El Mtodo de los Mnimos CuadradosEstableceremos las ecuaciones para la compresin de poligonales cerradas de poligonales cerradas utilizando el mtodo de los mnimos cuadrados. En aras de la claridad, vamos a considerar una poligonal de cincos de lados, aunque las formulas obtenidas al final sern aplicables a una poligonal cerrada de cualquier nmero de lados.Estableceremos la notacin que usaremos. Las estaciones sern numeradas en sentido anti horario Las longitudes de los lados se denotan por la letra S, acompaada por un subndice que indicara las estaciones que une.

S1 : une la Est.1 con la Est.2 S2 : une la Est.2 con la Est.3

Los ngulos interiores observados se denotaron por la letra , acompaada por un subndice que indicara la estacin a la que pertenece.

1 : ang.int.de la Est.1 2 : ang.int.de la Est.2

Los acimutes calculados a partir de los ngulos , se denotaran por la letra , acompaada por su subndice que indicara el lado al que pertenece

1 : azimut de S1 2 : azimut de S2 Las correcciones angulares se denotaran por la letra v, acompaada por un subndice que indicara el ngulo al cual pertenece.

v1 : correccin de 1 v 2 : correccin de 2 Las correcciones lineales se denotaran por la letra , acompaada por un subndice que indicara el lado al cual pertenece.

1 : correccin de S 1 2 : correccin de S 2 .

Una vez compensada la poligonal los acimutes se vern afectados , y denotaremos esa correccin con el smbolo , acompaado de un subndice que indicara el azimut al que pertenece.

1 : correccin de 1 2 : correccin de 2

Ecuaciones de condicin de una poligonal cerradaUna poligonal cerrada debe cumplir tres condiciones para que esta sea geomtricamente y analticamente perfecta. Estas ecuaciones estn planteadas en las condiciones siguientes:

La ecuacin I, es la condicin para las correcciones angulares. La sumatoria de todas la correcciones angulares, menos el error de cierre angular debe ser cero.

La ecuacin II, es la condicin de cierre lineal sobre el eje X. Una vez modificadas las longitudes de la poligonal mediante las correcciones i, y corregimos los acimutes, la sumatoria de todas las proyecciones de los lados del polgono sobre el eje X debe ser cero.

La ecuacin III, es la condicin de cierre lineal sobre el eje Y. Una vez modificadas las longitudes de la poligonal mediante las correcciones i, y corregimos los acimutes, la sumatoria de todas las proyecciones de los lados del polgono sobre el eje Y debe ser cero.

Modificaremos las ecuaciones II y III para simplificarlas. Desarrollando los productos de la ecuacin II de la siguiente manera:

Y anlogamente para los productos de la ecuacin III, transformaremos las ecuaciones II y III:

Donde los corchetes [ ], denotan sumatoria.

Si observamos que la correccin acimutal del primer lado es igual a la correccin angular del primer vrtice y que la correccin acimutal del segundo lado es la acumulacin de la correccin angular del primer vrtice con la del segundo, y as sucesivamente, tendremos las siguientes igualdades.

Que sustituyendo en las ecuaciones 1 y 2, obtendremos:

Si representamos las proyecciones de los lados mediante coordenadas tenemos que:

Introduciendo esas representaciones en las ecuaciones 3 y 4, obtenemos:

Si definimos los errores de cierre lineal en cada uno de los ejes como:

Y los sustituimos en las ecuaciones 5 y 6, para reescribir las tres ecuaciones de condicin tenemos:

Aplicando la compensacin por grupos, tomaremos como primer grupo a la ecuacin 7 y distribuiremos, inicialmente, el error de cierre angular e por partes iguales entre todos los ngulos del polgono.Con estas correcciones v, calculamos las ecuaciones 8 y 9, de tal modo que obtendremos:

Donde las v, representan una segunda correccin que se les aplicara a los ngulos y que junto con los anteriores, sern las correcciones angulares definitivas.

Definiendo las coordenadas del centroide del polgono, como los promedios de las coordenadas de cada uno de los vrtices, para cambiar el sistema de referencia al centroide del poligono.

Ahora multiplicaremos la ecuacin 10, inicialmente por: Para obtener:

Sumamos estas ecuaciones a las ecuaciones 11 y 12, las cuales quedan referidas al centroide del poligono:

Si expresamos las coordenadas de los vrtices con respecto a las coordenadas del centroide, obtendremos que:

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones 14 y 15, respectivamente, y adems utilizamos el factor de conversin de grados sexagesimales a radianes:

Donde

Tendremos las tres ecuaciones de condicin expresadas de la siguiente forma:

Estas ecuaciones son las que utilizaremos para calcularemos para calcular las correcciones angulares y lineales por el mtodo de los mnimos cuadrados.Solucin de las ecuaciones de condicin con el mtodo de los mnimos cuadrados

Por el mtodo de los minimo0s cuadrados podemos solucionar un sistema de la siguiente forma:

Se transforma este sistema a las ecuaciones normales del problema de mnimos cuadrados, de la siguiente manera:

Aadimos los pesos relativos a las mediciones, por lo que las ecuaciones anteriores se transforman en: