固体電子工学 - 名古屋大学...固体電子工学 第7回 格子振動 7-1...
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固体電子工学
第7回 格子振動
7-1
名古屋大学工学部電気電子・情報工学科 中里 和郎、新津 葵一
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格子振動
結晶中の原子 ・・・ これまでは平衡の位置に固定されているとしてきた
実際には
平衡位置の周りに振動している
熱運動
固体の物理的性質 電子
原子の平衡位置の周りの運動 （格子振動）
音速 熱的性質 格子比熱、熱膨張、熱伝導
7-2
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M1 M2
質量 M1 , M2 の原子がばね定数 f のばねで結ばれている
格子点 単位胞
格子定数 = a
例：2原子1次元格子 7-3
-
M1 M2
格子点 n n+1 n-1
sn,1 sn,2 sn-1,2 sn+1,1
原子の平衡位置からのずれを
sn,1 原子１
sn,2 原子２
2
,1
1 ,1 1,2 ,2 ,1 ,2 ,1 1,222
n
n n n n n n n
d sM f s s f s s f s s s
dt
とする
2
,2
2 ,2 ,1 1,1 ,2 1,1 ,2 ,122
n
n n n n n n n
d sM f s s f s s f s s s
dt
例：2原子1次元格子 7-4
-
2
,1
1 ,2 ,1 1,222
n
n n n
d sM f s s s
dt
2
,2
2 1,1 ,2 ,122
n
n n n
d sM f s s s
dt
,1 11
1 i qan tns u q e
M
,2 22
1 i qan tns u q e
M
とおくと ( x = an )
2
1 1 2 1
2 2
21 2
2, 1
02
1 ,
iqa
iqa
f fe
M M M u q
u qf fe
MM M
2
21 1 2 4 2 2
2 1 2 1 2
21 2
2, 1
1 1 42 sin 0
2 21 ,
iqa
iqa
f fe
M M M f qaf
f f M M M Me
MM M
2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 4sin
2
qaf
M M M M M M
例：2原子1次元格子 7-5
-
2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 4sin
2
qaf
M M M M M M
は波数 q の関数になる。
= i(q) 分散関係
qa に関し 2p の周期関数
q は -p/a ~ p/a の区間のみ考えれば良い
0
a
p
a
p
q 第1ブリルアン・ゾーン
例：2原子1次元格子 7-6
-
2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 4sin
2
qaf
M M M M M M
0
a
p
a
p
q
(M1 > M2)
= vq
v : 音速
正負のイオンの時、 双極子モーメントが変化 →光の吸収放出が起こる
光学フォノン
音響フォノン 重心の運動
u
u
1
2 f
M
2
2 f
M
M1 M2
定在波
例：2原子1次元格子 7-7
-
原子の位置 n nr s
平衡位置 平衡位置からのずれ
結晶の全エネルギー F ：平衡位置の周りにテーラー展開 ２次まで
21
2n nn
n i n i m jn i n i m jn i n i m j
r s r s s sr r r
F FF F
=0 2
:i j
n i m j
n mr r
FF
原子の運動方程式
2
:2 0i jn i m j
m j
dM s n m s
dt
F
格子振動の一般論 7-8
-
2
:2 0i jn i m j
m j
dM s n m s
dt
F
平面波による展開 1 ni q r tin is u q eM
2 : 0i i j jj
u q D q u q
: :1
niq r
i j i j
n
D q n eM M
F
3r x 3r の行列方程式 r : 単位胞中の原子数
2 :det 0i i j jj
u q D q u q
と の関係が定まる q i q 分散関係 ： 3r 個
格子振動の一般論 7-9
-
: :i j i jD q G D q
は第１ブリルアン・ゾーンのみを考えれば良い q
：逆格子ベクトル G
分散関係 3r 個
3: 空間方向
q
u
u
変位： 波の進行方向 縦波 Longitudinal 進行方向に垂直 横波 Transversal
//u q
u q
横波には２方向ある
r: 1 個は 0 0q 音響フォノン Acoustic r-1 個 0 0q 光学フォノン Optical
q
LA
TA
LO
TO
格子振動の一般論 7-10
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平面波による展開 1 ni q r tin is u q eM
N1
N2
N3 結晶全体 = N1 N2 N3 個の単位胞からなるとする
周期的境界条件
1 2 3, , 2n n nR q mp
逆格子点
2n hr G mp
hG が逆格子点 すべての格子点 に対し
( m : 整数)
nr
( m : 整数)
1 2 3, , 1 1 1 2 2 2 3 3 3n n nR n N a n N a n N a すべての ( n1, n2, n3 : 整数)
に対し
31 21 2 3
1 2 3
mm mq g g g
N N N
( m1, m2, m3 : 整数)
1 2 3, , g g g ：逆格子ベクトル
7-11
-
平面波による展開 1 ni q r tin is u q eM
q は逆格子ベクトルの周期性を持つ
第１ブリルアン・ゾーンを考えればよい
Dq1Dq2Dq3 の領域の状態数
1 2 31 2 3 1 2 3
1 2 3
g g gq q q m m m
N N N
D D D D D D
3 1 2 31 2 3 2N N N
g g gV
p
1 2 3 1 2 33
2
Vm m m q q q
pD D D D D D
7-12
-
：角振動数 D の中にある状態の数
0
a
p
a
p
q
波数 q では状態は等間隔に存在
頻度
状態密度
D
Z
D
頻度
格子振動の状態密度 7-13
-
3
1
2Z dq
p
D
D
0 a
p
a
p
q
D
単位体積あたり
dS
dq
3次元
２つの面で囲まれた領域の体積
q q D
3 2. 2 2
1
2 const
x y z
dSZ
q q q
p
：角振動数 D の中にある状態の数
格子振動の状態密度 7-14
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van Hove の特異点
分散関係が水平な接線を持つ周波数では状態密度の周波数に関する微分は特異性をもつ
Z d
Zd
q
7-15
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音響フォノンの状態密度
音響フォノン (Acoustic Phonon)
縦波 (Longitudial) 音速 CL 横波 (Transversal) CT
cq 22 2
x y z
cq q q
22
2.4 4
constdS q
c
p p
22 3 31 1 2
2 L TZ
c c
p
7-16
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調和振動子の固有エネルギー 1
2nE n
ボーズ分布関数 1
1Bk Tn
e
格子の比熱
0
U Z d
単位体積当たりの内部エネルギー
1 1
1 2Bk Te
0
1
1BV k T
C U Z dT T e
比熱
7-17
-
0
0.5
1
0 0.5 1 1.5 2
音響フォノンによる比熱
3
2 3 3 0
1 1 2 1
2 1
D
BV k T
L T
C dc c T e
p
D :Debye 遮断周波数
状態数から決める
0
3D rNZ d
V
2
3
3 3
9 2
1 2D
L T
rN
V
c c
p
3 4
20
9
1
yT
BV
y
rNk T y eC dy
V e
D Bk : Debye 温度
T/
3 BV
rNkC
V
344
5
Tp
7-18
-
: Debye 温度 [K]
Cs 38 Pt 240 LiCl 422
Hg 72 Nb 275 Al 428
Se 90 ZnS 315 Mo 450
K 91 NaCl 321 Ni 340
Ar 93 Cu 343 Fe 467
Pb 105 Li 344 Cr 630
In 108 Ge 370 Si 640
Te 153 W 400 LiF 732
Au 165 C 420 Be 1440
KCl 235 Ir 420 C 2230
7-19
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格子振動による散乱
固体
光 etc
0k
k 散乱振幅
0
0i k k ri t
A e r e dr
00 n
i k k ri t
n
e f e
格子振動を考慮
00 n n
i k k r si t
n
A e f e
00 01ni k k ri t nn
e f e i k k s
1 ni q r q tns u q e
M
0 0 01ni k k q r i q t
n
i f e k k u qM
n について和をとると
0k k q G ：逆格子ベクトル G
0 q
7-20
-
0k k q G
0 q
,k 0 0,k
,q q
波 粒子
角振動数
波数ベクトル
k
エネルギー
運動量 k
粒子の描像では
エネルギー 0
運動量 0kのフォトンが
エネルギー q運動量 q
のフォノンを吸って
光（電磁波） フォトン
格子振動 フォノン エネルギー
運動量 kのフォトンに成った
0k k q G
0 q 運動量の保存：ただし逆格子ベクトルの任意性がある
エネルギーの保存
7-21
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ラマン分光
固体
レーザー光
0k k
0 0 q 0 q
散乱強度
弾性散乱（Rayleigh散乱）
ラマンサイドバンド
ストークス線 反ストークス線
フォノン吸収 フォノン放出
2k
p
= 500 nm
0 a
p
a
p
q
a ~ 0.5 nm
q の小さな ところが寄与
結晶構造に対する知見が得られる
7-22