evidencias_analisis_numerico
DESCRIPTION
metodos numericos ecuaciones lineales ejemplos numericos resolucion de ejercicios metodo de lin raices de polinomiosraices imaginariaspreparatoriaTRANSCRIPT
INSTITUTO TECNOLOGICO DE NOGALES
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
ANALISIS NUMERICO
JOSE CHÁVEZ PALOMARES
PAUL ROSARIO LOPEZ ALVREZ
NO. DE CONTROL: 11340166
ING. ELECTRÓNICA
Contenido 1Introducción al análisis numérico ..................................................................................................... 5
1.1 Concepto y trascendencia histórica del análisis numérico .................................................... 5
1.2 Importancia del análisis numérico en la Ingeniería .................................................................. 8
2.- ANALIS DE ERROR ........................................................................................................................... 9
2. 1APROXIMACIONES ..................................................................................................................... 9
Truncamiento ............................................................................. ¡Error! Marcador no definido.
2.2 ERRORES .................................................................................................................................. 13
3.-Solución de ecuaciones algebraicas. ............................................................................................. 16
3.1 Método de intervalos .............................................................................................................. 18
3.1.1 Métodos de posición falsa. .................................................................................................. 19
3.1.2 Método de la bisección. ....................................................................................................... 21
3.1.3 Método de dos puntos y orden de convergencia. ............................................................... 23
3.2 Métodos abiertos. ................................................................................................................... 23
3.2.1 Método de punto fijo. .......................................................................................................... 25
3.2.2 Método de Newton-Raphson. .............................................................................................. 26
3.2.3 Método de la secante. .......................................................................................................... 28
3.3 Raíz de polinomios. ................................................................................................................. 32
3.3.1 Método de Newton-Raphson para raíces complejas. .......................................................... 33
4.-Solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales y valores Característicos. ................. 34
4.1 Sistemas de ecuaciones lineales. ............................................... ¡Error! Marcador no definido.
4.1.1 Método de Gauss. ................................................................................................................ 35
4.1.2 Método de Gauss-Jordan. .................................................................................................... 39
Introducción ................................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
4.1.3 Método de Gauss-Seidel. ..................................................................................................... 42
4.2 Sistemas de ecuaciones no lineales. ....................................................................................... 44
5.-Ajuste de funciones. ...................................................................................................................... 49
5.1 Interpolación. .......................................................................................................................... 51
5.2 Aproximación POLINOMIAL Y MULTILINEAL. .......................................................................... 54
5.3 Ajuste por interpolación segmentaria ..................................................................................... 54
(Spline) .......................................................................................................................................... 54
5.5 APLICACIONES A LA INGENIERIA. ............................................................................................ 57
6.-Diferenciación e Integración Numérica. ....................................................................................... 57
6.1 Integración .............................................................................................................................. 57
. ...................................................................................................................................................... 58
6.1.1 Método del trapecio ............................................................................................................ 58
6.1.2 Método de Simpson. ............................................................................................................ 60
6.2 Diferenciación. ........................................................................................................................ 62
6.2.1 Extrapolación de Richardson ................................................................................................ 68
7.-Solución numérica de ecuaciones Diferenciales ordinarias y parciales. ....................................... 70
7.1 Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias .................................................................... 70
Soluciones ............................................................................................................................... 71
7.1.1 Métodos de Euler ................................................................................................................. 71
7.1.2 Métodos de Runge-Kutta ..................................................................................................... 72
PROGRAMAS ................................................................................................................................... 74
UNIDAD 1: ..................................................................................................................................... 74
BISECCIONES.............................................................................................................................. 74
SECANTE. ................................................................................................................................... 76
PUNTO FIJO. .............................................................................................................................. 77
FALSA POSICION. ....................................................................................................................... 78
NEWTON RAPSON. .................................................................................................................... 79
UNIDAD 2: ..................................................................................................................................... 81
ELIMINACION GAUSIANA. ......................................................................................................... 81
GAUSS SEIDEL. ........................................................................................................................... 83
GAUSS JORDAN. ........................................................................................................................ 85
UNIDAD 3: ..................................................................................................................................... 88
TRAPEZOIDAL. ........................................................................................................................... 88
SIMPSON 1/3. ............................................................................................................................ 90
SIMPSON 3/8. ............................................................................................................................ 92
EXPOCICIONES ............................................................................................................................... 94
METODOS DE INTERVALOS ........................................................................................................... 94
BIBLIOGAFIAS ................................................................................................................................ 94
1
2
3
4
5
6
7
Introducción al análisis numérico
Análisis del error
Solución de ecuaciones algebraicas.
Solución de sistemas de
ecuaciones lineales y no
lineales y valores
Característicos
Ajuste de funciones.
Diferenciación e
Integración Numérica.
Solución numérica de
ecuaciones iferenciales
ordinarias y parciales
1.1 Concepto y trascendencia histórica
del análisis numérico
1.2 Importancia del análisis numérico
en la Ingeniería
2.1 Aproximaciones.
2.1.1 Cifras significativas. 2.1.2 Exactitud y precisión.
2.2 Errores.
2.2.1 Errores de redondeo. 2.2.2 Errores de propagación.
2.2.3 Error numérico total.
3.1 Método de intervalos.
3.1.1 Métodos de posición falsa.
3.1.2 Método de la bisección. 3.1.3 Método de dos puntos y orden
de convergencia.
3.2 Métodos abiertos. 3.2.1 Método de punto fijo.
3.2.2 Método de Newton-Raphson.
3.2.3 Método de la secante. 3.3 Raíz de polinomios.
3.3.1 Método de Newton-Raphson
para raíces complejas. 4.1 Sistemas de ecuaciones lineales.
4.1.1 Método de Gauss. 4.1.2 Método de Gauss-Jordan.
4.1.3 Método de Gauss-Seidel.
4.2 Sistemas de ecuaciones no lineales. 4.2.1 Método de Newton-Raphson
para sistemas no lineales.
4.3 Valores característicos 4.3.1 Método iterativo para
determinar valores
característicos
5.1 Interpolación.
5.1.1 Diferencias divididas de Newton
para la interpolación de
polinomios.
5.1.2 Polinomio de Lagrange. 5.2 Aproximación.
5.2.1 Polinomial con números
cuadrados. 5.2.2 Multilineal con mínimos
cuadrados.
5.3 Ajuste por interpolación segmentaria
(Spline)
6.1 Integración.
6.1.1 Método del trapecio
6.1.2 Método de Simpson. 6.1.3 Método de Newton-Cotes.
6.2 Diferenciación.
6.2.1 Extrapolación de Richardson.
7.1 Solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias 7.1.1 Métodos de Euler
7.1.2 Métodos de Runge-Kutta
7.2 Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
7.3 Solución de ecuaciones
diferenciales parciales 7.3.1 Método de las diferencias finitas
7.3.2 Método del elemento finito.
UNIDAD I
1.1 Concepto y trascendencia histórica del análisis numérico
N modelo matemático puede definirse como una formulación o una ecuación que expresa las características, esenciales de un sistema físico o proceso en términos matemáticos.
Vd = f (vi, p , f ) (1)
Vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema.
Vi = variables independientes como tiempo o espacio a través de las cuales el comportamiento del sistema será determinado.
P = parámetros , son reflejos de las propiedades o la composición del sistema.
f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre el sistema.
De la segunda Ley de Newton:
F = ma ; reordenando
a = f/ m ( 2 )
Características de este modelo matemático.
1.- Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.
2.- Representa una simplificación de la realidad.
3.- Conduce a resultados predecibles.
Otros modelos matemáticos de fenómenos físicos pueden ser mucho más complejos.
De nuevo si usamos la segunda Ley de Newton para determinar la velocidad final o terminal de un cuerpo, tenemos un expresión de aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo:
f
dv dt / = m ( 3 )
Para un cuerpo que cae, la fuerza total es:
F = FD + Fu ( 4 )
FD = La atracción hacia abajo debido a la fuerza de la gravedad.
Fu = Fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire,
En donde:
FD = mg
Fu = -cu
c = coeficiente de resistencia o arrastre
Como la fuerza total, es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba, tenemos:
dv = mg - cu ( 7 )
dt m
dv = g - c/m (v) ( 8 )
dt
Esta ecuación es un modelo matemático que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las fuerzas que actúan sobre él.
Se trata de una ecuación diferencial o ecuaciones diferenciales.
Si las ecuaciones son más complejas, se requiere de técnicas avanzadas para obtener una solución analítica exacta o aproximada.
Si el objeto está en reposo, v = o y t = 0 , y usando las teorías de cálculo, obtenemos:
v(t) = gm/c ( 1 - e-(c/m)t ) ( 9 )
Que es la solución analítica o exacta,
v(t) = variable dependiente
t = es la variable independiente
c,m = parámetros
g = función de la fuerza
Ej. 1.1
Un paracaidista, con una masa de 68.1 kgs salta de un globo aerostático fijo. Con la ayuda de la ecuación ( 9 ), calcule la velocidad antes de abrir el paracaídas, coeficiente de resistencia = 12 kg/seg.
Datos:
m = 68.1
c = 12.5
g = 9.8 m/s
v(t) = gm/c ( 1 - e-(c/m)t )
t,s v, m/s
0 0
2 16.42
4 27.76
6 35.63
8 41.05
10 44.87
12 47.48
53.39
53.39 1 - e -(0.1835)t
Cuando los métodos numéricos - modelos matemáticos - no pueden resolverse con exactitud, se requiere de una solución numérica que se aproxima a la solución exacta.
Los métodos numéricos son aquellos en los que se formula el problema matemático para que se pueda resolver mediante operaciones aritméticas.
Para la segunda Ley de Newton, al aproximar a la razón del cambio de la velocidad con respecto al tiempo , tenemos:
dv = v = v ( ti + 1 ) - v ( ti ) ( 10 )
dt t ti + 1 - ti
Diferencias finitas divididas
v ( ti ) = es la velocidad en el tiempo inicial ti
v ( ti + 1 ) = es la velocidad después de un tiempo mas tarde:
ti + 1
Sustituyendo la ec. ( 10 ) en la ec. ( 8 ):
v ( ti + 1 ) - v ( ti ) = g - c/m v ( ti )
ti + 1 - ti
Reordenando:
V ( ti + 1 ) = v ( ti ) + g - c/m v( ti ) ( ti + 1 - ti ) ( 11 )
A cualquier tiempo
Nuevo valor = viejo valor + pendiente x tamaño del paso.
Ejemplo 1.2
Resolver el ejemplo anterior mediante una solución numérica para calcular la velocidad. Emplear un tamaño del paso de 2 segundos.
Datos:
m = 68.1 kg
c = 12.5 kg/s
g = 9.8 m/s
V ( ti + 1 ) = v ( ti ) + g - c/m v( ti ) ( ti + 1 - ti )
V1 = V0 + g - c/m V0 ( ti + 1 - ti ) ; t1 = 2 seg
V1 = 0 + 9.8 - 12.5/68.1 (0) (2-0) = 19.6 m/s
t2 = 4s, v2 = ?
V2 = 19.6 + 9.8 - 12.5/68.1 (19.6) (4-2) = 32 m/s
Sustituyendo:
V3 = V2 + g - c/m V2 (t3 - t2)
V3= 32 + 9 .8 - 12.5/68.1 (32) (2) = 39.85 m/s
Entonces V3= 39.85 m/s
Sustituyendo:
V4 = 39.85 + 9 .8 - 12.5/68.1 (39.85) (2) = 44.82 m/s
V5 = 44.82 + 9 .8 - 12.5/68.1 (44.82) (2) = 47.96 m/s
V6 = 47.96 + 9 .8 - 12.5/68.1 (47.96) (2) = 49.95 m/s
t,s SN SA
0 0 0
2 19.6 16.42
4 32 27.76
6 39.85 35.63
8 44.82 41.05
10 48.01 44.87
12 49.05 47.48
53.39 53.39
1.2 Importancia del análisis numérico en la Ingeniería
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
El análisis numérico trata de diseñar métodos para “ aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.
El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:
Cálculo de derivadas
Integrales
Ecuaciones diferenciales
Operaciones con matrices
Interpolaciones
Ajuste de curvas
Polinomios
Los métodos numéricos se aplican en áreas como:
Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc..
UNIDAD II. ANALISIS DEL ERROR
2. 1 APROXIMACIONES
Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que esté muy próximo al número dado. Aproximación por defecto, buscamos el número con un determinado número de cifras que es inmediatamente menor que el dado. Aproximación por exceso, es el número con las cifras decimales fijadas inmediatamente mayor. Por ejemplo, dado el número 1.3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales: a) por defecto es 1.34 b) por exceso es 1.35 Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior los errores que se cometen son: a) | 1.3456 - 1.34 | = 0.0056 b) | 1.3456 - 1.35 | = 0.0044 Redondear un número consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que se comente un error menor, en nuestro caso si redondeamos 1.3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1.35.
Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil recordarlo y operar con él. Por eso lo solemos sustituir por otro más manejable de valor similar, prescindiendo de sus últimas cifras, que sustituimos por ceros. Ese otro número más sencillo decimos que es una aproximación del número de partida.
Cuando aproximamos un número, nos quedamos con sus primeras cifras y completamos con ceros. Esas cifras, con las que nos quedamos, se llaman cifras significativas.
Llamamos orden de la aproximación, a la posición hasta la que nos quedamos con cifras significativas.
Se puede aproximar por defecto si el número utilizado es menor que el de partida, o por exceso si el número utilizado es mayor que el de partida.
2.1.1 Cifras significativas
.
2.1.2 Exactitud y precisión.
Exactitud y precisión
EXACTITUD La exactitud es lo cerca que el resultado de una medición está del valor verdadero.
PRECISIÓN
La precisión es lo cerca que los valores medidos están unos de otros.
Ejemplos de exactitud y precisión:
Exactitud baja
Precisión alta
Exactitud alta
Precisión baja
Exactitud alta
Precisión alta
2.2 Errores.
Definiciones de error •De truncamiento: resultan del empleo de aproximaciones. De redondeo: se producen cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para representar números exactos.
Errores •La relación entre el resultado exacto y verdadero está dado por: Valor verdadero = valor aproximado + error •E = valor verdadero – valor aproximado
2.2.1 Errores de redondeo.
Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un numero finito de
cifras significativas durante un calculo. Las computadoras realizan esta función de maneras
diferentes; esta técnica de retener solo los primeros siete términos se llamó “truncamiento”
en el ambiente de computación. De preferencia se llamara de corte, para distinguirlo de los
errores de truncamiento. Un corte ignora los términos restantes de la representación
decimal completa.
La mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de
redondeo parecerían no ser muy importantes.
Sin embargo, hay dos razones del por qué pueden resultar críticos en algunos métodos
numéricos:
1) Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una
respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre si, es decir, los cálculos
posteriores son dependientes de los anteriores. En Consecuencia, aunque un error de
redondeo individual puede ser muy Pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de
la gran cantidad
de cálculos puede ser significativo.
2) El efecto de redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones
algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que
este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de
mucha importancia.
2.2.2 Errores de propagación.
Medidas indirectas.- Magnitudes que se calculan a partir de los valores encontrados en las
medidas de otras magnitudes.
• Conocemos x ± δx , y ± δy ,...
• Calculamos z = f (x, y,...)
• ¿Cuál es el error de z?
Propagación de errores.- Conjunto de reglas que permiten asignar un error a z, conocidas
las incertidumbres de x e y, ...
• Permiten asignar un error al resultado final.
• Indica la importancia relativa de las diferentes medidas directas.
• Planificación del experimento.
Hipótesis de partida
• Medidas dependientes.- Hipótesis pesimista. Siempre en la situación más desfavorable.
Conjunto de reglas prácticas.
• Medidas independientes.- Errores cuadráticos medios.
Fórmula general de propagación de errores. Técnicas experimentales de Física General
3/14
Propagación de errores en sumas y diferencias
Datos iníciales: x ± δx y ± δy
Sea su suma q x = + y y su diferencia q x y = −
El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o mas magnitudes es la suma de los
errores absolutos de dichas magnitudes:
q x = ± ⇒ ≈ + y δ q x δ δ y
2.2.3 Error numérico total.
El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo.
Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración ( o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).
Entonces, ¿qué criterio utilizamos? ...lo ideal sería determinar el punto en que los errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento.
Pero como dije, es lo ideal; en la práctica debemos considerar que hoy por hoy los computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar olvidar su aporte al error total.
UNIDAD III .Solución de ecuaciones algebraicas.
3.1 Método de intervalos
Los métodos de los intervalos utilizan una propiedad muy importante, consistente en el hecho del cambio de signo de una función en inmediaciones de una raíz. Se llaman métodos de los intervalos porque se necesitan como mínimo dos valores que forman un intervalo que encierra la raíz.
En la gráfica 2.1 se observa como la función cambia de +f(x) a - f(x), cuando pasa por la raíz c .Esto ocurre porque f (c)= 0 y necesariamente la función pasa del cuadrante positivo al negativo de x. En algunos casos, que se verán más adelante esto no ocurre así, por ahora se asumirá como se ha mostrado. Los métodos abiertos utilizan estos cambios de signo para poder ubicar el la raíz (punto c), pero es necesario entonces establecer un intervalo (como el [a,b]).
De igual manera sucede cuando la función pasa por el punto e, el cambio ocurre de -f(x) a + f(x), para hallar la raíz el método necesita un intervalo como el [d,f].
Los métodos de Intervalos que se verán en la cátedra son:
a. Método Gráfico
b. Método de Bisección
c. Método de Interpolación Lineal
3.1.1 Métodos de falsa posición.
El método de la falsa posición pretende conjugar la seguridad del método de la
bisección con la rapidez del método de la secante. Este método, como en el
método de la bisección, parte de dos puntos que rodean a la raíz f(x) = 0, es
decir, dos puntos x0 y x1tales que f(x0) f(x1) < 0. La siguiente aproximación, x2, se
calcula como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos
(empleando la ecuación (35) del método de la secante). La asignación del nuevo
intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre
ambos intervalos, [x0,x2] y [x2,x1], se toma aquel que cumpla f(x)f(x2) < 0. En la
figura (9) se representa geométricamente este método.
Figure: Representación geométrica del método de la
falsa posición.
[scale=0.9]eps/falpos
La elección guiada del intervalo representa una ventaja respecto al método de la
secante ya que inhibe la posibilidad de una divergencia del método. Por otra parte
y respecto al método de la bisección, mejora notablemente la elección del
intervalo (ya que no se limita a partir el intervalo por la mitad).
Figure: Modificación del método de la falsa posición
propuesta por Hamming. La aproximación a la raíz se
toma a partir del punto de intersección con el
eje X de la recta que une los puntos ( x0,f(x0)/2) y
(x1,f(x1)) si la función es convexa en el intervalo
(figura a) o bien a partir de la recta que une los
puntos (x0,f(x0)) y (x1, f(x1)/2) si la función es cóncava
en el intervalo (figura b).
[scale=0.9]eps/hamming
Sin embargo, el método de la falsa posición tiene una convergencia muy lenta
hacia la solución. Efectivamente, una vez iniciado el proceso iterativo, uno de los
extremos del intervalo tiende a no modificarse (ver figura (9)). Para obviar este
problema, se ha propuesto una modificación del método, denominada método de
Hamming. Según este método, la aproximación a una raíz se encuentra a partir de
la determinación del punto de intersección con el eje X de la recta que une los
puntos ( x0,f(x0)/2) y (x1,f(x1)) si la función es convexa en el intervalo o bien a
partir de la recta que une los puntos (x0,f(x0)) y (x1, f(x1)/2) si la función es
cóncava en el intervalo. En la figura (10) se representa gráficamente el método de
Hamming.
Como hemos comentado, el método de Hamming requiere determinar la
concavidad o convexidad de la función en el intervalo de iteración. Un método
relativamente sencillo para determinar la curvatura de la función consiste en
evaluar la función en el punto medio del intervalo, f(xm) (en donde xm se calcula
como en el método de la bisección) y comparar este valor con la media de los
valores de la función en los extremos del intervalo,
.Tenemos entonces que:
3.1.2 Método de la bisección.
Introducción
Una vez sepamos que en un intervalo (a,b) existe una única raíz de la ecuación f(x)=0,
iremos sistemáticamente formando intervalos, cada uno contenido en el anterior y también
conteniendo a la raíz de la ecuación, de manera que la longitud de estos intervalos sea cada
vez más pequeña.
Para ello suponemos que f es una función continua en el intervalo [a,b] y que la
ecuación f(x)=0 tiene una sola raíz en [a,b], de manera que se verificará que f(a).f(b)<0.
Fórmula
xr =(xi + xs)/2
- Con las tres condiciones del algoritmo
Algoritmo
1.- Dada la función escójanse dos valores iniciales para xi y xs de tal manera que
sustituyéndolos en la f(x) se encuentre un cambio de signo para
determinar entre que intervalos se encuentra la raíz, si esto se cumple ahí
que multiplicar f(xi)*f(xs) y el resultado debe ser menor a cero.
2.- La primera aproximación se encuentra de la siguiente manera:
xr =(xi + xs)/2
3.- Ahora ahí que determinar en que sub-intervalo esta la raíz para eso se hace lo
siguiente
a) si f (xi)*f(xs)<0
Entonces la raíz esta en el primer sub-intervalo y xs = xr
b) si f(xi)*f(xs)>0
Entonces la raíz se encuentra en el segundo sub-intervalo y xi=xr
c) si f(xi)*f(xs)=0 ó f(xs)*f(xr)=0
Entonces xr es la raíz
4.- Después se calcula el error aproximado ( ea%=100(xr(valor actual)-xr(valor
anterior)))
xr(valor actual)
Se vuelve a calcular la siguiente aproximación
(Regresar al paso 2 y seguir hasta aquí nuevamente)
y se deja de realizar hasta que el ea% sea igual a 0.01, o se encuentre la raíz.
3.1.3 Método de dos puntos y orden de convergencia.
En análisis numérico la velocidad con la cual una sucesión converge a su límite es
llamada orden de convergencia. Este concepto es, desde el punto de vista práctico, muy
importante si necesitamos trabajar con secuencias de sucesivas aproximaciones de
un método iterativo. Incluso puede hacer la diferencia entre necesitar diez o un millón de
iteraciones.
Definición de orden de convergencia
Supongamos que la secuencia {xk} converge al número ξ.
Decimos que la sucesión converge con orden q a ξ, si
El número q es llamado orden de convergencia.
En particular, convergencia de orden 1 es llamada convergencia lineal, la de orden
2 convergencia cuadrática y la convergencia de orden 3 convergencia cúbica.
3.2 Métodos abiertos. En los métodos de bisección y falsa posición , la raíz se encuentra dentro de
un intervalo, fijado por un límite inferior y un límite superior. Repetir la
aplicación de estos métodos siempre resulta en estimaciones más cerca del valor
real de la raíz. Estos métodos se dice que son convergentes, ya que se acercan a
la verdad a medida que la computación avanza. Fig. 1.0Por el contrario, los
métodos abiertos descritos en este capítulo son basados en fórmulas que
requieren sólo un valor único de x o dos valores de partida queque no son
necesarios.
3.2.1 Método de punto fijo. Este método sirve para encontrar las raíces de una ecuación y consiste en los siguientes
pasos:
1. Nos deben dar la función a la cual le debemos encontrar la raíz, es decir, debemos
conocer f(x)=0.
2. Nos deben de dar un valor inicial xo. Ejemplo xo = 0.
3. De la función f(x) debemos de despejar x de manera que encontremos una nueva función
de x llamada ahora g(x).
4. Se deriva la función g(x). En el caso de que el valor absoluto de la derivada de g(x) sea
menor a uno, se asegura que el despeje realizado funcione.
5. Luego se evalúa g(x) utilizando primero xo. El resultado de esta evaluación se convierte
en el nuevo valor de x y así se continúa hasta encontrar la raíz deseada desde luego,
satisfaciendo un error deseado.
Algoritmo:
Para obtener una solución a p=g(p) dada una aproximación inicial Po.
ENTRADA: Aproximación inicial xo; Tolerancia TOL; Numero máximo de iteraciones No.
SALIDA: Solución aproximada p o mensaje de fracaso.
Paso 1. Tome i =1
Paso 2. Mientras i≤No haga Pasos 3-6
Paso 3. Tome p=g(xo). (Calcule pi)
Paso 4. Si p-poLentonces
Salida (p); (Procedimiento terminado satisfactoriamente).
Pare
Paso 5. Tome i=i+1
Paso 6. Tome po=p (redefina po)
Paso 7. ('El método fracasó después de No iteraciones No=', No);
(Procedimiento terminado sin éxito)
Pare.
3.2.2 Método de Newton-Raphson.
3.2.3 Método de la secante.
El método
El método se define por la relación de recurrencia:
Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iníciales de la raíz para poder
inducir una pendiente inicial.
Derivación del método
El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn−1, f(xn−1)) y
(xn, f(xn)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. En la imagen de
arriba a la derecha se toman los puntos iníciales x0 y x1, se construye una línea por los puntos
(x0, f(x0)) y (x1, f(x1)). En forma punto-pendiente, esta línea tiene la ecuación mostrada
anteriormente. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de
recurrencia, xn+1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula, y
un nuevo valor. Seguimos este proceso, hasta llegar a un nivel suficientemente alto de precisión
(una diferencia lo suficientemente pequeñas entre xn y xn-1).
Convergencia
El orden de convergencia de este método, en un punto cercano a la solución, es donde
Es el número áureo, por lo que se trata de una convergencia superlineal inferior a la del método de
Newton-Raphson. En caso de que la aproximación inicial sea demasiado lejana o la raíz no sea
simple, este método no asegura la convergencia y tiene un comportamiento similar al de Newton-
Raphson.
Comparación con otros métodos de búsqueda de raíces
El método de bisección necesita de muchas iteraciones comparado con el método de la secante,
ya que el proceso que éste sigue es mucho más preciso que el de bisección, el cual solo divide por
mitades sucesivamente hasta dar con un valor aproximado al real y por consecuente conlleva un
número significativamente mayor de iteraciones.
El método de la regla falsa utiliza la misma fórmula que el método de la secante. Sin embargo, no
se aplica la fórmula en xn−1 y xn, como el método de la secante, pero en xn y en la última
iteración xk tal quef(xk) y f(xn) tiene un signo diferente. Esto significa que el método de regla falsa
siempre converge.
La fórmula de recurrencia del método de la secante se puede derivar de la fórmula para el método
de Newton-Raphson:
Utilizando la aproximación de diferencias finitas:
Si comparamos el método de Newton-Raphson con el método de la secante, vemos que el método
de Newton-Raphson converge más rápido (para 2 en contra α ≈ 1,6). Sin embargo, el método de
Newton-Raphson requiere la evaluación de ambos f y su derivada en cada paso, mientras que el
método de la secante sólo requiere la evaluación de f. Por lo tanto, el método de la secante puede
muy bien ser más rápido en la práctica.
Ejercicio de ejemplo
Utilice el método de la secante para encontrar una raíz real de la ecuación
polinomial: F(x)=x3+2x
2+10x-20=0.
Utilizando la ecuación:
Obtenemos:
Y mediante x0=0 y x1=1 se calcula x2
Los valores posteriores son los siguientes:
Ahí tenemos el resultado, cuando ≤
Comprobando el resultado graficando la función utilizando software obtenemos:
Si bien no se converge a la raíz tan rápido como resolviéndolo utilizando el método Newton-
Raphson, la velocidad de convergencia no es tan lenta como resolviéndolo por el método de punto
fijo; entonces se tiene para este ejemplo una velocidad de convergencia intermedia.
3.3 Raíz de polinomios. La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polimonio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.
Propiedades de las raíces y factores de un polinomio
1Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término
independiente del polinomio.
2A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a).
3 Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como
producto de todos los binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las
raíces, x = a, que se obtengan.
x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)
4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado
del polinomio.
5Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz
x = 0, ó lo que es lo mismo, admite como factor x.
x2 + x = x · (x + 1)
Raises: x = 0 y x = − 1
6Un polinomio se l lama irreducible o primo cuando no puede
descomponerse en factores.
P(x) = x2 + x + 1
Hallar las raíces y descomponer en factores el polinomio:
Q(x) = x2 − x − 6
Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3.
Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0
Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0
Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0
Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0
Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0
Las raíces son: x = -2 y x = 3.
Q(x) = (x + 2) · (x − 3)
3.3.1 Método de Newton-Raphson para raíces complejas.
Introducción
El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las
raíces de la ecuación f(x)=0, ya que converge rápidamente, la contra es que uno
debe conocer la derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial a la raíz.
Permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Newton-Raphson
modificado aplicado a la función f tomando como aproximación inicial x0.
Observe que no requiere construir la función M definida en el método de
Newton-Raphson modificado.
Fórmula
Algoritmo
Para calcular el punto xi+1, calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
Hacemos y=0:
Y despejamos x:
Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximación:
,
si
UNIDAD4 ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES
4.1.1 Método de Gauss.
El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones
con 3 incógnitas en uno escalonado, en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas, la
2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de
la última ecuación y subiendo hacia arriba, calcular el valor de las 3 incógnitas.
Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las
ecuaciones entre sí (sumándolas, restándolas, multiplicándolas por un número ,
etc.)
Ejemplo:
La 1ª ecuación siempre se deja igual, (procurando que esta sea la más sencilla) y
a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x .
Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª
ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación
De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’
resulta
- y + 9·2 = 13 y = 5
y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :
2x + 3·5 – 7·2 = -1 x = -1
Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2)
Clasificación de los sistemas:
Los sistemas de ecuaciones pueden ser de 3 tipos:
1. Sistema compatible determinado (S.C.D.) : una única solución
2. Sistema compatible indeterminado (S.C.I.) : infinitas soluciones
3. Sistema incompatible (S.I.) : no tiene solución
En el ejemplo anterior hemos obtenido un S.C.D. pero ¿cuándo obtendremos los
otros dos tipos? .
Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = K , siendo K un número distinto
de 0 , tendremos un S.I. ya que obtenemos un absurdo .
Por ejemplo :
Dejamos fija la 1ª ecuación e intentamos anular la x de la 2ª y 3ª
Quitamos la y de la 3ª ecuación:
Como se observa hemos obtenido un absurdo, ya que 0 no es igual a 12 , por lo
que el sistema no tiene solución .
Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = 0, es decir se nos anule alguna
ecuación, y el sistema resultante tenga más incógnitas que
ecuaciones tendremos un S.C.I. en función de uno o dos parámetros
(depende de las ecuaciones que se anulen) .
Por ejemplo:
Dejamos como siempre la 1ª ecuación igual e intentamos quitar la incógnita x de
la 2ª y 3ª ecuación.
Si intentamos anular la y de la 3ª ecuación vemos que se nos anula la 3ª ecuación
Obtenemos por tanto un sistema con dos ecuaciones y 3 incógnitas (hay más
incógnitas que ecuaciones) por lo que tendrá infinitas soluciones. Una de ellas
sería por ejemplo dar a la z el valor z=0 y así obtendríamos que y = -13 , x = 19
4.1.2 Método de Gauss-Jordán. En la matemática, la eliminación Gaussiana o eliminación de Gauss-Jordan, llamada así
debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para
determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e
inversas. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma
escalonada"
El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las
operaciones (llamadas elementales) son estas:
• Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
• Intercambiar de posición dos ecuaciones
• Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también
en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalizacion por congruencia de
una matriz simétrica.
Desarrollo
El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:
Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):
Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:
Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.
Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:
d1 = x
d2 = y
d3 = z
Ahora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método.
Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:
Sea el sistema de ecuaciones:
Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:
Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:
Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.
Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el numero que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera fila.
Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13
Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos
de la 3º fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos posteriores.
4.1.3 Método de Gauss-Seidel.
La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular
inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal:
Si, como en el caso anterior, definimos la matriz R=A-Q
y la ecuación (63) se puede escribir en la forma:
Qx(k) = -Rx(k-1) + b
Un elemento cualquiera, i, del vector Qx(k) vendrá dado por la ecuación:
Si tenemos en cuenta la peculiar forma de las matrices Q y R, resulta que todos
los sumandos para los que j > i en la parte izquierda son nulos, mientras que en
la parte derecha son nulos todos los sumandos para los que . Podemos
escribir entonces:
=
=
de donde despejando xi(k), obtenemos:
Obsérvese que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados
de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método
de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a
cabo la sustitución. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben
llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores
actualizados de x1, x2, ..., xi-1.
En la figura (15) se incluye un algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel.
Figure: Algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel.
4.2 Sistemas de ecuaciones no lineales. En ocasiones surgen sistemas de ecuaciones no lineales que deben resolverse. Para ello
existen métodos iterativos, de los cuales se presenta uno muy útil.
Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus
ecuaciones no es de primer grado .
La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de
sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente
en la de primer grado .
y = 7 − x
2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.
x2 + (7 − x)2 = 25
3º Se resuelve la ecuación resultante.
x2 + 49 − 14x + x2 = 25
2x2 − 14x + 24 = 0
x2 − 7x + 12 = 0
4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación , se
obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.
x = 3 y = 7 − 3 y = 4
x = 4 y = 7 − 4 y = 3
4.2.1 Método de Newton-Raphson para sistemas no lineales.
El Método Newton–Raphson se utilizo empleando la derivada (al evaluar, es la pendiente de la recta tangente) de un función, para calcular su intersección con el eje de la variable independiente; esto es, la raíz. Dicho calculo se baso en la expansión de la serie de Taylor de primer orden
Donde es el valor inicial de la raíz y es el valor en el cual la recta tangente
intercepta al eje x . En esta intersección, es, por definición, igual a cero y la ecuación (6.17) se reordena para tener
Que es la forma del método de Newton-Raphson para una sola ecuación. La forma para múltiples ecuaciones se obtiene en forma idéntica. Sin embargo, se debe usar una serie de Taylor de múltiples variables para tomar en cuenta el hecho de que más de una variable independiente contribuye a la determinación de la raíz. En el caso de dos variables, una serie de Taylor de primer orden se escribe para cada ecuación no lineal como
y
De la misma manera como en la versión para una sola ecuación, la raíz aproximada
corresponde a los valores de x y y, donde son iguales a cero. En tal situación, se reordena la ecuación (6.19) Como:
Debido a que se conocen todos los valores con subíndice i (corresponde al ultimo valor
estimado), las únicas incógnitas son y Entonces, la ecuación (6.20) es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
En consecuencia, se pueden usar manipulaciones algebraicas (por ejemplo, la regla de Cramer) para resolverlo:
El denominador de cada una de estas ecuaciones se conoce formalmente como el determinante Jacobiano del sistema. La ecuación (6.21) es la versión para dos ecuaciones del Método de Newton-Raphson. Como en el siguiente ejemplo, se puede emplear en forma iterativa para determinar las raíces de dos ecuaciones simultaneas. Newton-Raphson para un sistema no lineal.
Ejemplo 1. Planteamiento del problema. Con el método de Newton-Raphson para múltiples ecuaciones determine las raíces de la ecuación (6.16). Observe que un par correcto de raíces es x=2 y y=3. Use como valores iníciales x=1.5 y y=3.5. Solución. Primero calcule las derivadas parciales y evalúelas con los valores iníciales de x y y:
Así, el determinante jacobiano para la primera iteración es
Los valores de las funciones se evalúan con los valores iníciales como
Estos valores se sustituyen en la ecuación (6.21)
Así, los resultados están convergiendo a los valores verdaderos x=2 y x=3. Los cálculos se repiten hasta que se obtenga una precisión aceptable.
4.3 Valores característicos Sean T: V V una transformación lineal. En muchas aplicaciones es útil encontrar un vector v y un escalar V tal que Tv yv son paralelos. Es decir, se busca un vector v y un escalar tal que
Tv = v (1)
Si v " 0 y satisface (1), entonces se llama un eigenvalor de T y v se llama un eigenvector de T correspondiente al eigenvalor . Si V tiene una dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz AT.
Definición. Eigenvalor y eigenvector. Sea A una matriz de n * n con componentes reales&. El número (real o complejo) se llama eigenvalor de A si existe un vector diferente de cero v en Cn tal que Av = v. (2)
El vector v " 0 se llama eigenvector de A correspondiente al eigenvalor .
Esta definición es válida si A tiene componentes complejas; pero como las matrices que se manejarán tienen, en su mayoría, componentes reales, la definición es suficiente para nuestros propósitos.
Nota. La palabra “eigen” es la palabra alemana para “propio”. Los eigenvalores también se llaman valores propios o valores característicos y los eigenvectores reciben el nombre de vectores propios o vectores característicos.
Ejemplo 1. Eigenvalores y eigenvectores de una matriz de 2 * 2.
Sea A = 10 -18
-11
Entonces
A 2 = 10 -18 2 = 2
1 6 -11 1 1
Así, 1 = 1 es un valor propio de A con el correspondiente vector propio v1 = 2
1
De manera similar, A 3 = 10 -18 3 = -6 = -2 3
2 6 -11 2 -4 2
de manera que 2 = -2 es un valor propio de A con el correspondiente vector propio v2 = 3
2
4.3.1 Método iterativo para determinar valores característicos
Se denominan métodos iterativos o métodos de aproximaciones sucesivas a los que
consisten en la obtención de una sucesión de valores {x
(k)
} Que converja a la
Solución de nuestro problema. En general, se da un procedimiento para hallar una
aproximación x
(k+1)a partir de la aproximación anterior x
(k), de manera que la sucesión de aproximaciones queda determinada al dar un primer
valor inicial x
(0)
En el caso de la solución de sistemas lineales Ax = b, que es el objeto de este tema, la regla
para hallar una aproximación a partir de la anterior es también lineal x
(K+1)= T x (k)+ c, y habrá que obtener condiciones para que la sucesión de
Aproximaciones sucesivas converja a la solución del sistema dado.
Veremos en primer lugar dos de los métodos iterativos más conocidos: el método de
Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Dejando el estudio de la convergencia de estos y otros
métodos para secciones posteriores.
1. Método de Jacobi ´En el m´etodo de Jacobi se despeja la primera variable de la primera
ecuación, la segunda variable de la segunda ecuación y así sucesivamente. Si tenemos la k-
´esima aproximación x (k) entonces substituimos en los términos de la derecha y
obtenemos el valor de x (k+1)
. Como valor inicial se suele tomar x(0)
= 0, aunque puede elegirse cualquier otro punto.
Ejemplo: Uno convergente 3x3. [[Burden pag.444]]
Ha de notarse que estamos usando la palabra ‘aproximaciones’ en un sentido muy amplio
(es una declaración de intenciones, más que una propiedad), ya que de momento nada
nos asegura que los sucesivos valores que vamos obteniendo vayanaproximándose a la
solución.
Ejemplo: Uno divergente 3x3
Ejemplo: Uno oscilante
En general tenemos el sistema Ax = b explícitamente
5.-Ajuste de funciones.
5.1 Interpolación. Dada una tabla de valores (xi, fi) se desea estimar f(x) para valores de x que no se
encuentran en la tabla.
Interpolación directa. En el caso más usual, se desea pasar un polinomio por los datos.
En el ejemplo mostrado en la figura 1, debemos pasar un polinomio de orden 4 por estos
puntos. Este polinomio es de la siguiente forma:
P4(x) = c1x4+ c2x
3+ c3x2+ c4x + c5.
El problema de interpolación es encontrar los valores de las constantes ci que hagan que
el polinomio pase por los datos, es decir, que P4 (xi) = fi. Sustituyendo los cinco valores
de xi se genera el siguiente sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas:
Resolviendo obtenemos los valores de los coeficientes ci:
Una vez que se tiene el vector c se puede escribir el polinomio de interpolación,
P4(x) = 0.0323x4− 0.4581x3+ 2.3330x2− 4.2102x + 2.3393,
y se puede interpolar para cualquier valor de x.
En general, dados unos datos de la forma
Figura 1: Dado un conjunto de datos (xi, fi), se desea encontrar para cualquiera x0 el valor
correspondiente f(xo)
El polinomio de orden n esta dado por Pn(x) = c1xn+ c2xn−1+ · + cnx + cn+1 donde los
coeficientes ci se obtienen de resolver el sistema de ecuaciones dado por
A la forma anterior de obtener directamente los coeficientes ci generando un sistema de n
ecuaciones con n incógnitas se le denomina interpolación directa. El método de
interpolación directa tiene el problema de que las ecuaciones que se generan están mal
condicionadas en el caso general a medida que se incrementa el orden del polinomio de
interpolación debido a que se tienen valores de xni. Debido a lo anterior, se han ideado
otros métodos de interpolación.
El polinomio de interpolación es ´único, es decir, existe solamente un polinomio de orden
n que pase por n + 1 datos. Los demás métodos de interpolación escriben este
polinomio de formas que resultan más sencillas de evaluar.
Ejemplo de interpolación mediante polinomio de lagrange.
Dados los datos mostrados en la figura 2 se desea interpolar para el valor x = 5.2,
Ejemplo de interpolación mediante polinomio de Newton.
Se desea interpolar los datos de la figura 2 mediante el polinomio de Newton para x = 5.2.
Primero, calculamos la tabla de diferencias divididas:
Ahora evaluamos el polinomio de Newton:
5.2 Aproximación POLINOMIAL Y MULTILINEAL.
Una sucesión(o progresión): es una lista de números en un orden específico.
Por ejemplo:
2, 4, 6, 8, 10
Forman una sucesión. Esta sucesión se denomina finita por que tiene un último número.
Si un conjunto de números que forman una sucesión no tiene último numero, se dice que
la sucesión es infinita. Por ejemplo:
En una sucesión infinita; los tres últimos puntos indican que no hay último número en la
sucesión. Como el cálculo trata con sucesiones infinitas, la palabra sucesión en
este texto significará sucesión infinita. Se iniciara el estudio de esta sección con
la definición de función sucesión.
La aproximación multilineal por mínimos cuadrados consiste en determinar constantes a,
b, c, d de modo que la función multineal w = a + b u + c v + d z ajuste los j datos de la
tabla ( u i, v i, zi, wi ) de modo de que minimice:
Nota: Una aplicación del método sería determinar la dureza W del acero la cual
depende en forma lineal del contenido u de cobre en % y de la temperatura de templado
v en °C : W = a + b u + c v , utilizando para ello una tabla de mediciones de varios tipos
de hojas de acero. Lastimosamente no tenemos mediciones.
5.3 Ajuste por interpolación segmentaria
(Spline) El método de interpolación Segmentaria es un método científico lógico que consiste en
suponer que el curso de los acontecimientos continuará en el futuro, convirtiéndose en las
reglas que utilizamos para llegar a una nueva conclusión. Es decir, sabemos a ciencia
cierta que existen unos axiomas y éstos son extrapolables a la nueva situación. Toma
como base la inducción y la analogía.
Utilizado para buscar la solución a un problema (lógica) o de enseñar la misma
(pedagogía), lo que lo convierte en una herramienta muy utilizadas en el marco
profesional y de enseñanza.
Tales polinomios conectores son llamados funciones segmentarias.
Por ejemplo, curvas de tercer orden que son empleadas para conectar cada par de datos
son llamadas segmentarias cubicas. Estas funciones se pueden construir de tal forma que
las conexiones entre las ecuaciones cubicas adyacentes resultan visualmente suaves.
Sobre la superficie podrıa parecer que la aproximación de tercer orden de las
segmentarias seria inferior a la expresión de séptimo orden.
La figura 1 ilustra una situación en donde una segmentaria se comporta mejor que una
polinomial de orden superior. Este es el caso donde una función es por lo general suave
pero conlleva un cambio abrupto en algún lugar a lo largo de la región de interés. El
tamaño de paso representado en la figura 1 es un ejemplo extremo de tal cambio y sirve
para ilustrar la idea.
La figura 1a) a 1c) ilustra como un polinomio de grado superior tiende a formar una curva
de oscilaciones bruscas en la vecindad de un cambio súbito. En contraste, la segmentaria
también une los puntos; pero como esta limitada a cambios de tercer grado, las
oscilaciones son mınimas. De esta manera, la segmentaria usualmente proporciona una
mejor aproximación al comportamiento de las funciones que tienen cambios locales
abruptos.
El concepto de segmentaria se origina de la técnica de dibujo con una cinta delgada y
flexible (llamada curvıgrafo, spline en ingl´es) para dibujar curvas suaves a través de un
conjunto de puntos.
El proceso de expone en la figura 2 para una serie de cinco alfileres (datos). En esta
técnica, el dibujante coloca un papel sobre una mesa de madera y coloca alfileres o
clavos en el papel (y la mesa) en la ubicación de los datos. Una curva cubica suave
resulta al entrelazar la cinta entre los alfileres. De aquı que se haya adoptado el nombre
de “segmentaria cubica” (en ingl´es “cubic spline ”) para los polinomios de este tipo.
Segmentarias lineales.
La conexión más simple entre dos puntos es por medio de una lınea recta. Las
segmentarias de primer orden para un grupo de datos ordenados pueden definirse como
conjuntos de funciones lineales:
Figure 1: Una representación visual de una situación en la que las segmentarias son
mejores que los polinomios de interpolación de grado superior. La función que se ajusta
presenta un incremento súbito en x = 0. Los incisos a) y c) indican que el cambio abrupto
induce oscilaciones en los polinomios de interpolación. En contraste, como se limitan a
curvas de tercer grado con transiciones suaves, la segmentaria cubica d) ofrece una
aproximación mucho más aceptable
Figure 2: Una técnica de dibujo que usa una cinta delgada y flexible para dibujar curvas
suaves a través de una serie de puntos. Observe como en los puntos extremos, la
segmentaria tiende a volverse recta. Esto se conoce como una segmentaria “natural”
Donde m la pendiente de la lınea recta que conecta los puntos
Estas ecuaciones se pueden usar para evaluar la función en cualquier punto entre xi y
xi+1 según sea el intervalo dentro del cual esta el punto. Después se usa la ecuación
adecuada para determinar el valor de la función dentro del intervalo. El método es
obviamente idéntico al de la interpolación lineal.
5.5 APLICACIONES A LA INGENIERIA. El ajuste de funciones tiene aplicación en la ingeniería electrónica mediante el Análisis de
señales y telecomunicaciones.
las funciones exponenciales sirven para determinar el decaimiento radioactivo,
crecimiento de la población, teoría de la probabilidad y entre otras lo que mas usas en
ingeniería son las integrales pero la función que te menciono sirve mas que todo para la
ingeniería civil y para administración de software en ingeniería de sistemas.
6.-Diferenciación e Integración Numérica.
6.1 Integración
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los
campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es
una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el
proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en
general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de
revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac
Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton
generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la
integración son procesos inversos.
.
6.1.1 Método del trapecio
En matemática la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método
para calcular aproximadamente el valor de la integral definida
La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa
a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la
gráfica de la función lineal. Se sigue que
y donde el término error corresponde a:
Siendo un número perteneciente al intervalo [a,b].
La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral
definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y
positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida representa el área de
la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el
intervalo [a,b] en ns ubintervalos, cada uno de ancho .
Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:
Donde y n es el número de divisiones.
La expresión anterior también se puede escribir como:
[editar]Ejemplo
Primero se obtiene h, de los limites de la integral que representan a y b y para n=6
queda: .
Y ahora se sustituye en la formula
=
y queda:
=
En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto)
porque la función sujeta a integración es lineal.
6.1.2 Método de Simpson.
Cálculo de áreas:
Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma al graficar una función. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que aparece en la siguiente figura:
en donde la función f(x) y los valores a y b son conocidos.
En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones:
Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el área solicitada.
Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área.
Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (o difícil) obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar tiempo.
El método de Simpson.
En este procedimiento, se toma el intervalo de anchura 2h, comprendido entre xi y xi+2, y se sustituye la función f(x) por la parábola que pasa por tres puntos (xi, yi), (xi+1, yi+1), y (xi+2, yi+2). El valor del área aproximada, sombreada en la figura, se calcula con un poco más de trabajo y el resultado es
La simple inspección visual de esta figura y la que describe el procedimiento de los trapecios nos confirma que el
método de Simpson deberá ser mucho más exacto que el procedimiento del trapecio. El área aproximada en el intervalo [a, b] es
bien, agrupando términos
El primer paréntesis, contiene la suma de los extremos, el segundo, la suma de los términos de índice impar, y el tercero la suma de los términos de índice par. En el método de Simpson, el número de divisiones n debe de ser par. En el caso de que el usuario introduzca un número impar el programa lo convierte en el número par siguiente.
Ejemplo: Usando la regla de Simpson con n=2 y n=4 aproximamos:
cuyo valor exacto es correcto al número de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x0=1, x1=1.5, x2=2. Ahora
Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, x2=2, de modo que
Obtuvimos los siguientes resultados:
n Sn(f) en=I(f)- Sn(f) en/ e2n
2 0.694444 -0.00129726 -----
4 0.693254 -0.000106788 12.1481
8 0.693155 -7.35009e-006 14.5288
16 0.693148 -7.35009e-006 14.5288
32 0.693147 -2.97299e-008 15.885
64 0.693147 -1.86151e-009 15.9708
128 0.693147 -1.16398e-010 15.9927
256 0.693147 -7.27562e-012 15.9983
512 0.693147 -4.54747e-013 15.9993
1024 0.693147 -2.84217e-014 16.0000
Estos resultados confirman claramente la convergencia de la regla de Simpson en este ejemplo particular. Podemos ver que cada ves que se duplica la n, lo cual equivale a dividir la h entre dos, el error disminuye por un factor de 16 aproximadamente (última columna de la tabla) esto es característico de convergencia O(h4) lo cual confirmaremos teóricamente más adelante.
6.2 Diferenciación.
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por
lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce
unicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función
representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos
técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de
error de dichas formulas.
Formulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una
función f(x) en el punto "x" esta dada en terminos del limite:
De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:
(Note el simbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera
formula numérica para aproximar la derivada:
Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula, tratemos de
constestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el
Teorema de Taylor sabemos que:
donde esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta formula por f'(x) y
usamos la definición de tenemos que:
Esta formula nos dice que aproxima a f'(x) con un error proporcional a
"h", i.e., O(h).
Ejemplo 1: Tomamos y queremos aproximar cuyo valor exacto
es nueve. En la siguiente figura ilustramos los errores como
función de "h" en escala logarítmica.
Podemos ver que los errores disminuyen hasta un cierto valor crítico "hmin" luego
del cual los errores aumentan según la "h" disminuye. ¿Contradice esto el
resultado de arriba de O(h) del error? ¡NO! El resultado de arriba es sobre la
convergencia si la aritmética es exacta y se dice que es un resultado asintótico.
La figura ilustra los efectos de redondeo debido a la aritmética finita los cuales se
hacen significativos para "h" pequeño y pueden afectar cualquier formula
numérica para aproximar la derivada. Sin embargo, una formula con un grado de
aproximabilidad digamos O(h2) es preferible a una O(h) ya que los errores
(teóricos) tienden a cero más rápido y así la "h" no se tiene que hacerse tan
pequeña reduciendo así los efectos de los errores por la aritmética finita. <>
El método de arriba usando la expansión de Taylor se puede utilizar para obtener
formulas para aproximar la derivada con un grado de aproximabilidad más alto
que uno. Ilustramos esto para la obtención de una formula O(h2). Si en lugar de
llegar hasta términos de orden dos, expandimos hasta términos de orden tres en la
expansión de Taylor, obtenemos las formulas:
Si restamos estas dos ecuaciones, despejamos para f'(x), y usamos el teorema del
valor medio aplicado a f'''(x) obtenemos la formula:
donde
y esta entre [x-h,x+h]. Tenemos pues que la formula tiene un error
proporcional a O(h2).
Ejemplo 2: Comparamos las dos formulas obtenidas hasta ahora para aproximar
f'(x) con el ejemplo de para . Los resultados los presentamos en
forma tabulada para distintos valores de h:
h
0.1 13.5795 4.57948 9.85264 0.852636
0.05 11.0266 2.02656 9.21079 0.210788
0.025 9.95452 0.954519 9.05255 0.0525492
0.0125 9.46337 0.463374 9.01313 0.0131281
Este ejemplo ilustra lo superior de la formula . Note que cada ves que h
se divide entre dos, el error en la formula se divide por dos
(aproximadamente) mientras que en la formula se divide
(aproximadamente) por cuatro (¿por qué?). <>
En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando
expansiones de Taylor que envuelvan x2h, x3h, etc. Por ejemplo la expansión
nos da una formula de orden cuatro para f'(x). Es importante observar que
mientras más alto el grado de aproximabilidad de la formula, más suave tiene que
ser la función para que dicha aproximación sea valida. Por ejemplo esta formula
de orden cuatro requiere que la función tenga cinco derivadas continuas en el
intervalo en cuestión mientras que la formula de orden dos requiere unicamente
tres derivadas continuas.
Formulas para la segunda derivada: El proceso de arriba se puede usar para
obtener formulas para las derivadas de orden mayor de uno de una función f(x).
Usamos este proceso para obtener una formula para la segunda derivada. Usando
el Teorema de Taylor, podemos escribir las expansiones:
Sumando estas dos expansiones y despejando para f''(x) obtenemos:
donde
y esta entre [x-h,x+h]. Tenemos aqui una fomula de orden dos para f"(x).
Ejemplo 3: Examinamos la formla de arriba en el caso y para
aproximar f ''(1)=72. Tenemos los resultados:
h
0.1 74.5368 2.53682
0.05 72.6311 0.63105
0.025 72.1576 0.157566
0.0125 72.0394 0.0393791
Nuevamente se puede ver el factor de cuatro en el error, caracteristico de la
convergencia de orden dos. <>
En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando
expansiones de Taylor que envuelvan x2h, x3h, etc. Por ejemplo la expansión
nos da una formula de orden cuatro para f"(x).
Diferenciación usando polinomios de interpolación: Suponga
que son puntos distintos y sea pn(x) el polinomio que interpola a
f(x) en estos puntos. Entonces aproximamos f '(x) por:
Suponga que . Se puede demostrar que
Aunque no discutiremos en más detalles este método para aproximar derivadas,
si mencionamos que las dos formulas que discutimos para aproximar f '(x) se
pueden obtener usando polinomios de interpolación de grados uno y dos
respectivamente.
Ejercicios:
1. Utilice las formulas para aproximar la primera y segunda derivada
discutidas en esta lección para aproximar las correspondientes derivadas
de la función en x=1 y para h=0.1, 0.01.
2. Usando el Teorema de Taylor verifique la formula
3. Para la formula repita un proceso similar al del Ejemplo 1 donde
"h" se disminuye hasta que el error en la formula empieza a aumentar.
6.2.1 Extrapolación de Richardson El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-1953),
permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia más rápidamente
convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos
numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión en el cálculo
numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso
es especialmente utilizado para definir un método de integración: el método de Romberg.
Para una función variable en x, la primera derivada está definida por:
Una simple aproximación se tiene por la diferencia hacia adelante, de forma que:
Esta aproximación está lejos del valor real, por tanto en orden de hacer un análisis del error,
expandimos en forma de serie de Taylor:
Substrayendo f(x) de ambos lados y dividiendo por h, se tiene que:
Análogamente se derivan las demás fórmulas de aproximación, deduciendo por ejemplo, con
diferencia hacia atrás o cambiando los valores de h; de esta forma se obtiene una expresión
generalizada llamada extrapolación de Richardson:
Sea A, la respuesta exacta a la integral, y A(h) la estimación de A con orden . De tal forma
que:
Donde:
es un estimador del error, usando la notación de Landau.
son constantes desconocidas. Tal
que
Ahora bien: Usando tamaños de espaciamiento h y h/t, podemos aproximar a A
como:
Multiplicando la última ecuación por
Sustrayendo (2) y (1), como se vio al inicio:
Despejando A:
De este modo, se ha obtenido una mejor aproximación de A
al sustraer el término más grande en el error, . De
igual manera se pueden remover más términos de error de
modo que se obtengan mejores aproximaciones de A. Una
relación de recurrencia general puede ser implementada en
las aproximaciones al hacer:
siendo el
orden del error
con:
7.-Solución numérica de ecuaciones Diferenciales ordinarias y
parciales.
7.1 Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una
relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de
sus derivadas con respecto a esa variable.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las
cuales involucran derivadas parciales de varias variables.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como
la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.
Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi
completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las
ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se
les puede encontrar una solución exacta.
Si y es una función desconocida:
de x siendo la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma
(1)
es llamada una ecuación diferencial ordinara (EDO) de orden n. Para funciones vectoriales,
,
la ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones lineales
diferenciales de dimensión m.
Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma
es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma
es llamada una ecuación diferencial explícita.
Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma.
Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como
una combinación lineal de las derivadas de y
siendo, tanto ai(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) es llamada
el término fuente (traducido del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación
diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no
homogénea.
Soluciones
Dada una ecuación diferencial
una función u: I ⊂ R → R es llamada la solution o curva integral de F, si u es n veces derivable en I,
y
Dadas dos soluciones u: J ⊂ R → R y v: I ⊂ R → R, u es llamada una extensión de v si I ⊂ J, y
Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general.
Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n variables
arbitrarias, correspondientes a n constantes de integración. Una solución particular es derivada de
la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo
elegidas para cumplir condiciones iníciales. Una solución singular es una solución que no puede
ser derivada de la solución general.
7.1.1 Métodos de Euler
l Procedimiento Para Resolver Un Sistema De Ecuaciones Consiste En Únicamente
Aplicar La técnica Simple Por Ecuación De Cada Paso,
Antes De Proceder Con El Siguiente Ejemplo Resolver El Siguiente Sistema De Ecuaciones
Diferenciales Utilizando El Método De Euler, Suponiendo Que En X=0, Y1=4, Y2=6. Integrar Hasta
X=2 Con Un Tamaño De Paso De 0.5
Aplicando el Método De Euler
Integrando dy1/dx: y1= −0.5y1*x+c
y1=−0.5*y1*x+C.I. y1= −0.5*y1*x+4
Integrando dy2/dx: y2=4x-0.3y2x-0.1y1x+c
y2=4x-0.3y2x-0.1y1x+6
y1= 3
y1(0.5)=4+(0.5*4)*0.5 y2= 6.9
y2(0.5)=6+(4-(0.3*6)-(0.1*4))*0.5
Formula De Euler
x y1 y2
0 4 6 Paso=0.5
0.5 3 6.9
1 2.25 7.715
1.5 1.6875 8.44525
2 1.265625 9.0940875
7.1.2 Métodos de Runge-Kutta
Los Métodos De Runge Kutta Logran La Exactitud De Las Series De Taylor
Sin Necesitar El Calculo De Derivadas De Orden Superior.
Es Posible Tener Varios Métodos De Ringe Kutta Empleando
Deferente Número
De Términos En La Función Incremento Especificada Por n
El Metodo De Runge Kutta De Primer Orden Es De Hecho El Metodo
De Euler.
Existen Muchas Variantes, Pero Todas Tienen La Forma
Generalizada De La
Ecuacion:
Donde Se Reconoce Como Funcion Incremento, La Cual Puede
Interpretarse Como
Una Pendiente Representativa En El Intervalo. La Funcion
Incremento Se Escribe En Forma General Como:
Donde Las a son Constantes Y Las k Se Definen Por:
Donde Las p y Las q Son Constantes. Observe Que Las k Son relaciones
De recurrencia. Es Decir, k1 Aparece
En La Ecuacion k2, La Cual Aparece En La Ecuacion k3.
Las Variantes Mas Comunes Al Metodo De RUNGE KUTTA Son HEUN,
PUNTO MEDIO Y
Ralston
Ejercicio
Utilizar Los Metodos Del Punto Medio, y De Ralston Para
Integrar Numericamente
La Ecuacion
Desde x=0 Hasta x=4, Usando Un Tamaño De Paso De 0.5. La
ecuacion Inicial Es De x=0 y=1
Comprobar Los Valores Obtenidos Usando HEUN De 2do Orden Sin
Iteracion Del Corrector
El Primer Paso En El Metodo De Punto Medio Consiste En Usar La
Ecuacion
k1=−2(0)^3+12(0)^2–20(0)+8.5 k1=8.5
En Seguida Calculamos k2
xi+1/2h=0+(1/2)(0.5) yi+(1/2)(8.5)(0.5)
0.25 3.125
k2=−2*(0.25)^3+12*(0.25)^2–20(0.25)+8.5
k2=4.21875
La Pendiente En El Punto Medio Entonces se Sustituye En La
Ecuacion Siguiente
yi+1=1+4.21875*0.5 yi+1= 3.1094
x y Real y Punto Medio k1 k2
0 1 1 8.5 4.21875
0.5 3.21875 3.1094 1.25 −0.59375
1 3 2.8125 −1.5 −1.65625
1.5 2.21875 1.984375 −1.25 −0.46875
2 2 1.75 0.5 1.46875
2.5 2.71875 2.484375 2.25 2.65625
3 4 3.8125 2.5 1.59375
3.5 4.71875 4.609375 −0.25 −3.21875
4 3 3 −7.5 −13.28125
PROGRAMAS
UNIDAD 1:
BISECCIONES. using System; using System.Collections.Generic; using System.ComponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; namespace Metodo_Bisecciones { public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { //Metodo Bisecciones//
//fx= 3x^3-7x-2// double x1, x2, xm, FXm; int cont,c; x1=double.Parse(textBox1.Text); x2=double.Parse(textBox2 .Text ); c = int.Parse(textBox3.Text); cont=1; listBox1.Items.Clear(); do { xm = (x1 + x2) / 2; FXm = (3 * Math.Pow(xm, 3) - (7 * xm) - 2); if (FXm < 0) { x1 = xm; } if (FXm > 0) { x2 = xm; } if (FXm == 0) { MessageBox.Show("La Raiz de la Funcion es: " + xm); listBox1.Items.Add("La Raiz de la Funcion es: " + xm); cont = 15; } listBox1.Items.Add("La Funcion es: " + FXm + " La Raiz es: " + xm); cont++; } while (cont<=c); } private void button2_Click(object sender, EventArgs e) { Close(); }
SECANTE. using System; using System.Collections.Generic; using System.ComponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; namespace Metodo_de_la_Secante { public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { //Metodo de la Secante// // fx= xe^x-1// double fb, fa, a, b, c,fx,x; a = double.Parse(textBox1.Text); b = double.Parse(textBox2.Text); c = double.Parse(textBox3.Text); for (int i = 1; i <= c; i++) { fa = ((a * (Math.Pow(Math.E, a))) - 1); fb = ((b * (Math.Pow(Math.E, b))) - 1); x = (((a * fb) - (b * fa)) / (fb - fa)); fx = ((x * (Math.Pow(Math.E, x))) - 1); if (fx <= 0) { a = x; } if (fx > 0 ) { b = x; } listBox1.Items.Add("La Funcion es: " + fx + " La Raiz es: " + x); } } private void button2_Click(object sender, EventArgs e) { Close(); }
PUNTO FIJO. using System; using System.Collections.Generic; using System.ComponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; namespace Metodo_de_Punto_Fijo { public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { double fx, a,b; a = double.Parse(textBox1.Text); b = int .Parse(textBox2 .Text ); listBox1.Items.Clear(); for (int i = 1; i <= b; i++) { //Metodo del Punto Fijo// //Funcion X^2-2x-3// // despejada es igual a x= raiz(2x+3)//
fx = Math.Sqrt((2 * a) + 3); a = fx; listBox1.Items.Add("La Raiz es: " + fx); } } private void button2_Click(object sender, EventArgs e) { Close(); } }
FALSA POSICION. using System; using System.Collections.Generic; using System.ComponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; namespace Metodo_Falsa_Posicion { public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) {
//Matodo Falsa Posicion// // f(x) = xe^(x) - 1// double a, b, d, i; double Fa, Fb,Fx,c; a = int.Parse(textBox1.Text); b = int.Parse(textBox2.Text); d= int.Parse(textBox3 .Text); i = 1; do { Fa = ((a * ((Math.Pow(Math.E, a)))) - 1); Fb = ((b * ((Math.Pow(Math.E, b)))) - 1); c = (((a * Fb) - (b * Fa)) / (Fb - Fa)); Fx = ((c * (Math.Pow(Math.E, c))) - 1); if (Fx <= a) { a = c; } if (Fx <= b && Fx > a) { b = c; } listBox1.Items.Add("La Funcion es: " + Fx + " La Raiz es: " + c); i++; } while (i <= d); } private void button2_Click(object sender, EventArgs e) { Close(); } }
NEWTON RAPSON. using System; using System.Collections.Generic;
using System.ComponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; namespace Metodo_Newton_Rapson { public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { //Metodo Newton Rapson// //fx= x-4senx// //gra = ((180 * x0) / (Math.PI));// //ra = (((x0)*(Math.PI))/180);// double x,x0,FX,FX1; listBox1.Items.Clear(); x0 = 1; for (int i = 1, ite = int.Parse(textBox1.Text); i <= ite; i++) { FX = x0 - (4 * (Math.Sin(x0))); FX1 = 1 - (4 * (Math.Cos(x0))); x = (x0 - (FX/FX1)); listBox1.Items.Add("La Funcion es: " + FX + " La Raiz es : " + x); x0 = x; } } private void button2_Click(object sender, EventArgs e) { Close(); }
UNIDAD 2:
ELIMINACION GAUSIANA. using System; using System.Collections.Generic; using System.ComponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; namespace Metodo_Eliminacion_Gausiana { public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { listBox1.Items.Clear(); double w1, w2, w3, w4, x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4,r1,r2,r3,r4; w1 = double.Parse(ww1.Text); w2 = double.Parse(ww2.Text); w3 = double.Parse(ww3.Text); w4 = double.Parse(ww4.Text);
x1 = double.Parse(xx1.Text); x2 = double.Parse(xx2.Text); x3 = double.Parse(xx3.Text); x4 = double.Parse(xx4.Text); y1 = double.Parse(yy1.Text); y2 = double.Parse(yy2.Text); y3 = double.Parse(yy3.Text); y4 = double.Parse(yy4.Text); z1 = double.Parse(zz1.Text); z2 = double.Parse(zz2.Text); z3 = double.Parse(zz3.Text); z4 = double.Parse(zz4.Text); r1 = double.Parse(rr1.Text); r2 = double.Parse(rr2.Text); r3 = double.Parse(rr3.Text); r4 = double.Parse(rr4.Text); // Columna 1 Convertida// double w11 = (w1 / w1); double x11 = (x1 / w1); double y11 = (y1 / w1); double z11 = (z1 / w1); double r11 = (r1 / w1); double w22 = ((w11 * (-1*w2)) + w2); double x22 = ((x11 * (-1*w2)) + x2); double y22 = ((y11 * (-1*w2)) + y2); double z22 = ((z11 * (-1*w2)) + z2); double r22 = ((r11 * (-1*w2)) + r2); double w33 = ((w11 * (-1*w3)) + w3); double x33 = ((x11 * (-1*w3)) + x3); double y33 = ((y11 * (-1*w3)) + y3); double z33 = ((z11 * (-1*w3)) + z3); double r33 = ((r11 * (-1*w3)) + r3); double w44 = ((w11 * (-1*w4)) + w4); double x44 = ((x11 * (-1*w4)) + x4); double y44 = ((y11 * (-1*w4)) + y4); double z44 = ((z11 * (-1*w4)) + z4); double r44 = ((r11 * (-1*w4)) + r4); //Columna 2 Convertida// double x222 = (x22 / x22); double y222 = (y22 / x22); double z222 = (z22 / x22); double r222 = (r22 / x22); double x333 = ((x222 * (-1*x33)) + x33); double y333 = ((y222 * (-1*x33)) + y33); double z333 = ((z222 * (-1*x33)) + z33); double r333 = ((r222 * (-1*x33)) + r33); double x444 = ((x222 * (-1*x44)) + x44); double y444 = ((y222 * (-1*x44)) + y44); double z444 = ((z222 * (-1*x44)) + z44); double r444 = ((r222 * (-1*x44)) + r44);
//Columna 3 Convertida// double y3333 = (y333 / y333); double z3333 = (z333 / y333); double r3333 = (r333 / y333); double y4444 = ((y3333 * (-1*y444)) + y444); double z4444 = ((z3333 * (-1*y444)) + z444); double r4444 = ((r3333 * (-1*y444)) + r444); //Columna 4 Convertida// double z44444 = (z4444 / z4444); double r44444 = (r4444/ z4444); // resultado// listBox1.Items.Add("w + " + x11 +"x + "+y11 +"y + "+z11 +"z = " +r11); listBox1.Items.Add("x + " + y222 +"y + "+ z222 +"z = " +r222); listBox1.Items.Add("y + " + z3333 +"z = " + r3333 ); listBox1.Items.Add("z = " + r44444); } private void button2_Click(object sender, EventArgs e) { Close(); } } }
GAUSS SEIDEL. using System; using System.Collections.Generic;
using System.ComponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; namespace Metodo_Gauss_Seidel { public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { listBox1.Items.Clear(); double w1, w2, w3, w4, x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4, r1, r2, r3, r4,v1,v2,v3,v4,cont; cont =0; w1 = double.Parse(ww1.Text); w2 = double.Parse(ww2.Text); w3 = double.Parse(ww3.Text); w4 = double.Parse(ww4.Text); x1 = double.Parse(xx1.Text); x2 = double.Parse(xx2.Text); x3 = double.Parse(xx3.Text); x4 = double.Parse(xx4.Text); y1 = double.Parse(yy1.Text); y2 = double.Parse(yy2.Text); y3 = double.Parse(yy3.Text); y4 = double.Parse(yy4.Text); z1 = double.Parse(zz1.Text); z2 = double.Parse(zz2.Text); z3 = double.Parse(zz3.Text); z4 = double.Parse(zz4.Text); r1 = double.Parse(rr1.Text); r2 = double.Parse(rr2.Text); r3 = double.Parse(rr3.Text); r4 = double.Parse(rr4.Text); v1 = double.Parse(vv1.Text); v2 = double.Parse(vv2.Text); v3 = double.Parse(vv3.Text); v4 = double.Parse(vv4.Text); do { double Res; Res = ((r1 - ((x1 * v2) + (y1 * v3) + (z1 * v4))) / w1); v1 = Res; Res = 0; Res = ((r2 - ((w2 * v1) + (y2 * v3) + (z2 * v4))) / x2); v2 = Res; Res = 0; Res = ((r3 - ((w3 * v1) + (x3 * v2) + (z3 * v4))) / y3);
v3 = Res; Res = 0; Res = ((r4 - ((w4 * v1) + (x4 * v2) + (y4 * v3))) / z4); v4 = Res; Res = 0; listBox1.Items.Add("w= " + v1 + " x= " + v2 + " y= " + v3 + " z= " + v4); cont++; } while (cont<=20); } } }
GAUSS JORDAN. using System; using System.Collections.Generic; using System.ComponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; namespace Metodo_Gauss_Jordan { public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent();
} private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { listBox1.Items.Clear(); double w1, w2, w3, w4, x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4,r1,r2,r3,r4; w1 = double.Parse(ww1.Text); w2 = double.Parse(ww2.Text); w3 = double.Parse(ww3.Text); w4 = double.Parse(ww4.Text); x1 = double.Parse(xx1.Text); x2 = double.Parse(xx2.Text); x3 = double.Parse(xx3.Text); x4 = double.Parse(xx4.Text); y1 = double.Parse(yy1.Text); y2 = double.Parse(yy2.Text); y3 = double.Parse(yy3.Text); y4 = double.Parse(yy4.Text); z1 = double.Parse(zz1.Text); z2 = double.Parse(zz2.Text); z3 = double.Parse(zz3.Text); z4 = double.Parse(zz4.Text); r1 = double.Parse(rr1.Text); r2 = double.Parse(rr2.Text); r3 = double.Parse(rr3.Text); r4 = double.Parse(rr4.Text); // Columna 1 Convertida// double w11 = (w1 / w1); double x11 = (x1 / w1); double y11 = (y1 / w1); double z11 = (z1 / w1); double r11 = (r1 / w1); double w22 = ((w11 * (-1*w2)) + w2); double x22 = ((x11 * (-1*w2)) + x2); double y22 = ((y11 * (-1*w2)) + y2); double z22 = ((z11 * (-1*w2)) + z2); double r22 = ((r11 * (-1*w2)) + r2); double w33 = ((w11 * (-1*w3)) + w3); double x33 = ((x11 * (-1*w3)) + x3); double y33 = ((y11 * (-1*w3)) + y3); double z33 = ((z11 * (-1*w3)) + z3); double r33 = ((r11 * (-1*w3)) + r3); double w44 = ((w11 * (-1*w4)) + w4); double x44 = ((x11 * (-1*w4)) + x4); double y44 = ((y11 * (-1*w4)) + y4); double z44 = ((z11 * (-1*w4)) + z4); double r44 = ((r11 * (-1*w4)) + r4); //Columna 2 Convertida// double x222 = (x22 / x22); double y222 = (y22 / x22); double z222 = (z22 / x22); double r222 = (r22 / x22);
double x111 = ((x222 * (-1*x11)) + x11); double y111 = ((y222 * (-1*x11)) + y11); double z111 = ((z222 * (-1*x11)) + z11); double r111 = ((r222 * (-1*x11)) + r11); double x333 = ((x222 * (-1*x33)) + x33); double y333 = ((y222 * (-1*x33)) + y33); double z333 = ((z222 * (-1*x33)) + z33); double r333 = ((r222 * (-1*x33)) + r33); double x444 = ((x222 * (-1*x44)) + x44); double y444 = ((y222 * (-1*x44)) + y44); double z444 = ((z222 * (-1*x44)) + z44); double r444 = ((r222 * (-1*x44)) + r44); //Columna 3 Convertida// double y3333 = (y333 / y333); double z3333 = (z333 / y333); double r3333 = (r333 / y333); double y1111 = ((y3333 * (-1*y111)) + y111); double z1111 = ((z3333 * (-1*y111)) + z111); double r1111= ((r3333 * (-1*y111)) + r111); double y2222 = ((y3333 * (-1*y222)) + y222); double z2222 = ((z3333 * (-1*y222)) + z222); double r2222 = ((r3333 * (-1*y222)) + r222); double y4444 = ((y3333 * (-1*y444)) + y444); double z4444 = ((z3333 * (-1*y444)) + z444); double r4444 = ((r3333 * (-1*y444)) + r444); //Columna 4 Convertida// double z44444 = (z4444 / z4444); double r44444 = (r4444/ z4444); double z11111 = ((z44444 * (-1*z1111)) + z1111); double r11111 = ((r44444 * (-1*z1111)) + r1111); double z22222 = ((z44444 * (-1*z2222)) + z2222); double r22222 = ((r44444 * (-1 *z2222)) + r2222); double z33333 = ((z44444 * (-1*z3333)) + z3333); double r33333 = ((r44444 * (-1*z3333)) + r3333); // resultado// listBox1.Items.Add("w = " + r11111); listBox1.Items.Add("x = " + r22222); listBox1.Items.Add("y = " + r33333); listBox1.Items.Add("z = " + r44444); } private void button2_Click(object sender, EventArgs e) { Close();
} private void Form1_Load(object sender, EventArgs e) { }
UNIDAD 3:
TRAPEZIO. using System; using System.Collections.Generic; using System.ComponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; namespace Metodo_Trapezoidal { public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { double x, Ls, Li,I,i,h,n,A1,A2,a2,A3,SA,AT,j,t; //I = ((Math.Pow(x, 3)) / (1 + (Math.Pow(x, .5))));// Ls= int.Parse(textBox1.Text); Li=int.Parse (textBox2 .Text);
n=int.Parse(textBox3 .Text ); h = ((Ls - Li) / n); x = Li; A1 = ((Math.Pow(x, 3)) / (1 + (Math.Pow(x, .5)))); j = 1; a2 = 0; t = n - 1; x = Li + h; do { I = ((Math.Pow(x, 3)) / (1 + (Math.Pow(x, .5)))); x = x + h; a2 = I + a2; i = I; j++; } while (j <= t); A2 = 2 * a2; x = Ls; A3 = ((Math.Pow(x, 3)) / (1 + (Math.Pow(x, .5)))); SA= A1+A2 +A3; AT = ((h / 2) * SA); MessageBox.Show("El Area es : " + AT); } private void button2_Click(object sender, EventArgs e) { Close(); } }
SIMPSON 1/3. using System; using System.Collections.Generic; using System.ComponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; namespace Metodo_Simpson_1_3 { public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { //h menor n mayor// Double x, Ls, Li, I, h, n, A1, A2, a2, a22, A3, A4, SA, AT, j,a; //I = ((1/48)*((Math.Pow(x, 3)) - (12 * (Math.Pow(x, 2))) - (4 * x) + 336));//
Ls = int.Parse(textBox1.Text); Li = int.Parse(textBox2.Text); n = int.Parse(textBox3.Text); h = ((Ls - Li) / n); a = Math.Pow(48,-1); x = Li; A1 = (a * ((Math.Pow(x, 3)) - (12 * (Math.Pow(x, 2))) - (4 * x) + 336)); x=Li+(2*h); a2=0; j=2; do { I = (a * ((Math.Pow(x, 3)) - (12 * (Math.Pow(x, 2))) - (4 * x) + 336)); x = x + (2 * h); a2 = I + a2; j = j + 2; } while (j <= (n - 1)); A2 = 2 * a2; x = Li + h; a22 = 0; j = 1; do { I = (a * ((Math.Pow(x, 3)) - (12 * (Math.Pow(x, 2))) - (4 * x) + 336)); x = x + (2 * h); a22 = I + a22; j = j + 2; } while (j <= (n - 1)); A3 = 4 * a22; x = Ls; A4 = (a * ((Math.Pow(x, 3)) - (12 * (Math.Pow(x, 2))) - (4 * x) + 336)); SA = A1 + A2 + A3 + A4; AT = ((h / 3) * SA); MessageBox.Show("El Area es : " + AT); } private void button2_Click(object sender, EventArgs e) { Close(); } }
SIMPSON 3/8. using System; using System.Collections.Generic; using System.ComponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; namespace Metodo_Simpson_3_8 { public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { double x, Ls, Li, I, h, n, A1, A2, a2,a22,a222, A3,A4, SA, AT, j; //I = ((Math.Pow(x, 3)) / (1 + (Math.Pow(x, .5))));// Ls = int.Parse(textBox1.Text); Li = int.Parse(textBox2.Text); n = int.Parse(textBox3.Text); h = ((Ls - Li) / n);
x = Li ; A1 = ((Math.Pow(x, 3)) / (1 + (Math.Pow(x, .5)))); x = Li + h; a22=0; j=1; do { I = ((Math.Pow(x, 3)) / (1 + (Math.Pow(x, .5)))); a22 = I + a22; x = x + h; j++; } while (j <= (n - 1)); a222 = 0; x = Li + (3 * h); j = 3; do { I = ((Math.Pow(x, 3)) / (1 + (Math.Pow(x, .5)))); a222= I + a222; x = x + (3 * h); j = j + 3; } while (j < (n - 1)); a2 = a22 - a222; A2 = 3 * a2; A3 = 2 * a222; x = Ls ; A4 = ((Math.Pow(x, 3)) / (1 + (Math.Pow(x, .5)))); SA = A1 + A2 + A3 + A4; AT = (((3 * h) / 8) * SA); MessageBox.Show("El Area es : " + AT); } private void button2_Click(object sender, EventArgs e) { Close(); } }
EXPOCICIONES
METODOS DE INTERVALOS
BIBLIOGAFIAS http://www.slideshare.net/Jefilmonks/extrapolacion-de-richardson
http://mate.uprh.edu/~pnm/notas4061/numdif/numdif.htm
http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/trapecio.htm
http://www.slideshare.net/nestorbalcazar/mtodos-numricos-04
http://www.monografias.com/trabajos72/resolucion-sistemas-metodo-gauss-jordan/resolucion-
sistemas-metodo-gauss-jordan.shtml
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales