estabilidad_lyapunov

8/19/2019 Estabilidad_lyapunov

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Estabilidad de Lyapunov

1. Noción de estabilidad

2. Criterio de estabilidad de Lyapunov

(Segundo método o método directo)

. Criterio de inestabilidad de Lyapunov

!. "étodo de #ra$os$i

%. &e'erencias


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1.Estabilidad

La Estabilidad se considera sobre la respuesta de un sistema después de que se ha liberado

a partir de condiciones iniciales no nulas.

Se consideran 3 tipos de estabilidad:

Inestable.

Estabilidad Estables. Esta acotada a marginalmente estable para sistemas lineales

. o ciclo limite para sistemas no lineales

Asintotamente estable. Regresa a su posición de Equilibrio

La condición de estabilidad puede ser modificada por los adeti!os localmente o

globalmente refiriéndose por localmente a una parte del espacio fase o en el caso de

globalmente a todo el espacio.

Estabilidad desde el punto de !ista de la energ"a. La estabilidad puede ser anali#ada desdeel punto de !ista de la energ"a


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$ara el sistema masa con %&'&( tendremos resorte la ecuación de mo!imiento es

0 x x =+ )*+La Energ"a del sistema es

0

x

0

E dx Kx x M 2

1U T =+=+ ∫ )(+

En !ariables de estado

12

2

21

1

x x

x x

x x x

x x

−=

=

==

=

)3+

La energ"a se forma como

2

2

2

1 x xV += ),+

$ara obser!ar como se comporta esta e-presión aplicamos la diferencial respecto al tiempo

2211 x x2 x x2

dt

dV W +== )+

Sustitu/endo los !alores de )3+ 12 x x −= / 21 x x = 2121 x x2 x x2W −= & 0

Esto significa que no e-iste !ariación de energ"a en el sistema / por tanto permanecer1 en

el estado inicial en que se encuentre. La figura siguiente presenta el diagrama de fase de

este sistema. Su interpretación cualitati!a es la siguiente cada circulo representa una posición o !elocidad o combinación de ambas desde el que se ha/a soltado el sistema la

condición de las !ariables de estado )!elocidad / posición permanecer1 ligado con una

transferencia de emerg"a de la !elocidad a la posición.


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2igura $lano de 2ase del sistema 'asa Resorte


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2. El criterio de estabilidad de Lyapunov

El criterio de estabilidad puede establecerse a partir de la ecuación de energ"a del sistema.

L/apuno! demostró que la estabilidad puede determinarse aun con una función relacionadaa la energ"a. Este criterio puede establecerse de la manera siguiente:

Si e-iste una función +) xV tal que

30V = para X &0

V 4 0 para X=0

V 5α para | X |15α

W dt

dV =

Entonces el sistema es estable si

0W ≤ para 0 X ≠Es asintoticamente estable si

0W < para 0 X ≠

Sin embargo es necesario recalcar que el criterio de estabilidad de l/apuno! es una

condición suficiente pero no necesaria

* = X norma euclidiana


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.El criterio de inestabilidad de Lyapunov .

El criterio de inestabilidad se establece de la siguiente forma

0dt

dV W == para X &0

0W < para 0 X ≠ α →W para α → X

Entonces el sistema es inestable a menos que V 40

Luego este método puede asegurar la condición de estabilidad cuando el criterio deestabilidad no conclu/o la misma

Eemplo

6onsidérese el siguiente sistema

0 x x x32 x 2 =+++ +)

7escribiendo el sistema en !ariables de estado:

1

3

2212

12

1

x x3 x2 x x x

x x

x x

−−−===

=

=

Escoamos una función de l/apuno! tomando la energ"a de las !ariables de estado

2

2

2

1 x xV +=

2211 x x2 x x2V +=


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Sustitu/endo las !ariables de estado en W

214

2

2

221 x x2 x6 x4 x x2dt

dV W −−−==

4

2

2

2 x6 x4W −−=

Luego 30V = para X &0 V 4 0 para X=0

V 5α para | X |25α

8 0W < para 0 X ≠

$or lo tanto el sistema es asintoticamente estable. en la siguiente figura se ilustra eldiagrama de fase . Este método se conoce como el segundo método de L/apuno! / en

ocasiones es conocido como método directo pues no es necesario resol!er la ecuación de

energ"a del sistema sino solamente anali#ar su comportamiento

( = X norma euclidiana


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2igura diagrama de fase del sistema eemplo anterior

!."étodo de #rasovs$ii

$ara algunos sistemas no lineales es mas con!eniente trabaar con el !ector de estado en

!e# de trabaar con las !ariables de estado. %raso!s9ii sugiere una posible funcion de

L/apuno! la norma euclidea de x . Es decir2

x . El teorema de 9raso!s9/ referente a

estabilidad global da condiciones suficientes para sistemas no lineales / necesarias /suficientes para sistemas lineales. Esto es un estado de equilibrio de un sistema lineal

puede ser estable aun que no se satisfagan las condiciones propuestas en este teorema.

Sea el sistema definido por

f(x)x =

Sea 2)-+ la matri# acobiana del sistema.


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∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

n

n

2

n

1

n

n

2

2

2

1

2

n

1

2

1

1

1

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

...

:::

...

...

F(x)

Se define )2)-)-+2)-+2; += ∗

7onde )-+2∗

es la transpuesta conugada de )2)- . Si la matri# )-+ ∗

=

Si adem1s α →∗ f)-+)-+f cuando α → x el estado de equilibrio es global /

asintoticamente estable

$roblema eemplo demostrar la estabilidad del estado de equilibrio &0 del siguientesistema

32212

11

x x x x

x x

−−=

−=

El !ector de estado es

−−

−=

3

221

1

x x x

xf)-+

2)-+&

−−

−2

2 x311

01

−−

−=

2

2 x310

11)-+2?


10/11

)2)-)-+2)-+2; += ∗

−−

−=

2

2 x6 21

12@

)-+2; es negati!a definida para todo 0 x ≠ por tanto el estado de equilibrio -&0 esasintoticamente estable

α →−−+=∗ 232212

1 x x x x +)f)-+)-+f cuando α → x

$or tanto el estado de equilibrio -&0 es global / asintoticamente estable


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&e'erencias

#* +gata ,ngenieria de control "oderna -rentice all

arrison* /. 0ollinger controles utomaticos rillas

-plane /o3n C. -ol$ing* &ice 4niversity Last "odi'ied5 pril 2!* 266

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