第十二章 波 動

【高中物理新課程標準】 主題 主 要 內 容 說 明 備 註肆

、

波

動

一、波的傳播

二、振動與波

三、週期波

四、繩波的反射和透射

五、波的重疊原理

六、駐波

七、水波的反射與折射

八、海更士原理

九、水波的干涉與繞射

‧以水波及繩波說明波可以傳播能量，但不能傳送物質。

‧說明力學波是因物質的振動而產生，力學波必須靠介質才能傳播。波的傳播方式有縱波和橫波兩種。

‧以正弦波定義波長、頻率、波速、振幅、波峰及波谷等專有名詞，並說明其間的關係。

‧說明繩波在遇到不同介質界面時的反射和透射情形。

‧說明兩獨立波在同一介質中相遇時，其合成波的位移會疊加。

‧說明駐波如何產生。

‧定義波節及波腹，說明波節（波腹）位置與波長的關係

‧以水波槽實驗說明波在不同介質界面反射時，遵守反射定律。

‧以水波槽實驗說明波在不同介質界面處產生折射時，遵守折射定律。

‧定義波前、入射線、反射線、折射線及法線。

‧說明海更士原理的內容。

‧以海更士原理解釋水波的反射和折射。

‧以水波槽展示兩同調點波源的干涉現象。

‧說明波遇障礙物時，會偏離原先前進的方向。

‧教學節數：九節

‧實驗節數：二節

‧不提波函數。

‧配合實驗八「水波槽實驗」。

‧配合實驗八「水波槽實驗」。

實

驗

八

‧在水波槽中，觀測水波遇不同形狀的障礙物反射的情形。

‧在水波槽中，觀測水波在深淺不同的部位產生折射的情形。

‧利用水波槽、起波器，作兩同調點波源的水波干涉。

‧實驗節數：二節

‧配合主題肆「波動」中的七、水波的反射與折射及九、波的干涉與繞射。

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第十二章 波 動

前12-0 言

120001 高中物理的光學三大架構

一、幾何光學/直線光學 (Geometrical Optics) 以「光在均勻介質中以直線傳播」的觀點描述光的現象

光的反射

光的折射

二、物理光學/波動光學 (Physical Optics)

以「光為波動(電磁波)」的觀點描述光的現象 單狹縫繞射

雙狹縫干涉

三、近代物理之光量子論

以「光的能量為量子化(光子)」的觀點描述光的現象 康普頓效應 光電效應

3

第十二章 波 動

波12-1 的 基 本 概 念

120101 常見的波

水波 聲波 繩波

電磁波 彈性波 光波

物質波 地震波 腦波

超音波 微波 聲下波/次聲波

【備註】：第十二章講的波動理論，除非特別聲明，否則適用於所有的波。

4

第十二章 波 動

120102 波的種類(Types of waves)

1. 依其傳播時，需不需要靠『介質』來區分： 需要介質

傳播－力學波(機械

磁波

向』與波的

ave)—質點(或場)

點(或場)

平行－______谷；

【重點】：光波屬

波)(mechanical wave)； 不需要介質傳播－電(electromagnetic wave)。 2. 依質點(或場)『振動方『傳播方向』區分

橫波(Transverse w振動方向與傳播方向垂直；

縱波(longitudinal wave)—質振動方向與傳播方向平行。

【物理通地理】：山、河

山、河垂直－______谷。 於______波。

3. 依『時間』來區分；

)—連續規律的振盪，如：心跳；

波； 方波…

週期波(periodic wave 脈動波(pulse wave)—只做一次振盪，如：地震波。

4. 依『傳播空間』(速度的傳播方向)來區分： 直線波： 平面波； 空間波。 5. 依『波形』來分：

正弦波： 三角

5

第十二章 波 動

120103 沒有知識也要有常識 1

光是一種電磁波，一般的光線在前進時，電磁振動方向四面八方都有

(非偏振光[隨機發生]、非極化光)。如果電磁振動只發生在一個平面內，亦即電場振動方向及磁場振動方向固定的光稱為偏振光。一般以其電場方

向便稱為光的偏振方向。

例如：電場只在鉛直面上變化，稱為鉛直偏振； 電場只在水平面上變化，稱為水平偏振。 我們可以利用偏光鏡(偏光片/偏光器)來產生或檢驗偏振光。偏光器利

用其線型的分子結構，可吸收某一方向之線偏振光，而輸出線偏振光。可

用偏光器來選擇某一特定方向之偏振光，已偏振化的光再經過一個偏光器

時可全部通過或部分通過，視第二個偏光器的方向而定。

圖 電子振盪產生電磁波，天線中的電子接收電磁波

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第十二章 波 動

圖 偏振方向平行，光線通過

圖 偏振方向垂直，光線被擋掉

圖 偏光型太陽眼鏡與攝影用偏光鏡

圖 偏光鏡的偏振方向平行，可看到影像；偏振方向垂直，則變為全黑

圖 手機的螢幕也是偏光鏡

7

8

第十二章 波 動

圖 偏光型太陽眼鏡與電腦的護目鏡都是偏光鏡

(90推甄 )下列哪些是「偏振片」的功用？（應選二項） (A) 檢驗光的速度 (B) 檢驗光的波長 (C) 檢驗光的頻率(D) 產生偏振光 (E) 檢驗光的偏振方向 (F) 檢驗光的強弱 【解答】：(D)(E)

120104 波的基本特性

1.『波』是質點集體的運動形式/場的變化，但『波』是一種能量，而非物質。

[達文

西(Leonardo da Vinci，14 但麥禾

種能量(及動量)的傳遞，

；但光波、繩波、…等不同特性的波，

4. 在古典力學中，『波』的能量與振幅的平方成正比；[平均功率 P=

52-1519)：麥田中麥浪滾滾，不會前進]。 2.『波』是一而非質量(或物質)的傳遞；但，介質質點可能在原處附近做小幅度的上下振

盪或左右振盪(SHM)。 3.『波』傳遞的速率(只)跟介質的特性有關

傳播速率各有不同的因素(如光波在介質中傳播與頻率、介質特性均相關，但繩波之波速卻與頻率無關，只跟介質特性有關)。

21 μvω R

【如何積分呢？請參考高中物理進階 200 篇】

2 2 ]

第十二章 波 動

電磁頻譜(EM spectrum)120105

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第十二章 波 動

週12-2 期 波

120201 週期波的基本名詞

【波的基本名詞定義】： 振幅(amplitude)：弦上各點振動時，與平衡點的最大距離。 ( 不是最高點與最低點的距離，而是最高點與最低點距離之半。) 波峰(crest)：弦上向上位移最大的點。 波谷(trough)：弦上向下位移最大的點。 波長(wave length)：相鄰兩波峰或兩波谷(或相對應位置)的距離，以 λ(讀做

lamda)表示 週期(period)：弦上一點作一次完整振動所需的時間 ( 所謂「完整」的振動，是指質點回復到原出發時的狀態) 如果只講回到原處的時間，叫做一個週期，對嗎? 頻率(freguency)：弦上一點在 1 秒內振動的次數，以 f 表示 ( 週期是一次幾秒，頻率是一秒幾次，兩者互為倒數) 波速(wave velocity)：波在介質中傳播的速率，以 v 表示。 【備 註】：一般在波動或是簡諧運動所指的『位移』(displacement)是指偏離平

衡點的距離，更精確的說應該稱為『位置向量』(position vector)(數學名詞的定義)。不是一般運動學所指的兩點間位移。

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第十二章 波 動

你學的是「波」，還是「波動」？(n格漫畫byMathematica)

0 2 4 6 8 10 12

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第十二章 波 動

120202 SHM 快速複習： 等速率圓周運動 ←→ SHM ←→ 波動 你一定要知道的 SHM： 0.除了移動外，物體運動的方式還有轉動與振動，最”簡”單的振動就是 SHM [keypoint：彈性物質的振盪/微觀的分子力/凡得瓦力] 1.定義 F=kx(純量) 或 F=-kx(向量)

x

2.定義 平衡點合力=0 3.平衡點速度最大(合力=0)，端點速度=0(合力最大) 4/等速率圓周運動的投影(不論投影在 x 軸/y 軸)=SHM 5.等速率圓周運動的切線速率=SHM 的最大速率=平衡點的速率 6.等速率圓周運動的向心加速度大小=SHM 的最大加速度大小=端點的加速度大小 7.小技巧：看小角度的單擺(近似 SHM)，不要看彈簧(spring)

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第十二章 波 動

120203 弦波的波速公式(一) v=f ×λ：

符號約定： v：波速 【單位】：公尺/秒 f：頻率 【單位】：1/秒=赫 λ：波長 【單位】：公尺

xv ft T

λ λΔ= = =Δ

【證明】：

120204 弦波的波速公式(二)

【基本假設】： 為了推導方便起見，我們選擇座標系並不是靜止於地面的觀察者，而是一個隨脈波前進的參考座標，也就是此觀察者看到的脈波不會動，而是細繩由右向左

以波速 v 移動，利用牛頓第二運動定律與圓周運動之分析，來求波速！再利用牛頓力學的相對性原理，物理定律的形式對於慣性座標系的觀察者而言是相同的。 【推導過程】：

取脈波最高點的一小段 Δ ，假設其曲率半徑為 r，圓心角為 2θ

θθ θθ

r r F F

則 Δ = r×2θ 其質量為 Δm=μ×Δ =2μrθ 在極短時間內，可視此小段做圓周運動，其向心力由弦之張力提供

rv 2

μFv = 2Fsinθ=Δm θ 極小時，sinθ≒θ 代入整理可得

【本章新的物理量】：μ 為線密度，意即「單位長度的質量」，單位是「kg/m。」

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第十二章 波 動

λμ

⋅== fFv 【備註】： 波速公式，兩個一起背：

公式中只出現 F 與 μ，表示只跟彈性繩之特性有關，與波之波形、頻率、波長、振幅無關。

【吉他調音小常識】：

1 2 3 4 5 6

-2-1.5

-1-0.5

0.51

1.52

1 2 3 4 5 6

-2-1.5

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1 2 3 4 5 6

-2-1.5

-1-0.5

0.51

1.52

吉他的弦，比較粗的弦，發出的頻率較_____ 吉他的弦，比較細的弦，發出的頻率較_____ 吉他的弦，旋緊一點，弦發出的頻率較_____ 吉他的弦，放鬆一點，弦發出的頻率較_____

120205 弦波的振動 (oscillation of string wave)

脈波通過一彈性繩時，弦上質點只在弦的垂直方向做上

下振動(SHM)，質點本身並不隨波前進。 【推導過程】：

考慮弦上的一點 P，P 的振動方向是往下，假設其振動速率(只考慮大小)為 u

tyΔΔ 照振動速率的定義 u=

tyΔΔ

tx

xy

ΔΔ⋅

ΔΔu= 可表示為 u= (類似微分常用的鏈鎖律)

txΔΔ

xy

ΔΔ

是波的傳播速率 v，其中， 是該點的切線斜率

故，u=v×tanθ 1.在波的合成過程中此公式只能用於個別的波，不能用於合成波的波形。 2.合成波的振動速率必須利用波的疊加性由其原組成波合成。 3.上式算的是振動「速率」，即只算大小，至於該質點在下一瞬間會往上振動或

往下振動，與波往左傳或波往右傳有關，可畫圖判斷。

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第十二章 波 動

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

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1

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

120206 水波中水分子的運動

【分析】：水分子會隨波移動也會轉動，作一圓周運動。

第十二章 波 動

波動方程式 (wave function) 120207

波動可以著重在波的『數學』，也可以不涉及波動方程式只著重在波的『觀

念』。新教材的各版本沒有直接明示波動方程式，只提到「相位」的概念，但是

相位不從波動方程式著手，並不容易理解。 波動方程式需要一些數學基礎，而且是兩個變數的動態概念，但是只要基

本觀念清楚，其實波動方程式並不難理解，各位可以量力而為。課程標準已經

明定「不涉及波形隨時間與位置變化的函數關係」，因此，指定科目考試並不會

直接出現波動方程式的數學分析。

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

5 10 15 20 25

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

5 10 15 20 25

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

正弦波的波動方程式：

向右傳播之正弦波 )tkxsin(Ry φω +−=)tkxsin(Ry φω ++= 向左傳播之正弦波

k2πλ =

λπ2k =波的物理量：波數 ，波長 ，

週期ωπ2

=T ；φ 稱為『相常

數(phase constant)』 廣義的行進波函數：f(x-vt) [只要把函數中

的 x，換成 x-vt，即可]。 相位與相位差：θ= 稱為『相位

(phase) 』或稱『相角/相位角』；兩波相位的差，稱為『相位差』。

φω +tkx ∓

同相(Δθ=0°)：ex:兩波源同時產生波峰或

同時產生波谷 反相(Δθ=180°)：ex:一波源產生波峰時，

另一波源恰好產生波谷

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第十二章 波 動

等效看法：360°(角度) 2π(弧度) λ(距離) T(時間) ⇔ ⇔ ⇔ 等速度圓周運動投影 y 軸⇔簡諧運動 彈簧振盪 SHM 行進正弦波 ⇔ ⇔

相位差：A 落後 B 90°(角度)⇔π/2(弧度) λ/4(距離)⇔T/4(時間) ⇔C 領先 A 180°(角度) π(弧度) λ/2(距離) T/2(時間) ⇔ ⇔ ⇔

λπφ x

Tt

2Δ

=Δ

=Δ

，而定義『相位角』=P×2π。 【備註】：多數參考書定義『相位』P=

不過，大學普物課本並未出現此種定義法，而是相位 θ= 。 φω +tkx ∓

第十二章 波 動

1202081 如圖為一向右傳播的繩波在某一時刻繩子各點的位置圖，則： (1)經過 1/4 週期後，乙點的位置將移至何處? (2)經過 1/2 週期後，乙點的位置將移至何處? (A)它的正下方 y=－4cm 處 (B)它的正下方 y=0 cm 處 (C)它的正下方 y=－2cm 處 (D)丁點處 (E)戊點處

120209

一弦長 10 米，質量為 100 公克，兩端施以 5 公斤重的拉力，並使連續振動產生週期波，每秒振動 70 次，則此波的波長為？

2

【解題思路】：題目給的條件，一定會在解題時用到！仔細看此題題目給的條件，

你會想到什麼？ 【牛刀小試】： 1.一弦長 10 米，質量為 100 公克，兩端施以 20 公斤重的拉力，並使連續振動產生週期波，每秒振動 35 次，則此波的波長為？(4) 2.一弦長 10 米，質量為 100 公克，兩端施以 5 公斤重的拉力，並使連續振動產生週期波，每秒振動 35 次，則此波的波長為？(2)

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