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Nota:

Gli argomenti relativi alle equazioni differenziali trattati in questa sezione rientrano sia nella parte “Istituzioni” che nella parte “Calcolo Numerico”.

Come riferimento per questi argomenti si può consultare, limitatamente alla parte “Istituzioni”:

Stewart: Calcolo – funzioni di più variabili:

par. 1.1 (pagg. 3-6);

par. 1.2 (pagg. 12-15);

par. 1.3 (pagg. 18-20);

par. 1.4 (pagg. 27-32).

1

Equazioni differenziali

Paaina 2Equazioni differenziali

2

Esempio 1: corpo pesante appeso a una mollaEsempio 1: corpo pesante appeso a una molla

L

y

mmg

-kyF = ma mg - ky(t) = my”(t)

g)t(ymk)t("y ====++++

yy((tt) è una funzione incognita) è una funzione incognita

kmg

)tmk

cos(B)tmk

sin(A)t(y ++++++++====Soluzione:

Problema: studiare il moto di un corpo rigido di massa m, libero di traslare lungo l’asse verticale y, appeso a una molla di rigidezza k.

Dati:

k = rigidezza della molla;

m = massa del corpo.

Altri simboli:

L = lunghezza naturale della molla (non sottoposta ad alcuna forza);

y = spostamento del corpo a partire da L = allungamento della molla;

g = accelerazione di gravità;

t = tempo.

L’incognita è la funzione y(t).

Forze agenti sul corpo:

•-ky = azione della molla;

•mg = peso.

L’equazione F=ma è la prima legge della dinamica: F è la risultante di tutte le forze agenti sul corpo; a è l’accelerazione del corpo. L’equazione è un’equazione vettoriale, in questo caso corrisponde a un’unica equazione scalare dato che i vettori sono tutti diretti come l’asse y.

La soluzione è un insieme illimitato di funzioni: ogni combinazione dei parametri A, Bfornisce una funzione che soddisfa l’equazione data.


3

Equazioni differenziali: DefinizioniEquazioni differenziali: Definizioni

Un’equazione differenziale è un’equazione in cui:– Figurano derivate di una funzione;– L’incognita è la funzione.

Esempio:y’(x) + 2x = 1y (x) è la funzione incognita.

Risolvere l’equazione differenziale significa determinare la soluzione generale: insieme di tutte le funzioni che soddisfano l’equazione.

Soluzione generale dell’esempio: y(x) = x - x2 + C

L’esempio precedente è un tipico caso di problema fisico che, descritto in termini matematici (seconda legge di Newton), porta a una relazione fra variazioni locali di grandezze variabili (e quindi derivate di funzioni).

Nell’esempio precedente la variazione avveniva nel tempo, quindi la variabile indipendente era il tempo e la funzione soluzione del problema descriveva l’evoluzione nel tempo di un certo fenomeno fisico. Più in generale, la variabile indipendente può avere significati fisici diversi e quindi si usa indicarla con x (riservando sempre il simbolo t se la variabile indipendente rappresenta il tempo), mentre la funzione incognita viene comunemente indicata con la lettera y.

Un’equazione differenziale ha in genere un’infinità di soluzioni.


4

Classificazione delle Equazioni differenzialiClassificazione delle Equazioni differenziali

Un’equazione può essere:– ordinaria (l’incognita è funzione di una variabile)– alle derivate parziali, es. utt = cuxx (u(t,x) incognita)

Ordine di un’equazione: ordine massimo della derivata– y’ + 2x = 1 è del 1° ordine, y(x) incognita;– x”(t) + kx(t) = 0 è del 2° ordine, x(t) incognita;– (y’)2 - x = x2 è del 1° ordine, y(x) incognita.

Formato generale di un’equazione differenziale:

F(y, y’, y”, yIII,…,x) = 0F è una funzione nota

Nell’ultimo esempio: F(y’,x) = (y’)2 - x - x2

Le equazioni alle derivate parziali hanno importanti applicazioni nello studio di sistemi continui (sforzi/deformazioni di corpi come lastre o membrane, moto di fluidi, scambio di calore ecc.) Nel prosieguo di queste note tratteremo solo le equazioni ordinarie.

Nel caso dei due esempi precedenti si ha:

•Esempio 1

ordine: 2

F(y”, y’, y, t) = y” – (k/m)y – g

•Esempio della figura precedente

ordine: 1

F(y’, y, x) = y’ + 2x – 1


5

Problema ai valori iniziali (problema di Problema ai valori iniziali (problema di CauchyCauchy) ) (1/2)(1/2)Imponendo che l’incognita y(x) (e le sue derivate) assumano certi valori in un certo punto si determina, dall’insieme della soluzione generale, una ben precisa funzione.Dall’Esempio 1 (corpo appeso alla molla):

• CASO a):

0y)tmk

cos(B)tmk

sin(A)t(y ++++++++====

all’istante iniziale il corpo sta in questa posizione.

all’istante iniziale il corpo è fermo.

)tmk

sin(Bmk

)tmk

cos(Amk

)t('y −−−−====

Amk====0 A=0

kmg

Bk

mg ++++==== B=0

��

��

====

========

00

0 0

)('y

yk

mg)(y

0y)t(y ====

��

��

��

��

��

EQUILIBRIOEQUILIBRIO

(continua)(continua)

Con l’espressione “un certo punto” si intende un dato valore della variabile indipendente (valore iniziale della variabile indipendente).

Il numero di valori iniziali da assegnare perché il problema sia determinato dipende dall’ordine dell’equazione. Se l’equazione è di ordine n si devono dare n valori iniziali: un valore per la funzione, un valore per la sua derivata prima, un valore per la sua derivata seconda,…, un valore per la sua derivata (n-1)-esima.

Nel caso specifico (Esempio 1) si ha un’equazione di 2o ordine, quindi due valori iniziali: uno per la y, uno per la y’.

La posizione y0 si chiama posizione di equilibrio: in questa posizione la trazione della molla è uguale al peso del corpo.

Il caso illustrato corrisponde al seguente esperimento: porre il corpo nella posizione di equilibrio e lasciarlo andare: nulla si muove.


6

Problema ai valori iniziali (problema di Problema ai valori iniziali (problema di CauchyCauchy) ) (2/2)(2/2)Ancora dall’Esempio 1 (corpo appeso alla molla):

• CASO b):

0y)tmkcos(B)t

mksin(A)t(y ++++++++====

��

========

0000

)('y)(y all’istante iniziale la molla è scarica.

all’istante iniziale il corpo è fermo.

)tmk

sin(Bmk

)tmk

cos(Amk

)t('y −−−−====

Amk====0 A=0

00 yB ++++==== B=-y0

��

��

−−−−==== )t

mkcos(y)t(y 10 MOTO PERIODICOMOTO PERIODICO

Il caso illustrato corrisponde ad agganciare alla molla (scarica) il corpo e lasciarlo andare: il corpo comincia a scendere per risalire successivamente e così via senza fine: la funzione y(t) è periodica e riassume nel tempo gli stessi valori.Il periodo della funzione risulta decrescente con la rigidezza k della molla e crescente con la massa m: un corpo pesante appeso a una molla poco rigida ha un moto lento, viceversa un corpo leggero appeso a una molla rigida (provare a disegnare la funzione y(t) per diversi valori del rapporto k/m).


7

Equazioni del 1° ordine a variabili separabiliEquazioni del 1° ordine a variabili separabili

Equazioni del tipo: y’(x) = g(x)f(y)– g(x), f(y) note; y(x) incognita– Esempio: y’(x) = y sinx– Equazioni equivalenti:

)(1

)(

yf

xgdxdy = dxxgdy

yf)(

)(1 =

1° membro solo y

2° membro solo x

�� = dxxgdyyf

)()(

1

Esempio:

xdxydy

sin= �� = xdxdyy

sin1

ln|y| = -cosx + c1

y = ±ec1e-cosx

FORMULA RISOLUTIVAFORMULA RISOLUTIVA

y = 0 y = Ce-cosx

SINGOLARE

NOTA:

L’equazione equivalente a variabili separate può essere usata solo se f(y)≠0. Il caso f(y)=0 deve essere considerato a parte, verificando se costituisce un’ulteriore eventuale soluzione dell’equazione. Se la costituisce essa viene detta soluzione singolare.

Nell’esempio:

avendosi f(y)=y, l’equazione equivalente può essere usata solo se y≠0 e la costante C=±ec1

non può essere =0.

Tuttavia 0 è una soluzione dell’equazione data, come si può verificare. Quindi 0 è una soluzione singolare, che va aggiunta alle altre. In definitiva la soluzione generale è data dalla formula finale in cui C può assumere qualsiasi valore reale.


8

Applicazione: Crescita e decadimento esponenzialeApplicazione: Crescita e decadimento esponenziale

kydtdy ==== kdt

ydy ==== ln|y| = kt + c1

y = Aekt

Problema ai valori iniziali: y(0) = y0

Soluzione: y(t) = y0ekt

t

y

y0

K>0 CRESCITA

K<0 DECADIMENTO

y0/2

T

T: Tempo di dimezzamento

k,ln

kT 6930

211 −−−−≅≅≅≅====

y0/4

T T

Tempi di dimezzamento

Bismuto 214: 20 minutiRadon 222: 4 giorni

Piombo 210: 22 anniCarbonio 14: 5730 anniUranio 238: 4 Mld anni

La variabile indipendente è il tempo t. La funzione y(t) rappresenta una quantità che varia nel tempo con una velocità di variazione proporzionale alla quantità stessa.

Nel caso di crescita, y(t) può rappresentare la numerosità di una popolazione che si riproduce nel tempo tanto più velocemente quanto maggiore è la popolazione. Si dice che una popolazione del genere cresce esponenzialmente.

Nel caso del decadimento y(t) può rappresentare la quantità di una sostanza radioattiva che produce radiazioni consumando se stessa. Il tempo di dimezzamento è il tempo che una data quantità di sostanza impiega a dimezzarsi, a partire da qualunque istante. Come si vede dalla tabella i tempi di dimezzamento di alcuni isotopi (atomi che posseggono un numero di neutroni diverso dal numero di protoni) radioattivi sono estremamente variabili.

Il carbonio 14 viene usato per datare reperti archeologici. Questo metodo si basa sul disequilibrio tra atomi di carbonio 12 (non radioattivo) e di carbonio 14 presenti in un organismo dopo la morte. Da vivi piante e animali presentano quantità di carbonio 12 e di carbonio 14 in rapporti costanti, ma dopo la morte gli atomi di carbonio 14 iniziano a diminuire tramutandosi in atomi di azoto 14. La velocità con cui essi decadono è nota e perciò, confrontando il livello di carbonio 14 con il numero totale di carbonio presenti nei resti, è possibile calcolare il tempo trascorso dal decesso.


9

Equazioni lineari del 1° ordineEquazioni lineari del 1° ordine

Equazioni del tipo: y’(x) + p(x)y(x) = q(x)– p(x), q(x) funzioni note e continue; y(x) incognita

– Esempio: y’ + y/x = 1 (x>0)– Procedimento:

m(x) primitiva di p(x), m’(x) = p(x);

D(em(x)y) = em(x)m’(x)y(x) + em(x)y’(x)= em(x) [y’(x) + p(x)y(x)] = em(x)q(x)

��==== dx)x(qe)x(ye )x(m)x(m

�� dx)x(qe )x(my(x) = e-m(x)

L’equazione si chiama lineare perché la funzione F(y, y’ ,y”,…,x) (vedi la figutraClassificazione delle Equazioni differenziali) è una funzione lineare.

La funzione m(x) è detta fattore integrante.


10

Esempio di equazione lineare del 1° ordineEsempio di equazione lineare del 1° ordine

y’(x) + y(x)/x = 1 (x>0)

em(x)=

y(x) = �� xdxx1

��

��

++++==== C

xx 21 2

xCx ++++====

2

y’(x) + p(x)y(x) = q(x)m(x) primitiva di p(x)y(x) = e-m(x)�� dx)x(qe )x(m

p(x) =

q(x) =

m(x) =

1/x

1

ln(x)

x

N.B: in questo caso la primitiva di 1/x è lnx e non ln|x| perché l’equazione è definita per x>0.


11

Equazioni del 2° ordineEquazioni del 2° ordineEquazioni riducibili al 1° ordine: F(y”, y’, x) = 0

y(x) non appare; – Esempio: y” = x (y’)2

– Procedimento:v(x) = y’(x);F(v’, v, x) = 0 equazione del 1° ordine.

Esempio: Problema ai valori iniziali: y(0) = 1, y’(0) = -2

xdxvdv ====2 2

12

1 2 cxv

++++====−−−−1

22 cx

v++++

−−−−====

v(0) = -2 c1 = 1 221

2 2 cxarctanxdxy ++++−−−−====

++++−−−−==== ��

y(0) = 1 c2 = 1 y = 1 – 2arctanx


12

Applicazione: Fune flessibile con carico distribuitoApplicazione: Fune flessibile con carico distribuito

y

x

A

B

WAB-NA

NB

-NAx + NBx = 0 NAx = NBx = H

P ds

-N

N+dNdw

dxdy

Ny = Hdy/dx

y=y(x)

= Hy’(x)

dNy = Hy”(x)dx

-dw + dNy = 0 -dw + Hy”(x)dx = 0

Hy”(x) = w’(x)

Problema: determinare la forma che assume una fune di peso trascurabile e perfettamente flessibile, fissata in due punti e sottoposta a un carico verticale distribuito con continuità lungo la fune stessa. La forma assunta è una curva giacente nel piano passante per i punti d’ancoraggio e parallelo al carico (piano verticale xy).

W = forza esterna (ha una sola componente, chiamata W, secondo y);

P = punto generico della fune;

s = ascissa curvilinea, crescente verso destra (concordemente all’asse x);

N = sforzo assiale di trazione. Se si seziona la fune in P, N è la forza che la parte di destra esercita su quella di sinistra (la forza sulla parte destra è uguale e contraria). Essendo la fune perfettamente flessibile gli sforzi interni sono solo assiali di trazione, quindi N è tangente alla curva.

Per l’equilibrio secondo x del generico tratto AB si ha che la componente secondo x della trazione è una costante H, uguale in tutte le sezioni della fune. Ne segue che maggiore è l’inclinazione maggiore è la trazione.

L’equazione Ny=H(dy/dx) esprime il fatto che lo sforzo N è ovunque diretto tangenzialmentee ha componente orizzontale H.

L’equazione dw+dNy=0 è l’equazione di equilibrio verticale (secondo y) del tratto elementare nell’intorno di P, di lunghezza ds.

A questo punto per risolvere il problema occorre conoscere la legge di distribuzione del carico, ossia la funzione “densità di carico” w(x).


13

Fune flessibile Fune flessibile -- carico orizzontalecarico orizzontale

p = peso per unità di lunghezza

p

y=y(x)

Hy”(x) = w’(x)

w’(x) = dw/dx = p

y”(x) = p/H

1cxHp)x('y ++++====

y

xy’(0) = 0

xHp

)x('y =

22

2 cxHp

)x(y +=

y(0) = 0

2

2x

Hp

y ==== parabola

In questo caso il carico è distribuito uniformemente lungo una linea orizzontale. Risulta w(x) = px.

La curva secondo cui si dispone la fune è una parabola.

I coefficienti c1 e c2 si annullano assumendo l’origine degli assi nel vertice della parabola, da cui segue: y(0)=0, y’(0)=0.


14

Esempio di arco parabolico: ponte sospesoEsempio di arco parabolico: ponte sospeso

TRAZIONE

COMPRESSIONE

La fune flessibile sollecitata da un carico verticale, uniformemente distribuito in orizzontale, si trova nella configurazione tipica dei ponti sospesi.

I tre archi della fune portante sono archi di parabola.

La fune e i tiranti verticali sono sollecitati a trazione. I due piloni sono sollecitati a compressione.

Solo nel piano stradale sono presenti sforzi di taglio e di flessione.


15

Esempio di parabola invertita: Esempio di parabola invertita: Tyne Tyne bridgebridge

Il ponte sul fiume Tyne, costruito nel 1928 a Newcastle (UK), ha una struttura a perfetta forma parabolica.

I progettisti furono Mott, Hay e Anderson. La campata ha un’ampiezza di 185 m, l’altezza del piano stradale sul pelo dell’acqua è di 29 m.

I materiali di costruzione sono acciaio e granito.

Ai suoi tempi costituì una notevole opera ingegneristica.

In questo caso le spinte verticali dovute al peso sono dirette verso la concavità della parabola. Di conseguenza l’arco portante è sollecitato a compressione.


16

Fune flessibile pesanteFune flessibile pesante

p = peso per unità di lunghezza di fune

p

y=y(x)

Hy”(x) = w’(x)

w’(x) = dw/dx

y”(x) = (p/H)

dxHp

)'y(

'dy =+ 21

xHp

'hyarcsin =

xHp

sinh)x('y =

y

x

y’(0) = 0 y(0) = 0

)xHp

cosh(pH

y 1−= catenaria

dw = pds = p 22 )dy()dx( +

= p 21 )'y(dx += p 21 )'y(+

21 )'y(+

A differenza del caso precedente, qui il peso è distribuito uniformemente non in orizzontale ma lungo l’ascissa curvilinea s. Quanto più la linea è inclinata tanto meno la distribuzione orizzontale è uniforme.

La catenaria è la curva secondo cui si dispone una fune perfettamente flessibile e soggetta solo al proprio peso (una catena è un oggetto fisico che si avvicina molto a questa situazione).

Le funzioni iperboliche sinh (seno iperbolico) e cosh (coseno iperbolico) sono definite rispettivamente come:

sinhx = (ex –e—x)/2

coshx = (ex +e—x)/2

e sono legate dalle relazioni: Dsinhx = coshx; Dcoshx = sinhx.

arcsinhx è la funzione inversa di sinhx.


17

Confronto parabola Confronto parabola -- catenariacatenaria

A BPARABOLA

CATENARIA

La figura illustra la parabola e la catenaria passanti per i due punti A, B di aggancio e aventi lo stesso vertice.

Si può notare la modesta differenza.

In effetti nell’intorno del vertice (x=0) le due curve tendono a confondersi, come si può verificare sviluppando la catenaria in serie di potenze: i primi termini dello sviluppo risultano uguali.


18

Esempio di catenaria invertita: Esempio di catenaria invertita: St Louis ArchSt Louis Arch

L’arco situato nel “Jefferson National Expansion Memorial Park” di St. Louis, Missouri fu costruito fra il 1961 e 1966 su disegno dell’architetto Saarinen (1910-1961) con intenti puramente celebrativi.

Si tratta di una struttura d’acciaio inossidabile, alta 192 m e di apertura alla base di 192 m.

La forma a catenaria invertita fa sì che la struttura, sottoposta unicamente al proprio peso, sia sollecitata solo a compressione.


19

Catenaria invertita: iCatenaria invertita: i modelli dimodelli di GaudGaudíí per la Cripta Gper la Cripta Güüellell

Antoni Gaudí (1852 - 1926), architetto catalano famoso per la singolarità delle proprie opere, dedicò speciale attenzione allo studio di forme strutturali staticamente adeguate.

Fra il 1889 e il 1908 Gaudí progettò la cripta della Colonia Güell usando un metodo innovativo: il modello sospeso. Invertendo il modello (ribaltandolo cioè in modo da portare il basso in alto) si disegnava una struttura in muratura leggera ed efficiente.

La foto di sinistra mostra una riproduzione dell’originale modello di Gaudí in scala 1:10, usato per determinare i carichi e saggiare diverse soluzioni costruttive.

Sistemi di fili collegati fra loro rappresentano archi, colonne, pareti e altri elementi strutturali. Sacchetti contenenti pallini di piombo simulano spinte verticali concentrate. I numerosi archi colleganti coppie di nodi contigui sono archi di catenaria.

La foto di destra mostra l’interno della cripta. Gli archi sono sollecitati a pura compressione.

20

Soluzione numerica di equazioni differenziali


21

Soluzione numerica di equazioni differenziali Soluzione numerica di equazioni differenziali

La ricerca della soluzione numerica in un problema differenziale costituisce un’importante applicazione della derivazione numerica.Il risultato cercato in un problema differenziale è una funzione. Pertanto l’analisi offre sicuramente gli strumenti più adeguati.Tuttavia spesso un problema differenziale non trova soluzione analitica: solo un limitato numero di equazioni ammette soluzione in forma esplicita.Si ricorre allora al Calcolo Numerico per individuare un’approssimante della funzione cercata.


22

Soluzione numerica di un problema di Soluzione numerica di un problema di CauchyCauchy

��

========

00 y)x(y)y,x(f)x('y

È dato il seguente problema di Cauchy:

Supponendo che:•esista una e una sola soluzione y(x);•in un intervallo I della variabile indipendente fy sia negativo (equazione intrinsecamente stabile),

allora in tale intervallo il problema può essere risolto numericamente col Metodo di Eulero.


23

Metodo di EuleroMetodo di Eulero

2. Nei punti di suddivisione xi si ha:))x(y,x(f)x('y iii ====

3. Sostituendo alla derivata il rapporto incrementale:

1. Si suddivide I in n sottointervalli [xi,xi+1] di ampiezza h: xi+1=xi+h (i=0,1,..,n)

)y,x(hfyy 0001 ++++====4. Dalle condizioni iniziali si ricava:

))x(y,x(fh

)x(y)x(yii

ii ≅≅≅≅−−−−++++1

(i=0,1,..,n-1)

6. Le coppie di valori (xi,yi) (i=0,1,..,n) forniscono per punti la funzione incognita e costituiscono la soluzione numerica del problema di Cauchy.

(1° passo)

)y,x(hfyy iiii 111 −−−−−−−−−−−− ++++====5. …e in successione:

(i-esimo passo, i=1,..,n)

Una sequenza di istruzioni MATALAB per realizzare il metodo di Eulero è ad esempio la seguente.

% Le tre righe seguenti sono specifiche del problema, in questo esempio f(x)=-y(x).

f = '-y(i)'; % In genere inserire fra apici l’espressione appropriata di f(x).

xmin = 0; y0 = 1; % y(0) = 1

h=0.5; n=5; % intervallo [0,2] diviso in 5 sottointervalli.

% Le righe seguenti sono generiche e non cambiano col problema.

clear x y;

x(1) = xmin;

y(1) = y0;

for i=1:n

y(i+1)=y(i)+h*eval(f);

x(i+1)=x(i)+h;

end

Dopo che sono state eseguite queste istruzioni x è un vettore contenente gli n+1 punti di suddivisione, y un vettore contenente i corrispondenti n+1 valori della funzione.


24

Errore nel metodo di Eulero Errore nel metodo di Eulero (1/2)(1/2)

Precisamente, sviluppando y(x) nell’intorno, di ampiezza h, di xi , si ottiene:

)x('hy)x(y)x(y iii ++++====++++1

Per determinare un’espressione dell’errore di troncamento nel metodo di Eulero interpretiamo l’approssimazione del metodo ottenuta attraverso il troncamento della serie di Taylor.

)y,x(hfyy iiii ++++====++++1

che coincide, a meno dell’errore, con la formula del passo (i+1)-esimo di Eulero:

ii xx

)(''yh

≤≤≤≤≤≤≤≤

++++

++++ ξξξξ

ξξξξ

1

2

2



25

Errore nel metodo di Eulero Errore nel metodo di Eulero (2/2)(2/2)

L’errore di troncamento nel metodo di Eulero risulta quindi:

ii

T

xx

)(''yhE

≤≤≤≤≤≤≤≤

====

++++ ξξξξ

ξξξξ

1

2

2


26

Interpretazione geometrica del metodo di Eulero Interpretazione geometrica del metodo di Eulero (1/3)(1/3)

In x0 sono noti i valori y0 della funzione e f(x0,y0) della sua derivata.

y

xx0 x1

(x1, y(x1))

x2

(x0, y0)

)y,x(f)xx(yy 0000 −−−−====−−−−

��

(x2, y(x2))

Quindi è nota l’equazione della tangente in (x0,y0) alla curva integrale cercata:


h h


27


Si prende come valore approssimato di y(x1) l’ordinata in x1della tangente: )y,x(hfyy 0001 ++++====Si prende come valore approssimato di y(x2) l’ordinata in x2della tangente alla nuova curva integrale, che risolve l’equazione differenziale con condizione iniziale (x1,y1):

)y,x(hfyy 1112 ++++====

y

xx0 x1

(x1, y1)

x2

(x2, y2)

�� (x1, y(x1))

(x0, y0)

(x2, y(x2)) � ��



28


)y,x(hfyy 0001 ++++====

Queste due formule,ottenute mediante costruzione geometrica, sono le stesse ottenute dai primi due passi del metodo di Eulero.

)y,x(hfyy 1112 ++++====


29

Interpretazione geometrica dell’erroreInterpretazione geometrica dell’errore

y

xx0 x1

(x1, y1)

(x1, y(x1))

x2

(x2, y2)

(x2, y(x2))

(x0, y(x0))

Osservando la figura si evidenzia in x1 l’errore locale di troncamento (linea rossa) e si evidenzia in x2 una doppia componente d’errore: errore di troncamento locale (linea rossa)e errore storico (linea azzurra)


30

Errori nel metodo di EuleroErrori nel metodo di Eulero

L’errore di troncamento locale è proporzionale a h2, l’errore di troncamento storico è proporzionale a h.Il metodo di Eulero è:

•convergente (l’errore tende a zero per h che tende a zero);•del primo ordine (l’errore e h sono infinitesimi dello stesso ordine).

Oltre a ciò il metodo di Eulero, quando si trova a operare coi numeri di macchina (aritmetica finita), risulta sensibile all’accumulo degli errori di arrotondamento.In particolare l’errore di arrotondamento, con un passo h non abbastanza piccolo, può aumentare in modo incontrollato.Si deve quindi prestare molta attenzione alla scelta del passo per evitare problemi di instabilità numerica.


31

Esempio di applicazione del metodo di Eulero Esempio di applicazione del metodo di Eulero (1/2)(1/2)

��

====−−−−====10 )(y

)x(y)x('y

Dato il problema di Cauchy

Applicando due passi di Eulero, nell’intervallo [0,0.2] con passo h=0.1 si ottiene:

)y,x(hfyy 0001 ====−−−−

(((( ))))11011 −−−−====−−−− .y 901 .y ====)y,x(hfyy 1112 ====−−−−

(((( ))))9010902 ...y −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− 810090902 ...y ====−−−−====(continua)(continua)


32

Esempio di applicazione del metodo di Eulero Esempio di applicazione del metodo di Eulero (2/2)(2/2)

��

====−−−−====

10 )(y)x(y)x('y

Tenendo conto che la soluzione esatta di

è: xe)x(y −−−−====

904801 .)x(y ==== 900001 .y ====

818702 .)x(y ==== 810002 .y ====

segue, confrontando i risultati: “esatto” e approssimato


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ConclusioneConclusione

Abbiamo presentato il più semplice metodo di risoluzione numerica di equazioni differenziali che è significativo e di facile applicabilità.Esso si può considerare capostipite sia teorico che pratico di altri metodi più complessi, che hanno il vantaggio di essere più precisi e stabili.

equazioni differenziali - mate.polimi.it · risolvere l’equazione differenziale significa...

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