第9章 非線形系の振動 9.1 復元力に非線形性がある系の振動 (1) Duffing 方程式の自由振動 (2) Duffing 方程式の強制振動

9.2 減衰力に非線形性がある系の振動 (1) Van der Pol 方程式の自由振動 (2) Coulomb 摩擦系の強制振動

1

9.1 復元力に非線形性がある系の振動 振り子の運動方程式

両端固定はりの大たわみの運動方程式

( ) ( )

( ) 1 0

61 1 0 0sin

2

232

532

===++

−==<<=++⇒=+

βµ

πωβω

βωθβθθωθθθ

,EIl

,GGG

,lg

lg

nn

nn

2

(1) Duffing 方程式の自由振動 Duffing (ダッフィング) 方程式

( ) 032 =++ xxx n βω

3xx +

3xx −

3xx −−

x

3

Duffing 方程式の解析解 Duffing 方程式の解析解の導出 を乗じて積分する．

平方根を時間積分する．

( ) ( )( )

( ) ( )( ){ } ( ) ( )( ){ }

( ) ( )( ){ }∫++−

−=

++−=⇒++−=

++

+−=⇒

===++

x

xn

nn

nnn

xxxx

dxt

xxxx

xxxxxx

xxxxxxxx,xxx

0 220

220

220

220

220

220

40

20

24222032

21

21 21

22

000 0

βω

βωβω

βωβωβω

x

4

(Duffing 方程式の解析解) の場合 で第１種楕円関数の標準形に変換

Jacobi の楕円関数 を用いて

( )( ) ( )

( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )

22 2 00 20 2 2 2

0

2

0 2 2 2

22 2 0

0 0 20

1 , 2 11 1

sn , , cn , 1 sn ,1 1

cn 1 , , 2 1

z

n

z

n

βxdzω βx t kβxz k z

dwu k z u u k u kw k w

βxx x ω βx t k kβx

+ = =+− −

= ⇔ = = −− −

= + =+

∫

∫

0>β( ) 22

01 zxx =−

( ) ( )u,k,u,k cn sn

5

Duffing 方程式の自由振動 Duffing 方程式の解析解を図示する． のとき 1 1 == βω ,n

x

x

t

t

x

x

tcos

tsin 解析解

2=x

51.x =

( ) ( ) 00 010 == x,.x

6

(Duffing 方程式の自由振動) のとき 1 1 −== βω ,n

x

x( )tx

( )tx

( )tx

( )tx

2=x

2=x

7

(Duffing 方程式の自由振動) のとき 3 1 xx,n −−=ω

x

x( )tx

( )tx

( )tx

( )tx

2=x

2=x

8

( )

θθ

θ

ωβωωβωβω

βωζω

θθθθ

θθθθθθ

3cos41cos

43

241

243

833

2cos

3cos41cos

43

2

33

3333

232332

32

+=+

++

=

+++=

+=

+=

=+++

−−

−−−

jjjj

jjjjjj

nnn

nn

eeee

eeeeee

tAtAx

mfxxxx

(2) Duffing 方程式の強制振動 非同次形 Duffing 方程式の解を調べる．

解の形が のときの非線形項

３倍調波(高調波)

tAx ωcos=

基本波

9

Duffing 方程式の等価周波数応答関数 高調波を無視して，基本波だけに注目する． 励振力 と変位応答 の関数形を仮定する．

このときの変位３次項，速度項，加速度項

( ) ( )( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }

+++−=+−+−=

+++≈

+++=+=

ϕωϕωωϕωϕωω

ϕωϕω

ϕωϕωωω

tjtAtxtjtAtx

tjtAtx

tjtAtxtjtFtf

sincoscossin

sincos43

sincossincos

2

33

( )tf ( )tx

高調波を省略

10

(Duffing 方程式の等価周波数応答関数) 非同次形 Duffing 方程式に代入する．

正弦・余弦を消去して振幅の関係式を得る．

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ){ } 22222242262

222

2222

2222

2222

223

43

243

sincos2sin43

cossin2cos43

=+−+−+=

+

+−

=+++

+−

=+−+

+−

mFAAA

AA

tmFtAtAA

tmFtAtAA

nnnn

nnn

nnn

nnn

ωζωωωβωωβω

ωζωβωωω

ωϕωωζωϕωβωωω

ωϕωωζωϕωβωωω

についての６次方程式

A

11

(Duffing 方程式の等価周波数応答関数) を与えて についての６次方程式を解く(実数解)． A

A A

ω ω

1−=β 1=β

増加 F 増加 F

周波数掃引による跳躍現象

F

等価周波数応答関数

( ){ }β

ωω3

14 2 −= nA200 , 060 040020

050 1 1.,.,., .F

.,,m n=

=== ζω

12

(Duffing 方程式の等価周波数応答関数) で規準化した等価周波数応答関数(等価伝達関数) F

FA

ω ω

1−=β 1=β

FA

増加 F 増加 F

剛性の非線形性は励振力の増減に伴う共振周波数の移動で判定できる

200 , 060 040020 050 1 1 .,.,., .F,.,,m n ==== ζω

13

(Duffing 方程式の等価周波数応答関数) 等価周波数応答関数を複素数表示で得る．

( )( )

( )

( )22

222

222

222

22

2431

2431

1

4312

4312

ωζωωβω

ωζωωβω

βωωζωω

βωζω

ω

ω

nn

nn

nntj

tj

nn

A

jA

mFX

mFXAj

XetxFetf

mfxAxx

+

−

+

−

−

+

=

=

+++−⇒

==

=

+++

前出の実数解を代入する

14

(Duffing 方程式の等価周波数応答関数)

15

等価周波数応答関数を Nyquist 線図で示す．

FAIm

FARe

増加 F

50.=ω51.=ω

跳躍現象

200 , 060 040020 050 1 1 .,.,., .F,.,,m n ==== ζω

跳躍現象が現れること以外に顕著な変化はない

( ) 01 2 =+−− xxxx µ

9.2 減衰力に非線形性がある系の振動

16

(1) Van der Pol 方程式の自由振動

x

x

リミットサイクル

( )tx

( )tx

( )tx

( )tx

(2) Coulomb 摩擦系の強制振動

17

Coulomb 摩擦系の運動方程式

を仮定して，等価減衰係数を求める．

( )

2

2 2 2 2

0 0 02 22 2 2 2 2 2

0 02 2

0 0

2eq0

2 ,

sin 4 sin

sin

2 sin 4

n n

x π ω π ω π ω

c

π ω π

π ω π ω

r

π

rx fx ζω x ω x r μNx m

W f dx fx dt cx dt

c ω A ωt dt cωA u du πcωA

W μN x dt μN ωA ωt dt

μNA u du μNA πc ωA

+ + + = =

= = =

= = = = = = = =

∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

eq

4 μNcπAω

⇒ =

( ) ( ) tAtx,tAtx ωωω sin cos −==

Coulomb 摩擦系の等価周波数応答関数

18

Coulomb 摩擦系の等価運動方程式の標準形

励振力 と変位応答 の関数形を仮定

( ) ( )( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }ϕωϕωω

ϕωϕωωϕωϕω

ωω

ωωπ

ζω

+++−=

+−+−=+++=

+=

=+

++

tjtAtx

tjtAtxtjtAtx

tjtFtf

mfxx

Arx nn

sincos

cossinsincos

sincos

42

2

2

( )tf ( )tx

(Coulomb 摩擦系の等価周波数応答関数)

19

Coulomb 摩擦系の等価運動方程式に代入

正弦・余弦を消去して振幅の関係式を得る．

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ){ } 2222222

22222

22

22

4162

42

sincos42sin

cossin42cos

=

+++−=

++−

=+

+++−

=+

+−+−

mFrArA

rAA

tmFtrAtA

tmFtrAtA

nnn

nn

nn

nn

ππωζωωζωωω

πωζωωω

ωϕωπ

ωζωϕωωω

ωϕωπ

ωζωϕωωω

についての２次方程式 A

(Coulomb 摩擦系の等価周波数応答関数)

20

を与えて についての２次方程式を解く(実数解)． A

ω

FA

ω

A 増加 F 増加 F

20642 1 050 1 1 ,,,,F,r,.,,m n ===== ζω

F

等価周波数応答関数 等価伝達関数

(Coulomb 摩擦系の等価周波数応答関数)

21

等価周波数応答関数を複素数表示で得る．

( )( )

( )

( )2

222

22

22

2

42

421

42

42

++−

+−−

=

=

+

++−⇒

==

=+

++

ArArj

mFX

mFX

Arj

XetxFetf

mfxx

Arx

nn

nn

nntj

tj

nn

πωζωωω

πωζωωω

ωπ

ωζωω

ωωπ

ζω

ω

ω

前出の実数解を代入する

(Coulomb 摩擦系の等価周波数応答関数)

22

等価周波数応答関数を Nyquist 線図で示す．

FAIm

FARe

Coulomb 摩擦の存在は励振力の減少によるモード円の小長円化で判定できる

増加 F

20642 1 050 1 1 ,,,,F,r,.,,m n ===== ζω50.=ω51.=ω