A

Giuseppina AnatrielloMatteo Allegro

Calcolo con GeoGebra

edizione

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via Quarto Negroni, Ariccia (RM)

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II edizione: luglio

Indice

Elenco delle figure 15

Introduzione 21

1 Calcolo geometrico 231.1 Le strutture della geometria euclidea . . . . . . . . 24

1.1.1 Struttura affine . . . . . . . . . . . . . . . . 241.1.1.1 La semiretta come spazio di misura 261.1.1.2 La retta polare come retta numerica 261.1.1.3 Equazione parametrica della retta

nel piano e nello spazio . . . . . . . 271.1.1.4 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.1.1.5 Equazione parametrica del piano

nello spazio euclideo . . . . . . . . 351.1.2 Struttura metrica . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.1.2.1 Modulo, forma quadratica e distanza 361.1.2.2 Prodotto scalare e forma bilineare . 371.1.2.3 Coseno di un angolo . . . . . . . . 411.1.2.4 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . 411.1.2.5 Sistema di riferimento cartesiano

monometrico ortogonale . . . . . . 421.1.3 Topologia naturale . . . . . . . . . . . . . . 44

1.1.3.1 Punti interni, esterni e di frontiera 451.1.3.2 Insiemi aperti e insiemi chiusi . . . 451.1.3.3 Connessi per archi e insiemi compatti 45

5

6 Indice

1.2 Costruzioni con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . 461.2.1 Costruzioni nel piano . . . . . . . . . . . . . 46

1.2.1.1 Trasporto del segmento . . . . . . 461.2.1.2 Trasporto dell’angolo . . . . . . . . 461.2.1.3 Costruzione parallela . . . . . . . . 461.2.1.4 Costruzione perpendicolare . . . . 461.2.1.5 Somma di punti . . . . . . . . . . . 471.2.1.6 L’opposto di un punto . . . . . . . 471.2.1.7 Suddivisione di un segmento . . . . 471.2.1.8 Prodotto di punti . . . . . . . . . . 471.2.1.9 Inverso . . . . . . . . . . . . . . . 471.2.1.10 Bisettrice dell’angolo . . . . . . . . 471.2.1.11 Prodotto per uno scalare . . . . . . 471.2.1.12 Il coniugato . . . . . . . . . . . . . 481.2.1.13 Il prodotto tra due punti coniugati 481.2.1.14 La radice quadrata . . . . . . . . . 481.2.1.15 Media proporzionale . . . . . . . . 481.2.1.16 Trasformazione circolare inversa . . 48

2 Geometria analitica e Algebra lineare 672.1 Lo spazio vettoriale (R2,+, ·) . . . . . . . . . . . . 67

2.1.1 Prodotto scalare e modulo . . . . . . . . . . 682.1.1.1 Il prodotto scalare con GeoGebra . 68

2.1.2 I numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . 692.1.3 Cambiamenti di base notevoli nel piano . . . 692.1.4 Trasformazioni polari . . . . . . . . . . . . . 70

2.1.4.1 Coordinate polari con GeoGebra . 712.1.5 Le radici n-sime di un numero complesso . . 712.1.6 Affinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.1.7 Rappresentazione matriciale

di un numero complesso . . . . . . . . . . . 732.1.7.1 Numeri complessi con GeoGebra . 732.1.7.2 Esercizi Numeri complessi . . . . . 74

2.1.8 Matrici di trasformazione del piano in se . . 75

Indice 7

2.1.8.1 Riflessione rispetto ad una rettapassante per O . . . . . . . . . . . 76

2.1.8.2 Omotetia . . . . . . . . . . . . . . 762.1.8.3 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . 762.1.8.4 Shear . . . . . . . . . . . . . . . . 762.1.8.5 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 77

2.1.9 La retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.1.9.1 Condizione di parallelismo

e di perpendicolarita . . . . . . . . 782.1.9.2 Equazione cartesiana . . . . . . . . 79

2.1.10 Esercizi: Geometria analitica nel piano . . . 802.1.10.1 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 86

2.2 Lo spazio vettoriale (R3,+, ·) . . . . . . . . . . . . 882.2.1 La retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.2.2 Il piano: equazione parametrica . . . . . . . 892.2.3 Il modulo, il prodotto scalare . . . . . . . . 902.2.4 Il prodotto vettoriale, il prodotto misto . . . 91

2.2.4.1 Prodotto vettoriale con GeoGebra 922.2.5 Equazione cartesiana del piano e della retta 93

2.2.5.1 Equazioni parametrichee cartesiane con GeoGebra . . . . . 94

2.2.6 Esercizi: rette e piani . . . . . . . . . . . . . 942.2.6.1 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 101

2.2.7 Trasformazioni dello spazio tridimensionale . 1042.2.7.1 Coordinate cilindriche . . . . . . . 1042.2.7.2 Coordinate sferiche . . . . . . . . . 1052.2.7.3 Coordinate sferiche e cilindriche

con GeoGebra . . . . . . . . . . . . 1072.2.7.4 Matrici di cambiamenti di base

notevoli . . . . . . . . . . . . . . . 1072.2.7.5 Trasformazioni dello spazio

con GeoGebra . . . . . . . . . . . . 1102.2.8 Esercizio proposti . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.3 Spazi vettoriali euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.3.1 Modulo, prodotto scalare . . . . . . . . . . . 112

8 Indice

2.3.2 Basi e indipendenza lineare . . . . . . . . . 1132.3.2.1 n-uple di vettori e dipendenza lineare1132.3.2.2 Base canonica di Rn . . . . . . . . 115

2.3.3 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.3.3.1 Sistemi lineari omogenei . . . . . . 116

2.3.4 Determinante di un sistema di vettori . . . . 1192.3.5 Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.3.5.1 Calcolo matriciale con GeoGebra . 1232.3.6 Applicazione: Teorema di Rouche-Capelli

per i sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . 1232.3.7 Esercizi: sistemi lineari . . . . . . . . . . . . 124

2.3.7.1 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 137

3 Curve 1413.1 Funzioni di una variabile . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.1.1 Le funzioni numeriche reali . . . . . . . . . . 1413.1.1.1 La funzione inversa . . . . . . . . . 1433.1.1.2 Funzioni monotone . . . . . . . . . 1433.1.1.3 Risoluzione di problemi algebrici

con strumenti analitici . . . . . . . 1453.1.1.4 Disequazioni elementari e risoluzione 146

3.1.2 Le funzioni elementari . . . . . . . . . . . . 1513.1.2.1 Proprieta delle funzioni elementari 1523.1.2.2 Le funzioni trigonometriche . . . . 1573.1.2.3 Le funzioni iperboliche . . . . . . . 1593.1.2.4 Esercizi: dalle diseguaglianze

numeriche alla variazione di segno 1643.1.2.5 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 178

3.1.3 Limiti di funzioni monotone che trasformanointervalli in intervalli . . . . . . . . . . . . . 1793.1.3.1 Limiti di funzioni elementari negli

estremi . . . . . . . . . . . . . . . 1793.1.3.2 Limiti nei punti interni di funzioni

monotone che trasformanointervalli in intervalli . . . . . . . . 181

Indice 9

3.1.3.3 Teorema sui limiti delle funzionicomposte di funzioni monotone . . 182

3.1.3.4 Teorema delle operazioni tra limiti 1833.1.3.5 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . 1853.1.3.6 Principi di eliminazione . . . . . . 1863.1.3.7 Nota: Limiti e continuita funzioni

numeriche reali . . . . . . . . . . . 1883.1.3.8 Esercizi sui limiti . . . . . . . . . . 1973.1.3.9 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 204

3.2 Calcolo differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2063.2.1 Differenziale e retta tangente

al grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2063.2.2 Derivate delle funzioni elementari . . . . . . 2093.2.3 Operazioni con le derivate . . . . . . . . . . 2103.2.4 Derivate funzioni iperboliche e inverse . . . 2113.2.5 Teoremi in ipotesi di derivabilita

per le funzioni numeriche reali . . . . . . . . 2123.2.5.1 Esercizi: differenziale

e retta tangente al grafico . . . . . 2133.2.5.2 Formula di Taylor . . . . . . . . . 2133.2.5.3 Esercizi sui limiti con Taylor . . . . 2153.2.5.4 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 219

3.2.6 Criteri di monotonia e concavita . . . . . . . 2193.2.6.1 Criterio di monotonia larga . . . . 2193.2.6.2 Criterio di monotonia stretta . . . 220

3.2.7 Minimi e massimi relativi di una funzione . 2203.2.7.1 Min e Max per funzioni numeriche

reali . . . . . . . . . . . . . . . . . 2203.2.7.2 Concavita e convessita . . . . . . . 221

3.3 Integrale indefinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2223.3.1 Integrale e differenziale . . . . . . . . . . . . 2223.3.2 Le primitive delle funzioni elementari . . . . 2233.3.3 Proprieta di linearita degli integrali . . . . . 2243.3.4 Formule di sostituzione negli integrali

indefiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

10 Indice

3.3.5 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . 2253.3.6 Integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . 2263.3.7 Formula fondamentale del calcolo integrale . 2263.3.8 Riepilogo regole fondamentali . . . . . . . . 2273.3.9 Integrali immediati . . . . . . . . . . . . . . 2273.3.10 Integrali di altre funzioni elementari . . . . . 2283.3.11 Integrali di funzioni razionali

e sostituzioni razionalizzanti . . . . . . . . . 2283.3.12 Integrali con GeoGebra . . . . . . . . . . . . 2293.3.13 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . 229

3.4 Equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . 2303.4.1 Problema di Cauchy.

Teorema di esistenza e unicita . . . . . . . . 2333.4.2 Integrale generale di un’equazione

differenziale lineare . . . . . . . . . . . . . . 2343.4.3 Integrale generale di un’equazione

differenziale lineare omogenea . . . . . . . . 2343.4.3.1 Lo spazio delle soluzioni . . . . . . 2353.4.3.2 La dimensione dello spazio

delle soluzioni . . . . . . . . . . . . 2353.4.3.3 Esistenza di una base . . . . . . . 2363.4.3.4 Proprieta del wronskiano . . . . . 237

3.4.4 Integrale generale di un’equazionedifferenziale lineare non omogenea . . . . . . 2383.4.4.1 Metodo della variazione

delle costanti arbitrarie . . . . . . 2383.4.5 Esempi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . 2393.4.6 Le equazioni differenziali ordinarie

con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 2513.4.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . 251

3.5 Curve parametriche regolari . . . . . . . . . . . . . 2523.5.1 Equazione parametrica della retta

tangente alla curva . . . . . . . . . . . . . . 2533.5.2 Lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . 2543.5.3 Cambiamento di parametro . . . . . . . . . 255

Indice 11

3.5.4 Le curve negli spazi numerici . . . . . . . . 2553.5.5 Ascissa curvilinea . . . . . . . . . . . . . . . 2583.5.6 Le curve con GeoGebra . . . . . . . . . . . . 2583.5.7 Triedro fondamentale di Frenet . . . . . . . 258

3.5.7.1 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 2623.5.8 Coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

3.5.8.1 Coniche nel piano euclideo . . . . . 2653.5.8.2 Coniche in un piano cartesiano . . 2673.5.8.3 Coniche e autovalori . . . . . . . . 2713.5.8.4 Equazioni in forma canonica . . . . 272

3.5.9 Curve celebri . . . . . . . . . . . . . . . . . 2723.5.9.1 Trisettrice di Ippia . . . . . . . . . 2723.5.9.2 Cissoide di Diocle . . . . . . . . . . 2733.5.9.3 Concoide di Nicomede . . . . . . . 273

3.5.10 Curve generate per rotazioni . . . . . . . . . 2743.5.10.1 Epicicloide . . . . . . . . . . . . . 2743.5.10.2 Ipocicloide . . . . . . . . . . . . . 2753.5.10.3 Rodonea . . . . . . . . . . . . . . . 277

3.5.11 Curve generate per rototraslazioni . . . . . . 2773.5.11.1 Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . 2773.5.11.2 Elica cilindrica . . . . . . . . . . . 278

3.5.12 Curve generate tramite rotazione e omotetia 2793.5.12.1 Spirale di Archimede . . . . . . . . 2793.5.12.2 Spirale logaritmica o equiangolare . 2793.5.12.3 Elica conica . . . . . . . . . . . . . 280

3.5.13 Altre curve celebri . . . . . . . . . . . . . . 2803.5.13.1 Catenaria . . . . . . . . . . . . . . 2803.5.13.2 Trattrice . . . . . . . . . . . . . . . 2803.5.13.3 Curve di Bezier . . . . . . . . . . . 281

4 Superfici 2974.1 Funzioni di due variabili . . . . . . . . . . . . . . . 297

4.1.1 Superfici e grafici di funzione di due variabilicon GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

4.1.2 Esercizi: domini e variazione di segno . . . . 299

12 Indice

4.1.2.1 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 3034.1.3 Definizione di limite

per funzioni di due variabili . . . . . . . . . 3044.1.3.1 Continuita in un punto . . . . . . . 3044.1.3.2 Confronto tra le nozioni di limite

per funzioni di una e di due variabili 3054.1.3.3 Teoremi sui limiti . . . . . . . . . . 3064.1.3.4 Proprieta topologiche delle funzioni

continue . . . . . . . . . . . . . . . 3074.1.3.5 Limiti e continuita con GeoGebra . 308

4.1.4 Esercizi: limiti e continuita . . . . . . . . . . 3084.1.4.1 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 310

4.2 Differenziabilita di funzioni di due variabili . . . . . 3114.2.1 Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . 3124.2.2 Il gradiente e la differenziabilita . . . . . . . 3134.2.3 La notazione dell’o-piccolo . . . . . . . . . . 3154.2.4 Derivate direzionali . . . . . . . . . . . . . . 3164.2.5 Funzioni con gradiente nullo . . . . . . . . . 3194.2.6 Derivata funzione composta . . . . . . . . . 3194.2.7 Derivate di ordine superiore . . . . . . . . . 3204.2.8 Derivazione con GeoGebra . . . . . . . . . . 3214.2.9 Esercizi: differenziabilita e piano tangente . 3214.2.10 Esercizi: derivate parziali e direzionali . . . 322

4.2.10.1 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 3234.2.11 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . 329

4.2.11.1 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 3384.2.12 Formula di Taylor ed estremi relativi . . . . 339

4.2.12.1 Minimi e massimi con GeoGebra . 3434.2.12.2 Esercizi: minimi e massimi relativi 3434.2.12.3 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 348

4.3 Superfici parametriche regolari . . . . . . . . . . . . 3484.3.1 Piano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 3524.3.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . 3534.3.3 Cambiamenti di parametri . . . . . . . . . . 353

4.3.3.1 Superfici coordinate e linee coordinate354

Indice 13

4.3.4 Superfici di rotazione . . . . . . . . . . . . . 3574.3.5 Superfici rigate . . . . . . . . . . . . . . . . 3574.3.6 Superfici sviluppabili . . . . . . . . . . . . . 3574.3.7 Superfici celebri . . . . . . . . . . . . . . . . 358

4.3.7.1 Nastro di Mobius . . . . . . . . . . 3604.3.8 Quadriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

4.3.8.1 Quadriche con GeoGebra . . . . . 3704.3.9 Altre superfici notevoli . . . . . . . . . . . . 378

5 Integrazione 3915.1 Estensione del concetto di misura . . . . . . . . . . 391

5.1.1 Misura secondo Peano-Jordan . . . . . . . . 3925.2 Integrale esteso ad un intervallo . . . . . . . . . . . 393

5.2.1 Alcune proprieta dell’integrale esteso . . . . 3945.2.2 Teorema fondamentale del calcolo integrale . 395

5.2.2.1 Somme integrali con GeoGebra . . 3965.2.3 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . 396

5.2.3.1 Volumi solidi . . . . . . . . . . . . 3965.2.3.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 397

5.3 Lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . . 3985.3.1 Massa e baricentro di un filo . . . . . . . . . 402

5.3.1.1 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 4055.4 Integrali curvilinei di campi vettoriali . . . . . . . . 407

5.4.1 Integrali curvilinei di forme differenziali . . . 4085.4.2 Forme differenziali esatte . . . . . . . . . . . 409

5.4.2.1 Teorema fondamentale del calcoloper forme differenziali esatte . . . . 411

5.4.2.2 Forme differenziali chiuse . . . . . 4125.4.3 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . 413

5.5 Integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4155.5.1 Alcune proprieta dell’integrale doppio . . . . 4175.5.2 Proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4175.5.3 Formule di riduzione per integrali doppi

su rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

14 Indice

5.5.4 Formule di riduzione per integrali doppisu domini normali e regolari . . . . . . . . . 420

5.5.5 Cambiamento di variabili . . . . . . . . . . . 4235.5.5.1 Cambiamento di variabili

in coordinate polari . . . . . . . . 4245.5.6 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . 4255.5.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . 445

5.6 Aree e integrali di superficie . . . . . . . . . . . . . 4475.6.1 Massa e baricentro di una lamina superficiale 452

5.6.1.1 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 4535.7 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

5.7.1 Massa, baricentro e momento di inerziadi un solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

5.7.2 Divergenza e Rotore . . . . . . . . . . . . . 4545.7.2.1 Esercizi proposti . . . . . . . . . . 457

Appendice: Funzioni e Strutture Algebriche 459

Appendice: Tabelle utili 473

Bibliografia 475

Elenco delle figure

1.1 Somma tra punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2 Prodotto per uno scalare . . . . . . . . . . . . . . . 251.3 Asse polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4 Equazione parametrica della retta . . . . . . . . . . 301.5 Coordinate di un punto rispetto ad una base . . . . 341.6 Modulo del punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.7 Verifica con costruzioni teorema di Carnot . . . . . 401.8 Costruzione trasporto del segmento . . . . . . . . . 491.9 Costruzione trasporto dell’angolo . . . . . . . . . . 501.10 Parallela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.11 Perpendicolare 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.12 Perpendicolare 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.13 Somma di due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.14 Costruzione dell’opposto di un punto . . . . . . . . 551.15 Costruzione del sottomultiplo di un punto . . . . . 561.16 Prodotto di due punti . . . . . . . . . . . . . . . . 571.17 Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.18 Bisettrice di un angolo . . . . . . . . . . . . . . . . 591.19 Prodotto per uno scalare . . . . . . . . . . . . . . . 601.20 Coniugato di un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 611.21 Prodotto tra due punti coniugati . . . . . . . . . . 621.22 Costruzione della radice di C . . . . . . . . . . . . 631.23 Costruzione medio proporzionale . . . . . . . . . . 641.24 Costruzione inverso circolare: caso punto esterno cir-

conferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

15

16 Elenco delle figure

1.25 Costruzione inverso circolare: caso punto interno cir-conferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.1 Esercizio 2.1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.2 Esercizio 2.1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.3 Esercizio 2.1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.4 Esercizio 2.1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.5 Esercizio 2.1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.6 Esercizio 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.7 Esercizio 2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.8 Esercizio 2.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.9 Esercizio 2.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.10 Esercizio con risoluzione A . . . . . . . . . . . . . . 1022.11 Esercizio con risoluzione B . . . . . . . . . . . . . . 1032.12 Vista CAS di calcolo determinante in esercizio 2.3.1 1262.13 Vista CAS matrice ridotta in esercizio 2.3.1 . . . . 1272.14 Vista CAS per soluzione esercizio 2.3.2 . . . . . . . 1292.15 Vista CAS per soluzione esercizio 2.3.3 . . . . . . . 1312.16 Esercizio con risoluzione A . . . . . . . . . . . . . . 1382.17 Esercizio con risoluzione B . . . . . . . . . . . . . . 139

3.1 Visualizzazione dell’inversa . . . . . . . . . . . . . . 1443.2 Potenza 0 < α < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.3 Potenza α > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.4 Confronto grafici funzioni potenza con esponente mag-

giore di 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.5 Potenza −1 < α < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.6 Potenza α < −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.7 Esponenziale a > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.8 Esponenziale 0 < a < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.9 Confronto grafici esponenziali base maggiore di 1 . 1553.10 Funzione logaritmo a > 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1563.11 Funzione logaritmo 0 < a < 1 . . . . . . . . . . . . 1563.12 Confronto grafici funzioni logaritmo . . . . . . . . . 1573.13 Risoluzione (3.3) in esercizio 3.1.1 . . . . . . . . . . 1653.14 Risoluzione di (3.5) in esercizio 3.1.3 . . . . . . . . 170

Elenco delle figure 17

3.15 Risoluzione di (3.5) in esercizio 3.1.3 . . . . . . . . 1713.16 Rappresentazione nel piano cartesiano di (3.6) . . . 1723.17 Variazione di segno sulla retta numerica di (3.6) . . 1723.18 Rappresentazione grafica del numeratore di (3.8) . . 1733.19 Rappresentazione grafica del denominatore di (3.8) 1743.20 Visualizzazione soluzione di (3.8) . . . . . . . . . . 1743.21 VS numeratore di (3.9) in esercizio 3.1.6 . . . . . . 1753.22 VS denominatore di (3.9) in esercizio 3.1.6 . . . . . 1753.23 VS di (3.9) in esercizio 3.1.6 . . . . . . . . . . . . . 1753.24 VS numeratore di (3.10) in esercizio 3.1.7 . . . . . . 1763.25 VS denominatore di (3.10) in esercizio 3.1.7 . . . . 1763.26 VS di (3.10) in esercizio 3.1.7 . . . . . . . . . . . . 1763.27 Risultato finale VS di (3.10) in esercizio 3.1.7 . . . 1773.28 Intorno di x0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1893.29 Intorno di +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1893.30 Intorno di −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1903.31 Soluzione dell’esercizio 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . 2143.32 Soluzione dell’esercizio 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . 2173.33 Soluzione dell’esercizio 3.2.3 . . . . . . . . . . . . . 2183.34 Visualizzazione in 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . 2593.35 Visualizzazione in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . 2593.36 Triedro di Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2633.37 Algebra di Figura 3.36 . . . . . . . . . . . . . . . . 2643.38 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2663.39 Ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2673.40 Iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2683.41 Trisettrice di Ippia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2823.42 Cissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2833.43 Concoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2843.44 Rodonea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2853.45 Esempio di epicicloide: cardioide . . . . . . . . . . 2863.46 Esempio di ipocicloide: asteroide . . . . . . . . . . 2873.47 Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2883.48 Spirale Archimedea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2893.49 Spirale Logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

18 Elenco delle figure

3.50 Elica Cilindrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.51 Elica Conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2923.52 Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2933.53 Trattrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2943.54 Curva di Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

4.1 Grafico funzione di due variabili . . . . . . . . . . . 2984.2 Piano tangente al grafico di una funzione . . . . . . 3194.3 Rappresentazione grafico log2(xy − 1) . . . . . . . . 3244.4 Rappresentazione VS log2(xy − 1) . . . . . . . . . . 3254.5 Soluzione e rappresentazione 4.1.6 . . . . . . . . . . 3264.6 Soluzione e rappresentazione 4.2.2 . . . . . . . . . . 3274.7 Soluzione e rappresentazione 4.2.2 . . . . . . . . . . 3284.8 Soluzione e rappresentazione 4.2.12 . . . . . . . . . 3494.9 Soluzione e rappresentazione 4.2.13 . . . . . . . . . 3504.10 Soluzione e rappresentazione 4.2.14 . . . . . . . . . 3514.11 Superficie regolare con curve tracciate . . . . . . . . 3534.12 Ellissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.13 Paraboloide ellittico: . . . . . . . . . . . . . . . . . 3724.14 Paraboloide iperbolico: . . . . . . . . . . . . . . . . 3734.15 Iperboloide iperbolico oad una falda . . . . . . . . . 3744.16 Iperboloide ellittico o a due falde . . . . . . . . . . 3754.17 Cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3764.18 Cilindro ellittico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3774.19 Catenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3804.20 Pseudosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.21 Sella di scimmia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3824.22 Superficie di Gaudı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3834.23 Superficie di Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . 3844.24 Nastro su ellissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3854.25 Nautilus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3864.26 Conchiglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3874.27 Colonna torsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3884.28 Serpentino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3894.29 Vite di Saint-Gilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

Elenco delle figure 19

5.1 Interpretazione geometrica integrale . . . . . . . . . 3945.2 Interpretazione geometrica integrale curvilineo . . . 3985.3 Esercizio 5.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4005.4 Esercizio 5.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4035.5 Esercizio 5.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4045.6 Esercizio 5.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4065.7 Cammino in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4105.8 Integrazione su dominio rettangolare 1 . . . . . . . 4195.9 Integrazione su dominio rettangolare 2 . . . . . . . 4205.10 Area compresa tra due grafici . . . . . . . . . . . . 4215.11 Esercizio 5.5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4295.12 Esercizio 5.5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4305.13 Esercizio 5.5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4315.14 Esercizio 5.5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4335.15 Esercizio 5.5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4355.16 Esercizio 5.5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4365.17 Esercizio 5.5.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4385.18 Esercizio 5.5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4395.19 Esercizio 5.5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4405.20 Esercizio 5.5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4425.21 Esercizio 5.5.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4445.22 Esercizio 5.5.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4465.23 Esercizio 5.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4495.24 Esercizio 5.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4505.25 Esercizio 5.6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

Introduzione

I testi universitari moderni di Calcolo cercano di trovare un equi-librio tra rigore e intuizione, e in questo tentativo vi sono esem-pi autorevoli che utilizzano come supporto alla teoria tradiziona-le software di calcolo e di rappresentazione in 3D (vedi Calculus:A Complete Course di R.A. Adams, C. Essex, Pearson EducationCanada, 2014, Calcul per a l’Arquitectura di C. Alsina, EdicionsUPC, Barcelona 2008, Geometria a l’Arquitectura di C. Alsina,J.J. Morale, M.S.T. Belenguer, Edicions UPC, Barcelona 2007, Cal-culus, Concepts and Contexts di J. Stewart, Brooks/Cole CengageLearning, Belmont (CA) 2001, Thomas’ Calculus, di G.B. Thomas,M.D. Weir, J. Hass, Pearson Education, Limited,2014 ). Tale esi-genza e sicuramente maggiormente sentita nei corsi di Matematicaper Architettura. Al momento GeoGebra (da Geometria e Alge-bra) e uno dei piu innovativi open-code math software che puo es-sere liberamente scaricato da www.geogebra.org. GeoGebra e unostrumento che offre ottime possibilita di sintesi tra un approcciorigoroso al Calcolo e uno piu intuitivo, lavora su un largo spettro dipiattaforme di sistemi operativi che hanno installato Java, consen-te di utilizzare in simultanea le funzioni computer algebra systeme interactive geometric system, e rappresenta una rapida inizializ-zazione per avvicinarsi all’utilizzo di tecnologie piu sofisticate chehanno sintassi molto piu complesse.

In questo volume si sviluppano la teoria geometrica e analiticanecessarie per l’utilizzo del software (teoria tratta da Fondamentigeometrici per la Matematica di G. Anatriello, Aracne 2014, Fon-

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22 Introduzione

damenti di Analisi matematica di G. Anatriello, Aracne 2014, Fon-damenti geometrici per il Calcolo di G. Anatriello, Aracne 2014) ela parte applicativa, attraverso una diversificata gamma di esercizidi base risolti anche con l’utilizzo di GeoGebra.

Il capitolo 1 e dedicato al calcolo geometrico sviluppato nei so-pra citati volumi Fondamenti geometrici per la Matematica e Fon-damenti geometrici per il Calcolo. Il capitolo 2 e dedicato allageometria analitica e all’algebra lineare, il capitolo 3 alle curve, ilcapitolo 4 alle superfici, il capitolo 5 al calcolo integrale.

Settembre 2014Giuseppina Anatriello

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Calcolo geometrico

Le trasformazioni di traslazione, di rotazione e di omotetia del pianoeuclideo possono essere riguardate in termini di operazioni tra puntidel piano. In [6], [5] e [4] si e sviluppato un calcolo puramentegeometrico tra punti di un piano euclideo a partire da due suoi puntidistinti, O e U , con questo scopo. Il calcolo geometrico introdottoconsente di riguardare la geometria euclidea in termini di calcolotra punti e individua una struttura di campo (vedi Figura 1.13 eFigura 1.16 ); a partire da questa, tanto nel piano euclideo che nellospazio tridimensionale, due tipi di strutture che sono essenziali neglisviluppi della matematica. Tali strutture si dicono struttura affinee struttura metrica.

Sempre in [6], [5] e [4] come modello astratto dei punti della rettaOU (quando tra di essi si opera secondo le operazioni suddette esi sia introdotta una relazione d’ordine tra di essi definita a partireda tali operazioni) vengono introdotti i numeri reali.

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