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7/24/2019 EJEMPLOS_MUESTREO
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VI Muestreo Sistemtico
Definicin
El muestreo sistemtico, es aquel que se realiza en un lugar donde pasan las unidadesmuestrales y se selecciona una unidad cada k elementos que pasan, hasta cumplir losnecesarios.
Ejemplos:
Se muestrean latas de atn de una lnea de produccin cada 50 unidades.
A la salida de un supermercado se encuesta una persona despus de de que han salido10.
En una lnea de empaque se muestrean bolsas de carne de pollo tomando uno de cada35 que pasan.
En una oficina se muestrean los registro contables, tomando uno de cada 40 que seingresan al archivero.
Ventajas
-Es ms econmico, ya que se evitael procreso de la seleccinaleatoria y evita la movilidad del
encuestador.
- Es ms preciso cuando se tieneuna movilidad constante deelementos muestrales, ya quemuestrea uniformemente.
Dr.
Jess
Mellado
Bosque
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Procedimiento
Si se conoce N, el tamao de la poblacin,y si por experiencias anteriores, se puede
estimar n, entoncesk = N/n
El muestreo se realizar cada que pasen kelementos, es decir 1 en k.
Antes de iniciar el muestreo, se seleccionaaleatoriamente un nmero entre 1 y k, queese ser la primera muestra, despus sesigue la regla de 1 en k.
En caso de desconocer N, se escoge ncomo un valor exploratorio y luego sedetermina el valor de la muestra
Estimacinde la media
El estimador de la mediapoblacional es la mediamuestral.
n
yy
i
Departamento deEstadstica y Clculo
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Intervalo de confianza de la media
ra encontrar el intervalo de confianza para la mediaimero se encuentra la varianza de la muestra:
)(
2)(
2 yVyyyVy
N
nN
n
syV
2
)(
1
2
2
n
yys
i
ego se obtiene la varianza de la media, que esenor que la varianza muestral, as que se obtieneestimador de la varianza de la media. Donde Nel tamao de la poblacin y n es el tamao de la
uestra. Cuando Nes muy grande, el factor delrntesis se puede eliminar.
La varianza de la media se le obtiene la raizcuadrada (se convierte a desviacin
estndar) y se multiplica por 2, se le resta yse le suma a ala media y se conforma elintervalo con el 95% de seguridad.
Ejemplo
En una productora dechorizos se desea conocer elcontenido de grasa promedio
de la produccin diaria. Alda se producen 200productos y se seleccionaron15 sistemticamente. Indiquela media estimada y suintervalo de confianza al 95%de seguridad. Los datos sonen gramos (datos ficticios):
21 14 13 12 14 13 16 20
23 22 20 19 25 25 23
La media es 18.67
La varianza muestral es:21.24
La varianza de la media es:31.1
200
15200
15
24.21)(
yV
El lmite del error es:
28.231.12)(2 yV
Sumando y restando 2.28 de la media seobtiene el intervalo de confianza
_16.38 < y < 20.96
Dr. Jess Mellado BosqueDepartamento deEstadstica yClculo
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Tamao de la muestra para estimar la media
Entre mas grande sea la muestra, elintervalo de confianza para la mediaser ms pequeo, entonces, paradefinir el tamaa de la muestraprimero se define el tamao del
intervalo esperado. Se define Bcomo la distancia que se deseaentre la media y el lmite superiorde la media, segn las unidadesutilizadas.
Desafortunadamente, para encontrar eltamao de la muestra, se requiereconocer de antemano la varianzapoblacional, la cual se puede hacer de lasiguiente manera:
a) Investigar pruebas anteriores donde sehaya calculado la varianza
b) Si se conoce el valor mnimo y elmximo, el rango dividido entre cuatropuede ser un estimador.
c) Obtener una pequea muestra, luegocalcular el tamao de la muestra correctautilizando los datos ya recopilados.
Se calcula el valor de D
4
2B
D
Se calcula n:2
2
)1(
DN
Nn
onde 2 es la varianza poblacional o s2, que es su estimador
Ejemplo
El valor B = 1El valor D es: 25.04
12D
El valor de n es: 83.59)24.21(25.0)1200(
)24.21(200
n
El resultado se redondea a 60. La cantidades muy alta porque el lmite de error seseleccion muy pequeo.
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En algunas condiciones es difcil conocer elvalor de N, por ejemplo, el nmero deplantas pequeas en una parcela, elnmero de rboles de cierta regin o elnmero de fauna silvestre de un rea. En
tal caso el tamao de la muestra se calculacon la siguiente ecuacin
296.1
B
sn
Donde s es la desviacin estndar
muestral y B es el error mximopermitido. Esta ecuacin es conel 95% de seguridad
En una productora de chorizosse desea conocer el contenidode grasa promedio de laproduccin diaria. Si al da seproducen 200 productos y porexperimentos previos se sabeque la varianza es de 21.24 grs.Encontrar el tamao de lamuestra necesaria si se permite
un error mximo de 1 grs.
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Estimacin del total deuna variable
El estimador del total es:
Intervalo de confianza del total
Para encontrar el intervalo de confianza del totalprimero se encuentra la varianza de la muestra:
1
2
2
n
yy
s i
yN
)(2)(2 VV
N
nN
n
sNV
22)(
Luego se obtiene la varianza del estimador deltotal, se le agrega el trmino N porque semultiplica por el total de elementos t est alcuadrado porque est dentro de la varianza.
La varianza de la media se le obtiene la raizcuadrada (se convierte a desviacinestndar) y se multiplica por 2, se le resta yse le suma a ala media y se conforma elintervalo con el 95% de seguridad.
Ejemplo
En una huerta de 600
manzanos de primer ao deproduccin se desea estimarel total de la produccin, lamuestra se realizsistemticamentemuestreando 1 de cada 30rboles, adems se deseaconocer el intervalo deconfianza del total al 95% de
seguridad. Los datos son enkilos (datos ficticios):
25 24 18 26 32 26 22 23
24 26 24 24 32 28 26 21
20 26 20 22
La media es 24.45
El total es: 24.45(600) = 14,670 kg.
La varianza muestral es: 13
La varianza de del total es:
154,226600
20600
20
13600)( 2
V
El lmite del error es:
11.951154,2262)(
2 V
Sumando y restando 951.11 del total seobtiene el intervalo de confianza
_13,719 < < 15,629
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Ing. Jess Mellado Bosque
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Tamao de la muestra para estimar el total
Se define Bcomo la distancia que sedesea entre el total y el lmite superior,segn las unidades utilizadas.
Se calcula el valor de D2
2
4N
BD
Se calcula n:2
2
)1(
DN
Nn
Donde 2 es la varianza poblacional o su estimador s2
Ejemplo El valor B = 1000
El valor D es: 694.0)600(4
10002
2
D
El valor de n es: 8.18)13(694.0)1600(
)13(600
n
Ntese que el resultado se redondea allmite superior.
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Para calcular el total se debe conocer N, es por eso que no existe ecuacinsimplificada para el tamao de la muestra.
En una huerta de 600manzanos de primer ao deproduccin se desea estimarel total de la produccin, peroprimero se desea saber eltamao de la muestra. En unamuestra previa se encontruna varianza de 13 kilos. Elerror mximo permitido es de1000 kg.
Estimacin de una proporcin
Los objetos a observar se dividen entre los que tienen una cualidad y los que no. A losobjetos que tienen la cualidad se les asigna el nmero 1, y a los dems el nmero 0.
Si pes la proporcin de elementos que cumplen cierta cualidad,estonces se puede estimar mudiante una muestra. El esimador es:
n
yp
i
Una vez obtenida la muestra se puede obtener el valor q(q=1-p) y la varianza muestral como:
qps 2
La varianza del estimador es:
NnN
nqppV1
)(
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El intervalo de confianza para laproporcin es:
)(2)(2 pVpppVp
Ejemplo En la sierra de Arteaga se desea saber cuntos pinos han sido atacadospor una plaga de un escarabajo de la corteza, se estima que existen
1050 pinos en la zona a muestrear. La muestra se realiza de manerasistemtica caminando en una lnea tratando de recorrer todos los pinosy muestrear uno en cada 50. Se muestrearon 21 pinos con los siguientesresultados:
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
La proporcin es 4/21 = 0.190
La varianza muestral es: 0.190(1 0.190) = 0.154
La varianza de la proporcin es: 0078.01050
211050
121
154.0)(
pV
El lmite del error es: 177.00078.02)(2 V
Sumando y restando 0.177 de la proporcin se obtieneel intervalo de confianza
0.131 < p < 0.367
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Tamao de la muestra para estimar la proporcin
Se calcula el valor de D4
2B
D
Se calcula n:qpDN
qpNn
)1(
Ejemplo El valor B = 0.08
El valor D es: 0016.04
08.0 2D
El valor de n es: 34.88)154.0(0016.0)11050(
)154.0(1050
n
En una sierra se deseamuestrear de 1050 pinosaquellos que estn enfermos.La muestra se deseaproporcin sistemtica y sesabe que la varianza es 0.154;el lmite mximo del error es0.08
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Dr. Jess MelladoDepartamento deEstadstica yClculo
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En algunas condiciones es difcil conocer elvalor de N, por ejemplo, el nmero deplantas pequeas en una parcela, elnmero de rboles de cierta regin o elnmero de fauna silvestre de un rea. Ental caso el tamao de la muestra se calcula
con la siguiente ecuacin
pqB
n
296.1
Donde pq es la varianza muestraly B es el error mximo permitido.Esta ecuacin es con el 95% deseguridad