Lycée Brizeux 2008-2009

PCSI ADevoir Maison no 14

Transition de phases

Problème I Étude d’un congélateurLe but de cette partie est d’étudier un congélateur. Sur la fiche technique (accessible sur les sites

Internet des constructeurs) on peut relever les données suivantes pour un modèle standard :– Volume utile : 230 L– H × L× P : 130× 60 × 60 (en cm)– Consommation électrique : 0, 70 kWh par jour

Modélisation du cycle de fonctionnement de la machine frigorifique

On modélise notre congélateur par une machine frigorifique contenant un fluide frigorigène tetra-fluoroéthane R134a dont le diagramme Pression-Enthalpie massique (P − h) est joint. Le mélangeliquide-vapeur est situé dans la zone centrale sous la courbe de saturation. Sur ce diagramme appa-raissent les courbes isothermes et isentropiques.

Cette machine ditherme qui fonctionne en régime permanent échange de la chaleur avec une sourcechaude à 20°C (atmosphère extérieure) et une source froide à −18°C (intérieur du congélateur). Onnote T la température absolue et θ la température Celsius.

Le schéma général de fonctionnement avec sens de circulation du fluide est défini ci-après :

Le cycle décrit par le fluide présente les caractéristiques suivantes (4 transformations successives) :– la compression de 1 à 2 est adiabatique et réversible,– le passage dans les deux échangeurs (condenseur et évaporateur) est isobare (de 2 à 3 et de 4 à

1),– la vanne est considérée comme un tuyau indéformable et ne permettant pas les échanges de

chaleur.Dans tout le problème, on supposera que l’état du fluide n’est pas modifié dans les tuyauteries deliaison entre deux éléments consécutifs et on négligera les variations d’énergie cinétique.

1. Pour l’une des transformations du cycle et pour une masse unité de fluide, on pose : w letravail massique total échangé avec l’extérieur, q le transfert thermique massique échangée avecl’extérieur et h l’enthalpie massique. Montrer que le premier principe de la thermodynamiquepeut s’écrire : ∆h = w′+ q. Donner l’expression de w′ en fonction de w et des variables pressionP et volume massique v.

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2. La masse unité, choisie comme système thermodynamique, subit l’une des transformations ducycle de P1, v1 à P2, et v2, les indices 1 et 2 se rapportant aux conditions d’entrée et de sortiede l’étape. Exprimer la différence w′12 −w12 en fonction des pressions et volumes massiques. Enfaisant un bilan d’énergie interne, en régime permanent, en supposant l’écoulement lent, donnerla signification physique de w′1→2 ? Retrouver la caractéristique d’une détente de Joule Kelvin.

3. Lorsque la masse unité de fluide décrit un cycle, quelle est la relation entre w′cycle et wcycle ?

4. Montrer que la détente est isenthalpique dans la vanne de 3 à 4.

5. Quelle propriété remarquable lie les isothermes et les isobares dans la zone mélange liquide-vapeur ?

6. On donne les indications suivantes :– La température du fluide lors de l’évaporation dans l’évaporateur est −30°C.– La pression de fin de compression en 2 est 8 bar.– Le point 3 est du liquide saturé.– La quantité de chaleur échangée dans l’évaporateur avec l’extérieur permet une évaporation

complète du fluide venant de 4 et conduit la vapeur de façon isobare jusqu’à 1, état saturé.Placer les quatre points du cycle 1, 2, 3, 4 sur le diagramme joint, y représenter le cycle (dia-gramme à rendre avec la copie) et déterminer, par lecture et interpolation linéaire sur ce mêmediagramme, les valeurs de P , θ, h, s en ces différents points. Regrouper les résultats dans untableau.

7. Si le compresseur était adiabatique mais non réversible, comment se situerait sa température desortie sous la même pression P2 par rapport à la température θ2 ?

8. Comment peut-on trouver, de deux façons différentes, sur le diagramme la valeur de l’enthalpiemassique de vaporisation (chaleur latente massique) l du fluide à une température T donnée ?Application numérique : Pour une pression de 3 bar, quelles sont les valeurs de l, et de θ ?

9. Peut-on trouver la valeur de l au point critique représenté sur le diagramme ?

10. Si au lieu d’évaporer toute la masse de fluide on ne fait changer d’état qu’une fraction massiquex (x s’appelle le titre en vapeur) donnée, comment peut-on trouver géométriquement le pointcorrespondant au mélange liquide vapeur ainsi obtenu et réciproquement ?

11. Calculer le titre x en vapeur aux points 3, 4 et 1. Peut-on définir un titre y en liquide ?

12. En utilisant le tableau de résultats, calculer les transferts thermiques massique qc et qf échangéespar le fluide avec l’extérieur.

13. Calculer de même le travail absorbé lors de la compression de 1 à 2 : w′1→2.

14. Pourquoi définit-on l’efficacité de la machine frigorifique étudiée par η = qf

w′1→2? La calculer

numériquement.

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Exercice 1 CalorimétrieOn dispose d’un calorimètre, parfaitement isolé, rempli d’un mélange eau-glace en équilibre ther-

mique (à Tf = 0°C). Le calorimètre comporte un thermomètre, un agitateur et une résistance chauf-fante immergés dans le mélange eau-glace. La capacité calorifique totale du calorimètre avec sesaccessoires est µ.J ; ici µ est sa valeur en eau et J la capacité thermique massique de l’eau. A l’instantinitial t0, la masse de glace est mg et la masse totale (eau + glace) estM . La résistance chauffante estalors alimentée avec une puissance constante P . Le thermomètre indique une température constantejusqu’à l’instant t1 qui correspond à la fin de la fusion de la glace. Ensuite la température augmentantjusqu’à la température d’ébullition de l’eau (Teb = 100°C) qui se produit à l’instant t2.

1. Soit LF l’enthalpie massique (chaleur latente massique) de fusion de la glace. On admettra quepour l’eau, les capacités thermiques massiques, entre 0 et 100°C, restent constantes : Cp = CV =J . En déduire LF en fonction de J , M , µ , mg et des instants t0, t1, t2, Tf et Teb.

2. Une fois la température d’ébullition atteinte (à l’instant t2), la puissance de chauffage restantconstante (toujours égale à P ), l’ensemble du dispositif ayant été placé sur une balance, onsuit l’évolution de la masse du calorimètre avec son contenu et ses accessoires jusqu’à ce que lamasse totale soit réduite de M

2 ; on appelle t3 l’instant correspondant à cette perte de masse.Soit LV l’enthalpie massique (chaleur latente massique) de vaporisation de l’eau, exprimer LV

en fonction de J , M , µ, t1, t2, t3, Tf et Teb.

3. Application numérique : Mmg

= 10 ; mg = 100 g ; µ = 200 g ; t1 − t0 = 2 minutes ; t2 − t1 =30 minutes ; t3 − t2 = 67.5 minutes. On donne J = 4180 J.kg−1.K−1. Donner les valeurs deLF et LV , et la valeur de P .

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