exerciciosresolvidoscap.8equilibrio.torque
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Primeiro Período Letivo de 2012
1. Uma viga de alumínio com 9,00 de comprimento, pesando 300 N, repousa simetricamente
sobre dois suportes separados por uma distância de 5,00 m. Um adolescente pesando 600 N parte do ponto A e caminha para a direita. a) Em um mesmo diagrama, construa dois gráficos mostrando as forças de baixo para cima FA e FB exercidas sobre a viga nos pontos A e B, em função da coordenada x do adolescente. (b) Pelo diagrama, até que distância à direita do ponto B ele pode caminhar sem que a viga tombe? c) Qual será a distância máxima até a extremidade direita da viga que o ponto de suporte B pode ser colocado para que o adolescente possa atingir essa extremidade sem que comece a tombar?
a)
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – FIS 191 CAPÍTULO 8 – EQUILÍBRIO. TORQUE
b) Pelo diagrama percebe-se que FA = 0
quando x = 6,25 m de tal forma que o
adolescente poderá percorrer 1,25 m
além do ponto B.
c) Considere que o adolescente
chegou à extremidade direita no
instante em que FA = 0 e FB,
portanto, é igual a 900 N.
Tomando-se o Somatório dos
torques em relação à nova posição
do suporte B, temos:
md
d
dd
ddB
5,1
35,4
02)5,4(
0600)5,4.(300'
=
=
=−−
=−−=ΣΓ
xF
xFexF
xF
xF
FF
F
A
AB
B
B
A
BA
y
120750
)150120(900150120
7506005
0.6005,2.3005.
0
900
0
−=
+−=+=
+=
=−−
=ΣΓ
=+
=Σ
x
x 0 A B
d
Primeiro Período Letivo de 2012
2. A barra da figura abaixo é homogênea, pesa 500 N e está em equilíbrio na posição indicada na figura abaixo. O peso do objeto suspenso é 50 N. Determine a tração na corda e a força que o suporte exerce sobre a barra.
50 N corda
suporte
1 m 1 m
c.g.
c.g.
Aplicando as condições de
equilíbrio para a barra:
450
500
50
0
2
1
21
=+
=
=
=−++=∑
TF
NP
NT
PTFTF
S
Sy
2Tr
1Tr
Pr
SFr
Tomando-se o eixo de rotação no
ponto de apoio:
NF
F
TF
e
NT
T
T
TPT
S
S
S
250
200450
450
200
16008
083.5002.50
08.3.2.
0
2
2
2
2
21
0
=
−=
=+
=
=
=+−−
=+−−
=Γ∑
O
Primeiro Período Letivo de 2012
3. Um disco circular de raio R pode girar, sem atrito em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro. Um fio é enrolado na periferia do disco e em sua extremidade está pendurado um objeto de massa 10M. Um eixo uniforme de comprimento L (= 10R) e massa 2M está amarrado ao disco com uma das extremidades no centro do disco. Quando se coloca na outra extremidade do eixo um objeto de massa M o conjunto fica em equilíbrio
na posição indicada abaixo. Determine o ângulo θ.
Uma vez que o sistema (eixo + disco) está em equilíbrio:
º60
2
1cos
cos2010
cos10.cos5.2.10
0cos10.cos5.2º90sen.10
00
=θ
=θ
θ=
θ+θ=
=θ−θ−
=τ∑
PRPR
RPRPRP
RPRPRP
θ
M
10M
θ
Pr
10
Pr
Pr
2
0
Fr
R
Primeiro Período Letivo de 2012
4. Uma escada uniforme de comprimento L e peso P está encostada em uma parede lisa. Sua extremidade superior está situada a uma distância 0,80L acima do solo como mostra a figura abaixo. Um homem de peso 2P sobe pela escada. Determine o coeficiente de atrito
estático mínimo entre o solo e a base da escada, de tal forma que o homem possa subir até o centro da escada sem que a mesma escorregue.
La
La
LaL
60,0
)64,000,1(
)80,0(
22
222
=
−=
+=
)1(
0
)(
)(
Pmáxe
Pmáxex
Nf
NfF
=
=−=∑
)2(3
03
PN
PNF
S
Sy
=
=−=∑
)3(8
9
80,0
.90,0
.90,080,0.
02
60,0.380,0.
PL
PLN
PLLN
LPLN
P
P
Poz
==
=
=−=∑τ
Substituindo (2) e (3) em (1):
8
3
8
93.
8
9.
)(
=∴=
=
=
ee
Se
Pmáxe
PP
PN
Nf
µµ
µ
x
0,80L L
PNr
)(máxefr
SNr
Pr
3
a
O
y
Primeiro Período Letivo de 2012
5. Uma barra homogênea de peso P é presa a uma parede
por meio de uma dobradiça (A). Na outra extremidade encontra-se suspensa uma carga de peso 2P. A barra é mantida na horizontal por meio de um fio preso à parede e ao centro de gravidade da mesma. Determine: (a) o módulo da tensão no fio e (b) a força exercida pela dobradiça sobre a barra em termos dos vetores unitários
i) e j
).
i)
j)
sen 45° = cos 45° = 2
2
45° A
Pr
Pr
2
Hr
Vr
Tr
xTr
yTr
45°
Diagrama de forças para a barra
Aplicando as condições de equilíbrio para a barra temos:
∑ ==∴=−=2
20 TTHHTF xxx (1)
∑ =+∴=−+= PVTPVTF yyy 303 (2)
PTaPT
PTTP
TPP
LT
LPPL
y
y
y
yA
25)(52
2
)3(522
5
222
022
2
=∴=
=∴=
=+
=−+=∑τ
Substituindo (3) em (2):
PV
PVP
2
35
−=
=+
Portanto, a força vertical está no sentido contrário daquele convencionado.
Substituindo o valor de T na equação (1):
PPH 52
225 ==
(b) )(2)(5 jPiPF))r
−+−=
Primeiro Período Letivo de 2012
6. A extremidade A da barra AB da figura abaixo repousa sobre uma superfície horizontal
sem atrito, e a extremidade B está articulada. A barra é homogênea e possui peso Pr
.
Uma força horizontal Fr
é aplicada à barra na extremidade A, sendo F = 2P. Determine, em
função de P, θ e dos vetores unitários que se fizerem necessários, (a) a força exercida sobre a barra pela superfície horizontal e (b) a força exercida sobre a barra pela articulação.
Aplicando as condições de equilíbrio:
∑∑ =Γ= 00 OeFrr
PFF
FF
F
H
H
x
2
0
0
==
=−
=∑
V
V
y
FPN
FPN
F
+=
=−−
=∑0
0
θ
Fr
i)
j)
k)
B
A
HFr
VFr
Fr
Nr
Pr
O (eixo de rotação)
θ
F = 2P
( )θ−θ
=−θ
=
θ−θ=θ
=θ
−θ−θ
=θ−θ−θ
=θ−θ−θ
=Γ∑
tan4tan22tan
2
2
sencos2sen
02
sensencos2
0sen2
sencos2
0sen2
sencos
0
PPPF
PPF
PFP
LPLFPL
LPLFLF
V
V
V
V
VH
O
( )θ+θ
=θ
+=
−θ
+=
tan4tan2tan
2
2
2tan
2
PPPN
PPPN
Assim:
( )
( ) )(tan4tan2
)(2)(
)(tan4tan2
)(
. jP
iPFb
jP
NFa
Art
SH
))r
)rr
−θ−θ
+−=
θ+θ
==
Primeiro Período Letivo de 2012
7. Na figura ao lado, sejam P e P’ (= 3P) os pesos do caixote e da
baliza, respectivamente, e α o ângulo que o eixo imaginário que passa pelo centro da baliza faz com a horizontal. A baliza está ligada a um pivô sem atrito à sua extremidade inferior. A baliza não é uniforme, sendo a distância entre o seu centro de gravidade e o pivô igual a um terço do seu comprimento total. Despreze a massa do fio e o atrito nas roldanas.
a) Determine a tensão no fio de sustentação superior e as componentes horizontal e vertical da força exercida sobre a baliza em sua parte inferior.
b) Determine o ângulo que a força resultante que atua na extremidade inferior da baliza faz com a horizontal.
Dados: P , P’ = 3P e α.
Ilustração:
β = 90° = 90° − α
sen β = cos α
a) Determinação de FV :
03 =−−=∑ PPFF Vy
∴∴∴∴ PFV 4= (1)
Determinação de T :
0)3(3
1=×+×+×=τ∑ PLPLTLoz
rrrrrrr
0)cos2sen( =α−α PTL
∴∴∴∴ α
=tan
2PT (2)
Determinação de FH : ∑ =−= 0TFF Hx
TFH = (3)
b) Determinação de φ :
α=
α×==φ tan2
2
tan)4(tan
PP
F
F
H
V
∴∴∴∴ α≠α=φ )tan2arctan( (4)
α
Fio de sustentação
Baliza
Pivô
α β
HFr
VFr
Pr
'Pr
L
Tr
Primeiro Período Letivo de 2012
8. A barra AB da figura ao lado é uniforme, pesa 2P, e tem
comprimento L. A barra é articulada na extremidade A
e, a uma distância L4
3 desta extremidade encontra-se
suspenso um objeto de peso P. A barra é mantida em
equilíbrio, presa à parede por um cabo de sustentação. Determine: (a) A tração no cabo de sustentação e (b) as componentes vertical e horizontal da força que a articulação exerce sobre a barra.
P
A B
θ
VFr
Pr
Pr
2
Tr yT
r
xTr HF
r
θ
θ
TsenT
TcosT
y
x
=
=
Aplicando as condições de equilíbrio para a
barra AB temos:
)1(
0
θ
θ
TcosF
TcosFF
H
Hx
=
=−=∑
)2(3
03
PTsenF
PTsenFF
V
VY
=+
=−+=∑θ
θ
)(4
7
4
7
04
3
04
3
22.
asen
PT
PTsen
PPTsen
LPL
PLTsenA
θ
θ
θ
θ
=
=
=−−
=−−=Γ∑
(b) Substituindo T em (1) e (2):
θ
θθ
tan
PF
cossen
PF
H
H
4
7
4
7
=
=
PF
Psensen
PF
V
V
4
5
34
7
=
=+ θθ
P
L4
3 L
4
1
θ
A B
cabo de sustentação
Primeiro Período Letivo de 2012
9. Uma escada para fuga de incêndio de comprimento é L e peso P encontra-se em
equilíbrio, apoiada em uma calçada e o seu topo é mantido preso a um pivô. O atrito entre a base da escada e a calçada é desprezível. O centro de gravidade da escada coincide
com o seu centro geométrico. A uma distância 3
L da base da escada encontra-se um
bombeiro de peso 3P. A escada faz um ângulo θ com a horizontal. Determine o módulo, a direção e o sentido da força exercida sobre a escada (a) pela calçada e (b) pelo pivô.
θ
3L
pivô O
θ
O
3L
Pr
Nr
VFr
Aplicando as condições de equilíbrio para a
escada temos:
)1(4
04
0
PNF
PNFF
F
V
Vy
x
=+
=−+=
=
∑∑
j2
5
2
5
22
022
03
23
20
PNPN
PPN
PP
N
cosL
PcosL
PNLcos
=∴=
+=
=−−
=−−=Γ∑
r
θθθ
Vertical, para cima.
Substituindo o valor de N na equação (1):
j2
3
2
3
2
54
42
5
PFPF
PPF
PPF
VV
V
V
=∴=
−=
=+
r
Vertical, para cima.
Pr
3
θ
θ
θLcos
θcosL
3
2
θcosL
2
O
VFr
Nr
Pr
Primeiro Período Letivo de 2012
10. Uma trave uniforme de peso P e de comprimento igual a L está presa a um pino na
extremidade inferior e sofre a ação de uma força Fr
de intensidade 2P, na sua parte
superior. A trave é mantida na vertical por um cabo que faz um ângulo θ com o solo. Determine, em função de P, (a) a tensão no cabo e (b) as componentes horizontal e vertical da força que o pino exerce sobre a trave. Use caneta para a resposta.
θ
0
2
L
2
L
xTr
yTr
Tr
Pr
Fr
HFr
VFr
θ
Fr
2
L
2
L 5
3
5
4
=
=
θ
θ
sen
cos
Diagrama de corpo livre
)1(25
4
5
4
0
PTF
FTF
TcosFF
TFF
F
H
H
H
xH
x
−=
−=
=+
=+
=∑
θ
)2(5
3
0
TPF
TsenPF
TPF
F
V
V
yV
y
+=
+=
+=
=∑
θ
a)
)3(5
45
4
4
2
02
0
PT
PT
PTcos
FT
FLL
T
x
x
O
=
=
=
=
=−
=∑
θ
τ
b) Substituindo (3) em (1):
PF
PPF
PTF
H
H
H
2
255
4
25
4
=
−=
−=
Substituindo (3) em (2):
PF
PPF
TPF
V
V
V
4
55
3
5
3
=
+=
+=
Primeiro Período Letivo de 2012
11. Uma placa quadrada uniforme, de peso P e lado 2L, está pendurada numa haste de comprimento 3L e massa desprezível. Um cabo está preso à extremidade da haste e a um ponto na parede situado a uma distância 4L acima do ponto onde a haste é fixada à parede, conforme mostra a figura. Determine, em função de P, (a) a tensão no cabo; (b) as componentes horizontal e vertical da força exercida pela parede sobre a haste. Use caneta para a resposta.
L3
4L D = 5L
Boas Boas Boas Boas
Férias!Férias!Férias!Férias!
2L
4L
2L
L3
2L
L3
O xTr
Tr
HFr
VFr
yTr
Pr
Diagrama de corpo livre
θ
θ
LD
LD
LLD
5
25
)3()4(
22
222
=
=
+=
5
3
5
3
5
4
5
4
==
==
L
Lcos
L
Lsen
θ
θ
)1(5
3
5
3
0
TF
TF
TcosF
TF
F
H
H
H
xH
x
=
=
=
=
=∑
θ
)2(5
4
0
TPF
PTsenF
PTF
F
V
V
yV
y
−=
=+
=+
=∑
θ
a)
)3(6
5
3
2
5
4
3
2
3
2
023
0
PT
PT
PTsen
PT
LPLT
y
y
O
=
=
=
=
=−
=∑
θ
τ
b) Substituindo (3) em (1):
PF
PF
TF
H
H
H
2
1
6
5
5
3
5
3
=
=
=
Substituindo (3) em (2):
PF
PPF
PPF
TPF
V
V
V
V
3
1
3
2
6
5
5
4
5
4
=
−=
−=
−=
Primeiro Período Letivo de 2012
12. Uma porteira tem comprimento igual a 2L, altura L e peso P. Os centros geométrico e de gravidade coincidem e as dobradiças ficam em A e B. Para reduzir o esforço na dobradiça superior colocou-se um cabo CD, cuja tensão foi ajustada de modo que a força horizontal exercida pela dobradiça A sobre a porteira seja metade da força horizontal exercida pela
dobradiça B ( )AB HH 2= . Na figura já estão representadas as componentes horizontais e
verticais das forças exercidas pelas dobradiças A e B. Determine: (a) a tensão no cabo; (b) as componentes horizontais (HÁ e HB) das forças exercidas pelas dobradiças A e B sobre a porteira. (c) Determine a força vertical conjunta (VÁ + VB) exercida pelas dobradiças A e B. Respostas em função de P.
Aplicando as condições de equilíbrio para a
porteira, temos:
)1(5
4
25
4
0
TH
HHT
HHTF
A
AA
BAxx
=
=+
=+⇒=∑
)2(5
3
5
3
0
TPVV
PVVT
PVVTF
BA
BA
BAyy
−=+
=++
=++⇒=∑
)3(14
5
5
14
5
42
5
32
2
0..2.0
PTPT
PTT
PHT
LPLHLT
By
ByA
=⇒=
=×+×
=+
=−+⇒=Γ∑
Substituindo (3) em (1) e (2):
PHH
PPH
AB
A
7
42
7
2
14
5
5
4
==
=×=
PVV
PPVV
PPVV
BA
BA
BA
14
11
14
3
14
5
5
3
=+
−=+
×−=+
θ
L
2L
A
B
BVr
AHr
BHr
AVr
D
C
54cos
53
=
=
θ
θsen
Pr
Tr
yTr
xTr
TTsenT
TTcosT
y
x
5
3
5
4
==
==
θ
θ
AB HH 2=
Primeiro Período Letivo de 2012
13. A escora da figura abaixo é uniforme e tem peso igual a P. A escora é articulada em uma das extremidades e na outra extremidade está suspenso um objeto de peso igual a 2P. Um cabo prende a escora à parede. Determine: (a) a tração no cabo e (b) as componentes horizontal e vertical da força exercida sobre a escora pela articulação. Respostas em função de P.
θ
Aplicando as condições de equilíbrio para a
escora, temos:
)1(
00
TH
THFx
=
=−⇒=∑
)2(3
020
PV
PPVFy
=
=−−⇒=∑
HPTPT
PT
PTsen
PPTsen
LPPLTLsen
LPPLTLsen
O
==⇒=
=
=
=−−
=−−
=−−
=Γ∑
3
10
6
20
5
45
5
32
cos52
0coscos42
0cos2
cos2
0cos2
cos2
0
θθθθθ
θθθ
θθθ
O
Vr
θ Pr
Pr
2
Hr
Tr
O
θ
θLcos
θcosL
2
θLsen
54cos
53
=
=
θ
θsen
PV
PH
PT
3
3
10
3
10
=
=
=
Primeiro Período Letivo de 2012
14. Uma prancha homogênea de 12 m de comprimento com peso igual 90 N repousa sobre dois apoios A e B, cada um a 1 m da extremidade mais próxima. Um bloco de 360 N é colocado sobre a prancha, a 3 m da extremidade direita, como mostrado na figura abaixo. Determine a força exercida por cada apoio sobre a prancha.
1 m 1 m 10 m
B
3 m
A
B A
)90( NPP
r
)360( NPB
r
BFr
AFr
10 m
5 m
8 m
Aplicando as condições de
equilíbrio para a barra:
)1(450
36090
0
=+
+=+
=−−+=∑
BA
BA
BPBAy
FF
FF
PPFFF
Tomando-se o eixo de rotação no
ponto onde se encontra o apoio A:
333NFB =
=
+−−
=+−−
=+−−
=Γ∑
3330.10
10.2880450
010.8.3605.90
010.8.5.
00
B
B
B
BBP
F
F
F
FPP
Substituindo FB na equação (1):
117NFA =
=+ 450333AF