非線形振動子と同期現象

2015.1.13 物性物理学C

Stuart-Landau方程式

( )( )bxyyxxayty

++−+= 22

dd ω

( )( )byxyxyaxtx

−+−−= 22

dd ω

ωθ=

tdd

3

dd rar

tr

−= 222 yxr +=

θtan=xy

1=a0=b

time

x

y

x

y

初期値を変えても

Limit Cycle (極限閉軌道) x

y

リミットサイクル上の運動

x

y

x

y

x

y

等位相面 2

−2

0

−2 0 2 x

y

=

xyarctanθ

van der Pol 方程式 ～ 丸くなくても・・・

( ) 0dd1

dd 2

2

2

=+−+ xtxx

tx α

( ) xyxty

−−−= 1dd 2α

ytx

=dd

time

x

y

x

y

x

y

初期値を変えても

Limit Cycle (極限軌道)

x

y

x

y

等位相面 4

−4

0

−4 0 4 x

y

さまざまな非線形振動子

Rayleigh方程式

0dd1

dd

dd 2

2

2

=+

−

+ x

tx

tx

tx α

FitzHugh-Nagumo方程式

byxty

+−=dd

( )yxxtx

−−= 31dd

ε

Rayleigh方程式

x

y

x

y

等位相面 2

−2

0

−2 0 2 x

y

x

y

FitzHugh-Nagumo方程式

x

y

等位相面 2

−2

0

−2 0 2 x

y

実験室で見られる時空間秩序形成

candle oscillator

saline oscillator

BR reaction

water-camphor system Plastic-bottle oscillator

さまざまなリズム現象

Belousov-Zhabotinsky (BZ)反応の実験

攪拌した系で

空間勾配 はなし 1 cm

HBrO2 + BrO3 -

+ 2[Fe(phen)3]2+ + 3H+

→ 2HBrO2 + 2[Fe(phen)3]3+

金属触媒の還元

Step I. [Br -]高の時 Br- + HBrO2 → 2HOBr ([HBrO2]と[Br-]減)

抑制因子(Br -)

金属触媒の酸化 活性因子(HBrO2)を自己触媒的に生成

マロン酸 臭化マロン酸 Step II. [Br -]低の時

Step III.

（臭化マロン酸とマロン酸による）

BZ反応のメカニズム

酸化反応 と 還元反応 が交互に起こる

クエン酸回路 ブドウ糖 （正確にはピルビン酸） からATPを作り出す

電極を用いた臭化物イオン（Br-）濃度の測定

BZ反応のモデル化

FKN Model (R. J. Field, E. Körös, and R. M. Noyes, 1972).

化学反応の素過程から重要なものを抽出

(R8) Br2 + CH2(COOH)2 BrCH(COOH)2 + Br- + H+

(R1) Br- + HOBr + H+ Br2 + H2O

(R2) Br- + HBrO2 + H+ 2HOBr

(R3) Br- + BrO3- + 2H+ HOBr + HBrO2

(R4) 2HBrO2 HOBr + BrO3- + H+

(R5) HBrO2 + BrO3- + H+ 2BrO2・ + H2O

(R6) BrO2・ + Ce3+ + H+ HBrO2 + Ce4+

(R7) BrO2・ + Ce4+ + H2O BrO3- + Ce3+ + 2H+

(R9) 6Ce4+ + CH2(COOH)2 + 2H2O 6Ce3+ + HCOOH + 3CO2 + 6H+

(R10) 4Ce4+ + BrCH(COOH)2 + 2H2O 4Ce3+ + HCOOH + Br- + 2CO2 + 5H+

3変数Oregonator (R. J. Field and R. M. Noyes, 1974).

非平衡系の科学III 反応・拡散系のダイナミクス 三池 秀敏ら 著

(O1) A + Y → X + P (O2) X + Y → 2P (O3) A + X → 2X + 2Z (O4) 2X → A + P (O5) Z + B → hY

(R10) 4Ce4+ + BrCH(COOH)2 + 2H2O 4Ce3+ + HCOOH + Br- + 2CO2 + 5H+

(R3) BrO3- + Br- + 2H+ HBrO2 + HOBr

(R2) HBrO2 + Br- + H+ 2HOBr

(R4) 2HBrO2 BrO3- + HOBr + H+

(R5)+2(R6) 2Ce3+ + BrO3- + HBrO2 + 3H+ 2Ce4+ + 2HBrO2 + H2O

BZhkHXYkAYHktY

j+−−= 22

3dd

2452

23 2

dd XkHAXkHXYkAYHk

tX

−+−=

BZkHAXktZ

j−−= 52dd

＝ 断熱消去

化学反応には、速い反応と遅い反応がある。

速い反応は、すぐに平衡に達すると考えて、 近似することができる。

L → M → N 例： 速 遅

このとき、Nの濃度の時間変化はLの濃度のみによると 考えることができる。

質量作用の法則より

VUVUg −=),(

+−

−−=qUqUfVUUVUf )1(1),(

ε

),(d

d VUft

U=

),(dd VUg

tV

=

2変数Oregonator (J. J. Tyson and P. C. Fife, 1980).

3変数Oregonator (R. J. Field and R. M. Noyes, 1974).

化学反応の素過程

FKN Model (R. J. Field, E. Körös, and R. M. Noyes, 1972).

U : [HBrO2]

V : [Fe(phen)33+]

青色

VUtV

−=dd

2変数Oregonator (J. J. Tyson and P. C. Fife, 1980).

U : [HBrO2]

V : [Fe(phen)33+] 青色

+−

−−=qUqUfVUU

tU )1(1d

dε

数値計算： 相平面で見ると

Oregonatorの等位相面

U

V

どちらもリミットサイクル振動なので、「位相」で考えられる。

具体（現象）から抽象（理論）へ

BZ反応

化学反応式 （物質に近いモデル）

Oregonator （断熱近似・無次元化）

Stuart-Landau方程式 （位相記述・分岐理論）

非線形振動子の結合系

2014.1.13 物性物理学C

非線形振動子の結合系

( )1211 sin

dd θθωθ

−+= Kt

( )2122 sin

dd θθωθ

−+= Kt

2振動子の結合系

K = 0.05 ω1= ω2 = 1

time

∆θ

= θ 2

− θ

1 co

s θ1

,cos

θ2

( )1211 sin

dd θθωθ

−+= Kt

( )2122 sin

dd θθωθ

−+= Kt

K = −0.05 ω1= ω2 = 1

time

∆θ

= θ 2

− θ

1 co

s θ1

,cos

θ2

( )1211 sin

dd θθωθ

−+= Kt

( )2122 sin

dd θθωθ

−+= Kt

K = 0.05 ω1=1, ω2 = 1.05

time

∆θ

= θ 2

− θ

1 co

s θ1

,cos

θ2

( )1211 sin

dd θθωθ

−+= Kt

( )2122 sin

dd θθωθ

−+= Kt

K = −0.05 ω1= 1, ω2 = 1.05

time

∆θ

= θ 2

− θ

1 co

s θ1

,cos

θ2

( )1211 sin

dd θθωθ

−+= Kt

( )2122 sin

dd θθωθ

−+= Kt

K = 0.01 ω1= 1, ω2 = 1.05 ( )121

1 sind

d θθωθ−+= K

t

( )2122 sin

dd θθωθ

−+= Kt

time

∆θ

= θ 2

− θ

1 co

s θ1

,cos

θ2

反応拡散系とパターン形成

2015.1.13 物性物理学C

Turingパターン（静止パターン）

3 24 uu u u v D ut

∂= − + − + ∇

∂23 v

v u v a D vt

∂= − − + ∇

∂

a = 0ではu = v = 0が固定点

1 4d1 3d

u uv vt

∆ − ∆ = ∆ − ∆

tr A = −2、det A = 1より安定

2

2

1 4dd 1 3

u

u

u uD kv vt D k

∆ ∆− − = ∆ ∆− −

( )0 d ikxu k u k e= + ∆∫( )0 d ikxv k v k e= + ∆∫ とおいて

はじめに不安定化する波数は

9v uD D>

1 32 2u v

kD D

= −

不安定化する条件は

1次元では

a = 0, Du = 1, Dv = 5

a = 0, Du = 1, Dv = 20

a = 0, Du = 2, Dv = 20

a = 0 Du = 1, Dv = 5 2次元では

a = 0 Du = 1, Dv = 20

a = 0 Du = 2, Dv = 20

a = 0.05 Du = 1, Dv = 20

Belousov-Zhabotinsky反応

a) Target Pattern b) Spiral Pattern

（4倍速） （4倍速） 3 mm 3 mm

Target Pattern Spiral Pattern

（Keener-Tyson version Oregonatorを使用）

21 (1 ) UU U qU U fV D Ut U qε

∂ −= − − + ∇ ∂ +

2V

V U V D Vt

∂= − + ∇

∂