第5章 阵列信号处理

信号检测与估计

本章内容

5.1 引言

5.2 阵列信号模型

5.3 波束形成

5.4 自适应数字波束形成器

5.5 不相关源测向

5.6 相干信号源测向

5.7 阵列校准

5.1 引言

• 阵列信号处理，就是将多个传感器安置在空间不同的

位置，组成阵列对空间信号进行接收、发射并处理。

• 传感器类型

天线

麦克风

水听器

……

Audio Card

Microphone Array

PC以天线阵列系统为例

波达方向（DOA）估计 波束形成

ICA

Speaker 1 Speaker 3

Speaker 1

Speaker 2

Speaker 3

Speaker 2

盲信号分离目标跟踪

• 阵列信号处理两大主要研究方向：

超分辨测向（空间谱估计）

数字波束形成（自适应空域滤波）

• 与传统的单个传感器相比，传感器阵列具有灵活的波

束控制、高的信号增益、极强的干扰抑制能力以及高

的空间分辨能力等优点。

5.2.1 信号

• 阵列中的传感器称为阵元，选择作为参考点的某一传

感器称为参考阵元。

• 多个传感器在空间的位置可以排列在一条直线上，也

可以排列在二维平面或三维体面上；可以是均匀排列

的，也可以是非均匀排列的。

• 辐射或反射电磁波的空间目标称为目标源，简称源。

如果源离阵列较近，称为近场源；如果远离阵列，称

为远场源。

5.2 阵列信号模型

• 对于参考阵元，接收的相位调制载波信号表示为：

其中 是接收信号的瞬时功率， 是接收信号的载频

（又称中心频率）， 是调制相位， 是随机相位。

表示成复信号形式为：

0cosru t P t t

P

P0

t

0 0j t t j t

u t Pe u t e

ω ω

• 定义信号 和 之间的相关系数 为：

不相关：

相 关：

相 干：

iu t ju t

*

22

i j

ij

i j

E u t u t

E u t E u t

ij

0ij

0 1ij

1ij

5.2.2 阵列信号模型

d

第二阵元

阵法线

sind

v t

v t

u t

u t

参考阵元

平面波前

远场源

阵元接收远场源的时延关系

由 方向入射的信号源到达第二阵元比到达参考阵元

有延迟，延迟时间（简称时延）为

对于窄带信号

为窄带信号的中心波长。

sind

c

0

0

sin2

sin2

dj

dj

v t u t e

v t u t e

M元均匀线阵，K个来自不同方向的窄带远场信号源，

信号与噪声是零均值广义平稳随机过程，且互不相关，

各阵元噪声之间互不相关且具有相同功率。

以右侧第一阵元为参考阵元，则第i个阵元接收信号为

0

1 sin2

1

, 1,2, ,

ki dK j

i k i

k

x t s t e n t i M

θ

假设条件：

矢量和矩阵形式的输出

阵列输出矢量

信号源矢量

噪声矢量

阵列方向矩阵

0 0

1 2

12 sin 2 sin

, , ,

1, , ,k k

K

TM dd

j j

k e e

A a a a

a

θ θ θ

t t t x As n

1 2, , ,T

Mt x t x t x t x

1 2, , ,T

Kt s t s t s t s

1 2, , ,T

Mt n t n t n t n

5.2.3 空间采样与时间采样

• 时间采样(奈奎斯特采样定理)

均匀采样的采样间隔为 ，其中 为采样频

率。当 大于等于二倍的信号最高频率时，信号可以

被无失真地恢复。

1s

sf

sf

sf

• 空间采样

在均匀线阵中，利用不同空间位置的传感器对同一

时刻的信号分别进行接收，这样就得到了空间采样。

由奈奎斯特采样定理可知：

由阵元间距 引入的时延（时间采样间隔） 必须

满足 ，推得：0 0

12 2

sin

cf f

d

0

0

2 1

2

c cd

d

d

目的：

1. 接收特定方向上的感兴趣的信号；

2. 抑制来自于其它方向上的信号（干扰）和传感

器内部噪声。

方法：

通过对传感器阵列输出进行加权处理

5.3 波束形成

• 模型假设： 元全向均匀线阵, 方向入射信号

• th元的参数：相对时延

权值

• 运算：所有阵元加权求和（忽略噪声时），输出有

这种对空间阵元信号的加权处理称为波束形成。

• 空域内的傅立叶变换

5.3.1 阵列方向图

M ds t

0

1 2sin 1m

m dm

m

mw

1

1 1

M Mj m

m m d m

m m

y t w x t s t w e

当 时，进一步有

取绝对值并归一化后，有

即为均匀线阵的方向图。

1 1,2, ,mw m M

1

2

sin2

sin2

Mj

d

M

y t Ms t e

M

sin

2

sin2

M

G

M

G

016, 0.5M d

-90 -60 -30 0 30 60 90-60

-50

-40

-30

-20

-10

016阵元静态方向图

方位角（度）

增益

(dB

)

主瓣

第一旁瓣

第二旁瓣

零陷

• 元均匀线阵方向图的主要性能：

（1）主瓣波束及指向

（2）旁瓣

（3）零点

（4）零点波束宽度

（5）半功率点波束宽度

（6）栅瓣

M

016, 1.25M d

-90 -60 -30 0 30 60 90-60

-50

-40

-30

-20

-10

016阵元静态方向图

方位角（度）

增益

(dB

)

主瓣栅瓣栅瓣

• 阵元加权求和可以写成矢量形式 ，

其中 是加权矢量，则阵列方向图可

以表示为

其中 是权矢量，它确定了主瓣波

束指向， 是方向扫描矢量。产生栅瓣的原因：空

间采样率过低， ，频谱发生重叠。

H

dy t s t w a

1 2, , ,T

Mw w ww

0

H HH

GM M M

a w a aw a

0

1

2d

1,1, ,1 0T

w a

a

• 如果要使阵列主瓣方向指向 ，取

， ，

则在 方向上信号得到同向相加。

• 此时阵元加权求和为

5.3.2 相控阵方向图

d

( 1)dj m

mw e

0

sin2 d

d

d

d

1

1 1 2

1

sin2

1sin

2

dd

M dM jj m j m

d d

md

M

y t s t e e Ms t e

M

阵列的方向图为

sin2

1sin

2

d

d

M

G

M

016, 0.5 , 30dM d

-90 -60 -30 0 30 60 90-60

-50

-40

-30

-20

-10

016阵元静态方向图

方位角（度）

增益

(dB

)

• 写出矢量形式

其中 是加权矢量，确定了主瓣波束指向，

是方向扫描矢量。

• 两种加权形式：相控阵，数字波束形成

H HH

d

GM M M

a w a aw a

dw a

a

• 切比雪夫权值是一种能兼顾主瓣波束宽度和旁瓣高度

的数字波束形成器的最优权值。它的特点是：在给定的

旁瓣高度下能提供最窄的主瓣波束，在给定的主瓣波束

宽度下能提供最低的旁瓣高度。

• n 阶切比雪夫多项式

特征：

（1）当 时， 并具有振动的特性。1x

5.3.3 切比雪夫加权方向图

1

1

1

cos cos 1

ch ch 1

1 ch ch 1

n

n

n x x

T x n x x

n x x

当

当

当

1nT x

（2）多项式 的根位于 之间，并关于原点对

称，根的个数与多项式的阶数相同。

（3）当 时， 都是无限增加的。

• 阵元间距为d 的M 元均匀线阵对称激励方向图

其中 ， 为主瓣指向控制参

数， 为第m阵元激励电流的幅度。

1

0

1

12 cos , 2

2

2 cos( ), 2 1

n

m

m

n

m

m

I m M n

f

I I m M n

nT x 1

1x nT x

0 0 0sin , 2d

mI

令

其中， 由主瓣与旁瓣比R（简称主旁瓣比)确定。

由切比雪夫多项式 的零点

0

0

1

11ch ch

1

MT R

RM

x

x

0

1

0

0

cos , 12

cos2

MT

x x x

f x

0x

2 1cos 1,2, , 1

2 1m

mx m M

M

1MT x

得切比雪夫阵列方向图的零点

当阵元数为偶数 ，可得

1

0

2 112cos cos 1,2, , 1

2 1m

mm M

x M

1

1

2 21

1

1

1cos

2

1cos

2

1cos

2

n

n

n

n

I

I nI

I

n

A nI

2M n

任意选定

其中

当阵元数为奇数 ，可得

1

2 1

0

1

11

2

1n

I

II

I

B

1 1 1

2 2 2

1 1 1

cos 2 cos 3 2 cos 2 3 2

cos 2 cos 3 2 cos 2 3 2

cos 2 cos 3 2 cos 2 3 2n n n

n

n

n

A

任意选定0I

2 1M n

其中

1 1 1

2 2 2

cos cos 2 cos

cos cos 2 cos

cos cos 2 cosn n n

n

n

n

B

016, 0.5 , 30 , 40dM d R dB

016, 0.5 , 90 , 40dM d R dB

• 考虑 元线阵，各阵元与参考阵元的距离分别为

，其中 ，各阵元的噪声互不相关且功率

为 ，则第 个阵元的接收信号

其输入信噪比为

5.3.4 数字波束形成器的性能优势

M

1, , Md d1 0d

2

n m

0

sin2 md

j

m mx t s t e n t

2

22in

nm

E s t PSNR

E n t

各阵元用 加权求和，数字波束形成器的

输出为

则输出信噪比为

• 可见采用数字波束形成器对信号进行接收处理能明显

提高信噪比，提高的幅度与阵元数成正比。

0

sin2 md

j

mw e

0

sin2

1

mdM j

m M

m

y t Ms t n t e s t n t

2

2

M

out in

E s tSNR M SNR

E n t

5.4 自适应数字波束形成器

• 为了在最大的程度上自动滤除干扰，数字波束形成器

方向图的零点必须始终对准干扰方向，具有这种功能

的数字波束形成器被称为自适应数字波束形成器。

*

Mw*

1Mw *

1w

自适应信号处理器

y t

tx

M 1M 1阵元

Mx t 1Mx t 1x t

阵元阵元

• 假设期望信号 来自于方向 ，空间还有 个来自

于不同方向的窄带远场干扰源。依据阵列信号模型，

阵列矢量可以表示为

其中 为期望信号方向矢量， 为干扰方向矩阵，

干扰信号矢量为 。

• 数字波束形成器的输出表示为

其中 。目的是在给定的信号和干扰

环境中，依据最优准则自适应地确定最优权矢量。

ds tdθ K

d dt s t t t x a Ai n

1 2, , ,T

Kt i t i t i t i

da A

1

MH

m m

m

y t w x t t

w x

1 2, , ,T

Mw w ww

，

1、最佳权矢量

• 信干噪比定义为： ，其中 、 和 分

别是信号、干扰和噪声的阵列输出功率。

• 最大输出信干噪比准则就是使自适应数字波束形成器

输出的信干噪比达到最大。

• 在时刻t ，波束器输出中的信号及其平均功率分别为

其中 为输入信号的功率。

5.4.1 最大输出信干噪比准则

s

i n

PSINR

P P

sP

iP nP

2 H H H

s d d s s d dy t s t P w a w a a w

22

s dE s t

• 波束器输出中的干扰加噪声及其平均功率分别为

其中 分别为干扰﹑噪声协方差矩阵。

波束器输出的信干噪比为

2 H H H

i n i n i n i ny t t t P E y w Ai w n w R w

i n i n i n R R R R R， ，

2 H H

s d d

out H

i n

SINR

w a a w

w R w

• 经过推导，取得最大值的最优权矢量

1

1 1H

opt d i n d

w L L a R a

2、阵列方向图

(1) 单干扰源情况

假定只有一个来自于方向的干扰 ，方向图函数为i

2 2

H H

d i iH

d i

n n i

G PM MP

a a a aa a

• 当 并且 时，上式近似为：

若 不在主瓣波束内，上式取值最大。

d 2

i nP

2

2

H

d i

d

n

G MM M

a a

i

• 当 并且 时

• 当 落在主瓣波束内时， 不再最大，主瓣分裂。

(2) 多干扰源情况

阵列方向图为

当

i 2

i nP

20H H

i d i d i

n

GM

a a a a

i dG

21 1

1 1K MH H H

d i i i i

i i Ki n

GM

a e e e e a

2

i nP 0, 1,2, ,iG i K

例：16阵元均匀线阵，阵元间距半波长，快拍数1000，

信号 ，功率0dB，干扰 ，功率均为20dB。40 ,6020

-90 -60 -40 -30 0 20 30 60 90-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

方位角（度）

增益

(dB

)

例：16阵元均匀线阵，阵元间距半波长，快拍数1000，

信号 ，功率0dB，干扰 ，功率分别为

30dB和20dB。

40 ,400

-90 -60 -40 -30 0 30 40 60 90-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

方位角（度）

增益

(dB

)

• 若 表示期望信号，那么期望信号与波束器输出信

号差为 ，均方误差为

式中

• 对 求导，并令其为零，可得最优权矢量

• 进一步

5.4.2 最小均方误差准则

H

de t s t t w x

ds t

2 2 H H H

d xd xd xE e t E s t w r r w w R w

, H

xd d xE t s t E t t r x R x x

w

1

MMSE x xd

w R r

1opt MMSEw w

• 保证主瓣方向信号被正常接收的同时最大程度地抑制

其它方向的干扰以及噪声，即主瓣方向的增益不变的

条件下，使阵列输出平均功率极小化，即

• 采用拉格朗日常数法求解上式，得最优权矢量

• 波束器输出平均功率

5.4.3 极大似然比准则

min . . 1H H

x ds t w

w R w w a

1

21

x d

ML MMSEH

d x d

R aw w

a R a

θ

θ θ

1

1H

d x d

P

a R aθ θ

例：8阵元均匀线阵，阵元间距半波长，快拍数100，两个

5dB的信号源分别由 入射到阵列，噪声为高斯白噪

声。两种波束器方法的空间谱图如下。

-90 -60 -30 0 30 60 90-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0增益（

dB）

方 位角（度）

CBF

Capon

10 ,22

• 在保证主瓣方向的增益不变的条件下，使阵列输出噪

声加干扰的平均功率极小化，即

• 采用拉格朗日常数法求解上式，得最优权矢量

5.4.4 最小噪声方差准则

min . . 1H H

i n ds t w

w R w w a

1

3MV i n d MMSE

w R a wθ

• 四种 都由稳态维纳解给出，只是存在

系数差异，并不影响方向图形状，因此四种权矢量是等

价的。

• 在相同的阵列和信号环境中选择上述哪一种准则进行波

束形成不是最重要的，而选择什么样的自适应算法来快

速获得权矢量却十分重要。

5.4.5 各种最优准则的权矢量的关系

, , ,opt LMS ML MVw w w w

5.5 不相关源的测向

与波束形成不同，测向是通过对阵列接收信号进

行统计处理以实现对空间信号的方向参数的估计。

测向又称波达方向（direction of arrival，DOA）估

计，或空间谱估计。

• 基于均匀线阵模型，介绍波束形成器、Capon最小功率

估计器、极大似然估计、MUSIC、ESPRIT等测向方法。

前提假设：

(1) 阵元数M大于信号源数K，观测样本数N大于阵元数M；

(2) 各阵元噪声是独立同分布的高斯噪声，噪声功率 ；

(3) 窄带远场信号且信号的来波方向均不同；

(4) 信号源互不相关，即信号协方差矩阵 是非奇异的。

2

n

sR

5.5.1 波束形成器测向方法

• 对于阵列输出矢量 ，权矢量取为

则波束器输出的平均功率为

对 进行扫描，由 形成空间谱图，其极大值所对

应的角度即为信号入射方向。

tx

0 0

2 1 sin2 sin1

1, , ,

TM dd

j j

B e eM

w

H H

B B B x BP E t w x w R wθ θ θ

BP θθ

例：8阵元均匀线阵，阵元间距半波长，快拍数100，三个

5dB的信号源分别由 入射到阵列，噪声为高斯白噪

声。波束器方法的空间谱图如下。

20 ,30 ,60

5.5.2 Capon最小功率估计器测向方法

• 利用极大似然波束器的原理，在保持期望方向上的信

号增益不变时，使噪声和来自其它方向的信号(干扰)贡

献的功率最小。即：

可得最优权矢量为

波束器输出功率为

对 进行扫描，由 形成空间谱图，其极大值所

对应的角度即为信号入射方向。

min . . 1H H

x s t w

w R w w a

1

1

x

opt H

x

R aw =

a R a

1

1C H

x

P

a R a

θθ θ

θ CP θ

例：8阵元均匀线阵，阵元间距半波长，快拍数100，两个

5dB的信号源分别由 入射到阵列，噪声为高斯白噪

声。两种波束器方法的空间谱图如下。

-90 -60 -30 0 30 60 90-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0增益（

dB）

方 位角（度）

CBF

Capon

10 ,22

5.5.3 最大似然估计方法

• 假定 是均值为 协方差矩阵为 的高斯随机过程

待估计参数：

去除常数项后对数似然函数为：

tx 0xR

2

1 2, , , , , H

K n s E t t θ R s s

1

1

11 , , exp

det

NH

xMi x

f N i i

x x x R xR

2 1 ˆ, , ln detML n s x x xL N Ntr θ R R R R

• 首先求对 的最大似然估计，由于

• 可得：

2

1 1 1, ,

ˆH HML n s

j x i j x x x i

ij

LN

r

θ Ra R a a R R R a

1

ln det ln detT

Hx x xj x i

ij x ij

trr r

R R Ra R a

R

2 2

1 1

K KHH

x s n M ij i j n M

i j

r

R AR A I a a I

sR

1

1 1

ˆˆx x H

j x x x i

ij

tr

r

R Ra R R R a

• 进一步可得：

• 由于：

• 最终求得 的最大似然估计为：

• 将 带入

1

1 2H

x s n K

R A A R A A I

1 1ˆH

x x x x

A R R R R A 0

sR

1 1

2 2ˆ ˆ ˆH H H H

s x n M x n M

R A A A R I A A A A R I A

2, ,ML n sL θ R

2 2

2ˆ ˆ, , ln lnML n s n x A x

n

NL N M K N tr NK

θ R A R A P R

ˆsR

• 对 求导，得到最大似然估计为：

• 最后求得 的最大似然估计为：

2

n

2 1 ˆˆn A xtr

M K

P R

2

2

1ˆ ˆ ˆˆmin ln detˆ

A x A n M A A x

n

tr

θ

θ P R P I P P R

θ

5.5.4 多重信号分类方法

• 基本思想是将阵列输出的协方差矩阵进行特征分解，

根据特征值的大小将特征空间划分为信号子空间和噪

声子空间，然后利用这两个子空间的正交性来估计信

号的方向参数。

• 这一方法开创了超分辨测向研究的新时代。

• 基于假设， 是秩为K的厄米特半正定矩阵，其 M

个特征值按大小排列满足

对应的特征矢量分别为 ，对于所有

，由特征分解性质可得

此时

H

sAR A

2

2

1,2, ,

1, 2, ,

k n

k

n

k K

k K K M

1 2 1, , , , , ,K K Me e e e e

i K

0 H

s i i K AR A e

0, 1,2, , , 1, 2, ,H

k i k K i K K M a e

从几何空间上来解释， K个大特征值所对应的特征矢量

张成信号子空间，由剩余的 M-K 相等的小特征值所对应

的特征矢量张成噪声子空间。这两个子空间是正交的。

• 建立如下函数：

当对 进行扫描时，其 K 个峰值将与信号方向相对应。

2

1

1MUSIC M

H

i

i K

P

a e

-90 -60 -30 0 30 60 90-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0增益（

dB）

方 位角（度）

Capon

MUSIC

例：8阵元均匀线阵，阵元间距半波长，快拍数100，两个

10dB的信号源分别由 入射到阵列，噪声为高斯白

噪声。两种测向方法的空间谱图如下。

10 ,16

5.5.5 旋转不变量信号参数估计方法

• 前提是假设存在阵型完全相同的两个子阵，两个阵列之

间有不为零的平移量且是己知的。由于两个子阵的结构

完全相同，对于同一个信号而言，两个子阵的输出矢量

存在一个相位差，对于均匀线阵分别为

其中

据此可计算信号方向参数。

1 1 2 2, t t t t t t x As n x ABs n

sin

2

1 2, , , , , 1,2, ,kd

j

K kdiag e k K

B

• 令 ，其中

得

当 已知时，减去 并进行特征分解可得

由非零特征值对应特征矢量所张成的信号子空间和由

张成的信号子空间相同，有 。

1

2

tt t t

t

xx = As + n

x

1

2

,t

tt

nAA n

nAB

H H

x s nE t t R x x AR A R

nR nR

1

KH

x n k k k

k

R R R e e

A

s E AT

将 分成上下结构的2个相等维数的子矩阵：

• 定义一个新的矩阵 ，通过 构造矩阵

。对 进行特征分解我们可以得到矩阵 的

噪声子空间

进一步有

通过特征分解由特征值可以计算信号方向：

1

2

s

s

s

E ATE

E ABT

1 2,s sU E E

HF U U

U

FF

1

2

N

N

N

FF

F

1 1

1 2N N

F F T BT

arcsin arg , 1,2, , 2

k kv k Kd

sE

例：8阵元均匀线阵，阵元间距半波长，快拍数100，两个

10dB的信号源分别由 入射到阵列，噪声为高斯白

噪声。结果以极坐标表示如下。

10 ,32

0.5

1

1.5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

5.6 相干源的测向

• 在实际电磁环境中，受多径传输和人为干扰等因素影

响，阵列会接收到来自不同方向上的相干信号，此时

信号源的协方差矩阵 将不再是满秩的。将无法正确

划分信号子空间和噪声子空间。

• 解决的核心问题是使信号协方差矩阵的秩有效恢复到

信号源的个数，以保证信号子空间和噪声子空间的正

确划分。常用的方法是在进行测向前先进行一些预处

理来提升信号协方差矩阵的秩，再用子空间方法进行

测向。

sR

5.6.1 相干信号源模型

• 考虑M元均匀线阵，设有K个来自 的相干信号

入射到该阵列。

其中 表示信号源经过第k条路径的衰落信号，衰落

系数为 。信号源的功率为 。假设信

号是零均值广义平稳随机过程，噪声为高斯白过程，信

号与噪声之间互不相关。

1 2, , , K

1 2, , , Ks t s t s t

1 , 1, ,k ks t s t k K

k

ks t

22

1 1E s t

• 阵列信号模型：

其中： 是相干信号的方向矩阵，

• 阵列输出协方差矩阵为：

• 特征分解，得到特征值为

可见信号间的相干性导致了信号子空间的维数小于信号

源数。

t t t x As n

A 1 1( ) , , ,T

Kt s t s α α

2 2 2

1

H H H

x s n M n M R AR A I Aαα A I

2

1 2 M n

5.6.2 空间平滑方法

• 对于M 阵元的均匀线阵，首先将其划分为P个相互交

迭的子阵，每个子阵所含的阵元数为m。以阵元

构成第p 个子阵，如下图所示。 , 1, , 1p p m p

1 2 m 1m M1M

1( )f

P tx

1 ( )f tx

( )f

P tx

2 ( )f tx

以 表示第p个前向子阵的输出矢量， 。有：

此时

• 对所有前向子阵的协方差矩阵取平均进行前向空间平滑：

其中

将 代入

( )f

p tx 1,2, ,p P

1

1 1 1, , , ( ) ( )T

f p

p p p p m pt x t x t x t t t

x A B s n

2

1 1

1

1 Pf f f H

p s n m

pP

R R A R A I

1 1

1

1 PH

f p p

s s

pP

R B R B

1 1 2

1 1

HHf f f p p H

p p p s n mE t t R x x A B R B A I

H

s R αα

2 1 2 11 1, , , , , , , ,

Hf P P H

s f fP P

R α Bα B α B α α Bα B α B α C C

当 ，

即

此时 具有与不相关条件下的阵列输出协方差矩阵完

全相同的形式，可用子空间类方法测向，要求 。

1P M m K rank KV

fR

2 1

1 1 11

2 12 2 2 2

2 1

10 0

0 0 1

0 0 1

P

P

f

PK K K K

v v v

v v vdiag

v v v

C α V

f

srank KR

2M K

• 若重新按下图划分子阵则形成后向子阵

1 ( )b tx

2 ( )b tx

1( )b

P tx

( )b

P tx

1 2 M m 1M m M1M

1 2

1 1

1

, , ,

1,2, ,

Tb

p M p M p M m p

p M

p

t x t x t x t

t t p P

x

A B B s n

该后向子阵输出的协方差矩阵为

• 后向空间平滑后的协方差矩阵为

将 代入

1 1 2

1 1

1 1

HHb b b p p H

p p p s n m

HM M

s s

E t t

R x x A B R B A I

R B R B

2

1 1

1

1 1

1

1

1

Pb b b H

p s n m

p

PH

b p p

s s

p

P

P

R R A R A I

R B R B

1 *,MH

s

R Bδαα α

2 1 2 11 1, , , , , , , ,

Hb P P H

s b bP P

R δ Bδ B δ B δ δ Bδ B δ B δ C C

• 进一步定义前-后向空间平滑后的协方差矩阵为：

2 1

1 1 11

2 12 2 2 2

2 1

10 0

0 0 1

0 0 1

P

P

b

PK K K K

v v v

v v vdiag

v v v

C δ V

2

1 1

2

1 1

1

2 2

1

2

f bH H H

f f b b n m

H H

n m

P

P

R RR A C C + C C A I

= A CC A I

有：

• 可以证明当 并且满足一个较为宽松的限制条件时，

此时

要求

2P K

2 1 2 1, , , , , , , ,

, ,

P P

diag diag diag diag

,C α Bα B α B α δ Bδ B δ B δ

α V δ V α V ε V

1 1

H Hrank rank K A CC A C

3 2M K

-90 -60 -30 0 30 60 90-120

-90

-60

-30

0

30

60

方位角（度）

增益

(dB

)

差分 -不相关源

前后向空间平滑

差分 -相干源

特征矢量法

例：8阵元均匀线阵，阵元间距半波长，快拍数20，10dB

的信号源分别由 和三条路径 入射到阵列，

噪声为高斯白噪声。测向结果如图所示。

40

0 ,30 ,50

0 ,30 ,50

蒙特卡罗(Monte Carlo) 实验方法

• 设置实验条件，确定衡量估计质量的准则（如均方误

差）；

• 在实验条件保持不变的条件下产生N组相互独立的实验数

据；

• 对每一组数据分别进行算法流程处理，并将实验结果进

行记录；

• 根据选定的衡量估计质量的准则，对同一实验条件下的N

次实验结果取统计平均，该平均值可以用来衡量算法性

能。

• 阵列误差主要包括：

阵元幅度和相位误差

阵元间的互耦

阵元的位置误差

5.7 阵列校准

幅度误差对测向性能的影响

相位误差对测向性能的影响

互耦误差对测向性能的影响

阵列综合误差对波束器性能的影响

存在阵列误差下的信号模型

其中：C为互耦引入的误差矩阵

为幅相误

差引入的矩阵

为阵列的位置矢量

此时的阵列方向矩阵为：

1 2[ , , , ]T

Nx x xψ

( ) ( , ) ( ) ( )E t t t x CΓA θ ψ s n

2 2[1, exp( ), , exp( )]N Ndiag g j g j Γ

( , )E A CΓA θ ψ

• 此时MUSIC算法中的谱估计式应修正为：

• 校准通常分为有源校准和无源校准

2

1

( , )E

H

NE

Q

E CΓα ψ

利用性质：对于任意的M×1的复矢量a 和任意M×M带限复

对称Toeplitz阵C，有

其中：

则：

有源幅相误差校准

0( ) 0H

NE E Γα

0( )SE E Cα

Cα Tc

有源互耦误差校准

1 1

1 2

1 2,

0 0

h l h l

hl hl

h l M h l

otherwise otherwise

α αΤ Τ

1 1

SE c Τ E

1 2 T T T

无源幅相互耦误差校准

2

ˆ , ,1

ˆ ˆ ˆ ˆ, , arg min ( )K

H

NE k

k

θ C Γ

θ C Γ E CΓα