九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学 …...平成31年度...

九州大学大学院システム情報科学府

電気電子工学専攻

平成３１年度入学試験問題

【平成３０年８月２３日（木）、２４日（金）】

平成３１年度　九州大学大学院システム情報科学府情報学専攻情報知能工学専攻電気電子工学専攻

修士課程　入学試験問題

数学 (Mathematics)（7枚中の 1）

解答上の注意 (Instructions):

1. 問題用紙は，『始め』の合図があるまで開いてはならない．

Do not open this cover sheet until the start of examination is announced.

2. 問題用紙は表紙を含め 7枚，解答用紙は 3枚つづり (1分野につき 1枚)である．

You are given 7 problem sheets including this cover sheet, and 3 answer sheets (1 sheet for

each field).

3. 以下の 6分野から 3分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙を別にすること．

Select 3 fields out of the following 6 fields and answer the questions. You must use a separate

answer sheet for each of the fields you selected.

分野 field page

1 線形代数 Linear algebra 2

2 微分方程式 Differential equation 3

3 ベクトル解析 Vector analysis 4

4 複素関数論 Complex function theory 5

5 確率・統計 Probability and statistics 6

6 記号論理学 Symbolic logic 7

4. 解答用紙の全部に，専攻名，コース名（情報学専攻を除く），選択分野番号（で囲む），受

験番号および氏名を記入すること．

Fill in the designated blanks at the top of each answer sheet with the department name,

course name (except the department of informatics), the selected field number (mark with a

circle), your examinee number and your name.

5. 解答は解答用紙に記入すること．スペースが足りない場合は裏面を用いても良いが，その場

合は，裏面に解答があることを明記すること．

Write your answers on the answer sheets. You may use the backs of the answer sheets when

you run out of space. If you do so, indicate it clearly on the sheet.




6分野のうちから 3分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙を別にすること．Select 3 fields out of the 6 fields and answer the questions. Use a separate answer sheetfor each field.

1. 【線形代数 (Linear algebra)分野】

行列A =

−2 −3 −3

6 7 6

−6 −6 −5

について，次の各問に答えよ．

(1) Ax = −2xなる零でないベクトル x =

x1x2x3

を 1つ求めよ．

(2) Ay = dyなる数 d = −2と零でないベクトル y =

y1y2y3


(3) AP = PDを満たす正則行列 P と対角行列D =

d1 0 0

0 d2 0

0 0 d3


(4) P の逆行列 P−1を求めよ．

(5) A10を求めよ．

Consider the matrix A =

−2 −3 −3

6 7 6

−6 −6 −5

. Answer the following questions.

(1) Find a nonzero vector x =

x1x2x3

that satisfies Ax = −2x.

(2) Find a number d = −2 and a nonzero vector y =

y1y2y3

that satisfy Ay = dy.

(3) Find an invertible matrix P and a diagonal matrix D =

d1 0 0

0 d2 0

0 0 d3

that satisfy

AP = PD.

(4) Find the inverse P−1 of P .

(5) Find A10.





2. 【微分方程式 (Differential equation)分野】

２つの関数 x(t), y(t)について，次の連立微分方程式を解け．dx

dt= x− 5y

dy

dt= x− 3y

x(0) = 3, y(0) = 1

Solve the following simultaneous differential equations for two functions x(t) and y(t).dx

dt= x− 5y

dy

dt= x− 3y

x(0) = 3, y(0) = 1





3. 【ベクトル解析 (Vector analysis)分野】

直交座標系において，x, y, z 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ i, j, kとする．次の各問に答

えよ．

(1) スカラー場 ϕを ϕ = exz sin y + ex cos y，ベクトル場AをA = (2x− z)i− 2j + 2kで定

める．点 (1,0,1)における ϕの勾配のA方向成分を求めよ．

(2) ベクトル場 A = zi− 3j + 4xyk について，次の面 Sに対するAの面積分を計算せよ．

S : 6x+ 3y + z = 3 (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)

The unit vectors on x, y and z axes of Cartesian coordinates are denoted i, j and k, respec-

tively. Answer the following questions.

(1) Let the scalar field ϕ = exz sin y+ ex cos y and the vector field A = (2x− z)i− 2j + 2k.

Evaluate the component of the gradient of ϕ in the direction of A at the point (1,0,1).

(2) Evaluate the surface integral for the vector field A = zi−3j+4xyk, along the following

surface S.

S : 6x+ 3y + z = 3 (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)





4. 【複素関数論 (Complex function theory)分野】

解析関数 f(z) = u+ ivを考える．ただし，z = x+ iyは複素数，xと yは実数，uと vは実

数値関数，i =√−1である．xと yが極形式 x = r cos θと y = r sin θで表されるとき，極形

式のコーシー・リーマンの方程式は以下の式で書けることを示せ．

∂u

∂r=

1

r

∂v

∂θ,∂v

∂r= −1

r

∂u

∂θ

　

Consider an analytic function f(z) = u+ iv, where z = x+ iy is a complex number, x and y

are real numbers, u and v are real functions, and i =√−1. Suppose x and y are written in

the polar form x = r cos θ and y = r sin θ. Prove that the Cauchy-Riemann equations in the

polar form can be written by the following equations.

∂u

∂r=

1

r

∂v

∂θ,∂v

∂r= −1

r

∂u

∂θ





5. 【確率・統計 (Probability and statistics)分野】

Ω = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 とする．連続確率変数の対 (X, Y )の同時密度関

数は

f(x, y) =1

C(e−x + e−y) (x, y) ∈ Ω

で与えられるものとする．ただしC > 0は正規化定数である．以下の各問に答えよ．

(1) Cの値を求めよ．

(2) Xと Y は独立か否か，理由と共に答えよ．

(3) Y = 0の条件の下でのXの期待値を求めよ．

Let Ω = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Let (X,Y ) be a pair of continuous random

variables given by the joint probability density function

f(x, y) =1

C(e−x + e−y) (x, y) ∈ Ω

where C > 0 denotes the normalizing constant. Answer the following questions.

(1) Compute the value of C.

(2) Establish whether or not X and Y are independent.

(3) Find the expectation of X under the condition of Y = 0.





6. 【記号論理学 (Symbolic logic)分野】

次の各問に答えよ．

(1) 命題論理式 ((p → q) → (r → s)) → (((t → (q → u)) → s) → (r → s)) がトートロジー

であることを示せ．

(2) 3つの述語論理式∀x∀y∀z(P (x, y, z) → ¬P (z, y, x)), ∃x∃y(P (x, x, y)∧P (x, y, y)), ∀x∀y∀z(P (x, y, z) → (P (y, z, x) ∨ P (z, x, y))) をそれぞれ ψ1, ψ2, ψ3で表す．

(a) ψ1から ∀x∀y ¬P (x, y, x)が導かれることを示せ．

(b) ψ1 ∧ ψ2の議論領域 a, bにおけるモデルを 1つ示せ．

(c) (ψ1 ∧ ψ2) → ψ3の妥当性を判定し，その理由を述べよ．

Answer the following questions.

(1) Show that the propositional formula ((p → q) → (r → s)) → (((t → (q → u)) → s) →(r → s)) is a tautology.

(2) Let ψ1, ψ2, and ψ3 denote the predicate logic formulas ∀x∀y∀z(P (x, y, z) → ¬P (z, y, x)),∃x∃y(P (x, x, y)∧P (x, y, y)), and ∀x∀y∀z (P (x, y, z) → (P (y, z, x)∨P (z, x, y))), respec-tively.

(a) Show that ψ1 derives ∀x∀y ¬P (x, y, x).

(b) Give a model for ψ1 ∧ ψ2 whose domain of discourse is a, b.

(c) Determine the validity of (ψ1 ∧ ψ2) → ψ3, and justify your answer.

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