ecuaciones_matlab

1 Dr. SORIA QUIJAITE JUAN JESÚS

TEORÍA DE ECUACIONES CON MATLAB

SESIÓN 01

1. ENTORNO DE TRABAJO DEL MATLAB

Los números reales se pueden insertar también en notación científica, muy adecuados si se traza de

números grandes o muy pequeños (en valor absoluto). Así, se tiene la siguiente regla de

construcción para representar números reales:

Si rmx 10. entonces su equivalente es remx .. así como por ejemplo:

310737007.0 xe

1245310.453 12 e

0092012.11201200000 e

0041415.300031415.0 e

Existen además dos números especiales: Inf y NaN . El primer signo representa la cantidad infinita

(∞). La segunda, es una abreviatura de “no es un número ” (Not a Number) y es el resultado que se

devuelve ante una operación indefinida como 0/0.

2. OPERADORES ARITMÉTICOS

Los operadores aritméticos que se posee MATLAB se ven a continuación:

Operación Descripción Elementos a y b

+ a+b : Realiza la suma de a y b Escalares, vectores o matrices

- a-b : Realiza la resta de a y b Escalares, vectores o matrices

* a*b : Realiza la multiplicación de a y b Escalares o matrices

.* a .* b : Realiza la multiplicación de a y b Escalares o de vectores

/ a / b : Realiza la división de a entre b Matrices

./ a / b : Realiza la división de a entre b Vectores

\ a \ b : Realiza la división de b entre a Escalares o de matrices

.\ a .\ b : Realiza la división de b entre a Vectores

^ a ^ b : Eleva la base a al exponente b Escalares o escalar de matrices (pM )

.^ a .^ b : Eleva la base a al exponente b vectores

3. OPERADORES RELACIONALES

Los operadores relacionales que se posee MATLAB se ven a continuación:

Operación Descripción

~= a ~= b : Establece la condición de ba

> a > b : Establece la condición de a mayor que b

< a < b : Establece la condición de a menor que b

>= a >= b : Establece la condición de a mayor o igual que b

<= a <= b : Establece la condición de a menor o igual que b


| a | b : Establece la disyunción de a o b

== a==b : Establece la condición de a igual a b

4. FORMATOS

MATLAB, presenta los valores de acuerdo a un formato, el que por defecto es

format short ; existen otros

Comandos Valor de pi

long 3.14159265358979

short e 3.1416e+000

long e 3.141592653589793e+000

hex 400921fb54442d18

bank 3.14

+ +

rat 355/113

short 3.1416

5. OPERADORES LÓGICOS

Los operadores relacionales que se posee MATLAB se ven a continuación:

Operación Descripción

~A Negación lógica (NOT) o complementario de A

A&B Conjunción lógica (AND) o intersección de A y B

A | B Disyunción lógica inclusiva (OR) o unión de A y B

xor(A,B) OR exclusivo (XOR) o diferencia simétrica de A y B

6. VARIABLES

En Matlab como en cualquier otro lenguaje de programación se utilizan variables, estas deben tener

un nombre según ciertas reglas las cuales son:

No pueden comenzar con un número, aunque si pueden tener números en su estructura:

variable1 es un nombre válido.

Las mayúsculas y minúsculas se diferencian en los nombres de variables: A y a son variables

diferentes.

Los nombres de variables no pueden contener operadores ni puntos. No es válido usar / , * , -

, + , . , ; , : , ^ .

Para el uso de una variable no es necesario declarar sus nombres , en la siguiente tabla se presenta

las variables predefinidas que posee Matlab.


Nombre de la

variable

Significado

Pi

i y j Unidad imaginaria = 1

Inf Infinito =

eps Épsilon de la máquina =1.0000e-006

NaN No es un número

realmin Menor número 10222

relamas Mayor número 10232)2( e

Date Fecha

flops Contador de operaciones de punto flotante

nargin Número de argumentos de entrada de una función

nargout Número de argumentos de salida de una función

7. COMANDOS DE LECTURA Y ESCRITURA

Matlab provee una forma sencilla de leer variables desde el teclado y visualizar mensajes en la

pantalla de la computadora a través de las siguientes funciones:

input .- Permite el ingreso de datos al programa a través del teclado asignándolo a una

variable, esta orden puede usarse con un mensaje en la línea de comandos. Después de

imprimir el mensaje, la orden espera que el usuario digite el valor numérico, un vector, una

matriz o una expresión válida del matlab.

Ejemplo:

z= input(‘ingrese un número’, ‘s’)

Asigna a la variable z la cadena ingresada

s : indica que la entrada que se hará por el teclado es una cadena

fprintf.- Permite la visualización de un valor numérico o el resultado de una expresión

guardada por el usuario.

Ejemplo:

>> vol=25

>>fprintf (‘el volumen de la esfera es:’, %12.0f \ n’, vol )

\ n’ : indica que la impresión de la variable vol será en la siguiente línea

%12.0f : formato de un número entero

%12.5f : formato de un número real con 5 decimales.


disp.- Permite visualizar en pantalla un mensaje de texto o el valor de una matriz, pero sin

imprimir su nombre. En realidad, disp siempre imprime vectores y/o matrices, las cadenas de

caracteres se consideran un caso particular de vectores.

Ejemplos:

>> disp(‘Esta es una prueba’)

>> disp(‘pi’)

>> disp(‘El programa ha terminado’)

>> A=rand(4,4)

>> disp(A)

clear : Borra las variables usadas de la memoria

clc : Limpia la información de la ventana de comandos

8. FUNCIONES MATEMÁTICAS EN MATLAB

Matlab ofrece un sinnúmero de funciones las que aceptan como argumento variables reales

y/o complejas sin discriminación, así como con argumentos matriciales.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIÓN- Matlab DESCRIPCIÓN FUNCIÓN INVERSA

sin(x) Seno de x asin(x)

cos(x) Coseno de x acos(x)

tan(x) Tangente de x atan(x) y atan2(x)

cot(x) Cotangente de x acot(x)

sec(x) Secante de x asec(x)

csc(x) Cosecante de x acsc(x)

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

FUNCIÓN- Matlab DESCRIPCIÓN FUNCIÓN INVERSA

sinh(x) Seno hiperbólico de x asinh(x)

cosh(x) Coseno hiperbólico de x acosh(x)

tanh(x) Tangente hiperbólica de x atanh(x)

coth(x) Cotangente hiperbólica x acoth(x)

sech(x) Secante hiperbólica de x asech(x)

csch(x) Cosecante hiperbólica x acsch(x)

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

FUNCIÓN- Matlab DESCRIPCIÓN Lenguaje matemático

exp(x) Función exponencial en base e (e^x) xexf )(

log(x) Función logaritmo en base e de x )()( xLnxf

log10(x) Función logaritmo en base 10 de x )()( xLogxf


log2(x) Función logaritmo en base 2 de x )()( 2 xLogxf

pow2(x) Función potencia de base 2 de x xxf 2)(

sqrt(x) Función raíz cuadrada de x xxf )(

FUNCIONES ESPECÍFICAS DE VARIABLE NUMÉRICA

FUNCIÓN- Matlab DESCRIPCIÓN Lenguaje matemático

abs(x) Valor absoluto del real x xxf )(

floor(x) El mayor valor entero o igual que el

real x

ceill(x) El menor entero mayor o igual que el

real x

round(x) El entero más próximo al real x

rem(a,b) Da el resto de la división entre los

reales a y b

sing(x) Signo del real x (1 si x>0 ; -1 si x<0) )()( xSingxf

fix(x) Elimina la parte decimal del real x

format rat pi %ans =355/113 format short pi %ans =3.1416 format short e pi %ans =3.1416e+000 format bank pi %ans = 3.14 format long pi %ans =3.14159265358979 format long e pi %ans =3.141592653589793e+000

str2num('15/14') %ans=1.071428571428571e+000 num2str(pi) %ans=3.1416


str2mat('IEP "DE LA CRUZ"','MATEMATICA','LOS TRIANGULOS','PROPIEDADES','EJERCICIOS') %ans =IEP "DE LA CRUZ" MATEMATICA LOS TRIANGULOS PROPIEDADES EJERCICIOS

SISTEMAS DE NUMERACIÓN Matlab permite trabajar con sistemas de numeración de base cualquiera.

dec2base(decimal, n_base) Convierte el número decimal (base 10) especificado a la nueva base n base dada

base2dec(numero,B) Convierte el número dado en base B a decimal

dec2bin(decimal) Convierte el número decimal especificado a base 2(binario)

dec2hex(decimal) Convierte el número decimal especificado a base 16 (hexadecimal)

bin2dec(binario) Convierte el número binario especificado a base decimal

hex2dec(hexadecimal) Convierte el número base 16 especificado a base decimal

Transformar el numeral 324 al sistema binario

dec2base(324,2) % ans =101000100

Transformar el numeral (4)3121 al

sistema decimal base2dec('3121',4) ans = 217

Transformar el numeral 3242 al

sistema binario dec2bin(3242) ans =110010101010

Transformar el numeral 125 al sistema hexadecimal

dec2hex(125) ans =7D

Transformar el numeral (2)101101 al

sistema decimal bin2dec('101101') ans = 45

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Relacionar ambas columnas

adecuadamente: I) 23(5) ( ) 15

II) 15(7) ( ) 13

III) 33(4) ( ) 12

2. Convertir:

123 a base 6 : ………………………

254 a base 7: …….…………………

3. Convertir:

432(5) a base 7 : ……………………

202(3) a base 8 : ……………………

4. Colocar “V” o “F” según corresponda: I. 27 = 102(5) ( ) II. 57 = 321(6) ( ) III. 10 = 1010(2) ( ) IV. 22 = 113(4) ( )

5. Colocar > ; < ó = según corresponda: 16(7) 15(8)

23(5) 23(6)

28(9) 121(4)

6. Si: )8(mnp = 312(7)

Hallar: m + n + p a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

7. Si: )9(abc = 175

Hallar: a + b + c a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

8. Hallar “x” si:

xxx = 4210(5)

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

9. Convertir: A. 1023(5) a base 25 a) 513(25) b) 5(13) (25) c) 6(13) (25) d) 512(25) e) 5(12) (25)

B. 11102(3) a base 9 a) 442(9) b) 142(9) c) 332(9) d) 342(9) e) 742(9)


10. Si: N = 73 x 5 + 72 x 4 + 7 x 3 + 9 Convertir N a base 7 a) 5439(7) b) 5432(7) c) 5442(7) d) 5437(7) e) 5449(7)

11. Si: N = 83 x 7 + 82 x 5 + 8x 4 + 20 Convertir N a base 8.

a) 7542(8) b) 5472(8) c) 754(20)(8) d) 7564(8) e) 8564(8)

SESIÓN 02 MATLAB es una abreviatura de Matriz Laboratory (Laboratorio de Matrices). La implementación original de Matlab la realizó Cleve Moler a finales de los años 70, las aplicaciones de Matlab se fueron extendiendo a otras ramas del cálculo científico y de las ciencias aplicadas en general. Dichas extensiones se consiguieron en gran parte mediante la implementación de toolboxes, librerías que utilizan Matlab para ampliar el rango de problemas que puede cubrir.

1. ENTORNO DE TRABAJO DEL MATLAB

Entre las primeras características de Matlab destacamos las siguientes:

El prompt de Matlab es >>. El usuario escribe a continuación

Para ejecutar se pulsa la tecla Enter

Se puede recuperar comandos anteriores navegando con las flechas ↑ y ↓

Cuando se trabaje con Matlab, debemos tener en cuenta que:

Se distinguen las mayúsculas de las minúsculas

El carácter % se utiliza para insertar comentarios. Todo lo que sigue es ignorado por Matlab

Si se teclea al final de una orden “ ; ” ésta se ejecuta pero el resultado no se visualiza por

pantalla. RESOLVIENDO ECUACIONES POLINÓMICAS CON MATLAB

I.- El comando roots, determina las raíces(soluciones) de un polinomio de cualquier grado n. Su sintaxis es: r=roots(p) Descripción: r=roots(p) retorna un vector columna cuyos elementos son las raíces del polinomio p E-1) Resolver la ecuación cuadrática

015132 2 xx

Resolución %Digitar en MATLAB p1=[2 -13 15]; roots(p1) %resultado ans = 5.0000 1.5000

El conjunto solución es };5{2

3CS

E-2) Resolver la ecuación cuadrática

0632 2 xx

Resolución %Digitar en MATLAB P2=[sqrt(2) -sqrt(3) 6]; roots(p2) %resultado ans = 0.6124 + 1.9666i 0.6124 - 1.9666i

E-3) Resolver la ecuación polinómica

0671232 234 xxxx

Resolución %Digitar en MATLAB p3=[2 -3 -12 7 6]; roots(p3) %Resultado ans = 3.0000 -2.0000 1.0000 -0.5000 E-4) Resolver la ecuación polinómica

01284545812 2345 xxxxx

Resolución %Digitar en MATLAB p3=[12 -8 -45 45 8 -12]; roots(p3) %Resultados ans = -2.0000 -0.5000 1.5000 1.0000 0.6667 II.- El comando solve, determina las soluciones de una ecuación algebraica en una variable así como resuelve sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Su sintaxis es: g=solve(eq) g = solve(eq,var) g = solve(eq1,eq2,...,eqn)


g= solve(eq1,eq2,...,eqn,var1,var2,...,varn) Descripción: g=solve(eq) retorna las soluciones de una ecuación algebraica. E-1) Resolver la ecuación algebraica

1323 xx

Resolución Lo llevamos a su equivalente

01323 xx

%Digitar en MATLAB syms x solve(sqrt(3*x-2)-sqrt(x+3)-1) %resultado ans = 6 E-2) Resolver la ecuación algebraica

65439021 22 xxxxx


065439021 22 xxxxx

%Digitar en MATLAB syms x solve(sqrt(x.^2-21*x+90)-sqrt(x.^2+3*x-54)-x+6) %Resultado ans = 6 E-3) Resolver la ecuación algebraica

12

1

10

11

xx


012

1

10

11

xx

%Digitar en MATLAB syms x solve((1./x)+(1./(x+10)-(1/12))) %resultado ans = -6 20 E-4) Resolver el sistema de ecuaciones

034

3

2

2

xx

yxyx

Resolución %Digitar en MATLAB syms x y [x,y]=solve('x^2 + x*y + y=3','x ^2 - 4*x + 3 = 0') %resultados x = 1 3 y = 1 -3/2

E-5) Resolver el sistema de ecuaciones

06

15

2

2

xyy

xyx

Resolución syms x y [x,y]=solve('x^2-x*y-15=0','y^2 -x*y+6=0') x = 5 -5 y = 2 -2 Luego el conjunto solución es:

)2;5(),2;5(),2;5(),2;5(CS

GUÍA DE EJERCICIOS PRÁCTICOS I. Resolver las siguientes ecuaciones y sistemas:

1. 0232 2 xx

2. 02563 23 xxx

3. 012441412 234 xxxx

4. 06419797416 2345 xxxxx

5. 02728 36 xx

6. 33322 22 xxxx

7. 91)52)(9)(72( 2 xxx

8. 6

131

1 x

x

x

x

9. 524

46

2

xx

xx

10.

4

1

1

74

4

5

1

31

yx

yx 11.

2

1

8

2011

yx

xyyx

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS I. Resolver las siguientes ecuaciones y sistemas:

1.- 0231332 234 xxxx

2.- 0235532 2345 xxxxx

3.- 013332 2457 xxxxx

4.- 0543 2 xx

5.- 04323 23 xxx 3

6. 8)1(2

20)21(2

1 y

y

x

x

7. 1

555

2424

2435

xxyyxyx

xxxxx

8. 9

6

33

22

yx

xyyx 9.

2

362

yx

xyyx


10.

6

6

14222

xy

zyx

zyx

11.3

221

yx

yx

12. 13

65))((

22

22

yxyx

yxyx

13.

3

2

15

yx

x

yy

y

xx

SESIÓN 03 PLOTEANDO FUNCIONES REALES EN 2D

CON EL SOFTWARE MATLAB

I. El comando plot grafica el vector X versus el vector Y. Si X e Y son matrices entonces el vector es ploteado por filas y columnas de matriz. La sintaxis es: plot(X1,Y1,...) plot(X1,Y1,LineSpec,...) plot(...,'PropertyName',PropertyValue,...) plot(axes_handle,...) h = plot(...) hlines = plot('v6',...)

E-1) Graficar la función 1253)( 2 xxxf

Resolución %Digitar en MATLAB x=-9:0.05:9; y=-3*x.^2-5*x+12; plot(x,y,'r') grid on xlabel('EJE DE ABSCISAS')

ylabel('EJE DE ORDENADAS') title('PLOTEANDO CON SORIA') gtext('máximo') gtext('y=-3*x.^2-5*x+12') %resultando el gráfico

E-2)

Graficar la función 8422)( 23 xxxxf

Resolución %Digitar en MATLAB x=-6:0.05:6; y=2*x.^3-2*x.^2-4*x+8; plot(x,y,'r') grid on

xlabel('EJE DE ABSCISAS') ylabel('EJE DE ORDENADAS') title('PLOTEANDO CON SORIA') gtext('raiz') gtext('y=2*x.^3-2*x.^2-4*x+8') %Resultando

Función Matemática En MATLAB

xxf )( )()( xsqrtxf

xxf )( )()( xabsxf

n xxf )( (1/n)^.)( xxf

)log()( xxf )(10log)( xxf

)()( xLnxf )log()( xxf

xxf 2)( )(2)( xpowxf

xaxf )( )(^.)( xaxf

)()( xsenxf )sin()( xxf

)cos()( xxf )cos()( xxf

)tan()( xxf )tan()( xxf

xexf )( )exp()( xxf

nxxf )( )(^.)( nxxf


E-3) Interceptar la funciones reales

4)(.)(

32))(tan())(cos()(

22

2

xxxsenexg

xxsenxsenxf

x

Resolución %Digitar en MATLAB x =-pi:0.005:pi; f=cos(sin(x))-sin(tan(x))-2*x.^2-3; g=exp(-2*x).*sin(x)+x.^2-x+4; plot(x,f,'r',x,g,'k') grid on xlabel('EJE DE ABSCISAS') ylabel('EJE DE ORDENADAS') title('PLOTEANDO CON SORIA') gtext('f=cos(sin(x))-sin(tan(x))-2*x.^2-3') gtext('g=exp(-2*x).*sin(x)+x.^2-x+4;') %Resultando E-3) Supongamos que cierto tipo de bacterias se reproduce al triple cada media hora. ¿Qué cantidad habrá al cabo de tres horas si inicialmente hay 100 bacterias?

Resolución Sea el siguiente cuadro

Tiempo transcurrido Número de bacterias

0 hora 100= 100.30

2

1 hora 300= 100.31

1 hora 900= 100.32

2

11 hora 2700= 100.33

2 hora 8100= 100.34

x horas 100.3x

Luego la regla de correspondencia

es :xxp 3.100)(

Como en tres horas hay seis medias horas,

entonces 90072729.1003.100)6( 6p

%ploteo de MATLAB x=0:0.05:6; y=100*(3.^x); plot(x,y,'b') grid on xlabel('HORAS') ylabel('POBLACIÓN EN MILES ')

title('PLOTEANDO CON SORIA') gtext('Total=72900') gtext('f(x)=100*(3.^x)') E-4. Se dispone de 24 m de malla metálica para construir un corral rectangular. ¿Cuáles deben ser las medidas del corral para que este tenga la mayor superficie (área)?

Resolución

)(2 yxPerímetro , entonces 2(x+y)=24

x+y=12 y=12-x

yxArea . xxxxArea 12)12.( 2

Luego para X=6 se tiene mayor superficie %Ploteando en MATLAB x=-3:0.05:15; y=-x.^2+12*x; plot(x,y,'b') grid on xlabel('EJE X') ylabel('EJE Y ') title('PLOTEANDO CON SORIA') gtext('MÁXIMO=36') gtext('y=-x.^2+12*x')

GUÍA DE EJERCICIOS I. Plotear las siguientes funciones reales

1. 24124)( 2 xxxf ; 41

3)(

2

x

xxg

2. 46254)( 23 xxxx

3. 44)( 22242

xxex xx

4. 3log2)( 22)2( xxex xsen

5. xxsenxxx )(43)( 2

6. 223 )132()( xxxxsenxg

y

x


7. 234 3)( xesenxxxg x

8. 4)2ln()13()( 25 2 xxxsenxg

9. Los registros de temperatura tomados entre las 0h y las 24 h en una zona rural de Ica se

ajustan a la función 10)12(10

1)( 2xxT ,

donde T es la temperatura en grados centígrados y x es la hora del día. a) ¿Cuál fue la temperatura máxima? ¿A qué hora se registró? b) ¿A que hora la temperatura fue de 0 °C? c) ¿Qué temperatura se registro a las tres de la tarde? 10. Trace la gráfica de la función

( ) .2 ; 0n xf x x x , para n=1,2,3,4,5 y 6.

¿Cómo cambia la gráfica al crecer n? 11. Las curvas con ecuaciones

2( )

xf x

c xse llaman curvas de nariz de

bala. Grafique algunas para ver el porqué de este nombre. ¿Qué sucede al crecer c ?

EL MÁXIMO ENTERO

Definición.- Si x є IR, el máximo entero que se

denota por x

se define por el símbolo

x n , donde n es el mayor entero menor

que, o igual a x. Es decir:

Znnxnnx ,1

Ejemplos:

5.3 5

5.3 6

5.7 5

%MATLAB

En Matlab el máximo entero del número real x

lo determina el comando floor(x).

Ejemplo

Calcular el valor de:

4.3 5.2

3.7 7.1M

%Sentencia en Matlab sqrt(floor(4.3)+floor(5.2))) / (floor(-3.7)+floor(-7.1))

%ans = -1/4

Simplificar las siguientes expresiones

A) 3

9.1 6.5 10.8

6.7 0.6M

B) 5

3

19.1 2.2 3.3 4.4

3.7 4.1M

C) 2 12.3 4.2

83.7 17.1

LogM

Log

D) 2 7 66.8 . 4.8 . 7.3Log Log Log

Me

PRODUCTOS NOTABLES

1. Reducir

3333 )()1(3)2(3)3( babababaP

Resolución

%MATLAB

syms a b p

p=(a+b+3).^3-3*(a+b+2).^3+3*(a+b+1).^3-(a+b).^3;

simplify(p)

%ans = 6

2. Simplificar

333

333333

)()()(

)()()(

accbba

acbcbabacR

Resolución

%MATLAB

syms a b c n d R

n=c.^3*(a-b).^3+a.^3*(b-c).^3+b.^3*(c-a).^3;

d=(a-b).^3+(b-c).^3+(c-a).^3;

R=n./d;

pretty(R)

simplify(R)

3 3 3 3 3 3

c (a - b) + a (b - c) + b (c - a)

% ---------------------------------------

3 3 3

(a - b) + (b - c) + (c - a)

%ans =c*a*b


3. Calcular ExF si las expresiones son

50)13()4)(2)(5)(3( 22 xxxxxxE

)4)(3)(2)(1()55( 22 xxxxxxF

Resolución

%MATLAB

syms x E F P

E=(x-3).*(x-5).*(x+2).*(x+4)-(x.^2-x-13).^2+50;

F=(x.^2+5*x+5).^2-(x+1).*(x+2).*(x+3).*(x+4);

P=E.*F;

pretty(P);

simplify(P)

2 2

% ((x - 3) (x - 5) (x + 2) (x + 4) - (x - x - 13) + 50)

2 2

% ((x + 5 x + 5) - (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4))

% ans =1

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1) Simplificar la siguiente expresión 2 2(2 3 ) (3 2 )

6

x y y xE

xy

2) Simplificar la siguiente expresión 2( 3)( 3) 9 ( ) 4E x y x y x y xy

3) Simplificar la siguiente expresión 2( 9) ( 13)( 5)

( 10)( 9) ( 16)( 3)

x x xE

x x x x

4) Simplificar la siguiente expresión 3 3( ) ( ) 3( )( )E a b c a b a b c a b c

5) Simplificar la siguiente expresión 2 2

2 2

a b a b a bE

a b a b a b

6) Sea 2 2( ) ( 1)( 1)( 1)( 1)P x x x x x x x

Hallar el valor numérico de P(x) para

4 15 4 15x

7) Sea 3 32 3 2 3x

Hallar el valor numérico de A donde

3 3 3 23A x x

VALOR NUMÉRICO

1. Sea 243)( 2 xxxf . Hallar f(2)+f(-3)

Resolución

syms x

f=3*x^2-4*x+2;

subs(f,2)+subs(f,-3)

%ans = 47

%realiza lo mismo

>> f='3*x^2-4*x+2';

subs(f,2)+subs(f,-3)

%ans = 47

2. Sea 564)( 23 xxxxf . Calcular

)1(af

Resolución

syms x a

f=x^3+4*x^2-6*x+5;

p=subs(f,a+1)

pretty(p)

simplify(p)

%p =(a+1)^3+4*(a+1)^2-6*a-1 3 2 % (a + 1) + 4 (a + 1) - 6 a - 1 %ans =a^3+7*a^2+5*a+4

4. Sea 222),,( zyxzyxf . calcular

)1;2;1()3;2;2( ff

Resolución

syms x y z

f=x^2+y^2+z^2;

p=subs(f,{x,y,z},{-2 2 3})+subs(f,{x,y,z},{-1 -2 1})

% p =23

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Calcular el valor numérico de

3 2 2 33 3B x x y xy y ; para x= -1 ;

y=1

2. Si 2( ) 4 4 1P x x x , calcular

1

2P P

3. Si 2( ) 6 9P x x x , calcular

(5) (4)

(4)

P PE

P

4. Si 2 33 1

5 3( ) 2P x x x , calcular 1

2( )P


5. Si 2( ) 3 1P x x x , calcular

( 2) ( 1)

(4) (3)

P PE

P P

6. Dados los polinomios 2

2

( ) 1

( ) 3 5

( ) 4 5

A x x x

B x x x

C x x

Evaluar P(-1/7), si P(x)=A+B-C

7. Hallar P(0)+P(1) si 2 2( )P x E EF F , donde E=x+3 ;

F=2-x+x2 .

8. Si ( 3) 5 7

( ) 3 15 2

P x x

Además P M x x

Hallar el valor (1)P M

SESIÓN 04 - POLINOMIOS

Polinomio.- Un polinomio es una función de una sola variable que se puede expresar en la

siguiente forma general, NNN

NNN axaxaxaxaxaxf 1

2

2

2

2

1

10)( donde:

Naaaa ;;;; 210 = Coeficientes ; x= variable ; N=grado de f(x) .

Si 10a ,entonces f(x) es mónico.

..ITaN = término independiente ; escoeficient

ff )1( ; )0(..min ffIndoTér

Grado del polinomio.- El grado del polinomio es igual al valor más alto empleado como exponente. Evaluación de polinomios.- Existen varias formas de evaluar un polinomio para un conjunto de valores usando MATLAB . Los polinomios pueden evaluarse con el comando polyval.

E-1) Sea el polinomio 1273)( 234 xxxxxp . Evaluar P(2. 5) en MATLAB

p=[3,-7,2,1,1]; %coefientes del polinomio xi=2.5; yi=polyval(p,xi) %evaluación del polinomio en xi=2.5 yi = 23.812 Las raices del polinomio p=[3,-7,2,1,1]; %coefientes del polinomio p(x) r=roots(p) %soluciones o raíces de p(x) r = r1= 1.8050 r2=1.0000 r3=-0.2358 + 0.3592i r4=-0.2358 - 0.3592i Ajuste de polinomios.- Un polinomio de orden N está determinado de forma única si se dan N+1 puntos. En otras palabras, el polinomio de orden N ajustados a N+1 puntos de datos,

);( ii yx , i=1,2,3,…, N+1, es único. Los coeficientes del polinomio se pueden determinar

fácilmente con polyfit . Supongamos que un conjunto de datos está dado por : x=[1.1,2.3,3.9, 5.1]; y=[3.887,4.276,4.651,2.117]; entonces :a=polyfit(x,y,length(x)-1) % produce coeficientes del polinomio reajustado produce a=-0.2015 1.4385 -2.7477 5.4370 que es un vector de los coeficientes del polinomio. El polinomio aquí determinado es :

4370.57477.24385.12015.0 23 xxxy , cuya grafica es :


E-2) Dados lo polinomios 287452)( 2345 xxxxxxp y 5342)( 23 xxxxq

El producto de los polinomios lo calculamos con el comando conv(p,q) %calcula el producto de p(x).q(x) p=[2,-5,4,-7,8,-2] q=[2,-4,3,-5] prod=conv(p,q) p = 2 -5 4 -7 8 -2 q = 2 -4 3 -5 prod = 4 -18 34 -55 81 -77 67 -46 10

luego 10466777815534184)().( 2345678 xxxxxxxxxqxp

La división de los polinomios lo calculamos con el comando [Q,R]=deconv(p,q)

donde Q y R representan los coeficientes del cociente y residuo respectivamente. p=[2,-5,4,-7,8,-2] q=[2,-4,3,-5] [Q,R]=deconv(p,q) p = 2 -5 4 -7 8 -2 q = 2 -4 3 -5 Q = 1.0000 -0.5000 -0.5000 R= 0 0 0 -2.5000 7.0000 -4.5000

Luego : 5000.05000.00000.1)( 2 xxxQ y 5000.40000.75000.2)( 2 xxxR

PRÁCTICA DE LABORATORIO CON MATLAB E-1) Suponga que se han dado los siguientes polinomios

33)( 23

1 xxxxf 8126)( 23

2 xxxxf 16208)( 23

3 xxxxf

375)( 23

4 xxxxf 2)(5 xxf

Grafique cada una de las siguientes funciones en el intervalo [0; 4]. Use funciones MATLAB con vectores de coeficientes de polinomios para evaluar las expresiones:

)()1 1 xf )(2)()2 42 xfxf )(2)()(3)3 325 xfxfxf

)(*)()4 31 xfxf 1

)()5 4

x

xf

)(

)(*)()6

5

21

xf

xfxf

)(*)()7 2

3

4

3 xfxf 1

)()8

2

4

5

x

xf

)(

)(*)()8

3

4

5

3

2

xf

xfxf


E-2) Determine las raíces reales de los siguientes polinomios. Luego grafique cada polinomio en un intervalo apropiado a fin de verificar que cruza el eje x en las posiciones de las raíces reales.

a) 825)( 23

1 xxxxg

b) 44)( 2

2 xxxg

c) 22)( 2

3 xxxg

d) 241027113)( 2345

4 xxxxxxg

e) 48283294)( 2345

5 xxxxxxg

f) 24402643)( 2345

6 xxxxxxg

g) 266465359)( 2345

6 xxxxxxg

h) 482272452)( 23456789

5 xxxxxxxxxxg

AJUSTE DE POLINOMIOS

function interpolacion fprintf('\n') x = input('ingrese los valores de x='); y = input('ingrese los valores de y='); n=length(x); V=ones(n,n); x=x'; y=y'; for j=2:n V(:,j)=x.*V(:,j-1); end a=(V\y)' %GRAFICA z=x(1):0.2:x(n); imagen=a(n); for i = n-1: -1 :1 imagen=a(i)+z.*imagen; end plot(z,imagen,x,y,'o') xlabel('EJE DE ABSCISAS') ylabel('g(x):puntos de datos') title('INTERPOLACION DE POLINOMIOS') grid on

E-3) En la tabla se lista el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera, medido en partes por

millón (ppm) en el observador de Mauna Loa, desde 1972 hasta 1970.

a) Haga un diagrama de dispersión de los datos

b) Determine y grafique el polinomio interpolador

c) Use el polinomio interpolador de b) para estimar el nivel promedio de CO2 para 1987 y predecir el

nivel para los años 2005 y 2008.

d) De acuerdo al modelo ¿Cuánto excederá 400 partes por millón el nivel de CO2?

Año Nivel de CO 2 en ppm

1972 327.3

1974 330.0

1976 332.0

1978 335.3

1980 338.5

1982 341.0

1984 344.3


1986 347.0

1988 351.3

1990 354.0

Resolución

a) Haciendo el diagrama de dispersión para los puntos desde 1970 en el eje x

x=[2,4,6,8,10,12,14,16,18,20];

y=[327.3,330,332,335.3,338.5,341,344.3,347,351.3,354];

b) Polinomio interpolador

%compilación

ingrese los valores de x=[2,4,6,8,10,12,14,16,18,20]

ingrese los valores de y=[327.3,330,332,335.3,338.5,341,344.3,347,351.3,354]

%respuesta a = Columns 1 through 8 402.0000 -110.9756 65.6330 -20.4850 3.7962 -0.4372 0.0316 -0.0014 Columns 9 through 10 0.0000 -0.0000

98765432 000014.00316.04372.07962.34850.206330.659756.110402)( xxxxxxxxxxp

EJERCICIOS DE APLICACIÓN E-1) Los biólogos han observado que la cantidad de chirridos por minuto de los grillos de una especie, está relacionada con la temperatura ambiente. La tabla muestra el número de chirridos por minuto para varias temperaturas:

Temperaturas(°F) Chirridos por minuto

50 20

55 46

60 79

65 91

70 113

75 140

80 173

85 198

90 211

a) Haga un diagrama de dispersión de los datos b) Determine y grafique el polinomio interpolante c) Use el polinomio para estimar el número de chirridos a los 100°F E-2) (Contaminación del agua) Al depositarse en un lago, los desperdicios orgánicos disminuyen el contenido de oxígeno del agua. Si t denota el tiempo en días después que se deposita el desperdicio, se

encuentra experimentalmente en un caso que el contenido de oxígeno es 600030 23 tty con

250 t . Encuentre los valores máximo y mínimo de “y” durante los 25 días siguientes al vaciado del

desperdicio.


E-3) (Contaminación atmosférica) El índice de contaminación atmosférica en cierta ciudad varía

durante el día de la siguiente manera:

1612;350

124;14

42;26

20;42

)(

tsit

tsi

tsit

tsit

tP

Aquí t es el tiempo en horas, con t=0 correspondiente a 6 a.m. y t=16 a 10 p.m. Haga la gráfica de esta función. ¿Cuál son los niveles de contaminación a las 8 a.m. , 12 del día, 6 p.m. y 8 p.m.? E-4) Al depositarse en un lago, los desperdicios orgánicos disminuyen el contenido de oxígeno del agua. Si t denota el tiempo en días después que se deposita el desperdicio, se encuentra experimentalmente

en un caso que el contenido de oxígeno es 600030 23 tty con 250 t . Encuentre los

valores máximo y mínimo de “y” durante los 25 días siguientes al vaciado del desperdicio.

SESIÓN 05- CÁLCULOS MATEMÁTICOS EN MATLAB 1) Cálculos en una sola variable

El área de la esfera 24 rA

r=2; A=4*pi*r.^2 %resultado A = 50.2655 Otra forma es utilizando el comando

subs syms r A=4*pi*r.^2; subs(A,2) %resultado ans = 50.2655 El enunciado if r=2; if r>0 A=4*pi*r.^2 end %resultado A = 50.2655 El operador igual(==) r=2; if r==2 A=4*pi*r.^2 end %resultado A = 50.2655 El operador no igual (~=) r=2; if r~=3 A=4*pi*r.^2

end %resultado A = 50.2655 El enunciado if se puede utilizar con

else o elseif r=2; if r>3 b=1 elseif r==3 b=2 else b=0 end %resultado b =0 r=6; if r>3 b=1 elseif r==3 b=2 else b=0 end %resultado b = 1 r=3; if r>3 b=1 elseif r==3 b=2 else b=0 end %resultado b =2


El comando disp exhibe un número, vector, matriz o cadena en la ventana de comandos

disp(pi) %resultado 3.1416 disp('YO SOY UN EXCELENTE ALUMNO') %resultado YO SOY UN EXCELENTE ALUMNO Los ciclos for/end y while/end El área de la esfera para r=1 hasta 5 for r=1:5 Area=4*pi*r.^2; disp([r,Area]) end %resultado ri Areas 1.0000 12.5664 2.0000 50.2655 3.0000 113.0973 4.0000 201.0619 5.0000 314.1593 r=0; while r<5 r=r+1; Area=4*pi*r.^2; disp([r,Area]) end %resultado ri Areas 1.0000 12.5664 2.0000 50.2655 3.0000 113.0973 4.0000 201.0619 5.0000 314.1593 El índide de ciclo puede decrementarse for r=5:-1:1 Area=4*pi*r.^2; disp([r,Area]) end %resultado ri Areas 5.0000 314.1593 4.0000 201.0619 3.0000 113.0973 2.0000 50.2655 1.0000 12.5664 Ciclos dobles y triples for r=1:5 for s=1:r Area=4*pi*r.^2;

disp([r,Area]) end end %resultados ri Areas 1.0000 12.5664 2.0000 50.2655 2.0000 50.2655 3.0000 113.0973 3.0000 113.0973 3.0000 113.0973 4.0000 201.0619 4.0000 201.0619 4.0000 201.0619 4.0000 201.0619 5.0000 314.1593 5.0000 314.1593 5.0000 314.1593 5.0000 314.1593 5.0000 314.1593 El comando break for r=1:3 for j=1:10 Area=4*pi*r.^2; disp([r,Area]) if j>2*r break end end end %resultados ri Areas 1.0000 12.5664 1.0000 12.5664 1.0000 12.5664 2.0000 50.2655 2.0000 50.2655 2.0000 50.2655 2.0000 50.2655 2.0000 50.2655 3.0000 113.0973 3.0000 113.0973 3.0000 113.0973 3.0000 113.0973 3.0000 113.0973 3.0000 113.0973 3.0000 113.0973 VARIABLES Y ARREGLOS x=[4,6,8,1,9]; x(2)% x(5)% %resultado ans =6 ans =9


ADEMÁS for i=1:6 x(i)=i*(i+1)/2 end %RESULTADOS x = 1 3 6 10 15 21 x = 1 3 6 10 15 21 x = 1 3 6 10 15 21 x = 1 3 6 10 15 21 x = 1 3 6 10 15 21 x = 1 3 6 10 15 21 Decrementa de dos en dos x=14:-2:2 %resultado x =14 12 10 8 6 4 2 Incrementa de dos en dos x=2:2:12 %resultado x = 2 4 6 8 10 12 Arreglos x=[3,5,7,8]; y=[1,2,9,6]; for i=1:4 z(i)=x(i)+y(i) end %resultados z = 4 z = 4 7 z = 4 7 16 z = 4 7 16 14 Posiciones de areglos A=[4,6,7;9,2,5;-3,-5,9] A(1,1) A(2,3) A(1,1) %resultados A =4 6 7 9 2 5 -3 -5 9 ans = 4 ans = 5 ans = 4 Posiciones A=[4,6,7;9,2,5;-3,-5,9] A(3,:) %resultados A =4 6 7 9 2 5 -3 -5 9 ans =-3 -5 9

A=[4,6,7;9,2,5;-3,-5,9] A(:,3) %resultados A =4 6 7 9 2 5 -3 -5 9 ans = 7 5 9 Anidados a=[3,4,6;3,8,3;4,3,6]; b=[1,2,3;7,8,9;4,6,6]; for i=1:3 for j=1:3 c(i,j)=a(i,j)+b(i,j) end end %respuesta c = 4 c = 4 6 c = 4 6 9 c = 4 6 9 10 0 0 c = 4 6 9 10 16 0 c = 4 6 9 10 16 12 c = 4 6 9 10 16 12 8 0 0 c = 4 6 9 10 16 12 8 9 0 c = 4 6 9 10 16 12 8 9 12

sumatorias x=[3,4,6,7,9]; sum(x) %respuesta ans = 29 x=[3,4,6;5,7,9]; sum(x) %respuesta ans = 8 11 15 x=[3,4,6;5,7,9;1,2,3]; sum(x) %respuesta ans = 9 13 18


x=[3,4,6,5,7,9]; MIN=min(x) MAX=max(x) %respuestas MIN = 3 MAX = 9 Media aritmética function [media, desviacion]=medias(x) n=length(x); media=sum(x)/n; desviacion=sqrt(sum(x.^2)/n-(media).^2); %Compilando x=[2,3,4,5,6,7]; [m,d]=medias(x) %respuesta m = 4.5000 d = 1.7078 Creación de archivos M function y=soria(x) y=x.^2-3*x+5; %Compilando soria(3) %respuesta ans = 5 %Compilando soria([3, 2;4,1]) %respuesta ans = 5 3 9 3 Funciones de Usuario propias function mp=fun(soria,a,b,c) mp=((feval(soria,a)+2*feval(soria,b)+feval(soria,c))/4);

%compilando fun('soria',2,4,-1) %resultados ans = 7.5000 LOBORATORIO DE MATLAB 1) Calcular el volumen de una esfera

3

3

4rV con r=2

2) El campo eléctrico de un disco circular

con radio R y densidad de carga con distancia Z a un eje es

220

11

2

.

zRz

zEZ . Calcular ZE

para 12102,1

12

0 1085,8

23z eR 4 35 e=N° neperiano

3) La densidad D de un objeto cilíndrico es

LR

MD

2, hallar la cota inferior y

superior de la densidad del objeto donde:

cmL

cmR

grM

012,0431,15

01,020,8

005.0029.0

4) Para un mesón 0 que decae en dos

fotones con una vida media se quiere calcular su velocidad por la fórmula

2

1c

L

donde; mL 510 ; 16102

9103c =velocidad de la luz . Hallar su

velocidad. 4) (Contaminación del agua) Al depositarse en un lago, los desperdicios orgánicos disminuyen el contenido de oxígeno del agua. Si t denota el tiempo en días después que se deposita el desperdicio, se encuentra experimentalmente en un caso que el contenido de oxígeno es

600030 23 tty con 250 t .

Encuentre los valores máximo y mínimo de “y” durante los 25 días siguientes al vaciado del desperdicio.


SESIÓN 06 - GRÁFICOS CON MARCAS Y PROGRAMACIÓN CON EL SOFTWARE MATLAB 7.0

GRÁFICOS CON MARCAS

TIPO DE MARCA SÍMBOLO

Punto .

Más +

Estrella *

Círculo o

Marca x x

TIPOS DE LÍNEA

TIPO DE LÍNEA SÍMBOLO

Continua -

Guiones --

Punteada :

Guiones y puntos -.

COLORES DE LÍNEA

COLORES DE LÍNEA SÍMBOLO

Rojo r

Amarillo y

Magenta m

Turquesa c

Verde g

Azul b

Blanco w

Negro k

E-1) Graficar la función x

xSenxf

)(10)(

Resolución %Formato para graficar x=-15:0.05:15; f1=10*sin(x)./(x); plot(x,f1,'+')

grid on title('GRAFICAS CON MARCAS') xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y') text(4,5,'f1=10*sin(x)./(x)')

El comando FontSize


%Este formato aumenta de tamaño las letras x=-15:0.05:15; f=sin(x)./(x); plot(x,f,'*m') grid on title('GRAFICAS CON MARCAS','FontSize',[20],'color','g') xlabel('ABSCISAS','FontSize',[18],'color','r') ylabel('ORDENADAS','FontSize',[18],'color','r') gtext('f=sin(x)./(x)','FontSize',[15],'color','b') El comando hold on en la

superposición x=-10:0.05:10; f1=sin(x)./(x+eps); plot(x,f1,'*') hold on f2=sin(x); f3=-cos(x); plot(x,f2,'+g') plot(x,f3,'.-r') grid on title('GRAFICAS CON MARCAS','FontSize',[20],'color','b') xlabel('ABSCISAS','FontSize',[18],'color','c') ylabel('ORDENADAS','FontSize',[18],'color','c')

El comando subplot en gráficos del

plano Con subplot podemos graficar m por n gráficas en una sola figura; la sintaxis es: subplot(m,n,k) donde k es el número secuencial de la gráfica. %Este formato realiza 4 graficas de 2 filas y 2 %columnas subplot(2,2,1) gtext('figura1') subplot(2,2,2) gtext('figura2') subplot(2,2,3) gtext('figura3') subplot(2,2,4) gtext('figura4')

Ejemplo: E-1)Graficar las funciones subplot(2,2,1) x=-5:0.05:5; f1=cos(x); plot(x,f1,'b') grid on title('subplot(2,2,1)') subplot(2,2,2) x=-5:0.05:5; f2=sin(x); plot(x,f2,'g') grid on title('subplot(2,2,2)') subplot(2,2,3) x=-2:0.05:2; f3=-x.^2; plot(x,f3,'r') grid on title('subplot(2,2,3)') subplot(2,2,4) x=-5:0.05:5; f4=-x.*sin(x); plot(x,f4,'k') grid on title('subplot(2,2,4)')

Práctica dirigida con MATLAB Graficar cada una de las funciones reales

1.- 0)( 2 xexxf

2.- 0)cos()( xxxf

3.- 0)cos(2)()( xxsenxf

4.- 0)1()cos()( 12xxxf

5.- 0)ln()2()( 2 xxxf

6.- 0)2()(4)( 22 senxxxsenxxf

7.- 012.0)log()( 2xxxf

8.- 06cos22)( xexf xx


9. 5)( 3xexf x

10. Lnxexsenxxf xcos)(

Utilice el comando subplot para graficar

1. 5)( 33 xexsenxf x

2 )log(32))3(tan()( 52 senxxxsenxf

3. 62cos)( 3 xxxsenxxf

4. )).cos(tan()( xxf

TAREA DOMICILIARIA Graficar las funciones reales

1) 21log210)( xxxxf

3) 42)()( xxLnxf

4) 12)(3

xex x

5) 3log)( 3cos xxexf xsenx

7) 4ln)( 3cosxxexf

xsenx

8) 22 )2()(4)( senxxxsenxx

9) )()( 1 xsenxxxf

10) 22 )cos2()cos(4)( xxxxxg

12) 6cos22)( xexr xx

SESIÓN 07 - ALGORITMOS Y PROGRAMACIÓN CON EL SOFTWARE MATLAB 7.0

I. Escriba un M-archivo de función que calcule la solución de 02 cbxax

Resolución Sabemos que la solución la determina la formula general dada por

a

acbbx

2

42

2,1 …………………(1)

Esto tendríamos que ingresarlo en MATLAB PRIMERA FORMA CON MATLAB: %programa soria1 para hallar la solución de (1) function raiz a=input('INGRESE EL VALOR DE a='); b=input('INGRESE EL VALOR DE b='); c=input('INGRESE EL VALOR DE c='); fprintf ('\n'); fprintf (' raiz1 raiz2 \n'); r1=(-b+sqrt(b.^2-4*a*c))./(2*a); r2=(-b-sqrt(b.^2-4*a*c))./(2*a); disp([r1,r2])

E-1) Resolver la ecuación 015112 2 xx

Resolución %Compilación raiz INGRESE EL VALOR DE a=2 INGRESE EL VALOR DE b=-11 INGRESE EL VALOR DE c=15 %Respuestas raiz1 raiz2 3.0000 2.5000

E-2) Resolver la ecuación 012 xx

Resolución %Compilación raiz INGRESE EL VALOR DE a=1 INGRESE EL VALOR DE b=1 INGRESE EL VALOR DE c=1 %Respuestas raiz1 raiz2 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i



Resolución %Compilación raiz INGRESE EL VALOR DE a=9 INGRESE EL VALOR DE b=-12 INGRESE EL VALOR DE c=4 raiz1 raiz2 0.6667 0.6667 SEGUNDA FORMA CON MATLAB: %programa soria2 para hallar la solución de (1) function [r1,r2]=solucion(a,b,c) D=b.^2-4*a*c; r1=(-b+sqrt(D))./(2*a); r2=(-b-sqrt(D))./(2*a);


Resolución %Compilación [r1,r2]=solucion(2,-11,15) %Respuesta r1 = 3 r2 = 2.5000

E-2) Resolver la ecuación 012 xx

Resolución %Compilación [r1,r2]=solucion(1,1,1) %Respuestas r1 = -0.5000 + 0.8660i r2 = -0.5000 - 0.8660i


Resolución %Compilación [r1,r2]=solucion(9,-12,4) %Respuesta r1 = 0.6667 r2 = 0.6667 EL COMANDO fplot del MATLAB 7.0 El comando fplot traza una función entre los límites especificados. La función debe ser

y=f(x) donde x es un vector cuyo rango especifica los límites y “y” es un vector del mismo tamaño como “x” y contiene el valor de la función a los puntos en “x”.

EJEMPLO1

Graficar la función x

xSenxf

)(300)( , en un dominio de [-15; 15]

Resolución fplot('300*sin(x)./x',[-15 15]) grid on xlabel('EJE DE ABSCISAS') ylabel('EJE DE ORDENADAS') title('EL COMANDO fplot')


gtext('f(x)=300*sin(x)./x') Cuya gráfica es: En el comando fplot si la función f(x) devuelve más de un valor por un x dado, entonces “y”

es una matriz cuyas columnas contienen cada componente de f(x). Aquí se debe crear un M-archivo especificando las funciones que se quieren graficar.

EJEMPLO2

Graficar la función )(.2)( kxCosexf x , para cunado “k” varie de 1,2,3,4,5,6,7. con D(f)=[-5;1]

Resolución %Crear un M-archivo y guardarlo con grafico7.m function y=grafico7(x) y(:,1) = 2*exp(-x(:)).*cos(x(:)); y(:,2) = 2*exp(-x(:)).*cos(2*x(:)); y(:,3) = 2*exp(-x(:)).*cos(3*x(:)); y(:,4) = 2*exp(-x(:)).*cos(4*x(:)); y(:,5) = 2*exp(-x(:)).*cos(5*x(:)); y(:,6) = 2*exp(-x(:)).*cos(6*x(:)); y(:,7) = 2*exp(-x(:)).*cos(7*x(:)); %Para compilar los gráficos crear un M-archivo y guardarlo con compfplot7 .m function compfplot7 fh=@grafico7; fplot(fh,[-5 1]) grid on xlabel('EJE X') ylabel('EJE Y') title('EL COMANDO fplot DE MATLAB') gtext('f1=2*exp(-x)*cos(x)') gtext('f2=2*exp(-x)*cos(2*x)') gtext('f3=2*exp(-x)*cos(3*x)') gtext('f4=2*exp(-x)*cos(4*x)') gtext('f5=2*exp(-x)*cos(5*x)') gtext('f6=2*exp(-x)*cos(6*x)') gtext('f7=2*exp(-x)*cos(7*x)') EJEMPLO3 Graficar la función para k=0,1,2,3,4,5,6. con dominio [-2 ; 1] siendo

))1((50)(50)( xkCoskxSenxf

Resolución %Crear un M-archivo y guardarlo con grafico8.m function y=grafico8(x) y(:,1) = 50*sin(pi*x(:)); y(:,2) = 50*sin(2*pi*x(:))+50*cos(3*pi*x(:)); y(:,3) = 50*sin(4*pi*x(:))+50*cos(5*pi*x(:)); y(:,4) = 50*sin(6*pi*x(:))+50*cos(7*pi*x(:)); y(:,5) = 50*sin(8*pi*x(:))+50*cos(9*pi*x(:)); y(:,6) = 50*sin(10*pi*x(:))+50*cos(11*pi*x(:));


y(:,7) = 50*sin(12*pi*x(:))+50*cos(13*pi*x(:)); %Para compilar los gráficos crear un M-archivo y guardarlo con compfplot8 .m function compfplot8 fh=@grafico8; fplot(fh,[-2 1]) grid on xlabel('EJE X') ylabel('EJE Y') title('EL COMANDO fplot DE MATLAB') Graficas de superficies E-1) Graficar la superficie

)(2)(),( 2 yCosxxySenyxf

Resolución %Este formato grafica una superficie x1=-1:0.05:1; y1=-1:0.05:1; [x,y]=meshgrid(x1,y1); f1=sin(x.*y)-x.^2+2*cos(y) mesh(x,y,f1) grid on title('f(x;y)=sin(x.*y)-x.^2+2*cos(y)') xlabel('EJE X') ylabel('EJE Y') zlabel('EJE Z') E-2) Graficar la superficie

5.3.),( 3232 yyxyxxyxf

Resolución x1=-1:0.05:1; y1=-1:0.05:1; [x,y]=meshgrid(x1,y1); f1=x.^2+x.*(y.^3)-3*(x.^2).*y+y.^3-5; mesh(x,y,f1) grid on title('x.^2+x.*(y.^3)-3*(x.^2).*y+y.^3-5') xlabel('EJE X') ylabel('EJE Y') zlabel('EJE Z') %GRAFICA DE CONTORNO3 x1=-6:0.05:6; y1=-6:0.05:6; [x,y]=meshgrid(x1,y1); f1=x.^2+x.*(y.^3)-9; contour(x,y,f1,[0.00 0.00],'k')


hold on f2=3*(x.^2).*y-y.^3-4; contour(x,y,f2,[0.00 0.00],'b') grid on xlabel('EJE DE ABSCISAS') ylabel('EJE DE ORDENADAS') title('Contorno de f1(x,y) y f2(x,y) ') gtext('x.*exp(x.*y+0.8)+exp(y.^2)-3') gtext('x.^2-y.^2-0.5*exp(x.*y)') PRÁCTICA DIRIGIDA DE MATLAB

1. Cree un archivo M de función, fun_ex(x) que calcule la función Senxxexf

x

235.0)( .

Pruebe su función tecleando fun_es(3) y fun_es([1 2 3]).

2.Escriba un M-archivo de función que calcule la solución de 02 cbxax , donde la

solución la determine la formula general dada por

acbb

cx

4

222,1

3. Utilice el programa anterior y resuelva:

01001.10002 xx

010001.100002 xx

0100001.1000002 xx

01000001.10000002 xx

4. El impulso de una partícula en un instante t0 es )1(.2

)(22

2tt eet

m

ktP

Crear un M-archivo que al ingresar: k; m; , en un tiempo determinado nos dé el impulso P(t).

5. Para un mesón 0 que decae en dos fotones con una vida media se quiere calcular su

velocidad por la fórmula 2

1c

L

Despeje la variable “v” y cree un archivo-M para calcular la velocidad ingresando valores para

L, v, c y . Pruebe con mL 510 ; 16102

9103c =velocidad de la luz.

GRAFICAR LOS SIGUIENTES CONTORNOS

1) 2),(

5),(22

2

3322

1

yxxy

yx

xeeyxf

xxeyxyxf 2)

xy

yxy

eyxyxf

exeyxf

5.0),(

3),(

22

2

8.0

1

2

3) 16),(

4)4()4(),(

22

2

22

1

yxyxf

yxyxf 4)

yxyxf

yxyxf

)cos(3),(

1),(

2

2

1


5) )(),(

)cos(),(

2

1

ysenxyxf

yxyxf 6)

yeyxf

exyxf

x

y

),(

),(

2

1

7) 44),(

1),(

22

2

1

yxyxf

xeyxf y

8) 1)cos(),(

1)(),(

22

2

22

1

yyxyxf

yysenxyxf

PRÁCTICA DIRIGIDA

1. La distribución Normal lo determina la función real 2

2

.2

1)(

kx

exf

Utilice el comando fplot para generar gráficos donde k varíe de 1,2,3,4,5,6,7,8 y 9.

2. La función de distribución de Poisson es 3,2,1,0;!

.)( x

x

exf

x

…

Genere un archivo M que al ingresar y “x” obtenga probabilidad de Poisson f(x). 3. La probabilidad de que un operador de teléfonos reciba exactamente “x” llamadas durante

cierto periodo esta dado por!

3.)(

3

x

exf

x

Encuentre la probabilidad de que el operador reciba exactamente tres llamadas.

4. En estudios de redes eléctricas, aparece la ecuación 01

.2

LCS

L

RS …….(1)

Escriba un M-archivo de función que calcule la solución de (1), donde la solución la determine la formula general dada por

LCL

R

L

RS

1

22

2

2,1

5. Un termómetro con resistencia de platino, de ciertas especificaciones, opera de acuerdo con la ecuación.

252 )10779.1()10124.4(00010 TTR

Donde R es la resistencia (en ohms) del termómetro a la temperatura T (en grados celsius). Si R=13.946, determine el valor de correspondiente de T. 6. Bajo ciertas condiciones, si dos padres con ojos de color café tienen exactamente tres hijos, la probabilidad P de que tengan exactamente r hijos con ojos azules está dada por la función

.3,2,1,0;!)3(!.

4

3

4

1!3

)(

3

rrr

rP

rr

Determine la probabilidad de que exactamente dos de los hijos tengan los ojos azules.


SESIÓN 08- PLOTEOS TRIDIMENSIONALES

En el cuadro siguiente se presentan los comandos de MATLAB más comunes en la

representación de gráficos de líneas 3-D.

plot3(X,Y,Z) Dibuja el conjunto de puntos (X,Y,Z), donde X,Y y Z son vectores fila. X,

Y, Z pueden ser coordenadas paramétricas o matrices de la misma

dimensión, en cuyo caso se hace una gráfica por cada tripleta de filas y

sobre los mismos ejes. Para valores complejos de X, Y y Z se ignoran

las partes imaginarias.

plot3(X,Y,Z,S) Gráfica de plot(X,Y,Z) con las opciones definidas en S. Usualmente S se

compone de dos dígitos entre comillas simples, el primero de los cuales

fija al color de la línea del grafico y el segundo el carácter a usar en el

graficado. Los valores posibles de colores y caracteres son,

respectivamente, los siguientes: y(amarillo), m(magenta), c(cyan), r(rojo),

g(verde), b(azul), w(blanco), k(negro), .(puntos), o(círculos), x(x-marcas)

, +(signo más), -(sólido), *(estrellas), :(dos puntos), -.(guiones y puntos) y

–- (semisólido).

plot3(X1,Y1,Z1,S1,

X2,Y2,Z2,S2,

X3,Y3,Z3,S3, … )

Combina, sobre los mismos ejes, los gráficos definidos para las tripletas

(Xi,Yi,Zi,Si). Se trata de una forma de representar varias funciones sobre

el mismo gráfico.

fill3(X,Y,Z,C) Dibuja el polígono compacto cuyos vértices son las tripletas de

componentes (Xi,Yi,Zi) de los vectores columna X, Y y Z, que contiene

los colores Ci de cada punto (Xi,Yi,Zi). Los valores de Ci pueden ser y,

m, c, r, g, b, w, k. cuyos significados ya conocemos. Si C es un solo

caracter, se pintarán todos los puntos del polígono de color

correspondiente al carater.

fill3(X1,Y1,Z1,C1,

X2,Y2,Z2,C2,… )

Dibuja el polígono compacto cuyos vértices vienen dados por los puntos

(Xi,Yi,Zi,Ci)


[X,Y]=meshgrid(x,y)

Transforma el campo de definición dado de las variables x e y de la

función a representar z=f(x,y) en argumentos matriciales utilizables por

los comandos surf y mesh para obtener gráficos de superficie y malla,

respectivamente

surf(X,Y,Z,C) Representa la superficie explícita z=f(x,y) o la paramétrica x=x(t,u),

y=y(t,u), z=z(t,u), realizando el dibujo con los colores específicos en C. El

argumento C se puede ignorar.

surfc(X,Y,Z,C) Representa la superficie explícita z=f(x,y) o la paramétrica x=x(t,u),

y=y(t,u), z=z(t,u), junto con el gráfico de contorno correspondiente(curvas

de nivel proyectadas sobre el plano XY).

surfl(X,Y,Z) Representa la superficie explícita z=f(x;y) o la paramétrica x=x(t,u),

y=y(t,u), z=z(t,u), con el dibujo con sombreado.

mesh(X,Y,Z,C) Representa la superficie explicita z=f(x,y) o la paramétrica x=x(t,u),

y=y(t,u), z=z(t,u), dibujando las líneas de la rejilla que componen la malla

con los colores especificadas en C(opcional).

meshz(X,Y,Z,C) Representa la superficie explicita z=f(x,y) o la paramétrica x=x(t,u),

y=y(t,u), z=z(t,u), con una especie de cortina o telón en la parte inferior

meshc(X,Y,Z,C) Representa la superficie explicita z=f(x,y) o la paramétrica x=x(t,u),

y=y(t,u), z=z(t,u), junto con el gráfico de contorno correspondiente(curva

de nivel proyectadas sobre el plano XY )

contour(Z) Dibuja el gráfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz Z. El

número de líneas de contorno a utilizar se elige automáticamente.

contour(Z,n) Dibuja el gráfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz Z usando n

líneas de contorno.

contour(x,y,Z,n) Dibuja el gráfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz Z usando en los

ejes X e Y el escalado definido por los vectores x e y (n líneas de contorno).

contour3(Z)

contour3(Z,n) y

contour3(x,y,Z,n)

Dibujan los gráficos de contorno en 3 dimensiones.

contourf(…) Dibuja un gráfico de contorno y rellena las áreas entre las isolíneas.

pcolor(X,Y,Z) Dibuja un gráfico de contorno (curvas de nivel ) para la matriz (X,Y,Z)

utilizando una representación basada en densidades de colores. Suele

denominarse gráfico de densidad

comet3(z)

comet3(x,y,z)

comet3(x,y,z,p)

Gráfico cometa relativo al vector z

Gráfico de cometa paramétrico x(t), y(t) , z(t)

Gráfico de cometa con cuerpo de longitud p*length(y)

[X,Y,Z]=cylinder Da las coordenadas del cilindro unidad


[X,Y,Z]=cylinder(r)

[X,Y,Z]=cylinder(r,n)

cylinder(…)

Da las coordenadas del cilindro generado por la curva r

Da las coordenadas del cilindro generado por la curva r con n puntos en

la circunferencia sección horizontal alineado con el eje Z (n=20 por

defecto)

Grafica los cilindros anteriores

sphere Grafica la esfera unidad usando 20x20 caras

sphere(n) Grafica la esfera unidad usando nxn caras

[X,Y,Z]=sphere(n) Da las coordenadas de la esfera en tres matrices (n+1)x(n+1)

OPCIONES DE MANEJO DE GRÁFICOS 3D

colormap(M) Sitúa la matriz M como el mapa corriente de colores. M debe tener

tres columnas y contener valores sólo entre 0 y 1. También puede

ser una matriz cuyas filas sean vectores RGB del tipo [r g b]. Existen

en MATLAB matrices M ya definidas, que son las siguientes:

bone(p), contrast(p), cool(p), copper(p), flag(p), gray(p), hsv(p),

hot(p), jet(p), pink(p), prism(p) y white(p). Todas las matrices tienen

3 columnas y p filas. Por ejemplo, la sintaxis colormap(hot(8)) sitúa

la matriz hot(8) como el mapa corriente de colores(sistema completo

de colores de la figura actual).

E-1) Gráfica de una función paramétrica:

ttz

tty

tsentx

)(

)cos()(

)()(

Resolución

%PLOTEO1 - Comando plot3

t=0:pi/50:10*pi;

x=sin(t);

y=cos(t);

z=t;

plot3(x,y,z,'k');

grid on

axis square

title('Hélice paramétrica x(t)=sin(t),y(t)=cos(t),z(t)=t');

xlabel('EJE DE ABSCISAS X');

ylabel('EJE DE ORDENADAS Y');

zlabel('EJE Z');


E-2) Gráfica de la función

)(cos)(),( 222 xyyxsenyxf

Resolución

%PLOTEO2 - Comando mesh

xa=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

xb=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

[x,y] = meshgrid(xa,xb);

z = sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2;

mesh(x,y,z)

colormap(cool)

grid on

title('z = sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2');

xlabel('EJE X');

ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');

E-3) Gráfica de la función )(cos)(),( 222 xyyxsenyxf

Resolución

%PLOTEO3 - Comando surf

xa=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

xb=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

[x,y]=meshgrid(xa,xb);

z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2;

surf(x,y,z)

colormap(hsv)

grid on

title('z = sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2');


xlabel('EJE X');

ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');


Resolución

%PLOTEO4 - Comando surfc

xa=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

xb=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

[x,y]=meshgrid(xa,xb);

z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2;

surfc(x,y,z)

colormap(gray)

grid on

title('z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2');

xlabel('EJE X');

ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');

E-5) Gráfica de la función

)(cos)(),( 222 xyyxsenyxf

Resolución

%PLOTEO5 - Comando contour

xa=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

ya=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

[x,y]=meshgrid(xa,ya);

z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2;

contour(x,y,z,40)

colormap(cool)


grid on

title(' z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2');

xlabel('EJE X');

ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');


Resolución

%PLOTEO6 - Comando contour3

xa=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

ya=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

[x,y] = meshgrid(xa,ya);

z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2;

contour3(x,y,z,40)

colormap(cool)

grid on


xlabel('EJE X');

ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');


Resolución

%PLOTEO7 - Comando waterfall

xa=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

ya=-1/2*pi:.1:1/2*pi;


z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2

waterfall(x,y,z)

colormap(cool)

grid on



xlabel('EJE X');

ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');


Resolución

%PLOTEO8 - Comando meshz

xa=-1/2*pi:.1:1/2*pi;

ya=-1/2*pi:.1:1/2*pi;


z=sin(x.^2+y.^2)-(cos(x.*y)).^2;

meshz(x,y,z)

colormap(cool)

grid on


xlabel('EJE X');

ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');

E-9) Gráfica de la función 22

22

),(yx

yxsenyxf

Resolución

%PLOTEO9 - Comando surfl

xa=-7.5:.1:7.5;

ya=-7.5:.1:7.5;


z=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2));

surfl(x,y,z)

colormap(hot)


grid on

title('z=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2))');

xlabel('EJE X');

ylabel('EJE Y');

zlabel('EJE Z');

E-10) Gráfica del contorno de las funciones f1 y f2, para resolver 0),(2

0),(1

yxf

yxf . Dados

xy

yxy

eyxyxf

eexyxf

5.0),(2

3.),(1

22

)8.0( 2

Resolución

%crear una ventana y guardarlo como f1.m

function f=f1(x,y)

f=x.*exp(x.*y+0.8)+exp(y.^2)-3;

-------------------------------------------------------------------------------


function f=f2(x,y)

f=x.^2-y.^2-0.5*exp(x.*y);

-------------------------------------------------------------------------------

%crear una ventana y guardarlo como contorno1.m

%Gráfica del contorno de f1 y f2

clear, clg ,clf, hold off

x1=-3:0.01:4;

y1=-3:0.01:4;

[x,y]=meshgrid(x1,y1);

g1=f1(x,y);

g2=f2(x,y);

contour(x1,y1,g1,[0.00, 0.00],'k')

hold on

contour(x1,y1,g2,[0.00, 0.00],'b')

xlabel('EJE DE ABSCISAS')

ylabel('EJE DE ORDENADAS')

grid on

zoom on

title('f1=x*exp(x*y+0.8)+exp(y^2)-3;f2=x^2-y^2-0.5*exp(x*y)')


E-11) Gráfica del contorno de las funciones f1 y f2, para resolver 0),(2

0),(1

yxf

yxf . Dados

)cos(2),(2

)(),(1

2 yxyxf

xysenyxf

Resolución


function f=f1(x,y)

f=sin(x.*y);

------------------------------------------------------------------------------


function f=f2(x,y)

f=x.^2+2*cos(y);

------------------------------------------------------------------------------

%crear una ventana y guardarlo como contorno2.m

clear, clg ,clf, hold off

x1=-2*pi:0.01:2*pi;

y1=-2*pi:0.01:2*pi;

[x,y]=meshgrid(x1,y1);

g1=f1(x,y);

g2=f2(x,y);

contour(x1,y1,g1,[0.00, 0.00],'k')

hold on

contour(x1,y1,g2,[0.00, 0.00],'b')

xlabel('EJE DE ABSCISAS')

ylabel('EJE DE ORDENADAS')

grid on

zoom on

title('f1=sin(x.*y);f2=x.^2+2*cos(y)')


E-12) Interceptar las superficies 2

22

4 yz

yxz

Resolución

[x y]=meshgrid(-2:.1:2)

z=x.^2+y.^2;

mesh(x,y,z);

hold on;

z=4-y.^2;

mesh(x,y,z);

E-13) Interceptar las superficies

)(

4 2

2

xsenz

yz

xz

Resolución

>>[x y]=meshgrid(-2:.1:2);

z=x.^2;

mesh(x,y,z);

hold on;

z=4-y.^2;

mesh(x,y,z);

hold on;


z=sin(x);

mesh(x,y,z);

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

zlabel('EJE Z')

title('Intersección de superficies')

E-14) Graficar :

)(

4

2

2

2

xsenyz

yz

xz

; z=peaks

222222 )1(

3

153

5

)1(2 )(10)1(3 yxyxxyx eeyxexz (función peaks)

Resolución

>> subplot(2,2,1)

[x y]=meshgrid(-2:.1:2);

z=x.^2;

mesh(x,y,z);

hold on;

z=4-y.^2;

mesh(x,y,z);

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

zlabel('EJE Z')

title('GRÁFICA DE SUPERFICIES')

grid on

zoom on

subplot(2,2,2)


z= 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ...

- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ...

- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2);

mesh(x,y,z);

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

zlabel('EJE Z')


grid on

zoom on

subplot(2,2,3)



z=x.^2;

surf(x,y,z);

hold on

z=4-y.^2;

mesh(x,y,z);

hold on

z=y.^2+sin(x);

mesh(x,y,z);

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

zlabel('EJE Z')


grid on

zoom on

subplot(2,2,4)

[x y]=meshgrid(-3:.5:3,-3:.1:3);

z=peaks(x,y);

ribbon(y,z);

mesh(x,y,z);

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

zlabel('EJE Z')


grid on

zoom on


E-15) Realizar el contorno de la superficie

222222 )1(

3

153

5

)1(2 )(10)1(3 yxyxxyx eeyxexz

Resolución

z=['3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2)', ...

'- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2)', ...

'- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2)'];

ezcontour(z,[-4,4],45)

grid on

xlabel('EJE X')

ylabel('EJEY')

title('Contornos')

E-16) Realizar el contorno rellenado de la superficie

222222 )1(

3

153

5

)1(2 )(10)1(3 yxyxxyx eeyxexz

Resolución

z=[ ' 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2)', ...

'- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2)', ...

'- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2) ' ];

ezcontourf(z,[-4,4],45)

grid on

xlabel('EJE X')

ylabel('EJEY')

title('Contorno rellenado')


E-17) Realizar la intersección de los contornos de las superficies

22

22

22

1);(

);(

yx

yyxg

yx

yxsenyxf

Resolución

f=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2));

contour(f,5,'r')

hold on

g=y./(1+x.^2+y.^2);

contour(g,6,'g')

grid on

xlabel('EJE X')

ylabel('EJEY')

title('Intersección de contornos')

E-18) Gráfico de la esfera

Resolución

>>sphere


axis equal

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE y')

zlabel('EJE Z')

title('La Esfera')

SESIÓN 09 - CÁLCULO SIMBÓLICO: ANÁLISIS MATEMÁTICO Y ÁLGEBRA

CALCULO SIMBÓLICO CON MATLAB

MATLAB dispone del módulo Symbolic Math toolbox, que permite manejar perfectamente el

cálculo matemático simbólico, manipular con facilidad y rapidez las fórmulas y expresiones

algebraicas y realizar la mayoría de las operaciones con las mismas. Es posible expandir,

factorizar y simplificar polinomios y expresiones racionales y trigonométricas; encontrar

soluciones algebraicas de ecuaciones polinómicas y sistemas de ecuaciones; evaluar

derivadas e integrales simbólicamente y encontrar funciones solución de ecuaciones

diferenciales; manipular series de potencias, límites y muchas otras facetas de la matemática

algebraica. Para realizar esta tarea, MATLAB requiere que todas las variables (o expresiones

algebraicas) sean declaradas como simbólicas previamente con el comando syms (o con

sym).

El toolbox de matemática simbólica de MATLAB aporta varios comandos para definición y

conversión de variables simbólicas que se explican a continuación:

FUCNCIÓN DESCRIPCIÓN

syms x y z … t Convierte las variables x,y,z,…,t en simbólicas

syms x y z … t real Convierte las variables x,y,z,…,t en simbólicas con valores

reales

syms x y z … t unreal Convierte las variables x, y, z ,…, t en simbólicas con valores


no reales

syms Lista las variables simbólicas en el espacio de trabajo

x=syms(‘x’) Convierte la variable x en simbólica (equivale a syms x)

x=syms(‘x’,real) Convierte a x en una variable simbólica real

x=syms(‘x’,unreal) Convierte a x en una variable simbólica no real

S=syms(A) Crea un objeto simbólico a partir de A, donde A puede ser una

cadena, un escalar, una matriz, una expresión numérica, etc.

S=syms(A, ‘opcion’) Convierte la matriz, escalar o expresión numérica A a símbolos

según la opción especificada. La opción puede ser ‘f’ para

punto flotante, ‘r’ para racional, ‘e’ para formato de error y ‘d’

para decimal.

numeric(x) o double(x) Convierte la variable o expresión x a numérica de doble

precisión

syms2poly( poli ) Convierte el polinomio simbólico poli en un vector cuyas

componentes son sus coeficientes.

poly2sym(vector) Convierte el vector en un polinomio simbólico cuyos

coeficientes son las componentes del vector.

poly2sym(vector, ‘v’) Convierte el vector en un polinomio simbólico en la variable ‘v’

cuyos coeficientes son las componentes del vector.

char(X) Convierte el array X de enteros ASCII a su valor como cadena

latex(S) Convierte a codigo latex la expresión simbólica S

ccode(S) Convierte a código C la expresión simbólica S

pretty(expr) Convierte la expresión simbólica a escritura matemática

vpa(expr) Resultado numérico de la expresión con los dígitos decimales

de precisión situados en digits

vpa(expr, n) Resultado numérico de la expresión con n dígitos decimales

vpa(‘expr’, n) Resultado numérico de la expresión con n dígitos decimales

findsym(S) Devuelve todas las variables simbólicas en la expresión

simbólica o matriz simbólica S

Isvarname(S) Devuelve TRUE si S es una variable simbólica válida

vectorize(S) Inserta un punto en la cadena S antes de cualquier símbolo ^ ,

* , ó / con la finalidad de operar vectorialmente de forma

correcta.

1. Calcular la función inversa de )2(5)( xLogxf

Resolución

>> syms x


f=5-log(x+2);

f1=finverse(f)

pretty(f1)

% f1 =exp(5-x)-2

2. Calcular la función inversa de 54)( xxg

Resolución

>> syms x

g=4-sqrt(x+5);

g1=finverse(g)

pretty(g1)

% g1 =11-8*x+x^2

2

% 11 - 8 x + x

3. Calcular 272

54463

23

nn

nnnLimn

Resolución

>> syms n

f=(6*n^3+4*n^2-4*n+5)/(2*n^3-7*n+2)

limit(f,inf)

%f =(6*n^3+4*n^2-4*n+5)/(2*n^3-7*n+2)

%ans =3

>> % en forma equivalente

limit((6*n^3+4*n^2-4*n+5)/(2*n^3-7*n+2),inf)

%ans =3

4. Calcular n

nLimn

1

Resolución

>> syms n

f=((1+n)/n)^(1/2);

limit(f,inf)

%ans =1

5. Calcular

1

3

23

52

123x

n xx

xxxLim

Resolución


>> syms x

f=((x.^3+3*x.^2+2*x-1)./(x.^3+2*x-5)).^(x+1);

limit(f,inf)

%ans =exp(3)

6. Calcular xxxxLimx

22

Resolución

>> syms x

f=(sqrt(x+sqrt(2*x))-sqrt(x-sqrt(2*x)));

limit(f,inf)

%ans =2^(1/2)

7. Calcular 2

652

2 x

xxLimx

Resolución

>> syms x

f=(x^2-5*x+6)/(x-2);

limit(f,2)

%ans =-1

8. Calcular )cos(.

)3()7(

0 xx

xsenxsenLimx

Resolución

>> syms x

f=(sin(7*x)-sin(3*x))./(x.*cos(x));

limit(f,0)

%ans =4

9. Calcular 20

)cos()cos(2

x

xxLimx

Resolución

>> syms x

f=(2-sqrt(cos(x))-cos(x))./(x.^2);

limit(f,0)

%ans =3/4

10. Calcular 9

3

9 x

xLimx

Resolución

>> syms x

f=(sqrt(x)-3)/(x-9);


limit(f,9)

%ans =1/6

11. Calcular la derivada de )3sin(32)( 23 xexxf x

Resolución

>> syms x

f=x^3-2*exp(-2*x)+sin(3*x);

p=diff(f)

%p =3*x^2+4*exp(-2*x)+3*cos(3*x)

12. Calcular la segunda derivada de )3sin(32)( 23 xexxf x

Resolución

>> syms x

f=x^3-2*exp(-2*x)+sin(3*x);

p=diff(diff(f))

%p =6*x-8*exp(-2*x)-9*sin(3*x)

13. Calcular la tercera derivada de )3sin(32)( 23 xexxf x

Resolución

>> syms x

f=x^3-2*exp(-2*x)+sin(3*x);

p=diff(diff(diff(f)))

%p =6+16*exp(-2*x)-27*cos(3*x)

% En forma equivalente

>> syms x

f=x^3-2*exp(-2*x)+sin(3*x);

p=diff(f,3) %calcula la tercera derivada

%p =6+16*exp(-2*x)-27*cos(3*x)

14. Sea xyexyyxyxf 2)32cos();( . Calcular

x

yxf );(

Resolución

>> syms x y

f=cos(2*x+3*y)-2*x*y-exp(x*y);

p=diff(f,x) %derivada parcial respecto de x

pretty(p)

%p =-2*sin(2*x+3*y)-2*y-y*exp(x*y)

% -2 sin(2 x + 3 y) - 2 y - y exp(x y)



y

yxf );(

Resolución

>> syms x y


p=diff(f,y) %derivada parcial respecto de y

pretty(p)

%p =-3*sin(2*x+3*y)-2*x-x*exp(x*y)

% -3 sin(2 x + 3 y) - 2 x - x exp(x y)


xy

yxf );(2

Resolución

>> syms x y


p=diff(diff(f,x),y) %derivada parcial cruzada de df/dydx

pretty(p)

%p =-6*cos(2*x+3*y)-2-exp(x*y)-y*x*exp(x*y)

% -6 cos(2 x + 3 y) - 2 - exp(x y) - y x exp(x y)

17 Calcular dxexxsen x )3)(( 22

Resolución

>> syms x

f=sin(x)-3*x^2+exp(-2*x);

int(f,x)

%ans =-cos(x)-x^3-1/2*exp(-2*x)

18. Calcular dxxx

xx

65

952

2

Resolución

>> syms x

f=(x.^2-5*x+9)./(x.^2-5*x+6);

int(f,x)

%ans =x-3*log(x-2)+3*log(x-3)

19. Calcular dxxxx

xx

)4)(3)(1(

91412 2


Resolución

>> syms x

f=(2*x.^2+41*x-91)./((x-1).*(x+3).*(x-4));

int(f,x)

%ans =-7*log(x+3)+5*log(x-4)+4*log(x-1)

20. Calcular dxxxsen )cos(7)(48

1

Resolución

>> syms x

f=(1)./(8-4*sin(x)+7*cos(x));

int(f,x)

%ans =log(tan(1/2*x)-5)-log(tan(1/2*x)-3)

21. Calcular dxxxsen

xxsen

)cos()(1

)cos()(1

Resolución

>> syms x

f=(1-sin(x)+cos(x))./(1+sin(x)-cos(x));

int(f,x)

%ans =-2*log(tan(1/2*x)+1)+2*log(tan(1/2*x))-x

22. Calcular dxdyeyx y )5)(cos( 22

Resolución

>> syms x y

f=cos(x)-5*y^2+exp(-2*y);

p=int(int(f,x),y)% integral doble de f respecto a x,luego a y

%p =sin(x)*y-5/3*y^3*x-1/2*exp(-2*y)*x

23. Calcular dxdydzzyxsen )23)(( 32

Resolución

>> syms x y z

f=sin(x)-3*y^2+2*z^3;

p=int(int(int(f,x),y),z)

%p =-cos(x)*y*z-y^3*x*z+1/2*z^4*x*y

24. Calcular

2

1

2 )32( dxxx

Resolución

>> syms x

f=(x.^2-2*x+3);


p=int(f,x,1,2)

%p =7/3

25. Calcular

4

3

2 23

1dx

xx

Resolución

>> syms x

f=1./(x.^2-3*x+2);

p=int(f,x,3,4)

%p =2*log(2)-log(3)

26. Calcular

4

0

5

2

2 ))(( dydxxysenx

Resolución

>> syms x y

f=x^2+y*sin(x);

int(int(f,y,-2,5),x,0,4)

%ans =959/6-21/2*cos(4)

27. Calcular

1

0

1

0

1

0 1

1dxdydz

zyx

Resolución

>> syms x y z

f=1/sqrt(x+y+z+1);

p=int(int(int(f,z,0,1),y,0,1),x,1,0)

%p =-248/15+72/5*3^(1/2)-32/5*2^(1/2)

28. Calcular

2

0

4

3

3

1

)6)(..( dzdydxyzxsenyx

Resolución

>> syms x y z

f=x*y*(sin(x-z))+6*y;

p=int(int(int(f,x,1,3),y,-3,4),z,0,2)

%p =35/2*sin(1)+84-7/2*cos(3)-21/2*sin(3)+7/2*cos(1)

ecuaciones_matlab

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