elementarne_funkcije

1

ELEMENTARNE FUNKCIJE – GRAFICI

Osnovne elementarne funkcije su :

- Konstantne funkcije - Stepene funkcije - Eksponencijalne funkcije - Logaritamske funkcije - Trigonometrijske funkcije - Inverzne trigonometrijske funkcije - Hiperboličke funkcije

Elementarnim funkcijama se nazivaju funkcije koje se mogu zadati pomoću osnovnih elementarnih funkcija i konstanti , pomoću konačno mnogo operacija sabiranja , oduzimanja, množenja, deljenja i kompozicija osnovnih elementarnih funkcija. Napomena: Ovo nije stroga definicija elementarnih funkcija. Vi tu definiciju naučite kako vam je kaže vaš profesor, mi smo tu da samo malo pojasnimo stvari i podsetimo vas kako izgledaju grafici...

x

y

x

yny x

n-paran broj

ny xn-neparan broj

Ovo su grafici stepenih funkcija gde je izložilac prirodni broj . Svi grafici izgledaju ovako, sem što se u zavisnosti od izložioca sužavaju ili šire…( pogledajte fajl kvadratna funkcija iz druge godine).

www.matematiranje.com

2

x

y ny xn-neparan broj

x

yny x

n-paran broj

Ovo su grafici stepenih funkcija gde je izložilac racionalan broj.

Trebamo zapamtiti da je ny x , kada je n paran broj definisana samo za [0, ) to jest 0x x , dok je funkcija

ny x kada je n neparan broj definisana na celom skupu R, to jest ( , ) x

x

y

x

y

1

log

1

ay x

a

log

0 1

ay x

a

1

x

y

1

lny x

slika 1 slika 2 slika 3 Podsetite se logaritamskih funkcija ( fajl iz II godine). Važno je zapamtiti da su one definisane za vrednosti x koje su veće od nule , to jest 0x . U graničnim vrednostima funkcija smo rekli da je ln 0 . Sa elementarnog grafika to sad možemo i uočiti (slika 3.): kad se x približava 0 sa pozitivne strane funkcija teži beskonačnosti ( minus):

0lim ln

xx

( žuta crta)

A rekli smo i da je ln . Sa grafika je i to jasno, kad x teži beskonačnosti i funkcija ide u beskonačno, što je na grafiku prikazano crvenom crtom.


3

x

y

x

y

1 11

xy a

a

0 1

xy a

a

x

y

1

xy e

Eksponencijalne funkcije smo takodje obradjivali u II godini. Važno je da su one svuda definisane: x R . Kad smo objašnjavali limese, rekli smo da je 0e . Sada to možemo videti i na grafiku( žuta crta), kad x teži minus beskonačno, funkcija se približava nuli. Dalje smo rekli i da je e ( crvena crta). Trigonometrijske funkcije: Sinusna funkcija y = sinx je osnovna trigonometrijska funkcija.

1

-1

siny x

222

3

2

2

3

2

0

Ostale trigonometrijske funkcije definišemo sa :

cos sin( )2

x x

1

-1

222

3

2

2

3

2

0


4

sin

cos

xtgx

x

222

3

2

2

3

2

x

y

0

y=tgx

cos

sin

xctgx

x

22

3

2

2

3

2

x

y

0

y=ctgx

Inverzne trigonometrijske funkcije: Ove funkcije se nazivaju ciklometrijske ili arkus funkcije. i) Arkus sinus Pazite: funkcija y = sinx nema inverznu funkciju, jer nije bijekcija!

Ali ako posmatramo njenu restrikciju na intervalu [ , ]2 2

i preslikavanje 1 :[ 1,1] [ , ]

2 2f

dobijamo arkus

sinus funkciju:

2

2

-11 x

y

y=arcsinx

0


5

Još zapamtite da važi:

arcsin(sin ) za [ , ]

2 2sin(arcsin ) za x [-1,1]

x x x

x x

Funkcija je definisana za [ 1,1]x Nula funkcije je u x=0 ii) Arkus kosinus I ovde ćemo iz sličnog razloga posmatrati restrikciju funkcije y = cos x na intervalu [0, ] . Posmatramo preslikavanje 1 :[ 1,1] [0, ]g

2

-1 1 x

y

y=arccosx

0

Važi: arccos(cos ) za [0, ]

cos(arccos ) za [ 1,1]

x x x

x x x

Funkcija je definisana za [ 1,1]x Nula funkcije je u x =1 iii) Arkus tangens

Posmatrajući restrikciju funkcije y = tgx na intervalu [ , ]2 2

i preslikavanje 1 : [ , ]

2 2h R

Dobijamo funkciju arkus tangens. www.matematiranje.com

6

2

2

x

y

y=arctgx

0

( ) za [ , ]2 2

( ) za x R

arctg tgx x x

tg arctgx x

Funkcija je definisana na celom skupu R. Nula funkcije je x=0. iv) Arkus kotangens

1 : [0, ]k R

x

y

2

0

y=arcctgx

( ) za [0, ]

( ) za x R

arcctg ctgx x x

ctg arcctgx x

Funkcija je svuda definisana . Nema nule. Hiperboličke funkcije

To su funkcije : hiperbolički sinus 2

x xe eshx

, hiperbolički kosinus

2

x xe echx

hiperbolički tangens x x

x x

e ethx

e e

i hiperbolički kotangens

x x

x x

e ecthx

e e


7

Grafici ovih funkcija se dobijaju iz grafika i x xy e y e odnosno pomoću 1 1

i 2 2

x xy e y e

xy exy e

x

y

0

1

y=sh 12

xy e12

xy e

1

2

1

y=ch

x

y

Ovde važe identiteti ( podseti se adicionih formula iz II godine…)

2 2

2 2

1

( )

( )

2 2

2

ch x sh x

sh x y shx chy chx shy

ch x y chx chy shx shy

sh x shx chx

ch x ch x sh x

hiperbolički tangens i hiperbolički kotangens imaju grafike:

x

y

1

-1

y=th

x

y

1

-1

y=cth


elementarne_funkcije

Documents