فصل چهارم الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

١

فصل چهارم

در محيط های هادی) مستقيم(جریان های الکتریکی ماندگار Steady Electric current

:ميدان الکتریکی ساکن یک ميدان پایستار است یعنی مالحظه گردید که

∫ =

=×∇

0.

0

ldE

Evv

v

ــز رابطــه ( ∫و ني ldEvv

ــد مــستقل ا . ــسيل را محاســبه مــی کن ــه اخــتالف پتان مــسير اســت ز ک

ــرژ ــا ان ــدانو متناســب ب ∇×=0امــا ) ی و کــار الزم در مي Ev

نــشان دهنــده آنــست کــه در یــک

بنـــابراین ميـــدان الکتریـــسيته . ی صـــورت نمـــی گيـــردژادل انـــربـــمـــسير بـــسته هيچگونـــه ت

ــار در هــادی تلفــات ــور ب ــر عب ــود کــه در آن در اث ــان دائــم نخواهــد ب ســاکن قــادر بــه ایجــاد جری

ــاد شــود ایجــ ــر کنــسرواتيو پ ــدان غي ــه مي ــم ب ــان دائ ــرای داشــتن جری ــستار(س ب . اســت) ناپای

.جریان دائم هميشه با تلفات انرژی همراه است

ــادآوری ــه و ی ــه خــاطر :نکت ــن ب ــدان الکتریکــی در داخــل اجــسام هــادی صــفر اســت و ای مي

ر آنــست کــه بارهــای الکتریکــی روی ســطح آنهــا بنحــوی جمــع مــی شــوند کــه ميــدان را صــف

.می گردانند

چگالی جریان الکتریکی

های آزاد در هر متر مکعب در یک نقطه از های آزاد یا تعداد الکترون چگالی الکترونNاگر s کولمب با سرعت متوسط Qجسم هادی باشند و هر بار منفرد

mVv

در حرکت باشد،

Jv

: بقرار زیر بدست می آیدچگالی جریان در آن نقطه VNQJ

vv=

3m( برابر Nبا توجه به آنکه واحد حامل( برابرQ واحد و) تعداد حامل

و واحد سرعت )(c) کولمب

sec برابرmبنابراین واحد J

v:

22sec

mAmp

m

c=

J یعنــیv

مقــدار بــار الکتریکــی اســت کــه از یــک ســطح یــک متــر مربعــی کــه عمــود بــر بــردار

Vv

J باشــد٠>Qاگــر . مــدت یــک ثانيــه مــی گــذرد اســت درv

V بــا v

در خــالف هــم و اگــر

Q>جهت هستندم باشد این دو ه٠. =∫ :جریان کل S

sdJI vv.

آمپــر اســت و برابــر بــا کــل بــار الکتریکــی اســت کــه در مــدت یــک ثانيــه از ســطح مــورد Iواحــد

.نظر می گذرد و یک کميت اسکالر است

فصل چهارم الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٢

اصل بقاء بار الکتریکی

. از بين برد یابارهای الکتریکی را نمی توان ایجاد کرد و

:شکل ریاضی این اصل

ک هادیدر ی) Vدارای حجم ( Sدر خصوص یک سطح بسته

∫ می شودs کل جریان وارد سطح بسته =−s

sdJ vv.

. اگــر ایــن انتگــرال مثبــت باشــد ميــزان بــار در داخــل ســطح در حــال افــزایش اســت و بــرعکس

یعنی رابطه فوق سرعت تغييرات بار یعنیtQ∂∂

. را نشان می دهد

∫ )شکل انتگرالی اصل بقاء و بار( ∂∂

=−tQsdJ vv

.

∫∫∫

∫ ∫

=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∇⇒′∂∂

=′∇−

′∂∂

=−

vV

s v

vdt

Jvdt

vdJ

vdt

sdJ

0..

.

ρρ

ρ

vv

vv

.0 )شکل دیفرانسيلی اصل بقاء بار( =∂∂

+∇t

J ρv

J انسدیورژ(v

J ع و یا ختم بردارو نشان دهنده شرv

) استt

J∂∂

−=∇ρv

.

.0 :اگر جریانهای یکنواخت بدون تغييرات زمانی وجود داشته باشد =∇ Jv

ع و نقطه ختم خاصیوتند که نقطه شر مستقيم خطوط بسته ای هسیعنی خطوط جریانهای

.ندارند∑ :اگر رابطه فوق برای یک نقطه اعمال شود قانون جریان کریشف را نتيجه می دهد =

iiI 0

)ناپایستار(قانون اهم و ميدان الکتریکی غير کنسرواتيو

) بار(با تلفات حرارتی همراه است، هر الکترون که ) مستقيم(در فرآیند جریان الکتریکی دائم

را طی می کند ) مسير بسته(که در این جریان شرکت می کند، به ازاء هر بار که مدار کامل

.مقدار معينی انرژی دریافت می کند

دائم نيستند وبرای این منظور نيازمند به جریان ميدانهای پایستار به تنهائی قادر به ایجاد

آن هم ميدان پایستار و هم ناپایستار توليد می راست مانند پيل الکتریکی، که دميدان خاصی

.شودncE )در خارج پيل یا در داخل مدار( ميدان ناپایستار ⇐ فعل و انفعال شيميایی

w

cE ميدان پایستار⇐ تجمع بارهای الکتریکیv

فصل چهارم الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٣

cnc داخل پيل رد، دشاگر مدار باز با EE چون هيچ جریان از بارها ) اما در خالف جهت یکدیگر (=

) تعادل(وجود ندارد و نيروئی به آن وارد نمی شود 0=+ cnc EE

vv

ncEv

می گردد)٢( و تجمع بار منفی روی الکترود )١(بار مثبت روی الکترود ) تجمع(حرکت باعث

cEv

. ناشی از ميدان الکتریکی از طرف بار مثبت به سمت بار منفی است

بنابراین

emfiveForceelectromotldEldEV ) نيروی محرکه الکتریکی ( ncc ≡==−= ∫∫1

2

1

2..vvvv

در داخل منبع با واحد ولت

اما از طرفی در مدار بسته

0..

0.1

2

2

1=+

=

∫∫∫

ldEldE

ldE

cc

c

vvvv

vv

خارج منبع داخل منبع

∫∫∫ =−⇒=−2

1

1

2

2

10.0.. VldEldEldE cncc

vvvvvv

خارج از منبع

∫ −===2

1 21.emfV VVedEcvv

:انون اهم یک قانون تجربی است ق-

EJvv

δ= )Jv

Eبا v

) در هر محيط هادی متناسب است

:بطریقی که

EVVNQJ

vv

vv

µ=

=

µ ضریب تحرک)mobility(

ENQJvv

µ=

σ هدایت ویژه(ضریب هدایت محيط( conductivity ρµσρµ == ,EJvv

ρچگالی بار ρ

σµσ 1, == NQ

ρمقاومت ویژه

فصل چهارم الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٤

:شکل دیگر قانون اهم -

ALRRIV

RV

ALVIA

LVI

LVEELldEV

EAsdJIs

σσ

σ

σ

====⇒=

=⇒==

==

∫

∫vv

vv

.

.

)Resistance(محاسبه مقاومت الکتریکی -

همانگونه که مالحظه شد، نسبت اختالف پتانسيل بين دو سطح از قطعه هادی به جریان

:عبور کرده از آن سطوح را مقاومت گویند، بنابراین

∫∫

∫∫ −

=−

==sdE

ldE

sdJ

ldE

IVR L

s

Lvv

vv

vv

vv

.

.

.

.

σ

اما از طرفی

∫∫

∫∫

−=

−==

ldE

sdE

ldE

sdD

VQC

L

s

L

s vr

vv

vv

vv

.

.

.

. ε

:چنانچه طرفين دو رابطه فوق در هم ضرب شودσε

=RC

σεدر صورتيکه [ و یا وابستگی به مختصات برای ) محيط همگن(مستقل از مختصات باشند ,

].اشد، چه در غير اینصورت رابطه فوق قابل اعمال نيستدو یکسان ب

:بنابراین روشهای محاسبه مقاومت الکتریکی

Eبا یافتن v

: در محيط∫∫−=

sdE

ldER vv

vv

.

.)1

σ

:با وجود شرط ذکر شده در باالR

CGC

R 1,)2 ===εσ

σε

)هدایت الکتریکی(با تکيه بر ساختار دیفرانسيلی مقاومت و یا کنداکتاس

∫∫

∫∫

==⇒=

==⇒=

ll

dsdGGdsdG

sdldRR

sdldR

σσσσ

)3

که ) b) b>a و a مطلوبست محاسبه مقاومت بين دو کره متحدالمرکز بشعاع های :مثال

.پر شده استσ ضریب هدایت فضای بين دو کره از جسمی با

فصل چهارم الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٥

dRو بضخامت S و با سطحδ از جنسR مختصات کروی مقاومت یک پوسته کروی به شعاع رد

sdlσ

=dR

24 RSdRdlπ=

=

abab

RRdR

b

z

b

a πσπσπσ 441

4 2

−=⎥

⎦

⎤−=∫ R∫ dR=⇒24 R

dRπσ

=dR

مطابق ) hاستوانه ای به ارتفاع ( مطلوبست محاسبه مقاومت قسمتی از یک واشر :مثال

منظور مقاومت بين دو سطح هاشور (ساخته شده است σشکل که از هادی با ضریب هدایت

)خورده است

: متصل گردد0Vف پتانسيل چنانچه بين دو سطح مذکور اختال

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒==

=⇒==

+=

=

=∇

0

0100

2

21

2

2

2

000

0

0

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

VcVV

cVccV

dVdV

:بنابراین

ϕϕ0

0VV =

ϕ

ϕϕ

ϕσ

σ

ϕϕ

ar

VEJ

rV

aaddV

rVE

ˆ

ˆˆ1

0

0

0

0

−==

−=−=−∇=

vv

v

فصل چهارم الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٦

( )

abhI

VR

abhV

I

drdzasddrdzar

VasdJI

h b

a

ln

ln

ˆ.ˆ.

00

0

0

00

0

σ

ϕϕσ

ϕσ

ϕϕϕ

==

+=

−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== ∫ ∫ ∫

vvvv

لقانون ژو

در این قسمت هدف محاسبه تلفات . می دانيم که جریان الکتریکی دائم، با تلفات همراه است

. محيط هادی با جریان دائم استکی

QEFVt

QEVtlF

twP ==

∆∆

=∆∆

=∆∆

= ,, l

NQVJ چونو = EJNQEVp ل در واحد حجم ک==

.3 )توان در واحد حجم(چگالی توان mwJEp

vv=

dsdldvدر یک قطعه =

∫∫ == dvJEpdvکلPvv

.

VIPVIJdsEdlEJdvp =⇒=== ∫∫∫

شرایط مرزی برای بردار چگالی بریان

چنانچه سطح بين دو محيط هادی را در نظر بگيریم با فرض جریان یکنواخت و بدون تغييرات

را در نظر ∆s و سطح مقطع hزمانی، سطح گاوسی استوانه ای مطابق شکل با ارتفاع

.بگيرید

∫∫∫∫∫

=++⇒=

→=′∇⇒

=∂∂

−=∇

0...0.

00.

0.

2211 sdJsdJsdJsdJ

hvdJt

J

s

vvvvrrvvv

v

v ρ

پائين باال جانبی

nnnn JJsJsJ 2121 00 =⇒=+∆+∆−

فصل چهارم الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٧

از طرفی

2

2

1

121 σσ

tttt

JJEE =⇒=

Jبنابراین خطوط v

)ر به محيط با رسانائی کمتر از یک محيط رسانات )12 σσ وارد می شوند >

.می شکند و به خط عمود بر سطح مشترک نزدیکتر می گردد

22 و نيز εσ,11 فضای بين صفحات موازی خازنی با دو نوع هادی که دارای :مثال ,εσ می

باشد 0V منبع متصل به خازن ژ و ولتاd دو فلز خازن باشد پرشده است چنانچه فاصله

JEDPمطلوبست تعيين vvvv

و چگالی بارهای آزاد و مقيد روی تمام سطوح در حالت ماندگار ,,,

d=d١+d٢

0.0 =∇⇒=∂∂

⇒ Jt

vρSteady state

J بردار ی مبنا و شروع محاسبات ازفدر حالت عایق تل(v

)می باشد

( )( ) ( )( )∫∫∫ ∫ −−−−=−=−=

====

d

d zzz

d

z

d

z

nn

dzaaEdzaaEadzEdlEV

JEJEJJJ

2

2 ˆ.ˆˆ.ˆˆ..

,,

10 20

22

1121

vvδδ

( )zadd

VJdJdJV ˆ

1221

2101

22

20 −

+=⇒+=

σσσσ

σσv

( )

( )z

z

add

VJE

add

VJE

ˆ

ˆ

2221

10

22

1221

20

11

−+

==

−+

==

σσσ

σ

σσσ

σvv

vv

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )z

z

add

VEEDP

add

VEEDP

ddV

EDdd

VED

ˆ

ˆ

,

2121

02102022022

1221

01201011011

1221

120222

1221

210111

−+−

=−=−=

−+−

=−=−=

+==

+==

σσεεσ

εεε

σσεεσ

εεε

σσσε

εσσσε

ε

vvv

vvv

z روی هادی پائينz

an ˆˆ0

==

( )1221

1202 ˆ.0

ddV

nDzs σσσε

ρ+

−===v

( ) ( )1221

21120122 dd

VDDdz

σσσεσε

ρ+−

=−==

فصل چهارم الکترومغناطيس -- -- -- -- -- -- -- --- - -- -- -- --- - ---

٨

z روی هادی باالdz

an ˆˆ −==

( )1221

2101 ˆ.

ddV

nDdzs σσσε

ρ+

===r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )2121

012011

2121

0200120212

2121

021021

ˆ..

ˆ.ˆ.0

ddV

aPnPdz

ddV

VPPdz

ddV

aPnPz

zps

ps

zps

σσεεσ

ρ

σσεεεεσ

ρ

σσεεσ

ρ

+−====

+−−−

=−==

+=−===

vvv

vv

vv

)در خصوص رفتار زمانی توزیع بار ) transient( برای بررسی حاالت گذرا :نکته )ρ قبل از رسيدن

)اندگار به حالت م )∞→tبقرار زیر عمل می شود.

εδدر صورت همگن بودن محيط یا ثبات ( ,( ερρ

=∇∂∂

−=∇ Et

Jvv

.,.

( )

( ) ( ) ( ) τρρρεσρ

ρερσ

ρσ

ρσ

tett

tt

t

tE

tE

−=⇒=+

∂∂

∂∂

−=

∂∂

−=∇

∂∂

−=∇

00

.

.

v

v

( )

( )0

1Re

0

0

==

==⇒==

te

tmelaxationTi

ρρ

ρτρσετ

δε

.تشخيص هادی خوب و یا عایق خوب استمعياری برای

turgoodConducif

tricgoodDielecif

⇒<<

⇒>>

1

1

σεσε

این معيار بصورت ن،ماز در حالت ميدان های متغير با(ωεσ

)نظر گرفته می شوددر