計算物理 2011

竹下徹

物理学で計算機理解する　C言語を使って計算させる

11

計算機内部の表現 ;8bit

計算機なかでは数字も文字もbitの集合

２進法の一桁を表す：ビット　bit10

２進法の8桁を表す：バイト　byte

２の8乗＝２５６通りの組み合わせ＝２５６種の文字

ASCII: アスキー　：　American Standard Code for

Information Interchange

0011 0000 : "0"

0011 0001 : "1"

0011 1001 : "9"

.....

0100 0001 : "A" 0110 0001 : "a"

0100 0010 : "B" 0110 0010 : "b"

...

0101 1010 : "Z" 0111 0010 : "z"

22

計算機内部の表現 ;UNICODE

日本語：１６ビット：２バイト；全角２の１６乗＝65536通りの組み合わせ：ASCIIを含む

ISO : International Organization for Standardization . 国際標準化機構. ISO-10646

0000 0000 0011 0000 : "0"

0000 0000 0011 0001 : "1"

0000 0000 0011 1001 : "9"

.....

0000 0000 0100 0001 : "A"

0000 0000 0110 0001 : "a"

0110 0001 0001 1011 : "愛"　611B

ASCII

33

計算機内部の表現 ;数字 :IEEE754

３２ビット：４バイト２の３２乗通りの組み合わせ

整数

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 : 0

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 : 1

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 : 9

.....

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 : -1

実数

1bit 8bit 23bit

e as

実数 X =(-1) [0.a] x 2s

(2) e -127(10)

(10)

実数 6.0 =0 10000001 10000000000000000000000(10)

実数 -0.375 =1 01111101 10000000000000000000000(10)

44

C事初め•作法がある

•プログラムは上から下へ一行づつ実行

• #include <stdio.h> 最低限

•main { で始まり、}で終わる

•変数は整数型か、実数型か定義する

•画面への出力は　printf(“%?” 変数名);? = d整数、f実数

•各実行は;　セミコロンで終わる

#include <stdio.h>main { int i,j,k;float a,b,c;...printf(“ %d %d %f \n“,i,j,a);}

55

Cの計算•左辺Aへ右辺Bの計算結果を代入　A=B 計算 記号 例加算 + c=a+b減算 - c=a-b乗算 * c=a*b除算 / c=a/bあまり % c=a%b c=a-(a/b)*b [int a,b,c]１加算 ＋＋ k++ k=k+1１減算 ーー k-- k=k-1和の代入 += k+=5 k=k+5差の代入 -= k-=5 k=k-5積の代入 *= a*=5 a=a*5商の代入 /= a/=5 a=a/5

あまりの代入 %= a%=5 a=a%5

μ

66

for 文•繰り返し

•整数　k ,実数 x,y

for ( k=1; k<10;k++) { x=k/10.0; y=sin(x); printf(“ %d %f %f \n“, k,x,y);}

結果k=1x=1/10.0=0.1y=sin(0.1)k=2x=2/10.0=0.2y=sin(0.2)k=3x=3/10.0=0.3y=sin(0.3)...../a.out > aplot.dat

sin(x) は数学関数　#include <math.h> が必要

> redirection7

7

カオスのシミュレーション•実数変数xはある集団の個体数（１で規格化されている）

• 実数変数aは子供の増え方を表す増倍率である

• この系をfor文で計算させるととても奇妙な振る舞いをする

for ( k=1; k<10;k++) { x=a*x*(1.0-x); printf(“ %d %f \n“, k,x);}

x

k横軸世代

aが大きい場合飢餓と繁殖を繰り返す

88

世代と個体数x

a

x

• x=a*x*(1-x)の系は面白い

• a が１より小さいと滅亡　x->0

• aが１～？の間では一定値に収束する

• aが？～3.5付近以上になるとカオスである（全ページ）

• さらに大きくなるとxが１を超える

99

for 文その２•整数　k,s

• 和をとる:初期化s=0

• s=s+k はs+=k

•と書いてもよい

int k,s;s=0;for( k=1;k<5,k++){ s=s+k; printf(“ %d %d \n“,k,s) ;}

1010

和の計算float x,s;s=0.0for (k=1;k<10;k++){ x=1.0/k; s=s+x; printf(“%d %f %f ”,k,x,s);}

s=k1

k=1

10

!k->　 で発散(log)

€

1+122

+132

+142...= π 2

6= ς(2)€

∞

次を示せ；11

11

無限級数和

が収束するsの条件を見つけよ

€

Z(s) =1ksk=1

∞

∑€

Z(s) =1ksk=1

∞

∑

€

Z(2) =16⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ π 2,Z(4) =

190⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ π 4

s=2,4を計算で示せ

を計算で示せ

€

1− 13

+15−17

+ ....= π4

マクローリン 展開を示せ

€

ex =1+x1!

+x 2

2!+x 3

3!+ ....

複数のxについて等号を計算して確かめる

問1:問2:

問3:問4:

1212

階乗計算•n! 計算

•破綻

•倍精度計算

• long k,s;

• %d を%ld

int k,s;s=1;for( k=1;k<19,k++){ s=s*k; printf(“ %d %d\n “,k,s) ;}

1313

フーリエ級数

€

f (x) =4π

sin{(2k −1)x}2k −1k=1

∞

∑

x

f(x)任意の周期関数は三角関数の和で表される

plot [-3.14159:3.14159][] 4/3.14159*(sin(x)/1),4/3.14159*(sin(x)+sin(3*x)/3),4/3.14159*(sin(x)/1+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5)

矩形関数

€

f (x) =1+ 2cos(kx)k= 0

∞

∑問題： impulse14

14

•プログラム例

€

f (x) =1+ 2cos(kx)k= 0

∞

∑for (j=1;j<jm,j++){x=-5.0 + j /10.0; for(k=0;k<km;k++){ f=f+2*cos(k*x); }}

kmax=25 kmax=50 kmax=200どんな関数でしょう？

1515

キーボードから入力•数値xを読みこむ

• scanf()が入力関数float x;

printf(" input a value : "); scanf("%f",&x);

1616

（数値）積分•積分；面積計算

•長方形近似

s

y=f(x)

x

s=f(x)*dx

f(x)

dx

€

S = f (x)dxa

b∫

dx=(b-a)/n;for(k=0;k<n;k++){ x=a+dx*k; s=s+f(x)*dx;}

s s ss s s

a b台形近似

s=s+(f(x)+f(x-dx))*dx/2;

1717

関数文•function();

• main 文の外に関数を置くこともできる

•複雑な関数なら間違いがない

•変数のつながりに注意

void f(); main(){...........}f(x);{f=sin(x)*exp(-x);}

1818

課題•Plank分布：黒体からの光（波長m)の分布

•黒体放射強度分布＝プランク分布: B(m)

• B (m)を波長の全域で積分すると温度Tのエネルギーを計算できる

•この値は温度Tの４乗に比例する、これを示せ：シュテファン＝ボルツマンの法則

€

B(λ) =2hc 2

λ51

ehc /λkT −1 Tは温度

h=c=k=1の単位で計算せよ1919

Plank 分布の積分と微分case : h=k=c=1

T

積分結果

T4線

Stefan-Boltzmann則 Wien変位則

T

T-1線

微分結果gnuplot set logscale

2020

if 文•もし　なんとか　なら

• if (なんとか)

• 式

• else　<<< そうでないなら

•式

•右のプログラムは何をしているか？

scanf(“%f”,&x);scanf(“%f”,&y);if(x<y) {z=x-y;}else{z=y-x;}printf(“%f\n”,z);

2121

if ()a>b if(a>b)

a>=b if(a>=b)

a<=b if(a<=b)

a=b if(a==b)

not equal if(a!=b)

(式1) AND ( 式2) if( (式1) &&(式2) )

(式1) OR ( 式2) if( (式1) || (式2) )

要注意：実数が＝＝になることはまずない

整数整数

2222

数値微分•関数を微分

•有限hで近似

•極大値を探す

•微分係数gが正の間印刷

•印刷が止まると極大値

• f=x3-x+1 の極大を計算

for(k=0;k<?; k++) {x=a+h*k;g=(f(x+h)-f(x))/h;if(g>0) { printf(“%f %f %f \n”,x,f(x),g);}}

微分係数の符号が変化したときのみ出力も可

2323

微分方程式の解法

€

ʹ′ f (x) = limΔx→0

f (x + Δx) − f (x)Δx

~ f (x + Δx) − f (x)Δx

€

f (x + Δx) = f (x) + Δx × ʹ′ f (x)

自由落下 for(k=1;k<kmax;k++){ t=t+dt; v=v+dt*g; x=x+dt*v;}

€

v =dxdt

€

x(t + Δt) = x(t) + Δt × v

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

m=1.0

€

m dvdt

= m ʹ′ v (t) = mg

€

v(t + Δt) = v(t) + Δt × g

2424

空気抵抗•速さに比例する場合

•宿題１：終端速度はmg/aである事を示せ

•速さの２乗に比例する場合

•符号に注意　 v**2>0

•投げ上げ問題 でif文で分ける

•宿題２：速度の２乗の抵抗で投げ問題で次の式を示せ

for(k=0;k<?; k++){ t=t+dt; v=v+dt*(g-a*v); x=x+dt*v;}

m=1.0

€

m dvdt

= m ʹ′ v (t) = mg −α × v(t)

€

1vg2 =

1vi2 +

1v f2

vg:地上に戻った速さvi:初速vf:終端速度25

25

空気抵抗•速度に比例：終端速度~mg/a

•速度の２乗に比例：終端速度~sqrt(mg/a)

t

v

v

t

va=1.0m=1.0

2626

単振動と抵抗•単振動の微分方程式

•空気抵抗がある場合

•減衰振動を示せ

for(k=0;k<?; k++){ t=t+dt; v=v+dt*(-b*x); x=x+dt*v;}

for(k=0;k<?; k++){ v=v+dt*(-b*x-a*v); x=x+dt*v;}

€

m dvdt

= m ʹ′ v (t) = −b × x(t) −α × v(t)€

m dvdt

= m ʹ′ v (t) = −b × x(t)

t

振幅

a=0.1

2727

平面上の運動•惑星の楕円運動

•連立微分方程式 を２次元で作る

• g=1,m=1のとき r=sqrt(x*x+y*y); a=g*m/r/r; c=x/r; s=y/r; vx=vx-a*c*dt; vy=vy-a*s*dt; x=x+vx*dt; y=y+vy*dt:x

y 楕円軌道　実はyが長い

初期値x=1, y=0, vx=0, vy =?

安定軌道の初期値x=1, y=0, vx=0, vy =の最小値は？

2828

乱数•一様乱数

•乱数発生関数 rand()

• 乱数初期化　srand(int)

• rand()の最大値rmをさがせ

•最大値で割ると１以下の乱数

•自然現象の裏にあるので

•シミュレーションに使える

int r,rand();for(k=0;k<?; k++){r=rand();printf(“ %d %d \n”,k,r);}

rm=231-1=2147483647

2929

さいころ•ランダムな１-６の整数を作る道具

• ./a.out で同じ結果

• int A%6 は６で割ったあまり

•１の目の出る割合を調べよ

int r,rand();for(k=0;k<?; k++){r=rand()%6+1;printf(“ %d %d \n”,k,r);}

3030

面積計算•円の内側の個数nを数える

• n/M はr=3.14159/4srand(int)for(k=0;k<M; k++){ x=rand()/rm; y=rand()/rm; r=sqrt(x*x+y*y); if (r<1.) n=n+1;}

正方形内の個数

0<x<1.0, 0<y<1.0

x

y

1.0

1.0

0.0

乱数の応用

n個

M個

3131

面積計算問題

•楕円の面積を計算せよ

• の面積はrab

•一様乱数z=rand()/rm は 0~1なので

• -a~aまでの一様乱数を作るには a>0

• x=a*(2.0*z-1.0)とする

a

€

x 2

a2+y 2

b2=1

x

y

-a-b

b

3232

面積計算•関数の面積＝積分

•関数の積分領域より

•広い領域内に一様乱数

•を生成する

•そのうち関数より小さい物の数を数えて

•割り合いを計算する

•精度は悪いがどんな形にも適用可

y=f(x)

xa

f(x)

s

b

c

3333

よっぱらいの歩み srand(int)for(k=0;k<?; k++)r=rand()/rm;if(r<0.5) x=x+1;else x=x-1;printf(“ %d %d \n”,k,x);}歩数k

位置x

左へひっくり返りそうなよっぱらい

•乱数の応用：１次元xよっぱらい

•実数　乱数r　0<= r <=1

• r<0.5 なら右へ:x=x+1

• r>=0.5 なら左へ:x=x-1

•複数のよっぱらいのある歩数での到着地点の平均値と標準偏差

ランダム

3434

2次元でのよっぱらい•座標を２つ用意 x,y

• ２次元平面内で４通りの選択肢

•乱数x　0<x<1

• 0.<=x<0.25 なら右へ、0.25<=x<0.5なら左へ

• 0.5<=x<0.75 なら上へ、0.75<=x<1.なら下へ

• N歩で到着する点は中心からの距離R、Rの分布と平均値は？

y

x

3535

２次元よっぱらい•原点から出発、１歩を４通りからランダムに選択

•１００歩あるいたら1000人の到着点分布

中心が多い

3636

配列array a[3]

• 3成分ベクトルaをa[3]とかく

• 2つのベクトルの内積xを計算

•同様に外積も計算できる

float a[3],b[3];a[0]= ;a[1]= ;a[2]= ;b[0]= ;b[1]= ;b[2]= ;x=0.0;for(i=0;i<3; i++){x=x+a[i]*b[i];}37

37

histogram•ヒストグラムの整数配列 h(10)

• まず中身を０にする

•乱数x, int j=x*10+1

• h[j]=h[j]+1 :１個加える

int h[10];for(k=0;k<10; k++){h[k]=0;}srand(?)for(k=0;k<?; k++){ x=rand()/rm;int j=x*10;h[j]=h[j]+1;}

for(k=0;k<10; k++){printf(“ %d %d \n”,k,h[k]);}

bin数10

j番目のビンに

h[j]の中身は何回１がたされたか

3838

一様乱数•x=rand()/rm は一様乱数

•その意味は、xの分布が０.～１.で一様

•これをテスト

x

h[]h[0]=101h[1]=111h[2]=82.......h[8]=97h[9]=89

with step39

39

中心極限定理

<x>0.5

• N個の一様乱数の平均の分布

•分布の平均値は一様分布の平均

•分布の標準偏差は

•一様分布の標準偏差の

• 1/sqrt(N)になる

•これを示せ

1.00.0

gauss分布

gnuplot “ ” with step

4040

中心極限定理•２つのガウス分布(1,2)の和の分布はガウス分布(3)である事を示せ

•平均値m3=m2+m1

•標準偏差s3=sqrt(s2*s2+s1*s1)

4141

コンデンサーの電場•Laplace eq.　２次元 50x50のメッシュ

•座標交点のポテンシャル V[int x][int y]

• 境界条件：中に棒1本 V=V+

•箱の周りはゼロ　

• V[10][any]=0., V[any][0]=0.

• V[50][any]=0., V[any][50]=0.

x

y

01,2,... 50

50.

.

.2 10

V+

20 30

２次元配列

4242

for( i=0;i<51;i++) /* clear array */ { for (j=0;j<51;j++) { v[i][j] = 0.0; }}

vl=v[x-1][y];vr=v[x+1][y];vu=v[x ][y+1];vd=v[x ][y-1];v[x][y]=(vl+vr+vu+vd)/4.0 ;

初期化：全空間のポテンシャルを０に

境界条件：周囲も０

ラプラス差分方程式:実はある点の周りのポテンシャルの平均を取る事

xx+1

x-1y y+1y-1

4343

Laplace equation

V(x,y)=(周りの４つのVの和)/4

差分（偏微分）

二回の差分

xx+d

x-dy y+ dy-d44

44

x yy

V(x,y)

1本コンデンサーの電位（ポテンシャル:V)

splot 45

45