Hidrometra de dos secciones para cauces sujetos a efectos dinmicos y de remanso

Estimacin de Avenidas de Diseo Mediante el Uso de la Teora Multivariada de Extremos

Dr. lvaro Alberto Aldama Rodrguez1 y Dr. Aldo Ivn Ramrez Orozco2

1Consultor Independiente, 2Profesor Investigador del Centro del Agua del ITESM

1

Hidrografa del sistema Grijalva-Usumacinta

2

Introduccin

La seguridad de una estructura cualquiera est determinada por su respuesta ante un evento que puede presentarse o ser excedido con una probabilidad determinada.

En el caso de una presa o una obra para control de inundaciones, dicho evento puede ser la tormenta de diseo o la avenida de diseo.

Dado que el evento que incide directamente sobre un vaso o cualquier obra para control de inundaciones es la avenida de diseo, se considera ms apropiado caracterizar la seguridad de una presa en trminos de su respuesta ante la ocurrencia de dicha creciente.

3

La estimacin de avenidas de diseo es el proceso de obtener las caractersticas del hidrograma que se utilizar para determinar las dimensiones de una obra.

El fin de los mtodos de estimacin de avenidas de diseo es determinar de la mejor manera posible la magnitud del evento correspondiente a un nivel de riesgo aceptable.

La estimacin de avenidas se realiza con base en un nivel de riesgo determinado, que se traduce en un periodo de retorno de diseo, que corresponde al nmero de aos en el que, estadsticamente, el evento de diseo puede presentarse o ser excedido.

Estimacin de avenidas de diseo

4

Enfoques de estimacin de avenidas de diseo

Hidrometeorolgico. Basado en registros de precipitacin y la modelacin del proceso lluvia-escurrimiento.

Hidromtrico. Basado en registros de escurrimiento y el uso de funciones de distribucin de probabilidad.

5

Ventajas del enfoque hidrometeorolgico

Registros de precipitacin ms abundantes que los de escurrimiento

Obtencin del hidrograma completo de la avenida

6

Medicin de la precipitacin en Mxico

5575 estaciones climatolgicas con datos histricos (la mayora con pluvimetro solamente)

77 observatorios meteorolgicos

4594 estaciones con coordenadas conocidas

Densidad aproximada = 1 estacin pluviomtrica / 400 km2

Recomendacin mnima de la OMM:

Terreno plano1 estacin por cada 600 a 900 km2

Terreno montaoso1 estacin por cada 100 a 250 km2

Mxico no cumple con la recomendacin mnima

7

Ventajas del enfoque hidromtrico

Registros de caudales suficientemente prolongados para realizar anlisis de frecuencias de gastos mximos anuales.

Obtencin de estimaciones con significado probabilista.

Existencia de una gran diversidad de distribuciones de probabilidad, incluidas las de poblaciones mezcladas, a fin de tomar en cuenta el comportamiento y origen de las avenidas.

8

Desventajas del enfoque hidromtrico

Los registros de escurrimiento no son homogneos (dependen de los cambios de la cuenca).

Puede existir incertidumbre en la estimacin de los parmetros de la distribucin de probabilidad.

En los mtodos convencionales slo se obtiene una caracterstica de la avenida, esto es, el gasto pico, y la forma de la avenida de diseo se obtiene mayorando la avenida mxima histrica, lo cual en estricto sentido hara imposible asociar un periodo de retorno a la misma.

9

Tormenta elemental en una cuenca

Considrese una tormenta elemental que ocurre en una cuenca, sobre un rea A, con una intensidad I y una duracin d, a una distancia efectiva L de la salida de aqulla. El efecto de la tormenta ser un hidrograma de salida, caracterizado por el gasto pico Qp, el tiempo pico tp, y el volumen escurrido V.

t

i(t)

I

d

Q(t)

t

Qp

tp

V

A

L

10

Modelo advectivo-difusivo del proceso lluvia-escurrimiento

Para fines de argumentacin conceptual, el proceso lluvia-escurrimiento puede ser modelado representando a la cuenca como un metacanal, como lo han propuesto Snell y Sivalpan (1995). Entonces, puede considerarse que el gasto Q a lo largo del cauce principal de la cuenca est gobernado por la siguiente ecuacin de adveccin-difusin:

donde t representa el tiempo; x, la coordenada espacial a lo largo del cauce principal; U, una velocidad advectiva efectiva, y D, un coeficiente de difusin efectivo.

11

Gasto pico producido por una tormenta elemental

El gasto pico producido por una tormenta elemental puede obtenerse a partir de la solucin analtica del problema gobernado por el modelo advectivo-difusivo, que resulta en la siguiente expresin:

donde f representa un factor de escurrimiento directo y

siendo Pe=UL/D un nmero de Pclct, y Cr=Ud/L un nmero de Courant, ambos caractersticos del binomio tormenta elemental-cuenca. Se puede demostrar que la relacin tp/d es una funcin de Pe y Cr y, por tanto, de L.

12

Caracterizacin probabilista de una tormenta elemental

La descripcin ms simple que se puede proponer de una tormenta elemental que ocurre en un rea fija y tiene una duracin fija, es aqulla en la que intervienen dos variables aleatorias: I y L. Sea entonces la densidad de probabilidad conjunta de dichas variables (I,L), a partir de la cual se puede calcular la distribucin de probabilidad conjunta, as como las distribuciones marginales de I y L, dadas respectivamente por:

13

Periodo de retorno conjunto

Se puede demostrar que el periodo de retorno conjunto de I y L, o dicho de otro modo, el periodo de retorno de la tormenta elemental est dado por:

14

Periodos de retorno de tormentas y avenidas (1)

Cuando se realiza un anlisis de frecuencias de tormetas mximas anuales, se puede estimar una intensidad de diseo, ID, asociada con un periodo de retorno seleccionado para tal fin, TID. Ahora bien, empleando la teora de distribuciones derivadas se puede calcular la distribucin de probabilidad del gasto pico producido por una tormenta elemental, a partir de (I,L). Se puede demostrar que los periodos de retorno de diseo de la intensidad y del gasto pico se pueden expresar respectivamente como:

15

Periodos de retorno de tormentas y avenidas (2)

Evidentemente, TQpDTID, lo cual demuestra que el periodo de retorno de la avenida no es el mismo que el de la tormenta. Pero adems, TI,LDTID, lo cual muestra que es inadecuado caracterizar a una tormenta slo a travs del comportamiento aleatorio de su intensidad.

16

Comentarios sobre el enfoque hidrometeorolgico

La descripcin probabilista de tormentas de diseo a travs de la intensidad exclusivamente, es incompleta.

Para disear hidrolgicamente una presa es necesario conocer el periodo de retorno de la avenida de diseo, lo cual no es posible cuando se emplea una tormenta de diseo, dado que su periodo de retorno no coincide con el de la avenida que produce.

Los modelos lluvia-escurrimiento no funcionan bien para eventos extremos.

Lo anterior resalta las limitaciones del enfoque hidrometeorolgico.

17

Diseo o revisin hidrolgica de presas

Para determinar Zmx y Omx es necesario transitar el hidrograma completo de la avenida de diseo por el vaso.

I(t)

Parmetros de diseo: Zmx, Omx

O(t)

t

t

Omx

Zmx

18

Anlisis de frecuencias tradicional

Ao

Gasto mximo anual

(m

3

/s)

1940

1580

1941

2509

1942

1052

1943

4005

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1999

8502

2000

3510

2001

1920

2002

4355

Registro histrico

Muestra aleatoria de una sola variable: Gasto pico

10000

20000

10

100

1000

Q

Q para T=1000 aos

T

Periodo de retorno

19

Observaciones sobre el anlisis de frecuencias tradicional

Se requiere del hidrograma completo para disear o revisar la presa.

En la prctica, la forma del hidrograma se define en forma arbitraria, mayorando la avenida mxima histrica.

La respuesta de los vasos es sensible al gasto pico y tambin a otros parmetros de la avenida.

Se requiere caracterizar probabilistamente toda la avenida.

20

Parametrizacin de hidrogramas

Q

t

t

Q

tp

Qp

V

Q=Q(t;Qp, tp, V)

Hidrograma real

Hidrograma parametrizado

Triangular

QP

V

Q

t

QP

tp

Cbica

Q

t

V

QP

tp

Pearson

t

V

Q

tp

21

Hidrogramas triparamtricos hermitianos

22

Solucin analtica aproximada de ecuacin de trnsito en vasos

I(t)

O(t)

t

t

Omx

Zmx

>

[

]

[

]

[

]

[

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1

0

0

1

0

0

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1

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1

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1

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(

1

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-

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>

-

=

>

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p

p

D

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Q

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e

r

e

D

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Q

Q

r

e

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I

dq

l

C

l

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g

dl

l

l

C

l

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g

q

Q

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L

C

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g

dq

dl

l

l

C

l

P

g

q

I

i

P

T

V

V

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Q

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P

T

>

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1

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t

Q

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-

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2

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2

3

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3

2

3

2

3

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p

b

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-

-

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6

15

10

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0

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6

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5

4

3

5

4

3

5

b

p

p

b

p

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t

t

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Q

t

t

Q

t

Q

b

050100150200250300350400050100150200250300

tiempo (h)Gasto (m

3

/s)Orden 5Orden 3Orden 1

dt

dS

O

I

=

-

)

(

)

(

)

(

)

;

(

2

1

0

e

e

e

O

t

S

t

S

t

S

+

+

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I

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t

0

0

0

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t

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t

t

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t

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I

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dS

dt

S

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,v

Q

q

P

,V

Q

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p

p

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1

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Q

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V

F

Q

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qv

v

p

q

,V

Q

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+

-

-

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,v

Q

q

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,V

Q

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>

>

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1

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p

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q

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,V

Q

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F

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)

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,V

Q

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p

p

qv

v

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1

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Q

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T

v

V

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v

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m

m

V

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V

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Z

Z

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p

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*

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,

(

:

a

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0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0

50

100

150

200

250

time (h)

Discharge (m3/s)

Gasto

m

3

/s

Tiempo

(h)

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0

50

100

150

200

250

time (h)

Discharge (m3/s)

Gasto

m

3

/s

Tiempo

(h)

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0

50

100

150

200

250

tiempo (h)

3

Gasto (m

/s)

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0

50

100

150

200

250

tiempo (h)

3

Gasto (m

/s)