Exemplo 01: Um motor síncrono trifásico, 60 Hz, tem uma tensão terminal de 460 V (linha) e uma corrente terminal de 120 A, com F.P = 0,95 indutivo. A corrente de campo nesta condição de

operação é 47 A. A reatância síncrona desta máquina é 1,68 (0,794 pu numa base de 460 V, 100 kVA, trifásica). Desprezando a resistência da armadura, calcule:

a) A tensão gerada Eaf; b) O valor da indutância mútua entre os enrolamentos de campo e armadura (Laf); c) A potência elétrica de entrada para o motor em kW e hp.

Solução:

a) Usando a referência de operação como motor, tem-se que:

E ~

af = V ~

a - jXs I ~

a

Sendo V ~

a o fasor de referência. A tensão de fase é V ~

a = 460/ 3 /0o = 265,6 V.

Um fator de potência 0,95 atrasado significa que a corrente está atrasada em relação à tensão de um

ângulo s = - cos-1(0,95) = -18,19o. Logo, o fasor de corrente é: I~

a = 120 /-18,19 o A.

E ~

af = 265,6 - j1,68 ×120 /-18,19 o E

~af = 265,6 - 201,6 /71,8

o

E ~

af = 265,6 - 201,6 [cos(71,8o) + jsen(71,8º)] E

~af = 265,6 - 62,97 - j191,51

E ~

af = 202,63 – j191,51 = 278,8 /-43,4 o V

b) Laf = ?

Laf = 2Eaf

e×If

Laf = 2 × 278.8

120 ×47 Laf = 22,3 mH

c) Pin = ?

Pin = 3VaIacos(s) Pin = 3 × 265,6 × 120 × 0,95 Pin = 90,8 kW

Pin = 90.8 ×10

3

746 Pin = 121,76 HP

Exemplo 02: Assumindo que a potência de entrada e a tensão terminal para o motor do exemplo anterior permaneceram as mesmas, calcule: o ângulo de fase da tensão gerada e a corrente de campo requerida para se achar F.P unitário nos terminais da máquina.

Solução: Com FP = 1, tem-se que Pin = 3 Va Ia. Logo:

Ia = Pin

3Va Ia =

90.8 ×103

3 ×265.6 Ia = 114 A

E ~

af = V ~

a - jXs I ~

a E ~

af = 265,6 – j 1,68 × 114 /0o

E ~

af = 265,6 – j 191,52 = 327,5 /-35,8º V

Logo, o ângulo de fase (ângulo de E ~

af ) é = -35,8º .

If = ?

If = 2Eaf

e× Laf If =

2 327.5

120 × 22.3 × 10-3 If = 55,1 A

Exemplo 03: A máquina síncrona dos exemplos anteriores deve ser operada como um gerador síncrono. Para operação à 60 Hz com tensão terminal de 460 V (linha), calcule a corrente de campo necessária para alimentar uma carga de 85 kW com F.P = 0,95 adiantado. Solução: Um fator de potência 0,95 adiantado significa que a corrente está adiantada em relação à tensão de

um ângulo s = - cos-1(0,95) = 18,19o. A corrente de fase é calculada por:

| I~

a| = Pin

3Vacos(s) |I

~a| =

85 × 103

3 × 265.6 × 0.95 |I

~a| = 112,3 A

Logo: I~

a = 112,3 /18,19º A.

Para um gerador, tem-se que: E ~

af = V ~

a + jXs I ~

a

E ~

af = 265,6 + j 1,68 × 112,3 /18,19º E ~

af = 273,59 /40,92º V

Exemplo 04: Um teste de circuito aberto que foi realizado num gerador síncrono trifásico, 60 Hz, mostrou que uma tensão nominal de circuito aberto de 13,8 kV é produzida por uma corrente de campo de 318 A. A extrapolação da linha de entreferro a partir de um conjunto de medições na máquina mostra que a corrente de campo necessária para produzir uma tensão de 13,8 kV na linha de entreferro é 263 A. Calcule os valores de Laf não-saturada e saturada

Solução: A indutância mútua é calculada por:

√

E a tensão de fase gerada internamente é

√

O valor saturado de é calculado a partir da característica de circuito-aberto. Logo:

√

O valor não-saturado de é calculado a partir da característica da linha de entreferro. Logo:

√

Neste caso a saturação reduziu o acoplamento magnético entre o campo e a armadura de aproximadamente 18%.

Exemplo 05: Se o gerador síncrono do exemplo anterior é operado numa velocidade que corresponde a uma tensão gerada de 50 Hz, calcule: a) a tensão terminal de circuito aberto que resultará de uma corrente de campo de 318 A; b) a corrente de campo correspondendo a mesma tensão na linha de entreferro de 50 Hz.

Solução: a) A tensão de fase gerada é

√

√

E a tensão de linha é:

√ √

b) A corrente de campo é:

√

√

Exemplo 06: Os seguintes dados foram medidos nos ensaios de curto-circuito e circuito aberto de uma máquina síncrona de 45 kVA, trifásica, conectada em Y, 220 V, 6 pólos, 60 Hz. A partir da característica de circuito aberto, tem-se:

- Tensão de linha = 220 V; corrente de campo = 2,84 A; - Linha de entreferro: tensão de linha = 202 V; corrente de campo = 2,2 A.

A partir da característica de curto-circuito, tem-se:

Corrente de armadura (A) 118 152

Corrente de campo (A) 2,20 2,84

Calcule o valor não-saturado de Xs, seu valor saturado na tensão nominal e a razão de curto-circuito. Solução:

a) A tensão de fase na característica de linha de entreferro é (If = 2,2 A):

√

A corrente de armadura na característica de curto-circuito, para a mesma corrente de campo (If = 2,2 A) é:

Logo, o valor não-saturado da reatância síncrona será:

A corrente nominal desta máquina é:

√

A reatância síncrona saturada é calculada pela razão entre a tensão nominal (característica de circuito aberto) e a corrente de armadura determinada na característica de curto-circuito, para a mesma corrente de campo (2,84 A) que produz tensão nominal na característica de circuito aberto. Logo:

√

A razão de curto-circuito é:

SCR = Corrente de campo que produz tensão nominal na característica de circuito aberto

Corrente de campo que produz corrente nominal na característica de curto-circuito

Exemplo 07: Calcule o valor saturado da reatância síncrona (em /fase e em pu) de uma máquina síncrona de 85 kVA que tem a sua tensão nominal de 460 V em circuito aberto quando a sua corrente de campo If = 8,7 A e que tem a sua corrente nominal de curto-circuito com If = 11,2 A . Solução: A corrente nominal (que também é a corrente base) desta máquina é:

Ia,n = IB = 85×10

3

3×460=106,68 A

A tensão base é igual a tensão de fase nominal:

VB = 460

3= 265,58 V

A impedância base é calculada da seguinte forma:

ZB = VB

IB =

265.58

106.68 ZB = 2,489

A razão de curto-circuito é:

SCR = Corrente de campo que produz tensão nominal na característica de circuito aberto

Corrente de campo que produz corrente nominal na característica de curto-circuito

SCR = 8.7

11.2 SCR = 0,7767

A reatância síncrona satura em pu é igual ao inverso da razão de curto-circuito. Logo:

Xs (pu) = 1

SCR =

1

0.7767 Xs = 1,287 pu

O valor desta reatância em ohms é:

Xs = Xs (pu) × ZB = 1,287 × 2,489 Xs = 3,2 ___________________________________________________________________________________

Exemplo 08: Para a máquina síncrona trifásica de 45 kVA dos exemplos anteriores, conectada em Y, com corrente nominal de armadura de 118 A, a perda de curto-circuito é 1,8 kW na temperatura de

25º C. A resistência cc nesta temperatura é de 0,0335 /fase. Calcule o valor efetivo da resistência em ohms e em pu nesta temperatura de 25 oC. Solução: A perda de curto-circuito por fase é 1800/3 = 600 W. Logo, o valor efetivo da resistência é:

Ra,eff = Perda de curto-circuito por fase

(Ia)2 =

600

(118)2 Ra,eff = 0,043

O valor da impedância base é:

ZB = VB

IB =

220/ 3

118 ZB = 1,076

Logo, o valor da resistência efetiva em pu é:

Ra,eff (pu) = Raeff

ZB =

0.043

1.076 Ra,eff (pu) = 0,0399

Consider a three-phase 13.8 kV 25-MVA synchronous generator whose three-

Problema prático 5.4: Um gerador síncrono trifásico de 13,8 kV, 25 MVA tem uma perda de curto-circuito trifásico de 52,8 kW com corrente de armadura nominal. Calcule: (a) a sua corrente nominal de armadura; (b) o valor efetivo da resistência em ohms e em pu.

Solução:

a) Corrente nominal:

Ia,n = IB = 25×10

6

3×13.8×103 = 1045,92 A

b) Ra,eff

Ra,eff = 52.8× 10

3/3

(1045.92)2 Ra,eff = 0,0161

A impedância base é:

ZB = VB

IB =

13.8×103/ 3

1045.92 ZB = 7,617

Logo, o valor da resistência efetiva em pu é:

Ra,eff (pu) = Raeff

ZB =

0.0161

7.617 Ra,eff (pu) = 0,0021

___________________________________________________________________________________

Exemplo 09: Um gerador síncrono trifásico de 75 MVA, 13,8 kV com uma reatância síncrona saturada de Xs = 1,35 pu e uma reatância síncrona não-saturada de Xs = 1,56 pu está conectado a um sistema externo com reatância equivalente de XEQ = 0,23 pu e tensão VEQ = 1 pu, ambas na base do gerador. Ela tem tensão nominal de circuito aberto com uma corrente de campo de 297 A.

a) Encontre a potência máxima Pmax (em MW e em pu) que pode ser fornecida ao sistema externo se a tensão interna do gerador é mantida em 1 pu;

b) Usando MATLAB, desenhe a tensão terminal do gerador a medida que a sua saída varia de 0 até Pmax.

Solução: Circuito equivalente:

a) A potência é calculada por:

P = Eaf VEQ

Xs + XEQ sen

A potência máxima ocorre quando = 90º . Logo:

Pmax = Eaf VEQ

Xs + XEQ =

1

1.35 + 0.23 = 0.633 pu

Pmax = 0.633 × 75 × 106 = 47,475 MW

b) Corrente terminal do gerador:

I ~

a = E ~

af - V ~

EQ

j(Xs + XEQ) =

1 ej - 1

1.58

A tensão terminal do gerador é calculada por:

V ~

a = V ~

EQ + jXEQ I ~

a = 1 + 0.23

1.58 (e

j - 1)

Pode-se escrever um programa para variar de 0 a 90 graus e calcular a tensão.

Problema prático 5.5 – Considere a máquina de 75 MVA, 13.8 kV do exemplo 5.6. Ela é observada operando com uma tensão terminal de 13.7 kV e uma potência de saída de 53 MW com F.P = 0.87 atrasado. Encontre: (a) a corrente de fase em kA; (b) a tensão interna em pu; (c) a corrente de campo correspondente em A.

Solução

a) A potência de saída é dada por:

Pout = 3 VL Ia cos() Ia = Pout

3 × 13.7 × 103 × 0.87

= 53 × 10

6

3 × 13.7 × 103 × 0.87

= 2.5673 /-29,54º kA

b) E ~

af = V ~

a + jXs I ~

a

Corrente base:

IB = (VA)B

3VB =

75 × 106

3 ×13.8 × 103/ 3

= 3137.8 A

Logo: Ia = 2567.3/3137.8 = 0.8181 pu

E ~

af = (13.7 × 103)/( 13.8 ×10

3)+ j1.35 × 0.8181 /-29,54º = 1.813 /32º pu

|E ~

af | = 1.813 × (13.8 × 103 / 3 ) = 14445 V

c) Considerando que este gerador fornece tensão de circuito aberto nominal quando if = 297 A, tem-se:

Laf = 2 |E

~af |

e × If

=2 (13.8×10

3/ 3)

377 ×297 = 100.63 mH

Logo:

If = 2 |E

~af |

e × Laf

= 2 (14445)

377 × 0.10063 = 538 A

Exemplo 10: Dados a respeito das perdas na máquina síncrona de 45 kVA dos exemplos anteriores são mostrados na figura abaixo. Compute a sua eficiência quando ela estiver funcionando como um motor síncrono com tensão terminal de 220 V e com potência de entrada para o circuito de armadura de 45 kVA com F.P = 0,8 atrasado. A corrente de campo medida num teste de carga sob estas mesmas condições foi de If (teste) = 5,5 A. Assuma que os enrolamentos de armadura e de campo estão na temperatura de 75º C.

Solução - Corrente de armadura nas condições de operação:

Ia = 45 × 10

3

3 220= 118 A

- Cálculo das perdas resistivas em 75º C

Resistências em 75º C

Rf = 234.5 + 75 234.5 + 25

× 29.8 = 35.54

Ra = 234.5 + 75 234.5 + 25

× 0.0335 = 0.0399

Perdas no enrolamento de campo

I2

f Rf = (5.5)2 × 35.54 = 1075 W

Perdas no enrolamento de armadura

3I2

a Ra = 3 × (118)2 × 0.0399 = 1667 W

A partir da figura, com Ia = 118 A, as perdas adicionais são iguais a 0.38 kW

o Estas perdas são devido ao fluxo no caminho de dispersão na armadura

- Perdas no núcleo

É função do fluxo de entreferro

E o fluxo de entreferro é função da tensão de entreferro. Neste exemplo, vamos considerar a tensão de entreferro igual a tensão terminal (indutância de dispersão aproximadamente zero)

A partir da figura, usando-se a curva “perdas no núcleo em circuito aberto” e com Va = 220 V, tem-se que as perdas no núcleo Pc = 1.2 kW

- Perdas mecânicas (fornecidas na figura): 0.91 kW - Perdas totais:

Pt = 1075 + 1667 + 380 + 1200 + 910 = 5232 W - Potência de entrada do motor:

PIN = 0.8 × 45 × 103 + potência do circuito de campo = 36 × 103 + 1075 = 37,075 kW

- Potência de saída: POUT = PIN - Pt = 37,075 – 5,232 = 31,843 kW

- Rendimento:

= POUT

PIN x 100% =

31.843 37.075 x 100% = 85,88%

Exemplo 11: Um gerador síncrono de 480 V, 60 Hz, 200 kVA, FP = 0,8 atrasado, 2 pólos, conectado em Y tem uma reatância síncrona de 0, 25 Ω e uma resistência de armadura de 0,03 Ω. Em 60 Hz as suas perdas devido a fricção e ventilação são de 6 kW e as suas perdas no núcleo são 4 kW. O circuito de campo tem uma tensão cc de 200 V e a máxima corrente de campo é 10 A. A resistência do circuito de campo pode ser ajustada na faixa de 20 Ω até 200 Ω. A característica de circuito aberto (OCC) deste gerador é mostrado na figura da próxima página. Pede-se: (a) Quanta corrente de campo é requerida para fazer a tensão terminal igual a 480 V quando o gerador está funcionando à vazio? (b) Qual é a tensão interna gerada quando está máquina está funcionando nas condições nominais?

(c) Quanta corrente de campo é requerida para fazer a tensão terminal igual a 480 V quando o gerador está funcionando nas condições nominais? (d) Quanta potência e conjugado a máquina primária que aciona este gerador deve ser capaz de fornecer? (e) Qual é a eficiência deste gerador nas condições nominais?

Solução: a) Se a tensão terminal à vazio é 480 V, a corrente de campo requerida pode ser lida diretamente da

característica de circuito aberto. O seu valor é 4,55 A. b) Este gerador está conectado em Y , então Iaf = IaL. Nas condições nominais as correntes de linha e

de fase deste gerador serão iguais a

Iaf = IaL = P

3 VL

= 200 × 10

3

3 × 480 = 240.6 A

I ~

af = 240.6 / -36.87º A

A tensão interna gerada sera:

E ~

af = V ~

af + Ra I ~

af + jXs I ~

af

E ~

af = 277 / 0o + 0,03 × (240.6 / -36.87º ) + j0,25 × (240.6 / -36.87º ) = 322 / 7,82o V

c) A tensão terminal de circuito aberto equivalente a Eaf de 322 V é 3 × 322 = 558 V. A partir da característica de circuito aberto, a corrente de campo requerida é aproximadamente 7 A.

d) A potência de entrada para este gerador é igual a sua potência mais as perdas. A potência nominal de saída é:

POUT = (200 kW) × 0,8 = 160 kW

Perdas no cobre: Pcobre = 3 (Ia)2 Ra = 3(240,6)2(0,03) = 5184 W

Ten

são

ter

min

al d

e ci

rcu

ito

ab

erto

(V

)

Corrente de campo (A)

Perdas mecânicas: Pmec = 6 kW

Perdas no núcleo: Pnúcleo = 4 kW

Potência de entrada:

PIN = POUT + Pcobre + Pmec + Pnúcleo = 160 + 5,184 + 6 + 4 = 175,184 kW

Portanto, a máquina primária deve ser capaz de fornecer 175,184 kW. Desque este gerador tem 2 pólos e é de 60 Hz, a sua velocidade mecânica é de 3600 rpm. Logo, o conjugado requerido será de:

T = PIN

m=

175.184 × 103

(2 × × 3600/60) = 464,69 Nm

e) Eficiência

= POUT

PIN x 100% =

160175.184 x 100% = 91,33%

Problema prático 5.7: Calcule a eficiência do motor do exemplo 5.8 se o mesmo estiver operando com uma potência de entrada de 45 kW e fator de potência unitário. Você deve assumir que as perdas suplementares permanecem constantes e que a corrente de campo do motor é 4,4 A. Solução - Corrente de armadura nas condições de operação:

Ia = 45 × 10

3

3 220= 118 A

- Cálculo das perdas resistivas em 75º C

Resistências em 75º C

Rf = 234.5 + 75 234.5 + 25 × 29.8 = 35.54

Ra = 234.5 + 75 234.5 + 25

× 0.0335 = 0.0399

Perdas no enrolamento de campo

I2

f Rf = (4.4)2 × 35.54 = 688 W

Perdas no enrolamento de armadura

3I2

a Ra = 3 × (118)2 × 0.0399 = 1667 W

A partir da figura, com Ia = 118 A, as perdas adicionais são iguais a 0.38 kW

o Estas perdas são devido ao fluxo no caminho de dispersão na armadura

- Perdas no núcleo

É função do fluxo de entreferro

E o fluxo de entreferro é função da tensão de entreferro. Neste exemplo, vamos considerar a tensão de entreferro igual a tensão terminal (indutância de dispersão aproximadamente zero)

A partir da figura, usando-se a curva “perdas no núcleo em circuito aberto” e com Va = 220 V, tem-se que as perdas no núcleo Pc = 1.2 kW

- Perdas mecânicas (fornecidas na figura): 0.91 kW - Perdas totais:

Pt = 688 + 1667 + 380 + 1200 + 910 = 4,845 kW

- Potência de entrada do motor:

PIN = 45 × 103 + potência do circuito de campo = 45 × 103 + 688 = 45,688 kW

- Potência de saída: POUT = PIN - Pt = 45,688 – 4,845 = 40,843 kW

- Rendimento:

= POUT

PIN x 100% =

40.843 45.688

x 100% = 89,39%

Exemplo 12: As reatâncias de um gerador síncrono a pólos salientes são Xds = 1 pu e Xqs = 0,6 pu. O diagrama fasorial é mostrado abaixo. Considere Ra = 0. Calcule a tensão gerada Eaf quando o gerador fornece a sua potência aparente nominal com FP = 0,8 atrasado e tensão terminal nominal. Solução: A tensão terminal será considerada como referência. Logo:

Considerando a potência aparente nominal, o seu valor em pu é:

Então, o módulo de Is = 1/Vs = 1. Para o FP = 0,8, o fasor da corrente estará atrasado do fasor de tensão de um ângulo de -31,9o. Este fasor é:

Para um gerador, a seguinte equação fasorial é válida:

Para determinar é preciso conhecer os fasores e . Para determinar estes valores, é preciso

conhecer a fase de . Esta fase é determinada pelo ponto-Q, que pode ser obtido a partir da

seguinte equação:

O ângulo de fase de é o ângulo deste ponto-Q, que também é chamado de ângulo de carga. Ele é:

O diagrama fasorial é mostrado abaixo:

As decomposições da corrente estatórica nos eixos q e d serão:

| | | | ( ) ( )

| | | | ( ) ( )

Os fasores serão:

A partir destas correntes pode se calcular a tensão gerada: