固体電子工学

第6回 波の回析と逆格子

6-1

名古屋大学工学部電気電子・情報工学科 中里 和郎、新津 葵一

Fourier 変換

( ) ( )f x L f x

周期的な関数

f (x) は Fourier 変換できる

2

( )n

i xL

n

n

f x e f

３次元の場合

2 2 2

( , , ) x y zh k l

i x y zL L L

hkl

h k l

f x y z e f

( , , ) ( , , )xf x L y z f x y z

cos sinie i

1i

2 2 2, ,

x y z

k h k lL L L

x y zi k x k y k zik re e

( , , ) ( , , )yf x y L z f x y z

( , , ) ( , , )zf x y z L f x y z

kx

ky

kz

とすると

h, k, l : 整数

6-2

結晶の逆格子

n1, n2, n3 : 整数

逆格子点

格子点

h1, h2, h3 : 整数

1

0 ij

i j

i j

6-3

従って

結晶の逆格子

単位胞の体積

6-4

3次元の場合

ベクトル解析の復習

で与えられる。

2. 次の関係が成り立つ

1. 𝑎 1, 𝑎 2, 𝑎 3,を稜とする6面体の体積は

逆格子点

6-5

格子 逆格子

２次元格子の例 6-6

格子 逆格子

面心 体心

体心 面心

単純 単純

３次元格子

6-7

関数の例： 結晶中の基底状態の 電子密度、電荷密度、等

逆格子による Fourier 変換 6-8

ここに dhkl は (h k l) 面の最小間隔である。

1a

2a

1a h

3a

2a k

3a l

2 1a k a h

3 1a l a h

(h k l) 面に垂直なベクトル 証明

原点から (h k l) 面までの距離

hkld

6-9 格子面と逆格子の関係

格子 逆格子

２次元格子の例 6-10

格子面 ミラー指数(23)

逆格子点(23)

d

G

格子 逆格子

6-11

対応

対応

原点から逆格子点を結ぶベクトルを考える。平行なベクトルの内、最も長さの短い逆格子点が格子面に対応する

格子面を与えるには h, k, l は互いに素でなければならない。（ミラー指数の定義と一致）

格子面ではない

ブリルアン・ゾーン

第1ブリルアン・ゾーン 原点を含む最小の領域 逆格子空間でのウィグナー・

ザイツ・セル

第２ブリルアン・ゾーン 第1ブリルアン・ゾーンに辺で

接し原点に次に近い領域を集めたもの

原点と逆格子点の垂直2等分面で囲まれた多面体で逆格子空間を分割

第２ブリルアン・ゾーンの配置を変えると、第１ブリルアン・ゾーンと同じ形になる

6-12

面心立方格子 fcc

G

L

X U

X

K W

G

P

N H

体心立方格子 bcc

G

A H

K

M

六方格子 hex

X

D

L

S

D L

S

D

S

L 記号：対称性の高い点

表面上の点：ローマ字

内部の点：ギリシャ文字

いずれも大文字

6-13

回析実験

未知の構造の決定や構造パラメータの正確な測定 回析過程が固体の原子構造の周期的性質に最も敏感

線源 試料

検出器

線源 ： X線 電子線 中性子線 原子線

線源と試料の間の相互作用 弾性的 elastic エネルギー交換を伴わない 非弾性的 inelastic エネルギー交換を伴う

6-14

構造解析の方法

測定線源 ： X線、電子線、中性子線、原子線

線源の波長 l ： 分解能を決める

波長 l とエネルギー E の関係

h

pl ド・ブロイ(de Braglie) の関係 h : プランク定数、 p：運動量

質量を持つ粒子（電子線、中性子線、原子線） 2

2

pE

m

2

h

mEl 電子 m = 9.1x10

-31 kg

中性子 mn = 1.7x10-27 kg

a線(He原子) m = 4mn

光(質量=0)

E pchc

El c : 光速

l = 1Å

電子 150 eV 中性子 0.082 eV a線 0.02 eV 光 12000 eV

電子 10 eV ~ 1 keV 固体表面の構造(10~50 Å)

中性子

軽い原子

10 meV ~ 1 eV 固体表面の構造(10~50 Å)

異なる原子番号の原子の区別

光 1 keV ~ 100 keV 固体内部構造 (~数mm)

6-15

X 線

周波数

波長 c

fl 光速 c = 3x108 m/s

エネルギー E hf

l [m]

f

プランク定数 h = 6.6x10-34 Js

1Å 1n 10n 100n 1m 10m 100m 1m 1cm 10cm 1m

300M 3G 30G 300G 3T

可視光

赤外 紫外 X線

100 1k 10k 1.7 3

f [Hz]

E [eV]

400n 700n

ソフトX線 ハードX線

電波 ﾃﾗﾍﾙﾂ波

30T

400500600700

紫外赤外

446578l (nm)3.12.82.52.152.061.77E (eV)

6-16

電子 anode

銅(Cu)あるいはモリブデン(Mo)

X線

X線管

0.25 1.5 波長 [Å]

強度 Kb

Ka

制動放射 スペクトル

特性スペクトル線

K

L

M

真空

Ka Kb

X 線源 6-17

回析の運動学的理論

Q

B

線源

試料

検出器

R

RP

r

試料の中心

, R R ：試料に比べてはるかに大きい

点Pにおける入射波の振幅

0 00 ik R r i tp

AA e

R

点Pで散乱した波の点Bにおける振幅

ik R rPBA

A dr r eR r

0 00 i k R k R t iK rBA

A e dr r eRR

Q

B

k0k

K0K k k

検出器での測定量 = 波の強度

2

2 iK rBI A dr r e

2

k k

l

6-18

2

KI iK rK dr r e

電荷密度 ：原子の周りに集中 r

nr r r ra

格子点 原子位置

nr

ra

r

r

niK r iK r

KKn

e e faa

a

iK rKf dr r ea

原子aの周りでの積分

2 22

ni K r i K r

K Kn

e e faa

a

22 2

31 231 2

1 2 3

sinsin sin22 2

1 1 1sin sin sin

2 2 2

NN NK aK a K a

K a K a K a

0

100

200

300

400

0 5 10 15

K a

2

sin2

1sin

2

NK a

K a

Laue関数 K G （逆格子点）

N=20

6-19

22

2

~ 1

GK

N

K G （逆格子点）の時

K G の時

スクリーン

線源 k0k

K逆格子点

エバルト (Ewalt) 球

逆格子空間の原点が乗った半径 k の

球を描く。この球上に他の逆格子点が乗っているとき散乱強度が大きい

0K k k G を満たす特別な点で強度が大きくなる ラウエの条件：

原点

2

KI iK rK dr r e

1 2 3N N N N ：格子点の数

6-20

N

粉末試料解析法

結晶 粉末 結晶の向きが一様

エバルト球

逆格子点を通る球

原点

ラウエ法

X線回析実験法

波数 kmin < k < kmax に連続的

に分布したX線を用いる

半径 kmin エバルト球

原点 半径 kmax

スクリーン

線源

6-21

Q

ブラッグ反射

２つの面での反射が強め合う条件 d

Q

G

Q1

Q2

Q1= Q2 のとき、面での反射波の位相は常に揃う

6-22

逆格子空間での逆格子点の方位ベクトル = ミラー指数 (h, k, l) の格子面

= 回析の条件

2

KI niK r iK riK r KK

n

dr r e e e faa

a

電荷密度 ：原子の周りに集中 r

nr r r ra

格子点 原子位置

nr

ra

r

r

iK rKf dr r ea

原子aの周りでの積分

2 22

ni K r i K r

K Kn

e e faa

a

結晶構造因子

結晶構造因子 iK rK K

F e faa

a

すべて同じ原子で構成されている場合には

1 2 32i h k lhklS e

a a a

a

1 2 3K hg k g lg

1 1 2 2 3 3r a a aa a a a 1 2 30 , , 1a a a

h, k, l : 整数

6-23

体心立方格子の場合

原子位置 1 2 31 1 1

, , 0, 0, 0 , , ,2 2 2

a a a

1

i h k l

hklS e

= 2 ( h + k + l = 偶数 )

0 ( h + k + l = 奇数 )

(001)

間に格子面があり、この面での反射による干渉で消える

(110)

間に格子面が無いのでブラッグ反射がそのまま適用できる

慣用単位胞で考えたための問題、基本単位胞をとればおこらない

6-24

x

y z

1a

2a

3a

1b

2b3b

体心立方格子

慣用単位胞と基本単位胞の比較

格子ベクトル 逆格子ベクトル 逆格子点

慣用

単位胞

基本

単位胞

1 ( , 0, 0)a a

2 (0, , 0)a a

3 (0, 0, )a a

1 ( , , - )2 2 2

a a ab

3 ( , , )2 2 2

a a ab

2 ( , , )2 2 2

a a ab

1

2( , 0, 0)g

a

2

2(0, , 0)g

a

3

2(0, 0, )g

a

1

2 2(0, , - )h

a a

2

2 2(- , , 0)h

a a

3

2 2( , 0, )h

a a

2g

3g

1g2h

3h

1h

a

2

a

□ 基本単位胞で見ると逆格子は面心立方

□ 慣用単位胞では基本単

位胞の逆格子点の他に別の逆格子点が追加されている

□ 追加された逆格子点はShkl = 0 の点に対応

6-25