el imaginario geometrico elissabetta cattanei

8/6/2019 El Imaginario Geometrico Elissabetta Cattanei

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El imaginario geomtrico del hombre que delibera.Esquemas de ejercicio de la fantasi/a bouleutikh/ enAristteles

Elisabetta Cattanei

Universit degli Studi di Cagliari, Italia

Resumen: El estudio parte de la discusin de De anima, III, 11, 434a7-10: adiferencia de las interpretaciones ms difundidas del pasaje, que dependen con-siderablemente del comentario de Filopn, aqu se busca reconstruir la actividadde medicin, planteada en relacin de analoga con la imaginacin deliberati-va, a la luz de procedimientos de descomposicin y recomposicin de gurasgeomtricas, muy difundidos en los siglos V-IV a.C., de los cuales se presentantambin ilustraciones numismticas. En la misma lnea se puede situar tantola referencia de tica Nicomquea, III, 5, 1112b20-21 al anlisis de las guras,como el de tica Nicomquea, VI, 9, 1142a23-29 al tringulo como extremo.A este modelo metrtico-espacial de la phantasia bouleutikse aade uno detipo logstico-temporal, que es mencionado en De anima,III, 7, 431b7-8 y enDe memoria,2, 453a15-16, con una interesante conrmacin en Tucdides, I,138, 3, donde Temstocles es comparado con un habilsimo gnmn. En amboscasos, los modelos matemticos en los que se inspira el hombre que imaginamientras trata de comprender qu es obrar bien, aqu y ahora, no son produc-tos renados de ciencia terica, sino que pertenecen a aquellas matemticas

de los mercaderes, que Platn desaconsejaba practicar para alcanzar la visindel verdadero bien.Palabras clave:Aristteles, deliberacin, geometra, anlisis, e(/sxaton

Abstract: The geometric imagination of the deliberating man. Exercise schemes

of the fantasi/a bouleutikh/in Aristotle. The paper begins with the discussion ofDe anima,III, 11, 434a7-10:unlike the best known interpretations of the passage,

which considerably depend on Philoponus commentary, here we try to reconstructthe measurement activity, presented in a relationship of analogy with the delib-erative imagination, in the light of procedures of decomposition and recomposi-tion of geometrical gures, which were widely spread in the V-IV centuries B.C.,of which numismatic illustrations are also offered. It is possible to understandin the same line the reference both to the analysis of gures in NichomacheanEthics, III, 5, 1112b20-21, and to the triangle as an extreme in NichomacheanEthics, VI, 9, 1142a23. To this spatial-metretic model of thephantasia bouleutik,a logistic-temporal one is added, mentioned in De anima,III, 7, 431b7-8 and Dememoria,2, 453a15-16, with an interesting conrmation in Thucydides, I, 138,3, where Themistocles is compared to a skillfull gnmn. In both cases, themathematical models that serve as inspiration to the man that imagines while

trying to understand what is to act well, here and now, are not rened productsof theoretical sciences, but part of those merchants mathematics which Platoadvised not to practice in order to gain the vision of the true good.Keywords:Aristotle, deliberation, geometry, analysis, e(/sxaton

Revista de FilosofaVol. XXI, N 2, 2009

pp. 259-289


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Revista de Filosofa, vol. XXI, N 2, 2009 / ISSN 1016-913X

1. Lafantasi/a bouleutikh y sus esquemas de ejercicio

Hay un aspecto fantstico en la deliberacin segn Aristteles. El

proceso de bouleusij, o deliberacin, que consiste en la bsqueda y en la

determinacin de acciones individuales que sean medios para alcanzar un

cierto n, no parece ocurrir sin un aporte de la fantasi/a: es decir, el hombre

que al razonar llega a establecer qu hacer, aqu y ahora, para obtener algo

que se propone en la vida debe tambin emplear la imaginacin1.

La importancia de los roles que Aristteles reconoce a la fantasi/a, sea

en la teora del movimiento animal como en la de la accin humana, no se le

ha escapado desde luego a los lsofos, que han prestado especial atencin

tanto a los lazos entre la imaginacin y el deseo o tendencia (o)/recij) como

motor de la accin, as como a las repercusiones que tales lazos tienen con la

naturaleza humana y la estructura del razonamiento prctico2.

Los animales se mueven, y los hombres se mueven y actan, cuando

buscan cosas vistas e imaginadas; no todas sino solo aquellas por las cuales, acausa de una necesidad, experimentan una tensin interior

3. As, movimiento

y accin presentan una reactividad no al mundo simpliciter, sino a la visin

que de l tiene el animal4, producida en virtud de una actividad crtica,

de seleccin y distincin, a la que contribuyen sensacin, imaginacin y, all

donde exista, intelecto5.

Tambin aquella que el De anima llama fantasi/a bouleutike/, ima-

ginacin deliberativa6, puede por lo mismo ser interpretada cuando menos

1 Los principales pasajes de referencia sobre esta forma de fantasa en Aristtelesson: De anima, III, 7, 431b7-10; 11, 434a5-10. Sobre la deliberacin en Aristteles,ver: Natali, C., La sagezza di Aristotele, Npoles: Bibliopolis, 1989, pp. 177-182.2 Cf. Nussbaum, M., The Fragility of Goodness. Luck and Ethics in Greek Tragedy andPhilosophy, Cambridge: Cambridge University Press, 1986 (traduccin al italiano deM. Scattola: La fragilit del bene. Fortuna ed etica nella tragedia e nella losoa greca,Bolonia: Il Mulino, 2004, pp. 495-538); Natali, C., La sagezza di Aristotele, pp. 145,179-182.3 Nussbaum, M., La fragilitdel bene. Fortuna ed etica nella tragedia e nella losoagreca, p. 511.4

Ibid.5 Cf. ibid., pp. 511-512, donde se reere en particular a Aristteles, Il movimento deglianimali, 6, 700b20-21.6 Cf. Aristteles, De anima, III, 11, 434a6-7.


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como una presentacin selectiva y discriminatoria a nuestra alma de imge-

nes de ciertas cosas: las que vuelven al mbito de la deliberacin, es decir,acciones particulares y concretas, que apuntan a un determinado n; el

hombre, en otras palabras, se gura acciones distintas que pueden llevarlo

a su objetivo y alcanza a ver cul sera la mejor accin que puede llevar a

cabo7. Esto lo hace el hombre, y solo el hombre: a diferencia de lafantasi/a

ai)sqhtikh/, la imaginacin sensitiva, que se encuentra tambin en los de-

ms animales, la deliberativa pertenece solamente a los animales dotados

de razn (logistikoi=j), porque decidir si hacer esto o aquello es ya tarea del

razonamiento (logismou= e)/rgon)8. Por tal motivo, pues, por su cooperacin con

el logismo/j prctico, la imaginacin deliberativa es se lee siempre en el De

anima racional (logistikh/) y propia del hombre9. Ambas formas de fan-

tasi/a la racional y la sensitiva constituyen aquello sin lo cual el animal

no tiene la facultad de tender (o(rektiko/n) hacia algo ni, en consecuencia, la

facultad de moverse a s mismo hacia ese algo10. Y, sin embargo, nicamente

la fantasi/a bouleutikh tiene carcter racional y humano: un carcter que

7

Como la comunidad cientca seala, no es simple deducir de lo que dice Aristteles,especialmente en el libro III de De anima, una teora orgnica y general de la fantasa,que parece ms oportuno considerar no tanto una facultad estante en s misma, sino

una facultad parsita de la sensacin; como ha sealado D. Frede, The Cognitive Role

of Phantasia in Aristotle en: Nussbaum, M. y A.O. Rorty (eds.), Essays on AristotlesDe Anima, Oxford: Oxford University Press, 1992, pp. 297-311(traduccin italiana: Lafunzione conoscitiva de la phantasia in Aristotele, en: Cambiano, G. y L. Repici (eds.),

Aristoteles e la conoscenza, Miln: Casa Editrice Ambrosiana/LED (Ed. Universitarie diLettere Economia Diritto),1993, pp. 91-118, especialmente p. 94). Sin embargo, Frededeende la pertenencia a la fantasa no solo de poderes discriminatorios, anes a los

de la sensacin, sino tambin de una funcin de sntesis de los datos perceptivos,anloga a la de la constitucin de un campo visivo, que es clara especialmente en

su relacin con la razn prctica (ibid., p. 104). Diversa es la opinin, por ejemplo,de H. Busche, Hat Phantasie nach Aristoteles eine interpretierende Funktion in derWahrnehmung?, en: Zeitschrift fr Philosophie Forschung, LI (1997), pp. 565-589, quese aade al tratado ms completo sobre la fantasa en Aristteles publicado en los

ltimos aos, a saber: Wedin, M.V., Mind and Imagination in Aristotle, New Haven/Lon-dres: Yale University Press, 1988, especialmente. pp. 71-84. Para un ms actualizado,

aunque esencial, status quaestionissobre la concepcin de fantasa desarrollada porAristteles en el De anima, se puede consultar: Aristteles, Lanima, editado por M.Zanatta con la colaboracin de R. Grasso, Roma: Aracne, 2006, pp. 95-110, donde,sin embargo, no se toca el problema de la funcin y de la naturaleza de la fantasa

en relacin con la deliberacin.8

Aristteles, De anima, III, 11, 434a5-8.9 Cf. ibid., 10, 438b29. Sobre la conexin entre razonamiento prctico y deliberacin,ver Natali, C., La sagezza di Aristotele, p. 149.10 Cf. Aristteles, De anima, III, 10, 433b26-30.


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sin duda deriva del vnculo que tiene con el razonamiento que nos gua en

la praxis, pero que tambin puede provenirle de un cierto modo de proceder,anlogo al del clculo prctico, si no emparentado con l

11.

En efecto, cmo funciona la imaginacin deliberativa? Es que se

limita a seleccionar y distinguir datos para despus transferirlos, separados

entre s, al intelecto que los conecta en un segundo momento, considerando

las cosas que hay que hacer? Aristteles dice muy poco a este respecto; sin

embargo, de ese poco que sugiere surge una indicacin de relativo inters: el

ejercicio de la fantasi/a bouleutikh se modela en esquemas que se remiten

a procedimientos muy comunes de medicin y descomposicin de las magni-

tudes geomtricas, no ignoradas por la geometra como ciencia terica, sino

compartidas por difusas aplicaciones de geometra emprica y visiva; y las

actividades psicofsicas involucradas en estos procedimientos consisten en

separar y discriminar guras de guras, en el curso de lo cual no se pierde

una visin de conjunto, lo que permite ponerlas en relacin, confrontarlas,

valorarlas, al apenas ser vistas.

2. Medir con una unidad, obtener una unidad a partir de ms imgenes (De

anima, III , 11, 434a7-10)

A un esquema fundamental de ejercicio de la imaginacin deliberativa

un esquema metrtico se alude al trmino de la armacin de De anima, III

11, recordada hace poco, segn la cual se trata de una forma de que

pertenece solo a los animales racionales, ya que se acompaa a aquella obra

del razonamiento que consiste en establecer si se debe realizar una accin en

lugar de otra. El argumento de Aristteles parte de la consideracin que los

animales imperfectos (a)telw=n), provistos nicamente del sentido del tacto, se

mueven, como los superiores, por causa del deseo y de la imaginacin puesto

que experimentan dolor y placer; en ellos, sin embargo, deseo e imaginacin

estn presentes de manera indeterminada (a)ori/stwj de)/nestin); tan cierto

es esto que originan movimientos indeterminados12. En este punto, se lee la

11Sobre aspectos de la estructura de clculo prctico, de los cuales se puede re-

construir una ascendencia vinculada al clculo proporcional ms difundido antes de

Eudosio-Euclides, me permito recomendar: Cattanei, E., Aristotele e i calcoli delluomosaggio, en: Migliori, M. (ed.), Non solo dialettica, non solo logica, Brescia: Morcelliana,

Atti dei Convegni di Macerata 2002-2003 (en prensa).12 Cf. Aristteles, De anima, III, 11, 433b31-434a5. Segn R.D. Hicks, (AristotleDeanima, Cambridge: Cambridge University Press, 1908, p. 565) Aristteles, aqu, nosest preparando para una extensin del signicado de la fantasa ms all de su vn-


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siguiente observacin: h( men oun ai)sqetikh fantasi/a, w(/sper ei)/rhtai, kai e)n

toi=j a)/lloij z%/oij u(pa/rxei, h( de bouleutikh e)n toi=j logistikoi=j (po/teron garpra/cei to/de h) to/de, logismou= h)/dh e)sti n e)/rgon: kai a)na/gkh e(ni metrei=n: to mei=zon

gar diw/kei: w(/ste du/natai e(/n e)k pleio/nwn fantasma/twn poiei=n)13.

El principal problema de traduccin que conllevan estas lneas reside

en una versin coherente del trmino e(/n en sus dos ocurrencias: en 1.8, es

claro que Aristteles hace referencia a una unidad de medida, mientras

que en 1.10, a lo ms, se puede considerar que l tenga en mente una ni-

ca imagen, formada por muchas14. Una de las traducciones italianas ms

acreditadas, por ejemplo, dice: Limmaginazione sensitiva, come si detto, si

trova dunque anche negli altri animali, mentre la deliberativa soltanto in quelli

forniti di ragione. Infatti, decidere se fare questo o quello ormai compito del

ragionamento, ed necessario misurare con ununica cosa, poich si persegue

un bene pi grande, e di conseguenza di pi immagini si pu formare una

sola (La imaginacin sensitiva, como se ha dicho, se halla pues en los otros

animales, mientras que la deliberativa solo en aquellos provistos de razn. En

efecto, decidir si ha de hacerse esto o aquello es ya tarea del razonamiento,

y es necesario medir con una nica cosa, ya que se persigue un bien ms

grande y, en consecuencia, de ms imgenes se puede formar una sola)15.Aqu, pues, se explicara que el hombre, con el razonamiento y el clculo

mental, elige los medios que parecen ms adecuados para alcanzar el n y

el bien queridos. En tal eleccin o deliberacin, l se sirve de un criterio que

es justamente el de hallar los medios ms idneos para obtener el bien que

considera mayor. De tal modo se demuestra capaz de sintetizar las diversas

y posibles lneas de accin que ha imaginado, en una sola, y que es la que

efectivamente se ejecuta16.

culo con la sensacin: ahora parece que operaciones de alto nivel, como el logismo/j,impliquen imgenes pictricas (pictorial images). Pero el logismo/j es un ejercicio delintelecto discursivo, o dia/noia, y se nos ha dicho en 431a14 que para la dia/noia lassensaciones son sustituidas por imgenes.13 Aristteles, De anima, III, 11, 434a5-10.14 Para una discusin de esta verdadera y autntica tradicin de la traduccin, quese remonta a Filopn, ver Wedin, M.V., Mind and Imagination in Aristotle, p. 83, que laconsidera una traduccin not required y unnecessary.15 Aristteles, Lanima(1979), editado por G. Movia, Npoles: Loffredo, 1991, p. 194.

En la misma lnea se encuentra M. Zanatta en: Lanima, p. 277. Cuando no se indiqueel nombre de los traductores, entindase que las traducciones son de quien escribe.16 Cf. ibid., p. 404, junto a Aristteles, De anima, editado con introduccin y comentariode D. Ross, Oxford: Oxford University Press, 1961, p. 319.


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Esta reconstruccin, que converge con muchas otras, puede legtima-

mente suscitar dos interrogantes. En primer lugar, se considera del todo acce-sorio y vago remitirse a la medicin con una unidad, lo que acaso Aristteles

lleva a cabo en un sentido y con intenciones bien precisas, dada la extrema

escasez y la sorprendente precisin de todas sus alusiones al metrei=n y al

gewmetrei=n en el mbito de su reexin psicolgica y tica17; pero sobre todo,

en el primer caso, se entiende e(/n como unidad de medida, y entonces en

el sentido que explicar mejor dentro de poco como mnimo indivisible res-

pecto de algo ms grande que se quiere medir; mientras que en el segundo

caso e/(n parecera l mismo algo ms grande, obtenido de la sntesis de la

multiplicidad dephantasmata.

En todo caso, parecera ms oportuno atenerse ambas veces al primer

signicado que e(/n asume al interior del pasaje, el de unidad de medida, tan-

to ms en cuanto que los comentaristas muestran un amplio consenso para

referir el e(ni metrei=n de 434a8-9 a la teora de la unidad de medida, que se

encuentra en el primer captulo del libro Iota de la Metafsica18.

Si cumple el papel de unidad de medida, el uno sostiene con la cosa

medida una relacin bien precisa, que permite asir con mayor exactitud, sea

la relacin entre e(ni y to mei=zon en las lneas 8-9, sea aquella entre e(/n ye)k pleio/nwn fantasma/twn en las lneas 9-10.

La unidad de medida antes que nada permite conocer el gnero de

cosas del que es medida, y en particular conocer sus aspectos cuantitativos,

es decir, saber a cunto asciende una determinada cosa, cunto vale y

qu tan grande es19. Cada unidad es de la misma especie de aquello que

mide de ah que una lnea mida una lnea, una supercie una supercie,

17 Este dato puede obtenerse fcilmente, ms que de un reconocimiento lexicogrco,

de: Heath,T., Mathematics in Aristotle, Oxford: Oxford University Press, 1949, captulosIX, XVI.18 Cf. Aristteles, Metafsica, I, 1, 1052b14-1053b8. R. D. Hicks (Aristotles De anima,p. 567) explica la oportunidad de dicha referencia de una forma muy convincente: la

deliberacin observa implica comparacin, que es imposible si no hay una normaja, y para uno en el sentido de unidad o norma es esencial referirse a Metafsica,Iota 1. Sobre la inclusin de las reexiones sobre la unidad de medida al interior de

la teora de lo uno de Aristteles, ver Centrone, B., Introduzione, en: Centrone, B.

(ed.), Il libro Iota de la Metafsica di Aristotele, San Agustn: Verlag, 2005, pp. 49-59.19 Cf. Aristteles, Metafsica, I, 1, 1052b20-31, 1053a18-23, 1053a31-b3. Sobre la

ampliacin del concepto de unidad de medida de la cantidad a la calidad, y a las otrascategoras, as como sobre las caractersticas esenciales de la unidad de medida se-gn Aristteles, ver Berti, E., Aristotele MetaphysicaIota 1-2: univocit o multivocitdelluno?, en: Centrone, B. (ed.), o.c., pp. 65-74, especialmente 67-70.


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un peso un peso, etc.; sin embargo, existe un modelo de unidad de medida

que todas imitan20

constituido por la mnada menor respecto al nmero21

.En efecto, sabemos que aquel determinado grupo de cosas es, por ejemplo,

de cuatro cosas cuando llevamos sus componentes a cuatro unidades, y esto

vale para el nmero en cuanto tal, que por denicin es pluralidad compuesta

de mnadas22. Pero la mnada est en condiciones de desarrollar de manera

perfecta y exactsima su funcin de medida porque presenta determinadas

caractersticas esenciales: es indivisible bajo todos los aspectos23, es decir,

simple segn la calidad y la cantidad24; y es aquello de lo cual resulta visi-

blemente imposible sustraer o aadir algo25, un mnimo en que se detiene la

divisin y que puede crecer solo por iteracin26. Las unidades de medida de otro

gnero no son de por s indivisibles, simples en la cantidad y en la cualidad,

ni incapaces de sufrir aumento o disminucin como las mnadas, pero s son

usadas y puestas como tales por quien procede a la medicin: incluso entre

las lneas que en tanto continuas son divisibles al innito usan la lnea de

un pie como indivisible27 y todos consideran como medida sea de lquidos

o de slidos, sea de un peso o de una magnitud eso primero de lo que no

es posible, segn la sensacin, sustraer y quitar algo28; o sea, una cantidad

mnima de lquido, slido, peso o magnitud o tambin de movimiento y desonido que de por s es susceptible de aumento o disminucin, pero cuyo

20 Cf. Aristteles, Metafsica, I, 1, 1053a2: mimou=ntai. Sobre la pertenencia de mediday lo medido a la misma especie, cf. especialmente ibid., 1053a24-30.21 Cf. ibid., 1052b35-1053a2.22 Ibid., 1053a30: plh/qoj mona/dwn. Como se sabe, esta es la denicin griega de nmero,entendido como un nmero entero positivo, canonizada por Euclides, Elem., VII, def. 1,2. Sobre la presencia y la formulacin de esta denicin en Aristteles, ver: Cattanei,

E., Enti matematici e metafsica. Platone, lAcademia, Aristotele a confronto,Miln: Vitae Pensiero, 1996, pp. 17-38.23 Ibid., 1053a1-2: pa/nt$ a)diai/reton. As traduce Centrone en Il libro Iota de la Metafsicadi Aristotele, p. 10.24 Cf. ibid., 1052b34-35.25 Ibid., 1052b35-36: o(/pou dokei=mh einai a)felei=n h) prosqei=nai. As traduce G. Reale(Aristotele. La Metafsica, ensayo introductorio, texto griego y comentario, 3 vols. Miln:Vita e Pensiero, 1993, II, p. 439) que con el adverbio visiblemente destaca de maneraecaz la referencia que Aristteles har repetidamente a la sensacin, como facultad

con la cual en estas lneas se captan o no los eventuales aumentos o disminucionesexperimentados por la unidad de medida (cf. infran. 28). Sin embargo, he preferidomodicar la traduccin de a)felei=n elegida por Reale, es decir, quitar, por sustraer,

propuesto por Centrone, B., Il libro Iota de la Metafsica di Aristotele, pp. 10-11.26 Cf. por ejemplo Aristteles, Metafsica, M, 7, 1081b10-18.27 Ibid., 1052b32-33: xrw=ntai w(j a)to/m% t$= podiai/#. Cf. ibid., 1053a21-23.28 Ibid., 1053a4-6, especialmente 6: pa/ntej poiou=ntai me/tron.


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aumento o disminucin, a diferencia lo que sucede con las cantidades mayo-

res, ms difcilmente podra escapar a nuestros sentidos29

.Medir con una unidad signica por ello aplicar la unidad un determinado

nmero de veces a la cosa sujeta a medicin, y agotarla en un determinado

nmero de unidades, obteniendo como resultado el nmero de cuantas uni-

dades a las que ella ascienda, el nmero de unidades que ella valga; medir

consiste, pues, en reducir lo ms grande al mnimo mediante una progresiva

comparacin y balanceo entre mayor y menor, exceso o defecto30. No por

casualidad Filopn, comentando 434a8-9, elige como ejemplo la aplicacin

del cubo, por parte de un arquitecto, a las vigas de madera a su disposicin,

que son medidas exhaustivamente, estableciendo cules son ms grandes y

cules ms pequeas31.

El ejemplo del cubo ms all del uso poco diestro que de l hace Filopn32

resulta muy feliz, y no solo porque es explcitamente citado por Aristteles en

29 Cf. ibid., 1053a3: la/qoi a)n. Aristteles opone el estadio y el talento cuyas extensioneso disminuciones podran sensiblemente escaprsenos, ya que son medidas grandes al

movimiento astronmico uniforme que emplea el tiempo mnimo como medida de

los movimientos, a la diesiscomo intervalo mnimo en la msica, y a la letra en ellenguaje (cf. ibid., 1053a3-5, 7-13).30 En este sentido, la medicin mediante unidades modeladas en las numricas perte-nece a aquellas a las que adecuadamente se ha denominado tcnicas para expresar

el fenmeno de la invariancia, desarrolladas por la aritmtica y la geometra desde elantiguo pitagorismo, al tratar de explicar cmo la transformacin, el crecimiento y la

disminucin de las magnitudes podran acompaar a la experiencia de la invariante y

de lo idntico, tratando de denir relaciones homologantes, capaces de llevar lo diverso

a lo idntico (Zellini, P., Gnomon. Unindagine sul numero, Miln: Adelphi, 1999, pp.19, 32).31 Cf. Filopn, In Arist. De anima, p. 592, ll. 30-32 Hayduck, del cual vase la traduccinanotada de: Philoponus, Aristotles On the Soul3.9-13 / Stephanus, On Aristotles OnInterpretation, traduccin de William Charlton, taca/Nueva York: Cornell UniversityPress, 2000, pp. 44-46.32 Cf. Filopn, In Arist. De anima, p. 592, l. 32-593 7. Entre los errores cometidos porFilopn, destaca la atribucin de la actividad de medir a la facultad desiderativa(592, 32), pero sorprende principalmente la total independencia respecto del ejemplodel cubo de su comentario a 434a9-10, que se centra en una distincin ms bien du-dosa entre imgenes particulares y comunes: en su opinin, hacer una imagen a

partir de muchas consiste en combinar en una imagen compuesta dos o ms accio-nes que decidimos ejecutar simultneamente, como por ejemplo visitar a un amigo,

cuando viaja al extranjero por tierra (cf. 592, 35-593, 11), tras haber determinado siest bien visitar a ese amigo o no, si est bien irse por mar o por tierra (vase 592,

15ss). Evidentemente, este sistema combinatorio del funcionamiento de la fantasadeliberativa no solo prescinde de la referencia a la medicin con una unidad, con laque es vinculada poco antes, sino que atribuye al nico fa/ntasma que sera formadocomponiendo muchos otros el rasgo distintivo de ser algo comn (koino/n) respecto de


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Metafsica, Iota,133. Se trata de una unidad de medida de la longitud, es decir,

de las cantidades ms simples que tienen naturaleza continua34

: medir conun cubo signica, pues, medir un continuo, y el carcter de continuidad y

divisibilidad es lo que Aristteles trae a colacin para justicar la aplicacin

de determinaciones cuantitativas como exceso, defecto y medio a las ac-

ciones35. Se puede, as, legtimamente imaginar medir con una unidad las

acciones que de por s no son cantidades pero s movimientos, en virtud de

su propiedad de ser continuas; pero esto implica que su unidad de medida

admitiendo que la hubiera ser entendida en analoga con la de las lneas,

que es precisamente el cubo, o de las otras cantidades continuas, como lo

son por ejemplo las supercies rectilneas, cuya unidad est constituida por

el tringulo36

y los slidos. Adems, la referencia al cubo no solo permite

comprender cmo la geometra usa una unidad de medida establecida, sino

tambin cmo la explora: en efecto, es notable y muy antiguo el problema de la

divisin del cubo, que remite a la bsqueda de una unidad de medida comn

entre dos lneas mediante el mtodo de la sustraccin repetida y recproca37.

sus componentes un carcter que Aristteles le niega explcitamente a la unidad de

medida con respecto de lo medido (cf. Metafsica, I, 1, 1053a13-14). As, se le debe aFilopn una separacin clara, hasta la incompatibilidad, de los signicados de las dosocurrencias de e(/n en 434a8-9.33 Cf. Aristteles, Metafsica, I, 1, 1053a34-35.34 Lo continuo (to sunexh=) a uno, dos, tres dimensiones constituye el objeto de lageometra plana y slida segn Aristteles (cf. Cattanei, E., Enti matematicie meta-

sica, pp. 40-44). Sobre el carcter de continuidad y de divisibilidad al innito delas magnitudes segn Aristteles, todas las referencias esenciales se encuentran en:

Heath, T., A History of Greek Mathematics, 2 vols., Oxford: Oxford University Press,1921; Nueva York: Dover,1981, pp. 342-344. Para un esudio ms profundo sobre la

concepcin aristotlica de lo continuo desde el punto de vista de la investigacin fsica,ver Wieland, W., Die aristotelische Physik(1961), Gotinga: Vandenhoeck & Ruprecht,1970; traduccin italiana de C. Gentili: La sica di Aristotele, Bolonia: Il Mulino, 1993,pp. 351-399.35 Cf. Aristteles, tica Nicomquea, II, 5, 1106a25-26.36 Cf. Aristteles, Metafsica, I, 2, 1054a2-3: el tringulo cumple esta funcin entre lassupercies, y especialmente entre las guras rectilneas, ya que se trata de la gura

rectilnea con el menor nmero de lados, en la que se detiene la descomposicin de

todas las supercies.37 Vase Simplicio, In Arist. Phys., 454, 16ss Diels. Sobre el mtodo de la sustrac-cin recproca y repetida, llamado por Aristteles a)ntifai/resij y conocido comoa)ntanai/resij, cf. Tpicos, VIII, 3, 158b29-35, junto a [ps.] Alessandro di Afrodisia, InArist. Top. I, p. 545, especialmente ll. 15-19 Wallies. Se trata del algoritmo euclideo,

en torno al que gira la reconstruccin de las matemticas de la Academia platnicapropuesta por Fowler, D., The Mathematics of Platos Academy(1987), Oxford: OxfordUniversity Press, 1990, y retomada, de manera ms general, por Zellini, P., o.c., espe-cialmente, pp. 162-207.


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Descrito brevemente en su forma ms simple, este mtodo consiste en medir

dos segmentos de recta de diferente longitud sustrayendo el ms pequeo delms grande un determinado nmero de veces; si de la sustraccin no queda

nada, evidentemente el segmento ms pequeo es unidad de medida; si ms

bien produce un resto, se usa este resto como unidad de medida de los dos

segmentos de partida, sustrayndolo de ambos un determinado nmero de

veces; la misma operacin se repite, recurrentemente, para cada resto obtenido,

que es siempre ms pequeo, hasta que no se halle uno que est un nmero

preciso de veces en los dos segmentos de partida, midindolos exhaustiva-

mente: este ltimo ser la unidad de medida comn de los dos segmentos,

siempre que ellos tengan una, o sea, que sean conmensurables38.

Segn este modelo de medida basado en la sustraccin, la cosa que se

mide es siempre mayor, o ms grande, que la unidad, puesto que debe con-

tener una cantidad lo ms exactamente posible de unidades, en las cuales

se descompone, durante el proceso de medicin. Lo que es ms grande, y

que observa el hombre que delibera e imagina al mismo tiempo, se presenta

pues como algo de lo que se llega a conocer a cunto asciende o cunto vale,

de por s en relacin a otro, gracias al hecho de que se compone de un deter-

minado nmero de unidades, llegando a las cuales se detiene su proceso de

descomposicin39.

Pero entonces, dentro de este marco conceptual que no se ve por qu

deba cambiar en el curso de unas pocas palabras, las muchas imgenes a

partir de las cuales en II. 9-10 se dice que el mismo hombre puede obtener como

resultado un e(/n, se presentan no tanto como imgenes independientes entre s

que son combinadas en una unidad ms grande producida por sntesis, sino

ms bien como porciones en las que lo que es ms grande es descompuesto

hasta hallar por anlisis, no por sntesis la unidad de medida, el extremoen el cual hay que detener su proceso de divisin y por cuyo medio se llega a

conocer el monto, el valor y el orden del complejo de sus partes.

Las lneas donde se seala el modo como un hombre imagina mientras

delibera pueden pues ser vertidas as: En efecto, decidir si l har esto o

aquello es ya tarea del razonamiento prctico, y es necesario medir con una

38 Al vnculo entre a)ntanai/resij e inconmensurabilidad est dedicada mucha litera-tura, sealada y discutida en: Cattanei, E., Le matematiche al tempo di Platone e la

loro riforma, en: Vegetti, M. (ed.), Platone, Repubblica, Libri VI-VII, Npoles: Bibliopolis,2003, pp. 473-539, especialmente pp. 500-509.39

Adems, Aristteles (De anima, III, 11, 434a8), subraya que es necesario (a)na/gkh)que l proceda de ese modo para medir lo que se gura.


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unidad de medida: efectivamente, l observa al ms grande, de modo que puede

obtener una unidad de medida a partir de muchas imgenes.El ms grande, al que cada uno de nosotros observa, puede ser ima-

ginado como una determinada extensin, por ejemplo como el rea total de

una gura limitada por un determinado permetro, y puede ser entendido,

adecuadamente, como la representacin del nal de nuestras acciones, que

es sometido, mediante la deliberacin, a un proceso de anlisis40; pero

tambin los primeros resultados de este anlisis, las partes ms amplias en

las que se descompone el entero, que representan los medios o las acciones

de naturaleza ms genrica para obtener el n, son, a su vez, sometidos a

anlisis, hasta ese mnimo indivisible la accin que se debe realizar aqu y

ahora que es el justo metro, al cual llevar el complejo de nes y acciones

sobre el que estamos razonando41.

3. Investigar y analizar como se hace con una gura geomtrica (tica Nico-

mquea, III, 5, 1112b20-21), advertir la sensacin con la que percibimos que,

entre los entes matemticos, el tringulo es un extremo (tica Nicomquea, VI,

9, 1142a23-29)

Ledo de la manera como se ha hecho, el esquema metrtico segn el

que procede la imaginacin deliberativa halla correspondencia y ejempli-

cacin en un lugar del tercer libro de la tica Nicomquea, que a menudo es

trado a colacin para ilustrar su funcionamiento: un funcionamiento que se

modela explcitamente en un esquema de tipo geomtrico, vinculado al an-

lisis de las guras42.

Aristteles precisa que nosotros deliberamos no sobre los nes sino

sobre lo que conduce al n, como por ejemplo un mdico no delibera sobre

curar a un enfermo, sino sobre cunto est en su poder hacer para ejecutar con

xito tal objetivo, es decir, sobre las acciones teraputicas que concretamente

40Este punto es adecuadamente puesto de relieve por Berti, E., Differenza tra il meto-

do risolutivo degli aristotelici ela resolutio dei matematici, en: AA.VV., Aristotelismoveneto e scienza moderna, Pdua: Antenore, 1983, pp. 435-57, especialmente 442-445.Para ms precisiones sobre la referencia al anlisis, cf., infra, 3.41

Sobre la relatividad entre nes y medios, basada en el hecho de que a cada paso

es posible redenir el medio hallado, considerndolo como n de un medio aun ms

particular, y sobre la consideracin de los medios como parte del n, cf. Natali, C.,La sagezzadi Aristotele, p. 173.42 Cf. Aristteles, tica Nicomquea, III, 5, 1112b12-15; cf. Natali, C., La sagezzadiAristotele, pp.147, 173-174.


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puede realizar, aqu y ahora, para devolverle en verdad la salud43. Los mdi-

cos y todos aquellos que deliberan desarrollan pues una indagacin44

: engeneral, planteado el objetivo, indagan sobre cmo llegar a l y a travs de

qu medios45, pero ms en particular, si resulta que es posible conseguirlo

de diversas maneras, indagan cules son las ms rpidas y bellas46; o si

puede ser obtenido de un solo modo, buscan cmo suceder a travs de l y

l a travs de qu cosa, hasta que no lleguen a la causa prxima o sea, a la

accin ms cercana al efecto, que es la ltima en el orden del descubrimien-

to47. Teniendo jado su objetivo la salud del enfermo, el mdico se plantea

diferentes lneas de accin que puedan llevarlo a cabo, las confronta y selec-

ciona las ms ecaces; o bien puede seleccionar una sola, que descompone en

acciones individuales, como los eslabones de una cadena, hasta descubrir la

accin correspondiente al ltimo eslabn, que elige ejecutar, ya que considera

que podra producir inmediatamente el efecto deseado.

Quien delibera se comporta de manera anloga a la del arquitecto de

Filopn: quiere realizar concretamente algo; tiene a su disposicin una serie

de instrumentos: no vigas de madera de dimensiones diversas, sino otras

realidades como se deca dotadas del carcter de la continuidad, es decir,

acciones diferentes; las compara y las selecciona. Pero no se queda aqu:procede a descomponerlas en verdaderos segmentos hasta descubrir uno,

extremo, en el que decide detenerse desde el momento en que le permitir

realizar lo que se haba propuesto48.

43 Cf. Aristteles, tica Nicomquea,III, 5, 1112b12 (traduccin, introduccin y notasde C. Natali, Roma/Bari: Laterza, 1999, pp. 91, 472). Sobre el criterio de la ecacia

de la accin sobre lo que se delibera a n de tener xito en ello, es decir, de alcanzar

efectivamente el objetivo que nos proponemos, cf. Aubenque, P., La prudence chezAristoteles, Pars: PUF, 1963, pp. 136ss.44 Cf. Aristteles, tica Nicomquea, III, 5, 1112b16: skopou=sin; 17: e)piskopou=sin.45 Ibid., 1112b15-16.46 Ibid., 1112b17.47 Ibid., 1112b17-20. Advirtase que la causa prxima es llamada propiamente e(/sxaton,una pesquisa que lleva a un descubrimiento: un ltimo en el sentido de un extremo,

en el que se detiene la bsqueda.48

No solo las acciones poseen carcter de continuidad y por lo tanto recaen en las

cosas cuyos extremos son uno (Fsica, VI, 1, 231a22: sunexh= men wn ta e(/sxata, cf.Metafsica, I 1, 1052a19-21), sino que a partir de varias observaciones de Aristtelesespecialmente de De anima, III, 10, 433a15-17 surge que toda la dinmica interna dela accin humana es un continuo, denido por tres puntos: la cosa a la que tiende el

deseo (o)/recij), la cual es punto de partida del intelecto prctico (a)rxh/ tou= praktikou=nou=), que alcanza un extremo (e(/sxaton), que a su vez es punto de partida de la praxis(a)rxh/ th=j pra/cewj). Vase que, si el intelecto prctico como se est perlando cadavez ms claramente alcanza desde su punto de partida a su extremo por anlisis o


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En consecuencia, cuando delibera, el hombre somete las acciones

que debe realizar a una indagacin (zh/tesij), que es una suerte de an-lisis (a)na/lusij), vindolas por ello de cierto modo, representndoselas

segn un esquema determinado. Quien delibera parece indagar y analizar

(a)nalu/ein) en el modo mencionado, como se hace con una gura geomtrica

(w(/sperdia/gramma). Es evidente que no toda indagacin es una deliberacin,

como no lo son las indagaciones matemticas, mientras que cada deliberacin

es una indagacin, y el ltimo paso en el anlisis (to e(/sxaton e)n t$= a)nalu/sei)

es el primero en la realizacin (t$= gene/sei)49.

Aristteles tiene en mente, como trmino de analoga, un procedimiento,

seguido por los matemticos en sus pesquisas, que consiste en analizar un

diafragma hasta hallar un extremo en el anlisis; este procedimiento de

anlisis matemtico se perla como un mtodo ms zettico que apodcti-

co, y se aplica a la ilustracin grca de las guras, es decir, a los dibujos

geomtricos50.

La referencia ms ecaz para comprender de qu pueda tratarse no

tiene que ver tanto con el analizar (to a)nalu/ein) citado en el primer libro de

los Analticos segundos, 78a7-8, donde se alude siempre con una explcita

conexin con las matemticas (78a11) a un procedimiento demostrativo pro-pio de la geometra, por el cual, a partir de las preposiciones que forman las

deniciones, es decir, como dir Papo, suponiendo que est probado lo que

se investigaba, se remite a la proposicin antecedente, y a la antecedente de

la antecedente, hasta que, retrocediendo de este modo, llegamos a algo ms

destacado o que tiene la posicin de principio51.

descomposicin, no procede en lnea recta ms all del objeto del deseo, sino en sen-tido contrario a l, y justamente a lo largo del camino en sentido inverso, durante estetrayecto de retorno, su razonamiento se enlaza a la imaginacin deliberativa.49 Aristteles, tica Nicomquea, III, 5, 1112b20-24 (traduccin de C. Natali).50

Para ese signicado de dia/gramma es esencial referirse a Aristteles, Sobre el cielo,10, 279b34-280a10, donde l discute en polmica con Jencrates sobre la gnesisde las guras, actuada en el contexto de un gra/fein (cf. ibid., 279b34), mediante unapoi/hsij (cf. ibid., 280a3). Sobre el signicado del pasaje en el marco de la discusin msamplia sobre la eternidad del cosmos, y sobre la referencia a Sencrates, cf. Aristteles,Il cielo, edicin de A. Jori, Miln: Bompiani, 2002, pp. 36-43, 201, 448.51 Cf. Pappus, In X Eucl. Elem., II, 634 ed. Hultsch, junto con Mignucci, M.,Largomentazione dimostrativa in Aristotele. Commento agli Analitici secondi, Padua:Antenore, 1975, p. 283, donde se observa justamente que rastros de este uso del

trmino a)nalusij, se encuentran en Aristteles, por ejemplo en la misma denomina-cin de a)nalutika/ con la que l a veces llama a sus investigaciones sobre el silogismoy sobre la demostracin, pero en mi opinin, errneamente se considera el pasajems signicativo, a este proposito, tica NicomqueaIII, 5, 1112b20, donde Arist-


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Ms que en otros lugares, y ms que en la silogstica, un paralelo del

anlisis de los diagramas, puesto en relacin de analoga con la delibera-cin puede ser hallado en el libro noveno de la Metafsica, donde Aristteles

explica que en los diagramas se hacen descubrimientos mediante el acto,

ya que hacen descubrimientos y el sujeto son los gemetras que los dibu-

jan dividindolos52.

Los ejemplos propuestos, expresados en forma muy sinttica, son dos:

que el tringulo sea dos rectos es decir, que la suma de sus ngulos sea

igual a dos ngulos rectos, y que el ngulo al interior de un semicrculo sea

universalmente recto o sea, que todos los ngulos inscritos en un semicrculo

son rectos53. Ahora bien, la pertenencia de estas propiedades, respectiva-

mente, a los ngulos internos de un tringulo y a los ngulos inscritos en un

semicrculo, resulta maniesta54, y es captada porque aparece de pronto

clara para quien la ve (i)do/nti)55: para quien ve un diagrama sometido a una

determinada divisin.

teles, en realidad, rerindose a los diagramas, alude a otro tipo de anlisis en la

direccin ya intuida por C. Natali (La saggezzadi Aristotele, p. 174), que seala que:

cuando Aristteles habla de anlisis y de deliberacin... no quiere entender por elloun procedimiento consistente en plantear que un determinado bien sea n, y luego en

analizar el trmino sealado retrocediendo a los antecedentes, hasta hallar un principio

evidente o un n superior, cuya bondad sea ya conocida, segn el mtodo de anlisis

matemtico ilustrado por Papo. El procedimiento de Aristteles consiste ms bien en

plantear que una determinada actividad o un estado de cosas por ejemplo, contem-plar sea un bien y un n prctico, y luego buscar, a partir de ello, una especicacin

particular suya, cuya actuabilidad sea ya conocida, o bien inmediatamente evidente.En otras palabras, el anlisis del n no parece dirigido a fundamentar su bondad, sino

a demostrar su practicabilidad... y procede entonces en direccin, no de los primerosprincipios y de los nes supremos fundadores, sino de las premisas particulares y

de la actuacin prctica. Respecto al n jado, entonces, la actividad analtica de la

deliberacin no se dirige por as decirlo hacia lo alto, es decir, hacia principios ms

conocidos en s y fundadores, sino hacia lo bajo, es decir, hacia acciones ms espe-ccas, realizables aqu y ahora.52 Aristteles, Metafsica, Q, 9, 1051a21-23: e)uri/sketai de kai ta diagra/mmata e)nergei/#:diairou=ntej gar e)uri/skousin. Que en este pasaje Aristteles tenga en mente no genri-camente demostraciones geomtricas, sino ms exactamente construcciones geom-tricas, es subrayado con claridad por D. Ross, en: Aristotles Metaphysics. A RevisedText with Introduction and Commentary, 2 vols., Oxford: Clarendon Press, 1924, II, pp.268-269. Precisamente, Ross subraya tambin que los procedimientos geomtricos alos que se alude aqu, no son de construccin sencilla, sino de construccin vinculadaa una pesquisa intelectual: se trata de producir, ms precisamente, demostraciones

ostensibles.53 Cf. Aristteles, Metafsica, Q, 9, 1051a24, 26-27.54 Cf. ibid., l. 23.55 Ibid., l. 26; cf. ibid., l. 28, donde recurre de nuevo a la expresin: i)do/nti dh=lon.


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En el primer caso (g. 1), se advierte al primer vistazo la igualdad de los

ngulos internos del tringulo ABC con los tres ngulos en torno a un punto(C)56, que termina dividiendo dos rectas: se trata de uno de los vrtices de la

base del tringulo, que corta la prolongacin de la base (BC, CD) y la paralela

al lado, oportunamente trazada hacia arriba (CE)57.

Figura 1

Para los ngulos en torno al punto C, se hacen efectivamente evidentes

las propiedades de igualdad de los ngulos formados por lneas (AC, BD) que

cortan dos rectas paralelas (AB, CE): la recta AC forma los ngulos alternos

iguales BCA y ACE; la recta BD forma un ngulo externo ECD igual al ngulo

opuesto interno ABC; pero dado que el ngulo ACE es igual a BAC, todo el

ngulo externo ACD resulta igual a los dos ngulos internos opuestos BAC y

ABC; si se aade el tercer ngulo interno ACB al ngulo externo ACD y a los

dos ngulos internos BAC y ABC, se advierte inmediatamente que ACB + ACD,

que es igual a dos ngulos rectos, es igual a ACB + BAC + ACB, es decir, a lasuma de los ngulos internos del tringulo ABC

58.

56 Ibid., l. 25: peri mi/an stigmh/n.57 Cf. ibid., ll. 25-26: ei) oun a)nh/kto h( para thn pleura/n. La construccin como lallama T. Heath (The Thirteen Books of Euclids Elements(1926), 3 vol., Oxford/NuevaYork: Oxford University Press/Dover, 1956, I, pp. 318, 320-321) de la cual hace uso

Aristteles, sobre todo por razones de anidad lingstica, puede considerarse la misma

a la cual se remite Euclides, en la demostracin de Elementos, I, 32, aunque se tratasede un descubrimiento muy antiguo, probablemente conocido por Tales, o incluso antes,

bajo la forma de un descubrimiento emprico.58 La construccin de Aristteles como Euclides, Elementos, I, 32 hace referencia aElementos, I, 29 (una lnea recta que corta dos rectas paralelas forma ngulos alternosiguales, el ngulo externo igual al ngulo interno opuesto, y los ngulos internos del


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En el segundo caso (g. 2), se obtiene el resultado dividiendo la base del

semicrculo BC y, por tanto, todo el semicrculo en dos mitades (BD, DC),ya que se traza la perpendicular al centro (AD)

59. Por qu el ngulo en un

semicrculo es invariablemente un ngulo recto? Porque as Heath resuelve

las palabras de Aristteles, si llegara a haber tres lneas rectas, dos que

forman la base (BD, DC), y la tercera dispuesta en ngulo recto en su centro

(AD), el hecho resulta obvio en virtud de una simple inspeccin (by simple

inspection) por parte de quien conoce la propiedad a la cual se nos reere, es

decir, la propiedad que poseen los ngulos de un tringulo de ser iguales a

dos rectos, mencionada dos lneas arriba60.

En otras palabras, si se traza una perpendicular (AD) al centro de la

circunferencia del semicrculo, y se obtiene as dos tringulos rectngulos

issceles (ABD, ACD), se halla que cada uno de los ngulos en el centro (ADB,

ADC) asciende a la suma de dos ngulos, respectivamente DBA + DAB y DCA +

DAC; pero cada uno de estos cuatro ngulos asciende a un cuarto de la suma

de los ngulos del tringulo ms grande (ABC), es decir, a medio ngulo recto;

pero entonces, ADB y ADC son cada uno iguales a un ngulo recto61.

mismo lado iguales a dos ngulos rectos), y a Elementos, I, 11 (dada una lnea recta,se requiere trazar una lnea perpendicular, que forme dos ngulos rectos en un punto

de la lnea dada). Cf. por ejemplo, Ross, D., Aristotles Metaphysics. A Revised Textwith Introduction and Commentary, II, pp. 269-270. Como destaca Heath (The ThirteenBooks of Euclids Elements, pp. 317-18, 320-321; A History of Greek Mathematics, I,pp. 143-144), se trata de operaciones constructivas dotadas de una historia no breve,anterior a Aristteles y a Euclides, que se remonta no solo a Tales, sino, bajo deter-minadas condiciones, tambin a los pitagricos; pero sobre todo, funcionando comopremisa con respecto a la de la demostracin de la suma de los ngulos internos del

tringulo, se puede considerar ese algo que es necesario plantear la hiptesis, si

en el tringulo los ngulos internos equivalen a dos rectos, a lo que Aristteles alude

en tica Eudemia, II, 11, 1127b31-32, donde precisamente habla del anlisis del nrealizado por la deliberacin.59 Cf. Aristteles, Metafsica, Q, 9, 1051a27-28. Antes el Pseudo Alejandro, In Metaph.,p. 596, l. 29-p. 597, l. 14 Hayduck, remite al tercer libro de los Elementosde Euclides,en particular, a la proposicin III, 31, para comprender la braquiloga (ibid., 596, 30)de Aristteles; cf. Alejandro de Afrodisia, Commentario alla Metasica di Aristotele,editado por G. Movia, Miln: Bompiani, 2007, pp. 1605, 1637. La misma referencia

se encuentra en todos los comentaristas modernos, incluso a sabiendas como sealaRoss (Aristotles Metaphysics. A Revised Text with Introduction and Commentary, II, p.271) de que la prueba de Aristteles no es la misma de Euclides.60 Cf. Heath, T., The Thirteen Books of Euclids Elements, II, p. 63, que hace hincapi

en el carcter menos general de este procedimiento con respecto a Euclides, Elementos,III, 31.61

Una fuente antigua Pamla en Digenes Laercio recuerda que Tales, luego de

haber aprendido la geometra de los egipcios, fue el primero en inscribir un tringulo


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Los gemetras, en ambos casos ilustrados, conocen produciendo62, y

su poiei=n puede entenderse como un analizar diagramas, ya que consiste en

dividir o descomponer guras, trazando con la lnea y el comps lneas que

dividen lneas y supercies en determinados puntos: puntos en los cuales unose detiene porque en ellos quien observa percibe visiblemente, y de ese modo

descubre o halla una determinada propiedad de las guras dibujadas, que

era objeto de indagacin63.

rectngulo en una circunferencia y sacric un buey (vase 11, A, 1 Diels-Kranz,

II, 12-13); sin embargo, este descubrimiento como arma Heath (Thirteen Books ofEuclids Elements,I, p. 317) puede entenderse en un sentido digamos que emprico(empirically, say), y por tanto es ms natural suponer... que Tales lo haya probado(suponiendo que en verdad lo haya probado) prcticamente (practically), al igual queEuclides, en III, 31.62 Aristteles, Metafsica, Q, 9, 1051a31-32: poiou=ntej gignw/skousin.63

La referencia al uso de la lnea y del comps puede ser til para comprender elpendantgeomtrico de la armacin que Aristteles hace a propsito de la prioridaden la gnesis o como oportunamnete traduce Natali, en la realizacin del extremo

alcanzado mediante anlisis, citada en tica Nicomquea, III, 5, 1112b24 (cf. supra,n. 49): en el caso de la deliberacin, esta prioridad es clara, en el sentido de que elextremo en el que ella se detiene es la accin que se elige y se realiza concretamente

en lo inmediato; en el caso del anlisis de los diagramas, la prioridad en el orden de la

generacin del extremo es que se detiene y puede ser entendida en relacin al hecho

de que la constuccin grca de la gura y por tanto su gnesis tiene su origen en

el punto en donde se detiene la descomposicin. Por ejemplo, en el caso ilustrado dela Figura 1, sea la gnesis del tringulo ABC, sea de la paralela CE, parte del apoyo

de la lnea en el punto C, que es el extremo, en torno al cual se hacen evidentes las

propiedades de los ngulos de ABC; o bien, en el caso ilustrado de la Figura 2, sea el

Figura 2


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La indagacin para el anlisis de un extremo en el que se detiene la

descomposicin de un diagrama pertenece a una geometra visiva de baseconstructiva, que cronolgicamente precede al desarrollo de la geometra

terica y cientca, organizada deductivamente para acciones y teoremas;

empero, la una queda fuertemente vinculada a la otra, aun en el edicio de

los Elementosde Euclides, pese al notable esfuerzo terico de separarlas, de

lo cual se hizo cargo en primer lugar Platn64.

Aristteles considera a las prcticas visivas y constructivas de las

cuales documenta su amplia difusin como un auxilio indispensable para la

geometra cientca, que no es mellada, en el rigor y en la verdad de sus de-

mostraciones, por el uso de lneas trazadas en la arena o de guras dibujadas

y construidas65. Por esta razn hace que el anlisis de los diagramas recaiga

entre las investigaciones matemticas y, si bien la compara con la indaga-

cin desarrollada por quien delibera, se preocupa de subrayar que no toda

indagacin es una deliberacin, y las indagaciones matemticas no lo son66.

A menudo, en efecto, l subraya que la tica y las matemticas son diferentes

y que se mantienen autnomas, fundamentalmente porque tienen objetos,

principios y mtodos diversos, dado que la una trata de cosas particulares,

semicrculo de partida, sea la perpendicular, son trazados a partir del D, el centro, sobre

el que se coloca el comps y se apoya la lnea, que es el punto en el que se descubre

que todo tringulo inscrito en un semicircunferencia es rectngulo. Por lo dems como

en parte surge tambin del pasaje de Sobre el cielo, I, 10, 279b34-280a10, recordadoanteriormente (cf. supra, n. 50), Aristteles a menudo se pregunta sobre los signi-cados de la ge/nesij de las magnitudes que por sus contemporneos es concebida,ms o menos en sentido constructivo indagando sobre los nexos de anterioridad y

posterioridad, que ella tena tambin entre las realidades no geomtricas (cf. Cattanei,E., Enti matematicie metasica, pp. 211-224). Adems, en las Refutaciones sofsticas,16, 175a27-30, hay una referencia a la recomposicin por sntesis de los diagramassometidos a anlisis, lo que se puede interpretar como un proceso de gnesis de las

mismas guras, a partir del ltimo momento de su descomposicin.64 Sobre la geometra visiva cuyo hroe puede ser considerado Hipcrates de Quos,que propuso una demostracin de la cuadratura de la lnula dependiente de la ob -servacin de una gura (42 B 3 Diels-Kranz), y sobre la reforma a la cual la somete

Platn, remito a: Cattanei, E., Le matematiche al tempo di Platone e la loro riforma,pp. 473-539 , especialmente pp. 509-514, 534-539.65 El ejemplo de la podi/aia, la lnea de un pie de largo, establecida como una unidadde medida, que, trazada en la arena, no carece de ancho, ni mide un pie de largo, y

que por la tanto podra hacer falsas las demostraciones que se basan en ellas, es re-currente en Aristteles; ver Analticos primeros, I, 41, 49b33-37; Analticos segundos, I,

10, 76b39-77a3; Metafsica, M, 3, 1078a19-21; N, 2, 1089a21-2, junto con: Cattanei,E., Enti matematicie metasica, pp. 95-97; Le matematiche al tempo di Platone e laloro riforma, pp. 488-493.66 Aristteles, tica Nicomquea, III, 5, 1112b22-23.


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variables, contingentes, vinculadas al placer y al dolor las acciones y los com-

portamientos del hombre, mientras que la otra vierte sus entidades eternas,inmviles, necesarias, incorruptibles: el tringulo y sus ngulos, el cuadrado

y su diagonal67. Aunque no es raro, aspectos de las matemticas de su tiem-

po, sobre todo de carcter paracientco u obsoleto, le sirven a Aristteles

al menos como trminos predilectos de comparacin, y hasta como material

terminolgico, conceptual y argumentativo de recuperacin para ilustrar y

explicar realidades ticas e incluso psicolgicas68.

No por casualidad, a la luz de los procedimientos de la geometra visiva

y constructiva, otro pasaje de la tica Nicomquea, considerado por no pocos

intrpretes fuera de lugar o irrelevante, llega ms bien a constituirse en una

descripcin ecaz del ltimo acto del trabajo metrtico y geomtrico al cual

se dedica nuestra imaginacin mientras deliberamos: es el momento nal en

que la fantasa y la deliberacin ceden el paso a la sensacin69.

Aristteles est hablando de la sabidura que, como se sabe, es la virtud

de la facultad calculadora del alma racional: aquella antepuesta a la praxis,

aquella con la que el hombre delibera70. Su argumento se condice con la

naturaleza de extremo (e(/sxaton) propia del objeto de la praxis (prakto/n),

que determina la distincin entre la sabidura, de una parte, y la ciencia yel intelecto, de la otra: el intelecto se dirige a las deniciones, no sujetas a

demostracin, mientras que la sabidura tiene por objeto aquel extremo del

cual no se produce ciencia sino ms bien sensacin (aisqhsij)71. El extre-

mo al que alude Aristteles consiste justo en el trmino ltimo de la cadena

deliberativa, que es elegido y actuado; pero la cosa aqu ms interesante es

cmo se describe la sensacin del extremo: No la sensacin que tiene que

ver con los sensibles propiamente dichos, sino ms bien aquella con la que

67 Cf., por ejemplo, ibid., III, 5, 1112a21-23; VI, 5, 1140b14-16; tica Eudemia, VI, 6,1222b18-29, junto con Cattanei, E., Aristotele e i calcoli delluomo saggio, 2.68 Cf. Cattanei, Aristotele e i calcoli delluomo saggio, 3.69 Cf. Aristteles, tica Nicomquea, VI, 9, 1142a23-29. Sobre la ubicacin y las in-terpretaciones de este pasaje ver Natali, C., La saggezzadi Aristotele, pp. 161-162,178-180, y las notas en: Aristteles, tica Nicomquea, p. 508, donde la referenciaque algunos estudiosos ven aqu al extremo del anlisis matemtico es considerado

poco convincente, pero a condicin de interpretarlo como referencia a un principiomatemtico, obtenido mediante anlisis lgico, y no como gura en la que se detiene

la descomposicin de un diagrama.70

Cf., por ejemplo, la descripcin de la sabidura que se encuentra en la tica Nicom-quea, VI, 1141b8-22; para una cuadro ms completo, remito a Natali, C., La saggezzadi Aristotele, pp. 73-84, 89-102.71 Aristteles, tica Nicomquea, VI, 9, 1142a26-27 (traduccin de C. Natali).


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percibimos que, entre los entes matemticos, un tringulo es un extremo

(e(/sxaton), dado que tambin en ese aqu uno se detiene72

.El extremo en el que se detiene la deliberacin es percibido sensible-

mente, pero no como la vista ve un color o como el odo oye un sonido; se

lo percibe como un tringulo: en efecto, un tringulo, en tanto gura, es un

sensible comn, no un sensible propiamente dicho73. Y, sin embargo, no es

percibido como una gura cualquiera, como un tringulo cualquiera, como

un acto cualquiera de sentido comn; el acto perceptivo de sentido comn,

que lo aprehende, se escapa del punto en que se detiene un proceso de des-

composicin, anlogo al operado entre los entes matemticos: la descompo-

sicin de supercies en supercies o, ms en general, de magnitudes de una

determinada especie en magnitudes de la misma especie (slidos en slidos,

lneas en lneas, pesos en pesos, etc.) hasta un extremo, constituido por la

magnitud ms simple en su especie; y entre las supercies rectilneas como

Aristteles recuerda tambin en Metafsica, Iota, I el extremo en el que se

detiene su descomposicin coincide con la supercie triangular74.

Se sealaba antes que, gracias a operaciones de este tipo, los matem-

ticos indagan desde la poca arcaica las unidades de medida, al interior de

cada especie de magnitud y de cantidad; pero la operacin, siempre de tipoconstructivo y visivo, retomada aqu por Aristteles, es ms precisa: se trata

de la triangulacin de las reas, practicada ya en el antiguo Egipto con nes

de medicin, especialmente en la agrimensura y en la geodesia aplicadas al

delta del Nilo, que consiste en la descomposicin de un rea en una red de

tringulos adyacentes, que no admiten ulteriores fraccionamientos ms all

de un determinado tringulo75.

Existen aplicaciones muy conocidas de la triangulacin al interior de la

resolucin de problemas geomtricos y, acaso, en la memoria de Aristtelesestaba presente la tercera parte del experimento mayutico del esclavo en el

72 Ibid., 1142a27-30 (traduccin de C. Natali, con dos cambios en I. 29).73 Cf. Aristteles, De anima, II, 7, 418a16-20.74 Cf. Aristteles, Metafsica, I, 2, 1054 a2-3 y supra, n. 36.75

El mtodo de triangulacin es practicado por la geometra griega, a la que se reeren

Platn y Aristteles, como mtodo de comparacin entre reas, en las que se busca

establecer relaciones de igualdad en el sentido explicado, por ejemplo, por D. Fowler

(The Mathematics of Platos Academy, A new Recontruction(1987), Oxford: Oxford Uni-versity Press, 1990, pp. 10-14), que de otro lado (cf. ibid., pp. 283-287), se muestrams bien escptico con respecto a la herencia que las matemticas griegas de la edad

clsica habran recibido de Egipto.


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Mennde Platn, donde se encuentra un ejemplo signicativo de ello76. En el

contexto de una discusin que aborda tambin la naturaleza de la virtud y laciencia, Scrates induce al esclavo a cambiar de mtodo de indagacin luego

de que ha fracasado en su intento de determinar aritmticamente la medida

de un cuadrado doble respecto a un cuadrado dado que tiene un lado de dos

pies de largo77. Scrates invita al joven a construir (g. 3) un cuadrado cu-

druplo (AEGI) respecto al de partida (ABCD), y despus a dividirlo en ocho

tringulos, logrando ver el cuadrado doble, formado por cuatro tringulos

(BDHF), y a indicar su lado (BD) que coincide con la diagonal del cuadrado

dado78. El diagrama, producido y analizado por Scrates y por el esclavo,

resulta ser el siguiente:

Figura 3

El esclavo termina su indagacin de una medida aritmticamente inde-nidade la diagonal del cuadrado de partida, porque, mediante la reduccin

76

Cf. Platn, Menn, 84d3-85b7, del cual vase la reconstruccin propuesta por Toth,I., Lo schiavo di Menone, Miln: Vita e Pensiero, 1998, especialmente pp. 50, 55, 61.77 Cf. Platn, Menn, 82b9-84a2.78 Cf. ibid., 85b1-7, especialmente 2.


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de una supercie ms grande a un retculo de supercies triangulares, ve un

nico tringulo en el que se detiene: su lado es el largo, la diagonal que estbuscando; con un acto perceptivo del mismo tipo, el hombre que deliberay lopuede hacer solo en casos que no se sabe cmo terminarn y en aquellos en

que hay algo indeterminado79percibe sensiblemente un extremo: el prakto/n,qu hacer aqu y ahora. Por lo dems, como los gemetras, que obtienen cono-

cimientos analizando las guras y descomponindolas en unidades, pone n

a su indagacin, luego de que, con la fantasa, ha analizado, descompuesto y

medido los nes que debe perseguir, las acciones que debe realizar.

4. Calcular y deliberar, como si se las estuviera viendo, las cosas futuras en

relacin a las presentes (De anima, III, 7, 431b7-8), recurrir a la memoria

como indagacin de una imagen en un sustrato corpreo no afectado por la

melancola (De memoria, 2, 453a15-16).

En los pasajes que hasta aqu se ha examinado Aristteles usa, para

sugerir algo sobre los modos de proceder de la fantasi/a bouleutikh/, esque-

mas de referencia que, en tanto metrticos y geomtricos, presuponen

el carcter de continuidad de aquello a lo que se aplican: un carcter que,como se sealaba, funda de hecho la analoga entre el mundo de la praxis y

el mundo de la geometra, ya que las acciones y las magnitudes comparten

tal propiedad80.

Desde otro punto de la reexin del De anima sobre la imaginacin

propia de los animales racionales81un punto precedente a aquel que se hadiscutido al inicioemerge, empero, la pauta de un esquema de referenciano tanto de tipo metrtico-espacial como de tipo logstico-temporal, donde

el trmino logstico remite al arte del clculo (logistikh/) dominante en la

segunda mitad del siglo V a.C., que consista en establecer relaciones (lo/goi)

entre unidades diversas y series ordenadas de estas relaciones82.

Las dos tipologas de esquemas no son incompatibles, ni siquiera en

sus ascendencias tcnicas, porque la metrtica basada en la sustraccin

79 Aristteles, tica Nicomquea, III, 5, 1112b7-9 (traduccin de C. Natali).80 Cf. supra, nn. 34-35.81 Cf. Aristteles, De anima, III, 7, 431b7-10.82 Sobra la logistikh/ te/xnh, que es de fundamental importancia en Platn, remito

a Cattanei, E., Le matematiche al tempo di Platone e la loro riforma, pp. 500-509.Como disciplina matemtica, ella desaparece en Aristteles, quien adems demuestra

no ignorar sus trminos, argumentos y procedimientos, incluso en la concepcin declculos prcticos, cf. Cattanei, E., Aristotele e i calcoli delluomo saggio, 3.


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poda ser expresada numricamente mediante las cadenas de relaciones

entre nmeros, estudiadas por la logstica83

. Si bien la segunda tipologa,explicitando las coordenadas de tiempo dentro de las que se sitan la delibe-

racin y la fantasa que la acompaan, inserta en elcontinuumde su proceder

elementos de discriminacin entre las partes, que requieren la institucin de

una relacin de las unas con las otras: las unidades en que se descomponen

los fanta/smata de quien delibera son distintas por lo menos desde el punto

de vista temporal, y por eso hay que, oportunamente, vincularlas84. En efecto,

son cosas futuras en relacin con las presentes, como Aristteles observa:

con las imgenes y los pensamientos que se hallan en el alma como si las

viese (w(sper o(rw=n), uno calcula y delibera las cosas futuras en relacin con

las presentes (logi/zetai kai bouleuetai ta me/llonta pro/j ta paro/nta): y

en el caso que se diga que all se halla lo agradable o lo doloroso, al punto lo

rehye o lo persigue: en general es as en la praxis85.

La visin fantstica que tiene lugar, cuando pensamos e imaginamos

en el curso de la deliberacin, que es un proceso para el cual se requiere

tiempo y calma86, no se limita a formar una red de guras ms pequeas

que componen guras ms grandes, sino que se insertan en una red de rela-

ciones entre cosas diversas: ante todo, entre cosas presentes y cosas futuras;descomponer hasta el extremo algo ms grande se vincula as, explcita-

mente, a una actividad psquica de conexin e interrelacin entre las partes

descompuestas.

83Cada sustraccin del ms pequeo al ms grande, que se realiza durante la medicin

por sustraccin repetida y recproca (ver supra, n. 37), puede ser descrita mediantepares de nmeros enteros o lo/goi dispuestos en una serie ordenada (ta/cij), queforman, en el caso de magnitudes conmensurables, una serie cerrada, que resulta enuna unidad de medida; mientras que en el caso de magnitudes inconmensurables, laserie permanece abierta, aproximndose a un valor siempre ms pequeo, que nunca

es denido; cf. Cattanei, E., Le matematiche al tempo di Platone e la loro riforma, pp.505-507.84

El tiempo que, como se sabe, es denido por Aristteles como nmero de movi-miento segn el antes y el despus (Fsica, IV, 11, 219b2), es una realidad en dondese encuentran lo continuo y lo discreto lo continuo del movimiento, lo discreto delnmero que lo divide, que, de lo contrario, quedan rigurosamente separados. Para una

discusin del problema, que es muy antiguo, cf. Wieland, o.c., pp. 413-416; y, sobre

todo, Sorabji, R., Time, Creation and the Continuum. Theories in Antiquity and the EarlyMiddle Ages, Londres: Duckworth, 1983, pp. 89-97.85 Aristteles, De anima, III, 7, 431b7-9.86 Cf. Aristteles, tica Nicomquea, VI, 10, 1142b2-6.


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Estas operaciones psquicas de conexin se extienden tambin al pasa-

do, no solo al presente y al futuro, pero solo si el pasado se hace presente87

.Y esto es posible mediante aquel tipo de silogismo y, una vez ms, de in-

dagacin, en que segn Aristteles consiste la anamnesiso el recurrir a la

memoria: facultad propia solo del hombre en cuanto delibera, ella puede ser

entendida anlogamente a la deliberacin como una especie de silogismo

(sullogismo/j tij), porque quien apela a la memoria recupera mediante una

serie de pasajes y asociaciones, similares a los de un razonamiento concatenado

que ha visto u odo algo, o que ha advertido una determinada sensacin88. No

obstante, su desarrollo de silogismos no se identica con una pura actividad

intelectual, sino con la indagacin de una imagen (zh/thsij... fanta/smatoj)

en el sustrato corpreo89: no es casualidad que uno se pueda aplicar con la

mente a traer algo a la memoria sin tener xito, o bien sujetos en condiciones

somticas de profunda agitacin como lo son los melanclicos no logran jar

ninguna imagen que pueda servirles para suscitar a otra90; en general, ade-

ms, el exceso de bilis negra que provoca la melancola produce movimientos

de la imaginacin de intensidad anormal, capaces de transmutarse, durante

el sueo, en visiones onricas monstruosas y desordenadas91.

87 Sobre el pasado no hay deliberacin, si bien se delibera sobre el futuro y sobre loque puede ser de otra manera, observa Aristteles (ibid., 3, 1139b5-11, especialmente7-9, en la traduccin de C. Natali); pero, por otra parte, la experiencia es un requisito

esencial para poder decidir bien, tanto as que difcilmente un joven puede ser sabio(cf. ibid., 9, 1142a11-16).88 Aristteles, La memoria y la reminiscencia, 2, 453a2-20, especialmente 10-12. Pocoantes, en 452a3, Aristteles ha elegido como ejemplo de anamnesis, en un contextopolmico en relacin con el Mennde Platn, recurrir a la memoria por conocimientosmatemticos, que poseen una precisa ta/cij, tal como subraya R. Sorabji, Aristotle onMemory(1972), Londres: Duckworth, 2004, Chicago: University of Chicago Press, 2006,pp. 39-40, 102-103.89 Aristteles, La memoria y la reminiscencia, 2, 453a15-16, traducido por R. Laurentien: Aristotele, Della generazione e della corruzione, Dellanima, Piccoli trattati di storianaturale, Roma/Bari: Laterza, 1983.90 Cf. Aristoteles, La memoria e la reminiscenza, 2, 453a15-20. Sobre la naturalezasomtica de la anamnesis, que posee al mismo tiempo un carcter rather intellectual,cf. Sorabji, R., Aristotle on Memory, pp. 111-113.91 Cf. Aristteles, Los sueos, 3, 461a22; La adivinacin durante el sueo, 2, 463b17,del cual vase la traduccin italiana con introduccion y comentarios de L. Repici:Aris-

totele, Il sonno e i sogni, Venecia: Marsilio, 2003. A la melancola est dedicado, en elCorpus aristotelicum: Problemi, XXX 1, traducido en su totalidad, discutido y comentadoen: Klibanski, R., R. Panofski y F. Saxl, Saturno e la melanconia, Turn: Einaudi, 2002,pp. 7-63.


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A condicin de no ser melanclicos, se puede entonces desarrollar silo-

gismos e indagar silogsticamente, con el cuerpo, mediante imgenes. Porcierto, el cuerpo es un cuerpo humano: los dems animales no tienen esta

facultad; y se trata de un cuerpo humano saludable, no afectado por desequi-

librios orgnicos. Sin embargo, en el hombre sano, tambin el mundo fsico

de las imgenes y es claro ejemplo de esto el caso de la anamnesis admite

concatenaciones e indagaciones de tipo silogstico, as como las admite el

mundo del razonamiento del cual es citado como ejemplo propio la delibera-

cin92; y no es pues un caso que la misma patologa en condiciones de inhibir

el silogizar por imgenes, la melancola, comporte la incapacidad de deliberar,

unida a un exceso de deseo, que se expresa en el e)/qoj del intemperante93.

Pero entonces, as como en concreto es bastante difcil realizar un acto

de imaginacin deliberativa sin recurrir a experiencias pasadas, que las haga

presentes y nos permita llevarlas a acciones futuras, tal vez el modelo de inda-

gacin propio de la anamnesis, silogstico pero somtico, y declaradamente

afn a la bou/lesij, puede servir bien para comprender mejor en qu sentido

descomponer y analizar diagramas que acompaa a esta ltima implique

tambin calcular relaciones, o, sobre todo, para comprender la naturaleza

psicofsica, corprea y al mismo tiempo ms bien intelectual, de todas estas

operaciones en su complejo.

5. Temstocles, habilsimo gnmn con deliberacin fulmnea (Tucdides, I, 138, 3)

La prctica de las operaciones deliberativas ensalza a sus hroes: en

el desarrollo de la propia concesin de clculo prctico y de hombre sabio,

Aristteles se alinea a una tradicin que reconoce la excelencia de Temsto-

cles94. La ilustracin por parte de Tucdides de las dotes naturales que l

haba demostrado poseer en grado sumo, resultando ms que otros digno

de admiracin por este aspecto, seala una que suscita una notable curiosi-

dad: la capacidad extraordinaria de deliberacin de Temstocles es un signo

de su naturaleza gnomnica. Escribe Tucdides: De hecho, en virtud de

su natural inteligencia, a la que no haba provisto con el estudio ni ninguna

preparacin preliminar, ni incrementos sucesivos, era un habilsimo gnomon

92 Sobre la relacin entre deliberacin y anamnesis, cf. Natali, C., La saggezzadi Aris-

totele, pp. 145-149.93 Cf. Aristteles, tica Nicomquea, VII, 8, 1150b19-28, especialmente 25-26; ibid. 15,1154b11-12.94 Cf. ibid., p. 178.


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llama tambin banusica y rudimentaria, as como lo son los artesanos y

los mercaderes que se sirven de tcnicas all comprendidas106

.En efecto, dnde se puede encontrar ilustraciones originales y concre-

tas de los esquemas matemticos a los que Aristteles se remite? Ms que en

cualquier otro lado, y con una difusin impresionante, en la moneda corriente;

aquella medida universal del valor, a la que se le ha reconocido un papel

no secundario de innovacin mental en el desarrollo de diversas formas de

pensamiento racional y positivo entre los griegos107.

Por ejemplo, en el reverso, respectivamente, de dos diversas estateras de

Egina (g.5 y g. 6), en cuyo anverso apareca una tortuga (470-450 a.C.) se

poda ver, acuadas, las guras de un cuadrado dividido en dos tringulos, que

tenan como lado la diagonal, al interior de una construccin gnomnica:

Figura 5

Figura 6

106 Cf. Platn, Repblica, VII, 522b4-5, 526d7-8, con: Cattanei, E., Le matematicheal tempo di Platone e la loro riforma, pp. 477-480, 509-510.107 Cf. Vernant, J.P., Mythe et pense chez les Grecs. tudes de psychologie historique,Pars: Maspero, 1971 (traduccin al italiano de M. Romano y B. Bravo: Mito e pensiero

presso i Greci. Studi di psicologia storica, Turn: Einaudi, 1970, 1978, 2001, pp. 395-396, 407-409, 411-412). Consltese tambin: Parise, N.F., Le prime monete. Signi-cato e funzione, en: Settis, S. (ed.), I Greci. Storia, cultura, arte, societ, 5 vols., Turn:Einaudi, 1996, II, pp. 715-734.


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Ms simplemente, en el reverso de un tetradramo de Siracusa (510-500

a.C.), que presenta en el anverso una cuadriga al paso (g. 7), se encuentracomo en muchsimas otras monedas tambin ms recientes un cuadrado

dividido en cuatro cuadrados:

Figura 7

Pero entre los motivos ms difundidos en el espacio no menos que en el

tiempo, se encuentra un cuadrado dividido en tringulos, acuados alternati-

vamente (g. 8), como aparece en esta dracma calcdica de Imera (520 a.C.):

Figura 8

De qu cosa, pues, tiene necesidad el imaginario geomtrico del hombre

que delibera para formarse? No requiere de grandes esfuerzos de aplicacin, ni

de un no ejercicio intelectual, ni de conocimientos tericos previos: de las des-

composiciones de guras sobre las que se modelan sus fanta/smata, mientras

razona sobre lo que debe hacer, l puede tener experiencia emprica de manera

cotidiana. Evidentemente, para que esta experiencia d frutos se requiere debuenas condiciones psicofsicas y, en particular, no hay que ser melanclicos:

los efectos de un exceso de bilis negra que son somticos, psquicos y ticos


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al mismo tiempo contrastan con la capacidad de evocar imgenes, o tambin

con la de imaginar visiones ordenadas, no menos que en el poder de deliberarcon ecacia. Pero en buenas condiciones de salud, los esquemas de medicin,

de anlisis y de clculo que para Aristteles contribuyen mediante la fantasa

a orientarnos en la praxis, no imponen de ninguna manera liberar el ojo del

alma como peda Platn a las dia/noiai matemticas del brbaro pantano

del devenir, de la sensibilidad y de la vida cotidiana; todo lo contrario: ms

fcilmente que en otros lugares se puede encontrar ilustraciones de ello en

aquellas bodegas y en aquellos mercados que Platn desaconsejaba vivamente

frecuentar, a n de aprender artes geomtricas y de clculo, que permitieran

ser un hombre y tener una visin del bien108.

Traduccin del italiano de Renato Sandoval Bacigalupo

el imaginario geometrico elissabetta cattanei

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