www.easymaths.hu FGGVNYVIZSGLAT .

a matek vilgos oldala Mosczi Andrs

1

ALAPDERIVLTAK

0)( c

xx cos)(sin 21

1)(arcsin

xx

1)( nn xnx

xx sin)(cos 21

1)(arccos

xx

111

1)()(

nnn xn

xx x

tgx2cos

1)(

21

1)(

xarctgx

xx ee )( x

ctgx2sin

1)(

aaa xx ln)( chxshx )(

xx

1)(ln

shxchx )(

axxa

ln

11)(log

xchthx

2

1)(

DERIVLSI SZABLYOK Pldk

1. fcfc )( 23 35)5( xx

2. c

f

c

f

7

5

7

45 xx

3. gfgf )( x

xxx1

2)ln( 2

4. gfgfgf )( x

xxxxx1

ln3)ln( 323

5. 2g

gfgf

g

f

x

xxxx

x

x2

22

ln

1ln2

ln

6. 2f

fc

f

c

232

32

35

2

5

x

x

x

7. )())(())(( xgxgfxgf )53(5

1)5ln( 2

3

3

xxx

xx

TTEL: A loklis szlsrtk ltezsnek szksges felttele

Ha f differencilhat az 0x helyen s f -nek loklis

szlsrtke van az 0x helyen, akkor 0)( 0 xf .

lok. min/max 0f

TTEL: A loklis szlsrtk ltezsnek elgsges felttele

Ha f ktszer differencilhat az 0x helyen valamint

0)( 0 xf s 0)( 0 xf akkor 0x loklis minimum, ha pedig

0)( 0 xf s 0)( 0 xf akkor 0x loklis maximum.

0

0

f

flok. min

0

0

f

flok max

www.easymaths.hu FGGVNYVIZSGLAT .

a matek vilgos oldala Mosczi Andrs

2

MONOTONITS S KONVEXITS

A TELJES FGGVNYVIZSGLAT MENETE

f + 0 0 +

monotonits lok. max

lok. min

f 0 +

konvexits konkv Inflexio konvex

434

)(

x

xxf

1.LPS: RTELMEZSI TARTOMNY Df

Ez tulajdonkppen a kikts:

prosittez 0

pratlanbrmiittez

0log ittez 0neveztrt

Most nincs gyk s nincs logaritmus, de trt van, teht 3x

2.LPS DERIVLS

8

34

3

34434

x

xxxxf

A derivltat kicsit rendbe rakjuk, kiemelnk, egyszerstnk

58

3

8

3

8

33

3

1212

3

161243

3

44343

3

34434

x

x

x

xxx

x

xxx

x

xxx

www.easymaths.hu FGGVNYVIZSGLAT .

a matek vilgos oldala Mosczi Andrs

3

easymaths.hu

3.LPS A DERIVLT ELJELNEK VIZSGLATA

101212 xx

53

1212)(

x

xxf 303 xx

Egyenknt berajzoljuk a tnyezk eljelt. - -1 + 3 - Ha negatv, azt szaggatott vonallal, ha pozitv, azt folytonos vonallal.

4.LPS MSODIK DERIVLT

10

45

53

351212312

3

1212)(

x

xxx

x

xxf

A msodik derivltat is kicsit rendbe rakjuk, kiemelnk, egyszerstnk

610

4

10

4

10

45

3

9648

3

606036123

3

512123123

3

351212312

x

x

x

xxx

x

xxx

x

xxx

5. LPS A MSODIK DERIVLT ELJELE

209648 xx

63

9648)(

x

xxf 303 xx

Egyenknt berajzoljuk a tnyezk eljelt. - -2 + 3 + Ha negatv, azt szaggatott vonallal, ha pozitv, azt folytonos vonallal.

Az els derivlt eljelbl a fggvny nvekedsre s cskkensre kvetkeztethetnk, a msodik derivlt eljelbl pedig a konvexitsra. Mindezt sszefoglaljuk egy remek tblzatban.

www.easymaths.hu FGGVNYVIZSGLAT .

a matek vilgos oldala Mosczi Andrs

4

Feladatok

Hatrozzuk meg az albbi fggvnyek monotonitsi szakaszait, loklis szlsrtk helyeit, konvex konkv szakaszait s inflexis pontjait!

6.1. xexxf 64)(

6.2. 23

2)(

x

xxf

6.3. A derivlt eljelnek vizsglathoz kzs nevezre kell hozni. Az res karika nem maximum s nem inflexis pont.

xxexf

1

)(

6.4. Adja meg az albbi fggvny monotonitsi szakaszait, valamint konvex, konkv

szakaszait s inflexis pontjait! rja fl az rint egyenlett az 40 x abszcisszj pontban!

23)3ln(2)( xxxf

easymaths.hu

AZ ELS S A MSODIK DERIVLT ELJELT BELERAKJUK EGY TBLZATBA

2, 2x 1,2 1x 3,1 3x ;3 f - - - 0 + sz. -

monotonits lok.min sz.

f - 0 + + + sz. + konvexits inflexio sz.

6. LPS HATRRTK Df SZLEIN

0

3

4lim

4

x

x

x

0

3

4lim

4

x

x

x

0

20

3

4lim

43 x

x

x

7.LPS RAJZ

-2 -1 3

www.easymaths.hu FGGVNYVIZSGLAT .

a matek vilgos oldala Mosczi Andrs

5

6.5.Az res karika nem maximum s nem inflexis pont.

21

)(x

xxf

6.6. A derivlt eljelnek vizsglathoz kzs nevezre kell hozni. Az res karika nem maximum s nem inflexis pont.

2)4(

3

x

xxf

6.7. A derivlt eljelnek vizsglathoz kzs nevezre kell hozni. Az res karika nem maximum s nem inflexis pont.

3

92

x

xxf

6.8. A derivlt eljelnek vizsglathoz kzs nevezre kell hozni. Az res karika nem

maximum s nem inflexis pont. rja fl az rint egyenlett az 20 x abszcisszj

pontban!

2

82

xxxf

6.9. Adja meg az albbi fggvny monotonitsi szakaszait!

rja fl az rint egyenlett az 10 x abszcisszj pontban!

2

10)(

2

x

xxxf

Hatrozzuk meg az albbi fggvnyek monotonitsi szakaszait, loklis szlsrtk helyeit, konvex konkv szakaszait s inflexis pontjait!

6.10.22 )1ln()1ln()( xxxf

6.11.2

3 4)(

x

xxf

6.12.2

2 1)(x

xxf

6.13.xxexf )(

6.14. xxexf 2)(

6.15.224)( xxexf

6.16. 2

)( xxexf

6.17. 22

xxexf

6.18. xexxf 2

6.19.x

exf

x

1

)(

6.20. 3)2(

x

xxf

6.21. 2)7(

7

x

xxf

6.22. 4

1

1

x

xxf

6.23. xxxf ln2

6.24. 2ln xxxf

6.25.x

xxf1

ln)(

www.easymaths.hu FGGVNYVIZSGLAT .

a matek vilgos oldala Mosczi Andrs

6

6.26.22 ln)( xxxf

6.27. 124)( 34 xxxf

6.28. 22 4

3)(

x

xxf

6.29. 22 12

4)(

x

xxf

6.30. 2)( xarctgxf

6.31. 1)( xearctgxf

6.32.

4)(

x

xarctgxf

6.33.

x

earctg

e

xarctgxf

x

x)(

6.34. 3 23 2 11)( xxxf

6.35. xxxf 44 cossin)(

6.36. xxxf 2sincos2)(

6.37. rjuk fl az

252)( 3 xxxf

fggvny azon rintjnek egyenlett, amely a fggvny grafikonjt negatv abszcisszj pontban rinti, s prhuzamos az y=14x-7 egyenessel!

6.38. rjuk fl az

67)( 2 xxxf

fggvny azon rintjnek egyenlett, amely a fggvny grafikonjt pozitv abszcisszj s 14 ordintj pontban rinti!

6.39. rjuk fl az

xexf x 6)( 2

fggvny azon rintjnek egyenlett, amely prhuzamos az y=8x-16 egyenessel!

6.40. rjuk fl az

5)( xexf

fggvny azon rintjnek egyenlett, amely merleges az y=2x+1 egyenesre!

6.41. Milyen paramter esetn halad t az albbi fggvny grafikonjhoz a P(0;1) pontban hzott rint a Q(4;13) ponton?

1ln)( 2 xexf x 6.42. Milyen paramter esetn halad t az albbi fggvny grafikonjhoz az x0=1 abszcisszj pontban hzott rint a Q(3;-3) ponton?

3)( 21 xexf x

6.43. Milyen paramter esetn halad t az albbi fggvny grafikonjhoz az x0=5 abszcisszj pontban hzott rint a Q(3;e) ponton?

4)( xexxf