Çerçeve sistemlerin stabilite analizi için yaklaşık bir …Çerçeve sistemlerin stabilite...

Çerçeve Sistemlerin Stabilite Analizi için Yaklaşık bir Yöntem

Ayten Günaydın Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, İnşaat

Mühendisliği Bölümü, Eskişehir E-Posta: [email protected]

Öz Çelik yapı sistemlerinin analizinde sadece birinci mertebe etkilerin göz önüne alınması yeterli değildir. İkinci mertebe etkilerin de göz önüne alınması zorunludur. Yönetmelikler taşıyıcı sistemlerin tümünde ve elemanların her birinde stabilite tasarımı yapılmasını şart koşmaktadır. Stabilite analizi için çeşitli yöntemler vardır. Bu yöntemlerin hepsi de ikinci mertebe etkileri (P-Δ ve P-δ etkileri) göz önüne almaktadır. İkinci mertebe etkileri içeren bir analiz yöntemi oldukça karmaşıktır ve güvenilir bir yazılım kullanımını gerektirir. Bu çalışmada, düzgün çerçevelerde sabit eksenel yük etkisi altında bulunan kolonlarda P-Δ ve P-δ analizinin (ikinci mertebe etkiler) hesabı için yaklaşık bir yöntem geliştirilmiştir. İkinci mertebe etkiler altındaki tekil kolonların etkili kolon boyu katsayıları elde edilmiş, kat rijitliği ve kat burkulması halleri için düzenlemeler yapılmıştır. Sunulan analiz yöntemi tüm yapıya uygulanabildiği gibi yapının herhangi bir katına da uygulanabilir. İlave olarak tasarım tabloları sunulmuştur. Anahtar sözcükler: İkinci mertebe analiz, P-Δ ve P-δ etkileri, ANSI/AISC 360-10, Etkili boy yöntemi.

Giriş Yapı tasarımı ile ilgili çeşitli yönetmelikler, stabilite problemlerini dikkate alan bir tasarım yönteminin kullanılmasını gerektirmektedir. ANSI/AISC 360-10 Yönetmeliği de (2010a) sistemin tümünde ve elemanların herbirinde stabilite analizini şart koşmaktadır ve bununla ilgili şartlar yönetmeliğin C bölümünde yer almaktadır. Araştırmacılar yaptıkları çalışmalarla çerçeve türü yapıların stabilite analizi için çeşitli yaklaşımlar geliştirmiştir. Bu çalışmalardan büyük bir bölümü etkili boy katsayısının elde edilmesi ile ilgilidir (Yura, 1971; LeMessurier, 1976, 1977; Geschwinder, 2002; Nair, 2009; Elhouar and Khodair, 2012). Bu çalışmada, sabit eksenel yük etkisi altındaki düzgün çerçevelerin kolonları için P-Δ ve P-δ etkilerine ait yaklaşık bir yöntem geliştirilmiştir. Bunlar kısaca şu şekilde özetlenebilir: i. ikinci mertebe etkiler altındaki kat kolonunda kolon kesme kuvveti için sade bir bağıntı elde edilmiştir; ii. ikinci mertebe etkiler nedeni ile kat kolonu uç momentlerine ait moment büyütme katsayıları elde edilmiştir; iii. P-Δ etkilerine ait elde edilen c1 katsayısı ve λ rijitlik parametresi ilişkisinden yararlanarak tekil kolona ait K kolon etkili boy katsayısı hesaplanmıştır; iv. kat rijitliği ve kat burkulması yaklaşımları

465

6. ÇELİK YAPILAR SEMPOZYUMU

için kolon etkili boy katsayılarına ait denklemler sunulmuştur; v. P-δ etkilerine ait moment büyütme katsayıları sunulmuştur; vi. sunulan hesap yöntemleri yapının tümüne olduğu gibi herhangi bir katına da uygulanabilmektedir.

Kolonlarda İkinci Mertebe Etkilerin Değerlendirilmesi Şekil 1’de bir çerçeve kolonunun şekil değiştirmiş durumu ve uç kuvvetleri görülmektedir.

Şekil 1 Kolondaki P-Δ ve P-δ etkileri.

Şekil 1’de Δ kolon uçlarının göreli deplasmanı, δ ise çubuk ekseninin şekil değiştirmesidir. Eksenel kuvvet kolonda iki farklı tarzda iç kuvvet oluşturur. Bunlardan biri çubuk ekseninin şekil değiştirmesi nedeni ile eksende meydana gelen δ şekil değiştirmesinden dolayı eksenel kuvvetin meydana getireceği ilave etkilerdir ve P- δ etkileri olarak adlandırılırlar. İkinci türdeki etki ise kolon uçlarının göreli deplasmanı nedeni ile uçlarda meydana gelen ilave etkilerdir ve P-Δ etkileri olarak adlandırılırlar. İkinci mertebe analizde denge denklemleri yapı sisteminin şekil değiştirmiş durumu gözönüne alınarak yazılır. Geometrik nonlinerlik nedeni ile süperpozisyon geçerli değildir. Şekil 2 elemana ait tipik 3 farklı yük-yanal deplasman ilişkisini göstermektedir.

Şekil 2 Yük deplasman eğrileri.

P

δ

P ∆

VBA

MAB

MBA

VAB A

B

Birinci mertebe elastik analiz Elastik burkulma yükü Yük

İkinci mertebe elastik analiz

Yanal deplasman, ∆

466


Bunlardan birincisinde yük belirli bir mertebeye ulaşıncaya kadar bir yanal deplasman meydana gelmez, kritik yük olarak adlandırılan değerde aniden deplasmanlar artar, bu durum elastik burkulma olarak adlandırılır. İkinci durumda yük-deplasman ilişkisi bir doğrudur ve bu doğru sınırsız devam eder (birinci mertebe elastik analiz). Üçüncü durumda ikinci mertebe etkiler nedeni ile yük deplasman ilişkisi önceleri doğrusala yakın fakat göçmeye doğru hızla artarak elastik burkulma çizgisine temas eder.

Tekil Kolonda P-Δ Etkisinin Hesabı Şekil 3’de düzgün bir çerçeveden çıkarılmış tekil bir kolon ve komşu elemanları görülmektedir. Şekil 3a yanal ötelenmesi önlenmiş, 3b yanal ötelenmesi önlenmemiş hali göstermektedir.

Bθ Şekil 3 Kabul edilen deformasyon şekli (a) yanal ötelenmesi önlenmiş çerçeve elemanı

ve (b) yanal ötelenmesi önlenmemiş çerçeve elemanı. Kolonlara ait uç kuvvetleri hesaplanırken yapılan kabuller aşağıdaki gibidir (AISC, 2010b): i. malzeme davranışı lineer elastiktir; ii. elemanlar sabit kesitlidir; iii. düğüm noktaları rijittir; iv. kolonlar sabit eksenel kuvvet etkisindedir, kirişlerde eksenel kuvvet etkileri ihmal edilmektedir; v. yanal ötelenmesi önlenmemiş çerçevelerdeki kolonlara bağlı kirişlerin karşı uçlarındaki dönüş açıları düğüm dönüş açılarına eşit değerde ve aynı yöndedir (çift eğrilikli); vi. yanal ötelenmesi önlenmiş çerçevelerdedeki kolonlara bağlı kirişlerin karşı uçlarındaki dönüş açıları düğüm dönüş açılarına eşit değerde fakat ters yöndedir (tek eğrilikli). Yazar yukarıda yapılan kabullere ek olarak şu kabulü eklemiştir: Denge denklemi yazılan düğüme komşu düğümdeki kolon uç momentleri eşittir.

P

P

B

A

P

P

B

A

∆

∆

∆

(a) (b)

Bθ

Bθ

Bθ

Bθ

Bθ

Bθ

Bθ

Bθ

Bθ

Aθ Aθ

Aθ Aθ

Aθ

Aθ

Aθ

Aθ

Aθ

Aθ

2k

1k

3k 4k

üstck ,

altck ,

ck

üstck ,

ck

altck ,

1k 2k

3k 4k

467


Yanal Ötelenmesi Önlenmemiş Elemanlar Şekil 1’deki sabit P eksenel yükü etkisindeki L boyundaki kolon göz önüne alınarak eleman uç kuvvetleri aşağıdaki gibi ifade edilebilir (Aydın, 2010).

( )

∆

+−+=

Lbaba

LEIM BAAB θθ (1a)

( )

∆

+−+=

Lbaba

LEIM ABBA θθ (1b)

( )( )[ ] ( ) ∆−∆++++−==LPba

LEIba

LEIVV BABAAB 32 2θθ (1c)

Elemanın B ucunun mafsallı olması halinde

∆−⋅=

Ldd

LEIM AAB θ (1d)

∆−∆⋅+⋅−==LPd

LEId

LEIVV ABAAB 32 θ (1e)

Burada tüm uç kuvvetleri, uç dönüş açıları ve eksen dönüş açıları için saat dönüş yönü pozitif olarak kabul edilmiştir.

EIPL=λ (2)

olmak üzere P kuvvetinin basınç olması hali için:

( )( )λλλ

λλλλsincos22

cossin−−

−=a (3)

( )( )λλλ

λλλsincos22

sin−−

−=b (4)

−=

abad

2 (5)

λ nın değişik değerleri ve P kuvvetinin basınç olması hallerine ait a, b ve d katsayılarının değişimleri Ek I’de sunulmaktadır. Yapılan kabuller göz önüne alınmak sureti ile Şekil 3b’deki yanal ötelenmesi önlenmemiş çerçeveye ait AB kolonunun A ve B düğümlerindeki moment denge

denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir. LEIk = olmak üzere

∑ =0AM ( ) 022266 21 =∆+

−+++ cBcAc kL

babkakkk θθ (6)

468


∑ =0BM ( ) 022266 43 =∆+

−+++ cAcBc kL

babkakkk θθ (7)

A ve B düğümlerine birleşen kirişlerde uzak uç dönüş açıları ve düğüm dönüş açılarının eşit olduğu (Şekil 3b) kabulü nedeni ile (6) ve (7) Denklemlerindeki kiriş k değerlerinin katsayıları 4+2=6 olarak yer almaktadır. Denge denklemi yazılan düğüme komşu düğümlerdeki kolon uç momentleri eşit kabul edildiğinden denklemlerde 2 katı ile alınmıştır.

cA k

kkC2

21 += ve c

B kkkC

243 += alınarak (6) ve (7) Denklemleri düzenlenirse

( ) ( )( )( ) LbaCaC

baCbaBA

BA

∆−++

−++= 266

6θ (8a)

( ) ( )( )( ) LbaCaC

baCbaBA

AB

∆−++

−++= 266

6θ (8b)

Bu değerler kesme kuvvetinin elde edilmesi için kullanılacaktır.

( ) ( )

( )( ) 26626

baCaCbaCCD

BA

BA

−++−++

= (9)

EIPL=λ ve

EIPL22 =λ ; 3

2

LEI

LP λ= olmak üzere Denklem (1c) yeniden düzenlenirse

kesme kuvveti aşağıdaki gibi elde edilir.

( ) ( )[ ] ∆=∆−+++−= 1322

3 2 cLEIbabaD

LEIV λ (10)

Denklem (10) 0≠P durumu için elde edilmiştir. P=0 olması durumu için 4=a ve b=2 olacağından

( )

( )( ) 22323223−++

++=

BA

BA

CCCCD (11)

olmak üzere

[ ] ∆=∆−= cLEID

LEIV 33 3612 (12)

elde edilir.

Denklem (11)’deki AC ve BC parametreleri sırasıyla c

A kkkC

221+= ve

cB k

kkC2

43 +=

olarak seçilmiştir. Düzenli çerçevelerde incelenen kolonun alt ve üst uçlarındaki dönme rijitliklerinin ∑∑

kirişkolonLEILEI değerleri ile orantılı olarak değiştiği kabul edilir

(Galambos, 1968; Hellesland, 2012; Hellesland and Bojorhovde, 1996). AC ve BC

469


denklemlerindeki paydadaki ck2 terimi düğüm noktasındaki kolonların dönme rijitliğine katkısını ifade eder. Bu bakımdan üstccc kkk ,2 += ve altccc kkk ,2 += kabulü ile AC ve

BC için bundan böyle aşağıdaki ifadeler kullanılacaktır.

üstcc

A kkkkC

,

21

++

= (13a)

altcc

B kkkk

C,

43

++

= (13b)

Özel haller: 1) Alt katta ankastre mesnet olması hali için ∞=BC olarak alınırsa, ( 9), (10) ve

(12) Denklemlerinin yeni halleri aşağıdaki gibi elde edilir.

( )aCD

A +=

61 (14)

0≠P için, ( ) ( ) ∆=∆

−++

++

−= 132

2

3 26

cLEIba

aCba

LEIV

Aλ (15)

P=0 için, ∆=∆

++

= cLEI

CC

LEIV

A

A33 23

636 (16)

2) Alt katta mafsallı mesnet olması hali için 0=BC alınarak kesme kuvveti elde

edilebilir. Ancak Denklem (6)’nın bu hal için yeniden yazılması ile daha kolay elde edilebilir.

∑ =0AM ( ) 02266 21 =∆−++Lk

ddkkk cAc θ (17)

üstccA kk

kkC,

21

++

= alınarak LdC

d

AA

∆+

=6

θ olarak elde edilir.

Denklem (1e) yeniden düzenlenerek kesme kuvveti

( )

∆=∆

−

+= 13

23 6

6 cLEI

dCdC

LEIV

A

A λ ( 0≠P hali) (18)

∆=∆

+

= cLEI

CC

LEIV

A

A33 12

6 ( 0=P hali, 3=d ) (19)

Kesme kuvvetleri için ∆= 13 c

LEIV genel ifadesi elde edilmiştir. Tekil kolonlar için

bulunan bu ifadeler toplanırsa H-Δ (kat kesme kuvveti-yanal öteleme) bağıntısı elde edilir. ( )∆= ∑ 1SH (20)

470


Verilen bir H kat kesme kuvveti için tekil kolondaki kesme kuvveti,

∑

=1

1

SSHV (21)

olarak elde edilir.

Burada H kat kesme kuvveti ve tekil kolon için 131 cLEIS = dir.

Bu c ve c1 değerleri el ile veya basit bir excel programı ile kolaylıkla hesaplanabilir. c1 değerleri analiz edildiğinde büyük λ’lar için bazı c1 katsayılarının negatif değerler aldığı görülmektedir. Negatif değerler kesme kuvvetinin Şekil 1’de gösterilen doğrultuların tersi yönde meydana geldiği anlamına gelmektedir. Ek I’den görüleceği gibi büyük λ’lar için a, b ve d katsayıları negatif değerler alabilmektedir. Bunun sonucu olarak da kesme kuvvetleri negatif değerler alabilmektedir. Bu durum yapısal davranış bakımından beklenen bir olaydır. Katın yanal stabilitesinin kaybolması için kat kolonlarındaki kesme kuvvetleri toplamının sıfır olması gerekir. Bu da ancak bazı kolonlarda negatif kesme kuvveti meydana gelerek gerçekleşebilir. Kolon uç momentleri Kolon uç momentleri (1a) ve (1b) Denklemlerinden aşağıdaki gibi elde edilebilir.

( )ABBAAB VLY

Lbaba

LEIM =

∆

+−+= θθ (22a)

( )BAABBA VLY

Lbaba

LEIM =

∆

+−+= θθ (22b)

Birinci mertebe analizde, YAB ve YBA moment sıfır noktasının kolon uçlarına uzaklığının kolon boyuna oranıdır ve bu faktörlerin toplamı 1’e eşittir. Fakat ikinci mertebe analizde bu toplam 1’den büyüktür. Kesme kuvveti için elde edilen ∆= 13 c

LEIV genel ifadesi göz önüne alınarak (22a) ve

(22b) Denklemlerinden YAB ve YBA için aşağıdaki bağıntılar elde edilir.

( )[ ]babac

Y BAAB +−+= θθ1

1 (23a)

( )[ ]babac

Y ABBA +−+= θθ1

1 (23b)

2)6)(6(

)(6)(/ baCaC

baCbaL BA

BAA

−++−+

+=∆

=θ

θ (23c)

2)6)(6(

)(6)(/ baCaC

baCbaL BA

ABB

−++−+

+=∆

=θ

θ (23d)

(22a) ve (22b) Denklemlerinden elde edilen moment değerleri saat dönüş yönünün pozitif olduğu kabulüne göredir.

471


Moment Büyütme Katsayısı Büyütme katsayısı (AF), ikinci mertebe etkilerin birinci mertebe etkilere oranını ifade etmektedir.

VLMMYYAF BAAB

BAAB+

=+= ;

Burada, VL= birinci mertebe elastik analizden elde edilen kolon uç momentleri toplamıdır. Böylece, BAAB YYAF += (24) P-δ Etkisinin Hesabı Şekil 4’de bir çerçeve kolonu ve uçlarına etki eden M1 ve M2 uç momentleri görülmektedir. Uç momentlerinden mutlak değerce büyük olan moment M2 ile gösterilmektir. 21max MBM = 12 MM > (25) Sabit P eksenel kuvveti etkisindeki bir kolonda elastik eğri Denklem (26) ile verilmektedir (Ghali and Neville, 1983).

Şekil 4 Tek eğrilikli kolonda birinci ve ikinci mertebe momentler (P-δ etkisi).

4321 cossin AzALzA

LzAx +++= λλ (26)

Burada, EIPL=λ

Şekil 4’deki kolona ait sınır koşulları

0=z da 0=x ve 1MM = ( )( )10 MxEI =′′− Lz = de 0=x ve 2MM = ( )( )2 MLxEI =′′−

Denklem (26)’ya katılarak integral sabitleri hesaplanıp elde edilen denklem düzenlenirse

P

P

x 1M

z

L

1M

21max MBM =

2M 2M

472


P

MzPL

MMLz

PM

Lz

PMMx 121112 cossinsin

cos−

−++

−

= λλλ

λ (27)

Kolonun bir z uzaklığındaki kesitindeki moment

PxLzM

LzLMM ++

−

= 21 12 MM > ve 02

1 ≥MM

(28)

olduğu gözönüne alınarak P-δ etkisi için B1 çarpanı Denklem (27) ve Denklem (28)’den aşağıdaki gibi elde edilir.

max

2

12

1

21 cossin

sin

cos1

+−

==Lz

MM

LzM

M

MMB λλ

λ

λ (29)

Denklem (29) tek eğrilikli hal için elde edilmiştir. Çift eğrilikli kolonda 02

1 <MM

alınmalıdır. Denklem (29) küçük artımlarla kolon yüksekliği boyunca taranarak nümerik olarak çözülebilir. Sonuçlar Ek II’de özetlenmiştir. Kolon Etkili Boy Katsayısının Hesabı Sabit bir eksenel basınç kuvveti etkisi altındaki bir kolonun burkulma yükü ve elastik burkulma gerilmesi kolon etkili boy katsayısı kullanılarak, K, aşağıdaki denklemler ile ifade edilmektedir.

( )2

2

KLEIPcr π= (30)

( )2

2

/rKLEFe

π= (31)

Burada, EI eğilme rijitliği ve r atalet yarıçapıdır.

0≠P durumuna ait (10), (15) ve (18) Denklemlerinde köşeli parantez içinde yer alan ifadelerin bir λcr değerinde sıfır olacağı görülmektedir. Bu kesme kuvvetinin sıfır olduğunu yani elemanın burkulma durumuna ulaştığını gösteririr. Bu durumda kolon

etkili boy katsayısı, EIP

L crcr =λ ve

( )22

KLEIPcr π= bağıntıları kullanılarak

cr

Kλπ

= (32)

olarak elde edilir.

Kesme kuvvetlerine ait denklemlerin genel yapısı ∆= 13 cLEIV şeklindedir. Burada

13 cLEI değeri birim Δ için kolona ait kesme rijitliğini ifade eder. Kesme rijitliğinin sıfır

değerine ulaştığı durumda burkulmanın meydana geldiği kabul edilmektedir.

473


Sunulan denklemlerden K’nın elde edilmesi oldukça komplekstir, ancak iterasyon yolu ile elde edilebilir. Bunun için hazırlanmış olan tablolar Ek III‘te sunulmaktadır. CA ve CB değerlerine bağlı olarak Ek III’te verilen tablolardan elde edilen K değerleri çubuk diyagramlarından elde edilen değerler ile uyumludur. Kat Stabilitesi İçin Kolon Etkili Boy Katsayılarının Hesabı Kat stabilitesinin kaybolması kattaki diğer kolonların tümünün aynı anda aşırı yanal öteleme yapması sonucunda ortaya çıkar. Bu nedenle tekil kolonun burkulması yanında kattaki diğer kolonların stabilite özelliklerinin de göz önüne alınması gereklidir. Stabilite tasarımında tekil kolon etkili boy katsayısının hesabı için aşağıda genel hatları tanıtılan iki yaklaşım göz önüne alınmaktadır (AISC, 2010b): Kat rijitliği yaklaşımı ve kat burkulması yaklaşımı. Sunulan yöntemin bu yaklaşımlara uygulanması şöyledir. Kat Rijitliği Yaklaşımı Kat kesme rijitliği Denklem (20)’den aşağıdaki gibi yazılabilir.

∑=∆ 12 c

LEIHL

AISC 2010a Eq. C2-1 de fiktif yüklerin büyüklüğü Ni=0.002Yi olarak verilmektedir. Burada, Ni = i. kattaki fiktif yatay yük (kat kesme kuvveti, H), 0.002=Δ/L ve Yi = i. kattaki toplam ağırlık yüküdür (kattaki düşey yüklerin toplamı, ΣPr). Yukarıdaki bağıntıyı ∑

∆= rP

LH şeklinde ifade edebiliriz ve buradan

∑∆

=HLPr (33)

∑ ∑= 12 cLEIPr (34)

Kattaki tekil kolonlardaki burkulma yükünün

22

2

)( LKEIPr π= (35)

olduğu da dikkate alınarak (34) ve (35) Denklemleri oranlanıp düzenlenirse,

r

r

PP

cLEI

LEI

K ∑

∑=

12

22

22 )(

π (36)

elde edilir. Kat Burkulması Yaklaşımı Bu yaklaşımda hem yük dağılımı hem de bu yüklerin toplamı etkili olmaktadır. Buna göre verilen bir yük dağılımına ait kattaki tekil kolonlardaki eksenel kuvvetlerin, bir yük

474


katsayısı ile arttırılarak, katta burkulma meydana gelmesi halinde tek kolondaki eksenel kuvvetin toplam eksenel kuvvete oranı tek kolonun burkulma yükünün toplam

burkulma yüküne oranına eşit olacaktır. Buna göre, ∑

=∑

22

2

22

2

)(

)(

LKEILK

EI

PP

n

r

r

π

π ve 2

2 )(K

hesaplanabilir.

r

r

n

PP

LKEI

LEI

K ∑

∑=

22

2

22

22

)(

)(π

π (37)

Yanal Ötelenmesi Önlenmiş Elemanlar Yapılan kabuller göz önüne alınmak sureti ile Şekil 3a’daki yanal ötelenmesi önlenmiş çerçeveye ait AB kolonunun A ve B düğümlerindeki moment denge denklemleri yazılırsa; ∑ =0AM ( ) 02222 21 =−++ BcAc bkakkk θθ (38a) ∑ =0BM ( ) 02222 43 =++− BcAc akkkbk θθ (38b) A ve B düğümlerine birleşen kirişlerde uzak uç dönüş açıları ve düğüm dönüş açılarının eşit fakat ters yönde olduğu (Şekil 3a) kabulü nedeni ile (38a) ve (38b) Denklemlerindeki kiriş k değerlerinin katsayıları 4-2=2 olarak yer almaktadır. Komşu düğümlerdeki kolon uç momentleri eşit kabul edildiğinden denklemlerde kolon k değeri “2” ile çarpılmıştır. Denklemlerin sağlanabilmesi için katsayılar determinantının sıfır olması gerekir. ( )( ) ( ) 04222222 2

4321 =+++++−= ccc bkakkkakkkDET (39) Bu denklem düzenlenirse, ( )( ) 022 2 =+++− baCaC BA (40) Bu eşitliğin sağlanması deneme yanılma yöntemi ile olmalıdır. Yanal ötelenmesi önlenmiş elemanlar için Denklem (40)’tan CA ve CB değerlerine bağlı olarak hesaplanan kolon etkili boy katsayıları Ek III’ te sunulmuştur. Özel haller:

1) Alt katta ankastre mesnet hali, ∞=BC veya 0=Bθ olarak alınırsa Denklem (38a)’nın yeni hali ( ) 0222 21 =++ Acakkk θ ve 02 =+aCA (41)

2) Alt katta mafsallı mesnet hali, 0=BC olarak alınırsa Denklem (40)’tan 02 =+dCA (42) elde edilir.

475


Stabilite Tasarımı AISC 2010 Yönetmeliği’nde çelik yapıların stabilite tasarımı için üç yöntem önerilmektedir. Bunlardan doğrudan analiz yöntemi ile ilgili tasarım esasları Bölüm C’de verilmiştir. Stabilite tasarımı için alternatif olarak sunulan etkili boy yöntemi ve birinci mertebe analiz yöntemi kullanılarak hesap yöntemi ise Ek 7’de yer almaktadır. Doğrudan Analiz Yöntemine Uygulama Doğrudan analiz yöntemi azaltılmış rijitlikler kullanılarak ikinci mertebe hesabı içerir. Bu yaklaşım kolon etkili boy katsayısının hesaplanma gerekliliğini ortadan kaldırır. Sunulan hesap prosedürü uygulanarak doğrudan analiz yöntemi ile yapılacak bir stabilite analizinde aşağıdaki hesap adımları uygulanmalıdır.

i. Fiktif yükler (AISC 2010a Chapter C2-2b) ve azaltılmış rijitlikler kullanılır (AISC 2010a Chapter C2-3).

ii. Kat kolonlarına ait 131 cLEIS = ve kata ait ΣS1 değerleri hesaplanarak kolon

kesme kuvvetleri, (22) ve (23) Denklemleri kullanılarak kolon uç momentleri hesaplanır. iii. Göreli kat deplasmanları hesaplanır (Denklem (20)). iv. K=1.0 alınarak tasarım yapılır (AISC 2010a Chapter H).

Etkili Boy Yöntemine Uygulama Etkili boy yöntemi ile stabilite analizi nominal rijitlikler kullanılarak ikinci mertebe hesabı içerir. Bu yaklaşım kolon etkili boy katsayının hesaplanmasını gerektirir. Etkili boy yöntemi kullanılarak yapılacak bir stabilite analizinde aşağıdaki hesap adımları uygulanmalıdır.

i. Fiktif yükler (AISC 2010a Chapter C2-2b) ve nominal rijitlikler kullanılır. ii. Kat kolonlarına ait 131 c

LEIS = ve kata ait ΣS1 değerleri hesaplanarak kolon

kesme kuvvetleri, (22) ve (23) Denklemleri kullanılarak kolon uç momentleri hesaplanır. iii. Göreli kat deplasmanları hesaplanır (Denklem (20)). iv. K2 katsayıları yukarıda anlatılan yöntemlerden biriyle elde edilir. (Ek III,

Denklem 36 veya Denklem 37). vi. K2 katsayıları göz önüne alınarak tasarım yapılır (AISC 2010a Chapter H).

Sonuçlar Modern çelik yapı yönetmelikleri yapılarda ikinci mertebe hesap yöntemlerini şart koşmaktadır. Sunulan yöntem yapının tümünde veya bir katında ikinci mertebe etkilerin elde edilmesini sağlar. Yazarın bilgisine göre ikinci mertebe etkiler altındaki bir kolonda kesme kuvveti-Δ ilişkisinin doğrusal bir denklemle verilmesi bu alanda bir ilktir. Bu ilişkiler kullanılarak kat deplasmanları hesaplanabilmektedir. Devamında elde edilen moment büyütme katsayıları kullanılarak kat kolonlarına ait uç momentleri hesaplanabilmektedir. Bu işlemden sonra kiriş uç momentlerinin hesabı herhangi bir yaklaşık veya kesin yöntemle yapılabilir. P-Δ etkisi altındaki kolonda burkulma yükü ve kolon etkili boy katsayıları elde edilebilmektedir. Bu işlemler esnasında tekil kolona

476


ait etkili boy katsayısının kolon eksenel yükü ve farklı uç şartları için hesaplanabiliyor olması yapı güvenliği açısından istenen bir durumdur. Bu çalışmada, tekil kolona ait burkulma boyu katsayılarının AISC 2010 Yönetmeliği’nde (2010a) verilen kat rijitliği ve kat burkulması yaklaşımlarına uyarlaması yapılmıştır. Kat rijitliği yaklaşımının kullanılabilirlik limit durumunda kat burkulması yaklaşımının ise LRFD limit durumunda uygulanması uygun olmaktadır. K katsayılarının hesabının kapalı çözümleri çok komplekstir. Ancak sunulan tabloların kullanılması ile bu mümkün olmaktadır. Güvenilir bir yazılım desteğine gerek olmaksızın sonuca ulaşılabilmektedir. Bu analizler yapının tümünde veya herhangi bir katı için bağımsız olarak da yapılabilir. Önerilen kat esaslı hesap prosedürü yapının tümüne bağlı olmadan tek bir kata ait ikinci mertebe analizi ve bazı stabilite kontrollerini mümkün kılar. Bu durum kullanıcı dostu bir tasarım biçimi oluşturur. Bu teknik aynı zamanda kat elemanlarının seçimi sırasında kullanılabilir. İlave olarak, bir yazılımdan elde edilen sonuçların kontrolü için de kullanılabilir. Sunulan hesap prosedürü Excel programlamada kolayca adapte edilebilir. Bu durumda, analiz yapının tümü için genişletilebilir. Önerilen tasarım yöntemi çerçeve türü yapılarda uygulanabilir ancak perde duvar içeren yapılarda uygulanmamalıdır. Çerçeve türü yapılar için yapılan kabuller ve idealeştirmeler perde duvarlı yapıların uç kuvvetleri için uygun olmaz.

Kaynaklar AISC (2010a). Specification for Structural Steel Buildings, AISC 360-10, American

Institute of Steel Construction, Chicago, IL. AISC (2010b). Commentary on the Specification for Structural Steel Buildings,

American Institute of Steel Construction, Chicago, IL. Aydın, M. R. (2010). Yapı Statiği, Cilt II, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Eskişehir. Elhouar, S. and Khodair, Y. (2012) A simplified approach for evaluating second-order

effects in low-rise steel-framed buildings. Engineering Journal, AISC, 49(2), pp. 65-78.

Galambos, T. V. (1968). Structural Members and Frames, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ.

Geschwindner, L. F. (2002) A practical look at frame analysis, stability and leaning columns. Engineering Journal, AISC, 39(4), pp. 167-181.

Ghali, A. and Neville, A. M. (1983). Structural Analysis: A unified classical and matrix approach, E& FN Spon, New York, NY.

Hellesland, J. (2012) Evaluation of effective length formulas and applications in system instability analysis. Engineering Structures, 45, pp. 405-420.

Hellesland, J. and Bjorhovde, R. (1996) Restraint demand factors and effective lengths of braced columns. Journal of Structural Engineering, ASCE, 122(10), pp. 1216-1224.

LeMessurier, W. J. (1976) A practical method of second order analysis, Part 1-pin jointed systems. Engineering Journal, AISC, 13(4), pp. 89-96.

LeMessurier, W. J. (1977) A practical method of second order analysis, Part 2-rigid frames. Engineering Journal, AISC, 14(2), pp. 49-67.

477


Nair, R. S. (2009) A model specification for stability design by direct analysis. Engineering Journal, AISC, 46(1), pp. 29-38.

Yura, J. A. (1971) The effective length of columns in unbraced frames. Engineering Journal, AISC, 8(2) (April), pp. 37-42.

EK I Sabit eksenel basınç kuvveti etkisi altındaki elemanlar için a, b ve d katsayıları.

λ a b d λ a b d λ a b d

0.0 4.000 2.000 3.000 2.0 3.436 2.152 2.088 4.0 1.173 3.004 -6.520 0.1 3.953 1.978 2.963 2.1 3.374 2.170 1.978 4.1 0.970 3.100 -8.937 0.2 3.996 2.002 2.993 2.2 3.309 2.189 1.861 4.2 0.751 3.207 -12.94 0.3 3.989 2.004 2.982 2.3 3.240 2.210 1.733 4.3 0.515 3.327 -20.98 0.4 3.979 2.005 2.969 2.4 3.166 2.233 1.591 4.4 0.259 3.462 -46.02 0.5 3.967 2.008 2.951 2.5 3.088 2.257 1.438 4.5 -0.019 3.614 687.40 0.6 3.952 2.012 2.928 2.6 3.005 2.283 1.271 4.6 -0.323 3.787 44.08 0.7 3.934 2.017 2.900 2.7 2.918 2.312 1.086 4.7 -0.658 3.984 23.46 0.8 3.914 2.022 2.869 2.8 2.825 2.342 0.883 4.8 -1.029 4.211 16.20 0.9 3.891 2.028 2.834 2.9 2.728 2.376 0.659 4.9 -1.443 4.475 12.44 1.0 3.865 2.034 2.795 3.0 2.624 2.411 0.409 5.0 -1.909 4.785 10.09 1.1 3.836 2.042 2.749 3.1 2.515 2.450 0.128 5.1 -2.439 5.151 8.440 1.2 3.804 2.050 2.699 3.2 2.399 2.492 -0.190 5.2 -3.052 5.592 7.194 1.3 3.769 2.059 2.644 3.3 2.276 2.538 -0.554 5.3 -3.769 6.130 6.201 1.4 3.732 2.070 2.584 3.4 2.146 2.588 -0.975 5.4 -4.625 6.798 5.367 1.5 3.691 2.081 2.518 3.5 2.008 2.642 -1.468 5.5 -5.673 7.647 4.635 1.6 3.647 2.093 2.446 3.6 1.862 2.702 -2.059 5.6 -6.992 8.759 3.981 1.7 3.599 2.106 2.367 3.7 1.706 2.767 -2.782 5.7 -8.721 10.27 3.371 1.8 3.548 2.120 2.281 3.8 1.540 2.838 -3.690 5.8 -11.11 12.43 2.792 1.9 3.494 2.135 2.189 3.9 1.363 2.917 -4.880 5.9 -14.67 15.75 2.229

6.0 -20.64 21.45 1.660

EK II P-δ etkisi için moment büyütme katsayıları, B1.

,

Tek eğrilikli kolonda , Çift eğrilikli kolonda

M1/M2

-1.00 -0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 +0.20 +0.40 +0.60 +0.80 +1.00

P r/P

cr

0.10 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.04 1.14 0.20 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.03 1.09 1.19 1.31 0.30 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 1.06 1.14 1.25 1.39 1.53 0.40 1.00 1.00 1.00 1.00 1.02 1.09 1.20 1.33 1.49 1.65 1.83 0.50 1.00 1.00 1.00 1.03 1.12 1.26 1.42 1.61 1.82 2.03 2.25 0.60 1.00 1.00 1.03 1.14 1.32 1.54 1.78 2.04 2.32 2.60 2.88 0.70 1.00 1.01 1.14 1.39 1.69 2.04 2.40 2.78 3.16 3.55 3.94 0.80 1.00 1.10 1.46 1.95 2.50 3.07 3.66 4.25 4.85 5.45 6.06 0.90 1.00 1.54 2.61 3.79 5.00 6.23 7.46 8.70 9.94 11.18 12.42

2

2

L

EIPcr π= 12 MM >

02

1 >M

M0

2

1 <M

M

478


EK III

Kolon etkili boy katsayıları, K.

Yanal ötelenmesi önlenmemiş elemanlar CB CA 0.02 0.04 0.10 0.20 0.25 0.40 0.50 0.75 1.0 1.2 1.5 2.0 3.0 5.0 10 50

0.02 6.408 5.322 3.925 3.140 2.935 2.595 2.472 2.292 2.196 2.151 2.107 2.052 2.000 1.963 1.938 1.915 0.04 5.322 4.618 3.568 2.935 2.754 2.453 2.343 2.196 2.107 2.066 2.013 1.975 1.926 1.892 1.858 1.836 0.10 3.925 3.568 2.990 2.553 2.415 2.181 2.093 1.963 1.892 1.858 1.826 1.784 1.744 1.716 1.688 1.670 0.20 3.140 2.935 2.553 2.211 2.122 1.938 1.858 1.754 1.697 1.661 1.635 1.602 1.562 1.539 1.517 1.502 0.25 2.935 2.754 2.415 2.122 2.026 1.858 1.784 1.688 1.627 1.602 1.570 1.539 1.502 1.481 1.460 1.447 0.40 2.595 2.453 2.181 1.938 1.858 1.707 1.644 1.547 1.502 1.474 1.447 1.414 1.383 1.359 1.342 1.331 0.50 2.472 2.343 2.093 1.858 1.784 1.644 1.586 1.495 1.447 1.421 1.389 1.365 1.336 1.314 1.292 1.282 0.75 2.292 2.196 1.963 1.754 1.688 1.547 1.495 1.408 1.359 1.336 1.308 1.282 1.256 1.231 1.217 1.203 1.0 2.196 2.107 1.892 1.697 1.627 1.502 1.447 1.359 1.314 1.287 1.261 1.236 1.208 1.189 1.172 1.159 1.2 2.151 2.066 1.858 1.661 1.602 1.474 1.421 1.336 1.287 1.266 1.241 1.212 1.185 1.163 1.146 1.134 1.5 2.107 2.013 1.826 1.635 1.570 1.447 1.389 1.308 1.261 1.241 1.212 1.189 1.159 1.138 1.121 1.110 2.0 2.052 1.975 1.784 1.602 1.539 1.414 1.365 1.282 1.236 1.212 1.189 1.163 1.134 1.113 1.098 1.083 3.0 2.000 1.926 1.744 1.562 1.502 1.383 1.336 1.256 1.208 1.185 1.159 1.134 1.110 1.087 1.068 1.057 5.0 1.963 1.892 1.716 1.539 1.481 1.359 1.314 1.231 1.189 1.163 1.138 1.113 1.087 1.064 1.047 1.033 10 1.938 1.858 1.688 1.517 1.460 1.342 1.292 1.217 1.172 1.146 1.121 1.098 1.068 1.047 1.030 1.016 50 1.915 1.836 1.670 1.502 1.447 1.331 1.282 1.203 1.159 1.134 1.110 1.083 1.057 1.033 1.016 1.003

Ankastre 1.915 1.836 1.670 1.502 1.444 1.329 1.279 1.201 1.157 1.132 1.108 1.082 1.054 1.033 1.016 1.003 Mafsallı 9.240 6.684 4.457 3.415 3.173 2.780 2.635 2.435 2.327 2.277 2.220 2.167 2.108 2.067 2.034 2.008

Yanal ötelenmesi önlenmiş elemanlar CB CA 0.02 0.04 0.10 0.20 0.25 0.40 0.50 0.75 1.0 1.2 1.5 2.0 3.0 5.0 10 50

0.02 0.991 0.987 0.975 0.957 0.952 0.929 0.918 0.892 0.870 0.856 0.840 0.816 0.787 0.757 0.729 0.702 0.04 0.987 0.981 0.972 0.954 0.946 0.926 0.913 0.887 0.867 0.853 0.835 0.813 0.785 0.755 0.727 0.701 0.10 0.975 0.972 0.960 0.943 0.937 0.915 0.905 0.880 0.858 0.844 0.828 0.805 0.777 0.748 0.720 0.695 0.20 0.957 0.954 0.943 0.929 0.921 0.902 0.890 0.865 0.844 0.831 0.816 0.793 0.766 0.737 0.709 0.686 0.25 0.952 0.946 0.937 0.921 0.913 0.895 0.882 0.858 0.840 0.826 0.809 0.787 0.760 0.732 0.704 0.681 0.40 0.929 0.926 0.915 0.902 0.895 0.875 0.865 0.842 0.822 0.809 0.793 0.773 0.746 0.717 0.692 0.668 0.50 0.918 0.913 0.905 0.890 0.882 0.865 0.853 0.831 0.811 0.799 0.783 0.764 0.737 0.709 0.684 0.661 0.75 0.892 0.887 0.880 0.865 0.858 0.842 0.831 0.809 0.791 0.779 0.764 0.744 0.719 0.692 0.667 0.645 1.0 0.870 0.867 0.858 0.844 0.840 0.822 0.811 0.791 0.773 0.760 0.746 0.727 0.702 0.677 0.653 0.631 1.2 0.856 0.853 0.844 0.831 0.826 0.809 0.799 0.779 0.760 0.749 0.735 0.717 0.692 0.667 0.643 0.622 1.5 0.840 0.835 0.828 0.816 0.809 0.793 0.783 0.764 0.746 0.735 0.722 0.702 0.678 0.654 0.631 0.610 2.0 0.816 0.813 0.805 0.793 0.787 0.773 0.764 0.744 0.727 0.717 0.702 0.686 0.661 0.637 0.614 0.594 3.0 0.787 0.785 0.777 0.766 0.760 0.746 0.737 0.719 0.702 0.692 0.678 0.661 0.638 0.614 0.592 0.573 5.0 0.757 0.755 0.748 0.737 0.732 0.717 0.709 0.692 0.677 0.667 0.654 0.637 0.614 0.591 0.570 0.550 10 0.729 0.727 0.720 0.709 0.704 0.692 0.684 0.667 0.653 0.643 0.631 0.614 0.592 0.570 0.548 0.529 50 0.702 0.701 0.695 0.686 0.681 0.668 0.661 0.645 0.631 0.622 0.610 0.594 0.573 0.550 0.529 0.500

Ankastre 0.697 0.695 0.689 0.680 0.676 0.663 0.656 0.640 0.626 0.617 0.605 0.589 0.568 0.545 0.524 0.505 Mafsallı 0.997 0.991 0.982 0.964 0.955 0.935 0.922 0.895 0.875 0.861 0.842 0.820 0.791 0.761 0.732 0.706

479


Çerçeve sistemlerin stabilite analizi için yaklaşık bir …Çerçeve sistemlerin stabilite...

Documents