija signalčiji je spektar jednak

( )( )

⋅≤≤−⋅⋅⋅

≤≤⋅−+⋅⋅⋅

=

drugde

ff

ff

jfYa

;0

105.20;1051051

0105.2;1051051

)( 333

333

.

Gore opisani postupak predstavlja jedan način ograničenja spektra analognog signala. S obzirom da diskretnisistemi za filtriranje pokazuju mnoge bolje ososbine od analognih filtarskih sistema, često se efekatanalognog filtriranja postiže tako što se analogni signal diskretizuje, u diskretnom domenu na zahtevaninačin se filtrira pa se opet pretvara u kontinualni analogni signal.

b)Frekvencijski opseg u kome se nalazi diskretni signal je

[ ] [ ]

−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅Ω⋅Ω−∈ −−

2,

21021052,1021052, 4343

1max1maxππππω TT .

S obzirom da se ceo spektar diskretnog signala nalazi u propusnom opsegu diskretnog sistema sledi da ćeulazni diskretni signal ][nsd da se pojavi na izlazu bez ikakvog izobličenja. Kako je i perioda izlaznogpretvarača ista sa periodom uzorkovanja sledi da se na izlazu dobija neizobličen ulazni analogni signal

)(tsa .

c)Frekvencijski opseg u kome se nalazi diskretni signal je

[ ] [ ]

−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅Ω⋅Ω−∈ −−

2,

21021052,1021052, 4343

1max1maxππππω TT .

Kao što se vidi diskretni sistem neće imati efekta jer se ulazni diskretni signal u potpunosti nalazi unjegovom propusnom opsegu. Zbog različite vrednosti periode konverzije na izlazu se dobija kontinualni

analogni signal koji zauzima opseg [ ]33

2

max

2

max 105.22,105.22, ⋅⋅⋅⋅−=

−∈Ω ππ

ωωTT

. Vidimo da je

analogni spektar sa ulaza celog sistema sabijen u opseg koji je upola manji od ulaznog. Kako je i odnos

121

2 ≠=TT

, sledi da će vrednost spektra u pojedinim tačkama biti dva puta veća. Konačno sledi da je spektar

izlaznog signala oblika



( )( )

⋅≤≤−⋅⋅⋅

≤≤⋅−+⋅⋅⋅

=

drugde

ff

ff

jfYa

;0

105.20;105.2105.2

2

0105.2;105.2105.2

2

)( 333

333

.

d)Frekvencijski opseg u kome se nalazi diskretni signal je

[ ] [ ] [ ]ππππω ,101052,101052, 43431max1max −=⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅Ω⋅Ω−∈ −−TT .

U ovom slučaju dolazi do izražaja efekta filtriranja pa će zbog toga diskretni signal na izlazu sistema dazauzima opseg definisan diskretnim sistemom tj.

≤≤

≤=

πωπ

πωω

ω

2;0

2);(

)(j

dj

eSeY .

Nakon idealne rekonstrukcije spektar kontinualnog analognog signala na izlazu će da zauzima opseg kružne

učestanosti [ ]33

2

max

2

max 10102,10102, ⋅⋅⋅⋅−=

−∈Ω ππ

ωωTT

. Zbog različitih vrednosti perioda

konverzije vrednosti spektra se množe sa vrednošću 5.0 . Treba zapaziti da je spektar signala na izlazuglobalnog sistema izobličena varijanta ulaznog signala, zbog efekta filtracije, koju je uneo diskretni sistem,pa je zbog toga oblik spektra izlaznog analognog signala definisan izrazom

( )( )

⋅≤≤−⋅⋅⋅

≤≤⋅−+⋅⋅⋅

=

drugde

ff

ff

jfYa

;0

10100;102010205.0

01010;102010205.0

)( 333

333

.

Zadatak 4.

Neka je spektar diskretnog signala ][nx oblika

( )

≤≤

≤−⋅=

πωω

ωωωωωω

H

HHH

jeX;0

;1)( .

Naći izraz spektra signala ][nxs i ][nxd ako je 3=M za slučajeve 2πω =H i

4πω =H . Diskretni signali

su oblika

±±=

=drugde

MMnMnxnxi

;0

,2,,0;][ ),

][][ nMxnxd ⋅= .



Rešenje:

Posmatrajmo signal ][nxd . Na osnovu definicije signala uočava se da se signal sastoji od svakog togM −odbiraka signala ][nx poređani jedan pored drugog. Logično je tada zaključiti da je vremenska promenasignala dobijena ovim postupkom brža od signala ][nx . Ako su promene signala brže tada su uvek prisutnekomponente na višim frekvencijama pa je prema tome i spektar novodobijenog signala širi. Sa druge straneako signal predstavimo kao rezultat uzorkovanja polaznog analognog signala tada je jasno da signal ][nxd

dobijen tako što je perioda uzorkovanja signala ][nx sada sd TMT ⋅= . Proverimo datu analizu izvođenjemspektra signala ][nxd .Ako je signal ][nxd dobijen uzorkovanjem signala )(tx tako što je perioda uzorkovanja bila sd TMT ⋅=tada je spektar uzorkovanog signal po već poznatom izrazu

( )[ ] ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

Ω

⋅+Ω⋅

=Ω⋅+Ω=Ωn

sa

snda

dd M

njXTM

njXT

jX 11)( .

Analogne kružne učestanosti se preslikavaju u normalizovane učestanosti po izrazu dT⋅Ω=ω pa će tadaspektar diskretnog signala biti

)(1211)( Mj

na

s

jd eX

MMnjX

TMeX

ωω πω ⋅=

⋅+⋅= ∑

∞

−∞=

.

Vidi se da je spektar novodobijenog signala širi i zauzima putaM − veći opseg nego inače i da su vrednostipojedinih komponenata u tom opsegu podeljene faktorom M . Gore opisani proces se naziva decimacijadiskretnog signala i ona omogućava da se već diskretizovanom signalu poveća perioda uzorkovanja nadiskretnom nivou za celobrojno M puta.

Signalu ][nxi se može dati slično tumačenje. Kao što se vidi signal je dobijen tako što su između vrednostisignala ][nx ubačene nule. Time je postignut efekat kao da su promene signala sporije u odnosu na signal

][nx . Ako su promene sporije to znači da je spektar signala pretežno lociran na nižim učestanostim, odnosnoda je spektar postao uži usled ovog postupka. Ako se signal ][nxi tumači kao rezultat neke vrste odabiranja

onda je jasno da se dobio kao odmeravanje analognog signala )(tx periodom odabiranja MTT s

i = , tj. kao da

smo ubrzali postupak uzorkovanja. Nađimo spektar dobijenog signala. Spektar diskretizovanog signala ćetada biti

( )[ ] ( )[ ]∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

⋅Ω⋅+Ω=Ω⋅+Ω=Ωn

sasn

iai

i MnjXTMnjX

TjX 1)( ,

dok je spektar diskretizovanog signala nakon smene MTT s

i ⋅Ω=⋅Ω=ω jednak

( )( )[ ] )(21)( ωω πω ⋅∞

−∞=

⋅=⋅+⋅⋅= ∑ jM

na

s

ji eXMnMjX

TMeX .

Iz izraz se uočava da je spektar signala ][nxi uži i da zauzima putaM − manji opseg učestanosti negosignal ][nx i da su vrednosti komponenata putaM − povećani nego inače. Opisani postupak sabijanjaspektra diskretnog signala se naziva interpolacija. Obično se nakon promene periode uzorkovanja signala nadiskretnom nivou, dobijeni diskretni signal se propušta kroz idealni niskopropusni diskretni sistem. U tomslučaju diskretni sistem ima ulogu da rekonstruiše nulte vrednosti diskretnog signala odnosno da izvršiinterpolaciju nedostajućih diskretnih vrednosti.

Procesiranje Signala Projektovanje analognih filtara


Projektovanje analognih filtara

Projektovanje prenosnih funkcija analognih filtara se svodi na određivanje aproksimacionih funkcija,koje treba da zadovolje određene karakteristike. Te karakteristike se obično zadaju unapred i to ufrekvencijskom domenu.

Kod prenosnih karakteristika filtara razlikujemo tri značajne oblasti:

- propusna oblast, u kojoj filtar propušta komponenete signala sa minimalnim slabljenjem,- prelazna oblast, u ovoj oblasti ampitudska karakteristika ima strogo monotono opadajući ili

rastući karater, zavisno od tipa filtra koji se projektuje,- nepropusna oblast, u kojoj filtar potiskuje komponente signala sa maksimalnim slabljenjem.

Karakteristike koje se zadaju odnose se na osobine filtara u ovim oblastima, definišu ponašanjeprenosne karakteristike unutar određenih gabarita. Gabariti na osnovu kojih se projektuju filtri su:

- granična kružna učestanost propusnog opsega ( pΩ ),

- granična kružna učestanost nepropusnog opsega ( nΩ ),- maksimalno slabljenje u propusnoj oblasti ( pα ),

- minimalno slabljenje u nepropusnoj oblasti ( nα ).

Projektovanje je moguće izvršiti pomoću unapred zadatih funkcija, ili pomoću računarskih programaza nalaženje optimalne prenosne funkcije.

Batervortova aproksimacija.

Osobina: amplitudska karakteristika je maksimalno ravna u kordinatnom početku.

Kvadrat amplitudske karateristike je:

N

p

B sH 2

2

2

1

1)(

ΩΩ⋅+

=

ε

,

gde je ε -slabljenje na granici propusnog opsega,

110 1.0 −= ⋅ pαε ,

dok je N -red filtra,

ΩΩ

−−

⋅≥⋅

⋅

p

n

p

n

Nlog

110110log

21 1.0

1.0

α

α

.

Projektovanje analognih filtara Procesiranje Signala


Čebiševljeva aproksimacija.

Osobina: maksimalno ravna amplitudska karakteristika u nepropusnoj oblasti, uža prelazna oblastnego što to ima Batervortova aproksimacija ali na račun oscilacija u propusnoj oblasti.

Red Čebiševljevog filtra se određuje pomoću izraza:

ΩΩ

−−

≥−

⋅

⋅−

p

n

p

n

N1

1.0

1.01

cosh

110110cosh α

α

.

Polovi prenosne funkcije su tada:

Nkjs kkk ,,2,1; )=+= ωσ ,

⋅−+⋅⋅

−⋅=

⋅

− πσα N

NkN p

k 212sin

110

1sinh1sinh1.0

1 ,

⋅−+⋅⋅

−⋅=

⋅

− πωα N

NkN p

k 212cos

110

1sinh1cosh1.0

1 .

Prenosna funkcija će biti:

( )

( )

( )

−−

−−⋅=

−=

∏

∏

∏=

=

⋅−

=

neparnoNss

parnoNssH

ss

HsH N

kk

N

kk

N

kk

C

p

;

;10;)(

1

1

05.0

0

1

0

α

.

Inverzna Čebiševljeva aproksimacija.

Osobina: maksimalno ravna amplitudska karakteristika u propusnoj oblasti, uža prelazna oblastnego što to ima Batervortova aproksimacija ali na račun oscilacija u nepropusnoj oblasti.

Postoji još mnogo funkcija koje se koriste u projektovanju filtarskih funkcija, kao što su eliptičkefunkcije ili Beselove funkcije, itd. Zbog složenosti proračuna njih nećemo analizirati.

U slučaju da se želi projektovati filtar različit od NF tipa, tada se obično pribegava preslikavanju NFtipa u neki drugi, potrebni tip filtara. Osnovna preslikavanja su:

- sassmenaNFNF ˆ:; ⋅=→ ,

- sassmenaVFNFˆ

:; =→ ,

- sB

sssmenaPONFˆ

ˆ:;

20

2

⋅Ω+

=→ ,

- 20

2ˆˆ

:;Ω+⋅=→

ssBssmenaPONF .



Zadatak 1.

Projektovati analogni normalizovani Batervortov filtar za sledeće redove filtraa.) 1=N b.) 2=N c.) 3=N d.) 4=N e.) 5=N .Za svaki od navedenih primera nacrtati amplitudsku i faznu karakteristiku, položaj nule i polova u S-ravni iodrediti impulsni odziv filtara. Smatrati da je maksimalno slabljenje filtra na granici propusnog opsega

dBAp 3= .

Rešenje:

a.) Kvadrat modua BW filtra N-tog reda je oblika ( ) NNBWH 2

2

11)(Ω+

=Ω . Polovi ove funkcije se

određuju po polinomu imenioca. Iz algebre je poznato da polinom oblika ( ) 1)( 2 +Ω=Ω NP ima ukupnoN2 korena koje leže na jediničnom krugu ekvidistantno respoređeno. Položaj polova su dati formulom

NkneparnoNe

parnoNejsN

kj

Nkj

kkk 2,,2,1;;

;)1(

2)12(

)=

→

→=+= −

−

π

π

ωσ .

Za dati primer imamo da je 1=N tj. filtar prvog reda. Tada je ( )2

2

1 11)(Ω+

=ΩBWH . Funkcija ima dva

pola koje se nalaze na 11;11 20

1 −=⋅==⋅= πjj eses . Da bi filtar bio realizljiv prenosna funkcija mora daima polove u levoj poluravni S-ravni. Kako je pol 2s jedini pol u levoj poluravni to će tada prenosna

funkcija da glasi 111)(

21 +

=−

=sss

sH BW . Primenom inverzne Laplasove transformacije nalazimo i

impulsni odziv datog filtra 0;)()( 1 ≥== −− tesHLth tBWBW .

Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici respektivno.

b.) Napišimo analogno predhodnom zadatku oblik funkcije iz kojeg se određuju polovi prenosne funkcije

( )42

2 11)(Ω+

=ΩBWH . Položaj polova su tada 44

43

34

3

24

1 ;;;ππππ jjjj

eseseses−−

==== . Od navedenih

polova samo polovi 2s i 3s leže u levoj poluravni koji odgovaraju polovima stabilnoj prenosnoj funkcijifiltra drugog reda. Stoga će prenosna funkcija filtra biti



−−

−

⋅

=−⋅−

=−⋅−

=−−

)(

1

)(

1

43sin2

1

)()(

1)()(

1)(4

34

34

34

332

2 ππππ π jjjjBW

esesjesesssss

sH .

Nakon što je prenosna funkcija rastavljena u oblik parcijalnih razlomaka, inverzna L-transformacija se svodina tablično rešenje

−

⋅

=

−

⋅

=

−

−

43sin

43cos

43sin

43cos

43sin2

1

43sin2

1)( 43

43 ππππ

ππ

ππ jttjtttete

BW eeeej

eej

thjj

.

Nakon rastavljanja polova na realne i imaginarne delove i izvlačenjem zajedničkih keoficijenata ispredzagrade impulsni odziv će biti

0;)4

3sin(sin

43sin

43sin2

)(4

3cos

43sin

43sin4

3cos

≥

⋅⋅

=

−

⋅

=

⋅

−

tteeej

etht

jtjtt

BWπ

ππ

πππ

π

.

Kao što se to vidi impulsni odziv je prigušenog oscilatornog karaktera sa kružnom učestanošću

=

43sin0πω i prigušenjem

=

43cos πσ .


c.) Analogno predhodnim primerima imamo ( )6

2

3 11)(Ω+

=ΩBWH . Položaj polova ove funkcije će biti

36

32

543

2

33

21 ;;1;;;1ππππ jjjj

esessesess−−

==−==== . Polovi koji odgovaraju stabilnom filtru trećegreda moraju da leže u levoj poluravni S-ravni, pa je stoga prenosna funkcija oblika

=−⋅+⋅−

=−⋅−⋅−

=−

)()1()(

1)()()(

1)(3

23

2543

3 ππ jjBW

essesssssss

sH

32

3

32

3

2

1

32sin2

3cos2

1

32sin2

3cos21

1

3cos2

1π

π

π

π

πππππ j

j

j

j

esj

e

esj

es −

−

−⋅

⋅

−−

⋅

⋅

++

⋅

= .



Primenom inverzne transformacije impulsni odziv će da glasi

=

⋅

⋅⋅−

⋅

⋅⋅+

=

−

−−

32sin2

3cos2

32sin2

3cos2

3cos2

)(3

2sin3

2cos33

2sin3

2cos3

2 πππππ

ππππππ

j

eee

j

eeeethjttjjttjt

BW

=

⋅

⋅−

⋅

⋅+

=

−

−

−

−

32sin2

3cos2

32sin2

3cos2

3cos2

332

sin3

2cos33

2sin

32cos

2 πππππ

ππππππ

j

ee

j

eeetjttjt

t

=

−⋅

⋅

+

=

−

−

−

−

jeeee

tjtjtt

23

2sin3

cos23

cos2

332sin

332sin

32cos

2

πππππ

πππ

0;33

2sinsin

32sin

3cos2

3cos2

32cos

2≥

−

⋅⋅

⋅

+

=

−

tteet

t πππππ

π

.


d.) Kvadrat modua prenosne funkcije glasi ( )8

2

4 11)(Ω+

=ΩBWH . Polovi su tada po datom obrazcu

88

83

78

5

68

7

58

7

48

5

38

3

28

1 ;;;;;;;ππππππππ jjjjjjjj

eseseseseseseses−−−−

======== . Polovi koje leže ulevoj poluravni S-ravni su 6543 ;;; ssss pa je tada prenosna funkcija filtra ćetvrtog reda dat u obliku

)()()()(

1)()()()(

1)(8

78

58

78

56543

4 ππππ jjjjBW

esesesesssssssss

sH−−

−⋅−⋅−⋅−=

−⋅−⋅−⋅−= .

Rastavljanjem izraza u oblik parcijalnih razlomaka dobija se

85

85

87

874

191.0462.0191.0462.0115.1462.0115.1462.0)( ππππ jjjjBW

es

j

es

j

es

j

es

jsH−−

−

+−−

−−−

++−

−= .



Inverzna transformacija zbira prva dva razlomka će da da

( ) ( ) =⋅⋅++⋅⋅−

−

87sin

87cos

87sin

87cos

115.1462.0115.1462.0ππππ jttjtt

eejeej

=

−⋅−

+⋅=

−

−

87sin

87sin

87cos

87sin

87sin

87cos

115.1462.0ππππππ jtjttjtjtt

eeejeee

=

⋅+

⋅⋅=

87sinsin23.2

87sincos924.0 8

7cos8

7cos ππ ππ

tetett

−

⋅⋅=

178.18

7sincos41.2 87cos ππ

tet

.

Analogno za zbir druga dva razlomka dobija se

( ) ( ) =⋅⋅+−⋅⋅−−

−

85sin

85cos

85sin

85cos

191.0462.0191.0462.0ππππ jttjtt

eejeej

=

−⋅+

+⋅−=

−

−

85sin

85sin

85cos

85sin

85sin

85cos


eeejeee

=

⋅−

⋅⋅−=

85sinsin382.0

85sincos924.0 8

5cos8

5cos ππ ππ

tetett

−−

⋅⋅=

392.08

7sincos9997.0 87cos

πππ

tet

.

Konačno se zbrajanjem dobijenih izraza dolazi do analitičkog oblika impulsnog odziva BW filtra četvrtogreda

0;392.08

7sincos9997.0178.18

7sincos41.2)( 87cos

87cos

≥

−−

⋅+

−

⋅=

ttetethtt

BW πππ ππ

.




e.) Kvadrat modua prenosne funkcije filtra petog reda je ( )10

2

5 11)(Ω+

=ΩBWH . Polovi ove funkcije su

510

52

95

3

85

4

765

4

55

3

45

2

35

21 ;;;;1;;;;;1ππππππππ jjjjjjjj

esesesessesesesess−−−−

====−====== .

Polovi koji odgovaraju stabilnoj prenosnoj funkciji su 87654 ,,,, sssss . Prenosna funkcija je tada oblika

=−⋅−⋅−⋅−⋅−

=)()()()()(

1)(87654

5 sssssssssssH BW

)()()1()()(

1

53

54

54

53 ππππ jjjj

esesseses−−

−⋅−⋅+⋅−⋅−= .

Nakon rastavljanja izraza u oblik parcijalnih suma dobija se

53

53

54

545

425.0138.0425.0138.0113.1809.0113.1809.01

894.1)( ππππ jjjjBW

es

j

es

j

es

j

es

js

sH−−

−

+−−

−−−

−−−

+−+

= .

Analogno predhodnom primeru inverzne transformacije će da daju

( ) ( ) =⋅⋅−−⋅⋅+−

−

54sin

54cos

54sin

54cos

113.1809.0113.1809.0ππππ jttjtt

eejeej

=

−⋅−

+⋅−=

−

−

54sin

54sin

54cos

54sin

54sin

54cos


eeejeee

=

⋅+

⋅⋅−=

54sinsin226.2

54sincos618.1 5

4cos5

4cos ππ ππ

tetett

+−

⋅⋅=

942.05

4sincos751.2 54cos

πππ

tet

.

( ) ( ) =⋅⋅+−⋅⋅−−

−

53sin

53cos

53sin

53cos

425.0138.0425.0138.0ππππ jttjtt

eejeej

=

−⋅+

+⋅−=

−

−

53sin

53sin

53cos

53sin

53sin

53cos


eeejeee

=

⋅−

⋅⋅−=

53sinsin85.0

53sincos276.0 5

3cos5

3cos ππ ππ

tetett

−−

⋅⋅=

25.15

3sincos893.0 53cos

πππ

tet

.



Konačno impulsni odziv je oblika

+⋅= −tBW eth 894.1)(

+

+−

⋅⋅+

942.05

4sincos751.2 54cos

πππ

tet

0;25.15

3sincos893.0 53cos

≥

−−

⋅⋅+

ttet

πππ

.


Zadatak 2.

Projektovati analogni normalizovani Čebiševljev filtar za sledeće redove filtraa.) 1=N b.) 2=N c.) 3=N d.) 4=N e.) 5=N .Za svaki od navedenih primera nacrtati amplitudsku i faznu karakteristiku, položaj nule i polova u S-ravni iodrediti impulsni odziv filtara. Smatrati da je maksimalno slabljenje filtra na granici propusnog opsega

dBAp 1= .

Rešenje:

a.) Projektovanje Čebiševljvog filtra ćemo izvršiti u koracima.

1. Korak: Neka je broj 965227.1110

111.0

=−

==pA

xε

.

2. Korak: Hiperbolične funkcije koje su nam potrebne

( ) 427975.11ln1sinh 21 =++=

− xxε

.

3. Korak: Određivanje polova funkcije 2)(NC sH po izrazima

NkN

kNk 2,,2,1;

2)12(sin1sinh1sinh 1 )=

−⋅

⋅±= − πε

σ ,

NkN

kNk 2,,2,1;

2)12(cos1sinh1cosh 1 )=

−⋅

⋅= − πε

ω .

Za navedeni primer imamo 0;965227.1 11 == ωσ i da je 0;965227.1 22 =−= ωσ .



4. Korak: Određivanje prenosne funkcije i impulsnog odziva filtra. Nakon što su određeni polovi izpredhodnog koraka, biraju se oni koji se nalaze u levoj poluravni S-ravni. Ti polovi odgovaraju polovimarealizljivog i stabilnog sistema (filtra). Prenosna funkcija je data izrazom

;)(

)(

1

0

∏=

−= N

ii

NC

ss

HsH

( )

( )

−−

−−⋅=

∏

∏

=

=

neparanNs

paranNsH N

ii

N

ii

Ap

;

;10

1

1

05.0

0

gde su is polovi sa leve poluravni S-ravni.Za navedeni primer imamo da se pol 965227.12 −=s nalazi u levoj poluravni i da je 1=Nneparan broj pa je stoga 965227.10 =H .Prenosna funkcija i impulsni odziv filtra će tada da glasi

0;965227.1)()(965227.1

965227.1)( 965227.11

11 ≥⋅==⇒

+= ⋅−− tesHLth

ssH t

CC .


b.) Za Čebiševljev filtar drugog reda imaćemo sledeće korake.

1. Korak: Kako je minimalno slabljenje na granici propusnog opsega isto predhodnom zadatku imamo da je

965227.1110

111.0

=−

==pA

xε

.

2. Korak: ( ) 427975.11ln1sinh 21 =++=

− xxε

.

3. Korak: polovi funkcije 2

2)(sH C su

8951.0548.0;8951.0548.0;8951.0548.0;8951.0548.0 4321 jsjsjsjs −−=+−=−=+= .



4. Korak: Prenosnu funkciju određuju polovi sa leve strane S-ravni pa je stoga

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )8951.0548.08951.0548.0

9817.010)(

43

435.0

2 jsjsssssss

sH C −−−⋅+−−=

−⋅−−⋅−

=−

.

Nakon rastavljanja izraza u oblik parcijalnih suma, inverzna Laplasova transformacija se svodi natablična rešenja. Uparivanjem dobijenih izraza kao u zadatku 1. dolazi se do rešenja impulsnog odziva

0);8951.0sin()8951.0sin(

9817.0)(548.0

≥⋅⋅⋅=⋅−

ttetht

C .


c.) Određivanje Čebiševljevog filtra trećeg reda.

1. Korak: 965227.1110

111.0

=−

==pA

xε

.

2. Korak: ( ) 427975.11ln1sinh 21 =++=

− xxε

.


3)(sH C su

;9659.024708.0;04941.0;9659.024708.0 321 jsjsjs −=−=+=

9659.024708.0;04941.0;9659.024708.0 654 jsjsjs +−=+−=−−= .

4. Korak: polovi prenosne funkcije filtra su 654 ;; sss , pa je prenosna funkcija oblika

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =

−⋅−⋅−−⋅−⋅−

=654

6543)(

sssssssss

sH C

( )( ) ( )( ) ( )4941.09659.024708.09659.024708.04882.0

+⋅−−−⋅+−−=

sjsjs.



Prenosna funkcija u obliku parcijalnih razlomaka glasi

9659.024708.00628.0245.0

9659.024708.00628.0245.0

4941.0492.0)( 3 js

jjs

js

sH C ++−−

−++−

+= .

Analognim metodama koje smo primenili u predhodnom zadatku impulsni odziv će u analitičkom obliku daglasi

( ) 0;249.09659.0cos505.0492.0)( 24708.04941.0 ≥+−⋅⋅⋅−⋅= ⋅−⋅− tteeth ttC π .


d.) Koraci Čebiševljevog filtra četvrtog reda

1. Korak: 965227.1110

111.0

=−

==pA

xε

.

2. Korak: ( ) 427975.11ln1sinh 21 =++=

− xxε

.


4)(sH C su

;407.0337.0;983.014.0;983.014.0;407.0337.0 4321 jsjsjsjs −=−=+=+=

407.0337.0;983.014.0;983.014.0;407.0337.0 8765 jsjsjsjs +−=+−=−−=−−= .

4. Korak: Prenosna funkcija Čebiševljevog filtra četvrtog reda data u obliku sekcija drugog reda je

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =

−⋅−⋅−⋅−−⋅−⋅−⋅−

=8765

876505.0

410

)(sssssssssssssH C

( ) ( )986.028.028.0673.0245.0

22 +⋅+⋅+⋅+=

ssss.

Rastavljena u obliku parcijalnih suma

983.014.013.0066.0

983.014.013.0066.0

407.0336.0346.0066.0

407.0336.0346.0066.0)( 4 js

jjsj

jsj

jsjsH C ++

+−−+−−

++++

−+−= .



Impulsni odziv se dobija inverznom Laplasovom transformacijom nakon čega se primene dodatnauparivanja po Ojlerovom obrazcu, slična koja su navedena u prvom zadatku.

( ) ( ) 0;101.1983.0cos291.041.1407.0cos824.0)( 14.0336.0 ≥−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅= ⋅−⋅− tteteth ttC .


e.) Koraci Čebiševljevog filtra petog reda

1. Korak: 965227.1110

111.0

=−

==pA

xε

.

2. Korak: ( ) 427975.11ln1sinh 21 =++=

− xxε

.


5)(sH C su

;99.0089.0;612.0234.0;289.0;612.0234.0;99.0089.0 54321 jsjssjsjs −=−==+=+=

99.0089.0;612.0234.0;289.0;612.0234.0;99.0089.0 109876 jsjssjsjs +−=+−=−=−−=−−= .

4. Korak: Prenosna funkcija Čebiševljevog filtra četvrtog reda data u obliku sekcija drugog reda je

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅−

=109876

1098765)(

sssssssssssssss

sH C

( ) ( ) ( )988.0179.043.068.0289.0122.0

22 +⋅+⋅+⋅+⋅+=

sssss.

Rastavljena u obliku parcijalnih suma

99.0089.0057.0074.0

99.0089.0057.0074.0

612.0234.0089.0234.0

612.0234.0089.0234.0

289.0318.0)(

jsj

jsj

jsj

jsj

ssH

++−+

−+++

++−−

−++−

+=

Impulsni odziv se dobija inverznom Laplasovom transformacijom nakon čega se primene dodatnauparivanja po Ojlerovom obrazcu slična koja su navedena u prvom zadatku.

( ) ( ) 0;656.099.0cos186.0363.0612.0cos5.0318.0)( 089.0234.0289.0 ≥−⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅−⋅= ⋅−⋅−⋅− tteteeth tttC .



Zadatak 3.

Projektovati analogni inverzni Čebiševljev filtar na osnovu zadatka 2. za 1=N i 2=N .

Rešenje:

a.) Projektovanje inverznog Čebiševljevog filtra je moguće izvršiti sledećom transformacijom

ssCIC sHsH

ˆ1

22 )(1)ˆ(=

−=

gde je 2)(sH C kvadrat modua Čebiševljevog filtra koji je projektovan po koracima kao što je to dato u

drugom zadatku. Čebiševljev filtar prvog reda je bio oblika 965227.1

965227.1)( 1 +=

ssH C . Moduo na kvadrat

ove funkcije se može napisati u obliku

( )( ) 22

2

112

965227.1965227.1

965227.1965227.1

965227.1965227.1)()()(

ssssHsHsH CCC −

=−

⋅+

=−⋅= .

Kvadrat amplitudske karakteristike inverznog Čebiševljevog filtra će tada biti

( )( ) ( )

( )

( )2

2

2

ˆ122

2

ˆ122

22

ˆ965227.11965227.11

965227.1965227.1965227.11)ˆ(

sss

ssH

ss

ssIC

−=

−−=

−−=

==.

Polovi ove funkcije su 965227.11ˆ;

965227.11ˆ 21 −== ss . Analogno predhodnim zadacima pol tražene

prenosne funkcije mora da leži u levoj poluravni kompleksnog domena pa je stoga prenosna funkcija iimpulsni odziv inverznog Čebiševljevog filtra prvog reda

0;965227.11)(

965227.11

965227.11

)( 965227.11

≥⋅=⇒+

=⋅−

teths

sHt

ICIC .

b.) Prenosna funkcija Čebiševljevog filtra drugog reda je

( )( ) ( )( )8951.0548.08951.0548.09817.0)( 2 jsjs

sH C −−−⋅+−−= .

Kvadrat amplitudske karakteristike inverznog Čebiševljevog filtra će tada biti

ssCCIC sHsHsH

ˆ1

2 )()(1)ˆ(=

−⋅−= .



Zbog složenosti izvođenja ove funkcije, prenosnu funkciju ćemo odrediti prema sledećim izrazima. Poloviprenosne funkcije inverznog Čebiševljevog filtra, kao što smo to u predhodnom primeru videli, su recipročne

vrednosti polova Čebiševljevog filtra tj. Ck

ICk ss 1ˆ = . Prenosna funkcija je oblika

( )

( )

( )

∏

∏

∏

∏

=

=

=

=

−=

−

+⋅= N

kk

N

kICk

N

kICk

N

kk

IC

sH

ss

sHsH

1

2min

10

1

1

2min

2

0

ˆ;

ˆˆ

ˆ)ˆ(

ω

ω

gde su Nk

Nkk ,,2,1;

2sin

1)=

=π

ω kružne učestanosti u kojima amplitudska karaktristika poprima

minimalne i maksimalne vrednosti, od kojih se u izrazu za prenosnu funkciju uzimaju tačke u kojimafunkcija ima minimum.Odredimo polove inverznog Čebiševljevog filtra.

985.0603.08951.0548.0

1ˆ 1 jj

sIC −−=+−

= ; 985.0603.08951.0548.0

1ˆ 1 jj

sIC +−=−−

= .

Minimumi i maksimumi su tačkama

1

42sin

1;2

4sin

121 =

==

=π

ωπ

ω .

Odredimo konstantu koja množi prenosnu funkciju

( ) ( ) 666.02

985.0603.0985.0603.00 =+−⋅−−= jjH .

Prenosna funkcija će tada da glasi

( )( ) ( )( ) 333.1ˆ206.1ˆ2ˆ

666.0985.0603.0ˆ985.0603.0ˆ

2ˆ666.0)ˆ( 2

22

+⋅++⋅=

+−−⋅−−−+⋅=

sss

jsjsssH IC .

Napisana u obliku parcijalnih suma

( ) ( )985.0603.0ˆ471.0401.0

985.0603.0ˆ471.0401.0666.0)ˆ(

jsj

jsjsH IC −−−

−−+−−

+−= .

Primenom inverzne transformacije slično predhodnim primerima, impulsni odziv će biti

( ) 0;865.0985.0cos237.1)(666.0)( 603.0 ≥−⋅⋅⋅−⋅= ⋅− ttetth tIC δ .



Zadatak 4.

Preslikati niskopropusni normalizovani Batervortov filtar iz zadatka 1. za 2=N u niskopropusni filtar sa

sec13 radp k=ω .

Rešenje:

Preslikavanje normalizovanog NF filtra u NF filtar se vrši smenom promenljivih sas ⋅=ˆ . Odavde ondasledi da se granične kružne učestanosti normalizovanog filtra pomoću date smene preslikavaju u nove poformuli pp a ωω ⋅=ˆ . Za normalizovani filtar važi sec1 rad

p =ω . Po zadataku mora da bude sec13ˆ radp =ω .

Odavde onda sledi da je konstanta 13=a pa je tražena smena koju treba primeniti 13ss = .

Prenosna funkcija BW filtra iz prvog zadatka čiji je red 2=N glasi

−−

−

⋅

=−⋅−

=−⋅−

=−−

)(

1

)(

1

43sin2

1

)()(

1)()(

1)(4

34

34

34

332

2 ππππ π jjjjBW

esesjesesssss

sH .

Traženi Nf filtar se dobija primenom date smene tj. 13ˆ2)()ˆ( ssBWNF sHsH

== . Tada se dobija

( ))13ˆ()13ˆ(

13

)13ˆ

()13ˆ

(

1)ˆ(4

34

3

2

43

432 ππππ jjjj

NF

esesesessH

−−⋅−⋅⋅−

=−⋅−

= .

U obliku parcijalnih suma data prenosna funkcija će da bude

⋅−−

⋅−

⋅

=−

)13ˆ(

1

)13ˆ(

1

43sin2

13)ˆ(4

34

32 πππ jjNF

esesjsH .

Inverznom Laplasovom transformacijom dobijamo da je impulsni odziv preslikanog NF-filtra

0;)4

3sin(13sin

43sin

13

43sin2

13)(4

3cos13

43sin13

43sin134

3cos13

≥

⋅⋅⋅

⋅=

−

⋅

⋅=

⋅⋅

⋅−

⋅

⋅

tteeej

etht

tjtjt

BWπ

ππ

πππ

π

.

Položaj polova, amplitudska i fazna karakteristika su prikazane na slici respektivno.



Zadatak 5.

Preslikati niskopropusni normalizovani Čebiševljev filtar iz zadatka 2. za 3=N u visokopropusni filtar sa

sec33 radp =ω .

Rešenje:

Preslikavanje NF filtra u VF filtar se vrši smenom sasˆ

= . Granične kružne učestanosti se tada preslikavaju

po izrazu p

pa

ωω =ˆ iz kojeg sledi da je 33=a . Prenosna funkcija trećeg reda iz prvog zadatka ima oblik

( )( ) ( )( ) ( )4941.09659.024708.09659.024708.04882.0)(

+⋅−−−⋅+−−=

sjsjssH C .

Primenom date smene prenosna funkcija VF filtra glasi

( ) ( )=

+⋅

−−−⋅

+−−

=4941.0

ˆ9659.024708.0

ˆ9659.024708.0

ˆ

4882.0)ˆ(

saj

saj

sa

sH C

( ) ( )

+⋅

−

−−⋅

−

+−

⋅=sas

jas

ja

s

ˆ4941.0

ˆ9659.024708.0

ˆ9659.024708.0

ˆ4882.0.

Uvrštavanjem proračunate konstante i sređivanjem izraza dobijamo

( )( ) ( )( ) ( )ssjsjssH CVF ˆ788.66ˆ066.32202.8ˆ066.32202.8ˆ4882.0)ˆ(

3

+⋅−+−⋅−−−⋅= .

Razvojem u oblik parcijalnih suma prenosna funkcija će biti

( ) ( )( ) ( )( )sjj

sjj

ssH CVF ˆ066.32202.8

024.1003.4ˆ066.32202.8

024.1003.4ˆ788.66

606.324882.0)ˆ(−−−

−−−+−

+−+

−= .

Primenom inverzne Laplasove transformacije impulsni odziv će biti

( ) 0;354.14066.32cos26.8606.32)(4882.0)( 202.8788.66 ≥−⋅⋅⋅+⋅−⋅= ⋅−⋅− tteetth ttVF δ .

Položaj polova, amplitudska i fazna karakteristika su prikazane na slici respektivno.



Zadatak 6.

Projektovati Batervortov filtar sa sledećim specifikacijama:maksimalno slabljenje u propusnom opsegu: dBp 10=α ,

granica propusnog opsega: kHzf p 5= ,

minimalno slabljenje u nepropusnom opsegu: dBn 30=α ,granica nepropusnog opsega: kHzfn 25= .

Odrediti prenosnu funkciju i impulsni odziv niskopropusnog filtra.

Rešenje:

1. Korak: Određivanje red filtra N i konstante ε .

( ) 246.15log9

999log

21

log

110110log

21

min10

10

10

1.0

1.0

10

=⇒=

⋅=

−−

⋅≥⋅

⋅

N

ff

N

p

n

p

n

α

α

3110 1.0 =−= ⋅ pαε .

2. Korak: kvadrat modua prenosne funkcije ja tada

4

3

2

2

2

105291

1

1

1)(

⋅⋅+

=

⋅+

=

πω

ωωε

N

p

BW sH .

Ova funkcija ima polove u S-ravni koje se određuju prema izrazu Nkef

s NNkjp

k 2,,1;2

212

)=⋅=−+π

επ

.

Za dati primer polovi će biti

434

433

43

32

43

31 10138.18;10138.18;10138.18;10138.18

ππππ jjjjeseseses ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=

−−.

3. Korak: Polovi prenosne funkcije su one koje leže u levoj poluravni S-ravni tj. polovi 21 , ss . Prenosnafunkcija će tada biti

( ) ( )( )

⋅⋅−⋅

⋅⋅−

⋅=−⋅−

=−

43

343

3

23

21

0

10138.1810138.18

10138.18)(ππ

jjBW

esesssss

HsH .

Primenom metode parcijalnih razlomaka prenosna funkcija filtra se može prikazati u obliku

⋅⋅−−

⋅⋅−⋅

⋅=

−4

334

33

3

10138.18

1

10138.18

1

43sin2

10138.18)( πππ jjBW

esesjsH .



Primenom inverzne Laplasove transformacije i Ojlerovih obrazaca dolazimo do impulsnog odziva filtra

( ) 0;1082.12sin106.25)( 310133 3

≥⋅⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅− tteth tjBW .

Zadatak 7.

Projektovati Čebiševljev filtar sa sledećim specifikacijama:maksimalno slabljenje u propusnom opsegu: dBp 10=α ,

granica propusnog opsega: Hzf p 10= ,

minimalno slabljenje u nepropusnom opsegu: dBn 21=α ,granica nepropusnog opsega: Hzfn 50= .

Odrediti prenosnu funkciju i impulsni odziv niskopropusnog filtra. Odrediti odziv sistema na pobude

a.) odskočnu pobudu )()( tutx = , b.) sinusoidalnu pobudu ( )ttx ⋅= 0cos)( ω .

Rešenje:

1. Korak: Određivanje reda filtra po izrazu

−−

≥−

⋅

⋅−

p

n

ff

Np

n

1

1.0

1.01

cosh

110110cosh α

α

.

Za dati primer imaćemo da je minimalni red filtra koji zadovoljava date specifikacije 1min =N .2. Korak: kvadrat modua prenosne funkcije je tada

2

2

2

1

1)(

+

=

p

C

ff

sH

ε

.

Polovi ove funkcije računati po izrazu koja je data u drugom zadatku su

031;0

31

222111 jjsjjs +−=+=+=+= ωσωσ .

Oba pola su realna od kojih 1s leži u desnoj poluravni dok 2s u levoj poluravni S-ravni.

3. Korak: prenosnu funkciu karakteriše pol koji leži u levoj poluravni tj. pol 2s pa je prema tome prenosnafunkcija

0;31)(

31

31

)( 31

≥⋅=⇒+

=⋅−

teths

sHt

CC .



a.) Odziv na odskočnu pobudu 0;1)( ≥= ttu će biti

≥−=⋅⋅

<= ∫

−−t ttede

tty

0

31

31

0;1131

0;0)( τ

τ .

b.) Odziv na sinusoidalnu pobudu ( )ttx ⋅= 0cos)( ω ćemo odrediti na sledeći način.Poznato je da spektar izlaznog signala čini proizvod spektara ulaznog signala i impulsnog odziva tj.prenosne funkcije ( ) ( ) ( )ωωω jHjXjsY ⋅== . Poznato je i to da spektar kosinusnog signala čini dvaDirakova impulsa u frekventom domenu koji su locirani u tačkama 0ωω ±= i čija je amplituda π tj.

)()()( 00 ωωδπωωδπω −⋅++⋅=jX .

Evidentno je da proizvod kojeg čine prenosna funkcija filtra i spektar ulaznog signala je različito od nulesamo u tačkama gde su locirani Dirakovi impulsi pa je stoga i spektar izlaznog signala različit od nule utim tačkama dok je u ostalima jednaka nuli tj. matematički rečeno

[ ] )()()()()()()()( 000000 ωωδωπωωδωπωωπδωωπδωω −⋅++⋅−=−++⋅= jHjHjHjY .

Kao što se to vidi spektar izlaznog signala se takođe sastoji od dva Dirakovog impulsa ali sapromenjenim amplitudama što je nastalo uslad delovanja datog filtra. Znači da je i odziv na periodičansignal takođe periodičan signal čija je faza i amplituda modifikovana usled delovanja filtra. Amplitudnupromenu možemo odrediti na osnovu amplitudne karakteristike filtra

( ) 20

20

00

911

31

91

131)()(

ωωωωωω

+⋅=

±+⋅===±= jjHA .

Koliko se menja faza izlaznog signala u odnosu na ulazni signal zavisi od fazne karakteristike filtrakoja je za datu kružnu učestanost

( )( )

−=⋅+=⋅−

==00

00

;3;3

)(arg)(ωωωωωω

ωωθarctgarctg

jH .

Na osnovu gornjeg rezona odziv filtra na datu pobudu će biti

( ) ( )( )0020

000 3cos

911

31)(cos)()( ωω

ωωωθωωω ⋅−⋅⋅

+⋅==−⋅⋅== acrtgttAty .

Zadatak 8.

Preslikati normalizovani niskopropusni Batervortov filtar prvog reda iz prvog zadatka u filtar propusnikaopsega sa sledećim specifikacijama :centralna učestanost pojasnog filtra sec10 rad

C k=Ω ;

širina propusnog opsega sec310 radB = .



Rešenje:Prenosna funkcija i impulsni odziv projektovanog niskopropusnog filtra iz prvog zadatka glasi

0;)(11)( ≥=⇒+

= − teths

sH tB .

Smena koja se primenjuje prilikom preslikavanja PONF → je oblika sB

ss C

ˆˆ 22

⋅Ω+

= . Uvrštavanjem

dobijamo

632

3

2222ˆ

ˆ 10100ˆ10ˆˆ10

ˆˆˆ

1ˆ

ˆ1)()ˆ( 22

⋅+⋅+⋅=

Ω+⋅+⋅=

+⋅Ω+

==⋅Ω+

= sss

sBssB

sBs

sHsHCCsB

ss

BBPO C.

Polovi prenosne funkcije su ( ) ( )975.191500ˆ;975.191500ˆ 21 jsjs pp −⋅−=+⋅−= .

Prenosna funkcija ima jednu nulu u kordinatnom početku 0ˆ =ns .Prenosna funkcija u obliku parcijalnih suma će biti

( ) ( )

−⋅+

−

−+⋅+

+

⋅=975.191500ˆ

975.19975.191

975.191500ˆ975.19

975.191

10)( 3

jsj

j

jsj

j

sH BPO .

Primenom inverzne Laplasove transformacije impulsni odziv filtra glasi

( ) ( )[ ] =⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅= − tteth tBPO 975.19500sin2975.19500cos975.192

975.1910)( 500

3

( ) =

−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= −

975.191975.19500cos975.191

975.19102 2500

3

arctgte t

( ) 0;05.05.9987cos5.2002 500 ≥−⋅⋅⋅= − tte t .

Amplitudska i fazna karakteristika su prikazane na slici respektivno.



Zadatak 9.

Preslikati normalizovani niskopropusni Čebiševljev filtar prvog reda iz drugog zadatka u filtar nepropusnikaopsega sa sledećim specifikacijama :

centralna učestanost pojasnog filtra sec1 radC =Ω ;

širina propusnog opsega sec2.0 radB = .

Rešenje:

Prenosna funkcija i impulsni odziv projektovanog niskopropusnog filtra iz prvog zadatka glasi

0;965.1)(965.1

965.1)( 965.1 ≥=⇒+

= − teths

sH tCC .

Smena koja se primenjuje prilikom preslikavanja NONF → je oblika 22ˆˆ

CssBsΩ+⋅= . Uvrštavanjem

dobijamo

( )( ) 1ˆ101.0ˆ

1ˆˆ965.1ˆ

ˆ965.1

965.1ˆ

ˆ965.1)()ˆ( 2

2

22

22

22ˆ

ˆ22 +⋅+

+=Ω+⋅+⋅

Ω+⋅=

+Ω+⋅

==Ω+⋅

= sss

ssBs

ssB

sHsHC

C

C

ssBsCCNO

C

.

Polovi prenosne funkcije su 094705.0ˆ;947.005.0ˆ 21 jsjs pp −−=+−= .

Nule prenosne funkcije su jsjs nn −== 21 ˆ;ˆ .

Rastavjanjem prenosnu funkciju u obliku parcijalnih suma dolazi se do izraza

−+

−

−++

+

⋅−=+⋅+

⋅−=947.005.0ˆ

947.0947.005.0

947.005.0ˆ947.0

947.005.0

101.011ˆ101.0ˆ

ˆ101.01)ˆ( 2 jsj

j

jsj

j

ssssH CNO .

Primenom inverzne Laplasove transformacije dolazi se do impulsnog odziva traženog filtra

( ) ( )[ ] =⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−= − ttetth tCNO 947.0sin05.02947.0cos947.02

947.0101.0)()( 05.0δ

( ) ( ) =

−⋅⋅+⋅⋅⋅−= −

947.005.0947.0cos947.005.0

947.0101.02)( 2205.0 arctgtet tδ

( ) 0;052.0947.0cos202.0)( 05.0 ≥−⋅⋅⋅−= − ttet tδ .



Amplitudska i fazna karakteristika projektovanog filtra je prikazana na slici.

Zadatak 10.

Preslikati normalizovani niskopropusni inverzni Čebiševljev filtar drugog reda projektovanog u trećemzadatku u filtar nepropusnika opsega sa sledećim specifikacijama :

centralna učestanost pojasnog filtra sec1 radC =Ω ;

širina propusnog opsega sec2.0 radB = .

Rešenje:

Prenosna funkcija inverznog Čebiševljevog filtra projektovanog u trećem zadatku je oblika

906.0994.02453.0)( 2

2

+⋅++⋅=

ssssH IC .

Primenom smene iz predhodnog zadatka nova prenosna funkcija glasi

=+

+⋅⋅+

+⋅

+

+⋅

⋅==+⋅

=

906.01ˆˆ2.0994.0

1ˆˆ2.0

21ˆˆ2.0

453.0)()ˆ(

2

2

2

2

2

1ˆˆ2.0

2

ss

ss

ss

sHsHs

ssICICNO

1ˆ218.0ˆ044.2ˆ218.0ˆ1ˆ02.2ˆ

234

24

+⋅+⋅+⋅++⋅+=

ssssss

.

Nule prenosne funcije su: 151.1ˆ;151.1ˆ;868.0ˆ;868.0ˆ 4321 jsjsjsjs nnnn −==−==Polovi su: ;912.0049.0ˆ;912.0049.0ˆ 21 jsjs pp −−=+−=

092.1059.0ˆ;092.1059.0ˆ 43 jsjs np −−=+−= .



Oblik prenosne funkcije u vidu parcijalnih suma će tada biti

092.1059.0ˆ001.0059.0

092.1059.0ˆ001.0059.0

912.0049.0ˆ003.0048.0

912.0049.0ˆ003.0048.01)ˆ(

jsj

jsj

jsj

jsjsH ICNO ++

−−−+

+−++

−−−+

+−= .

Primenom inverzne Laplasove transformacije impulsni odziv će da glasi

( ) ( ) 0;017.0092.1cos118.0062.0912.0cos096.0)()( 059.0049.0 ≥−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−= −− ttetetth ttICNO δ .

Amplitudska i fazna karakteristika dobijenog analognog filtra su prikazane na slici.

Kao što se to vidi, osobina inverznog Čebiševljevog filtra se lepo ispoljava u nepropusnom opsegu, gdeamplitudska karakteristika zaoscilira.

Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR ) Procesiranje Signala


Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom,IIR sistemi

Projektovanje IIR sistema se svodi na preslikavanje već poznatih analognih prenosnih funkcija udiskretne prenosne funkcije.

Postupak i realizacija sadrži četiri faze:

1) zadavanje specifikacija ( karateristika ) traženog diskretnog sistema,2) preslikavanje granica oblasti u analogni domen,3) projektovanje analogne prenosne funkcije na osnovu proračunatih specifikacija u

analognom domenu,4) preslikavanje analogne prenosne funkcije u diskretnu prenosnu funkciju.

Najčešće korišćene transformacije analognih prenosnih funkcija su:

Impulsna invarijantna transformacija ( IIT).

Ideja impulsne invarijantne transformacije je da se dobije diskretni sistem koji ima diskretniimpulsni odziv identičan diskretizovanom analognom impulsnom odzivu ekvivalentnog analognog sistema,tj.

)(][ sad nTthnh == .

Jedinična odskočna invarijantna transformacija ( UIT ).

Ideja ove transformacije je da se dobije diskretni sistem koji daje odziv na jediničnu odskočnupobudu identičnu odzivu ekvivalentog analognog sistema na analognu jediničnu odskočnu pobudu.

Prilikom primene gore navedenih transformacija treba voditi računa o osobini spektra analognogfiltra. Ukoliko je spektar ograničen, transformacija neće prouzrokovati spektralno preklapanje. Ukoliko jespektar neograničen ( realan spektar ) tada mora da se vodi računa o greškama transformacije koje nastajuusled spektralnog preklapanja.

Bilinearna transformacija.

Bilinearna transformacija predstavlja nelinearnu transformaciju, pošto ona preslikava opsegnegativnih kružnih učestanosti ( 0<Ω ) u opseg diskretnih učestanosti [ )0,πω −∈ , dok pozitivne ( 0>Ω )u opseg ( ]πω ,0∈ . Zbog osobine nelinearnosti ove transformacije, druga faza projektovanja, koje smo gorenaveli, se sastoji iz predistorzije graničnih učestanosti pojedinih oblasti. Nakon obavezno primenjenepredistorzije pristupa se nalaženju odgovarajuće analogne prenosne funkcije koja se zatim preslikava udiskretnu prenosnu funkciju primenom smene

1

1

112

−

−

+−⋅=

zz

Ts

s

.

Treba obratiti pažnju da konstanta sT u toku projektovanja se eliminiše pa se za nju obično usvaja vrednost1=sT .

Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom ( IIR )


Nakon što je određena diskretna prenosna funkcija, pristupa se njenoj realizaciji. Prvi korakrealizacije da se napiše relacija ulaz-izlaz ( RUI ) odnosno diferencna jednačina koja povezuje izlaznidiskretni signal sa ulaznim diskretnim signalom. U ovom poglavlju posvetićemo se najčešće primenjenimrealizacijama, kaskadnoj realizacij i paralelnoj realizaciji.

Kaskadna realizacija omogućava realizaciju redno vezanih sistema drugog reda čime se izbegavajukompleksni koeficijenti diferencne jednačine i dobija se visoki stepen modularnosti u slučaju proširivanjaveć postojeće prenosne funkcije.

Paralelna realizacija zahteva da se prenosna funkcija diskretnog sistema da u obliku parcijalnih razlomakaprvog ili drugog reda. Tada se za svaku od tih razlomaka realizuje diskretni sistem čiji izlazi se zatimzbrajaju da bi dali izlaz celog sistema. I ova struktura poseduje osobinu modularnosti, međutim ono što ječini posebnim je to što je najmanje osetljiva na kvantizaciju koeficijenata prenosnog sistema.



Zadatak 1.

Primenom impulsne invarijantne transformacije (IIT) preslikati u diskretne sisteme sledće analogne filtre:

a) normalizovani Batervortov filtar reda 2=N i 4=N iz prvog zadatka četvrtog poglavljab) normalizovani Čebiševljev filtar reda 1=N i 3=N iz trećeg zadatka četvrtog poglavlja

Rešenje:

a) 2N= Batervortov filtar

Impulsni odziv prototipnog analognog filtra je ( ) 0;707.0sin41.1)( 707.0 ≥⋅⋅⋅= − tteth ta . Granična kružna

učestanost anaognog filtra je sec1 radg =Ω . Kako je amplitudna karakteristika analognog filtra neograničena,

sa izborom peiode uzorkovanja sT moramo biti pažljivi, da bi spektralno preklapanje replika amplitudske

karakteristike sveli na najmanju meru. Neka je za ovaj primer sec5

2π=sT . Tada će uzorkovani impulsni

odziv da glasi

( ) ( ) 0;888.0sin41.1707.0sin41.1)(][ 888.0707.0 ≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅== ⋅−⋅− nneTnenThnh ns

Tnsad

s .

Prenosna funkcija diksretnog sistema sa datim diskretnim imulsnim odzivom se nalazi primenom •Ztransformacije na gore dati izraz

( )( ) ( ) =

⋅+⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅=⋅==−−−−

−−∞

−∞=

−∑ 2888.02888.01

888.01

888.0cos21888.0sin41.1][][)(

ezezezznhnhZzH

n

ndd

411.0:;168.0517.0

448.0168.0517.01

318.041.1 221

1

>+⋅−

⋅=⋅+⋅−

⋅⋅= −−

−

zROCzz

zzz

z.

Polovi prenosne funkcije su: 318.0258.0;318.0258.0 21 jzjz pp −=+= .

Prenosna funkcija ima jednu nulu u koordinatno početku 0=nz .

Rekurzivna jednačina koja povezuje vrednosti odziva sa vrednostima proizvoljne pobude će biti

]1[448.0]2[168.0]1[517.0][: −⋅=−⋅+−⋅− nxnynynyRUI ,

gde je ][nx pobudni signal, ][ny odziv na datu pobudu. Direktna I realizacija ove strukture koja se dobijana osnovu jednačine ]1[448.0]2[168.0]1[517.0][ −⋅+−⋅−−⋅= nxnynyny prikazana je na slici. Naistoj slici su prikazane i amplitudska karakteristika i karakteristika faznog kašnjenja realizovanog diskretnogsistema.

1−z

1−z

][nx ][ny

655.2

000.0

000.0

061.3

904.5−



4N= Batervortov filtar

Impulsni odziv prototipnog analognog filtra je

( ) ( ) 0;392.0923.0cos999.0178.1382.0cos41.2)( 382.0923.0 ≥−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅= ⋅−⋅− tteteth tta .

Neka je sada perioda uzorkovanja sec102π=sT . Tada je diskretni impulsni odziv traženog sistema oblika

( ) ( ) 0;392.0579.0cos999.0178.1240.0cos41.2)(][ 24.0579.0 ≥−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅== ⋅−⋅− nnenenThnh nnsad .

•Z transformacija ovog izraza će da da prenosnu funkciju traženog sistema. Z-transformacija prvog članaje

( ) ( )( ) ( )

( ) 56.0:;313.0087.1

222.092.024.0cos21

418.1cos178.1cos41.2)( 22579.02579.01

579.01

1 >+⋅−

−⋅⋅=+⋅⋅⋅−

⋅⋅−=−−−−

−−

zROCzz

zzezez

ezzH

dok će drugi član biti

( ) ( )( ) ( )

( ) 786.0:;617.0315.1

479.0923.0579.0cos21

971.0cos392.0cos999.0)( 2224.0224.01

24.01

2 >+−

−=+⋅−

−=−−−−

−−

zROCzz

zzezez

ezzH

Tražena prenosna funkcija će tada biti razlika gornjih Z-transformacija

=

+⋅−−−

+⋅−−⋅=−=

617.0315.1479.0923.0

313.0087.1222.092.0)()()( 2221 zz

zzz

zzzHzHzH

( )( ) ( ) 786.0:;

617.0315.1313.0087.11231928001.0 2122

23

>∩=+⋅−⋅+⋅−

−⋅−⋅−⋅⋅−= zROCROCROCzzzz

zzzz

Polovi prenosne funkcije su: 132.0543.0;132.0543.0 21 jzjz pp −=+= ;

429.0657.0;429.0657.0 43 jzjz pp −=+= .

Nule prenosne funkcije su realne: 663.8;367.0;037.0;0 4321 −==−== nnnn zzzz .

Amplitudska karakteristika i karakteristika faznog kašnjenja je prikazana na slici.



Kaskadna realizacija ove prenosne funkcije je moguće dobiti ako prenosnu funkciju napišemo u oblikuproizvoda dve prenosne funkcije drugog reda kao na primer

( ) ( ) ( )617.0315.1663.8037.0

313.0087.1367.0001.0)( 22 +⋅−

+⋅+⋅+⋅−

−⋅⋅−=zzzz

zzzzzH .

Prenosne funkcije kauzalnih i stabilnih sistema su date u funkciji promenljive 1−z na taj način diferencnajednačina sadrži članove ulaznog i izlaznog signala koje kasne za odgovarajući vremenski korak. Na tajnačin gornji izraz se može izraziti u obliku

( ) ( ) ( )21

11

21

1

617.0315.11663.81037.01

313.0087.11367.01001.0)( −−

−−

−−

−

⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅

⋅+⋅−⋅−⋅−=

zzzz

zzzzH .

Prvi sistem čini prvi razlomak čija rekurzivna jednačina glasi

]1[367.0][]2[313.0]1[087.1][ 111 −⋅−+−⋅−−⋅= nxnxnynyny ,

dok je drugi sistem dat rekurzivnom jednačinom

]2[32.0]1[7.8][]2[617.0]1[315.1][ 222 −⋅+−⋅++−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny .

Treba zapaziti da su dobijeni sistemi redno vezani pa prema tome važi ][][ 12 nynx = dok su signali ][nx i][ny ulazni i izlazni signali respektivno celog realizovanog sistema. Dobijena struktura je prikazana na slici

kao redna veza dva sistema drugog reda.

1−z

1−z

1−z

1−z

][nx ][ny

367.0−

0.0

087.1

313.0−

7.8

32.0

315.1

617.0−

Paralelna realizacija prenosne funkcije podrazumeva rastavljanje izraza u oblik parcijanih suma. Ukoliko supolovi konjugovani kompleksni tada je prikladnije primeniti oblik u kome figurišu samo realni koeficijenti,tj. da se prenosna funkcija da u obliku parcijalnih razlomaka drugog reda. Takav oblik smo već dali kadasmo nalazili Z-transformaciju impulsnog odziva. Koristeći te izraze imaćemo da je jedna od paralelnovezanih grana data rekurzivnom jednačinom

]1[204.0][922.0]2[313.0]1[087.1][ 111 −⋅−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny ,

dok je druga od grana data rekurzivno jednačinom

]1[442.0][923.0]2[617.0]1[315.1][ 222 −⋅−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny .



Izlaz realizovanog sistema čini razlika ][][][ 21 nynyny −= . Realizovana paralelna struktura traženogsistema je data na slici.

1−z

1−z

1−z

1−z

][ nx ][ ny

922.0

204.0−

00.0

087.1

313.0−

923.0

442.0−

00.0 617.0−

315.1

000.0

1−

b) 1N= Čebiševljev filtar

Impulsni odziv prototipnog analognog filtra je 0;965.1)( 965.1 ≥⋅= ⋅− teth ta . Na osnovu analogne prenosne

funkcije koja je data u četvrtom poglavlju nalazimo da je granična kružna učestanost na kojoj amplitudskakarakteristika opadne za dB3 iznosi sec965.1 rad

g =Ω . Da bi smanjili efekat spektralnog preklapanja periodu

uzorkovanja ćemo odabrati tako da ona zadovolji teoremu odabiranja. Neka je ona sec319.010

2=

Ω=

gsT π

.

Tada je diskretni impulsni odziv jednak 0;965.1)(][ 628.0 ≥⋅== ⋅− nenThnh nsad .

Primenom Z-transformacije na diskretni impulsni odziv dobija se diskretna prenosna funkcija traženogsistema koja glasi

533.0:;533.01965.1

11965.1][][)( 11628.0

0>

⋅−=

⋅−⋅=⋅== −−−

∞

=

−∑ zROCzze

znhnhZzHn

ndd .

Pol prenosne funkcije je 533.0=pz , dok je nula u tački 0=nz .Rekurzivna jednačina koja će da odredi realizaciju sistema glasi

][965.1]1[533.0][ nxnyny ⋅+−⋅= .



Realizacija dobijene rekurzivne jednačine kao i amplitudska karakteristika i karakteristika grupnog kašnjenjaje prikazana na slici.

1−z

1−z

][nx ][ny

965.1

000.0

000.0

533.0

00.0

3N= Čebiševljev filtar

Impulsni odziv prototipnog analognog filtra je

( ) 0;249.0966.0cos505.0492.0)( 247.0492.0 ≥+⋅⋅⋅+⋅= ⋅−⋅− tteeth tta .

Ako za periodu uzorkovanja odaberemo vrednost sec314.01020

2==

Ω= ππ

gsT tada će diskretni impulsni

odziv biti

( ) 0;249.0303.0cos505.0492.0)(][ 077.0154.0 ≥+⋅⋅⋅+⋅== ⋅−⋅− nneenThnh nnsad .

Primenom Z-transformacije za diskretnu prenosnu funkciju sistema se dobija izraz

21

1

121

1

1 855.0765.11397.0489.0

857.01492.0

855.0765.11787.0969.0505.0

857.01492.0)( −−

−

−−−

−

− ⋅+⋅−⋅−+

⋅−=

+−−+

−=

zzz

zzzz

zzH .

Oblast konvergencije čini presek oblasti konvergencije prvog i drugog člana gornje sume pa se tako dobijada je 925.0: >zROC .

Polovi prenosne funkcije su: 552.0882.0;552.0882.0;857.0 321 jzjzz ppp −=+== .

Nule prenosne funkcije su: 986.1;284.0 21 == nn zz .

Amplitudska karakteristika i karakteristika grupnog kašnjenja je prikazana na slici.



Za paralelnu realizaciju se može iskoristiti gornji izraz prenosne funkcje koja je već data u obliku parcijalnihsuma. Prvi član će da određuje rekurzivnu jednačinu jednu od grana paralelne realizacije koja glasi

][492.0]1[857.0][ 11 nxnyny ⋅+−⋅= ,

dok drugi član određuje rekurzivnu jednačinu druge grane

]1[397.0][489.0]2[855.0]1[765.1][ 222 −−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny .

Izlaz diskretnog sistema se dobija sabiranjem pojedinih grana tj. ][][][ 21 nynyny += . Paralelna realizacijaovog sistema je prikazana na slici.

1−z

1−z

1−z

1−z

][ nx ][ ny

492.0

00.0

00.0

857.0

00.0

489.0

397.0−

00.0 855.0−

765.1

000.0

Za kaskadnu realizaciju prenosnu funkciju može da se prikaže i u obliku

21

21

1 855.0765.11565.0271.21

857.01981.0)( −−

−−

− ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅

⋅−=

zzzz

zzH .

Prvi razlomak određuje rekurzivnu jednačinu jednog od redno vezanih sistema koja glasi

][981.0]1[857.0][ 11 nxnyny ⋅+−⋅= ,

dok drugi određuje rekurzivnu jednačinu drugog redno vezanog sistema koja glasi

]2[565.0]1[271.2][]2[855.0]1[765.1][ 222 −⋅+−⋅−+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny .



Kako su sistemi redno vezani jasno je da važi da je ][][ 12 nynx = . Kaskadna realizacija sistema je prikazanana slici.

1−z

1−z

1−z

1−z

][nx ][ny

00.0

0.0

857.0

00.0

271.2−

565.0

765.1

855.0−

981.0

Zadatak 2.

Primenom jedinične odskočne invarijantne transformacije (UIT) preslikati u diskrtene sistema sledećeanalogne filtre:


Rešenje:a) 2N= Batervortov filtar

Odredimo odziv analognog filtra na jedniničnu odskočnu pobudu. Odziv možemo odrediti u frekventnomdomenu inverznom Laplasovom transformacijom proizvoda prenosne funkcije filtra i Laplasovetransformacije pobudnog signala ili u vremenskom domenu primenom konvolucije. U ovom primeruprimenićemo konvoluciju. Pobudni signala je jedinična odskočna funkcija tj. 0;1)( ≥= ttx . Tada je odzivdefinisan

( )∫∫ ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=∗= ⋅−tt

aaa dedhthtxty0

707.0

0

707.0sin41.1)(1)()()( ττττ τ .

Primenom identiteta

( )

−+⋅⋅

+−

+

−

=⋅+⋅⋅⋅−

⋅−∫ βαγβ

βαβα

βαγ

τγτβα

τα arctgtearctg

dett

coscos

sin2222

0

nalazimo da je rešenje odziva analognog filtra jednaka

0;4

707.0cos41.11)( 707.0 ≥

−⋅⋅⋅−= ⋅− ttety t

aπ

.



Uzorkovanjem analognog odziva sa sec5

2π=sT dobija se diskretni signal oblika

0;4

888.0cos41.11)(][ 888.0 ≥

−⋅⋅⋅−== ⋅− nnenTyny n

sadπ

.

Odredimo Z-transformaciju datog diskrtenog signala

21

1

1 243.0622.0105.0707.041.1

11)( −−

−

− ⋅+⋅−⋅+⋅−

−=

zzz

zzY .

Kako je Z-transformacija izlaznog signala jednaka proizvodu Z-transformacija ulaznog signala prenosne

funkcije diskretnog signala tj. )()()( zXzHzY ⋅= i kako je 111)( −−

=z

zX to će prenosna funkcija u biti

jednaka

( ) 21

21

21

1

11

243.0622.0107.0929.011

243.0622.0105.0707.041.1

111

)()()( −−

−−

−−

−

−−

⋅+⋅−⋅−⋅−−=

⋅+⋅−

⋅+−−

−==zzzz

zzz

zz

zXzYzH .

Paralelna realizacija ovog sistema može da se definiše kao ][][][ 1 nynxny −= gde je signal ][1 nydefinisan rekurzivnom jednačinom

]2[07.0]1[929.0][]2[243.0]1[622.0][ 111 −⋅−−⋅−+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny

koja predstvalja realizaciju drugog člana prenosne funkcije.

Prenosna funkcija se može dati i u obliku

243.0622.0019.1307.0

243.0622.01313.0307.0)( 221

21

+⋅−+⋅=

⋅+⋅−⋅+⋅= −−

−−

zzz

zzzzzH

koja je pogodnija za određivanje kaskadne realizacije. Rekurzivna jednačina koja definiše realizaciju jeoblika

]2[313.0]1[307.0]2[243.0]1[622.0][ −⋅+−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny .

Kaskadna realizacija je data na slici.

1−z

1−z

][ nx ][ ny

00.0

307.0

313.0

622.0

243.0−



Prenosna funkcija ima polove u tačkama: 382.0311.0;382.0311.0 21 jzjz pp −=+= .

Prenosna funkcija ima jednu nulu u tački 019.1−=nz .

Amplitudska i fazna karakteristika su dati na slici.

4N= Batervortov filtar

Odziv analognog sistema na jediničnu odskočnu pobudu će biti

( ) ( )[ ] 0;392.0923.0cos999.0178.1382.0cos41.2)(0

382.0923.0 ≥⋅−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅= ∫ ⋅−⋅− tdeetyt

a τττ ττ .

Na osnovu identiteta

( )

++⋅⋅

+−

+

+

=⋅+⋅⋅⋅−

⋅−∫ βαγβ

βαβα

βαγ

τγτβα

τα arctgtearctg

dett

coscos

cos2222

0

nalazimo da je odziv jednak

( ) ( ) 0;785.0382.0cos786.0923.0cos1)( 923.0382.0 ≥−⋅⋅−+⋅⋅+= ⋅−⋅− ttetety tta .



Diskretizacijom analognog odziva nalazi se odziv diskretng sistema koji će na jediničnu odskočnu pobudu

dati identičan odziv tj. diskretni odziv za sec102π=sT će da glasi

( ) ( ) 0;785.024.0cos786.058.0cos1)(][ 58.024.0 ≥−⋅⋅−+⋅⋅+== ⋅−⋅− nnenenTyny nnsad .

Nakon primene Z-transformacije sledi

21

1

21

1

1 313.0087.1129.0707.0

618.0316.1177.0706.0

11)( −−

−

−−

−

− ⋅+⋅−⋅−−

⋅+⋅−⋅−+

−=

zzz

zzz

zzY .

Nakon množenja sa ( )11 −− z i sređivanja izraza prenosna funkcija diskretnog sistema će biti

4321

4321

193.0083.1361.2403.21254.0383.1917.2719.2999.0)( −−−−

−−−−

⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−=

zzzzzzzzzH .

Polovi prenosne funkcije: 431.0657.0;128.0543.0 4,32,1 jzjz pp ±=±= .

Nule penosne funkcije: 444.0897.0;197.0463.0 4,32,1 jzjz nn ±=±= .

Amplitudska i fazna karateristika je prikazana na slici.

Za kaskadnu realizaciju prenosna funkcija se može napisati i u obliku

21

21

21

21

617.0314.11001.1794.11

311.0086.11253.0926.01)( −−

−−

−−

−−

⋅+⋅−⋅+⋅−⋅

⋅+⋅−⋅+⋅−=

zzzz

zzzzzH .

Rekurzivne jednačine za kaskadnu realizaciju glase

]2[253.0]1[926.0][]2[311.0]1[086.1][ 111 −⋅+−⋅−+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny ;

]2[001.1]1[794.1][]2[617.0]1[314.1][ 222 −⋅+−⋅−+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny

pri čemu je ][][ 12 nynx = .



Realizacija je prikazana na slici.

1−z

1−z

1−z

1−z

][nx ][ny

926.0−

253.0

086.1

311.0−

794.1−

001.1

314.1

617.0−

Paralelna realizacija zahteva prenosnu funkciju u obliku parcijalnih razlomaka tj.

21

21

21

21

313.0087.1141.041.11707.0

618.0316.1109.109.21706.01)( −−

−−

−−

−−

⋅+⋅−⋅+⋅−⋅−

⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+=

zzzz

zzzzzH .

Kao što se to vidi paralelna realizacija sadrži tri grane tj. važi ][][][][ 21 nynynxny −+= gde su izlaznisignali ][1 ny i ][2 ny dati rekurzivnim jednačinama

]2[77.0]1[476.1][706.0]2[618.0]1[316.1][ 111 −⋅+−⋅−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny ;

]2[29.0]1[997.0][707.0]2[313.0]1[087.1][ 222 −⋅+−⋅−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny .

Paralelna realizacija traženog sistema je prikazana na slici.

1−z

1−z

1−z

1−z

][ nx ][ ny

707.0

997.0−

29.0

087.1

313.0−

706.0

476.1−

77.0 618.0−

316.1

1

1−




Impulsni odziv prototipnog analognog filtra je 0;965.1)( 965.1 ≥⋅= ⋅− teth ta . Odziv analognog filtra na

jediničnu odskočnu pobudu će biti

0;1965.1)( 965.1

0

965.1 ≥−=⋅⋅= ⋅−⋅−∫ tedety tt

a ττ .

Diskretizacijom analognog odziva nalazi se diskretni odziv ekvivalentnog diskretnog sistema tj.

0;11)(][ 626.0965.1 ≥−=−== ⋅−⋅⋅− neenTyny nnTsad

s .

Z-transformacija ovog izraza glasi

( ) ( )11

1

1626.01 534.011465.0

11

11)( −−

−

−−− ⋅−⋅−⋅=

⋅−−

−=

zzz

zezzY .

Diskretna prenosna funkcija će tada biti

534.0456.0

534.01456.0)( 1

1

−=

⋅−⋅= −

−

zzzzH .

Prenosna funkcija ima samo jedan pol 543.0=pz dok nule nema.

Amplitudska i fazna karateristika je prikazana na slici.



Direktna realizacija koja sadrži samo jedan element za kašnjenje je prikazano na slici.

1−z

1−z

][ nx ][ ny

00.0

456.0

00.0

534.0

00.0


Impulsni odziv analognog prototipnog filtra je

( ) 0;249.0966.0cos505.0492.0)( 247.0492.0 ≥+⋅⋅⋅+⋅= ⋅−⋅− tteeth tta .

Odziv filtra na jediničnu odskočnu pobudu će biti

( ) 0;569.1966.0cos505.01)( 247.0492.0 ≥+⋅⋅⋅−−= ⋅−⋅− tteety tta .

Diskretizacijom odziva sa sec314.01020

2 ==Ω

= ππ

gsT dobija se

( ) 0;569.1303.0cos505.01)(][ 077.0154.0 ≥+⋅⋅⋅−−== ⋅−⋅− nneenTyny nnsad .

Z-transformacija odziva je tada

21

1

11 856.0052.11385.0001.0

857.011

11)( −−

−

−− ⋅+⋅−⋅−−

⋅−−

−=

zzz

zzzY .

Diskretna prenosna funkcija nakon množenja sa ( )11 −− z će da glasi

21

21

1

1

856.0052.11385.0386.0001.0

857.0111)( −−

−−

−

−

⋅+⋅−⋅+⋅−−

⋅−−−=

zzzz

zzzH .

Ovaj oblik prenosnog sistema daje mogućnost za paralelnu realizaciju diskretnog sistema. Izlaz traženogsistema je definisan zbirom ][][][][ 21 nynynxny −−= gde su signali ][1 ny i ][2 ny dati rekurzivnimjednačinama

]1[][]1[857.0][ 11 −−+−⋅= nxnxnyny ;

]2[385.0]1[386.0][001.0]2[856.0]1[052.1][ 222 −⋅+−⋅−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny .



Paralelna realizacija je prikazana na slici.

1−z

1−z

1−z

1−z

][ nx ][ ny

001.0

386.0−

385.0

052.1

856.0−

1−

00.0 00.0−

857.0

1

1−

1−

Diskretna prenosna funkcija u obliku razlomka racionalnih polinoma glasi

( ) ( )211

321

856.0052.11857.014468665291001.0)( −−−

−−−

⋅+⋅−⋅⋅−⋅−⋅+⋅−⋅−=

zzzzzzzH .

Polovi prenosne funkcije su: 761.0526.0;857.0 3,21 jzz pp ±== .

Nule prenosne funkcije su: 415.082.0;052.0 2,11 jzz nn ±== .

Amplitudska i fazna karakteristika je data na slici.



Sređivanjem gornjeg izraza dobija se

21

21

1

1

856.0052.11844.064.11

857.01052.01001.0)( −−

−−

−

−

⋅+⋅−⋅+⋅−⋅

⋅−⋅−⋅−=

zzzz

zzzH .

Rekurzivne jednačine koje definišu pojedine sisteme su

]1[052.0][]1[857.0][ 11 −⋅−+−⋅= nxnxnyny ;

]2[844.0]1[64.1][]2[856.0]1[052.1][ 222 −⋅+−⋅−+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny ,

pri čemu važi ][][ 12 nynx = . Kaskadna realizacija je prikazana na slici.

1−z

1−z

1−z

1−z

][nx ][ny

1−

00.0

857.0

00.0

64.1−

844.0

052.1

856.0−

Zadatak 3.

Primenom bilinearne transformacije izvršiti preslikavanje sledećih analognih filtara:


Rešenje:

a) 2N= Batervortov filtar

Primenom smene 1

1

112

−

−

+−⋅=

zz

Ts

s

analogni prototipni filtar je moguće preslikati u diskretni tako da se u

toku bilinearne transformacije izbegne efekat spektralnog preklapanja. S obzirom da se efekat promenljivesT u toku transformacije eliminiše u daljim primerima ćemo za tu promenljivu uzeti vrednost sec1=sT .

Prototipni analogni filtar koji se preslikava u diskretni ima prenosnu funkciju oblika

121)(

2 +⋅+=

sssH .

Primenom smene 1

1

112 −

−

+−⋅=

zzs dobija se da je prenosna funkcija traženog diskretnog sistema jednaka



21

21

1

12

1

1112 277.0766.01

21127.0

11122

112

1)()(1

1 −−

−−

−

−

−

−+−

⋅= ⋅+⋅−+⋅+⋅=

++−⋅⋅+

+−⋅

==−

− zzzz

zz

zz

sHzHzzs

.

Kao što se vidi prenosna funkcija ima polove 361.0383.02,1 jz p ±= i ima jednu dvostruku nulu 1−=nz .

Rekurzivna jednačina koja definiše realizaciju ovog sistema je oblika

]2[127.0]1[254.0][127.0]2[277.0]1[766.0][ −⋅+−⋅+⋅+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny .

Amplitudska i fazna karakteristika je prikazana na slici.

Realizacija ovog sistema je prikazana na slici.

1−z

1−z

][ nx ][ ny

127.0

254.0

127.0

766.0

277.0−



4N= Butterworthov filtar

Prenosna funkcija prototipnog analognog filtra je

( ) ( )1923.01765.01)( 22 +⋅+⋅+⋅+

=ssss

sH .

Primenom već sponetu smene prenosna funkcija diskretnog sistema će da bude

=

++−⋅+

+−⋅

⋅

++−⋅+

+−⋅

==

−

−

−

−

−

−

−

−+−

⋅= −

−

111923.0

112

1

111765.0

112

1)()(

1

12

1

1

1

12

1

1112 1

1

zz

zz

zz

zz

sHzHzzs

21

21

21

21

46.0876.0121146.0

531.0918.0121153.0 −−

−−

−−

−−

⋅+⋅−+⋅+⋅⋅

⋅+⋅−+⋅+⋅=

zzzz

zzzz

.

Prenosna funkcija ima četvorostruku nulu 1−=nz dok su polovi 566.0459.02,1 jz p ±=517.0438.04,3 jz p ±= .




Kaskadna realizaciju ovog sistema definišu rekurzivne jednačine

]2[153.0]1[306.0][153.0]2[531.0]1[918.0][ 111 −⋅+−⋅+⋅+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny ;

]2[146.0]1[292.0][146.0]2[46.0]1[876.0][ 222 −⋅+−⋅+⋅+−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny .

Realizacija sistema je prikazana na slici.

1−z

1−z

1−z

1−z

][nx ][ny

306.0

153.0

918.0

531.0−

292.0

146.0

876.0

46.0−

153.0 146.0

Razlaganjem prenosnu funkciju u zbir parcijalnih razlomaka drugog reda

21

21

21

21

46.0876.01201.2049.4

531.0918.01579.292.3022.0)( −−

−−

−−

−−

⋅+⋅−⋅−⋅+

⋅+⋅−⋅−⋅−=

zzzz

zzzzzH

može da se zaključi da paralelna realizacija ove prenosne funkcije sadrži tri paralelne grane koje su povezanerelacijom ][][][022.0][ 21 nynynxny +−⋅= . Pojedine grane su definisane rekurzivnim jednačinama

]2[579.2]1[92.3]2[531.0]1[918.0][ 111 −⋅−−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny ;

]2[201.2]1[049.4]2[46.0]1[876.0][ 222 −⋅−−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny .


Prenosna funkcija analognog filtra je

965.1965.1)(

+=

ssH .

Koristeći smenu 1

1

112 −

−

+−⋅=

zzs diskeretna prenosna funkcija će da glasi

1

1

1

1112 008.01

1495.0965.1

112

965.1)()(1

1 −

−

−

−+−

⋅= ⋅−+⋅=

++−⋅

==−

− zz

zz

sHzHzzs

.

Prenosna funkcija ima jedan pol i jednu nulu 1;008.0 −== np zz .




Transponovana direktna realizacija ovog sistema je prikazana na slici.

1−z

1−z

][ nx ][ ny

495.0

495.0

00.0

008.0

00.0




Prenosna funkcija prototipnog filtra koji se želi preslikati je

( ) ( )994.0494.0494.0488.0)( 2 +⋅+⋅+

=sss

sH .

Primenom smene diskretna prenosna funkcija će da glasi

=

+

+−⋅⋅+

+−⋅⋅

+

+−⋅

==

−

−

−

−

−

−+−

⋅= −

−

994.0112494.0

112494.0

112

48.0)()(

1

12

1

1

1

1112 1

1

zz

zz

zz

sHzHzzs

21

21

1

1

82.0095.1121

603.011035.0 −−

−−

−

−

⋅+⋅−+⋅+⋅

⋅−+⋅=

zzzz

zz

.

Prenosna funkcija ima polove u tačkama 721.0547.0;603.0 3,21 jzz pp ±== i ima jednu trostruku nulu u

tački 1−=nz .


Gornji oblik prenosne funkcije je pogodan za određivanje rekurzivnih jednačina za kaskadnu realizaciju kojeglase

]1[035.0][035.0]1[603.0][ 11 −⋅−+−⋅= nxnxnyny ;

]2[]1[2][]2[82.0]1[095.1][ 222 −+−⋅++−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny ,

pri čemu važi ][][ 12 nynx = .



Kaskadna realizacija je prikazana na slici.

1−z

1−z

1−z

1−z

][nx ][ny

035.0−

00.0

603.0

00.0

2 095.1

82.0−

035.0

Razlaganjem prenosnu funkciju u zbir parcijalnih razlomaka drugog reda

21

21

1

1

85.0095.11189.0088.0

603.01075.0035.0)( −−

−−

−

−

⋅+⋅−⋅+⋅+

⋅−⋅+=

zzzz

zzzH ,

uočavamo da je paralelna realizacija sastavljena iz tri grane tj. ][][][035.0][ 21 nynynxny ++⋅= . Pojedinegrane su definisane rekurzivnim jenačinama

]1[075.0]1[603.0][ 11 −⋅+−⋅= nxnyny ;

]2[189.0]1[088.0]2[82.0]1[095.1][ 22222 −⋅+−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny .

Paralelna realizacijaje prikazana na slici.

1−z

1−z

1−z

1−z

][ nx ][ ny

00.0

088.0

189.0

095.1

82.0−

075.0

00.0 00.0

603.0

035.0

00.0



Zadatak 4.

Primenom bilinearne transformacije projektovati diskretni NF filtar sa sledećim specifikacijama udiskretnom domenu:

dBrad pp 10;5

== απω

dBrad nn 20;3

== απω .

Rešenje:

U predhodnim zadacima videli smo da je bilinearna transformacija nelinearna transformacija, što se ogleda utome da se unapred zadate granice propusnog i nepropusnog opsega pomera u neke druge tačke udiskretnom domenu. Zbog toga se pre primene bilinearne transformacije normalizovane učestanosti udiskretnom domenu, koje su unapred zadate i predstavljaju one specifikacije diskretnog sistema koje taj morada zadovolji, primenjuje takozvana predistorzija normalizovanih učestanosti. Rezultat predistorzije suanalogne kružne učestanosti po kojima se tada projektuje analogni prototipni filtar. Kada je analogni filtarizprojektovan tada se primenjuje smena za bilinearnu transformaciju, čiji rezultat, zbog predhodneprimenjene predistorzije, već zadovoljava unapred zadate specifikacije.

Izvršimo predistorziju diskretnih učestanosti koja je definisana izrazom

⋅=Ω

22 ωtgTs

. Tada će

specifikacije analognog filtra da glase:

dBtg prad

p 10;65.010

2 sec ==

⋅=Ω απ

;

dBtg prad

n 20;15.16

2 sec ==

⋅=Ω απ

.

Neka se za prototipnog analognog filtra uzme Batervortov filtar.Red analognog filtra će tada biti

( )( ) 101.2

769.1log11log

21

65.015.1log

110110log

21

log

110110log

21

2

1.0

1.0

=⋅=

−−

⋅=

ΩΩ

−−

⋅≥⋅

⋅

p

n

p

n

Nα

α

.

Minimalni red filtra koji zadovoljava gornju nejednakost je 3=N , tj. traženi prototipni analogni filtar jetrećeg reda. Polovi filtra su tada

64

64

31 45.0365.0 ππ jj

ees ⋅=⋅= ,

45.0365.0

32 −=⋅= πjes ,

64

64

33 45.0365.0 ππ jj

ees−−

⋅=⋅= .



Prenosna funkcija analognog filtra je tada

( )( ) ( ) ( ) ( )202.045.045.0

202.0202.045.045.0

45.0)( 22

3

+⋅+⋅+=

+⋅+⋅+=

sssssssH .

Amplitudska i fazna karakteristika prototipnog analognog filtra ja prikazana na slici.

Primenom smene 1

1

112 −

−

+−⋅=

zzs nalazimo odgovarajuću prenosnu funkciju diskretnog sistema

21

21

1

1

112 35.022.11

2122.01

1006.0)()(1

1 −−

−−

−

−

+−

⋅= ⋅+⋅−+⋅+⋅

⋅−+⋅==

−

− zzzz

zzsHzH

zzs

.

Amplitudska karakteristika i karakteristika faznog kašnjenja je prikazana na slici.



Realizacija prenosne funkcije može da se izvrši i po obliku po kome smo je zadali. To bi tada bila kaskadnarealizacija čije rekurzivne jednačine glase

]1[006.0][006.0]1[22.0][ 11 −⋅+⋅+−⋅= nxnxnyny ;

]2[]1[2][]2[35.0]1[22.1][ 222 −+−⋅++−⋅−−⋅= nxnxnxnynyny ,

pri čemu važi ][][ 12 nynx = . Kaskadna realizacija je prikazana na slici.

1−z

1−z

1−z

1−z

][nx ][ny

006.0

00.0

22.0

00.0

2 22.1

35.0−

006.0

Ukoliko se zahteva paralelna realizacija, prenosna funkcija se razlaže u oblik parcijalnih suma drugog reda tj.

21

21

1

1

35.022.11126.0079.0

22.01106.0006.0)( −−

−−

−

−

⋅+⋅−⋅−⋅−

⋅−⋅+=

zzzz

zzzH .

Paralelna realizacija zahteva tri grane koje čine izlazni signali ][][][006.0][ 21 nynynxny −+⋅= .Poslednja dva izlazna signala sudata rekurzivnim jednačinama

]1[106.0]1[22.0][ 11 −⋅+−⋅= nxnyny ;

]2[126.0]1[079.0]2[35.0]1[22.1][ 222 −⋅−−⋅+−⋅−−⋅= nxnxnynyny .

Paralelna realizacija je prikazana na slici.

1−z

1−z

1−z

1−z

][ nx ][ ny

00.0

079.0

126.0−

22.1

35.0−

106.0

00.0 00.0

22.0

0060

00.0

1−



Zadatak 5.

Primenom bilinerane transformacije projektovati diskretni VF filtar sa sledećim specifikacijama udiskretnom domenu:

dBrad pp 10;4

3 == απω

dBrad nn 30;8

== απω .

Rešenje:

Primenom predistorzije specifikacije koje prototipni analogni VF filtar treba da zadovolji glase

dBtg prad

pVF 10;82.48

32 sec ==

⋅=Ω απ

,

dBtg nrad

nVF 30;397.016

2 sec ==

⋅=Ω απ

.

Pokazali smo da se svi tipovi filtara projektuju pomoću odgovarajućih transformacija NF filtara. Tu šemućemo primeniti za ovaj slučaj. Neka je faktor normaliozacije 1=a . Tada su specifikacije NF filtra kojegtreba projektovati i koji će se zatim preslikati u VF analogni filtar

dBprad

pVFpNF 10;207.01

sec ==Ω

=Ω α ,

dBnrad

nVFnNF 30;518.21

sec ==Ω

=Ω α .

Nakon što su nađene tražene specifikacije pristupa se nalaženju prenosne funkcije analognog NF filtra. Nekase projektuje Čebiševljev filtar. Red filtra se određuje po izrazu

( ) 95.016.12cosh111cosh

16.121

111110110

1cosh

cosh1

11.0

1.0

1

1

=≥⇒=

ΩΩ

=

=−−=

→

≥ −

−⋅

⋅

−

−

N

k

D

k

DN

p

n

p

n

α

α

.

Najmanji red filtra koji zadovoljava gornju nejednakost je filtar prvog reda tj. 1=N .

Pol prenosne funkcije je tada 31−=ps pa će prenosna funkcija da bude

0;31)(

31

31

)( 31

≥⋅=⇒+

=⋅−

teths

sHt

NFNF .



Prenosna funkcija VF filtra dobijamo ako primenimo preslikavanje ss

asˆ1

ˆ== tj. tada imamo

0;3)()(3ˆ

ˆ

31

ˆ1

31

)()ˆ( 3

ˆ1 ≥⋅−=⇒

+=

+== ⋅−

=tetth

ss

s

sHsH tVF

ssNFVF δ .

Amplitudska i fazna karateristika dobijenog VF filtra je prikazana na slici

Nakon što je traženi prototipni analogni VF filtar određen može da se primeni bilinearna transformacija da bi

se analogni preslikao u diskretni filtar. Smenom 1

1

112ˆ

−

−

+−⋅=

zzs tražena prenosna funkcija diskretnog sistema

će da bude

2.0:;2.01

14.03

112

112

)ˆ()( 1

1

1

1

1

1

112ˆ

1

1 >⋅+

−⋅=+

+−⋅

+−⋅

== −

−

−

−

−

−

+−

⋅= −

− zROCz

z

zz

zz

sHzHzzs

VF .

Kao što se to vidi prenosna funkcija ima jedan pol 2.0−=pz i jednu nulu 1=nz .Amplitudska karateristika i karateristika faznog kašnjenja diskretnog sistema je prikazana na slici



Rekurzivna jednačina po kome se dobijeni diskretni sistem može realizovati je oblika

]1[4.0][4.0]1[2.0][ −⋅−⋅+−⋅−= nxnxnyny .

Realizacija sa najmanje elemenata za kašnjenje je prikazano na slici

1−z

1−z

][ nx ][ ny

4.0

4.0−

00.0

2.0−

00.0

Zadatak 6.

Primenom bilinearne transformacije projektovati diskretni filtar NO tipa sa sledećim specifikacijama:

.2

;30;4

3;4

;10;1615;

16

21

21

rad

dBradrad

dBradrad

C

nnn

ppp

πω

απωπω

απωπω

=

===

===

Rešenje:

Postupak rešavanja problema je sličan postupku kojeg smo dali u predhodnom zadatku. Pre primenebilinearne transformacije, zbog njene nelinearne osobine, obavezno mora da se primeni predistorzijaučestanosti. Tada će specifikacije analognog NO filtra da glase

.24

2

;30;82.48

32;828.08

2

;10;306.2032152;197.0

322

sec

sec2sec1

sec2sec1

radC

nrad

nrad

n

prad

prad

p

tg

dBtgtg

dBtgtg

=

⋅=Ω

==

⋅=Ω=

⋅=Ω

==

⋅=Ω=

⋅=Ω

π

αππ

αππ

Da bi iz NF filtra mogli preslikati traženi NO filtar on mora da zadovolji uslov geometrijske simetrije tj. davaži 2121

2nnppC Ω⋅Ω=Ω⋅Ω=Ω . Za ovaj primer ovaj uslov je zadovoljen. Neka je analogni NF filtar

kojeg ćemo preslikati u analogni NO filtar Batervortov filtar drugog reda sa specifikacijama

dBkHzf ppNF 10;5 == α ,

dBkHzf nnNF 30;25 == α .



Širina propusnog opsega koja figuriše u izrazu za transformaciju je tada

412 1027.150002

828.082.42

−⋅=⋅⋅−=

⋅Ω−Ω

=ππ nNF

nn

fB ,

412 1028.1250002

197.0306.202

−⋅=⋅⋅−=

⋅Ω−Ω

=ππ pNF

pp

fB .

Od ova dva ćemo usvojiti veći tj. 41028.1 −⋅=B .

NF filtar koji zadovoljava gornje zadate specifikacije ima polove

43

31 10138.18

πjes ⋅⋅= ,

43

32 10138.18

πjes

−⋅⋅= .

Prenosna funkcija će tada biti

( ) ( )( )2332

23

43

343

3

23

10138.181065.2510138.18

10138.1810138.18

10138.18)(⋅+⋅⋅+

⋅=

⋅⋅−⋅

⋅⋅−

⋅=− sseses

sHjj

NF ππ.

Amplitudska i fazna karateristika je prikazanana slici.

Prenosnu funkciju traženog NO filtra nalazimo primenom smene 22ˆˆ

CssBsΩ+⋅= tj.

( )256ˆ104ˆ8ˆ10ˆ

4ˆ)()ˆ( 82384

22

ˆˆ

22 +⋅⋅+⋅+⋅++== −−

Ω+⋅

= ssssssHsH

CssBsNFNO .



Amplitudska i fazna karateristika NO filtra je prikazanana slici.

Sada primenom bilinearne transformacije preslikava se analogni prtotipni NO filtar u diskretni NO filtar.Nakon sređivanja izraza prenosna funkcija diskretnog sistema u obliku razlomaka racionalnih polinoma ćeda glasi

( )439219

22

1075.14.41075.1111.0)( −−−−−−

−

+⋅⋅+⋅+⋅⋅−+⋅=

zzzzzzH NO .

Prenosna funkcija ima dve dvostruke nule u tačkama jzjz nn −== 21 ; .Polovi prenosne funkcije su: 039.2;49.0 4,32,1 jzjz pp ±=±= .




Oblik prenosne funkcije koja je pogodna za kaskadnu realizaciju glasi

2

2

2

2

157.411

24.0111.0)( −

−

−

−

⋅++⋅

⋅++⋅=

zz

zzzH NO .

Rekurzivne jednačine su tada

]2[1.0][1.0]2[24.0][ 11 −⋅+⋅+−⋅−= nxnxnyny ,

]2[][]2[157.4][ 22 −++−⋅−= nxnxnyny ,

pri čemu važi da je ][][ 12 nynx = . Realizacija je prikazana na slici.

1−z

1−z

1−z

1−z

][nx ][ny

00.0

1.0

00.0

24.0−

00.0 00.0

157.4−

1.0

Prenosna funkcija u obliku zbira parcijalnih razlomaka drugog reda će tada biti

2

2

2

2

157.41311.0

24.01018.01.0)( −

−

−

−

⋅+⋅−

⋅+⋅+=

zz

zzzH NO .

Paralelna realizacija se sastoji iz tri grana tj. izlaz diksretnog sistema je jednaka

][][][1.0][ 21 nynynxny −+⋅= ,

gde su rekurzivne jednačine druge i treće grane date sa

]2[018.0]2[24.0][ 11 −⋅+−⋅−= nxnyny ,

]2[311.0]2[157.4][ 22 −⋅+−⋅−= nxnyny .

Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odyivom ( FIR ) Procesiranje Signala


Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom,FIR sistemi

Ono što ističe značaj ovih sistema u odnosu na IIR sisteme je njihova linearna fazna karakteristika.

Zavisno od toga dali se zadovoljavaju uslovi konstantnog grupnog i faznog kašnjenja,

( )[ ] constdd

g =−= ωθω

θ ,

( ) constf =−=ωωθθ ,

FIR sistemi se dele u četiri klase:

1) sistemi sa simetričnim impulsnim odzivom čija je dužina neparan broj ( I tip FIR ),constconst fg == θθ , ,

2) sistemi sa simetričnim impulsnim odzivom čija je dužina paran broj ( II tip FIR ),constconst fg == θθ , ,

3) sistemi sa antisimetričnim impulsnim odzivom čija je dužina neparan broj ( III tipFIR ), constg =θ ,

4) sistemi sa antisimetričnim impulsnim odzivom čija je dužina paran broj ( IV tipFIR ), constg =θ .

Projektovanje FIR sistema se može izvršiti na više načina.

I način.Na osnovu specifikacija se odredi idealna diskretna prenosna funkcija. Nakon toga se odredi impulsni odzividealnog sistema. S obzirom da idealni sistemi imaju impulsni odziv beskonačnog trajanja, ona se ograničavanekom od prozorskih funkcija. Ovaj postupak je poznat pod nazivom prozoriranje. Često korišćeneprozorske funkcije su:

Jedinična prozorska funkcija

−≤=

drugde

Nnnw;0

21;1][ ,

Hanova prozorska funkcija

−≤

⋅

−⋅+=

drugde

NnnNnw

;021;

12cos5.05.0][π

,

Procesiranje Signala Diskretni sistemi sa konačnim impulsnim odzivom ( FIR )


Hamingova prozorska funkcija

−≤

⋅

−⋅+=

drugde

NnnNnw

;021;

12cos46.054.0][π

,

Blekmanova prozorska funkcija

−≤

⋅

−⋅+

⋅

−⋅+=

drugde

NnnN

nNnw

;021;

14cos08.0

12cos5.042.0][

ππ.

Zbog ograničavanja impulsnog odziva u amplitudskoj karakteristici obavezno nastaju oscilacije koje supoznate pod nazivom Gibsove oscilacije. Da bi se njihova pojava ublažila poželjno je da prozorske funkcijena krajevima intervala imaju blago opadanje ka nuli.

II način.Razvoj željene ampitudske karakteristike u Furijeov red. Kako Furijeovi koeficijenti zapravo predstavljajuvrednosti impulsnog odziva sledi da se razvojem u red odmah dobija i impulsni odziv. Mana ovog postupkaprojektovanja je slaba konvergencija reda što prouzrokuje oscilacije u amplitudskoj karakteristici koje smoveć opisali malopre. Postupak potiskivanja ovih oscilacija je primena prozoriranja impulsnog odziva.

Osim ovih načina postoje još brojni postupci projektovanja FIR sistema. Većina njih zahtevarelativno složene proračune, čak i posebna računarska algoritamska rešenja, koja su izvan domašaja ovogudžbenika..



Zadatak 1.

Nerekurzivni filtar je okarakterisan prenosnom funkcijom

a) 6

65432 234321)(z

zzzzzzzH +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=

b) 6

65432 234321)(z

zzzzzzzH +⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−= .

Odrediti grupno kašnjenje zadatih filtara.

Rešenje:

Grupno kašnjenje filtra predstavlja prvi izvod fazne karateristike sistema po kružnoj (normalizovanoj)učestanosti tj.

( )ωωθθ

dd

g −= .

U toku projektovanja i realizacije različitih tipova filtara, bez obzira dali se radilo o analognim ili diskretnimsistemima, uvek se teži da fazna karakteristika sistema bude što je moguće linearnija tj. da je grupnokašnjenje konstantno u celom frekventnom opsegu ili ako to nije moguće zadovoljiti onda barem u opseguod značaja.

a) Prenosna funkcija se može napisati u obliku

( )654326 234321)( zzzzzzzzH +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= −

što će nakon množenja dati

123432)( 123456 +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+= −−−−−− zzzzzzzH .

Ako se sada primeni smena ωjez = dobija se

123432)( 23456 +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+= −−−−−− ωωωωωωω jjjjjjj eeeeeeeH .

Izvlačenjem zajedničkog eksponencijalnog faktora dolazi se do izraza

( )ωωωωωωωω 32233 23432)( jjjjjjjj eeeeeeeeH +⋅+⋅++⋅+⋅+⋅= −−−− .

Primenom Ojlerovih obrazaca konačno se nalazi

( ) ( ) ( )( )ωωωωω ⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅= − 3cos22cos4cos64)( 3jj eeH .

Odavde se onda vidi da je amplitudska karakteristika prenosne funkcije data jednačinom

( ) ( ) ( )ωωωω ⋅⋅+⋅⋅+⋅+= 3cos22cos4cos64)(A ,

dok je fazna karakteristika data jednačinom

ωωθ ⋅−= 3)( .

Nalaženjem prvog izvoda fazne karateristike po promenljivoj ω grupno kašnjenje će biti



( ) [ ] constdd

dd

g ==⋅−−=−= 33 ωωω

ωθθ .

Kako je grupno kašnjenje konstantno zaključujemo da je fazna karakteristika linearna što se moglo uočiti ina osnovu posmatranja same fazne karakteristike.

Amplitudska i fazna karateristika sistema je prikazana na slici.

b) Slična analiza se može izvesti i za drugi primer. Prenosna funkcija se može napisati u obliku

( )654326 234321)( zzzzzzzzH +⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= −

što će nakon množenja dati

123432)( 123456 +⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−= −−−−−− zzzzzzzH .

Ako se sada primeni smena ωjez = dobija se

123432)( 23456 +⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−= −−−−−− ωωωωωωω jjjjjjj eeeeeeeH .

Izvlačenjem zajedničkog eksponencijalnog faktora dolazi se do izraza

( )ωωωωωωωω 32233 23432)( jjjjjjjj eeeeeeeeH +⋅−⋅+−⋅+⋅−⋅= −−−− .



Primenom Ojlerovih obrazaca konačno se nalazi

( ) ( ) ( )( )ωωωωω ⋅⋅+⋅⋅−⋅+−⋅= − 3cos22cos4cos64)( 3jj eeH .

Odavde se onda vidi da je amplitudska karakteristika prenosne funkcije data jednačinom

( ) ( ) ( )ωωωω ⋅⋅+⋅⋅−⋅+−= 3cos22cos4cos64)(A ,

dok je fazna karakteristika data jednačinom

ωωθ ⋅−= 3)( .

Nalaženjem prvog izvoda fazne karateristike po promenljivoj ω grupno kašnjnje je tada

( ) [ ] constdd

dd

g ==⋅−−=−= 33 ωωω

ωθθ .

Kako je grupno kašnjenje konstantno zaključujemo da je fazna karakteristika linearna što se moglo uočiti ina osnovu posmatranja same fazne karakteristike.

Amplitudska i fazna karateristika sistema je prikazana na slici.



Zadatak 2.

Projektovati nerekurzivni filtar sa idealizovanim frekventnim odzivom

≤≤≤≤

≤=

πωωωωω

ωωω

2

21

1

;1;0

;1)(

c

cc

cjeH .

Rešenje:

Odredimo impulsni odziv zadatog sistema.Primenom inverzne Furijeove transformacije diskretnog signala (IFTD) nalazimo da je

∫−

⋅ =⋅⋅⋅=π

π

ωω ωπ

deeHnh njj )(21][

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= ∫∫∫∫∫−

⋅⋅−

−

⋅−

−

⋅−

−

⋅π

ω

ωω

ω

ωω

ω

ωω

ω

ωω

π

ω ωπ

ωπ

ωπ

ωπ

ωπ

2

2

1

1

1

1

2

2

1210

211

210

211

21

c

c

c

c

c

c

c

c

dedededede njnjnjnjnj

=⋅+⋅+⋅= ∫∫∫−

⋅−

−

⋅−

−

⋅π

ω

ωω

ω

ωω

π

ω ωπ

ωπ

ωπ

2

1

1

2

21

21

21

c

c

c

c

dedede njnjnj

( ) ( ) ( ) =⋅⋅+

⋅⋅

−⋅

⋅=

−+−+−⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅−

nn

nn

nn

jnee

jnee

jnee cc

njnjnjnjnjnj cccc

ππ

πω

πω

π

ωπωωπω sinsinsin21 21

2112

( ) ( )

≠⋅

⋅−

⋅⋅

=−+=

0;sinsin

0;1

21

21

nn

nn

n

n

cc

cc

πω

πω

πω

πω

.

Kao što se to vidi dobijeni impulsni odziv nije konačnog trajanja, što jeste jedna od osobina nerekurzivnihfiltara sa konačnim impulsnim odzivom. U ovim slučajevima se često koristi postupak prozoriranja čime sepostiže konačnost u vremenskom trajanju odziva. Međutim zbog ovakvog odsecanja tražena prenosnakarakteristika se menja i dobijamo neku amproksimativnu prenosnu karakteristiku. Odstupanje od zahtevanekarakteristike zavisi od načina prozoriranja (koji tip prozorskih funkcija se primenjuje) i od broja tačaka kojeimpulsni odziv sadrži. Na slikama su prikazane amplitudske i fazne karakteristike sistema primenomjedinične prozorske funkcije kada su dužine impulsnog odziva ograničene na 100;50;10=N tačakarespektivno.



Zadatak 3.

Frekventni odziv diskretnog sistema mora da zadovolji sledeće uslove

≤≤≤≤≤≤≤≤

≤

=

πωωωωωωωωωωω

ωω

ω

4

43

32

21

1

;0;1;0;1

;0

)(

c

cc

cc

cc

c

jeH .

Projektovati kauzalni diskretni sistem primenom metode Furijeovog razvoja.

Rešenje:

Napišimo izraz za nalaženje kompleksnih Furijeovih koeficijenata date prenosne funkcije. Kako jekompleksni spektar diskretnog signala periodična kompleksna funkcija to će biti

∫−

⋅ ⋅⋅⋅=π

π

ωω ωπ

deeHC njjn )(

21

.

Kao što se da uočiti, izraz Furijeovog integrala i IFTD je identičan, pa sledi da su kompleksni koeficijentiFurijeovog reda zapravo vrednosti impulsnog odziva u diskretnim trenucima tj. ][nhCn = . Da li su dobijene

vrednosti kompleksne ili realne to zavisi od osbine funkcije )( ωjeH .

Odredimo impulsni odziv datog sistema.

∫−

⋅ =⋅⋅⋅=π

π

ωω ωπ

deeHnh njj )(21][

=⋅+⋅+⋅+⋅= ∫∫∫∫ ⋅−

−

⋅−

−

⋅−

−

⋅4

3

2

1

1

2

3

4

1211

211

211

21 c

c

c

c

c

c

c

c

dededede njnjnjnjω

ω

ωω

ω

ωω

ω

ωω

ω

ω ωπ

ωπ

ωπ

ωπ

=

−+−+−+−⋅=⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅−⋅−

jnee

jnee

jnee

jnee njnjnjnjnjnjnjnj cccccccc 34122143

21 ωωωωωωωω

π

( ) ( ) ( ) ( )=

⋅⋅

−⋅

⋅+

⋅⋅

−⋅

⋅=

nn

nn

nn

nn cccc

πω

πω

πω

πω 3412 sinsinsinsin

( ) ( ) ( ) ( )

≠⋅

⋅−

⋅⋅

+⋅

⋅−

⋅⋅

=−+−=

0;sinsinsinsin

0;

3412

3412

nn

nn

nn

nn

n

n

cccc

cccc

πω

πω

πω

πω

πω

πω

πω

πω

.



Kao i u predhodnom zadatku impulsni odziv sistema je beskonačnog trajanja. Ako se odziv ograniči na

21−= NL tačaka simetrično raspoređenih oko tačke 0=n , tada se dobija aproksimativna varijanta tražene

prenosne funkcije. Zaključak u vezi aproksimacije kojeg smo izveli u predhodnom primeru važi i za ovajslučaj. Zbog slabe konvergencije Furijeovih redova u spektralnom domenu mogu da se uoče oscilacionepojave. Te pojave su poznate pod nazivom Gibsove oscilacije.

Na slikama su prikazane ampitudske i fazne karakteristike prenosne funkcije za dužine odziva100;50;10=N tačaka respektivno.

Zadatak 4.

Projektovati nerekurzivni visokopropusni filtar sa specifikacijama

≤Ω≤≤Ω

=Ωsecsec

sec

0.55.2;15.2;0

)(radrad

rad

jH

ako je kružna učestanost uzorkovanja sec10 rads =Ω i ako je zahtevana dužina impulsnog odziva 21=N . U

projektovanju primeniti metodu prozoriranja.

Rešenje:

Za zadatu kružnu učestanost uzorkovanja nalazimo da je perioda uzorkovanja jednaka 628.02 =Ω

=s

sT π.

Ako se impulsni odziv uzorkuje periodom uzorkovanja sT tada se granične kružne učestanosti preslikavaju u

diskretne (normalizovane) učestanosti po izrazu radTs

s ΩΩ⋅=⋅Ω= πω 2 . Odavde onda diskretna

prenosna funkcija mora da zadovolji sledeće specifikacije

≤≤

≤=

πωπ

πωω

2;1

2;0

)( jeH .



Odredimo impulsni odziv traženog sistema.

∫−

⋅ =⋅⋅⋅=π

π

ωω ωπ

deeHnh njj )(21][

=

−+−⋅=⋅+⋅=

⋅⋅⋅−⋅−

⋅

−

−

⋅ ∫∫ jnee

jneedede

njnjnjnj

njnj22

2

2

211

211

21

πππ

ππ

π

ω

π

π

ω

πω

πω

π

( )

≠⋅

⋅

−

=

=⋅

⋅

−⋅⋅=

0;2sin

0;5.02

sinsin

nn

n

n

n

n

nn

π

ππ

π

ππ

.

Kako traženo rešenje mora biti filtar sa konačnim impulsnim odzivom, mora da se primeni prozoriranje.

Ograničenje dužine impulsnog odziva primenom jedinične prozorske funkcije.

Jedinična prozorska funkcija je definisana izrazom

=−≤=

drugde

Nnnw;0

1021;1][ .

Vremenski oblik i frekvencijske karakteristike ove funkcije su prikazane na slici.

Željeni filtar se dobija tako što se neograničen impulsni odziv izmnoži sa prozorskom funkcijom tj.

][][][ nwnhnhFIR ⋅= .



Rezultat prozoriranja na spektar signala je prikazano na slici.

Ograničenje dužine impulsnog odziva primenom Hanove prozorske funkcije.

Hanova prozorska funkcija je definisana izrazom

≤

⋅⋅+=

−≤

⋅

−⋅+=

drugde

nn

drugde

NnnNnw

;0

10;202cos5.05.0

;021;

12cos5.05.0][

ππ

Vremenski oblik i frekvencijske karakteristike ove funkcije su prikazana na slici.





Rezultat prozoriranja je prikazano na slici.

Ograničenje dužine impulsnog odziva primenom Hamingove prozorske funkcije.

Hamingova prozorska funkcija je definisana izrazom

≤

⋅⋅+=

−≤

⋅

−⋅+=

drugde

nn

drugde

NnnNnw

;0

10;202cos46.054.0

;021;

12cos46.054.0][

ππ







Ograničenje dužine impulsnog odziva primenom Blekmanove prozorske funkcije.

Blekmanova prozorska funkcija je definisana izrazom

−≤

⋅

−⋅+

⋅

−⋅+=

drugde

NnnN

nNnw

;021;

14cos08.0

12cos5.042.0][

ππ.

Konkretno za ovaj primer prozorska funkcija je

≤

⋅⋅+

⋅⋅+=

drugde

nnnnw;0

10;204cos08.0

202cos5.042.0][

ππ.







Zadatak 5.

Projektovati nerekurzivni filtar propusnika opsega sa sledećim specifikacijama

≤Ω<≤Ω≤

<Ω=Ω

sec

secsec

sec

1000600;0600400;1

400;0)(

rad

radrad

rad

jH .

Primeniti Hanovu prozorsku funkciju ako je sec2000 rads =Ω i 21=N .



Rešenje:

Za datu brzinu uzorkovanja dobijamo da diskretni filtar mora da zadovolji sledeće uslove

≤<

≤≤

<

=

πωπ

πωπ

πω

ω

53;0

53

52;1

52;0

)( jeH .

Impulsni odziv filtra će tada biti

∫−

⋅ =⋅⋅⋅=π

π

ωω ωπ

deeHnh njj )(21][

=

−+−⋅=⋅+⋅=

⋅⋅⋅−⋅−

⋅

−

−

⋅ ∫∫ jnee

jneedede

njnjnjnj

njnj5

25

35

35

25

3

52

52

53 2

11211

21

πππππ

π

ω

π

π

ω

πω

πω

π

≠⋅

⋅

−⋅

⋅

=

=⋅

⋅

−⋅

⋅

=

0;52sin

53sin

0;51

52sin

53sin

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

π

π

π

ππ

π

π

π

.

Primenom Hanove prozorske funkcije

≤

⋅⋅+=

drugde

nnnw;0

10;202cos5.05.0][π

,

impulsni odziv diskretnog sistema će biti ][][][ nwnhnhFIR ⋅= koja je prikazana na slici.



Amplitudska i fazna karakteristika projektovanog diskretnog sistema je prikazana na slici.

Zadatak 6.

Projektovati nerekurzivni filtar nepropusnika opsega sa sledećim specifikacijama

≤Ω<≤Ω≤

<Ω=Ω

sec

secsec

sec

1000700;1700300;0

300;1)(

rad

radrad

rad

jH .

Primeniti Hamingovu prozorsku funkciju ako je sec2000 rads =Ω i 21=N .



Rešenje:

Za datu brzinu uzorkovanja dobijamo da diskretni filtar mora da zadovolji sledeće uslove

≤≤

<<

≤

=

πωπ

πωπ

πω

ω

107;1

107

103;0

103;1

)( jeH .

Impulsni odziv filtra će tada biti

∫−

⋅ =⋅⋅⋅=π

π

ωω ωπ

deeHnh njj )(21][

=⋅+⋅+⋅= ∫∫∫ ⋅

−

⋅

−

−

⋅π

π

ω

π

π

ω

π

π

ω ωπ

ωπ

ωπ

107

103

103

107

1211

211

21 dedede njnjnj

( )n

nn

n

n

n

⋅⋅+

⋅

⋅

−⋅

⋅

=ππ

π

π

π

πsin10

7sin103sin

.

Primenom Hamingove prozorske funkcije

≤

⋅⋅+=

drugde

nnnw;0

10;202cos46.054.0][π

,

impulsni odziv diskretnog sistema će biti ][][][ nwnhnhFIR ⋅= koja je prikazana na slici.



Amplitudska i fazna karakteristika projektovanog diskretnog sistema je prikazana na slici.

Zadatak 7.

Digitalni filtar ima periodičan spektar. Analitički opis spektra u njegovoj osnovnoj periodi je

≤≤+

≤≤−−=

πωπω

ωππω

ω

0;

0;)( jeH .

Projektovati nerekurzivni filtar primenom jedinične, Hanove i Hamingove prozorske funkcije za 21=N .

Rešenje:

Kako je prenosna funkcija periodična primenićemo metodu razvoja u Furijeov red. U predhodnim primerimasmo već ukazali na činjenicu da je razvoj u Furierov red zapravo inverzna Furijeova transformacijadiskretnog signala (IFTD). Na osnovu toga impulsni odziv će tada biti



∫−

⋅ =⋅⋅⋅=π

π

ωω ωπ

deeHnh njj )(21][

=⋅

+⋅

−= ∫∫ ⋅

−

⋅π

ω

π

ω ωπω

πω

πω

π 0

0

21

21 dede njnj

( )

≠

⋅

⋅

⋅−

=

=

⋅

⋅

⋅−⋅⋅=

0;

2

2sin

41

0;43

2

2sin

41sin

2

2

nn

n

n

n

n

nn

π

ππ

π

ππ

.

Uticaj pojedinih prozorskih funkcija na amplitudsku i faznu karakteristiku su prikazane na slici respektivno.

Zadatak 8.

Primenom Kajzerove metode projektovati nerekurzivni niskopropusni filtar sa sledećim specifikacijama:

sec20;1.0 radpp dB =Ω≤α ,

sec30;44 radnn dB =Ω≥α ,

sec100 rads =Ω .



Rešenje:

Kajzerova metoda projektovanja nerekurzivnih filtara se sastoji iz više koraka.

Korak 1. Određivanje impulsnog odziva idealnog filtra.

Za graničnu kružnu učestanost idealnog NF filtra se uzima sredina prelazne oblasti tj.

sec252

radnpg =

Ω+Ω=Ω .

Ova kružna učestanost se preslikava u normalizovanu učestanost

22 ππω =

ΩΩ

=s

gg .

Prenosna funkcija i impulsni odziv idealnog NF filtra je tada definisana

n

ndenh

drugdeeH njj

⋅

⋅

=⋅=⇒

≤= ∫

−

⋅

π

π

ωπω

π

π

ωω 2sin

][;0

2;1)(

2

2

Korak 2. Određivanje dozvoljenog odstupnja frekventne karakteristike.

( ) 3213

05.0

05.0

2

34405.005.01

1075.5,min1075.5

110110

1031.61010−

−⋅−

⋅−

−⋅−⋅−

⋅==⇒

⋅=+−=

⋅===δδδ

δ

δ

α

α

α

p

p

n

.

Korak 3. Određivanje minimalnog slabljenja po novoj vrednosti odstupanja.

( ) dBn 8.44log20 =⋅−= δα .

Korak 4. Izbor vrednosti koeficijenta 'α

( ) ( )( )

>−⋅≤<−⋅+−⋅

≤=

50;7.81102.05021;2107886.0215842.0

21;0' 4.0

nn

nnn

n

ααααα

αα .

Iz ove formule nalazimo da je ( ) ( ) 952.3218.4407886.0218.445842.0' 4.0 =−⋅+−⋅=α .

Korak 5. Izbor vrednosti koeficijenta D i određivanje dužine impulsnog odziva N .

>−

≤= 21;

36.1495.7

21;9222.0

nn

nD α

αα

.

Odavde imamo da je 566.236.14

95.78.44 =−=D .



Dužina Kajzerove prozorske funkcije se određuje iz obrazca 66.261 =+Ω−Ω⋅Ω

≥pn

s DN iz kojeg onda sledi

da je potrebna dužina impulsnog odziva 27=N tj.

−≤⋅=

drugde

Nnnwnhnh oideaFIR

;021];[][][ ln .

Vrednosti Kajzerove prozorske funkcije se računaju pomoću Beselovih redova nulte vrste. Zbog složenostiproračuna ovde je nećemo dati niti izučavati, ali se obično primenjuju računarski algoritmi u rešavanju.

Zadatak 9.

Primenom Kajzerove metode projektovati nerekurzivni visokopropusni filtar sa sledećim specifikacijama:

sec3;3.0 radpp dB =Ω≤α ,

sec2;0.45 radnn dB =Ω≥α ,

sec10 rads =Ω .

Rešenje:


Za graničnu kružnu učestanost idealnog VF filtra se uzima sredina prelazne oblasti tj.

sec5.22

radnpg =

Ω+Ω=Ω .

Ova kružna učestanost se preslikava u normalizovanu učestanost

22 ππω =

ΩΩ

=s

gg .

Prenosna funkcija i impulsni odziv idealnog NF filtra je tada definisana

n

nnnheH j

⋅

⋅

−=⇒

<≤

≤=

π

π

δπωπ

πωω 2

sin][][

2;1

2;0

)( .


( ) 3213

05.0

05.0

2

34505.005.01

1062.5,min1026.17

110110

1062.51010−

−⋅−

⋅−

−⋅−⋅−

⋅==⇒

⋅=+−=

⋅===δδδ

δ

δ

α

α

α

p

p

n

.




( ) dBn 45log20 =⋅−= δα .

Korak 4. Izbor vrednosti koeficijenta 'α

( ) ( )( )

>−⋅≤<−⋅+−⋅

≤=

50;7.81102.05021;2107886.0215842.0

21;0' 4.0

nn

nnn

n

ααααα

αα .

Iz ove formule nalazimo da je ( ) ( ) 97.3214507886.021455842.0' 4.0 =−⋅+−⋅=α .

Korak 5. Izbor vrednosti koeficijenta D i određivanje dužine impulsnog odziva N .

>−

≤= 21;

36.1495.7

21;9222.0

nn

nD α

αα

.

Odavde imamo da je 58.236.14

95.745 =−=D .

Dužina Kajzerove prozorske funkcije se određuje iz obrazca 8.251=+Ω−Ω⋅Ω

≥pn

s DN iz kojeg onda sledi

da je potrebna dužina impulsnog odziva 26=N tj.

−≤⋅=

drugde

Nnnwnhnh oideaFIR

;021];[][][ ln .

Zadatak 10.

Primenom Kajzerove metode projektovati nerekurzivni filtar propusnika opsega sa sledećim specifikacijama:

sec2sec1 60,40;5.0 radp

radpp dB =Ω=Ω≤α ,

sec2sec1 80,20;0.35 radn

radnn dB =Ω=Ω≥α ,

sec200 rads =Ω .

Rešenje:

Pre nego što bi pristupili koracima rešavanja problema treba da se odredi potrebna širina prelazne oblasti poizrazu

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] [ ] sec2211 2020,20min6080,2040min,min radpnnptB ==−−=Ω−ΩΩ−Ω= .



Odavde su tada granične kružne učestanosti idealnog filtra propusnika oopsega

sec11 3010402

radtpg

B=−=−Ω=Ω ,

sec22 7010602

radtpg

B=+=+Ω=Ω .

Za datu brzinu uzorkovanja ove kružne učestanosti se preslikavaju u 103

1πω =g ,

107

2πω =g .


Prenosna funkcija i impulsni odziv idealnog PO filtra je tada definisana

n

n

n

ndedenh

drugdeeH njnjj

⋅

⋅

−⋅

⋅

=⋅+⋅=⇒

≤≤= ∫∫

−

⋅

−

−

⋅

π

π

π

π

ωωπωπ

π

π

ω

π

π

ωω 103sin

107sin

][;0

107

103;1)(

107

103

103

107

.


( )

−

−⋅−

⋅−

−⋅−⋅−

⋅==⇒

⋅=+−=

⋅===δδδ

δ

δ α

.


( ) =⋅−= δα .

Korak 4. Izbor vrednosti koeficijenta α

( ) ( )( )

>−⋅≤<−⋅+−⋅

≤=

ααααα

αα .

Iz ove formule nalazimo da je ( ) ( ) =−⋅+−⋅=α .

Korak 5. Izbor vrednosti koeficijenta i određivanje dužine impulsnog odziva .

>−

≤=

αα

α.

Odavde imamo da je

=−= .

Dužina Kajzerove prozorske funkcije se određuje iz obrazca =+⋅Ω

≥

iz kojeg onda sledi da

je potrebna dužina impulsnog odziva = tj.

−≤⋅=

.



Zadatak 11.

Primenom Kajzerove metode projektovati nerekurzivni filtar nepropusnika opsega sa sledećimspecifikacijama:

=Ω=Ω≤α ,

=Ω=Ω≥α ,

=Ω .

Rešenje:

Pre nego što bi pristupili koracima rešavanja problema treba da se odredi potrebna širina prelazne oblasti poizrazu

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] [ ] σεχ2211 10001000,1000µιν30004000,10002000µιν,µιν ραπννπτΒ ==−−=Ω−ΩΩ−Ω= .

Odavde su tada granične kružne učestanosti idealnog filtra propusnika oopsega

,

.

Za datu brzinu uzorkovanja ove kružne učestanosti se preslikavaju u

,

.


Prenosna funkcija i impulsni odziv idealnog NO filtra je tada definisana

.


.


.



Korak 4. Izbor vrednosti koeficijenta

!

.

Iz ove formule nalazimo da je .

Korak 5. Izbor vrednosti koeficijenta " i određivanje dužine impulsnog odziva # .

$!

%

%

"

.

Odavde imamo da je $

$!

%

" .

Dužina Kajzerove prozorske funkcije se određuje iz obrazca iz kojeg onda sledi da

je potrebna dužina impulsnog odziva # tj.

&'(

#

)

)*(

+,-

././

./ .

Reference Procesiranje Signala

144

Reference

1. A.V. Oppenheim, R.W. Schafer : Discrete-Time Signal Processing

2. M.V. Popović : Digitalna Obrada Signala

3. A. Antoniou : Digital Filters: Analysis and Design

4. A. Antoniou : D-Filter (Program za analizu i projektovanje digitalnih filtara)

5. M.J.T. Smith, R.M. Mersereau : Introduction to Digital Signal Processing: A Computer LaboratoryTextbook

digitalna_obrada_signala__zbirka_

Documents