djhfr -2018kromsh.info/files/abstracts/abstracts-2018-p2.pdfисследований (проект...

Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского Российский университет дружбы народов

Российский фонд фундаментальных исследований Математический Фонд Крыма

Посвящается 100-летнему юбилею образования Таврического

университета в Крыму

Сборник материалов международной конференции

КРОМШ-2018

XXIX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам

Секции 4 - 9 Секция 4. Дифференциальные уравнения в частных производных

Секция 5. Теория управления, теория игр и экономическое поведение

Секция 6. Численный анализ и приближенные методы Секция 7. Математическое моделирование

Секция 8. Дискретная математика и информатика. Методика преподавания математики

в высшей школе и история математики

Секция 9. Теория вероятностей. Случайные процессы. Финансовая математика.

Математическая статистика.

Симферополь «Полипринт»

2018

УДК 517.9:519.2

С 23

Печатается по решению Организационного комитета XXIX Крымской Осенней

Математической Школы-симпозиума по спектральным и эволюционным задачам

(КРОМШ-2018).

Ответственный за выпуск:

Копачевский Николай Дмитриевич, председатель Организационного комитета

КРОМШ-2018, д.ф.-м.н., профессор.

Ответственный редактор:

Войтицкий Виктор Иванович, к.ф.-м.н., доцент.

Редакционная коллегия:

Копачевский Н.Д., Муратов М.А., Скубачевский А.Л., Шкаликов А.А.,

Войтицкий В.И., Пашкова Ю.С., Сёмкина Е.В., Ситшаева З.З., Старков П.А.

С 23 Сборник материалов международной конференции “XXIX

Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по

спектральными эволюционным задачам” (КРОМШ-2017). Секции

4–9.– Симферополь: Полипринт, 2018. – 184 с.

ISBN 978-5-6041133-8-7

В сборнике представлены материалы работ участников международной

конференции “Крымская осенняя математическая школа-симпозиум

(КРОМШ-2018)”, посвященных различным направлениям исследований в

области математического и функционального анализа, численного анализа,

дифференциальных уравнений, теории вероятностей, оптимального

управления, теории игр, математического моделирования, дискретной

математики и методики преподавания.

В книге сохранена авторская редакция статей, выполнено лишь частичное

техническое редактирование; в связи с этим редакционная коллегия не несет

ответственности за возможные неточности.

Материал, представленный в сборнике, может быть полезен научным

сотрудникам, работникам высшего образования, аспирантами студентам.

УДК 517.9:519.2

Конференция проводится при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект 18-01-20062 Г).

ISBN 978-5-6041133-8-7 © ФГАОУ ВО “Крымский федеральный

университет имени В.И. Вернадского”, 2018

© Математический Фонд Крыма, 2018

https://kias.rfbr.ru/index.php

К истории физико-математического факультета Таврического университета(1918-1925 гг.)

14 октября 2018 года исполняется ровно 100 лет со дня торжественного открытия первоговысшего учебного заведения в Крыму — Таврического университета. Физико-математическийфакультет появился в Крыму еще в мае 1918 года как филиал Киевского университета СвятогоВладимира. С осени того же года факультет стал подразделением Таврического университета.

С момента открытия в университете работали известные математики, представлявшие веду-щие математические школы того времени. Руководителем инициативной группы по созданиюфилиала в Крыму был Дмитрий Александрович Граве (1863 - 1939), академик УАН, почетныйчлен АН СССР, основатель отечественной алгебраической школы.

В 1918 - 1922 годах большой вклад в развитие физико-математического факультета внес Ни-колай Митрофанович Крылов (1879 - 1955), академик АН УССР, член ряда иностранных мате-матических обществ. Созданный по его инициативе Математический кабинет (с февраля 1919г.) способствовал научным исследованиям и образовательной деятельности в области матема-тики. Это было первое в России учреждение подобного рода, послужившее прообразом научно-исследовательских институтов. В июне 1919 года Совет Таврического университета принял по-становление об учреждении Математического общества, которое существовало до 1926 года.

В 1918 - 1921 годах на факультете работал Матвей Александрович Тихомандрицкий, извест-ный специалист в области эллиптических функций. В 1920 - 1921 годах на факультете преподавалВладимир Иванович Смирнов, академик АН СССР, Герой социалистического труда, автор ши-роко известного пятитомного Курса высшей математики, переведенного на 8 языков и изданногов 10 странах.

С 1921 по 1925 год физико-математический факультет был учебным подразделением Крым-ского университета имени М.В. Фрунзе. В эти годы на факультете работали такие известныематематики как Михаил Людвигович Франк (отец нобелевского лауреата по физике И.М. Фран-ка), Лев Александрович Вишневский (в 1918 - 1952 годах декан факультета), Николай СергеевичКошляков (член-корреспондент АН СССР, член Лондонского математического общества), Ни-колай Михайлович Герсеванов (член-корреспондент АН СССР).

С 1925 года факультет стал подразделением Крымского государственного педагогического ин-ститута. С августа 2014 года Таврический университет носит название Крымский федеральныйуниверситет имени В.И. Вернадского.

Оргкомитет Крымской Осенней Математической Школы-симпозиума посвя-

щает конференцию 2018 года столетнему юбилею Таврического университета.

Секция 4. Дифференциальные уравнения в частныхпроизводных

УДК: 517.9

РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМС НЕГЛАДКОЙ ПО ВРЕМЕНИ ГЛАВНОЙ МАТРИЦЕЙ

Архипова А. А., Гришина Г. В.

Санкт-Петербургский государственный университет (Россия, Санкт-Петербург)Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана (Россия, Москва)

E-mail: [email protected], [email protected]

В модельном параболическом цилиндре рассматривается квазилинейная параболическая система уравнений снедиагональной главной матрицей при краевом условии с косой производной на плоском участке боковой поверх-ности цилиндра Γ. Предполагается, что главная матрица системы и функции, определяющие краевое условие, необладают гладкостью по временной переменной. Доказана частичная регулярность обобщенного решения зада-чи (непрерывность по Гельдеру) в окрестности Γ. Как следствие, показано, что обобщенные решения линейнойзадачи непрерывны по Гельдеру при оптимальных предположениях о гладкости данных задачи по независимымпеременным. Для доказательства используется модификация метода A(t)-калорической аппроксимации, учиты-вающая заданное краевое условие.

Ключевые слова: квазилинейная параболическая система, регулярность, непрерывность по Гельдеру, задача скосой производной.

REGULARITY OF SOLUTIONS TO THE OBLIQUE DERIVATIVEPROBLEM FOR QUASILINEAR PARABOLIC SYSTEMS WITH

TIME-NONSMOOTH PRINCIPAL MATRIX

Arkhipova Arina, Grishina Galina

Saint Petersburg State University (Russia, Saint-Petersburg),Bauman Moscow State Technical University (Russia, Moscow)

We consider a quasilinear parabolic system of equations with nondiagonal principal matrix in a model paraboliccylinder in the case of the oblique derivative condition on the plane part Γ of the lateral surface of the cylinder. Wesuppose the principal matrix and the boundary data to be time-nonsmooth functions. We prove the partial regularity(the Holder continuity) of weak solutions in a neighborhood of Γ. As a consequence, we show the Holder continuity ofweak solutions to the corresponding linear problem in the case of optimal smoothness conditions on the data of theproblem with respect to independent variables. We use a modification of A(t)-caloric approximations method suitableto the oblique derivative problem.

Keywords: quasilinear parabolic system, regularity, the Holder continuity, oblique derivative problem.

Пусть B1(0) — единичный шар в пространстве Rn, n ≥ 2, B+1 = B1(0) ∩ xn > 0, γ1 =

B1(0) ∩ xn = 0, Λ1 = (−1, 0), и Q+1 = B+

1 × Λ1, Γ1 = γ1 × Λ1.Пусть функция u = u(x, t), u = (u1, . . . , uN), N > 1, — решение задачи

ut − div(a(z, u)∇u) = g(z), z = (x, t) ∈ Q+1 ;

∂u(z′)

∂l:=

∂u(z′)

∂na+dCτ (z′, u(z′))

d xτ= ψ(z′), z′ = (x′, 0, t) ∈ Γ1. (1)

Здесь ut = ∂u∂t , ∇u =

∂u∂xk

, k ≤ n, n(x′) = (0, . . . ,−1) — единичная нормаль в точках x′ ∈ γ1,

внешняя к B+1 , ∂u(z′)

∂na:= a(z′, u)∇u · n(x′)

∣∣Γ1

. В равенстве (1) и далее в интегральных соотноше-

ниях предполагается суммирование по τ = 1, . . . , n− 1.

Недиагональная матрица a(z, u) = aαβkl (z, u), 1 ≤ α, β ≤ n, 1 ≤ k, l ≤ N, удовлетворяет

условиям Каратеодори и условию равномерной эллиптичности на множестве Q+1 × RN .

Если считать, что элементы матриц Kτ (z′) := Cτ (z′, u(z′)) = Cτk (z′, u(z′))k≤N принадлежат

пространству L2(Λ1;H1/2(γ1)), а функции g ∈ L2(Q+

1 ), ψ ∈ L2(Γ1), то обобщенное решение uзадачи (1) можно определить следующим образом.

www.kromsh.info 5

Определение. Функция u ∈ V (Q+1 ) := L2(Λ1;W

12 (B+

1 )) называется обобщенным решением за-дачи (1), если она удовлетворяет тождеству∫

Q+1

[−u · φt + a(z, u)∇u · ∇φ] dz = J(u, φ) +

∫

Q+1

g · φdz +

∫

Γ1

ψ · φdΓ, ∀φ ∈W 12 (Q+

1 ), φ∣∣∂Q+

1 \Γ1= 0,

где

J(u, φ) =

∫

Γ1

Cτ (z′, u(z′)) · φxτ(z′) dΓ.

Далее, используя условия на функции Cτ (z, u(z)), τ ≤ n − 1, сформулированные ниже, мысведем интеграл J(u, φ) к объемному.

Регулярность обобщенных решений квазилинейных параболических систем изучалась ранеемногими авторами. Для параболических систем общего вида (класса систем с контролируемыминелинейностями) частичная гладкость решений задачи с нелинейным краевым условием типаНеймана изучалась в работе [1] (в условии (1) ψ = ψ(z′, u) и Cτ = 0).

Для размерностей n ≥ 3 построены контрпримеры, показывающие наличие сингулярностей уобобщенных решений квазилинейных параболических систем внутри параболического цилиндрадаже при гладкой матрице системы и гладких граничных данных. Поэтому можно ожидатьлишь частичную регулярность обобщенных решений в окрестности границы области.

В данной работе мы модифицируем для изучения задачи с косой производной метод A(t)-калорической аппроксимации, предложенный в [2]. В рамках этого метода исследуемое решениесистемы аппроксимируется локально в L2-норме решением простой линейной системы с мат-рицей A(t), элементы которой — ограниченные измеримые на временном интервале функции.Это позволяет при доказательстве частичной регулярности квазилинейных систем отказатьсяот требования какой-либо гладкости главной матрицы по переменной t. Мы также оцениваемхаусдорфову размерность сингулярного множества решения в окрестности границы при усло-виях интегральной непрерывности главной матрицы a(z, u) и матриц M τ (z, u) = M τ

kl, гдеM τ

kl = (Cτk )ul , 1 ≤ k, l ≤ N , по пространственным переменным x, не предполагая какой-либо

гладкости матрицы a и функций Cτ и их производных, по переменной t. Оптимальность тре-бований относительно функций g и ψ в шкале пространств Морри подтверждается известнымирезультатами для линейных задач.

Как следствие, для линейной задачи с косой производной получаем гладкость решения навсем множестве Q+

1 ∪ Γ1, т.е. для линейной задачи сингулярное множество исключается.Частичная гладкость обобщенных решений задачи Неймана для квазилинейных параболиче-

ских систем при ослаблении известных требований гладкости относительно главной матрицысистемы a(z, u) была доказана в работе авторов [3].

Далее обозначаемBR(x0) = x ∈ Rn : |x−x0| < R, QR(z0) = BR(x0)×(t0−R2, t0), Q′R(z0) =

QR(z0) ∩ xn > 0;

vr,z0 =Q′

r(z0)v(z) dz =

1

|Q′r|

∫

Q′

r(z0)

v(z) dz, |QR|n+1 = Rn+2|B1|n.

Для произвольной ограниченной области Ω ⊂ Rn и интервала Λ ⊂ R1 в цилиндре Q = Ω× Λопределяем пространство Морри L2,λ(Q; δ), λ ∈ (0, n+ 2] в параболической метрике δ:

L2,λ(Q; δ) =u ∈ L2(Q) : ‖u‖L2,λ(Q) =

(sup

z0∈Q, 0<ρ≤d

1

ρλ

∫

Q′

ρ(z0)

|u(z)|2 dz) 1

2

<∞,

где δ(z1, z2) = max|x1 − x2|, |t1 − t2|1/2, ∀zi = (xi, ti) ∈ Rn+1, i = 1, 2; d = maxΩ, |Λ|.Сформулируем условия, при которых будет доказан основной результат работы — теорема 1.

(H1) Существуют положительные постоянные ν ≤ µ такие, что

ν |ξ|2 ≤ (a(z, η) ξ · ξ) =∑

α,β≤n;k,l≤N

aαβkl (z, η)ξl

βξkα ≤ µ |ξ|2, ∀η ∈ RN , ξ ∈ RnN , п. в. z ∈ Q+

1 .

(H2) Элементы матрицы a(z, η) равномерно непрерывны по η ∈ RN при почти всех z ∈ Q+1 ,

точнее, существует неубывающая ограниченная выпуклая функция ω(s), s ∈ [0,∞), такая, что

ω(s)→ 0 при s→ 0, и ess supz∈Q+

1

|a(z, η)− a(z, ζ)| ≤ ω(|η − ζ|2) ∀η, ζ ∈ RN .

6 Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ-2018)

(H3) При r ≥ 0 определена ограниченная функция

qa(r) = supρ≤r, η∈RN

supz0∈Q+

1Λρ(t0)

(

Ωρ(x0)|a(x, t, η) − aρ,x0(t, η)|2 dx

)dt,

гдеaρ,x0(t, η) =

Ωρ(x0)a(x, t, η) dx, qa(r)→ 0, r → 0, Ωρ(x

0) = Bρ(x0) ∩ xn > 0.

(H4) При всех τ ≤ n − 1 элементы матриц Cτ (z, η) удовлетворяют условию Каратеодори намножестве Q+

1 × RN , дифференцируемы по x и η, и существует постоянная µ1 > 0, такая, что

|Cτ (z, η)|+ |∇xCτ (z, η)| ≤ µ1 (|η|+ 1), |M τ (z, η)| ≤ µ1, п.в. z ∈ Q+

1 , ∀η ∈ RN ,

где матрицы M τ = M τkl, M τ

kl = (Cτk )ηl , 1 ≤ k, l ≤ N .

(H5) M τkl(z, η) = M τ

lk(z, η), 1 ≤ k, l ≤ N, п.в. z ∈ Q+1 , ∀η ∈ RN .

(H6) Для функции ω(s), определенной в условии (H2), справедливы также оценки

ess supQ+

1

|M τ (z, η)−M τ (z, ζ)| ≤ ω(|η − ζ|2) ∀η, ζ ∈ RN , τ ≤ n− 1.

(H7) Существуют такие ограниченные функции qτ (r), что

qτ (r) = supρ≤r, η∈RN

supz0∈Q+

1Λρ(t0)

(

Ωρ(x0)|M τ (x, t, η) −M τ

ρ,x0(t, η)|2 dx)dt,

гдеM τ

ρ,x0(t, η) =Ωρ(x0)

M τ (x, t, η) dx, qτ (r)→ 0, r→ 0.

(H8) Функции g ∈ L2,n−2+2α(Q+1 ; δ), ψ ∈ L2,n−1+2α(Γ1; δ), где α ∈ (0, 1).

Теорема 1. Пусть выполнены условия (H1)–(H8), u ∈ V (Q+1 ) — обобщенное решение задачи

(1). Существуют такие числа θ0, q0, r0 ∈ (0, 1), что если

q∗(r0) := supqa, qτ ≤ q0,и в точке z0 ∈ Q+

1 ∪ Γ1

1

Rn

∫

QR(z0)∩Q+1

(|∇u|2 + |u|2) dz < θ0,

для некоторого R ≤ r0, тогда u ∈ Cα(QsR(z0) ∩Q+1 ; δ), ∇u ∈ L2,n+2α(QsR(z0) ∩ Q+

1 ; δ) приα ∈ (0, 1) из условия (H8) и некотором s ∈ (0, 1), и верна следующая оценка

‖u‖Cα(QsR(z0)∩Q+

1 ; δ)+ ‖∇u‖L2,n+2α(QsR(z0)∩Q+

1 ; δ) ≤≤ c1 ‖u‖V (Q+

1 ) + c2(‖g‖L2,n−2+2α(Q+1 ; δ) + ‖ψ‖L2,n−1+2α(Γ1; δ)).

Постоянные c1 и c2 зависят от ν, µ, µ1, α, n, N и функций q∗(r) и ω(s). Кроме того, c1 зависитот s и R−1.

Работа первого автора поддержана Российским фондом фундаментальных исследований,грант No. 17-01-00678.

Список литературы

[1] Arkhipova A. On the regularity of the solution of the Neumann problem for quasilinear parabolic systems //RussianAcad. Sci Izv. Math. – 1995. – V. 45, no. 2. – P. 231-253; in russian: Архипова А. А. О регулярности решениязадачи Неймана для квазилинейных параболических систем / А. А. Архипова // Известия Росс. Акад. Наук,сер. матем. – 1994. – Т. 58, 5. – С. 3–25.

[2] Arkhipova A., John O., Stara J. Partil regularity for solutions of quasilinear parabolic systems with nonsmooth intime principal matrix / A. Arkhipova, O. John, J. Stara // Nonlinear Analysis, Ser. A. – 2014. – V. 95, – P. 421–435.

[3] Arkhipova A., Grishina G. "Regularity of Solutions to Quasilinear Parabolic Systems with Time-NonsmoothPrincipal Matrix and the Neumann Boundary Condition / A. Arkhipova, G. Grishina // Journal of MathematicalSciences. – 2018. – V. 232, No, 3, – P. 232–253; in Russian: Архипова А. А., Гришина Г. В. Регулярность реше-ний квазилинейных параболических систем с негладкой по времени главной матрицей при краевом условииНеймана / А. А. Архипова, Г. В. Гришина // Сб. Проблемы Математ. Анализа. – 2018. – Вып. 92, – С. 27–44.

www.kromsh.info 7

УДК: 532.54

ДВИЖЕНИЕ ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ В СЛОИСТОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Балашова Г. С.

Доктор физико-математических наук, профессор, Национальный исследовательскийуниверситет «Московский энергетический институт» (Россия, Москва)

E-mail: [email protected]

В данной работе рассмотрена задача вытеснения одной несжимаемой жидкости другой в частной модели ли-нейного слоистого ограниченного пласта, состоящего из двух слоев, разделенных мало проницаемой перемычкой.Такая задача имеет чрезвычайно важное значение как практическое, так и теоретическое. В докладе обсуждаетсяалгоритм решения этой задачи с помощью процедуры осреднения.

Ключевые слова: несжимаемая жидкость, эллиптические уравнения, скорость фильтрации, осреднение, отсут-ствие перетока, переток вытесняющей жидкости.

MOVEMENT OF TWO LIQUIDS IN A LAYER POROUS MEDIUM

Balashova Galina

Doctor of science, professor, National Research University "Moscow Power Engineering Institute"(Russia, Moscow)

In this paper, we consider the problem of displacement of one incompressible fluid by another in a particular model ofa linear layered bounded reservoir consisting of two layers separated by a small permeable bridge. This task is extremelyimportant both practical and theoretical. The report discusses an algorithm for solving this problem using the averagingprocedure.

In the two-dimensional formulation for the rectilinear case, the problem reduces to solving a system of 2 ellipticequations for the pressures in each of the media separated by an unknown moving boundary under given boundaryconditions and satisfying the conditions of equality of pressures and normal components of the filtration rates of displacedand displacing liquids at the movable interface .

Keywords: incompressible fluid, elliptic equations, filtration rate, averaging, no flow, flow of displacing fluid.

В данной работе рассмотрена задача вытеснения одной несжимаемой жидкости другой в част-ной модели линейного слоистого ограниченного пласта, состоящего из двух слоев, разделенныхмало проницаемой перемычкой. Такая задача имеет чрезвычайно важное значение как прак-тическое, так и теоретическое. Однако, дать её решение в аналитической форме невозможно.В двумерной постановке для прямолинейного случая задача сводится к решению системы 2-хэллиптических уравнений для давлений в каждой из сред, разделенных неизвестной подвиж-ной границей, при заданных краевых условиях и выполнении условий равенства давлений инормальных составляющих скоростей фильтрации вытесняемой и вытесняющей жидкостей наподвижной границе раздела. Для упрощения исследования системы её уравнения осредняют-ся по мощности верхнего пласта. Основной особенностью этого осреднения является заданиевертикальной составляющей скорости фильтрации в виде линейной функции от вертикальнойкоординаты так, чтобы были удовлетворены граничные условия на кровле и подошве пласта.В рамках этих допущений задача сводится к решению системы осреднённых уравнений в верх-нем пласте, содержащих функции, описывающие границу раздела двух жидкостей в верхнемпласте и в перемычке. Интегрирование уравнений в полученной системе в замкнутой формене представляется возможным без сильных ограничений на закон изменения границы разделажидкостей в пропластке. В связи с этим предложены две предельные схемы вытеснения жидко-стей. Первая схема предполагает отсутствие перетока вытесняющей жидкости, что соответству-ет ускорению продвижения фронта вытеснения в верхнем пласте. Вторая схема предполагаетполный переток вытесняющей жидкости, что соответствует замедлению фронта вытеснения вверхнем пласте. При такой схематизации движения положение границы раздела в перемычкене существенно влияет на распределение средних давлений в верхнем пласте. Для нахождениязакона перемещения каждой из искомых границ получаются задачи Коши для обыкновенныхдифференциальных уравнений. Проведенные численные расчеты показали, что рассмотренныепредельные схемы мало отличаются одна от другой, а следовательно, и от истинного решения,заключенного между ними. Различие во временах полного вытеснения одной жидкости другой,соответствующее этим предельным схемам, не превышает 5 процентов.


УДК: 47G20, 45Dxx, 45Kxx

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВОЛЬТЕРРОВЫХИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Власов В. В.

д.ф.-м.н., профессор, МГУ имени М.В.Ломоносова (Россия, Москва)


Проводится спектральный анализ вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений с неограниченнымиоператорными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Указанные уравнения являются операторными мо-делями интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в теории вязкоупругости,в теории распространения тепла в средах с памятью, в теории усреднения в многофазных средах.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, оператор-функция, спектр, вольтерров оператор.

SPECTRAL ANALYSIS OF VOLTERRA INTEGRO-DIFFERENTIALEQUATIONS

Vlasov Victor

phd, professor, Lomonosov Moscow State University (Russia, Moscow)

The spectral analysis of Volterra integro-differential equations with unbounded operator coefficients in Hilbert spaceis performed. The equations mentioned above are operator models of the integro-partial differential equations arising inthe viscoelasticity theory, in the theory of heat conduction in media with memory and in the theory of homogenizationin composite materials.

Keywords: integro-differential equation, operator-function, spectra, Volterra operator.

Исследования направлены на изучение асимптотических и качественных свойств решенийинтегро-дифференциальных и уравнений с неограниченными операторными коэффициентамив гильбертовом пространстве методом спектрального анализа их символов. Главная часть рас-сматриваемых уравнений представляет собой абстрактное гиперболическое уравнение, возму-щенное слагаемыми, содержащими вольтерровы интегральные операторы. Указанные интегро-дифференциальные уравнения являются обобщенными линейными моделями вязкоупругости,диффузии и теплопроводности в средах с памятью (уравнение Гуртина-Пипкина см. [1], [2]) иимеют ряд других важных приложений. В частности, эти уравнения могут быть реализованы ввиде следующей системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных

ρu(x, t) − Lu(x, t) +

t∫

0

K1(t− s)L1u(x, s)ds+

t∫

0

K2(t− s)L2u(x, s)ds = f(x, t), (1)

где u = ~u(x, t) ∈ R3 вектор перемещений вязкоупругой наследственной изотропной среды, t > 0,среда заполняет ограниченную область x ∈ Ω ⊂ R3, u удовлетворяет условиям Дирихле в обла-сти Ω с гладкой границей, L1 = µ · (∆u + 1/3 · grad divu), L2 = λ · grad divu, Lu = (L1 + L2)u -оператор Ламе теории упругости, K1, K2 функции релаксации, характеризующие наследствен-ные свойства среды.

Проводится спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами указанныхинтегро-дифференциальных уравнений, получены результаты о структуре и локализации ихспектра (см. [1]–[3]).

Эти результаты являются обобщением результатов, опубликованных в работе [4].Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда РНФ 17-11-01215.

www.kromsh.info 9


[1] Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений / В.В. Вла-сов, Н.А. Раутиан – М.: МАКС Пресс, 2016. – 488с.

[2] Rautian N.A., Vlasov V.V. Well-Posedness and Spectral Analysis of Hyperbolic Volterra Equations of ConvolutionType / N.A. Rautian, V.V. Vlasov // Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedingsin Mathematics and Statistics. – 2016. – V.164. – P.411–419.

[3] Власов В.В., Раутиан Н.А. Исследование вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений, возникающихв теории вязкоупругости / В.В. Власов, Н.А. Раутиан // Доклады Академии Наук. – 2016. – Т.471, 3. – С.259-262.

[4] Власов В.В., Раутиан Н.А. Корректная разрешимость и спектральный анализ интегродифференциальныхуравнений, возникающих в теории вязкоупругости / В.В. Власов, Н.А. Раутиан // Современная математика.Фундаментальные направления. – 2015. – Т.58. – С.22-42.

УДК: 517.968.7.

О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ МАЯТНИКА С ПОЛОСТЬЮ,ЗАПОЛНЕННОЙ ДВУМЯ НЕСМЕШИВАЮЩИМИСЯ ИДЕАЛЬНЫМИ

ЖИДКОСТЯМИ

Войтицкий В. И., Фордук К. В.

Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского (Россия, Симферополь)


Рассматривается линеаризованная задача о малых движениях маятника с полостью, целиком заполненнойсистемой двух несмешивающихся однородных идеальных жидкостей, учитывающая трение в шарнире. Формули-руется полная постановка начально-краевой задачи, которая с помощью метода ортогонального проектированияи изучения вспомогательных краевых задач приводится к задаче Коши для дифференциально-операторного урав-нения первого порядка в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Формулируются теоремы существованияи единственности финальной и исходной начально-краевой задачи.

Ключевые слова: физический маятник, идеальная жидкость, гильбертово пространство, задача Коши, опера-торная матрица.

ON SMALL MOTIONS OF A PENDULUM WITH CAVITY FILLED WITHTWO IMMISCIBLE IDEAL FLUIDS

Voytitsky V. I., Forduk K. V.

V.I. Vernadsky Crimean Federal University (Russia, Simferopol)

We consider linearized problem on small motions of a pendulum with cavity filled with two homogeneous immiscibleideal fluids taking into account the friction in the hinge. We formulate initial boundary value problem. Using methodof orthogonal projections and studying the auxiliary boundary value problems the problem formulates as a Cauchyproblem for the differential-operator equation of first order in infinite dimensional Hilbert space. We formulate theoremon existence and uniqueness of strong solution of final and basic initial boundary value problem.

Keywords: compound pendulum, ideal fluid, Hilbert space, Cauchy problem, operator-matrix.

Пусть имеется тело G массы m, которое закреплено в неподвижной точке O1. Рассматрива-емое тело состоит из твёрдой части Ω0 плотности ρ0, и полости, целиком заполненной двумянесмешивающимися идеальными однородными жидкостями. Считаем, что в состоянии равно-весия жидкости с плотностями ρ1 > ρ2 > 0 занимают области Ω1 и Ω2, разделённые плоскойгоризонтальной поверхностью Γ и твёрдыми стенками S1, S2, а в процессе малых колебанийзанимают области Ω1(t) и Ω2(t), разделённые свободной границей Γ(t), см. рисунок ниже.

Будем считать, что на данную гидромеханическую систему в состоянии покоя действуетоднородное гравитационное поле ~g = −g~e 3, а в процессе малых движений – силовое поле~F := ~g + ~f(t, x), где ~f(t, x) – малая динамическая добавка к гравитационному полю.

Будем считать, что в точке O1 находится сферический шарнир, маятник совершает малые

колебания вокруг этой точки с угловым ускорением ~δ(t) и угловой скоростью ~ω(t), причём вшарнире имеется трение, пропорциональное угловой скорости с коэффициентом α > 0. ПустьO1x

1x2x3 — неподвижная система координат, O1x11x

21x

31 — подвижная система, жёстко связанная

с телом.


Введём ещё обозначение∫

G

(. . .)dm :=

∫

Ω0

(. . .)ρ0dΩ0 +

∫

Ω1

(. . .)ρ1dΩ1 +

∫

Ω2

(. . .)ρ2dΩ2,

тогда движение маятника описывается линеаризованным уравнением изменения кинетическогомомента:∫

G

~r × (d~ω

dt× ~r) dm+ ρ1

∫

Ω1

~r × ∂~u1

∂tdΩ1 + ρ2

∫

Ω2

~r × ∂~u2

∂tdΩ2 + α~ω + gmlP2

~δ−

− g (ρ1 − ρ2)

∫

Γ

(~e 31 × ~r)ζ dΓ =

∫

G

~r × ~f dm =: ~M(t),

где ~r — радиус-вектор, идущий из полюса O1 в любую точку области Ωk; l > 0 — расстояние отточки подвеса до центра тяжести маятника; ζ(x, t) (x ∈ Γ) — функция, описывающая нормальные

отклонения свободной поверхности Γ от равновесного состояния; P2~δ :=

2∑

j=1

δ j~e j1 .

В подвижной системе координат выполнены линеаризованные уравнения движения жидкостии уравнения неразрывности

∂~uk

∂t+d~ω

dt× ~rk = −ρ−1

k ∇pk + ~fk, div ~uk = 0 ( в Ωk ), k = 1, 2,

где ~uk ∈ ~J0,Sk:=~uk ∈ ~L2(Ωk) : div ~uk = 0, ~un,k = ~uk · ~nk = 0 (на Sk )

— поля скоростей иде-

альных жидкостей, pk — малое поле динамических давлений, ~fk := ~f |Ωk.

Имеем следующие граничные условия:

~un,k = ~uk · ~nk = 0 (на Sk) ,

p1 − p2 = (ρ1 − ρ2)g(ζ + (P2~δ × ~r) · ~e 3

1 ),∂ζ

∂t= u3

1|Γ = u32|Γ,

∫

Γ

ζ dΓ = 0 (на Γ ),

условия связиd

dtP2~δ = P2~ω,

d

dt~δ 3 = ~ω 3, а также заданные начальные данные

~uk(0, x), ~ωk(0), ζ(0, x).С помощью метода ортогонального проектирования и используя свойства операторов вспо-

могательных краевых задач, исходная начально-краевая задача сводится к задаче Коши длядифференциального уравнения первого порядка с операторными коэффициентами в бесконеч-

номерном гильбертовом пространстве H = H1 ⊕H2 := ( ~J0,S1(Ω1)⊕ ~J0,S2(Ω2)⊕C3)⊕ (L2,Γ ⊕C2):

(C1 00 gC2

)d

dt

(z1z2

)+

(A1 00 0

)(z1z2

)+ g

(0 B12

B21 0

)(z1z2

)=

(F1(t)

0

),

z1(0) = z01 , z2(0) = z0

2 .

Здесь A1 = αI — неотрицательный оператор диссипации, B∗12 = −B21 — неограниченные

операторы, C1 ≫ 0, gC2 — ограниченные операторы кинетической и потенциальной энергии.

www.kromsh.info 11

Теорема 1. Финальная задача Коши (а также исходная начально-краевая задача) имеет един-ственное сильное решение на отрезке [0;T ] при условиях z(0) = (z0

1 ; z02) ∈ D(B), F1(t) ∈

C1([0;T ];H1).

Авторы выражают благодарность Н.Д. Копачевскому за постановку задачи и руководствоработой.

Работа выполнена при частичной поддержке первого соавтора грантом для молодых учёныхиз средств программы развития Крымского федерального университета им. В.И. Вернадскогона 2015–2024 гг.


[1] Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционныеи спектральные задачи. / Н.Д. Копачевский, C.Г. Крейна, Нго Зуй Кан – М.: Наука, 1989. – 416 с.

[2] Копачевский Н.Д. Операторные методы линейной гидродинамики: Специальный курс лекций / Н.Д. Копа-чевский. – Симферополь: ТНУ им. В.И. Вернадского, 2012. – 76 с.

[3] Копачевский Н.Д., Войтицкий В.И., Ситшаева З.З. О колебаниях двух сочлененных маятников, содержащихполости, частично заполненные идеальной несжимаемой жидкостью / Н.Д. Копачевский, В.И. Войтицкий,З.З. Ситшаева // Таврический вестник информатики и математики (ТВИМ). – 2017. – 3 (36). – C. 28–54.

[4] Войтицкий В.И., Фордук К.В. О колебаниях маятника с полостью, заполненной двумя несмешивающимисяидеальными жидкостями / В.И. Войтицкий, К.В. Фордук // Математика, информатика, компьютерные науки,моделирование, образование: сборник научных трудов конференции МИКМО – 2018. (в печати).

УДК: 517.968.7

О СТРУКТУРЕ СПЕКТРА ОДНОЙ ГИДРОАКУСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Вронский Б. М.

Таврическая академия Крымского федерального университета им. В. И. Вернадского (Россия,Симферополь)


В предлагаемой работе рассмотрена структура спектра собственных колебаний идеальной сжимаемой экспо-ненциально стратифицированной жидкости. Жидкость частично заполняет цилиндрический сосуд произвольнойформы и имеет при этом свободную поверхность. Методом разделения переменных доказано наличие двух по-следовательностей с.з. с предельной точкой на бесконечности.

Ключевые слова: сжимаемая стратифицированная жидкость, разделение переменных, спектр.

ON THE SPECTRUM OF A SINGLE HYDROACOUSTIC PROBLEM

Wronsky Boris

Taurida Academy of V.I. Vernadsky Crimean Federal University (Russia, Simferopol)

In the paper, the structure of the spectrum of eigenoscillations of an ideal compressible exponentially stratifiedliquid is considered. The liquid partially fills a cylindrical vessel of arbitrary shape and has a free surface. The methodof separation of variables proved the existence of two sequences eigenvalues with a limit point at infinity.

Keywords: compressible stratified fluid, separation of variables, spectrum.

Введение

В предлагаемой работе рассмотрена структура спектра собственных колебаний идеальнойсжимаемой экспоненциально стратифицированной жидкости. Жидкость частично заполняет ци-линдрический сосуд произвольной формы и имеет при этом свободную поверхность.


1. Постановка задачи

Рассмотрим гидродинамическую систему, состоящую из тяжелой идеальной сжимаемой (га-за) жидкости, частично заполняющей цилиндрический сосуд. В состоянии покоя жидкость за-нимает цилиндрический область Ω, ограниченную твердой стенкой и свободной поверхностьюΓ, представляющей в состоянии покоя часть плоскости. Границы рассматриваемой области Ωлипшицевыми.

Пусть неподвижный цилиндрический сосуд произвольной формы частично заполнен идеаль-ной сжимаемой жидкостью. Жидкость предполагается стратифицированной, то есть ее плот-ность в состоянии покоя изменяется вдоль вертикальной оси Oz по закону ρ0 = ρ0(z). Область,занятую жидкостью, обозначим через Ω, а ее границу (твердую стенку) — через S. Свободнуюповерхность жидкости обозначим Γ. Считаем, что система находится под действием силы тя-

жести с ускорением ~g = −g~k, где ~k — орт оси Oz. Будем рассматривать случай устойчивойстратификации, она имеет место при выполнении условия (см. [1]):

0 < N2− ≤ N2(z) ≤ N2

+ <∞, (1)

N2(z) := N20 (z)− (g/c)2, N2

0 (z) := −g(ln ρ0(z))′.

Величину N2(z) принято называть частотой плавучести или частотой Вяйсяля–Брента. В даль-нейшем будем считать её постоянной и обозначать ω2

0 , такая стратификация называется экспо-ненциальной. Через c в (1) обозначена скорость звука в жидкости. Малые движения системыописываются уравнениями (см. [2]):

∂2 ~w

∂2t= − 1

ρ0∇p− 1

ρ0gρ~k (в Ω), (2)

ρ+ wzρ′0 + ρ0div ~w = 0 (в Ω), (3)

ρ+ wzρ′0 = c−2(p− gwzρ0) (в Ω), (4)

к которым надо присоединить краевое условие

~w · ~n = 0 (на S), (5)

выражающее условие непротекания на твердой стенке. Краевое условие на свободной границе Γимеет вид:

wz = (gρ0(0))−1p. (6)

2. Методы исследования

Будем в дальнейшем исследовать собственные колебания описанной системы, то есть решенияпропорциональные exp(iωt), где ω – частота собственных колебаний. Система уравнений (2)-(6)сводится к уравнению в частных производных смешанного типа для одной функции следующеговида:

∂2u

∂z2+ω2 − ω2

0

ω2∆2u+

ω2 − β2c2

c2u = 0 (7)

с соответствующими краевыми условиями, содержащими спектральный параметр ω2 :

∂u

∂n= 0 (на S),

∂u

∂z= 0 (при z = −1),

∂u

∂z+ (β − ω2

g)u (при z = 0).

Параметр β характеризует стратификацию жидкости. Легко видеть, что имеет место нера-венство ω2 ≤ β2c2. Таким образом, для спектрального параметра ω2 возникают зоны (0;ω2

0),(ω2

0 ;β2c2) и (β2c2; +∞).Решение (7) будем искать методом разделения переменных в виде u(x; y; z) = v(z)u(x; y). При

этом рассмотрим только следующие спектральные зоны: (0;ω20) и (β2c2; +∞).

Начнем с (β2c2; +∞). В этом случае выражения a2 ≡ ω2 − ω20

ω2и b2 ≡ ω2 − β2c2

c2являются

положительными. Для функции u получаем следующую краевую задачу:

−∆u = µ2u,

www.kromsh.info 13

где µ2 — параметр разделения переменных. Из общей теории спектральных задач для опера-тора Лапласа следует, что µ2 = µ2

n ≥ 0, n = 1, 2, . . . , то есть принимает счетное множествонеотрицательных значений, причем с известной степенной асимптотикой.

Подставляя это значение для µ2 в уравнение и краевые условия для функции v и исследуяграфическими и асимптотическими методами получившееся характеристическое уравнение дляспектрального параметра ω2, получаем, что существует в рассматриваемой спектральной зоне(β2c2; +∞) две последовательности положительных собственных значений , причем обе с пре-дельной точкой на +∞.

Рассмотрим теперь спектральную зону (0;ω20). Аналогично, исследуя графическими и асимп-

тотическими методами получающееся при этом характеристическое уравнение, мы получим, чтов рассматриваемой спектральной зоне (0;ω2

0) содержится счетное множество собственных значе-ний

3. Физические выводы

Для физических выводов относительно различных частей спектра сравним полученные ре-зультаты с известными задачами о колебаниях идеальной сжимаемой стратифицированной жид-кости, с одной стороны и, с другой стороны, с задачей о колебаниях системы слоёв идеальныхсжимаемых однородных жидкостей или с задачей о движении идеальной однородной сжимаемойжидкости со свободной поверхностью.

В случае стратифицированной жидкости, целиком заполняющей сосуд, спектр состоит изодной последовательности конечнократных собственных значений с единственной предельнойточкой на +∞. Эта задача исследовалась в [2] методами функционального анализа и там былопоказано, что отвечающие собственные колебания порождены наличием сжимаемости, а соот-ветствующие волновые движения назывались акустическими. Кроме этого, на отрезке (0;ω2

0)располагался предельный спектр задачи, порожденный наличием стратификации.

В случае однородной сжимаемой идеальной жидкости, частично заполняющей сосуд, или вслучае слоем таких жидкостей доказано, что спектр состоит из двух последовательностей изо-лированных конечнократных собственных значений с предельной точкой на +∞. Наличие этихдвух последовательностей обусловлено двумя разными физическими эффектами, а именно, сжи-маемостью жидкостей и наличием границы раздела или свободной поверхностью. Поэтому со-ответствующие этим собственным частотам волновые движения называются акустическими иповерхностными колебаниями, соответственно. Эта задача исследовалась в [3] также методамифункционального анализа.

В настоящей задаче имеются все три отмеченных физических эффекта и, как следует из ре-шения, спектр состоит из трех счетных подмножеств, наличие которых обусловленно стратифи-кацией, сжимаемостью и наличием свободной поверхности. То есть физические и спектральныеэффекты исследованных раннее задач объединяются.


[1] Габов С. А. Задачи динамики стратифицированных жидкостей / Габов С. А., Свешников А. Г. - М.: Наука,1986. - 288 с.

[2] Вронский Б. М. О малых движениях системы «жидкость-газ» в ограниченной области / Вронский Б. М. //Украинский математический журнал. - 2006. - т.58, 10. - с. 1326 - 1334.

[3] N. D. Kopachevsky Small motions and eigenoscillations of a system „fluid – gas” in a bounded region / N. D.Kopachevsky, M. Padula, B. M. Vronsky // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского cерия Математика. Механика. Информатика и кибернетика - Tом 20(59) 1 (2007), c. 3–55.


УДК: 517.9:532

О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИМАКСВЕЛЛА

Закора Д. А.

Таврическая академия Крымского федерального университета им. В. И. Вернадского (Россия,Симферополь)


Изучается модель вязкоупругой баротропной жидкости Максвелла. Доказывается теорема об асимптотическомповедении решений соответствующей начально-краевой задачи при внешних нагрузках специального вида.

Ключевые слова: C0-полугруппа, экспоненциальная устойчивость, материалы с памятью, жидкость Максвел-ла, асимптотика.

ON SMALL MOTIONS OF A VISCOELASTIC MAXWELL FLUID

Zakora Dmitry

Taurida Academy of V.I. Vernadsky Crimean Federal University (Russia, Simferopol))

We investigate a barotropic Maxwell fluid. We prove the theorem on the asymptotic behavior of solutions tocorresponding initial boundary value problem in the case of external forces of a special type.

Keywords: C0-semigroup, exponential stability, materials with memory, Maxwell fluid, asymptotic behavior.

Пусть Ω ⊂ R3 — ограниченная область, n — единичный вектор, нормальный к границе ∂Ω инаправленный вне области Ω. Введем систему координатOx1x2x3, жестко связанную с областью,таким образом, что осьOx3 направлена против действия силы тяжести, а начало координат нахо-дится в области Ω. Задача о малых движениях вязкоупругой баротропной жидкости Максвелла,заполняющей область Ω, имеет следующий вид (см. [1]):

∂u(t, x)

∂t= −∇

(a∞ρ

−1/20 (z)ρ(t, x)

)+

+

m∑

l=1

t∫

0

e−bl(t−s) 1

ρ0(z)

(µl∆u(s, x) + (ηl +

µl

3)∇divu(s, x)

)ds+ f(t, x) (в Ω), (1)

∂ρ(t, x)

∂t= −a∞ρ−1/2

0 (z)div(ρ0(z)u(t, x)

)(в Ω), u(t, x) = 0 (на ∂Ω). (2)

u(0, x) = u0(x), ρ(0, x) = ρ0(x), (3)

где u(t, x) (x := (x1, x2, x3) ∈ Ω) — поле скоростей жидкости, a∞ — скорость звука в жидкости,ρ0(z) = ρ0(0) exp(za−2

∞ ) — плотность жидкости в состоянии равновесия (z := −gx3, g — ускоре-

ние силы тяжести), a−1∞ ρ

1/20 (z)ρ(t, x) — динамическая плотность жидкости, f(t, x) — малое поле

внешних сил, наложенное на гравитационное поле. Физические константы µl, ηl, bl (l = 1,m)считаются положительными.

В связи с задачей (1)-(3) рассмотрим абстрактную задачу Коши для системы интегродиффе-ренциальных уравнений первого порядка в гильбертовых пространствах H и H :

du

dt+B∗ρ+

m∑

l=1

t∫

0

e−bl(t−s)Alu(s) ds = f(t),

dρ

dt−Bu = 0, u(0) = u0, ρ(0) = ρ0.

(4)

Здесь оператор B действует из H в H , плотно определен и замкнут, а оператор Al (l = 1,m)самосопряжен и неотрицателен в H, числа bl (l = 1,m) положительны.

Пусть A0 такой самосопряженный положительно определенный в H оператор, что

D(B) ⊃ D(A1/20 ), D(Al) ⊃ D(A0) (l = 1,m). (5)

Из (5) и неравенства Гайнца [2, гл. 1, § 7, теорема 7.1] найдем, что

Q0 := BA−1/20 ∈ L(H, H), Ql := A

1/2l A

−1/20 ∈ L(H) (l = 1,m), (6)

www.kromsh.info 15

где через L(H, H) обозначено банахово пространство линейных ограниченных операторов, дей-ствующих из H в H , L(H) := L(H,H).

С использованием введенных операторов Ql (l = 0,m) запишем задачу (4) в следующей рас-ширенной форме:

du

dt+A

1/20

Q∗

0ρ+m∑

l=1

Q∗l

t∫

0

e−bl(t−s)QlA1/20 u(s) ds

= f(t),

dρ

dt−Q0A

1/20 u = 0, u(0) = u0, ρ(0) = ρ0.

(7)

Определение 1. Функции u(t), ρ(t) назовем решением задачи (7), если u(t) ∈ D(A1/20 ), ρ(t) ∈

H при каждом t ∈ R+ := [0,+∞), u(t) ∈ C1(R+;H), ρ(t) ∈ C1(R+;H), выражение в фигурных

скобках принимает значения из D(A1/20 ) и A

1/20 . . . ∈ C(R+;H), выполнены начальные данные

и уравнения из (7) для любого t ∈ R+.

Теорема 1. Пусть∑m

l=0Q∗lQl ≫ 0, u0 ∈ D(A

1/20 ), ρ0 ∈ D(B∗), f(t) ∈ C1(R+;H). Тогда решение

задачи (7) существует и единственно.Пусть

∑ml=1Q

∗lQl ≫ 0, Q0Q

∗0 ≫ 0, f(t) = g(t) +

∑nk=0 e

−iσktfk(t), где g(t), fk(t) ∈ C1(R+;H),σk ∈ R (k = 0, n) (будем считать, что σ0 = 0, σk 6= 0 при k = 1, n). Тогда существуют такиеабсолютные константы ω > 0, M0 > 1, что при всех t ∈ R+

∥∥∥u(t)−A−1/20 C1/2P0C

1/2A−1/20 f0(t)−

n∑

k=1

e−iσktA−1/20 L−1(iσk)A

−1/20 fk(t)

∥∥∥2

H

+

+∥∥∥ρ(t)−

(Q0CQ

∗0

)−1Q0CA

−1/20 f0(t) +

n∑

k=1

e−iσkt 1

iσkQ0L

−1(iσk)A−1/20 fk(t)

∥∥∥2

H6

6 M0e−2ωt

[‖u0‖2

H+ ‖ρ0‖2H +

n∑

k=0

‖fk(0)‖2H

]+

+M0

[ t∫

0

e−ω(t−s)[‖g(s)‖H +

n∑

k=0

‖f ′k(s)‖H]ds

]2, (8)

C :=[ m∑

l=1

1

blQ∗

lQl

]−1

, L(λ) := −λA−10 −

1

λQ∗

0Q0 +

m∑

l=1

1

bl − λQ∗

lQl.

где P0 — ортопроектор пространства H на Ker(Q0C

1/2).

В частности, если ‖g(t)‖H → 0, ‖f ′k(t)‖H → 0 (k = 0, n) при t→ +∞, то и

∥∥∥u(t)−A−1/20 C1/2P0C

1/2A−1/20 f0(t)−

n∑

k=1

e−iσktA−1/20 L−1(iσk)A

−1/20 fk(t)

∥∥∥2

H

+

+∥∥∥ρ(t)−

(Q0CQ

∗0

)−1Q0CA

−1/20 f0(t) +

n∑

k=1

e−iσkt 1

iσkQ0L

−1(iσk)A−1/20 fk(t)

∥∥∥2

H→ 0. (9)

Эта теорема применяется к исследованию асимптотического поведения решений задачи (1)-(3) о малых движениях вязкоупругой баротропной жидкости Максвелла при нагрузках, близкихк почти периодическим.


[1] Закора Д.А. Модель сжимаемой жидкости Максвелла / Д.А.Закора // СМФН. – 2017. – 63(2). – С. 247–265.[2] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г.Крейн. – М.: Наука,

1967. 464 с.


УДК: 517.958

О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ГИДРОСИСТЕМЫ ИЗ ТРЕХНЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ, ЗАПОЛНЯЮЩЕЙ

НЕПОДВИЖНЫЙ СОСУД

Копачевский Н. Д., Сёмкина Е. В.

Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского (Россия, Симферополь)


В работе изучается задача о малых движениях системы из трёх тяжёлых несмешивающихся однородныхжидкостей, полностью заполняющих неподвижный сосуд. При этом нижняя жидкость считается вязкоупругойнесжимаемой жидкостью модели Олдройта, а остальные две — идеальными жидкостями.

Ключевые слова: вязкоупругая жидкость, идеальная жидкость, гидродинамическая система, интегро-дифференциальное уравнение, задача Коши.

SMALL MOTIONS OF THREE NONMIXING FLUIDS IN A STATIONARYCONTAINER

Kopachevsky Nikolay, Syomkina Ekaterina

Crimea Federal University (Russia, Simferopol)

In the paper, we consider a problem on small motions of a system of three nonmixing fluids in a stationary container.One of fluids is viscoelastic fluid of Oldroid’s model, and two another are ideal fluids.

Keywords: viscoelastic fluid, ideal fluid, hydrodynamic system, integro-differential equation, Cauchy problem.

Рассмотрим неподвижный сосуд Ω, полностью заполненный системой из трёх несмешиваю-щихся жидкостей. Жидкости предполагаются тяжёлыми, и в силу этого действие капиллярныхсил в этой задаче не учитывается. Область Ω1, нижняя по отношению к действию силы тяжести,заполнена несжимаемой вязкоупругой жидкостью обобщённой модели Олдройта (см., например,[1, 2, 3, 4]). В этой модели связь между тензором вязких напряжений и удвоенным тензоромскоростей деформаций в вязкоупругой жидкости описывается не простейшим законом Гука, алинейным дифференциальным соотношением, где фигурируют производные порядка m > 1 повремени как у тензора вязких напряжений, так и у тензора скоростей деформаций. Далее, ρ1,µ1 — соответственно плотность и динамический коэффициент вязкости вязкоупругой жидкости.Области Ω2 и Ω3 заполнены идеальными несжимаемыми жидкостями с плотностями ρ2 и ρ3.

Обозначим через ~nk единичный вектор, нормальный к ∂Ωk и направленный вне Ωk (k = 1, 3).Через Sk обозначим часть стенки сосуда, граничащей с областью Ωk (k = 1, 3). Горизонтальнуюграницу раздела между вязкоупругой и идеальной жидкостями в состоянии равновесия обозна-чим через Γ1, а между идеальными жидкостями Γ2. Введём систему координат Ox1x2x3, жёсткосвязанную с сосудом, таким образом, чтобы ось Ox3 была направлена против действия силытяжести. Тогда ускорение гравитационного поля ~g = −g~e3, g > 0, а в состоянии покоя полядавлений в жидкостях выражаются по законам

P0,k(x3) = ck − ρkgx3, k = 1, 3, (1)

где константы ck определяются из условия равенства давлений на границах раздела Γi, i = 1, 2,при x3 = 0.

Теперь перейдём к уравнениям, описывающим движение гидросистемы. Обозначим через ~uk

поля скоростей жидкостей в Ωk (k = 1, 3), а через pk(t, x) — отклонения полей давлений от ихравновесных значений (см.(2)). Кроме того, полагаем, что на исследуемую гидродинамическую

систему дополнительно к гравитационному полю действует малое поле внешних сил ~f = ~f(t, x),x ∈ Ω.

Тогда линеаризованные уравнения движения жидкостей имеют следующий вид (см., напри-мер, [4, 5]):

ρ1∂~u1

∂t= −∇p1 + µ1~v1 + ρ1

~f1(t, x), div ~u1 = 0 (в Ω1), (2)

~v1(t, x) = ~u1(t, x) +

m∑

j=1

αj

t∫

0

e−βj(t−s)~u1(s, x)ds =: I0,1(t)~u1, (3)

www.kromsh.info 17

ρl∂~ul

∂t= −∇pl + ρl

~fl(t, x), div ~ul = 0 (в Ωl), l = 2, 3, (4)

где αj > 0, βj > 0, j = 1,m, — коэффициенты, характеризующие свойства вязкоупругости

жидкости обобщённой модели Олдройта, ~fk(t, x) := ~f(t, x)|x∈Ωk, k = 1, 3, а — трёхмерный

оператор Лапласа.Для вязкоупругой жидкости, как известно, на твёрдой стенке S1 сосуда должно выполняться

условие прилипания, т.е. ~u1 = ~0 (на S1), а для идеальных на Sl, l = 2, 3 — условие непротекания~ul · ~nl = 0 (на Sl), l = 2, 3 .

Будем описывать малые перемещения границы раздела между жидкостями с помощью функ-ций вертикального отклонения

x3 = ζi(t, x1, x2), (x1, x2) ∈ Γi, i = 1, 2. (5)

Тогда на Γi, i = 1, 2 должны выполняться кинематические условия

∂ζi∂t

= ~ui · ~ni =: γn,i~ui = −~ui+1 · ~ni+1 =: −γn,i+1~ui+1, ~ni = ~e3 = −~ni+1, i = 1, 2, (6)

а символом γn,i, i = 1, 2, обозначена операция взятия нормального следа на Γi, т.е. следа нор-мальной компоненты поля скорости. Заметим ещё, что из условия сохранения объёма каждойиз жидкостей имеем интегральную связь

∫

Γi

ζidΓi = 0, i = 1, 2. (7)

Сформулируем теперь динамические условия на Γi, i = 1, 2. Они состоят в том, что на движу-щейся границе раздела векторное поле напряжений при переходе от одной жидкости к другойизменяется непрерывно. Линеаризация этого условия и его снос на Γi приводят к следующимсоотношениям: на Γi касательные напряжения (т.е. вдоль Γi) изменяются непрерывно, а нор-мальные напряжения (т.е. вдоль оси Ox3) компенсируются гравитационным скачком давлений.Имеем

µ1τj3(~v1) = 0, j = 1, 2;

[−p1 + µ1τ33(~v1)]− [−p2] = −g(ρ1 − ρ2)ζ1 (на Γ1),

p2 − p3 = g(ρ2 − ρ3)ζ2 (на Γ2).

(8)

Здесь τkl(~u) :=∂uk

∂xl+∂ul

∂xk(k, l = 1, 2, 3) — удвоенный тензор скоростей деформаций.

Наконец, для искомых функций ~uk(t, x), k = 1, 3, и ζi(t, x1, x2), i = 1, 2, необходимо ещё задатьначальные условия:

~uk(0, x) = ~u0k(x), x ∈ Ωk, ~u0

i · ~ni ≡ −~u0i+1 · ~ni+1, x ∈ Γi, k = 1, 3, i = 1, 2,

ζi(0, x) = ζ0i (x), x ∈ Γi, i = 1, 2.

(9)

Методы, развитые в работах [4, 5, 6, 7], посвящённых исследованию проблем малых движенийи нормальных колебаний систем вязкоупругих и идеальных жидкостей позволяют получитьрезультаты о разрешимости начально-краевой задачи для исследуемой проблемы.


[1] Airich F. Reology. Moscow: Izd.Inost.Lit., 1962, 824 pp.[2] Милославский А.И. Спектр малых колебаний вязкоупругой жидкости в открытом сосуде // Успехи матем.

наук. — 1989. — Т. 44. — 4. A. I. Miloslavskii. Spektr malyh kolebaniy vyazkouprugoy zhidkosti v otkrytomsosude. // Uspehi Matem. Nauk. – 1989. – . 44, no. 4. (in Russian)

[3] Милославский А.И. Спектр малых колебаний вязкоупругой наследственной среды // ДАН СССР. — 1989. —Т. 309. — 3.— С. 532 — 536. Miloslavskiy A.I. Spektr malyih kolebaniy vyazkouprugoy nasledstvennoy sredyi //DAN SSSR. — 1989. — T. 309. — 3.— S. 532 — 536.

[4] Kopachevsky Nikolay D., Krein Selim G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 2: Nonself-adjoint Problems for Viscous Fluids // Operator Theory: Advances and Applications (Birkhauser Verlag, Basel,Boston, Berlin). – 2003. – Vol.146. – 444 p.

[5] Kopachevsky Nikolay D., Krein Selim G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 1: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid // Operator Theory: Advances and Applications (Birkhauser Verlag, Basel,Boston, Berlin). – 2001. – Vol.128. – 384 p.

[6] Копачевский Н.Д. О малых движениях системы из двух вязкоупругих жидкостей, заполняющих неподвижныйсосуд // Динамические системы. — 2017. — Т.7 (35), 1-2 — С. 109-145.

[7] Копачевский Н.Д., Сёмкина Е.В. О малых движениях гидросистемы ”вязкоупругая жидкость-идеальная жид-кость”, заполняющей неподвижный сосуд // Динамические системы. — 2017. — Т.7 (35), 3 — С. 207-228.


УДК: 517.957

МЕТАУСТОЙЧИВЫЕ СТРУКТУРЫ В ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ СПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Корнута А. А.

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского (Россия, Симферополь)


На окружности рассматривается параболическое функционально-дифференциальное уравнение с преобразова-нием поворота пространственной переменной. Показано существование медленно меняющихся решений с шестьюточками перехода, которые при малых значениях бифуркационного параметра после достаточно длительногопериода медленной эволюции переходят в окрестность одного из стационарных пространственно неоднородныхрешений, бифурцирующих из пространственно однородного решения при изменении параметра.

Ключевые слова: бифуркация, параболическое функционально-дифференциальное уравнение, стационарныеструктуры, метаустойчивые решения.

METASTABLE STRUCTURES IN A PARABOLIC PROBLEM WITH THETRANSFORMATION

Kornuta Anshelika

V.I. Vernadsky Crimean Federal University (Russia, Simferopol)

On the circle, a parabolic functional-differential equation with a rotation transformation of a spatial variable isconsidered. The existence of slowly varying solutions with six transition points is shown which, for small values ofthe bifurcation parameter, after a sufficiently long period of slow evolution, transform into a neighborhood of one ofthe stationary spatially inhomogeneous solutions bifurcating from a spatially homogeneous solution as the parameterchanges.

Keywords: bifurcation, parabolic functional differential equation, stationary structure, a metastable structures.

На окружности R/2πZ рассматривается функционально-дифференциальное уравнение пара-болического типа с преобразованием пространственной переменной, которое моделирует поведе-ние оптических структур в нелинейном интерферометре с преобразованием поворота в двумер-ной обратной связи:

∂tu+ u = µ∂xxu+ L (Qπu) + (Qπu)3, (1)

u (x+ 2π, t) = u (x, t) , (2)

u(x, 0) = u0(x), 0 < x < 2π, (3)

где u = u(x, t), Qπu = Qπu(x, t) = u(x+ π, t);L, µ > 0 - параметры [1]. В качестве бифуркацион-ного параметра выбран параметр µ.

При каждом значении параметра µ уравнение (1)-(3) в соболевском пространствеH1(R/2πZ) 2π−периодичных функций порождает динамическую систему. Решения уравне-ния (1)-(3) при t → +∞ и L < −1 стремятся к одному из его стационарных пространственнооднородных решений: 0, ±

√−1− L.

Нулевое решение при µ > −1 − L является экспоненциально устойчивым. Уменьшение па-раметра µ и прохождение значений µ∗

k = −L−1k2 , k = 1, 2, . . . приводит к изменению характера

устойчивости нулевого решения, от которого ответвляются непрерывные по параметру µ про-странственно неоднородные ветви стационарных точек ϕk(x, µ), k = 1, 2, . . . . Отметим, чтооднопараметрическое семейство

ϕ1 (x+ α) , α ∈ S1

орбитально экспоненциально устойчивых

решений при малых значениях параметра µ являются функциями типа внутреннего переходно-го слоя с двумя точками перехода.

Для исследования динамики стационарных структур задачи (1)-(3) была построена иерархииупрощённых моделей, полученных в результате галёркинских аппроксимаций:

u = z0 +

N∑

k=1

(zk (t, µ) cos kx+ yk (t, µ) sinkx) , N = 25, 35.

www.kromsh.info 19

Проведенные численные исследования уравнения (1)-(3) позволяют утверждать, что при ма-лых значениях параметра µ у задачи (1)-(3) имеются медленно меняющиеся (метаустойчи-вые) решения [2, 3], которые после длительного промежутка медленной эволюции, оказываютсяв окрестности одного из стационарных решений семейства

ϕ1 (x+ α) , α ∈ S1

.


[1] Ахманов C.А. Генерация структур в оптических системах с двумерной обратной связью: на пути к созданиюнелинейно-оптических аналогов нейронных сетей // Новые принципы оптической обработки информации /С.А. Ахманов, М.А. Воронцов, В.Ю. Иванов. – М.: Наука, 1990. – 400 с.

[2] Мищенко Е.Ф. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией / Е.Ф. Мищенко, В.А. Садовничий,А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 432 с.

[3] G. Fusco, J. K.Hale,Slow-Motion Manifolds, Dormant Instability, and Singulary Perturbations/G. Fusco, J. K.Hale//Journal of Dynamics and Differential Equations. – 1989. – Vol.I, 1. – С. 75-94.

УДК: 517.929

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ НЕВЫРОЖДЕННОГО РАЗНОСТНОГООПЕРАТОРА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ЦИЛИНДРЕ

Лийко В. В.

Математический Институт Российского Университета Дружбы Народов (Россия, Москва)


В работе доказано, что регулярный разностный оператор c переменными коэффициентами является изомор-физмом пространства W 1

2 (Q) на пространство W 12,γ(Q), где W 1

2,γ(Q) - подпространство функций в W 12 (Q), удо-

влетворяющих нелокальным краевым условиям. Это свойство позволяет применить результаты о разрешимостиэллиптических задач с нелокальными краевыми условиями к исследованию разрешимости краевых задач дляэллиптических дифференциально-разностных операторов.

Ключевые слова: эллиптические дифференциально-разностные уравнения, нелокальные эллиптические зада-чи, обобщенные решения, фредгольмовы операторы, дифференциальные операторы.

ON A CERTAIN PROPERTY OF REGULAR DIFFERENCE OPERATORWITH VARIABLE COEFFICIENTS IN A CYLINDER

Liiko V.V.

Mathematical Institute of RUDN University (Russia, Moscow)

We proved that regular difference operator with varibale coefficients maps continuously and bijectively the spaceW 1

2 (Q) to the space W 12,γ(Q), where W 1

2,γ(Q) is a subspace of functions in W 12 (Q) with nonlocal boundary conditions.

This allows to apply the results obtained for nonlocal elliptic problems to the investigation of elliptic differential-difference equations.

Keywords: elliptic differential-difference equations, nonlocal elliptic problems, generalized solutions, Fredholmoperators, difference operators.

Рассмотрим дифференциальный оператор A : L2(Rn)→ L2(Rn), определяемый формулой

(Aw)(x) = (A0w)(x) + a0(x)w(x), (1)

где оператор A0 = −n∑

i,j=1

∂∂xi

aij(x)∂

∂xj; aij , a0 ∈ C∞(Rn) - комплекснозначные функции.

Пусть Q = (0, d)×G, где G ⊂ Rn−1 - ограниченная область с границей ∂G ∈ C∞, если n ≥ 3,и G = (a, b), если n = 2; d = k + θ, 0 < θ ≤ 1, k ∈ N.

Рассмотрим уравнение

(Aw)(x) = f0(x), x ∈ Q, (2)

где f0 ∈ L2(Q), с нелокальными краевыми условиями

w(x)|x1=0 =

k∑

i=1

γ1i (x′)w(x)

∣∣x1=i

,

w(x)|x1=d =

k∑

i=1

γ2i (x′)w(x)

∣∣x1=d−i

, (3)

w|[0,d]×∂G = 0,

Введем неограниченный оператор Aγ : L2(Q) ⊃ D(Aγ) → L2(Q) с областью определенияD(Aγ) = w ∈ W 1

2,γ(Q) : Aγw ∈ L2(Q), действующий в пространстве обобщенных функций

D ′(Q) по формуле Aγw = Aw, гдеW 12,γ(Q) - подпространство функцийW 1

2 (Q), удовлетворяющихнелокальным краевым условиям (3). Этот оператор определяет обобщенные решения задачи (2),(3) как функции w ∈ D(Aγ) такие, что Aγw = f0.

В [1] доказано, что оператор Aγ : L2(Q)→ L2(Q) фредгольмов и indAγ = 0.Рассмотрим также краевую задачу для эллиптического дифференциально-разностного урав-

нения: ARQu(x) = f0(x), x ∈ Qu(x) = 0, x ∈ ∂Q, (4)

оператор (Ru)(x) =k∑

i=−k

ai(x)u(x1 + i, x2, ..., xn), где ai ∈ C∞(Rn) - комплекснозначные функции.

Введем неограниченный оператор AR : L2(Q) ⊃ D(AR) → L2(Q) с областью определения

D(AR) = u ∈ W 12 (Q) : ARu ∈ L2(Q), действующий в пространстве обобщенных функций

D ′(Q) по формуле ARu = ARQu. Этот оператор определяет обобщенные решения задачи (4) какфункции u ∈ D(AR) такие, что ARu = f0.

В работе доказано, что регулярный оператор R является изоморфизмом пространства W 12 (Q)

на пространство W 12,γ(Q), где W 1

2,γ(Q) - подпространство функций в W 12 (Q), удовлетворяющих

нелокальным краевым условиям (3). В связи с этим, замена w = Ru устанавливает эквивалент-ность задач (2), (3) и (4).

Следовательно, оператор AR также фредгольмов и indAR = 0.


[1] Skubachevskii A.L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications. — Birkhauser, Basel–Boston–Berlin,1997. — 298p.

УДК: 517.956

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХС KPZ-НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

Муравник А. Б.

АО «Концерн «Созвездие» (Россия, Воронеж)


Рассматриваются квазилинейные дифференциальные уравнения и неравенства, содержащие нелинейностиКардара–Паризи–Жанга, возникающие в различных приложениях. Дается обзор свежих результатов о разру-шении их решений и их качественных свойствах (включая асимптотическое поведение).

Ключевые слова: квазилинейные уравнения и неравенства, качественные свойства решений.

PARTIAL DERIVATIVE EQUATIONS AND INEQUALITIESWITH KPZ-NONLINEARITIES

Muravnik Andrey

JSC “Concern “Sozvezdie” (Russia, Voronezh)

www.kromsh.info 21

Quasilinear differential equations and inequalities containing Kardar–Parisi–Zhang nonlinearities arising in variousapplications are considered. A review of recent results on blow-up of solutions and their qualitative properties (includingtheir asymptotic behavior) is provided.

Keywords: quasilinear equations and inequalities, qualitative properties of solutions.

Квазилинейные дифференциальные уравнения и неравенства, содержащие квадраты первыхпроизводных неизвестной функции по пространственным переменным (т. е. так называемыенелинейности Кардара–Паризи–Жанга или KPZ-нелинейности), возникают в различных при-кладных задачах математической физики (см., напр., [4]–[14], [16]–[20], а также имеющуюся тамбиблиографию). Кроме того, они интересны и с чисто теоретической точки зрения, посколькувторая степень первой производной — это максимальный показатель, при котором имеет смыслговорить хотя бы о локальной разрешимости соответствующей задачи, а если этот показательвыше двух, то уже не выполняются соответствующие априорные оценки (см., напр., [1]–[3], [15]).

Будет представлен обзор относительно свежих результатов по следующим направлениям ука-занной области исследований:

• разрушение решений эллиптических и параболических краевых задач (включая сингу-лярные);• асимптотические свойства решений (напр., стабилизация или асимптотическая близость)

эллиптических и параболических уравнений (включая сингулярные);• качественные свойства решений параболических уравнений, связанный с компактифика-

цией (антикомпактификацией) их носителей (напр., затухание).


[1] Похожаев С.И. Об уравнениях вида ∆u = f(x, u, Du) // Мат. сб. – 1980. – Т. 113, 2. – С. 324–338.[2] Amann H. Existence and multiplicity theoremes for semi-linear elliptic boundary value problems // Math. Z. – 1976.

– Т. 150. – С. 281–295.[3] Amann H., Crandall M.G. On some existence theoremes for semi-linear elliptic equations // Ind. Univ. Math. J. –

1978. – Т. 27, 5. – С. 779–790.[4] Anh V.V., Leonenko N.N., Sakhno L.M. Spectral properties of Burgers and KPZ turbulence // J. Stat. Phys. –

2006. – Т. 122, 5. – С. 949–974.[5] Barral J., Jin X., Rhodes R., Vargas V. Gaussian multiplicative chaos and KPZ duality // Comm. Math. Phys. –

2013. – Т. 323, 2. – С. 451–485.[6] Benjamini I., Schramm O. KPZ in one dimensional random geometry of multiplicative cascades // Comm. Math.

Phys. – 2009. – Т. 289, 2. – С. 653–662.[7] Bernardin C., Goncalves P., Sethuraman S. Occupation times of long-range exclusion and connections to KPZ class

exponents // Probab. Theory Related Fields. – 2016. – Т. 166, 1-2. – С. 365–428.[8] Corwin I., Ferrari P.L., Peche S. Universality of slow decorrelation in KPZ growth // Ann. Inst. Henri Poincare

Probab. Stat. – 2012. – Т. 48, 1. – С. 134–150.[9] Duplantier B. Liouville quantum gravity and the KPZ relation: a rigorous perspective // В кн.: XVIth International

Congress on Mathematical Physics. – Hackensack, NJ: World Sci. Publ., 2010. – С. 56–85.[10] Funaki T., Hoshino M. A coupled KPZ equation, its two types of approximations, and existence of global solutions

// J. Funct. Anal. – 2017. – Т. 273, 3. – С. 1165–1204.[11] Ginelli F., Hinrichsen H. Mean field theory for skewed height profiles in KPZ growth processes // J. Phys. A. –

2004. – Т. 37, 46. – С. 11085–11100.[12] Gladkov A., Guedda M., Kersner R. A KPZ growth model with possibly unbounded data: correctness and blow-up

// Nonlinear Anal. – 2008. – Т. 68, 7. – С. 2079–2091.[13] Guedda M., Kersner R. Self-similar solutions to the generalized deterministic KPZ equation // Nonlinear Differential

Equations Appl. – 2003. – Т. 10, 1. – С. 1–13.[14] Kardar M., Parisi G., Zhang Y.-C. Dynamic scaling of growing interfaces // Phys. Rev. Lett. – 1986. – Т. 19. – С.

889–892.[15] Kazdan I.L., Kramer R.I. Invariant criteria for existence of solutions to secondorder quasilinear elliptic equations

// Comm. Pure Appl. Math. – 1978. – Т. 31, 7. – С. 619–645.[16] Medina E., Hwa T., Kardar M., Zhang Y.-C. Burgers equation with correlated noise: Renormalization group analysis

and applications to directed polymers and interface growth // Phys. Rev. – 1989. – Т. A39. – С. 3053–3075.[17] Quastel J. KPZ universality for KPZ // В кн.: XVIth International Congress on Mathematical Physics. –

Hackensack, NJ: World Sci. Publ., 2010. – С. 401–405.[18] Schehr G. Extremes of N vicious walkers for large N : application to the directed polymer and KPZ interfaces //

J. Stat. Phys. – 2012. – Т. 149, 3. – С. 385–410.[19] Spohn H. Exact solutions for KPZ-type growth processes, random matrices, and equilibrium shapes of crystals //

Phys. A. – 2006. – Т. 369, 1. – С. 71–99.[20] Spohn H. KPZ scaling theory and the semidiscrete directed polymer model // Math. Sci. Res. Inst. Publ. – 2014.

– Т. 65. – С. 483–493.


УДК: 517.957

О ВАРИАНТАХ УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ H-МЕР ИКОМПЕНСИРОВАННОЙ КОМПАКТНОСТИ

Панов Е. Ю.

Новгородский государственный университет (Россия, Великий Новгород)


Введены новые варианты ультрапараболических H-мер с непрерывными индексами, установлены принципылокализации носителей. Эти принципы применены к доказательству сильной предкомпактности последователь-ностей функций при нелинейных ультрапараболических дифференциальных ограничениях.

Ключевые слова: ультрапараболические H-меры, мерозначные функции, ультрапараболические дифференци-альные ограничения, принципы локализации, свойство сильной предкомпактности.

ON VARIANTS OF ULTRA-PARABOLIC H-MEASURES ANDCOMPENSATED COMPACTNESS

Panov, Evgeny

Novgorod State University (Russia, Velikiy Novgorod)

We introduce a new variant of ultra-parabolic H-measures and establish the localization principles for their supports.These principles are applied to prove strong pre-compactness of functional sequences under non-linear ultra-parabolicdifferential constraints.

Keywords: ultra-parabolic H-measures, measure valued functions, ultra-parabolic differential constraints, localizationprinciples, strong pre-compactness property

Пусть Ω — открытое подмножество Rn, uk(x) ∈ L∞(Ω), k ∈ N, – ограниченная последова-тельность, ∗-слабо сходящаяся к некоторой функции u(x) ∈ L∞(Ω). Переходя к подпоследова-тельности, мы можем считать, что последовательность uk сходится к ограниченной мерозначнойфункции (мере Янга) νx на Ω в смысле Тартара [1], то есть ∀f(λ) ∈ C(R)

f(ur) r→∞〈νx(λ), f(λ)〉 =

∫f(λ)dνx(λ) ∗ −слабо в L∞(Ω).

В частности, верно равенство u(x) =∫λdνx(λ).

Рассмотрим меры γkx(λ) = δ(λ− uk(x))− νx(λ) и соответствующие функции распределения

Uk(x, p) = γkx((p,+∞)), u0(x, p) = νx((p,+∞)), p ∈ R.

Пусть

E = E(νx) =p0 ∈ R | u0(x, p)→ u0(x, p0) в L1

loc(Ω) при p→ p0

.

Известно, что дополнение E = R \ E не более, чем счетно и, если p ∈ E, то Uk(x, p) ∈ L∞(Ω)∀k ∈ N и Uk(x, p)→ 0 при k →∞ ∗-слабо в L∞(Ω).

Предположим теперь, что X ⊂ Rn – линейное подпространство, X⊥ – его ортогональноедополнение, P1 и P2 – ортогональные проекторы наX иX⊥ соответственно. Для ξ ∈ Rn положимξ = P1ξ и ξ = P2ξ, так что ξ ∈ X , ξ ∈ X⊥, ξ = ξ + ξ. Пусть

SX = ξ ∈ Rn | |ξ|2 + |ξ|4 = 1 .Тогда SX является компактным гладким многообразием коразмерности 1 и в случаях X =0,Rn оно совпадает с единичной сферой. Определим проекцию πX : Rn \ 0 → SX :

πX(ξ) =ξ

(|ξ|2 + |ξ|4)1/2+

ξ

(|ξ|2 + |ξ|4)1/4.

Заметим, что πX(ξ) = ξ/|ξ| в случаях X = 0,Rn. Пусть

F (u)(ξ) =

∫e−2πiξ·xu(x)dx, ξ ∈ Rn,

– преобразование Фурье, продолженное как унитарный оператор на пространство L2(Rn). Обо-значим через u→ u, u ∈ C, операцию комплексного сопряжения.

Рассмотрим счетное плотное множество индексов D ⊂ E. Справедливо следующее

www.kromsh.info 23

Предложение 1. Существуют (слабо измеримое по x) семейство локально конечных ком-плексных борелевских мер µpq

x p,q∈D,x∈Ω на SX и подпоследовательность Ur(x) = Upr (x)p∈E,

Upr (x) = Ukr

(x, p), такие, что для всех Φ1(x),Φ2(x) ∈ C0(Ω) и ψ(ξ) ∈ C(SX)∫

Ω

Φ1(x)Φ2(x)〈µpqx , ψ(ξ)〉dx = lim

r→∞

∫

Rn

F (Φ1Upr )(ξ)F (Φ2U

qr )(ξ)ψ(πX(ξ))dξ.

Семейство мер µpqx было введено в работах [2, 3], в случае X = Rn это было сделано ранее в

[4] (см. также [5, 6]). Впервые H-меры µpq, с “непрерывными” индексами (p, q) ∈ E были введеныв работах [7, 8], в которых, впрочем, не было использовано представление µpq(x, ξ) = µpq

x (ξ)dx(дезинтегрирование H-мер).

Проводя рассуждения аналогичные [6], нетрудно установить, что меры µpqx допускают един-

ственные продолжения µpq±x на все пары вещественных индексов (p, q) так, что меры µpq+

x сильно(то есть, по вариации) непрерывны по индексам (p, q) справа, а µpq−

x сильно непрерывны по (p, q)слева. При этом, полные вариации Varµpq±

x ≤ 1 и и для любых конечных наборов pi ∈ R, ζi ∈ C,i = 1, . . . , l, меры

l∑

i,j=1

ζiζjµpipj±x ≥ 0.

Мы называем семейства мер µ±x = µpq±

x p,q∈R H-мерами, соответствующими подпоследователь-ности ur. Это понятие обобщает как оригинальное понятие H-мер Тартара [9, 10], так и по-нятия параболических [11] и ультрапараболических H-мер [12] на случай “непрерывных индек-сов”. Заметим, что сильная сходимость последовательности ur эквивалентна, с одной стороны,тривиальности введенных H-мер, а с другой стороны – регулярности предельной меры Янга:νx(λ) = δ(λ− u(x)). Справедливо следующее свойство, связывающее H-меры µ±

x и меру Янга νx

для множества полной меры Ω′ ⊂ Ω точек x (определение этого множества мы опускаем):

Предложение 2. Пусть x ∈ Ω′ и [a, b] – наименьший отрезок, содержащий supp νx. Еслиp0 ∈ (a, b) и S+, S− ⊂ SX – борелевские множества, такие что

µp0p0+x (SX \ S+) = µp0p0−

x (SX \ S−) = 0,

то S+ ∩ S− 6= ∅. В частности, suppµp0p0+x ∩ suppµp0p0−

x 6= ∅.Обратно, если p0 /∈ (a, b), то по крайней мере одна из мер µp0p0±

x – нулевая. Именно,µp0p0+

x = 0 ∀p0 /∈ [a, b); µp0p0−x = 0 ∀p0 /∈ (a, b].

Предположим теперь, что для некоторого d > 1 и любых a, b ∈ R, a < b, последовательностьраспределений

divϕ(x, sa,b(uk(x))) −D2 · B(x, sa,b(uk(x))) предкомпактна в W−1,−2d,loc (Ω). (1)

Здесь sa,b(u) = max(a,min(u, b)) – срезающая функция, ϕ(x, u) ∈ L2loc(Ω, C(R,Rn)), B(x, u) ∈

L2loc(Ω, C(R, Symn)) – вектор и, соответственно, матрица Каратеодори в области Ω, где Symn

обозначает линейное пространство симметричных n× n матриц,W−1,−2

d,loc (Ω) – анизотропное пространство Соболева, состоящее из распределений u(x) таких,

что ∀f = f(x) ∈ C∞0 (Ω)

(1 + |ξ|2 + |ξ|4)−1/2F (fu)(ξ) = F (v)(ξ), v = vf (x) ∈ Ld(Rn)

и снабженное локально-выпуклой топологией, порожденной полунормами pf (u) = ‖vf‖Ld(Rn),f ∈ C∞

0 (Ω).Предполагаются выполненными условие монотонности

∀x ∈ Ω, u, v ∈ R, u > v B(x, u)−B(x, v) ≥ 0

и условие вырождения матриц B(x, u)− B(x, v) на линейном подпространстве X :

∀ξ ∈ X (B(x, u)−B(x, 0))ξ = 0.

При сделанных предположениях справедлив следующий принцип локализации:

Теорема 1. Пусть x ∈ Ω′ является точкой Лебега вектор-функции x → (ϕ(x, λ), B(x, λ)),p0 ∈ R, H± – линейные оболочки suppµp0p0±

x . Тогда существует δ > 0 такое, что

(ϕ(x, λ) − ϕ(x, p0)) · ξ = (B(x, λ) −B(x, p0))ξ · ξ = 0

для всех ξ ∈ H+, λ ∈ [p0, p0 + δ] и всех ξ ∈ H−, λ ∈ [p0 − δ, p0].


Принцип локализации вместе с Предложением 2 позволяют установить следующее свойствосильной предкомпактности.

Теорема 2. Предположим, что для п.в. x ∈ Ω и для всех ξ ∈ X, ξ ∈ X⊥ таких, что ξ + ξ 6= 0функции λ → ξ · ϕ(x, λ), λ → B(x, λ)ξ · ξ не постоянны ни в какой окрестности u(x). Тогдапоследовательность uk(x)→ u(x) при k →∞ в L1

loc(Ω) (сильно).

Для доказательства Теоремы 2 предположим, что [a, b] – наименьший отрезок, содержащийsupp νx. Заметим, что в случае a < b

u(x) =

∫λdνx(λ) ∈ (a, b)

и, как следует из Теоремы 1 и Предложения 2, для п.в. x ∈ Ω найдется ненулевой вектор ξ ∈suppµpp+

x ∩ suppµpp−x , где p = u(x), такой что

(ϕ(x, λ) − ϕ(x, p0)) · ξ = (B(x, λ) −B(x, p0))ξ · ξ = 0

в некоторой окрестности p = u(x), здесь ξ+ ξ = ξ 6= 0. Но это противоречит условию Теоремы 2.Полученное противоречие доказывает, что a = b = u(x) и значит νx(λ) = δ(λ − u(x)) для почтивсех x ∈ Ω. Поэтому, последовательность ur сходится к u(x) сильно. Так как предельная функцияu(x) не зависит от выбора подпоследовательности ur (с предписанными выше свойствами), то иисходная последовательность uk → u при k →∞ в L1

loc(Ω). Теорема полностью доказана.

В случае X = Rn (когда B ≡ 0) Теорема 2 доказана в [6]. В общем случае произвольного Xдоказательство содержится в [13].

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (проект 1.445.2016/1.4) и РФФИ (грант 18-01-00258-a).


[1] Tartar L. Compensated compactness and applications to partial differential equations / L. Tartar // In: NonlinearAnalysis and Mechanics: Heriot. Watt Symposium, Vol. 4 (Edinburgh 1979), Res. Notes Math. – 1979. – Vol. 39. –P. 136–212.

[2] Панов Е.Ю. Ультрапараболические уравнения с грубыми коэффициентами. Энтропийные решения и свойствосильной предкомпактности / Е.Ю. Панов // Проблемы математического анализа. – 2009. – Вып. 41. – С. 49–92.

[3] Holden H., Karlsen K.H., Mitrovic D., Panov E.Yu. Strong compactness of approximate solutions to degenerateelliptic-hyperbolic equations with discontinuous flux function / H. Holden, K.H. Karlsen, D. Mitrovic, E.Yu. Panov// Acta Mathematica Scientia. – 2009. – Vol. 29B, No. 6. – P. 1573–1612.

[4] Панов Е.Ю. Об условии сильной предкомпактности ограниченных множеств мерозначных решений квазили-нейного уравнений первого порядка / Е.Ю. Панов // Матем. сборник. – 1999. – Т. 190, 3. – С. 109–128.

[5] Panov E.Yu. Existence and strong precompactness properties for entropy solutions of a first order quasilinear equationwith discontinuous flux / E.Yu. Panov // Arch. Ration. Mech. Anal. – 2010. – Vol. 195. – P. 643–673.

[6] Panov E.Yu. On a condition of strong precompactness and the decay of periodic entropy solutions to scalarconservation laws / E.Yu. Panov // Networks and Heterogeneous Media. – 2016. – Vol. 11, No. 2. – P. 349–367.

[7] Панов Е.Ю. О последовательностях мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка /Е.Ю. Панов // Матем. сборник. – 1994. – Т. 185, 1. – С. 87–106.

[8] Панов Е.Ю. О сильной предкомпактности ограниченных множеств мерозначных решений квазилинейногоуравнения первого порядка / Е.Ю. Панов // Матем. сборник. – 1995. – Т. 186, 5. – С. 103–114.

[9] Tartar L. H-measures, a new approach for studying homogenisation, oscillations and concentration effects in partialdifferential equations / L. Tartar // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. – 1990. – Vol. 115, No. 3-4. – P. 193–230.

[10] Gerard P. Microlocal defect measures / P. Gerard // Comm. Partial Differ. Equ. – 1991. – Vol. 16. – P. 1761–1794.[11] Antonic N., Lazar M. H-measures and variants applied to parabolic equations / N. Antonic, M. Lazar // J. Math.

Anal. Appl. – 2008. – Vol. 343. – P. 207–225.[12] Panov E.Yu. Ultra-parabolic H-measures and compensated compactness / E.Yu. Panov // Ann. I. H.Poincare -

AN. – 2011. – Vol. 28. – P. 47–62.[13] Панов Е.Ю. О сильной предкомпактности ограниченных последовательностей при нелинейных ультрапара-

болических дифференциальных ограничениях / Е.Ю. Панов // Проблемы математического анализа. – 2018.– Вып. 93. – С. 101–118.

www.kromsh.info 25

УДК: 517.956.4

О КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМАХ В НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЯХАКТИВНЫХ СРЕД

Пикулин С. В.

ВЦ ФИЦ ИУ РАН (Россия, Москва)


В докладе рассмотрены квазистационарные режимы протекания некоторых биологических (см. [1]) и физи-ческих (см. [2]) процессов, моделируемых квазилинейным параболическим уравнением типа Колмогорова – Пет-ровского – Пискунова. Получены новые эффективные при численной реализации представления автомодельныхрешений (см. [3], [4]).

Ключевые слова: активные среды, распространение пламени, уравнение Колмогорова – Петровского – Писку-нова, автомодельные решения, бегущие волны, промежуточный асимптотический режим.

ON QUASISTATIONARY REGIMES IN SOME MODELS OF ACTIVEMEDIA

Pikulin Sergey

CC RAS (Russia, Moscow)

We consider quasistationary regimes of certain biological processes (see [1]) and physical processes (see [2]) simulatedby a quasilinear parabolic equation of Kolmogorov – Petrovskii – Piskunov type. New analytical representations of self–similar solutions are represented which are effective for the numerical implementation (see [3], [4]).

Keywords: active media, flame propagation, Kolmogorov – Petrovskii – Piskunov equation, self-similar solutions,travelling wave solutions, intermediate asymptotics.

Некоторые модели автоволновых процессов в активных средах, в том числе, в математиче-ской биологии [1], теории горения [2] и других разделах естествознания, используют нелинейноепараболическое уравнение Колмогорова – Петровского – Пискунова (КПП), имеющее вид

∂u

∂t−∆u(t,x) = F

(u(t,x)

), x ∈ Rn, t > 0,

где заданная функция F (u), F (0) = F (1) = 0, класса C1([0, 1]) определяет динамику протеканияпроцесса. Характерной чертой таких моделей является наличие квазистационарных режимов,описываемых решениями типа бегущей плоской волны (примером квазистационарного режимаявляется распространение фронта пламени в газовой смеси).

Известны некоторые частные решения уравнений типа КПП, которые могут быть найдены вявном виде. В докладе предложены новые представления квазистационарных решений уравне-ний типа КПП, реализующие аналитико–численный подход: решение разложено в сумму двухслагаемых, одно из которых имеет явный вид, а второе выражается через некоторую эффектив-но вычисляемую определенную на отрезке аналитическую функцию (см. [3], [4]). Полученноепредставление решения охватывает некоторые известные явные решения, но также применимок широкому классу решений, не допускающих явного представления.


[1] Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов И. С. Исследование уравнения диффузии, соединенной свозрастанием количества вещества и его применение к одной биологической проблеме / А.Н. Колмогоров //Бюллетень МГУ. Секция А. – 1937. – Т.1, 6. – С. 1–25.

[2] Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва/ Я.Б. Зельдович. – М.: Наука, 1980. – 478 с.

[3] Пикулин С.В. О решениях типа бегущей волны уравнения Колмогорова – Петровского – Пискунова / С.В.Пикулин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2018. – Т.58, – 2. – С. 244–252.

[4] Пикулин С.В. О промежуточных асимптотических режимах в некоторых моделях теории горения / С.В.Пикулин // Тавр. вест. информ. и матем. – 2017. – 3 (36). – С. 55–72.


УДК: 517.957

МЕТАУСТОЙЧИВЫЕ СТРУКТУРЫ С ДВУМЯ ТОЧКАМИ ПЕРЕХОДАУРАВНЕНИЯ КАНА-ХИЛЛАРДА

Плышевская С. П.

Таврическая академия Крымского федерального университета имени В. И. Вернадского(Россия, Симферополь)


На отрезке рассматривается уравнение Кана-Хилларда с краевыми условиями. Для построения и анализастационарных решений медленно меняющихся решений мы используем галёркинские аппроксимации среднихразмерностей (30 − 40). Обнаружено, что в двухпараметрических семействах дифференциальных уравненийреализуются седло-узловые бифуркации, непрерывным ветвям стационарных решений которых соответствуютнепрерывные ветви приближенных стационарных решений типа переходного слоя с двумя точками перехода.Приближённые стационарные решения, взятые в качестве начальных функций исходной задачи, порождают мед-ленно меняющиеся решения (метаустойчивые структуры). В работе показано, что приближённые стационарныерешения, взятые в качестве начальных функций исходной задачи, порождают медленно меняющиеся решения(метаустойчивые структуры). Проведенный анализ показывает, что использование метода Галёркина в задаче ометаустойчивых структурах приводит к качественно и количественно правильным результатам.

Ключевые слова: метаустойчивые структуры, метод Галёркина, градиентная система, бифуркация, внутреннийпереходный слой.

METASTABLE STRUCTURE WITH TWO TRANSITION POINTS OF THECAHN-HILLIARD EQUATION

Plyshevskaya Svetlana Petrovna


The Cahn-Hilliard equation at a segment with the boundary condition is considered. For the construction and analysisof stationary solutions of slowly varying solutions we use the Galerkin approximations of the average dimensions (30−40).It is found that in two-parameter families of differential equations there are realized saddle-node bifurcations, to thecontinuous branches of stationary solutions of which, the continuous branches of approximate stationary solutions ofthe transition layer type with two transition points correspond. These solutions generate metastable structures (slowlyvarying solutions). The analysis conducted suggests that the use of the Galerkin method in the problem of metastablestructures leads to qualitatively and quantitatively correct results.

Keywords: metastable structure, Galerkin method, gradient system, bifurcation, internal shock layer.

В данной работе исследуются медленно меняющиеся решения уравнения

ut = (−ε2uxx − u+ u3)xx, 0 < x < π, t > 0,ux(0, t) = 0, ux(π, t) = 0, uxxx(0, t) = 0, uxxx(π, t) = 0,

(1)

где ε > 0 - постоянная.Краевая задача (1) допускает существование аттрактора: т.е. при t→∞ её решения сходятся

к решениям стационарной задачи

(−ε2uxx − u+ u3)xx = 0, ux(0) = ux(π) = 0, uxxx(0) = uxxx(π) = 0. (2)

Уравнению Кана-Хилларда (1) посвящено значительное число работ. В частности, в [1] рас-сматривается бинарная смесь, которая граничит с подложкой и вакуумом и образует плёнку.Распределение одной из компонент смеси описывается уравнением Кана-Хилларда с несиммет-ричными граничными условиями, учитывающим процессы (смачивания), происходящие на гра-нице и приповерхностных слоях плёнки и, возможно, влияние внешнего постоянного магнитногополя.

В работе [2] N. Alikakos, P. W. Bates, G. Fusco доказано существование метаустойчивых струк-тур (медленно меняющихся решений) уравнения (1) при малых значениях параметра ε2.

В данной работе рассматривается следующая задача: показать с помощью численных расчётовсценарии возникновения при уменьшении параметра ε2 метаустойчивых структур (медленноменяющихся решений) уравнения (1). Для решения этой задачи строится и проводится анализиерархии упрощенных моделей уравнения (1) — галёркинских аппроксимаций (1).

Рассмотрим галёркинскую аппроксимацию уравнения (1) в виде

www.kromsh.info 27

u = z0 +

N∑

k=1

zk cos kx. (3)

Подставим (3) в (1) и приравняем затем коэффициенты при cos kx, k = 0, ..., N . В результатеприходим к градиентной системе уравнений:

z0 = 0, zk = −∂GN(z, ε)

∂zk, k = 1, . . . , N, (4)

где z = (z0, ..., zN ), а GN (z, ε) – потенциальная функция, представление которой опустим.В градиентных системах (4) размерности N согласно проведенному бифуркационному ана-

лизу для значений N от 30 до 40 реализуется широкий спектр седло-узловых бифуркаций прималых значениях параметра ε2. В результате бифуркации седло-узел в двухпараметрической си-стеме (4) появляются две непрерывные по ε2 ветви стационарных точек, индексы неустойчивостикоторых отличаются на 1. Эти ветви стационарных точек определены для всех положительныхзначений параметра ε, которые меньше соответствующего бифуркационного. Рассматриваемымдвум ветвям стационарных точек (4) отвечают в силу (3) две непрерывные ветви приближенныхрешений краевой задачи (2) типа внутреннего переходного слоя. Будем говорить, что прибли-женные решения (2) указанного типа порождаются седло-узловыми бифуркациями в системе (4).Некоторые из седло-узловых бифуркаций в (4) порождают непрерывные по ε2 ветви приближен-ных решений краевой задачи (2) типа внутреннего переходного слоя с двумя точками перехода.Седло-узловые бифуркации в этом случае обладают следующими свойствами. Характер устой-чивости соответствующих ветвей стационарных точек (4) не меняется, а максимальные точки ихспектров медленно отходят от нуля с уменьшением параметра ε2. Этими свойствами бифуркацииседло-узел указанного выше типа вполне определяются.

В градиентной системе (4) седло-узловые бифуркации порождают приближённые решениякраевой задачи типа внутреннего переходного слоя. В свою очередь, приближённые решения ти-па внутреннего переходного слоя с двумя точками перехода приводят к метаустойчивым струк-турам. Экспериментально показан один из сценариев возникновения метаустойчивых структур.Для этого строился и проводился анализ иерархии упрощенных моделей уравнения (1) — га-лёркинских аппроксимаций (1) средних размерностей. Проведенный анализ показывает, что ис-пользование метода Галёркина в задаче о метаустойчивых структурах приводит к качественнои количественно правильным результатам.


[1] Краснюк И.Б., Стефанович Л.И., Юрченко В.М. Колебания концентрации в ограниченных бинарных смесяхс учётом поверхностных эффектов / И.Б. Краснюк и др. // Журнал технической физики. – 2007. – Т.77, 11.– С. 55-62.

[2] Alikakos N., Bates P. W., Fusco G., Slow motion for the Cahn-Hilliard equation in one space dimension, Journalof Differential Equations, 90(1991), 81-135.

УДК: 47G20, 45Dxx, 45Kxx

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАТОРНЫХ МОДЕЛЕЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ ВНАСЛЕДСТВЕННОЙ МЕХАНИКЕ

Раутиан Н. А.

МГУ имени М. В. Ломоносова (Россия, Москва)


Целью настоящей работы является изучение асимптотического поведения решений интегро-дифференциальных уравнений на основе спектрального анализа их символов. Многочисленные задачинаследственной механики и теплофизики приводят исследование таких уравнений. Получены результаты окорректной разрешимости начальных задач для интегро-дифференциальных уравнений с неограниченными опе-раторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Проведен спектральный анализ оператор-функций,являющихся символами указанных интегро-дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, спектральный анализ, оператор-функция.


RESEARCH OF OPERATOR MODELS ARISING IN HEREDITARYMECHANICS

Rautian Nadezhda

Lomonosov Moscow State University (Russia, Moscow)

The main goal of this research is to study the asymptotic behavior of solutions of integro-differential equations onthe basis of spectral analysis of their symbols. Numerous problems of hereditary mechanics and thermal physics havemotivated the study of such equations. The correct solvability of initial-value problems for integro-differential equationswith unbounded operator coefficients in Hilbert spaces is determined. A spectral analysis of the operator functions,which are the symbols of considered integro-differential is made.

Keywords: integro-differential equation, spectral analysis, operator function.

Работа посвящена изучению асимптотического поведения решений интегро-дифференциальных уравнений на основе спектрального анализа оператор-функций, явля-ющихся символами соответствующих интегро-дифференциальных операторов. В связи с этимцелесообразнее рассматривать интегро-дифференциальные уравнения с операторными коэффи-циентами в гильбертовом пространстве, которые при необходимости могут быть реализованыкак интегро-дифференциальные уравнения с частными производными по пространственнымпеременным.

В работе рассматриваются уравнения следующего вида

du(t)

dt+

t∫

0

K(t− s)A2u(s)ds = f(t), t ∈ R+,

где A – самосопряжённый положительный оператор, действующий в сепарабельном гильбер-товом пространстве H , имеющий компактный обратный. Скалярная функция K(t) допускаетпредставление

K(t) =

∞∫

0

e−tτ

τdµ(τ),

где dµ - положительная мера, которой соответствует возрастающая непрерывная справа функцияраспределения µ. Интеграл понимается в смысле Стильтьеса. Получены представления сильныхрешений указанных уравнений в виде суммы слагаемых, отвечающих вещественной и невеще-ственной частям спектра оператор-функций, являющихся символами этих уравнений (см. [1], [2]).Указанные представления являются новыми для данного класса интегро-дифференциальныхуравнений.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации для государ-ственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (проект НШ-6222.2018.1).


[1] Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений / В.В. Вла-сов, Н.А. Раутиан – М.: МАКС Пресс, 2016. – 488с.

[2] Vlasov V. V., Rautian N. A. Properties of solutions of integro-differential equations arising in heat and mass transfertheory / Vlasov V. V., Rautian N. A. // Trans. Moscow Math. Soc. — 2014. — V. 75, — P. 185–204.

УДК: 517.956

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ НЕКОТОРЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В

ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Свинина С. В.

Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова Сибирского отделенияРАН (Россия, Иркутск)


В работе рассмотрена квазилинейная дифференциально-алгебраическая система уравнений в частных произ-водных первого порядка индекса (1,0) с начально-краевыми условиями в прямоугольной области определения.Доказана теорема существования единственного классического решения поставленной задачи.

Ключевые слова: дифференциально-алгебраическая система, индекс системы, пучок матриц, краевая задача.

ON THE INVESTIGATION OF SOME QUASILINEAR PARTIALDIFFERENTIAL-ALGEBRAIC SYSTEM

Svinina Svetlana

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of RussianAcademy of Sciences (Russia, Irkutsk)

In this paper we consider a quasilinear differential-algebraic system of first-order partial differential equations ofindex (1,0) with initial-boundary conditions in a rectangular domain of definition. The existence theorem of the uniqueclassical solution of the problem is proved.

Keywords: differential-algebraic system, index of the system, matrix pencil, boundary-value problem.

При описании поведения сплошной среды (газ, жидкость, твердое тело) возникают различ-ные модели, которые приводят, как правило, к системам уравнений в частных производных, кинтегро-дифференциальным уравнениям с частными производными или к дифференциально-алгебраическим системам уравнений в частных производных [1]-[5]. Под дифференциально-алгебраической системой уравнений в частных производных понимают систему, которая объ-единяет в себе уравнения в частных производных, обыкновенные дифференциальные уравненияи алгебраические равенства, то есть равенства, не содержащие производных искомой функции. Вработе рассмотрим квазилинейную систему уравнений в частных производных первого порядка

A(x, t, u)∂tu+B(x, t, u)∂xu = F (x, t, u), (1)

где A(x, t, u) и B(x, t, u) – заданные квадратные матрицы порядка n тождественно вырожденныев области определения U = (x, t, u)| (x, t) ∈ U, где U = (x, t)| x ∈ Ix = [x0;X ] ⊂ R1, t ∈It = [t0;T ] ⊂ R1. Вектор-функция F (x, t, u) определена в области U . Зададим для системы (1)следующие начально-краевые условия:

u(x0, t) = ψ(t), u(x, t0) = φ(x), (2)

где ψ(t) и φ(x) – некоторые заданные n-мерные вектор-функции. Считаем, что усло-вия (2) заданы корректно, то есть на границах области U разрешимы следующие линейныедифференциально-алгебраические уравнения

A(x, t0, φ(x))∂tu = F (x, t0, φ(x)) −B(x, t0, φ(x))dφ(x)/dx, u(x0, t0) = φ(x0) (3)

иB(x0, t, ψ(t))∂xu = F (x0, t, ψ(t)) −A(x0, t, ψ(t))dψ(t)/dt, u(x0, t0) = ψ(t0). (4)

Вопрос разрешимости начальных задач (3) и (4) исследован в монографии [6]. Предполагаем,что в каждой точке области U пучок матриц P (λ, x, t, u) = A(x, t, u) + λB(x, t, u) является регу-лярным. В этом случае его индекс или индекс системы (1) определяется парой чисел (k, 0), гдеk – максимальная степень элементарных делителей пучка P (λ, x, t, u). Второй параметр индексаравен нулю, поскольку пучок P (λ, x, t, u) по предположению не содержит сингулярной составля-ющей. Мы рассмотрим случай, когда система (1) имеет индекс (1, 0), то есть все элементарныеделители пучка P (λ, x, t, u) являются простыми, при этом корни характеристического многочле-на detP (λ, x, t, u) могут быть кратными.


Для смешанной задачи (1)-(2) доказана теорема существования её единственного решения вобщем случае в некоторой области δǫ(x0, t0) ⊂ U , где δǫ(x0, t0) = (x, t)| |x − x0| ≤ ǫ, |t − t0| ≤ǫ, (x, t) ∈ U при определенных условиях гладкости на её исходные данные. Доказательствотеоремы основано на использовании структурной формы пучка системы P (λ, x, t, u).

Сформулируем достаточные условия, при выполнении которых пучок системы (1) преобразу-ется к некоторому специальному виду. Известна следующая теорема [7].Теорема 1. [7] Пусть выполнены следующие условия:

1) все корни характеристического многочлена det(A(x) + λB(x)), где x = (x1, . . . , xm) ∈ U ,U – замыкание некоторой области, содержащейся в Rm, являются вещественными иимеют постоянную кратность в области определения U ;

2) старший коэффициент многочлена det(A(x) + λB(x)) относительно параметра λ необращается в нуль ни в одной точке U ;

3) ранги матриц A(x) и B(x) являются постоянными в каждой точке области U и мень-ше размерности n.

Тогда пучок A(x) + λB(x) s-гладко эквивалентен пучку следующего канонического вида:

diagEd,M(x), Ep+ λ diagJ(x), El, N(x), (5)

где Ed – единичная матрица порядка d; M(x) и N(x) – верхние (правые) треугольные бло-ки с нулевой диагональю порядка l и p, соответственно; J(x) = diagJ1(x), J2(x), . . . , Js(x) –блочно-диагональная матрица порядка d, в которой Ji(x), i = 1, 2, . . . , s – невырожденные верх-

ние (правые) треугольные матрицы порядков pi, соответственно, d =s∑

ν=1pν ; каждый блок

Ji(x) имеет единственное собственное значение −1/λi(x) в области определения U ; λi(x) –собственные значения характеристического многочлена det(A(x)+λB(x)), не обращающиеся внуль в области U ; p = n− d− l.

Из теоремы 1 следует, что M(x) и N(x) в (5) являются нильпотентными матрицами в области

определения U . Пусть ind M(x) = k1 и ind N(x) = k2 в области U , то есть k1 = mink : M(x)k =0, ∀x ∈ U. Аналогично определяется k2. Тогда пучок P (λ, x, t), для которого выполняются всеусловия теоремы 1, имеет индекс (k, 0), где k = maxk1, k2 и, соответственно, система (1), поопределению, имеет индекс (k, 0). В настоящей работе мы предполагаем, что для системы (1)выполнены все условия теоремы 1 и степени элементарных делителей пучка P (λ, x, t, u) не пре-восходят единицы. В этом случае система (1) имеет индекс (1, 0) и в силу теоремы 1 для пучкаP (λ, x, t, u) найдутся невырожденные в области определения U матрицы L(x, t, u) и R(x, t, u), об-ладающие той же гладкостью, что и элементы пучка P (λ, x, t, u), которые выполняют следующеепреобразование

L(x, t, u)P (λ, x, t, u)R(x, t, u) = diagEd,Ol, Ep+ λ diagJ(x, t, u), El,Op, (6)

где J(x, t, u) = diagk1(x, t, u), k2(x, t, u), . . . , kd(x, t, u), Ol – нулевой квадратный блок порядкаl. Правую часть в равенстве (6) будем называть канонической формой пучка P (λ, x, t, u) систе-мы (1) индекса (1, 0).

В пространстве C1(U) непрерывных функций в области U определим норму

‖v(x, t)‖C(U) = max‖v(x, t)‖ ∀(x, t) ∈ U, ‖v(x, t)‖ = max|vi(x, t)| ∀i = 1, . . . , n. (7)

Под решением задачи (1), (2) понимаем классическое решение. То есть решением задачи (1), (2)называем функцию u(x, t) из пространства C1(U), которая в каждой точке области U вместе сосвоими производными первого порядка ∂xu(x, t) и ∂tu(x, t) удовлетворяет уравнению (1), а награнице области U удовлетворяет условиям (2). Справедлива теорема.

Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:

1) для матричного пучка P (λ, x, t, u) выполнены все условия теоремы 1;

2) все элементарные делители пучка P (λ, x, t, u) имеют первую степень;

3) все ненулевые корни характеристического многочлена detP (λ, x, t, u) отрицательные;

www.kromsh.info 31

4) элементы матрицы A(x, t, u), B(x, t, u) и вектора F (x, t, u) принадлежат простран-ству C1(U); вектор-функция ψ(t) принадлежит пространству C1(It); вектор-функцияφ(x) принадлежит пространству C1(Ix); вектор-функция F (x, t, u) удовлетворяетусловию Липшица по u; частные производные ∂xF (x, t, u), ∂tF (x, t, u) и ∂uF (x, t, u)удовлетворяют условию Липшица по u в области U ;

5) выполнены условия согласования

ψ(t0) = φ(x0),dψ(t)

dt

∣∣∣∣t=t0

=dφ(x)

dx

∣∣∣∣x=x0

,

A(x0, t0, ψ(t0))dψ(t)

dt

∣∣∣∣t=t0

+B(x0, t0, ψ(t0))dφ(x)

dx

∣∣∣∣x=x0

= F (x0, t0, ψ(t0)).

Тогда найдется область δǫ(x, t) в которой существует единственное решение u(x, t) систе-мы (1), непрерывное в δǫ(x, t) вместе с частными производными первого порядка по перемен-ным x и t, удовлетворяющее условиям (2).

Сделаем одно небольшое, но очень важное замечание. В случае, когда правая преобразующаяматрица R(x, t, u) не зависит от переменной u, теорема 1 принимает глобальный характер истановится справедливой во всей области определения U .


[1] Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат. –1954. – Т.18, 1. – С. 3-50.

[2] Демиденко Г.А., Успенский С.В. Уравнения и системы не разрешенные относительно старшей производной. /Г.А. Демиденко, С.В. Успенский. – Новосибирск.: Научная книга, 1998. – 438 с.

[3] Рущинский В.М. Пространственные линейные и нелинейные модели котлогенераторов / В.М. Рущинский //Вопросы идентификации и моделирования. – 1968. – С. 8-15.

[4] Soto M. Selva, Tischendorf C. Numerical analysis of DAEs from coupled circuit and semiconductor simulation / M.SSoto, C. Tischendorf // Appl. Numer. Math. – 2005. – 53. – С. 471-488.

[5] Lucht W. Partial differential-algebraic systems of second order with symmetric convection / W. Lucht // Appl.Numer. Math. – 2005. – 53. – С. 357-371.

[6] Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. / В.Ф. Чистяков,А.А. Щеглова. – Новосибирск.: Наука, 2003. – 320 с.

[7] Гайдомак С.В. О канонической структуре пучка вырожденных матриц-функций / С.В. Гайдомак // Изв.вузов. Матем. – 2012. – 2. – С. 23-33.

УДК: 917.9

О КРИТЕРИИ СИЛЬНОЙ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО–РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Солонуха О.В.

ЦЭМИ РАН (Россия, Москва)


Рассмотривается дифференциально–разностное уравнение, содержащее произведение существенно–нелинейного дифференциального оператора и линейного, возможно несимметричного, оператора сдвигов.Для таких операторов сформулирован алгебраический критерий сильной эллиптичности. Предложеныдостаточные условия существования единственного решения.

Ключевые слова: эллиптическое дифференциально–разностное уравнение, сильно эллиптический оператор.

ON STRONG ELLIPTICITY CRITERIA FORDIFFERENTIAL–DIFFERENCE OPERATORS

Solonukha O.V.

Central Economical Mathematical Institute of Russian Academie of Science (Russia, Moscow)


We consider the differential–difference equation containing the product of essentially nonlinear differential operatorand a linear, possibly asymmetric, shift operator. The algebraic criterion of strong ellipticity is proposed for suchoperators. Sufficient conditions for the existence of a unique solution are obtained.

Keywords: elliptic differential–difference equation, strongly elliptic operator.

1. Постановка задачи

В работе получены достаточные условия разрешимости нелинейных эллиптическихдифференциально–разностных уравнений с несимметричным разностным оператором.

Рассмотрим функционально–дифференциальное уравнение вида

ARu(x) = f(x) (x ∈ Q) (1)

с краевым условием

u(x) = 0 (x ∈ R \Q). (2)

Здесь Q ⊂ Rn — ограниченная область с границей ∂Q класса C∞ или Q = (0, d)×G, G ⊂ Rn−1

— ограниченная область (с границей ∂G класса C∞, если n ≥ 3). В случае n = 1 мы полагаемQ = (0, d). Полагаем также, что 2 ≤ p < ∞, 1/p+ 1/q = 1, f ∈ W−1

q (Q), а дифференциальныйоператор A задан формулой

Au(x) = −∑

1≤i≤n

∂iAi(x,∇u). (3)

Ограниченный разностный оператор R : Lp(Rn)→ Lp(Rn) определяется по формуле

Ru(x) =∑

h∈M

ahu(x+ h), (4)

где ah ∈ R, M ⊂ Rn — конечное множество векторов с целочисленными (или соизмеримыми)координатами, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn. Заметим, что разностный оператор R является нелокаль-ным. Сдвиги на вектора h ∈ M могут отображать точки x ∈ Q в точки x+ h ∈ Rn \Q. Поэтомукраевые условия должны задавать значения неизвестной функции не только на границе ∂Q,но и на некотором множестве вне Q. Для простоты в дальнейшем мы можем считать, что этомножество совпадает с Rn \Q.

Через M обозначим аддитивную группу, порожденную множествомM, а через Qr — откры-тые связные компоненты множества Q\ ( ⋃

h∈M

(∂Q+h)). Множество Qr называется подобластью.

Семейство R всех подобластей Qr (r = 1, 2, . . .) называется разбиением области Q. R не болеечем счетно, семейство R можно разбить на непересекающиеся классы следующим образом: под-области Qr1 , Qr2 ∈ R принадлежат одному классу, если Qr2 = Qr1 + h для некоторого h ∈ M .Будем обозначать подобласти Qr через Qsl, где s — номер класса, а l — номер подобласти вs-м классе. Очевидно, каждый класс состоит из конечного числа N = N(s) подобластей Qsl иN(s) ≤ ([diamQ] + 1)n. Множество классов может быть конечным или счетным.

Введем оператор RQ = PQRIQ : Lp(Q) → Lp(Q), где IQ : Lp(Q) → Lp(Rn) — операторпродолжения функций из Lp(Q) нулем в Rn \ Q, PQ : Lp(Rn) → Lp(Q) — оператор суженияфункций из Lp(Rn) на Q.

Введем изоморфизм рефлексивных банаховых пространств Us : Lp

(⋃l

Qsl

)→ LN

p (Qs1) по

формуле (Usu)l(x) = u(x + hsl), (x ∈ Qs1), где l = 1, . . . , N = N(s), а вектор hsl таков, чтоQs1 + hsl = Qsl, L

Np (Qs1) =

∏l

Lp(Qs1).

Введем матрицы Rs порядка N(s)×N(s) с элементами

rsij =

ah (h = hsj − hsi ∈M),0 (hsj − hsi 6∈ M).

(5)

Рассмотрим оператор RQs : LNp (Qs1)→ LN

p (Qs1), заданный соотношением

RQs = UsRQU−1s . (6)

Известно, что оператор RQs является оператором умножения на матрицу Rs в пространствеLN

p (Qs1).Мы рассматриваем случай, когда все матрицы Rs невырождены.

www.kromsh.info 33

2. Алгебраический критерий сильной эллиптичности

Определение. Оператор A : W 1p (Q) → W−1

q (Q) называется сильно эллиптичным, еслисуществует cA > 0 такое, что

〈A(u)−A(y), u− y〉 ≥ cA‖u− y‖pW 1p (Q)

для любых u, y ∈ W 1p (Q).

Напомним, что в случае линейности дифференциального оператора A положительная опре-деленность разностного оператора RQ гарантирует сильную эллиптичность дифференциально–разностного оператора, см. [1]. Для квазилинейных дифференциальных операторов также суще-ствует алгебраический критерий сильной эллиптичности, см. [2, Гл.2, §2]:

Пусть дифференциальный оператор A : W 1p (Q)→ W−1

q (Q) задан формулой (3), где Ai — диф-

ференцируемые функции, причем для Aij(x, ξ) =∂Ai(x, ξ)

∂ξjсправедливо алгебраическое условие

сильной эллиптичности:∑

1≤i,j≤n

Aij (x, ξ) ηj ηi ≥ c∑

1≤i≤n

|ξi|p−2 |ηi|2 ∀ξ ∈ Rn, η ∈ Rn. (7)

Тогда A сильно эллиптичен.Далее мы рассмотрим обобщение алгебраического критерия сильной эллиптичности для

дифференциально–разностных операторов. Сумма ограниченных монотонных операторов, изкоторых хотя бы один является сильно эллиптичным, сохраняет условие сильной эллиптич-ности. Возможны и другие условия, гарантирующие сильную эллиптичность. Например, вслучае симметричного разностного оператора другой критерий сильной эллиптичности длядифференциально–разностных операторов был предложен в [3].

Теорема 1. Пусть p ∈ [2,∞), Rs — невырожденные матрицы, соответствующие опера-

тору RQ. Мы предполагаем, что оператор A : W 1p (Q)→W−1

q (Q) заданный формулой (3) имеетдифференциреумые коэффициенты Ai(x, ξ), удовлетворяющие оценкам:

∑

1≤m,l≤N(s)

∑

1≤i,j≤n

rslmAij (x+ hsm, ζm·) ηmj ηli ≥ c1

∑

1≤l≤N(s)

∑

1≤i≤n

|ζli|p−2 |ηli|2 , (8)

|Aij(x, ξ)| ≤ c2

1 +

∑

1≤i≤n

|ξi|p−2

(i, j = 1, . . . , n) (9)

для почти всех x ∈ Qs1 и любых ζ, η ∈ RN(s)×n и ξ ∈ Rn; здесь c1, c2 > 0 не зависят от x, ζ, ηи ξ.

Тогда оператор AR : W 1p (Q)→W−1

q (Q), заданный формулой

ARu(x) = −∑

1≤i≤n

∂iAi (x, ∂1RQu, . . . , ∂nRQu) , (10)

сильно эллиптичен.

3. Существование единственного решения

Теорема 2. Пусть выполнены условия Теоремы 1. Тогда операторное уравнение ARu(x) = f

имеет единственное решение в пространстве W 1p (Q).

Доказательство теоремы основано на том, что при выполнении условий теоремы оператор AR

является сильно эллиптичным и деминепрерывным.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант N 16-01-00450).



[2] Дубинский. Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения// Итоги науки и техники: ВИНИ-ТИ. Современные проблемы математики. — 1976. — T.9. — С. 5–130.

[3] Solonukha O.V. On nonlinear and quasilinear elliptic functional–differential equations // Discrete and ContinuousDynamic Systems, Seria S. — 9, N3. — 2016. — pp. 847–868.


УДК: 517.956.2

УСРЕДНЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫМАКСВЕЛЛА В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Суслина Т. А.

Санкт-Петербургский государственный университет (Россия, Санкт-Петербург)


Пусть O ⊂ R3 — ограниченная область с границей класса C1,1. В области O рассматривается стационарнаясистема Максвелла при условиях идеальной проводимости на границе. Предполагается, что диэлектрическая имагнитная проницаемости имеют вид η(x/ε) и µ(x/ε), где η(x) и µ(x) — симметричные матрицы-функции с ве-щественными элементами, ограниченные, положительно определенные и периодические относительно некоторойрешетки в R3. Здесь ε > 0 — малый параметр. Известно, что при ε → 0 решения системы Максвелла — элек-трическая напряженность uε, электрическая индукция wε, магнитная напряженность vε и магнитная индукцияzε слабо сходятся в L2 к соответствующим усредненным полям u0, w0, v0 и z0 (решениям усредненной системыМаксвелла с эффективными коэффициентами). Мы усиливаем классические результаты и находим аппроксима-ции решений по норме в L2 с оценками погрешностей порядка O(ε1/2).

Ключевые слова: периодические дифференциальные операторы, оператор Максвелла, усреднение, оператор-ные оценки погрешности.

HOMOGENIZATION OF THE STATIONARY PERIODIC MAXWELLSYSTEM IN A BOUNDED DOMAIN

Suslina Tatiana

Saint Petersburg State University (Russia, Saint Petersburg)

Let O ⊂ R3 be a bounded domain of class C1,1. In the domain O, we consider a stationary Maxwell system with theboundary conditions of perfect conductivity. It is assumed that the dielectric permittivity and the magnetic permeabilityare given by η(x/ε) and µ(x/ε), where η(x) and µ(x) are symmetric matrix-valued functions with real entries; they arebounded, positive definite and periodic with respect to some lattice in R3. Here ε > 0 is the small parameter. It is knownthat, as ε → 0, the solutions of the Maxwell system: the electric field intensity uε, the electric displacement vector wε,the magnetic field intensity vε, and the magnetic displacement vector zε weakly converge in L2 to the correspondinghomogenized fields u0, w0, v0, and z0 (the solutions of the homogenized Maxwell system with effective coefficients).We improve the classical results and find approximations for the solutions in the L2-norm with error estimates of orderO(ε1/2).

Keywords: periodic differential operators, Maxwell operator, homogenization, operator error estimates.

1. Постановка задачи. Пусть Γ ⊂ R3 — решетка, Ω — ячейка решетки Γ. Для любой Γ-периодической функции Ψ будем пользоваться обозначением Ψε(x) := Ψ(ε−1x), ε > 0.

Предположим, что диэлектрическая и магнитная проницаемости заданы матрицами-функцями ηε(x) и µε(x), x ∈ R3, где η(x) и µ(x) — симметричные (3 × 3)-матрицы-функциис вещественными элементами, периодические относительно решетки Γ, ограниченные и положи-тельно определенные. Тем самым, c01 6 η(x) 6 c11, c01 6 µ(x) 6 c11, 0 < c0 6 c1 < ∞. Здесь 1

— единичная (3× 3)-матрица.Пусть O ⊂ R3 — ограниченная область с границей класса C1,1. Мы изучаем стационарную

систему Максвелла в области O с коэффициентами ηε(x) и µε(x) при условиях идеальной прово-димости. Через uε, vε обозначим напряженности электрического и магнитного полей; wε = ηεuε,zε = µεvε — векторы электрической и магнитной индукций. Оператор Максвелла Mε мы запи-сываем в терминах индукций, считая поля wε, zε соленоидальными.

Введем два соленоидальных подпространства в L2(O; C3):

J(O) := f ∈ L2(O; C3) : div f = 0,J0(O) := f ∈ L2(O; C3) : div f = 0, fn|∂O = 0.

Здесь условие соленоидальности и краевое условие понимаются в обобщенном смысле. Строгиеопределения таковы:

J(O) =f ∈ L2(O; C3) :

∫

O

〈f ,∇ω〉 dx = 0, ∀ω ∈ H10 (O)

,

www.kromsh.info 35

J0(O) =f ∈ L2(O; C3) :

∫

O

〈f ,∇ω〉 dx = 0, ∀ω ∈ H1(O).

Мы будем рассматривать J(O) как подпространство в весовом пространстве L2(O; C3; (ηε)−1) соскалярным произведением

(f1, f2)L2(O;(ηε)−1) =

∫

O

〈(ηε(x))−1f1(x), f2(x)〉 dx,

а J0(O) как подпространство в весовом пространстве L2(O; C3; (µε)−1).Оператор Mε действует в пространстве J(O)⊕ J0(O), рассматриваемом как подпространство

в L2(O; C3; (ηε)−1)⊕ L2(O; C3; (µε)−1), и задается выражением

Mε =

(0 i rot(µε)−1

−i rot(ηε)−1 0

)

на области определения

DomMε =(w, z) ∈ J(O)⊕ J0(O) : rot(ηε)−1w ∈ L2(O; C3),

rot(µε)−1z ∈ L2(O; C3), ((ηε)−1w)τ |∂O = 0.Здесь краевое условие на w понимается в обобщенном смысле. Оператор Mε самосопряжен; см.[1]. Точка λ = i является регулярной точкой этого оператора.

Наша цель — изучить поведение резольвенты (Mε − iI)−1 при малом ε. Иными словами, насинтересует поведение решений (wε, zε) уравнения

(Mε − iI)(wε

zε

)=

(q

r

), q ∈ J(O), r ∈ J0(O), (1)

а также поведение полей uε = (ηε)−1wε и vε = (µε)−1zε. В подробной записи система Максвелла(1) имеет вид

i rot(µε)−1zε − iwε = q,−i rot(ηε)−1wε − izε = r,div wε = 0, div zε = 0,

((ηε)−1wε)τ |∂O = 0, (zε)n|∂O = 0.

2. Эффективный оператор. Пусть M0 — эффективный оператор Максвелла с эффектив-ными коэффициентами η0 и µ0.

Напомним определение эффективной матрицы η0. Пусть e1, e2, e3 — стандартный ортонор-мированный базис в R3. Пусть Φj(x) — периодическое решение задачи

div η(x)(∇Φj(x) + ej) = 0,

∫

Ω

Φj(x) dx = 0.

Введем матрицу Yη(x) со столбцами ∇Φj(x), j = 1, 2, 3. Эффективная матрица η0 определенасоотношением

η0 := |Ω|−1

∫

Ω

η(x)(Yη(x) + 1) dx.

Оказывается, что матрица η0 положительно определена. Нам понадобится также обозначение

Gη(x) := η(x)(Yη(x) + 1)(η0)−1 − 1.

Аналогичным образом определяются матрицы Yµ(x), µ0 и Gµ(x).Рассмотрим усредненную систему Максвелла

(M0 − iI)(w0

z0

)=

(q

r

), (2)

и определим усредненные поля u0 = (η0)−1w0 и v0 = (µ0)−1z0.Известно, что при ε → 0 решения системы (1) слабо сходятся в L2 к решениям системы (3).

Мы усиливаем классические результаты и находим аппроксимации решений по норме в L2.

3. Результаты. Для формулировки результатов нам понадобится еще одна "поправочная"система Максвелла

(M0 − iI)(wε

zε

)=

(qε

rε

). (3)


Определим также функции uε = (η0)−1wε, vε = (µ0)−1zε. Вектор-функции qε и rε определе-ны следующим образом. Пусть Π : L2(O; C3) → L2(R3; C3) — оператор продолжения нулем.Положим q := Πq, r := Πr. Далее, пусть Sε — оператор сглаживания по Стеклову:

(Sεf)(x) = |Ω|−1

∫

Ω

f(x − εy) dy, f ∈ L2(R3; C3).

Через Pη0 обозначим ортопроектор весового пространства L2(O; C3; (η0)−1) на J(O), а через P 0µ0

ортопроектор пространства L2(O; C3; (µ0)−1) на J0(O). Положим

qε = Pη0Sε(Yεη )∗q, rε = P 0

µ0Sε(Yεµ )∗r.

Заметим, что решения системы (4) слабо сходятся к нулю в L2. Это следует из свойства среднегозначения и того факта, что правые части qε, rε содержат быстро осциллирующие множители снулевым средним.

Наш основной результат — следующая теорема.

Теорема 1. При достаточно малом ε справедливы оценки

‖uε − (1 + Y εη )(u0 + uε)‖L2(O) 6 Cε1/2

(‖q‖L2(O) + ‖r‖L2(O)

), (4)

‖wε − (1 +Gεη)(w0 + wε)‖L2(O) 6 Cε1/2

(‖q‖L2(O) + ‖r‖L2(O)

), (5)

‖vε − (1 + Y εµ )(v0 + vε)‖L2(O) 6 Cε1/2

(‖q‖L2(O) + ‖r‖L2(O)

), (6)

‖zε − (1 +Gεµ)(z0 + zε)‖L2(O) 6 Cε1/2

(‖q‖L2(O) + ‖r‖L2(O)

). (7)

Аппроксимации (4)–(7) аналогичны друг другу. Например, поле uε приближается суммойчетырех членов:

uε ∼ u0 + Y εη u0 + uε + Y ε

η uε.

Здесь первое слагаемое — это усредненное поле, а остальные три члена слабо сходятся к нулю имогут быть интерпретированы как корректоры нулевого порядка.

Порядок погрешностей в теореме 1 ухудшается по сравнению с порядком O(ε) аналогичныхоценок для задачи в R3 (см. [2]). Это объясняется влиянием границы области.

Результат теоремы 1 допускает формулировку в операторных терминах:

‖(Mε − iI)−1 − (I + Gε)(M0 − iI)−1(I + Zε)‖ 6 Cε1/2,

где

Gε =

(Gε

η 00 Gε

µ

), Zε =

(Pη0Sε(Y

εη )∗Π 0

0 P 0µ0Sε(Y

εµ )∗Π

).

Результаты такого типа называют операторными оценками погрешности в теории усреднения.В случае, когда магнитная проницаемость постоянна и q = 0, результаты допускают усиление

(см. [3]).

Теорема 2. Пусть матрица µ постоянна и q = 0. При достаточно малом ε справедливыоценки

‖uε − (1 + Y εη )u0‖L2(O) 6 Cε1/2‖r‖L2(O),

‖wε − (1 +Gεη)w0‖L2(O) 6 Cε1/2‖r‖L2(O),

‖vε − v0‖L2(O) 6 Cε‖r‖L2(O),

‖zε − z0‖L2(O) 6 Cε‖r‖L2(O).

Исследование выполнено при поддержке РНФ (проект 17-11-01069).


[1] Бирман М. Ш. L2-теория оператора Максвелла в произвольных областях / М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк //Успехи мат. наук – 1987. – Т. 42, 6. – С. 61–76.

[2] Суслина Т. А. Усреднение стационарной периодической системы Максвелла с учетом корректора / Т. А. Сус-лина // Алгебра и анализ. – 2007. – Т. 19, 3. – С. 183–235.

[3] Суслина Т. А. Усреднение стационарной периодической системы Максвелла в ограниченной области в случаепостоянной магнитной проницаемости / Т. А. Суслина // Алгебра и анализ. – 2018. – Т. 30, 3. – С. 140–168.

УДК: 517.958.53

ЗАДАЧИ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯКОРТЕВЕГА–ДЕ ФРИЗА И ЕГО ОБОБЩЕНИЙ

Фаминский А. В.

Российский университет дружбы народов (Россия, Москва)


Рассматриваются задачи управления для уравнения Кортевега–де Фриза, заданного как на ограниченноминтервале, так и на луче или прямой. В качестве дополнительного условия (условия переопределения) рассмат-ривается некоторое интегральное условие, а в качестве управляющей функции – либо краевое условие, либомультипликативный коэффициент в правой части уравнения. Устанавливаются результаты об однозначной раз-решимости этих задач либо при условии малости входных данных, либо на малом промежутке времени. Частьрезультатов перенесена на случай уравнения Захарова–Кузнецова, являющегося двумерным аналогом уравненияКортевега–де Фриза.

Ключевые слова: уравнение Кортевега–де Фриза, уравнение Захарова–Кузнецова, граничные задачи, задачиуправления, интегральное условие переопределения,

CONTROL PROBLEMS FOR KORTEWEG–DE VRIES EQUATION ANDITS GENERALIZATIONS

Faminskii Andrei

RUDN University (Russia, Moscow)

Control problems for Korteweg–de Vries equation, posed either on a bounded interval or on a half-line or on real line,are cosidered. Certain integral condition is chosen as an additional condition (overdetermination condition), either aboundary function or a multiplicative coefficient in a right-hand side are chosen as control functions. Result on solubilityand uniqueness for these problems are established either under small input data or on a small time interval. These resultsare partially extended to Zakharov–Kuznetsov equation, which is a two-dimensional generalization of Korteweg–le Vriesequation.

Keywords: Koretweg–de Vries equation, Zakharov–Kuznetsov equation, boundary value problems, control problems,integral overdetermination.

Для уравнения Кортевега–де Фриза

ut + bux + uxxx + uux = f(t, x) (1)

в прямоугольнике QT = (0, T ) × I, где I = (0, R) для некоторого R > 0, рассматриваетсяначально-краевая задача с начальными и граничными условиями

u∣∣t=0

= u0(x), u∣∣x=0

= 0, u∣∣x=R

= 0, ux

∣∣x=R

= h(t). (2)

Решения этой задачи понимаются в слабом смысле и рассматриваются в пространстве

X(QT ) = C([0, T ];L2(I)) ∩ L2(0, T ;H1(I)).

Известно, что при соответствующих предположениях на входные данные эта задача корректнав указанном пространстве.

Введем дополнительное условие интегрального переопределения∫

I

u(t, x)ω(x) dx = ϕ(t), t ∈ [0, T ], (3)

где функции ω и ϕ известны. При этом некоторые входные данные рассматриваются как управ-ление, они не известны и должны быть выбраны так, чтобы для решения соответсвующей задачибыло выполнено это дополнительное условие. Такая задача называется задачей управления.

Например, выберем в качестве управления функцию h. Тогда показано, что соответствующаязадача управления однозначно разрешима либо при условии малости входных данных, либо намалом промежутке времени.


Теорема 1. Пусть u0 ∈ L2(I), f ∈ L2(QT ), ϕ ∈ W 12 (0, T ), ω ∈ H3(I),

ω(0) = ω′(0) = ω(R) = 0, ω′(R) 6= 0, (4)

ϕ(0) =

∫

I

u0(x)ω(x) dx. (5)

Пусть r = ‖u0‖L2(I) +‖f‖L2(QT ) +‖ϕ′‖L2(0,T ), тогда существует r0 > 0, такое что если r ≤ r0,то существует единственная пара h ∈ L2(0, T ), u ∈ X(QT ), удовлетворяющая (1)–(3). Болеетого, для произвольного значения r существует T0 > 0, такое что если T ≤ T0, то справедливтот же вывод.

Введем другую управляющую функцию. Предположим, что правая часть имеет специальныйвид:

f(t, x) ≡ f0(t)g(t, x),где функция g известна, а функция f0 рассматривается как управление.

Теорема 2. Пусть u0 ∈ L2(I), h ∈ L2(0, T ), g ∈ C([0, T ];L2(I)), ϕ ∈ W 11 (0, T ), ω ∈ H3(I),

выполнены условия (4) и (5),∫

I

g(t, x)ω(x) dx 6= 0 ∀t ∈ [0, T ].

Пусть r = ‖u0‖L2(I) +‖h‖L2(0,T ) +‖ϕ′‖L1(0,T ), тогда существует r0 > 0, такое что если r ≤ r0,то существует единственная пара f0 ∈ L1(0, T ), u ∈ X(QT ), удовлетворяющая (1)–(3). Болеетого, для произвольного значения r существует T0 > 0, такое что если T ≤ T0, то справедливтот же вывод.

Для случая контрольной функции f0 аналогичная задача управления рассмотрена также наполуосях R+, R− и на всей оси R. Получены аналогичные результаты об однозначной разре-шимости задачи управления либо в случае малых входных данных, либо на малом промежуткевремени.

Наконец, аналог Теоремы 2 установлен для уравнения Захарова–Кузнецова со специальнойправой частью

ut + bux + uxxx + uxyy = f0(t)g(t, x, y),

заданного на прямоугольнике (0, R)× (0, L) для произвольных R и L.Задачи управления для других типов уравнений с интегральным переопределением типа (3)

ранее изучались в книге [1].


[1] Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. /A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin. – New York, Basel: Marcel Dekker Inc., 1999. – 730 p.

www.kromsh.info 39

УДК: 517:957

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Хазова Ю. А.

Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского (Россия, Симферополь)


Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение с преобразованием отражение пространствен-ной переменной и условиями на круге. Используя метод Фурье и интегральные методы, строится интегральноепредставление приближенных решений исходной задачи.

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, метод Фурье, интегральное представлениерешения.

INTEGRAL REPRESENTATION OF SOLUTIONS OF THE DEFERENTIALEQUATION

Khazova Yuliya

V. I. Vernadsky Crimean Federal University (Russia, Simferopol)

The functional-differential equation with transformation by reflection of a spatial variable and conditions on a circleis considered. At article is using the Fourier method and integral methods. An integral representation of approximatesolutions is formulated.

Keywords: functional-differential equation, Fourier method, integral representation of the solution.

На круге рассматривается смешанная краевая задача для нелинейного параболического урав-нения

ut(r, ϕ, t) + u(r, ϕ, t) = Du(r, ϕ, t) +K(1 + γ cosQu(r, ϕ, t)), (1)

0 < r < r1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, t > 0,

с преобразованием отражение пространственной переменной Qu(r, ϕ, t) = u(r, π−ϕ, t), условием

Неймана ∂u(r1,ϕ,t)∂r = 0, условием периодичности u(r, ϕ + 2π, t) = u(r, ϕ, t), ограниченности по

r в нуле |u(0, ϕ, t)| ≤ c < ∞ и начальным условием u(r, ϕ, 0) = q0(r, ϕ), где u = 1r

∂∂r

(r ∂v

∂r

)+

1r2

∂2v∂ϕ2 — оператор Лапласа в полярной системе координат, параметр D > 0, K — положительный

коэффициент, 0 < γ < 1.Доказывается существование и единственность решения начально-краевой задачи параболи-

ческого уравнения по следующей схеме. Исходная задача записывается в виде задачи Коши длянелинейного операторного параболического уравнения в соответствующем функциональном про-странстве с учетом граничных условий. Далее используются результаты по разрешимости опе-раторных дифференциальных уравнений [1, 2, 3]. Сводим задачу к операторному уравнению,для которого выполняются условия теоремы Лерэ-Шаудера о разрешимости нелинейных опера-торных уравнений [4]. Эти результаты при фиксированных параметрах позволяют установитьединственность и непрерывную зависимость решения от начальных условий.


[1] Lions J.L., Magenes E. Problemes aux limites non homogenes et applications. – Paris: Dunod, 1968.[2] Лионс Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971.[3] Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. – Springer-Verlag: New York, 1997.[4] Лерэ Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональный уравнения / Ж. Лерэ, Ю. Шаудер // Успехи математи-

ческих наук. – 1946. – Т.1, 3-4. – С. 71-95.


УДК: 517.98

КОЛЕБАНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИВ БАССЕЙНЕ, ЧАСТИЧНО ПОКРЫТОМ УПРУГИМ ЛЬДОМ

Цветков Д. О.

Таврическая академия Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского(Россия, Симферополь)


Изучается задача о малых движениях идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью,частично покрытой упругим льдом. Упругий лед моделируется упругой пластиной. Получены условия, при ко-торых существует сильное по времени решение начально-краевой задачи, описывающей эволюцию исходной гид-росистемы.

Ключевые слова: стратифицированная жидкость, упругий лед, начально-краевая задача, метод ортогонально-го проектирования, дифференциально-операторное уравнение, задача Коши в гильбертовом пространстве, силь-ное решение.

OSCILLATIONS OF AN IDEAL STRATIFIED FLUID IN A BASINPARTIALLY CLOSED BY ELASTIC ICE

Tsvetkov D. O.


We study the problem on small motions of ideal stratified fluid with a free surface, partially covered by the elasticice. Elastic ice is modeled by an elastic plate. The initial boundary value problem is reduced to the Cauchy problem insome Hilbert space H. The theorem on strong solvability of initial boundary value problem is proved.

Keywords: stratification effect in ideal fluids, initial boundary value problem, differential equation in Hilbert space,Cauchy problem, strong solution.

Пусть идеальная стратифицированная жидкость, плотность ρ0 которой в состоянии покоя из-меняется вдоль вертикальной оси Ox3: ρ0 = ρ0(x3), частично заполняет неподвижный сосуд изанимает в состоянии покоя область Ω, ограниченную твердой стенкой S и свободной поверх-ностью Γ = Γ1 ∪ Γ2, где Γ1 — участок "чистой воды" , Γ2 — участок "упругого льда". Упругийлед моделируется упругой пластиной (см., например, [1]). Обозначим через ρ1 — поверхностнуюплотность льда. Предположим, что начало O декартовой системы координат Ox1x2x3 выбранона свободной равновесной поверхности Γ, которая является плоской и расположена перпендику-лярно ускорению силы тяжести ~g = −g~e3, где ~e3 — орт оси Ox3. Предполагаем далее, что твердаястенка S ⊂ ∂Ω является липшицевой поверхностью, причем ∂S = ∂Γ — липшицева кривая.

Будем рассматривать основной случай устойчивой стратификации жидкости по плотности:

0 < N2min ≤ N2(x3) ≤ N2

max = N20 <∞, N2(x3) = −gρ

′0(x3)

ρ0(x3), ρ0(0) > 0. (1)

Функцию N(x3) называют частотой Вяйсяля-Брента, или частотой плавучести.Рассмотрим малые движения жидкости, близкие к состоянию покоя. Обозначим через ~u =

~u(t, x), x = (x1, x2, x3) ∈ Ω, поле скорости в жидкости, p = p(t, x) — отклонение поля давленийот равновесного давления P0 = P0(x3), ρ = ρ(t, x) — отклонение поля плотности от исходногополя ρ0(x3), а через ζ = ζ(t, x) ( x = (x1, x2) ∈ Γ) — отклонение свободно движущейся поверх-ности жидкости Γ(t) от Γ по нормали ~n. Тогда малые движения исходной системы описываютсяследующей начально-краевой задачей (см., например, [1, 2]):

∂~u

∂t= ρ−1

0 (x3)(−∇p− gρ~e3

)+ ~f(t, x) ( в Ω ),

div ~u = 0,∂ρ

∂t+∇ρ0 · ~u = 0 ( вΩ ),

~u · ~n =: un = 0 (наS ), un =∂ζ

∂t(на Γ ),

∫

Γ

ζ dΓ = 0, (2)

p = gρ0(0)ζ (на Γ1 ), p = ρ1∂2ζ

∂t2+Kζ (наΓ2 ),

www.kromsh.info 41

~u(0, x) = ~u0(x), ρ(0, x) = ρ0(x) (x ∈ Ω ), ζ(0, x) = ζ0(x) ( x ∈ Γ ).

Здесь K – линейный дифференциальный оператор, заданный Kζ := d22ζ + ρ0(0)gζ, где

D(K) =ζ ∈ C4

(Γ2

)| ζ = ∂ζ/∂ν = 0 (на γ2), Mζ = Nζ = 0 (на ∂Γ2 \ γ2)

,

где d > 0 — коэффициент жесткости льда, γ2 := Γ2

⋂S, ~ν — единичный вектор внешней нормали

к ∂Γ2, при этом (см., например, [3]) Mζ = σ2ζ + (1− σ) ∂2ζ/∂ν2,

Nζ = − ∂

∂ν(2ζ) + (1− σ)

∂

∂s

(∂2ζ

∂x12ν1ν2 −

∂2ζ

∂x1∂x2

(ν21 − ν2

2

)− ∂2ζ

∂x22ν1ν2

).

Отметим, что для классического решения задачи (2) имеет место закон баланса полной энергии:

1

2· ddt

[(∫

Ω

ρ0(x3)|~u|2 dΩ + ρ1

∫

Γ2

∣∣∣∣∂ζ

∂t

∣∣∣∣2

dΓ2

)+

+

(g2

∫

Ω

[ρ0(x3)N

2(x3)]−1|ρ|2 dΩ + ρ0g

∫

Γ1

|ζ|2 dΓ1 + (ζ, ζ)K

)]=

∫

Ω

ρ0(x3)~f · ~u dΩ. (3)

Левая часть (3) представляет собой сумму производной по t полной кинетической энергиисистемы и ее потенциальной энергии. Полная кинетическая энергия (первая скобка слева) рав-на сумме кинетической энергии жидкости в области Ω и кинетической энергии упругого льда.Полная потенциальная энергия (вторая скобка) равна сумме потенциальной энергии жидкости,обусловленной наличием сил плавучести, смещением свободной поверхности, и потенциальнойэнергией упругого льда. Так как потенциальной энергии упругого льда отвечает форма опе-ратора K, то его можно назвать оператором потенциальной энергии (упругой части системы).Правая часть есть мощность внешних сил.

В начально-краевой задаче (2) можно исключить одну искомую функцию – поле плотностиρ(t, x), если ввести взамен поля скорости ~u(t, x) поле малых смещений частиц жидкости ~v(t, x),связанных с ~u(t, x) соотношениями ∂~v/∂t = ~u, div~v = 0 ( вΩ ).

Далее, строится ортогональное разложение естественным образом приспособлено к примене-нию метода ортогонального проектирования для исходной задачи, то есть для случая, когда наразличных участках подвижной границы заданы различные граничные условия. Путем проекти-рования уравнений на соответствующие ортогональные подпространства (отделяя тривиальныесоотношения) и введения вспомогательных краевых задач и их операторов, начально-краеваязадача, описывающая малые движения данной системы, проводится к задаче Коши в гильбер-товом пространстве H = H1 ⊕H2 (изученной в [4]):

C d2u

dt2+ BNu = f(t), u(0) = u0, u

′

(0) = u1, (4)

где u = u(t) — искомая функция переменной t со значениями в H, f = f(t) — заданная функция,

C =

(I1 00 A

), BN =

[(0 00 N

)+

(B11 B12

B21 B22

)], B =

(B11 B12

B21 B22

),

0 < A = A∗ ∈ L(H2), 0≪ N = N∗, D(N) = H2, 0 ≤ B = B∗ ∈ L(H).

Определение. Сильным (по переменной t) решением задачи (2) на промежутке [0, T ] назовемнабор функций ~u (t, x), p (t, x), ρ (t, x), ζ (t, x), для которых выполнены следующие условия:

1. ~u (t) ∈ C1([0, T ] ; ~J0,S (Ω, ρ0)

), ~J0,S (Ω, ρ0) = ~u | div~u = 0 (в Ω ), un = 0 (на ∂Ω ) ,

ρ−10 ∇p ∈ C

([0, T ] ; ~G (Ω, ρ0)

), ~G (Ω, ρ0) = ~v |~v = ρ−1

0 ∇p (в Ω ),∫Γp dΓ = 0 ,

ρ (t) ∈ C1 ([0, T ] ; L (Ω)), L2(Ω) – гильбертово пространство скалярных функций со скалярнымпроизведением (см. подробнее (3))

(ϕ, ψ)L2(Ω) := g2

∫

Ω

[ρ0(x3)N

2(x3)]−1

ϕ(x)ψ(x) dΩ,

и при любом t ∈ [0, T ] справедливо первое уравнение (2);2. un = ∂ζ/∂t ∈ C ([0, T ] ;H); выполнено граничное условие на Γ1 и Γ2:

p = gρ0(0)ζ ∈ C ([0, T ] ;L2(Γ1)) , p = ρ1∂2ζ

∂t2+Kζ ∈ C ([0, T ] ;L2(Γ2)) ,

где все слагаемые являются непрерывными по t функциями со значениями в L2(Γ1) и L2(Γ2)соответственно; выполнены начальные условия (2).

Возвращаясь от задачи (4) по всем преобразованиям назад, приходим к условиям существо-вания сильного (по переменной t) решения исходной начально-краевой задачи (2).

Теорема 1. Пусть выполнены условия

~u0 ∈ ~J0,S (Ω, ρ0) , ρ0 ∈ L2(Ω), f(t) ∈ C1([0, T ]; ~L2(Ω, ρ0)

), (5)

ζ0 ∈ L2 (Γ) ,

∫

Γ

ζ0dΓ = 0, ζ0|Γ2 ∈ D(K), (6)

ζ1 :=[(Ph,S~u

0(x))· ~n]Γ∈ L2 (Γ) ,

∫

Γ

ζ1dΓ = 0, ζ1|Γ2 ∈ D(K1/2). (7)

Тогда задача (2) имеет единственное сильное по t решение.

Автор выражает благодарность Н. Д. Копачевскому за обсуждение работы.


[1] Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционныеи спектральные задачи. - M.: Наука. - 1989. — 590 с.

[2] Цветков Д.О. Малые движения идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, пол-ностью покрытой упругим льдом // Сибирские электронные математические известия. - 2018. - Том 15. - С.422–435.

[3] Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. - M.: Мир. - 1985. - 416 с.[4] Копачевский Н.Д., Цветков Д.О. Задача Коши, порожденная колебаниями стратифицированной жидкости,

частично покрытой льдом // Таврический вестник информатики и математики. - 2018 (в печати).

УДК: 517

НЕЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СИНТЕГРАЛАМИ II И III ПОРЯДКОВ

Юрьева А. М.

Башкирский государственный университет (Россия, Уфа)


В работе описан специальный класс нелинейных гиперболических уравнений, обладающих y-интегралом вто-рого порядка. Приведена структура x-интегралов. Показано, что последние являются x-интегралами гиперболи-ческого уравнения с y-интегралом первого порядка. Показано, что данный класс содержит известное уравнениеЛэне.

Ключевые слова: уравнения лиувиллевского типа, дифференциальные подстановки, x- и y-интегралы.

NONLINEAR HYPERBOLIC EQUATIONS WITH SECOND AND THIRDORDER INTEGRALS

Yuryeva Anastasia

Bashkir state university (Russia, Ufa)

In this paper a special class of nonlinear hyperbolic equations with a second-order y-integral is described. Thestructure of x-integrals is given. It is shown that they are x-integrals of a hyperbolic equation with a first-order y-integral. It is shown that this class contains the well-known Laine equation.

Keywords: Liouville type equations, differential substitutions, x- and y-integrals.

Для полной классификации нелинейных гиперболических уравнений лиувиллевского типа

uxy = f(x, y, u, ux, uy)

www.kromsh.info 43

следует провести описание (см. [1], [2]) уравнений специального класса

uxy =p− ϕu

ϕuy

ux +q

ϕuy

√ux, (1)

обладающих y-интегралами второго порядка. Здесь p, q - функции переменных x, y, u, а ϕ- пере-менных x, y, u, uy.

Отметим (см. [3], [4], [5]), что интегрируемые уравнения Лэне содержатся в классе уравнений(1).

В данной работе получены необходимые и достаточные условия существования y-интегралавторого порядка и проведен их полный анализ.


[1] Жибер А.В., Юрьева А.М. Гиперболические уравнения лиувиллевского типа специального класса. / А.В.Жибер, А.М. Юрьева // Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематическиеобзоры. – 2017. – Т.137. – С. 17-26.

[2] Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа. / А.В.Жибер, В.В. Соколов // Успехи матем. наук, – 2001. – Т.56. 1(337). – С. 63-106

[3] Laine M.E. Sur J’application de la methode de Darboux aux eqautions s = f(x, y, z, p, q). / M.E. Laine // Comptesrendus. – 1926. – V. 182. – P.1126-1127.

[4] Капцов О.В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. /О.В. Капцов // Москва: ФИЗ-МАТЛИТ. – 2009. 182 с.

[5] Капцов О.В. О проблеме классификации Гурса. /О.В. Капцов // Программировани. – 2012. – 2. – С. 68-71.

MSC2010: 45A05

ELLIPTIC PSEUDO-DIFFERENTIAL BOUNDARY VALUE PROBLEMSAND THE INVERSE PROBLEM OF

MAGNETO-ELECTROENCEPHALOGRAPHY

Demidov A.S.

Lomonosov Moscow State University (Russia, Moscow)Moscow Institute of Physics and Technology (Russia, Dolgoprudny)


Contrary the already prevailing for several decades opinion about the incorrectness of the inverse-MEEG problems(see, for example: Sheltraw, D. and Coutsias, E. (2003) Journal of Applied Physics, 94 (8), 5307-5315), the report willshow that this problem is absolutely correct [1]. Namely: under the condition of reconstruction electromagnetic fieldaccording to its measurement in the final set of points xk on the head of the patient the inverse MEEG problem has,and the only solution in a special class of functions (different from those considered by biophysicists).

Keywords: inverse problem, Maxwell’s equations, integral equation of the first kind.

1. Magneto-electroencephalography is a non-invasive (i.e. without disruption of cutaneous coverage)method of brain visualization. The direct MEEG-problem is the calculation of the electromagnetic fieldon the surface X of the 3-dimensional region (head) containing the region Y (brain) by some explicitformulas from a priori data on the distribution of the so-called current dipoles q : Y → R3 (currentdipole moments [2]) that are due to the synchronous activity of large masses of brain neurons. Incontrast the direct problem, the inverse MEEG-problem is the problem of finding the distribution ofdipoles q : Y → R3 (current dipole moment) in the neurons of the brain, which occupies a domainY ⊂ R3, according to the electric D = εE , as well as the magnetic induction B = µH, measured onthe surface X, which is the internal part of the helmet, with the SQUID sensors (Superconductingquantum Interference device) [2]–[3]. The fields E and H are called the electric and magnetic fieldstrengths. The parameters µ and ε = ε(x) > 0 are magnetic and dielectric permeabilities. For bio-medium we have µ ≈ µ0, where µ0 is the magnetic permeability of the vacuum. Therefore, we assumethat µ = 1.

The theorem given below gives the key to solving the inverse MEEG-problem.


Theorem 1. Let Y be a bounded domain in R3 with a smooth boundary Γ = ∂Y , and let f ∈ C∞(Y ).Then the integral equation of the I-kind

∫

Y

q(y)dy

|x− y| = f(x) , x ∈ Y (1)

uniquely solvable, and its solution has the form

q(x) = q0(x) + p0(y′)δ∣∣∣∂Y

, (2)

where δ∣∣∣∂Y

is the δ-function on ∂Y , and q0 ∈ C∞(Y ), p0 ∈ C∞(∂Y ) if f ∈ C∞(Y ).

The proof of this theorem is by no means easy [4].But here’s an explanation of why this is correct. We first consider a somewhat different integral equation of the first

kind, namely, ∫

R3+

e−2πλ|x−y|u(y)dy

|x − y|= f(x) , where λ > 0 , x ∈ R3

+ , (3)

in which the kernel of the corresponding operator has an additional factor e−2πλ|x−y| with λ > 0. We take a continuousextension Φf = f+ + f− of the function f and taking into account that f+

∣∣R3+

= f and f−∣∣R3+

= 0, note that the

equation (3) can be written in the following form

Op( 1

|ξ|2 + λ2

)u+ = Φf , u+(y) =

u , if y ∈ R3

+

0 , otherwise.(4)

Here Op(a(ξ)) def

= F−1aFu and Fu =

∫e−

ıxξu(x) dx,ı = 2πi. Indeed, (4) ⇔

(−∆+(2πλ)2

)Φf = 4π2u+, where ∆ is

the Laplace operator. The solution Φf of the last equation can be represented as the convolution 4π2G∗u+ of the function

u+ with the fundamental solution G(x) = exp(−2πλ|x|)/4π|x| of the operator −∆+(2πλ)2. Let |ξ′|2λdef= ξ2

1+ξ22+(2πλ)2,

and θ(y) is a characteristic function of the half-space R3+. Then the solution of the equation (4) is given by the formula1

u+(x) = Op(iξ3 + |ξ′|λ

)θ(x)Op

(− iξ3 + |ξ′|λ

)Φf .

And since Op(iξ3 + |ξ′|λ

)Op(− iξ3 + |ξ′|λ

)= 1

(2π)2

(− ∆ + (2πλ)2

)and Op

(iξ3)

= 12π

∂∂x3

, then u+(x) = u0(x) +

ρ0(x′)δ(x′), where formulas

u0(x) = θ(x)(−

1

(2π)2∆ + λ2

)f , ρ0(x′) = −

1

4π2

∂

∂x3f(x1, x2, x3)

∣∣∣x3=0

+1

2πOp(|ξ′|λ)f(x1, x2, 0) ,

representing components u+, reflect their interrelation.

The condition λ > 0 in the equations (3) and (4) is significant (since for λ = 0 the corresponding operators are

not defined). However, if the domain Y is bounded, then using the partition of unity and applying the general elliptic

theory, including the theorem on the stability of the index of elliptic operators, it is possible [4] to establish the

formula (2).

2. We shall start from the Maxwell equations

∂tH(x, t) + rotE(x, t) = 0 , divB(x, t) = 0 ,

−ε(x)∂tE(x, t) + rotH(x, t) = Jv(x) + Jp(x) , divD(x, t) = ρ .(5)

Here Jv = σE is the so-called volumetric or, as they say, ohmic current (more precisely, its density),because it satisfies Ohm’s law associated with the coefficient of electrical conductivity σ = σ(x) ≥ 0,which is assumed to be independent of t.

Essential is the circumstance, especially noted in the fundamental work [2] (on page 426). It isrelated to the frequency ratio ω of the oscillations of the electromagnetic field H(x, t) = H(x)eiωt,E(x, t) = E(x)eiωt and the frequency of electrical oscillations in brain cells. The analysis in [2]shows that for the system (5) the quasistatic approximation corresponding to the leading term ofthe asymptotics as ω → 0 is justified. There, on the same page, is additionally noted: “A currentdipole q, approximating a localized primary current, is a widely used concept in neuromagnetism . . . .In EEG and MEG applications, a current dipole is used as an equivalent source for the unidirectionalprimary current that may extend over several square centimeters of cortex.” As a result, we arrive atthe following equations rotE = 0, rotB = (σE + q), divB = 0, divD = ρ. As is known,

rotE = 0 ⇔ E = −∇Φ , and divB = 0 ⇔ B = rotA .

Since div(εE) = ρ, then−ε∆Φ−∇ε∇Φ = ρ. (6)

1According to the Paley-Wiener theorem, θ(x)Op(− iξn + |ξ′|λ

)f− = 0 and therefore u+(x) does not depend on f−.

www.kromsh.info 45

We obtain

∆A(x) = −F(x) , where F(y) = q(y) + Φ(y)∇σ(y) (7)

and

q(x) = −∆A(x)− Φ(x)∇σ(x) . (8)

This formula gives the required solution of the inverse problem, but only if the potentials A andΦ are known in Y . However, only the fact is known a priori about them (in addition to the factthat they are zero at infinity) that there are data on the measurements of the fields B = rotA andE = −∇Φ in the finite collection points xk ∈ X . Nevertheless, as shown in item 3 below, these dataand the results of item 1 still allow us to find the “essentially” different [5] approximations of theelectromagnetic field defined in the entire (!) space R3 ⊃ Y. They correspond to a priori possible“essentially” different solutions of the inverse problem.

3. For simplicity, we assume here that the permittivity is constant (ε = const). In this case, notonly the scalar components of the equation (7) for the potential A, but also the equation (6) for thepotential Φ have the form ∆u = g. In this case, by specifying the function g, we simulate the assignmentof the test values ρ and q. It corresponds to the solution of the MEEG problem, represented (via thefunction u) by the potentials Ag = A(ρ,q) and Φg = Φ(ρ,q). Thus, the inverse MEEG problemreduces to minimizing the functional

G(ρ,q)def=∑

k

(‖B(xk)− rotAg

∣∣∣x=xk

‖2 + ‖E(xk) +∇Φg

∣∣∣x=xk

‖2), (9)

where B(xk) and E(xk) are the known measurements of the electromagnetic field at the points xk ∈ X.As for the a priori of the unknown potentials Ag and Φg, they can be modeled, taking into accounttheir singularity noted at the beginning of the third paragraph (a break on S = ∂Y along the normalto S). We confine ourselves here to the consideration of the spherical model, when the regions Y = Y−and Y+ are such that Y is the ball |x| < R, and Y+ = R3 \ Y . Thus X = ∂Y = ∂Y+. We introducethe spherical coordinates (r, θ, ϕ). Let

Y ±n : (θ, ϕ) 7→

n∑

m=0

[A±

nm cos(mϕ) +B±nm sin(mϕ)

]P (m)

n (cos θ)

the so-called spherical functions, parametrized by the coefficients A±nm and B±

nm, and

u(r, θ, ϕ) =1

R2

∑n≥0

[ ∑k≥2

C−k

(r/R

)n+k+D−

n

(r/R

)n]Y −

n (θ, ϕ) in Y−

∑n≥1

[ ∑k≥2

C+k

(R/r

)n+k+D+

n

(R/r

)n]Y +

n (θ, ϕ) in Y+ ,

(10)

at that ∑

n≥0

[ ∑

k≥s2

C−k +D−

n

]=∑

n≥1

[∑

k≥2

C+k +D+

n

], (11)

which is a condition for the continuity of the function u.Then the function g = ∆u is given by the formula

g(r, θ, ϕ) =1

R2

∑n≥0

∑k≥2

g−kn(r)(r/R

)n+k−2Y −

n (θ, ϕ) in Y−

∑n≥1

∑k≥2

g+kn(r)

(R/r

)n+k+2Y +

n (θ, ϕ) in Y+ = R3 \ Y− ,(12)

where g±kn(r) = C±k (n+ k)(n+ k + 1)− n(n+ 1)r2 are interrelated2 by the relation (11).

The function (10), depending on the family of numerical parameters N = A±nm, B

±nm, C

±nm, D

±nm,

represents, as was said above, the potentials A = AN and Φ = ΦN . And they, in turn, giveapproximations rotAN and ∇ΦN of the a priori of the undefined rotAg and ∇Φg, which are partof the (9). Thus, the functional (9) is approximated by the functional

H(N )def=∑

k

(‖B(xk)− rotAN

∣∣∣x=xk

‖2 + ‖E(xk) +∇ΦN

∣∣∣x=xk

‖2),

2This reflects the above relationship of the components solution (2) of the equation (1).


whose minimization of which on the elements N ∗ reveals a priori possible “essentially” differentsolutions of the inverse MEEG problem in the spherical case, since for the potentials A = AN∗ andΦ = ΦN∗ the formula (8) allows us to compute in the domain Y the component q0 of the desired

solution q(x)(2)= q0(x) + p0(y

′)δ∣∣∣∂Y

. Knowing this component q0 makes it possible to effectively

find [6] the density p0.

References

[1] A.S. Demidov Inverse problems in magneto-electroscaning (in encephalographiy, for magnetic microscopes, etc.),Journal of Applied Analysis and Computation, Vol. 3, , No 3 (2018) 915–927.

[2] M. Hamalainen et al Magnetoencephalography — theory, instrumentation, and applications to noninvasive studiesof the working human brain, Reviews of Modern Physics, Vol. 65, No 2 (1993) 413–497.

[3] T.A. Stroganova et al EEG alpha activity in the human brain during perception of an illusory kanizsa square,Neuroscience and Behavioral Physiology, Vol. 41 (2) (2011) 130–139.

[4] A.S. Demidov Elliptic pseudodifferential boundary value problems with a small parameter in the coefficient of theleading operator, Math. USSR-Sb., Vol. 20:3 (1973) 439—463.

[5] A.S. Demidov, V.V. Savel’ev, Essentially different distributions of current in the inverse problem for the Grad-Shafranov equation, Russian J. Math. Ph., V. 17, No 1 (2010) 56–65.

[6] A.S. Demidov Asymptotics of the solution of the boundary value problem for elliptic pseudodifferential equationswith a small parameter with the highest operator, Proceedings of the Moscow Mathematical Society, Vol. 32,Publishing house of Moscow University, 119-146 (In Russian). See also: A.S. Demidov Les problemes elliptiquespseudo-differentiels, a petit parametre dans l’operateur principal, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, Vol. 594(1977) 108–122.

MSC2010: 35B25

ON SINGULARLY PERTURBED PROBLEM

Kapustina Tatiana

Lomonosov Moscow State University (Russia, Moscow)


This research is devoted to mixed type equation with small parameters by the elder derivatives. Asymptotic solutionwith respect to the small parameter is constructed. On the base of asymptotic solution, an efficient numerical algorithmis created. The main idea of this algorithm is replacing elliptic operator by two parabolic operators, which providessignificant gain in speed and economy of computer resources.

Keywords: mixed type equations, method of small parameter, boundary layer functions.

This work continues the previous result published in [1]. Let us consider elliptic–parabolic equationin rectangular domain (0, 1)× (−1, 1) of (x, y) plain. This equation is supplied with two transmissionconditions on the line of type change, and zero boundary condition on the appropriate part of thedomain border.

εuxx − a(x, y)u− b(x, y)uy = f(x, y), y > 0,Lu ≡ ε∆u− c(x, y)u − d(x, y)uy = h(x, y), y < 0,u∣∣y=+0

= u∣∣y=−0

, uy

∣∣y=+0

= uy

∣∣y=−0

,

u∣∣x=0

= u∣∣x=1

= u∣∣y=−1

= 0.

Here ε > 0 is a small parameter, a, b, c, d, f , h are smooth functions. The conditions a > 0, b > 0,c > 0 provide unique solvability of this problem [2]. We consider two cases, when coefficient d ispositive or negative.

First, we construct asymptotic representation for our solution with respect to the small parameter.The basic means of this part is boundary functions method [3], and its modification for mixed typeequations [4], [5]. The main term of asymptotic representation is

u(x, y, ε) =

u+(x, y, ε), y > 0,u−(x, y, ε), y < 0,

u+(x, y, ε) = u0+(x, y) + q+

(x/√ε, y)

+ z+((1− x)/√ε, y

),

u−(x, y, ε) = u0−(x, y) + q−

(x/√ε, y)

+ z−((1− x)/√ε, y

)+ v (x, (y + 1)/ε)+

+w(x/√ε, (y + 1)/ε

)+ p (x/ε, (y + 1)/ε) +m

((1− x)/√ε, (y + 1)/ε

)+ k ((1− x)/ε, (y + 1)/ε) ,

www.kromsh.info 47

where u0 is solution of reduced problem (ε = 0) with appropriate additional conditions; q, z, vare boundary functions, and w, p,m, k angular boundary functions depending on corresponding fastvariables.

The second part is creation of effective numerical algorithm. It is well known that parabolic equationis much more convinient for numerical simulation then the elliptic equation. We construct approximatefactorization of elliptic operator L, replacing it by the product of two parabolic operators: L ≈ P− P+

[6]. The approximation error of this factorization is small while ε → 0. The choice of P− and P+

again depends on function d. In order to begin calculation, we need the initial condition for the firstparabolic equation. As it is unknown, we replace it with its asymptotic representation from the firstpart.

Computer experiments show good match between asymptotic and numerical solution, representingits qualitative behavior in boundary layers.

References

[1] T.O.Kapustina, Operator factorization for elliptic–parabolic equation, International Conference on Spectral andEvolution Problems CROMSH-2017, Book of Abstracts (2017), P. 133—134.

[2] T.Dzhuraev, Boundary value problems for mixed type equations, Tashkent: Fan (1979).[3] A.B.Vasilieva, V.F.Butuzov, Asymptotic methods in singular perturbation theory, Moscow: Vysshaya Shkola (1990).[4] V.G.Sushko, Asymptotic representations for solutions of bisingular problems, Memoirs on Differential Equations

and Mathematical Physics 18 (1999), P. 51—151.[5] N.Kh.Rozov, T.O.Kapustina, One boundary problem for elliptic–parabolic equation, Differential Equations 6 (2001),

P. 847—848.[6] J.-P.Loheac, F.Nataf, M.Schatzman, Parabolic approximations of the convection-diffusion equation, Mathematics of

Computations 60 (1993), P. 515—530.

MSC2010: 47F05

SUBORDINATED CONDITIONS FOR THE TENSOR PRODUCT OFSEVERAL ORDINARY DIFFERENTIAL OPERATORS IN L∞ NORM

Limanskii Dmitrii

Donetsk National University, Institute of Applied Mathematics and Mechanics (Donetsk)


We consider the problem of description the linear space L(P ) of minimal differential operators Q(D) subordinatedin the L∞(Rn) norm to the tensor product P (D) = p1(D1)⊗ . . . ⊗ pn(Dn) of several ordinary differential polynomials.We describe the structure of L(P ) for some examples of the above operators P (D) which symbols have both real andnon-real complex zeros of different multiplicity.

Keywords: differential polynomials, tensor product, a priori estimate, ellipticity, Newton polyhedron.

Let Ω be a domain in Rn, and let p ∈ [1,∞]. Consider the problem of description the linear spaceL(P ) of minimal differential operators Q(D) subordinated to a given differential polynomial P (D)with respect to Lp(Ω) norm, i. e., the space of operators Q(D) obeying the a priori estimate

‖Q(D)f‖Lp(Ω) ≤ C1‖P (D)f‖Lp(Ω) + C2‖f‖Lp(Ω), f ∈ C∞0 (Ω),

with some positive constants C1, C2 not depending on f . Here Dj = −i∂/∂xj, D = (D1, . . . , Dn).From now on we will consider the case p = ∞, Ω = Rn and a tensor product P (D) = ⊗m

j=1Pj(D)of several differential operators acting on different groups of variables, i. e.,

P (D) = P1(D1, . . . , Dp1)⊗ P2(Dp1+1, . . . , Dp2)⊗ . . .⊗ Pm(Dpm−1+1, . . . , Dn).

This problem was first investigated in [1] for m = 2 and elliptic differential polynomials Pj(D),j = 1, 2. Later on the space L(P ) was described for the tensor product P (D) = p1(D1) ⊗ p2(D2) oftwo ordinary differential operators in several special cases (for example, see [2, 3]).

Here we present the description of the space L(P ) for three examples of differential polynomialsP (D) of the form P (D) = p1(D1)⊗p2(D2)⊗p3(D3), where pj(Dj) are ordinary differential operatorswhich symbols have zeros of different multiplicity from the set 0; 1;±i.

The result below was obtained in collaboration with my master student Anna Zorenko. Its proofuses both methods of harmonic analysis as well as the technique of the Newton polyhedron.


Theorem. Let m = 3, P (D) = p1(D1)⊗ p2(D2)⊗ p3(D3).(i) In the case of pj(Dj) = Dj(Dj − I), j = 1, 3 (I stands for the identity operator), the inclusion

Q ∈ L(P ) is equivalent to the equality

Q(D) = c1P (D) + c2, cj ∈ C,

and dimL(P ) = 2.(ii) In the case of pj(Dj) = D2

j (Dj − I), j = 1, 3, the inclusion Q ∈ L(P ) is equivalent to theequality

Q(D) = c1P (D) + c2, cj ∈ C,

and dimL(P ) = 2.(iii) In the case of pj(Dj) = Dj(Dj − I)(D2

j + I), j = 1, 3, the inclusion Q ∈ L(P ) is equivalent tothe equality

Q(D) =

3∏

j=1

Dj(Dj − I) · F (D1, D2, D3) + c, c ∈ C,

where F (ξ1, . . . , ξ3) is an arbitrary polynomial with complex coefficients whose degrees in each of ξjare not greater than 2, and dimL(P ) = 33 + 1 = 28.

References

[1] Limanskii D. V., Malamud M. M., Elliptic and Weakly Coercive Systems of Operators in Sobolev Spaces,Matematicheskii Sbornik, vol. 199 (2008), no. 11, p. 75-112.

[2] Limanskii D. V., On Subordination of One Differential Operator to the Tensor Product of Others in the SpaceC(Rn), Vestnik Donetskogo Natsional’nogo Universiteta, Seriya A "Estestvennye Nauki", no. 2 (2017), p. 41-49.

[3] Limanskii D. V., Generalizations of Boman’s Theorem and A Priori Estimates for Systems of Minimal DifferentialOperators, Trudy Instituta Prikladnoj Matematiki i Mehaniki, vol. 31 (2017), p. 118-133.

MSC2010: 35B27

ON HOMOGENIZATION OF PERIODIC HYPERBOLIC SYSTEMS WITHTHE CORRECTOR

Meshkova Yulia

Chebyshev Laboratory, St. Petersburg State University (Russia, St. Petersburg)


In L2(Rd; Cn), we consider a selfadjoint matrix strongly elliptic second order differential operator Aε, ε > 0. Thecoefficients of the operator Aε are periodic and depend on x/ε. We study the asymptotic behavior of the operator

A−1/2ε sin(τA

1/2ε ), τ ∈ R, in the small period limit. The principal term of approximation in the (H1 → L2)-norm is

found. Approximation in the (H2 → H1)-operator norm with the correction term taken into account is also established.The error estimates are of the sharp order O(ε). The results are applied to homogenization of periodic hyperbolicsystems.

Keywords: periodic differential operators, hyperbolic systems, quantitative homogenization, operator error estimates.

The talk is devoted to homogenization of periodic differential operators. In L2(Rd; Cn), we considera matrix second order differential operator Aε given in a factorized form:

Aε = b(D)∗g(x/ε)b(D), 0 < ε 6 1.

Here b(D) =∑d

j=1 bjDj is a first order differential operator, bj are constant m×n matrices. Assume,

that m > n and rank b(ξ) = n for 0 6= ξ ∈ Rd. The (m × m)-matrix valued function g is periodicwith respect to some lattice Γ ⊂ Rd, g(x) > 0, g, g−1 ∈ L∞. These assumptions guarantee the strongellipticity of the operator Aε = A∗

ε > 0. The precise definition of Aε is given in terms of the quadraticform. The coefficients of Aε oscillate rapidly as ε→ 0.

Our first result is approximation of the operator A−1/2ε sin(tA

1/2ε ) in the (H1 → L2)-operator norm:

‖A−1/2ε sin(tA1/2

ε )− (A0)−1/2 sin(t(A0)1/2)‖H1(Rd)→L2(Rd) 6 C1ε(1 + |t|).Here A0 = b(D)∗g0b(D) is the effective operator with the constant matrix g0. Our second result isapproximation in the (H2 → H1)-norm:

‖A−1/2ε sin(tA1/2

ε )− (A0)−1/2 sin(t(A0)1/2)− εK(ε; t)‖H2(Rd)→H1(Rd) 6 C2ε(1 + |t|).

www.kromsh.info 49

Here the corrector K(ε; t) taken into account. It contains rapidly oscillating factors and so dependson ε. The constants C1 and C2 are controlled explicitly in terms of the problem data. The results ofthis type are called operator error estimates in homogenization theory. Estimates in operator termsare applied to homogenization of periodic hyperbolic systems

∂2

t uε(x, t) = −Aεuε(x, t), x ∈ Rd, t ∈ R,

uε(x, 0) = 0, (∂tuε)(x, 0) = ψ(x), x ∈ Rd,

where ψ ∈ L2(Rd; Cn). Then uε(·, t) = A−1/2ε sin(tA

1/2ε )ψ and, for sufficiently smooth ψ,

‖uε(·, t)− u0(·, t)‖L2(Rd) 6 C1ε(1 + |t|)‖ψ‖H1(Rd),

‖uε(·, t)− vε(·, t)‖H1(Rd) 6 C2ε(1 + |t|)‖ψ‖H2(Rd).

Here u0 is the solution of the effective problem and vε = u0+εK(ε; t)ψ is the first order approximationfor the solution uε.

We are based on the spectral approach to homogenization problems developed by M. Sh. Birmanand T. A. Suslina [1]–[3]. The method is based on the scaling transformation, the Floquet-Bloch theoryand the analytic perturbation theory. It turns out that homogenization is a spectral threshold effectat the bottom of the spectrum. For more details, see [4].

The research was supported by the project of Russian Science Foundation no. 17-11-01069.

References

[1] Birman M. Sh., Suslina T. A., Second order periodic differential operators. Threshold properties and homogenization,Algebra i Analiz 15 (2003), no. 5, 1-108; English transl., St. Petersburg Math. J. 15 (2004), no. 5, 639–714.

[2] Birman M. Sh., Suslina T. A., Homogenization with corrector term for periodic elliptic differential operators, Algebrai Analiz 17 (2005), no. 6, 1–104; English transl., St. Petersburg Math. J. 17 (2006), no. 6, 897–973.

[3] Birman M. Sh., Suslina T. A., Homogenization with corrector term for periodic differential operators. Approximationof solutions in the Sobolev class H1(Rd), Algebra i Analiz 18 (2006), no. 6, 1–130; English transl., St. PetersburgMath. J. 18 (2007), no. 6, 857–955.

[4] Meshkova Y. M., On operator error estimates for homogenization of hyperbolic systems with periodic coefficients,arXiv:1705.02531 (2017).

MSC2010: 35B27

HOMOGENIZATION OF MONOTONE OPERATORS WITHCOERCITIVITY AND GROWTH CONDITIONS OF VARIABLE ORDER

Pastukhova Svetlana

“MIREA” Russian Technological University (Russia, Moscow)


We obtain a homogenization procedure for the Dirichlet boundary-value problem for an elliptic equation of monotonetype in a bounded domain Ω ⊂ R

d. We consider solutions of two types: W - and H-solutions. Each of the solution typesrequires a distinct homogenization procedure.

Keywords: homogenization procedure, Dirichlet boundary-value problem, elliptic equation of monotone type,coercitivity.

We obtain a homogenization procedure for the Dirichlet boundary-value problem for an ellipticequation of monotone type in a bounded domain Ω ⊂ Rd. The operator of the problem satisfiescoercitivity and growth conditions of power type with a variable oscillating exponent pε(x) = p(x/ε),where p(y) is a periodic L∞(Ω)-function satisfying the estimate 1<α ≤ p(·) ≤ β<∞ and the positiveparameter ε tends to zero. Here α and β are arbitrary constants. The Dirichlet problem is posed ina corresponding Sobolev space with the variable exponent pε(·). This space is defined non-uniquely.Generally, there are at least two non-coinciding Sobolev spaces W = W 1,pε(·)(Ω) and H = H1,pε(·)(Ω).Taking this fact called Lavrent’ev’s phenomenon into account, we consider solutions of two types:W - and H-solutions. Each of the solution types requires a distinct homogenization procedure. Itsjustification is carried out in [1] by using the appropriate versions of the lemma on compensatedcompactness, which are proved in this paper either. In [2] a new approach to deal problems of suchkind is proposed, it is based on two-scale convergence technique.


References

[1] Жиков В.В., Пастухова С.Е. Усреднение монотонных операторов с условиями коэрцитивности и роста пере-менного порядка // Матем. заметки. 2011. Т. 90. 1. С. 53–69; Math. Notes, 90:1 (2011), 48–63.

[2] Жиков В. В., Пастухова С.Е. Усреднение и двухмасштабная сходимость в соболевском пространстве с осцил-лирующим показателем // Алгебра и анализ. 2018. Т. 30. 2. С. 114–144.

MSC2010: 35J70, 35B45

ON A BOUNDARY-VALUE PROBLEM FOR ADIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATION WITH DEGENERATION

Popov Vladimir

S. M. Nikol’skii Mathematical Institute, RUDN University (Russia, Moscow)


We consider a second-order differential-difference equation in a bounded domain Q ⊂ Rn. We assume that thedifferential-difference operator contains some difference operators with degeneration corresponding to differentiationoperators. Moreover, the differential-difference operator under consideration cannot be expressed as a composition of adifference operator and a strongly elliptic differential operator. We prove a priori estimates from which it follows thatthe differential-difference operator under consideration is sectorial and its Friedrichs extension exists.

Keywords: boundary value problem, degeneration, differential-difference operator, a priori estimates, sectorialoperators.

In this paper, we obtain a priori estimates for solutions of elliptic differential-difference equationswith variable coefficients and degeneration containing several different difference operators.

Let Q ⊂ Rn be a bounded domain with boundary ∂Q ∈ C∞, and let M ∈ Rn be a finite set ofvectors h with integer coordinates. We use M to denote the additive Abelian group generated byM.By Qr we denote the open connected components of the set Q \ ⋃

h∈M

(∂Q+ h).

Definition 1. We refer to the setsQr as subdomains and to the familyR of all possible subdomainsQr

(wherer = 1, 2, . . .) as the partition of the domain Q.

It is easy to see that the family R is at most countable. The partition R naturally decomposes intoclasses. We put subdomains Qr1 ∈ R, and Qr2 ∈ R in the same class if there exists a vector h ∈ Mfor which Qr2 = Qr1 + h. We denote the subdomains Qr by Qsl, where s is the number of the classcontaining the given subdomain (s = 1, 2, . . .) and l is its number in the sth class. Obviously, eachclass contains a finite number N = N(s) of subdomains Qsl, and N(s) ≤ ([diamQ] + 1)n.

Consider a difference operator R : L2(Rn)→ L2(Rn), of the form

Ru(x) =∑

h∈M

ahu(x+ h), (1)

where ah ∈ C and the setM ∈ Zn is finite.Consider the operators IQ, PQ, and RQ defined as follows: IQ : L2(Q) → L2(Rn) is the operator

extending functions from L2(Q) by zero over Rn \Q, PQ : L2(Rn)→ L2(Q) is the operator restrictingfunctions from L2(Q) to Q; and RQ = PQRIQ : L2(Q) → L2(Q). The operator IQ is introduced inorder to define the operator RQ at functions u(x) defined on Q and satisfying homogeneous boundaryconditions outside Q. The operator PQ is introduced in order to deal with restrictions of the functionsRIQu(x), which are defined on Rn, to the domain Q.

Definition 2. A function ϕ(x) ∈ C(Q) is said to be M -periodic in Q if ϕ(x) = ϕ(x + h) forallx, x + h ∈ Q and h ∈M.

Consider the unbounded differential-difference operator LR : D(LR) ⊂ L2(Q)→ L2(Q), defined by

LR u(x) = −n∑

i,j=1

∂

∂xibij(x)

∂

∂xjRijQu(x), (2)

with domain D(LR) = C∞(Q), where

RijQ = PQRijIQ, Rij =∑

h∈M

aijh u(x+ h) (i, j = 1, . . . , n), (3)

www.kromsh.info 51

C∞(Q) is the set of compactly supported infinitely differentiable functions on Q, bij(x) = bji(x) ∈C∞(Rn) are real-valued M -periodic functions and aijh ∈ C.

Consider N(s)×N(s) matrices Rijs with elements

rijskl =

aijh, if h = hsl − hsk ∈ M,

0, if h = hsl − hsk 6∈ M.(4)

Together with the matrices Rijs, we consider the matrices Rijs defined as follows. Let x ∈ Qs1

be any point. Consider all points xi ∈ Q for which xi − x ∈ M. Since the domain Q is bounded, itfollows that the set xi consists of I = I(s, x) points (I ≥ N(s)). We enumerate the points xi so

that xi = x + hsi for i = 1, . . . , N = N(s) and x1 = x. Let Rijs = Rijs(x) be I × I matrices (whereI = I(s, x)) with elements

rijskl =

aijh, if h = xl − xk ∈M,

0, if h = xl − xk 6∈ M.(5)

Note that, although the elements of the matrices are constants, the order of these matrices dependson the choice of x. Let N (·) and R(·) denote the kernel and the image of an operator, respectively. We

set Aijs = (Rijs+R∗jis)/2, Aijs(x) = (Rijs(x)+R

∗jis(x))/2, Bijs = (Rijs−R∗

jis)/2i for (i, j = 1, . . . , n).

Let AijQ = (RijQ +R∗jiQ)/2 and BijQ = (RijQ − R∗

jiQ)/2i.We assume that the following conditions hold.

Condition 1 (ellipticity). There exist self-adjoint nonnegative difference operators RiQ such that

n∑

i,j=1

bij(x)Aijs(x) ξi ξj ≥n∑

i=1

Ris(x) ξ2i

for any x ∈ Qs1 (s = 1, 2, . . .) and ξ ∈ Rn, where Ris are the matrices corresponding to the differenceoperator RiQ.

Condition 2 (degeneration). The set S = s : detAiis = 0, i = 1, . . . , n is nonempty.

Condition 3 (subordination). N (Aijs) ⊂ N (Bijs),N (Aiis) = N (Ris),N (Aiis) ⊂ N (Aijs)∩N (Ajis),i, j = 1, . . . n, where N (·) is kernel of matrix.

Theorem 1. If Conditions 1–3hold, then there exist constants c0 ≥ 0, c1 > 0, such that, for anyfunction u ∈ C∞(Q)

Re(LRu, u)L2(Q) + c0

n∑

i=1

(AiiQu, u)L2(Q) ≥ c1n∑

i=1

‖RiQuxi‖2L2(Q). (6)

Consider the unbounded differential-difference operator: L+R : D(L+

R) ⊂ L2(Q) → L2(Q), defined

by L+Ru = −

n∑i,j=1

∂∂xi

bij(x)∂

∂xjR∗

jiQ u(x), u ∈ D(L+R) = C∞(Q).

Theorem 2. If Conditions 1–3 hold. then there exist constants c0 ≥ 0 and c2 > 0, such that, for allu, v ∈ C∞(Q)

∣∣∣∣∣

(LR + L+

R

2u, v

)

L2(Q)

+ c0

n∑

i=1

(AiiQu, v)L2(Q)

∣∣∣∣∣ ≤

≤ c2

n∑

i,j=1

‖RiQuxi‖L2(Q) ·

∥∥RjQvxj

∥∥L2(Q)

+

n∑

i=1

‖RiQu‖L2(Q) · ‖RiQv‖L2(Q)

, (7)

∣∣∣∣∣

(LR − L+

R

2iu, v

)

L2(Q)

∣∣∣∣∣ ≤ c2n∑

i,j=1

‖RiQuxi‖L2(Q) ·

∥∥RjQvxj

∥∥L2(Q)

. (8)

It follows from Theorems 1 and 2 and the boundedness of the operators AijQ in L2(Q) that theoperator LR is sectorial in L2(Q).

The publication has been prepared with the support of the RUDN University Program «5-100»and by the Russian Foundation for Basic Research, project 16-01-00450.


References

[1] T. Kato, Teoriya vozmushcheniy lineynykh operatorov, Mir, Moscow, 1972 (Russian translation).[2] V. A. Popov, A. L. Skubachevskii, Apriornye otsenki dlya ellipticheskikh differentsial’noraznostnykh operatorov s

vyrozhdeniem, Sovrem. mat. Fundam. napravl., 36 (2010), 125–142.[3] V. A. Popov, A. L. Skubachevskii, Gladkost’ obobshchennykh resheniy ellipticheskikh differentsial’no-raznostnykh

uravneniy s vyrozhdeniem, Sovrem. mat. Fundam. napravl., 39 (2011), 130–140.[4] V. A. Popov, A. L. Skubachevskii, On smoothness of solutions of some elliptic functional-differential equations with

degenerations, Russ. J. Math. Phys., 20 (2013), No. 4, 492–507.[5] V. A. Popov, Sledy obobshchennykh resheniy ellipticheskikh differentsial’no-raznostnykh uravneniy s vyrozhdeniem,

Sovrem. mat. Fundam. napravl., 62 (2016), 124–139.[6] V. A. Popov, Otsenki resheniy ellipticheskikh differentsial’no-raznostnykh uravneniy s vyrozhdeniem [Estimates

of Solutions of Elliptic Differential-Difference Equations with Degeneration], Sovrem. mat. Fundam. napravl., 64(2018), No 1, 131–147.

[7] A. L. Skubachevskii, Elliptic functional differential equations and applications, Birkhauser, Basel–Boston–Berlin,1997.

[8] A. L. Skubachevskii, Ellipticheskie differentsial’no-raznostnye uravneniya s vyrozhdeniem, Tr. Mosk. mat. ob-va.,59 (1997), 240–285.

[9] A. L. Skubachevskii, Nelokal’nye ellipticheskie kraevye zadachi s vyrozhdeniem, Tr. Mosk. mat. ob-va., 71 (2016),No. 5, 3–112.

MSC2010: 39A70, 47B39

AN ISOMORPHISM GENERATED BY DIFFERENCE OPERATOR IN ACYLINDER

Skubachevskii A. L., Liiko V.V.

Mathematical Institute, RUDN University (Russia, Moscow)


We consider a regular difference operator with variable coefficients in a cylinder. It will be proved that this operatormaps continuously and bijectively the Sobolev space of order k with the homogeneous Dirichlet boundary conditions tothe subspace of Sobolev space of order k with nonlocal boundary conditions on the shifts of boundary. This allows toapply the results obtained for nonlocal elliptic problems to the investigation of elliptic differential-difference equations.

Keywords: elliptic differential-difference equations, nonlocal elliptic problems, generalized solutions, differenceoperators.

Let Q = (0, d)×G, where G ⊂ Rn−1 is a bounded domain with boundary ∂G ∈ C∞, if n ≥ 3, andG = (a, b), if n = 2. Let d = k + θ, where k ∈ N, 0 < θ ≤ 1. We consider the difference operator Rgiven by

(Ru)(x) =k∑

i=−k

ai(x)u(x1 + i, x2, ..., xn), (1)

where ai ∈ C∞(Rn) are complex-valued functions.Let RQ = PQRIQ. Here IQ : L2(Q)→ L2(Rn) is the operator of extension of functions from L2(Q)

by zero to Rn \Q, PQ : L2(Rn) → L2(Q) is the operator of contraction of functions from L2(Rn) toQ.

Decomposition of the domain Q consists of one class of subdomains: Q1l = (l − 1, l) × G (l =1, . . . , k + 1), if θ = 1, and of two classes of subdomains: Q1l = (l− 1, l− 1 + θ)×G (l = 1, . . . , k+ 1)and Q2l = (l − 1 + θ, l)×G (l = 1, . . . , k), if θ < 1.

For each θ ≤ 1 we introduce the matrices R1(x) (x ∈ R × G) of order (k + 1) × (k + 1) with theelements

r1ij(x) = aj−i(x1 + i− 1, x′) (i, j = 1, . . . , k + 1) (2)

and R2(x) (x ∈ R×G) of order k × k with the elements

r2ij(x) = aj−i(x1 + i− 1, x′) (i, j = 1, . . . , k), (3)

where x = (x1, x′), x1 ∈ R, x′ ∈ G.

Definition. Difference operator RQ : L2(Q) → L2(Q) is called regular, if

detRs(x) 6= 0 (x ∈ Qs1; s = 1, 2) in case of 0 < θ < 1, and if detR1(x) 6= 0 (x ∈ Q11),detR2(1, x

′) 6= 0 and detR2(θ, x′) 6= 0 (x′ ∈ G) in case of θ = 1.

www.kromsh.info 53

Remark. Nondegeneracy of operator RQ in case of 0 < θ < 1 is equivalent to nondegeneracy of

matrices Rs(x) (x ∈ Qs1; s = 1, 2), and in case of θ = 1 nondegeneracy of operator RQ is equivalent

to nondegeneracy of matrix R1(x) (x ∈ Q11). Therefore, if 0 < θ < 1, then operator RQ is regularif and only if it is nondegenerate. If θ = 1, then nondegenerate operator RQ is regular only when

detR2(1, x′) 6= 0 (x′ ∈ G) and detR2(θ, x

′) 6= 0 (x′ ∈ G).We denote by W 1

2,γ(Q) the subset of functions in W 12 (Q), satisfying the nonlocal boundary

conditions:

w(x)|x1=0 =

k∑

i=1

γ1i (x′)w(x1 + i, x′)

∣∣x1=0

,

w(x)|x1=d =

k∑

i=1

γ2i (x′)w(x1 − i, x′)

∣∣x1=d

, (4)

w|[0,d]×∂G = 0,

where γri = γr

i (x′) ∈ C∞(G) are complex-valued functions, γ = γri (i = 1, ..., k; r = 1, 2).

Theorem. Let the operator RQ be regular. Then, there is a set of complex-valued functions γ(x) =

γri , γr

i ∈ C∞(G), such that the operatorRQ maps W 12 (Q) ontoW 1

2,γ(Q) continuously and bijectively.This theorem allows to apply the results concerning solvability of nonlocal elliptic problems to the

investigation of solvability for elliptic differential-difference equations. The above theorem for regulardifference operators with constant coefficients was proved in [1].

The publication has been prepared with the support of the "RUDN University Program 5-100"andthe Russian Foundation for Basic Research, grant number 16-01-00450.

References



Секция 5. Теория управления, теория игр и экономическоеповедение

УДК: 517.978.2:519.837.3

ОПТИМАЛЬНОЕ ПО СЭВИДЖУ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СИНФОРМИРОВАННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ

Бардин А. Е., Житенева Ю. Н.

Государственный гуманитарно-технологический университет (Россия, Орехово-Зуево)


В работе формализуется игровая иерархическая модель принятия решений в условиях действия неконтролиру-емых факторов. В рассматриваемой игре неопределенность «реагирует» на выбор лица, принимающего решения,изменяя область возможных значений. Предложен подход к формализации оптимального решения, основанныйна принципе минимаксного сожаления по Сэвиджу.

Ключевые слова: оптимизационная задача, иерархическая игра, информированная неопределенность, принципСэвиджа, функция сожаления.

THE SAVAGE OPTIMAL SOLUTION OF THE PROBLEM UNDERINFORMED UNCERTAINTY

Bardin Aleksandr, Zhiteneva Julia

State Humanity-Technology University (Russia, Orekhovo-Zuevo)

The paper formalizes the game hierarchical model of decision - making in the conditions of uncontrolled factors. Inthis game uncertainty "reacts"to the choice of the decision-maker, changing the area of possible values. The approachto formalization of the optimal solution based on the principle of minimax regret Savage is proposed.

Keywords: optimization problem, hierarchical game, informed uncertainty, the principle of Savage, the regret function.

Рассматривается задача принятия решений при неопределенности в форме иерархическойигры

Γ = 〈U, Y [u]| u ∈ U, f0(u, y(u))〉,где множество U – совокупность стратегий игрока верхнего уровня (центра). Непустое мно-жество Y [u] есть совокупность неопределенностей y (стратегий игрока нижнего уровня, то естьприроды), которые могут реализоваться в результате выбранной центром стратегии u ∈ U . Прин-ципиальное отличие игры Γ от известных моделей [3]–[5] состоит в том, что неконтролируемыефакторы «реагируют» на выбор лица, принимающего решения, изменяя область возможныхзначений. Такую неопределенность будем называть информированной.

В игре Γ центр, выбирая стратегию u ∈ U , стремится максимизировать свою функцию вы-игрыша f0(u, y(u)). При этом он должен учитывать возможность реализации любой неопреде-ленности y ∈ Y [u]. Отметим, что центр может использовать различные концепции принятиярешений в задачах при неопределенности, например принцип Сэвиджа [6].

Игра происходит следующим образом. Первый ход делает игрок верхнего уровня, используяконкретную стратегию u ∈ U . Второй ход делает природа, которая реализует произвольнуюинформированную неопределенность y(u) ∈ Y [u].

Рассмотрим пошаговый алгоритм нахождения функции сожалений Φ0(u, y(u)). Первый шагсостоит в выборе центром определенного решения u ∈ U . Второй шаг совершает природа, приме-няя стратегию y(u) ∈ Y [u]. Третий шаг снова выполняет центр, решая оптимизационную задачу

P (u, y(u)) :

f0(z, y(u))→ max,

z ∈ U∗,

где зафиксирована неопределенность y(u) ∈ Y [u]. Множество U∗ состоит из всех допустимыхстратегий центра z ∈ U , для которых фиксированное значение неопределенности y(u) принад-лежит множеству Y [u], именно,

U∗ = z ∈ U | y(u) ∈ Y [z].

www.kromsh.info 55

Предположим, что оптимальное решение z∗(y(u)) задачи P (u, y(u)) существует для всех стра-тегий u ∈ U и фиксированных неопределенностей y ∈ Y [u]. Окончательно имеем:

Φ0(u, y(u)) = f0(z∗(y(u)), y(u))− f0(u, y(u)).

Отметим, что в задаче P (u, y(u)) зафиксированы стратегия u ∈ U и неопределенность y(u) ∈Y [u].

Аналогично подходу в работах [1], [2], определим стратегическое сожаление игрока верхнегоуровня

RS(u) = maxy(u)

Φ0(u, y(u))−minu

maxy(u)

Φ0(u, y(u)).

Здесь предполагается существование экстремальных значений соответствующих функций. Бу-дем также полагать, что центр, выбирая стратегию u ∈ U , стремится получить возможно мень-шие значения функции сожаления RS(u).

Определение 1. Стратегию центра u∗ ∈ U будем называть оптимальной по Сэвиджу для игрыΓ, если RS(u∗) = 0.

Исследована «работа» указанного алгоритма для нахождения функции сожаления и постро-ения оптимального по Сэвиджу решения игры Γ на примере линейно-квадратичной задачи оп-тимизации производства в условиях возможной поставки импортной продукции на рынок.


[1] Бардин А.Е., Житенева Ю.Н., Макаркина Т.В. U-оптимальное по рискам и сожалениям решение игры сприродой // X Международная школа-симпозиум «АМУР-2016». Сборник научных трудов – Севастополь.2016. C. 29-35.

[2] Бардин А.Е., Солдатова Н.Г. Сильно гарантированное равновесие в одной иерархической двухуровневой игрепри неопределенности // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика.Механика. Физика. – 2014. – Т. 6, 1. – С. 17-23.

[3] Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н. Уравновешивание конфликтов и их приложения. – М.: ЛЕНАНД, 2012.[4] Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н., Смирнова Л.В. Гарантированные решения конфликтов и приложения. –

М.: ЛЕНАНД, 2012.[5] Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Математические основы золотого правила. Москва -– Тбилиси, 2016.[6] Savage L.Y. The theory of statistical decision // J. American Statistic Association. – 1951. – 46. – P. 55-67.

УДК: 517.977; 519.7

ИССЛЕДОВАНИЕ l-ПРОБЛЕМЫ МОМЕНТОВ И ПОИСКОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Постнов С. С.

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (Россия, Москва)


В работе исследуется возможность постановки и решения задач оптимального управления динамическимисистемами дробного порядка в форме l-проблемы моментов. Рассматриваются системы с сосредоточенными ираспределёнными параметрами. Анализируется две задачи оптимального управления: задача поиска управленияс минимальной нормой при заданном времени управления и задача быстродействия при заданном ограничениина норму управления. Допустимые управления предполагаются элементами пространств Lp[0, T ], 1 < p < ∞или L∞[0, T ]. Продемонстрировано, что обе задачи оптимального управления сводятся к l-проблеме моментов.Получены условия, при которых полученная проблема моментов может быть поставлена и является разрешимой.Исследован ряд примеров, для которых получены аналитические решения задач оптимального управления иисследованы их свойства, а также проанализированы вопросы качественной динамики изучаемых систем.

Ключевые слова: оптимальное управление, проблема моментов, дробная производная, динамическая системадробного порядка, системы с сосредоточенными и распределёнными параметрами.


INVESTIGATION OF l-PROBLEM OF MOMENTS AND SEARCH FOROPTIMAL CONTROLS FOR FRACTIONAL-ORDER DYNAMICAL

SYSTEMS

Postnov Sergey

V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences (Russia, Moscow)

In the paper the possibility investigates of setting and solving of optimal control problems for fractional-orderdynamical systems in the form of l-problem of moments. Systems with lumped and distributed parameters are considered.Two optimal control problems analyzed: the problem of finding a control with minimal norm at given control time andthe problem of time-optimal control finding at given restriction on control norm. An admissible controls are assumed tobe elements of spaces Lp[0, T ], 1 < p < ∞ or L∞[0, T ]. It’s shown that both of the problems are reduced to the l-problemof moments. The conditions are obtained under which the moment problem can be posed and is solvable. A numberof examples investigated for which analytical solutions of optimal control problems obtained and their properties areanalyzed. Also the qualitative dynamics of the considered systems are studied.

Keywords: optimal control, moment problem, fractional derivative, fractional-order dynamical system, systems withlumped and distributed parameters.

Исследования систем дробного порядка с управлением составляют сегодня весомое направ-ление работ, сформировавшееся за последние 15-20 лет. В рамках этого направления известнонесколько основных подходов к исследованию задач оптимального управления, один из кото-рых основан на применении метода моментов. Такой подход позволяет построить эффективнуюпроцедуру синтеза оптимальных управлений, в том числе, в случаях когда управление не предпо-лагается непрерывной и/или дифференцируемой функцией и когда имеются явные ограниченияна норму оптимального управления [1]. При этом важной особенностью систем дробного по-рядка является то, что вид начальных и/или граничных условий, а также форма и свойстварешений начальной или краевой задачи для таких систем сильно зависят от выбора операторадробного дифференцирования, универсального определения для которого в настоящее время несуществует [2].

Большинство известных результатов в области оптимального управления системами дробногопорядка получено при использовании для дробной производной определений Римана-Лиувилляи Капуто, известны также результаты для случаев производных Рисса и Адамара. В даннойработе рассматривается применение метода моментов для систем дробного порядка как с сосре-доточенными, так и с распределёнными параметрами в случае, когда оператор дробного диф-ференцирования понимается в смысле Хильфера [3].

В качестве системы с сосредоточенными параметрами рассматривается линейная многомер-ная стационарная система следующего вида:

0Dρi

t qi(t) = aijqj(t) + bijuj(t) + fi(t), i, j = 1, ..., N, (1)

где функции ~q(t) = (q1(t), . . . , qN (t)), ~u(t) = (u1(t), . . . , uN (t)) и ~f(t) = (f1(t), . . . , fN(t)) опре-деляют состояние, управление и возмущение соответственно; t ∈ (0, T ], T > 0; aij и bij — ко-эффициенты; по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Оператор дробногодифференцирования 0D

ρi

t в формуле (1) понимается в смысле Хильфера [3], индекс ρi являетсясоставным, ρi = (αi, µi), αi ∈ (0, 1], µi ∈ [0, 1]. Управление ~u(t) считается элементом пространстваLp(0, T ], 1 < p <∞, или L∞(0, T ].

Начальные условия для системы (1) задаются в виде:

limt→0+

[0Iσi

t qi(t)] = s0i , i = 1, ..., N, (2)

где оператор дробного интегрирования 0Iσi

t понимается в смысле Римана-Лиувилля [2] с пока-зателем σi = (1− αi)(1− µi).

Конечные условия для системы (1) задаются в виде:

qi(T ) = qTi , i = 1, ..., N. (3)

Задача оптимального управления ставится в следующих двух разновидностях: 1) задача поис-ка управления ~u(t), переводящего систему (1) из заданного начального состояния, определяемогоусловиями (2), в заданное конечное состояние (3) и имеющего минимальную норму ‖~u(t)‖ призаданном времени управления T ; 2) задача поиска управления ~u(t), переводящего систему (1) иззаданного начального состояния, определяемого условиями (2), в заданное конечное состояние(3) за минимальное время T = T ∗ при условии ‖~u(t)‖ ≤ l, где число l > 0 задано.

www.kromsh.info 57

Можно показать, что обе разновидности поставленной выше задачи оптимального управлениядля исследуемой системы (1) сводятся к следующей l-проблеме моментов [4]: построить функцию~u(t) ∈ Lp(0, T ], p > 1, такую, что выполняются моментные равенства

T∫

0

~gn(τ)~u(τ)dτ = cn, n = 1, . . . , N, (4)

и условие

‖~u(t)‖ ≤ l, (5)

где ~gn(τ) ∈ L′p(0, T ], p′ > 1 – некоторые функции, 1/p+1/p′ = 1, cn – некоторые числа (моменты),

хотя бы одно из которых отлично от нуля.В работе рассматривается два частных случая системы (1): система общего вида, у которой

все показатели дробного дифференцирования одинаковы, αi = α∀i = 1, . . . , N ; система частноговида, представляющая собой цепочку интеграторов и содержащая управление только в послед-нем звене, aij = δi,j−1, bij = δi,N , fi(t) = 0. Для первой из систем демонстрируется, что проблемамоментов (4)-(5) может быть поставлена и является разрешимой при выполнении неравенства:

α >1

p. (6)

Для второй из систем условие, аналогичное (6), накладывается только на показатель αN . Полу-ченные условия идентичны таковым для системы (1), где оператор дробного дифференцированияпонимается в смысле Капуто [1], Римана-Лиувилля [5] или Адамара [6].

В данной работе получено общее аналитическое решение задач оптимального управления длясистемы (1) в одномерном случае, а случай двумерной системы рассмотрен на примере двойно-го интегратора. Исследованы свойства полученных решений, в частности, зависимости нормыоптимального управления и времени управления от показателей дробного дифференцирования.Для двойного интегратора вычислены границы области, в которой заключены допустимые тра-ектории системы, и фазовые траектории системы в режиме оптимального управления.

В качестве системы с распределёнными параметрами рассматривается система вида

0DρtQ(x, t) =

∂2Q(x, t)

∂x2+ f(x, t) + u(x, t), t ≥ 0, x ∈ [0, L], (7)

где Q(x, t) — состояние системы, f(x, t) — возмущение, u(x, t) — распределённое управление.Дробная производная понимается, как и выше, в смысле Хильфера с составным показателемρ = (α, µ), α ∈ (0, 1], µ ∈ [0, 1].

Начальные и граничные условия для уравнения (7):

limt→0+

[0Iσt Q(x, t)] = Q0(x), (8)

[bi∂Q(x, t)

∂x+ aiQ(x, t)

]

x=xi

= hi(t) + ui(t), t ≥ 0, i = 1, 2, (9)

где оператор дробного интегрирования 0Iσt понимается в смысле Римана-Лиувилля [2] с показа-

телем σ = (1− α)(1 − µ); ai и bi — постоянные коэффициенты, b1 ≤ 0, b2 ≥ 0; hi(t) — некоторыеизвестные вполне регулярные функции; x1 = 0, x2 = L.

Граничные управления u1,2(t) считаются элементами либо пространства Lp[0, T ], 1 < p < ∞,либо пространства L∞[0, T ]. Распределённое управление u(x, t) считается функцией из простран-ства L∞(Ω), Ω = [0, T ]×[0, L], либо функцией, интегрируемой со степенью p1 по пространственнойпеременной и со степенью p2 по временной, (1 < p1,2 <∞).

Конечные условия формулируются так, чтобы в некоторый момент времени T > 0 состояниесистемы (7) совпадало с заданным желаемым состоянием Q∗(x):

Q(x, T ) = Q∗(x), T > 0, x ∈ [0, L]. (10)

Для системы (7) с граничными условиями (9), как и выше для системы (1), ставятся две раз-новидности задачи оптимального управления: 1) задача поиска управлений u(x, t) и/или u1,2(t),таких, что система (7) перейдёт за заданное время T из заданного начального состояния, опре-деляемого выражениями (8), в заданное конечное состояние (10) и при этом норма управленийu(x, t) и/или u1,2(t) будет минимальна; 2) задача поиска управлений u(x, t) и/или u1,2(t), таких,что система (7) перейдёт за минимальное время T = T ∗ из заданного начального состояния,


определяемого выражениями (8), в заданное конечное состояние (10) и при этом будет выполне-

но условие ‖u(x, t)‖ ≤ l и/или ‖~U(t)‖ ≤ l, ~U(t) = (u1(t), u2(t)), где число l > 0 задано.В работе показано, что поставленные выше задачи могут быть сведены к форме обобщённой

счётномерной l-проблемы моментов, которая может быть поставлена и будет разрешимой привыполнении условия, совпадающего по форме с условием (6). Такое же условие было полученоранее для системы (7), где оператор дробного дифференцирования понимается в смысле Капуто[1].

Для системы (7) построено приближённое решение задач оптимального управления на осно-ве приближённого решения уравнения (7), позволяющего свести решение упомянутых задач кконечномерной l-проблеме моментов. Изучены свойства полученных решений.


[1] Kubyshkin V.A., Postnov S.S. The Optimal Control Problem for Linear Systems of Non-integer Order with Lumpedand Distributed Parameters / V.A. Kubyshkin // Discontinuity, Nonlinearity and Complexity. – 2015. – V.4, No. 4.– P. 429–443.

[2] Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. / A.A.Kilbas – Amsterdam: Elsevier, 2006. – 541 p.

[3] Hilfer R. Fractional Time Evolution / R. Hilfer // Applications of Fractional Calculus in Physics. – Singapore: WorldScientific, 2000. – P. 87–130.

[4] Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. / М.Г. Крейн – М.: Наука,1973. – 552 с.

[5] Kubyshkin V.A., Postnov S.S. Optimal Control Problem Investigation for Linear Time-Invariant Systems ofFractional Order with Lumped Parameters Described by Equations with Riemann-Liouville Derivative / V.A.Kubyshkin // J. Control Science and Engineering. – 2016. – V. 2016. – Paper 4873083 (12 pages).

[6] Постнов С.С. Задачи оптимального управления для линейных систем дробного порядка, заданных уравнени-ями с производной Адамара / С.С. Постнов // Доклады Академии наук. – 2017. – Т.476, 2. – С. 143–147.

УДК: 123.45.67

ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Постнова Е. А.

ИПУ РАН (Россия, Москва)


В работе рассматривалось два типа линейных систем дробного порядка: одномерная система общего вида идвумерная система частного вида - двойной интегратор. Исследованы задачи оптимального управления такимисистемами в случае, когда начальные и конечные условия имели параметрический вид, т.е. являются некото-рыми функциями, зависящими от временного параметра Т. Получены функции управления, проанализированызависимости нормы управления от показателей дробного дифференцирования и времени управления.

Ключевые слова: дробное исчисление, двойной интегратор, оптимальное управление, дробная производнаяКапуто.

CONTROL OF MOTION PROBLEMS FOR LINER DYNAMICAL SYSTEMSOF FRACTIONAL ORDER

Postnova Elena

Institute of control sciences of RAS (Russia, Moscow)

In this paper we consider two types of linear systems of fractional order: one-dimensional system of the general typeand two - dimensional system of the particular type - double integrator. The problems of optimal control of such systemsare studied in case of the initial and final conditions have a parametric form, i.e. they are some functions dependingon the time parameter T. The control functions are obtained, the dependencies of the control norm on the fractionaldifferentiation indices and control time were analyzed.

Keywords: fractional calculus, double integrator, optimal control, Caputo fractional derivative.

Дробное интегро-дифференциальное исчисление сейчас широко применяют для описания имоделироания управления динамическими системами. Новый математический аппарат позво-ляет учитывать наличие нелокальных зависимостей как пространственных, так и временных

www.kromsh.info 59

[1]. В данной работе исследуются задачи оптимального управления для двух типов линейныхдинамических систем нецелого порядка: одномерная система общего вида и двумерная систе-ма частного вида - двойной интегратор. В постановке задачи начальные и конечные условияимеют параметрический вид, т.е. являются некоторыми функциями, зависящими от временногопараметра Т. Были найдены функции управления с минимальной нормой и проанализирова-ны зависимости нормы управления от значений показателей дробного дифференцирования ивремени управления.

Одномерная система общего вида описывается уравнением следующего вида:

Ct0D

αt q(t) = aq(t) + bu(t),

где q(t) – фазовая координата системы; Dαt – оператор дробного дифференцирования, понима-

ется в смысле Капуто; u(t) – искомая функция управления, заданная в пространстве L∞[t0, T ];a, b – некоторые константы.

Двумерная система частного вида - двойной интегратор представляется в виде системы двухуравнений:

Ct0D

αt q1(t) = q2(t)

Ct0D

βt q2(t) = u(t),

где q1(t) и q2(t) – фазовые координаты системы, зависящие от времени t ∈ [t0, T ]; u(t) – искомаяфункция управления, заданная в пространстве L∞[t0, T ]; α и β – показатели дробного диффе-ренцирования, принимают значения на интервале (0, 1]; оператор дробного дифференцирования

Dαt и Dβ

t . Случай, когда u(t) ∈ L2[t0, T ] был рассмотрен в [2].Начальные и конечные условия имели параметрический вид, определяемый законами движе-

ния системы. Рассмотрено четыре различных случая, которые при α = 1 соответствуют переводусистем из состояния покоя в равномерное, равноускоренное и переодическое движения, а такжеиз равномерного движения в равноускоренное. Например, в последнем случае были выбраныпараметрические зависимости следующего вида:

q01 = t0

q02 = 1

qT1 = (T − t0)2 + (T − t0) + 1

qT2 = 2(T − t0) + 1

При решении поставленных задач для определения функции управления применялся метод мо-ментов [3], позволяющий в том числе работать с разрывными управлениями и рассматриватьявные ограничения на норму управления. На этапе поиска минимального значения функциитолько в системах второго типа при u(t) ∈ L∞[t0, T ] возникает трансцендентное уравнение, кор-ни которого были найдены графическим способом.

В результате проведённых исследований было построено явное аналитическое решение постав-ленной задачи оптимального управления движением. Исследовано поведение нормы и времениоптимального управления от показателей дробного дифференцирования и продемонстрирова-но, что во всех случаях перевода систем из состояния равномерного движения в равноуско-ренное норма управления имеет экстремум на малых временах (Т<1). Возможная физическаяинтерпретация этого наблюдения такова: существуют такие параметры, при которых внешнееуправляющее воздействие достигает минимального значения. Сравнение норм управлений длянеклассического и классического случаев (α = 1, β = 1) выявило резкое отличие в поведениисистем на малых временах и аналогичное - на больших.

Практическое применение результатов, полученных в данной работе, может привести к эко-номии энергетических затрат на управление всей системы в целом.


[1] Kilbas A., Srivastava H., Trujillo J. Theory and applications of fractional differential equations. / A. Kilbas. – NY:Elsevier, 2006. – 541 p.

[2] Постнова Е.А. Оптимальное управление движением системы, моделируемой двойным интегратором нецелогопорядка /Е.А. Постнова // Проблемы управления. – 2018. – 2. – С. 40–46.

[3] Кубышкин В.А., Постнов С.С. Задача оптимального управления линейной стационарной системой дробногопорядка: постановка и исследование. / В.А. Кубышкин // Автоматика и телемеханика. – 2014. – 5. – С.3–17.


УДК: 517.977

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМОЙ ПРИНАЛИЧИИ ПОМЕХИ

Ухоботов В. И., Никитина С. А.

Челябинский государственный университет (Россия, Челябинск)


В работе предложен один из подходов для решения задачи управления линейной дискретной системой. Получе-ны условия на множество начальных положений, при которых гарантируется выполнение требуемого включенияв момент окончания процесса управления.

Ключевые слова: дискретная система, многошаговая задача управления, многогранная область значенийуправления.

ON ONE PROBLEM OF CONTROLLING A DISCRETE SYSTEM WITHINTERFERENCE

Ukhobotov Victor, Nikitina Svetlana

Chelyabinsk State University (Russia, Chelyabinsk)

The article proposes one of the approaches for solving the control problem of a linear discrete system. Conditionsare obtained for a number of initial positions, under which the required inclusion is guaranteed at the time of the endof the control process.

Keywords: discrete system, multi-step control task, polyhedral control set.

Рассмотрим дискретный конфликтно-управляемый процесс

z(s+ 1) = z(s)− u(s) + v(s), (1)

где z ∈ Rn, v(s) ∈ V (s) ⊂ Rn, u(s) ∈ U(s) ⊂ Rn, s = 0, N.Здесь u — управление первого игрока, v — управление второго игрока. Считаем, что N ≥ 1 —

число шагов (длительность) процесса управления задано. Множество V (s) при каждом s = 0, Nявляется выпуклым компактом в Rn.

Предполагаем, что U(s) = A(α(s)). Здесь

A(y) =z ∈ Rn : 〈cj , z〉 ≤ yj , j = 1, q

. (2)

С помощью 〈c, z〉 обозначено скалярное произведение c и z в Rn, векторы cj ∈ Rn - заданы.Известно [1], что многогранник (2) не пуст тогда и только тогда, когда

y ∈ K =

y ∈ R

q :

q∑

j=1

λjyj ≥ 0 : ∀λj ≥ 0, j = 1, q;

q∑

j=1

λjcj = 0

.

Поэтому считаем, что α(s) ∈ K при всех s = 0, N .Предполагаем также, что при каждых y, y∗ ∈ K выполнено условие A(y+ y∗) = A(y) +A(y∗).Отметим, что в работе [2] приведены примеры многогранников, удовлетворяющих этому усло-

вию.Первый игрок стремится осуществить включение

z(N) ∈ A(β). (3)

Предполагаем, что β ∈ K. Второй игрок имеет противоположный интерес. Будем рассматри-вать управляемую систему с дискриминацией второго игрока. Требуется определить множествоначальных положений z(0), откуда первый игрок сможет осуществить включение (3).

Справедлива следующая лемма [2].

Лемма. Пусть A — многогранник вида (2), B — компакт в Rn, а bj = max 〈cj , z〉, где максимум

берется по z ∈ B, b = (b1, b2, . . . , bq). Тогда A∗− B = A(y − b), если y ∈ K.

www.kromsh.info 61

Введем оператор Ts, который каждому числу s = 0, N − 1 и каждому множеству Y ⊂ Rn

ставит в соответствие множество Ts(Y ), определяемое следующим образом. Точка z ∈ Ts(Y )тогда и только тогда, когда для любого управления v(s) ∈ V (s) существует управление u(s) ∈A(α(s)) такое, что z(s+ 1) = z − u(s) + v(s) ∈ Y . Тогда

Ts(Y ) = (Y +A(α(s)))∗− V (s).

Положим, что Ts(∅) = ∅.Обозначим

Ωm = Tm (Tm+1 (. . . TN−1(A(β)) . . .)) , m = 0, N − 1.

Множество начальных положений, откуда первый игрок сможет осуществить включение (3),запишется в виде Ω0.

Теорема. При любом m = 0, N − 1 верно

Ωm = A

(β +

N−1∑

p=m

(α(p)− b(p)))

при

β +

N−1∑

p=r

(α(p)− b(p)) ∈ K, ∀r = m,N − 1 (4)

и Ωm = ∅, если не выполнено хотя бы одно из включений (4) .

Таким образом, для того, чтобы из начального положения z(0) осуществить включение (3),должны выполняться неравенства

〈cj , z(0)〉 ≤ βj +N−1∑

p=0

(αj(p)− bj(p)) , j = 1, q,

q∑

j=1

λj · βj ≥ max

0; max

0≤m≤N−1

q∑

j=1

λj ·(

N−1∑

p=m

(bj(p)− αj(p))

) ,

∀λj ≥ 0, j = 1, q;

q∑

j=1

λjcj = 0.


[1] Пшеничный, Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи / Б. Н. Пшеничный. — М.: Мир, 1980. — 319 с.[2] Ухоботов, В. И. К построению стабильных мостов / В. И. Ухоботов // Прикладная математика и механика. —

1980. —Т. 44, — Вып. 5. — С. 934–938.

УДК: 517.982.256

ГЕОМЕТРИЯ ОСОБОГО МНОЖЕСТВА ФУНКЦИИ РАССТОЯНИЯДЛЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ

Царьков И. Г.

МГУ им. М. В. Ломоносова (Россия, Москва)


Для описания класса всех C1-решений уравнения эйконала на заданной области Ω ⊂ Rn требуется изучитьособые точки функции расстояния для их гиперповерхностей уровня. В данной работе изучаются геометрическиесвойства особого множества для произвольных гиперповерхностей в Rn.

Ключевые слова: уравнение эйконала, особые множества функции расстояния, геометрическая теория при-ближений.


GEOMETRICAL PROPERTIES OF SINGULAR SETS OFHYPERSURFACES

Tsarkov Igor

Moscow State University (Russia, Moscow)

In order to describe the class of all C1-smooth solutions of the eikonal equation on some open set Ω ⊂ Rn, it is oftenrequired to study the properties of its level surfaces. In this work we investigate geometrical properties of singular setsof approximated hypersurfaces, which is the closure of points of nondifferentiability of the metric function.

Keywords: eikonal equation, singular set, geometrical approximation theory.

Пусть M – произвольное замкнутое множество в банаховом пространстве X . Точка x ∈ X \Mназывается регулярной для множества M ⊂ X, если в некоторой окрестности O(x) метриче-ская проекция PM является однозначным непрерывным отображением. Отметим, что в случаеограниченно компактного множества M ⊂ X это равносильно условию, что все точки некото-рой окрестности O(x) являются точками единственности (т.е. для них существует единственнаяближайшая в M). Точки, не являющиеся регулярными или принадлежащие замыканию intM,будем называть особыми.

Заметим, что в строго выпуклых гладких конечномерных пространствах множество особыхточек замкнутого множества M является множеством, на котором нарушается непрерывнаядифференцируемость функции расстояния (x,M) := inf

y∈M‖y − x‖, в регулярных же точках

функция расстояния оказывается непрерывно дифференцируемой. Отметим также, что локаль-но C1-гладкое решение уравнения эйконала ‖∇u‖X∗ ≡ 1 на области Ω ⊂ X представляется ввиде ±(x,Γ) + C, где Γ – некоторая поверхность уровня решения u(x). Отсюда и возникаетзадача изучения взаимной геометрии гиперповерхности и ее особого множества. Геометрическиесвойства особых множеств функции расстояния и их связь с гладкостью решений уравненияэйконала можно посмотреть в работах [1]–[6].

Theorem 1. Пусть M – гиперповерхность в Rn, разделяющая пространство Rn ровно на двекомпоненты связности A1 и A2. Пусть E1 и E2 – особые множества для M в замыканиикомпонент A1 и A2 соответственно, размерность которых равна m1 и m2 соответственно.Тогда

1. Если E1 и E2 – пустые множества, то M является гиперплоскостью.2. Если E1 = ∅ (E2 = ∅), то гиперповерхность M является границей выпуклого тела, содер-

жащего множество E2 (E1).3. Если E1 и E2 непусты, то множество E2 ∪ ∞ содержит цикл размерности k1 > n −

m1 − 1, а множество E1 ∪ ∞ содержит цикл размерности k2 > n−m2 − 1.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 16-01-00295-a.


[1] Алимов А. Р., Царьков И.Г. Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения/ А.Р. Алимов, И.Г. Царьков // Успехи мат. наук. – 2016. – Т. 71, 1 (427), – С. 3-84.

[2] Царьков И.Г. Некоторые приложения геометрической теории приближения // ВИНИТИ РАН. Итоги нау-ки и техники. Серия "Современные математика и приложения. Тематические обзоры". Дифференциальныеуравнения и математический анализ. Москва. – 2017. – Т. 143. – C. 63–80.

[3] Tsar’kov I. G. Properties of C1-solution to the eikonal equation // Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2017. –V. 38, 4, – P. 763–766. DOI: 10.1134/S1995080217040217

[4] Tsar’kov I. G. Singular sets of surfaces// Russian Journal of Mathematical Physics. – 2017, – V. 24, 2, – P.263–271. DOI 10.1134/S1061920817020121

[5] Царьков И.Г. Некоторые приложения геометрической теории приближения / И.Г. Царьков // ВИНИТИ РАН.Итоги науки и техники. Серия "Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры". Диффе-ренциальные уравнения и математический анализ. Москва. – 2017. – Т. 143. – C. 60-73.

[6] Балаганский В.С. Необходимые условия дифференцируемости функции расстояния // Математические за-метки. – 2002. – Т. 72, 6. – C. 815–820.

www.kromsh.info 63

УДК: 517.977.1

О НЕЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХПОЛНОЙ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙСИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Цехан О. Б.

УО Гродненский государственный университет им. Янки Купалы (Беларусь, Гродно)


Для линейной стационарной сингулярно возмущенной системы с малым параметром при старшей производнойчасти переменных и с запаздыванием в медленных переменных состояния рассматривается задача полной иденти-фицируемости, под которой понимается возможность однозначного восстановления по доступной для наблюдениявыходной функции куска траектории системы длиной запаздывания на последнем наблюдаемом интервале. Наоснове двух методов (пространства состояний и невырожденной замены переменных) доказаны два типа неза-висящих от малого параметра и действительных для всех достаточно малых значений параметра достаточныхусловий идентифицируемости. Установлена связь между условиями, полученными разными методами.

Ключевые слова: сингулярно возмущенная система, малый параметр, запаздывание, полная идентифицируе-мость, достаточные условия.

ABOUT THE PARAMETER INDEPENDENT SUFFICIENT CONDITIONSOF COMPLETE IDENTIFIABILITY OF LINEAR STATIONARY

SINGULARLY PERTURBED SYSTEM WITH DELAY

Tsekhan Olga

Yanka Kupala State University of Grodno (Belarus, Grodno)

For a linear stationary singularly perturbed system with a small parameter at the highest derivative of the variablesand with a delay in the slow state variables, the problem of complete identifiability is considered. It means a possibilityof unique recovery a piece of the system’s trajectory, by the output observation function. On the basis of two methods(state space and non-degenerate variable substitution), the two types of valid for all sufficiently small values of parameterindependent on small parameter sufficient conditions of identifiability are proved. The connection between the conditionsobtained by different methods is established.

Keywords: singularly perturbed system, small parameter, delay, complete identifiability, sufficient conditions.

Рассматривается линейная стационарная сингулярно возмущенная система с запаздыванием(ЛССВСЗ)

x(t) = a10x(t) + a11x(t− h) + a2y(t), x ∈ R, y ∈ R,µy(t) = a30x(t) + a31x(t− h) + a4y(t), t ∈ T = [0, t1],x (0) = x0, y0(0) = y0, x(θ, µ) = φ(θ), θ ∈ [−h, 0) , x(θ, µ) ≡ 0, θ < −h,

(1)

с выходомv(t) = c1x(t) + c2y(t), t ∈ T, v∈R. (2)

Здесь aij , i = 1, 3, j = 0, 1, ak, k = 2, 4, cj, j = 1, 2, вещественные числа; 0 < h – постоянноезапаздывание; x0 ∈ R, y0 ∈ R, ϕ(θ) – неизвестные числа и неизвестная непрерывная функция; µ– малый параметр, µ ∈ (0, µ0], µ0 ≪ 1. Предположим, что a4 6= 0.

Определение. ЛССВСЗ (1) полностью x, y-идентифицируема по выходу (2) при фик-сированном µ ∈ (0, µ0] если для любой выходной функции v(t), t ∈ T, состояние

x, yt1(µ)def= (x(t, µ), y(t, µ); t ∈ [t1 − h, t1] системы (1), генерирующее этот выход, восстанав-

ливается однозначно.По параметрам ЛССВСЗ (1),(2) определим величины

asi∆= a1i − a2a

−14 a3i, i = 0, 1, cs0

∆= c1 − c2a−1

4 a30, cs1∆= −c2a−1

4 a31, σ, δ ∈ R : σas1 = 0, δcs1 = 0

и введем независящие от µ матричные функции комплексного аргумента p:

Ls(p)∆=

p− aso −as1

0 pσ − σas0

cso 00 δcso

, Ns(p)

∆=

[cs0 + cs1e

−ph

p− as0 − as1e−ph

], Nf (p)

∆=

[c2p− a4

],


L (p) =

p− a10 −a2 −a11 0−a30 −a4 −a31 00 0 p+ a10 a2

0 0 p+ a10 a2

c1 c2 0 00 0 c1 c2

, N (p) =

c1 c2p− a10 − a11e

−ph −a2

−a30 − a31e−ph −a4

.

Теорема 1 (достаточные условия по методу пространства состояний). Пусть выпол-нены условия

1. rank N(p) = 2 для любого комплексного pили

2.1. rank L(p) = 4 для некоторого комплексного p;

2.2. rank N(p) = 2 для любого комплексного p, для которого не выполнено 2.1.Тогда существует такое µ ∈

(0, µ0

]что ЛССВСЗ (1) полностью x, y-идентифицируема

по выходу (2) на интервале T при всех µ ∈ (0, µ].Доказательство теоремы основано на представлении ЛССВСЗ (1) в пространстве состояний,

использует условия полной идентифицируемости системы с запаздыванием из [1] и выполняетсяаналогично доказательству теоремы 4 из [2].

Применение метода пространства состояний позволяет получить оценку значений малого па-раметра, при которых теорема 1 справедлива. С этой целью для µ > 0 по параметрам ЛССВСЗ(1) и выхода (2) определим функциональные матрицы комплексных аргументов p, z, зависящиеот параметра µ:

P (z, µ) =

(c1 c2

c1 (a10 + a11z) + c2

(a30

µ + a31

µ z)

c1a2 + c2a4

µ

),

L(p, µ) =

p− a10 −a2 −a11 0−a30 pµ− a4 −a31 00 0 pa31 + a10a31 − µa11 −pµa11 + a2a31 − µa11a4

0 0 pa31 + a10a31 − µa11 −pµa11 + a2a31 − µa11a4

c1 c2 0 00 0 c1 c2

.

Обозначим ΠP (z, µ) = detP (z, µ), через ΠL (p, µ) – наибольший общий делитель миноров

порядка 4 матрицы L(p, µ), а через ΠN (p, z, µ) = det

(p− a10 − a11z −a2

−a30 − a31z pµ− a4

). Заметим, что

ΠP (z, µ), ΠN (p, z, µ) имеют вид функций Π(z, µ) , D (p, z, µ) из [3].Аналогично [2] можно доказать, что в теореме 1 можно принять

µ = minµ0,min

µ > 0 : ΠL (p, µ) = 0,ΠP (z, µ) = 0, e−ph = z

.

Теорема 2 (достаточные условия по методу невырожденной замены). Если выпол-няются условия:

1s. rank Ns(p) = 1 для всех комплексных p;1f. rank Nf (p) = 1 для всех комплексных p;или2. rank Ls(p) = 2 по крайней мере для одного комплексного p;1s. rank Ns(pi) = 1 всякий раз, когда rank Ls(pi) < 2,и условие 1f,

то ЛССВСЗ (1) полностью x, y-идентифицируема по выходу (2) для всех достаточно малыхµ ∈

(0, µ0

].

Доказательство теоремы основано на методе расщепления ЛССВСЗ (1) с помощью невырож-денной замены переменных из [4], использует условия полной идентифицируемости системы сзапаздыванием по выходу, аналогичные [1], свойства спектра ЛССВСЗ (1) [4] и может бытьвыполнено аналогично [5].

Теорема 3 (о связи условий теоремы 1 и теоремы 2). Если выполнены условия теоремы2, то для достаточно малых µ ∈

(0, µ0

]выполняются условия теорeмы 1.

Доказательство. Определим невырожденную функциональную матрицу T(µ, e−ph

)=(

1 µH(µ, e−ph

)

−L(µ, e−ph

)1− µL

(µ, e−ph

)H(µ, e−ph

))

, где H(µ, e−ph

), L

(µ, e−ph

)– зависящие от па-

раметра функциональные матрицы, которые удовлетворяют матричным уравнениям:

www.kromsh.info 65

A3 −A4L+ µLA 1 − µLA2L = 0,µ (A1 −A2L)H −H (A4 + µLA2) +A2 = 0.

(3)

Умножая справа функциональную матрицу N (p) на T(µ, e−ph

)и выполняя затем несложные

эквивалентные преобразования с учетом (3) получим матрицу:

N1 (p, µ) =

cs0 + cs1e−ph +O (µ) c2 +O (µ)

p− as0 − as1e−ph +O (µ) O (µ)

O (µ) −a4 +O (µ)

, (4)

ранг которой, очевидно, при достаточно малых µ и любом комплексном p равен рангу N (p).Покажем, что если выполнены условия 1s, 1f теоремы 2, то для достаточно малых µ ∈

(0, µ0

]

выполняется условие 1 теорeмы 1.Из 1f имеем c2 6= 0. С учетом вида матрицы N1 (p, µ), сохранения ранга матрица при малых

аддитивных возмущениях ее элементов, отсюда имеем rankN1 (p, µ) = 2 для достаточно малыхµ и любого p, для которого

[p− as0 − as1e

−ph]6= 0.

Для любого p, для которого[p− as0 − as1e

−ph]

= 0 из 1s имеем cs0 + cs1e−ph 6= 0, и с учетом

a4 6= 0 и вида матрицы N1 (p, µ) имеем также rankN1 (p, µ) = 2 для достаточно малых µ.

С учетом совпадения рангов матриц N (p) , N1 (p, µ) для любого комплексного p убеждаемся,что из достаточных условий спектральной наблюдаемости 1s, 1f теоремы 2 при достаточно малыхµ следуют достаточные условия спектральной наблюдаемости ЛССВСЗ (1),(2) 1 из теоремы 1.

Аналогично можно убедиться, что если выполнены условия 1f и 2 теоремы 2, то при доста-точно малых µ выполнено условие 2.1 теоремы 1. Теорема 3 доказана.

Таким образом установлено, что применение обоих методов (пространства состояний и невы-рожденной замены переменных) для ЛССВСЗ вида (1),(2) позволяет получать независящие отмалого параметра и справедливые для всех достаточно малых значений параметра достаточ-ные условия полной x, y-идентифицируемости. Применение метода невырожденной заменыпеременных более ограничено, поскольку, в отличие от метода пространства состояний, требуетвыполнения условия deta4 6= 0. При этом из условий, полученнных методом невырожденной за-мены переменных, следуют (при достаточно малых значениях параметра) условия, полученныепо методу пространства состояний, а значит, последние более сильные. Вместе с тем, условияпо методу пространства состояний требуют проверки полноты ранга матриц большего размера,чем по методу невырожденной замены переменных.

Результаты этой работы легко могут быть обобщены на ЛССВСЗ вида (1),(2) где aij ,i = 1, 3, j = 0, 1, ak, k = 2, 4, cj, j = 1, 2, – матрицы подходящих размеров.

Благодарность. Работа поддержана в рамках государственной программы научных иссле-дований Республики Беларусь "Конвергенция-2020"(шифр задания 1.3.02").


[1] Minyuk S. On observability of linear stationary system with time delay / S.Minyuk, O.Tsekhan // Proceedingsof the 14th International Conference on Systems Science. V.1. Systems Theory, Control Theory. 11-14 September2001,Wroclaw, Poland. P. 197-202.

[2] Цехан, О.Б. Условия полной наблюдаемости линейных стационарных сингулярно возмущенных систем второгопорядка с запаздыванием / О.Б. Цехан // Веснiк ГрДУ iмя Янкi Купалы. Сер 2. Матэматыка....– 2014. – 1(170). – С.53-64.

[3] Цехан, О.Б. О свойствах решений одной системы уравнений, зависящих от параметра / О.Б. Цехан // ВеснiкГрДУ iмя Я. Купалы. Серия 2. – 2012. 3. – С.60-72.

[4] Цехан, О.Б. Расщепляющее преобразование для линейной стационарной сингулярно возмущенной системы сзапаздыванием и его применение к анализу и управлению спектром / О.Б. Цехан // Веснiк ГрДУ iмя ЯнкiКупалы. Сер 2. Матэматыка....– 2017. Т.7, 1. – С.50-61.

[5] Tsekhan, O.B. Sufficient conditions of the complete x,y-observability based on decomposition of 2-order linearstationary singularly perturbed system with delay / O.B. Tsekhan // Еругинские чтения-2018 : в 2 ч. Ч. 1:материалы Международной научной конференции. Гродно, 15-18 мая 2018 г. – Мн.: Институт математикиНАН Беларуси. – 2018. – С.137-138.


УДК: 517.977

О КЛАССАХ СТРАТЕГИЙ УБЕГАНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХИГРАХ

Югай Л. П.

Филиал НИТУ «МИСиС» (Узбекистан, Алмалык)


Дается обзор различных классов стратегий, разрешающих задачу убегания в дифференциальных играх. Опи-сывается новый класс кусочно-инерциальных стратегий,примененных для решения задачи убегания в линейныхдифференциальных играх.

Ключевые слова: дифференциальнае игра,убегание, стратегия убегания.

ABOUT CLASSES STRATEGIES OF EVASION IN DIFFERENTIAL GAMES

Yugai Lev

NUST “MISIS” (Uzbekistan, Almalyk)

The survey of different sets of strategies, solving the evasion problem in differential games is represented. The newclass of peace-wise inertial strategies of evasion is introduced.

Keywords: differential game, evasion, strategy of evasion.

В постановке Л. С. Понтрягина Е. Ф. Мищенко [1] рассматривается задача уклонения от за-данного терминального множества траекторий динамической системы, описываемой линейнымиобыкновенными дифференциальными уравнениями. Управления выбираются двумя сторонами(игроками), имеющими противоположные цели. Такие задачи конфликтного управления назы-вают еще дифференциальными играми уклонения(убегания).

Процесс уклонения траекторий от терминального множества на бесконечном интервалевремени зависит от выбора классов стратегий,из которых выбираются конкретные управле-ния,обеспечивающие решение задачи уклонения.

Под стратегией игроков понимается способ формирования управления в каждый момент вре-мени. В свою очередь, выбор классов стратегий определяется информационной обеспеченностьюигроков, участвующих в дифференциальной игре. Игроки при выработке стратегий или управ-ления убегания могут использовать информацию о текущей позиции, значениях управлений вданный (или прошлый) момент времени и т.д.

В теории дифференциальных игр рассматривается широкий спектр стратегий уклонения (убе-гания): программные и позиционные стратегии, квазистратегии (стробоскопические и контрстра-тегии), позиционные и контрстратегии, и т.д.

В докладе представляется новый класс стратегий убегания, названный классом кусочно-инерциальных стратегий, порождающий кусочно-инерциальные управления, обеспечивающиерешение линейных дифференциальных игр убегания из всех допустимых начальных точек.

Кусочно-инерциальные управления являются естественным обобщением кусочно-постоянныхуправлений, широко применяемых при исследовании задач убегания. Методы исследования ли-нейных дифференциальных игр в классе кусочно-инерциальных управлений нетрудно обобщитьна квазилинейные дифференциальные игры убегания.


[1] Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Задача убегания одного управляемого объекта от другого / Л.С.Понтрягин,Е.Ф.Мищенко // ДАН СССР – 1969. Т.189, 4.- С.721-723.

www.kromsh.info 67

ABOUT THE ERROR OF APPROXIMATION OFCONVEX COMPACTA IN Rn

Balashov Maxim

V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences (Russia, Moscow)


We denote by f ′(p) an arbitrary subgradient of the function f : Rn → R at p ∈ Rn, i.e.

f ′(p) ∈ ∂f(p) = x ∈ Rn | f(q) ≥ f(p) + (x, q − p), ∀q ∈ Rn.

The Hausdorff distance between two subsets A,B ⊂ Rn is defined as follows h(A,B) =

= max

supa∈A

infb∈B‖a− b‖, sup

b∈Binfa∈A‖a− b‖

= infr > 0 | A ⊂ B +Br(0), B ⊂ A+Br(0).

For any subadditive function f define the sets

Of = p ∈ ∂B1(0) | f(p) = cof(p), Cf = ∂B1(0)\Of . (1)

Let δ > 0 and w : [0, δ] → R, where the function w(t) ≥ 0 is nondecreasing for all t ∈ [0, δ] andlim

t→+0w(t) = w(0) = 0. We shall say that a subadditive function f : Rn → R is uniformly continuously

subdifferentiable (ucs) with modulus w on the set Of (1) if for any p ∈ Of , for any f ′(p) ∈ ∂f(p) andfor any q ∈ Bδ(p) ∩ ∂B1(0) we have

f(q)− f(p)− (f ′(p), q − p) ≤ w(‖q − p‖).

Let f : Rn → R be a subadditive function and let cof(p) = maxa∈A

(p, a) for some convex compact

subset A ⊂ Rn. Note that

A = x ∈ Rn | (p, x) ≤ f(p), ∀ p : ‖p‖ = 1.

Put

A = x ∈ Rn | (p, x) ≤ f(p), ∀p ∈ G,where G is a grid on the unit sphere with the step ∆.

Theorem 1. Let f : Rn → R be a subadditive function which is ucs with modulus w on the set Of

and there exist constants R ≥ r > 0 with

r‖p‖ ≤ f(p) ≤ R‖p‖, ∀p ∈ Rn.

Let G be a grid with step ∆ ∈ (0, 12 minδ, 1) (here δ is from definition of ucs). Then

h(A, A

)≤ R

r

w(∆)

1− ∆2

2

.

If the function f is convex, then

h(A, A

)≤ w(∆)

1− ∆2

2

.

Let f be a convex subadditive function and the function w is the best possible (in certain sense)in the definition of ucs. Define

ε(∆) = supGh(A, A

),

where G is a grid on the unit sphere with the step ∆. Then

ε(∆) ≥ 1

4w

(∆

4

)

for small ∆ > 0.


References

[1] Balashov M. V., About polyhedral approximations in n-dimensional space, Computational Mathematics andMathematical Physics, 2016, 56:10, 1695–1701.

MSC2010: 35R30; 35R02; 35P30

INVERSE SPECTRAL PROBLEM FOR THE ONE-DIMENSIONAL DIRACSYSTEM ON GRAPHS

Mikhaylov Alexander, Mikhaylov Victor, Murzabekova Gulden

St. Petersburg Department of V. A. Steklov Institute of Mathematics of the Russian Academy ofSciences (Russia, Saint-Petersburg),

S. Seifullin Kazakh Agrotechnical University (Kazakhstan, Astana)

E-mail: [email protected]; [email protected]; [email protected]

We consider the inverse dynamic and spectral problems for the one dimensional Dirac system on a finite tree. Ouraim will be to recover the topology of a tree (lengths and connectivity of edges) as well as matrix potentials on eachedge. As inverse data we use the Weyl-Titchmarsh matrix function or the dynamic response operator.

Keywords: quantum graph; metric graph; regularity; controllability; control problems for trees.

Let Ω be a finite connected compact graph without cycles (a tree). The graph consists of edgesE = e1, . . . , eN connected at the vertices V = v1 . . . , vN+1. Every edge ej ∈ E is identified withan interval (0, lj) of the real line. The edges are connected at the vertices vj which can be consideredas equivalence classes of the edge end points, we write e ∼ v if the vertex v is a boundary of the edge

e. The boundary Γ = v1, . . . , vm of Ω is a set of vertices having multiplicity one (the exterior nodes).In what follows we assume that one boundary node (say vm) is clamped, i.e. zero Dirichlet boundarycondition is imposed at vm, and everywhere below we will be dealing with the reduced boundary

Γ = Γ\vm. Since the graph under consideration is a tree, for every a, b ∈ Ω, a 6= b, there exists theunique path π[a, b] connecting these points.

For simplicity of the formulation of the balance conditions at the internal vertexes, we introducethe special parametrization of Ω: we assume that at any internal vertex all the edges connected at ithave this vertex as start point or as end point. We assume that clamped vertex vm is the start pointof the edge em, which fix the parametrization.

Let J :=

(0 1−1 0

), at each edge ei we are given with a real matrix-valued potential Vi =

(pi qiqi −pi

), pi, qi ∈ C1(ei). The space of real vector valued square integrable functions on the graph

Ω is denoted by L2(Ω) :=⊕N

i=1 L2(ei,R2). For the element U ∈ L2(Ω) we write

U :=

(u1

u2

)=

(u1

i

u2i

)N

i=1

, u1i , u

2i ∈ L2(ei).

The continuity condition at the internal vertexes reads:

u1i (v) = u1

j(v), ei ∼ v, ej ∼ v, v ∈ V \Γ. (1)

The second condition (force balance) at the internal vertex v is introduced as∑

i|ei∼v

u2i (v) = 0, v ∈ V \Γ. (2)

We put Ψ :=

(ψ1

ψ2

)∈ L2(Ω), ψ1

i , ψ2i ∈ H1(ei) and introduce the operator

LΨ :=

Jd

dx

(ψ1

i

ψ2i

)+ Vi

(ψ1

i

ψ2i

), x ∈ ei

with the domain

D(L) =

Ψ ∈ L2(Ω)∣∣∣ψ1

i , ψ2i ∈ H1(ei), Ψ satisfies (1), (2), ψ1(v) = 0, v ∈ Γ

www.kromsh.info 69

By S we denote the spectral problem on the graph:

JΨx + VΨ = λΨ x ∈ ei, (3)

Ψ satisfies (1), (2) at v ∈ V \Γ (4)

ψ1(v) = 0 for v ∈ Γ, (5)

We introduce the Titchmarsh-Weyl (TW) matrix-function as an analog to Dirichlet-to-Neumannmap [1, 3, 3] in the following way: for λ /∈ R and ξ ∈ Rm−1 we consider the problem (3), (4) with thenonhomogeneous boundary condition:

ψ1(vi) = ξi, i = 1, . . . ,m− 1. (6)

The TW matrix function connects the values of the solution Ψ(·, λ) to (3), (4), (6) in the first andsecond channels at the boundary :

ψ2(·, λ)|Γ = M(λ)ψ1(·, λ)|Γ,(ψ2(v1, λ), . . . , ψ

2(vm−1, λ))T

= M(λ) (ξ1, . . . , ξm−1)T. (7)

The inverse problem for the problem S is to recover the tree Ω, i.e. connectivity of edges and theirlengths, and parameters pi, qi on edges ei from M(λ).

Along with the spectral, we consider the dynamic inverse problem. We introduce the outer spaceFT

Γ := L2([0, T ],Rm−1), the space of controls acting on the reduced boundary of Ω. The forwardproblem is described by the Dirac system on the each edge of the tree:

iUt(x, t) + JUx(x, t) + V (x)U(x, t) = 0 x ∈ ei, t > 0, (8)

conditions at internal vertexes:

U(v, t) satisfies (1), (2) for all t > 0, v ∈ V \Γ, (9)

Dirichlet boundary conditions:

U1|Γ = F, on Γ× [0, T ], (10)

where F =(f1(t), . . . , fm−1(t)

)T ∈ FTΓ , and (10) means that

(u1(v1, t), . . . , u

1(vm−1, t)T

=(f1(t), . . . , fm−1(t)

)T. By D we denote the dynamic problem on Ω, described by system (8),

compatibility conditions (9) at all internal vertices for all t > 0, Dirichlet boundary condition (10)and zero initial condition U(·, 0) = 0. The solution to this problem is denoted by UF . We introducethe response operator for the problem D by

RT F(t) := u2(·, t)|Γ, t ∈ [0, T ]. (11)

In other words, RT connects values of the solution UF to the problem D in the first and the

second channels at the boundary:(RT(f1(t), . . . , fm−1(t)

)T)(t) =

(u2(v1, t), . . . , u

2(vm−1, t))T

. The

operator RT has a form of convolution:

(RTF

)(t) = (R ∗ F ) (t) =

t∫

0

R(t− s)F (s) ds,

where R(t) = Rijm−1i,j=1 is a response matrix. The entries Rij(t) are defined in the following way: let

Ui be a solution to the boundary value problem (8), (9), Ui(·, 0) = 0 with special boundary condition(10) where F = (0, . . . , δ(t), . . . , 0)T with only nonzero element at i−th place. Then

Rij(t) = u2i (vj , t). (12)

The inverse problem for the problem D is to recover the tree (connectivity of the edges and theirlengths) and the matrix potential on edges from the response operator RT (t), t > 0 (11).

The connection between spectral and the dynamic inverse data is known [1, 3, 3] and was used forsolving inverse spectral and dynamic problems. Let F ∈ FT

Γ ∩ (C∞0 (0,+∞))m−1 and

F (k) :=

∞∫

0

F (t)eiktdt

be its Fourier transform. The systems (3) and (8) are clearly connected: going formally in (8) over tothe Fourier transform, we obtain (3) with λ = k. It is not difficult to check that the response matrix


function R(t) and TW matrix function M(λ) (Nevanlinna type matrix function) are connected by thesame transform:

M(k) =

∞∫

0

R(t)eiktdt (13)

where this equality is understood in a weak sense. We use this relationship between dynamic andspectral data solve the inverse problem from either M(k) or R(t), t > 0.

We will use the Boundary Control method [4], first applied to the problems on trees in [5, 6] and itsmodification, so called leaf-peeling method introduced in [1] and developed in [3, 3, 4]. This method,as it follows from its name is connected with the controllability property of the dynamical systemunder the consideration. The general principal [4] says that better controllability of dynamical systemleads to better identifiability. Introduce the control operator : WT : FT

Γ 7→ L2(Ω) acting by the rule:

WTF := UF (·, T ).

For the wave equation on a tree [5, 6] the corresponding control operator is boundedly invertiblefor certain values of time. For the two-velocity system [3, 8] the corresponding operator is notinvertible, but at least there is some "local"controllability. But for the Dirac system there are noeven "local"controllability, the latter causes the consequences for the inverse problem. To overcomethis difficulty, we will use some ideas from [9]. In [3] the authors developed purely dynamic version ofthe leaf-peeling method for the inverse problem for the wave equation with potential on a finite tree,which allows one to solve the inverse problem using RT for some finite T. We are planning to returnto this (optimal in time) setting for a Dirac system on a tree elsewhere.

On analyzing the reflection of a wave propagating from a boundary from an inner vertex, we obtainthe length of boundary edge. On the next step, using the method from [9], we find pi, qi, for boundaryedges ei (i.e. ei ∼ vi, i = 1, . . . ,m − 1). Then we determine sheaf – a star-shaped subgraph of Ω,consisting of boundary edges e1, . . . , em0 and only one non-boundary edge. And on the last step we

consider the new tree: Ω\ ∪m0

i=1 ei and recalculate the Weyl-Titchmarsh matrix M(λ) for this reducedtree.

The research was supported by the Ministry of Education and Science of Republic of Kazakhstan,grant no. AP05136197.

References

[1] Avdonin S.A., Kurasov P.B., Inverse problems for quantum trees, Inverse Probl. Imag. (2008), 2(1), 1–21.[2] Avdonin S.A., Mikhaylov V.S., Nurtazina K.B., On inverse dynamical and spectral problems for the wave and

Schrodinger equations on finite trees. The leaf peeling method, Zapiski Seminarov POMI. (2015), 438, 7-21.[3] Avdonin S.A., Choque Rivero A., Leugering G., Mikhaylov V.S., On the inverse problem of the two-velocity tree-like

graph, Journal of Applied Mathematics and Mechanics (Wiley) (2015), 95(12), 1490-1500.[4] Belishev M.I., Recent progress in the boundary control method, Inverse Problems (2007), 23 (5), 1–67.[5] Belishev M.I., Boundary spectral inverse problem on a class of graphs (trees) by the BC method, Inverse Problems

(2004), 20, 647–672.[6] Belishev M.I., Vakulenko A.F., Inverse problems on graphs: recovering the tree of strings by the BC-method, Inverse

Ill-posed Probl. Ser. (2006), 14, 29–46.[7] Avdonin S. A., Murzabekova G.Y., Nurtazina K. B., Source Identification for the Differential Equation with Memory,

In book: Trends in Mathematics. Research Perspective. - Basel: Springer International Publishing AG (2017), 111–120.

[8] Avdonin S.A., Blagovestchensky A.S., Choque Rivero A., Mikhaylov, Dynamic inverse problem for two-velocitysystems on finite trees, Proceedings I-EEE Annual Conference Days on Diffraction (2016), 25-31.

[9] Belishev M.I., Mikhaylov V.S., Inverse problem for one-dimensional dynamical Dirac system (BC-method), InverseProblems (2010), 26 (4), 045009, 19 pp. 2010.

www.kromsh.info 71

MSC2010: 93B05; 93B15; 35P10; 35R30

INVERSE PROBLEMS WITH A FINITE NUMBER OF DISTRIBUTEDPARAMETERS FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON GRAPHS

Nurtazina Karlygash

L. N. Gumilyov Eurasian National University (Kazakhstan, Astana)


This paper extends the methodology of [1, 2] to the wave equation with unknown potential and source distributedparameters defined on a general graph. In fact, this paper completes the theoretical justification of inverse problemswith a finite number of distributed parameters for partial differential equations on graphs. For the graph-tree all casesof identification and topology, and lengths of edges, and potential, and source are analyzed. Theorems on controllabilityand identifiability in inverse problems with a finite number of distributed parameters on a graph-tree are proved on thebasis of ideas of [3, 4, 5].

Keywords: inverse problems; boundary control method; metric tree graph; inverce source; wave equation.

Let Ω = E∪V be a finite compact metric tree graph, where E = e1, e2, . . . , eN is a set of N edges(branches) and V = ν1, ν2, . . . , νM is a set of M vertices. A graph is called a metric graph if everyedge ej ∈ E is identified with an interval of the real line with positive length lj. It is a tree graphif the graph has no cycles. By graph in this report we will always mean a finite metric tree graph.The edges are connected at the vertices νj that can be considered as equivalence classes of the edgeend points. Let γ1, . . . , γm = ∂Ω ⊂ V be the boundary vertices, i.e. if the index of a vertex, id(ν),is the number of edges incident to it, then ∂Ω = ν ∈ V |id(ν) = 1. We assume that no vertex hasindex 2 or else we can consider an equivalent graph with two incident edges as a single edge. HenceV \ ∂Ω = ν ∈ V |id(ν) > 2.

We consider a subgraph of Ω which is a star graph consisting of all edges incident to an internalvertex ν. This star graph is called a sheaf if all but one of its edges are the boundary edges of Ω. Itis known that every tree contains at least one sheaf.

Now our problem is

utt − uxx + q(x)u = g(t)h(x) for (x, t) ∈ Ω \ V × (0, T )u|t=0

= ut |t=0= 0 on Ω

(1)

with the Kirchhoff-Neumann (KN) matching conditions∑

ej∼ν ∂uj(ν, t) = 0 for all ν ∈ V \ ∂Ω, t ∈ [0, T ]

u ∈ C(Ω) for t ∈ [0, T ](2)

and boundary conditions

∂u|∂Ω= f = colf1, . . . , fm for t ∈ [0, T ], f ∈ FT . (3)

Here FT = L2([0, T ]; Rm) and H = L2(Ω). In (2) and below ∂uj(ν, ·) denotes the derivative of u atvertex ν taken along the edge ej in the direction outwards from the vertex. Also, ej ∼ ν means edgeej is incident to vertex ν, and the sum is taken over all edges incident to ν.

Theorem 1. If f, g ∈ FT , q, h ∈ H, then for any t ∈ [0, T ], u = uf (·, t) ∈ H and uf ∈ C([0, T ];H1),where uf is a generalized solution of (1)-(3).

Our inverse problem is to recover functions q and h on Ω from the boundary observations u|∂Ω. As

inverse data we use the response operator for the system (1)-(3), RT = RTijmi,j=1, defined on FT by

(RT f)(t) = uf(x, t)|∂Ω .

The main result of the paper is the following theorem. We introduce the diameter of the graph:diam (Ω)

.= maxj,k=1,...,m, j 6=k dist (γj , γk).

Theorem 2. The operator RT : FT → FT , assumed known for any T > diam (Ω), uniquelydetermines the graph topology, lengths of the edges, the potential q and source h on the graph.


The problem now is to recover function q from the observations y|∂Ωvia ‘edge pruning’ or, in other

words, a ‘leaf peeling’ method.The eigenvalue problem associated with is

(Lφ)(x).= −d

2φ

dx2+ q(x)φ = λφ , in Ω \ V (4)

with domain D(L) = H2, which is the space of continuous functions z on Ω such that z|e ∈ H2(e)for every e ∈ E, satisfying the KN conditions at the internal vertices, and Neumann conditions atthe boundary vertices. The spectrum of the operator is purely discrete, with each Sturm-Liouvilleoperator having an infinite, non-decreasing sequence of eigenvalues tending to +∞: λk → ∞ andcorresponding eigenvectors Ψk are chosen such that that

∫Ω ΨkΨl dx = δkl. We introduce the vectors

Rm ∋ ζk := Ψk|∂Ω. With (4) we associate the spectral data, the set of pairs:

λk, ζk∞k=1 .

The eigenvalue problem has no solution for λ /∈ R. Therefore, equation has a unique solutionsatisfying the KN matching conditions at the internal vertices and nonzero boundary conditions atthe graph boundary; that is, φ = φi(x) satisfies

φ′(γi) = 1 , and φ′ = 0 on ∂Ω \ γiThen the m×m matrix M(λ) with entries

Mij(λ) = φi|γj, i, j = 1, . . . ,m

is called the Titchmarsh-Weyl (TW) matrix function.Let φ = φf (x, λ) be a solution to (4) satisfying (2) at all internal vertices, and the boundary

conditions ∂φf (γj , λ) = fj , j = 1, . . . ,m. Then the TW function allows us to calculate

φf |∂Ω = M(λ)f

The response operator RT and TW-function M(λ) are connected with each other by the Fourier-Laplace transform. Therefore, knowledge of M(λ) allows finding RT for all T > 0; and knowledge ofRT for all T > 0 allows finding M(λ). The response operator known for some finite T carries lessinformation (in the general case) than does M(λ).

The important result of the boundary control method is that the response operator known for Tgreater or equal controllability time of a system allows to reconstruct the TW function. The sametechniques allows to extend this result to our case with Neumann boundary conditions. The controloperator is introduced by

WT : FT 7→ H, WT f := yft (·, T ).

The fact that system is exactly controllable (by the second component, velocity) for T > diam (Ω)can be proved similarly to the corresponding result for the system with Dirichlet boundary control:

Theorem 3. If T > 12 diam(Ω) then for any a ∈ H there exist f ∈ FT such that WT f = a.

The operator(WT

)∗: H 7→ FT acts by the following rule: let for a ∈ H va be a solution to the

following problemvtt − vxx + q(x)v = 0 for (x, t) ∈ E × (0, T )v|t=T = a, vt|t=T = 0,

then (WT

)∗a = −va|∂Ω×(0,T ). (5)

We observe also that

vΨk = Ψk(x) cos√λk(t− T ),

(WT

)∗Ψk = −γk cos

√λk(t− T ). (6)

We introduce the connecting operator CT : FT 7→ FT by its quadratic form, for f, g ∈ FT we define(CT f, g

)FT =

(WT f,WT g

)H

=(yf

t (·, T ), ygt (·, T )

)H

Let us introduce the operators ST : FT 7→ F2T and J2T : F2T 7→ F2T acting by the rules:

(STF

)(t) =

F (t), 0 6 t < T,F (2T − t), T 6 t 6 2T,

(J2TF

)(t) =F ′(s).

The important fact widely used in the BCM is that CT can be expressed in terms of inverse data.

www.kromsh.info 73

Theorem 4. The connecting operator admits the representation in terms of inverse dynamical data:

CT = −1

2

(ST)∗J2TR2TST , (7)

This research was supported by the Ministry of Education and Science of Republic of Kazakhstanunder the grant No. AP05136197.

References

[1] Avdonin S.A., Kurasov P.B., Inverse problems for quantum trees. Inverse Problems and Imaging, 2(1) (2008), 1–21.[2] Avdonin S, Nicaise S., Source identification problems for the wave equation on graphs. Inverse Problems, 31, 095007

(2015), 29 pp.[3] Avdonin S.A., Mikhaylov V.S., Nurtazina K.B., On inverse dynamical and spectral problems for the wave and

Schroedinger equations on finite trees. The leaf peeling method, J. Mathematical Sciences, 224(1) (2017), 1–10.[4] Avdonin S. A., Murzabekova G.Y., Nurtazina K. B., Source Identification for the Differential Equation with Memory,

In book: Trends in Mathematics. Research Perspective. - Basel: Springer International Publishing AG (2017), 111–120.

[5] Avdonin S. A., Bell J., Nurtazina K. B., Determining distributed parameters in a neuronal cable model on a treegraph, Mathematical Methods in Applied Sciences, 40 (11) (2017), 3973 – 3981.


Секция 6. Численный анализ и приближенные методыУДК: 519.63

ГИБРИДНЫЕ БИКОМПАКТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА НА ДЕКАРТОВЫХ СЕТКАХ

С АДАПТИВНЫМ ИЗМЕЛЬЧЕНИЕМ

Брагин М. Д.

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН,Московский физико-технический институт (государственный университет) (Россия, Москва)


В настоящей работе излагаются основные идеи реализации гибридных бикомпактных схем на декартовыхсетках с адаптацией к решению. Предлагается новый, более общий критерий измельчения и объединения ячеек.Построенный численный метод проверяется на ряде тестовых задач, в том числе на задаче о распространенииволны детонации.

Ключевые слова: уравнения гиперболического типа, гибридные схемы, бикомпактные схемы, декартовы сетки,адаптивное измельчение сетки, газовая динамика, химические реакции, волны детонации.

HYBRID BICOMPACT SCHEMES FOR HYPERBOLIC EQUATIONSON CARTESIAN GRIDS WITH ADAPTIVE MESH REFINEMENT

Bragin Michael

Keldysh Institute of Applied Mathematics,Moscow Institute of Physics and Technology (State University) (Russia, Moscow)

In this work, the main ideas for implementation of hybrid bicompact schemes on cartesian grids with adaptive meshrefinement are described. A new, more general criteria of cell refinement and coarsening is proposed. The designednumerical method is verified on a number of test problems, including the propagating detonation wave problem.

Keywords: hyperbolic equations, hybrid schemes, bicompact schemes, cartesian grids, adaptive mesh refinement, gasdynamics, chemical reactions, detonation waves.

Важнейшей задачей современной вычислительной математики является построение надеж-ных численных методов высокого порядка аппроксимации для уравнений математической физи-ки [1], в частности, уравнений гиперболического типа. Среди достаточно широкого многообразиятаких методов можно выделить бикомпактные схемы [2]. Наследуя все позитивные свойства ком-пактных схем [3], бикомпактные схемы выгодно отличаются лучшими спектральными свойства-ми и сохранением высокого порядка аппроксимации на существенно неравномерных сетках [2].Тем не менее, при расчете реальных физических задач нередко приходится использовать сет-ки, генерируемые с учетом структуры решения и сложной геометрии вычислительной области.Большой популярностью среди таких сеток пользуются неструктурированные сетки; однако, ре-ализовать на них бикомпактные схемы пока весьма затруднительно. Хорошей альтернативойнеструктурированным сеткам служат декартовы сетки с адаптивным измельчением [4], которыеестественным образом подходят для бикомпактных схем.

Опишем реализацию гибридных бикомпактных схем на декартовых сетках с адаптацией крешению. Рассмотрим систему многомерных неоднородных квазилинейных уравнений гипербо-лического типа:

∂tQ + ∂xF(Q) + ∂yG(Q) + ∂zH(Q) = S(r, t,Q), (1)

где Q = (Q1, . . . ,Qm) — искомый вектор консервативных переменных, F, G, H — векторы пото-ков в направлениях x, y, z соответственно, S — вектор источников, r = (x, y, z) — радиус-вектор,символом вида ∂x обозначается производная ∂/∂x. Решение системы (1) вычисляется в простей-шей замкнутой области вида [0, Lx] × [0, Ly] × [0, Lz] при некоторых начальных и граничныхусловиях, которые мы не будем конкретизировать.

Счет решения осуществляется по известной схеме расщепления Марчука–Стренга. Однород-ная часть системы (1) (то есть система (1) при S = 0) рассчитывается по гибридной схеме [5], гдемонотонная схема A — «неявный левый уголок», а схема B — бикомпактная схема 4-го порядкааппроксимации по x, y, z и 3-го порядка аппроксимации по t. Для интегрирования по времени всхеме B используется жестко-точный L-устойчивый метод Рунге–Кутты [6]. Обозначим оператор

www.kromsh.info 75

перехода этой гибридной схемы как Sh(τ), где τ — шаг по t. Источниковая часть системы (1)(то есть система (1) при F = G = H = 0) рассчитывается по методу Рунге–Кутты [7, табл. (7.2)]

с параметром γ = (2−√

2)/2. Этот метод обладает 2-м порядком аппроксимации по t и свойствомL-устойчивости. Обозначим его оператор перехода как Ss(τ). Таким образом, схема расщепленияимеет вид:

Qn+1 = Ss(τ/2)Sh(τ)Ss(τ/2)Qn,

где верхним индексом n обозначен номер слоя по времени.Структуру данных и алгоритм адаптации пространственной сетки возьмем целиком из рабо-

ты [8], но с одним принципиальным нововведением.Критерий измельчения и объединения ячеек в работе [8] строится только для задач газовой

динамики на основе евклидовой нормы ротора скорости и модуля дивергенции скорости. Та-кой подход неизбежно сталкивается с двумя проблемами: во-первых, он игнорирует контактныеразрывы в одномерных течениях и, во-вторых, годится не для всех физических приложений(например, чистой электродинамики, где нет вектора скорости). В отличие от работы [8], мыпредлагаем критерий, основанный на евклидовых нормах градиентов всех компонент решения:

di,p = l32p |∇Qi(rp, t

n)|, (2)

где i = 1,m — индекс компоненты решения, p = 1, Nc — номер ячейки, Nc — общее число ячеек,rp — радиус-вектор центра p-й ячейки, lp — характерный линейный размер p-й ячейки.

Алгоритм адаптации сетки из работы [8] содержит процедуру обхода ячеек и присвоения имметок; эта процедура существенно зависит от выбора критерия адаптации и потому также из-менится при использовании критерия (2). Уточним, как именно: сперва вычисляются величины

σi =√N−1

c∑Nc

p=1 d2i,p .

Далее присваиваются метки (ω1 ∈ [1, 1.5], ω2 ∈ [0.1, 0.5] — настраиваемые параметры алгоритма):

(1) Если в ячейке номер p хотя бы для одного i выполнено неравенство di,p > ω1σi, то онапомечается как требующая измельчения.

(2) Если в ячейке номер p для всех i выполнено неравенство di,p 6 ω2σi, то она помечаетсякак требующая объединения.

Прочие элементы алгоритма никак не модифицируются.Отметим, что бикомпактные схемы 4-го порядка по x, y, z основаны на непрерывной квадра-

тичной интерполяции искомой функции в ячейке. Это позволяет использовать эту же интерпо-ляцию для вычисления вектора Q в новых узлах, появляющихся в процессе адаптации сетки.

Проверим работу построенного выше численного метода на примере задачи 6.13 из моногра-фии [9]. В данной задаче рассматривается одномерное течение химически реагирующего двух-компонентного идеального газа с одной нежесткой реакцией вида X1 → X2. Предполагается,что все параметры газа зависят только от x и t, а вектор скорости газа имеет вид v = (v, 0, 0),где v = |v|. Приведем выражения для векторов Q, F, S:

Q = (ρ, ρv, E, ρZ1), F = (ρv, ρv2 + p, (E + p)v, ρZ1v), S = (0, 0, 0,−K1(T )ρZ1).

Здесь ρ, p, T, E — плотность, давление, температура, энергия единицы объема газа соответствен-но, Z1 — массовая доля компоненты X1. Уравнение состояния газа имеет вид:

p = (γ − 1)(E − ρv2/2− q1ρZ1

),

где γ = 1.2 — показатель адиабаты. Температура газа определяется так: T = p/ρ. Скоростьреакции K1 зависит от T по закону Аррениуса:

K1(T ) = B1 exp(−T1/T ).

Параметры q1 = 50, B1 = 10, T1 = 10. В момент времени t = 0 параметры газа распределеныследующим образом:

(ρ, v, p, Z1)|t=0 =

(1, 3, 15, 0) при x < 10,

(1, 0, 1, 1) при x > 10.

Течение газа требуется рассчитать на отрезке x ∈ [0, 30] (Lx = 30) до момента времени t = 3при постоянных граничных условиях. Заранее известно, что в структуре решения будут иметьсянесколько гладких структур, контактный разрыв и волна детонации.

Перечислим параметры алгоритма адаптации сетки и применяемой гибридной бикомпактнойсхемы. Изначально отрезок x ∈ [0, 30] равномерно разбивается на Nx|t=0 = 150 ячеек нулевого


ранга (то есть они не могут быть объединены в процессе адаптации сетки). Максимальный рангизмельчения rmax = 5 (то есть самый мелкий шаг по x составляет 1/25 = 1/32 от самого крупно-го), коэффициенты ω1 = 1, ω2 = 0.3. Отрезок t ∈ [0, 3] разбивается на Nt = 4000 равных шагов(число Куранта в самой мелкой ячейке ≈ 1). Параметр потокового расщепления Cx

2 оцениваетсяавтоматически на каждом слое по времени, параметр гибридной схемы C1 = 5, это значениеполучено из априорного анализа по методу, описанному в работе [5].

На рисунке изображены профили плотности ρ при t = 3, посчитанные по гибридной биком-пактной схеме на адаптивной сетке и на равномерной сетке с шагом, равным самому мелкомушагу адаптивной сетки. Очевидно, оба профиля графически неразличимы почти всюду, исклю-чение составляет лишь контактный разрыв (находится у точки x = 18), но различие там мало.Найденные профили ρ находятся в хорошем согласии с расчетами [9]. Важным результатом яв-ляется то, что адаптивная сетка ускоряет счет в 4.5 раза по сравнению с равномерной сеткой присохранении точности решения. Добавим, что число ячеек у адаптивной сетки Nx 6 1600 на 88%слоев по t против Nx ≡ 4800 у равномерной. Отметим также, что адаптация сетки в окрестностиволны детонации (находится в точке x = 25) позволяет «поймать» острый пик ρ.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 5 10 15 20 25 30

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

x

Равномерная сеткаСетка с адаптивным измельчением

Равномерная сеткаСетка с адаптивным измельчением

Профили ρ в момент времени t = 3. Сплошной кривой показано решение, полученное на од-нородной сетке, штриховой с маркерами — на сетке с адаптивным измельчением. Положениемаркеров по горизонтали совпадает с границами ячеек нулевого ранга. Справа показана увели-ченная часть графика слева.

Благодарности. Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителюБ. В. Рогову за идеи, ценные советы и обсуждение результатов. Работа выполнена при финан-совой поддержке РФФИ (код проекта 18-31-00045).


[1] Ekaterinaris J. A. Implicit, high-resolution, compact schemes for gas dynamics and aeroacoustics // J. Comput.Phys. – 1999. – V.156, 2. – P. 272-299.

[2] Рогов Б. В., Брагин М. Д. О свойствах спектрального разрешения симметричных бикомпактных схем четвер-того порядка аппроксимации // Докл. АН. – 2017. – Т.475, 2. – С. 140-144.

[3] Толстых А. И. Компактные и мультиоператорные аппроксимации высокой точности для уравнений в частныхпроизводных – М.: Наука, 2015. – 350 с.

[4] Aftosmis M. J., Berger M. J., Melton J. E. Adaptive cartesian mesh generation. In: J. F. Thompson, B. K. Soni,N. P. Weatherill (Eds.), Handbook of Grid Generation – New York: CRC Press, 1998. – 1136 p.

[5] Брагин М. Д., Рогов Б. В. Новая гибридная схема для расчета разрывных решений гиперболических уравне-ний // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. – 2016. – 22. – 22 с.

[6] Alexander R. Diagonally implicit Runge-Kutta methods for stiff O.D.E.’s // SIAM J. Numer. Anal. – 1977. – V.14,6. – P. 1006-1021.

[7] Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи.– М.: Мир, 1990. – 512 с.

[8] De Zeeuw D. A quadtree-based adaptively-refined cartesian-grid algorithm for solution of the Euler equations.PhD Thesis. – Ann Arbor: The University of Michigan, 1993. – 149 p.

[9] Holden H., Karlsen K. H., Lie K.-A., Risebro N. H.. Splitting methods for partial differential equations with roughsolutions. – Zurich: EMS, 2010. – 235 p.

www.kromsh.info 77

УДК: 533+519.6

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭНТРОПИЙНОГО НЕРАВЕНСТВА В РАЗРЫВНОММЕТОДЕ ГАЛЕРКИНА ДЛЯ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ1

Криксин Ю. А., Тишкин В. Ф.

ИПМ им. М. В. Келдыша РАН (Россия, Москва)


На основе нового вариационного принципа энтропийной регуляризации построена конструктивная версия раз-рывного метода Галеркина высоких порядков точности решения газодинамических задач, в которой выполненыдискретные аналоги законов сохранения массы, импульса, полной энергии и энтропийного неравенства.

Ключевые слова: уравнения газовой динамики, разрывный метод Галеркина, вариационный принцип, законысохранения, энтропийное неравенство, энтропийная регуляризация.

PROVIDING ENTROPIC INEQUALITY IN THE DISCONTINUOUSGALERKIN METHOD FOR GAS DYNAMIC PROBLEMS

Kriksin Yury, Tishkin Vladimir

Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS (Russia, Moscow)


The constructive version of the discontinuous Galerkin (DG) method of high accuracy for solving gasdynamicproblems is proposed on the base of the new variational entropic regularization principle. The solutions based onDG method satisfy the discrete analogues of the conservation laws of mass, momentum, total energy and entropicinequality.

Keywords: equations of gas dynamics, discontinuous Galerkin method, variational principle, conservation laws,entropic inequality, entropic regularization.

В газовой динамике кроме механических явлений происходят неравновесные необратимыетермодинамические процессы на микроскопическом уровне, которые определяют направлениеее эволюции во времени. Энтропийное условие количественно выражает необратимость газоди-намических процессов и устанавливает, что в каждом малом, но макроскопическом элементесистемы неравновесные процессы сопровождаются неотрицательным производством энтропии[1]. Как показали многолетние исследования, соображения аппроксимации, устойчивости и кон-сервативности недостаточны для разработки эффективных численных методов решения газоди-намических задач. Реалистичное численное моделирование газодинамических процессов нужда-ется в построении соответствующих дискретных моделей, в которых наряду с механическимизаконами сохранения выполняется дискретный аналог энтропийного неравенства.

В современных численных методах решения задач механики сплошных сред все большее зна-чение приобретают методы высоких порядков точности, такие как, например, разрывный методГалеркина (РМГ). Отметим, что схему Годунова первого порядка точности для задач газовойдинамики, удовлетворяющую энтропийному условию по своему построению, можно интерпрети-ровать как РМГ первого порядка точности [2]. В зарубежных исследованиях последнего времени[3], [4] достигнут определенный прогресс в построении высокоточных схем, в которых наряду сзаконами сохранения массы импульса и полной энергии обеспечивается выполнение энтропий-ного условия (entropy stable schemes).

Одним из замечательных свойств РМГ является его экстремальное свойство, имеющее местопри определенных условиях. Если газодинамическая задача решается в консервативных пере-менных, а базисные функции РМГ являются ортогональными, то дифференциальные уравненияРМГ могут быть получены как результат, минимизации некоторой квадратичной функции мно-гих переменных, минимизирующей среднеквадратичную невязку газодинамических уравнений,точка экстремума которой принимается за значения производных по времени коэффициентовразложения искомого приближенного решения по ортогональному базису. Именно это экстре-мальное свойство положено в основу так называемой энтропийной регуляризации РМГ [5], в ре-зультате которой новые уравнения РМГ высоких порядков точности в отличие от классических

1Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда (проект 17-71-30014)


уравнений обеспечивают неотрицательное производство энтропии, т.е. решения модифицирован-ного РМГ удовлетворяют дискретному аналогу энтропийного неравенства.


[1] Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., Крайко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерныххадач газовой динамики, М.: Наука, 1976. – 400 с.

[2] Ладонкина М.Е., Тишкин В.Ф. Обобщение метода Годунова, использующее кусочно-полиномиальные аппрок-симации // Дифференциальные уравнения (2015), Т.51, 7, c. 899–907.

[3] Zakerzadeh H., Fjordholm U.S. High-order accurate, fully discrete entropy stable schemes for scalar conservationlaws // IMA J. of Numerical Analysis (2016), V.36, 2, p.633–654.

[4] Chen T., Shu Ch.-W. Entropy stable high order discontinuous Galerkin methods with suitable quadrature rules forhyperbolic conservation laws // J. Comp. Phys. (2017), V. 345, p.427–461.

[5] Криксин Ю.А., Тишкин В.Ф. Энтропийная регуляризация разрывного метода Галеркина в одномерных зада-чах газовой динамики // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша (2018), 100, – 22 с. doi:10.20948/prepr-2018-100URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2018-100

УДК: 519.85

О ВЫЧИСЛЕНИИ РАЦИОНАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДЯЩЕЙ ФУНКЦИИРЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

Кытманов А. А., Ляпин А. П.

Сибирский федеральный университет (Россия, Красноярск)


Разработан метод вычисления рациональных производящих функций решений задачи Коши для двумерныхразностных уравнений с постоянными коэффициентами через коэффициенты одномерных разностных уравненийи начальные данные соответствующих задач Коши.

Ключевые слова: производящая функция, задача Коши, разностное уравнение, теорема Муавра.

ON EVALUATING THE RATIONAL GENERATING FUNCTION FOR THESOLUTION OF THE CAUCHY PROBLEM

Kytmanov Alexey, Lyapin Alexander

Siberian Federal University (Russia, Krasnoyarsk)

We propose a method for evaluation of rational generating functions for solutions of the Cauchy problems for two-dimensional difference equations with constant coefficients. The coefficients of one-dimensional difference equations andthe initial data are used to solve the corresponding Cauchy problems.

Keywords: generating function, Cauchy problem, difference equation, De Moivre’s theorem

Метод производящих функций является мощным средством изучения разностных уравне-ний как в теории дискретных динамических систем, так и в перечислительном комбинаторноманализе, и позволяет применять методы комплексного анализа к задачам перечислительной ком-бинаторики.

Одномерный случай не вызывает трудностей и хорошо изучен (см. [1, 2]). А. Муавр в работе[3] рассмотрел степенные ряды

f(0) + f(1)z + . . .+ f(k)zk + . . .

с коэффициентами f(0), f(1), . . . удовлетворяющими разностному уравнению

cmf(x+m) + cm−1f(x+m− 1) + . . .+ c0f(x) = 0, x = 0, 1, 2 . . . , (1)

где cm 6= 0, а cj ∈ C — некоторые постоянные, и доказал, что такие ряды всегда сходятся крациональным функциям (теорема Муавра, [3]).

В многомерном случае, который менее изучен (см. [4, 5, 6, 7]), интерес представляют рацио-нальные производящие функции, которые в иерархии Р. Стенли [8] являются «наиболее полез-ным» классом производящих функций. В перечислительном комбинаторном анализе известенширокий класс двукратных последовательностей, приводящих к рациональным производящим

www.kromsh.info 79

функциям, например, в задачах о числе путей на целочисленной решетке, о числе узлов деревьевс помеченными вершинами и о расстановке фигур на шахматной доске (см. [9, 10, 11]).

Обозначим x = (x1, . . . , xn) точки n-мерной целочисленной решетки Zn = Z × . . . × Z, гдеZ — множество целых чисел, и A — конечное подмножество точек из Zn. Разностным урав-нением относительно неизвестной функции f(x) целочисленных аргументов x = (x1, . . . , xn) спостоянными коэффициентами cα, где α = (α1, . . . , αn), называется соотношение вида

∑

α∈A

cαf(x+ α) = 0. (2)

В данной работе рассматривается случай, когда множество A лежит в октанте Zn0 =

(x1, . . . , xn) : xi ∈ Z, xi > 0, i = 1, . . . , n целочисленной решетки и удовлетворяет условию:

∃m = (m1, . . . ,mn) ∈ A : cm 6= 0 и ∀α ∈ A, ∀j = 1, . . . , n выполняется αj 6 mj , (3)

Обозначим через

P (z) =∑

α∈A

cαzα =

∑

α∈A

cα1,...,αnzα11 · · · zαn

n

характеристический многочлен уравнения (2).Производящая функция функции f(x) целочисленных аргументов x ∈ Zn

0 определяется сле-дующим образом:

F (z) =∑

x∈Zn0

f(x)

zx+I, где I = (1, . . . , 1).

Его решением будет любая функция вида

f(x1, x2) = ϕ(x1) + ψ(x2),

где ϕ и ψ — произвольные функции целочисленного аргумента.Множество, на котором будем задавать «начальные данные» разностного уравнения (2), удо-

влетворяющего условию (3), определим следующим образом:

X0 = τ ∈ Zn0 : τ m,

где символ означает, что точка τ лежит в дополнении к множеству, определяемому системойнеравенств τj > mj , j = 1, . . . , n.

Сформулируем задачу Коши: найти решение f(x) уравнения (2), которое на множестве X0

совпадает с заданной функцией ϕ(x) :

f(x) = ϕ(x), x ∈ X0. (4)

Нетрудно показать (см., например, [6]), что если выполнено условие (3), то задача (2),(4) имеетединственное решение в положительном октанте Zn

0 . Вопрос о разрешимости задачи (2),(4) безограничений вида (3) рассмотрен в [4]. Явная формула для вычисления производящей функцииF (z) в случае произвольной размерности приведена в работе [12].

Для дальнейшего изложения для n = 2 введем некоторые обозначения. Разобьем прямоуголь-ник Πm = x ∈ Z2

0 : xk 6 mk, k = 1, 2 на четыре подмножества:

Γ0,0 = x ∈ Z20 : x1 < m1, x2 < m2, Γ0,1 = x ∈ Z2

0 : x1 < m1, x2 = m2,Γ1,0 = x ∈ Z2

0 : x1 = m1, x2 < m2, Γ1,1 = x ∈ Z20 : x1 = m1, x2 = m2.

Определим отображение J , которое каждой точке прямоугольника Πm ставит в соответствиенекоторый элемент из множества пар (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) следующим образом:

J(τ) =

(0, 0), τ ∈ Γ0,0;(0, 1), τ ∈ Γ0,1;(1, 0), τ ∈ Γ1,0;(1, 1), τ ∈ Γ1,1.

Производящую функцию начальных данных задачи (2),(4) Φ(z) =∑

x∈X0

ϕ(τ)

zx+Iможно предста-

вить в виде суммы Φ(z) =∑

τ∈Πm

Φτ (z), где

Φτ (z) =

∞∑

y=0

ϕ(τ + J(τ)y)

zτ+J(τ)y+I


— одномерные производящие функции, τ ∈ Πm.

Теорема 1 ([12]). Производящая функция F (z) решения задачи (2),(4) с условием (3) и произ-водящая функция начальных данных Φ(z) связаны соотношением

P (z)F (z) =∑

τ∈Πm

Φτ (z)Pτ (z),

где многочлены Pτ (z) имеют вид

Pτ (z) =∑

α6mατ

cαzα.

Рассмотрим некоторые частные случаи. Для n = 1 производящая функция

F (z) =

∞∑

x=0

f(x)

zx

решения f(x) уравнения (1), при условии, что f(x) = ϕ(x) при x = 0, . . . ,m − 1, где ϕ(x) —заданные начальные данные, имеет вид:

F (z) =

m∑α=1

α−1∑x=0

cαϕ(x)zx−α

m∑α=0

cαzα

.

Для n = 2 теорема 1 доказана в работе [13] в связи с изучением рациональных последова-тельностей Риордана. Для произвольного n > 1 доказательство было опубликовано в работе[12]. Свойства производящей функции решений разностного уравнения в рациональных конусахцелочисленной решетки были изучены в работах Т. Некрасовой (см., например, [14]).

Из теоремы 1 легко получается многомерный аналог теоремы Муавра, необходимый для раз-работки вычислительного алгоритма:

Теорема 2 ([12]). Если производящая функция Φ(z) начальных данных рациональна, то и про-изводящая функция F (z) решения задачи (2),(4) с условием (3) тоже рациональна.

Доказательство этой теоремы и обратного к ней утверждения (т.е. эквивалентности рацио-нальности производящих функций начальных данных и решения задачи (2),(4) с условием (3))дано в [12].


[1] Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: КомКнига, 2006.[2] Isaacs R. F. A Finite Difference Function Theory. // Univ. Nac. Tucuman., 1941, V. 2, P. 177–201.[3] Moivre A. de De Fractionibus Algebraicis Radicalitate Immunibus ad Fractiones Simpliciores Reducendis, Deque

Summandis Terminis Quarumdam Serierum Aequali Intervallo a Se Distantibus. // Philosophical Transactions, 1722,V. 32, P. 162–178.

[4] Bousquet-Melou M., Petkovsek M. Linear recurrences with constant coefficients: the multivariate case. // DiscreteMathematics, 2000, V. 225, P. 51–75.

[5] Лейнартас Е. К. Кратные ряды Лорана и разностные уравнения. // Сиб. матем. журн., 2004, Т. 45, No 2,C. 387–393.

[6] Лейнартас Е. К. Кратные ряды Лорана и фундаментальные решения линейных разностных уравнений. //Сиб. матем. журн., 2007, Т. 48, No 2, C. 335–340.

[7] Лейнартас Е. К., Пассаре М., Цих, А. К. Многомерные версии теоремы Пуанкаре для разностных уравнений.// Мат. сборник, 2008, Т. 199, No 10, C. 87–104.

[8] Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990.[9] Егорычев Г. П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. Новосибирск: Наука, 1977.[10] Baccherini D., Merlini D., Sprugnoli R. Level generation trees and proper Riordan arrays. // Applicable Analysis

and Discrete Mathemamatics, 2008, No 2, P. 69–91.[11] Bloom D. M. Singles in a sequence of coin tosses. // The College Mathematic Journal, 1998, P. 307–344.[12] Лейнартас Е. К., Ляпин А. П. О рациональности многомерных возвратных степенных рядов. // Журнал

Сибирского федерального университета. Сер. математика и физика, 2009, Т. 2, No 4, С. 449–455.[13] Ляпин А. П. Последовательности Риордана и двумерные разностные уравнения. // Журнал Сибирского

федерального университета. Сер. математика и физика, 2009, Т. 2, No 2, С. 210–220.[14] Некрасова Т. И. Об иерархии произвоящих функций решений многомерных разностных уравнений. // Изве-

стия Иркутского государственного университета, 2014, Т. 9, С. 91–102.

www.kromsh.info 81

УДК: 517.977.58; 519.632.4

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО СОСТОЯНИЮ КОНЕЧНОМЕРНЫХАППРОКСИМАЦИЙ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕОГРАНИЧЕННОЙНЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Лубышев Ф. В., Манапова А. Р.

Башкирский государственный университет (Россия, Уфа)


В работе рассматриваются задачи оптимального управления для нелинейных эллиптических уравнений сосмешанными производными и неограниченной нелинейностью, с управлением в коэффициентах при смешан-ных производных. Построены разностные аппроксимации экстремальных задач, установлены оценки точностиаппроксимаций по состоянию.

Ключевые слова: задача оптимального управления, смешанные производные, разностный метод решения, точ-ность разностных аппроксимаций.

THE ACCURACY ESTIMATE OF THE FINITE-DIMENSIONALAPPROXIMATIONS OF OPTIMAL CONTROL PROBLEMS FOR ELLIPTICEQUATIONS WITH UNBOUNDED NONLINEARITY WITH RESPECT TO

THE STATE.

Lubyshev Fedor, Manapova Aigul

Bashkir State Universiry (Russia, Ufa)

In the work we consider optimal control problems for nonlinear elliptic equations with mixed derivatives andunbounded nonlinearity, with control multiplying the mixed derivatives. We construct difference approximations forextremum problems and obtain the estimates for approximation accuracy with respect to the state.

Keywords: optimal control problem, mixed derivatives, difference method of solving, accuracy of differenceapproximations.

Пусть Ω =x = (x1, x2) ∈ R2 : 0 < xα < lα, α = 1, 2

- прямоугольник с границей Γ = ∂Ω.

Рассмотрим задачу минимизации функционала

g → J(g) =

∫

Ω

|u(r; g)− u(1)0 (r)|2dΩ, (1)

на решениях u(g) краевой задачи

−2∑

α,β=1

kαβ(x)∂2u(x)

∂xα∂xβ+ q(u)u = f(u), x ∈ Ω;

u(x) = 0, x ∈ ∂Ω = Γ,

(2)

при следующих ограничениях на управления:

g =(k12, k21

)∈ U =

kαβ ≡ gαβ ∈ W 1

∞(Ω), α, β = 1, 2, α 6= β :

|g12(x)| = |g21(x)| ≤ ρ√k11(x)k22(x), 0 < ρ < 1, ∀x ∈ Ω,∣∣∣∣

∂kαβ

∂x1

∣∣∣∣ ≤ R1,

∣∣∣∣∂kαβ

∂x2

∣∣∣∣ ≤ R2, α, β = 1, 2, α 6= β

,

(3)

где u0 ∈ W 12 (Ω) - заданная функция, k11, k22 ∈ W 1

2 (Ω) - заданные функции, а q(η), f(η) - заданныефункции от η.

Априори предполагается, что задача (2) однозначно разрешима в классе Wm2,0(Ω) =

Wm2 (Ω)∩

W 12 (Ω), 3 < m ≤ 4. Обозначим через Mu

Mu = u : M1 ≤ u(x) ≤M2, x ∈ Ω


– область значений точного решения задачи (2) (которая, в силу предположения о гладкостирешения исходной задачи является ограниченным множеством). Определим окрестность Du (δ– окрестность) области значений точного решения Mu:

Du =u : M1 = M1 − δ ≤ u(x) ≤M2 + δ = M2, x ∈ K ⊆ Ω, δ > 0

,

здесь δ > 0 – произвольная постоянная, которая может быть достаточно малой.Пусть, кроме того, выполняются следующие условия гладкости на коэффициенты kαα(x),

α = 1, 2, q(η), f(η) уравнения (2):

0 < ν ≤ kαα(x) ≤ µ, α = 1, 2, ∀x ∈ Ω;

0 ≤ q0 ≤ q(η) ≤ q0, |f(η)| ≤ f0, ∀η ∈ Du;

|q(η1)− q(η2)| ≤ Lq|η1 − η2|, |f(η1)− f(η2)| ≤ Lf |η1 − η2|, ∀η1, η2 ∈ Du;

2µ(max lα)2

ν2 − µq0(max lα)2

Lf +

µf0[2(2 +√

2)L+ Lq(max lα)2]

ν2 − µq0(max lα)2

= q∗0 ,

ν2 − µq0(max lα)2 > 0, q∗1 =q∗02< 1.

Здесь, ν, µ, Rα, α = 1, 2, q0, q0, Lq, Lf , f0, 0 < ρ < 1 - заданные положительные константы.Заметим, что из условий, накладываемых на коэффициенты при старших производных в

уравнении (2) имеем условие равномерной эллиптичности:

ν∗

2∑

α=1

ξ2α ≤2∑

α,β=1

kαβ(x)ξαξβ ≤ µ∗

2∑

α=1

ξ2α,

где ν∗ = (1− ρ) ν, µ∗ = (1 + ρ)µ, 0 < ρ < 1.Дифференциальное уравнение (2) в более подробной записи выглядит следующим образом:

−2∑

α=1

kαα(x)∂2u

∂x2α

− 2k12(x)∂2u

∂x1∂x2+ q(u)u = f(u), x ∈ Ω,

k12(x) = k21(x).

Заметим, что на коэффициенты уравнения состояния (2) накладываются ограничения, кото-рые выполнены лишь в окрестности значений точного решения, что говорит о наличии нели-нейностей неограниченного роста (см. [1], [2]). Исследования аппроксимаций для данного классазадач даже на гладких решениях представляют собой довольно сложную техническую проблему.

В настоящей работе доказана корректность задач оптимального управления (1)-(3), разрабо-таны их разностные аппроксимации, исследована корректность и сходимость аппроксимаций посостоянию.


[1] Матус П. П., Москальков М. Н., Щеглик В. С. Согласованные оценки точности метода сеток для нелинейногоуравнения второго порядка с обобщенными решениями // Дифференциальные уравнения. – 1995. – Т.31, 7. – C. 1249-1256.

[2] Ф.В.Лубышев, М.Э.Файрузов. Согласованные оценки скорости сходимости в сеточной норме W 22,0(ω) разност-

ных схем для нелинейных эллиптических урвнений со смешанными производными и решениями из W m2,0(Ω),

3 < m ≤ 4 // Журнал вычисл. математики и матем. физики. – 2017. – Т.57, 9. – C. 1444-1470.

www.kromsh.info 83

УДК 519.63

ЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА, СОХРАНЯЮЩАЯ ПОВЫШЕННУЮТОЧНОСТЬ В ОБЛАСТЯХ ВЛИЯНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН

Ковыркина О. А., Остапенко В. В.

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирский государственный университет (Россия, Новосибирск)


Построена явная комбинированная разностная схема сквозного счета, которая с повышенной точностью ло-кализуют фронты ударных волн и одновременно сохраняет повышенный порядок сходимости во всех областяхгладкости рассчитываемых обобщенных решений. В этой комбинированной схеме в качестве базисной использует-ся явная немонотонная схема Русанова третьего порядка, а в качестве внутренней — монотонная схема КАБАРЕвторого порядка. Приведены тестовые расчеты, демонстрирующие преимущества новой схемы по сравнению сWENO-схемой пятого порядка по пространству и третьего порядка по времени.

Ключевые слова: явная комбинированная разностная схема, схема Русанова, схема КАБАРЕ, WENO-схема,повышенный порядок сходимости.

EXPLICIT FINITE-DIFFERENCE SCHEME PRESERVING HIGHACCURACY IN THE DOMAINS OF SHOCK INFLUENCE

Kovyrkina Olyana, Ostapenko Vladimir

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics of SB RAS,Novosibirsk State University (Russia, Novosibirsk)

We constructed an explicit combined finite-difference shock capturing scheme, which with the high accuracy localizesthe shocks and simultaneously preserves the high order of convergence in all domains of smoothness of the calculatedgeneralized solutions. In this combined scheme, the explicit non-monotonic Rusanov scheme of the third order is usedas the basic scheme, and the inner one is the second order monotone CABARET scheme. We presented some testcalculations demonstrating the advantages of the new scheme in comparison with the WENO scheme of the fifth orderin space and the third order in time.

Keywords: explicit combined finite-difference scheme, Rusanov scheme, CABARET scheme, WENO scheme, highorder of convergence.

В классической работе [1], широко известной в связи со схемой распада разрыва, было вве-дено понятие монотонности разностной схемы и показано, что среди линейных разностных схемнет монотонных схем повышенного порядка аппроксимации. Дальнейшее развитие теории раз-ностных схем сквозного счета для гиперболических систем законов сохранения в значительнойстепени было направлено на преодоление этого “запрета Годунова”. В результате были разра-ботаны различные классы разностных схем, в которых повышенный порядок аппроксимациина гладких решениях и монотонность достигались за счет нелинейной коррекции потоков, при-водящей к нелинейности этих схем даже при аппроксимации линейного уравнения переноса.Перечислим основные классы таких схем, которые будем сокращенно называть NFC (NonlinearFlux Correction) схемами: MUSCL-схемы [2], TVD-схемы [3], NED-схемы [4], WENO-схемы [5],CABARET-схемы [6]. Основное достоинство этих схем заключается в том, что они с высокойточностью локализуют ударные волны при отсутствии существенных нефизических осцилляцийна их фронтах.

Было показано, что NFC-схемы имеют не более чем пеpвый поpядок как локальной сходи-мости в областях влияния удаpных волн [7]–[9], так и интегральной сходимости на интервалах,одна из границ которых находится в области влияния ударной волны [10]–[12]. Причина этогозаключается в том, что коррекция потоков, характерная для NFC-схем, приводит к снижению ихгладкости, что, в свою очередь, приводит к снижению порядка аппроксимации ε-условий Гюго-нио на фронтах ударных волн [13]. В то же время классические немонотонные схемы повышеннойточности, имеющие аналитические функции численных потоков и, как следствие, с повышеннойточностью аппроксимирующие ε-условия Гюгонио, сохраняют повышенный порядок сходимостив негативной норме при интегрировании по областям, содержащим сильные разрывы [10], [11].В результате эти немонотонные схемы, в отличие от NFC-схем, сохраняют повышенный порядоксходимости в областях влияния ударных волн, несмотря на заметные схемные осцилляции на ихфронтах.


1

2

3

h, r

T =1

0 2 4 6 8 10 x

1

2

3

0 2 4 6 8 10 x

T =2.5

h, r

Рис. 1.

8 9 10

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5 T =1

h

6 7 8

T =2.5

x

Рис. 2.

Был предложен метод построения комбинированных разностных схем сквозного счета [14],которые сочетают достоинства как NFC-схем, так и классических немонотонных схем, а именно,с повышенной точностью локализуют фронты ударных волн и одновременно сохраняют повы-шенный порядок сходимости во всех областях гладкости рассчитываемых обобщенных решений.В комбинированной разностной схеме применяется базисная немонотонная схема, которая имеетповышенный порядок сходимости в областях влияния ударных волн. По базисной схеме раз-ностное решение строится во всей расчетной области. В окрестностях больших градиентов, гдеэто решение имеет нефизические осцилляции, оно корректируется путем численного решениявнутренних начально-краевых задач по одной из NFC-схем. В [14] была рассмотрена конкретнаякомбинированная схема, в которой в качестве базисной использовалась компактная схема тре-тьего порядка слабой аппроксимации [10], а в качестве внутренней NFC-схемы — схема КАБАРЕвторого порядка точности на гладких решениях [6].

Основной недостаток комбинированной схемы, построенной в [14], заключается в том, чтосоответствующие ей базисная и внутренняя схемы имеют существенно различный тип: базис-ная компактная схема является неявной и трехслойной по времени, в то время как внутренняясхема КАБАРЕ — явной и двухслойной по времени, что приводит к определенным сложностямпри численной реализации такого алгоритма. Поэтому в настоящей работе предлагается новыйвариант комбинированной разностной схемы, в которой как немонотонная базисная схема, таки внутренняя NFC-схема являются явными и двухслойными по времени. А именно, в качествебазисной используется схема Русанова третьего порядка [15], а в качестве внутренней — мо-нотонная модификация схемы КАБАРЕ второго порядка. Далее приведены тестовые расчеты,демонстрирующие преимущества новой схемы по сравнению с WENO-схемой пятого порядка попространству и третьего порядка по времени [5].

В качестве конкретной гиперболической системы выберем систему уравнений первого прибли-жения теории мелкой воды, для которой рассмотрим задачу Коши с периодическими началь-ными данными [11]. Точное решение этой задачи моделируется численным расчетом по схемеКАБАРЕ на мелкой сетке с пространственным шагом ∆ = 0.005. Профили глубины, получае-мые в этом расчёте в моменты времени T = 1 и T = 2.5 показаны сплошной линией на рис. 1 (наотрезке длины периода) и на рис. 2 (в окрестности фронта ударной волны). Результаты расчетаданной задачи на сетке с пространственным шагом ∆ = 0.1, получаемые по комбинированнойсхеме приведены кружками (рис. 1 и 2), по WENO-схеме — точками (рис. 2) и по схеме Русанова

www.kromsh.info 85

— крестиками (рис. 2). На рис. 2 видны осцилляции, возникающие в схеме Русанова в окрестно-сти фронта ударной волны, которые в комбинированной схеме сглаживаются расчетом по схемеКАБАРЕ. При этом комбинированная схема размазывает фронт ударной волны существенноменьше, чем WENO-схема.

Порядки интегральной сходимости ρj разностного решения на отрезках [xj , X ], получаемыепри расчете по базисной схеме Русанова приведены на рис. 1 точками, а по WENO-схеме – тре-угольниками. Расчеты интегральных порядков сходимости проводились по методу изложенномув [10], [11], на базисной сетке с пространственным шагом ∆ = 0.005, что соответствует 2000пространственным ячейкам сетки на отрезке [0, X ] длины периода. На рис. 1 результаты этихрасчетов показаны для каждого 20-го пространственного узла j = 20i разностной сетки.

Из рис. 2 следует, что комбинированная схема, монотонно и более точно, чем WENO-схема,локализует фронт ударной волны. В то же время из рис. 1 видно, что базисная схема Русанова, азначит и построенная на ее основе комбинированная схема, в отличие от WENO-схемы, сохраня-ют повышенный порядок интегральной сходимости на отрезках [xj , X ], левая граница которыхрасположена внутри области влияния ударной волны (в момент времени T = 1 эта область влия-ния расположена внутри отрезка [4, 9], а в момент времени T = 2.5 она заполняет всю расчетнуюобласть). Это означает, что комбинированная схема с повышенной точностью передает условияГюгонио через фронт ударной волны, в силу чего сохраняет повышенный порядок сходимостив области ее влияния. В результате в области влияния ударной волны точность вычисления ин-вариантов по комбинированной схеме (как построенной в данной работе, так и предложеннойв [14]) на несколько порядков выше, чем по WENO-схеме.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант 16-11-10033).


[1] Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики / С.К. Го-дунов // Матем. сборник. – 1959. – Т. 47, 3. – С. 271-306.

[2] Van Leer B. Toward the ultimate conservative difference scheme. V. A second-order sequel to Godunov’s method /B. Van Leer // J. Comput. Phys. – 1979. – V. 32, 1. – P. 101-136.

[3] Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws / A. Harten // J. Comput. Phys. – 1983. –V. 49. – P. 357-393.

[4] Nessyahu H. Non-oscillatory Central Differencing for Hyperbolic Conservation Laws / H. Nessyahu, E. Tadmor //J. Comput. Phys. – 1990. – V. 87, No. 2. – P. 408-463.

[5] Jiang G.S. Efficient implementation of weighted ENO schemes / G.S. Jiang, C.W. Shu // J. Comput. Phys. – 1996.– V. 126. – P. 202-228.

[6] Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычислительных комплексов /В.М. Головизнин, М.А. Зайцев, С.А. Карабасов, И.А. Короткин. – М.: Изд. МГУ, 2013. – 467 с.

[7] Остапенко В.В. О сходимости разностных схем за фронтом нестационарной ударной волны / В.В. Остапенко// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 1997. – Т. 37, 10. – С. 1201-1212.

[8] Casper J. Computational consideration for the simulation of shock-induced sound / J. Casper, M.H. Carpenter //SIAM J. Sci. Comput. – 1998. – V. 19, No. 1. – P. 813-828.

[9] Остапенко В.В. О построении разностных схем повышенной точности для сквозного расчета нестационарныхударных волн / В.В. Остапенко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2000. – Т. 40, 12. – С. 1857-1874.

[10] Ковыркина О.А. О сходимости разностных схем сквозного счёта / О.А. Ковыркина, В.В. Остапенко // Докл.АН. – 2010. – Т. 433, 5. – С. 599-603.

[11] Ковыркина О.А. О реальной точности разностных схем сквозного счета / О.А. Ковыркина, В.В. Остапенко// Матем. моделир. – 2013. – Т. 25, 9. – С. 63-74.

[12] Михайлов Н.А. О порядке сходимости разностных схем WENO за фронтом ударной волны / Н.А. Михайлов// Матем. моделир. – 2015. – Т. 27, 2. – С. 129-138.

[13] Остапенко В.В. О конечно-разностной аппроксимации условий Гюгонио на фронте ударной волны, распро-страняющейся с переменной скоростью / В.В. Остапенко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 1998. – Т. 38, 8. – С. 1355-1367.

[14] Ковыркина О.А. О построении комбинированных разностных схем повышенной точности / О.А. Ковыркина,В.В. Остапенко // Докл. АН. – 2018. – Т. 478, 5. – С. 517-522.

[15] Русанов В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счёта разрывных решений /В.В. Русанов // Докл. АН СССР. 1968. – Т. 180, 6. – С. 1303-1305.


УДК: 519.63

БИКОМПАКТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯУРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Рогов Б. В.

ИПМ им. М.В. Келдыша РАН,Московский физико-технический институт (государственный университет) (Россия, Москва)


В работе излагаются способы построения бикомпактных схем для численного решения уравнений и системуравнений гиперболического типа, приводятся результаты исследования свойств этих схем, а также обсуждаютсяэкономичные методы реализации многомерных бикомпактных схем.

Ключевые слова: уравнения гиперболического типа, бикомпактные схемы, гибридные схемы, спектральныесвойства, экономичные схемы.

BICOMPACT SCHEMES FOR NUMERICAL SOLUTIONOF HYPERBOLIC EQUATIONS

Rogov Boris

Keldysh Institute of Applied Mathematics,Moscow Institute of Physics and Technology (State University) (Russia, Moscow)

Methods for constructing bicompact schemes for the numerical solution of equations and systems of hyperbolic typeare presented, the results of studying the properties of these schemes are given, and economical methods for realizingmultidimensional bicompact schemes are discussed.

Keywords: hyperbolic equations, bicompact schemes, hybrid schemes, spectral properties, efficient schemes.

Данное сообщение основано на результатах недавних работ, проведенных совместно сМ. Д. Брагиным и А. В. Чикиткиным [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] и посвященных развитию биком-пактных схем для численного решения уравнений гиперболического типа, а также исследованиюсвойств этих схем.

1. Способы построения бикомпактных схем и их свойства, следующие из постро-ения. Полудискретные бикомпактные схемы, представляющие собой системы обыкновенныхдифференциальных уравнений (ОДУ), для уравнений и систем уравнений гиперболическоготипа выводятся методом прямых с использованием интегро-интерполяционного метода. ЗатемОДУ полудискретной схемы интегрируются по времени либо по правилу трапеций, либо A- илиL-устойчивыми диагонально неявными методами Рунге-Кутты, так получаются полностью дис-кретные бикомпактные схемы.

Продемонстрируем построение полудискретной бикомпактной схемы на примере начально-краевой задачи Коши для записанного в дивергентной форме одномерного скалярного квазили-нейного уравнения переноса

L1u ≡∂u

∂t+∂f(u)

∂x= 0,

df(u)

du> 0, x > 0, t > 0; (1)

u(x, 0) = v0(x), x > 0; u(0, t) = µ(t), t > 0,

где u = u(x, t) — искомая функция.Для всех t > 0 введем на полуоси x > 0 в общем случае неравномерную сетку, состоящую из

целых узлов xj (j > 0) и полуцелых узлов xj+1/2; шаг сетки hj+1/2 = xj+1 − xj . Значения ис-комой сеточной функции в полуцелых узлах uj+1/2 рассматриваются как вспомогательные припостроении высокоточной разностной схемы для определения значений uj в целых узлах. Дис-кретизацией пространственной производной на шаблоне, состоящем из двух целых узлов xj , xj+1

и одного полуцелого xj+1/2, выводятся два дифференциально-разностных уравнения. Первое изэтих уравнений имеет вид

1

6

d

dt

(uj+1 + 4uj+1/2 + uj

)+

1

hx(fj+1 − fj) = 0, fj = f(uj), hx ≡ hx, j+1/2, (2)

www.kromsh.info 87

и аппроксимирует на сетке основное уравнение (1), осредненное по ячейке [xj , xj+1] при t = const,с точностью до величины O(h4

x). Второе уравнение

d

dt(uj+1 − uj) +

4

hx

(fj+1 − 2fj+1/2 + fj

)= 0, fj+1/2 = f(uj+1/2), (3)

аппроксимирует с точностью до величины O(h3x) уравнение (L1u)j+1 − (L1u)j = 0, которое

получается интегрированием по ячейке [xj , xj+1] при t = const дифференциального след-ствия ∂(L1u)/∂x = 0 уравнения (1). Система ОДУ (2), (3) есть полудискретная бикомпактнаясхема для уравнения переноса (1). Уравнения (2), (3) можно также получить другим способом [1],переписав уравнение (1) в виде ∂f(u)/∂x = −∂u/∂t и применив для интегрирования последнегоуравнения по x A-устойчивую одношаговую схему Лобатто IIIA четвертого порядка точности.

Из способа построения следует, что бикомпактная схема является симметричной и консерва-тивной. Поскольку пространственный шаблон схемы содержит только два целых узла (именнопоэтому схема названа бикомпактной), то высокий порядок аппроксимации схемы по x не изме-няется при переходе от равномерной к неравномерной сетке из целых узлов. Кроме того, разност-ный порядок схемы по x, определяемый как разность между числом узлов в шаблоне и числомуравнений схемы, равен 1. Поэтому система ОДУ (2), (3) для функций uj(t), uj+1/2(t), j > 0может быть решена маршевым по пространству методом слева направо при заданных начальныхусловиях uj(0) = v0(xj), uj+1/2(0) = v0(xj+1/2) и «граничном» условии uj(t) = µ(t) при j = 0.

Автором совместно с М. Д. Брагиным и А. В. Чикиткиным построены бикомпактные схемычетвертого порядка аппроксимации по пространственным переменным для системы квазилиней-ных уравнений гиперболического типа в многомерном случае [2, 3, 4] в том числе при наличиив правых частях уравнений источниковых членов. В работе [1] выведены симметричные биком-пактные схемы для произвольного четного порядка пространственной аппроксимации.

2. Спектральные свойства бикомпактных схем. Обычно для оценок дисперсии и дис-сипации, вносимых схемами, используется задача Коши для уравнения (1) с линейной функци-ей f(u) = au, a = const > 0, периодическими начальными данными u(x, 0) = exp(ikx) и точнымрешением u(x, t) = exp[ik(x− at)], где i — мнимая единица, k — физическое волновое число, a –фазовая скорость.

Из уравнений (2), (3) решение um(t) в целых узлах m = j, j + 1 можно найти в виде бегу-щей волны um(t) = exp[ik(xm − a∗t)] = exp(ikxm) exp(−ik∗at), где a∗ — схемная (численная)фазовая скорость, k∗ = ka∗/a — эффективное (численное) волновое число. Для полудискретнойбикомпактной схемы (2), (3) имеет место связь

(ϕ∗)2 + 6 ctg(ϕ/2)ϕ∗ − 12 = 0

между безразмерным физическим волновым числом ϕ = khx и безразмерным эффективным(численным) волновым числом ϕ∗ = k∗hx. На рисунке ниже представлены графики зависимо-сти безразмерного эффективного волнового числа от безразмерного точного волнового числадля ряда симметричных схем. Жирная прямая линия на рисунке показывает идеальную зави-симость ϕ∗ = ϕ. Видно, что спектральное разрешение бикомпактной схемы четвертого порядкаточности по пространству не только лучше других компактных схем того же порядка точности,но и лучше некоторых схем шестого порядка. Из графиков также видно, что численная без-размерная групповая скорость (т.е. величина dϕ∗/dϕ) является положительной для всех длинволн в случае бикомпактной схемы четвертого порядка, компактной схемы CCS-T4 четвертогопорядка [10] и классической схемы «КАБАРЕ» [13] второго порядка точности по пространствуи времени. Традиционные компактные схемы C4 и C6 четвертого и шестого порядка [11] и схе-ма шестого порядка [12] дают отрицательные значения групповой скорости в коротковолновомдиапазоне длин волн.

Спектральные свойства для бикомпактной схемы четвертого порядка пространственной ап-проксимации исследованы в работе [5]. Для семейства симметричных полудискретных биком-пактных схем, построенных на пространственном шаблоне из двух целых и трех вспомогатель-ных дробных узлов, спектральные свойства изучены в работах [1, 6].

3. Гибридная схема для расчета разрывных решений. Для численного расчета раз-рывных решений систем квазилинейных уравнений гиперболического типа в [7, 8] предложеныи исследованы оригинальные гибридные схемы. В этих схемах для сквозного счета разрывныхрешений оператор перехода от одного временного слоя к другому строится как выпуклая ком-бинация операторов перехода двух базовых схем: αSA + (1 − α)SB , где SA, SB — операторы


послойного перехода монотонной схемы A низкого порядка аппроксимации и бикомпактной схе-мы B высокого порядка аппроксимации, α — весовой коэффициент. Важнейшее отличие опе-ратора перехода предложенных гибридных схем от операторов перехода других подобных схемзаключается в том, что он является локальным, поскольку весовой коэффициент α в этом опе-раторе зависит только от разности локальных значений решений схем A и B в рассчитываемойпространственно-временной точке.

Безразмерное эффективное волновое число как функция безразмерного точного волновогочисла для различных симметричных схем. Кривые: 1 и 2 — бикомпактная схема 4-го порядкааппроксимации по x с интегрированием по времени методом трапеций при числах Куранта κ→ 0и κ = 0.2; 3 – компактная схема CCS-T4 4-го порядка, κ→ 0 [10]; 4 – компактная схема C4 4-гопорядка, κ → 0 [11]; 5 – компактная схема C6 6-го порядка, κ → 0 [11]; 6 – схема 6-го порядка,κ → 0 [12]; 7 и 8 – схема «КАБАРЕ» 2-го порядка [13] при κ → 0 и κ = 0.4. Жирной прямойпоказана идеальная зависимость ϕ∗ = ϕ

4. Экономичные методы реализации многомерных бикомпактных схем. В работе [9]предложен способ распараллеливания счета по многомерным нефакторизованным бикомпакт-ным схемам на многопроцессорных вычислительных системах. Для экономичной реализациимногомерных бикомпактных схем в [4] предложен и обоснован метод итерируемой приближен-ной факторизации операторов бикомпактных схем. Этот метод позволяет сохранить высокийпорядок точности бикомпактных схем как по пространственным переменным, так и по времени.


[1] Чикиткин А. В., Рогов Б. В. Бикомпактная схема шестого порядка аппроксимации со свойством спектраль-ного разрешения для уравнений гиперболического типа // Докл. АН. – 2017. – Т.476, 4. – С. 381-386.

[2] Рогов Б. В. Высокоточная монотонная компактная схема бегущего счета для многомерных уравнений гипер-болического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2013. – Т.53, 2. – С. 264-274.

[3] Chikitkin A. V., Rogov B. V., Utyuzhnikov S. V., High-order accurate monotone compact running scheme formultidimensional hyperbolic equations. // Appl. Numer. Math. – 2015. – V. 93. – P. 150-163.

[4] Брагин М. Д., Рогов Б. В. Метод итерируемой приближенной факторизации операторов высокоточной би-компактной схемы для систем многомерных неоднородных квазилинейных уравнений гиперболического типа// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2018. – Т.58, 3. – С. 313-325.

[5] Рогов Б. В., Брагин М. Д. О свойствах спектрального разрешения симметричных бикомпактных схем чет-вертого порядка аппроксимации // Докл. АН. – 2017. – Т.475, 2. – С. 140-144.

[6] Чикиткин А. В., Рогов Б. В. Оптимизированная бикомпактная схема шестого порядка аппроксимации с вы-соким спектральным разрешением для уравнений гиперболического типа // Докл. АН. – 2018. – Т.478, 6.– С. 631-636.

[7] Брагин М. Д., Рогов Б. В. Гибридные бикомпактные схемы с минимальной диссипацией для уравнений ги-перболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2016. – Т.56. 6. – С. 958-972.

[8] Брагин М. Д., Рогов Б. В. Новая гибридная схема для расчета разрывных решений гиперболических урав-нений // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. – 2016. – 22. – 22 с.

www.kromsh.info 89

[9] Чикиткин А. В., Рогов Б. В., Аристова Е. Н. Высокоточные бикомпактные схемы для многомерного неодно-родного уравнения переноса и их эффективная параллельная реализация // Докл. АН. – 2016. – Т.470, 2.– С. 144-149.

[10] Liu X., Zhang S., Zhang H., Shu C.-W. A new class of central compact schemes with spectral-like resolution I:Linear schemes // J. Comput. Phys. – 2013. – V.248. – P. 235-256.

[11] Colonius T., Lele S. K. Computational aeroacoustics: progress on nonlinear problems of sound generation // Prog.Aerosp. Sci. – 2004. – V.40. 6. – P.345-416.

[12] Абалакин И. В., Козубская Т. К. Многопараметрическое семейство схем повышенной точности для линейногоуравнения переноса // Матем. моделирование. – 2007. – Т.19. 7. – С. 56-66.

[13] Головизнин В. М., Самарский А. А. Некоторые свойства разностной схемы «КАБАРЕ» // Матем. моделиро-вание. – 1998. – Т.10. 1. – С. 101-116.

УДК: 519.612; 004.853

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИГРАВИМЕТРИИ ИТЕРАЦИОННЫМ ГРАДИЕНТНЫМ МЕТОДОМ

Султанов М. А., Ерназар А. С.

Международный казахско-турецкий университет имени Ходжи Ахмеда Ясави(Казахстан, Туркестан)


Исследуется нелинейная обратная задача гравиметрии о восстановлении одной поверхности раздела двух средпо исходным данным, состоящим из разности постоянной плотности и по гравитационному полю, измеренной нанекотором участке земной поверхности. При решении нелинейного интегрального уравнения для искомой поверх-ности раздела применяются метод BiCGSTAB. Для модельных данных приведены результаты вычислительныхэкспериментов, проведено сравнение итерационных алгоритмов по числу итераций.

Ключевые слова: обратные задачи гравиметрии, интегральное уравнение, алгоритм, методы градиентноготипа.

NUMERICAL SOLUTION OF NONLINEAR INVERSE GRAVITYPROBLEM OF ITERATIVE GRADIENT METHOD

Sultanov Murat, Yernazar Akbala

Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish University(Kazakhstan, Turkestan)

The nonlinear inverse problem of gravimetry on the reconstruction of a single surface between two media isinvestigated based on the initial data consisting of the difference in the constant density and the gravitational fieldmeasured at a certain section of the earth’s surface. To solve the nonlinear integral equation for the desired surface,the method BiCGSTAB is used. For model data, the results of computational experiments are presented, and iterativealgorithms are compared by the number of iterations.

Keywords: inverse problems of gravimetry, integral equation, algorithm, gradient-type methods.

Рассматривается нелинейная обратная задача гравиметрии о восстановлении одной поверхно-сти раздела по известному скачку плотности и гравитационному полю, измеренному на некото-рой области земной поверхности [1]. Будем предполагать, что рассматриваемая модель состоитиз двух слоев постоянной плотности, разделенных искомой поверхностью Γ, а гравитационнаяаномалия создана отклонением искомой поверхности Γ от горизонтальной плоскости z = H .При этих предположениях функция z = z (x, y), описывающая искомую поверхность раздела,удовлетворяет нелинейному двумерному интегральному уравнению Фредгольма первого рода

A [z] ≡ f ·∆σ+∞∫

−∞

+∞∫

−∞

1[(x− x′)2 + (y − y′)2 + z2 (x′, y′)

]1/2−

− 1[(x− x′)2 + (y − y′)2 +H2

]1/2

dx′dy′ = G (x, y) ,

(1)


где f− гравитационная постоянная, ∆σ− скачок плотности на границе раздела сред, G (x, y)−аномальное гравитационное поле, z = H− асимптотическая плоскость для данной грацы разде-ла, т.е. lim

|x|→∞,|y|→∞|z (x, y)−H | = 0.

Проведя дискретизацию уравнения (1) на сетке и аппрокцимации интегрального операторапо квадратурным формулам получаем систему нелинейных уравнений

An [z] = Fn (2)

Для численного решения системы нелинейных уравнений (2) используются различные методы,такие как метод Ньютона и итерационные методы градиентного типа и их различные модифи-кации [2, 3].

В данной работе для решения системы (2) мы используем метод BiCGSTAB (BiconjugateGradient Stabilized), который не допускает накопления погрешностей округленияи нестабильногоповедения невязки. По модельным данным численно решена обратная задача гравиметрии овосстановлении одной поверхности раздела.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерство образования и науки РеспубликиКазахстан (проект AP05133873).


[1] Нумеров Б.В. Интерпретация гравитационных наблюдений в случае одной контактной поверхности /Б.В.Нумеров // ДоклАН СССР. –1930. – 21. –C. 569 -574.

[2] Martyshko P.S. Solving the Structural Inverse Gravity Problemby the Modified Gradient Methods / P.S.Martyshko,E.N.Akimova, V.E.Misilov //Izvestiya, Physics of the Solid Earth, –2016. –Vol. 52, No. 5, –pp. 704-708.

[3] Ang D.D. Regularization ofnonlinear integral equation of gravimetry / D.D.Ang, R.Gorenflo, L.K.Vy // Journal ofInverse and Ill-Posed Prolems, –1997. –Vol. 5. 2. –pp. 101-116.

www.kromsh.info 91

Секция 7. Математическое моделированиеУДК: 517.925

О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ГЕМОДИНАМИЧЕСКИХПРОЦЕССОВ

Безяев В. И., Садеков Н. Х.

РУДН (Россия, Москва)


Рассмотрено два подхода математического моделирования кровотока в системе эластичных сосудов. Первыйподход относится к квазиодномерной модели гемодинамики, основанной на законах сохранения массы крови иимпульса. Получены точные решения некоторых задач для линеаризованных уравнений квазиодномерной гемо-динамики на графах ([6]). Кроме того, с помощью сеточно-характеристического метода ([4]) проведено численноеисследование квазиодномерных моделей гемодинамики для ряда графов сосудов. Вторая модель — двухмасштаб-ная, включает в себя как одномерную модель, так и трехмерную, основанную на уравнениях Навье-Стокса. Глав-ное преимущество такой модели состоит в том, что она существенно точнее отражает реальные гемодинамическиепроцессы, протекающие в сосудах.

Ключевые слова: Гемодинамика, графы, двухмасштабная модель, уравнения Навье-Стокса

ON MATHEMATICAL MODELING OF HEMODYNAMIC PROCESSES

Bezyaev Vladimir, Sadekov Nail

RUDN University (Russia, Moscow)

Two approaches of mathematical modeling of blood flow in the system of elastic vessels are considered. Precisesolutions of some problems for the linearized equations of hemodynamics on graphs are obtained. Using a grid-characteristic method, a numerical study of quasi-one-dimensional models of hemodynamics for a number of vasculargraphs was carried out. The second model is a two-scale model, which includes both a one-dimensional model and athree-dimensional model based on the Navier-Stokes equations.The main advantage of this model is that it reflects thereal hemodynamic processes taking place in the vessels much more accurately.

Keywords: hemodynamics, graphs, two-scale model, Navier-Stokes equations

При изучении гемодинамики используются различные математические подходы и модели -детерминированные, стохастические, электромеханические и другие. Наиболее распространен-ными и адекватными считаются модели течения вязкой несжимаемой жидкости в сосудах сэластичными стенками.

Одним из самых простых и изученных является принцип моделирования течения крови в со-судах с помощью квазиодномерного приближения. Применению квазиодномерного приближениядля задач гемодинамики посвящено достаточно большое количество работ (см., например, [1-3],причем в [1-2] имеются подробные обзоры и библиографии).

Еще одним современным и популярным подходом моделирования кровотока является так на-зываемое многомасштабное моделирование. В таких моделях рассматриваются области разныхразмерностей и, соответственно, различные модели комбинируются в зависимости от свойствсосудов и наличия различных патологий.

В рамках данной работы будут описаны и исследованы два вышеупомянутых подхода мо-делирования гемодинамики: квазиодномерная модель и двухмасштабная, включающая в себяодномерную и трехмерную модель.

Уравнения гемодинамики в одном сосуде для квазиодномерного приближения представляютсобой нелинейную гиперболическую систему из двух дифференциальных уравнений в частныхпроизводных и одного функционального соотношения:

∂S

∂t+∂(SU)

∂x= φ,

∂U

∂t+∂(U2

2 + Pρ )

∂x= ψ,

P = P (S),

(1)

где первое уравнение описывает закон сохранения массы, второе — закон сохранения импульса,а третье — это уравнение состояния. Здесь функция φ отвечает за отток или приток крови


из-за возможных травм стенок сосуда, а с помощью функции ψ можно учитывать воздействиевнешних сил, таких как силы трения, гравитации и др.

Рассмотрим теперь подход, включающий в себя комбинацию моделей разных размерностей.Такая совокупная модель называется двухмасштабной. Наиболее интересуемая окрестность (со-суд с атеросклеротической бляшкой, сосуд с аневризмой и др.) представляется трехмерной об-ластью Ω3D. В этой области при предположении неподвижной границы решаются уравненияНавье-Стокса. Остальные сосуды представляются в виде графа, на котором решается квазиод-номерная модель гемодинамики.

Кровь считается вязкой несжимаемой ньютоновской жидкостью, для описания течения ко-торой в ограниченной цилиндрической области Ω3D с фиксированной границей используютсяклассические уравнения Навье-Стокса в переменных давление-скорость

ρ(∂u

∂t+ (u · ∇)u)− ν∆u +∇p = f ,

div u = 0,(2)

где u — вектор скорости, p — давление, ρ — плотность жидкости, ν — вязкость жидкости.На основании Γin цилиндра Ω3D – входе в область Ω3D – ставится условие Дирихле, на бо-

ковой границе Γ0 – условие прилипания, на выходе Γout – другом основании цилиндра Ω3D –задается нормальная компонента тензора напряжения, кроме того известно начальное условиядля вектора u [5]:

u|Γin= uin,

u|Γ0 = 0,

(ν∂u

∂n− pn)|Γout

= φ,

u|t=t0 = u0,

(3)

где n — вектор нормали, а функции f , φ и u0 заданы.Таким образом, совокупность уравнений Навье-Стокса (2) и поставленных начальных и гра-

ничных условий (3) описывают трехмерную модель течения вязкой несжимаемой жидкости —крови.

Для сопряжения решений одномерной и трехмерной моделей естественно требовать непре-рывность некоторых осредненных характеристик трехмерного течения жидкости и соответству-ющих значений в одномерной области. Таким образом получается двухмасштабная модель типа1D-3D-1D.

С помощью методов расщепления задача 1D-3D-1D разделяется на отдельные одномернуюи трехмерную подзадачи, при этом трехмерные уравнения Навье-Стокса решаются численно спомощью стандартных программных пакетов.

Проведенные численные эксперименты с задачей 1D-3D-1D протестированы на известных ана-литических решениях.


[1] Абакумов Н.В. и др. Методика математического моделирования сердечно-сосудистой системы / Н.В. Абакумови др. // Математическое моделирование. – 2000. – Т. 12, 2.– С. 106–117.

[2] Мухин С.И. Математическое моделирование гемодинамики./ С.И. Мухин. – Дисс. д.ф.-м.н., МГУ, 2008. – 266с.

[3] Кошелев В.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Математические модели квази-одномерной гемоди-намики./ В.Б. Кошелев и др. – М.: МГУ, 2010. – 114 с.

[4] Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. 2-е изд., испр. и доп. — М.:Издательство Юрайт, 2018. — 313 с.

[5] Добросердова Т. К. Численное моделирование кровотока при наличии сосудистых имплантов или патологий./ Т.К. Добросердова. – Дисс. к.ф.-м.н., МГУ, 2013. – 102 с.

[6] Безяев В.И., Садеков Н.Х. О некоторых задачах гемодинамики на графах / В.И. Безяев, Н.Х Садеков //Современная математика. Фундаментальные направления. – 2016. – Т. 62. – С. 5–18.

www.kromsh.info 93

УДК: 517.97 : 532.526

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙНА ЛОКАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ТЕПЛООБМЕНА И ТРЕНИЯ

В ТОЧКЕ ТОРМОЖЕНИЯ ГИПЕРЗВУКОВОГО ПОТОКА

Бильченко Г. Г., Бильченко Н. Г.

КНИТУ-КАИ им. А. Н. Туполева (Россия, Казань)

E-mail: [email protected] , [email protected]

Исследуются свойства математической модели управления тепломассообменом в ламинарном пограничномслое на проницаемых цилиндрических и сферических поверхностях гиперзвуковых летательных аппаратов. Длядвух специальных случаев значения управления (температурного фактора) в точке торможения гиперзвуково-го потока получены нелинейные системы алгебраических уравнений. Приведены результаты вычислительныхэкспериментов.

Ключевые слова: управление, тепломассообмен, трение, ламинарный пограничный слой, гиперзвуковые тече-ния, проницаемые поверхности, точка торможения, температурный фактор, нелинейная система алгебраическихуравнений.

ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF CONTROL PARAMETERSON THE LOCAL PARAMETERS OF HEAT TRANSFER AND FRICTION

AT THE STAGNATION POINT OF THE HYPERSONIC FLOW

Bilchenko Grigory, Bilchenko Natalya

Kazan National Research Technical University (KNRTU-KAI) named after A. N. Tupolev (Kazan,Russia)

The properties of mathematical model of heat and mass transfer control in laminar boundary layer on permeablecylindrical and spherical surfaces of hypersonic aircraft are investigated. The nonlinear algebraic equations systems areobtained for two special values of control (temperature factor) in the hypersonic flow stagnation point. The computationexperiments results are presented.

Keywords: control, heat and mass transfer, friction, laminar boundary layer, hypersonic flows, permeable surfaces,stagnation point, temperature factor, nonlinear algebraic equations system.

Данная работа является продолжением [1].1. Системы [2] для нахождения функций θ0(m0, τ0, s0), θ1(. . .), ω0(. . .), ω1(. . .) величин

m0 = m(x0), τ0 = τw(x0), s0 = σB20(x0) из асимптотических (x∗0 ≈ x0) представлений

θ0 ≈ θ0 · (x∗0)k3 ; θ1 ≈ θ1 · (x∗0)k3 ; ω0 ≈ ω0 · (x∗0)k3 ; ω1 ≈ ω1 · (x∗0)k3

параметров модели пограничного слоя (ПС) – функций θ0(x;m, τw, s), θ1(. . .), ω0(. . .), ω1(. . .) вокрестности точки торможения (ТТ) x0 = 0 можно записать в виде:

18m0 − k0θ0 − 7θ1 + 8ω0 + 10ω1 +34b0(0)C

θ0− 32b1(0)C

θ1

+

+1

5C0B

20 ·(5θ0 + 10θ1 − 4ω0 − 11ω1

)= 0 ; (1)

12m0 − 4θ0 − k1θ1 − 4ω0 + 8ω1 +20b0(0)C

θ0− 16b1(0)C

θ1+

2

5C0B

20 ·(5θ1 − ω0 − 4ω1

)= 0 ; (2)

(1− τ0) · θ0 − ω0 = 0 ; (3)

6m0ω0

θ0− ω0 − k2ω1 +

ω 20

θ0+ 4

ω 21

θ1+ 6

ω0b0(0)C

θ2

0

+ C

(1

Pr+ 1

)[b0(0)

θ0

(− 3

ω0

θ0+ 4

ω1

θ1

)−

− 4b1(0)

θ1

ω0

θ0

]− 6Cb0(0)

Pr θ0

(− 3

ω0

θ0+ 4

ω1

θ1

)+

1

10B2

0C0

(10ω1 −

ω 20

θ0

− 8ω 2

1

θ1

)= 0 , (4)

где (k0; k1; k2; k3) = (10; 7; 4; 1) для случая боковой поверхности цилиндраи (k0; k1; k2; k3) = (11; 8; 5; 2) для случая поверхности сферического носка.

2. Случай τ0 = 0 . Подстановка τ0 = 0 в (3) даёт ω0 = θ0 , а (1), (2), (4) дают

18m0 + (8−k0)θ0− 7θ1 + 10ω1 +34b0(0)C

θ0

− 32b1(0)C

θ1+C0B

20

5

(θ0+10θ1−11ω1

)= 0 ; (5)


12m0 − 8θ0 − k1θ1 + 8ω1 +20b0(0)C

θ0− 16b1(0)C

θ1+

2C0B20

5

(− θ0 + 5θ1 − 4ω1

)= 0 ; (6)

6m0 − k2ω1 + 4ω 2

1

θ1+ 6

b0(0)C

θ0+ C

(1

Pr+ 1

)[b0(0)

θ0

(4ω1

θ1− 3

)− 4

b1(0)

θ1

]−

− 6Cb0(0)

Pr θ0

(4ω1

θ1− 3

)+

1

10B2

0C0

(− θ0 + 10ω1 − 8

ω 21

θ1

)= 0 . (7)

3. Случай τ0 6= 1 . Пусть значения неизменяемых параметров

число Маха M∞ ∈ [10; 40]; высота полёта H ∈ [10; 30] [км]; радиус тела R∈ [0,1; 1] [м] (8)

фиксированы, а диапазоны изменения управляющих параметров в ТТ ограничены

m0 =m(0)∈M c = [0; 1]; τ0 = τw(0)∈T c1 = [0,75; 1,25]; s0 =σB2

0(0)∈Sc = [0; 5 ·104] (9)

(здесь и далее размерность [Тл/(Ом ·м)] параметра s0 опущена). Для малого значения ε> 0обозначим T<

ε = [0,75; 1− ε], T>ε = [1 + ε; 1,25], T<>

ε = T<ε ∪ T>

ε .Утверждение 1. В условиях (8), (9) для любого ε> 0 для k=0, 1, во-первых, существуют

θ<

k (ε) = minτ0∈T <

ε

θk > 0 , θ>

k (ε) = minτ0∈T >

ε

θk > 0 , ω<k (ε) = min

τ0∈T <ε

ωk > 0 , ω>k (ε) = max

τ0∈T >ε

ωk < 0 ,

q<0 (ε) = min

τ0∈T <ε

q0> 0 , q>0 (ε) = max

τ0∈T >ε

q0< 0 , f<

0 (ε) = minτ0∈T <

ε

f0> 0 , f>

0 (ε) = minτ0∈T >

ε

f0> 0 ,

во-вторых, существуют такие θk,min и f0,min , что

0<θk,min<θ>

k (ε)<θ<

k (ε) , 0<f0,min<f<

k (ε)<f>

k (ε) ,

в-третьих, зависимости θk, ωk, q0 = q(x0;m0, τ0, s0), f0 = f(m0, τ0, s0) от m0, τ0, s0 удовле-творяют условиям :

∂θk

∂m0> 0 ,

∂θk

∂τ0< 0 ,

∂θk

∂s0> 0 ,

∂ωk

∂τ0< 0 ,

∂q0∂τ0

< 0 ,∂f0

∂m0< 0 ,

∂f0

∂τ0> 0 ,

∂f0

∂s0< 0 для τ0 ∈T<>

ε ;

∂ωk

∂m0> 0 ,

∂ωk

∂s0> 0 ,

∂q0∂m0

< 0 ,∂q0∂s0

< 0 для τ0 ∈ T<ε ;

∂ωk

∂m0< 0 ,

∂ωk

∂s0< 0 ,

∂q0∂m0

> 0 ,∂q0∂s0

> 0 для τ0 ∈ T>ε .

4. Случай τ0 =1. При τ→ 1 из (3) следует ω0→ 0, так как θ0>θ0,min> 0 для τ ∈T c1 \1. (Т.е.

в Утв. 1 limε→0+

ω<0 (ε)= lim

ε→0+ω>

0 (ε)=0.) Так как θ1>θ1,min> 0, то (4) при τ→ 1 (и ω0→ 0) даёт

ω1

[(5−B2

0C0

) ω1

5+(B2

0C0 − k2

) θ14

+Pr−5

Pr· Cb0(0)

θ0

]= O (ω0) . (10)

При τ0 =T (x0)/Te0 =1 локальный тепловой поток q0 = 0. Следовательно для физически реа-лизуемых [2] решений (1)–(4) при τ→ 1 (и ω0→ 0) из (10) следует ω1→ 0. (Отсюда в Утв. 1lim

ε→0+ω<

1 (ε)= limε→0+

ω>1 (ε)= 0.) Наконец, при τ→ 1 (и ω0→ 0, ω1→ 0) из (1), (2) следует

18m0 − k0θ0 − 7θ1 +34b0(0)C

θ0− 32b1(0)C

θ1+ C0B

20 ·(θ0 + 2θ1

)= O (ω0) +O (ω1) ; (11)

12m0 − 4θ0 − k1θ1 +20b0(0)C

θ0− 16b1(0)C

θ1+ 2C0B

20 · θ1 = O (ω0) +O (ω1) . (12)

Утверждение 2. В условиях (8), (9) пределом физически реализуемых решений системы(1)–(4) при τ→ 1 являются (ω0, ω1) = (0, 0) и решение

(θ0, θ1

)“укороченной” [3] системы:

18m0 − k0θ0 − 7θ1 +34b0(0)C

θ0− 32b1(0)C

θ1+ C0B

20 ·(θ0 + 2θ1

)= 0 ; (13)

12m0 − 4θ0 − k1θ1 +20b0(0)C

θ0− 16b1(0)C

θ1+ 2C0B

20 · θ1 = 0 . (14)

Утверждение 3. В условиях (8), (9) зависимости q0, f0 от m0, τ0, s0 при τ0 =1 имеют вид:

q0 = 0 ,∂q0∂m0

= 0 ,∂q0∂τ0

< 0 ,∂q0∂s0

= 0 , f0 > 0 ,∂f0

∂m0< 0 ,

∂f0

∂τ0> 0 ,

∂f0

∂s0< 0 ;

D(q0, f0)

D(m0, τ0)= det

∂(q0, f0)

∂(m0, τ0)< 0 ,

D(q0, f0)

D(m0, s0)= det

∂(q0, f0)

∂(m0, s0)= 0 ,

D(q0, f0)

D(τ0, s0)= det

∂(q0, f0)

∂(τ0, s0)> 0 .

www.kromsh.info 95

5. На рис. 1, 2 для случая обтекания боковой поверхности прямого кругового цилиндрапредставлены результаты вычислительных экспериментов, выполненных для воздуха в атмо-сфере Земли при H =10 [км], M∞ =10, R=0,1 [м]: в графическом виде в терминах пар «теп-ло – трение» (q0, f0) для τ0 ∈T c

1 (как в [4] для τ0 ∈ [0; 1)) представлены серии решений систем(1)–(4) при τ0 6= 1 и систем (13)–(14) при τ0 =1 с ω0 =ω1 =0. Отмечены точки A1: (m0 =0,τ0 =0,75, s0 = 0), B1: (m0 =1, τ0 = 0,75, s0 =0), C1: (m0 =0, τ0 = 1,25, s0 =0), D1: (m0 =0,τ0 =0,75, s0 = 5 · 104). Обозначим (для рис. 1) Md

05 = 0; 0,05; . . . ; 1, T d05,1 = 0,75; 0,80; . . . ; 1,25

и (для рис. 2) Md25 = 0; 0,25; . . . ; 1, T d

15;10 = 0,75; 0,90; 1,00; 1,10; 1,25, Sd25 = 0; 2,5 · 104; 5 · 104,

M1 =

(m0, τ0, s0)∣∣m0 ∈M c

∣∣τ0 ∈T d15,10, s0 ∈Sd

25

, T1 =

(m0, τ0, s0)

∣∣τ0 ∈T c1

∣∣m0 ∈Md25, s0 ∈Sd

25

,

S1 =

(m0, τ0, s0)∣∣s0 ∈Sc

∣∣m0 ∈Md25, τ0 ∈ T d

15,10

. Зависимости q0, f0 от m0, τ0, s0 для случая об-

текания сферического носка – аналогичные.

−0.1 0 0.1 q

0.3

0.4

0.5

0.6

f

cyl

(τ0=0.75,s

0=0)

(m0=0,s

0=0)

C1

B1

A1

−0.1 0 0.1 q

0.3

0.4

0.5

0.6

f

C1

B1

(m0=0,τ

0=0.75)

A1

D1

(m0=0,s

0=0)

cyl

Рис. 1. Область ΩT c1

= (q0, f0) при s0 = 0 Рис. 2. Три семейства линий M1, T1, S1

Влияние m(x) и τw(x) на всём участке X = [0; 1] управления ПС на интегральный тепловойпоток Q и суммарную силу трения Ньютона F изучается в [5].

Работа выполнена: а) при государственной поддержке научных исследований, проводимыхпод руководством ведущих учёных в российских вузах (ведущий учёный – С. А. Исаев, КНИТУ–КАИ, г. Казань) по гранту Правительства России 14.Z50.31.0003; б) в рамках Государственногозадания Министерства образования и науки Российской Федерации 9.3236.2017/4.6.


[1] Бильченко Г. Г., Бильченко Н.Г. Об одном специальном случае управления в точке торможения гипер-звукового потока / Г. Г. Бильченко, Н. Г. Бильченко // Сборник материалов международной конференции«XXVIII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам»(КРОМШ – 2017). Секции 5–9. – Симферополь: ДИАЙПИ, 2017. – С. 30-32.

[2] Бильченко Н.Г. Метод А.А.Дородницына в задачах оптимального управления тепломассообменом на прони-цаемых поверхностях в ламинарном пограничном слое электропроводящего газа / Н.Г. Бильченко // ВестникВоронеж. гос. ун-та. Сер. Системный анализ и информационные технологии. – 2016. – 1. – С. 5-14.

[3] Бильченко Г. Г., Бильченко Н.Г. Об одном специальном случае значения управления (температурного факто-ра) в точке торможения гиперзвукового потока / Г. Г.Бильченко, Н. Г. Бильченко // Вестник Воронеж. гос.ун-та. Сер. Системный анализ и информационные технологии. – 2017. – 4. – С. 5–12.

[4] Бильченко Г. Г., Бильченко Н.Г. Обратные задачи тепломассообмена на проницаемых поверхностях гиперзву-ковых летательных аппаратов. III. О постановке двумерных задач и областях допустимых значений «тепло –

трение» / Г. Г.Бильченко, Н. Г.Бильченко // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер. Системный анализ и инфор-мационные технологии. – 2017. – 1. – С. 18-25.

[5] Бильченко Г. Г., Бильченко Н.Г. Анализ влияния управляющих воздействий на интегральные параметры теп-лообмена и трения на проницаемых поверхностях ГЛА / Г. Г. Бильченко, Н. Г.Бильченко // Сборник матери-алов международной конференции «XXIX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спек-тральным и эволюционным задачам» (КРОМШ – 2018).


УДК: 517.97 : 532.526

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙНА ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ТЕПЛООБМЕНА И ТРЕНИЯ

НА ПРОНИЦАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ ГЛА

Бильченко Г. Г., Бильченко Н. Г.


E-mail: [email protected] , [email protected]

Исследуются свойства математической модели управления тепломассообменом и трением в ламинарном по-граничном слое на проницаемых цилиндрических и сферических поверхностях гиперзвуковых летательных ап-паратов. Получены зависимости значений функционалов гиперзвуковой аэродинамики (интегрального тепловогопотока и суммарной силы ньютоновского трения) от управляющих воздействий (вдува, температурного фактора,магнитного поля). Приведены результаты вычислительных экспериментов.

Ключевые слова: управление, тепломассообмен, ламинарный пограничный слой, гиперзвуковые течения, про-ницаемые поверхности, интегральный тепловой поток, суммарная сила ньютоновского трения, метод обобщенныхинтегральных соотношений, аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений, нелиней-ная система алгебраических уравнений.

ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF CONTROL PARAMETERSON THE LOCAL PARAMETERS OF HEAT TRANSFER AND FRICTION

AT THE STAGNATION POINT OF THE HYPERSONIC FLOW

Bilchenko Grigory, Bilchenko Natalya


The properties of mathematical model of heat and mass transfer and friction control in laminar boundary layeron permeable cylindrical and spherical surfaces of hypersonic aircraft are investigated. The dependences of hypersonicaerodynamics functionals (the total heat flow and the total Newton friction force) values on controls (the blowing intoboundary layer, the temperature factor, the magnetic field) are obtained. The computational experiments results arepresented.

Keywords: control, heat and mass transfer, laminar boundary layer, hypersonic flows, permeable surfaces, total heatflow, total Newton friction force, method of generalized integral relations, approximating system of ordinary differentialequations, nonlinear algebraic equations system.

1. Рассмотрим прямую задачу: (m, τw, s) → (q, f, η;Q,F,N). По заданным управлениям:m(x) – вдуву в ламинарный пограничный слой (ПС), τw(x) – температурному фактору(τw(x)=Tw(x)/Te0 , где Tw(x) – температура стенки, а Te0 – температура в точке торможения(ТТ) потока), s(x)= σB2

0(x) – магнитному полю, где x∈X = [0; 1] (ось x направлена вдоль конту-ра тела), требуется рассчитать параметры θ0(x;m, τw , s), θ1(. . .), ω0(. . .), ω1(. . .) математическоймодели ПС [1] (для случаев обтекания боковой поверхности кругового цилиндра и поверхностисферического носка). Далее необходимо вычислить: локальный тепловой поток q(x;m, τw , s); ло-кальное напряжение трения f(x;m, τw, s); локальную мощность обеспечивающей вдув системыη(x;m, τw , s), определяемую с использованием фильтрационного закона Дарси [2]; интегральныйтепловой поток Q(m, τw, s); суммарную силу трения Ньютона F (m, τw, s); мощность N(m, τw, s)системы, обеспечивающей вдув:

Q=

∫ xk

0

(2πr)k4

(λ

Cp

∂H

∂y

)

y=0

dx; F =

∫ xk

0

(2πr)k4

(µ∂u

∂y

)

y=0

dx; N =

∫ xk

0

(2πr)k4av2w(x) dx. (1)

Для нахождения параметров θ0 , . . . , ω1 ПС применяется объединённая (из полученных в [1]по методу А. А. Дородницына [3], применяемому в инженерной практике для расчёта аэродина-мических характеристик течений сжимаемых газов [4, 5, 6]) аппроксимирующая система ОДУ

θ ′0 = 18mr k4 − 6βq

[9

6θ0 +

7

6θ1 −

4

3ω0 −

5

3ω1

]+

34b0q

θ0− 32b1q

θ1+

+ 6AB20q

θ0

(1

6− 1

60α2

e

)+ θ1

(1

3− 1

15α2

e

)− 2

15ω0 −

11

30ω1

; (2)

www.kromsh.info 97

θ ′1 = 12mr k4 − 12βq

[1

3θ0 +

1

2θ1 −

1

3ω0 −

2

3ω1

]+

20b0q

θ0− 16b1q

θ1+

+ 24AB20q

1

60α2

eθ0 + θ1

(1

12− 1

30α2

e

)− 1

60ω0 −

1

15ω1

; (3)

ω ′0 = (1− τw) θ ′

0 − τ ′wθ0 ; (4)

ω ′1 = 6mr k4

ω0

θ0− 6βq

[1

6ω0 +

1

2ω1 −

1

6

ω20

θ0− 2

3

ω21

θ1

]+

6b0ω0q

θ20+

+ 6q

(1

Pr+ 1

)[1

6

b0θ0

(− 3

ω0

θ0+ 4

ω1

θ1

)− 2

3

b1θ1

ω0

θ0

]− 6qb0

Pr θ0

(− 3

ω0

θ0+ 4

ω1

θ1

)+

+ 4α2eq

(1

Pr− 1

)b1θ1

+ 6B20q

(A

1

60α2

eω0 + ω1

(1

6− 1

15α2

e

)− 1

60

ω20

θ0− 2

15

ω21

θ1

+

+G

θ0

(1

60− 1

70α2

e

)+ θ1

(− 1

20+

1

42α2

e

)+

1

30ω1

). (5)

Здесь m =(ρv)w

ρe0

√ℓ

Vmaxνe0

; r =r

ℓ; q = αeφr

k5 ; φ =(1− α2

e

) γγ−1 .

Для x∗0 ≈x0 из окрестности ТТ x0 =0 для (2)–(5) начальные условия [1] имеют вид:

θ∗0 = θ0 · (x∗0)k3 ; θ∗1 = θ1 · (x∗0)k3 ; ω∗0 = ω0 · (x∗0)k3 ; ω∗

1 = ω1 · (x∗0)k3 , (6)

где m0 =m(x0); τ0 = τw(x0); s0 = s(x0), а θ0, θ1, ω0, ω1 могут быть получены из нелинейных алгеб-раических систем (1)–(4) [7] при τ0 6= 1 или (13)–(14) [7] при τ0 = 1. В (1)–(6) (k3; k4; k5)= (1; 0; 0)для боковой поверхности цилиндра, (k3; k4; k5)= (2; 1; 2) для поверхности сферического носка.

2. Пусть значения неизменяемых параметров число Маха M∞ ∈ [10; 40], высота полётаH ∈ [10; 30] [км], радиус тела R∈ [0,1; 1] [м] фиксированы, а диапазоны изменения постоянныхуправляющих параметров m∈M c = [0; 1], τw ∈T c = [0; 1], s=σB2

0 ∈Sc = [0; 5 · 104] ограничены(здесь и далее размерность [Тл/(Ом ·м)] параметра s опущена).

На рис. 1–4 для случая обтекания боковой поверхности прямого кругового цилиндра представ-лены результаты вычислительных экспериментов, выполненных для воздуха в атмосфере Землипри H =10 [км], M∞ = 10, R=0,1 [м]. Отмечены точки A: (m≡ 0, τw ≡ 0, s≡ 0), B: (m≡ 1, τw ≡ 0,s≡ 0), C: (m≡ 0, τw ≡ 1, s≡ 0), D: (m≡ 0, τw ≡ 0, s≡ 5 · 104). Обозначим Md

05 = 0; 0,05; . . . ; 1,Md

25 = 0; 0,25; . . . ; 1, T d05 = 0; 0,05; . . . ; 1, T d

15 = 0; 0,15; . . . ; 0,9, Sd25 = 0; 2,5 · 104; 5 · 104,

M =

(m, τw, s)∣∣m∈M c

∣∣τw ∈T d15, s∈Sd

25

, T =

(m, τw, s)

∣∣τw ∈T c∣∣m∈Md

25, s∈Sd25

,

S=

(m, τw, s)∣∣s∈Sc

∣∣m∈Md25, τw ∈T d

15

.

Зависимости Q, F от m, τw, s для случая обтекания сферического носка – аналогичные.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 m 1

0

0.1

0.2

0.3

Q

C

cyl A

B

0 0.2 0.4 0.6 0.8 m 1 0 0.1 0.2 F

cyl

A

B

C

Рис. 1. Зависимости Q и F от m∈M c при τw ∈T d05 и s≡ 0

3. Утверждение. Для законов управления m≡C1 ∈ [0; 1] и τw ≡C2 ∈ [0; 1] (т.е. безразмерныеm и τw являются постоянными) мощность N(m, τw, s) обеспечивающей вдув системы явля-ется симметричной функцией управлений m и τw , т.е.

∀s ∈[0; 5 · 104

] (∀C1, C2 ∈ [0; 1]⇒

[N (C1, C2, s) = N (C2, C1, s)

]). (7)


0 0.2 0.4 0.6 0.8 t 1

0

0.1

0.2

0.3

Q

cyl A

B

C

0 0.2 0.4 0.6 0.8 t 1 0 0.1 0.2 F

cyl

A

B

C

Рис. 2. Зависимости Q и F от τw ∈T c при m∈Md05 и s≡ 0

0 0.1 0.2 0.3 Q 0

0.1

0.2

F

(m≡0,s≡0)

(τw

≡0,s≡0)

cyl

A

B

C

0 0.1 0.2 0.3 Q 0 0.1 0.2 F

(τw

≡0,s≡0)

(m≡0,s≡0)

(m≡0,τw

≡0)

cyl

A

D

B

C

Рис. 3. Область Ω =(Q,F )

при s≡ 0 Рис. 4. Три семейства линий M , T , S

Работа выполнена: а) при государственной поддержке научных исследований, проводимыхпод руководством ведущих учёных в российских вузах (ведущий учёный – С. А. Исаев, КНИТУ–КАИ, г. Казань) по гранту Правительства России 14.Z50.31.0003; б) в рамках Государственногозадания Министерства образования и науки Российской Федерации 9.3236.2017/4.6.


[1] Бильченко Н.Г. Метод А.А.Дородницына в задачах оптимального управления тепломассообменом на прони-цаемых поверхностях в ламинарном пограничном слое электропроводящего газа / Н.Г. Бильченко // ВестникВоронеж. гос. ун-та. Сер. Системный анализ и информационные технологии. – 2016. – 1. – С. 5-14.

[2] Белов С.В. Пористые металлы в машиностроении. – М.: Машиностроение, 1981. – 247 с.[3] Дородницын А.А. Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя // Прикладная ма-

тематика и техническая физика. – 1960. – 3. – С. 111-118.[4] Лю Шэнь-Цюань Расчёт ламинарного слоя в сжимаемом газе при наличии отсоса или вдува // Журнал

вычислительной математики и математической физики. – 1962. – Т. 2.– 5.– С. 868-883.[5] Павловский Ю.Н. Численный расчёт пограничного слоя в сжимаемом газе // Журнал вычислительной ма-

тематики и математической физики. – 1962. – Т. 2.– 5.– С. 884-901.[6] Башкин В. А. Расчёт уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя методом интегральных

соотношений // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1968. – Т. 8.– 6. – С. 1280-1290.

[7] Бильченко Г. Г., Бильченко Н.Г. Анализ влияния управляющих воздействий на локальные параметры тепло-обмена и трения в точке торможения гиперзвукового потока / Г. Г.Бильченко, Н. Г.Бильченко // Сборникматериалов международной конференции «XXIX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум поспектральным и эволюционным задачам» (КРОМШ – 2018).

www.kromsh.info 99

УДК: 531.384

АЛГОРИТМ КЛАССИФИКАЦИИ ДВУСТОРОННИХ ДВИЖЕНИЙНОСИТЕЛЯ С ПОДВИЖНЫМ ГРУЗОМ

ПО НЕГЛАДКОЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Бильченко Г. Г.



Рассматривается механическая система, состоящая из носителя и груза, совершающего заданное движение поотношению к носителю. Уточняется классификация регулярных типов движений носителя. Исследуется влияниеугла установки канала на условия возможных движений носителя из состояния покоя. Обсуждаются результатывычислительных экспериментов.

Ключевые слова: носитель, груз, угол установки, трение скольжения в движении, интервал покоя, моментпереключения, фазовый портрет.

СLASSICATION ALGORITHM FOR BILATERAL MOTIONSOF A CARRIER WITH A MOBILE LOAD

ON ROUGH HORIZONTAL PLANE

Bilchenko Grigory


The mechanical system consisting of a carrier and a load is considered. The load can move respectively the carrieraccording to the preset given motion law. The carrier motions regular types classification is precised. The channelinclination angle influence on the conditions of carrier possible motions from rest is investigated. The computationalexperiments results are discussed.

Keywords: carrier, load, inclination angle, kinetic friction, rest interval, switching time, phase portrait.

1. Рассматривается движение механической системы, состоящей из носителя и груза [1, 2]. Но-ситель, располагаясь всё время в горизонтальной плоскости, двигается поступательно по прямо-линейной траектории. Носитель имеет прямолинейный канал, по которому может перемещатьсягруз, рассматриваемый далее, как материальная точка. Ось канала располагается в вертикаль-ной плоскости, проходящей через траекторию носителя.

Если закон движения груза в канале задан в виде x2(t) = ℓ · sin(ωt), где ℓ = Const, ω = Const,а силы сопротивления среды движению носителя являются силами типа кулонова трения, тодифференциальные уравнения движения носителя (ДУДН), согласно [1, 2], будут следующими

x = β (cosϕ+ f · sinϕ) · sin (ωt)− γ при x > 0 ; (1)

x = β (cosϕ− f · sinϕ) · sin (ωt) + γ при x < 0 ; (2)

x = 0 при x = 0 , (3)

где x – координата носителя; ϕ – угол установки канала; β =m

M +m· ℓ ·ω2 ; γ = g ·f ; M – масса

носителя; m – масса груза; g – ускорение свободного падения; f – коэффициент трения сколь-жения в движении, равный коэффициенту трения скольжения в покое, для пары «носитель –подстилающая плоскость».

1.1. Пусть значения параметров системы m, M , ℓ, ω, f , ϕ таковы, что выполняется необходи-мое условие движения носителя (ДН) из состояния покоя (СП) в положительном направленииоси Ox

β (cosϕ+ f · sinϕ) > γ .

Найдём

γ+ =γ

cosϕ+ f · sinϕ .

1.2. Пусть также выполняется необходимое условие ДН из СП в отрицательном направленииоси Ox

β (cosϕ− f · sinϕ) > γ .


Найдём

γ− =γ

cosϕ− f · sinϕ .

1.3. Будем предполагать, что выполнено неравенство

β · |sinϕ| < g ,

которое гарантирует безотрывное от горизонтальной плоскости ДН.1.4. Если в исследуемой системе β ≥ g, то найдём

−→ϕ ∗ = arcsing

β.

Вычислим [3]

−→ϕ ∗ = 2 arctg− βf +

√β2(1 + f2)− γ2

β + γ

и определим←−−→Φ ≡ [0;−→ϕ max], где

−→ϕ max =

min −→ϕ ∗;

−→ϕ ∗ при β ≥ g ;−→ϕ ∗ при β < g .

Будем предполагать, что для исследуемой системы ϕ ∈ ←−−→Φ .2. Проведём классификацию возможных двусторонних ДН из СП для ϕ ≥ 0.Введём определяющие выражения

I1 =√β2 − γ2

− +√β2 − γ2

+ − γ+ ·[π + arcsin

(γ−β

)− arcsin

(γ+

β

)];

I2 =√β2 − γ2

− +√β2 − γ2

+ − γ− ·[π + arcsin

(γ+

β

)− arcsin

(γ−β

)];

I3 =√β2 − γ2

+ + β · cos

(f · π · tgϕ+ arcsin

(γ+

β

))− γπ

cosϕ.

2.1. Алгоритм классификации двусторонних ДН из СП при ϕ > 0 имеет вид:Шаг 1. Вычислим значение I1.Шаг 1.1. Если I1 < 0, то ДН имеет тип R2 [2] и, следовательно, анализ динамики завершён(АДЗ).Шаг 1.2. Если I1 = 0, то ДН имеет тип R3 [2], АДЗ.Шаг 1.3. Если I1 > 0, то перейти к Шагу 2.Шаг 2. Вычислим значение I2.Шаг 2.1. Если I2 < 0, то ДН имеет тип R3, АДЗ.Шаг 2.2. Если I2 = 0, то ДН имеет тип R3, АДЗ.Шаг 2.3. Если I2 > 0, то перейти к Шагу 3.Шаг 3. Вычислим значение I3.Шаг 3.1. Если I3 < 0, то ДН имеет тип R3, АДЗ.Шаг 3.2. Если I3 = 0, то ДН имеет тип R5 [2], АДЗ.Шаг 3.3. Если I3 > 0, то ДН имеет тип NR [2], АДЗ.

2.2. Алгоритм классификации двусторонних ДН из СП при ϕ = 0.В этом случае γ+ = γ− = γ = g · f, а определяющие выражения I1, I2 и I3 будут иметь вид

I1 = I2 = I3 = I = 2√β2 − γ2 − γπ.

Шаг 1. Вычислим значение I.Шаг 1.1. Если I < 0, то ДН имеет тип R2, АДЗ.Шаг 1.2. Если I = 0, то ДН имеет тип R5, АДЗ.Шаг 1.3. Если I > 0, то ДН имеет тип NR, АДЗ.

2.3. Замечание. Алгоритм классификации двусторонних ДН из СП при ϕ < 0 строитсяаналогично случаю ϕ > 0.

3. Приводятся фазовые портреты движений носителя, соответствующие сочетаниям парамет-ров, реализующих ДН типа R2, R3, R5 и NR.

www.kromsh.info 101


[1] Бильченко Г. Г. Влияние подвижного груза на динамику носителя / Г. Г. Бильченко // Тезисы докладов меж-дународной конференции «Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы», посвящённой памятипрофессора В.Ф.Демьянова (CNSA – 2017, г. Санкт-Петербург, 22-27 мая 2017 г.).– Ч. I.– СПб.: Изд-во ВВМ,2017. – С. 218-224.

[2] Бильченко Г. Г. Влияние подвижного груза на движение носителя / Г. Г.Бильченко // Аналитическая меха-ника, устойчивость и управление: Труды XI Международной Четаевской конференции. Т. 1. Секция 1. Анали-тическая Механика. Казань, 13-17 июня 2017 г.– Казань: Изд-во КНИТУ-КАИ, 2017. – С. 37-44.

[3] Бильченко Г. Г. Движение носителя с подвижным грузом по горизонтальной плоскости / Г. Г.Бильченко //Сборник материалов международной конференции «XXVIII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам» (КРОМШ – 2017). Секции 1–4. – Симферополь:ДИАЙПИ, 2017. – С. 58-61.

УДК: 532.5:551.466.8

О ГЕНЕРАЦИИ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫИНЕРЦИОННО-ГРАВИТАЦИОННЫМИ ВНУТРЕННИМИ ВОЛНАМИ В

ДВУМЕРНОМ ПОТОКЕ

Воротников Д. И.


Слепышев А. А.

ФГБУН Морской гидрофизический институт РАН (Россия, Севастополь)


Свободные внутренние волны рассматриваются на двумерном течении идеальной стратифицированной жид-кости с вертикальным сдвигом скорости при учете вращения Земли. Уравнение для амплитуды вертикальнойскорости внутренних волн имеет комплексные коэффициенты, когда компонента скорости течения, поперечнаяк направлению распространения волны, зависит от вертикальной координаты. Поэтому собственная функцияи частота волны — комплексные (показано, что имеет место слабое затухание волны). Вертикальный волновойпоток массы отличен от нуля и вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа также отлична от нуля ивносит свой вклад в волновой перенос. Указанные волновые потоки приводят к неосциллирующей на временноммасштабе волны поправке к средней плотности — к тонкой структуре, генерируемой волной.

Ключевые слова: внутренние волны, волновые потоки массы, стоксов дрейф, вертикальная тонкая структура.

ON THE GENERATION OF VERTICAL FINE STRUCTURE BYINERTIA-GRAVITY INTERNAL WAVES IN A TWO-DIMENSIONAL FLOW

Vorotnikov D. I., Slepyshev A. A.

Moscow State University (Russia, Moscow)Marine hydrophysical institute of the Russian Academy of Sciences (Russia, Sevastopol)

Free internal waves are considered on a two-dimensional flow of an ideal stratified fluid with a vertical shift speedwhen the Earth’s rotation taking into account. The equation for the vertical amplitude of internal waves velocity hascomplex coefficients, when component of the current velocity transverse to the direction of wave propagation dependson the vertical coordinate. Therefore, eigen-function and wave frequency are complex (shows that there has been a weakwave attenuation). Vertical wave mass flux is non-zero and the vertical component of velocity of the Stokes drift is alsodifferent from zero and contributes to the wave transport. The specified wave fluxes lead to non-oscillating on the timescale of wave medium density amendment – to the fine structure generated by a wave.

Keywords: internal waves, wave mass fluxes, Stokes drift, vertical fine structure.

Вертикальная тонкая структура гидрофизических полей стала доступна для наблюдений по-сле создания высокоразрешающей зондирующей аппаратуры по измерению вертикальных про-филей температуры, солености, плотности в конце прошлого века. Оказалось, что профили этихвеличин сильно осциллируют по вертикали (без инверсий плотности) и представляют собой «сло-еный пирог». Причина такой переслоенности была непонятна. Предполагалось, что это «реликтыископаемой турбулентности», поле скорости которой затухло, а вертикальные неоднородностистратификации остались. Новый подход к проблеме был предложен в [1], когда был предложенмеханизм генерации вертикальной тонкой структуры слабонелинейными пакетами внутренних


волн. Прохождение волнового пакета сопровождается генерацией среднего течения с масштабомпорядка масштаба огибающей пакета, а плотность имеет неосциллирующую на временном мас-штабе волны поправку, пропорциональную квадрату текущей амплитуде волны. После прохож-дения волнового пакета невозмущенный профиль плотности восстанавливается. Таким образом,тонкая структура, генерируемая волновым пакетом, имеет обратимый характер. Однако, в на-стоящей работе показано, что при наличии течения, у которого компонента скорости, поперечнаяк направлению распространения волны, зависит от вертикальной координаты, краевая задачадля амплитуды вертикальной скорости у инерционно-гравитационных внутренних волн имееткомплексные коэффициенты, собственная функция и частота волны — комплексные (показано,что имеет место слабое затухание волны). Вертикальный волновой поток массы при этом от-личен от нуля, вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа также отлична от нуляи вносит свой вклад в волновой перенос. Указанные потоки приводят к неосциллирующей навременном масштабе волны деформации поля плотности, которая трактуется, как необратимаятонкая структура, генерируемая волной.

Постановка задачи. Рассматриваются свободные инерционно-гравитационные внутренниеволны (при учете вращения Земли) в безграничном бассейне постоянной глубины при наличиисреднего двумерного течения с вертикальным сдвигом скорости. Уравнения гидродинамики дляволновых возмущений в приближении Буссинеска имеют вид:

Du

Dt− fv + w

dU0

dz= − 1

ρ0(0)

∂P

∂x, (1)

Dv

Dt+ fu+ w

dV0

dz= − 1

ρ0(0)

∂P

∂y, (2)

Dw

Dt= − 1

ρ0(0)

∂P

∂z− gρ

ρ0(0), (3)

Dρ

Dt= −wdρ0

dz, (4)

∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0, (5)

где x, y, z— горизонтальные и вертикальная координаты, ось z направлена вертикальновверх, u, v, w— соответственно две горизонтальные и вертикальная компоненты волновой ско-рости течения, ρ, P — волновые возмущения плотности и давления, ρ0 — невозмущенная сред-няя плотность; f — параметр Кориолиса, U0(z), V0(z) — две компоненты скорости среднего те-чения, g— ускорение свободного падения. Действие оператора D

Dt раскрывается по формулеDDt = ∂

∂t + (u+ U0)∂∂x + (v + V0)

∂∂y + w ∂

∂z .

Граничное условие на поверхности моря(z = 0) — условие «твёрдой крышки», которое отфиль-тровывает внутренние волны от поверхностных w(0) = 0. Граничное условие на дне — условиенепротекания w(−H) = 0.

Линейное приближение. Решения линейного приближения ищется в виде:

u1 = u10(z)Aeiθ + c.c. v1 = v10(z)Ae

iθ + c.c. w1 = w10(z)Aeiθ + c.c. (6)

P1 = P10(z)Aeiθ + c.c. ρ1 = ρ10(z)Ae

iθ + c.c.

где c.c.— комплексно сопряженные слагаемые, A— амплитудный множитель, θ— фаза волны,∂θ∂x = k, ∂θ

∂t = −ω, k— горизонтальное волновое число, ω— частота волны.Предполагается, что волна распространяется вдоль оси x. После подстановки (6) следует связьфункций u10, v10, ρ10, P10 с w10 и уравнение для w10:

d2w10

dz2+ k

[if dV0

dz

Ω2 − f2− f2 dU0

dz

Ω(Ω2 − f2)

]dw10

dz+

+ kw10

[k(N2 − Ω2) + Ωd2U0

dz2 + if d2V0

dz2

Ω2 − f2+ifk dU0

dzdV0

dz

Ω(Ω2 − f2)

]= 0, (7)

где Ω = ω − kU0 — частота волны со сдвигом Доплера, N2 = − gρ0(0)

dρ0

dz — квадрат частоты Брен-

та—Вяйсяля. Уравнение (7) имеет комплексные коэффициенты, мнимая часть которых мала,

www.kromsh.info 103

поэтому частота волны и собственная функция имеют также мнимую поправку, в частностипоправка к частоте σ1 имеет вид: σ1 = a

b , где

a = ifk

0∫

−H

pw0

(Ω20 − f2)

(d

dz

(w0dV0

dz

)+ w0

k

Ω0

dU0

dz

dV0

dz

)dz

b =

0∫

−H

pkw0

(Ω20 − f2)2

[w0

(2kΩ0(N

2 − f2) +d2U0

dz2(Ω2

0 + f2)

)− f2dw0

dz

dU0

dz

(3Ω20 − f2)

Ω20

]dz,

здесь w0 = Rew10.Нелинейные эффекты. Скорость Cтоксова дрейфа частиц жидкости определяется по фор-

муле [2]:

~us =

t∫

0

~udτ∇~u, (8)

где ~u— поле волновых эйлеровых скоростей, черта сверху означает осреднение по периоду волны.Вертикальная компонента скорости стоксова дрейфа имеет вид:

ws = iA1A∗1

(1

ω− 1

ω∗

)d

dz(w10w

∗10), (9)

где A1 = exp(δω ·t), δω = σ1/i— декремент затухания волны, величина σ1 чисто мнимая.Вертикальный волновой поток массы определяется по формуле:

ρw = −w10w∗10|A1|2

(i

Ω− i

Ω∗

)dρ0

dz, (10)

Неосциллирующая на временном масштабе волны поправка к средней плотности имеет вид:

∆ρ =

[∂ρw0

∂z+ w0

s

dρ0

dz

]1

2δω, (11)

где ρw0 = i|A|2w10w∗10

(1

Ω∗− 1

Ω

)dρ0

dz , w0s = i|A|2

(1ω − 1

ω∗

) dw10w∗

10

dz .

При наличии среднего течения, у которого поперечная к направлению распространения вол-ны компонента скорости V0 зависит от вертикальной координаты, величина ws и вертикальныйволновой поток массы отличны от нуля. Определяющий вклад в суммарный волновой поток мас-сы вносит вертикальная составляющая скорости Cтоксова дрейфа. Масштаб рассчитанной длянаблюдавшихся 15-минутных внутренних волн неосциллирующей поправки к плотности ∆ρ ∼2–4 м соответствует реально наблюдаемым масштабам тонкой структуры на шельфе Черногоморя.


[1] Воронович А. Г., Леонов А. К., Миропольский Ю. З. К теории образования тонкой структуры гидрофизиче-ских полей в океане // Океанология. — 1976. — Т. 11, вып.5. — С. 490–497.

[2] Longuet—Higgins M. S. On the transport of mass by time varying ocean current. / Longuet—Higgins M. S. //Deep-Sea Res. — 1969. — V. 16, 5. — P. 431–447.


УДК: 519.6

БАЛАНСНО — ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГОРЕШЕНИЯ ДИВЕРГЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ

ПРОИЗВОДНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (ЛЕКЦИЯ)

Головизнин В. М.

МГУ имени М.В. Ломоносова (Россия, Москва)


Лекция посвящена новому направлению в вычислительной гидродинамике, объединяющему преимуществаконсервативных разностных схем и метода характеристик.

Ключевые слова: уравнения в частных производных, законы сохранения гиперболического типа, разностныесхемы, метод характеристик, сеточно – характеристические методы, схема КАБАРЕ.

BALANCED CHARACTERISTIC METHOD FOR THE NUMERICALSOLUTION OF DIVERGENT HYPERBOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL

EQUATIONS

Goloviznin Vasiliy

Lomonosov Moscow State University (Moscow, Russia)

The lecture is devoted to a new direction in computational fluid dynamics, combining the advantages of conservativedifference schemes and the method of characteristics.

Keywords: partial differential equations, conservation laws of hyperbolic type, difference schemes, method ofcharacteristics, grid - characteristic methods, СABAREТ scheme.

Под вычислительной гидродинамикой обычно понимают технологию численного решенияуравнений Эйлера и Навье-Стокса с учетом сопутствующих физико – химических процессов.В последнее время, однако, этот термин начал приобретать более широкий и глубокий смысл.Наметилась тенденция рассматривать в качестве предмета вычислительной гидродинамики необласть приложений, а математическую природу решаемых уравнений, которую определяет, содной стороны, дивергентный характер законов сохранения, а с другой стороны, свойство ги-перболичности, или «почти гиперболичности». Почти гиперболические системы называют ещесистемами с доминирующей переносом. В этом случае исходный дифференциальный операторподвергается процедуре гиперболической декомпозиции, вычленяющей гиперболическую частьзадачи как наиболее проблемную для известных численных методов. Гиперболическая приро-да задач вычислительной гидродинамики определяет их основную особенность, связанную свозможным наличием слабых и сильных разрывов и, в нелинейных случаях, их образованием впроцессе эволюции. Для квазилинейных законов сохранения с доминирующей гиперболичностьютакже характерна многомасштабность – нелинейное взаимодействие когерентных структур раз-ных размеров - от крупных образований, определяемых размерами области, до самых мелких,лимитируемых параметром возмущения гиперболичности .

Современные численные методы вычислительной гидродинамики (алгоритмы нового поколе-ния) в полной мере опираются на оба определяющих свойства решаемых задач – их консерва-тивность и свойство гиперболичности. Консервативность обеспечивается применением методаконечного объема, а гиперболичность учитывается при вычислении конвективных потоков. Такв схемах высокой разрешающей способности (TVD, TVB, ENO, WENO, MUSCL и т.п) конвек-тивные потоки находятся из решения задачи о распаде произвольного разрыва (т.н. схемы Году-новского типа), учитывающей свойство гиперболичности. Альтернативу этим методам составля-ют т.н. «баласно – характеристические схемы» (в частности, схема КАБАРЕ), разработанные впоследние годы в МГУ имени М.В. Ломоносова и ИБРАЭ РАН, и органично сочетающие досто-инства консервативных и характеристических методов. Практика их использования в задачахиндустриальной математики показала, что они обладают определенными преимуществами надсхемами высокой разрешающей способности при расчетах вихревых и турбулентных течений снеполным разрешением спектра турбулентных пульсаций.

www.kromsh.info 105

УДК: 51.72

РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЧЕ-РАЗРЯДАПОНИЖЕННОГО ДАВЛЕНИЯ В ОДНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ С

ПОМОЩЬЮ МЕТОДА БПФ

Губанова Э. Р., Шемахин А. Ю., Желтухин В. С.

Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казанский национальныйисследовательский технологический университет (Россия, Казань)

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

В статье приводится математическая модель и описаны результаты расчета основных характеристик ВЧЕ-разряда пониженного давления. Разработана методика для решения уравнений неразрывности электронного иионного газов в присутствии высокочастотного электрического поля. Проведено тестирование метода и расчетыраспределения концентраций заряженных частиц, потенциала и напряженности электрического поля.

Ключевые слова: ВЧЕ-разряд, БПФ, метод прогонки, плазменная установка, уравнение неразрывности, урав-нение Пуассона.

CALCULATION OF THE MAIN CHARACTERISTICS OF RF CAPACITIVEDISCHARGE AT LOW PRESSURE IN A ONE-DIMENSIONAL

APPROXIMATION USING FFT METHOD

Gubanova Elvira, Shemakhin Aleksandr, Zheltukhin Viktor

Kazan (Volga region) Federal University,Kazan National Research Technological University (Russia, Kazan)

The article presents a mathematical model for calculating the main characteristics of a low-pressure RF capacitivedischarge. A new technique for solving the equations of continuity of an electron and ion gas with RF electric fieldstrength is described. The testing of this method is carried out. In addition, calculations to obtain concentrations ofcharged particles, potential, and electric field strength performed.

Keywords: RF capacitive discharge, FFT, sweep method, plasma installation,continuity equation, Poisson equation.

Одной из задач производства является повышение прочности продукции. Для достижениярезультата можно воспользоваться методом изменения свойств материала путем дополнительнойобработки, то есть с помощью модификации. Плазменная обработка в высокочастотных (ВЧ) –разрядах пониженного давления (13,3-133 Па) с продувом газа является наиболее эффективнымметодом модификации поверхностного слоя материалов разнообразной физической природы [1,2].

Работа направлена на создание метода и алгоритма численного решения задачи расчета ос-новных характеристик ВЧЕ-разряда при пониженных давлениях в одномерном приближении.

В данной статье исследуются характеристики электромагнитного поля и распределения за-ряженных частиц между обкладками высокочастотной емкостной (ВЧЕ) установки методамиматематического моделирования в одномерном приближении.

Для расчета характеристик ВЧЕ-разряда пониженного давления разработан метод для ре-шения уравнений неразрывности электронного газа с периодически меняющимся потенциаломэлектрического поля на границе. Уравнения неразрывности для концентрации электронов и дляконцентрации ионов имеют вид (1) и (2) соответственно. Для расчета электрического поля ре-шается уравнение Пуассона.

∂ne

∂t− ∂

∂x(De ·

∂ne

∂x+ µe · E · ne) = νine (1)

с граничными условиями ne = ne0 при x = 0,ne = ne1 при x = L

∂ni

∂t− ∂

∂x(Di ·

∂ni

∂x− µi ·E · ni) = νine (2)

с граничными условиями ni = ni0 при x = 0,ni = ni1 при x = L

∆ϕ = − e

ε0· (ni − ne), (3)

где E = −gradϕ,


с граничными условиями на границе x = 0 : ϕ = 0; на границе x = L: ϕ = V0 ·cos(wt), V0=50 В.В виду того, что частота работы ВЧ-плазменной установки от 1 до 20 МГц, при численном

решении данного уравнения необходимо выбирать шаг по времени порядка 10−10 с и учитыватьдлину периода колебания напряженности электрического поля. Для решения задачи (1) - (3)разработан численный метод, использующий быстрое преобразование Фурье (БПФ) по времен-ной координате. Период колебаний электромагнитного поля разбивается на N = 2k подпериодов.Система (1) - (3) при этом сводится к решению набора дифференциальных уравнений второгопорядка для коэффициентов Фурье. Это позволяет путем обратного преобразования Фурье по-лучить решение задачи (1) - (3) сразу на периоде колебаний электрического поля. На каждомпериоде решается 4 уравнения, так как уравнения в свою очередь разбиваются на два уравненияна действительную часть и мнимую часть, которая в результате расчета зануляется. На каждомпериоде данные уравнения решаются методом прогонки. Для решения преобразованной задачипостроены разностная схема и итерационный алгоритм. Разработана программа на языке С++.

В результате выполнения работы были получены распределения концентрации ионов и элек-тронов, потенциала электрического поля. Зона квазинейтральности при распределении электро-нов и ионов смещена вправо относительно центра разряда. Потенциал поля меняется в соответ-ствии с периодом колебаний. Концентрации электронов и ионов достигают значений 4, 5·1013 м−3.Полученное решение удовлетворительно описывает пространственно-временное распределениеконцентрации электронов в ВЧЕ-разряде при пониженном давлении.

Работа поддержана РФФИ, проект 18-48-160056.


[1] Абдуллин И.Ш., Желтухин В.С. , Сагбиев И.Р., Шаехов М.Ф. Модификации нанослоев в высокочастотнойплазме пониженного давления. – Казань, 2007. – 355 с.

[2] Абдуллин И.Ш., Желтухин В.С., Хубатхузин А.А., Шемахин А.Ю. Математическое моделирование газоди-намики струйных течений высокочастотной плазмы пониженного давления. – Казань, 2014. –166 с.

[3] Райзер Ю.П. Физика газового разряда: учебник для вузов / Ю.П. Райзер. – М.: Наука, 1992. – 536 c.[4] Самарский А.А. Теория разностных схем: учебник / А.А. Самарский. – М.: Наука, 1989. –616 с.

УДК: 531.3:681.5.01

РЕАЛИЗАЦИЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯПЕРЕГРУЗОЧНЫМИ ПРОЦЕССАМИ В МОРСКОМ ПОРТУ

Истратов Р. А.

Мурманский государственный технический университет (Россия, Мурманск)


Рассмотрены подходы по реализации интеллектуального управления перегрузочными процессами на пред-приятии в морском порту, с использованием методов виртуальных технологий, которые позволили разработатьструктуру виртуального предприятия. Модели деятельности грузовых терминалов по управлению процессамиперемещения грузопотока позволяют решать задачи планирования выполнения работ по обработке грузов натерминале.

Ключевые слова: интеллектуальное управление, виртуальное предприятие, перегрузочные процессы.

THE IMPLEMENTATION OF INTELLIGENT MANAGEMENT OFHANDLING PROCESSES IN SEA PORT

Istratov Roman

Murmansk State Technical University (Russia, Murmansk)

The approaches to the implementation of intelligent management of transshipment processes at the enterprise inthe seaport, using the methods of virtual technologies, which allowed to develop the structure of the virtual enterprise.Models of activity of cargo terminals to manage the processes of movement of cargo traffic allow to solve the problemof planning the execution of works on cargo handling at the terminal.

Keywords: intelligent management, virtual enterprise, reloading processes.

www.kromsh.info 107

Анализ современного состояния практики управления в технических системах показывает нанеобходимость создания средств автоматизации, позволяющих в реальном масштабе времениосуществлять оптимальное управление технологическими процессами (ТП). Реализация тако-го подхода возможна только при наличии интегрированных информационно–управляющих си-стем (ИУС), обеспечивающих решение широкого круга задач в автоматизированных системахуправления (АСУ) ТП. В существующих системах управления отсутствуют компоненты, обес-печивающие решение аналитических (не говоря об интеллектуальных) задач. Это связано с тем,что реализация, например, функций поддержки принятия решений оперативным персоналомАСУ ТП требует от разработчиков этих систем не только знаний своей предметной области,но также и знаний об особенностях технологических процессов и управления ими, то есть зна-ний, относящихся к иной предметной области. Рассмотрим возможность реализации методовинтеллектуализации для управления перегрузочными процессами в морском порту.

Решение отмеченных выше задач возможно только при создании интеллектуальных систем(ИС) для управления сложными, слабоформализованными системами при использовании мето-дов ВП в различных условиях взаимодействия. Применение методов ВП, необходимо для опера-тивного поиска технологии нерегулярных промышленных грузопотоков с построением логисти-ческой системы доставки грузов от промышленного предприятия (поставщика) к потребителюи снижения трудоемкости получения технологических решений [1, 2]. Полученная при этом тех-нологическая цепочка (TSPT) с централизованным управлением (UVE) является виртуальнымтранспортным предприятием — VLPT.

Создание интеллектуальных систем (ИС) новых поколений для управления сложными ТПв различных условиях взаимодействия с внешней средой является одной из актуальных задачпрактических приложений методов искусственного интеллекта и когнитивного моделированияв целом [3]. Функциональные возможности и интерфейс ИС существенно зависят от возможно-стей формализованного описания и полноты использования всего многообразия математическихметодов обработки данных. В связи с этим актуальна задача разработки специального фор-мального аппарата, обеспечивающего единообразное представление моделей, синтезированныхпосредством различных методов и средств, с целью унификации операций их обработки в вы-числительной среде [2, 3]. В настоящее время получены практические результаты исследований,использующих для оперативного решения интеллектуальных задач управления промышленны-ми предприятиями виртуальные методы организации и управления [1, 2].

Управление в системе осуществляется при помощи виртуального центра (VЕT ), как реакцияна обратную связь (ΣV i

обр) от элементов технологической цепочки и пунктов зарождения (S1) и

поглощения (Sk) грузопотока и логистические ресурсы (R) [2, 3].Задача построения логистической системы грузопотока морского порта — LS, управляемой

виртуальным центром (UV E), основывается на принципах — π, принадлежащих общим прин-ципам транспортных систем (π ∈ Р). Соответственно, транспортные процессы нерегулярнойгрузопереработки — f выбираются из множества существующих транспортных технологий —F (π) так, что f ∈ F (π), а для выбранных транспортных процессов были подобраны необходи-мые транспортные средства A из средств A (A ∈ A). Для решения поставленной выше задачинеобходимо найти значения параметров логистической системы (RS), зависящих от наклады-ваемых ограничений — DS , взаимосвязей элементов транспортной сети — ИS и изменяемых вовремени критериальных оценок — Kt(v(t− δ), σ) параметров системы. При условии минимиза-ции целевой функции транспортного процесса (Сопт(t + τ) → min) и адаптации критерия Kt квозмущающему воздействию во времени t.

Функционирование инфраструктур, входящих в состав морского порта, а также их инфор-мационное взаимодействие с поставщиками грузов и грузополучателями, входящими в составтранспортной системы, математически описать невозможно. Это связано со сложным видомалгоритмического описания функционирования оборудования, входящего в состав технологиче-ских процессов обработки различных видов грузов, например, апатита, минеральных удобрений,угля, нефтепродуктов, контейнеров, труб, и прочих. Рассмотрим возможность описания процес-сов, протекающих в цепях поставок транспортных систем, с использованием методов имитаци-онного моделирования, математическим объектом которых являются дискретные динамическиесистемы.

Общее математическое описание деятельности грузовых терминалов генеральных и насып-ных грузов может быть записана в виде кортежа, то есть упорядоченного набора из элементов,называемых компонентами кортежа [2]. Кортеж деятельности грузовых терминалов морского


порта (DGTP ) имеет вид:DTMU = 〈OP, RP, Z, MF, PK〉,

где: OP — множество основных процессов, протекающих в терминале; RP — множество соб-ственных ресурсов, участвующих в погрузочно–разгрузочных работах; Z — множество заявокна осуществление погрузочно–разгрузочных работ, поступающих от клиентов порта;G — множе-ство грузопотоков; MF — множество метеорологических факторов, влияющих на работу порта;PK — множество показателей качества логистического обслуживания, на основе которых про-изводится анализ качества функционирования терминала.


[1] Киркин А.П. Формализация методов виртуального предприятия, направленных на совершенствование тех-нологии нерегулярных грузопотоков / А.П. Киркин, В.И. Киркина // Вiсник Приазов. держ. техн. ун–ту:Зб. наук. пр. — Марiуполь, 2009. — 19. — С. 280–283.

[2] Прохоренков А.М. Математическое моделирование управления перегрузочными процессами в морском порту/ А.М. Прохоренков, Р.А. Истратов // Мир транспорта. — 2013. — 1. — С. 20–28.

[3] Алпатов А.П. Задачи построения полимодельных комплексов сложных и слабоформализованных систем/ А.П. Алпатов, Ю.А. Прокопчук, А.М. Прохоренков // Информационные технологии в управлении сложны-ми системами: Сб. докл. научн. конф. (г. Днепропетровск, 24 июня 2011 г.). — Днепропетровск: Свидлер А.Л.,2011. — С. 122–126.

УДК: 514.8

ВОПРОСЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ШАРНИРНО РЫЧАЖНЫХКОНСТРУКЦИЙ

Ковалёв М. Д.



У автора возникли естественные вопросы относительно шарнирно-рычажных конструкций с необычными свой-ствами. В этой заметке он хочет поделиться двумя из этих вопросов. Если ответы на поставленные вопросыположительны, то они даются сильно вырожденными конструкциями (множество которых имеет размерностьнамного меньшую множества всех конструкций заданного строения). Однако, вопросы остаются открытыми да-же в простейших нетривиальных случаях, когда структура конструкции задаётся довольно простым графом.

Ключевые слова: шарнирно-рычажные конструкции с необычными свойствами, вырожденность, внутреннеенапряжение.

QUESTIONS OF THE EXISTENCE OF HINGED DEVICES

Kovalev Mikhail

Lomonosov Moscow State University (Moscow, Russia)

The author had natural questions concerning hinged - lever constructions with unusual properties. In this paper,he wants to share two of these questions. If the answers to these questions are positive, they are given by stronglydegenerate structures (the set of which has a dimension much smaller than the set of all structures of a given structure).However, questions remain open even in the simplest non-trivial cases where the structure of the construction is givenby a rather simple graph.

Keywords: hinged-lever design with unusual property, degeneracy, self stress.

1. Можно ли однозначно собрать устойчивую шарнирную ферму?

Чтобы поставить этот вопрос математически определим, что мы понимаем под «устойчивойшарнирной конструкцией». Мы рассматриваем конструкции в евклидовой плоскости R2, состав-ленные из прямолинейных стержней (рычагов) с шарнирами на концах. В шарнире могут бытьсоединены два или больше рычагов, и тогда рычаги могут свободно вращаться вокруг него отно-сительно один другого. Некоторые из шарниров могут быть закреплены в плоскости, и тоже до-пускать свободное вращение рычагов вокруг них. Такие шарниры мы называем закреплёнными,и обозначаем их крестиками, в отличии от первых — называемых свободными, и обозначаемыхкружочками.

Строение шарнирных конструкций описывает их шарнирная структурная схема (ШСС) [1],то есть абстрактный связный граф G(V,E) без петель и кратных ребер с вершинами двух

www.kromsh.info 109

сортов, отвечающих закреплённым и свободным шарнирам. Рёбра шарнирной схемы отвеча-ют рычагам шарнирной конструкции. Пусть V1 = v1, . . . , vm — совокупность свободных, аV2 = vm+1, . . . , vm+n — совокупность закреплённых вершин, V = V1 ∪ V2. Отметим, что награф G(V,E) накладывается два естественных требования: он не содержит рёбер, соединяющихдве закреплённых вершины, и его подграф, состоящий из свободных вершин и соединяющих ихмежду собой рёбер, связен. Закрепленной шарнирной схемой (ЗШС) в R2 называется ШСС,каждой из закреплённых вершин vi ∈ V2 которой отвечает определённая точка pi ∈ R2. Еслитеперь сопоставить и каждой из вершин vi ∈ V1 свою точку pi ∈ R2, то получим определенныйшарнирник p = (p1, . . . , pm) ∈ R2m. Его можно воспринимать как вполне определённую шар-нирную конструкцию, составленную из шарниров pi, соединённых прямолинейными рычагамиpipj , vivj ∈ E. В инженерном понимании шарнирник есть либо шарнирная ферма, либо неко-торое положение шарнирного механизма. Ферма отличается от механизма тем, что её нельзянепрерывно двигать не меняя длин рычагов и положений закреплённых шарниров. Выбор ЗШСопределяет ключевое для нас рычажное отображение F : R2m →Rr евклидовых пространств,где r = |E|, задающееся формулами

dij = (pi − pj)2, vivj ∈ E.

Здесь dij суть квадраты длин рычагов шарнирника. Точку d ∈ Rr мы называем кинематическойшарнирной схемой (КШС).

Одноточечная компонента связности полного прообраза F−1(d) есть шарнирная ферма, неод-ноточечной компоненте связности — отвечает шарнирный механизм. ЗШС называем правиль-ной, если dimF (R2m) = r. КШС d называем (геометрически) устойчивой, если d есть внутренняяточка множества F (R2m). Устойчивые КШС имеются лишь для правильных ЗШС. КШС d на-зываем однократной, если F−1(d) состоит лишь из одного шарнирника p.

Итак, наш вопрос : существуют ли устойчивые и однократные КШС?Для простейших правильных ЗШС ответ на него отрицателен. Но уже для ЗШС рисунка 1,

у которой все закреплённые шарниры лежат на прямой, вопрос пока открыт [2].

Рис 1

2. Существует ли полностью и одинаково напряжённый шарнирный механизм безнеизгибаемых частей?

Если вращение в шарнирах происходит без трения, то векторы сил в шарнирной конструкциипроходят через оси шарниров. Силу, действующую на шарнир pi со стороны смежного ему шар-нира pj , можно записать [3] как ωij(pj − pi). Скаляр ωij называется внутренним напряжениемрычага pipj .

Если задан шарнирник p = (p1, p2, . . . , pm) с m свободными шарнирами, то его внутренниенапряжения ω=ωij определяются как нетривиальные решения однородной системы линейныхуравнений:

∑

j

ωij(pj − pi) = 0, 1 ≤ i ≤ m,

где суммирование проводится по всем шарнирам смежным i-му. Эта система выражает усло-вие равновесия сил в свободных шарнирах. Если у неё имеется решение со всеми ωij 6= 0, тонапряжение ω называем полным. Можно привести [4] ряд примеров шарнирных механизмов,допускающих в каждом своём положении одно и то же полное внутреннее напряжение ω. Подоб-ные примеры показаны на рисунке 2. Однако, механизмы всех этих примеров состоят из неиз-гибаемых частей, и не все углы между рычагами, выходящими из одного свободного шарнира,


а

б

в

Рис 2. Шарнирные механизмы, имеющие в каждом положении одинаковое внут-реннее напряжение

переменны. Скажем, механизм рисунка 2 в) состоит из трёх неизгибаемых частей, включающихпо три коллинеарных рычага.

Рис 3

Наш вопрос состоит в следующем: существует ли шарнирный механизм, допускающий оди-наковое и полное напряжение ω, со всеми переменными при движении углами между смеж-ными рычагами?

ШСС наипростейшего механизма, для которого ответ на этот вопрос открыт, изображена нарисунке 3. Как правило, конструкция с такой схемой является фермой, но при специальномвыборе длин рычагов можно получить и механизм.


[1] Ковалев М.Д. Геометрическая теория шарнирных устройств / М.Д. Ковалёв // Известия РАН Серия мате-матическая. – 1994. – Т.58, 1. – С. 45-70.

[2] Ковалев М.Д. О распрямлённых шарнирных конструкциях / М.Д. Ковалёв // Математический сборник. –2004. – Т.195, 6. – С. 71-98.

[3] Ковалев М.Д. О восстановимости шарнирников по внутренним напряжениям / М.Д. Ковалёв // ИзвестияРАН Серия математическая. – 1997. – Т. 61, 4. – С. 37-66.

[4] Ковалев М.Д. Шарнирные механизмы с полным внутренним напряжением / М.Д. Ковалёв // Восьмые По-ляховские чтения: Тезисы докладов Международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург, 30января – 2 февраля 2018 г, издательство СПбГУ, С. 34-35.

www.kromsh.info 111

УДК: 519.218:51–74

ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДОВ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ ДЛЯОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Прохоренков А. М.

Мурманский государственный технический университет (Россия, Мурманск)


Проведена классификации случайных процессов в системе теплоснабжения. Сделан вывод, что такие случай-ные процессы обладают фрактальной природой. Установлено, что связь показателя Херста со свойствами случай-ного процесса дает право включить его в решающее правило алгоритма классификации на этапах идентификациикласса процесса (стационарный–нестационарный) и вида детерминированной составляющей (знакопеременная–монотонная). Показано, что знание типа детерминированных составляющих процесса повышает точность иден-тификации параметров этих составляющих.

Ключевые слова: случайные процессы, теплоснабжение, нечеткая логика, показатель Херста, идентификация.

ON THE USE OF FUZZY LOGIC METHODS FOR DETERMININGCHARACTERISTICS OF RANDOM PROCESSES

Prokhorenkov Alexandr

Murmansk State Technical University (Russia, Murmansk)

Classification of random processes in the heat supply system is carried out. It is concluded that such random processeshave a fractal nature. It is established that the connection between the Hurst exponent and the properties of a randomprocess gives the right to include it in the decisive rule of the classification algorithm at the stages of identification ofthe process class (stationary–nonstationary) and the form of the deterministic component (alternating–monotonic). Itis shown that knowledge of the type of deterministic components of the process increases the accuracy of identifyingthe parameters of these components.

Keywords: random processes, heat supply, fuzzy logic, Hurst indicator, identification.

В инженерной практике обычно рассматриваются стационарные в широком смысле процессы,при этом оценивается во времени поведение математического ожидания, дисперсии и корреляци-онной функции [1]. Поэтому и при классификации нестационарных процессов следует исходитьиз анализа этих же характеристик.

С учетом принятых допущений математическое ожидание mX , дисперсия DX и корреляци-онная функция RX случайных процессов, имеют следующий вид:аддитивная модель:

mX(t) = ϕ1(t);DX(t) = Dε;RX(t1, t2) = Rε(t1, t2); (1)

мультипликативная модель:

mX(t) = 0;DX(t) = ϕ22(t)Dε;RX(t1, t2) = ϕ2(t1)ϕ2(t2)Rε(t1, t2); (2)

аддитивно-мультипликативная модель:

mX(t) = ϕ1(t);DX(t) = ϕ22(t)Dε;RX(t1, t2) = ϕ2(t1)ϕ2(t2)Rε(t1, t2). (3)

Процессы, представленные моделями вида (1)–(3), относятся к классу нестационарных случай-ных процессов. Для выявления нестационарных свойств предлагается использовать непарамет-рические критерии, показатель Херста и коррелограммы, по результатам применения которыхбудет формироваться вектор информативных признаков R. В основном, отмеченные выше про-блемы связаны с зависимостью значений выделенных классификационных признаков от длиныреализации и параметров исследуемого процесса, последние на этапе классификации процессанеизвестны [2]. В силу такой постановки вопроса для классификации процессов предлагаетсяиспользовать методы нечеткой логики. С этой целью требуется выполнить классификацию про-цесса X(t) на основе наличия или отсутствия n событий. Количество событий (признаков) равноколичеству рассматриваемых непараметрических критериев. Определим для каждого j–го со-бытия, j = 1, 2, . . . , n случайную величину:

rj =

1, если событие j имеет место,0, если событие j отсутствует.


В нашем случае rj = 1, если в исследуемом процессе X(t) по критерию j выявлена тенденцияизменения математического ожидания, rj = 0 — в противном случае.

Вероятность принадлежности объекта к классу di при условии равенства значения признакаrj единице обозначим как pij = Pr(rj = 1|di), тогда Pr(rj = 0|di) = 1− pij для i = 1, 2, . . . ,m, j =1, 2, . . . , n. Поскольку непараметрические критерии позволяют разбить множество исследуемыхпроцессов на стационарные и нестационарные процессы, то в данном случае m = 2.

Закон распределения rj для класса di имеет вид:

fi(rj) = prj

ij (1− pij)1−rj .

Предположим, что априорные вероятности одинаковы q1 = q2 = 0, 5 и стоимости ошибочнойклассификации равны. Условная вероятность Pr(di|r) того, что исследуемый процесс принад-лежит классу di при данном векторе наблюдений определена. Процесс X(t) относится к томуклассу di, для которого величина Pr(di|r) максимальна.

Величины pij оцениваются по обучающей выборке из S процессов, принадлежащих всем рас-сматриваемым моделям (1–3) и содержащих различные типы детерминированных составляю-щих. В предлагаемом подходе каждый классификационный признак Rj задается лингвистиче-ской переменной, характеризующейся тройкой элементов < Rj , Tj, Uj >, где Rj — имя перемен-ной; Tj — терм–множество, каждый элемент которого представляется как нечеткое множествона универсальном множестве Uj.

Универсальное множество значений показателя Херста — UH = [0, 1]. Значения в окрестности0, 4 < H < 0, 6 определяют собой область белого шума в нечетком смысле. Значения в окрестно-сти 0, 3±0, 1 говорят о наличии в рассматриваемом временном ряду периодической компоненты.Значения , близкие к единице характеризуют наличие монотонной компоненты в исследуемомпроцессе.

Определим терм–множество как имена возможных составляющих нестационарных случайныхпроцессов:

”периодическая“,

”стационарная“,

”монотонная“. Функции принадлежности зададим

в виде разности двух гауссовых функций, определяемых соотношением:

µ(x, σ1, c1, σ2, c2) = exp

[− (x− c1)2

σ21

]− exp

[− (x− c2)2

σ22

].

Данная функция принадлежности позволяет отразить тот факт, что для каждого типа процес-са характерен некоторый диапазон значений показателя Херста — ядро нечеткого множестванепустое.

Проведенный ранее вычислительный эксперимент на модельных данных показал зависимостькоэффициента Херста от интервала дискретизации и длины исследуемой реализации. В связи сэтим проводился анализ зарегистрированных на объектах временных рядов различной длины ипри разных выборочных интервалах. Результаты анализа представлены в докладе.

Проведенные исследования позволяют сделать вывод, что случайные процессы, имеющие ме-сто в системе теплоснабжения, обладают фрактальной природой. Связь показателя Херста сосвойствами случайного процесса дает право включить его в решающее правило алгоритма клас-сификации на этапах идентификации класса процесса (стационарный–нестационарный) и видадетерминированной составляющей (знакопеременная–монотонная).

Задача классификации случайных процессов решалась в среде Matlab с использованием па-кетов Fuzzy Logic Toolbox и Optimization Toolbox.

Данная классификация позволила определить последовательность этапов анализа случай-ных процессов, предложить процедуру обработки случайных процессов, а также разработатьалгоритм автоматической классификации по совокупности признаков. Это дает возможностьоперативно в САУ перестраивать измерительную процедуру, включая в зависимости от клас-са и типа процесса блок, реализующий алгоритм центрирования, или блок нормирования, иливыполнить последовательно обе эти операции. Знание типа детерминированных составляющихпроцесса повышает точность идентификации параметров этих составляющих.


[1] Бендат Дж., Пирсол A. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989. 540 с.[2] Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.

www.kromsh.info 113

УДК: 574 : 519.6

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ИЗУЧЕНИЯ ЗАГРЯЗНЕНИЯПРИБРЕЖНОЙ АКВАТОРИИ С ПОМОЩЬЮ КВАЗИСИНХРОННЫХ

КОНТАКТНЫХ И ДИСТАНЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Савоськин В.М.

Морской гидрофизический институт РАН (Россия, Севастополь)


Моделируется процесс переноса ветром, течениями и волнами загрязнений, попадающих в море в районе мысаАйя. Обсуждаются приборы, необходимые для проведения измерений концентрации нефтеугеводородов и мусорав море, контактными и дистанционными методами.

Ключевые слова: моделирование, загрязнение, ветер, течения, волны, пресная вода, мыс Айя, контактныеизмерения, дистанционные измерения.

MODELING PROCESS OF STUDYING THE POLLUTION OF THECOASTAL WATER AREA BY MEANS OF SIMULTANEOUS CONTACT

AND REMOTE MEASUREMENTS

Savos’kin Vladimir

Marine hydrophysical institute (Russia, Sevastopol)

The process of transport by wind, currents and waves of pollution entering the sea in the area of Cape Aya issimulated. The devices necessary for measuring the concentration of oil-and-garbage in the sea by contact and remotemethods are discussed.

Keywords: modeling, wind, currents, waves, fresh water, pollution, cape Aya, contact measurements, remotemeasurements.

Выбор района мыса Айя, расположенного между Балаклавой и бухтой Ласпи, в качестве по-лигона проведения исследованей обусловлен ореографией берега (наличие мыса) и интереснымрельефом дна, выходом пресной воды и сложной стратификацией. Внимание к этому районуЮБК вызвано тем, что мыс Айя расположен на изолированном скалами участке побережья.Из-за своей трудной доступности для севастопольцев и гостей Крыма он хорошо сохранился. Внастояшее время, территория мыса Айя является частью ландшафного заказника “Мыс Айя”.Экологическую угрозу для этой территории представляют попадающие в море аварийные сбросысточных вод в районе Балаклавы, нефтеуглеводороды и мусор с экскурсионных катеров и яли-ков с отдыхающими, количество которых увеличивается с каждым годом. Для моделированияпроцесса переноса загрязнений в прибрежной акватории мыса Айя необходимо построить пятьмоделей: модель приводного ветра, модель прибрежных течений, модель ветрового волнения,модель выхода пресной воды и модель распространения загрязнений.

1) Для построения модели приводного ветра необходимо учитывать, как глобальный ветер,так местный, на который оказывают влияние скалы, окружающие мыс Айя, солнце и луна.

2) При построении модели прибрежных течений важно знать ореаграфию берега и рельефдна, а также учитывать изменение приводного ветра.

3) При построении модели ветрового волнения необходимо учитывать, как приводный ветер,так и прибрежные течения.

4) Для построения модели субмаринной разгрузки важно учитывать сезон выпадения осадковв горах, а также время, за которое вода скатыватся в море.

5) Построение модели переноса загрязнений требует построения четырех моделей перечислен-ных выше и проведения квазисинхронных контактных и дистанционных измерений концентра-ции попавших в море нефтеуглеродов и мусора.

В статье [1] на основе мезомасштабной модели атмосферной циркуляции WRF исследованыпогодные явления, характерные для Крыма и прилегающих районов Черного моря в летнийпериод (бризы и локальные вихри). Рассмотрены случаи возникновения сходящихся бризовыхфронтов, локальных циклонических вихрей, формирующихся в районе Херсонесского антицик-лонического вихря и Южного берега Крыма . В работе [2] изучено формирование бриза в случаеслабой синоптической фоновой активности для прямолинейного западного берега Черного моряза период 1 - 4 июля 2007 г. Приводятся пространственно-временные диаграммы скорости ветра,


карты вертикальных разрезов потенциальной температуры и вертикальной скорости воздуш-ных масс и других параметров. Моделирование атмосферной циркуляции в Крымском регионев летний период года выполнено в [3] с использованием численной модели WRF-ARW с цельювыделения вклада бризовой составляющей скорости ветра. В предположении о суточной квази-периодичности бриза вычислены скорости дневного и ночного бризов в целом для всего регионаи более детально для нескольких районов Крыма. Наличие прибрежных гор и очертания берегасоздают характерные особенности развития бриза. Результаты моделирования динамики вод иперенос примеси, позволяющий понять процесс переноса загрязняющих веществ, возникающихпри катострофе судов в Керченском проливе и предпроливных зонах расмотрены в моногра-фии [4]. Моделирование атмосферных осадков с помощью стохастического генератора рядов кусловиям Крымских гор представлено в работе [5]. Применяемая в мировой практике методикамоделирования временных рядов атмосферных осадков суточной дискретности с помощью сто-хостического генератора осадков приводится в монографии [6]. В работе [7] на основе применениянелинейной трехмерной s - координатной модели исследованы волны и течения в Азовском море,вызываемые действием атмосферных полей, полученных по данным региональной системы про-гноза SKIRON, при наличии стационарных течений. Выполнен анализ физических закономерно-стей распространения пассивной примеси в Азовском море с учетом ветровых воздействий раз-личной интенсивности и стационарных течений. При проведении контактных измерений могутжелательно использовать прозрачномер, разработанный в МГИ Алексеем Чепыженко, описаниекоторого представленно на сайте: ecodevice.com.ru. Для проведения дистанционных измеренийжелательно иметь мультисканер с набором светофильтров, имеющих необходимые нам частоты,размещаемый на квадрокоптере. Пробная фото и видео съемка проводилась с квадрокоптера врайоне мыса Айя в мае 2018 года. Модель коптера Dji Mavic Pro-Specs со встроенной камеройDji Mavic Pro. Информацию о безпилотниках и камерах можно найти на сайте производителя:dji.com/mavic. Использовался нейтральный затемняющий светофильтр ND8. У самой камерыне изменяющаяся диафрагма f/2.2.


[1] Ефимов В.В., Барабанов В.С., Крупин А.В. Моделирование мезомасштабных особенностей атмосферной цир-куляции в Крымском регионе Черного моря // Морской гидрофизический журнал. - 2010, - 1, - С. 64-74.

[2] Ефимов В.В. Барабанов В.С. Развитие летней бризовой циркуляции в западном регионе Черного моря //Морской гидрофизический журнал. - 2010. - 5, - С. 21-32.

[3] Ефимов В.В., Комаровская О.И. Бризовая циркуляция в атмосфере Крымского региона // Морской гидро-физический журнал. - 2015. 6, - С. 77-87.

[4] Моделирование динамики вод в Керченском проливе и предпроливных зонах // под. ред. Иванова В.А.; НАНУкраины, Морской гидрофизический институт. - Севастополь, - 2010. - 206 с.

[5] Посошков В.Л., Прусов А.В. Практика применения стохостического генератора осадков к условиям Крымскихгор // Система контроля окружающей среды. - Севастополь. - 2007 б. - С. 225-228.

[6] Посошков В.Л., Ефимов В.В., Прусов А.В. Стохастическое моделирование атмосферных осадков // Совре-менные проблемы океанологии. Вып. 10. - Севастополь НЦП «ЭКОСИ-Гидрофизика». - 2011. - 77 с.

[7] Шульга Т.Я. Влияние интенсивности полей приводного ветра на динамические процессы и трансформа-цию пассивной примеси при наличии стационарных течений в Азовском море // Морской гидрофизическийжурнал.-2013. 4, - С. 3-16.

УДК: 123.45.67

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПАВОДКОВЫХ СТОКОВ ОСНОВНЫХ РЕККАВКАЗСКОГО ПОБЕРЕЖЬЯ ЧЕРНОГО МОРЯ

Савоськин В. М.

Морской гидрофизический институт РАН (Россия, Севастополь)


Моделируются потоки вод на главных реках Главного Кавказского хребта, которые стекают на побережье ивпадают в Черное море после прохождения дождевых фронтов и выпадения ливней в горах исследуемого региона.

Ключевые слова: Моделирование, ливень, паводок, реки, горы Кавказа, Черное море.

www.kromsh.info 115

FLOOD WATERS MODELING OF THE MAIN CAUCASIAN COASTRIVERS OF THE BLACK SEA

Savos’kin Vladimir

Marine hydrophysical institute (Russia, Sevastopol)

Floods on the main rivers originating in the spurs of the Main Kavkazky ridge which are flowing down on the Westto the coast and flowing into the Black Sea after passing of rain fronts and losses of heavy rains in mountains of theexplored area are modelled.

Keywords: Modeling, heavy rain, flood, main rivers, mountains of the Caucasus, Black Sea.

При моделировании возможных сценариев катастрофических паводков на горных реках, вы-зываемых прошедшими ливнями, необходимо учитывать рельеф местности, по которому проте-кают реки и их главные притоки. Для этого важно иметь сведения о наличие на реках плотини гидроэлектростанций, а также места расположения в порогов, образовавшихся в результа-те прорывов реками встретившихся на их пути Малых Кавказких хребтов. Численное модели-рование атмосферной циркуляции выполнено в статье [1] для ситуации 1-3 июля 2013 г., прикоторой выпали экстремальные осадки на полуострове Крым. Моделирование проводилось сиспользованием региональной атмосферной модели WRF. Расчетная сетка состояла из четырехтелескопически вложенных доменов. Подробный анализ сложившейся ситуации показал, что вы-падение экстремальных осадков в Крыму было связано с прохождением циклона над Чернымморем. Наиболее обильные осадки выпали в области теплого и холодного фронтов этого цик-лона. Численные эксперименты позволили получить параметры паводков, обусловленных эти-ми экстремальными ливнями на реках, ручьях и водохранилищах городов Севастополь, Ялта,Алушта и Судак. Оценены склоновые стоки и дополнительные объемы воды в водохранилищах.Полученные результаты годятся для того, чтобы послужить основой построения мезомаштаб-ной прогностической модели катастрофических паводков в севастопольском районе, на ЮБК идругих гористых участках. Пространственно-временное распределение расходов моделируетсядля рек Западного Кавказа таких как Бзыбь, Мзымта, Сочи, Хоста, Кодори, Ингури и Риони,а также их притоков, с помощью гидравлической модели речного стока методом, описанным вмонографии [2]. Основой этой модели служат данные о рельефе местности вдоль проложенныхрусел рек для рассматриваемого региона. Эти данные брались с карты сайта https://www.esri-cis.ru/ из раздела «РЕЛЬЕФ». Перемещение воды между ячейками модели осуществляется поданным о направлениях потоков и коэффициентов релаксации поверхностного (s), подземного(d) и руслового стоков (r). В тезисах [3] описана модель прогноза угрозы паводков, состоящаяиз двух блоков атмосферного (прогноза выпадения осадков в бассейне интересующей нас реки)и гидравлического. Описаны трудности, возникшие в плоской части региона при определениинаправлений движения потоков. На примере бассейна реки Адагум смоделирована возможностьвозникновения чрезвычайной ситуации на малых реках Западного Кавказа. Общий расход водыQ (м3/с), поступающей в каждую ячейку состоит из суммы стока с поверхности Rs, подземногостока Rd, притока из вышележащих ячеек Fm и осадков Pw, за вычетом испарения с поверх-ности Ew формула (1) из работы [4]. В каждой из ячеек сетки одновременно вычисляютсяизменения объемов воды в трех условных бассейнах: V s, V d, V r — поверхностном, под поверх-ностном и русловом, в котором суммируются потоки из соседних ячеек, добавляются локальныеповерхностный и подземный стоки и отнимаются излишки после заполнения депрессий рельефа.Каждой ячейке с координатами (x, y) соответствует система трех обыкновенных дифференци-альных уравнений первого порядка, формулы (2)-(4) работы [4] с начальными условиями (5).Данные о типах землепользования с пространственным разрешением 1 км для работы [4] бра-лись из справочника [5]. Время Tr(x, y, t) вычислялось, как отношение расстоянияD(x, y) междуцентрами двух ячеек выше и ниже по течению, к средней скорости течения u(x, y, t) в даннойточке по формуле (6) работы [4]. Скорость u и время релаксации Tr руслового стока вычисля-лось по формуле Шези работы [6]. Коэффициент трения C(x, y, t) определялся по эмпирическойформуле (7) работы [4]. Следуя методике статей [7] и [4], выпавшие осадки переводились в скло-новый сток R с помощью специального эмпирического коэффициента Cn , зависящего от свойствпочвы к инфильтрации, растительного покрова, потенциальных хранилищ воды на поверхности(ямок и борозд), а так же от количества водонепроницаемых площадей. Для вычисления стокаR (мм) используется формула (8) и соотношения (9) из работы [4]. Предлагаемая модель являет-ся частью более общей численной модели, построенной для всего Черного моря и позволяющей


изменять шаг сетки по пространству при приближении к интересующему нас участку. В насто-ящее время модель: «Влияние катастрофических паводков основных рек западного Кавказа наприбрежные процессы в восточной части Черного моря» тестируется в отделе ДМИ МГИ РАН.


[1] Иванов В.А., Прусов А.В., Шокуров М.В. Использование моделей атмосферной циркуляции и речного стокадля анализа событий экстремальных паводков // Мониторинг прибрежной зоны на Черноморском экспери-ментальном подспутниковом полигоне: Сборник статей. -Севастополь, 2014.-С. 272-291.

[2] Иванов В.А., Прусов А.В. Речной сток юга Украины: количественные оценки паводков, принципы управленияи прогноз. - Севастополь: «ЭКОСИ — Гидрофизика», 2006. - 232 с.

[3] Краевский К.Е., Прусов А.В. Моделирование экстремальных событий на малых реках Западного Кавказана примере бассейна реки Адагум // Тезисы докладов научно-практической конференции: "Пути решенияпроблемы сохранения и восстановления пляжей Крымского полуострова". Севастополь,16-18 сентября 2015 г.- С.133-134.

[4] Иванов В.А., Краевский К.Е., Прусов А.В. Математическое моделирование сценариев развития катастрофи-ческих паводков на горных реках Азово-Черноморского бассейна // Экологическая безопасность прибрежнойи шельфовой зон моря. - Севастополь. Морской гидрофизический институт РАН, 2017, Вып. 3. - С. 78-86.

[5] Masson V., Champeaux J-L, Chauvin F., Meriguet C., Lacaze R. Global database of land surfase parameters at 1km resolution in meteorological and climate models // Climate. - 2003. - v.16, 9. - P.1261-1282.

[6] Киселев П.Г. Справочник по гидравлическим расчетам. - М.: Госэнергоиздат, 1957. - 352 с.[7] Fekete B.M., Vorosmarty C.J., Grabs W. Global Composite Runoff Fields Based on Observed River Discharge and

Simulated Water Balances. // Koblenz: WMO-Global Runoff Data Centre. 1999. - 109 p.

УДК: 51.72

РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЛЕЮЩЕГО РАЗРЯДА ВОДНОМЕРНОМ ЛОКАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Сафиуллина Р. Р., Шемахин А. Ю., Желтухин В. С., Рябченко Е. Ю.

Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казанский национальныйисследовательский технологический университет (Россия, Казань)


В данной работе разобраны и численно решены одномерные задачи в дрейфово-диффузионном приближениидля двух видов частиц: электронов и ионов. Приведена математическая модель расчета основных характеристиктлеющего разряда. Подробно описано применение метода Шарфеттера-Гуммеля для численного решения уравне-ний неразрывности. Определены условия устойчивости для используемых схем, учтена зависимость потенциалаэлектрического поля от диэлектрической проницаемости, осуществлен динамический выбор шага по времени длярасчета уравнений.

Ключевые слова: тлеющий разряд, математическое моделирование, пониженное давление, уравнения нераз-рывности, метод Шарфеттера-Гуммеля, условие Куранта.

CALCULATION OF THE MAIN CHARACTERISTICS OF A GLOWDISCHARGE IN A ONE-DIMENSIONAL LOCAL APPROXIMATION

Safiullina Raisa, Shemakhin Aleksandr, Zheltukhin Viktor, RyabchenkoEvgeny

Kazan (Volga region) Federal University,Kazan National Research Technological University (Russia, Kazan)

In this paper, one-dimensional problems in the drift-diffusion approximation for two kinds of particles, electronsand ions, are solved and solved numerically. A mathematical model for calculating the main characteristics of a glowdischarge is given. The Sharfetter-Hummel method is described in detail for the numerical solution of the continuityequations. The stability conditions for the schemes used are determined, the dependence of the electric field potentialon the dielectric constant is taken into account, a dynamic step-by-step selection for the calculation of the equations iscarried out.

Keywords: glow discharge, mathematical modeling, low pressure, continuity equations, Schafffter-Hummel method,Courant condition.

Новым перспективным направлением модификации свойств материалов является применениеисточников частиц высоких энергий, в частности, низкотемпературной плазмы.

www.kromsh.info 117

Актуальность работы заключается в применении плазмы тлеющего разряда для модифика-ции материалов различной физической природы с целью улучшения их качественных свойств ииспользованием данного типа разряда в электрических ракетных двигателях. В то же время, ма-тематическое моделирование и численные расчеты характеристик разряда позволяют детальнееизучить физические процессы в разряде, снизив издержки при проведении натурных экспери-ментов.

Для получения тлеющего разряда использована стеклянная трубка длиной 0.7 м, содержа-щая два металлических электрода (слева расположен катод, справа – анод), к которым при-кладывается постоянное напряжение в несколько сот вольт. При атмосферном давлении такоенапряжение недостаточно для пробоя газа и трубка остается темной. Но когда давление газадостаточно понизится, в газоразрядной трубке вспыхивает светящийся разряд в виде шнуракрасноватого цвета, идущего от катода к аноду. В этом состоянии газовый столб хорошо про-водит электричество. При дальнейшей откачке светящийся шнур размывается и расширяется, исвечение заполняет почти все пространство в трубке [4].

Целью данной работы является расчет распределения основных характеристик электрическо-го поля и концентрации заряженных частиц в тлеющем разряде, создаваемом в газоразряднойтрубке при пониженных давлениях.

Простейшая модель в дрейфово-диффузионном приближении, также называемой гидроди-намической, содержит два уравнения непрерывности с некоторым источником C() рожде-ния/убыли частиц (для электронов ne(x, t) и однозарядных ионов ni(x, t))

∂ne

∂t+∇(je) = C(je) (1)

∂nion

∂t+∇jion = C(jion) (2)

и уравнение для поля (уравнение Пуассона)

∇E = −qnion − ne

ε0(3)

где потоки записываются в следующем виде:

je = −De∇ne − µeEene,

jion = −Dion∇nion + µionEionnion.

Здесь De и Di - коэффициенты диффузии электронов и ионов, µe и µi - коэффициенты по-движности электронов и ионов соответственно[4]. На границах устаналиваются условия третьегорода для потоков электронов и ионов:

je

∣∣∣x=0

= −γjion, где je−поток электронов,

jion

∣∣∣x=L

= 0, где jion−поток ионов,

∂ne

∂x

∣∣∣x=0

= 0;∂nion

∂x

∣∣∣x=L

= 0;

ϕ∣∣∣x=0

= 0; ϕ∣∣∣x=L

= 500;

(4)

Основной задачей моделирования тлеющего разряда в рамках указанной модели является сов-местное численное решение системы дифференциальных уравнений (1,2) в частных производ-ных. Для решения уравнений неразрывности используется метод Шарфеттера-Гуммеля в видубольших градиентов концентраций электронов и ионов в некоторых частях расчетной области,в частности в приэлектродных областях. Задача на уравнение Пуассона решается с помощьюметода прогонки.

Выведены условия устойчивости схемы, которая достигается за счет выбора минимальногозначения шага по времени из четырех условий:

τ1 =1

4

h2

maxDe, (5)


τ2 =1

4

h2

maxDion, (6)

τ3 = min1

2

∣∣∣ne/∂j

∂x− νine

∣∣∣, (7)

τ4 = min1

2

∣∣∣nion/∂j

∂x− νinion

∣∣∣, (8)

где соотношения (5),(6) соответствуют условиям по числам Куранта, уравнения (7),(8) соот-ветствуют условиям по числам Пекле[5].

Для расчета системы уравнений (1)-(3) строится итерационный процесс, включающий в себярешение уравнений неразрывности методом Гуммеля и уравнение Пуассона методом решениячисленной схемы левосторонней прогонкой. При построении численной схемы предполагалось,что значения для переменных D,E, µ, j берутся в средних точках. Система уравнений решаласьс динамическим выбором шага по времени на каждом слое. Метод реализован в виде программына языке С++.

Проведены расчеты при давлении 62 Па и потенциале на правой границе 500 В. Полученыраспределения концентрации ионов и электронов, потенциала электрического поля, выявленызоны отрицательного и положительного столбов, анодного пространства.

Полученная зависимость концентраций электронов и ионов качественно совпадает с экспери-ментальными данными [1].

Работа выполнена за счет средств субсидии, выделенной в рамках государственной поддержкиКазанского (Приволжского) федерального университета в целях повышения его конкурентоспо-собности среди ведущих мировых научно-образовательных центров.


[1] Райзер Ю.П. Физика газового разряда: учебник для вузов / Ю.П. Райзер. – М.: Наука, 1992. – 536 c.[2] Kulikovsky A.A. A more accurate Scharfetter-Gummel algorithm of Electron transport for semiconductor and gas

discharge simulation / A.A. Kulikovsky // Journal of computational physics 119. – 1995. – P. 149-155.[3] Самарский А.А. Теория разностных схем: учебник / А.А. Самарский. – М.: Наука, 1989. –616 с.[4] Желтухин В.С., Шемахин А.Ю., Сафиуллина Р.Р. Расчет ряда характеристик тлеющего разряда в одномерном

локальном приближении // Сборник материалов международной конференции «XXVIII Крымская ОсенняяМатематическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам» (КРОМШ-2017). Секции 5-9.– Симферополь, 2017: Издательство: ДИАЙПИ. С. 118.

[5] Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику: Учебное пособие для вузов / Р. П. Федоренко / Подред. А. И. Лобанова. — 2-е изд., испр. и доп. — Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2008. — 504с.

[6] Кожевников В.Ю. Теоретические модели электрического разряда в газе и взаимодействие импульсного маг-нитного поля с электропроводящей частицей: дис. канд. физ.-мат. наук / В.Ю. Кожевников. – Томск, 2007. –140 с.

УДК: 517.9

РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ МОД,ВОЗБУЖДАЕМЫХ В РЕЗОНАТОРЕ ГИРОТРОНА

Семенов Е. С.

Институт прикладной физики РАН (Россия, Нижний Новгород)


Отыскание собственных мод (режимов колебаний СВЧ поля) в резонаторах гиротронов без учёта влиянияэлектронного пучка сводится к задаче на собственные значения для уравнения неоднородной струны. Численноерешение этой задачи находится с применением принципа аргумента из теории функций комплексного перемен-ного. Подход позволяет надёжно находить несколько первых вариаций продольного распределения СВЧ поля врезонаторе.

Ключевые слова: резонатор гиротрона, собственные колебания, уравнение неоднородной струны, принцип ар-гумента, математическое моделирование, электродинамика.

www.kromsh.info 119

CALCULATION OF THE EIGENMODESEXISTING IN THE GYROTRON CAVITY

Semenov Evgeny

Institute of Applied Physics of the RAS (Russia, Nizhny Novgorod)

The search for eigenmodes (modes of the RF field oscillations) in gyrotrons cavities without taking into accountthe influence of the electron beam reduces to the problem on eigenvalues for the equation of an inhomogeneous string.The numerical solution of this problem is found by applying the Principle of the argument from the theory of complexvariable functions. This approach makes it possible to reliably find the first few variations of the longitudinal structureof the RF field in the cavity.

Keywords: gyrotron cavity, eigenmodes, equation of an inhomogeneous string, the principle of an argument,mathematical modeling, electrodynamics.

С середины прошлого века до настоящего времени актуальной проблемой является расчёт иоптимизация резонаторов гиротронов. Частной задачей является расчёт собственных мод (струк-тур) поля внутри резонатора без учёта влияния электронного пучка — так называемая «холоднаязадача». В случае, когда резонатор образован отрезками круглых слабонерегулярных волново-дов, радиус которых близок к критическому радиусу рабочих колебаний моды TEm,p, продольноераспределение f‖(z) поля внутри резонатора описывается уравнением неоднородной струны [1]

d2f‖

dz2+ κ2

‖ · f‖ = 0 (1)

с граничными условиями излучения на обоих концах:

df‖

dz− i κ‖ f‖ = 0, z = zin,

df‖

dz+ i κ‖ f‖ = 0, z = zout. (2)

Для определённости нужно выбрать любое ненулевое значение f‖(zin), например, f‖(zin) = 1.Комплексная круговая частота

ω = ω′ + i ω′′ = 2πf0 ·(

1 +i

2Q

)(3)

определяет полное волновое число κ, которое вместе с поперечным волновым числом κ⊥ даётпродольное волновое число κ‖:

κ2 =ω2

c2, κ2

⊥(z) =

(νm,p

R(z)

)2, κ2

‖(z) = κ2 − κ2⊥(z) · Ω(z), (4)

где f0 — частота осцилляций [Гц] в гиротроне, Q = ω′/2ω′′ — добротность резонатора; дляазимутального m и радиального p индексов моды величина νm,p — p-й положительный корень

уравненияdJm

dν(ν) = 0, где Jm(ν) — функция Бесселя первого рода m-го порядка.

На всём интервале интегрирования [zin, zout] требуется задание профиля резонатора R(z) (см.Рис. 1), который должен быть достаточно гладким, в противном случае возникают переизлуче-ния в соседние моды с радиальными индексами p± 1,±2, ...

При извлечении корня в (2) важно выбирать правильную ветвь:

κ‖ =

+√κ2‖, Reκ2

‖ > 0;

−√κ2‖, Reκ2

‖ < 0.

Учёт тепловых потерь на стенках резонатора представлен множителем Ω(z) при κ⊥. В ос-новном эти потери определяются длиной волны СВЧ поля, радиусом резонатора и проводи-мостью материала, из которого изготовлен резонатор. В простейшем случае, когда омическаядобротность значительно превосходит дифракционную, ею можно пренебречь, тогда Ω(z) ≡ 1.Обсуждение других подходов в рамках данной работы избыточно.

Для интегрирования ОДЕ (1) используется метод Нистрема [2], работающий здесь точнее ибыстрее метода Рунге—Кутта 4-го порядка, обычно применяемого в таких случаях.

Задача (1)–(2) сводится к отысканию такой комплексной частоты ω, при которой обращаетсяв нуль функция

f(ω) ≡ f ′z (zout) + i κ‖(zout) f‖(zout). (5)


Традиционно это делается методом градиентного или покоординатного спуска после локализа-

ции минимума |f(ω)|2 путём полного перебора с достаточно крупным шагом в области парамет-ров, разумно выбранной из физических соображений.

Однако, на эту задачу можно взглянуть как на задачу отыскания нуля комплексной функции

комплексного параметра и применить принцип аргумента [3]: «Если f(ω) — мероморфная функ-ция в односвязной ограниченной области Ω и Γ — замкнутый контур, принадлежащий вместе со

своей внутренностью области Ω и не проходящий ни через нули, ни через полюсы функции f , то

1

2π i

∫

Γ

df

f≡ 1

2π i

∫

Γ

f ′ω

fdω =

1

2π∆Γ arg f = N − P,

гдеN и P — число нулей и полюсов функции f , лежащих внутри контура Γ с учётом их кратности

(т. е. нуль или полюс порядка M считается M раз); ∆Γ arg f — изменение аргумента функции

f(ω) при обходе точкой ω контура Γ в положительном направлении».Выбрав начальное приближение ω0 = ω′

0 + i ω′′0 и его разумную окрестность δ0 = δ′0 + i δ′′0 ,

δ′0 > 0, δ′′0 > 0, получаем прямоугольный контур Γ0, натянутый на точки (ω′0 ± δ′0, ω′′

0 ± δ′′0 ).Поскольку априори известно, что полюсов у функции (5) нет, обход контура позволяет вычислить

количество попавших в него нулей функции f :

N(ω0, δ0) =1

2π

∣∣∣∣∣∆Γ0 arg f

∣∣∣∣∣.

Если при обходе этого контура N(ω0, δ0) окажется нулевым, следует удваивать δ0 до тех пор,пока N не станет положительным. После этого контур рассекается пополам и по действительной,и по мнимой осям, и аналогичным образом исследуется каждый из четырёх получившихся конту-ров. Для того контура, на котором оказывается N > 0, проводится та же процедура разделенияна четыре части; таким образом, окрестность искомого нуля функции стягивается до требуемых

размеров по каждой из осей. В результате получаем координату нуля f(ω∗) = 0 с заданной точ-ностью δ∗. Финальный этап отгонки ω∗ можно значительно ускорить, используя метод Ньютона,который быстро сходится, когда стартует с начальной точки, близкой к решению.

Заметим, что задача на собственные значения (1)–(2) имеет дискретный спектр; соответству-ющие собственные функции, индексируемые параметром q = 1, 2, ..., в теории резонаторов на-зываются продольными вариациями поля. Модель неоднородной струны адекватно описываетполе в резонаторе лишь при соблюдении условия Френеля [4]:

Lq ≫ λRr, (6)

где Lq = L/q — эффективная длина регулярной части резонатора с учётом количества продоль-ных вариаций поля. При нарушении этого условия обычно max

z|f‖(z)| из середины регулярной

части смещается к z = zout.

Pис. 1. Профиль резонатора R(z), модуль продольного распределения поля для первой ивторой продольной вариации (сплошная и пунктирная линии).

www.kromsh.info 121

Начальное приближение и его окрестность выбирается исходя из физического смысла реаль-ной и мнимой компонент круговой частоты (3):

f0 = fcr · (1 + kf ·q2

8· λ

2cr

L2), Q = kQ ·

4π

q2· L

2

λ2cr

.

Величины kf и kQ определяются геометрией резонатора, в частности углом раскрыва рупоравыходной секции. Типичные значения kf ∈ (0.3, 1.5); коэффициент kQ стремятся минимизиро-вать — от типичных значений kQ ∼ 3.5 до лучших экземпляров с kQ ∼ 2. Критическая частота

fcr = cλcr

и длина волны λcr = 2π Rr

νm,pопределяются радиусом регулярной части резонатора Rr.

Данная методика позволяет находить несколько первых вариаций продольного распределенияСВЧ поля в резонаторе, а также собственные частоты и добротности резонатора для каждой изэтих мод. Найденные решения «холодной задачи» используются при расчёте стартовых токов ипри решении «горячей задачи», т. е. задачи о взаимодействии СВЧ поля с электронным пучком.

Описанные в работе подходы показали свою надежность, а благодаря точности и скоростиработы они активно применяются на практике; в частности, эти алгоритмы реализованы в па-кете программ ANGEL (ANalyzer of a Gyrating ELectrons) [5], который позволяет проводитьтраекторный анализ электронно-оптических систем вакуумных электронных приборов, а такжеанализ электронно-волнового взаимодействия в этих устройствах.


[1] Каценеленбаум В. З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами / В. З. Каце-неленбаум // Москва, Изд-во АН СССР. — 1961, — 216 c.

[2] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке — М.: Наука. — 1971 г.— 576 с.

[3] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. — М.:Наука, 1978. — 832 с.

[4] Nusinovich G. S., Dumbrajs O. Field Formation in the Interaction Space of Gyrotrons / G. S.Nusinovich ,O. Dumbrajs // J Infrared Milli Terahz Waves. Springer Science+Business Media New York. — 2015. doi:10.1007/s10762-015-0192-2

[5] Планкин О.П., Семенов Е.С. Комплекс программ ANGEL-2DS для моделирования пушки гиротрона. Ин-струкция для пользователя / О.П. Планкин, Е. С. Семенов. — ИПФ РАН: Н. Новгород, 2011. — 32 с.

УДК: 51–73:517.958:519.63:538.971

О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОГОМОДЕЛИРОВАНИЯ НАГРЕВА ПРОВОДЯЩИХ МИШЕНЕЙ

ЭЛЕКТРОННЫМ ЗОНДОМ

Степович М. А.1, Серегина Е. В.2, Амрастанов А. Н.3

1Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского (Россия, Калуга)2Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (национальный

исследовательский университет), Калужский филиал (Россия, Калуга)3Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского (Россия, Калуга)

E-mail: [email protected], [email protected], 3an−[email protected]

Описаны основные математические модели и узловые моменты их использования для моделирования процес-сов тепломассопереноса, обусловленного киловольтными электронами в полупроводниковых материалах. Диф-ференциальные уравнения тепломассопереноса записаны для одномерных процессов, реализующихся при исполь-зовании широких электронных пучков, и трехмерных процессов, реализующихся при использовании сфокусиро-ванных электронных пучков — электронных зондов. Проведена оценка возможности использования трехмерноймодели для моделирования распределения тепла в полупроводниковых мишенях при низких энергиях электрон-ного зонда.

Ключевые слова: математическое моделирование, дифференциальные уравнения тепломассопереноса, кило-вольтные электроны, электронно–зондовый наноанализ, полупроводники, нагрев мишени, неравновесные неоснов-ные носители заряда.


ON SOME PROBLEMS OF MATHEMATICAL MODELING OF HEAT ANDMASS TRANSFER PROCESSES CAUSED BY KILOVOLT ELECTRONS IN

SEMICONDUCTOR MATERIALS

Stepovich Mikhail1, Seregina Elena2, Amrastanov Anar3

1Tsiolkovsky Kaluga State University (Russia, Kaluga)2Bauman Moscow State Technical University, Kaluga Branch (Russia, Kaluga)

1Tsiolkovsky Kaluga State University (Russia, Kaluga)

The basic mathematical models and the key moments of their use for modeling the heat and mass transfer processescaused by kilovolt electrons in semiconductor materials are described. Differential heat and mass transfer equations arewritten for one–dimensional processes realized with the use of wide electron beams and three–dimensional processesrealized using focused electron beams–electron probes. The possibility of using a three–dimensional model to model theheat distribution in semiconductor targets at low electron probe energies is estimated.

Keywords: mathematical modeling, differential heat and mass transfer equations, kilovolt electrons, electron probenanoanalysis, semiconductors, heating the target, nonequilibrium minority charge carriers.

Математическое моделирование процессов взаимодействия киловольтных электронов с кон-денсированным веществом нередко сопряжено с проблемами как чисто математического харак-тера, так и с трудностями проверки разрабатываемых моделей. Так, экспериментальное опреде-ление температуры нагрева облучаемой мишени остро сфокусированным электронным пучком(электронным зондом) сильно осложнено малым размером области генерации тепла (единицымикрометра и менее), вследствие чего получаемые результаты имеют невысокую точность и мо-гут рассматриваться лишь как качественные. Поэтому особую ценность в практике электронно–зондовых исследований приобретают расчетные оценки величины нагрева электронным зондом,основанные на решении уравнения теплопроводности [1, 2]. В то же время при решении этогоуравнения часто используют существенные упрощения, что приводит к значительному разбро-су результатов, причём значительное влияние на получаемые результаты может оказать выбормодели, описывающей потери энергии электронами пучка в конденсированном веществе.

Ранее [3-7] методами математического моделирования нами проведены расчёты нагрева по-лупроводниковых мишеней под электронным зондом. В данной работе объектами исследованийявляются металлы. При этом, как и ранее, в качестве функции генерации источника тепла ис-пользуется модель, основанная на возможности раздельного количественного описания вкладаэнергии поглощённых в мишени и обратно рассеянных электронов [8, 9]. Эта модель можетбыть успешно использована для проведения количественных расчетов для широкого класса ма-териалов (практически от Al по Pt) в широком диапазоне энергий первичных электронов. Рас-смотренная математическая модель нагрева поверхности металла предназначена для расчётараспределения тепла в условиях, близких к вакууму, при любых энергиях электронного пуч-ка и различных значениях коэффициента теплопроводности металлической мишени. Уравнениетеплопереноса решено с использованием функции Грина, обсуждены вопросы, связанные с вы-числительной устойчивостью решения.

Для одномерной диффузии ННЗ в полупроводник, которая реализуется при использованиисветового или широкого электронного пучка, уравнение диффузии имеет следующий вид:1) для т.н. модели коллективного движения ННЗ (см. [3, 4])

Dd2∆p(z)

dz2− ∆p(z)

τ= −ρ(z) (1)

с граничными условиями

Dd∆p(z)

dz

∣∣∣∣z=0

= vs ∆p(0), ∆p(∞) = 0; (2)

Отметим, что эта математическая модель позволила провести статистический анализ коллек-тивного движения ННЗ и оценить влияние разброса в электрофизических параметрах полупро-водника на распределение ННЗ [5].2) для т.н. модели независимых источников (см. [6, 7, 8])

Dd2∆p(z, z0)

dz2− ∆p(z, z0)

τ= −ρ(z) δ(z − z0) (3)


www.kromsh.info 123

Dd∆p(z, z0)

dz

∣∣∣∣z=0

= vs ∆p(0, z0), ∆p(∞, z0) = 0, (4)

при этом искомое распределение ННЗ после их диффузии в полупроводнике ∆p(z) находитсякак

∆p(z) =

∞∫

0

∆p(z, z0) dz0.

Здесь D, τ , vs — постоянные величины (для однородного полупроводника): диффузионная длинаННЗ, время жизни ННЗ и скорость их поверхностной рекомбинации, соответственно. (1) и (2)позволяет найти распределение ННЗ в однородном полупроводнике, а, используя (3), (4), ранеебыла решена задача нахождения распределения ННЗ в планарной двух– [9, 10] и трехслойной [11,12, 13] полупроводниковых структурах для случая постоянства D, τ и vs внутри каждого слоя.

При использовании электронного зонда реализуется трeхмерная диффузия ННЗ (тепла). Со-ответствующее уравнение для ННЗ имеет вид:

a2div [grad∆p(M)]−∆p(M) = −ρ(M) (5)


Dd∆p(M)

dz

∣∣∣∣z=0

= vs ∆p(x, y, 0), ∆p(∞,∞,∞) = 0.

Уравнение (5) описывает распределение частиц вследствие диффузии или перераспределениетемпературы мишени в результате теплопроводности. Здесь функция ∆p(M) — распределениедиффундирующего вещества (тепла); M(x, y, z) — произвольная точка мишени; x, y ∈ (−∞,∞),z ∈ [0,∞), а a и vs — постоянные. В уравнении (5) функция ρ(M) описывает источники вещества(тепла) аналогично правым частям уравнений (1) и (3).

В настоящей работе в качестве источника ННЗ и/или тепла используется модель, основаннаяна возможности раздельного количественного описания вклада энергии поглощенных в мишении обратно рассеянных электронов [6, 7, 8]:

ρ∗(M) =1, 085 (1− η)P0

π32 a2

1zms (1− η + ηzss/zms)

exp

−[x2 + y2

a21

+

(z − zms

zms

)2]

+

+ηa2

1

(1− η) a22

exp

−[x2 + y2

a22

+

(z − zss

zss

)2]

(6)

Здесь начало координат совпадает с точкой падения электронного зонда на образец; P0 — мощ-ность пучка первичных электронов; zms — глубина максимальных потерь энергии первичнымиэлектронами, испытавшими малоугловое рассеяние и поглощенными мишенью, а zss — глубинамаксимальных потерь энергии обратно рассеянными электронами; η — коэффициент обратногорассеяния электронов пучка. Отметим, что при моделировании процесса диффузии в правых ча-стях уравнений (1), (3), (5) должна находиться концентрации генерированных в полупроводникеННЗ, что достигается делением ρ∗(M) на энергию образования электронно–дырочной пары.

Ранее [7, 8, 14] показано, что модель (6) может быть успешно использована для проведенияколичественных расчётов для широкого класса материалов в широком диапазоне энергий пер-вичных электронов. В то же время при проведении расчетов распределений ННЗ по глубинебыло установлено, что в реальном вычислительном процессе ошибки округления при больших zне стремятся к нулю и это служит источником сильной вычислительной неустойчивости реше-ния [15]. Неясно также, как это может отразиться на статистической модели тепломассопереносса(см. [5]).

Некоторые возможности численного моделирования для трехмерной модели изучены на при-мере уравнения диффузии ННЗ [16]. Стационарное уравнение тепломассопереноса в полубеско-нечной области решено с использованием проекционного метода Галеркина. Установлена сходи-мость невязки, соответствующей приближенному решению уравнения диффузии с использова-нием модифицированных функций Лагерра.

Предметом изучения в настоящей работе является оценка возможности использованиятрехмерной модели для моделирования распределения тепла в различных полупроводниковых


мишенях при низких энергиях электронного зонда. В этой работе моделирование проведенодля случая отсутствия теплообмена мишени с внешней средой, как правило реализующегося вэлектронно–зондовых технологиях.

Результаты расчётов показали, что при использовании описанного выше подхода вклад по-глощённых в мишени электронов в суммарные потери энергии электронами зонда в мишени и,соответственно, в её нагрев, является определяющим при энергии зонда менее 4 . . . 5 кэВ. Длятяжёлых полупроводников (например, теллурида кадмия) потери энергии этими электронамистановятся практически равными нулю при энергии около 8 кэВ. Для лёгких образцов (напри-мер, кремния) и образцов со средними порядковыми номерами (например, арсенида галлия)потери энергии поглощёнными в мишени и обратно рассеянными электронами становятся со-измеримыми при энергии электронов зонда около 8 кэВ. При больших энергиях превалируетвклад обратно рассеянных электронов, что можно объяснить глубоким проникновением первич-ных электронов в мишень и, как следствие меньшей вероятностью выхода из мишени электронов,испытывающих в объеме полупроводника малоугловое рассеяние. Что касается обратно рассе-янных электронов, то для них характерно наличие максимума около 5 кэВ, а далее кривыемонотонно убывают. Наличие довольно резкого роста вклада отраженных электронов в суммар-ную кривую приводит к образованию “ступеньки” на зависимостях максимальной температурыот энергии первичных электронов, что при использовании других моделей не наблюдается ичто может быть существенным при проведении практических исследований материалов. Такжеотметим, что отраженные электроны меньше всего влияют на величину наибольшего нагревадля легких образцов; этот эффект наблюдается больше всего в тяжелых полупроводниковыхмишенях.

Исследования проведены при частичной финансовой поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований (проект 16–03—00515).


[1] Филиппов М.Н. Оценка теплового воздействия электронного зонда в растровой электронной микроскопии ирентгеноспектральном анализе / М.Н. Филиппов // Изв. РАН. Сер. физ. — 1993. — 8. — С. 163–167.

[2] Бакалейников Л.А. Расчет теплового воздействия зонда на образец нитрида галлия / Л.А. Бакалейников,Е.В. Галактионов, В.В. Третьяков, Э.А. Тропп // Физ. тв. тела 2001. — Т. 43, вып. 5. — С. 779–785.

[3] Everhart T.E. Kilovolt electron energy dissipation in solids / Everhart T.E. // J. Appl. Phys. — 1960. — Vol. 31,no. 10. — Р. 1483–1492.

[4] Kanaya K., Okayama S. Penetration and energy–loss theory of electrons in solid targets / K. Kanaya, S. Okayama// J. Phys. D. — 1972. — Vol. 5, no. 1. — P. 43–58.

[5] Серегина Е.В., Макаренков А.М., Степович М.А. Статистический анализ модели коллективного движениянеосновных носителей заряда с использованием проекционного метода / Е.В. Серегина, А.М. Макаренков,М.А. Степович // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2012. — 4. —С. 47-55.

[6] Михеев Н.Н. Определение электрофизических параметров полупроводников в растровом электронном мик-роскопе методами наведенного тока и катодолюминесценции / Н.Н. Михеев, И.М. Никоноров, В.И. Петров,М.А. Степович // Изв. АН СССР. Сер. физ. — 1990. — T. 54, 2. — C. 274–280.

[7] Михеев Н.Н. Количественный анализ материалов полупроводниковой оптоэлектроники методами растровойэлектронной микроскопии / Н.Н. Михеев, В.И. Петров, М.А. Степович // Изв. АН СССР. Сер. физ. — 1991. —T. 55, 8. — C. 1474–1482.

[8] Михеев Н.Н. Распределение энергетических потерь при взаимодействии электронного зонда с веществом/ Н.Н. Михеев, М.А. Степович // Завод. лаб. Диагностика материалов. — 1996. — Т. 62, 4. — С. 20–25.

[9] Степович М.А. Использование модели независимых источников для расчeта распределения неосновных но-сителей заряда, генерированных в двухслойном полупроводнике электронным пучком / М.А. Степович,М.Г. Снопова, А.Г. Хохлов // Прикладная физика. — 2004. — 3. — С. 61–65.

[10] Stepovich M.A. Model of independent sources used for calculation of distribution of minority charge carriersgenerated in two–layer semiconductor by electron beam / M.A. Stepovich, A.G. Khokhlov, M.G. Snopova // Proc.SPIE. — 2004. — Vol. 5398. — P. 159–165.

[11] Burylova I.V. Mathematical simulation of distribution of minority charge carriers, generated in multy–layersemiconducting structure by a wide electron beam / I.V. Burylova, V.I. Petrov, M.G. Snopova, M.A. Stepovich// Физ. и техн. полупроводников. — 2007. — Т. 41, вып. 4. — С. 458-461.

[12] Burylova I.V. Mathematical simulation of distribution of minority charge carriers, generated in multy–layersemiconducting structure by a wide electron beam / I.V. Burylova, V.I. Petrov, M.G. Snopova, M.A. Stepovich// Semiconductors. — 2007. — Vol. 41, no. 4. — P. 444–447.

[13] Снопова М.Г. Анализ модели распределений неосновных носителей заряда, генерированных в трёхслойнойполупроводниковой структуре широким электронным пучком / М.Г. Снопова, И.В. Бурылова, В.И. Петров,М.А. Степович // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2007. — 7. —С. 1–6.

www.kromsh.info 125

[14] Амрастанов А.Н. Об одной возможности математического моделирования теплового воздействия остро сфо-кусированного электронного пучка на однородный полупроводник / А.Н.Амрастанов, С.А. Гинзгеймер,М.А. Степович, М.Н. Филиппов // Изв. РАН. Сер. физ. — 2016. — Т. 80, 10. — С. 1448–1452.

[15] Серегина Е.В. О некоторых проблемах моделирования распределения неосновных носителей заряда, генери-рованных электронным пучком в полупроводниковом материале / Е.В. Серегина, М.А. Степович, А.М. Ма-каренков, М.Н. Филиппов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. —2016. — 4. — С. 88–93.

[16] Макаренков А.М. Проекционный метод Галеркина решения стационарного дифференциального уравнениядиффузии в полубесконечной области / А.М. Макаренков, Е.В. Серегина, М.А. Степович // Журнал вычис-лительной математики и математической физики. — 2017. — Т. 57, 5. — С. 57–69.

УДК: 53.09

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИС ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ЗАКОНА ФУРЬЕ

Судьенков Ю. В., Зимин Б. А, Свентицкая В. Е.

Санкт-Петербургский государственный университет,Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» имени Д. Ф. Устинова

(Россия, Санкт-Петербург)


Предложена методика приближенного анализа дисперсионных соотношений уравнений динамической термо-упругости с учетом обобщённого закона Фурье. Численный анализ полученных дисперсионных соотношений поз-волил судить об области применимости той или иной модели теплопереноса в зависимости от спектра тепловыхвозмущений и свойств материалов. Показано, что применение волновых моделей теплопереноса правомерно дляпикосекундных длительностей лазерного воздействия. Учет инерции градиента температуры практически уни-чтожает волновой процесс теплопереноса и возвращает к диффузной модели Фурье. При этом отмечается, чтопри волновом процессе теплопереноса может реализовываться достаточно интенсивный процесс энергообменамежду тепловыми и упругими полями.

Ключевые слова: теплоперенос, волновой процесс, дисперсионный анализ, энергообмен, спектр тепловых воз-мущений.

DISPERSION ANALYSIS OF DYNAMIC THERMOELASTICITY USINGTHE TWO-PARAMETR GENERALIZED FOURIER LAW

Sudenkov Yuri, Zimin Boris, Sventitskaya Vera

Saint-Peterburg State University,BSTU VOENMEH named after D. F. Ustinov (Russia, Saint-Peterburg)

A technique for an approximate analysis of the dispersion relations of the equations of dynamic thermoelasticitywith allowance for the generalized Fourier law is proposed. A numerical analysis of the obtained dispersion relationsmade it possible to judge the region of applicability of heat transfer model in dependence of the spectrum of thermalperturbations and the properties of materials. It is shown that the use of wave models of heat transfer is valid forpicosecond laser exposure durations. Note that the inertia of the temperature gradient practically destroys the waveprocess of heat transfer and returns to the diffuse Fourier model. It is noted that under the heat transfer wave process,a fairly intensive process of energy exchange between thermal and elastic fields can be realized.

Keywords: heat transfer, wave process, dispersion analysis, energy exchange, thermal perturbation spectrum.

Обобщённый закон Фурье с двумя параметрами запаздывания может быть записан в виде[1,2].

(1 + τq∂

∂t)q = −K(1 + τT

∂

∂t)T (1)

где K коэффициент теплопроводности, τq время релаксации теплового потока и τT временирелаксации температурного градиента. Тогда система уравнений динамической модели термо-упругости для одноосного напряжённого состояния запишется в виде:

∂2u∂z2 − 1

c2∂2u∂t2 − β(∂T

∂z + τT∂2T∂z∂t ) = 0

χ(3λ+ 2µ)αT

K ( ∂2u∂z∂t + τq

∂3u∂z∂t2 ) + χ

V 2T

∂2T∂t2 + ∂T

∂t − χ∂2T∂z2 − χτq ∂3T

∂t∂z2 ) = 0(2)


Решение системы дифференциальных уравнений можно представить в виде

A(t, z) = A(ω, t)exp(−iωt+ ikz) (3)

Подставив (3) в (2) и используя условие существования нетривиального решения получим дис-персионное уравнение:

D(ω, k) = (−k2 +ω2

c2)(−τqω2 − iω + χk2 − iχτTk2ω) + δ(ik + τTωk)(ωk − iτqkω2) = 0 (4)

где δ =(3λ+2µ)2α2

T T0

ρcεc2 коэффициент связанности. В общем случае решение дисперсионного

уравнения является комплексным. Приведены дисперсионные соотношения для трех вариантовуравнения теплопереноса.

(Ia) : τq = 0, τT = 0, δ = 0 :ω1 = ck, ω2 = −iχk2

(Ib) : τq = 0, τT = 0, δ 6= 0 :

ω1 = ck − i δc2

2χ , ω2 = −iχk2

(IIa) : τq 6= 0, τT = 0, δ = 0 :

ω1 = ck, ω2 = kVT − iV 2T

2χ

(IIb) : τq 6= 0, τT = 0, δ 6= 0 :

ω1 = ck − i δc2

2χ

√(1− (1−δ)c2

V 2T

), ω2 = kVT − iV 2

T

2χ

(IIIa) :τq 6= 0, τT 6= 0, δ = 0, τT = nτq :

ω1 = ck − i χk2nV 2

Tc2

−1, ω2 = kVT − iV 2

T

2χ (1 + k2χτT1+

V 2T

c2

1−V 2

Tc2

)

(IIIb) : τq 6= 0, τT 6= 0, δ 6= 0, τT = nτq :

ω1 = ck − i δV 2T

2χ(V 2

Tc2

−1+δ(n+1)+ k2n(2χ−δc2

c2τq)

2(V 2

T

c2 − 1 + δ(n+ 1)),

ω2 = kVT − iV 2T

2χ (1−

V 2T

c2+k2χτq(1+

V 2T

c2+δ(1−V 2

T k2ntau2q)

1−V 2

Tc2

+δ(n+1))

Результаты численного анализа полученных дисперсионных соотношений для усредненныхсвойств металлов приведены ниже на графиках. На рис.1 слева приведены зависимости модулейчастот акустических и тепловых мод для случая классической постановки динамической задачитермоупругости(Iа), а на рис.1 справа при учете волнового однопараметрического уравнениятеплопереноса (IIа).

Рис 1. Зависимости модулей частот для акустических и тепловых ветвей дляслучая Iа - лев. рис. и IIа. - прав.рис

На рис.2 представлены зависимости от k функций, определяющих затухание тепловых и аку-стических мод термоупругого процесса.

Из приведенных зависимостей следует, что волновой процесс теплопереноса возможен толькодля высоких частот, а время релаксации потока тепла определяет граничные частоты, в данном

www.kromsh.info 127

Рис 2. Зависимости затухания тепловых мод от (IIа) –лев.рис.; и сравнение за-тухания акустических мод для случаев Iа и IIб.-прав.рис.

случае ω ≥ 5 ∗ 109Гц. При этом преобразования тепловой энергии в энергию акустических модпри волновом процессе теплопереноса существенно выше, чем при диффузном характере рас-пространении тепла (рис.2). Результаты учета двухпараметрического уравнения теплопереносапредставлены на рис.3. Анализ расчетов показал, что в этом случае существование тепловойволны практически маловероятно и лишь в некоторой полосе частот(рис.3), то есть инерцияградиента температуры практически возвращает нас к диффузионному уравнению Фурье. Уве-личение инерции градиента температуры в два раза увеличивает затухание на порядок и сужаетполосу частот существования волнового процесса. Однако, здесь затухание как тепловых мод,так и акустических мод уменьшается с ростом связности. При значении связности δ=0,1 зату-хание уменьшается почти в пять раз, то есть для материалов с большим параметром связностисуществует возможность реализации такого рода термоупругого процесса с эффективным энергообменом между упругим и тепловым полем.

Рис 3. Влияние инерции градиента температуры на затухание тепловых мод –лев. рис. и акустических мод–прав. рис).

Таким образом, методика анализа дисперсионных соотношений уравнений динамической тер-моупругости с учетом обобщённого закона Фурье позволяет оценить области применимости тойили иной модели теплопереноса в зависимости от спектра тепловых возмущений и свойств мате-риалов. Показано, что применение волновых моделей теплопереноса правомерно для длительно-стей возмущений τ ≤ 10−10c, то есть для пикосекундных длительностей лазерного воздействия,а учет инерции градиента температуры практически уничтожает волновой процесс теплоперено-са и возвращает к диффузной модели Фурье. При этом отмечается, что при волновом процессетеплопереноса может реализовываться достаточно интенсивный процесс энергообмена междутепловыми и упругими полями.



[1] Цоу Д. Макро и Микро Теплопередача. / Д. Цоу. – Лондон: Джон Виллей, 2015. – 1298 с.[2] Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. / Э. М. Карташов. – М:

Высшая школа, 2001. – 550 с.

УДК: 51.72, 004.942, 533.9

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКА ВЧ-ПЛАЗМЫПОНИЖЕННОГО ДАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Шемахин А. Ю., Желтухин В. С.

Казанский (Приволжский) федеральный университет (Россия, Казань),Казанский национальный исследовательский технологический университет (Россия, Казань)


Для исследования процессов в ВЧ-плазме пониженного давления разработана гибридная математическая мо-дель, включающая кинетическое уравнение Больцмана для несущего нейтрального газа, уравнения неразрывно-сти для электронной, ионной и метастабильной компонент плазмы, преобразованные уравнения Максвелла.

Ключевые слова: ВЧ-плазма, струйное течение, пониженное давление, метастабильные атомы, гибридная мо-дель.

MATHEMATICAL MODELING OF RF PLASMA FLOW AT LOWPRESSURE WITH ELECTROMAGNETIC FIELD INFLUENCE

Shemakhin Aleksandr, Zheltukhin Viktor

Kazan Federal University (Russia, Kazan), Kazan National Research Technological University

A hybrid mathematical model to study the processes in RF plasma at low pressure is developed. The model includesBoltzmann’s kinetic equation for the neutral carrier gas and the continuity equations for metastables, electrons andions, inhomogeneous Maxwell equations.

Keywords: RF plasma, jet stream, low pressure, metastables, hybrid model.

Плазма ВЧ-разрядов пониженного давления (0.5−150 Па) применяется для модификации раз-личных материалов: диэлектриков,проводящих, полупроводниковых [1]. Образованная даннымвидом разряда плазма, характеризуется следующими параметрами: концентрация электроновne = 1015˘1019 м−3, степень ионизации 10−7−10−4, электронная температура Te = 1−4 эВ, тем-пература атомов и ионов в плазменном сгустке Ta = (3−4) ·103 К, в струе Ta = (3.2−10) ·102 K.

Для исследования процессов в ВЧ-плазме пониженного давления разработана математиче-ская модель на основе кинетической модели для несущего газа, уравнений неразрывности дляэлектронов, ионов и метастабильных атомов и преобразованных уравнениях Максвелла.

Модель включает в себя следующие уравнения

∂f

∂t+ c · ∂f

∂r+ F · ∂f

∂c= S(f), (1)

−div (Degrad ne + µeEcapne) = νine +R1nena +R2nm2 +R3nmne −R4ne

2 −R5ne3, (2)

−div (Digrad ni − µiEcapni) = νine +R1nena +R2nm2 +R3nmne −R4ne

2 −R5ne3, (3)

−div (Dmgrad nm) = R6nena −R2nm2 −R3nmne −R7nm −R8nmna −R9nm. (4)

−∆φ =e

ε0(ni − ne) (5)

Ecap = −gradφ (6)

www.kromsh.info 129

(∆− µ0ε0

∂2

∂t2

)E(r, t) = µ0

∂

∂tj(r, t). (7)

Здесь c и r - вектора скорости и координат атомов газа, соответственно, f(c, r, t) - функция

распределения нейтральной компоненты плазмы по скоростям, S(f) - интеграл столкновений, F -приведенная сила, воздействующая на нейтральные атомы за счет упругих столкновений с элек-тронами, ne - концентрация электронов, ni - концентрация ионов, De - коэффициент диффузииэлектронов, De - коэффициент диффузии ионов, µe -подвижность электронов, µi - подвижностьионов, νi - частота ионизации, va - скорость нейтрального газа, νc - частота упругих столкнове-ний электронов с атомами, σ - проводимость плазмы, Ecap - потенциальная часть электрическогополя, E -напряженность ВЧ составляющей электрического поля, Efull = E + Ecap, E = |Efull|,EI - потенциал ионизации, µ0 - магнитная постоянная, ǫ0 - диэлектрическая постоянная, φ -потенциал электрического поля, kB - постоянная Больцмана, δ = me/2ma, me,ma - массы элек-тронов и атомов, dV - элемент объема. I1 = 11.56 эВ - энергия возбуждения , R1 - коэффициентударной ионизации , R2 - коэффициент Пеннинговой ионизации, R3 - коэффициент ступенчатойионизации, R4 - коэффициент фоторекомбинации, R5 - коэффициент тройной рекомбинации, R6

- коэффициент скорости возбуждения метастабильных атомов, R7 - коэффициент радиационнойрекомбинации, R8 - коэффициент столкновительного тушения возбужденных состояний, R9 -коэффициент скорости убывания электронов в столкновениях с возбужденными атомами [4]-[7].

Коэффициенты De, νi, λe являются функциями электронной температуры [2] - [9],К системе уравнений (1) - (7) устанавливаются следующие граничные условия

ne|inlet = neinlet, ne|outlet = ne|walls = 0, (8)

ni|inlet = niinlet, ni|outlet = ni|walls = 0, (9)

φ|inlet = φinlet, φ|outlet = φ|walls = 0, (10)

nm|inlet = nm|outlet = nm|walls = 0. (11)

Для преобразованных уравнений Максвелла граничные условия устанавливаются при помо-щи закона Био-Савара, для уравнения Больцмана - с помощью задания потока частиц на входев камеру при реализации метода прямого статистического моделирования, который характери-зуется распределением скорости частиц, температурой и их количеством, проходящим в единицувремени через входное отверстие вакуумной камеры.

Для решения системы задач (1) - (11) разработан гибридный численный метод, который вклю-чает в себя модифицированный метод Г.Бёрда для несущего газа [10, 11] и метод конечных объ-емов для расчета распределений электронов, ионов и метастабильных атомов, преобразованныхуравнений Максвелла. Для реализации метода разработана программа на языке С++, исполь-зующая библиотеки пакета OpenFOAM [12].

Газодинамические и электродинамические характеристики потока плазмы получены для ва-куумной камеры с размерами Rvk = 0.2 м, Lvk = 0.5 м и Rrk = 0.012 м. Входные параметрыплазмы следующие: несущий газ - аргон, расход газа G = 0.02 − 0.24 г/с, давление на входеPinlet = 0.5 − 150 Па, температура на входе Tinlet = 400 − 600 K, концентрация электронов иионов на входе ne = 1015 м−3, потенциал на входе φinlet = 100 В, степень ионизации δi = 10−7.Начальное давление в камере P0 = 0.05− 15 Па.

Получены результаты расчетов концентрации электронов, ионов и метастабильных атомов,распределения скорости, давления и температуры нейтральной компоненты, напряженностиэлектрического поля.

Установлено, что распределение давления имеет колоколообразную форму по срезу струи,как и температура нейтральной компоненты ВЧ-плазмы. Потенциал поля Ecap имеет максимумв точке z = 0.08 м и падает к стенкам вакуумной камеры. Получено, что ассиметрия в рас-пределении потенциальной составляющей поля нарушает симметрию полного поля mathbfE,создаваемого суммой высокочастотной и потенциальной компонент, распределение плотностиэлектронов падает вдоль струи, имея максимум на расстоянии z = 0.02м от входа, к стенкамвакуумной камеры. Значение плотности метастабильных атомов сравнимо с плотностью элек-тронов, максимум находится на расстоянии z = 0.07 м.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта 16-31-60081.



[1] Абдуллин И.Ш., Желтухин В.С. , Сагбиев И.Р., Шаехов М.Ф. Модификации нанослоев в высокочастотнойплазме пониженного давления. – Казань, 2007. – 355 с.

[2] Shemakhin A. Y., Zheltukhin V. S., Khubatkhuzin A. A. Numerical and experimental study of a warming up effectof an underexpanded rarefied rf plasma jet outflowing into a flooded area //Journal of Physics: Conference Series.– IOP Publishing, 2016. – Т. 774. – . 1. – С. 012167.

[3] Zheltukhin V. S., Shemakhin A. Y. Simulation of rarefied low pressure RF plasma flow around the sample //Journalof Physics: Conference Series. – IOP Publishing, 2017. – Т. 789. – . 1. – С. 012071.

[4] Dubrovin V. T., Chebakova V. J., Zheltukhin V. S. Radio-Frequency Discharge at Low Pressure: a Non-LocalProblem Statement Approach //Procedia Engineering. – 2016. – Т. 150. – С. 1041-1045.

[5] Hagelaar G. J. M., Pitchford L. C. Solving the Boltzmann equation to obtain electron transport coefficients and ratecoefficients for fluid models //Plasma Sources Science and Technology. – 2005. – Т. 14. – . 4. – С. 722.

[6] Zhu X. M., Pu Y. K. A simple collisional–radiative model for low-temperature argon discharges with pressure rangingfrom 1 Pa to atmospheric pressure: kinetics of Paschen 1s and 2p levels //Journal of Physics D: Applied Physics. –2009. – Т. 43. – . 1. – С. 015204.

[7] Lymberopoulos D. P., Economou D. J. Fluid simulations of glow discharges: Effect of metastable atoms in argon//Journal of applied physics. – 1993. – Т. 73. – . 8. – С. 3668-3679.

[8] Райзер Ю. П. Физика газового разряда. – Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – С. 592.[9] Scheller G. R. et al. Nonlinear excitation and dissociation kinetics in discharges through mixtures of rare and

attaching gases //Journal of applied physics. – 1988. – Т. 64. – . 9. – С. 4384-4397.[10] Берд Г.А. Молекулярная газовая динамика. М.:Мир, 1981.[11] Zheltukhin V. S., Shemakhin A. Y. Simulation of RF plasma flowing at low pressure //Mathematical Models and

Computer Simulations. – 2014. – Т. 6. – . 1. – С. 101-107.[12] OpenFOAM : Open Source Software for CFD [Электронный ресурс].- Режим доступа: https://openfoam.org/

MSC2010: 74J30

WAVE FLOWS INDUCED BY LIFTING OF A SYMMETRIC CONVEXBODY PARTIALLY IMMERSED IN SHALLOW WATER

Kovyrkina Olyana, Ostapenko Vladimir

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics of SB RAS;Lavrentyev Institute of Hydrodynamics of SB RAS, Novosibirsk State University

(Russia, Novosibirsk)


A problem of a plane-parallel flow induced by vertical lifting of a symmetric convex body partly immersed in waterfilling a rectangular prismatic channel with a horizontal bottom is solved within the framework of the shallow watertheory. The liquid flow is obtained analytically in the region adjacent to the lower surface of the body and by means ofthe numerical solution of shallow water equations by the second-order CABARET scheme outside this region. Equationsthat define the motion of the boundary line between the liquid and the lower surface of the body are derived. It is shownthat the form of these equations is determined by the sign of the spatial derivative of pressure on this boundary line.Numerical results demonstrating liquid lifting behind the body leaving the water medium are presented.

Keywords: shallow water, lifting of a convex body from water medium, long-wave approximation, motion of thecontact line, numerical simulation, CABARET scheme.

Theoretical, experimental, and numerical investigations of body lifting from the surface of a deepliquid with the bottom effect being ignored were performed in [1]–[3]. Experimental studies of liftingof a circular glass disk from the water surface were performed in [1]. Those studies were aimed atexplaining the process of lapping by felines and showed that the process of liquid lifting behind thedisk is mainly determined by the gravity and inertia forces, whereas the liquid viscosity and surfacetension exert minor effects on the process. In [3] proposed a linearized model of lifting of a flat bodyfrom the free boundary of an infinitely deep liquid. This model is based on the main assumption thatthe velocity of the boundary of the liquid-body surface contact region is proportional to the localvelocity of the flow at the periphery of the contact region. The hydrodynamic forces calculated by themodel proposed in [3] for a wedge and a parabolic contour agree well with the results of the numericalcalculations reported in [2]. Wave flows arising due to lifting of a rectangular beam partly immersed inshallow water were studied in [4]. The present study is a continuation of these investigations. Plane-parallel flows arising in the case of vertical lifting of a symmetric convex body of length 2L partlyimmersed in shallow water filling an infinite rectangular prismatic channel with a horizontal bottomare considered. Such flows are modeled in the first approximation of the shallow water theory; friction,

www.kromsh.info 131

liquid viscosity, and surface tension are ignored. The body width 2b coincides with the channel width,the flat side surfaces of the body are perpendicular to the channel bottom, and the lower downward-convex surface of the body has sufficiently small curvature and is completely immersed in water atthe initial time.

The liquid and body are at rest at the time t = 0. Let us introduce a Cartesian coordinate systemwhose x axis is aligned on the channel bottom parallel to the side walls at identical distances b fromthese walls; the z axis is directed vertically upward, normal to the channel bottom. The body isassumed to be located symmetrically with respect to the coordinate plane y0z; therefore, its edgeshave the coordinates ±L on the x axis. The initial depth of the liquid outside the body, i.e., at |x| > L,is h0 ≪ L, and the pressure on the free surface of the liquid is equal to the atmospheric value, whichis assumed to be zero.

At the time t = 0 the body occupies the domain

V = (x, y, z) : |x| ≤ L, |y| ≤ b, f(x) + h1 ≤ z ≤ z0,where z0 > h0 ≥ h2 ≥ h1 > 0, h2 = f(L)+h1. The continuous function f(x) defining the lower surfaceof the body is even and satisfies the conditions f(0) = 0; f ′(x) ≥ 0, f ′′(x) ≥ 0 for all x ∈ (0, L). Atthe time t = 0 + 0 the body moves vertically upward with a given increasing acceleration H ′′(t) > 0and zero initial velocity. Assuming that H(0) = h1, we can uniquely determine the body lifting lawH(t), from which it follows that the lower surface of the body at t ≥ 0 is determined by the formulaz = f(x) + H(t) for all |x| ≤ L. The resultant liquid flow is described within the framework of thefirst approximation of the shallow water theory with ignored friction by the equations

ht + qx = 0, qt + (qu+ gh2/2)x = −hpx, (1)

where h(x, t), q(x, t), u = q/h are the depth, flow rate, and velocity of the liquid; p(x, t) is the specificpressure on the liquid surface; g is the free-fall acceleration.

As the body is lifting, the edges of its lower surface start to leave the water at a certain time instantT1 ≥ 0. At T1 > 0 the first stage of the process occurs in the time interval (0, T1). At this stage thelower surface of the body is completely immersed in the liquid, and the distance HL(t) = f(L)+H(t)is smaller than the depth hL(t) = h(L+ 0, t) of the liquid adjacent to the end faces of the body, i.e.HL(t) < hL(t). We will assume that at this stage the hydrostatic pressure makes the liquid levelh(x, t) under the body increases during body lifting so that h(x, t) = f(x) +H(t) for all |x| ≤ L. Asa result, a liquid flow directed toward the body centre is formed; outside the body, this flow consistsof depression waves of the initial level h0. The first stage is finalized when the depth of the liquidadjacent to the end faces of the body becomes equal to the height of lifting of the edges of the lowersurface of the body, i.e. hL(T1) = HL(T1). Separation of the body from the liquid occurs at a certaintime T2 > T1. The second stage of the process occurs in the time interval (T1, T2): the edges of thelower surface of the body start to move out of the liquid, while some part of the lower surface stillcontacts the liquid. We assume that this part of the lower surface of the body is defined by the interval|x| ≤ a(t) whose length a(t) at t ∈ (T1, T2) is a rigorously monotonically decreasing function. At thethird stage, at t > T2, the body becomes separated from water, after which liquid lifting that occurredat the second stage leads to the formation of two diverging waves.

At the first two stages, when t ∈ (0, T2), the flow domain is divided into two subdomains: thesubdomain |x| ≤ a(t), where the fluid is adjacent to the body, and the doubly connected domain|x| > a(t) with the free upper boundary of the liquid, where a(t) = L at t ∈ [0, T1) and a(t) ∈ [0, L] att ∈ [T1, T2]. In the first subdomain the liquid depth h(x, t) = f(x)+H(t), and due to the first equationof system (1) we obtain H ′ + (hu)x = 0. Integrating this equation with respect to x and taking intoaccount the boundary condition u(0, t) = 0, which follows from the symmetry of the problem aroundthe point x = 0, we find u(x, t) = −xH ′(t)/h(x, t), at |x| ≤ a(t). In particular, at the boundary pointx = a(t), we obtain U(t) = u(a(t), t) = −a(t)H ′(t)/h(a(t), t). To characterize the flow outside thebody at the first stage, it is sufficient to solve the initial-boundary-value problem in the domain x > L,t > 0 for the system (1)

h(x, 0) = h0, q(x, 0) = 0; q(L, t) = Q(t) = U(t)HL(t) = −LH ′(t). (2)

The well-posedness of this problem was studied in [4].At the second stage the motion of the boundary line x = a(t) essentially depends on the sign of

the left one-sided spatial derivative of the pressure P−x (t) = px(a(t) − 0, t), which is defined from

the second equation of the system (1). The sign of this derivative determines the sign of the surfacepressure p in a certain left one-sided neighborhood (a(t) − ε, a(t)) of the boundary line. As a result,the body decelerates lifting of the fluid adjacent to the body in this neighborhood at P−

x < 0 and


-200 -100 0 100 200 x

-200 -100 0 100 2000

10

20(b)

h

x

4 56

10

20

(a)h

1

2

3

12

3

4

56

-200 -100 0 100 200

10

20

30

40(c)h

x

-200 -100 0 100 2000

10

20

30

40 (d)

h

x

Fig 1. Wave profiles for six consecutive time instants in the case of parabolic bodylifting at f(x) = 10−5|x|3; (a, b): acceleration H ′′ = 15 cm/c2, initial depths of theliquid h0 = 20 cm, h1 = 5 cm, h2 = 15 cm, time instants t = T1 = 0.33 c (1), t = 0.8 c (2),t = 1.2 c (3), t = T2 = 1.41 c (4), t = 2 c (5), t = 2.5 c (6); (c, d ): acceleration H ′′ =250 cm/c2, initial depths h1 = 10 cm, h2 = h0 = 20 cm, time instants t = 0.1 c (1),t = 0.2 c (2), t = 0.4 c (3), t = T2 = 0.45 c (4), t = 0.8 c (5), t = 1.2 c (6). The initial valuesof the depth are shown by the dashed curves, and the lower surface of the lifted body isdepicted by the dot-and-dashed curves.

accelerates the lifting process at P−x > 0. Under the condition P−

x < 0, the position of the boundaryline x = a(t) is determined from the algebraic equation aH ′ + Ha (r + 2C) = 0, where C =

√gHa,

Ha = f(a) + H , r = u − 2c, c =√gh. In this case, the value of the r-invariant is brought from the

outer flow region x > a(t). Under the condition P−x ≥ 0, the boundary line propagates with the critical

velocity a′ = λr and its position is determined by integrating equation a′ + aH ′/Ha +√gHa = 0. The

inequality P−x < 0 should be satisfied for the boundary line to propagate with the subcritical velocity

λr = U − C < a′ < λs = U + C,

and the equality P−x = 0 should be valid for the boundary line to propagate along the r-characteristic

of system (1). If the inequality P−x > 0 is satisfied, then the boundary line propagates with the critical

velocity a′ = λr and is an envelope of the family of r-characteristics emanating from this line to theexternal domain x > a(t). If the inequality P−

x < 0 is satisfied and the boundary line propagates withthe critical velocity, then it is an envelope of the family of r-characteristics arriving on this line fromthe domain x > a(t).

If the inequality P−x ≥ 0 is satisfied at the second stage, which means that the boundary line

propagates with the subcritical or critical velocity a′ ∈ [λr, λs), and the r-characteristics arrivingon this line bring the initial value r0 = −2c0 = −2

√gh0 of the r-invariant, then the liquid layer in

the domain |x| < a(t) where it is adjacent to the body does not rise above the initial level of theliquid h0 outside the body (fig. 1a); as a result, body separation from the liquid occurs at the depthh(0, T2) = h0 (fig. 1b). If the inequality P−

x < 0 is satisfied at the beginning of the second stage, themaximum height of liquid lifting behind the body can be appreciably greater than the initial liquiddepth outside the body (figs. 1c, d).

For the numerical solution of the problem, we use a monotonic modification of the explicit second-order CABARET scheme [5]. The main advantages of this scheme are provided by the followingproperty: in the linear case, this scheme is reversible in time and exact for two different Courantnumbers r = 0.5 and r = 1. For this reason, the scheme possesses unique dissipative and dispersiveproperties. Moreover, the CABARET scheme has a compact stencil bounded by the size of one spatial-temporal cell of the difference grid. As a result, its accuracy does not decrease on severely nonuniformdifference grids, which are used to construct the numerical algorithm at the second stage of the flowin the neighborhood of the moving boundary x = a(t) of the computational domain.

In the work [3] was used the heuristic assumption that the velocity of the liquid-body contactboundary is proportional to the local velocity of the liquid flow in theoretical modeling of liftingof a flat body from the free boundary of an infinitely deep liquid. The main challenge of this workwas to obtain an exact law of motion of this boundary line within the framework of the long-wave

www.kromsh.info 133

approximation in solving the problem of lifting of a symmetrical convex body partly immersed intoshallow water. As a result of solving this problem, it was shown that the motion of the boundary linex = a(t) essentially depends on the sign of the left one-sided spatial derivative of the pressure P−

x onthis line. The ordinary differential equations, by means of which the law of the boundary line motionis obtained, have to be satisfied both in the case P−

x < 0 and in the case P−x ≥ 0.

It is further planned to compare the solutions obtained in this work with numerical simulationsperformed on the basis of hydrodynamic models of higher levels.

This work was partially supported by the Russian Foundation for Basic Research (Grant No. 16-01-00333).

References

[1] Reis P.M., Jung S., Aristoff J.M., Stocker R. How cats lap: water uptake by Felis catus, Science. 330 (2010), 1231–1234.

[2] Tassin A., Piro D.J., Korobkin A.A., Maki K.J., Cooker M.J. Two-dimensional water entry and exit of a body whoseshape varies in time, J. Fluids Struct. 40 (2013), 317–336.

[3] Korobkin A.A. A linearized model of water exit, J. Fluid Mech. 737 (2013), 368–386.[4] Ostapenko V.V., Kovyrkina O.A. Wave flows induced by lifting of a rectangular beam partly immersed in shallow

water, J. Fluid Mech. 816 (2017), 442–467.[5] Karabasov S.A., Goloviznin V.M. Compact accurately boundary-adjusting high-resolution technique for fluid

dynamics, J. Comput. Phys. 228 (2009), 7426–7451.


Секция 8. Дискретная математика и информатика.Методика преподавания математики в высшей школе и

история математики

УДК: 531.3:681.5.01

О РЕАЛИЗАЦИИ КОМПЕТЕНТНОСТНОГО ПОДХОДА ПРИФОРМИРОВАНИИ ФОНДА ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

Билялова Л.Р., Ситшаева З. З.

Крымский инженерно-педагогический университет (Россия, Симферополь)


В работе обсуждаются вопросы поэтапного планирования и разработки фонда оценочных средств, решениекоторых демонстрируются на примере конкретной учебной дисциплины. Предлагается структура и формы оце-ночных средств для текущего и промежуточного оценивания уровня сформированности общекультурной компе-тенции ОК-3 — способность использовать естественнонаучные и математические знания для ориентирования всовременном информационном пространстве.

Ключевые слова: компетентностная модель, оценочное средство, компетентностно-ориентированное задание.

ON IMPLEMENTATION OF COMPETENCE APPROACH FORFORMATION OF EVALUTION TOOLS FUND

L. R. Bilyalova, Z. Z. Sitshaeva

Crimean engineering-pedagogical University (Russia, Simferopol)

The paper deals with the questions of step-by-step planning and development of the fund of evaluation tools, thesolution of discussed problem is demonstrated by academic discipline example. The structure and forms of the tools forcurrent and intermediate evaluation of the formed level of general cultural competence OK-3 - an ability to use naturaland mathematical knowledge for orientation in modern information space.

Keywords: competence educational model, evaluation tool, competence-oriented problem.

Одним из важных факторов, влияющих на качество образования, является организация кон-троля и оценки сформированности общекультурных и профессиональных компетенций, полу-ченных обучающимися в процессе реализации основной профессиональной образовательной про-граммы (ОПОП). Именно для этой цели предназначен ФОС ОПОП, с помощью которого уста-навливается соответствие подготовленности обучающихся заявленному образовательному стан-дарту.

Рассматриваемая в данной работе проблема создания ФОС является безусловно актуальной идостаточно сложной; возрастающий интерес педагогов к этой проблеме отражен в ряде научныхисследований. В статье [2] приводятся требования к проектированию ФОС: последовательностьи многоступенчатость оценивания, сопоставимость их результатов. Ряд авторов (см. [4]) указы-вают на то, что при разработке ФОС следует учитывать несколько требований. Для оцениваниякомпетенций обучающихся задания и критерии оценивания должны соответствовать направле-нию их будущей профессиональной деятельности и, соответственно, набору заявленных в ОПОПкомпетенций; более того, необходимо оценивать не совокупность знаний, а готовность к будущейдеятельности.

Реализация компетентностного подхода в подготовке обучающихся в системе высшего образо-вания предопределяет требования к системе оценивания уровня сформированных компетенций,заявленных в ОПОП. Центральным структурным элементом обсуждаемой системы оцениванияявляется фонд оценочных средств (ФОС) образовательной программы, компонентами которойявляются ФОС для проведения текущей и промежуточной аттестации обучающихся по всемдисциплинам и практикам, а также государственной итоговой аттестации выпускников [3].

ФОС, являясь составляющей частью ОПОП, а также структурной компонентой рабочей про-граммы каждой дисциплины и практики, призван обеспечить эффективное оценивание качестваосвоения обучающимися образовательной программы [6].

www.kromsh.info 135

Процесс разработки ФОС разбивается на несколько последовательных взаимосвязанных эта-пов, первый из которых заключается в предварительном планировании форм контрольно-оценочных мероприятий, второй –– в формирования их содержания, на заключительном этаперазрабатываются учебно-методические материалы для их проведения.

Заметим, что в процессе текущего и промежуточного контроля по отдельно взятой дисци-плине может формироваться как часть компетенции, так и компетенция в целом. Кроме того,следует учитывать, что одна и та же компетенция может обеспечиваться в результате освоениянескольких разных дисциплин (см. рис. 1, 2). Естественно, это должно учитываться при раз-работке содержания ФОС. Поэтому представляется, что совокупность контрольно-оценочныхзаданий следует оптимизировать, т.е. задания должны носить комплексный, междисциплинар-ный характер.

Pис. 1. Структурно-компетентностная схема ОПОП

Pис. 2. Компетентностная модель ФОС.

Компонентами ФОС ОПОП являются структурная матрица оценочных средств компетенций(см., например, рис. 3), контрольно-оценочные средства по дисциплинам и практикам, а такжедля государственной итоговой аттестации. Таким образом, ФОС включает в себя: перечень ком-петенций с указанием этапов их формирования; описание показателей и критериев оцениваниясформированности компетенций, определяемые особенностями выбранных оценочных средств;типовые контрольные задания для оценки деятельностных умений и навыков; методические


материалы, определяющие содержательные аспекты процедуры оценивания (требования и кри-терии оценки результата выполнения задания, образец выполнения задания, и пр.).

Рис. 3. Фрагмент матрицы оценочных средств компетенции ОК-3 для дисциплины ОМОИ.

Как указывают авторы [2, 3], методика проведения текущего и промежуточного контроляможет включать требования к выполненным заданиям на каждом этапе обучения, комплект од-нотипных заданий с образцом их выполнения, критерии оценивания, шкалы перевода различныхсистем оценивания в сопоставимые оценки. ФОС дисциплин и практик содержат требования крезультатам обучения, виды, формы и средства контроля, такие как тестовые задания, учебныезадачи, контрольные работы.

Заметим, что контрольно-измерительные материалы (КИМ), будучи средствами оценки ком-петенций, должны содержать компетентностно-ориентированные задания [1,5], составленные сучетом направлений будущей профессиональной деятельности, и позволяющие установить соот-ветствие учебных достижений обучающегося заявленным результатам обучения по дисциплинеи требованиям ОПОП.

В настоящей работе представлен опыт авторов поэтапного планирования и разработкиконтрольно-измерительных материалов ФОС на примере дисциплины «Основы математическойобработки информации» (ОМОИ) для студентов педагогического направления бакалавриата попрофилю «Математика». Обсуждаются структура и формы оценочных средств для формиро-вания общекультурной компетенции ОК-3 — способность использовать естественнонаучные иматематические знания для ориентирования в современном информационном пространстве. От-метим, что рабочей программой дисциплины предусмотрены текущая аттестация по каждомуразделу дисциплины и промежуточная аттестация по дисциплине в целом. Для текущего оцени-вания уровня сформированности указанной компетенции предлагается применять такие формыоценочных средств как электронный практикум, учебные задачи, письменные работы в фор-ме тестовых заданий. Промежуточный контроль проводится в форме письменной контрольнойработы (рис. 3).

Поскольку от обучающегося в результате изучения дисциплины требуется решать типовыепрофессиональные задачи, то можно использовать следующую градацию уровней продемонстри-рованной компетенции: базовый, достаточный или высокий. Поэтому уровень сформированностиупомянутой выше компетенции оценивается по 4-х балльной шкале: компетентность не сформи-рована, сформирован базовый, достаточный или высокий уровень компетентности.


[1] Билялова Л.Р., Ситшаева З. З. Профессионально-ориентированные практические задания как средство моти-вации познавательной деятельности студентов-гуманитариев // Проблемы современной науки и образования.— 2016. — 30 (72). — С. 86-90.

[2] Гладков А. В., Кутепов М.М., Трутанова А.В. Разработка фондов оценочных средств в условиях реализациикомпетентностного подхода // Азимут научных исследований: педагогика и психология. — 2017. — Т.6, 3(20). — С. 138-141.

www.kromsh.info 137

[3] Кожухова Н.Ю., Кожухова А. Н. Разработка фонда оценочных средств в условиях реализации федеральныхгосударственных образовательных стандартов // Вестник Брянской государственной сельскохозяйственнойакадемии. — 2017. — 6(64). — С. 60-64.

[4] Репина Р. В., Хижная А.В. Значение сертификации систем менеджмента качества в высшем учебном за-ведении // В сборнике: Социальные и технические сервисы: проблемы и пути развития сборник статей поматериалам II Всероссийской научно-практической конференции. Нижегородский государственный педаго-гический университет им. К. Минина. — 2015. — С. 99-101.

[5] Ситшаева З.З., Билялова Л.Р. Некоторые аспекты формирования информационно-математической компе-тенции студентов гуманитарных специальностей // Альманах современной науки и образования. – 2015. – 7(97). – С. 111-113.

[6] Сычева Н.В., Хасанова Н.А., Алейникова А.О. Некоторые аспекты технологии создания фонда оценочныхсредств в вузе в рамках контекстного подхода в образовании // Ростовский научный журнал. – 2017. – 6.– С. 97-102.

УДК: 519.175.3

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ПОМЕЧЕННЫХ КОЛЮЧИХ КАКТУСОВ

Воблый В. А., Мелешко А. К.

ВИНИТИ, МГТУ им. Н. Э. Баумана (Россия, Москва)


Колючим графом называется связный граф, который становится гладким после однократного удаления всехвисячих вершин. Получена явная формула для числа помеченных колючих кактусов с n вершинами, из которыхp – невисячих вершин.

Ключевые слова: кактус, гладкий граф, связный граф, колючий граф, колючий кактус, перечисление.

ENUMERATION OF LABELED THORN CACTI

Voblyi V. A., Meleshko A. K.

Russian Institute of Scientific and Technical Information RAS (Russia, Moscow),Moscow Bauman State Technical University (Russia, Moscow)

A thorn graph is a connected graph that becomes smooth by the one-time removal of all the pendant vertices.Theexact formula are obtained for the number of labeled thorn cacti with a given number of vertices of which p are notpendant vertices.

Keywords: cactus, smooth graph, connected graph, thorn graph, thorn cactus, enumeration.

Кактусом называется связный граф, в котором нет ребер, лежащих более чем на одном про-стом цикле [1, c. 93]. Все блоки кактуса – ребра или простые циклы. Гладкий граф – это связныйграф без висячих вершин [2]. Колючим графом называется связный граф, который становитсягладким после однократного удаления всех висячих вершин. Колючие кактусы находят широкоеприменение в химической кибернетике [3].

Форд и Уленбек перечислили помеченные кактусы с заданным распределением числа вершинпо циклам [4]. В [5] получена формула для числа помеченных кактусов с заданным числом вер-шин. Рид перечислил помеченные гладкие графы с заданным числом вершин [6]. В [7] полученаявная формула для числа помеченных гладких кактусов.

Теорема. Пусть TCp(n) – число помеченных колючих кактусов с n вершинами, из которыхp - невисячих вершин. Тогда

TCp(n) =

(n

p

)pn−p

p∑

m=3

(−1)p−mp!

(p−m)!

[ m−12 ]∑

r=1

m−2r−1∑

k=0

(m− k − r − 2

r − 1

)mp−m+k+r−2

k!r!2r.

Доказательство. Пусть CCp(n, n+q) – число помеченных связных колючих графов (графов-гусениц) с n вершинами, из которых p невисячих вершин, и n + q ребрами. V (p, p + q) – числопомеченных гладких графов с p вершинами и p+ q ребрами. В работе [8] была найдено выраже-ние:

CCp(n, n+ q) =

(n

p

)pn−pV (p, p+ q). (1)


После суммирования левой и правой частей равенства (1) по q получим формулу

CCp(n) =

(n

p

)pn−pVn, (2)

где CCp(n) – число помеченных связных колючих графов с n вершинами, из которых p невисячихвершин, Vn – число гладких связных графов с n помеченными вершинами.

Пусть SGn – число помеченных гладких кактусов с n вершинами. В [7] была доказана фор-мула:

SGn =

n∑

m=3

(−1)n−mn!

(n−m)!

[ m−12 ]∑

r=1

m−2r−1∑

k=0

(m− k − r − 2

r − 1

)mn−m+k+r−2

k!r!2r.

Подставив в (2) вместо Vn выражение для SGn, получим утверждение теоремы.


[1] Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. / Ф. Харари, Э. Палмер. – М.: Мир, 1977. – 324 с.[2] Wright E.M. Enumaration of smooth labelled graphs / E. M. Wright // Proc. of the Royal Scociety of Edinburgh.

– 1982. – P. 205-212.[3] Handbook of Research on Applied Cybernetics and System Science (ed. Saha Shehanshu), IGI Global.2017.[4] Ford G. W., Uhlenbeck G. E. Combinatorial problems in theory graphs / G. W. Ford, G. E. Uhlenbeck // Proc.

Nat. Acad. Sci. USA. – 1956. – Vol. 42. – P. 122-128.[5] Воблый В. А. Об одной формуле для числа помеченных связных графов / В. А. Воблый // Дискретный анализ

и исследование операций. – 2012. – Т. 19, 4. – С. 48-59.[6] Read R. C. Some unusual enumeration problems/ R. C. Read // Ann. New York Acad. Sci.–1970. – Vol. 175. – P.

314-326.[7] Мелешко А. К. Перечисление помеченных гладких кактусов / А. К. Мелешко // Материалы X Молодежной

научной школы по дискретной математике и ее приложениям. Москва – 2015. – С. 50-51.[8] Воблый В.А. О вероятности появления графа-гусеницы среди случайных разреженных графов / В. А. Воблый

// Тезисы докладов 2 всесоюзной конференции. Вероятностные методы в дискретной математике. Петроза-водск. – 1988. – С. 25-26.

УДК: 378.046.4:51]:376.352+376.32

РАЗРАБОТКА МАССОВЫХ ОТКРЫТЫХ ОНЛАЙН КУРСОВ (МООК)ПО МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ ДЛЯ СТУДЕНТОВ С

ОСОБЫМИ ПОТРЕБНОСТЯМИ

Косова Е. А.

Таврическая академия Крымского федерального университета им. В. И. Вернадского(Россия, Симферополь)


В работе рассматриваются вопросы разработки онлайн курсов по математическим и компьютерным дисци-плинам для слушателей с ограниченными возможностями здоровья и инвалидов. Сформулированы требованияк контенту доступных онлайн курсов, разработанных согласно принципам универсального дизайна.

Ключевые слова: массовые открытые онлайн курсы, доступность контента, обучающиеся с ОВЗ, инвалиды,математические и компьютерные дисциплины.

DEVELOPMENT OF MASSIVE OPEN ONLINE COURSES (MOOC) ONMATHEMATICAL DISCIPLINES FOR STUDENTS WITH SPECIAL NEEDS

Kosova Yekaterina

V. I. Vernadsky Crimean Federal University (Russian Federation, Simferopol)

www.kromsh.info 139

The paper deals with issues of development of online courses in mathematical and computer disciplines for studentswith disabilities. Requirements for the content of accessible online courses designed in accordance with the principles ofuniversal design are formulated.

Keywords: massive open online courses, content accessibility, students with disabilities, mathematical and computerdisciplines.

Одной из основных характеристик Массовых открытых онлайн курсов (с англ. Massive OpenOnline Courses (МООС)) является общедоступность, так как:

• Интернет позволяет сделать курсы физически доступными из любой точки Земного ша-ра;• любой человек, заинтересовавшийся курсом и имеющий соответствующий стартовый на-

бор компетенций, может пройти обучение и быть аттестован с получением или без полу-чения сертификата;• мультисенсорность подачи материала (текст, аудио и видео), применение инновацион-

ных технологий обучения (в том числе, микроленинг, игрофикация, сторителлинг), ис-пользование различных типов контроля знаний позволяют сделать материалы курсовдоступными для восприятия и запоминания;• прохождение онлайн курсов не требует присутствия обучающегося в аудитории, что обес-

печивает доступность для людей с особыми потребностями (лиц с ОВЗ и инвалидов). Вэтом случае, свойство доступности (с англ. accessibility) означает возможность полученияравноценного доступа к контенту людей с различными образовательными потребностя-ми.

Цель исследования: проанализировать требования к контенту учебных материалов для лицс ОВЗ и инвалидов; на основании анализа сформулировать методические рекомендации дляпреподавателей математических дисциплин по разработке доступных (accessible) онлайн курсов.

Для подтверждения актуальности исследования был проведен опрос преподавателей матема-тических и компьютерных дисциплин, который показал отсутствие готовности поддерживатьобучение некоторых категорий обучающихся в аудиторной форме. К таким категориям относят-ся лица с глубокими нарушениями зрения и расстройствами аутистического спектра. Кроме того,отсутствие доступной среды затрудняет традиционное обучение людей с нарушениями опорно-двигательного аппарата, глубокими нарушениями зрения, тяжелыми формами нарушений слуха.Не распространен опыт очного обучения лиц, заявивших о имеющихся психиатрических нару-шениях и получивших соответствующую психолого-педагогическую поддержку в учрежденияхвысшего образования.

Альтернативой традиционному аудиторному обучению являются дистанционные образова-тельные технологии. При грамотной организации контента онлайн курса все слушатели полу-чают равные возможности без оговорки на инвалидность. Приветствуется практика перезачетарезультатов освоения курсов в основной образовательной программе.

Анализ онлайн курсов по математическим и компьютерным дисциплинам показал, что авторыи разработчики не уделяют должного внимания соблюдению требований доступности контента.Вместе с тем, в документации популярных МООК-платформ (edX, Coursera, OpenEdu и пр.)руководства доступности размещены и рекомендованы к использованию. Согласно принципууниверсального дизайна, контент курса должен удовлетворять сенсорным потребностям каждогослушателя, независимо от наличия и качественных характеристик инвалидности.

Математические и компьютерные дисциплины отличаются использованием в контенте специ-альной (научной) нотации, программного кода и графических построений. Наиболее уязвимаякатегория слушателей – лица с глубокими нарушениями зрения (слепотой) – должны иметь воз-можность воспринимать и воспроизводить специфический материал доступными им методами.Основной инструмент, позволяющий прослушать научный контент и программный код, – про-грамма экранного доступа (экранный диктор), озвучивающая содержимое экрана в соответствиис заданной разметкой. Наиболее частая ошибка разработчиков – использование рисунков, содер-жащих формулы и программный код вместо размеченного текста. Вторая серьезная ошибка,которая делает материал абсолютно невоспринимаемым, – отсутствие тестовых описаний дляинформативных изображений и графических построений. В результате анализа онлайн курсовпо математическим и компьютерным дисциплинам обнаружено около 10 классов ошибок и по-грешностей, которые затрудняют восприятие и воспроизведение контента.

На основании анализа ошибок авторов и разработчиков онлайн курсов, с использованиемисточников [1], [2], [3] и пр. сформированы требования доступности курсов типа МООК:


• придерживаться минимализма в дизайне;• обеспечить согласованность информационных блоков и схем;• использовать встроенные схемы / макеты, автоматизированные списки, заголовки;• обеспечить предсказуемость навигации, информативность гиперссылок;• предоставлять текстовое описание для изображений, текстовый эквивалент видеолекций;• предоставлять субтитры для видеолекций, аудиодескрипцию для видео;• обеспечить высокую контрастность фона и текста; заменить цветовое выделение ключе-

вых сущностей на текстуру;• использовать языки разметки для описания математических понятий и формул;• обеспечить альтернативное текстовое описание для симуляций;• предоставлять достаточное количество времени для выполнения заданий;• предусмотреть различные варианты для коммуникации, совместной работы и демонстра-

ции полученных знаний.

Таким образом, для обучения студентов с особыми потребностями в учреждениях высшегообразования необходимо привлекать дистанционные образовательные технологии. При соблю-дении требований доступности контента онлайн курсы могут стать рациональной заменой илидополнением к традиционной форме обучения. При разработке курсов по математическим и ком-пьютерным дисциплинам особое внимание следует уделять формированию контента с научнойнотацией и программным кодом, а также дескрипции изображений, в том числе графическихпостроений.


[1] Web Content Accessibility Guidelines (WCAG) 2.0 [Электронный ресурс]. — Режим доступа:https://www.w3.org/Translations/WCAG20-ru/. — Загл. с экрана. — Проверено 09.08.2018.

[2] Требования и рекомендации по разработке онлайн-курсов, публикуемых на национальной платформе откры-того образования [Электронный ресурс]. -– Режим доступа: http://npoed.ru/docs. — Загл. с экрана. — Прове-рено 09.08.2018.

[3] 20 Tips for Teaching an Accessible Online Course [Электронный ресурс]. — Режим доступа:https://www.washington.edu/doit/20-tips-teaching-accessible-online-course. — Загл. с экрана. – Проверено09.08.2018.

MSC2010: 90C27

ПРИБЛИЖЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ УПАКОВКИ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВВ НЕСКОЛЬКО ПОЛОС

Кузюрин Н.Н., Лазарев Д.О.

ИСП РАН (Россия, Москва)


Предложен приближенный онлайновый алгоритм упаковки прямоугольников в несколько полос и полученыоценки его точности при анализе в среднем существенно улучшающие ранее известные.

Ключевые слова: упаковка прямоугольников в полосы, сложность в среднем, приближенные алгоритмы.

APPROXIMATION ALGORITHMS FOR MULTIPLE STRIP PACKING

Kuzyurin Nikolay, Denis Lazarev

ISP RAS (Russia, Moscow)

An approximation on-line multiple strip packing algorithm is proposed sufficiently improving earlier results.Keywords: packing rectangles, few strips of equal width, average case analysis, approximate algorithms.

Задача управления ресурсами распределенных вычислительных систем, облачные вычисле-ния и теория расписаний являются мотивацией для рассмотрения модели упаковки прямоуголь-ников в полосы. В [1] рассмотрена задача управления потоками параллельных программ нагруппе вычислительных кластеров и формализация этого процесса в виде оптимизационной за-дачи упаковки набора прямоугольников в группу полубесконечных полос различной ширины(Multiple Strip Packing).

www.kromsh.info 141

Упаковка прямоугольников в несколько полос является обобщением классической задачи упа-ковки прямоугольников в одну полосу. Самый интересный случай с теоретической и практи-ческой точек зрения состоит в рассмотрении алгоритмов работающих в режиме он-лайн. Приэтом рассматриваются приближенные алгоритмы (поскольку задача NP-трудна) где в качестветочности рассматривается отношение высоты упаковки, которую строит алгоритм, к высоте оп-тимальной упаковки.

В [2] исследован частный случай задачи, когда все полосы имеют одинаковую ширину и улуч-шена оценка точности, полученная ранее С.Жуком для общего случая. Все эти результаты от-носятся к анализу по худшему случаю.

Для случая одной полосы исследовался случай, когда у всех прямоугольников высота и ши-рина распределены по равномерному закону. В качестве дефекта упаковки выступает величинаплощади незаполненной прямоугольниками (так называемый waste space). Классический ре-зультат Коффмана и Шора [3] дает оценку дефекта упаковки порядка N2/3. Трушникову [4]удалось существенно улучшить этот результат и получить оценку дефекта упаковки порядкаN1/2(logN)c.

Нам удалось улучшить этот результат для случая нескольких полос одинаковой ширины.Теорема. Рассмотрим m полос одинаковой ширины и список из N случайных прямоуголь-

ников. Существует полиномиальный алгоритм упаковки, работающий в режиме он-лайн и га-рантирующий верхнюю оценку дефекта упаковки порядка

√N logN . Этот результат верен для

m = o(√N logN).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект N 17-07-01006А.


[1] Н.Н. Кузюрин, Д.А. Грушин, А. Фомин, Проблемы двумерной упаковки и задачи оптимизации в распреде-ленных вычислительных системах, Труды Института системного программирования РАН, том 26, вып. 1,2014, стр. 483-502.

[2] Ye D., Han X., Zhang G. On-Line Multiple-Strip Packing In: Du DZ., Hu X., Pardalos P.M. (eds) CombinatorialOptimization and Applications. COCOA 2009. Lecture Notes in Computer Science, vol 5573. Springer, Berlin,Heidelberg

[3] E. G. Coffman Jr., P. W. Shor, Packings in two dimensions: Asymptotic average-case analysis of algorithmsAlgorithmica, 1993, V. 9, N 3, pp. 253–277.

[4] М.А. Трушников, Вероятностный анализ нового алгоритма упаковки прямоугольников в полосу, Труды Ин-ститута системного программирования РАН, том 24, 2013, стр. 457-468.

УДК: 004.421.2; 519.713.1

ЭВРИСТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ МИНИМИЗАЦИИНЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ

Мельников Б. Ф., Мельникова Е. А.

Российский государственный социальный университет (Россия, Москва)


Рассматривается задача вершинной минимизации недетерминированных конечных автоматов, являющаясяNP-трудной. Как обычно для подобных проблем, важным классом задач практического программирования ста-новится описание эвристических алгоритмов решения этих проблем – т.е. алгоритмов, дающих при приемлемомвремени работы решение, близкое к оптимальному. В статье мы рассматриваем несколько подходов к реше-нию задачи вершинной минимизации. Эти подходы могут быть разбиты на две группы: во-первых – алгоритмыпоследовательного объединения некоторых вершин, и, во-вторых, – работа с состояниями эквивалентного уни-версального автомата.

Ключевые слова: регулярный язык, недетерминированный конечный автомат, вершинная минимизация, эври-стический алгоритм, псевдооптимальное решение.

HEURISTIC ALGORITHMS FOR MINIMIZINGNONDETERMINISTIC FINITE AUTOMATA

Melnikov Boris, Melnikova Elena

Russian State Social University (Russia, Moscow)


We consider the problem of state minimization for nondeterministic finite automata, which is NP-hard. As usual forsuch problems, an important class of practical programming tasks is the description of heuristic algorithms for solvingthese problems, i.e. algorithms, giving, with an acceptable working time, a solution close to optimal. In this paper,we consider several approaches to solving the problem of vertex minimization. These approaches can be divided intotwo groups: firstly, algorithms for successively combining certain vertices, and, secondly, work with the states of anequivalent universal automaton.

Keywords: regular language, nondeterministic finite automaton, state minimization, heuristic algorithm, pseudo-optimal solution.

В статье рассматривается задача вершинной минимизации недетерминированных конечныхавтоматов (НКА), впервые поставленная ещё в 1960-е годы (хронологически первое известноеавторам упоминание о ней имеется в [1]). В этой задаче для заданного регулярного языка (обыч-но задаваемого с помощью какого-либо НКА) требуется построить эквивалентный НКА, име-ющий минимально возможное число вершин. В 1993 г. в [2] было доказано, что она являетсяNP-трудной – и поэтому для решения этой проблемы важной задачей является описание эв-ристических алгоритмов, т.е. алгоритмов, дающее при приемлемом времени работы решение,близкое к оптимальному. Среди них важное место занимают т.н. anytime-алгоритмы ([4, 5] идр.); они обычно основаны на итерационной технике и работают в режиме реального времени,причём в любой момент времени они – по запросу либо пользователя, либо другой программы –дают лучшее (на данном шаге) решение, а последовательность таких (т.н. псевдооптимальных)решений в пределе обычно (в случае хорошо разработанных алгоритмов) даёт решение опти-мальное.

Мы не будем подробно останавливаться на возможных «классических» предметных областяхпрактического применения задачи вершинной минимизации НКА – упомянем лишь, что многиеиз этих областей описаны в серии статей ван Зейл; среди этих статей мы сошлёмся только на [5](по-видимому, наиболее интересную), в ней приведены некоторые другие ссылки. Однако к клас-сическим предметным областям мы добавим ещё и некоторые другие, связанные с предыдущимиработами авторов настоящей статьи.

• В [6] описывается построение НКА, связанных с задачами определения выполнения спе-циального отношения эквивалентности на множестве конечных языков – см. также [7, 8];здесь предварительная минимизация автомата даст возможность получить более эф-фективные алгоритмы определения этой эквивалентности. Полученные алгоритмы ис-пользуются в алгоритмах определения эквивалентности в некоторых подклассах классаконтекстно-свободных языков, где эта проблема (в отличие от всего класса КС-языков)разрешима: см. уже упомянутую статью [7], а также [9, 10, 11]. При этом стот отметить,что описываемые в этих работах подклассы класса КС-языков не совпадают с классомдетерминированных КС-языков (решение проблемы эквивалентности в котором описанов [12]).• Связь НКА с сетями Петри (а именно – взаимное сведение моделей, построенных в одном

формализме, к моделям, построенным в другом), а также применение последних длямоделирования некоторых процессов микроэкономики приведена в [13].• Кроме того, минимальный (либо псевдооптимальный) недетерминированный конечный

автомат может найти применение при описании контекстно-свободных (причём не регу-лярных) языков – см. [14].

Итак, в каждой из предметных областей (как «классических», так и «наших») для примене-ния различных эвристических алгоритмов, связанных с этой конкретной предметной областью,желательно иметь автомат, предварительно полученный из некоторого (эквивалентного) за-данного с помощью процедуры минимизации.

Как обычно для NP-трудных проблем, важным классом задач практического программиро-вания становится описание эвристических алгоритмов решения этих проблем – т.е. алгоритмов,дающее при приемлемом времени работы решение, близкое к оптимальному. Мы рассматриваемнесколько подходов к решению задачи вершинной минимизации. Эти подходы могут быть разби-ты на две группы: во-первых – алгоритмы последовательного объединения некоторых вершин,и, во-вторых, – работа с состояниями эквивалентного универсального автомата.

Для алгоритма, решающего задачу минимизации недетерминированного конечного автома-та с помощью такого подхода, мы обычно рассматриваем исходные автоматы, имеющие по 16состояний. Отметим, что случайная генерация недетерминированных автоматов нами обычноосуществляется с помощью алгоритмов, аналогичных описанным в [15]. При работе алгоритма

www.kromsh.info 143

список подзадач нередко содержит десятки тысяч элементов. При этом для возможности реше-ния подзадач из текущего списка «по аналогии» (а именно – для применения уже выбранногоразрешающего элемента, т.е. блока; см. [16]) необходимо иметь конкретную метрику на множе-стве подзадач. В наших алгоритмах мы обычно применяем один из следующих 2 вариантов.

• Метрика на множестве подзадач определяется по фактическому расстоянию между дву-мя подзадачами, зависящему от количества несовпадающих элементов в двух матрицах,описывающих рассматриваемые подзадачи. В предыдущих публикациях мы называлитакую метрику «матричной».• Метрика на множестве подзадач определяется на основе описания подзадач, которое

формируется в процессе работы метода ветвей и границ и состоит из двух списков, аименно – списка выбранных разделяющих элементов и списка запрещённых для будущеговыбора (т.н. табуированных) разделяющих элементов.

Для описания конкретных матричных метрик необходимо ввести следующие обозначения.Пусть X и Y – некоторые непустые конечные множества, при этом n – число элементов ихпересечения, а N – число элементов их объединения. Тогда будем писать Ω(X,Y ) = 1− n

N .Пусть теперь X1 и X2 – множества номеров строк, соответствующих 1-му и 2-му блокам, а

Y1 и Y2 — аналогичные множества для столбцов. Тогда в качестве метрики для матриц мыприменяем значение Ω(X1, X2) + Ω(Y1, Y2).

В случае совпадающих блоков (т.е. совпадающих пар множеств X1 и X2, а также Y1 и Y2) этозначение равно 0; выполнение остальных необходимых свойств метрики также можно показать.

А в случае больших размерностей – однако при фиксированном числе состояний как для кано-

нического автомата, определяющего исходный язык (т.е., в обозначениях [17], автомата L), так и

для канонического автомата, определяющего зеркальный язык (автомата LR), – мы применяемболее сложную метрику, а именно:

α ·Ω(X1, X2) + (1− α) ·Ω(Y1, Y2).

При этом α – некоторый коэффициент, настраиваемый заранее (например, с помощью генети-ческих алгоритмов) и зависящий от размерностей двух канонических автоматов.

На основе посчитанных значений мы определяем метрику для произвольных множеств бло-ков

X = X1, X2, . . . , Xm и Y = Y1, Y2, . . . , Ynследующим образом:

ρ(X ,Y) =

∑i,j Ω(Xi, Yj)

m · n(i и j принимают все возможные значения).

А на основе последней метрики мы определяем метрику для подзадач следующим образом.Пусть YES1 и NO1 соответственно – множества выбранных и табуированных разделяющих эле-ментов (блоков) для 1-й подзадачи; YES2 и NO2 – соответствующие множества для 2-й подзадачи.Введём вспомогательные расстояния

A = ρ(YES1, YES2), B1 = ρ(YES1, NO2), B2 = ρ(NO1, YES2),

и в качестве метрики для рассматриваемых подзадач будем использовать значение

(1 + 2β) · A− β · (B1 +B2);

при этом, как и ранее, коэффициент β настраивается с помощью какого-либо эвристическогоалгоритма, и зависит от размерности, а также от алгоритма генерации входных данных.

Конкретные результаты вычислительных экспериментов были приведены нами в процитиро-ванных выше наших публикациях.


[1] Ахо А. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции. Том 1 / А. Ахо, Дж. Ульман. – М.: Мир,1978. – 613 с.

[2] Jiang T. Minimal NFA problems are hard / T. Jiang, B. Ravikumar // SIAM J. Comput. – 1993. – Vol. 22, No.6. – P. 1117-1141.

[3] Melnikov B. Multiheuristic approach to discrete optimization problems / B. Melnikov // Cybernetics and SystemsAnalysis. – 2006. – Vol. 42, No. 3. – P. 335-341.

[4] Melnikov B. Some special heuristics for discrete optimization problems / B. Melnikov, A. Radionov, V. Gumayunov// Proc. of 8th International Conference on Enterprise Information Systems, ICEIS-2006. – P. 360-364.


[5] Geldenhuys J. Reducing nondeterministic finite automata with SAT solvers / J. Geldenhuys, B. van der Merwe, L.van Zijl // Springer. Finite-State Methods and Natural Language Processing. Lecture Notes in Computer Science.– 2010. – Vol. 6062, P. 81-92.

[6] Алексеева А. Итерации конечных и бесконечных языков и недетерминированные конечные автоматы / А.Алексеева, Б. Мельников // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. – 2011. – 3, С.30-33.

[7] Melnikov B. The equality condition for infinite catenations of two sets of finite words / B. Melnikov // InternationalJournal of Foundations of Computer Science. – 1993. – Vol. 4, No. 3. – P. 267-273.

[8] Мельников Б. Алгоритм проверки равенства бесконечных итераций конечных языков / Б. Мельников //Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. – 1996. – 4. –С. 49-53.

[9] Дубасова О. Об одном расширении класса контекстно-свободных языков / О. Дубасова, Б. Мельников //Программирование (РАН). – 1995. – 6, С. 46-58.

[10] Melnikov B. Some grammatical structures of programming languages as simple bracketed languages / B. Melnikov,E. Kashlakova // Informatica (Lithuanian Acad. Sci. Ed.). – 2000. – Vol. 11, No. 4. – P. 441-454.

[11] Мельников Б. Описание специальных подмоноидов глобального надмоноида свободного моноида / Б. Мель-ников // Известия высших учебных заведений. Математика.. – 2004. – 3. – С. 46-56.

[12] Senizergues G. L(A)=L(B)? decidability results from complete formal systems / G. Senizergues //Theor. Comput. Sci. – 2001. – Vol. 251, No. 1-2. – P. 1-166.

[13] Зубова Т. Использование сетей Петри для моделирования процесса принятия управленческих решений / Т.Зубова, Б. Мельников // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. – 2011. – 3, С.33-37.

[14] Вылиток А. Об одном расширении класса конечных автоматов для задания контекстно-свободных языков/ А. Вылиток, М. Зубова, Б. Мельников // Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительнаяматематика и кибернетика. – 2013. – 1, С. 39-45.

[15] Мельников Б. Репрезентативность случайно сгенерированных недетерминированных конечных автоматов сточки зрения соответствующих базисных автоматов / Б. Мельников, С. Пивнева, О. Рогова // Стохастиче-ская оптимизация в информатике. – 2010. – Т. 6, 1, С. 74-82.

[16] Melnikov B. A new algorithm of the state-minimization for the nondeterministic finite automata / B. Melnikov //The Korean Journal of Computational and Applied Mathematics. – 1999. – Vol. 6, No. 2. – P. 277-290.

[17] Melnikov B. Once more on the edge-minimization of nondeterministic finite automata and the connected problems/ B. Melnikov // Fundamenta Informaticae. – 2010. – Vol. 104, No. 3. – P. 267-283.

УДК: 004.421.2; 519.178

ПСЕВДОГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРСИЯ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА

Мельников Б. Ф.

Российский государственный социальный университет (Россия, Москва)

Давыдова Е. В.

Московский авиационный институт (Россия, Москва)


Одной из наиболее изученных версий задачи коммивояжёра является геометрическая; в результате многолет-них исследований для решения её частных случаев было разработано множество подходов. Однако за пределамигеометрической версии алгоритмы, соответствующие этим подходам, обычно неприемлемы. В настоящей статьерассматривается возможное обобщение геометрической версии – так называемая псевдогеометрическая – и пред-лагается использование для решения её частных случаев один из стандартных геометрических алгоритмов. Встатье приводятся краткое описание нашей версии алгоритма и некоторые результаты вычислительных экспери-ментов.

Ключевые слова: математическая модель, задача коммивояжёра, геометрическая версия, псевдогеометриче-ская версия, геометрический подход, эвристические алгоритмы, псевдооптимальное решение.

PSEUDOGEOMETRIC VERSION OF THE TRAVELING SALESMANPROBLEM

Melnikov Boris

Russian State Social University (Russia, Moscow)

Davydova Elizaveta

Moscow Aviation Institute (Russia, Moscow)

www.kromsh.info 145

One of the most studied versions of the traveling salesman problem is geometric; as a result of many years of researchto solve its special cases many approaches have been developed. However, beyond the geometric version of the algorithms,These approaches are usually unacceptable. In this paper we consider a possible generalization of the geometric version- the so-called pseudo-geometric - and the use is proposed for solving its particular cases one of the standard geometricalgorithms. The article provides a brief description of our version of the algorithm and some results of computationalexperiments.

Keywords: mathematical model, traveling salesman problem, geometric version, pseudo-geometric version, geometricapproach, heuristic algorithms, pseudo-optimal solution.

Нередко математическая модель, а также алгоритмы, основанные на такой модели, созданныедля одной области, находят применение и во многих других предметных областях. Примером та-кой модели является задача коммивояжёра (ниже – ЗКВ, [1, 2, 3, 4] и мн. др.). Особенностью этойзадачи является то, что при относительной простоте её постановки нахождение оптимального ре-шения (оптимального маршрута) является весьма сложной проблемой и относится – причём какв обобщённой её постановке, так и для большинства её вариаций – к классу NP-полных. Болеетого, согласно классификации, приведённой в [3] и др., задача коммивояжёра является примеромоптимизационной проблемы, входящей в самый сложный класс NPO(V): он содержит все опти-мизационные задачи, для которых (при некотором дополнительном «естественном» предположе-нии, например, P 6= NP) временная сложность всех возможных полиномиальных алгоритмов неможет быть ограничена никакой полилогарифмической функцией. (Другим примером подобнойзадачи является проблема максимальной клики.)

Приведём описание ЗКВ согласно [3].

Задача коммивояжёра

• Вход. Полный взвешенный граф (G, c), где G = (V,E) и c : E → N0. Пусть V =v1, . . . , vn, n ∈ N.• Обозначения. Для каждого частного случая проблемы (G, c)

M(G, c) =vi1 , vi2 , . . . , vin

, vi1 | (i1, i2, . . . , in)−

некоторая перестановка чисел (1, 2, . . . , n)

;

т. е.M(G, c) можно рассматривать как множество всех Гамильтоновых циклов графа G.• Стоимость. Для каждого цикла

H = vi1vi2 . . . vinvi1 ∈ M(G, c)

полагаем

cost

((vi1 , vi2 , . . . vin

, vi1), (G, c))

=

n∑

j=1

c(vij

, vi(j mod n)+1)

;

т. е. стоимость каждого Гамильтонова цикла равна сумме весов всех рёбер, входящих вэтот цикл.• Цель: minimum.

Среди множества различных версий (вариантов) ЗКВ одной из наиболее изученных являетсягеометрическая (именуемая также Евклидовой, [3, 5] и мн. др.): стоимость маршрута равна рас-стоянию между точками на плоскости, вычисляемому как Евклидова норма. Для дальнейшегоизложения необходимо отметить, что характерной особенностью данной задачи является выпол-нение неравенства треугольника для любых трёх городов – т. е. для любых u, v, w ∈ E выполненоследующее:

c(u, v) ≤ c(u,w) + c(w, v);отметим, что данная формула предполагает рассмотрение только т. н. симметричных вариантовЗКВ (этот термин также определён в [3]) – однако в несимметричных вариантах всё аналогично.Вообще, согласно [3], варианты проблемы ЗКВ с выполненным для любых трёх городов нера-венства треугольника называются метрическими – т. е. все геометрические ЗКВ представляютсобой собственное подмножество метрических.

Однако основные исследования авторов данной статьи направлены на изучение не геометри-ческой, а т. н. псевдогеометрической версии ЗКВ (см. [4, 5, 6] и др.), в которой входные данныеформируются следующим образом. К данным некоторой заранее заданной ЗКВ, являющейсягеометрической, добавляется вектор

R = (r1, . . . , rm ), (где m = |E| );


при этом все ri – н. о. р. с. в., рассматривается нормальное распределение с µ = 1 и некоторымзаранее заданным «приемлемым» значением σ. При этом каждый из элементов матрицы стои-мостей (c(u, v); пусть это ci для некоторого i ∈ 1, . . . ,m) заменяется на следующее значение:

max(ci · ri, 0).

Важным отличием псевдогеометрического варианта ЗКВ от геометрического является возмож-ность нарушения неравенства треугольника для некоторых троек городов. Также важно отме-тить, что геометрический вариант ЗКВ можно считать частным случаем псевдогеометрического(со значением σ = 0).

Приведём наш взгляд на «экологическую нишу» рассматриваемой нами версии задачи ком-мивояжёра. Определённая выше геометрическая версия ЗКВ является одной из наиболее изу-ченных; в результате теоретических и практических исследований было разработано множествоподходов к решению её частных случаев (см., например, сборник трудов [7]). Среди них мож-но выделить т. н. геометрические подходы – использующие при поиске решения информацию отом, что координаты городов ранее были получены как частный случай геометрической ЗКВ.В качестве примеров алгоритмов, относящихся к группе таких геометрических подходов и опи-санных 15 и более лет назад, можно привести т. н. алгоритмы «луковой шелухи» (onion-peeling,[8]) и эластичной сети ([9]). При небольшой вычислительную сложности эти подходы позволя-ют получить достаточно хорошее решение: для частных случаев, содержащих миллионы точек,оно практически совпадает с оптимальным. Однако за пределами геометрической версии ЗКВэти алгоритмы обычно оказываются бессмысленными – и данную статью можно рассматриватькак попытку применить подобные алгоритмы к другим версиям ЗКВ. Итак, нами применялисьварианты следующих эвристических алгоритмов:

• генетического алгоритма (ГА);• алгоритма имитационной нормализации (ИН);• алгоритма локального поиска (Лок);• незавершённого метода ветвей и границ (МВГ);• гибридного алгоритма – комбинации алгоритмов имитационной нормализации, локаль-

ного поиска и незавершённого метода ветвей и границ (Гиб);• муравьиного алгоритма (М);• геометрического алгоритма (Геом) – являющегося предметом настоящей статьи

(в скобках приведены сокращения, используемые далее в таблице). Результаты вычислительныхэкспериментов кратко описываются следующей таблицей 1.

Таблица 1.

dim ГА ИН Лок МВГ Гиб М Геом

20 1 0.94 0.82 0.87 0.80 0.47 0.5340 1 0.91 0.80 0.87 0.77 0.46 0.5760 1 0.92 0.79 0.85 0.75 0.47 0.5680 1 0.90 0.81 0.84 0.75 0.46 0.57100 1 0.90 0.79 0.83 0.74 0.49 0.58

Как мы видим, результаты сильно зависят от применяемого алгоритма, но мало зависят отрассматривавшихся размерностей задачи.


[1] Гэри М. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи / М. Гэри, М. Джонсон. – М.: Мир, 1982. –416 с.

[2] Громкович Ю. Теоретическая информатика. Введение в теорию автоматов, теорию вычислимости, теориюсложности, теорию алгоритмов, рандомизацию, теорию связи и криптографию / Ю. Громкович. – СПб.:БХВ-Петербург, 2010. – 326 с.

[3] Hromkovic J. Algorithmics for Hard Problems. Introduction to Combinatorial Optimization, Randomization,Approximation, and Heuristic / J. Hromkovic. – Berlin: Springer, 2003. – 538 p.

[4] Melnikov B. Multiheuristic approach to discrete optimization problems / B. Melnikov // Cybernetics and SystemsAnalysis. – 2006. – Vol. 42, No. 3. – P. 335-341.

[5] Melnikov B. Some special heuristics for discrete optimization problems / B. Melnikov, A. Radionov, V. Gumayunov// Proc. of 8th International Conference on Enterprise Information Systems, ICEIS-2006. – P. 360-364.

[6] Мельников Б. Ещё раз об эвристиках для задачи коммивояжёра / Б. Мельников, Н. Романов // Теоретическиепроблемы информатики и ее приложений. – 2001. – 4, С. 81-92.

www.kromsh.info 147

[7] Gutin G. The Traveling Salesman problem / G. Gutin, A. Punnen (Eds.). – Boston: Kluwer Academic Publishers,1997. – 856 p.

[8] Liew Sing. Introducing convex layers to the Traveling Salesman Problem / Liew Sing //http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1204/1204.2350.pdf. – Preprint: arXiv:1204.2348. – 2012. – Режимдоступа – свободный. – [Интернет-ресурс].

[9] Somhom S. Competition-based neural network for the multiple traveling salesmen problem with minimax objective/ S. Somhom, A. Modares, T. Enkawa // Computers & Operations Research. – 1999. – Vol. 26, No. 4. – P. 395-407.

УДК: 519.816

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА ПРИ НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ ОПРЕДПОЧТЕНИЯХ

Подиновский В. В., Потапов М. А., Нелюбин А. П.

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (Россия, Москва),Институт автоматизации проектирования РАН (Россия, Москва),

Институт машиноведения РАН (Россия, Москва)


В докладе представлен новый метод получения и использования нечеткой информации об относительнойважности критериев для решения многокритериальной задачи выбора.

Ключевые слова: многокритериальный анализ, теория важности критериев, нечеткая относительная важность,нечеткие предпочтения.

SOLUTION OF CHOICE PROBLEM UNDER FUZZY PREFERENCEINFORMATION

Podinovski Vladislav, Potapov Mikhail, Nelyubin Andrey

National research university Higher School of Economics (Russia, Moscow),Institute of Computer Aided Design of the RAS (Russia, Moscow),

Mechanical Engineering Research Institute of the RAS (Russia, Moscow)

A new method for obtaining and using fuzzy information about the relative importance of criteria for solving amulticriteria choice problem is proposed.

Keywords: multicriteria analysis, criteria importance theory, fuzzy relative importance, fuzzy preferences.

Решение многокритериальных задач выбора требует привлечения в той или иной форме ин-формации о предпочтениях лица, принимающего решение (ЛПР). Однако на практике зачастуюне удается получить точные оценки количественных параметров, реально отражающие предпо-чтения ЛПР. Поэтому наиболее перспективными представляются методы многокритериальногоанализа, учитывающие неполную, неточную и нечеткую информацию о предпочтениях.

Теория важности критериев [1] позволяет получать и корректно использовать качественную(нечисловую) информацию о предпочтениях ЛПР, в частности информацию об относительнойважности критериев. Однако ее методы предполагают отсутствие противоречивых сведений. Дляучета противоречивой, недостоверной и слабодостоверной информации о предпочтениях ЛПР вдокладе предлагается использовать нечеткие отношения [2].

В работе [3] было введено нечеткое отношение равноценности (равноважности) критериев ина его основе построены отношения безразличия и предпочтения на множестве альтернатив. Вданном докладе дополнительно рассмотрим нечеткую информацию о превосходстве в важностиодних критериев над другими. Эта информация позволяет построить новые нечеткие отношенияпредпочтения на множестве альтернатив. Кроме того, будут предложены методы получениятакой нечеткой информации об относительной важности критериев в рамках общего подходатеории важности критериев.

Рассмотрим задачу выбора лучшей альтернативы среди конечного множества альтернативX .Каждая альтернатива x из множества X характеризуется её векторной оценкой y(x) = K(x) =(K1(x), . . . ,Km(x)). Функции критериев Ki : X → Z0, i = 1, . . . ,m, имеют общую область значе-ний Z0 = 1, . . . , q – порядковую шкалу, предпочтения вдоль которой возрастают.


Предпочтения ЛПР моделируются на множестве векторных оценок Z = Zm0 при помощи

отношения нестрогого предпочтения R: запись yRz означает, что векторная оценка y не ме-нее предпочтительна, чем z. Отношение R является (частичным) квазипорядком (т.е. оно ре-флексивно и транзитивно) и порождает на Z отношения безразличия I и (строгого) предпо-чтения P : yIz ⇔ yRz ∧ zRy; yPz ⇔ yRz ∧ ¬zRy. Так как предпочтения ЛПР возрастаютвдоль шкалы критериев Z0, то на множестве векторных оценок Z определено отношение ПаретоR∅ : yR∅z ⇔ yi > zi, i = 1, . . . ,m.

Для решения многокритериальной задачи выбора в теории важности критериев отношениеПарето расширяется за счет привлечения информации об относительной важности критериев [1].Чтобы определить относительную важность i-го и j-го критериев, ЛПР сравнивает по предпо-чтительности предъявляемые ему пары векторных оценок y и yij , отличающихся перестановкойкомпонент yi и yj.

Критерии Ki и Kj равноважны, или одинаково важны (такое сообщение обозначается i ∼ j),когда любая векторная оценка y из Z одинакова по предпочтительности с yij [1]:

yIi∼jz ⇔ z = yij , yi 6= yj. (1)

Критерий Ki важнее критерия Kj (такое сообщение обозначается i ≻ j), когда любая вектор-ная оценка y из Z, в которой yi > yj , предпочтительнее, чем yij [1]:

yP i≻jz ⇔ z = yij , yi > yj . (2)

Качественная информация о важности критериев Ω – совокупность сообщений вида i ∼ jи i ≻ j. Отношение RΩ, порождаемое на Z качественной информацией о важности критериевΩ, определяется как наименьшее транзитивное отношение, содержащее отношение Парето R∅ иотношения Rω для всех сообщений ω ∈ Ω.

Определения (1) и (2) подразумевают, что сравнение необходимо произвести для всех вектор-ных оценок y из Z. Однако из-за большого их количества это, как правило, невозможно. Поэтомуна практике используют лишь ограниченный набор специально подобранных векторных оценок[1].

Помимо большого количества сравнений, другой практической проблемой может оказать-ся противоречивость ответов ЛПР при сравнении разных векторных оценок. В таком случаеформально нельзя использовать определения (1) и (2) и критерии считаются несравнимыми поважности. Такая противоречивость может быть вызвана как зависимостью критериев по пред-почтению, так и другими факторами. ЛПР может быть недостаточно уверено в том, какая издвух векторных оценок для него предпочтительнее. Кроме того, в ходе решения задачи пред-почтения ЛПР могут меняться. Все это может привести к недостоверным и противоречивымсведениям. Нечеткое отношение предпочтения позволяет учесть такого рода противоречия, атакже различную степень уверенности ЛПР в своих ответах.

На множестве критериев введем нечеткие отношения: равноважности µ∼, превосходства вважности µ≻ и нестрогого превосходства в важности µ = µ∼ ∪ µ≻. Для выяснения нечеткойинформации об относительной важности критериев предложим следующие два подхода.

1) Первый подход состоит в том, чтобы считать частоту ответов ЛПР, свидетельствующих впользу каждого вывода об относительной важности рассматриваемых критериев.

2) Второй подход состоит в том, чтобы позволить ЛПР дополнительно указывать степеньуверенности в своём ответе, вербально или с помощью числовой оценки в интервале (0; 1].

Рассмотрим теперь, как полученную нечеткую информацию об относительной важности кри-териев можно использовать для решения многокритериальной задачи выбора. На множествевекторных оценок Z введем нечеткие отношения: безразличия µI , предпочтения µP и нестрого-го предпочтения µR = µI ∪ µP .

По аналогии с определениями (1) и (2) положим:

µI(y, yij

)= µ∼ (i, j) , (3)

µP(y, yij

)= µ≻ (i, j) , yi > yj. (4)

С учетом симметричности µ∼, отсюда следует

µR(y, yij

)= µ (i, j) = max

(µ∼ (i, j) , µ≻ (i, j)

), yi > yj. (5)

Для построения нечетких отношений безразличия и предпочтения на множестве всех век-торных оценок Z введем следующие обозначения. Π(y) – множество всех векторных оценок,включая y, получающихся из y перестановкой компонент. D(y, z) – множество всех векторных

www.kromsh.info 149

оценок w ∈ Π(y), которые предпочтительнее z по Парето: wP∅z. T (y, w) – совокупность пере-становок (i, j) i-ой и j-ой компонент, применяя которые последовательно к векторной оценкеy можно получить векторную оценку w ∈ Π(y). При этом обозначим через [i, j] перестановку(i, j), в которой номера компонент упорядочены так, что в преобразуемой векторной оценке yвыполняется yi > yj .

Если z ∈ Π(y), то полагаем

µI (y, z) = maxT (y,z)

min(i,j)∈T (y,z)

µ∼(i, j), (6)

µR (y, z) = maxT (y,z)

min[i,j]∈T (y,z)

µ(i, j), (7)

µP (y, z) = maxT (y,z)

max[p,r]∈T (y,z)

min[i,j]∈T (y,z)

(µ(i, j), µ≻(p, r)

). (8)

Если z /∈ Π(y), то µI (y, z) = 0. При этом должно быть не пустым либо D(y, z), либо D(z, y).Пусть D(y, z) 6= ∅, тогда полагаем µP (z, y) = 0 и

µP (y, z) = µR (y, z) = maxw∈D(y,z)

µR (y, w). (9)

В результате, осуществлять выбор наилучшего варианта x⋆ рекомендуется среди вариантов снаибольшей степенью недоминируемости [2]:

1−maxx∈X

µP (y(x), y(x⋆)). (10)

Работа выполнена в рамках Госзадания ИАП РАН в ходе проведения исследований в 2016-2018годах, при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 16-01-00404 А).


[1] Подиновский В.В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений:Учебное пособие. – М.: Физматлит, 2007.

[2] Orlovsky S.A. Decision-Making with a Fuzzy Preference Relations // Fuzzy Sets and Systems. – 1978. – 1.[3] Холодков А.В. Задача векторной оптимизации с нечеткой информацией о равноценности критериев // Изве-

стия академии наук Узбекской ССР. Серия технических наук. – 1979. – 5. – С. 6–11.

УДК: 511.176

О НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЯХ СУММ СТЕПЕНЕЙ НАТУРАЛЬНЫХЧИСЕЛ

Свинин А. К.

Институт динамики систем и теории управления имени В. М. Матросова СО РАН(Россия, Иркутск)


Мы представляем результаты касающиеся некоторых обобщений сумм степеней натуральных чисел. В част-ности, мы определяем так называемые суммы степеней высшего порядка и вычисляем соответствующие им мно-гочлены, которые, как оказывается, выражаются через числа Бернулли высшего порядка.

Ключевые слова: сумма степеней натуральных чисел, числа Бернулли, многочлены Норлунда.

ON SOME GENERALIZATIONS OF SUMS OF POWERS OF NATURALNUMBERS

Svinin Andrei

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory SB RAS (Russia, Irkutsk)


We present the results concerning certain generalizations of sums of powers of natural numbers. In particular, wedefine the so-called sums of powers of higher order and compute the corresponding polynomials, which, as it turns out,are expressed in terms of Bernoulli numbers of higher order.

Keywords: sum of powers of natural numbers, Bernoulli numbers, Norlund polynomials..

Мы рассматриваем многократные суммы вида

S(k)2r+1(n) :=

∑

qj∈Bk,kn

k∑

s=1

(qs − (s− 1)n)2r+1 , (1)

где Bk,kn := qj : 1 ≤ q1 ≤ · · · ≤ qk ≤ kn ∈ Nk. Интерес к такого рода суммам связан стем, что они возникают в процедуре непрерывного предела интегрируемой иерархии цепочкиИто-Нарита-Богоявленского [2].

Естественно, что в случае k = 1, сумма (1) становится классической суммой нечетных степенейнатуральных чисел. В силу теоремы Паскаля, для любой классической суммы четных и нечетныхстепеней существует многочлен значения которого дают значения соответствующей суммы.

В работе [3], было высказана гипотеза о том, что сумма вида (1) может быть представлена ввиде

S(k)2r+1(n) =

k−1∑

q=0

(k(n+ 1)

q

)S

(k−q)2r+1 (n), (2)

где S(k)m (n) мы, по некоторым причинам, называем суммой степеней высшего порядка. Для слу-

чая k = 2 эта гипотеза доказывается, а для некоторых больших k ее справедливость потвер-ждается вычислениями использующими методы компьютерной алгебры. Для определенности,

мы называем правую часть (2) биномиальной суммой. Сумма S(k)m (n), которая также обобща-

ет классическую сумму степеней натуральных чисел, для любого целого неотрицательного m,определяется следующим образом. Возьмем степень экспонециальной порождающей функциидля классических сумм степеней натуральных чисел:

(G(n, t))k :=∑

q≥0

S(k)q (n)

tq

q!, ∀k ≥ 1,

где

G(n, t) :=∑

j≥0

Sj(n)tj

j!=∑

j≥0

(n∑

q=1

qj tj

j!

)=

n∑

q=1

eqt

=e(n+1)t − et

et − 1.

Сумма вида S(k)m (n), по определению, является результатом последовательных биномиальных

конволюций, т.е.,

S(k)m (n) =

m∑

q=0

(m

q

)S(k−1)

q (n)Sm−q(n), k ≥ 2. (3)

Предложение 1. Cумма степеней высшего порядка имеет следующий вид:

S(k)m (n) =

k(n−1)∑

q=0

(k

q

)

n

(k + q)m,

где символ(kq

)n

обозначает полиномиальный коэффициент определяемый соотношением [4], [1]

(n∑

q=1

tq

)k

:=

k(n−1)∑

q=0

(k

q

)

n

tk+q .

Обозначим символом Sm(n) многочлен отвечающий соответствующей классической сумме сте-

пеней натуральных чисел. Очевидно, что многочлен S(k)m (n), также вычисляется по формуле вида

(3).

www.kromsh.info 151

Теорема 1. Многочлены S(k)m (n) имеют следующее представление:

S(k)m (n) =

1(m+k

k

)m∑

q=0

(−1)q

(m+ k

q

)B(k)

q S(m+ k − q, k)nm+k−q, (4)

где B(k)m — числа Бернулли высшего порядка определяемые порождающей экспоненциальной

функцией [5]tk

(et − 1)k=∑

q≥0

B(k)q

tq

q!,

а S(n, k) — числа Стирлинга второго рода.

Формула (4) обобщает хорошо известное выражение многочленов Sm(n) через классическиечисла Бернулли:

Sm(n) =1

m+ 1

m∑

q=0

(−1)q

(m+ 1

q

)Bqn

m+1−q (5)

опубликованное в 1713 году Якобом Бернулли. Как несложно заметить, ее отличие от (5) состоитв том, что в этой формуле числа Бернулли заменяются их высшими аналогами и, кроме того,появляются числа Стирлинга второго рода.

Используя (4), мы, в принципе, можем вычислить многочлен S(k)2r+1(n) по формуле

S(k)2r+1(n) =

k−1∑

q=0

(k(n+ 1)

q

)S

(k−q)2r+1 (n).

Известно, что для фиксированного n, числа B(k)n вычисляются как значения некоторого много-

члена по k, который называют многочленом Норлунда [5]. Несложно доказать

Предложение 2. Многочлен (4) можно записать в виде

S(k)m (n) = nkQ(k)

m (n),

где

Q(k)m (n) =

m∑

q=0

(−1)q

(m

q

)B(k)

q B(−k)m−qn

m−q.

Например,

Q(k)1 (n) =

k

2(n+1), Q

(k)2 (n) =

k

12(n+1) ((3k + 1)n+ 3k − 1) , Q

(k)3 (n) =

k2

8(n+1)2 ((k + 1)n+ k − 1)

и т.д. Будем рассматривать многочлены Q(k)m (n) для любого комплексного аргумента z.

Теорема 2. Справедливы следующие два утверждения:

1) Многочлен Q(k)m (z) имеет простой корень z0 = −1 для четных m и m = 1 и любого

k ≥ 1;

2) Многочлен Q(k)m (z) имеет двукратный корень z0 = −1 для нечетных m начиная с m = 3

и любого k ≥ 1.


[1] Euler L. De evolutione potestatis polynomialis cuiuscunque(1 + x + x2 + · · ·

)n // Nova Acta Academiae ScientarumImperialis Petropolitinae. – 1801. – V. 12. P. 47–57.

[2] Свинин А. К. О непрерывном пределе интегрируемой иерархии цепочки Богоявленского / Материалы конфе-ренции “Ляпуновские чтения” (г. Иркутск, 5-7 декабря, 2017 г.), С. 46.

[3] Svinin A. K. Conjectures involving a generalization of the sums of powers of integers // Exp. Math. (doi:10.1080/10586458.2017.1306815).

[4] De Moivre A. The doctrine of chances: or, A method of calculating the probabilities of events in play. – N. Y.:Chelsea Publishing Company, 1756.

[5] Norlund N. E. Vorlesungen uber differenzenrechnung. – Berlin: Springer, 1924.


MSC2010: 20K30

CLASSIFICATION PROBLEM IN THE THEORY OF TORSION-FREEABELIAN GROUPS

Blagoveshchenskaya Ekaterina

Emperor Alexander I Petersburg State Transport University (Russia, St. Petersburg)

Chekmarev Dmitry

Nizhny Novgorod State University (Russia, Nizhny Novgorod)


Classification problem is always of great importance in algebra. Near-isomorphism is an equivalence, which is weakerthan isomorphism and traditionally used for classification in the theory of torsion-free groups of finite rank. We generalizethis notion to infinite rank groups using the graphical visualization.

Keywords: torsion-free abelian groups, classification, graphs, antichain, critical typeset.

Completely decomposable groups are direct sums of rank–one groups and have been classifiedup to isomorphism. The next larger class is the class of almost completely decomposable groupswhich are finite essential extensions of completely decomposable groups. These groups have beenextensively studied but their classification is beyond reach. However, it is proved that the notion ofnear-isomorphism is the proper concept for classifying properties of almost completely decomposablegroups. It turned out that there are drastic differences between almost completely decomposablegroups and the new class of essential extensions of arbitrary rank completely decomposable groups bybounded groups, called bcd–groups. Therefore it is reasonable to search for an extension of the notionof near-isomorphism to the more general class of bcd-groups.

The first attempt to find a suitable notion of near isomorphism for groups of countable rank wasmade in [1] in a very special situation of abelian groups with an antichain as critical typeset, calledlocal acd-groups. It was successfully applied to classification of direct decompositions of such groupsand the so-called B1-local acd-groups, which coincide with certain epimorphic images of local acd-groups, see [2]-[4]. The near-isomorphism definition generalizing the classical one, deriving from finiterank torsion-free abelian group theory, is the following.

Definition 1. Let G and H be torsion-free abelian groups. Then G and H are called nearlyisomorphic, G ∼=nr H if for every integer N there exist monomorphisms ϕN : G → H andψN : H → G such that

(1) H/GϕN and G/HψN are torsion;(2) (H/GϕN )p = 0 = (G/HψN )p for all primes p dividing N ;(3) for every finite rank pure subgroups G′ ⊆ G and H ′ ⊆ H the quotients (G′ϕN )H

∗ /G′ϕN and

(H ′ψN )G∗ /H

′ψN are finite.

Theorem 1. Let G and H be local acd-groups or B1-local acd-groups. If G ∼=nr H and G = G1 ⊕. . .⊕Gk then there exists a decomposition H = H1 ⊕ . . .⊕Hk such that G1

∼=nr H1, ... , Gk∼=nr Hk.

For bcd–groups the developed equivalence notion preserving direct decompositions is stronger thanthe above definition and requires to have the mentioned quotients not only torsion but also bounded.

The graphical approach to different direct decompositions of the groups is used for theirvisualization at the seminars of post-graduate students on discrete mathematics and computer sciences.

The research is supported by RFBR project 17 01 00849 and by the government order of the Ministry of

Education and Science of RF, project 11.5861.2017

References

[1] E. Blagoveshchenskaya, R. Gobel. Classification and direct decompositions of some Butler groups of countable rank,Comm. in Algebra, 30, # 7, (2002), 3403 - 3427.

[2] E. Blagoveshchenskaya, L. Strungmann. Near isomorphism for a class of infinite rank torsion-free abelian groups,Comm. in Algebra, 35, # 3 , (2007), 1055-1072.

[3] E. Blagoveshchenskaya, R. Gobel, L. Strungmann. Classification of some Butler groups of infinite rank, Journal ofAlgebra, 380, (2013), 1-17.

[4] E. Blagoveshchenskaya, L. Strungmann. Direct decomposition theory under near isomorphism for a class of infiniterank torsion-free abelian groups, Journal of Group Theory, 20, # 2, (2017), 325-346.

Секция 9. Теория вероятностей. Случайные процессы.Финансовая математика. Математическая статистика

УДК: 514.76

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ПРОИЗВОДНЫМИ ВСРЕДНЕМ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ1

Азарина С. В.

Кубанский государственный университет (Россия, Краснодар)


На многообразии вводятся понятия производных в среднем и включений с ними, даются теоремы существова-ния решений для включений. Затем приводятся некоторые включения с производными в среднем, возникающиев финансовом анализе для процессов, являющихся многомерными обобщениями геометрического броуновскогодвижения. На бесконечном многообразии петель также описывается теорема существования решения включенияс производными в среднем.

Ключевые слова: производная в среднем, стохастический процесс, стохастическое дифференциальное включе-ние, геометрическое броуновское движение, многообразие петель.

INCLUSIONS WITH MEAN DERIVATIVES AND THEIR APPLICATIONS

Azarina Svetlana

Kuban State University (Russia, Krasnodar)

We describe mean derivatives and inclusions with them on the finite dimensional Riemannian manifold. The existencetheorem is presented. Some inclusions with mean derivatives for the generalization of the Brownian motion from thefinancial analysis are discussed. The existence theorem for the inclusion with mean derivatives on the infinite dimensionalloop manifold is described.

Keywords: mean derivative, stochastic process, stochastic differential inclusion, geometric brownian motion, loopmanifold.

Пусть на вероятностном пространстве (Ω, F,P) задан стохастический процесс ξ(t).

Определение 1. Производной в среднем справа Dξ(t) процесса ξ(t) в момент времени t будемназывать L1-случайную величину вида

Dξ(t) = limt→+0

Eξt

(ξ(t+t)− ξ(t)t

), (1)

где предел предполагается существующим в L1(Ω, F,P), Eξt – условное математическое ожидание

относительно σ-алгебры, порождённой отображением ξ(t).

Рассмотрим конечномерное риманово многообразие M со связностью H . Пусть процесс ξ(t)принимает значения на M .

Рассмотрим борелевское поле Y 0(t, )α в карте Uα такой, что производная в среднем справапроцесса ξ(t) в точке t на M представляется в виде Y 0(t, ξ(t))α. Тогда как в работе [2] дадимопределение

Определение 2. Производной в среднем справа процесса ξ(t) в точке t относительно связностиH будем называть величину

DHξ(t) = Y 0(t, ξ(t)). (2)

Рассмотрим также

Определение 3. Квадратичной производной процесса ξ(t) в точке t будем называть L1 случай-ную величину

D2ξ(t) = limt→+0

Eξt

( (ξ(t+t)− ξ(t)) ⊗ (ξ(t+t)− ξ(t))t

)(3)

1Исследование поддержано грантом РФФИ 18-01-00048


Для D2ξ(t) существует регрессия в каждой карте, то есть измеримое векторное поле α0(t,m)такое, что D2ξ(t) = α0(t, ξ(t)). Заметим, что квадратичная производная не зависит от выборасвязности, а её регрессия – (2, 0)-тензорное поле.

Рассмотрим многообразие петель Соболевского класса гладкости H1

M = H1(S1,M).

Производными в среднем на многообразии петель назовём отображения, которые задаютсяпо правилу

Dη(t) = Dη(t, s), D2η(t) = D2η(t, s) s ∈ S1.

Пусть на M заданы многозначное векторное поле a(t,x) и (2, 0)-тензорное поле Λ(t, x). Тогдапри выполнении условий теоремы из [1] будет существовать на многообразии петель решениевключения

Dξ(t) ∈ a(t, ξ(t)),

D2ξ(t) ∈ Λ(t, ξ(t)).

Пусть задан случайный процесс S(t) на некотором вероятностном пространстве (Ω, F,P) созначениями в евклидовом пространстве Rn

Определение 4. Процесс S(t) называется обобщенным броуновским движением, если он удо-влетворяет системе стохастических дифференциальных уравнений

dSi(t) = Siµi(t; S1(t), ..., Sn(t))dt + Si(t)Aij(t; S

1(t), ..., Sn(t))dwj, (4)

где wj – независимые винеровские процессы в Rn, µ(t, x) – векторное поле на Rn, A(t, x) –отображение из R× Rn в пространство линейных операторов L(Rn,Rn), (Ai

j) – его матрица.

Пусть заданы многозначные отображенияµ(t, x) и Λ(t, x) из R×Rn и S(n) (множество симмет-рических неотрицательно определённых матриц размера n с действительными коэффициента-ми). Требуется для любого начального условия ξ0 ∈ Rn найти случайный процесс ξ(t), заданныйна (Ω, F,P) со значениями в Rn такой, что его производные в среднем удовлетворяют включению:

Dξ(t) + 1

2diagD2ξ(t) ∈ µ(t, ξ(t)),D2ξ(t) ∈ Λ(t, ξ(t)).

(5)

Если такой процесс существует, то S(t) = exp ξ(t) является обобщённым броуновским движением.

Теорема 1. Пусть µ(t, x) и Λ(t, x) полунепрерывные сверху многозначные отображения с за-мкнутыми выпуклыми образами, которые удовлетворяют условиями Ито вида

‖µ(t, x)‖2 ≤ K(1 + ‖x‖2), ‖trΛ(t, x)‖ ≤ K(1 + ‖x‖2), ∀Λ ∈ Λ. (6)

Тогда для любого начального условия ξ0 ∈ Rn существует решение задачи (5).

Подробнее это описано в работе [2].


[1] Gliklikh Yu. E. Global and stochastic analysis with applications to mathematical physics./Yu. E. Gliklikh. – Springer-Verlag London Limited, 2011. – 436 p.

[2] Азарина С.В., Гликлих Ю.Е. Включения с производными в среднем для процессов типа геометрическогоброуновского движения и их приложения./ С.В. Азарина // Семинар по глобальному и стохастическомуанализу. – ВГУ,2009. – Вып.4 –С.3-7

www.kromsh.info 155

УДК: 519.2

О ПОТРАЕКТОРНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СТОХАСТИЧЕСКИХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО

МНОГОМЕРНОГО ВИНЕРОВСКОГО ПРОЦЕССА

Асылгареев А.С.

Уфимский государственный авиационный технический университет (Россия, Уфа)


Доказаны теоремы сравнения для систем стохастических дифференциальных уравнений (далее — СДУ) от-носительно стандартного многомерного винеровского процесса. Полученные результаты были применены дляисследования потраекторной устойчивости СДУ. Подход, предложенный в работе, может быть переформулиро-ван для уравнений с симметричным интегралом.

Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения, потраекторная устойчивость, теоремы срав-нения, уравнения с симметричными интегралами, многомерный винеровский процесc.

ON THE TRAJECTORY STABILITY OF STOCHASTIC DIFFERENTIALEQUATIONS WITH RESPECT TO THE MULTIDIMENSIONAL WIENER

PROCESS

Asylgareev A.S.

Ufa State Aviation Technical University (Russia, Ufa)

Comparison theorems for systems of stochastic differential equations are proved (further — SDU) with respect tothe standard multidimensional Wiener process. The obtained results were applied to the study of trajectory stabilityfor SDU. The approach proposed in this study can be reformulated for equations with symmetric integral.

Keywords: stochastic differential equations, comparison theorems, trajectory stability, equations with symmetricintegrals, multidimensional Wiener process.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение с интегралом Стратоновича отно-

сительно многомерного винеровского процессаW(n)

t =(W

(1)t , . . . ,W

(n)t

), определённого на филь-

трованном вероятностном пространстве(Ω, F, (Ft)t>0, P

):

dξ(n)(t) =n∑

j=1

σ(n)j

(t, ξ(n)(t)

)∗ dW (j)

t + b(n)(t, ξ(n)(t)

)dt, ξ(n)(0) = x0, (1)

где σ(n)j (t, 0) = b(n)(t, 0) ≡ 0 при всех t > 0, j = 1, . . . , n.

Цель данной работы, продолжающей исследование [1], заключается в выводе условий устой-чивости с вероятностью 1 для возмущённых решений СДУ (1). Изложенный подход основанна том, что решение уравнения (1) можно представить в виде детерминированной функцииот случайного аргумента, которая, в свою очередь, является решением цепочки обыкновенныхдифференциальных уравнений со случайной правой частью (см [2]).

Определение 1. Возмущенное решение ξ(n)(t) уравнения (1) с начальным условиемξ(n)(0) = x0 потраекторно устойчиво относительно тривиального решения, если при п.в. ω длялюбого ε > 0 найдется δ(ε, ω) > 0 такое, что для всякого x0, для которого |x0| < δ, решение ξ(n)(t)удовлетворяет неравенству |ξ(n)(t)| < ε при всех t > 0.

Следует отметить, что для СДУ, как правило, рассматривается устойчивость в более слабыхсмыслах: по вероятности, p–устойчивость, экспоненциальная устойчивость.

Теорема 1. Решение уравнения

dζ(n)t =

n∑

j=1

t · ζ(n)t ∗ dW (j)

t − a(t)ζ(n)t dt, t > 0, ζ

(n)t

∣∣t=0

= ζ(n)0 , (2)

является потраекторно устойчивым при a(t) = nt12+α, где α > 0.


Следствие 1. Пусть для всех t > 0 с вероятностью 1 выполнено неравенство|ξ(n)(t)| 6 Kζ(n)(t), где K = const > 0. Тогда возмущённое решение ξ(n)(t) СДУ (1) потра-екторно устойчиво.

Доказательство следствия 1 основано на применении теорем сравнения для оценки возмущён-ных решений СДУ (1), (2).


[1] Асылгареев А. С., Насыров Ф. С. О теоремах сравнения и устойчивости с вероятностью 1 одномерных сто-хастических дифференциальных уравнений. / А.С. Асылгареев, Ф.С. Насыров. // Сиб. матем. журн. – 2016,– Т.57, 5. – С. 969–977.

[2] Насыров Ф.С. Об интегрировании систем стохастических дифференциальных уравнений. / Ф.С. Насыров. //Математические труды – 2016, – Т.19, 2. – С. 158–168.

УДК: 535.361.22

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯРАСПРОСТРАНЕНИЯ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В

БИОЛОГИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛАХ

Вальков А. Ю., Кузьмин В. Л.

СПбПУ, СПбГУ (Россия, Санкт-Петербург)


Описывается использование стохастического моделирования (метода Монте Карло) для решения задачи о мно-гократном рассеянии волн в случайно-неоднородных средах биологического происхождения и соответствующиеобратные задачи. Рассматривается подход, основанный на методе обратного преобразования для индикатрисырассеяния Релея-Ганса и проводится сравнение с результатами моделирования на основе индикатрисы Хеньи-Гринштейна.

Ключевые слова: многократное рассеяние, метод Монте-Карло, метод обратного преобразования, фазовыефункции Хеньи-Гринштейна и Релея-Ганса.

METHOD MONTE CARLO FOR SIMULATION OF THE PROPAGATIONOF OPTICAL RADIATION IN AN BIOLOGICAL MATERIALS

Valkov A. Yu., Kuzmin V. L.

SPbPU, SPbU, (Russia, St. Petersburg)

The stochastic modeling approach (the Monte Carlo method) for solving of the problem of multiple wave scatteringin randomly inhomogeneous media of biological origin and corresponding inverse problems is described. An approachbased on the inverse transformation method. The Rayleigh–Gans or Henyey–Greenstein indicatrices and other items ofthe theory is discussed.

Keywords: multiple scattering, Monte Carlo method, inverse transform method, Rayleigh–Gans and Henyey–Greenstein phase functions.

Интерес к распространению и рассеянию оптического излучения в случайно-неоднородныхсредах в последние годы связан, главным образом, с биомедицинскими приложениями [1]). Важ-ной проблемой здесь является учёт анизотропии рассеяния. Чаще всего для этого применяютэмпирическую фазовую функцию Хеньи–Гринштейна (ХГ), в то время как более реалистичнаяфункция Рэлея–Ганса (РГ), основанная на описании среды как суспензии твёрдых сфер, при-меняется редко. Существенным элементом эффективных численных алгоритмов моделированиямногократного рассеяния методом Монте-Карло (МК) является обратное преобразование инте-гральной функции распределения [2], что даёт правильный в вероятностном смысле «розыгрыш»углов рассеяния. Поэтому важным свойством фазовой функции, описывающей распределениеинтенсивности однократного рассеяния по углам, является простая форма обратной функции кеё интегралу. Этим свойством обладает функция ХГ, чем и объясняется её популярность. Мыпоказали [3], что для модели Рэлея–Ганса интегральная функция распределения является эле-ментарной, что позволило построить в этой модели численно эффективный метод обратного пре-образования. МК-моделирование угловой зависимости интенсивности многократного рассеяния

www.kromsh.info 157

показало заметную разницу для моделей ЧГ и РГ, вопреки распространённому представлениюоб универсальности диффузионного режима рассеяния, при котором вид фазовой функции неважен для высоких кратностей.

Интенсивность многократного рассеяния может быть представлена рядом по кратностями:

J(si, sf) =∑

16n

J (n)(si, sf), (1)

где si, sf — единичные вектора, определяющие направление, соответственно, падающего и выхо-дящего излучения, J (n) — интенсивность рассеяния n-го порядка.

Вклад в интенсивность рассеяния n-й кратности J (n) дается 3n-мерного интегралом [4] дляМК-вычисления которого необходимо многократно «разыграть» стохастическую траекториюr1, . . . , rn точек рассеяния (Рис. 1). Каждая точка rj разыгрывается в сферической системе

Рис 1. Траектория фотона, вылетевшего из источника S, испытавшего n актоврассеяния и принятого детектором D.

координат методом обратного преобразования. Пусть ξi, χj , νj — три независимых случайныхвеличины, равномерно распределённых на интервале [0; 1]. Тогда расстояние rj j−1 = |rj − rj−1|задается формулой ξi = exp(−µrj j−1), где µ — коэффициент экстинкции. Косинус tj полярногоугла θj (отсчитываемого от предыдущего направления rj−1 j−2) — формулой

χj =

tj∫

−1

p(t′)dt′, (2)

где p(t) — фазовая функция интенсивности рассеяния (в терминах переменной t = cos θ, θ —угол рассеяния). Наконец азимутальный угол φj — формулой φj = 2πνj.

Фазовые функции ХГ и РГ имеют вид

pHG(t) = (4π)−1(1− g2

)(1 + g2 − 2gt)−3/2, (3)

pRG(t) = p(q) = 2(πA)−1q−6(sin q − q cos q)2, (4)

g — параметр анизотропии рассеяния, |g| 6 1; q = kR√

2− 2t — модуль вектора рассеяния, k —волновое число, R — радиус частицы, A = (kR)−2F (2kR) — нормировочный множитель, где

F (q) = 4

q∫

0

(sin q′ − q′ cos q′)2

q′5dq, (5)

0 ≤ F (q) ≤ 1. Существенно, что интеграл (5) выражается в элементарных функциях,

F (q) = q−4(q4 − q2 + q sin 2q − sin2 q). (6)

Параметр анизотропии g фазовой функции XГ (3) имеет смысл среднего косинуса угла рассе-яния, g = 〈cos θ〉, а для фазовой функции XГ (4) «управляющим» безразмерным параметромявляется величина kR. Связь между g и kR задаётся формулой [3],

g =(4− (kR)−2 Cin(4kR)

)/F (2kR)− 3, (7)

где Cin(x) — интегральный косинус. На Рис. 2 показаны индикатрисы рассеяния ХГ (3) и РГ (4)для двух параметров анизотропии g и двух радиусов R, связанных формулой (7), где волно-вое число k = 2πn/λ, n — коэффициент преломления, λ — длина волны света в вакууме. Длянаглядности полярный радиус на этих рисунках пропорционален корню четвертой степени ин-тенсивности (∝ 4

√I). Видно, что для модели РГ при больших kR возникают нули интенсивности.


Рис 2. Индикатрисы однократного рассеяния для ХГ и РГ моделей, двух ради-усов частиц и соответствующих параметров анизотропии g (λ = 685, n = 1.33).

Переменная χ′ = 1−χ имеет смысл интегральной функции распределения, давая вероятностьтого, что модуль переданного при рассеянии импульса q′ попадает в интервал q′ < q. Из (2), (5)следует, что χ′ = F (q)/F (2kR). Обратное преобразование даёт, таким образом, q = F−1(x), гдеx = F (2kR)χ′, а 0 6 x 6 F (2kR) < 1.

Для малых x, из теоремы Лагранжа об обращении рядов получим для q = F−1(x),

q2 =9x

2

(1 +

9x

20+

81x2

280+

2403x3

11200+

7416603

43120000x4 +

1623578499

11211200000x5 + · · ·

). (8)

Фазовая функция РГ (4) обращается в ноль для последовательности точек qn = tan qn, кото-рая с высокой точностью может быть вычислена из асимптотического ряда

qn = rn −1

rn− 2

3r3n− 13

15r5n− 146

105r7n− 781

315r9n− 16328

3465r−12n − · · · , (9)

где rn = π(n+ 1/2), n ≥ 1. В этих точках из (6) следует xn = F (qn) = q2n/(1 + q2n). Величины xn

являются точками сингулярности обратной функции F−1(x). Рис. 3 показывает существенноеотличие кумулятивных функций распределения, используемых при МК-симуляциях многократ-ного рассеяния, для моделей ХГ и РГ с равными параметрами анизотропии.

Рис 3. Угловая переменная 1 − t = 1 − cos θ как функция кумулятивной веро-ятности χ′ для моделей ХГ (тонкие линии) и РГ (толстые линии) в области χ′

близких к единице: 1 — g = 0.654; 2 — g = 0.786; 3 — g = 0.931. В модели РГэтим значениям g, согласно (7), соответствуют kR = 2.31, 3.21 и 6.42

Для метода МК мы применяем модель F−1M (x) обратной функции F−1(x), используя ряд (8)

при x < x1, а в области x & x1 — кусочную функцию, удовлетворяющую трем условиям: непре-рывность F−1

M (x), правильные значения этой функции и правильное сингулярное поведение еёпроизводной в точках xn, n > 1.

www.kromsh.info 159


[1] Jacques S.L. Optical properties of biological tissues: a review / S.L Jaques // Physics in Medicine & Biology – 2013,– V.58, – Iss. 11, – P. R37–R61.

[2] Devroye L. Non-Uniform Random Variate Generation. / L. Devroye. – Springer-Verlag, New York, 1986. – 843 p.[3] Кузьмин В.Л., Вальков А.Ю. Моделирование многократного рассеяния в среде с анизотропной индикатрисой,

/ В.Л. Кузьмин // Письма в ЖЭТФ, – 2017, – Т.105, – Вып. 5, – С. 261–265.[4] Kuz’min V.L., Romanov V.P., and Zubkov L.A. Propagation and scattering of light in fluctuating media /

V.L. Kuzmin // Physics Reports – 1994, – V.248, – Iss. 2-5, – P. 71–368.

УДК: 519.216

УСЛОВИЯ ГЛОБАЛЬНОГО ПО ВРЕМЕНИ СУЩЕСТВОВАНИЯРЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Гликлих Ю.Е.

Воронежский государственный университет (Россия, Воронеж)


Доказываются достаточные и необходимые и достаточные условия полноты стохастических потоков в двухслучаях: когда начальные значения орбит неслучайны (точки) и когда начальные условия орбит случайны и, вчастности, их плотности распределения нигде не равные нулю.

Ключевые слова: стохастические потоки, полнота, необходимые и достаточные условия, производные в сред-нем, текущие скорости.

CONDITIONS OF GLOBAL IN TIME EXISTENCE OF SOLUTIONS OFSTOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

Gliklikh Yuri

Vorionezh Stste University (Russia, Voronezh)

We obtain sufficient and necessary and sufficient conditions for completeness of stochastic flows in two cases: wherethe initial values of the orbits are non-random (points) and where the initial values of the orbits are random and, inparticular, their densities are nowhere equal to zero.

Keywords: stochastic flows, completeness, necessary and sufficient conditions, mean derivatives, current velocities.

Основной целью доклада является нахождение условий (достаточных и необходимых и до-статочных) для полноты стохастического потока. Мы рассматриваем два случая: когда, как вклассической теории, орбиты потока имеют неслучайные начальные значения (точки) и, как вслучае потока, порожденного уравнением, заданным в терминах так называемых текущих скоро-стей (симметрических производных в среднем по Нельсону) начальные значения орбит являютсяслучайными величинами, причем плотность распределения этих начальных значений нигде неравна нулю..

Предварительные сведения имеются в [1] – [4]. Дадим лишь два определения.Определение 1. Отображение ϕ : M → R, где M – гладкое многообразие (в частности, вектор-ное пространство Rn) называется собственной функцией, если прообраз любого относительнокомпактного множества в R относительно компактен в M .

Для потоков, у которых орбиты имеют детерминированные начальные значения, Л. Шварцввел следующее понятие непрерывности на бесконечности.Определение 2. ( см. [5, 6]) Говорят, что поток ξ(s) непрерывен на бесконечности на отрезке[0, T ] ⊂ R, если при всех 0 ≤ t ≤ T и при любом компакте Ξ ⊂M выполняется равенство

limx0i

→+∞P(ξt,x0i

(T )) ∈ Ξ) = 0. (1)

Поток непрерывен на бесконечности, если это выполняется при любом T > 0.Для потоков, у которых орбиты имеют случайные начальные данные, мы модифицируем

понятие непрерывности на бесконечности следующим образом.


Определение 3. Говорят, что поток η(s) непрерывен на бесконечности на отрезке [0, T ] ⊂ R,если при всех 0 ≤ t ≤ T и при любом компакте K ⊂ Rn для любой орбиты ηt,η0i

(s) выполняетсяравенство

limEη0i

→+∞P(ηt,η0i

(T )) ∈ K) = 0, (2)

Поток непрерывен на бесконечности, если это выполняется при любом T > 0.Несмотря на существенное различие доказательств, утверждения для обоих типов потоков

имеют одинаковые формулировки. Мы приведем формулировки для случая потоков со случай-ными начальными значениями. В этом случае уравнения рассматриваются в Rn. Для классиче-ских потоков с неслучайными начальными значениями утверждения верны для стохастическихпотоков на конечномерных гладких многообразиях.

Пусть на Rn заданы борелевские векторное поле v(t, x) и поле симметрических неотрица-тельно определенных матриц α(t, x). Уравнением с текущими скоростями (симметрическимипроизводными в среднем по Нельсону) называется система в Rn вида

DSξ(t) = a(t, ξ(t))D2ξ(t) = α(t, ξ(t)

(3)

где DS – симметрическая производная в среднем (текущая скорость), а D2 – квадратичнаяпроизводная в среднем. В [7] показано, что если a и α гладки, удовлетворяют вместе в первымипроизводными поля α оценкам типа Ито, α положительно определены и начальное значениерешения является случайной величиной, у которой плотность гладка и нигде не равна нулю,то (3) имеет решение, определенное при t ∈ [0,∞). Нашей целью являются получение условийсуществования решения при t ∈ [0,∞) (полнота потока) без выполнения оценок типа Ито.Теорема 1. Пусть существует гладкая положительная собственная функция ϕ на Rn такая, чтоL(t, x)ϕ < C для некоторого C > 0 при всех t ∈ R, x ∈ Rn, где L – генератор потока ξ(s). Тогдапоток ξ(s) полон.Теорема 2. Пусть на Rn имеется гладкая положительная собственная функция u такая, чтоLu < C для некоторой константы C > 0, где L – генератор обратного потока η(t). Тогда прямойпоток η(t) непрерывен на бесконечности на [0, T ].

Введем прямое произведение Rn+ = [0, T ]× Rn.

Теорема 3. Для того, чтобы одновременно прямой поток ξ(s), и обратный поток ξ(s), порож-денные уравнением (3), были непрерывны на бесконечности и полны на [0, T ], необходимо идостаточно, чтобы на Rn

+ существовали положительные гладкие собственные функции u(t, x) и

u(t, x) такие,что выполняются неравенства ( ∂∂t + A)u < C и (− ∂

∂t + A)u < C для некоторых

положительных констант C и C, где A и A – генераторы прямого и обратного потока, соответ-ственно.


[1] Nelson E. Derivation of the Schrodinger equation from Newtonian mechanics / E. Nelson // Phys. Reviews.– 1966.–Vol. 150. No. 4.– P. 1079-1085

[2] Nelson E. Dynamical theory of Brownian motion / E. Nelson.– Princeton.: Princeton University Press, 1967, 114 p.[3] Nelson E. Quantum fluctuations / E. Nelson.– Princeton: Princeton University Press.– 1985.– 146 p.[4] Gliklikh Yu.E. Global and stochastic analysis with applications to mathematical physics / Yu.E. Gliklikh.– London:

Springer-Verlag.– 2011.– 460 p.[5] Schwartz L. Processus de Markov et desingration regulieres / L. Schwartz// Annales de l’Institut Fourier de

l’Universite de Grenoble.– 1977.– T. 27.– P. 211-277.[6] Schwartz L. Le semigroupe d’une diffusion en liaison avec les trajectories / L. Schwartz // Seminair de Probabilites

XXIII / Lect. Notes Math., 1372.– 1989.– P. 326-342[7] Азарина С.В. О разрешимости неавтономных стохастических дифференциальных уравнений с текущими ско-

ростями / С.В. Азарина, Ю. Е. Гликлих // Мат. заметки.– 2016.– Т. 100, 1.– С. 3 – 12.

www.kromsh.info 161

УДК: 519.2

ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

Иевлев П. Н.

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН(Санкт-Петербург, Россия)


В работе строится вероятностное представление решения задачи Коши для уравнения Шредингера 2iut =−∆u. Эти результаты обобщают на многомерный случай результаты статьи И. А. Ибрагимова, Н. В. Смородинойи М. М. Фаддеева ”Об одной предельной теореме, связанной с вероятностным представлением решения задачиКоши для уравнения Шредингера”.

Ключевые слова: предельные теоремы, уравнение Шрёдингера, мера Фейнмана, эволюционные уравнения,вероятностные представления.

PROBABILISTIC REPRESENTATION OF THE CAUCHY PROBLEMSOLUTION FOR THE MULTIDIMENSIONAL SCHRODINGER EQUATION

Ievlev Pavel

Saint-Petersburg State University (Russia, Saint-Petersburg)

We construct a probabilistic representation of the Cauchy problem solution for the multidimensional Schrodingerequation 2iut = −∆u. The result is an extension to a multidimensional case of the previous results by I. Ibragimov, N.Smorodina and M. Faddeev.

Keywords: limit theorems, Schrdinger equation, Feynman measure, evolution equations, probabilistic representations.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения Шредингера

−i∂u∂t

=1

2∆u (1)

где ∆ – оператор Лапласа в Rd . В работе [1] был предложен способ вероятностного представ-ления решения задачи Коши для уравнения Шредингера, основанный на использовании веро-ятностного представления решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Именно, наодномерное уравнение Шредингера предлагалось смотреть как на уравнение теплопроводности

∂u

∂t=σ2

2

∂2u

∂x2, (2)

но с комплексным σ = exp(iπ/4). При попытке использовать известное вероятностное представ-ление напрямую возникают несколько трудностей, для борьбы с которыми в работе [1] вводятся”операции”, выводящие за класс случайных величин. Полученные в результате применения этих”операций” объекты назывались в статье обобщёнными случайными величинами, хотя подчёрки-валось, что никакого строгого математического смысла этому понятию не придаётся. Оказалось,что ”обобщённую случайную величину” в смысле работы [1] можно рассматривать как вариантслучайного функционала. Мы также используем в настоящей работе понятие случайного функ-ционала, но в отличие от определения, данного в [2], мы выберем иное пространство пробныхфункций, а также другой набор операций над функционалами. Введённые объекты позволяютбез труда обобщить основной результат статьи [1] на многомерный случай. А именно, мы по-строим семейство вероятностных полугрупп P t

εε>0, сходящееся к полугруппе P t = exp(it∆/2),отвечающей решению уравнения Шредингера, при ε→ 0 сильно в L2.


[1] И. А. Ибрагимов, Н. В. Смородина, М. М. Фаддеев. Об одной предельной теореме, связанной с вероятностнымпредставлением решения задачи Коши для уравнения Шредингера. – Зап. науч. семин. ПОМИ 454 (2016),158-176.

[2] И. М. Гельфанд, Н. Я. Виленкин. Некоторые приложения гармонического анализа. Оснащённые гильбертовыпространства. – Государственное издательство физико-математической литературы, М., 1961.


УДК: 519.2

О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ТОЧКИ МАКСИМУМАВ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ С

НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИОРИТЕТАМИ

Красий Н. П.

Донской государственный технический университет (Россия, Ростов-на-Дону)


Приведены постановка задачи оптимизации квазилинейных моделей с независимыми приоритетами, формули-ровка и основные шаги доказательства уточненной теоремы о существовании и единственности точки максимумацелевой функции арбитра в области ее положительности.

Ключевые слова: квазилинейная модель, оптимизация, глобальный максимум, случайные приоритеты, макси-мальная эффективность, взаимодействие структур.

ON THE EXISTENCE AND UNIQUENESS OF THE MAXIMUM POINT INPROBLEMS OF OPTIMIZATION OF QUASILINEAR MODELS WITH

INDEPENDENT PRIORITIES

Krasii N. P.

Don State Technical University (Russia, Rostov-on-Don)

The formulation of the problem of optimization of quasilinear models with independent priorities is formulated, theformulation and main steps of the proof of the refined theorem on the existence and uniqueness of the maximum pointof the objective function of the arbitrator in the domain of its positivity.

Keywords: quasi-linear model, optimization, global maximum, random priorities, maximum efficiency, interactionstructures.

В докладе продолжается исследование возможности оптимизации квазилинейных моделей,интерпретирующих ситуацию, когда в некоторой единой системе взаимодействуют несколькоразнонаправленных структур, приоритеты между которыми расставляются арбитром – лицом,заинтересованном в наиболее эффективном функционировании системы в целом.

Пусть в системе фигурируют k структур. Их целевыми функциями являются дважды непре-рывно дифференцируемые положительные функции квазилинейного типа

Fj(x) =

(n∑

i=1

aijxi + bj

)I n∑

i=1aijxi+bj>0

, j = 1, 2, ..., k,

где aij ∈ R; bj ∈ R; x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn.Приоритеты αj = αj(ω), j = 1, 2, ..., k – случайные величины, принимающие значения на

отрезке [0;1], а целевая функция арбитра при этом F (x) =k∏

j=1

E(F

αj

j

). Задача заключается в

том, чтобы выявить условия существования точек глобального максимума функции F (x).В теореме 1 [1] выделены четыре условия существования и единственности точки максимума

в задаче оптимизации квазилинейных моделей с независимыми приоритетами. Возник вопрос овозможности ослабления этих условий. Были введены обозначения, позволяющие представитьцелевую функцию арбитра в виде

F =k∏

j=1

E(u

αj

j

), где uj =

n∑i=1

aijxi + bj .

Необходимым условием существования стационарной точки в области положительности Fявляется линейная зависимость системы векторов aj , j = 1, 2, ...k, причем каждый вектор выра-жается через остальные с отрицательными коэффициентами −cj , cj > 0, j = 1, 2, ...k − 1. Тогдаобласть положительности F принимает вид

D (F ) =

uj > 0, j = 1, 2, ..., k − 1

−k−1∑j=1

cjuj + ck > 0, где ck =

k−1∑j=1

cjbj + bk [1].

www.kromsh.info 163

В работах [2] и [3] были построены модели, интепретирующие две возможные ситуации выпол-нения необходимого условия существования стационарной точки: когда система векторов имеетk − 1 линейно независимых векторов и когда все вектора системы коллинеарны, среди которыхесть противоположно направленные. Доказано, что вторая модель может быть сведена к первой,так как всегда есть возможность представить один из векторов системы в виде линейной комби-нации остальных с отрицательными коэффициентами. Отсюда следует, что условие 3 теоремы1 [1] о том, что система должна иметь k − 1 линейно независимых векторов, является лишним.

Первым условием теоремы 1 [1] было требование строгой положительности значений прио-ритетов P (αj > 0) = 1, j = 1, 2, ..., k, интерпертируемое как необходимость задейcтвовать всеструктуры системы при расставлении приоритетов. Обосновано это тем, что при таком усло-вии целевая функция F на границах компакта D (F ) доопределяется нулем и, будучи выпуклойвверх [2], очевидно имеет точку глобального максимума. Чтобы понять, какое же условие дей-ствительно влияет на наличие точки максимума, целевую функцию F удобно представить ввиде

F =k∏

j=1

(ujpj + qj + E

(u

αj

j

)I0<αj<1

),

где pj = P (αj = 1) , qj = P (αj = 0) , rj = P (0 < αj < 1) , j = 1, 2, ..., k.В теореме 1 [1] полагалось, что все qj = 0, а pj > 0 и rj > 0, j = 1, 2, ..., k. Исследования

показали, что и для qj > 0 существует точка глобального максимума F . Ключевым же фак-тором безоговорочного существования максимума у F является строгая положительность rj ,j = 1, 2, ..., k. При нарушении этого условия максимум на D (F ) может как достигаться, так и недостигаться.

Второе условие теоремы 1 [1] – это необходимое условие наличия стационарной точки. Ачетвертое ( ck > 0) обеспечивает непустоту множества D (F ). Таким образом, формулировкатеоремы о существовании и единственности точки максимума F изменена на более точную.

Теорема. Пусть выполнены условия:1) P (0 < αj < 1) > 0, j = 1, 2, ...k.2) Система векторов aj , j = 1, 2, ...k является линейно зависимой, причем каждый вектор

выражается через остальные с отрицательными коэффициентами −cj , cj > 0, j = 1, 2, ...k − 1.3) ck > 0.

Тогда функция F при uk = −k−1∑j=1

cjuj +ck имеет в области положительности D (F ) единствен-

ную стационарную точку, являющуюся ее локальной (а также глобальной) точкой максимума.Данная работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 16-01-00184а).


[1] Павлов. И.В., Углич С.И. Оптимизация сложных систем квазилинейного типа с несколькими независимымиприоритетами /И.В. Павлов // Вестник РГУПС – 2017. – 3 (67), – С. 140-145.

[2] Красий Н.П. Оптимизация квазилинейных моделей с несколькими независимыми приоритетами /Н.П. Красий// Теория вероятностей и её применение: тезисы докладов. – 2017. – 62(4), – С. 798-839.

[3] Красий Н.П. Модели для оптимизации систем с тремя независимыми приоритетами /Н.П. Красий // Мате-риалы 28-й Крымской осенней математической школы-симпозиума, секция "Теория вероятностей. Случайныепроцессы. Финансовая математика. Математическая статистика". – 2017. – С. 82-83.


УДК: 517.9; 519.216.2

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СИНГУЛЯРНОГОСТОХАСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА С

ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

Машков Е. Ю.

Юго-Западный государственный университет (Россия, Курск)


Рассматривается сингулярная система стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито. В правойчасти системы имеются импульсные воздействия. Для данной системы получены аналитические формулы длярешений в терминах симметрических производных в среднем случайных процессов.

Ключевые слова: производная в среднем, текущая скорость, винеровский процесс, стохастическое уравнениелеонтьевского типа.

ON A CERTAIN METHOD FOR INVESTIGATION OF SINGULARSTOCHASTIC LEONTIEFF TYPE EQUATION WITH IMPULSE ACTION

Mashkov Evgenii

Southwest State University (Russian Federation, Kursk)

We investigate singular systems of stochastic differential equation in the Ito form. In the right-hand side there areimpulse actions. For the system we obtain analytical solutions in terms of the Nelson symmetric mean derivatives ofstochastic processes.

Keywords: mean derivative, current velocity, Wiener process, stochastic Leontieff type equation.

Изучается система стохастических дифференциальных уравнений в Rn вида

Lξ(t) = M

t∫

0

ξ(s)ds+

t∫

0

f(s)ds+ Qζ(t) +

t∫

0

P (s)dw(s), 0 ≤ t ≤ T, (1)

где L,M - числовые матрицы размера n × m, P (t) - коэффициент диффузии, f(t) - вектор-

функция, Q - числовая n× n - матрица, ζ(t) - n-мерный процесс скачков [1], w(t) - винеровскийпроцесс, ξ(t) - искомый случайный процесс.

Для изучения данного класса уравнений требуется рассмотрение производных высших по-рядков от свободных членов [2] - в данном случае, детерминированного слагаемого и винеров-ского процесса или белого шума. Известно, что производные винеровского процесса существуюттолько в смысле обобщенных функций, которые крайне трудны для применения в конкретныхуравнениях. Это обстоятельство делает прямое исследование нашей системы сложным.

Следуя работам [3], [4], в которых был изучен данный класс уравнений без импульсных воз-действий в правой части, мы для изучения решений рассматриваемых уравнений применяем ап-парат производных в среднем по Нельсону [5], [6] от случайных процессов, для описания которыхне применяются обобщенные функции. А именно, мы применяем симметрические производные всреднем (текущие скорости) винеровского процесса. Текущие скорости, в соответствии с общейидеологией производных в среднем, являются естественными аналогами физической скоростидетерминированных процессов. В результате для рассматриваемой системы мы получаем физи-чески осмысленные формулы для решений в терминах симметрических производных в среднемслучайных процессов.

Имеет место

Теорема 1. Пусть M+λL – сингулярный пучок постоянных матриц размера n×m, у которогостроки и столбцы не связаны линейными зависимостями с постоянными коэффициентами,f(t) – достаточно гладкая n-мерная вектор-функция, 0 ≤ t ≤ T ; пусть 0 < t1 < · · · < tN < T ;PL и PR – невырожденные матрицы размеров n × n и m × m соответственно, приводящиепучок λL+M к канонической форме Кронекера-Вейерштрасса (т.е. к квазидиагональному виду),

L = PLLPR и M = PLMPR, Q = PLQ; пусть ζr(ω), r = 1, 2, . . . , N – случайные величины

со значениями в Rn, такие, что компоненты случайной величины Qζr(ω), соответствующиежордановым и сингулярным клеткам по главной диагонали в L, равны нулю; пусть ζ(t, ω) =

www.kromsh.info 165

∑Nr=1 ζr(ω)χ(t − tr), где χ – функция Хевисайда, равная нулю для отрицательных значений

аргумента и единице для неотрицательных. Тогда:1) уравнение (1) трансформируется к каноническому уравнению

Lη(t) =

t∫

0

Mη(s)ds+

t∫

0

PLf(s)ds+Qζ(t) +

t∫

0

C(s)dw(s),

которое распадается на независимые подсистемы уравнений;2) для подсистемы в Rq+1, соответствующей единичной матрице в L и (q+1)×(q+1)-матрицеK в M , имеет место аналитическая формула для решений вида;

ϑ(t) =

N∑

r=1

eK(t−tr)Qζr(ω)χ(t− tr) +

t∫

0

eK(t−τ)v(τ)dτ +

t∫

0

eK(t−τ)Cq+1(τ)dw(τ),

где из произведения Qζr(ω) берутся только элементы из Rq+1.3) для подсистем, соответствующих жордановым клеткам в L размера (p+1)×(p+1) с нулямипо главной диагонали и единичным матрицам в M , при 0 < t < T имеют место соотношениядля нахождения решений вида

ςp+1(t) = −up+1(t)−m∑

j=1

cp+1j (t)

wj(t)

2t,

ςp(t) = −dup+1

dt− up(t)−

m∑

l=1

dcp+1l

dt

wl

2t+

m∑

l=1

cp+1l

wl

4t2−

m∑

l=1

cplwl

2t,

ςi(t) = −p∑

k=i

dk−i+1uk+1

dtk−i+1− ui −

m∑

l=1

dci+1l

dt

wl

2t+

+

m∑

l=1

ci+1l

wl

4t2−

p∑

s=i+1

m∑

l=1

ds−i+1cs+1

l

dts−i+1

wl

2t+

+cs+1l (−1)s−i+1

∏s−i+1j=1 (2j − 1)

2s−i+2

wl(t)

ts−i+2+

+

s−i∑

k=1

Cks−i+1

ds−i+1−kcs+1l

dts−i+1−k(−1)k

∏kj=1(2j − 1)

2k+1

wl(t)

tk+1 −

m∑

l=1

cilwl

2t,

1 ≤ i ≤ p− 1,

4) для подсистем, соответствующих сингулярным клеткам из M +λL размера l× (l+ 1), при0 < t < T имеют место формулы для нахождения решений вида

ηl(t) = DwS η

l+1r −

m∑

j=1

cljwj

2t− gl(t);

ηl−1(t) = D2Sη

l+1r −

m∑

j=1

dcljdt

wj

2t+

m∑

j=1

cljwj

4t2−

−m∑

j=1

cl−1j

wj

2t− dgl

dt− gl−1,

ηi = −l−1∑

k=i

dk−i+1gk+1

dtk−i+1− gi −

m∑

j=1

dci+1j

dt

wj

2t+

+m∑

j=1

ci+1j

wj

4t2−

l−1∑

s=i+1

m∑

j=1

ds−i+1cs+1

j

dts−i+1

wj

2t+

+cs+1j (−1)s−i+1

∏s−i+1r=1 (2r − 1)

2s−i+2

wj(t)

ts−i+2+

+

s−i∑

k=1

Cks−i+1

ds−i+1−k cs+1j

dts−i+1−k(−1)k

∏kr=1(2r − 1)

2k+1

wj(t)

tk+1−


−m∑

j=1

cijwj

2t+Dl+1−i

S ηl+1,

1 ≤ i ≤ l − 2

5) для подсистем, соответствующих сингулярным клеткам из M +λL размера (d+1)×d, при0 < t < T имеют место при выполнении условий согласования

t∫

0

zd+1(s)ds+

m∑

j=1

t∫

0

cd+1j (s)dwj(s) = θd(t)

соотношения для нахождения решений вида

θ1 = −z1 −m∑

j=1

c1jwj(t)

2t,

θ2(t) = −z2(t)− dz1(t)

dt−

m∑

j=1

dc1jdt

wj

2t+

m∑

j=1

c1jwj(t)

4t2−

m∑

j=1

c2jwj(t)

2t,

θi(t) = −i−1∑

p=1

di−pzp

dti−p− zi −

m∑

j=1

cijwj

2t−

m∑

j=1

dci−1j

dt

wj

2t+

+

m∑

j=1

ci−1j

wj

4t2−

m∑

j=1

i−1∑

p=2

dpci−p

j

dtpwj

2t+

+

p−1∑

l=1

Clp

dp−lci−pj

dtp−l(−1)l

∏lr=1(2r − 1)

2l+1

wj

tl+1+

+ci−pj (−1)p

∏pr=1(2r − 1)

2p+1

wj

tp+1,

6) зафиксировав сколь угодно малый момент времени t0 > 0, мы в знаменателях процессов,удовлетворяющих приведенным в пунктах 3)-5) соотношениям, заменяем t на t0(t) по формуле

t0(t) =

t0, если 0 ≤ t ≤ t0;t, если t0 ≤ t.

и получаем процессы, которые при t = 0 принимают нулевые значения, но становятся решени-

ями только при t0 ≤ t < T . Для двух разных моментов времени t(1)0 и t

(2)0 при t ≥ max(t

(1)0 , t

(2)0 )

значения соответствующих процессов п.н. совпадают.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта 18-01-00048.


[1] Vlasenko L. A. On a stochastic impulsive sustem / L. A. Vlasenko, S. L. Lyshko, A. G. Rutkas // ISSN 1025-6415Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, 2. P. 50-55.

[2] Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер.-М.: Физматлит, 1967. – 575 с.[3] Mashkov E.Yu. Singular Stochastic Leontieff type equation with depending on time diffusion coefficients / E.Yu.

Mashkov // Global and Stochastic Analysis. - 2017. - Vol.4 No. 2, September. - P. 207-217[4] Gliklikh Yu.E. Stochastic Leontieff type equation with non-constant coefficients / Yu. E. Gliklikh, E. Yu. Mashkov

// Applicable Analysis: An International Journal. – Taylor and Francis. – 2015. – Vol. 94, Issue 8.– P. 1614-1623.[5] Nelson E. Derivation of the Schrodinger equation from Newtonian mechanics / E. Nelson // Phys. Reviews, 1966.-

Vol. 150, No. 4.- P. 1079-1085.[6] Гликлих Ю.Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики / Ю. Е. Гликлих.-

М.:Комкнига, 2005 - 416 с.

www.kromsh.info 167

УДК: 517.21

УЛУЧШЕННАЯ ПРОЦЕДУРА ВЫБОРА МОДЕЛИ ДЛЯ ОЦЕНИВАНИЯФУНКЦИИ СНОСА В ДИФФУЗИОННЫХ МОДЕЛЯХ

Перелевский С. С., Пчелинцев Е. А.

Томский Государственный Университет (Россия, Томск)


В работе рассматривается задача робастного адаптивного непараметрического оценивания коэффициента сно-са в диффузионных процессах. Предлагается адаптивная процедура выбора модели на основе улучшенных взве-шенных оценок МНК. Установлено, что оценка имеет более высокую среднеквадратическую точность, чем оценкаМНК. Получено точное оракульное неравенство для квадратического риска предложенной процедуры оценива-ния.

Ключевые слова: улучшенная оценка, стохастический процесс, среднеквадратичная точность, выбор модели,неравенство оракула.

IMPROVED PROCEDURE FOR THE SELECTION OF MODELS FORESTIMATING FUNCTIONS DRIFT IN DIFFUSION MODELS

Perelevskiy S. S., Pchelintsev E.A.

Tomsk State University (Russia, Tomsk)

In this paper, we consider the robust adaptive non parametric estimation problem for the drift coefficient in diffusionprocesses. An adaptive model selection procedure, based on the improved weighted least square estimates, is proposed.Sharp oracle inequalities for the robust risk have been obtained.

Keywords: improved estimation, stochastic diffusion process, mean-square accuracy, model selection, sharp oracleinequality.

Пусть(Ω,F ,P)– вероятностное пространство с фильтрацией, на котором задано стохастиче-ское дифференциальное уравнение следующего вида:

dyt = S(yt) dt+ dwt , 0 ≤ t ≤ T , (1)

где (wt)t≥0– стандартный скалярный винеровский процесс, начальное значение y0 некоторая за-данная константа, и S(·) ∈ ΣL,N , ΣL,N определенная в [2], неизвестная функция. Задача состоитв том, чтобы оценить функцию S(x), x ∈ [a, b], по наблюдениям (yt)0≤t≤T , построить адаптивнуюоценку S∗ коэффициента сноса S в (1). Для оценивания функции S в [1] предложена асимптоти-чески эффективная процедура выбора модели на основе взвешенных оценок МНК. Посколькунеасимптотическое качество оценивания в непараметрических моделях, как правило, низкое, тоактуальной является задача его улучшения. Для повышения точности оценивания в моделях снепрерывным временем в работах [3, 4] развит метод Джеймса-Стейна, суть которого заключает-ся в построении специальной процедуры сжатия оценок МНК. В данной работе для оцениванияфункции S в (1) предлагается адаптивная улучшенная процедура выбора модели. Для квадра-тического риска построенной процедуры получено точное оракульное неравенство, позволяющеедоказать ее эффективность.

Предлагается оценка функции S следующего вида

S∗λ(xl) =

n∑

j=1

λ(j)θ∗j,n φj(xk)1Γ , 1 ≤ k ≤ n , (2)

и положим a ≤ x ≤ b

S∗λ(x) = S∗

λ(x1)a≤x≤xk +n∑

k=2

S∗λ(xk)xk−1<x≤xk . (3)

где xk = a+ kn (b− a),Γ– некоторое событие, такое что P(Γ)→ 0, при T →∞,

θ∗j,n =

(1− c(d)

‖θn‖1≤j≤d

)θj,n, c(d) =

(d− 1)σ2∗L(b− a)1/2

n(s∗ +√dσ∗/n)

, ‖θn‖2 =

d∑

j=1

θ2j,n.

Величина ǫT , s∗ определена в [2].


Теорема 1. Оценка (2) превосходит по среднеквадратической точности оценку МНК, т.е.

supS∈ΣL,N

∆n(S) < −c2(d),

где∆n(S) := ES‖S∗

λ − S‖2n − ES‖Sλ − S‖2n.Теорема 2. Пусть Λ ⊂ [0, 1]n любое конечное множество. Тогда для некоторого n ≥ 3 и0 < ρ < 1/6, процедура выбора модели S∗ удовлетворяет следующему оракульному неравенству

ES‖S∗ − S‖2n ≤1 + 6ρ

1− 6ρminλ∈Λ

ES‖S∗λ − S‖2n +

Ψn(ρ)

n,

где limn→∞ Ψn(ρ)/n = 0.


[1] Galtchouk L., Pergamenshchikov S. Sharp non-asymptotic oracle inequalities for nonparametric heteroscedasticregression models. Journal of Nonparametric Statistics. 2009. V. 21. No. 1. P. 1-16.

[2] Galtchouk, L.I. and Pergamenshchikov, S.M. (2006) Asymptotically efficient sequential kernel estimates of the driftcoefficient in ergodic diffusion processes // Statistical Inference for Stochastic Processes. 9, 1-16.

[3] Konev V., Pergamenshchikov S. and Pchelintsev E., Estimation of a Regression with the Pulse Type Noise fromDiscrete Data // Theory Probab. Appl. 2014. 58(3). 442-457.

[4] Pchelintsev E. Improved estimation in a non-Gaussian parametric regression // Statistical Inference for StochasticProcesses

УДК: 519.218.2

ВЕТВЯЩИЕСЯ СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА Zd СПЕРИОДИЧЕСКИМИ ИСТОЧНИКАМИ ВЕТВЛЕНИЯ

Платонова М. В., Рядовкин К. С.

ПОМИ РАН, Лаборатория им. П. Л. Чебышева, Санкт-Петербургский государственныйуниверситет (Россия, Санкт-Петербург)


Рассматривается модель ветвящегося случайного блуждания с непрерывным временем на решетке Zd с ис-точниками ветвления, расположенными периодически на Zd. Исследуются спектральные свойства оператора,описывающего эволюцию среднего числа частиц в произвольной точке решетки. Для среднего числа частиц вфиксированной точке при t → ∞ получен старший член асимптотики, а при выполнении дополнительного мо-ментного условия получено асимптотическое разложение.

Ключевые слова: Ветвящееся случайное блуждание, периодическое возмущение, прямой интеграл, самосопря-женный оператор, эволюционное уравнение.

BRANCHING RANDOM WALKS ON Zd WITH PERIODIC SOURCES OFTHE BRANCHING

Platonova Mariia, Ryadovkin Kirill

PDMI RAN, Chebyshev Laboratory, St. Petersburg State University (Russia, St. Petersburg)

We consider a continuous-time branching random walk on Zd with birth and death of particles at a periodic setof points (the sources of branching). Spectral properties of an evolution operator of the mean number of particlesare studied. We obtain the leading term of the asymptotics of the mean value of particle number. We also derive arepresentation of the mean value of particle number in a form of asymptotic series under some additional momentcondition.

Keywords: branching random walk, periodic perturbation, direct integral, self-adjoint operator, evolutionaryequation.

Рассматривается модель ветвящегося случайного блуждания с непрерывным временем на ре-шетке Zd. Предполагается, что частицы эволюционируют независимо друг от друга, а источникиветвления расположены периодически. Мы считаем, что с частицей, находящейся в момент вре-мени t в некоторой точке v ∈ Zd, независимо от остальных частиц в системе, может за время[t, t+ h) произойти одно из следующих событий:

www.kromsh.info 169

a) c вероятностью p(h, v, u) = a(v, u)h+ o(h) частица перейдет в точку u 6= v;b) с вероятностью pk(h, v) = bk(v)h+ o(h) частица произведет k 6= 1 потомков в точке v;c) с вероятностью 1−∑u6=v p(h, v, u)−

∑k 6=1 pk(h, v) с частицой не произойдет ничего.

Предполагается, что матрица переходных интенсивностей A0 =(a(v, u)

)v,u∈Zd симметрична,

ее диагональные элементы строго отрицательны, внедиагональные элементы неотрицательны, асумма элементов в каждой строке нуль. Также предполагается, что вероятность перехода междувершинами Zd достаточно быстро убывает с расстоянием (а именно, что конечна дисперсияскачков). Коэффициенты bk(v), k ∈ N ∪ 0 удовлетворяют условиям

b1(v) 6 0, bk(v) > 0 при k 6= 1,+∞∑

k=0

bk(v) = 0.

Обозначим через M(v, u, t) среднее число частиц ветвящегося случайного блуждания в моментt в точке u, если в нулевой момент времени в точке v была одна частица. Можно показать, чтоасимптотика M(v, u, t) определяется спектром оператора

A = A0 +Q,

где A0 – это генератор случайного блуждания (оператор, определяемый матрицей A0), а опера-тор Q описывает механизм ветвления в источниках (определяется функциями bk(v)).

В случае однородных коэффициентов a(v, u) и конечного числа источников ветвления такаязадача подробно изучена (см. [1] и упомянутые там работы). Нас интересует случай, когда функ-ции a(v, u), bk(v) являются периодическими функциями по переменной v относительно некоторойцелочисленной решетки Γ

Γ = g ∈ Zd : g =

d∑

j=1

njgj , nj ∈ Z, j = 1, . . . , d,

где g1, . . . , gd – набор линейно независимых векторов с целочисленными координатами. В этомслучае, используя технику, предложенную в [2], удается показать, что оператор A – унитарноэквивалентен прямому интегралу операторов A(θ).

Можно отождествить множество Zd/Γ c некоторым набором вершин v1, . . . , vp. Тогда опе-ратор A(θ) является конечномерным самосопряженным оператором Cp → Cp. Это значит, чтоего спектр состоит из конечного набора вещественных собственных значений

λ1(θ) > . . . > λp(θ).

Тогда спектр σ(A) оператора A состоит из p спектральных зон (возможно перекрывающихся).В частности наиболее важным оказывается оператор A(0).

A(0) =

a11(0) + β1 a12(0) · · · a1p(0)a21(0) a22(0) + β2 · · · a2p(0)

......

. . ....

ap1(0) ap2(0) · · · app(0) + βp

, (1)

где коэффициенты матрицы ajk(0) выражаются через коэффициенты матрицы переходных ин-тенсивностей

ajk(0) =∑

g∈Γ

a(vj + g, vk),

а диагональные возмущения – через функции bk(vj), именно

βj =

+∞∑

k=1

kbk(vj).

В этом случае удается показать, что при больших t выполнено следующее асимптотическоеравенство

M(v, u, t) = Ceλ1(0)tt−d/2(1 +O(t−1)),

где λ1(0) – старшее собственное значение матрицы A(0), а коэффициент C может быть вычисленявно.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, грант 17-11-01136.



[1] Яровая Е.Б. Критерии экспоненциального роста числа частиц в моделях ветвящихся случайных блужданий/ Е.Б. Яровая // Теория вероятн. и ее примен. – 2010. –Т.55, 4 – С. 705-731.

[2] Korotyaev E., Saburova N. Schrodinger operators on periodic discrete graphs / E. Korotyaev, N. Saburova // Journalof Mathematical Analysis and Applications. – 2014, V.420, 1 – P. 576-611.

УДК: 519.218.5

ВЕРОЯТНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С ОПЕРАТОРОМ ДРОБНОГО

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Платонова М. В., Цыкин С. В.

ПОМИ РАН, Лаборатория им. П. Л. Чебышева, Санкт-Петербургский государственныйуниверситет (Росиия, Санкт-Петербург)


В работе строятся два типа вероятностной аппроксимации решения задачи Коши для нестационарного урав-нения Шрёдингера, содержащего в правой части симметричный оператор дробного дифференцирования порядкаα ∈ (1, 2). В первом случае решение аппроксимируется средними значениями функционалов от пуассоновскоготочечного поля, а во втором случае — средними значениями сумм независимых случайных величин со степеннойасимптотикой хвостового распределения.

Ключевые слова: эволюционное уравнение, задача Коши, пуассоновская случайная мера, обобщенная функция,предельные теоремы.

A PROBABILISTIC APPROXIMATION OF THE CAUCHY PROBLEMSOLUTION FOR SRODINGER EQUATION WITH WITH A FRACTIONAL

DERIVATIVE OPERATOR

Platonova Mariia, Tsykin Sergey

PDMI RAN, Chebyshev Laboratory, St. Petersburg State University, (Russia, St. Petersburg)

We construct two types of probabilistic approximations of the Cauchy problem solution for the nonstationarySchroedinger equation with a symmetric fractional derivative of order α ∈ (1, 2) at the right hand side. In the firstcase we approximate a solution by mathematical expectation of point Poisson field functionals and in the second casewe approximate a solution by mathematical expectation of functionals of sums of independent random variables havinga power asymptotics of a tail distribution.

Keywords: evolution equation, Cauchy problem, Poisson random measure, distribution, limit theorems.

Рассмотрим задачу Коши

−i ∂u∂t

= cαDαu, u(0, x) = ϕ(x), (1)

где α ∈ (1, 2), Dα – симметричный оператор дробного дифференцирования порядка α, а кон-станта cα имеет вид

cα = − 1

α cos(πα2 )

> 0.

Оператор Dα является псевдодифференциальным оператором с символом cos(πα2 )|p|α. При

α = 2 оператор Dα – это оператор дифференцирования второго порядка, а соответствующаязадача Коши (1) отвечает классическому уравнению Шрёдингера.

В работе [1] был предложен метод построения представления решения задачи Коши для урав-нения

∂u

∂t=σ2

2

∂2u

∂x2

c комплексным параметром σ. Комплексный параметр σ позволил связать уравнение тепло-проводности (Imσ = 0) и уравнение Шрёдингера (Imσ = 0). Относительно начальной функ-ции ϕ ∈ L2(R) предполагалось, что носитель ее преобразования Фурье содержится в интервале[−M,M ] для некоторого M > 0, что означает, что функция ϕ может быть продолжена на всю

www.kromsh.info 171

комплексную плоскость до целой функции экспоненциального типа M . В этом случае для реше-ния задачи Коши (1) справедливо представление

u(t, x) = Eϕ(x− σw(t)

), (2)

где w(t) – стандартный винеровский процесс, а подстановка комплексной величины x− σw(t) вфункцию вещественной переменной ϕ понимается как подстановка в аналитическое продолжениеϕ. Для произвольной функции ϕ ∈ L2(R) можно получать аппроксимацию в L2(R) решениязадачи Коши, аппроксимируя начальную функцию ϕ функциями указанного вида.

Более того, в [1] было показано, что сходимость к решению задачи Коши сохраняется и в томслучае, когда не только начальная функция аппроксимируется целыми функциями экспонен-циального типа, но и одновременно винеровский процесс аппроксимируется ступенчатым про-цессом, построенным по суммам независимых одинаково распределенных случайных величин,имеющих экспоненциальный момент. Отметим, что условие существования экспоненциальногомомента в данном случае не может быть ослаблено, так как целые аналитические функции,ограниченные на вещественной оси, по направлениям, непараллельным вещественной оси, мо-гут расти экспоненциально. В частности, в формуле (2) вычисляется математическое ожиданиеэкспоненциально растущей функции от w(t). Это обстоятельство делает невозможным использо-вание данного подхода для нецелых значений α, так как оператор дробного дифференцированияне является локальным и для вероятностного представления решения задачи Коши приходит-ся использовать случайные величины со степенной асимптотикой хвостового распределения, укоторых отсутствует экспоненциальный момент. В частности, это означает, что в формуле (2)невозможно заменить винеровский процесс на устойчивый процесс Леви ни для какого комплекс-ного σ 6= 0.

В работе [2] был предложен другой способ аппроксимации решения задачи Коши функци-оналами от стохастических процессов, использующий только ограниченные функционалы отпроцессов. Начальная функция ϕ при этом представляется в виде суммы двух функций, одна изкоторых аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость, а другая – в нижнюю. Крометого, вместо винеровского процесса используется некоторая его аппроксимация ограниченнымиснизу процессами.

Пусть ν – пуассоновская случайная мера на (0,∞)× (0,∞) с интенсивностью

E ν(dt, dx) = dt µ(dx),

где мера µ имеет вид

dµ(x) = − dx

Γ(1− α)x1+α, x > 0.

Для ε > 0 построим случайную величину ξε(t)

ξε(t) =

∫

[0,t]×R+ε

xν(dt, dx) − E

∫

[0,t]×R+ε

xν(dt, dx) =

∫

[0,t]×R+ε

xν(dt, dx) − t∞∫

ε

xdµ(x),

где R+ε = R+ \ (0, ε).

Любую функцию ϕ ∈ L2(R) можно представить в виде

ϕ(x) = P+ϕ(x) + P−ϕ(x) = ϕ+(x) + ϕ−(x),

где P+, P− – проекторы Рисса, определяемые на L2 ∩ L1 как

P+ϕ(x) =1

2π

0∫

−∞

e−ipx ϕ(p) dp, P−ϕ(x) =1

2π

∞∫

0

e−ipx ϕ(p) dp. (3)

Отметим, что функция ϕ+ аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость, а функцияϕ− аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость

Для ε > 0 определим полугруппу операторов P tε , которая действует на ϕ ∈ L2(R) как

P tεϕ(x) = E

[(ϕ− ∗ gε)

(x− σξε(t)

)+ (ϕ+ ∗ gε)

(x+ σξε(t)

)], (4)

где функции ϕ± определены формулой (3), a σ = eπi2

(1− 1

α

). Так выбранное комплексное чис-

ло σ принадлежит верхней полуплоскости C+ и Reσ > 0. Функция gε(x) определяется своим


преобразованием Фурье

gε(p) = exp(t

ε∫

0

1

2(i|p|σx)2 dµ(x)

).

Далее, обозначим через P t полугруппу операторов

P t = exp(− it

α cos πα2

Dα).

Теорема 1. Существует число C > 0, такое что для любой функции ϕ ∈ W 22 (R) и всех t > 0

справедливо неравенство

||P tϕ− P tεϕ||L2(R) 6 Ctε2−α||ϕ||W 2

2 (R).

Аналогичное представление может быть получено, если интеграл по пуассоновской случайноймере заменить на сумму независимых случайных величин со степенной асимптотикой хвостовогораспределения.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, грант 17-11-01136.


[1] Ибрагимов И.А., Смородина Н.В., Фаддеев М.М. Предельная теорема о сходимости функционалов от случай-

ного блуждания к решению задачи Коши для уравнения ∂u∂t

= σ2

2∆u c комплексным параметром σ. /И.А.

Ибрагимов, Н.В. Смородина , М.М. Фаддеев// Записки научных семинаров ПОМИ. – 2013. – Т. 420. – С.88-102.

[2] Ибрагимов И.А., Смородина Н.В., Фаддеев М.М. б одной предельной теореме, связанной с вероятностнымпредставлением решения задачи Коши с оператором Шредингера. /И.А. Ибрагимов, Н.В. Смородина , М.М.Фаддеев// Записки научных семинаров ПОМИ. – 2016. – Т. 454. – С. 158-175.

УДК: 123.45.67

ОБ ОДНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ДЛЯ ОТРАЖАЮЩИХСЯПРОЦЕССОВ

Смородина Н. В.

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН(Россия, Санкт-Петербург)


Будет изложен новый способ построения вероятностного представления решения начально-краевых задач скраевым условием Неймана для уравнения теплопроводности в ограниченной области D на плоскости с гладкойграницей ∂D математическими ожиданиями функционалов от двумерного винеровского процесса. Также будетпоказано, что в вероятностном представлении решения винеровский процесс может быть заменен его аппрокси-мацией последовательностью сложных пуассоновских процессов, построенных по суммам независимых одинаковораспределенных двумерных случайных величин.

Ключевые слова: начально-краевые задачи, эволюционные уравнения, предельные теоремы, задача Скорохода.

ON A LIMIT THEOREM FOR REFLECTING PROCESSES.

Smorodina Natalia

St. Petersburg Department of V. A. Steklov Institute of Mathematics of the Russian Academy ofSciences (Russia, St. Petersburg)

We suggest a new method of probabilistic representation of a solution of initial boundary value problems with Neymancondition for heat equation in a bounded domain D ⊂ R2 with a smooth boundary ∂D by mathematical expectation of afunctional of two-dimensional Wiener process. It will be also shown that, in the probabilistic representation of solutionsthe Wiener process can be replaced by its approximation with a sequence of compound Poisson processes constructedby normalized sums of i.i.d. two-dimensional random variables.

Keywords: initial boundary value problems, evolution equations, limit theorems, Skorokhod problem.

www.kromsh.info 173

Для уравнения ∂u∂t = 1

2 ∆u рассмотрим начально-краевую задачу в ограниченной области

D ⊂ R2 с гладкой границей ∂D с начальным условием u(0, x) = f(x) и граничным услови-

ем Неймана ∂u∂n

∣∣∣∂D

= ∂f∂n

∣∣∣∂D

, где через n обозначена единичная внешняя нормаль к граничной

кривой ∂D. Для решения начально-краевой задачи в случае, когда ∂f∂n

∣∣∣∂D

= 0, справедливо

представление u(t, x) = Ef(Xx(t)

), где Xx(t) — винеровский процесс w(t), выпущенный из точ-

ки x ∈ D и отражающийся от границы при её достижении. Следует отметить, что построениеотражающегося от границы процесса Xx(t) весьма сложно технически (сложность обусловленатем, что траектории винеровского процесса ни в одной точке не дифференцируемы) и связано срешением так называемой задачи Скорохода. Решением задачи Скорохода (см. [1]) для областиD является построение для каждой (неслучайной) непрерывной траектории, стартующей из про-извольной точки x ∈ D ее ”отражающейся от границы” версии. Разрешимость задачи Скороходадоказана для широкого класса областей, подробный обзор результатов можно найти в работе [2].Отметим здесь два обстоятельства. Во-первых, для гладкой кривой ее ”отражающаяся” в смыслеСкорохода версия не совпадает с ее классическим отражением (при котором нормальная ком-понента касательного вектора кривой меняет свой знак на противоположный при достижениикривой границы области). Во-вторых, сложности с решением задачи Скорохода усугубляютсяеще и тем, что далеко не всегда удобно рассматривать процессы только с непрерывными траек-ториями, часто гораздо удобнее бывают процессы с кусочно-постоянными траекториями. А это,в свою очередь, приводит к необходимости заново решать задачу Скорохода.

Нами предложен новый способ построения вероятностного представления решения начально-краевой задачи, основанный на построении специального продолжения начальной функции собласти на всю плоскость. Мы будем использовать винеровский процесс w(t), но заставим его”почувствовать” границу области, специальным образом продолжая начальную функцию f собласти D на всю плоскость.

Для каждого фиксированного x ∈ D строится свое представление F x начальной функции fв виде ряда из целых функций на C2, при этом указанный ряд сходится к функции f в любомкруге Dx с центром в точке x и целиком лежащем в D.

Вероятностное представление решения u(t, x) начально-краевой задачи имеет вид

u(t, x) = limM→∞

EF xM

(x+ w(t)

), (1)

где через F xM обозначена M−я частичная сумма ряда, задающего функцию F x. Функции F x

M впоследней формуле при каждом фиксированном M являются целыми аналитическими функци-ями на C2.

Посмотрим теперь, что получится, если в (1) заменить двумерный винеровский процесс егоаппроксимацией нормированными суммами независимых случайных величин.

Именно, пусть ξj∞j=1, где ξj = (ξ(1)j , ξ

(2)j ), — последовательность независимых одинаково

распределенных R2-значных случайных величин с общим распределением P , инвариантным от-носительно вращений. Предположим, что случайная величина ξ1 имеет единичную матрицу ко-вариаций и конечный четвертый момент.

Далее, пусть η(t), t ∈ [0,∞) — стандартный (Eη(t) = t) пуассоновский процесс, не зависящийот последовательности ξj. Для каждого n ∈ N определим процесс ζn(t), t ∈ [0, T ] формулой

ζn(t) =1√n

η(nt)∑

j=1

ξj .

Для M > 0 положимun(t, x) = EF x

M

(x+ ζn(t)

).

Напомним, что в этой формуле x = (x1, x2) ∈ D. Так как далее мы будем выбирать M взависимости от n, M = M(n), то и функция un будет зависеть только от n.

Покажем теперь, что при n→∞ функция un(t, ·) аппроксимирует функцию u(t, ·).Теорема 1. Пусть функция f принадлежит классу W 2

2 (D), а M = M(n) =√n. Тогда суще-

ствует такое положительное C = C(T ), что

sup06t6T

‖un(t, ·)− u(t, ·)‖L2(D) 6C√n‖f‖W 2

2 (D).

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект 17-11-01136).



[1] Скороход А.В. Стохастические уравнения для процессов диффузии с границами /А.В. Скороход // Матем.сборник. – 1961. – Т.6, вып.3, с. 287-298.

[2] Pilipenko A. An introduction to stochastic differential equations with reflection,/ A. Pilipenko. – Potsdam :Universitatsverlag, 2014.

MSC2010: 519.216.2

STOCHASTIC INCLUSIONS HAVING DECOMPOSABLE RIGHT-HANDSIDES I

Makarova Alla, Gorlov Vladimir

MESC AF “N. E. Zhukovsky and Yu. A. Gagarin Air Force Academy” (Russia, Voronezh)


An existence of solution theorem is obtained for stochastic differential inclusions given in terms forward meanderivatives and quadratic mean derivatives in Rn. Right-hand sides in both are set-valued, lower semi-continuous butnot necessarily have convex images. Instead we suppose that they are decomposable..

Keywords: mean derivatives, differential inclusions, differential equations.

The research is supported in part by RFBR Grant 18-01-00048.The notion of mean derivatives was introduced by Edward Nelson [1, 2, 3] for the needs of stochastic

mechanics (a version of quantum mechanics). The equation of motion in this theory (called the Newton-Nelson equation) was the first example of equations in mean derivatives. Later it turned out that theequations in mean derivatives arose also in many other branches of science (mechanics, hydrodynamics,Navier-Stokes vortices, gauge fields, economics, etc.).

Here we investigate inclusions who’s right hand sides are lower semi-continuous. Unlike previouspublications we do not suppose that the images of points are convex sets. Instead we suppose thatthey are decomposable. This property yields serious modification of all proofs and constructions. Weobtain existence of solution theorem for such inclusions.

All of preliminaries on the mean derivatives in [6]Let ξ(t) be a stochastic process in Rn, t ∈ [0, T ], that is given on a certain probability space

(Ω,F ,P) so that ξ(t) is L1-random variable for all t.To avoid using the generalized functions, following Nelson (see, e.g., [1, 2, 3]) we give

Definition 1 ([1, 4]). (i) Forward mean derivative Dξ(t) of ξ(t) at time t is an L1-random variableof the form

Dξ(t) = lim∆t→+0

Eξt (ξ(t+ ∆t)− ξ(t)

∆t) (1)

where the limit is supposed to exists in L1(Ω,F ,P) and ∆t → +0 means that ∆t tends to 0 and∆t > 0.

(ii) Backward mean derivative D∗ξ(t) of ξ(t) at t is an L1-random variable

D∗ξ(t) = lim∆t→+0

Eξt (ξ(t) − ξ(t−∆t)

∆t) (2)

where the conditions and the notation are the same as in (i).

From the properties of conditional expectation (see [5] ) it follows that Dξ(t) and D∗ξ(t) can berepresented as compositions of ξ(t) and Borel measurable vector fields (regressions)

a(t, x) = lim∆t→+0

E(ξ(t+ ∆t)− ξ(t)

∆t|ξ(t) = x)

a∗(t, x) = lim∆t→+0

E(ξ(t)− ξ(t−∆t)

∆t|ξ(t) = x) (3)

on Rn. This means that Dξ(t) = a(t, ξ(t)) and D∗ξ(t) = a∗(t, ξ(t)).Following [4, 6] we introduce the differential operator D2 that differentiates an L1 random process

ξ(t), t ∈ [0, T ] according to the rule

D2ξ(t) = limt→+0

Eξt (

(ξ(t+t)− ξ(t))(ξ(t +t)− ξ(t))∗t ), (4)

www.kromsh.info 175

where (ξ(t + t) − ξ(t)) is considered as a column vector (vector in Rn), (ξ(t + t) − ξ(t))∗ is arow vector (transposed, or conjugate vector) and the limit is supposed to exists in L1(Ω,F ,P). Weemphasize that the matrix product of a column on the left and a row on the right is a matrix so thatD2ξ(t) is a symmetric positive semi-definite matrix function on [0, T ]×Rn. We call D2 the quadraticmean derivative.

Let v(t,m) be a vector field and α(t,m) be a symmetric positive semi-definite (2, 0)-tensor field onRn. The system

Dξ(t) = v(t, ξ(t))D2ξ(t) = α(t, ξ(t))

(5)

is called the first order differential equation with forward mean derivatives.

Definition 2. We say that (5) on T n has a solution on [0, T ] with initial condition ξ(0) = ξ0 if thereexists a probability space (Ω,F ,P) and a process ξ(t) given on (Ω,F ,P) and taking values in Rn suchthat ξ(0) = ξ0 and for almost all t ∈ [0, T ] equation (5) is satisfied P-a.s. by ξ(t).

Corollary 1. Let v : [0, T ]×Rn→ Rn be smooth and α : Rn → S+(n) be smooth. Let ξ0 be a randomelement with values in Rn whose probability density ρ0 with respect to the volume form Λα of α(·, ·)on Rn, is smooth and nowhere equal to zero. Then for the initial condition ξ(0) = ξ0 equation (5) hasa solution that is well posed on the entire interval t ∈ [0, T ] and unique as a diffusion process.

Consider a sequence of equations

Dξ(t) = vk(t, ξ(t))D2ξ(t) = αk(t, ξ(t))

(6)

on Rn of (5) type such that they all have solutions with the same initial condition. Denote by µk themeasure on (C0([0, T ],Rn), C) generated by the solution of the k-th equation from (6).

Below we will use the following result:

Lemma 1 ([8]). Let all vk and αk be uniformly bounded on Rn by the same upper bound. Then theset of measures µk on (C0([0, T ],Rn), C) is weakly compact.

1. The main result

If the values of a lower semi-continuous set-valued mapping (generally speaking) are not convex, itmay not have continuous selectors. Then the following construction is often very much useful.

Definition 3. Let E be a separable Banach space. A non-empty set M ⊂ L1([0, l];E) is calleddecomposable if f · χM + g ·χ[0,l]\M ∈M for all f, g ∈M and for every measurable subset M in [0, l]where χ is the characteristic function of the corresponding set.

The reader can find more details about decomposable sets in [9] and [10].

Theorem 1. (Bressan-Colombo Theorem) Let (Ω, d) be a separable metric space, X be a Banachspace and (J,A, µ) be a measurable space with a σ-algebra A and a non-atomic measure µ such thatµ(J) = 1. Consider the space Y = L1

X(J,A, µ) of integrable mappings from (J,A, µ) into X. If aset-valued mapping F : Ω ⊸ Y is lower semicontinuous and has close decomposable values, F has acontinuous selector.

The assertion of Theorem 1 is proved, e.g., as Lemma 9.2 in [9].Recall some facts and notions involved in further considerations. Specify l > 0. In what follows we

denote by λ the normalized Lebesgue measure on [0, l], i.e., such that λ([0, l]) = 1.

Lemma 2. Let (Ξ, d) be a separable metric space, X be a Banach space. Consider the space Y =L1(([0, l],B, λ), X)) of integrable maps from [0, l] into X. If a set-valued map G : Ξ → Y is lowersemicontinuous and has closed decomposable images, it has a continuous selector.

This is a particular case of Bressan-Colombo Theorem 1.Let v(t,m) be a set-valued vector field and α(t,m) be a set-valued symmetric positive semi-definite

(2, 0)-tensor field on Rn. The system of the formDξ(t) ∈ v(t, ξ(t)),D2ξ(t) ∈ α(t, ξ(t)).

(7)

is called a first order differential inclusion with forward mean derivatives.The definition of solution of inclusion (7) is quite analogous to definition 2.


Theorem 2. Let the set-valued fields v and α on Rn be lower semicontinuous, uniformly boundedand have closed decomposable images of points.

Consider a random element ξ0 with values in Rn that has the density ρ0 with respect to Euclideanvolume form ΛE is smooth and nowhere equal to zero. Then for the initial condition ξ(0) = ξ0 inclusion(7) has a solution well-posed on the entire interval t ∈ [0, T ].

References

[1] Nelson E. Derivation of the Schrodinger equation from Newtonian mechanics /E. Nelson // Phys. Rev. 1966. Vol.150. P. 1079-1085.

[2] Nelson E. Dynamical theory of Brownian motion / E. Nelson. Princeton NJ: Princeton University Press. 1967. 115p.

[3] Nelson E. Quantum fluctuations / E. Nelson. Perinceton NJ: Princeton University Press. 1985. 146 p.[4] S.V. Azarina and Yu.E. Gliklikh Differential inclusions with mean derivatives, Dyn. Syst. Appl., 16 (2007), pp.

49-71.[5] Parthasarathy K.R. Introduction to Probability and Measure / K.R. Parthasarathy. 1978. New York, NY. Springer-

Verlag. 343 p.[6] Yu.E. Gliklikh Yu.E. Global and stochastic analysis with applications to mathematical physics / Yu.E. Gliklikh.

Springer-Verlag London. 2011. 460 p.[7] Azarina S.V. On the Solvability of Nonautonomous Stochastic Differential Equations with Current Velocities / S.V.

Azarina, Yu.E. Gliklikh // Mathematical Notes.- 2016.- Vol. 100.- No. 1.- P. 3 – 10.[8] Gliklikh Yu.E. On existence of solutions to stochastic differential inclusions with current velocities II / Yu.E. Gliklikh

and A. V. Makarova // Journal of Computational and Engineering Mathematics. 2016. Vol. 3. No. 1. P. 48-60.[9] Deimling K. Multivalued differential equations / K. Deimling. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1992.- 257 p.[10] Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M.

Kamenskii, V. Obukhovskiı. P. Zecca. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001.- 231 p.[11] Gihman, I.I. Theory of Stochastic Processes / I.I. Gihman, A.V. Skorohod. Vol.1. New York: Springer-Verlag, 1974.

664 p.

177

Содержание

Секция 4. Дифференциальные уравнения в частных производ-ных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Архипова Арина Алексеевна, Гришина Галина Владимировна Санкт-Петербургский государственный университет, (Россия, Санкт-Петербург), МГТУим. Н.Э. Баумана (Россия, Москва)

Регулярность решений задачи с косой производной для квазилинейных

параболических систем с негладкой по времени главной матрицей . . . . . . . . 4

Балашова Галина Сергеевна Национальный исследовательский университет«Московский энергетический институт» (Россия, Москва)

Движение двух жидкостей в слоистой пористой среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Власов Виктор Валентинович МГУ имени М.В.Ломоносова (Россия, Москва)Спектральный анализ вольтерровых интегро-дифференциальных уравне-

ний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Войтицкий Виктор Иванович, Фордук Карина Викторовна Крымский фе-деральный университет им. В.И. Вернадского (Россия, Симферополь)

О малых движениях маятника с полостью, заполненной двумя несме-

шивающимися идеальными жидкостями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Вронский Борис Михайлович Крымский федеральный университетим. В. И. Вернадского (Россия, Симферополь)

О структуре спектра одной гидроакустической задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Закора Дмитрий Александрович КФУ (РФ, Симферополь)О малых движениях вязкоупругой жидкости Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Копачевский Николай Дмитриевич, Сёмкина Екатерина ВладимировнаКрымский федеральный университет имени В.И. Вернадского (Россия, Симферополь)

О малых движениях гидросистемы из трёх несмешивающихся жидко-

стей, заполняющей неподвижный сосуд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Корнута Анжелика Александровна Крымский федеральный университетим. В.И.Вернадского (Россия, Симферополь)

Метаустойчивые структуры в параболической задаче с преобразованием

пространственной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Лийко Виктория Владимировна Российский Университет Дружбы Народов(Россия, Москва)

Об одном свойстве невырожденного разностного оператора с перемен-

ными коэффициентами в цилиндре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Муравник Андрей Борисович АО «Концерн «Созвездие» (Россия, Воронеж)Уравнения и неравенства в частных производных с KPZ-нелинейностями 20

Панов Евгений Юрьевич Новгородский государственный университет (Россия,Великий Новгород)

О вариантах ультрапараболических H-мер и компенсированной компакт-

ности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Пикулин Сергей Владимирович ВЦ ФИЦ ИУ РАН (Россия, Москва)О квазистационарных режимах в некоторых моделях активных сред . . . . 25

Плышевская Светлана Петровна Таврическая академия Крымского федераль-ного университета имени В. И. Вернадского (Россия, Симферополь)

Метаустойчивые структуры с двумя точками перехода уравнения Кана-

Хилларда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Раутиан Надежда Александровна МГУ имени М.В. Ломоносова (Россия,Москва)Исследование операторных моделей, возникающих в наследственной ме-

ханике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

178

Свинина Светлана Валерьевна Институт динамики систем и теории управ-ления имени В.М. Матросова Сибирского отделения РАН (Россия, Иркутск)

Об исследовании некоторых квазилинейных дифференциально-

алгебраических систем уравнений в частных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Солонуха Олеся Владимировна ЦЭМИ РАН (Россия, Москва)О критерии сильной эллиптичности для дифференциально–разностных

операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Суслина Татьяна Александровна Санкт-Петербургский государственный уни-верситет (Россия, Санкт-Петербург)

Усреднение стационарной периодической системы Максвелла в ограни-

ченной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Фаминский Андрей Вадимович РУДН (Россия, Москва)Задачи управляемости для уравнения Кортевега–де Фриза и его обобще-

ний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Хазова Юлия Александровна Крымский федеральный университетим.В.И. Вернадского (Россия, Симферополь)

Интегральное представление решения параболического уравнения . . . . . . . 39

Цветков Денис Олегович Крымский федеральный университет им. В.И. Вер-надского (Россия, Симферополь)

Малые движения идеальной стратифицированной жидкости покрытой

упругим льдом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Юрьева Анастасия Михайловна Башкирский государственный университет(Россия, Уфа)

Нелинейные гиперболические уравнения с интегралами II и III порядков 42

Demidov Alexander Lomonosov Moscow State University (Russia, Moscow), MoscowInstitute of Physics and Technology (Russia, Dolgoprudny)

Elliptic pseudo-differential boundary value problems and the inverse

problem of magneto-electroencephalography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Kapustina Tatiana Lomonosov Moscow State University (Russia, Moscow)On singularly perturbed problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Limanskii Dmitrii Donetsk National University, Institute of Applied Mathematics andMechanics (Donetsk)

Subordinated conditions for the tensor product of several ordinary

differential operators in L∞ norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Meshkova Yulia Chebyshev Laboratory, St. Petersburg State University (Russia, St.Petersburg)

On homogenization of periodic hyperbolic systems with the corrector . . . . 48

Pastukhova Svetlana “MIREA” Russian Technological University (Russia, Moscow)Homogenization of monotone operators with coercitivity and growth

conditions of variable order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Popov Vladimir RUDN University (Russia, Moscow)On a boundary-value problem for a differential-difference equation with

degeneration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Skubachevskii Alexander, Liiko Victoria RUDN University (Russia, Moscow)An isomorphism generated by difference operator in a cylinder . . . . . . . . . . . . 52

Секция 5. Теория управления, теория игр и экономическое по-ведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Бардин Александр Евгеньевич, Житенева Юлия Николаевна Государ-ственный гуманитарно-технологический университет (Россия, Орехово-Зуево)

Оптимальное по Сэвиджу решение задачи с информированной неопреде-

ленностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

179

Постнов Сергей Сергеевич Институт проблем управления им. В.А. Трапезни-кова РАН (Россия, Москва)

Исследование l-проблемы моментов и поиск оптимальных управлений

для динамических систем дробного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Постнова Елена Александровна ИПУ РАН (Россия, Москва)Задачи управления движением для линейных динамических систем дроб-

ного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Ухоботов Виктор Иванович, Никитина Светлана Анатольевна Челябинскийгосударственный университет (Челябинск, Россия)

Об одной задаче управления дискретной системой при наличии помехи 60

Царьков Игорь Германович МГУ им. М.В. Ломоносова (Россия, Москва)Геометрия особого множества функции расстояния для гиперповерхно-

стей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Цехан Ольга Борисовна УО Гродненский государственный университет им. Ян-ки Купалы (Беларусь, Гродно)

О независящих от параметра достаточных условиях полной идентифи-

цируемости линейной стационарной сингулярно возмущенной системы сзапаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Югай Лев Павлович Филиал НИТУ «МИСиС» (Узбекистан, Алмалык)О классах стратегий убегания в дифференциальных играх . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Balashov Maxim V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academyof Sciences (Russia, Moscow)

About the error of approximation of

convex compacta in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Mikhaylov Alexander, Mikhaylov Victor, Murzabekova Gulden St. PetersburgDepartment of V.A. Steklov Institute of Mathematics of the Russian Academy of Sciences(Russia, Saint-Petersburg), S. Seifullin Kazakh Agrotechnical University (Kazakhstan,Astana)

Inverse spectral problem for the one-dimensional Dirac system on graphs 68

Nurtazina Karlygash L.N. Gumilyov Eurasian National University (Kazakhstan,Astana)

Boundary Control for Partial Differential Equations with Loaded Masses

on Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Секция 6. Численный анализ и приближенные методы . . . . . . . . . . . 74

Брагин Михаил Дмитриевич Институт прикладной математики им. М. В.Келдыша РАН, Московский физико-технический институт (государственный уни-верситет) (Россия, Москва)

Гибридные бикомпактные схемы для уравнений гиперболического типа

на декартовых сетках с адаптивным измельчением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Криксин Ю. А., Тишкин В. Ф. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (Россия, Москва)Обеспечение энтропийного неравенства в разрывном методе Галеркина

для газодинамических зада . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Кытманов Алексей Александрович Сибирский федеральный университет (Рос-сия, Красноярск)

О вычислении рациональной производящей функции решения задачи Ко-

ши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Манапова Айгуль Рашитовна Башкирский государственный университет (Рос-сия, Уфа)

Оценка точности по состоянию конечномерных аппроксимаций задач

оптимального управления для эллиптических уравнений с неограничен-ной нелинейностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

180

Ковыркина Оляна Александровна, Остапенко Владимир Викторович Ин-ститут гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Россия, Новосибирск)

Явная разностная схема, сохраняющая повышенную точность в обла-

стях влияния ударных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Рогов Борис Вадимович ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Московский физико-технический институт (государственный университет) (Россия, Москва)

Бикомпактные схемы для численного решения уравнений гиперболиче-

ского типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Султанов Мурат Абдукадырович Международный казахско-турецкий универ-ситет имени Ходжи Ахмеда Ясави (Казахстан, Туркестан)

Численное решение нелинейной обратной задачи гравиметрии итераци-

онным градиентным методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Секция 7. Математическое моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Безяев Владимир Иванович, Садеков Наиль Халимович РУДН (Россия,Москва)

Математическое моделирование гемодинамических процессов . . . . . . . . . . . 91

Бильченко Григорий Григорьевич, Бильченко Наталья ГригорьевнаКНИТУ-КАИ им. А. Н. Туполева (Россия, Казань)Анализ влияния управляющих воздействий на локальные параметры теп-

лообмена и трения в точке торможения гиперзвукового потока . . . . . . . . . . . . 93

Бильченко Григорий Григорьевич, Бильченко Наталья ГригорьевнаКНИТУ-КАИ им. А.Н. Туполева (Россия, Казань)

Анализ влияния управляющих воздействий на интегральные параметры

теплообмена и трения на проницаемых поверхностях ГЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Бильченко Григорий Григорьевич КНИТУ-КАИ им. А. Н. Туполева (Россия,Казань)

Алгоритм классификации двусторонних движений носителя с подвиж-

ным грузом по негладкой горизонтальной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Воротников Дмитрий Игоревич, Слепышев Александр Алексеевич МГУим. М.В. Ломоносова (Россия, Москва), ФГБУН Морской гидрофизический инсти-тут РАН (Россия, Севастополь)

О генерации вертикальной тонкой структуры инерционно-

гравитационными внутренними волнами в двумерном потоке . . . . . . . . . . . . . . . 101

Головизнин Василий Михайлович МГУ имени М.В. Ломоносова (Россия,Москва)

Балансно — характеристические методы численного решения дивергент-

ных уравнений в частных производных гиперболического типа (лекция) . . 104

Губанова Эльвира Раильевна, Шемахин А. Ю., Желтухин В. С Казанский(Приволжский) Федеральный Университет (Россия, Казань)

Расчет основных характеристик ВЧЕ-разряда пониженного давления в

одномерном приближении с помощью метода БПФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Истратов Роман Александрович Мурманский государственный техническийуниверситет (Россия, Мурманск)

Реализация интеллектуального управления перегрузочными процессами

в морском порту . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Ковалёв Михаил Дмитриевич МГУ им. М.В. Ломоносова (Россия, Москва)Вопросы существования шарнирно" рычажных конструкций . . . . . . . . . . . . . . 108

Прохоренков Александр Михайлович Мурманский государственный техниче-ский университет (Россия, Мурманск)

Об использовании методов нечеткой логики для определения характе-

ристик случайных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

181

Савоськин Владимир Михайлович Морской гидрофизический институт РАН(Россия, Севастополь)

Моделирование процесса изучения загрязнения прибрежной акватории с

помощью квазисинхронных контактных и дистанционных измерений . . . . . 113

Савоськин Владимир Михайлович Морской гидрофизический институт РАН(Россия, Севастополь)

Моделирование паводковых стоков основных рек Кавказского побере-

жья Черного моря . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Сафиуллина Раиса Рашидовна, Шемахин А. Ю., Желтухин В. С., Рябчен-ко Е. Ю. Казанский (Приволжский) Федеральный Университет (Россия, Казань)

Расчет основных характеристик тлеющего разряда в одномерном ло-

кальном приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Семенов Евгений Сергеевич Институт прикладной физики РАН (Россия,Нижний Новгород)

Расчет собственных мод, возбуждаемых в резонаторе гиротрона . . . . . . . . . 118

Степович Михаил Адольфович, Серегина Елена Владимировна, Амраста-нов Анар Назим оглы Калужский государственный университет им. К.Э. Циол-ковского, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,Калужский филиал (Россия, Калуга)

О некоторых особенностях математического моделирования нагрева

проводящих мишеней электронным зондом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Судьенков Юрий Васильевич, Зимин Борис Александрович, СвентицкаяВера Евгеньевна Санкт-Петербургский государственный университет, Балтий-ский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» имени Д.Ф. Усти-нова (Россия, Санкт-Петербург)Дисперсионный анализ динамической термоупругости с использованием

двухпараметрического обобщённого закона Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Шемахин Александр Юрьевич Казанский (Приволжский) Федеральный Уни-верситет (Россия, Казань)

Математическое моделирование потока ВЧ-плазмы пониженного давле-

ния с учетом влияния электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Kovyrkina Olyana, Ostapenko Vladimir Lavrentyev Institute of Hydrodynamics ofSB RAS (Russia, Novosibirsk)

Wave flows induced by lifting of a symmetric convex body partially

immersed in shallow water . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Секция 8. Дискретная математика и информатика. Методикапреподавания математики в высшей школе и история матема-тики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Билялова Лилия Ремзиевна, Ситшаева Зера Зекерьяевна Крымскийинженерно-педагогический университет (Россия, Симферополь)

О реализации компетентностного подхода при формировании фонда оце-

ночных средств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Воблый В. А., Мелешко А. К. ВИНИТИ, МГТУ им. Н.Э. Баумана (Россия,Москва)

Перечисление помеченных колючих кактусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Косова Екатерина Алексеевна Крымский федеральный университетим. В. И. Вернадского (Россия, Симферополь)

Разработка массовых открытых онлайн курсов (МООК) по математиче-

ским дисциплинам для студентов с особыми потребностями . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Кузюрин Н. Н., Лазарев Д.О. ИСП РАН (Россия, Москва)Приближенные алгоритмы упаковки прямоугольников в несколько полос140

182

Мельников Борис Феликсович, Мельникова Елена Анатольевна Россий-ский государственный социальный университет (Россия, Москва)Эвристические алгоритмы минимизации недетерминированных конечных

автоматов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Мельников Борис Феликсович, Давыдова Елизавета Владимировна Рос-сийский государственный социальный университет, Московский авиационный ин-ститут (Россия, Москва)

Псевдогеометрическая версия задачи коммивояжёра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Подиновский В. В., Потапов М. А., Нелюбин А. П. Институт автомати-зации проектирования РАН (Россия, Москва)

Решение задачи выбора при нечеткой информации о предпочтениях . . . . . 147

Свинин Андрей Кириллович Институт динамики систем и теории управле-ния имени В.М. Матросова СО РАН (Россия, Иркутск)

О некоторых обобщениях сумм степеней натуральных чисел . . . . . . . . . . . . . . 149

Blagoveshchenskaya Ekaterina, Chekmarev Dmitry Emperor Alexander IPetersburg State Transport University (Russia, St. Petersburg), Nizhny Novgorod StateUniversity (Russia, Nizhny Novgorod)

Classification problem in the theory of torsion-free abelian groups . . . . . . . 152

Секция 9. Теория вероятностей. Случайные процессы. Финан-совая математика. Математическая статистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Азарина Светлана Владимировна КубГУ (Россия, Краснодар)Дифференциальные включения с производными в среднем и их приложе-

ния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Асылгареев Артур Салаватович Уфимский государственный авиационный тех-нический университет (Россия, Уфа)О потраекторной устойчивости стохастических дифференциальных урав-

нений относительно многомерного винеровского процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Вальков Алексей Юрьевич, Кузьмин В. Л. СПбПУ (Россия, Санкт-Петербург)

Метод Монте-Карло для моделирования распространения оптического

излучения в биологических материалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Гликлих Юрий Евгеньевич Воронежский государственный университете (Рос-сия, Воронеж)

Условия глобального по времени существования решений стохастиче-

ских дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Иевлев Павел Николаевич Санкт-Петербургский Государственный Универси-тет (Россия, Санкт-Петербург)

Вероятностное представление решения задачи Коши для многомерного

уравнения Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Красий Надежда Павловна Донской государственный технический универси-тет (Россия, Ростов-на-Дону)

О существовании и единственности точки максимума в задаче оптими-

зации квазилинейных моделей с независимыми приоритетами . . . . . . . . . . . . . . 162

Машков Евгений Юрьевич Юго-Западный государственный университет (Рос-сия, Курск)

Об одном методе исследования сингулярного стохастического уравне-

ния леонтьевского типа с импульсными воздействиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Перелевский Святослав Серегеевич НИ ТГУ (Российская Федерация, Томск)Процедура выбора модели для оценивания функции сноса в диффузион-

ных моделях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

183

Платонова Мария Владимировна, Рядовкин Кирилл Сергеечич Санкт-Петербургский государственный университет, ПОМИ РАН (Росиия, г. Санкт-Петербург)Ветвящиеся случайные блуждания на Zd с периодическими источниками

ветвления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Платонова Мария Владимировна, Цыкин Сергей Викторович ПОМИ РАН,Лаборатория им. П.Л. Чебышева, Санкт-Петербургский Государственный Универ-ситет, (Росиия, г. Санкт-Петербург)

Вероятностная аппроксимация решения задачи Коши для уравненияШредингера с оператором дробного дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Смородина Наталия Васильевна Санкт-Петербургское отделение Математи-ческого института им. В.А. Стеклова (Россия, Санкт-Петербург)

Об одной предельной теореме для отражающихся процессов . . . . . . . . . . . . . 172

Makarova Alla MESC AF “N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin Air Force Academy”(Russia, Voronezh)

Stochastic Inclusions Having Decomposable Right-Hand Sides I . . . . . . . . . . . . . 174

Научное издание

Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2018 «XXIX Крымская Осенняя Математическая

Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам» Секции 4 - 9

В авторской редакции

Компьютерная верстка: В.И. Войтицкий

Подписано к печати 07.09.2018 г. Формат бумаги 60х84 /8 Усл. печ. л. 21,39. Заказ 010/0906-1. Тираж 180 экз.

Издательство и типография ООО «Полипринт» г. Симферополь, ул. Карааимская, 9\10

тел./факс +7(3652) 248-178, +7(978)776-56-76 [email protected], www.print2u.ru

djhfr -2018kromsh.info/files/abstracts/abstracts-2018-p2.pdfисследований (проект...

Documents