diseño experimental con sas

CIENTIFICA

Tercera Edición

Universidad Mayor de San Simon-Cochabamba-Bolivia

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1 APUNTES DE DISEÑO EXPERIMENTAL

Universidad Mayor de San Simon Cochabamba-Bolivia Página 1

CONTENIDO PAGINAS

Capítulo 1 Introducción…………………………………………………………………………………………………….2

Capítulo 2 DCA, Diseño completamente al azar……………………………………………........................10

Capítulo 3 DCA_F, Diseño factorial…………………………………………………………………………............18

Capítulo 4 DBCA, Diseño en bloques completos al azar………………………………………….............31

Capítulo 5 DBCA_F, Diseño en bloques completos al azar factorial………………………………….43

Capítulo 6 DCL, Diseño en cuadrado latino…………………………………………………….......................58

Capítulo 7 Transformaciones de datos……………………………………………………………….................68

Capítulo 8 Diseño factorial 2ⁿ……………………………………………………………………………..................84

Capítulo 9 Diseño fraccional………………………………………………………............................................102

Capítulo 10 DB, Diseño binomial…………………………………………………………….............................107

Capítulo 11 DM, Diseño multinomial………………………………………………………...........................115

Capítulo 12 RM, Regresión múltiple…………………………………………………………….......................123

Capítulo 13 DBI, Diseño de bloques incompletos…………………………………………………………..133

Capítulo 14 Bibliografía, Tablas……………………………...…………………………………………….146-159

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Diseño experimental: es la aplicación o planificación de un experimento con base científica y donde un método

estadístico forma parte integrante del diseño experimental. Se dice que nada contribuye más a la angustia de un

estadístico que el investigador ingenuo que obtiene datos con la convicción alegre de que un método estadístico

estará automáticamente disponible para analizarlos.

Una investigación debe ser útil a un entorno a un grupo humano a una sociedad, de tal manera que mejore sus

condiciones de vida o que mejore sus conocimientos.

Tener conocimiento del problema que se está investigando:

1. Para no investigar problemas ya investigados.

2. Para definir las posibilidades de llevar a cabo la investigación.

3. Para dimensionar los recursos con que se dispone:

Recursos humanos

Materiales y equipos

Recursos financieros

En un problema de investigación el más importante es:

1. Objetivos

2. Factores (variables)

Si realizamos pruebas de hipótesis a efectos aleatorios (aplazados).

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La prueba de hipótesis solamente se realiza a efectos fijos:

1. Tipo de medicamento

2. Peso

Efecto aleatorio: no controlable.

Efecto fijo: si se controla.

Formulación de los objetivos: El objetivo es la declaración del problema de investigación en términos claros y

concretos, de tal manera que sea experimentalmente alcanzado y estadísticamente probado.

Los objetivos se formulan como:

1. Una pregunta a ser respondida; Ejemplo: cuales son los efectos del N₂ y P en la producción del microorganismo

picchia spartinae en la producción de semibatch?

2. Como una hipótesis va a ser aprobada:

Ho: la producción del MO no está afectada por las fuentes de N₂ y P.

Ha: la producción del MO está afectada por las fuentes de N₂ y P.

3. Como efectos a ser estimados:

Ejemplo: determinar los efectos del N₂ y P en la producción de semibatch del MO.

Los objetivos deben ser definidos de forma clara y concreta, no debe dar lugar a dudas.

Ejemplo: como el transporte afecta a la contaminación?

El tipo de contaminante

El tipo de transporte

Tampoco especifica el lugar

Reformulado: como el transporte pesado afecta a la contaminación con compuestos sulfurados en la ciudad de

Cochabamba?

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Elementos de un diseño experimental:

Tratamiento: Es el procedimiento seleccionado por el investigador cuyo efecto sobre la variable de respuesta va a ser

medido.

Ejemplo: Dosis de un químico

Concentración de un herbicida

Velocidad de agitación en un reactor

Factor: Es el conjunto de tratamientos de un solo tipo.

Ejemplo: Factor dieta (todas las dietas)

Factor variedades (todas son variedades)

Factor insecticida (todos son insecticidas)

Factor temperatura (todas son temperaturas)

Efectos aleatorios= No se hace prueba de hipótesis.

Efectos fijos= Si se hace prueba de hipótesis.

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Nivel de un factor: Es un factor en particular Ejemplo:

Factor dosis nivel del factor

3 dosis D1, D2, D3= 3 niveles

Factor variedades nivel del factor

2 variedades V1, V2= 2 niveles

Factor temperatura nivel del factor

3 temperaturas T1, T2, T3= 3 niveles

Selección de tratamientos: Definir claramente cada tratamiento y entender el papel de cada tratamiento jugara para

alcanzar los objetivos de la investigación, ejemplo:

Determinar la fuente de nitrógeno y la concentración apropiada para determinar el rendimiento de un cultivo de

levaduras del genero Saccharomyces ellipsoideus en un mosto de manzanas de 15⁰ brix cuyas fuentes de nitrógeno

son NH₄CL y (NH₄)₂SO₄ con concentraciones de 1, 2 y 3%.

Factor cuantitativo: Son aquellos cuyos valores pueden ser clasificados por orden de magnitud y generalmente

expresan cantidades medibles con algún instrumento y no tienen diferenciación natural, ejemplo: Se miden con

instrumento y se ordena según su magnitud

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Su interés es determinar la tendencia lineal o cuadrática de la variable de respuesta.

Factor cualitativo: Son aquellos cuyos valores no están ordenados por orden de magnitud y tienen diferenciación

natural.

Su interés radica en estimar medias, diferencia de medias, grafico de barras o líneas.

Unidad experimental (ue): Es la entidad más pequeña donde se aplica un tratamiento, ejemplo: un reactor, una caja

Petri, una maceta, una rata albina, un pollo, un individuo, una parcela.

Para medir el efecto del tratamiento de la unidad experimental debe ser lo más homogéneo posible, ejemplo: Cajas

Petri con el mismo medio de cultivo, macetas con el mismo sustrato.

Unidad de muestreo (um): Es la entidad más pequeña donde se realiza la medición de la variable de respuesta, en

muchos casos es la misma unidad experimental.

Aleatorización: Para determinar los efectos de cada tratamiento estos tratamientos deben ser asignados a las

unidades experimentales de forma aleatoria de tal manera que cada unidad experimental tenga la misma probabilidad

de recibir cualquiera de los tratamientos.

Repetición: Es el número de veces que un mismo tratamiento se asigna a diferentes unidades experimentales, son

importantes para estimar la varianza del error experimental.

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Los errores experimentales se pueden deber a:

1. Uso de instrumentos inexactos.

2. Errores en las mediciones.

3. A la variación natural de las unidades experimentales, la que no llega a ser explicada por los tratamientos

asignados.

Bloqueo o agrupamiento de unidades experimentales homogéneas: Cuando las unidades experimentales varían

significativamente entonces las unidades experimentales deben agruparse o formar bloques de tal manera que las

unidades experimentales dentro del bloque son homogéneas y entre bloques las unidades experimentales son

diferentes.

Efecto fijo: Son los efectos o niveles de un factor que uno escoge o fija anticipadamente, ejemplo:

Cuantitativo: Regresión lineal, regresión cuadrática.

Cualitativo: Medias, comparación de medias, grafico de barras.

Efecto aleatorio: Son los efectos o niveles del factor que se escogen al azar o aleatoriamente de una población grande

o de niveles, ejemplo:

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El proceso del diseño experimental.

El diseño de experimentos es un proceso en el cual el diseñar un experimento es solo un paso para cualquier

experimento, se siguen los siguientes pasos:

1. Determinar los objetivos del experimento: General y específico.

2. Determinar factores y la variable de respuesta.

3. Diseñar el experimento de tal manera de lograr los objetivos planteados.

4. Obtener los datos de la variable de respuesta.

5. Analizar los datos con ayuda del:

Modelo estadístico

Graficas

Estadística

6. Reportar los resultados de forma científica.

7. Diseñar un nuevo experimento.

8. Si un experimento es diseñado en su totalidad habría que suponer conocidas:

a) Que variables son las más importantes.

b) En que rango de valores hay que estudiar estas variables.

c) Con que modelos hay que analizarlos:

Lineal

Logarítmico

Reciproco, etc.

Todo lo anterior destaca la conveniencia de realizar una secuencia de experimentos de tamaño moderado.

Regla: Utilizar el 25% del presupuesto total.

Factores cualitativos: Se clasifican en: Nominales y ordinales.

Factor cualitativo nominal.

Son los que establecen una distribución de los objetos o individuos en categorías sin implicar orden entre ellas. Es

decir no son números, son nombres, ejemplo: clasificar individuos por:

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Factor cualitativo ordinal.

Son aquellos factores que agrupan a los objetos o individuos en categorías ordenadas para establecer relaciones

comparativas, es decir son susceptibles de orden pero no de medición cuantitativa. Ejemplo:

Clasificar el daño de una enfermedad midiéndola por la severidad de 0 a 3.

Para variables continuas cuantitativas.

Los datos de la variable de respuesta y los residuales deben tener una distribución normal como:

Los efectos son independientes.

La varianza de los residuales es constante.

¿Todas las variables tienen esos efectos?

Clasificar un grupo de individuos por su grado de instrucción: Clasificar un grupo de individuos por su hábito de fumar:

Analfabeto No fumadores

Primaria Fumadores leves

Secundaria Fumadores moderados

Superior Fumadores severos

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M1. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR O ALEATORIO (DCA):

El DCA se utiliza cuando todas las unidades experimentales (ue) son homogéneas. Ejemplo:

Macetas con el mismo sustrato.

Cajas Petri con el mismo medio de cultivo.

Una camada de hámster del mismo sexo.

Cada tratamiento es asignado a las ue de forma aleatoria con igual número de repeticiones o con diferente número de

repeticiones.

Las ue no se agrupan porque son homogéneas.

Cuando se considera un solo factor quiere decir que se trata de un comportamiento no estructurado, si el número de

factores es mayor o igual a dos quiere decir que se trata de un comportamiento estructurado. Ejemplo:

Determine los objetivos y los elementos del diseño experimental para el siguiente problema, los datos que se indican

en una tabla son contenidos de ácido ascórbico de duraznos maduros de 3 variedades cultivadas en la localidad de San

Benito todas las unidades fueron dadas en mg/100g:

1. Objetivo: Determinar el contenido de ácido ascórbico en las 3 variedades de duraznos.

2. Factores: 1 solo factor VARIEDAD con 3 niveles VAR1, VAR2, VAR3.

3. Variable de respuesta: Concentración de ácido ascórbico en mg/100g.

4. Unidad experimental: 1 parcela.

5. Unidad de muestreo: El durazno.

6. Repetición: 10 veces.

7. Bloqueo: No hay.

8. Modelo estadístico para DCA:

𝒀𝒊𝒋 = 𝝁 + 𝜻𝒊 + 𝜺𝒋𝒊

I= 1, 2,3 variedades.

J= 1,2…, 10 unidades experimentales/tratamiento.

Yĳ= Concentración de ácido ascórbico en la j-esima unidad experimental de la i-esima variedad de durazno.

μ= Media general.

ζᵢ= Efecto fijo de la i-esima variedad.

ξᴊ₍ᵢ₎= Efecto aleatorio de los residuales.

ξᴊ₍ᵢ₎˷NIID (0, σe2)

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𝑆𝐶𝑇 = 𝑆𝐶𝑡𝑟𝑡 + 𝑆𝐶𝑅𝑒𝑠𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑎𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒

𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠

Termino corrector (TC):

𝑟 = 𝑢𝑒; 𝑡 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

𝑇𝐶 =𝑌..

2

𝑟×𝑡=

186,432

10𝑥30= 1158,5382

∑ 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 = 𝑌𝑖.

54,76 = 𝑌1.

69,1462,53

186,43

= 𝑌2.

= 𝑌3.

= 𝑌..

Suma de cuadrados totales (SCT):

𝑆𝐶𝑇 = ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗2 − 𝑇𝐶 = (5,342 + 5,582 + 5,262 + ⋯+ 6,372) − 1158,5382 = 10,78194

𝑟=10

𝑗=1

𝑡=3

𝑖=1

Suma de cuadrados de tratamientos (SCtrt):

𝑆𝐶𝑡𝑟𝑡 = (1

𝑟∑𝑌𝑖.

2

𝑡=3

𝑖=1

) − 𝑇𝐶 = [1

10(54,762 + 69,142 + 62,532)] − 1158,5382 = 10,3616

Suma de cuadrados residuales (SCRes):

𝑆𝐶𝑅𝑒𝑠 = 𝑆𝐶𝑇 − 𝑆𝐶𝑡𝑟𝑡 = 10,78194 − 10,3616 = 0,4203

Análisis de varianza:

Cuadro ANVA:

FV GL SC CM= SC/GL E(CM) Fcal Pr>F

VARIEDADES t-1= 3-1=2 SCtrt= 10,3616CMtrt= SCtrt/(t-1)=

10,3616/2=5,1808

CMtrt/CMRes=

5,1808/0,01557

=332,74

0,0001=SAS

RESIDUALESt(r-1)

=3(10-1)=27SCRes=0,4203

CMRes=SCRes/t(r-1)

=0,4203/27=0,01557σe²

TOTALEStr-1=3x10-1

=29SCT=10,7819

t

σe²+Σζᵢ²/(t-1)

i=1

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9. Prueba de hipótesis para el factor variedad:

Ho: μvar1= μ var2= μ var3 → Significa que la conc. de ac. Ascórbico es la misma en las 3 variedades.

Ha: la conc. de ac. Ascórbico es diferente en al menos una de las 3 variedades.

Nivel significativo (NS): α=0,05

Estadístico de prueba (EP):

CMtrt

CMRes~F(α=0,05,t−1=2,Res=27)

Región de rechazo (RR de rechazo de la H₀):

Pr(F≥Fcal)<0,05→SRHo

Fcal>Ftablas → SRHo

332,74> F(α=0,05, t-1=2, Res=27) → SRHo

332,74>3,35→ SRHo

Cálculos y comparaciones (CC):


0,0001<0,05→SRHo

SAS ERR→SRHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se puede concluir que la concentración de ac. Ascórbico es diferente en al menos

una de las 3 variedades de durazno. ¿Cuál variedad?

Analizando el factor variedades de durazno:

Factor cualitativo: Comparación de medias y grafico de barras.

Ordenar de mayor a menor las medias de las 3 variedades:

Para probar que la conc. de ac. Ascórbico es diferente en al menos una de las tres variedades de durazno, realizamos

las pruebas de hipótesis: ojo los contrastes se calculan cuando no hay resultados del SAS y así poder hallar los

resultados de tablas.

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Comparación entre medias μvar2 y μvar3:

Ho: μvar2=μvar3 o C= (0) μvar1+ (1) μvar2+ (-1) μvar3=0→ Significa que la conc. de ac. Ascórbico de las variedades 2 y 3 es la

misma.

Ha: μvar2≠μvar3 o C ≠ 0→ Significa que la conc. de ac. Ascórbico de las variedades 2 y 3 son diferentes.

NS: α= 0,05 de cada 100 ensayos podemos fallar 5 ensayos.

EP: CMc

CMRes~F(α=0,05,t−1=1,Res=27)

RR: Pr(F≥Fcal)<0,05→SRHo o Fcal>Ftablas → SRHo

CC:

�� = (0)𝜇𝑣𝑎𝑟1 + (1)𝜇𝑣𝑎𝑟2 + (−1)𝜇𝑣𝑎𝑟3

�� = (1)(6,914) + (−1)(6,253) = 0,661

𝐶𝑀�� =��2

∑(𝜆𝑖)

2

𝑛𝑖

𝑡=3𝑖=1

=(0,661)2

(0)2

10+

(1)2

10+

(−1)2

10

= 2,1846

𝜆𝑖 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑛𝑖 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑒/𝑡𝑟𝑡

𝐹𝑐𝑎𝑙 =𝐶𝑀��

𝐶𝑀𝑅𝑒𝑠=

2,1846

0,01557

𝐹𝑐𝑎𝑙 = 140,31 = 𝐹𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑆𝐴𝑆


Pr(F≥140,31)<0,05→SRHo

0,0001<0,05→SRHo y se acepta la Ha.

Conclusión: Con 95% de seguridad se puede concluir que la conc. de ac. Ascórbico de la variedad 2 es diferente de la

variedad 3. ¿De qué manera es diferente?

μvar2>μvar3; La variedad 2 es superior en conc. de ac. Ascórbico (6,914-6,253)= 0,661mg/100g.

Comparación entre medias μvar3 y μvar1:

Ho: : μvar3=μvar1 o C= (-1) μvar1+ (0) μvar2+ (1) μvar3=0→ Significa que la conc. de ac. Ascórbico de las variedades 3 y 1 es la

misma.

Ha: μvar3≠μvar1 o C ≠ 0→ Significa que la conc. de ac. Ascórbico de las variedades 3 y 1 son diferentes.

NS: α= 0,05

EP: CMc

CMRes~F(α=0,05,t−1=1,Res=27)


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CC:

�� = (−1)𝜇𝑣𝑎𝑟1 + (0)𝜇𝑣𝑎𝑟2 + (1)𝜇𝑣𝑎𝑟3

�� = (−1)(5,476) + (1)(6,253) = 0,777

𝐶𝑀�� =��2

∑(𝜆𝑖)

2

𝑛𝑖

𝑡=3𝑖=1

=(0,777)2

(−1)2

10+

(0)2

10+

(1)2

10

= 3,0186

𝜆𝑖 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑛𝑖 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑒/𝑡𝑟𝑡

𝐹𝑐𝑎𝑙 =𝐶𝑀��

𝐶𝑀𝑅𝑒𝑠=

3,0186

0,01557

𝐹𝑐𝑎𝑙 = 193,9 = 𝐹𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑆𝐴𝑆


Pr(F≥193,9)<0,05→SRHo

0,0001<0,05→SRHo y se acepta la Ha.

Conclusión: Con 95% de seguridad se puede concluir que la conc. de ac. Ascórbico de la variedad 3 es diferente de la

variedad 1. ¿De qué manera es diferente?

μvar3>μvar1; La variedad 3 es superior en conc. de ac. Ascórbico (6,253-5,476)= 0,777mg/100g.

10. Conclusión final: μvar2>μvar3>μvar1; La variedad 2 es la mejor o la que contiene la mayor conc. de ac. Ascórbico de las

3 variedades de durazno.

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11. Programación en SAS:

Nota: en el programa SAS V8, no existe (,) solo funciona con (.)

Options ls=76 ps=56;

data pract1;

input var$ y;

cards;

var1 5.34

var1 5.58

var1 5.26

var1 5.47

var1 5.39

var1 5.50

var1 5.42

var1 5.47

var1 5.71

var1 5.62

var2 7.12

var2 6.89

var2 6.93

var2 6.82

var2 7.06

var2 6.80

var2 6.91

var2 6.76

var2 6.97

var2 6.88

var3 6.28

var3 6.01

var3 6.27

var3 6.15

var3 6.38

var3 6.40

var3 6.12

var3 6.24

var3 6.31

var3 6.37

;

proc glm;

class var;

model Y=var/ss3;

lsmeans var/pdiff;

contrast "var2-var3" var 0 1 -1;

contrast "var3-var1" var -1 0 1;

run;

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Resultados del SAS:

The SAS System 1

12:10 Thursday, April 21, 2013

The GLM Procedure

Class Level Information

Class Levels Values

var 3 var1 var2 var3

Number of Observations Read 30

Number of Observations Used 30

The SAS System 2


The GLM Procedure

Dependent Variable: y

Sum of

Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F

Model 2 10.36164667 5.18082333 332.82 <.0001

Error 27 0.42029000 0.01556630

Corrected Total 29 10.78193667

R-Square Coeff Var Root MSE y Mean

0.961019 2.007697 0.124765 6.214333

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

var 2 10.36164667 5.18082333 332.82 <.0001

The SAS System 3


The GLM Procedure

Least Squares Means

LSMEAN

var y LSMEAN Number

var1 5.47600000 1

var2 6.91400000 2

var3 6.25300000 3

Least Squares Means for effect var

Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j)


i/j 1 2 3

1 <.0001 <.0001

2 <.0001 <.0001

3 <.0001 <.0001

NOTE: To ensure overall protection level, only probabilities associated

with pre-planned comparisons should be used.

The SAS System 4


The GLM Procedure


Contrast DF Contrast SS Mean Square F Value Pr > F

var2-var3 1 10.33922000 10.33922000 664.21 <.0001

var3-var1 1 2.18460500 2.18460500 140.34 <.0001

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12. Ejercicios propuestos:

1. Un ingeniero Químico investiga el tratamiento de aguas de YPFB uso tres métodos para eliminar el carbono

orgánico, los tres métodos usados en el experimento fueron:

a) Flotación en el aire (AF= Air Floating).

b) Separación con espuma (FS= Foam separation).

c) Cloración férrica clorada (FCC= Ferric chloric chloration).

La cantidad de carbono orgánico eliminado fueron los siguientes porcentajes:

2. Una investigación se realizó con la finalidad de evaluar la eficiencia de cinco cepas de Rhizobium Trifolii en la

fijación de nitrógeno en el cultivo de trébol rojo. Cinco macetas aleatoriamente escogidas de un total de treinta con

sustrato homogéneo fueron sembradas con semilla inoculada con cada una de las cepas por cada maceta se tuvo cinco

plantas después de la floración la cantidad de nitrógeno en miligramos fue medida en cada maceta tomando la planta

ubicada en la parte central las cantidades de nitrógeno halladas fueron las siguientes:

a) Cuáles son los elementos del diseño experimental.

b) Defina un modelo estadístico para analizar los datos de acuerdo a los objetivos.

c) Utilizando los resultados del SAS plantee y pruebe las hipótesis necesarias para identificar la cepa más eficiente en

la fijación de nitrógeno.

d) Indique el programa del SAS que se ha utilizado para utilizar los datos.

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M2. Tratamientos estructurados o diseño factorial (DCA_F):

Se considera un tratamiento estructurado cuando se consideran en el experimento dos o más factores.

La finalidad principal es determinar:

a) Los efectos de los niveles de cada uno de los factores que se conocen como efectos principales.

b) Los efectos combinados de los niveles de los factores que se conocen como efectos de interacción.

Los efectos de interacción ocurren cuando los efectos de los niveles de un factor son modificados por los niveles de

otro factor u otros factores.

d1=d2 y m1=m2→no existe interacción. d1≠d2 y m1≠m2→ existe interacción.

Tratamientos: Son las combinaciones de los niveles de dos factores Ejemplo: A con 2 niveles y B con 3 niveles:

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Modelo estadístico: 𝒀𝒊𝒋𝒌 = 𝝁 + 𝜶𝒊 + 𝜷𝒋 + 𝜸𝒊𝒋 + 𝜺𝒊𝒋𝒌

i= 1,2,…a niveles del factor A; j= 1,2,…b niveles del factor B.

k= 1,2,…r unidades experimentales o tratamientos.

Yijk= Valor observado de una variable de respuesta en la k-esima unidad experimental que recibe la combinación del i-

esimo nivel del factor A y el j-esimo nivel del factor B.

μ= media general.

αi= Efecto fijo del i-esimo nivel del factor A.

βi= Efecto fijo del j-esimo nivel del factor B.

Ƴij= Efecto fijo de la interacción entre el i-esimo nivel del factor A y el j-esimo nivel del factor B.

Ԑijk= Efecto aleatorio de los residuales con: Ԑijk ~NIID(0,σe²).

Efecto fijo x efecto fijo= efecto fijo

Efecto fijo x efecto aleatorio= efecto aleatorio

Cuadro de ANVA:

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Balanceados: Igual al número de repeticiones.

No balanceados: Diferente al número de repeticiones.

Nunca se hace prueba de hipótesis en aleatorios.

Cuando los niveles de un factor no son los mismos con los niveles del otro factor se trata de un factor anidado donde

se dice que se está anidando el factor de variedad.

Las variedades son las mismas, factor cruzado donde se producen efectos cruzados cuando cada uno de los niveles de

un factor se combinan con los mismos niveles del otro factor.

Ejemplo:

Un estudiante de ingeniería de alimentos estudio la estabilidad de la vitamina C en el jugo de naranja de tres industrias

diferentes (A, B y C) congelado y almacenado a diferentes tiempos en un refrigerador para tal efecto doce latas de

jugo de naranja de 12 onzas fueron aleatoriamente escogidas de cada industria y fueron sometidos a diferentes

tiempos de almacenamiento (0, 3, 6) días, después de cada tratamiento se determinó el contenido de ac. Ascórbico en

(mg/L).

a) Definir el modelo estadístico.

b) Construir el cuadro de ANVA.

c) Realizar las hipótesis necesarias a fin de alcanzar el objetivo de la investigación.

Los resultados obtenidos son los siguientes:

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2 factores: Industria es un factor cualitativo entonces se realiza diferencia de medias y grafico de barras.

Tiempo de almacenamiento es un factor cuantitativo entonces se realza regresión lineal y cuadrática se necesita 3

puntos como mínimo.

1. Objetivo: Determinar el contenido de ácido ascórbico (mg/l).

2. Factores: 2 factores INDUSTRIA (A, B, C) es cualitativo, tiempo de almacenamiento (0, 3, 6) es cuantitativo.

3. Variable de respuesta: Concentración de ácido ascórbico en mg/l.

4. Unidad experimental: 1 lata de jugo de naranja de 12 onzas.

5. Unidad de muestreo: 1 lata de jugo de naranja de 12 onzas.

6. Repetición: 4 veces/trt.

7. Bloqueo: No hay por qué las latas son homogéneas 12 onzas, si fueran diferentes se bloquearían.

8. Modelo estadístico para DCA_factorial:

𝒀𝒊𝒋𝒌 = 𝝁 + 𝜶𝒊 + 𝜷𝒋 + 𝜸𝒊𝒋 + 𝜺𝒊𝒋𝒌

i: 1, 2, 3,…, industrias (A, B, C).

j: 1, 2, 3,…, niveles de tiempo de almacenamiento (0, 3, 6).

k: 1, 2, 3, 4 ue(latas)/trt.

Yijk= Conc de ac. Ascórbico observado en la k-esima lata de la i-esima industria y almacenada en el j-esimo tiempo de

almacenamiento.

μ= media general.

αi= Efecto fijo de la i-esima industria.

βi= Efecto fijo del j-esimo tiempo de almacenamiento.

Ƴij= Efecto fijo de la interacción entre la i-esima industria y el j-esimo tiempo de almacenamiento.

Ԑijk= Efecto aleatorio de los residuales con: Ԑijk ~NIID(0,σe²).

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𝑇𝐶 =𝑌…

2

𝑎𝑥𝑏𝑥𝑐=

(1732,3)2

3𝑥3𝑥4= 83357,3136


𝑆𝐶𝑇 = ∑ ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗𝑘2 − 𝑇𝐶 = 52,62 + 54,22 + 49,82 + 46,52 + 49,42 + ⋯+ 48,12 … − 83357,3136 = 478,3964

𝑟=4

𝑘=1

𝑏=3

𝑗=1

𝑎=3

𝑖=1

Suma de cuadrados para el factor industrias (SCI):

𝑆𝐶𝐼 =1

𝑏𝑥𝑟∑ 𝑌𝑖..

2

𝑎=3

𝑖=1

− 𝑇𝐶 =1

3𝑥4(582,22 + 560,12 + 5402) − 83357,3136 = 40,0906

Suma de cuadrados para el factor tiempo de almacenamiento (SCt):

𝑆𝐶𝑡 =1

𝑎𝑥𝑟∑ 𝑌.𝑗.

2

𝑏=3

𝑗=1

− 𝑇𝐶 =1

3𝑥4(6152 + 566,62 + 550,72) − 83357,3136 = 186,9406

Suma de cuadrados de la interacción entre los factores industria y tiempo (SCIt):

𝑆𝐶𝐼𝑡 =1

𝑟∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗.

2 − 𝑆𝐶𝐼 − 𝑆𝐶𝑡 − 𝑇𝐶

𝑏=3

𝑗=1

𝑎=3

𝑖=1

𝑆𝐶𝐼𝑡 =1

4(203,12 + 194,62 + 184,52 + ⋯ + 187,32) − 40,0906 − 186,9406 − 83357,3136 = 13,6577

Suma de cuadrados de los residuales (SCR):

𝑆𝐶𝑅 = 𝑆𝐶𝑇 − 𝑆𝐶𝐼 − 𝑆𝐶𝑡 − 𝑆𝐶𝐼𝑡 𝑆𝐶𝑅 = 478,3964 − 40,0906 − 186,9406 − 13,6577 = 237,7075

Cuadro de ANVA:

FV GL SC CM=SC/GL Fcal= CM/CMRes Pr>Fcal

INDUSTRIA a-1=3-1=2 40,09 20,045 2,28 0,122

TIEMPO b-1=3-1=2 186,94 93,47 10,62 0,0004

INDUSTRIAXTIEMPO(a-1)(b-1)

2x2=413,66 3,415 0,39 0,8154

RESIDUALES

ab(r-1)

3x3(4-1)

27

237,71 8,804

Total

abr-1

(3x3x4)-1

35

478,4

NO COPIA

R



Prueba de hipótesis de efectos principales: Industrias, cualitativo

Ho: μA=μB =μC → Significa que la conc. de ac. Ascórbico es la misma en las tres industrias.

Ha: Significa que la conc. de ac. Ascórbico es diferente en al menos una de las tres industrias.

NS: α= 0,05

EP: CMI

CMRes~F(α=0,05,a−1=2,Res=27)


CC: Pr(F≥2,28)<0,05→SRHo

0,122>0,05→SAHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se puede concluir indicando que la concentración de ácido ascórbico es el mismo

en las 3 industrias.

Prueba de hipótesis de efectos principales: Tiempo de almacenamiento, cuantitativo

Ho: μ0=μ3 =μ6 → Significa que la conc. de ac. Ascórbico es la misma con los tres niveles de tiempo de almacenamiento.

Ha: Significa que la conc. de ac. Ascórbico es diferente en al menos un nivel del tiempo de almacenamiento.

NS: α= 0,05

EP: CMt

CMRes~F(α=0,05,b−1=2,Res=27)

RR: Pr(F≥Fcal)<0,05→SRHo o Fcal>Ftablas→ SRHo

CC: Pr(F≥10,62)<0,05→SRHo

0,0004<0,05→SRHo

Fcal>Ftablas→ SRHo

10,62>3,35→ SRHo

Conclusión: Con un 95% de seguridad se puede afirmar que la conc. de ac. Ascórbico es diferente en al menos un nivel

del tiempo de almacenamiento. ¿De qué manera es diferente?

Regresión lineal RL y regresión cuadrática RC, porque es un factor cuantitativo.

NO COPIA

R



Tiempo Media

0 51,20

3 47,217

6 45,89

Con el SAS se obtiene:

Numero de niveles igual al número de coeficientes: Tiempo igual a 3 niveles 0, 3, 6, entonces uso lineal 3 y cuadrático

3.

Prueba de hipótesis para efecto lineal 3:

Ho: C= (-1) μ0+ (0) μ3+ (1) μ6=0→ Significa que la conc. de ac. Ascórbico no disminuye linealmente con el incremento

del tiempo de almacenamiento.

Ha: C ≠ 0→ Significa que la conc. de ac. Ascórbico disminuye linealmente con el incremento del tiempo de

almacenamiento.

NS: α= 0,05

EP: CMc

CMRes~F(α=0,05,DF=1,Res=27)


CC: Pr(F≥19,57l)<0,05→SRHo

0,0001<0,05→SRHo

Contrast DF Contrast SS Mean square Fcal Pr>Fcal

"t-lineal" 1 172,2704 172,2704 19,57 0,0001

"t-cuadrado" 1 14,67014 14,67014 1,67 0,2077

TABLA DE CONTRASTES SOLO PARA FACTORES CUANTITATIVOS

REGRESIONES LINEALES Y CUADRATICAS

LINEAL 3 C=(-1)μ1+(0)μ2+(1)μ3=0

CUADRATICO 3 C=(1)μ1+(-2)μ2+(1)μ3=0

LINEAL 4 C=(-3)μ1+(-1)μ2+(1)μ3+(3)μ4=0

CUADRATICO 4 C=(1)μ1+(-1)μ2+(-1)μ3+(1)μ4=0

LINEAL 5 C=(-2)μ1+(-1)μ2+(0)μ3+(1)μ4+(2)μ5=0

CUADRATICO 5 C=(2)μ1+(-1)μ2+(-2)μ3+(-1)μ4+(2)μ5=0

LINEAL 6 C=(-5)μ1+(-3)μ2+(-1)μ3+(1)μ4+(3)μ5+(5)μ6=0

CUADRATICO 6 C=(5)μ1+(-4)μ2+(-1)μ3+(1)μ4+(-4)μ5+(5)μ6=0

NO COPIA

R



Conclusión: Con 95% de seguridad se concluye que el contenido de ácido ascórbico disminuye linealmente con el

incremento en el tiempo de almacenamiento.

𝑌 = 𝑏𝑥 + 𝑎 [𝑐𝑜𝑛𝑐] = −0,885𝑡 + 50,757

[𝑚𝑔

𝑙] = −

𝑚𝑔𝑙

𝑑𝑖𝑎𝑠(𝑑𝑖𝑎𝑠) +

𝑚𝑔

𝑙

Por cada día adicional la concentración de ácido ascórbico disminuye en 0,885mg/L.

Prueba de hipótesis para efecto cuadrático 3:

Ho: C= (1) μ0+ (-2) μ3+ (1) μ6=0→ Significa que la conc. de ac. Ascórbico no disminuye cuadráticamente con el

incremento del tiempo de almacenamiento.

Ha: C ≠ 0→ Significa que la conc. de ac. Ascórbico disminuye cuadráticamente con el incremento del tiempo de

almacenamiento.

NS: α= 0,05

EP: CMc



CC: Pr(F≥1,67)<0,05→SRHo

0,2077>0,05→SAHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se concluye que el contenido de ácido ascórbico no disminuye cuadráticamente con

el incremento en el tiempo de almacenamiento.

Tiempo Media

0 51,20

3 47,217

6 45,89

NO COPIA

R



INDUSTRIA 0 3 6

A 50,8 48,6 46,1

B 50,5 44,8 44,7

C 52,48 48,2 46,8

TIEMPO(DIAS)

Prueba de hipótesis para efecto de interacción: Industria x tiempo

Ho: Ƴij=0 para Ɏ=0→ Significa que el efecto del tiempo de almacenamiento es el mismo para las 3 industrias.

Ha: Significa que el efecto del tiempo de almacenamiento es diferente en al menos el jugo de una industria.

NS: α= 0,05

EP:

CMIxt

CMRes~F(α=0,05,gl=4,Res=27)

Ftablas(α=0,05, m=4, Res=27)= 2,7278


CC: Pr(F≥0,39)<0,05→SRHo

0,8154>0,05→SAHo


0,39<2,7278→ SAHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se concluye que el efecto del tiempo de almacenamiento es el mismo para el jugo

de las 3 industrias.

NO COPIA

R



9. Programación en SAS: options ls=76 ps=56;

data ejem2;

input ind$ tiem y;

cards;

a 0 52.6

a 3 49.4

a 6 44.8

a 0 54.2

a 3 49.2

a 6 48.0

a 0 49.8

a 3 42.8

a 6 41.3

a 0 46.5

a 3 53.2

a 6 50.4

b 0 56.0

b 3 48.8

b 6 49.0

b 0 48.0

b 3 44.0

b 6 44.0

b 0 49.6

b 3 44.0

b 6 43.2

b 0 48.4

b 3 42.4

b 6 42.7

c 0 52.5

c 3 48.0

c 6 47.8

c 0 52.0

c 3 48.2

c 6 45.3

c 0 51.8

c 3 47.0

c 6 46.1

c 0 53.6

c 3 49.6

c 6 48.1

;

proc glm;

class ind tiem;

model Y=ind tiem ind*tiem/ss3;

lsmeans ind/pdiff;

lsmeans tiem/pdiff;

contrast "c-a" ind 1 -1 0;

contrast "a-b" ind 0 1 -1;

contrast "n-lineal" tiem -1 0 1;

contrast "n-cuadra" tiem 1 -2 1;

contrast "n-lineal" ind*tiem -1 0 1 1 0 -1 0 0 0 ;

run;

NO COPIA

R



Resultados del SAS:

The SAS System 1


The GLM Procedure


Class Levels Values

ind 3 a b c

tiem 3 0 3 6



The SAS System 2


The GLM Procedure


Sum of


Model 8 240.6888889 30.0861111 3.42 0.0077

Error 27 237.7075000 8.8039815



0.503116 6.166219 2.967150 48.11944


ind 2 40.0905556 20.0452778 2.28 0.1220

tiem 2 186.9405556 93.4702778 10.62 0.0004

ind*tiem 4 13.6577778 3.4144444 0.39 0.8154

The SAS System 3


The GLM Procedure

Least Squares Means

LSMEAN

ind y LSMEAN Number

a 48.5166667 1

b 46.6750000 2

c 49.1666667 3

Least Squares Means for effect ind



i/j 1 2 3

1 0.1400 0.5959

2 0.1400 0.0495

3 0.5959 0.0495



NO COPIA

R



The SAS System 4


The GLM Procedure

Least Squares Means

LSMEAN

tiem y LSMEAN Number

0 51.2500000 1

3 47.2166667 2

6 45.8916667 3

Least Squares Means for effect tiem



i/j 1 2 3

1 0.0025 0.0001

2 0.0025 0.2837

3 0.0001 0.2837



The SAS System 5


The GLM Procedure



c-a 1 20.3504167 20.3504167 2.31 0.1400

a-b 1 37.2504167 37.2504167 4.23 0.0495

n-lineal 1 172.2704167 172.2704167 19.57 0.0001

n-cuadra 1 14.6701389 14.6701389 1.67 0.2077

n-lineal 1 1.2656250 1.2656250 0.14 0.7075

NO COPIA

R




1. Un licenciado en Química estudia el problema del polvo en la ciudad de Santa Cruz puede ser resuelto con el uso

de coberturas vegetales establecidas en todas las áreas descubiertas, una buena cobertura puede ser alcanzada

escogiendo la especie vegetal y la fertilización apropiada con tal finalidad se investiga dos variedades de coberturas

vegetales, con cuatro niveles de nitrógeno (0, 30, 60, 90 kg/ha), bajo invernadero utilizando el DCA_Factorial cada una

de las variedades se sembraron en doce macetas y tres de estas fueron asignadas aleatoriamente a cada uno de los

niveles de nitrógeno, los resultados de porcentaje de cobertura fueron los siguientes:

a) Desarrolle el modelo estadístico.

b) Pruebe las hipótesis necesarias a fin de lograr el objetivo del experimento.

c) Indique el programa SAS con glm y mixed.

2. Para investigar el efecto del azufre y el nitrógeno sobre la productividad del trébol rojo un licenciado en Biología

condujo un experimento en un invernadero utilizando el DCA_Factorial con tres repeticiones los tratamientos fueron

constituidos por las combinaciones de cuatro niveles de azufre (0, 3, 6, 9 Lb/acre) y dos niveles de nitrógeno (0, 20

lb/acre), cada uno de estos tratamientos fueron aplicados aleatoriamente en tres macetas con un contenido uniforme

de sustrato los rendimientos de materia seca expresados en (gr/maceta) fueron los siguientes:

a) Defina un modelo estadístico para analizar los datos.

b) Realizar los análisis necesarios para alcanzar los objetivos de la investigación.

c) Indique el programa SAS.

NO COPIA

R



M3. Diseño de bloques completos al azar (DBCA):

Se usa cuando las unidades experimentales están agrupadas en bloques.

Se agrupan las unidades experimentales de tal manera que las diferencias dentro de cada grupo (bloque) sean

mínimas y las diferencias entre grupos san máximas.

El número de repeticiones es igual al número de bloques.

Los tratamientos son asignados aleatoriamente alas unidades experimentales en cada bloque de forma independiente.

Ejemplo:

Un licenciado en matemáticas investiga el efecto de cuatro dietas (d1, d2, d3, d4) sobre la ganancia de peso en ratas

albinas utilizando el diseño de DBCA con cuatro repeticiones para este propósito se dispone de tres camadas

diferentes cada uno con cuatro crías machos o hembras, los animales en cada camada son homogéneos sin embargo

entre camadas son heterogéneos, por lo que cada camada representa un bloque y cada animal representa a una

unidad experimental.

Datos de un experimento en bloques al azar:

Modelo estadístico:

𝒀𝒊𝒋 = 𝝁 + 𝜷𝒊 + 𝜻𝒋 + 𝜺𝒊𝒋

i= 1,2,…, b bloques.

j= 1,2,…, t tratamientos.

NO COPIA

R



Yij= Valor observado de una variable de respuesta una unidad experimental en el i-esimo bloque que recibe el j-esimo

tratamiento.

μ= media general.

βi= Efecto aleatorio del i-esimo bloque con: βi ~NIID(0,σb²).

ζj= Efecto fijo del j-esimo tratamiento.

Ԑij= Efecto aleatorio de los residuales con: Ԑij ~NIID(0,σe²).

Cuadro de ANVA:

Estimación de componentes de varianzas:

Interpretación:

Si σb²>0, quiere decir que hubo variación entre bloques por tanto el DBCA ha sido eficientemente utilizado para

controlar la variación entre unidades experimentales y el modelo estadístico seria:


NO COPIA

R



Si σb²<0 o σb²≡0; No existe (-), significa que no hubo variación entre unidades experimentales y el diseño no es

eficiente en su uso, por lo que el modelo estadístico no es el apropiado y se debe reformular borrando el efecto de

bloques:

Ejemplo:

Una investigación se planteó con la finalidad de determinar el medio más rápido y más eficiente de la descomposición

de la basura recolectada de los diferentes centros de la ciudad de Cochabamba, los diferentes métodos considerados

fueron: Uso de lombrices, Compost, Testigo.

Para la evaluación de estos métodos la basura fue recolectada de los diferentes centros donde se genera la mayor

cantidad esto es en los mercados: Cancha, Calatayud, 25 de mayo, Cementerio.

De cada fuente de basura se prepararon tres canteros de 1x1x0.5 m³ y los diferentes métodos fueron aleatoriamente

aplicados después de 75 días la cantidad de materia descompuesta fue determinada como porcentaje (%) los datos

obtenidos son los siguientes:

a) Identificar los elementos del diseño experimental.

b) Plantear el modelo estadístico y realice las hipótesis necesarias a fin de lograr los objetivos de la investigación

basándose en la salida del SAS con el procedimiento glm y mixed.

Proceso glm: No distingue efecto fijo de efecto aleatorio.

Proceso mixed: Distingue efecto fijo de efecto aleatorio.

1. Objetivo: Determinar el método más rápido para la descomposición de basura.

2. Factores: Factor fijo METODO (Testigo, Compost, Lombrices) es cualitativo, factor aleatorio BLOQUE (Cancha,

Calatayud, 25 de mayo, Cementerio) no se hace prueba de hipótesis de factores aleatorios.

3. Variable de respuesta: (%) porcentaje de basura descompuesta.

4. Unidad experimental: 1 cantero (maceta).

5. Unidad de muestreo: La basura del cantero.

6. Repetición: Igual al número de bloques son 4.

NO COPIA

R



7. Bloqueo: Si hay por qué no son homogéneas las basuras.

8. Aleatorización: Si hay.

9. Modelo estadístico para DBCA:


i= 1, 2, 3, 4, b bloques (efecto aleatorio).

j= 1, 2, 3, métodos (efecto fijo).

Yij= Porcentaje de basura descompuesta en un cantero del i-esimo bloque donde se aplica el j-esimo método de

tratamiento de la basura.

μ= media general.

βi= Efecto aleatorio del i-esimo bloque con: βi ~NIID(0,σb²).

ζj= Efecto fijo del j-esimo método.

Ԑij= Efecto aleatorio de los residuales con: Ԑij ~NIID(0,σe²).



𝑇𝐶 =𝑌..

2

𝑏𝑥𝑡=

6812

4𝑥3= 38646,75


𝑆𝐶𝑇 = ∑ ∑𝑌𝑖𝑗2 − 𝑇𝐶 = 342 + 622 + 842 + 352 + 722 − 38646,75 = 5648,25

𝑡=3

𝑗=1

𝑏=4

𝑖=1

Suma de cuadrados del factor bloques (SCB):

𝑆𝐶𝐵 =1

𝑡∑ 𝑌𝑖.

2 − 𝑇𝐶 =1

3

𝑏=4

𝑖=1

(1802 + 1892 + 1742 + 1382) − 38646,75 = 500,25

Suma de cuadrados del factor métodos (SCM=SCTrt):

𝑆𝐶𝑇𝑟𝑡 =1

𝑏∑𝑌.𝑗

2 − 𝑇𝐶

𝑡=3

𝑗=1

=1

4(1262 + 2272 + 3282) − 38646,75 = 5100,50

Suma de cuadrados de los residuales (SCRes):

𝑆𝐶𝑅𝑒𝑠 = 𝑆𝐶𝑇 − 𝑆𝐶𝐵 − 𝑆𝐶𝑇𝑟𝑡 = 5648,25 − 500,25 − 5100,50 = 47,50

NO COPIA

R



Cuadro de ANVA:

Estimación de componentes de varianzas:

𝜎𝑏2 =

𝐶𝑀𝐵 − 𝐶𝑀𝑅𝑒𝑠

𝑡=

166,75 − 7,92

3= 52,94 > 0

Interpretación:

Si σB²>0, quiere decir que hubo variación entre bloques por tanto el DBCA ha sido eficientemente utilizado para

controlar la variación entre unidades experimentales y el modelo estadístico seria:


Prueba de hipótesis de efectos principales: Métodos-cualitativo.

Ho: μ1=μ2 =μ3→ Significa que el porcentaje de basura descompuesta es el mismo con los tres métodos.

Ha: Significa que el porcentaje de basura descompuesta es diferente en al menos uno de los tres métodos.

NS: α= 0,01

EP: CMM

CMRes~F(α=0,01,t−1=2,Res=6)


CC: Pr(F≥322,14)<0,01→SRHo

0,0001<0,01→SRHo


322,14>10,92→ SRHo

Conclusión: Con un 99% de seguridad se puede afirmar que el porcentaje de basura descompuesta es diferente con al

menos uno de los métodos.

¿De qué manera es diferente?

NO COPIA

R



Metodo Medias

Lombrices 82 3 I

Compost 56,75 2

Testgo 31,5 1 II

82

56,75

31,5

0

20

40

60

80

100

Lombrices Compost Testigo

Métodos- cualitativo- comparación de medias y grafico de barras.

Prueba de hipótesis para I:

Ho: C= (0) μ1+ (-1) μ2+ (1) μ3=0→ Significa que el porcentaje de basura descompuesta por los métodos lombrices y

compost es el mismo.

Ha: C ≠ 0→ Significa que el porcentaje de basura descompuesta por los métodos lombrices y compost es diferente.

NS: α= 0,01

EP: CMc

CMRes~F(α=0,01,1,Res=6)


CC: Pr(F≥161,07)<0,01→SRHo

0,0001<0,01→SRHo


161,07>13,75→ SRHo

Conclusión: Con un 99% de seguridad se puede afirmar que el porcentaje de basura descompuesta por los métodos

lombrices y compost es diferente.

¿De qué manera es diferente?

μ3> μ2→ Por lo tanto el porcentaje de basura descompuesta por el método lombrices es superior al método compost

en: 82,00-56,75= 25,25%.

Prueba de hipótesis para II:

Ho: C= (-1) μ1+ (1) μ2+ (1) μ3=0→ Significa que el porcentaje de basura descompuesta por los métodos compost y

testigo es el mismo.

Ha: C ≠ 0→ Significa que el porcentaje de basura descompuesta por los métodos compost y testigo es diferente.

NO COPIA

R



NS: α= 0,01

EP: CMc



CC: Pr(F≥161,07)<0,01→SRHo

0,0001<0,01→SRHo


161,07>13,75→ SRHo

Conclusión: Con un 99% de seguridad se puede afirmar que el porcentaje de basura descompuesta por los métodos

compost y testigo es diferente. ¿De qué manera es diferente?

μ2> μ1→ Por lo tanto el porcentaje de basura descompuesta por el método compost es superior al método testigo en

56,75-31,50= 25,25%.

Conclusión general: μ3> μ3> μ1→ El mejor método para descomponer la basura en un porcentaje alto es el método de

las lombrices.

10. Programa SAS:

options ls=76 ps=56;

data ejem3;

input blq met$ y;

cards;

1 t 34

1 c 62

1 l 84

2 t 35

2 c 64

2 l 90

3 t 33

3 c 59

3 l 82

4 t 24

4 c 42

4 l 72

;

proc glm;

class blq met;

model Y= blq met/ss3;

random blq /test;

lsmeans met/pdiff;

contrast "l-c" met 1 -1 0;

contrast "c-t" met 0 1 -1;

run;

NO COPIA

R



Resultados del SAS:

The SAS System 1


The GLM Procedure


Class Levels Values

blq 4 1 2 3 4

met 3 c l t



The SAS System 2


The GLM Procedure


Sum of


Model 5 5600.750000 1120.150000 141.49 <.0001

Error 6 47.500000 7.916667



0.991590 4.957986 2.813657 56.75000


blq 3 500.250000 166.750000 21.06 0.0014

met 2 5100.500000 2550.250000 322.14 <.0001

The SAS System 3


The GLM Procedure

Source Type III Expected Mean Square

blq Var(Error) + 3 Var(blq)

met Var(Error) + Q(met)

The SAS System 4


The GLM Procedure

Tests of Hypotheses for Mixed Model Analysis of Variance



blq 3 500.250000 166.750000 21.06 0.0014

met 2 5100.500000 2550.250000 322.14 <.0001

Error: MS(Error) 6 47.500000 7.916667

NO COPIA

R



The SAS System 5


Least Squares Means

LSMEAN

met y LSMEAN Number

c 56.7500000 1

l 82.0000000 2

t 31.5000000 3

Least Squares Means for effect met



i/j 1 2 3

1 <.0001 <.0001

2 <.0001 <.0001

3 <.0001 <.0001



The SAS System 6




l-c 1 1275.125000 1275.125000 161.07 <.0001

c-t 1 5100.500000 5100.500000 644.27 <.0001


data ejem3;

input blq met$ y;

cards;

1 t 34

1 c 62

1 l 84

2 t 35

2 c 64

2 l 90

3 t 33

3 c 59

3 l 82

4 t 24

4 c 42

4 l 72

;

proc mixed;

class blq met;

model Y= met/ddfm=satterth;

random blq;

lsmeans met/pdiff;

contrast "l-c" met 1 -1 0;

contrast "c-t" met 0 1 -1;

run;

NO COPIA

R



Resultados del SAS:

The SAS System 1


The Mixed Procedure

Model Information

Data Set WORK.EJEM3

Dependent Variable y

Covariance Structure Variance Components

Estimation Method REML

Residual Variance Method Profile

Fixed Effects SE Method Model-Based

Degrees of Freedom Method Satterthwaite


Class Levels Values

blq 4 1 2 3 4

met 3 c l t

Dimensions

Covariance Parameters 2

Columns in X 4

Columns in Z 4

Subjects 1

Max Obs Per Subject 12

Number of Observations



Number of Observations Not Used 0

Iteration History

Iteration Evaluations -2 Res Log Like Criterion

0 1 66.67712629

1 1 57.46308519 0.00000000

Convergence criteria met.

The SAS System 2


The Mixed Procedure

Covariance Parameter

Estimates

Cov Parm Estimate

blq 52.9444

Residual 7.9167

Fit Statistics

-2 Res Log Likelihood 57.5

AIC (smaller is better) 61.5

AICC (smaller is better) 63.5

BIC (smaller is better) 60.2

Type 3 Tests of Fixed Effects

Num Den

Effect DF DF F Value Pr > F

met 2 6 322.14 <.0001

NO COPIA

R



Contrasts

Num Den

Label DF DF F Value Pr > F

l-c 1 6 161.07 <.0001

c-t 1 6 644.27 <.0001

Least Squares Means

Standard

Effect met Estimate Error DF t Value Pr > |t|

met c 56.7500 3.9007 3.58 14.55 0.0003

met l 82.0000 3.9007 3.58 21.02 <.0001

met t 31.5000 3.9007 3.58 8.08 0.0020

Differences of Least Squares Means

Standard

Effect met _met Estimate Error DF t Value Pr > |t|

met c l -25.2500 1.9896 6 -12.69 <.0001

met c t 25.2500 1.9896 6 12.69 <.0001

The SAS System 3


The Mixed Procedure


Standard

Effect met _met Estimate Error DF t Value Pr > |t|

met l t 50.5000 1.9896 6 25.38 <.0001

NO COPIA

R




1. Un ingeniero Mecánico evaluó cuatro tipos de filtros por su habilidad para eliminar las impurezas del aceite de

motor este trabajo fue realizado en laboratorios independientes y se utilizó el mismo aceite con una cantidad

uniforme de impurezas, la cantidad de impurezas (gr) en ¼ de litro de aceite fue determinado en cada laboratorio con

cada uno de estos filtros aleatoriamente escogidos, los resultados fueron los siguientes:

a) Defina el modelo estadístico.

b) En base al modelo planteado realice las pruebas de hipótesis necesarias a fin de lograr los objetivos de la

investigación.

c) Indique cual es el programa del SAS al usar glm y mixed.

2. Un nutricionista con el objetivo de determinar la dieta más apropiada y el nivel de ejercicio en el control de la

obesidad, cuatro dietas ( N= normal, AP= alto nivel de proteína, AG= alto nivel de grasa, AC= alto nivel de

carbohidratos) fueron evaluadas asociados con tres niveles de ejercicios (0, 1, 2 min), para tal efecto se dispone de

cuarenta hombres cada uno excedido en aproximadamente 40 Lb pero que varían principalmente en edad por lo que

se agruparon en dos grupos de edades (bloques), en cada grupo cada combinación de dieta y tiempo de ejercicio fue

aleatoriamente aplicado a una persona, después de tres meses de aplicación de los tratamientos se determinó el peso

perdido, los datos son los siguientes:


b) Realice los análisis necesarios para alcanzar el objetivo de la investigación.

c) Realice el programa SAS.

NO COPIA

R



M4. Diseño en bloques completamente al azar factorial: DBCA_F.


𝒀𝒊𝒋𝒌 = 𝝁 + 𝜷𝒊 + 𝜶𝒋 + 𝜹𝒌 + 𝝑𝒋𝒌 + 𝜺𝒊𝒋𝒌

Dónde:

I= 1, 2,.., b bloques.

J = 1, 2,.., a niveles del factor A.

k = 1, 2,.., c niveles del factor C.

Yijk = Valor observado de una variable de respuesta en una unidad experimental en el i-esimo bloque que recibe la

combinación del j-esimo nivel del factor A y el k-esimo nivel del factor C.

μ = Media general.

βi = Efecto aleatorio del i-esimo bloque con βi ~NIID(0,σe²).

αj = Efecto fijo del j-esimo nivel del factor A.

δk = Efecto fijo del k-esimo nivel del factor C.

ϑjk = Efecto fijo de interacción entre el j-esimo nivel del factor A y el k-esimo nivel del factor C.

Ԑijk = Efecto aleatorio de los residuales con Ԑijk ~NIID(0,σe²).

NO COPIA

R



Cuadro de ANVA:

Estimación de los componentes de varianza:

Se hallan igualando los cuadrados medios con la esperanza de los cuadrados medios solo de efectos aleatorios:

Interpretación:

Si σb²>0, quiere decir que hubo variación entre bloques por tanto el DBCA-factorial ha sido eficientemente utilizado

para controlar la variación entre unidades experimentales y el modelo estadístico seria:


Si σb²<0 o σb²≡0; No existe (-), significa que no hubo variación entre bloques por lo que el modelo debe ser

reformulado borrando la columna de bloques:

NO COPIA

R



Ejemplo:

La mara es un árbol maderable de alto valor económico, sin embargo su propagación presenta muchos problemas, por

lo que por una explotación irracional, esta especie se encuentra en peligro de extinción. Considere que uno de los

factores que afecta a su sistema reproductivo es la deficiencia de nutrientes principalmente nitrógeno. Por lo que se

realizó una investigación para determinar el efecto de este nutriente sobre el rendimiento de semilla de tres

ecosistemas de mara (1, 2, 3). Las combinaciones de cada variedad con cuatro niveles de nitrógeno (0, 90, 180, 270

kg/Ha) fueron evaluadas utilizando el DBCA-factorial con cuatro repeticiones. La unidad experimental consistió en un

árbol. Los rendimientos en semilla en Kg/Ha fueron:

a) Indique el modelo estadístico.

b) Realice las pruebas de hipótesis necesarias a fin de lograr los objetivos de la investigación.

c) Indicar la programación en SAS en los procedimientos glm y mixed

1. Objetivos: Determinar el efecto del nitrógeno sobre el rendimiento de semillas de tres eco tipos.

2. Factores: Eco tipo (E1, E2, E3) es cualitativo, nitrógeno (N1, N2, N3, N4) es cuantitativo son dos factores fijos y un

factor aleatorio que es bloques.

3. Variable de respuesta: Rendimiento de semilla Kg/Ha.

4. Unidad experimental: Un árbol.

5. Unidad de muestreo: Un árbol.

6. Repeticiones: Cuatro por tratamiento (4rep/trt).

7. Bloqueo: Hay por qué no son homogéneos, un árbol no es igual a otro.

NO COPIA

R





Dónde:

I= 1, 2, 3, 4, b bloques.

J = 1, 2, 3, a eco tipos.

k = 1, 2,3, 4, c nitrógeno.

Yijk = Rendimiento de semilla observado en el i-esimo bloque resultante de la combinación del j-esimo eco tipo con el

k-esimo nivel de nitrógeno.

μ = Media general.

βi = Efecto aleatorio del i-esimo bloque con βi ~NIID(0,σe²).

αj = Efecto fijo del j-esimo nivel del factor eco tipo.

δk = Efecto fijo del k-esimo nivel del factor nitrógeno.

ϑjk = Efecto fijo de interacción entre el j-esimo nivel del factor eco tipo y el k-esimo nivel del factor nitrógeno.

Ԑijk = Efecto aleatorio de los residuales con Ԑijk ~NIID(0,σe²).



𝑇𝐶 =𝑌…

2

𝑏𝑥𝑎𝑥𝑐=

199,792

4𝑥3𝑥4= 831,5842


𝑆𝐶𝑇 = ∑ ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗𝑘2

𝑐=4

𝑘=1

− 𝑇𝐶 = (4,062 + ⋯+ 4,102) − 831,5842 = 5,8445

𝑎=3

𝑗=1

𝑏=4

𝑖=1

Suma de cuadrados del factor bloques (SCBlq)

𝑆𝐶𝐵𝑙𝑞 =1

𝑎𝑥𝑐∑ 𝑌𝑖..

2 − 𝑇𝐶 =1

3𝑥4

𝑏=4

𝑖=1

(48,832 + 51,522 + 47,762 + 51,682) − 831,5842 = 0,9591

48,832 = 4,06 + 4,24 + 3,66 + 3,99 + 3,62 + 4,27 + 4,17 + 4,06 + 3,85 + 4,41 + 3,91 + 4,59

Suma de cuadrados del factor eco tipo (SCE):

𝑆𝐶𝐸 =1

𝑏𝑥𝑐∑ 𝑌.𝑗.

2 − 𝑇𝐶 =1

4𝑥4(642 + 68,832 + 66,962) − 831,5842 = 0,7414

𝑎=3

𝑗=1

Suma de cuadrados nitrógeno (SCN):

𝑆𝐶𝑁 =1

𝑏𝑥𝑎∑ 𝑌..𝑘

2 − 𝑇𝐶 =1

4𝑥3(46,502 + 51,962 + 50,982 + 50,352) − 831,5842 = 1,4303𝑐=4

𝑘=1

NO COPIA

R



FV GL SC CM Fcal Pr>F

BLOQUES b-1=3 0,9591 0,3197 x x

ECOTIPO a-1= 2 0,7414 0,3707 CMA/CMRes= 4,85 0,0143

NITROGENO c-1=3 1,4303 0,4768 CMC/CMRes= 6,23 0,0018

INTERACCION EXN (a-1)(c-1)= 6 0,1897 0,0316 CMAC/CMRes= 0,41 0,8649

RESIDUALES (b-1)(ac-1)= 33 2,5241 0,0765 x x

TOTAL bac-1= 47 5,8445 x x

Suma de cuadrados de la interacción de los factores eco tipo y nitrógeno (SCEN):

𝑆𝐶𝐸𝑁 =1

𝑏∑ ∑ 𝑌.𝑗𝑘

2

𝑐=4

𝑘=1

− 𝑆𝐶𝐸 − 𝑆𝐶𝑁 − 𝑇𝐶

𝑎=3

𝑗=1

𝑆𝐶𝐸𝑁 =1

4(15,142 + 16,972 + 15,792 + 16,12 + 15,952 + ⋯ + 16,942) − 0,7414 − 1,4303 − 831,5842

𝑆𝐶𝐸𝑁 = 0,1897


𝑆𝐶𝑅𝑒𝑠 = 𝑆𝐶𝑇 − 𝑆𝐶𝐵𝑙𝑞 − 𝑆𝐶𝐸 − 𝑆𝐶𝑁 − 𝑆𝐶𝐸𝑁 = 58,445 − 0,9591 − 0,7414 − 1,4303 − 0,1897 = 2,5241

Cuadro de ANVA:

Estimación de componentes de varianza o evaluación del modelo:

𝜎𝑏2 =

𝐶𝑀𝐵𝑙𝑞 − 𝐶𝑀𝑅𝑒𝑠

𝑎𝑥𝑐=

0,3197 − 0,0765

3𝑥4= 0,0203 > 0

Interpretación:

Si σb²>0, quiere decir que hubo variación entre bloques por tanto el DBCA-factorial ha sido eficientemente utilizado

para controlar la variación entre unidades experimentales y el modelo estadístico seria:


Prueba de hipótesis para efectos principales: Eco tipo, factor cualitativo.

Ho: μ1=μ2 =μ3→ Significa que el rendimiento de semilla es el mismo en los tres niveles del factor eco tipo.

Ha: Significa que el rendimiento de semilla es el diferente al menos uno de los niveles del factor eco tipo.

NS: α= 0,05

EP: CME

CMRes~F(α=0,05,a−1=2,Res=33)


CC: Pr(F≥4,85)<0,05→SRHo

0,0143<0,05→SRHo

NO COPIA

R



Conclusión: Con 95% de seguridad se puede concluir indicando que el rendimiento de semilla es diferente en al menos

un eco tipo. ¿Qué eco tipo?

Comparación entre eco tipo 2- eco tipo 3:

Ho: μ2 =μ3→ Significa que el rendimiento de semilla es el mismo en los eco tipos 2 y 3.

Ha: Significa que el rendimiento de semilla es el diferente en los eco tipos 2 y 3.

NS: α= 0,05

EP: CME



CC: Pr(F≥1,43)<0,05→SRHo

0,2408>0,05→SAHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se puede concluir indicando que el rendimiento de semilla en el eco tipo 2 y 3 son

iguales.

Comparación entre eco tipo 3 - eco tipo 1:

Ho: μ3 =μ1→ Significa que el rendimiento de semilla es el mismo en los eco tipos 3 y 1.

Ha: Significa que el rendimiento de semilla es el diferente en los eco tipos 3 y 1.

NS: α= 0,05

EP: CME



CC: Pr(F≥3,60)<0,05→SRHo

0,0666>0,05→SAHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se puede concluir indicando que el rendimiento de semilla es el mismo en el eco

tipos 3 y 1.

NO COPIA

R



Conclusión general: No hay mejor eco tipo en la producción de semilla del árbol de mara.

Prueba de hipótesis para efectos principales: fertilización nitrogenada, factor cuantitativo.

Ho: μ1=μ2 =μ3 =μ4→ Significa que el rendimiento de semilla es el mismo con los cuatro niveles de nitrógeno.

Ha: Significa que el rendimiento de semilla es diferente con al menos un nivel de nitrógeno.

NS: α= 0,05

EP: CMN



CC: Pr(F≥6,23)<0,05→SRHo

0,0018<0,05→SRHo


6,23>2,996→ SRHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se puede afirmar que el rendimiento de semilla es diferente en al menos un nivel

de nitrógeno.

¿Cuál es ese nivel de nitrógeno?

Como se observa en el grafico aumenta linealmente y disminuye cuadráticamente.

NO COPIA

R




Ho: C= (-3) μ1+ (-1) μ2+ (1) μ3+ (3) μ4=0→ Significa que el rendimiento de semilla no aumenta linealmente a medida

que se incrementan los niveles de nitrógeno.

Ha: C ≠ 0→ Significa que el rendimiento de semilla aumenta linealmente a medida que se incrementan los niveles de

nitrógeno.

NS: α= 0,05

EP: CMĉ/CMRes ~ F(α=0,05, DF=1, Res=33)


CC: Pr(F≥6,09)<0,05→SRHo

0,019<0,05→SRHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se concluye que el rendimiento de semilla aumenta linealmente a medida que se

incrementan los niveles de nitrógeno.


Ho: C= (1) μ1+ (-1) μ2+ (-1) μ3+ (1) μ4=0→ Significa que el rendimiento de semilla no disminuye cuadráticamente a

medida que se incrementan los niveles de nitrógeno.

Ha: C ≠ 0→ Significa que el rendimiento de semilla disminuye cuadráticamente a medida que se incrementan los

niveles de nitrógeno.

NS: α= 0,05

EP: CMc


NO COPIA

R




CC: Pr(F≥10,1)<0,05→SRHo

0,0032<0,05→SRHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se concluye que el rendimiento de semilla disminuye a medida que se incrementan

los niveles de nitrógeno.

Prueba de hipótesis para efecto de interacción: Eco tipo x Nitrógeno

Ho: Ƴjk=0 para Ɏjk=0→ Significa que el efecto de la fertilización nitrogenada es el mismo en cada uno de los niveles del

factor eco tipo.

Ha: Ƴjk≠0 → Significa que el efecto de la fertilización nitrogenada es diferente en al menos uno de los niveles del factor

eco tipo.

NS: α= 0,05

EP: CMExN

CMRes ~F(α=0,05,gl=6,Res=33)

Ftablas(α=0,05, m=6, Res=33)= 2,3834


CC: Pr(F≥0,41)<0,05→SRHo

0,8649>0,05→SAHo


0,41>2,3894→ SAHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se concluye el efecto de la fertilización nitrogenada es el mismo en cada uno de los

niveles del factor eco tipo.

NO COPIA

R



8. Programa SAS:


data dbcaa_f;

input blq ecot$ nitro y;

cards;

1 1 0 4.06

1 2 0 3.62

1 3 0 3.85

1 1 90 4.24

1 2 90 4.27

1 3 90 4.41

1 1 180 3.66

1 2 180 4.17

1 3 180 3.91

1 1 270 3.99

1 2 270 4.06

1 3 270 4.59

2 1 0 3.7

2 2 0 4.16

2 3 0 4.06

2 1 90 4.4

2 2 90 4.49

2 3 90 4.24

2 1 180 4.27

2 2 180 4.94

2 3 180 4.27

2 1 270 4.17

2 2 270 4.65

2 3 270 4.17

3 1 0 3.94

3 2 0 3.61

3 3 0 3.62

3 1 90 4.03

3 2 90 4.1

3 3 90 4.27

3 1 180 3.61

3 2 180 3.93

3 3 180 4.65

3 1 270 3.96

3 2 270 3.95

3 3 270 4.08

4 1 0 3.44

4 2 0 4.56

4 3 0 3.88

4 1 90 4.3

4 2 90 4.96

4 3 90 4.25

4 1 180 4.24

4 2 180 4.71

4 3 180 4.61

4 1 270 3.98

4 2 270 4.65

4 3 270 4.1

;

proc glm;

NO COPIA

R



class blq ecot nitro;

model y = blq ecot nitro ecot*nitro/ss3;

random blq;

lsmeans ecot/pdiff;

lsmeans nitro/pdiff;

lsmeans ecot*nitro/pdiff;

contrast "2-3" ecot 0 1 -1;

contrast "3-1" ecot -1 0 1;

contrast "n_lineal" nitro -3 -1 1 3;

contrast "n_cuadra" nitro 1 -1 -1 1;

contrast "n_lineal" ecot*nitro 0 0 0 0 0 1 -3 -1 1 3 -1 3 1 -1 -3;

estimate "2-3" ecot 0 1 -1;

estimate "3-1" ecot -1 0 1;

estimate "n_lineal" nitro -3 -1 1 3;

estimate "n_cuadra" nitro 1 -1 -1 1;

estimate "n_lineal" ecot*nitro 0 0 0 0 0 1 -3 -1 1 3 -1 3 1 -1 -3;

run;

Resultados del SAS:

The SAS System 1


The GLM Procedure


Class Levels Values

blq 4 1 2 3 4

ecot 3 1 2 3

nitro 4 0 90 180 270



The SAS System 2


The GLM Procedure


Sum of


Model 14 3.32831667 0.23773690 3.10 0.0037

Error 33 2.52707500 0.07657803



0.568419 6.648770 0.276727 4.162083


blq 3 0.96267500 0.32089167 4.19 0.0128

ecot 2 0.74465417 0.37232708 4.86 0.0141

nitro 3 1.42857500 0.47619167 6.22 0.0018

ecot*nitro 6 0.19241250 0.03206875 0.42 0.8612

NO COPIA

R



The SAS System 3


The GLM Procedure


blq Var(Error) + 12 Var(blq)

ecot Var(Error) + Q(ecot,ecot*nitro)

nitro Var(Error) + Q(nitro,ecot*nitro)

ecot*nitro Var(Error) + Q(ecot*nitro)

The SAS System 4


The GLM Procedure

Least Squares Means

LSMEAN

ecot y LSMEAN Number

1 3.99937500 1

2 4.30187500 2

3 4.18500000 3

Least Squares Means for effect ecot



i/j 1 2 3

1 0.0040 0.0666

2 0.0040 0.2408

3 0.0666 0.2408



The SAS System 5


The GLM Procedure

Least Squares Means

LSMEAN

nitro y LSMEAN Number

0 3.87500000 1

90 4.33000000 2

180 4.24750000 3

270 4.19583333 4

Least Squares Means for effect nitro



i/j 1 2 3 4

1 0.0003 0.0023 0.0077

2 0.0003 0.4704 0.2435

3 0.0023 0.4704 0.6504

4 0.0077 0.2435 0.6504



NO COPIA

R



The SAS System 6


The GLM Procedure

Least Squares Means

LSMEAN

ecot nitro y LSMEAN Number

1 0 3.78500000 1

1 90 4.24250000 2

1 180 3.94500000 3

1 270 4.02500000 4

2 0 3.98750000 5

2 90 4.45500000 6

2 180 4.43750000 7

2 270 4.32750000 8

3 0 3.85250000 9

3 90 4.29250000 10

3 180 4.36000000 11

3 270 4.23500000 12

Least Squares Means for effect ecot*nitro



i/j 1 2 3 4 5 6

1 0.0256 0.4194 0.2287 0.3083 0.0017

2 0.0256 0.1379 0.2744 0.2015 0.2854

3 0.4194 0.1379 0.6853 0.8294 0.0136

4 0.2287 0.2744 0.6853 0.8492 0.0351

5 0.3083 0.2015 0.8294 0.8492 0.0228

6 0.0017 0.2854 0.0136 0.0351 0.0228

7 0.0021 0.3262 0.0169 0.0427 0.0279 0.9293

8 0.0091 0.6668 0.0591 0.1317 0.0916 0.5192

9 0.7323 0.0546 0.6395 0.3844 0.4951 0.0042

10 0.0141 0.7999 0.0850 0.1808 0.1286 0.4122

11 0.0060 0.5523 0.0415 0.0963 0.0657 0.6305

12 0.0279 0.9697 0.1478 0.2910 0.2148 0.2690




i/j 7 8 9 10 11 12

1 0.0021 0.0091 0.7323 0.0141 0.0060 0.0279

2 0.3262 0.6668 0.0546 0.7999 0.5523 0.9697

3 0.0169 0.0591 0.6395 0.0850 0.0415 0.1478

4 0.0427 0.1317 0.3844 0.1808 0.0963 0.2910

5 0.0279 0.0916 0.4951 0.1286 0.0657 0.2148

6 0.9293 0.5192 0.0042 0.4122 0.6305 0.2690

NO COPIA

R



The SAS System 7


The GLM Procedure

Least Squares Means




i/j 7 8 9 10 11 12

7 0.5778 0.0052 0.4639 0.6946 0.3083

8 0.5778 0.0208 0.8591 0.8691 0.6395

9 0.0052 0.0208 0.0313 0.0141 0.0591

10 0.4639 0.8591 0.0313 0.7323 0.7707

11 0.6946 0.8691 0.0141 0.7323 0.5274

12 0.3083 0.6395 0.0591 0.7707 0.5274



The SAS System 8


The GLM Procedure



2-3 1 0.10927813 0.10927813 1.43 0.2408

3-1 1 0.27565312 0.27565312 3.60 0.0666

n_lineal 1 0.46464000 0.46464000 6.07 0.0192

n_cuadra 1 0.77013333 0.77013333 10.06 0.0033

Standard

Parameter Estimate Error t Value Pr > |t|

2-3 0.11687500 0.09783790 1.19 0.2408

3-1 0.18562500 0.09783790 1.90 0.0666

n_lineal 0.88000000 0.35725348 2.46 0.0192

n_cuadra -0.50666667 0.15976861 -3.17 0.0033

NO COPIA

R



9. Ejercicio propuesto.

Con el objetivo de determinar la dieta más apropiada y el nivel de ejercicio en el control de la obesidad cuatro dietas

(normal= N, alto nivel de proteínas= AP, alto nivel de grasas= AG, alto nivel de carbohidratos=AC) fueron evaluadas

asociadas con tres niveles de ejercicios (0, 1,2 min) para tal efecto se dispone de cuarenta hombres cada uno excedido

en aproximadamente 40Lb pero que variaban en edad por lo que se agruparon en dos grupos de edades (bloques) en

cada grupo cada combinación de dieta y tiempo de ejercicio fue aleatoriamente aplicado a una persona después de

tres meses de aplicación de los tratamientos se determinó el peso perdido los datos son los siguientes:


b) Realice los análisis necesarios para alcanzar el objetivo de la investigación.

c) Plantee y pruebe las hipótesis necesarias para responder al objetivo de la investigación, usar el programa SAS.

NO COPIA

R



M5. Diseño de cuadrado latino (DCL).

Se usa para eliminar dos fuentes de variabilidad es decir permite analizar sistemáticamente por bloques en dos

direcciones por filas y por columnas, el diseño en cuadrado latino es un diseño en filas y columnas es un cuadrado

donde:

El número de filas= número de columnas= número de tratamientos.

Este diseño se usa cuando la unidad experimental tiene dos fuentes de variación. Ejemplo:

Edad y peso de personas.

Cinco máquinas de diferentes marcas y cinco operadores diferentes.

Estructuración:

1. Hacemos bloques de acuerdo a una característica. Ejemplo: Por el color y luego hacemos bloques de acuerdo con

otra característica por su forma.

2. Por tanto se tienen dos tipos de bloques:

Bloque de filas caracterizada por el color.

Bloque de columnas caracterizada por su forma.

3. En cada fila y cada columna los tratamientos A, B, C, D, deben aparecer sin duplicación.

4. El número de tratamientos a probar= número de repeticiones

A, B, C, D, cuatro tratamientos= cuatro repeticiones.

5. El análisis de un cuadrado latino es similar al DBCA, excepto que la suma de los cuadrados de bloques se sustituye

por una suma de cuadrados para las filas y otra para las columnas es decir:

NO COPIA

R



6. Diseño rectangular latino:

El número de filas= número de tratamientos pero el número de columnas= número de tratamientos. Ejemplo:

Los tratamientos D1, D2, D3, D4, se distribuyen en forma aleatoria en cada columna sin tomar en cuenta las

repeticiones en filas.


𝒀𝒊𝒋𝒌 = 𝝁 + 𝝋𝒊 + 𝒌𝒋 + 𝑻𝒌 + 𝜺𝒊𝒋𝒌

Donde todos los efectos son aditivos y no hay interacción entre dos cualquieras de los tres factores (fila= f aleatorio,

columna, tratamiento= f fijo).

i= 1, 2,…,f filas.

j= 1, 2,…,c columnas.

k= 1, 2,…,t tratamientos.

Yijk= Es el valor observado de una unidad experimental correspondiente a la i-esima fila y la j-esima columna donde se

aplicó el k-esimo tratamiento.

μ= Media general.

ϕi= Efecto aleatorio de la i-esima fila con: ϕi ≈ NIID (0, σf²).

kj= Efecto aleatorio de la j-esima columna con: kj ≈ NIID (0, σc²).

Τk= Efecto fijo del k-esimo tratamiento.

Ɛijk= Efecto aleatorio de los residuales con: Ɛijk ≈ NIID (0, σe²).

NO COPIA

R



Cuadro de ANVA:

Componentes de varianza para los efectos aleatorios:

Igualando los cuadrados medios a sus respectivas esperanzas:

Interpretación:

Si σf²>0, quiere decir que las unidades experimentales variaron en el sentido de las filas por lo tanto el modelo está

bien aplicado.

Si σc²>0, quiere decir que las unidades experimentales variaron en el sentido de las columnas por lo tanto el modelo

está bien aplicado.

Si σf²≤0, quiere decir que las unidades experimentales no variaron en el sentido de las filas por lo tanto hay que

reformular el modelo eliminando las filas.

Si σc²≤0, quiere decir que las unidades experimentales no variaron en el sentido de las columnas por lo tanto hay que

reformular el modelo eliminando las columnas.

NO COPIA

R



Ejemplo:

Un ingeniero condujo un experimento con el fin de evaluar la eficiencia en tiempo de cuatro métodos de fabricación

(A, B, C, D) de una parte electrónica. Se eligieron cuatro técnicos para el estudio, pero como el proceso de fabricación

produce fatiga de manera que el tiempo requerido por el técnico aumenta al cambiar de un método a otro sin

importar el orden, el ingeniero uso un diseño en cuadrado latino con los técnicos en las columnas y los turnos en las

filas. Los métodos de fabricación se asignaron al azar a los técnicos y a los turnos de acuerdo con el arreglo en

cuadrado latino. Los datos corresponden a los tiempos de fabricación en minutos requeridos para el parte electrónico

con el método indicado entre paréntesis.

1. Objetivo: Evaluar la eficiencia en tiempo de cuatro métodos de fabricación de una parte electrónica.

2. Factores: F. aleatorios: hay dos turno (filas), técnico (columnas), Factor fijo: método (tratamiento).

3. Variable de respuesta: Tiempo de fabricación (min).

4. Unidad experimental: Una parte electrónica.

5. Unida de muestreo: Una parte electrónica.

6. Bloqueo: Existe por filas y por columnas.

7. Defina el modelo estadístico:


i= 1, 2, 3, 4, turnos.

j= 1, 2, 3, 4, técnicos.

i= 1, 2, 3, 4, métodos o tratamientos (A, B, C, D).

Yijk= Tiempo de fabricación (min) observado con el k-esimo método de fabricación de una parte electrónica con el j-

esimo técnico y el i-esimo turno.

μ= Media general.

ϕi= Efecto aleatorio del i-esimo turno con: ϕi ≈ NIID (0, σturno²).

kj= Efecto aleatorio del j-esimo técnico con: kj ≈ NIID (0, σtecnico²).

Τk= Efecto fijo del k-esimo método de fabricación.

Ɛijk= Efecto aleatorio de los residuales con: Ɛijk ≈ NIID (0, σe²).

NO COPIA

R





𝑇𝐶 =𝑌…

2

𝑓𝑥𝑐=

15192

4𝑥4= 144210,063


𝑆𝐶𝑇 = ∑ ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗𝑘2 − 𝑇𝐶 = (902 + 962 + ⋯+ 1062) − 144210,0625 = 652,9375

𝑡=4

𝑘=1

𝑐=4

𝑗=1

𝑓=4

𝑖=1

Suma de cuadrados de filas (SCF= Turnos):

𝑆𝐶𝐹 =1

𝑐∑ 𝑌𝑖..

2 − 𝑇𝐶 =1

4(3582 + 3652 + 3822 + 4142) − 144210,0625 = 467,1875

𝑓=4

𝑖=1

Suma de cuadrados de columnas (SCC= Técnicos):

𝑆𝐶𝐶 =1

𝑓∑ 𝑌.𝑗.

2 − 𝑇𝐶 =1

4(3732 + 3842 + 3822 + 3802) − 144210,0625 = 17,1875

𝑐=4

𝑗=1

Suma de cuadrados de los tratamientos (SCTrt= método):

𝑆𝐶𝑇𝑟𝑡 =1

𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠∑ 𝑌..𝑘

2 − 𝑇𝐶 =1

4(3612 + 3792 + 3852 + 3942) − 144210,0625 = 145,6875

𝑡=4

𝑘=1

3612 = 89 + 100 + 54 + 88 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴


𝑆𝐶𝑅𝑒𝑠 = 𝑆𝐶𝑇 − 𝑆𝐶𝐹 − 𝑆𝐶𝐶 − 𝑆𝐶𝑇𝑟𝑡 = 652,9375 − 467,1875 − 17,1875 − 145,6875 = 22,875

Cuadro de ANVA:

Numero de filas= número de columnas= número de tratamientos

NO COPIA

R



Componentes de varianza para los efectos aleatorios:

Igualando los cuadrados medios a la esperanza de cada uno de los efectos aleatorios tenemos:

Interpretación: Como la varianza de filas y columnas es mayor que cero significa que las unidades experimentales

variaron entre filas y columnas por tanto el diseño en cuadrado latino fue eficiente para controlar la varianza de las

unidades experimentales por filas y por columnas por lo tanto el modelo estadístico es el correcto.


Prueba de hipótesis para efectos principales: Método de fabricación-cualitativo.

Ho: μA=μB =μC =μD→ Significa que tiempo de fabricación es el mismo con los cuatro métodos de fabricación.

Ha: Significa que tiempo de fabricación es diferente con al menos uno de los métodos de fabricación.

NS: α= 0,05

EP: CMTrt

CMRes ~F(α=0,05,3,Res=6)


CC: Pr(F≥12,74)<0,05→SRHo

0,005<0,05→SRHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se puede afirmar que el tiempo de fabricación es diferente con al menos uno de los

métodos. ¿Cuál es método de fabricación?

El que tenga el menor tiempo de fabricación es el mejor, entonces ordeno de menor a mayor.

NO COPIA

R



Comparación entre: método A-B.

Ho: C= (-1) μA+ (1) μB+ (0) μC+ (0) μD=0→ Significa que el tiempo de fabricación es el mismo con los métodos A y B.

Ha: C ≠ 0→ Significa que el tiempo de fabricación es diferente con los métodos A y B.

NS: α= 0,05

EP: CMc



CC: Pr(F≥10,62)<0,05→SRHo

0,0173<0,05→SRHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se concluye que el tiempo de fabricación es diferente con los métodos A y B.

¿ De qué manera son diferentes?.

μA< μB El método de fabricación más eficiente es el que permite fabricar en menos tiempo y es A.

8. Programa SAS.


data cl;

input turno tec met$ y;

cards;

1 1 c 90

1 2 d 96

1 3 a 84

1 4 b 88

2 1 b 90

2 2 c 91

2 3 d 96

2 4 a 88

3 1 a 89

3 2 b 97

3 3 c 98

3 4 d 98

4 1 d 104

4 2 a 100

4 3 b 104

4 4 c 106

;

proc glm;

class turno tec met;

model y=turno tec met/ss3;

random turno tec/test;

lsmeans met/pdiff;

contrast "a-b" met -1 1 0 0;

run;

NO COPIA

R



Resultado del SAS:

The SAS System 1

22:15 Wednesday, April 24, 2013

The GLM Procedure


Class Levels Values

turno 4 1 2 3 4

tec 4 1 2 3 4

met 4 a b c d



The SAS System 2


The GLM Procedure


Sum of


Model 9 630.0625000 70.0069444 18.36 0.0011

Error 6 22.8750000 3.8125000



0.964966 2.056682 1.952562 94.93750


turno 3 467.1875000 155.7291667 40.85 0.0002

tec 3 17.1875000 5.7291667 1.50 0.3065

met 3 145.6875000 48.5625000 12.74 0.0052

The SAS System 3


The GLM Procedure


turno Var(Error) + 4 Var(turno)

tec Var(Error) + 4 Var(tec)

met Var(Error) + Q(met)

The SAS System 4


The GLM Procedure

Tests of Hypotheses for Mixed Model Analysis of Variance



turno 3 467.187500 155.729167 40.85 0.0002

tec 3 17.187500 5.729167 1.50 0.3065

met 3 145.687500 48.562500 12.74 0.0052

Error: MS(Error) 6 22.875000 3.812500

NO COPIA

R



The SAS System 5


Least Squares Means

LSMEAN

met y LSMEAN Number

a 90.2500000 1

b 94.7500000 2

c 96.2500000 3

d 98.5000000 4

Least Squares Means for effect met



i/j 1 2 3 4

1 0.0173 0.0048 0.0010

2 0.0173 0.3190 0.0348

3 0.0048 0.3190 0.1543

4 0.0010 0.0348 0.1543



The SAS System 6




a-b 1 40.50000000 40.50000000 10.62 0.0173

NO COPIA

R



9. Ejercicios propuestos.

1. Un investigador condujo un experimento para comparar el rendimiento de tres nuevas variedades con una

variedad estándar de maní, las variedades fueron asignadas a las parcelas en un arreglo de cuadrado latino debido a

que el terreno tuvo una pendiente ligera de este a oeste y gradientes de nitrógeno disponibles de norte a sur las

variedades y sus rendimientos por parcelas (Lbm/parcela)=R, los resultados obtenidos son los siguientes:

a) Identifique los elementos del diseño experimental y defina el modelo estadístico para analizar los datos.

b) En base al modelo realice los análisis necesarios usando proc glm para determinar la variedad de maní con el

rendimiento significativamente más alto.

2. Un centro de control supone que existe diferencia en el contenido de nitrato de amonio en lotes de fertilizante que

son suministrados por proveedores, existen en estos momentos gran cantidad de lotes en el almacén se han escogido

aleatoriamente cinco de estos mediante un análisis químico sobre cada lote donde se obtienen los siguientes datos:


b) En base al modelo y mediante el procedimiento proc glm realice los análisis necesarios para determinar la

eficiencia del modelo.

c) Indicar los programas en SAS con proc glm y mixed utilizados para indicar la diferencia entre ellos.

NO COPIA

R



M6. Transformaciones de datos.

Previo a cualquier análisis deben ser satisfechos tres supuestos:

1. Efectos independientes.

Cada dato de la variable de respuesta y los residuales deben ser independientes.

Este requisito es satisfecho en gran manera cuando los tratamientos han sido asignados aleatoriamente a las unidades

experimentales.

2. Distribución normal.

Los datos e la variable de respuesta y los residuales deben seguir una distribución normal:

La distribución es simétrica y unimodal (un solo pico).

Para determinar si los datos siguen o no una distribución normal se utiliza el estadístico de Shapiro Wilks (W) o

Kolnogorov-Smirnot.

Si (Pr<W)≥0,05 entonces los datos de la variable de respuesta y los residuales siguen una distribución normal caso

contrario si (Pr<W)<0,05 los datos de la variable de respuesta y los residuales no siguen una distribución normal Ɛij ≈

NIID (0, σe²).

Si los datos no siguen una distribución normal entonces no se deben analizar los datos con el modelo planteado por

que sería incorrecto.

Si los datos no siguen una distribución normal se tienen dos opciones:

Primera opción:

Analizar los datos bajo la teoría de los modelos lineales generales es decir los datos pueden tener:

Distribución binomial

Distribución multinomial

Distribución poisson

Distribución gamma

Segunda opción:

Transformar los datos de la variable de respuesta a otra escala de tal manera que se lleven los datos a una distribución

normal, los datos pueden tener la siguiente distribución:

NO COPIA

R



Sesgada a la derecha → cola derecha:

En estos casos los datos pequeños son más abundantes que los datos grandes entonces la transformación que

corresponde es el logaritmo que hace que los datos pequeños sean menos abundantes y los datos grandes sean más

abundantes.

La transformación es: Y → Z= Log (Y)

Sesgada a la izquierda → cola izquierda:

La transformación es: Y → Z= exp (Y)

Sesgada a la izquierda:

La transformación es la raíz cuadrada de la variable de respuesta: Y → Z= sqrt (Y)

Sesgada a la derecha:

La transformación es elevar al cuadrado la variable de respuesta: Y → Z= Y**2

El objetivo es (Pr<W)≥0,05

NO COPIA

R



3. Homogeneidad de varianzas (Idénticas).

Homogeneidad de varianzas significa:

S²1=S²2=S²3=…=S²t → Si no ocurre esta igualdad entonces no se puede llevar acabo los análisis.

Para probar si es cierto o no la homogeneidad de varianzas, se hace una prueba de hipótesis como si fueran medias.

1. Hipótesis:

Ho: σ²1=σ²2=σ²3=…=σ²t → Quiere decir que la varianza de los datos de la variable de respuesta es la misma para cada

tratamiento.

Ha: La varianza de datos de una variable de respuesta es diferente en al menos uno de los tratamientos.

2. NS: α= 0,05

3. EP: 𝑴

𝑪~𝑿𝒈𝒍=𝒕−𝟏

𝟐

El estadístico para probar esta hipótesis es el estadístico de Bartlett.

4. RR: Pr(X²≥X²cal)<0,05

𝑀 = (𝑁 − 𝐾)𝑙𝑜𝑔𝑆𝑝2 − ∑(𝑛𝑖 − 1)𝑙𝑜𝑔𝑆𝑖

2

𝑘

𝑖=1

𝑆𝑝2 =

∑ (𝑛𝑖 − 1)𝑆𝑖2𝑘

𝑖=1

𝑁 − 𝐾

𝐶 = 1 +1

3(𝐾 − 1)[∑(𝑛𝑖 − 3)−1 − (𝑁 − 𝐾)−1

𝑘

𝑖=1

]

Si K= Numero de tratamientos y Si² es la varianza del i-esimo tratamiento.

NO COPIA

R



5. Programa SAS:


Data transf;

Input A B y;

Y → Z= Log (Y);

Y → Z= exp (Y); cualquiera hasta que cumpla (Pr<W)≥0,05

Y → Z= sqrt (Y);

Y → Z= Y**2;

Cards;

-

-

;

Proc univariate normal plot;

Var Z;

Run;

Proc glm;

Cuando son varios programas o varias transformaciones:


Data transf_1;

Input trt y;

Y → Z= Log (Y);

Cards;

-

-

;

Proc univariate data= transf_1 normal plot;

Var Z;

Run;

Proc glm data= transf_1;

Class trt;

Model Y=trt/ss3;

Means trt/ hovtest= Bartlett;

Run;

Ejemplo:

Una investigación se llevó acabo con el objetivo de determinar el nivel óptimo de nitrógeno que permite maximizar el

rendimiento de grano de una variedad X de cebada en la localidad de Cotoca para tal efecto fueron evaluados cuatro

niveles de nitrógeno (0, 40, 80, 120 Kg/Ha) de acuerdo al diseño completamente aleatorio los rendimientos de grano

expresados en Ton/Ha fueron los siguientes:

NO COPIA

R



Observamos:

Diferente número de repeticiones.

El factor nitrógeno es cuantitativo: Regresión lineal y cuadrática.

Debe existir transformación.

a) Desarrolle el modelo estadístico para analizar los datos:

DCA= Un solo factor; Factor= Nivel de nitrógeno (0, 40, 80, 120 Kg/Ha).

Modelo: 𝒀𝒊𝒋 = 𝝁 + 𝜻𝒊 + 𝜺𝒋(𝒊)

Tratamientos: i= 1, 2, 3, 4, niveles de nitrógeno (0, 40, 80, 120).

j= 1, 2, … ri parcelas/i-esimo nivel de nitrógeno.

i=1→r1=4, i=2→r2= 5, i=3→r3= 3, i=4→r4=5

Yĳ= Rendimiento del grano expresado en (Ton/Ha) observado en la j-esima parcela donde se sembró la variedad X de

cebada del i-esimo nivel de nitrógeno.

μ= Media general.

ζᵢ= Efecto fijo del i-esimo nivel de nitrógeno.

ξᴊ₍ᵢ₎= Efecto aleatorio de los residuales con: ξ j(i) ≈NIID (0, σe2).

b) Verifique los supuestos de distribución normal y homogeneidad de varianza, en el caso de que no se cumplan estos

requisitos realice la transformación apropiada.

SAS → (Pr<W)≈0,0212<0,05→no sigue una distribución normal (Y ij , Ɛj(i) ), luego se requiere de una transformación de

los datos

NO COPIA

R



Ahora (Pr<W)≈0,1397>0,05→ los datos de (Y ij , Ɛj(i) ) siguen una distribución normal podemos realizar los análisis ahora

probar la homogeneidad de varianzas se realiza antes o después.

1. Hipótesis:

Ho: σ²0=σ²40=σ²80=σ²120 → Quiere decir que la varianza de los datos de la variable de respuesta es la misma para cada

tratamiento.

Ha: La varianza de datos de una variable de respuesta es diferente en al menos uno de los tratamientos.

2. NS: α= 0,05

3. EP: (𝑴

𝑪) ≈ 𝑿𝒕−𝟏=𝟒−𝟏=𝟑

𝟐

El estadístico para probar esta hipótesis es el estadístico de Bartlett.

4. RR: Pr(X²≥X²cal)<0,05

5. CC: Pr(X²≥6,0189)<0,05

0,1107>0,05 →SAHo

SAS- chi-square

6. Conclusión: con 95% de seguridad se concluye que las varianzas del exponencial de rendimiento de grano es la

misma en cada nivel de nitrógeno eso significa varianzas homogéneas.

Como se cumple la distribución normal de los datos y la homogeneidad de varianzas se puede analizar los datos

transformados.


1. Termino corrector (TC):

𝑇𝐶 =𝑌..

2

𝑛=

109,52752

17= 705,6631

2. Suma de cuadrados totales (SCT):

𝑆𝐶𝑇 = ∑ ∑𝑌𝑖𝑗2

𝑟𝑖

𝑗=1

− 𝑇𝐶 = (2,77322 + 2,27052 + ⋯+ 8,58492) − 705,6631 = 127,9562

𝑡=4

𝑖=1

3. Suma de cuadrados del factor nitrógeno (SCN):

𝑆𝐶𝑁 = (∑𝑌𝑖.

2

𝑟𝑖

𝑡=4

𝑖=1

) − 𝑇𝐶 = (10,10162

4+

28,47612

5+

26,29512

3+

44,6542

5) − 705,6631 = 111,3106

NO COPIA

R



4. Suma de cuadrados de los residuales (SCRes):

𝑆𝐶𝑅𝑒𝑠 = 𝑆𝐶𝑇 − 𝑆𝐶𝑁 = 127,9562 − 111,3106 = 16,6456

Cuadro de ANVA:

Prueba de hipótesis para efectos principales: nitrógeno- factor cuantitativo.

Ho: μ0=μ40 =μ80 =μ120→ Quiere decir que el rendimiento de grano de la variedad X de cebada es el mismo con cada

nivel de nitrógeno.

Ha: Significa que el rendimiento de grano de la variedad X de cebada es diferente con al menos un nivel de nitrógeno.

NS: α= 0,05

EP: CMN



CC: Pr(F≥28,98)<0,05→SRHo

0,0001<0,05→SRHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se puede afirmar que el rendimiento de grano de la variedad X de cebada es

diferente con al menos un nivel de nitrógeno. ¿Cuál nivel de nitrógeno?

Factor nitrógeno es cuantitativo entonces corresponde RL y RC.

Como se observa en la gráfica aumenta linealmente y disminuye cuadráticamente.


Nitrogeno t-1=4-1=3 111,3106 37,1035 28,98 <0,0001

Residuales 13 16,6456 1,2804

Total n-1=16 127,9562

NO COPIA

R




Ho: C= (-3) μ0+ (-1) μ40+ (1) μ80+ (3) μ120=0→ Quiere decir que el rendimiento de grano de la variedad X de cebada no

se incrementa linealmente a medida que aumenta el nivel de nitrógeno.

Ha: C ≠ 0→ Significa que el rendimiento de grano de la variedad X de cebada se incrementa linealmente a medida que

aumenta el nivel de nitrógeno.

NS: α= 0,05

EP: CMc



CC: Pr(F≥84,63)<0,05→SRHo

0,0001<0,05→SRHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se concluye que el rendimiento de grano de la variedad X de cebada aumenta

linealmente a medida que se incrementa el nivel de nitrógeno.


Ho: C= (1) μ0+ (-1) μ40+ (-1) μ80+ (1) μ120=0→ Quiere decir que el rendimiento de granos de la variedad X de cebada no

disminuye cuadráticamente a medida que se incrementa el nivel de nitrógeno.

Ha: C ≠ 0→ Significa que el rendimiento de grano de la variedad X de cebada disminuye cuadráticamente a medida que

se incrementa el nivel de nitrógeno.

NO COPIA

R



NS: α= 0,05

EP: CMĉ/CMRes ~ F(α=0,05, DF=1, Res=13)


CC: Pr(F≥7,17)<0,05→SRHo

0,019<0,05→SRHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se concluye que el rendimiento de grano de la variedad X de cebada disminuye

cuadráticamente a medida que se incrementa el nivel de nitrógeno.

Para hallar el nivel óptimo se usa el siguiente modelo de ayuda:

𝒀𝒊 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏𝑿𝒊 + 𝜷𝟐𝑿𝒊𝟐 + 𝜺𝒊

𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒕𝒊𝒄𝒐

I= 1, 2, 3, 4 niveles de nitrógeno (0, 40, 80, 120 Kg/Ha).

Yi= Rendimiento de grano de la variedad X de cebada con el i-esimo nivel de nitrógeno.

Bo= Intercepto o media general ( rendimiento de grano sin la adición de nitrógeno).

Xi= Efecto fijo del i-esimo nivel de nitrógeno.

B1= Cambio lineal del rendimiento de grano por cada adición de 1Kg/Ha de nitrógeno.

𝛽1 =∆𝑌

∆𝑋=

𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

𝑛𝑖𝑡𝑟𝑜𝑔𝑒𝑛𝑜=

3

1

B2= Cambio cuadrático del rendimiento de grano por cada adición de 1Kg/Ha de nitrógeno.

𝒀�� = ��𝟎 + ��𝟏𝑿𝒊 + ��𝟐𝑿𝒊𝟐

𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒕𝒊𝒄𝒐

𝜕𝑌𝑖

𝜕𝑋𝑖

= ��1 + 2��2𝑋𝑖 = 0

𝑋𝑖 = −𝛽1

2𝛽2

Xoptimo= Ymax= Rendimiento máximo

Del SAS obtenemos:

B1= Incremento lineal= 0,112039657

B2= Disminución cuadrática= -0,000469364

𝑋𝑖 = −��1

2��2

= −0,112039657

2𝑥(−0,000469364)= 119,35

El rendimiento de grano de la variedad X de cebada se maximiza con el uso de 119,35 Kg/Ha.

NO COPIA

R



5. Programa SAS:

Programa con los datos tal cual:


data dca_stran;

input nitro y;

cards;

0 1.02

0 0.82

0 1.00

0 0.85

40 1.62

40 2.02

40 1.87

40 1.42

40 1.66

80 2.16

80 1.98

80 2.34

120 2.13

120 2.34

120 2.04

120 2.26

120 2.15

;

proc univariate data=dca_stran normal plot;

var y;

proc glm data=dca_stran;

class nitro;

model y=nitro/ss3;

means nitro/hovtest=bartlett;

run;

Resultado (Pr<W)≈0,0212<0,05→no sigue una distribución normal, hay que usar una transformación.

Pr(X²≥X²cal) <0,05→SRHo

Pr(X²≥36,354) <0,05→SRHo

O,4513>0,05→SAHo

Resultados del SAS:

The SAS System 1


The UNIVARIATE Procedure

Variable: y

Moments

N 17 Sum Weights 17

Mean 1.74588235 Sum Observations 29.68

Std Deviation 0.53367896 Variance 0.28481324

Skewness -0.7165636 Kurtosis -0.9727085

Uncorrected SS 56.3748 Corrected SS 4.55701176

Coeff Variation 30.5678651 Std Error Mean 0.12943616

NO COPIA

R



Basic Statistical Measures

Location Variability

Mean 1.745882 Std Deviation 0.53368

Median 1.980000 Variance 0.28481

Mode 2.340000 Range 1.52000

Interquartile Range 0.73000

Tests for Location: Mu0=0

Test -Statistic- -----p Value------

Student's t t 13.48837 Pr > |t| <.0001

Sign M 8.5 Pr >= |M| <.0001

Signed Rank S 76.5 Pr >= |S| <.0001

Tests for Normality

Test --Statistic--- -----p Value------

Shapiro-Wilk W 0.869055 Pr < W 0.0212 no sigue una DN no es mayor a 0.005 hay que transformar

Kolmogorov-Smirnov D 0.198967 Pr > D 0.0734

Cramer-von Mises W-Sq 0.13647 Pr > W-Sq 0.0335

Anderson-Darling A-Sq 0.846772 Pr > A-Sq 0.0234

Quantiles (Definition 5)

Quantile Estimate

100% Max 2.34

99% 2.34

95% 2.34

90% 2.34

75% Q3 2.15

50% Median 1.98

25% Q1 1.42

Programa transformado:


data dca_ctran;

input nitro y;

z=exp(y);

cards;

0 1.02

0 0.82

0 1.00

0 0.85

40 1.62

40 2.02

40 1.87

40 1.42

40 1.66

80 2.16

80 1.98

80 2.34

120 2.13

120 2.34

120 2.04

120 2.26

120 2.15

;

NO COPIA

R



proc univariate data=dca_ctran normal plot;

var z;

proc glm data=dca_ctran;

class nitro;

model z=nitro/ss3;

contrast"nitro-lin" nitro -3 -1 1 3;

contrast"nitro-cua" nitro 1 -1 -1 1;

means nitro/hovtest=bartlett;

lsmeans nitro/out=medias;

proc glm data=medias;

model lsmean=nitro nitro*nitro/ss3;

run;

Resultados del SAS:

The SAS System 1



Variable: z

Moments

N 17 Sum Weights 17

Mean 6.44279668 Sum Observations 109.527544

Std Deviation 2.82794319 Variance 7.99726271

Skewness -0.2314896 Kurtosis -1.3250256

Uncorrected SS 833.619897 Corrected SS 127.956203

Coeff Variation 43.8931001 Std Error Mean 0.68587697

Basic Statistical Measures

Location Variability

Mean 6.44280 Std Deviation 2.82794

Median 7.24274 Variance 7.99726

Mode 10.38124 Range 8.11074

Interquartile Range 4.44774

Tests for Location: Mu0=0

Test -Statistic- -----p Value------

Student's t t 9.393517 Pr > |t| <.0001

Sign M 8.5 Pr >= |M| <.0001

Signed Rank S 76.5 Pr >= |S| <.0001

Tests for Normality

Test --Statistic--- -----p Value------

Shapiro-Wilk W 0.918579 Pr < W 0.1397 cumple una DN es mayor a 0.005

Kolmogorov-Smirnov D 0.140774 Pr > D >0.1500

Cramer-von Mises W-Sq 0.065931 Pr > W-Sq >0.2500

Anderson-Darling A-Sq 0.456202 Pr > A-Sq 0.2391

NO COPIA

R




Quantile Estimate

100% Max 10.38124

99% 10.38124

95% 10.38124

90% 10.38124

75% Q3 8.58486

50% Median 7.24274

25% Q1 4.13712

The SAS System 2



Variable: z


Quantile Estimate

10% 2.33965

5% 2.27050

1% 2.27050

0% Min 2.27050

Extreme Observations

------Lowest----- ------Highest-----

Value Obs Value Obs

2.27050 2 8.58486 17

2.33965 4 8.67114 10

2.71828 3 9.58309 16

2.77319 1 10.38124 12

4.13712 8 10.38124 14

Stem Leaf # Boxplot

10 44 2 |

9 6 1 |

8 467 3 +-----+

7 257 3 *-----*

6 5 1 | + |

5 13 2 | |

4 1 1 +-----+

3 |

2 3378 4 |

----+----+----+----+

Normal Probability Plot

10.5+ *+++ *

| *++

| **+*+

| **+*++

6.5+ *++

| *+*+

| ++*

| ++++

2.5+ * ++* * *

+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

-2 -1 0 +1 +2

NO COPIA

R



The SAS System 3


The GLM Procedure


Class Levels Values

nitro 4 0 40 80 120



The SAS System 4


The GLM Procedure

Dependent Variable: z

Sum of


Model 3 111.3106115 37.1035372 28.98 <.0001

Error 13 16.6455918 1.2804301


R-Square Coeff Var Root MSE z Mean

0.869912 17.56319 1.131561 6.442797


nitro 3 111.3106115 37.1035372 28.98 <.0001


nitro-lin 1 108.3672304 108.3672304 84.63 <.0001

nitro-cua 1 9.1765366 9.1765366 7.17 0.0190

The SAS System 5


The GLM Procedure

Bartlett's Test for Homogeneity of z Variance

Source DF Chi-Square Pr > ChiSq

nitro 3 6.0189 0.1107

The SAS System 6


The GLM Procedure

Level of --------------z--------------

nitro N Mean Std Dev

0 4 2.52540582 0.25695912

40 5 5.69522859 1.32815921

80 3 8.76503907 1.57135247

120 5 8.93093203 1.05512833

NO COPIA

R



The SAS System 7


The GLM Procedure

Least Squares Means

nitro z LSMEAN

0 2.52540582

40 5.69522859

80 8.76503907

120 8.93093203

The SAS System 8


The GLM Procedure



The SAS System 9


The GLM Procedure

Dependent Variable: LSMEAN

Sum of


Model 2 27.09005553 13.54502777 34.46 0.1196

Error 1 0.39309423 0.39309423


R-Square Coeff Var Root MSE LSMEAN Mean

0.985697 9.676765 0.626972 6.479151


nitro 1 8.19780223 8.19780223 20.85 0.1372

nitro*nitro 1 2.25589857 2.25589857 5.74 0.2517

Standard

Parameter Estimate Error t Value Pr > |t|

Intercept 2.385210559 0.61109698 3.90 0.1597

nitro 0.112039657 0.02453417 4.57 0.1372

nitro*nitro -0.000469364 0.00019593 -2.40 0.2517

NO COPIA

R




Se lleva a cabo una investigación con el objetivo de determinar el nivel óptimo de pH que maximice el rendimiento de

extracto en un mosto congreso. Para este efecto se preparó mostos estériles de un litro a partir de una mezcla de 50%

de maíz desgerminado y 50% de centeno procesado los niveles de pH utilizado fueron 3; 3,5; 5; 6. Los mostos fueron

distribuidos bajo el DCA con distinto número de repeticiones luego de 48 horas de proceso se medió el rendimiento en

extracto los resultados obtenidos fueron los siguientes:

a) Pruebe la normalidad de los datos de la variable de respuesta y la homogeneidad de varianzas.

b) Plantee el modelo utilizado en este experimento y pruebe las hipótesis necesarias para alcanzar los objetivos de la

investigación.

3 3,5 5 6

0 12 80 40

2 8 45 36

1 10 72 40

1 17 43 37

0 15 . 22

NO COPIA

R



M7. Diseño factorial 2n:

Donde n= Numero de factores y 2= Niveles del factor.

23= 8 experimentos

24= 16 experimentos

25= 32 experimentos

Un diseño factorial general:

Como se observa en los dos ejemplos el diseño factorial 23 es el más barato y con los mismos resultados.

Factores: los dos se obtuvieron en una planta piloto de un proceso simplificado para la obtención de un producto

químico ordinario, la matriz del diseño se presenta con los niveles codificados es decir (-) representa al nivel bajo de

factor y (+) al nivel alto del factor.

Temperatura (T): Factor cuantitativo (˚C)

Concentración ©: Factor cuantitativo (%)

Catalizador (K): Factor cualitativo

Variable de respuesta = Rendimiento (Gr).

1. Matriz del diseño 2³= 8ee

Codificado (usar signos):

2K-1→K= Numero de columnas

21-1=20=1→una vez (-) y una vez (+)

22-1=21=2

23-1=22=4→cuatro veces (-) y cuatro veces (+)

A B C

niveles 2X 3X 5= 30 experimentos elementalesX1000Bs=30,000Bs para hacer

mas caro

2³

A B C

niveles 2 X 2 X 2= 8 experimentos elementalesX1000Bs= 8000Bs para hacer

mas barato+ - + - + -

160˚C 180˚C 20% 40% A B

- + - + - +

Nivel Bajo Alto Bajo Alto Bajo Alto

T C K

NO COPIA

R



Los números rojos indican el orden aleatorio para evitar un error experimental grande.

2. Matriz del diseño 2³= 8ee

No codificado:

Calculo de efectos principales: Tablas (*)

Por efecto de un factor se entiende como el cambio de la variable de respuesta al ir del nivel bajo al nivel alto del

factor.

T C K rend(gr)

20=1 2

1=2 2²=4 Y

1(6) - - - 60=Y1

2(4) + - - 72=Y2

3(2) - + - 54=Y3

4(5) + + - 68=Y4

5(7) - - + 52=Y5

6(1) + - + 83=Y6

7(8) - + + 45=Y7

8(3) + + + 80=Y8

ee

T C K rend(gr)

20=1 2

1=2 2²=4 Y

1(6) 160 20 A 60=Y1

2(4) 180 20 A 72=Y2

3(2) 160 40 A 54=Y3

4(5) 180 40 A 68=Y4

5(7) 160 20 B 52=Y5

6(1) 180 20 B 83=Y6

7(8) 160 40 B 45=Y7

8(3) 180 40 B 80=Y8

ee

Y7=45 35 Y8=80

-9 12

14

40 (+) Y3=54 Y4=68

-3

-7 -4

C (%) -6

Y5=52 31 Y6=83

(+)B

-8

11 K

12

20 (-) Y1=60 Y2=72 (-)A

T (˚C)

160 180

NO COPIA

R



Medida individual del efecto de cambiar la T de 160 a 180 ˚C:

NO COPIA

R



Efecto de las iteraciones:

Iteraccion de sus factores:

Interacción TxK:

Una medida de esta interacción la proporciona la diferencia entre el efecto medio de la temperatura con el catalizador

A (-) por convección a la mitad de esa diferencia se le llama interacción entre la temperatura y el catalizador (TxK).

Ver efectos principales en tabla (*):

Interacción TxC:

Interacción CxK:

T K

12 A

14 A

31 B

35 B

NO COPIA

R



Interacción de los tres factores TxCxK:

En el experimento se dispone de dos medidas de la interacción TxC (una para cada catalizador, ver (*)).

Interacción TxC con el catalizador (+) B:

interacción TxC con el catalizador (-) A:

También se podría hacer con: Método de signos, Algoritmo de yates.

Interpretación de resultados:

Efectos calculados para el diseño 23:

Efectos principales:

Interacción de dos factores:

Interacción de tres factores:

(Y8-Y7)-(Y6-Y5)= (50-45)-(83-52)= 2

2 2

NO COPIA

R



Si la estimación está cerca, será a una unidad( es decir debería ser 1,4 o -1,4) si no está lejos. Si está lejos tiene efecto,

si está cercano no tiene efecto (también si está dentro del rango).

Regla: Tiene prioridad las interacciones sobre los efectos principales para la interpretación de los efectos.

Por tanto nuestro resultado tiene efecto en la T, pero en la interacción también se encuentra T por lo que nos

olvidamos de T y solo tomamos en cuenta la interacción.

1. El efecto de la concentración C es disminuir el rendimiento en 5gr y esto sucede independientemente de los niveles

de las otras variables.

2. Los efectos de la temperatura T y catalizador K no se pueden interpretar separadamente debido a la existencia de

la interacción TxK por lo que se los interpreta conjuntamente en la siguiente gráfica.

La mejor concentración C seria 20% porque dice que si se va del nivel bajo al alto el rendimiento disminuirá en 5%.

NO COPIA

R



Calculo de la desviación típica:

𝑆2 =∑𝑆𝑖

2

𝛾=

64

8= 8 𝑣𝑎𝑟(𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠) =

4𝜎2

𝑁=

4𝑆2

𝑁=

4𝑥8

16= 2 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑖𝑝𝑖𝑐𝑎 = √𝑣𝑎𝑟(𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜) = √2 = 1,4

𝛾 = 𝑁 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠

NO COPIA

R



3. Método de los signos:

4. Algoritmo de yates:

5. Bloqueo:

Se usa un diseño factorial 23=8ee, para hacer ocho experimentos lo más homogéneamente posible.

Si en vez de contar ocho mezcladores solo se cuenta con cuatro mezcladores, significa que se tendrá que bloquear

cuatro mezcladores:

El diseño factorial 23 se divide en dos bloques de elementos experimentales para neutralizar el efecto de posibles

diferencias en la mezcla.

NO COPIA

R



Los elementos marcados de color negro 1,4,6,7, fueron hechos en un primer bloque y los elementos experimentales

marcados de rojo 2,3,5,8, fueron hechos como un segundo bloque.

La división en bloques se consigue colocando todos los elementos experimentales en que 123 es negativo en un

bloque y todos en los que 123 es positivo en otro bloque.

Resultado: Se ha confundido de forma deliberada la interacción de tres factores con la diferencia de mezclas de dos

bloques, luego con este diseño no se puede estimar la interacción de tres factores porque normalmente se considera a

la interacción 123 poco importante.

A cambio el experimento en dos bloques garantiza que los efectos principales y las interacciones de dos factores son

medidos con mayor precisión que si no se hubieran bloqueado.

Bloqueo de un 23 en bloques de tamaño 2.

1. Introducir dos factores de bloqueo 4 y 5.

2. Asociar la interacción 123 con el factor del bloque 4 y el factor del bloque 5 con alguna interacción de 2 factores

por ejemplo:23 el resultado es 4=123, 5=23

ee 1 2 3 12 13 23 123 bloque 1 2 3 ee

1 - - - + + + - I - - - 1

2 + - - - - + + II + + - 4

3 - + - - + - + II bloque I + - + 6

4 + + - + - - - I - + + 7

5 - - + + - - + II + - - 2

6 + - + - + - - I - + - 3

7 - + + - - + - I bloque II - - + 5

8 + + + + + + + II + + + 8

NO COPIA

R



Se asigna los elementos experimentales a los diferentes bloques de acuerdo a los signos de la variable 4 y 5.

6. Diseño factorial 24=16ee.

Ejemplo:

ee 1 2 3 4=123 5=23 BLOQUE 1 2 3 ee

1 - - - - + + + - 4

2 + - - + + + - + 6

3 - + - + - - + - 3

4 + + - - - - - + 5

5 - - + + - - - - 1

6 + - + - - - + + 7

7 - + + - + + - - 2

8 + + + + + + + + 8IV

I

II

III

EXPERIMENTOS DIVIDIDOS EN BLOQUES

4 5

a) Los que tienen - y - al primer bloque I

b) Los que tienen + y - al segundo bloque II

c) Los que tienen - y + al tercer bloque III

d) Los que tienen + y + al cuarto bloque IV

Variables

- +

1. Carga del catalizador (lbm) 10 15

2. Temperatura (°C) 220 240

3. Presion (Psi) 50 80

4. Concentracion (%) 10 12

ee 1 2 3 4 conversion (%)

1 - - - - 71

2 + - - - 61

3 - + - - 90

4 + + - - 82

5 - - + - 68

6 + - + - 61

7 - + + - 87

8 + + + - 80

9 - - - + 61

10 + - - + 50

11 - + - + 89

12 + + - + 83

13 - - + + 59

14 + - + + 51

15 - + + + 85

16 + + + + 78

Datos del procesoNO COPIA

R



Calculo de la desviación típica utilizando interacciones de orden superior: Miden diferencias debidas principalmente al

error experimental.

ee I 1 2 3 4 12 13 14 23 24 34 123 124 134 234 1234 conversion (%)

1 + - - - - + + + + + + - - - - + 71

2 + + - - - - - - + + + + + + - - 61

3 + - + - - - + + - - + + + - + - 90

4 + + + - - + - - - - + - - + + + 82

5 + - - + - + - + - + - + - + + - 68

6 + + - + - - + - - + - - + - + + 61

7 + - + + - - - + + - - - + + - + 87

8 + + + + - + + - + - - + - - - - 80

9 + - - - + + + - + - - - + + + - 61

10 + + - - + - - + + - - + - - + + 50

11 + - + - + - + - - + - + - + - + 89

12 + + + - + + - + - + - - + - - - 83

13 + - - + + + - - - - + + + - - + 59

14 + + - + + - + + - - + - - + - - 51

15 + - + + + - - - + + + - - - + - 85

16 + + + + + + + + + + + + + + + + 78

16 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

Signos para el calculo de los efectos del factorial 24

Efectos Efectos estimados ± desviacion tipica

Media 72,25

1 -8 ± 0,55

2 24 ± 0,55

3 -2,25 ± 0,55

4 -5,50 ± 0,55

12 1,0 ± 0,55

13 0,75 ± 0,55

14 0,0 ± 0,55

23 -1,25 ± 0,55

24 4,50 ± 0,55

34 -0,25 ± 0,55

123 -0,75 ± 0,55

124 0,50 ± 0,55

134 -0,25 ± 0,55

234 -0,75 ± 0,55

1234 -0,25 ± 0,55

Efectos estimados del diseño

efecto (efectos)²

1 123 -0,75 0,5625

2 124 0,5 0,25

3 134 -0,25 0,0625

4 234 -0,75 0,5625

5 1234 -0,25 0,0625

suma= 1,50grados de libertad γ=5

NO COPIA

R



𝑣𝑎𝑟2𝑥(𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜) =𝑠𝑢𝑚𝑎

𝛾=

1,5

5= 0,3 𝑆 = √𝑣𝑎𝑟2𝑥(𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜) = √0,3 = ±0,5

𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑖𝑝𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠 = 𝑆2 =𝛾1𝑆1

2 + 𝛾2𝑆22 + ⋯ + 𝛾𝑞𝑆𝑞

2

𝛾1 + 𝛾2 + ⋯+ 𝛾𝑞

Interpretación de los resultados:

1. Un aumento de la carga del catalizador desde 10 a 15 lbm reduce el grado de conversión en un 8% y el efecto es

estable a todos los niveles de los otros factores ensayados: -8±0,55.

Ya que no existe interacción de la carga del catalizador con otras variables.

2. Puesto que hay interacción entre la temperatura (variable “) y la concentración (variable 4) los efectos se deben

considerar conjuntamente con el siguiente gráfico.

Nos da el SAS hay que hacer:

NO COPIA

R



3. De el grafico se puede concluir que las altas temperaturas registran altas conversiones la interacción ocurre porque

a bajas temperaturas un aumento de la concentración hace que disminuya el grado de conversión mientras que a altas

temperaturas el efecto de concentración, no tiene un efecto apreciable.

4. Diagnostico o ecuación predictiva la da el SAS.

�� = 𝟕𝟐, 𝟐𝟓 + (−𝟖

𝟐) 𝑪𝑲 +

𝟐𝟒

𝟐𝑻 + (

−𝟓, 𝟓

𝟐)𝑪 +

𝟒, 𝟓

𝟐𝑻𝑪

Donde CK, T, C, TC, toman el valor de (-1) o (+1) de la matriz de datos (tablas).

Los coeficientes que aparecen en la ecuación son la mitad de los efectos calculados porque en un cambio de (-1) a

(+1) es un cambio de dos unidades en la dirección del eje X:

NO COPIA

R



7. Programa SAS:

Vamos al SAS, luego hacemos click en los siguientes pasos:

Solutions

Analysis

Desing of experiments

Yes

Add

Cancel

Hacer click en un cubo

Definir variables

Add (3)

X1 click cambio a T

Low level 160

High level 180

Factor label temperature (°C) y asi hasta terminar las 3 variables

Cerrar

Aceptar los cambios si

Select desing

Full Factory

Cerrar

En Yi introducir todos los valores que son 8

Cerrar

Yes

Explore

Interaccion plot

Cubo plot

Cambiar X por C

Cambiar Y por K

Cambiar Z por T

Cerrar

Fit

Cerrar

Yes si es rojo good back

Elegir catalizador

Ok

Optimizer

Yes

Next

Cerrar

Numerical optimizer

Next

Next

Finish

Reports

NO COPIA

R



Select todo

Text o html

Generacion de reportaje.

8. Resultados del SAS:

ADX Report for Untitled Experiment

Today's date: 25SEP1997

Experiment creation date: 25SEP1997

DESIGN DETAILS

Design type: Two-level

Design description: Full Factorial

Number of factors: 3

Number of runs: 8

Resolution: Full

FACTORS

Factors and Levels:

___________________________________________

Factor Label Low Center High

____________________________________________

T Temperatura(C) 160 170 180

C Concentracion(%)20 30 40

K Catalizador A 0 B

____________________________________________

RESPONSE

________

Response

________

Y1

________

CONFOUNDING RULES

No confounding rules

ALIAS STRUCTURE

No effects aliased

DESIGN POINTS (Coded)

___________________________

RUN T C K Y1

___________________________

1 -1 -1 -1 60

2 1 -1 -1 72

3 -1 1 -1 54

4 1 1 -1 68

5 -1 -1 1 52

6 1 -1 1 83

7 -1 1 1 45

8 1 1 1 80

___________________________

NO COPIA

R



DESIGN POINTS (Uncoded)

___________________________

RUN T C K Y1

___________________________

1 160 20 A 60

2 180 20 A 72

3 160 40 A 54

4 180 40 A 68

5 160 20 B 52

6 180 20 B 83

7 160 40 B 45

8 180 40 B 80

___________________________

FIT DETAILS:

Y1 Check Assumptions Analysis

_______________________________________________________

Response Transformation

Optimal power from Box-Cox plot: Y1**2

Power recommended by ADX: Y1**2

Power applied for response transformation: Y1**2

Response Scaling Shift: 0

Outlier Observations

Outlier statistic: Poutlier

Outlier criterion: 0.05

Run numbers deleted from analysis: None

Influential Observations

Influential statistic: Dffits

Influential criterion: 2

Run numbers deleted from analysis: None

_______________________________________________________

ANOVA for Y1

____________________________________________________________________________________________________

Master Model Predictive Model

_____________________________________________ _____________________________________________

Source DF SS MS F Pr > F DF SS MS F Pr > F

____________________________________________________________________________________________________

T 1 17558738 17558738 32247.45 0.003545 1 17558738 17558738 3875.816 0.0001

C 1 727218 727218 1335.57 0.017416 1 727218 727218 160.522 0.001061

K 1 358704.5 358704.5 658.7778 0.024791 1 358704.5 358704.5 79.17839 0.002993

T*C 1 12324.5 12324.5 22.63453 0.131892

T*K 1 3468978 3468978 6370.942 0.007975 1 3468978 3468978 765.7225 0.000104

C*K 1 722 722 1.325987 0.455242

Model 6 22126685 3687781 6772.784 0.009301 4 22113639 5528410 1220.31 0.0001

Error 1 544.5 544.5 3 13591 4530.333

Total 7 22127230 7 22127230

____________________________________________________________________________________________________

NO COPIA

R



Fit Statistics for Y1

____________________________________________


____________________________________________

Mean 4292.75 4292.75

R-square 100.0% 99.94%

Adj. R-square 99.98% 99.86%

RMSE 23.33452 67.30775

CV 0.54358 1.56794

____________________________________________

Alias Structure for Y1

_________________________________________


_________________________________________

No effects aliased. No effects aliased.

_________________________________________

Predictive Model for Y1

___________________________________________________________________

Coded Levels(-1,1):

Y1 = 4292.75 + 1481.5*T - 301.5*C + 211.75*K + 658.5*T*K

Uncoded Levels:

Y1 = -30971 + 214*T - 30.15*C + 21965.5*(K='A') - 131.7*T*(K='A')

___________________________________________________________________

Effect Estimates for Y1

__________________________________________________________________________________________________________


___________________________________________ ___________________________________________

Term Estimate Std Err t Pr > |t| Estimate Std Err t Pr > |t|

__________________________________________________________________________________________________________

T 2963 16.5 179.5758 0.003545 2963 47.59377 62.25605 0.0001

C -603 16.5 -36.5455 0.017416 -603 47.59377 -12.6697 0.001061

K 423.5 16.5 25.66667 0.024791 423.5 47.59377 8.898224 0.002993

T*C 78.5 16.5 4.757576 0.131892

T*K 1317 16.5 79.81818 0.007975 1317 47.59377 27.67169 0.000104

C*K 19 16.5 1.151515 0.455242

__________________________________________________________________________________________________________

OPTIMIZATION

Factors:

____________________________________

Factor Label Setting

____________________________________

T Temperatura(C) 170

C Concentracion(%) 30

K Catalizador A

____________________________________

Response(s):

_______________________________________

Response Est. Value

_______________________________________

Y1 63.88271 [45.42071,82.3447]

_______________________________________

Desirability:

____________________________

Overall

54.85%

NO COPIA

R



Y1

D(Y1) = 0 when Y1 < 20

D(Y1) = 0.5 when Y1 = 60

D(Y1) = 1 when Y1 > 100

Function power:

Lower half: 1

Upper half: 1

___________________________


En el siguiente experimento diseñado con el factorial completo 25 realizado para aumentar el rendimiento de un

proceso químico para la obtención de un producto, se tomaron en cuenta cinco factores estos son los siguientes:

Los resultados del rendimiento en gramos del producto son los siguientes:

a) Determinar todos los efectos y sus interacciones.

b) Calcular los efectos principales las interacciones y la desviación

Típica de los datos.

c) Interpretar los resultados obtenidos indicando que efectos son

significativos y de qué manera (SAS).

d) Calcular con tres replicas como se muestra en la tabla:

RENDIMIENTO Y(gr del producto)

15,6

13,5

16,3

17,1

26,8

25

30

28,9

15,4

12,7

15,3

15,9

20,3

21,3

27

24,1

28,9

29

33,7

33,6

47,4

44,2

52,6

46,2

27,8

29,5

30,1

29,6

35,9

36,4

40

38,6

NO COPIA

R



M8. Diseño factorial fraccional a dos niveles.

Cuando n es grande en el diseño 2n se puede obtener la misma información realizando solo una fracción del diseño

factorial 2n.

Redundancia.

Considerando un diseño con K variables por ejemplo:

27= 128 experimentos elementales: permite calcular 128 estadísticos que estiman los siguientes efectos:

La importancia de los efectos principales tiende a ser mayor que el de dos factores que a su vez tiende a ser mayor que

el de 3 factores y así sucesivamente.

A partir de un cierto punto las interacciones de orden superior resultan insignificantes y pueden prescindirse de ellas,

luego existe redundancia en términos de exceso de interacciones o en exceso de variables. Los diseños fraccionales

explotan esta redundancia.

Media fracción de un diseño 25= 32 ee →(1/2)x25= 25-1= 16ee→R

NO COPIA

R



123 45 12 345

- - + +

+ + - -

+ + - -

- - + +

+ + + +

- - - -

- - - -

+ + + +

- - + +

+ + - -

+ + - -

- - + +

+ + + +

- - - -

- - - -

+ + + +

1. Construcción y análisis de medias fracciones.

El diseño 25-1 se constituye de la siguiente manera:

1. Se escribe un diseño 24 completo para las cuatro variedades (1, 2, 3, 4).

2. Se escribe la columna de signos para la interacción 1234 y estos signos sirven para definir las cinco variables es

decir: 5=1234.

2. Análisis de la media fracción.

1. Con los 16ee estimados 16 efectos son:

Una media

Cinco efectos principales

Diez iteraciones de dos factores

2. Un efecto es no estimable cuando está confundido con otro efecto:

Numero signos par→ positivo (+)

Numero de signos impar→ negativo (-)

Así 123 está confundido con 45 y 12 está confundido con 345

Equivalentemente se dice que

123 y 45 son alias, así como también 12 y 345 son alias.

Si están confundidos entonces tienen el mismo efecto:

𝑙45 =1

8(−56 + 53 + 63 − 65 + 53 − 55 − 67 + 61 − 69 + 45 + 78 − 93 + 49 − 60 − 95 + 88) = −9,5

3. Patrón de confusión y efectos estimados del diseño 25-1:

1=2345 l1=1+2345 l1=-2,0

2=1345 l2=2+1345 l2=20,5

3=1245 l3=3+1245 l3=0,0

4=1235 l4=4+1235 l4=12,25

5=1234 l5=5+1234 l5=-6,25

12=345 l12=12+345 l12=1,5

13=245 l13=13+245 l13=0,5

14=235 l14=14+235 l14=-0,75

15=234 l15=15+234 l15=1,25

23=145 l23=23+145 l23=1,5

24=135 l24=24+135 l24=10,75

25=134 l25=25+134 l25=1,25

34=125 l34=34+125 l34=0,25

35=124 l35=35+124 l35=2,25

45=123 l45=45+123 l45=-9,5

I=12345

RELACION ENTRE

PARES DE COLUMNAS

PATRON DE

CONFUSIOESTIMACION

NO COPIA

R



1x1=12=I

2x2=22=I

4x4=42=I

5x5=52=I

5x5=1234x5

52=12345

I=12345

I=123

1xI=1x123

1=12x23

1=I23

1=23

I=1234

1xI=1x1234

1=Ix234

Ix3=234x3

13=2324

13=2I4

13=24

I=12345

12=345

123=45

1=23

I= columna idéntica.

La multiplicación de los elementos de cualquier columna

por una columna de elementos idénticos o multiplicación

por si misma da una columna de signos (+) que se designa con la letra I:

4. Generador y relación de definición:

El diseño 25-1 se construye haciendo 5=1234,

A esta relación se lo llama generador del diseño

Pero más convenientemente se llama generador del diseño a I también se lo conoce como relación de definición:

5. Resolución de un diseño:

El diseño 25-1 es de resolución 5 porque de acuerdo al patrón de confusión se puede notar: l1=1+2345 y l2=12+345 de

manera que los efectos principales están confundidos con las iteraciones de cuatro factores de dos factores están

confundidos con la de tres factores

La resolución de un diseño se escribe como subíndice con un número romano: 2𝑣5−1

1. Un diseño de R=III,

No confunde los efectos principales entre sí,

Pero los confunde con la iteración de dos factores

2. Un diseño de R=IV,

No confunde los efectos principales

Con las iteraciones de dos factores,

Pero confunde las iteraciones de dos factores entre sí.

3. Un diseño de R=V,

no confunde los efectos principales

con las iteraciones de dos factores

porque faltarían dos pero confunde

las de dos factores con las de tres, etc.

No existe porque siempre tiene que estar las cinco variables porque además faltan 4 y 5.

NO COPIA

R



En general la resolución está dada por el segundo miembro de:

𝐼 = ±123 → 𝑅 = 3 → 2𝐼𝐼𝐼3−1

𝐼 = ±1234 → 𝑅 = 4 → 2𝐼𝑉4−1

𝐼 = ±12345 → 𝑅 = 5 → 2𝑉5−1

Ejemplo:

Complemento diseño de Placket Burman:

NO COPIA

R



6. Ejercicio propuesto:

Estimar los efectos del siguiente diseño factorial 25-1 que toma en cuenta los siguientes factores:

La variable de respuesta es expresada en velocidad de filtración (m3/min) y los resultados son los siguientes:

a) Determinar cuáles son los efectos significativos y elegir los niveles apropiados del experimento.

Y

14,8

14,5

18,1

19,4

18,4

15,7

27,3

28,2

16

15,1

18,9

22

19,8

18,9

29,9

27,4 NO COPIA

R



M9. Diseño binomial (DB).

Estadístico de Wald, para datos pequeños:

Si la distribución es normal la varianza es constante:

Si la distribución no es normal las varianzas son diferentes:

El estadístico de Wald tiene una distribución X² con: 𝑾~𝑿𝒈𝒍𝟐

Función de ligamiento.

𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑔𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡 = 𝑙𝑜𝑔 =𝜋𝑖

1 − 𝜋𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜃𝑖 =

𝜋𝑖

1 − 𝜋𝑖=

𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜

𝑛𝑜 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜

Se usa la función logit para la distribución binomial y multinomial en SAS se indica como: link= logit

Análisis de datos binarios.

Se presenta cuando la Yi tiene dos alternativas, ejemplo:

En cereales: germinados (%) no germinados (%)

En alimentos: gusta (%) no gusta (%)

En reacciones químicas: convertido (%) no convertido (%)

Donde la variable de respuesta:

𝒀𝒊~𝒃𝒊𝒏[𝒏𝒊𝝅𝒊, 𝒏𝒊𝝅𝒊(𝟏 − 𝝅𝒊)]

ni πi= media, ni= número de individuos.

NO COPIA

R



πi= probabilidad de ocurrencia, ni πi (1-πi)= varianza.

La binomial pertenece a la distribución exponencial quiere decir que los análisis se pueden llevar a cabo bajo los

modelos lineales generales (glm).

Estos modelos se formulan considerando que la ocurrencia pertenece [0,1] y la probabilidad se expresa como una

función de X'iB donde X'i es la transpuesta de la matriz de datos y B el vector de parámetros a estimar, pueden tomar

valores de -∞ a +∞ cuando se realiza la siguiente transformación:

Transformación de logit:

El interés radica en calcular la probabilidad πi para probar las hipótesis utilizamos el estadístico de wald.

𝑙𝑜𝑔 =𝜋𝑖

1 − 𝜋𝑖= 𝑋𝑖

′

𝜋𝑖

1 − 𝜋𝑖= 𝑒𝑋𝑖

′𝐵

𝜋𝑖 = 𝑒𝑋𝑖′𝐵(1−𝜋𝑖)

𝜋𝑖 =𝑒𝑋𝑖

′𝐵

1 + 𝑒𝑋𝑖′𝐵

Estimación de prueba de hipótesis:

�� = (𝑿′𝑾𝑿)−𝟏𝑿′𝑾𝒁

Donde Z es la variable de respuesta W son las cargas o frecuencias (Weight).

El modelo estadístico es:

𝑛𝑖 = 𝑙𝑜𝑔 =𝜋𝑖

1 − 𝜋𝑖= 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖

𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑖𝑐𝑎 = 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

Donde Xi= el factor.

B1= el parameo.

Bo= el interceptor, en el SAS log es interpretado como Ln.

Los parámetros que tenemos que encontrar son Bo y B1 sobre la probabilidad de ocurrencia y no ocurrencia.

NO COPIA

R



Ejemplo:

Una investigación desea determinar el efecto del consumo de alimentos con alto nivel de grasas atraves de la

medición de la presión sanguínea sobre la presencia de alguna enfermedad en el corazón en una población X de

mujeres para tal finalidad se escogieron aleatoriamente 1331 mujeres las cuales fueron evaluadas por su presión

sanguínea y la presencia o no de alguna enfermedad en el corazón. Los resultados fueron los siguientes:

¿Cuál es el efecto de la presión sobre alguna enfermedad en el corazón?


𝒍𝒐𝒈 =𝝅𝒊

𝟏 − 𝝅𝒊= 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏𝑿𝒊

𝒏𝒊 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏𝑿𝒊

Probabilidad π ϵ [0-1]

Log ϵ[-∞,+∞]

I= 1, 2,…, 1331 mujeres.

πi= probabilidad de que la i-esima mujer tenga alguna enfermedad en el corazón.

Bo= intercepto.

Xi= Presión sanguínea medida en la i-esima mujer.

B1= Cambio en el logit de la probabilidad de tener alguna enfermedad en el corazón debido al cambio en una unidad

de la presión sanguínea.

NO COPIA

R



Diagrama de la regresión lineal:

Se trata de estimar B0 y B1, Ecuación que utiliza el SAS:

𝜷 = (𝜷𝟎

𝜷𝟏) (𝑿′𝑾𝑿)−𝟏𝑿′𝑾𝒁

Luego de ejecutar el programa SAS, nos entrega dos cuadros:

Parameter DF Estimate Standard Chi-Square

Pr>ChiSq Error

Bo Intercept 1 -6.0078 0.7591 -7.4955 -4.5200 62.64

<.0001

B1 presion 1 0.0240 0.0051 0.0140 0.0340 22.06

<.0001

Scale 0 1.0000 0.0000 1.0000 1.0000

Source Deviance DF Chi-Square Pr>ChiSq

Intercept 679.4729

presion 653.4571 1 21.02 <.0001

Wald 95%

confidence Limits

Analysis Of Parameter Estimates

NOTE: The scale parameter was held fixed.

LR Statistics For Type 1 Analysis

NO COPIA

R



1. Prueba de hipótesis de efecto principal: Presión sanguínea.

Ho: B1= 0 → Quiere decir que la presión sanguínea no tienen efecto sobre la probabilidad de tener una enfermedad en

el corazón.

Ha: B1≠ 0 → Quiere decir que la presión sanguínea si tiene efecto sobre la probabilidad de tener alguna enfermedad en

el corazón.

NS: α= 0,01

EP: Wald ~ X21=gl

RR: Pr(X²≥X²cal)<0,01

CC: Pr(X²≥21,02)≡0,0001<0,01→SRHo

Conclusión: Con 99% de seguridad se puede afirmar que la presión sanguínea tiene efecto sobre la probabilidad de

tener alguna enfermedad en el corazón. ¿De qué manera tiene efecto?

B1= 0,0240 x 100= 2,4% → Es decir por cada incremento en una unidad de presión sanguínea la probabilidad de tener

alguna enfermedad en el corazón se incrementa en 2,4% sobre el 100%.

𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝛽1 = 0,024 → 𝑒0,024 = 1,024

Logit es lineal:

𝑛𝑖 = 𝑙𝑜𝑔 =𝜋𝑖

1 − 𝜋𝑖= 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖

Pero πi Vs presión no es lineal:

𝜋𝑖 =𝑒𝑋𝑖

′𝐵

1 + 𝑒𝑋𝑖′𝐵

𝑛𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 = −6,0078 + 0,024(117) = −3,1998

𝑒𝑛𝑖 = 𝑒−3,1998 = 0,04077

𝑛𝑖 = 𝑙𝑛 =𝜋𝑖

1 − 𝜋𝑖→ 𝜋𝑖 =

𝑒𝑛𝑖

1 + 𝑒𝑛𝑖=

0,04077

1 + 0,0407= 0,0392

NO COPIA

R



2. Conclusión general: Se puede afirmar con un 99% que por cada incremento de 0,04077 unidades de presión

sanguínea la probabilidad de tener una enfermedad en el corazón se incrementa en 2,4%.

3. Programa SAS:


data bin_reg;

input presion resp ind;

n=1;

cards;

117 1 5

117 0 153

121.5 1 17

121.5 0 235

131.5 1 12

131.5 0 272

141.5 1 16

141.5 0 255

151.5 1 12

151.5 0 127

161.5 1 8

161.5 0 77

176.5 1 16

176.5 0 83

186 1 8

186 0 35

;

proc genmod data=bin_reg;

model resp/n=presion/dist=binomial link=logit wald type1;

weight ind;

run;

NO COPIA

R



Resultados del SAS:

The SAS System 1 20:51 Wednesday, April 26, 2013 The GENMOD Procedure Model Information Data Set WORK.BIN_REG Distribution Binomial Link Function Logit Response Variable (Events) resp Response Variable (Trials) n Scale Weight Variable ind Number of Observations Read 16 Number of Observations Used 16 Sum of Weights 1331 Number of Events 8 Number of Trials 16 Criteria For Assessing Goodness Of Fit Criterion DF Value Value/DF Deviance 14 658.4571 47.0327 Scaled Deviance 14 658.4571 47.0327 Pearson Chi-Square 14 1344.2793 96.0199 Scaled Pearson X2 14 1344.2793 96.0199 Log Likelihood -329.2286 Algorithm converged. Analysis Of Parameter Estimates Standard Wald 95% Chi- Parameter DF Estimate Error Confidence Limits Square Pr > ChiSq Intercept 1 -6.0078 0.7591 -7.4955 -4.5200 62.64 <.0001 presion 1 0.0240 0.0051 0.0140 0.0340 22.06 <.0001 Scale 0 1.0000 0.0000 1.0000 1.0000 NOTE: The scale parameter was held fixed. LR Statistics For Type 1 Analysis Chi- Source Deviance DF Square Pr > ChiSq Intercept 679.4729 presion 658.4571 1 21.02 <.0001

NO COPIA

R




Se considera que el daño causado por las larvas de una mosca (melanogramica spp) es una vía de ingreso del fusarium

en las raíces de la arveja para verificar esta teoría se tomaron aleatoriamente plantas de arveja en un campo donde se

conoce que existe fusarium y las moscas en cada una de ellas se determinó el número de larvas y la presencia o

ausencia de fusarium los resultados son los siguientes:

0=ausencia de fusarium, 1= presencia de fusarium.

a) Desarrolle el modelo estadístico y el programa SAS.

b) Realice los análisis necesarios a fin de lograr los objetivos del experimento.

N LARVAS FUSARIUM

1 9 0

2 13 0

3 6 0

4 8 0

5 10 0

6 4 0

7 14 0

8 8 0

9 11 0

10 7 0

11 9 0

12 7 0

13 5 0

14 14 0

15 13 1

16 16 1

17 10 1

18 12 1

19 11 1

20 14 1

21 15 1

22 18 1

23 7 1

24 16 1

25 9 1

26 9 1

27 11 1

28 13 1

29 15 1

30 13 1

31 10 1

32 11 1

33 6 1

34 17 1

35 14 1

36 19 1

37 9 1

38 11 1

39 14 1

40 10 1

41 16 1

42 10 1

43 16 1

44 14 1

45 13 1

46 13 1

47 9 1

48 15 1

49 10 1

50 11 1

51 12 1

52 4 1

53 14 1

54 20 1

NO COPIA

R



M10. Diseño Multinomial-(DM).

Se trata de una regresión como el capítulo anterior con la diferencia de que esta regresión tiene más de un nivel del

factor.

Ejemplo:

Una investigación se realizó con la finalidad de determinar la línea de arveja más resistente a la contaminación

causada por fusarium para tal efecto siete líneas de arveja provenientes de un centro de investigación fueron

establecidas en macetas e inoculadas bajo invernadero durante el estado de floración se evaluó el grado de daño en

una escala de 1 a 3 donde:

1= Muy resistente, 2= Moderadamente resistente, 3= Susceptible.

Se obtuvieron los siguientes resultados:

1. Objetivo: Determinar la línea de arveja más resistente al fusarium.

2. Variable de respuesta: Severidad o grado de daño.

3. Unidad experimental: Una maceta.

4. Unidad de muestreo: Una maceta.

5. Modelo estadístico: Tomando como referencia la última categoría de severidad es decir la 3= susceptible,

planteamos la probabilidad de daño con una severidad determinada en cada una de las líneas de arveja como:

𝒍𝒐𝒈𝝅𝒊𝒋

𝝅𝒊𝟑= 𝒏𝒋 + 𝜶𝒊𝒋

i= 1, 2, .., 7 líneas de arvejas.

j= 1, 2, 3, niveles de severidad.

Πij = Es la probabilidad de que una planta de la i-esima línea de arveja tenga el j-esimo nivel de severidad. πi3 el tres

es la última categoría de referencia el último nivel.

nj= Media general de logit para el j-esimo nivel de severidad, se calcula 2j el ultimo sirve de referencia.

αij= Es el efecto fijo del j-esimo nivel de severidad sobre la i-esima línea de arveja, i= 6 niveles de arveja, j= 2 niveles de

severidad→6x2=12 seis líneas asociadas en dos niveles de severidad.

1 2 3

1 1 12 46

2 16 27 80

3 43 26 60

4 54 15 41

5 39 10 38

6 30 5 33

7 18 2 37

LINEA DE

ARVEJA

SEVERIDAD 0 GRADO DE DAÑO

NO COPIA

R



Línea 1:

𝒍𝒐𝒈 =𝝅𝟏𝟏

𝝅𝟏𝟑

= 𝒏𝟏 + 𝜶𝟏𝟏

𝒍𝒐𝒈 =𝝅𝟏𝟐

𝝅𝟏𝟑

= 𝒏𝟐 + 𝜶𝟏𝟐

Línea 2:

𝒍𝒐𝒈 =𝝅𝟐𝟏

𝝅𝟐𝟑

= 𝒏𝟏 + 𝜶𝟐𝟏

𝒍𝒐𝒈 =𝝅𝟐𝟐

𝝅𝟐𝟑

= 𝒏𝟐 + 𝜶𝟐𝟐

.

.

.

Línea 6:

𝒍𝒐𝒈 =𝝅𝟔𝟏

𝝅𝟔𝟑

= 𝒏𝟏 + 𝜶𝟔𝟏

𝒍𝒐𝒈 =𝝅𝟔𝟐

𝝅𝟔𝟑

= 𝒏𝟐 + 𝜶𝟔𝟐

Para la línea 7:

Coeficientes para: 2-7

α1+α2+α3+α4+α5+α6+α7=0

α2-α7= α2 -(-α1-α2-α3-α4-α5-α6)

α2-α7= 1 α1+2α2+1α3+1α4+1α5+1α6

Coeficientes para: 4-7

α1+α2+α3+α4+α5+α6+α7=0

α4-α7= α4 -(-α1-α2-α3-α4-α5-α6)

α4-α7= 1 α1+1α2+1α3+2α4+1α5+1α6

NO COPIA

R



La sentencia Weight: Se utiliza para introducir la variable que contiene las ponderaciones o pesos de las observaciones

la sintaxis es:

Weight nombre de la variable; Se usa para datos agrupados

6. Programa SAS:


data multi;

input linea sev frec;

cards;

1 1 1

1 2 12

1 3 46

2 1 16

2 2 27

2 3 80

3 1 43

3 2 26

3 3 60

4 1 54

4 2 15

4 3 41

5 1 39

5 2 10

5 3 38

6 1 30

6 2 5

6 3 33

7 1 18

7 2 2

7 3 37

;

proc catmod;

response logits;

model sev=linea/ml pred=prob;

contrast '4-5' linea 0 0 0 1 -1 0;

contrast '2-7' linea 1 2 1 1 1 1;

weight frec;

run;

Resultado del SAS:

The SAS System 1 22:13 Wednesday, April 26, 2013 The CATMOD Procedure Data Summary

Response sev Response Levels 3 Weight Variable frec Populations 7 Data Set MULTI Total Frequency 633 Frequency Missing 0 Observations 21

NO COPIA

R



Population Profiles Sample linea Sample Size ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒffffffffffƒƒƒƒƒƒ 1 1 59 2 2 123 3 3 129 4 4 110 5 5 87 6 6 68 7 7 57 Response Profiles Response sev ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒffffffffƒƒƒƒƒ 1 1 2 2 3 3 Maximum Likelihood Analysis Maximum likelihood computations converged. Maximum Likelihood Analysis of Variance Source DF Chi-Square Pr > ChiSq ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒffffffffffƒƒƒ Intercept 2 109.14 <.0001 linea 12 61.49 <.0001 Likelihood Ratio 0 . .

The SAS System 2 22:13 Wednesday, April 26, 2013 The CATMOD Procedure Analysis of Maximum Likelihood Estimates Function Standard Chi- Parameter Number Estimate Error Square Pr > ChiSq ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒffffffffffffffffffffffƒƒƒƒ Intercept 1 -0.8980 0.1677 28.68 <.0001 2 -1.4874 0.1555 91.52 <.0001 linea 1 1 -2.9307 0.8705 11.33 0.0008 1 2 0.1436 0.3150 0.21 0.6484 2 1 -0.7115 0.2858 6.20 0.0128 2 2 0.4012 0.2440 2.70 0.1002 3 1 0.5648 0.2380 5.63 0.0176 3 2 0.6511 0.2521 6.67 0.0098 4 1 1.1734 0.2424 23.43 <.0001 4 2 0.4818 0.2987 2.60 0.1067 5 1 0.9239 0.2554 13.09 0.0003 5 2 0.1524 0.3382 0.20 0.6524 6 1 0.8026 0.2712 8.76 0.0031 6 2 -0.3997 0.4344 0.85 0.3575 Contrasts of Maximum Likelihood Estimates Contrast DF Chi-Square Pr > ChiSq ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒffffffffffffffƒƒƒ 4-5 2 0.86 0.6511 5-6 2 0.87 0.6488 2-7 2 12.46 0.0020

NO COPIA

R



The SAS System 3 22:13 Wednesday, April 26, 2013 The CATMOD Procedure Maximum Likelihood Predicted Values for Response Functions ------Observed----- -----Predicted----- Function Standard Standard linea Number Function Error Function Error Residual ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒfffffffffffffffffffffffffƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒffƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ 1 1 -3.82864 1.010811 -3.82864 1.010725 -1.51E-8 2 -1.34373 0.324149 -1.34373 0.324149 0 2 1 -1.60944 0.273861 -1.60944 0.273861 0 2 -1.08619 0.222569 -1.08619 0.222569 0 3 1 -0.33314 0.199806 -0.33314 0.199806 0 2 -0.83625 0.234794 -0.83625 0.234794 0 4 1 0.275412 0.207144 0.275412 0.207144 0 2 -1.00552 0.301756 -1.00552 0.301756 0 5 1 0.025975 0.22794 0.025975 0.22794 0 2 -1.335 0.355409 -1.335 0.355409 0 6 1 -0.09531 0.252262 -0.09531 0.252262 0 2 -1.88707 0.479899 -1.88707 0.479899 0 7 1 -0.72055 0.287372 -0.72055 0.287372 0 2 -2.91777 0.725966 -2.91777 0.725966 0

The SAS System 4 22:13 Wednesday, April 26, 2013 The CATMOD Procedure Maximum Likelihood Predicted Values for Probabilities -------Observed------- -------Predicted------ Standard Standard linea sev Probability Error Probability Error Residual ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒffffffffffffffffffffƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ 1 1 0.0169 0.0168 0.0169 0.0168 -3E-10 2 0.2034 0.0524 0.2034 0.0524 0 3 0.7797 0.054 0.7797 0.054 2E-10 2 1 0.1301 0.0303 0.1301 0.0303 0 2 0.2195 0.0373 0.2195 0.0373 0 3 0.6504 0.043 0.6504 0.043 0 3 1 0.3333 0.0415 0.3333 0.0415 0 2 0.2016 0.0353 0.2016 0.0353 0 3 0.4651 0.0439 0.4651 0.0439 0 4 1 0.4909 0.0477 0.4909 0.0477 0 2 0.1364 0.0327 0.1364 0.0327 0 3 0.3727 0.0461 0.3727 0.0461 0 5 1 0.4483 0.0533 0.4483 0.0533 0 2 0.1149 0.0342 0.1149 0.0342 0 3 0.4368 0.0532 0.4368 0.0532 0 6 1 0.4412 0.0602 0.4412 0.0602 0 2 0.0735 0.0317 0.0735 0.0317 0 3 0.4853 0.0606 0.4853 0.0606 0 7 1 0.3158 0.0616 0.3158 0.0616 0 2 0.0351 0.0244 0.0351 0.0244 0 3 0.6491 0.0632 0.6491 0.0632 0

NO COPIA

R



7. Prueba de hipótesis: Intercepto

Ho: n1=n2=n3→ Significa que el grado de severidad o daño causado por el fusarium es el mismo.

Ha: Significa que el grado de severidad o daño causado por el fusarium es diferente en al menos un nivel de severidad.

NS: α= 0,01

EP: Wald ~ X22=gl

RR: Pr(X2≥ X2cal)<0,01

CC: Pr(X2≥ 109,14)≡0,001<0,01→SRHo

Conclusión: Con 99% de seguridad se puede afirmar que la severidad es diferente en el menos un nivel.

8. Prueba de hipótesis: Línea de arvejas.

Ho: αij=0 para Ɏij→ Quiere decir la severidad es la misma para cualquier línea de arveja.

Ha: αij≠0→ Significa que al menos una línea de arveja tiene una severidad diferente.

NS: α= 0,01

EP: Wald ~ X212=gl


CC: Pr(X2≥ 61,49)≡0,001<0,01→SRHo

Conclusión: Con 99% de seguridad se puede afirmar que al menos una línea de arveja tiene una severidad diferente.

¿Cuál línea es diferente?

Para saber cuál línea es diferente se escogen los datos más altos y luego se realizan las comparaciones:

NO COPIA

R



Comparación entre 4-5:

C=(0)α1+(0)α2+(0)α3+(1)α4+(-1)α5+(0)α6=0→0001-10 son los coeficientes para el contraste.

Hipótesis:

Ho: C=(0)α1+(0)α2+(0)α3+(1)α4+(-1)α5+(0)α6=0→ Significa que el grado de severidad o daño causado por el fusarium es

el mismo para las líneas 4 y 5.

Ha: Significa que el grado de severidad o daño causado por el fusarium es diferente para las líneas 4 y 5.

NS: α= 0,01

EP: Wald ~ X21=gl


CC: Pr(X2≥ 0,86)≡0,651<0,01→SAHo

Conclusión: Con 99% de seguridad se puede afirmar que la severidad es el mismo con las líneas 4 y 5.

Comparación entre 5-6:

C=(0)α1+(0)α2+(0)α3+(0)α4+(1)α5+(-1)α6=0→00001-1 son los coeficientes para el contraste.

Hipótesis:

Ho: C=(0)α1+(0)α2+(0)α3+(0)α4+(1)α5+(-1)α6=0→ Significa que el grado de severidad o daño causado por el fusarium es

el mismo para las líneas 5 y 6.

Ha: Significa que el grado de severidad o daño causado por el fusarium es diferente para las líneas 5 y 6.

NS: α= 0,01

EP: Wald ~ X21=gl


CC: Pr(X2≥ 0,87)≡0,651<0,01→SAHo

Conclusión: Con 99% de seguridad se puede afirmar que la severidad es el mismo con las líneas 5 y 6.

Conclusión final: α4=α5=α6→La línea elegida como resistente es la línea 4.

NO COPIA

R




Una investigación tiene la finalidad de determinar la variedad de manzana de mejor preferencia por la población de la

zona de Valle grande para tal efecto fueron desarrolladas cinco variedades en un centro de investigación a la madurez

se entregó aleatoriamente a cada uno de cien pobladores un formulario con una sola pregunta que dice lo siguiente en

qué medida le gusta cada una de las variedades: NG= no gusta, GM= gusta medianamente, GMCH= gusta mucho,

luego cada uno evaluó cada variedad sobre las tres categorías de preferencia los resultados fueron los siguientes:

a) Indique el modelo estadístico y su significado.

b) Realice los análisis necesarios a fin de lograr los objetivos de la investigación.

VARIEDAD NG GM GMCH

1 23 65 12

2 78 15 7

3 2 7 91

4 4 82 14

5 2 12 86

NO COPIA

R



M11. Regresión Múltiple (RM).

En forma de matrices y vectores:

[

𝑌1

𝑌2..𝑌𝑛

] =

[ 1 𝑋11 𝑋21 𝑋31 . 𝑋𝑝1

1 𝑋12 𝑋22 𝑋32 . 𝑋𝑝2..1

.

.𝑋1𝑛

.

.𝑋2𝑛

.

.𝑋3𝑛

.

.

.

.

.𝑋𝑝𝑛]

= [

𝛽0

𝛽1..𝛽𝑝

] + [

𝐸1

𝐸2..𝐸𝑛

]

𝑌 = 𝑋𝛽 + 𝐸

Donde los datos pueden ser:

Filas= Individuos (bosques, ríos, lagunas, etc.) o unidades experimentales (n).

Columnas= Indican las diferentes variables independientes (p variables independientes).

Y, B, E= Vectores y X= Matriz.

Varianza y covarianza:

Donde ∑= matriz de varianzas y covarianzas.

∑ =

[ 𝑆1

2 𝑆12 𝑆13 . 𝑆1𝑝

𝑆21 𝑆22 𝑆23 . 𝑆2𝑝

.

.𝑆𝑝1

.

.𝑆𝑝2

. . .

. . .

𝑆𝑝3 . 𝑆𝑝2]

=𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎𝑠𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎𝑠

Varianza:

𝑆12 = ∑

(𝑋𝑖1 − ��1)2

𝑛 − 1

𝑛

𝑖=1

Covarianza:

𝑆12 = ∑(𝑋𝑖1 − ��1)(𝑋𝑖2 − ��2)

𝑛 − 1

𝑛

𝑖=1

La covarianza entre dos variables mide la relación entre una y otra variable.


𝑅𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝐸𝑖 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑌𝑖𝑗 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 + 𝛽𝑝𝑋𝑖𝑝 + 𝐸𝑖𝑗

Dónde:

I= 1,2,.., n unidades experimentales.

J= 1,2,…, p variables o factores.

NO COPIA

R



Yij= Es el vector de valores observados en la variable de respuesta.

Bo= Intercepto o media general.

Bj= Efecto sobre la variable de respuesta Y por cada cambio en una unidad de la j-esima variable X con: j=1,2,.., p

variables o factores:

𝛽𝑗 =∆𝑌

∆𝑋

Xij= Vector de valores de la j-esima variable independiente o valores observados de una variable independiente en la

i-esima unidad experimental con: i= 1,2,..,n.

Eij= Efecto aleatorio de los residuales, con Eij≈NIID(0,σe2).

Por tanto la finalidad de la regresión múltiple es estimar e interpretar los parámetros Bj.

Pruebas de hipótesis:

Las hipótesis acerca de los parámetros en el modelo se pueden probar mediante pruebas de F en un análisis de

varianza.

Las hipótesis más comunes para probar son:

1. Que los efectos de las variables independientes Xij sobre la variable dependiente o variable de respuesta Y son

todas iguales a cero:

Ho: Bo=B1=B2=..Bp=0→ Significa que el efecto de las variables independientes X sobre Y es cero.

𝛽 =∆𝑌

∆𝑋= 0

Ha: Al menos el efecto de una variable independiente X sobre Y es diferente de cero.

𝛽 =∆𝑌

∆𝑋≠ 0

2. Cuando la hipótesis nula en el punto 1 es rechazada se desea probar cuales de los efectos son significativos F

parciales, es decir se realiza prueba de hipótesis para cada parámetro:

Ho: B1=0 contra Ha: B1≠0.

Ho: B2/B1=0 contra Ha: B1/B2≠0.

Ho: B3/B2/B1=0 contra Ha: B3/B2/B1≠0.

.

.

Ho: Bp/Bp-1/…./B1=0 contra Ha: Bp/Bp-1/…./B1≠0.

NO COPIA

R



3. Cada hipótesis se prueba con el estadístico de prueba F:

𝐶𝑀𝑋.𝑗

𝐶𝑀𝑒 = 𝐹𝑗,(𝑛−𝑝)

N parámetros = n variables +1

Selección del mejor modelo de regresión:

En el SAS: R2, Ra2, C son métodos.

Inicialmente pueden existir muchas variables independientes las cuales explicaran adecuadamente los datos de una

variable de respuesta, sin embargo algunas de ellas posiblemente no contribuyen significativamente sobre la precisión

de la estimación.

a) Lo que se desea es un modelo más simple y que explique mejor los datos de la variable de respuesta.

b) Las pruebas estadísticas sobre Bi no son suficientes para determinar el uso de una variable, para fines de

predicción por tanto son necesarios otros criterios diferentes a las pruebas de significancia para seleccionar el mejor

modelo de regresión:

1. Hallar R2 se lo conoce como el coeficiente de determinación su valor significa el porcentaje de la varianza de la

variable de respuesta Y explicada por un modelo particular, ejemplo:

Y=Bo+B1X1→ Donde R²=0,47 significa que la varianza de Y es explicada por el modelo solo en un 47%.

Con otro modelo Y= Bo+B1X1+B2X2 → Donde R²= 0,87 significa que el modelo con las variables X1 y X2 explica el 87%

de la varianza de Y por tanto este es el mejor modelo, ordenar de menor a mayor los R².

2. Uso del estadístico CP: elegir el modelo con el valor de cp lo más próximo al número de parámetros y con cp lo más

bajo posible: Cp≈P↓ y R²↑ Ejemplo:

Sabiendo que:

X1 y X2 97,9%

X1 y X4 97,2%

Se observa que el modelo 12(X1,X2) tiene el valor de cp más bajo 2,7 y próximo al número de parámetros que es

Cp= p → 2,7≈3, es decir 3 parámetros Bo, B1, B, 2 variables X1 y X2.

SUBINDICES DE LA

VARIABLES DEL MODELO VALORES DE CP P

443,2 1

1; 2; 3; 4 202,5; 142,5; 15,2; 38,7 2

12; 13; 14 2,7; 198,1; 5,5 3

23; 24; 34 62,4; 138,2; 22,4 3

123; 124; 134; 234 3; 3; 3,5; 7,3 4

1234 5 5

NO COPIA

R



En cambio 14 (X1,X4)→ Cp≠p 5,5≠3

Más simple tiene 2 variables (X1,X2)…. Cp=p con R² lo más alto posible 97,9%.

12= Yij= Bo+B1X1+B2X2+E

1234= Yij= Bo+B1X1+B2X2+B3X3+B4X4+E

Ejemplo:

Chaoborus es un insecto muy parecido al mosquito sin embargo no chupa sangre su vida larval pasa generalmente en

las profundidades de las aguas para aprender acerca del efecto de ciertas características ambientales en la vida larval

un grupo de investigadores recolectaron información de treinta muestras aleatorias en un lago las variables medidas

fueron las siguientes:

35 8,4 8 1

9 3,5 6,2 6,5

20 6,5 6,5 7,5

28 12,4 6,4 4

29 5,8 6,1 3

18 6 7,3 4,5

32 9 6,5 2,5

25 4,3 7,8 3,3

39 11,6 4,9 1,2

22 2,9 7,4 1,3

6 5,8 7,7 10,3

12 6 5,1 6,8

19 4,4 7,1 3,2

20 3 5,3 6,2

24 9,3 7,6 5,2

10 2 6,5 8,5

30 10,4 5 1,5

23 6,2 7,3 4,5

8 7 6 10

4 3 5,4 11

14 5,5 6,6 5,5

6 1,1 5,8 7

19 9,7 6,7 9,1

2 2,6 6,6 13,1

26 3,4 6,6 3

27 3,6 6,2 1,3

23 8 5,1 5,3

29 8,7 6,5 4,4

36 12,9 6,8 2,2

26 11 5,6 2,2

Numero de

larvas

Profundidad

(m)

Conductividad

(μmHo/m)

Oxigeno disuelto

(mg/L)

NO COPIA

R



X1= La profundidad del lago al punto de muestreo (m).

X2= La conductividad del agua medida en la muestra de agua obtenida en la base del punto de muestreo (μmHo/dm).

X3= Oxígeno disuelto (mg/L) en el agua obtenida de la base del lago en el punto de muestreo.

Y= El número de larvas encontradas en el sedimento en aproximadamente 225cm² en la base del lago al punto de

muestreo.

¿Cuál de los factores condicionan mejor la sobrevivencia de las larvas de Chaoborus?

Programa SAS:


Data rm;

Input nlarvas prof cond od;

Cards;

35 8.4 8 1

9 3.5 6.2 6.5

20 6.5 6.5 7.5

28 12.4 6.4 4

29 5.8 6.1 3

18 6 7.3 4.5

32 9 6.5 2.5

25 4.3 7.8 3.3

39 11.6 4.9 1.2

22 2.9 7.4 1.3

6 5.8 7.7 10.3

12 6 5.1 6.8

19 4.4 7.1 3.2

20 3 5.3 6.2

24 9.3 7.6 5.2

10 2 6.5 8.5

30 10.4 5 1.5

23 6.2 7.3 4.5

8 7 6 10

4 3 5.4 11

14 5.5 6.6 5.5

6 1.1 5.8 7

19 9.7 6.7 9.1

2 2.6 6.6 13.1

26 3.4 6.6 3

27 3.6 6.2 1.3

23 8 5.1 5.3

29 8.7 6.5 4.4

36 12.9 6.8 2.2

26 11 5.6 2.2

;

Proc reg;

Model nlarvas=prof cond od/selection=maxr;

Run;

NO COPIA

R



Resultados del SAS:

The SAS System 07:51 Thursday, April 27, 2013 1 The REG Procedure Model: MODEL1 Dependent Variable: nlarvas Number of Observations Read 30 Number of Observations Used 30 Maximum R-Square Improvement: Step 1 Variable od Entered: R-Square = 0.7483 and C(p) = 26.5960 Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 1 2188.33712 2188.33712 83.26 <.0001 Error 28 735.96288 26.28439 Corrected Total 29 2924.30000

Parameter Standard Variable Estimate Error Type II SS F Value Pr > F Intercept 34.47083 1.77592 9902.74206 376.75 <.0001 od -2.66360 0.29192 2188.33712 83.26 <.0001 Bounds on condition number: 1, 1 ------------------------------------------------------------------------------------------ The above model is the best 1-variable model found. Maximum R-Square Improvement: Step 2 Variable prof Entered: R-Square = 0.8748 and C(p) = 2.1571 Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 2 2558.29005 1279.14502 94.36 <.0001 Error 27 366.00995 13.55592 Corrected Total 29 2924.30000

Parameter Standard Variable Estimate Error Type II SS F Value Pr > F Intercept 24.44464 2.30435 1525.45450 112.53 <.0001 prof 1.17981 0.22584 369.95293 27.29 <.0001 od -2.20001 0.22765 1266.02347 93.39 <.0001 Bounds on condition number: 1.1792, 4.7167 ------------------------------------------------------------------------------------------ The above model is the best 2-variable model found. Maximum R-Square Improvement: Step 3 Variable cond Entered: R-Square = 0.8756 and C(p) = 4.0000 Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 3 2560.48810 853.49603 61.00 <.0001 Error 26 363.81190 13.99277 Corrected Total 29 2924.30000

NO COPIA

R



Parameter Standard Variable Estimate Error Type II SS F Value Pr > F Intercept 22.28153 5.93868 196.97637 14.08 0.0009 prof 1.19140 0.23131 371.22414 26.53 <.0001 cond 0.31722 0.80038 2.19805 0.16 0.6951 od -2.19004 0.23265 1239.91092 88.61 <.0001 Bounds on condition number: 1.1984, 10.236 ------------------------------------------------------------------------------------------ The above model is the best 3-variable model found. No further improvement in R-Square is possible.


𝒀𝒊𝒋 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏𝑿𝒊𝟏 + 𝜷𝟐𝑿𝒊𝟐 + 𝜷𝟑𝑿𝒊𝟑 + 𝜺𝒊𝒋

i= 1,2,..,30 unidades de muestreo. j= 1, 2,3, variables independientes (prof, cond, od) por separados sus mediciones son independientes. Yij= Numero de larvas encontradas en el i-esimo punto de muestreo con el efecto de la j-esima variable. Bo= Media general o intercepto. X1i= Profundidad del lago (m) en la i-esima unidad de muestreo. B1= Cambio en el número de larvas encontradas por cada metro de incremento en la profundidad del lago. X2i= Conductividad del agua (μmHo/dm) en la i-esima unidad de muestreo. B2= Cambio en el número de larvas encontradas por cada (μmHo/dm) de incremento en la conductividad del agua. X3i= Oxígeno disuelto (mg/l) en la i-esima unidad de muestreo. B3= Cambio en el número de larvas encontradas por cada (mg/l) de incremento en el nivel de oxígeno disuelto Eij= Efecto aleatorio de los residuales con: Eij≈NIID (0,σe

2).

De la salida del SAS: 1. Hallar R² y ordenarlo de menor a mayor. 2. Hallar cp≈p, lo más bajo posible. 3. Criterio del modelo más simple.

Resultados: 1. Comparación del R²,cp,p de cada posible modelo de regresión:

Step Modelo R² Cp P

1 X₃ 0,7483 26,5960 2

2 X₁X₃ 0,8748 2,1571 3

3 X₁X₂X₃ 0,8756 4,0000 4

En base a criterios el modelo más simple es el segundo que corresponde al paso dos (step=2) con cp≈3↓ y R²=0,8738↑, cada modelo tiene su propio cuadro de anva entonces escogemos el segundo. 2. ANVA del Step=2:


Model 2 2558,29005 1279,14502 94,36 <0,0001

Error 27 366,00995 13,55592

Corrected Total 29 2924,30000

NO COPIA

R



Prueba de hipótesis: Ho: B=0→Significa que los factores Xji no tienen efecto sobre el número de larvas encontradas. Ha: B≠0→Significa que al menos uno de los factores tiene efecto sobre el número de larvas encontradas. NS: α=0,05 EP: CMReg/CMRes≈F2,27

RR: Pr(F≥Fcal)<0,05→SRHo

CC: Pr(F≥94,36)≈0,0001<0,05→SRHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se puede concluir que al menos uno de los factores tiene efecto sobre el número de larvas encontradas. ¿Cuál de los factores? 3. ANVA de las variables utilizadas por el modelo escogido Step=2:


X₁=Prof 1 369,95293 369,95293 27,29 <0,0001

X₃=Od 1 1266,02347 1266,02347 93,39 <0,0001

4. Estimadores de variación de cada parámetro utilizado por el modelo del SAS:

Variable Parameter Estimate

β₁ 1,17981

β₃ -2,20001

B1=n de larvas/m de profundidad=∆Y/∆X. Prueba de hipótesis: Para B1. Ho: B1=0→Significa que la profundidad a la cual se toma la muestra no tiene efecto sobre el número de larvas encontradas. Ha: B1≠0→Significa que la profundidad a la cual se toma la muestra tiene efecto sobre el número de larvas encontradas. NS: α=0,05

NO COPIA

R



EP: CMX1/CMRes≈F1,27

RR: Pr(F≥Fcal)<0,05→SRHo CC: Pr(F≥27,29)≈0,0001<0,05→SRHo Conclusión: Con 95% de seguridad se puede concluir que a la profundidad a la cual se toma la muestra tiene efecto sobre el número de larvas encontradas. ¿De qué manera tiene efecto? ∆Y/∆X1=B1= 1,1927→por cada 1m de incremento en la profundidad del lago el número de larvas encontradas aumenta en 1,1927 unidades. Prueba de hipótesis: Para B3. Ho: B3/B1=0→Significa que el efecto de la demanda de oxígeno disuelto X3 (sabiendo que la profundidad tiene efecto)no tiene efecto sobre el número de larvas encontradas. Ha: B3/B1≠0→Significa que el efecto de la demanda de oxigeno X3 (sabiendo que la profundidad tiene efecto) tiene efecto sobre el número de larvas. NS: α=0,05 EP: CMX3/CMRes≈F1,27

RR: Pr(F≥Fcal)<0,05→SRHo CC: Pr(F≥93,39)≈0,0001<0,05→SRHo Conclusión: Con 95% de seguridad se puede concluir que el oxígeno disuelto (sabiendo que la profundidad tiene efecto) tiene efecto sobre el número de larvas. ¿De qué manera tiene efecto?. B3=∆Y/∆X3=-2,20001, por cada 1(mg/l) de incremento en la demanda de oxigeno el número de larvas disminuye en 2,20001 unidades.

NO COPIA

R



Conclusión general: Tanto la profundidad como la demanda de oxigeno tiene efecto sobre el número de larvas la profundidad tiene efecto (+) es decir a mayor profundidad es mayor el número de larvas, en cambio la demanda de oxígeno disuelto tiene efecto (-) a medida que aumenta la demanda de oxígeno disuelto el número de larvas disminuye, no se observa efecto d la conductividad de las aguas del lago sobre el número de larvas.

5. Ejercicio propuesto: Una investigación tiene la finalidad de determinar las características que mayor efecto tienen sobre la productividad de arveja (rend). Para tal efecto se evaluaron diferentes genotipos para las siguientes características: VAP= vainas por planta, VPN= vainas por nudo, ALPL= altura de planta, LVA= longitud de vaina, GVA= granos por vaina, OID= incidencia de oidiosis, FUS= incidencia de fusariosis, P100= pesos de 100 semillas, los datos fueron:

VAP VPN ALPL LVA GVA OID FUS P100 REND

13.7 1.415 125.0 6.60 4.2 1.0 2.0 23.0 1469.72

11.9 1.210 100.5 7.35 4.9 1.0 2.0 26.65 1384.58

19.1 1.255 124.0 5.65 4.7 0.5 1.0 23.25 1832.08

9.8 1.250 107.8 7.70 3.9 1.5 1.5 25.80 993.61

19.5 1.300 119.7 6.85 4.3 1.1 1.0 22.55 1697.08

16.0 1.305 109.6 6.30 4.2 3.0 1.0 19.25 1255.83

8.2 1.220 97.5 7.20 5.4 2.0 1.0 21.75 1371.81

14.2 1.115 102.5 7.15 5.1 0.5 1.0 29.25 1539.31

19.8 1.405 123.7 7.40 4.6 1.5 1.0 30.70 1763.19

11.8 1.190 94.9 6.20 6.1 0.5 1.0 20.0 1990.83

8.7 1.325 85.6 7.05 4.4 2.0 2.5 26.85 1000.56

6.2 1.025 83.9 7.10 4.9 1.0 2.0 23.40 736.25

12.1 1.170 72.6 5.95 4.7 3.5 1.5 12.65 806.39

9.1 1.310 97.9 6.50 4.2 0.5 2.0 27.15 1244.86

16.0 1.110 84.7 7.50 4.7 3.5 2.5 28.50 435.56

11.7 1.565 104.2 6.10 5.0 0 2.0 20.70 1667.08

22.1 1.470 106.7 6.25 5.9 1.5 1.5 15.75 2091.81

14.3 1.235 84.5 6.35 4.4 3.5 1.5 18.55 1427.64

8.2 1.330 85.0 6.55 4.8 3.0 2.0 14.40 452.50

8.1 1.080 93.2 7.20 6.0 2.5 3.0 20.55 871.94

13.1 1.285 103.0 6.85 5.4 2.0 1.5 20.30 1725.14

15.2 1.450 97.5 5.75 4.9 2.0 3.0 15.35 582.08

8.5 1.115 93.2 6.80 4.7 2.0 2.5 24.70 862.78

6.3 1.115 66.0 7.75 5.2 3.5 2.5 23.75 693.89

8.8 1.785 88.0 6.10 4.5 0 2.0 20.40 1163.06

8.0 1.355 91.9 7.05 4.9 1.0 2.0 19.45 1040.28

11.8 1.375 99.9 7.15 4.8 2.0 1.5 20.80 1112.08

8.0 1.175 78.4 6.85 3.5 3.5 3.0 24.05 678.33

12.7 1.110 89.7 6.95 4.5 1.0 1.0 23.80 1475.56

11.7 1.220 115.3 7.40 6.4 4.0 1.5 18.75 1380.14

8.1 1.235 107.1 7.05 4.3 3.0 2.0 26.90 581.53

9.0 1.330 111.5 6.75 4.5 3.5 1.0 22.90 1654.72

7.8 1.125 101.7 7.30 5.2 2.5 2.0 25.05 1314.17

20.7 1.305 140.0 6.70 4.1 1.0 1.0 25.15 2057.08

16.1 1.305 115.5 7.10 5.0 0 2.5 27.65 790.97

10.9 1.385 94.8 6.65 3.4 1.0 0.5 24.20 1454.44

16.6 1.330 106.5 6.50 3.7 3.5 1.5 24.15 1576.11

15.3 1.340 118.0 6.25 3.9 1.0 1.5 25.25 1404.31

16.1 1.575 131.8 5.80 3.8 1.0 1.0 26.60 2074.03

24.5 1.455 118.2 5.70 3.2 2.0 1.5 26.70 1387.36

15.7 1.480 120.5 6.15 5.4 1.0 1.0 20.65 1372.36

20.6 1.325 107.5 6.10 5.3 2.0 1.0 17.70 2155.83

NO COPIA

R



M12. Diseño de bloques incompletos (DBI). Bloques: Tres tratamientos (A, B, C).

Se puede comparar efectos de los tratamientos del bloque 1 y el bloque 2 ( es decir todos los tratamientos son comparables).

No se pueden comparar los tratamientos del bloque 1 y el bloque 2 (son dos bloques y seis tratamientos).

Se pueden comparar los tratamientos que estén en el mismo bloque. Son comparables: 1. A-C 2. B-C 3. Atreves del tratamiento C se puede comparar:

(A-C)-(B-C)

Donde C es común a ambos es decir a A y B se pueden comparar todos los tratamientos de un bloque con otro bloque pero si los tratamientos son diferente no se puede comparar, excepto si hay uno común a un tercero si se pude realizar las comparaciones mientras más terceros hay más cera la comparación. Comparaciones de la misma importancia: Para comparar tratamientos con el mismo grado de precisión se usa:

𝜆 =𝑟(𝐾 − 1)

𝑡 − 1

λ= Número de veces que ocurre un par de tratamientos. r= Numero de repeticiones por tratamiento. K= Número de unidades experimentales por bloque. t= Numero de tratamientos.

BLQ1 BLQ2

A A

B B

C C

BLQ1 BLQ2

A D

B E

C F

BLQ1 BLQ2

A B

C C

NO COPIA

R



Ejemplo 1: Se dispone de 24 unidades experimentales distribuidos en 4 bloques cada uno de 6 unidades experimentales este material se desea utilizar para evaluar 6 tratamientos A, B, C, D, E, F de tal manera que la precisión de las comparaciones entre pares de tratamientos sea la misma.

𝐾 =𝑛

𝑏𝑙𝑞=

24

6= 6

𝑢𝑒

𝑏𝑙𝑞 𝑟 =

𝑛

𝑡=

24

6= 4 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝜆 =

𝑟(𝐾 − 1)

𝑡 − 1=

4(6 − 1)

6 − 1= 4 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑡𝑜𝑠 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 4 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

a) Cada par de tratamientos debe ocurrir 4 veces como se observa en la imagen. b) Estos tratamientos deben ser aleatorizados, en el cuadro anterior se ve quienes deben estar pero se debe aleatorizar.

Ejemplo 2: Se dispone de 30 unidades experimentales agrupados en 6 bloques cada uno de 5 unidades experimentales y este material se desea utilizar para evaluar los mismos 6 tratamientos A, B, C, D, E, F.

𝐾 =𝑛

𝑏𝑙𝑞=

30

6= 5

𝑢𝑒

𝑏𝑙𝑞 𝑟 =

𝑛

𝑡=

30


𝑟(𝐾 − 1)

𝑡 − 1=

5(5 − 1)

6 − 1= 4 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑡𝑜𝑠

Ejemplo 3: Se dispone de 30 unidades experimentales distribuidos en 10 bloques cada uno con 3 unidades experimentales para evaluar 6 tratamientos A, B, C, D, E, F, con la misma precisión.

𝐾 =𝑛

𝑏𝑙𝑞=

30

10= 3

𝑢𝑒

𝑏𝑙𝑞 𝑟 =

𝑛

𝑡=

30


𝑟(𝐾 − 1)

𝑡 − 1=

5(3 − 1)

6 − 1= 2 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑡𝑜𝑠

NO COPIA

R



¿Cómo un par de tratamientos se compara con el mismo grado de precisión? El grado de precisión de un estimador lo mide el error estándar (ee) y este debe ser el mismo para cada par de tratamientos que garantiza que se ha evaluado con precisión: ee (Yi - Y'i), se usa el proc mixed para verificar si los ee son los mismos. Los DBI se caracterizan porque las comparaciones son con diferente precisión en los tratamientos. Cuando se tienen nuevas alternativas y se quiere comparar con un estándar para tener mayor precisión en las comparaciones de partes de los tratamientos la ocurrencia de estos tratamientos debe ser con mayor frecuencia que los tratamientos cuyas comparaciones se desea con menor precisión.

Ejemplo 4: Para evaluar 10 tratamientos se dispone de 10 unidades experimentales agrupadas en 3 bloques los dos primeros con 4 unidades y el tercero con 2 unidades además se desea que las nuevas comparaciones con el estándar sean con mayor precisión.

NO COPIA

R



El segundo procedimiento es más preciso porque el grado de precisión se mide por la diferencia en el primero es de 4 a 3 (4-3=1) y en segundo es de 3 a 1 (3-1=2), luego el de mayor diferencia es más preciso. En el caso de contar con 100, 1000, unidades experimentales heterogéneas es decir los tratamientos no pueden ser comparados entonces se usan los diseños en LATICES que son casos especiales del DBI, se usan para comparar tratamientos en gran número. Latices cuadrados: Se utilizan cuando el número de tratamientos es tal que K es una raíz cuadrada exacta:

𝑡 = 16 → 𝐾√𝑡 = √16 = 4𝑢𝑒

𝑏𝑙𝑞

Latices rectangulares: Ocurre cuando forma un rectángulo:

Ejemplo 5: Un ingeniero químico piensa que el tiempo de reacción de un proceso químico es función del tipo de catalizador empleado para esto se investigan cuatro catalizadores el procedimiento experimental consiste en seleccionar un lote de materia prima (bloque) cargar al reactor y aplicar cada catalizador en una corriente para medir el tiempo de reacción debido a que las variaciones en la materia prima pueden afectar el desempeño de los catalizadores se decide utilizar lotes de materia prima como bloques sin embargo cada lote es apena lo suficientemente grande para permitir que se prueben tan solo tres catalizadores por lo cual debe usarse un diseño de bloques incompletos (DBI) aleatorizados los resultados del tiempo de reacción en minutos fueron los siguientes:

1. El modelo estadistico:

𝒀𝒊𝒋 = 𝝁 + 𝜷𝒊 + 𝑻𝒋 + 𝜺𝒊𝒋

i=1, 2, 3, 4, bloques.

j= 1, 2, 3, 4, tipos de catalizador o tratamientos.

Yij= Tiempo de reacción medido en minutos con el i-esimo bloque al aplicar el j-esimo tipo de catalizador.

μ= Media general de la variable de respuesta.

Bi= Efecto aleatorio del i-esimo bloque con Bi≈NIID(0,σb²).

Tj= Efecto fijo del j-esimo tipo de catalizador.

1 2 3 4 Yi.

1 73 74 . 71 218

2 . 75 67 72 214

3 73 75 68 . 216

4 75 . 72 75 222

Y.j 221 224 207 218 870=Y..

CATALIZADOR

TRATAMIENTO

BLOQUES (LOTES DE MATERIA PRIMA)

NO COPIA

R



Eij= Efecto aleatorio de los residuales con: Eij≈NIID(0,σe²).

TC:

𝜆 =𝑟(𝐾 − 1)

𝑡 − 1

𝑇𝐶 =𝑌..

2

𝑁 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑡𝑜=

8702

12= 63075

SCT:

𝑆𝐶𝑇 = ∑ ∑𝑌𝑖𝑗2 − 𝑇𝐶 = (732 + 742 + ⋯+ 752) − 63075 = 81

4

𝑗=1

4

𝑖=1

SCBLq:

𝐾 =𝑛

𝑡=

12

3= 3

𝑢𝑒

𝑏𝑙𝑞

𝑆𝐶𝐵𝑙𝑞 =1

𝐾∑𝑌.𝑗

2 − 𝑇𝐶 =1

3(2212 + 2242 + 2072 + 2182) − 63075 = 55 ← 𝒔𝒊𝒏 𝒂𝒋𝒖𝒔𝒕𝒂𝒓 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂

𝑛𝑖𝑗 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 0 = 𝐴𝑢𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 1 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑄𝑗′ = 𝑌.𝑗 −

1

𝑟∑ 𝑛𝑖𝑗𝑌𝑖.

𝑛=4

𝑖=1

NO COPIA

R



𝑆𝐶𝐵𝑙𝑞𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑆𝐴𝑆 =𝑟 ∑ (𝑄𝑗

′)2𝑏=4

𝑗=1

𝜆𝑥𝑏𝑙𝑞=

3 [(73)2

+ (243

)2

+(313

)2

+ (03)2

]

2𝑥4= 66,08

SCTrt:

𝐾 =𝑛

𝑏𝑙𝑞=

12

4= 3

𝑢𝑒

𝑏𝑙𝑞 𝑟 =

𝑛

𝑡=

12

4= 3 𝑟𝑒𝑝 𝑡 = 4 𝑡𝑟𝑡𝑜

𝜆 =𝑟(𝐾 − 1)

𝑡 − 1=

3(3 − 1)

4 − 1= 2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

𝑄𝑖′ = 𝑌.𝑖 −

1

𝐾∑ 𝑛𝑖𝑗𝑌.𝑗

𝑡=4

𝑗=1

𝑆𝐶𝑇𝑟𝑡𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑆𝐴𝑆 =𝐾 ∑(𝑄𝑖

′)2

𝜆𝑥𝑡=

3 [(−9 3

)2

+ (−7 3

)2

+(203

)2

+ (−4 3

)2

]

2𝑥4= 22,75

SCRes:

𝑆𝐶𝑅𝑒𝑠 = 𝑆𝐶𝑇 − 𝑆𝐶𝑇𝑟𝑡 − 𝑆𝐶𝐵𝑙𝑞 = 81 − 22,75 − 55 = 3,25

2. Cuadro de ANVA:

El proceso mixed diferencia efectos fijos de aleatorios, glm no.

NO COPIA

R



𝜎𝑏𝑙𝑞2 =

𝐶𝑀𝐵𝑙𝑞 − 𝐶𝑀𝑅𝑒𝑠

𝑇𝑟𝑡=

22,027 − 0,65

4= 4,42 > 0

Significa que el modelo DBI fue eficiente para controlar la varianza de las unidades experimentales.

3. Prueba de hipótesis para factor tratamiento o tipo de catalizador: Es cualitativo.

Ho: μ1=μ2=μ3=μ4→ Significa que el tiempo de reacción es el mismo con los cuatro catalizadores.

Ha: El tiempo de reacción es diferente con al menos un catalizador.

NS: α=0,05

EP: CMtrt/CMRes≈F3,5

RR: Pr(F≥Fcal)<0,05

CC: Pr(F≥11,67)≈0,0110<0,05→SRHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se puede afirmar que el tiempo de reacción es diferente con al menos uno de los

catalizadores. ¿De qué forma?

El mejor es el que tarde menos.

Prueba de hipótesis para la comparación entre 1-2:

Ho: C=(-1)μ1+(1)μ2+(0)μ3+(0)μ4=0→Significa que el tiempo de reacción es el mismo con el uso de los catalizadores 1 y

2.

Ha: C≠0→ El tiempo de reacción es diferente con los catalizadores 1 y 2.

NS: α=0,05

NO COPIA

R



EP: C/ee(ĉ)≈t5=Glres

RR: Pr(t≥tcal)<0,05

CC: Pr(t≥0,29)≈0,7822<0,05→SAHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se puede afirmar que los tiempos de reacción con los catalizadores 1 y 2 es el

mismo.


Ho: C=(0)μ1+(-1)μ2+(1)μ3+(0)μ4=0→Significa que el tiempo de reacción es el mismo con el uso de los catalizadores 2 y

3.


NS: α=0,05



CC: Pr(t≥0,54)≈0,6142<0,05→SAHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se puede afirmar que los tiempos de reacción con los catalizadores 2 y 3 es el

mismo.


Ho: C=(0)μ1+(0)μ2+(-1)μ3+(1)μ4=0→Significa que el tiempo de reacción es el mismo con el uso de los catalizadores 3 y

4.


NS: α=0,05



CC: Pr(t≥4,26)≈0,0079<0,05→SRHo

Conclusión: Con 95% de seguridad se puede afirmar que los tiempos de reacción es diferente con los catalizadores 3 y

4.

Conclusión general: el mejor es el catalizador 1.

NO COPIA

R



4. Programa SAS:

Sin contrastes.

options ls=76;

data dbi_1;

input blq cat$ y;

cards;

1 1 73

1 3 73

1 4 75

2 1 74

2 2 75

2 3 75

3 2 67

3 3 68

3 4 72

4 1 71

4 2 72

4 4 75

;

proc mixed;

class blq cat;

model y=cat/ddfm=satterth;

random blq;

lsmeans cat/pdiff;

run;

Resultados del SAS:

The SAS System 1


The Mixed Procedure

Model Information

Data Set WORK.DBI_1








Class Levels Values

blq 4 1 2 3 4

cat 4 1 2 3 4

Dimensions


Columns in X 5

Columns in Z 4

Subjects 1


NO COPIA

R







Iteration History


0 1 44.37333968

1 1 34.22046396 0.00000000


The SAS System 2


The Mixed Procedure


Estimates

Cov Parm Estimate

blq 8.0167

Residual 0.6500

Fit Statistics






Num Den


cat 3 5.03 11.41 0.0111

Least Squares Means

Standard

Effect cat Estimate Error DF t Value Pr > |t|

cat 1 71.4131 1.4968 3.51 47.71 <.0001

cat 2 71.6164 1.4968 3.51 47.84 <.0001

cat 3 72.0000 1.4968 3.51 48.10 <.0001

cat 4 74.9705 1.4968 3.51 50.09 <.0001


Standard

Effect cat _cat Estimate Error DF t Value Pr > |t|

cat 1 2 -0.2033 0.6971 5.03 -0.29 0.7822

cat 1 3 -0.5869 0.6971 5.03 -0.84 0.4380

cat 1 4 -3.5574 0.6971 5.03 -5.10 0.0037

cat 2 3 -0.3836 0.6971 5.03 -0.55 0.6056

cat 2 4 -3.3541 0.6971 5.03 -4.81 0.0048

cat 3 4 -2.9705 0.6971 5.03 -4.26 0.0079

NO COPIA

R



Con contrastes de las medias.

options ls=76;

data dbi_1;

input blq cat$ y;

cards;

1 1 73

1 3 73

1 4 75

2 1 74

2 2 75

2 3 75

3 2 67

3 3 68

3 4 72

4 1 71

4 2 72

4 4 75

;

proc mixed;

class blq cat;

model y=cat/ddfm=satterth;

random blq;

lsmeans cat/pdiff;

contrast "1-2" cat 1 -1 0 0;

contrast "2-3" cat 0 1 -1 0;

contrast "3-4" cat 0 0 1 -1;

run;

Resultados del SAS:

The SAS System 1


The Mixed Procedure

Model Information

Data Set WORK.DBI_1








Class Levels Values

blq 4 1 2 3 4

cat 4 1 2 3 4

Dimensions


Columns in X 5

Columns in Z 4

Subjects 1


NO COPIA

R







Iteration History


0 1 44.37333968

1 1 34.22046396 0.00000000


The SAS System 2


The Mixed Procedure


Estimates

Cov Parm Estimate

blq 8.0167

Residual 0.6500

Fit Statistics






Num Den


cat 3 5.03 11.41 0.0111

Contrasts

Num Den

Label DF DF F Value Pr > F

1-2 1 5.03 0.09 0.7822

2-3 1 5.03 0.30 0.6056

3-4 1 5.03 18.16 0.0079

Least Squares Means

Standard

Effect cat Estimate Error DF t Value Pr > |t|

cat 1 71.4131 1.4968 3.51 47.71 <.0001

cat 2 71.6164 1.4968 3.51 47.84 <.0001

cat 3 72.0000 1.4968 3.51 48.10 <.0001

cat 4 74.9705 1.4968 3.51 50.09 <.0001

The SAS System 3


The Mixed Procedure


Standard

Effect cat _cat Estimate Error DF t Value Pr > |t|

cat 1 2 -0.2033 0.6971 5.03 -0.29 0.7822

cat 1 3 -0.5869 0.6971 5.03 -0.84 0.4380

cat 1 4 -3.5574 0.6971 5.03 -5.10 0.0037

cat 2 3 -0.3836 0.6971 5.03 -0.55 0.6056

cat 2 4 -3.3541 0.6971 5.03 -4.81 0.0048

cat 3 4 -2.9705 0.6971 5.03 -4.26 0.0079

NO COPIA

R




Se requiere estudiar las características del rendimiento de combustible de cinco tipos de aditivos de gasolina. En la

prueba de carretera se desea utilizar los automóviles como bloques, sin embargo debido a una restricción de tiempo

se debe usar un DBI con los siguientes resultados:

a) Plantear el modelo estadístico.

b) Realizar los análisis necesarios a fin de lograr los objetivos.

c) Hacer el programa según glm y mixed.

1 2 3 4 5

1 . 17 14 13 12

2 14 14 . 13 10

3 12 . 13 12 9

4 13 11 11 12 .

5 11 12 11 . 8

AUTOMOVILAUDITIVO

NO COPIA

R



TABLAS ESTADISTICAS

Ejemplo

Para �φ = 10 grados de

libertad:

P[ t > 1.812] = 0.05

P[ t < -1.812] = 0.05

r α 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005

1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 636,578

2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,600

3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924

4 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610

5 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869

6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959

7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408

8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041

9 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

11 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437

12 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318

13 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221

14 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140

15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073

16 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015

17 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965

18 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922

19 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883

20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850

21 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819

22 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792

23 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768

24 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745

25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725

26 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707

27 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,689

28 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674

29 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,660

30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646

40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551

60 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460

120 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373

∞ 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,290

DISTRIBUCION (t) DE STUDENT

NO COPIA

R



Para φ>100 tómese 𝑋2 =1

2(𝑍𝛼 + √2∅ − 1)

2. Zα es la desviación normal estandarizada correspondiente al nivel de

significancia y se muestra en la parte superior de la tabla.

Ejemplo:

Para φ = 10 grados de libertad:

P [x²> 15.99] = 0.10

π

φ 0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,75 0,5 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

π

φ

1 3,93E-05 1,57E-04 9,82E-04 3,93E-03 1,58E-02 0,102 0,455 1,323 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 1

2 1,00E-02 2,01E-02 5,06E-02 0,103 0,211 0,575 1,386 2,77 4,61 5,99 7,38 9,21 10,6 2

3 7,17E-02 0,115 0,216 0,352 0,584 1,213 2,37 4,11 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84 3

4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,923 3,36 5,39 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86 4

5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,61 2,67 4,35 6,63 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75 5

6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,2 3,45 5,35 7,84 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55 6

7 0,989 1,239 1,69 2,17 2,83 4,25 6,35 9,04 12,02 14,07 16,01 18,48 20,3 7

8 1,344 1,647 2,18 2,73 3,49 5,07 7,34 10,22 13,36 15,51 17,53 20,1 22 8

9 1,735 2,09 2,7 3,33 4,17 5,9 8,34 11,39 14,68 16,92 19,02 21,7 23,6 9

10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 6,74 9,34 12,55 15,99 18,31 20,5 23,2 25,2 10

11 2,6 3,05 3,82 4,57 5,58 7,58 10,34 13,7 17,28 19,68 21,9 24,7 26,8 11

12 3,07 3,57 4,4 5,23 6,3 8,44 11,34 14,85 18,55 21 23,3 26,2 28,3 12

13 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 9,3 12,34 15,98 19,81 22,4 24,7 27,7 29,8 13

14 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 10,17 13,34 17,12 21,1 23,7 26,1 29,1 31,3 14

15 4,6 5,23 6,26 7,26 8,55 11,04 14,34 18,25 22,3 25 27,5 30,6 32,8 15

16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 11,91 15,34 19,37 23,5 26,3 28,8 32 34,3 16

17 5,7 6,41 7,56 8,67 10,09 12,79 16,34 20,5 24,8 27,6 30,2 33,4 35,7 17

18 6,26 7,01 8,23 9,39 10,86 13,68 17,34 21,6 26 28,9 31,5 34,8 37,2 18

19 6,84 7,63 8,91 10,12 11,65 14,56 18,34 22,7 27,2 30,1 32,9 36,2 38,6 19

20 7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 15,45 19,34 23,8 28,4 31,4 34,2 37,6 40 20

21 8,03 8,9 10,28 11,59 13,24 16,34 20,3 24,9 29,6 32,7 35,5 38,9 41,4 21

22 8,64 9,54 10,98 12,34 14,04 17,24 21,3 26 30,8 33,9 36,8 40,3 42,8 22

23 9,26 10,2 11,69 13,09 14,85 18,14 22,3 27,1 32 35,2 38,1 41,6 44,2 23

24 9,89 10,86 12,4 13,85 15,66 19,04 23,3 28,2 33,2 36,4 39,4 43 45,6 24

25 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 19,94 24,3 29,3 34,4 37,7 40,6 44,3 46,9 25

26 11,16 12,2 13,84 15,38 17,29 20,8 25,3 30,4 35,6 38,9 41,9 45,6 48,3 26

27 11,81 12,88 14,57 16,15 18,11 21,7 26,3 31,5 36,7 40,1 43,2 47 49,6 27

28 12,46 13,56 15,31 16,93 18,94 22,7 27,3 32,6 37,9 41,3 44,5 48,3 51 28

29 13,12 14,26 16,05 17,71 19,77 23,6 28,3 33,7 39,1 42,6 45,7 49,6 52,3 29

30 13,79 14,95 16,79 18,49 20,6 24,5 29,3 34,8 40,3 43,8 47 50,9 53,7 30

40 20,7 22,2 24,4 26,5 29,1 33,7 39,3 45,6 51,8 55,8 59,3 63,7 66,8 40

50 28 29,7 32,4 34,8 37,7 42,9 49,3 56,3 63,2 67,5 71,4 76,2 79,5 50

60 35,5 37,5 40,5 43,2 46,5 52,3 59,3 67 74,4 79,1 83,3 88,4 92 60

70 43,3 45,4 48,8 51,7 55,3 61,7 69,3 77,6 85,5 90,5 95 100,4 104,2 70

80 51,2 53,5 57,2 60,4 64,3 71,1 79,3 88,1 96,6 101,9 106,6 112,3 116,3 80

90 59,2 61,8 65,6 69,1 73,3 80,6 89,3 98,6 107,6 113,1 118,1 124,1 128,3 90

100 67,3 70,1 74,2 77,9 82,4 90,1 99,3 109,1 118,5 124,3 129,6 135,8 140,2 100

Zα -2,58 -2,33 -1,96 -1,64 -1,28 -0,674 0 0,674 1,282 1,645 1,96 2,33 2,58 Zα

DISTRIBUCION (X²)

NO COPIA

R



NO COPIA

R



Media T C K TC TK CK TCK Prod. Media

+ - - - + + + - 60

+ + - - - - + + 72

+ - + - - + - + 54

+ + + - + - - - 68

+ - - + + - - + 52

+ + - + - + - - 83

+ - + + - - + - 45

+ + + + + + + + 80

Div. 8 4 4 4 4 4 4 4

a) Metodo de los signos

METODOS RAPIDOS PARA CALCULAR LOS EFECTOS

Para obtener los efectos se realiza el producto de los signos

SIGNOS PARA CALCULAR LOS EFECTOS DEL DISEÑO 25

La estimación de la mea se calcula con la primera columna:

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 =+60 + 72 + 54 + 68 + 52 + 83 + 45 + 80

8= 64,25

El efecto principal T se calcula con la segunda columna:

𝑇 =−60 + 72 − 54 + 68 − 52 + 83 − 45 + 80

4= 23,0

El efecto de interacción TK resulta:

𝑇𝐾 =+60 − 72 + 54 − 68 − 52 + 83 − 45 + 80

4= 10

eeMedia

del ee

T C K

20 21 22

1 - - - 60 132 254 514 8 64,25

2 + - - 72 122 260 92 4 23

3 - + - 54 135 26 -20 4 -5

4 + + - 68 125 66 6 4 1,5

5 - - + 52 12 -10 6 4 1,5

6 + - + 83 14 -10 40 4 10

7 - + + 45 31 2 0 4 0

8 + + + 80 35 4 2 4 0,5

Divisor Estimacion

ALGORITMO DE YATES:

variables de

la matriz de

diseño

Algoritmo

Y 1 2 3

NO COPIA

R



- +

10 15

220 240

50 80

10 12

Variables:

1.Carga del catalizador (Lbm)

2.Temperatura (°C)

3.Presion (Psi)

4.Concentracion (%)

Diseño factorial 24

ee 1 2 3 4 Conversion (%)

1 - - - - 71

2 + - - - 61

3 - + - - 90

4 + + - - 82

5 - - + - 68

6 + - + - 61

7 - + + - 87

8 + + + - 80

9 - - - + 61

10 + - - + 50

11 - + - + 89

12 + + - + 83

13 - - + + 59

14 + - + + 51

15 - + + + 85

16 + + + + 78

Datos del proceso

SIGNOS PARA EL CALCULO DE LOS EFECTOS DEL FACTORIAL 24

I 1 2 3 4 12 13 14 23 24 34 123 124 134 234 1234

20 21 22 23

+ - - - - + + + + + + - - - - + 71

+ + - - - - - - + + + + + + - - 61

+ - + - - - + + - - + + + - + - 90

+ + + - - + - - - - + - - + + + 82

+ - - + - + - + - + - + - + + - 68

+ + - + - - + - - + - - + - + + 61

+ - + + - - - + + - - - + + - + 87

+ + + + - + + - + - - + - - - - 80

+ - - - + + + - + - - - + + + - 61

+ + - - + - - + + - - + - - + + 50

+ - + - + - + - - + - + - + - + 89

+ + + - + + - + - + - - + - - - 83

+ - - + + + - - - - + + + - - + 59

+ + - + + - + + - - + - - + - - 51

+ - + + + - - - + + + - - - + - 85

+ + + + + + + + + + + + + + + + 78

NO COPIA

R




Media 72,25

1 -8,00±0,55

2 24,00±0,55

3 -2,25±0,55

4 -5,50±0,55

12 1,00±0,55

13 0,75±0,55

14 0,00±0,55

23 -1,25±0,55

24 4,50±0,55

34 -0,25±0,55

123 -0,75±0,55

124 0,50±0,55

134 -0,25±0,55

234 -0,75±0,55

1234 -0,25±0,55

Efectos estimados del diseño

NO COPIA

R



- +

10 15

1 2

100 120

140 180

3 6

Variable

Factores de un diseño 25

MEDIA FRACCION DE UN DISEÑO 25

DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONALES A DOS NIVELES (M8)

1.Velocidad de alimentacion (L/min)

2.Catalizador (%)

3.Velocidad de agitacion (rpm)

4.Temperatura(°C)

5.Concentracion (%)

Tabla1

1 2 3 4 5

1 - - - - - 61

*2 + - - - - 53

*3 - + - - - 63

4 + + - - - 61

*5 - - + - - 53

6 + - + - - 56

7 - + + - - 54

*8 + + + - - 61

*9 - - - + - 69

10 + - - + - 61

11 - + - + - 94

*12 + + - + - 93

13 - - + + - 66

*14 + - + + - 60

*15 - + + + - 95

16 + + + + - 98

*17 - - - - + 56

18 + - - - + 63

19 - + - - + 70

*20 + + - - + 65

21 - - + - + 59

*22 + - + - + 55

*23 - + + - + 67

24 + + + - + 65

25 - - - + + 44

*26 + - - + 45

*27 - + - + + 78

28 + + - + + 77

*29 - - + + + 49

30 + - + + + 42

Exp.

Elemental

Variable Var. Resp. (%)

reaccionado

Y

NO COPIA

R



Media 65,5

1=-1,375 123=1,50

2=19,5 124=1,375

3=-0,625 125=-1,875

4=10,75 134=-0,75

5=-6,25 135=-2,50

145=0,625

12=1,375 235=0,125

13=0,75 234=1,125

14=0,875 245=-0,250

15=0,125 345=0,125

23=0,875

24=13,25 1234=0,0

25=2,00 1245=0,625

34=2,125 2345=-0,625

35=0,875 1235=1,50

45=-11,0 1345=1,0

12345=-0,25

obteniendose los siguientes resultados

Estimaciones de los efectos

Se pueden obtener los mismos resultados al realizar

los 16 experimentos elementales MARCADOS (*)

Resultados del diseño factorial 25

- +

10 15

1 2

100 120

140 180

3 6

4.Temperatura (°C)

5.Concentracion (%)

2.Catalizador (%)

1.Velocidad de alimentacion (L/min)

Variable

Diseño fraccional 25-1

Analisis de media fraccion de un diseño 25

3.Velocidad de agitacion (rpm)

NO COPIA

R



1 2 3 4 5=1234 12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 Y

20 21 22 23

17 - - - - + + + + - + + - + - - 56

2 + - - - - - - - - + + + + + + 53

3 - + - - - - + + + - - - + + + 63

20 + + - - + + - - + - - + + - - 65

5 - - + - - + - + + - + + - - + 53

22 + - + - + - + - + - + - - + - 55

23 - + + - + - - + - + - + - + - 67

8 + + + - - + + - - + - - - - + 61

9 - - - + - + + - + + - + - + - 69

26 + - - + + - - + + + - - - - + 45

27 - + - + + - + - - - + + - - + 78

12 + + - + - + - + - - + - - + - 93

29 - - + + + + - - - - - - + + + 49

14 + - + + - - + + - - - + + - - 60

15 - + + + - - - - + + + - + - - 95

32 + + + + + + + + + + + + + + + 82

ee

DISEÑO FRACCIONAL 25-1

Media 65,25

1=-2,0 12=1,5

2=20,5 13=0,5

3=0,0 14=-0,75

4=12,25 15=1,25

5=-6,25 23=1,50

24=10,75

25=1,25

34=0,25

35=2,25

45=-9,50

ESTIMACION DE LOS EFECTOS

Suponiendo que las interacciones de 3 o mas factores son despreciables

𝒍𝟒𝟓 =𝟏

𝟖(−𝟓𝟔 + 𝟓𝟑 + 𝟔𝟑 − 𝟔𝟓 + 𝟓𝟑 − 𝟓𝟓 − 𝟔𝟕 + 𝟔𝟏 − 𝟔𝟗 + 𝟒𝟓 + 𝟕𝟖 − 𝟗𝟑 + 𝟒𝟗 − 𝟔𝟎 − 𝟗𝟓 + 𝟖𝟐) = −𝟗, 𝟓𝟎

NO COPIA

R



Relacion entre pares

de columnasPatron de confusion Estimacion

1=2345 L1=1+2345 L1=-2,0

2=1345 L2=2+1345 L2=20,5

3=1245 L3=3+1245 L3=0,0

4=1235 L4=4+1235 L4=12,25

5=1234 L5=5+1234 L5=-6,25

12=345 L12=12+345 L12=1,5

13=245 L13=13+245 L13=0,5

14=235 L14=14+235 L14=-0,75

15=234 L15=15+234 L15=1,25

23=145 L23=23+145 L23=1,5

24=135 L24=24+135 L24=10,75

25=134 L25=25+134 L25=1,25

34=125 L34=34+125 L34=0,25

35=124 L35=35+124 L35=2,25

45=123 L45=45+123 L45=-9,50

PATRON DE CONFUSION Y EFECTOS ESTIMADOS DEL DISEÑO 25-1

Diseño factorial 24

No .ee 1 2 3 4 G. Conv Orden

20 21 22 23 (%) Del ee

1 - - - - 71 8

2 + - - - 61 2

3 - + - - 90 10

4 + + - - 82 4

5 - - + - 68 15

6 + - + - 61 9

7 - + + - 87 1

8 + + + - 80 13

9 - - - + 61 16

10 + - - + 50 5

11 - + - + 89 11

12 + + - + 83 14

13 - - + + 59 3

14 + - + + 51 12

15 - + + + 85 6

16 + + + + 78 7

1. Carga catalizador (lbm) 10-15

2. Temperatura (°C) 220-240

3. Presion (Psi) 50-80

4. Conc. (%) 10-12

Variables - +

Datos del proceso en orden estandar

NO COPIA

R



I 1 2 3 4 12 13 14 23 24 34 123 124 134 234 1234 Con

20 21 22 23 (%)

+ - - - - + + + + + + - - - - + 71

+ + - - - - - - + + + + + + - - 61

+ - + - - - + + - - + + + - + - 90

+ + + - - + - - - - + - - + + + 82

+ - - + - + - + - + - + - + + - 68

+ + - + - - + - - + - - + - + + 61

+ - + + - - - + + - - - + + - + 87

+ + + + - + + - + - - + - - - - 80

+ - - - + + + - + - - - + + + - 61

+ + - - + - - + + - - + - - + + 50

+ - + - + - + - - + - + - + - + 89

+ + + - + + - + - + - - + - - - 83

+ - - + + + - - - - + + + - - + 59

+ + - + + - + + - - + - - + - - 51

+ - + + + - - - + + + - - - + - 85

+ + + + + + + + + + + + + + + + 78

16 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

Signos para calcular los efectos de un factorial 24

Efectos estimados del diseño 24


Media 72,25

1 -8,00±0,55

2 24,00±0,55

3 -2,25±0,55

4 -5,50±0,55

12 1,00±0,55

13 0,75±0,55

14 0,00±0,55

23 -1,25±0,55

24 4,50±0,55

34 -0,25±0,55

123 -0,75±0,55

124 0,50±0,55

134 -0,25±0,55

234 -0,75±0,55

1234 -0,25±0,55

NO COPIA

R



Bibliografía

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3. Métodos multivariados aplicados al análisis de datos, Jhonson A. Edit.-Thompson.

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8. El sistema estadístico SAS, 2001 Pérez C. Editorial-Prentice Hall España.

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10. Principios estadísticos para el análisis de investigaciones, Robert O. Editorial-Thompson.

11. Statistical analysis of designed experiment. Helge Toutenburg. Editorial-Springer.

12. Análisis de experimentos con el sistema SAS. Msc. Víctor M. Universidad de Guatemala.

13. Introducción a la programación en SAS V8. Universidad Complutense de Madrid-España.

14. Practicas estadísticas y de programación en SAS. Universidad Autónoma de Barcelona-España.

15. The theory of the desing of experiments. D.R. Cox-University of Toronto-Canada.

NO COPIA

R

diseño experimental con sas

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