funciones exponenciales y logaritmicas med

c

MatemáticaSerie 2 para estudiantes de SecundariaMis actividades MatemáticasFascículo 9: FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Ministerio de EducaciónVan de Velde 160, San Borja

Primera edición, 2007Tiraje: 28 000 ejemplaresImpreso en Empresa Editora El Comercio S.A.Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318,Chacra Ríos Sur, Lima 01

Hecho el Depósito Legal en laBiblioteca Nacional del PerúNro. 2007-00303

Coordinación y supervisión general MED

Antonieta Cubas MejíaSupervisión pedagógica MED

Sonia María Escalante Huamaní Verificación de estilo MED

Miguel Humberto Fuentes Huerta

Autoría

Ediciones El Nocedal S.A.C.Coordinador

Rubén Hildebrando Gálvez ParedesElaboración pedagógica

Felipe Eduardo Doroteo PetitItala Esperanza Navarro MontenegroEdgar Justo Chacón NietoDaniel José Arroyo Guzmán Revisión pedagógica

Hno. Marino La Torre MariñoRevisión académica

Armando Zenteno RuizDiseño y diagramación

Virginia Rosalía Artadi León.

Ilustraciones

Patricia Nishimata OishiBrenda Román GonzálezFotografía

Enrique BachmannCorrector de estilo

Marlon Aquino Ramírez

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Z_Creditos Ser2 Est. 01-10.indd 9Z_Creditos Ser2 Est. 01-10.indd 9 5/28/07 3:55:20 PM5/28/07 3:55:20 PM

Muchas veces, al desarrollar un tema en clase no se considera ciertos aspectos que son muy importantes para el estudiante, como son la parte histórica detrás de un concepto o teorema, o la parte de cómo se aplican estos conceptos. La Matemática es una ciencia que no está desligada de nuestra realidad, todo lo contrario, si observamos atentamente el paisaje que nos rodea encontraremos una aplicación de algún concepto matemático. Por esta razón, el papel del estudiante es ahondar sobre los temas desarrollados y relacionarlos con su entorno.

En el fascículo Funciones Exponenciales y Logarítmicas desarrollamos el estudio de estas funciones y sus aplicaciones en el entorno, como, por ejemplo, sus aplicaciones en las operaciones bancarias, en la Demografía y en otras ciencias. Todo esto acompañado de actividades que permiten analizar las ventajas y desventajas de diferentes instrumentos y, a la vez, tomar decisiones sobre los planes óptimos para comprar los seguros más convenientes, entre otras.

En base a ello, desarrollamos el estudio de las funciones exponenciales y logarítmicas de manera sencilla e ilustrativa. Empezamos estableciendo el concepto de función exponencial y logarítmica, así como sus propiedades e importancia en la explicación de muchos fenómenos naturales mediante los Modelos Matemáticos; específi camente, el crecimiento y decaimiento exponencial, los cuales son fundamentales en el desarrollo del fascículo. Luego, se presentan las aplicaciones de estas dos funciones en operaciones fi nancieras, demografía y desintegración radioactiva.

Complementamos el fascículo con aprendizajes esperados, estrategias para la recuperación de saberes previos, el desarrollo de estrategias de aprendi-zaje, metacognición, evaluación, curiosidades matemáticas, bibliografía y enlaces web.

PRESENTACIÓN

Z_PAG03Fasc9.indd 1Z_PAG03Fasc9.indd 1 5/30/07 8:12:40 PM5/30/07 8:12:40 PM

ÍNDICEPresentación. .......................................................................................................................... 1Índice ..................................................................................................................................... 2Organizador visual de contenidos ......................................................................................... 3 Motivación ............................................................................................................................. 4Logros de aprendizaje ............................................................................................................ 4Recuperación de saberes previos ........................................................................................... 4

1. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS ................................................................... 5 1.1 La Función Exponencial .......................................................................................... 5 1.2 El número e .............................................................................................................. 5 1.3 Logaritmos ............................................................................................................... 6 1.4 Función logarítmica ................................................................................................. 7 1.5 Crecimiento y decrecimiento exponencial ............................................................... 8 Actividad 1 ...................................................................................................................... 9

2. APLICACIONES EN LAS OPERACIONES BANCARIAS .............................................................. 10 2.1 Monto compuesto anualmente ................................................................................. 11 2.2 Monto compuesto con periodos fraccionarios ......................................................... 11 2.3 Monto compuesto con capitalización continua ........................................................ 14 2.4 Eligiendo la mejor opción ........................................................................................ 15 2.5 Créditos hipotecarios ............................................................................................... 17 2.6 Créditos personales .................................................................................................. 19 Actividad 2 ...................................................................................................................... 21

3. APLICACIONES EN LA DEMOGRAFÍA ................................................................................. 23 3.1 Crecimiento exponencial ......................................................................................... 23 3.2 Crecimiento logístico ............................................................................................... 26 Actividad 3 ...................................................................................................................... 28

4. EVALUACIÓN .................................................................................................................... 295. METACOGNICIÓN .............................................................................................................. 30

Bibliografía comentada .......................................................................................................... 31Enlaces web ............................................................................................................................ 32


3

Fascículo 9 / FUNCIONES EXPONENCIALES Y

LOGARÍTMICAS

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4

Serie 2 / MIS ACTIVIDADES MATEMÁTICAS

■ Discrimina las reglas de correspondencia, y las gráfi cas de las funciones exponencial y logarítmica, mediante la observación, de manera conciente y comprensiva.

■ Analiza las reglas de correspondencia, y las gráfi cas de las funciones exponencial y logarítmica, mediante la observación, la diferenciación, la identifi cación, la relación o comparación y la organización de la información recibida.

■ Aplica los conceptos de las funciones exponencial y logarítmica en las operaciones fi nancieras, en Demografía y desintegración radioactiva, mediante los modelos planteados.

■ Interpreta enunciados presentados en un lenguaje común a través de la lectura, la decodifi cación, la clasifi cación, la discusión, la representación.

■ Procesa los enunciados de problemas que involucran funciones exponenciales y logarítmicas, a través de la interpretación, la transformación y resolución mostrando confi anza en sí mismo.

MotivaciónExiste una multitud de fenómenos naturales que pueden ser regidos por la función exponencial y su inversa, la denominada función logarítmica; estas funciones también se aplican en la Química, en la Física, en la Economía, en la Medicina, en la Demografía, etc.El árbol de la imagen es una muestra de crecimiento exponencial. Así, también presentan comportamiento exponencial la reproducción de una colonia de bacterias, la desintegración de una sustancia radioactiva, algunos crecimientos demográfi cos, la capitalización de un dinero colocado a interés compuesto, la ley que rige el enfriamiento de un objeto en un ambiente con menor temperatura, etc.En la fi gura se muestra un árbol en el cual la formación de sus ramas se realiza de manera exponencial, es decir, de cada rama se genera dos ramas, de cada una de estas dos ramas se genera otras dos ramas y así sucesivamente.

Lee atentamente las siguientes preguntas y responde en una hoja aparte.1. Si la función f de variable real tiene como regla de

correspondencia: entonces: a. ¿Cúal es el rango de f ?

b. ¿Qué valor toma ? c. ¿Está definido f (0)? Justifica tu respuesta. d. ¿f es creciente. si x ∈ < 0, 1 >? ¿Por qué? e. ¿f es decreciente si x ∈ < 0, 4]? ¿Por qué?2. ¿Qué valor debe tomar x para que se cumpla la si-

guiente igualdad: 3x = 81?3. Averigua: ¿Qué diferencia hay entre el crédito hipo-

tecario y el crédito “Mi vivienda”?

RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS

FUNCIONES y

LOGARÍTMICAS

El árbol, una muestra de crecimiento exponencial.

http://www.rinconesdelatlantico.com/num2/13/almendro.jpg

EXPONENCIALES

LOGROS DE APRENDIZAJE


5


LOGARÍTMICAS

El número de cabinas de Internet en el Perú se ha multiplicado y la competencia entre ellas ha hecho que las tarifas (el costo por una hora de servicio) sean más accesibles a las grandes mayorías. Debido a esto, el número de usuarios de Internet se ha incrementado signifi cativamente.

Analicemos la siguiente situación:

El número de usuarios de Internet en el distrito de Independencia se duplica cada año. En este momento, 10 000 usuarios utilizan la red. Si continúa produciéndose este fenómeno, ¿cuántos usuarios habrá dentro de tres años?

Sean: x: el tiempo en años. y: la cantidad de personas que utilizan los servicios de Internet en el distrito de Independencia. Tenemos: El año que viene habrá: (10 000) 2 = (10 000) 21 = 20 000 usuarios El año siguiente: (20 000) 2 = (10 000) 22 = 40 000 usuarios Dentro de tres años: (40 000) 2 = (10 000) 23 = 80 000 usuarios.

Y así sucesivamente. Por lo tanto, el número de usuarios se puede expresar en función del tiempo mediante la fórmula y = (10 000) 2x Este tipo de funciones en las que la variable es un exponente, se llaman funciones exponenciales.

1. FUNCIONES

LOGARÍTMICASEXPONENCIALES

1.1 La Función Exponencial

Defi nición:

Sea a + , a ≠ 1; se llama función exponencial de base a, a la función

y

Gráfico de la función y = (10 000)2x

0

10 00020 00030 00040 00050 00060 00070 00080 000

y = (10 000)2x

y

x

Si x es positiva los valores de y van creciendo rápidamente.

El punto (0;10 000)indica que en el momento actual la red tiene 10 000 usuarios

1 2 3

Analicemos la función f real de variable real cuya regla de correspondencia está defi nida por :

f xx

x

( )= +Ê

ËÁ

ˆ

¯˜1

1

1.2 El número e


6


PROPIEDADES DE LASFUNCIONES EXPONENCIALES

1. El gráfi co interseca al eje Y en el punto (0;1).

2. El punto (1; a) pertenece al gráfi co .3. f(x) > 0 x , es decir, f (x) es

positiva. 4. Es creciente. 5. Si x tiende a + , entonces f (x)

tiende a + .6. Si x tiende a – , entonces f (x)

tiende a 0.7. Es inyectiva.

1. El gráfi co interseca al eje Y en el punto (0;1).

2. El punto (1; a) pertenece al gráfi co.3. f (x) > 0 x , es decir, f (x) es

positiva. 4. Es decreciente. 5. Si x tiende a + , entonces f (x) tiende

a 0.6. Si x tiende a – , entonces f (x)

tiende a + .7. Es inyectiva.

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

a. Observamos que la regla de correspondencia tiene la forma de una fun-ción exponencial, luego, la base debe ser mayor que cero y diferente a uno, es decir:

1

1 1 > 0 > 0+ fi

+x

xx

Resolviendo la inecuación aplicando el método de variación de signo te-nemos:

• Igualando a cero cada factor lineal, obtenemos los puntos céntricos: x + 1 = 0 → x = –1; x = 0

• Los representamos en la recta real:

Volvamos al ejemplo sobre los usuarios de la internet en el distrito de Inde-pendencia; si queremos saber, por ejemplo, en qué tiempo se alcanzará la cifra de 60 000 usuarios, tenemos que resolver la ecuación:

(10 000) 2x = 60 000 Es equivalente a resolver: 2x = 6

1.3 Logaritmos

Leonard Euler

http://robpal.w.staszic.waw.pl/

matematycy/euler.JPG

c. Tabulamos algunos valores de x, tal que, x ∈< -∞; -1 >

d. Ubicamos en el plano cartesiano los puntos obtenidos en b. y c.; traza-mos la curva.

e. Observamos que f (x) se aproxima al número 2,71828 con una aproximación de cinco decimales, pero con un valor aproximado a 20 decimales es:

e ≈ 2,71828182845904523536

Luego, x∈< –∞; –1> <0; ∞>

b. Tabulamos algunos valores de x, tal que x∈< 0; ∞ >

+

–1

+–

x 1 2 3 5 6 7 8 9 ... 100 ... ∞f 2 2,25 2,37 2,49 2,52 2,55 2,57 2,59 2,70 2,71182

x –15 –2 –3f (y) 5,20 4 3,38

Luego, cuando la base de la función exponencial es e, se tiene: f : → / f (x) = ex

Llamada función exponencial natural.

Y

X

1

1

Y

X0

e

a

Y

Xa

0

f (x)

f (x)


7


LOGARÍTMICAS

Si la base es 10, entonces log10 N se escribe log N, llamado logaritmo decimal de N.

Si la base es e = 2,718281828…, entonces loge N se escribe ln N, llama-do logaritmo natural de N.

Defi nición: Sean a y N números positivos, además a 0; entonces el logaritmo de N en base a denotado por log a N , es el exponente al que hay que elevar la base a, para obtener N.

Simbólicamente:

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Las calculadoras disponen de

dos teclas para calcular los

logaritmos, en base e (naturales) y

en base 10 (decimales).

Como la función exponencial es inyectiva en todo su dominio existe una función inversa f –1 tal que:

f –1(x) = y x = f(y) Defi nición de función inversa x = ay

log a x = y Defi nición de logaritmos

Luego, se deduce que: f –1(x) = log a x

A la función f –1 se le llama función logaritmo, y es la inversa de la función exponencial. Los gráfi cos de dichas funciones son simétricos respecto a la diagonal del plano cartesiano.

1.4 Función logarítmica

La magnitud de los terremotos se mide utilizando la escala de Ritcher, que es una escala logarítmica.

http://www.proteccioncivil.org/pefn/gmartin/gmartin04.htm

1. f (1) = 0, es decir, la gráfi ca pasa por (1;0).2. f (a) =1, es decir, la gráfi ca pasa por (a;1).3. es inyectiva.

5. es creciente. 6. si x tiende a + entonces f (x) tiende a + .

7. si x tiende a 0 entonces f (x) tiende a – .

PROPIEDADES

Cuando la base es el número de Euler e, a la función f f x x: / ( ) ln° °+ → = se le llama función logaritmo natural.

Defi nición: Dado un número positivo a 1; se llama función logaritmo de base a, a la función.

La frase: “x es el exponente al que hay que elevar la base 2 para obtener el número 6”, se traduce al lenguaje matemático mediante la expresión: “x es el logaritmo en base 2 de 6”, que se escribe abreviadamente x = log2 6 ( años aproximadamente).

Luego, 60 000 usuarios visitan Internet durante 2 años, 6 meses y 29 días.

1

1

Y

X0 a


8


a > 1 0 < a < 1

1. f (1) = 0, es decir, la gráfi ca pasa por (1;0).

2. f (a) =1, es decir, la gráfi ca pasa por (a;1).

3. es inyectiva.

4. es continua en ⟨0,+ ⟩.

5. es decreciente.

6. si x tiende a + , entonces f (x) tiende a - .

7. si x tiende a 0, entonces f (x) tiende a + .

Muchas veces los científi cos pueden expli-car el desarrollo de los fenómenos naturales mediante los modelos matemáticos, siendo la función exponencial y logarítmica funcio-nes que intervienen en diferentes modelos, principalmente en los modelos relacionados con la Demografía, Economía, Física, Quí-mica, Biología y otros.

El crecimiento y decaimiento exponencial son modelados por funciones exponenciales cuya regla de correspondencia está dada por:

f x x( ) = Cak

Donde Cakx > 0 es una constante real. El crecimiento es modelado por una base a >1, mientras que el decrecimiento es modelado por una base 0 < a < 1.

Muchos de los modelos exponenciales utilizan como base al número e (nú-mero de Euler), y tienen la siguiente forma:

f x C ekx( ) =

1.5 Crecimiento y decrecimiento exponencial

Multiparamétrico de sobremesa PC 5500, utilizado para determinar el pH, es decir, mide la acidez o basicidad de una disolución; utiliza una escala logarítmica.

página: www.jaelsa.com/ambiente9.html

CRECIMIENTO EXPONENCIAL DECRECIMIENTO EXPONENCIAL

John NapierJohn Napier nació en Edimburgo, Escocia, en 1550. El estudio de las Matemáticas era un simple pasatiempo, aunque Napier decía que no tenía tiempo sufi ciente para dedicarse de lleno a esta disciplina. Sin embargo, él pasó a la historia como un célebre matemático por la invención de los logaritmos y de varias contribuciones a distintas ramas de la Matemática: la Geometría, la Trigonometría esférica, el Álgebra y las matemáticas comerciales. Inventó lo que se conoce como las regletas de Napier (llamados “Huesos de Napier”) que era un instrumento para multiplicar que luego se popularizó en la época del Renacimiento.Dice en su libro Mirifi ci logarithmorum canonis descriptio… : “Viendo que no hay nada más problemático en la práctica matemática y nada más molesto que hacer cálculos, multiplicaciones, divisiones, raíces cuadradas y cúbicas de números muy grandes….he trabajado arduamente en resolver esos problemas….”.Napier murió en Edimburgo el 4 de abril de 1617 habiendo no solo hecho muchísimas aportaciones propias a la ciencia, sino también apoyado a cientos de hombres que como él hicieron del Renacimiento una época muy fecunda en la historia del conocimiento.Fuente: http://aula.elmundo.es/aula/laminas/lamina1046254797.pdf

1

a

Y

X

C

1

Y

X

y = C . 3 x

y = C . 2 x

y = C . 4 x

y = C . (1/2) xy = C . (1/3) x

y = C . (1/4) x Y

X

C

http://images.scotsman.

com/2005/02/03/john-napierb.jpg


9


LOGARÍTMICAS

Detector I0

x

Detector I

Supóngase que se envía un haz delgado de intensidad I0 (número de fotones) de rayos X o gamma monoenergéticos sobre un material de espesor x, y se coloca detrás de este un detector, como lo muestra la fi gura. En el material, el haz será atenuado por las interacciones con el material, llegando al detector solo la cantidad I, menor que I0 .La atenuación obedece la ley exponencial: I(x) = I0e – mx , donde e es la base de los logaritmos naturales, y m se llama coefi ciente lineal de atenuación. Normalmente x se expresa en unidades de cm, por lo que m estará dado en cm–1.

Atenuación de los Rayos X y Gamma

Actividad 1

Analiza las reglas de correspondencia y los gráfi-cos de las funciones exponenciales y logarítmicas en cada uno de los siguientes ejercicios mediante la observación, diferenciación, la identificación, la relación o la comparación y la organización de la información recibida, mostrando perseverancia en su desarrollo.

1. Sea f = → / f(x) = ax la regla de correspon-dencia de una función exponencial.

a. Si f (n + 1) = 1 determina el valor de n. b. Si f (n –1 ) = a determina el valor de n. c. Si f (n2 – 6n + 8) =1 determina el valor de n. d. Si f (n2 – 2n + 2) = a determina el valor de n.

Compara y comenta con tus compañeros los valoresobtenidos.

2. Sea , la regla de correspondencia de una función logarítmica.

Indique con V o F según corresponda: a. si a > 1, entonces f es decreciente .......... ( ) b. Si 0 < a <1, entonces f no es creciente.... ( ) c. No existe a tal que f (a) = a ............. ( )

3. Sea f : + → / f (x) = logax la regla de correspondencia de una función logarítmica.

a. Si f (n2 – 3) = 0 determina el valor de n b. Si f (4n – 1)= 1 determina el valor de n c. Si f (2n) = 1 determina el valor n

4. A Javier le ofrecen un trabajo para realizarlo en una semana, y le proponen dos alternativas de pago:a. Doscientos cuarenta nuevos soles al término

de la semana.

b. Dos nuevos soles el primer día de la semana, cuatro nuevos soles el segundo día, ocho nuevos soles el tercero y así sucesivamente hasta el sétimo día.

Ayuda a Javier a tomar la mejor opción.

5. Traza la gráfi ca de la función f cuya regla de co-rrespondencia es f (x) = 2x, entre 0 y 100, usando una escala de 10 unidades por cm, indica cuáles son las dimensiones de la hoja para trazar esta gráfi ca.

6. Completa los valores que faltan en la siguiente tabla:

¿Qué función crece más rápidamente?: y = ln (x) ó y = log (x)?

Problema para investigar

Con la ayuda de una calculadora construye una ta-bla de valores y grafi ca la siguiente función f, cuya regla de correspondencia es:

Llamada función de densidad de la distribución normal estándar, utilizada en Estadística, para el cálculo de probabilidades.

x 1/2 1 e 10 100 1000 10 000ln x 0 1log x 0 1


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Cuando realizas una operación bancaria como, por ejemplo, cuando solicitas algún préstamo para solucionar algunas de tus necesidades (gastos médicos, adquirir artefactos, un viaje, paquetes turísticos, etc.) o fi nanciar la compra de bienes y/o servicios (adquirir una vivienda, un automóvil, gastos en edu-cación, etc.) debes cumplir con ciertas condiciones impuestas por la entidad bancaria. Una vez que obtienes tu préstamo (capital) debes saber cuánto vas a pagar mensualmente, es decir, qué cantidad amortizas del capital mensual-mente y cuánto pagas de interés mensual. Esto está en función del capital que recibes y el tiempo en que deseas pagarlo.

Interés Compuesto

Llamado también proceso de capitalización, es decir, cuando el interés que genera un capital prestado se acumula al capital al fi nal de cada intervalo de tiempo previsto.

Analicemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1:

Préstamo Bancario

Javier se presta de una entidad bancaria la cantidad de S/. 4 000 durante 3 años a una tasa de interés del 10 % que se capitalizan al fi nalizar cada año. Ayude-mos a Javier a calcular el monto que va a pagar en la fecha de vencimiento.

Resolución:

Identifi camos los datos del problema: C = S./ 4 000 ; t = 3 años ; tasa = 10%.

Por condición del problema, la capitalización es anual, esto signifi ca que anualmente los intereses se acumulan al capital. Como el préstamo es a 3 años, la tasa es 10 % anual y la expresamos como 0,1.

Como: M = C + I M = C + C. r .t

Calculemos los montos después de cada año, es decir: M1; M2; M3.Como la capitalización es anual t = 1, luego, utilizaremos la fórmula M = C (1 + r t)

2. APLICACIONES

Capital (C): es el dinero que se va a invertir.Tiempo (t): es el periodo duran-te el cual se va a ceder el capital.Interés (I): es la ganancia o utilidad que produce el capital, durante cierto tiempo.Tasa de Interés (r %): es el porcentaje que se aplica al capital durante cierto tiempo.Monto (M): es la suma del capital más los intereses.Interés (I): I = C . r % . tMonto (M): M = C + IAmortizar: reembolsar gradualmente el capital de un préstamo o deuda.

Recuerda

OPERACIONESBANCARIAS

en las

Los bancos tienen un papel

importante en el sistema financiero.

http://www3.librededroits.com/

lowres/Pixtal/single/thumbnail/

WE007471.jpg


11


LOGARÍTMICASReemplazando los datos tenemos:

Primer año : M1 = 4 000(1+ 0,1 (1)) M1 = 4 000 (1,1) M1 = 4 400

Segundo año : M2 = M1 (1+ 0,1 (1)) M2 = 4 400 (1,1) M2 = 4 840

Tercer año : M3= M2 (1+ 0,1 (1)) M3 = 4 840 ( 1,1) M3 = 5 324

Luego, Javier abona un monto de 5 324 nuevos soles.

Ejemplo 2:

Si tienes ahorrado $500 en una entidad bancaria, esta cuenta de ahorro te pa-gará un interés compuesto. Suponiendo que el banco paga una tasa de interés del 6 por ciento anual, ¿cuánto dinero recibirás después de cinco años?

Resolución:

Este es un problema que involucra el interés compuesto anualmente, por lo tanto, apliquemos la fórmula del interés compuesto: M(t) = C0 (1 + r )t

Paso 1: Sustituye Co, r, y t por los valores 500; 0,06 y 5, respectivamente.

M(5) = 500(1 + 0.06)5

Paso 2: Utiliza una calculadora científi ca para operar:

M(5) = 669,11

Luego, al fi nal del quinto año recibes $ 669,11

Los procesos empleados en la resolución del problema nos permiten deducir una fórmula para calcular el monto que se debe pagar al fi nal del tiempo previsto para el préstamo, es decir, una fórmula del interés compuesto, así:

Primer año: M1 = C0(1 + r)

Segundo año: M2 = M1 (1 + r) ⇒ M2 = C0(1 + r) (1 + r) ⇒ M2 = C0(1 + r)2

Tercer año: M3 = M2 (1 + r) ⇒ M3 = C0(1 + r)2 (1 + r) ⇒ M3 = C0(1 + r)3

n-ésimo año: Mn = C0(1 + r)n

Este es el monto de un capital C0 impuesto al r % de interés compuesto anual. Cuando el tiempo t, dado en años, no es un número natural utilizamos la fórmula:

M(t) = C0 (1 + r )t

Donde: M(t) : monto o capital futuro

C0 : capital inicial

r : tasa de interés anual, expresada como número décimal.

t : tiempo (en años)

Si r y C0 permanecen constantes, entonces el monto M(t) es una función exponencial cuya variable es el tiempo t. Analicemos el siguiente ejemplo:

2.1 Monto compuesto anualmente

Modelo matématico del monto

compuesto anualmente.

Muchas operaciones bancarias

se resuelven sin problemas con

la calculadora científica; por

eso, es importante saber su

funcionamiento.

http://www.gnuinos.com/

drupal/?q=node/263

M

t

C0

0

M(t) = C0(1 + r)t

2.2 Monto compuesto con periodos fraccionarios

En la práctica, el interés suele componerse con más frecuencia, digamos n veces al año.


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Ejemplos complementarios:

1. La computadora

El padre de Carlitos Peña ha obtenido un préstamo de S/ 1 600 a 3 años con interés del 7 % capitalizable anualmente, para poder comprar una compu-tadora. Calcula el monto que debe pagar en la fecha de vencimiento.

Resolución: Datos: C = 1 600 ; t = 3 ; r = 0,07 Para calcular el monto utilizamos: M(t) = C(1 + r)t

Luego: M(3) = 1 600 (1 + 0,07)3 M(3) = 1 600 (1,07)3

M(3) = 1 969,06 Por lo tanto, el monto que deberá pagar el padre de Carlitos es de

S/. 1 960,06.

2. La guitarra

Pedro Morales, un joven músico deposita S/. 1 200 en una cuenta de aho-rros que paga el 11% con capitalización anual. Si él desea comprar, en el futuro, una guitarra profesional de S/. 1 500, ¿en qué tiempo se tendrá el monto para hacer la compra?

Si la capitalización es: Anual n=1 Semestral n=2 Trimestral n=4 Bimestral n=6 Mensual n=12 Diario n=360

El uso de las alcancías para ahorrar

el dinero está muy difundido a

nivel mundial, mostrando a niños y

jóvenes la importancia del ahorro.

http://kntacuentos.blogspot.

com/2006_05_01_kntacuentos_

archive.html

Entonces, en cada periodo de composición la tasa de interés es r/n y, si existen nt periodos de composición en t años, el nuevo monto después de t años es:

M(t) = C0(1 + r/n)nt

Donde: M(t) : Monto o capital despues de t años. C0 : Capital inicial. r : Tasa de interés anual expresada como un número decimal. n : Periodos de capitalización (en un año). t : Tiempo (en años).

Resolvamos un problema que involucra el interés compuesto durante el año.

Ejemplo 3:

Jaime realiza un depósito de $1 000 en una entidad bancaria a una tasa de interés de 8 % con capitalización trimestral. ¿Cuánto dinero recibirá Jaime después de dos años?

Resolución:

Paso 1: Los datos son C0 = 1000; r = 0,08; n = 4 (trimestral) y t = 2

Paso 2: Sustituyendo los datos en la fórmula tenemos:

M(t) = C0 (1 + r/n)nt M(2) = 1000(1 + 0,08/4)4(2)

Paso 3: Utilizando una calculadora científi ca obtenemos:

M(2) = 1000(1,02)8 M(2) = $ 1 171,66

Después de los dos años de depósito, Jaime recibe 1 171.66 dólares ame-ricanos.


13


LOGARÍTMICAS Resolución: Datos: C = 1 200 ; r = 0,11 ; M(t) = 1 500 Para calcular el monto utilizamos: M(t) = C(1 + r)t

Luego: 1 500 = 1 200 (1 + 0,11)t

15001200 1 11 1 25 1 11=( , ) , ( , )t t⇒

Tomando logaritmos:fi =

fi = fi =

ln , ln( , )ln ,ln , ,

1 25 1 111 251 11 2 14

t

t t

Por lo tanto, para poder hacer la compra de la guitarra debe transcurrir 2 años.

3. El segundo piso La familia Paredes deposita S/. 7 500 en una cuenta de ahorros que paga

el 9% con capitalización bimestral para poder construir el segundo piso de la casa, el cual se estima en S/. 10 500. ¿En qué tiempo se tendrá el monto que permita la construcción?

Resolución: Datos: C = 7 500 ; r = 0,09 ; n = 6; M(t) = 10 500 Luego:

Tomando logaritmos:

6t 1n1,015

6t 1n1,015 Luego, el tiempo que debe pasar para tener el monto requerido es de

3,77 años.

4. El tractor Juan Quispe es un agricultor que ha obtenido un préstamo de S/. 30 000

a 5 años con interés del 8% capitalizable semestralmente con el fi n de comprar un tractor. Calcula el monto que debe pagar en la fecha de ven-cimiento.

Resolución: Datos: C = 30 000 ; r = 0,08 ; n = 2; t = 5

Para calcular el monto utilizamos M t C( ) = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1n

ntr

Luego:

M M

( ) , ( ) ( , )( )

5 30 000 1 0 082 5 30 000 1 0 04

2 510= + fi = +

Ê

ËÁ

ˆ

¯˜

Mfi =( ) ,5 44 407 34

Por lo tanto, Juan Quispe deberá pagar S/. 44 407,34 en la fecha de vencimiento.

http://www.ciudaddecorrientes.gov.

ar/lamunicipalidad/gobierno/sec_obr_

serv/Fotos/pje_villanueva/construc-

cion.JPG

El préstamo le facilitó a Juan Quispe,

la compra de un tractor.


14

Serie 2 / MIS ACTIVIDADES MATEMÁTICAS 2.3 Monto compuesto con capitalización continua

Cuando el número de periodos de capitalización (en un año) aumenta con-siderablemente (es decir, cuando n se hace inmensamente grande), cada periodo es un intento de tiempo más pequeño que cualquier cantidad arbi-trariamente escogida (es decir, tiende a cero). El interés continuo consiste en acumular el interés al capital, instantáneamente. En este caso, el monto compuesto es:

M(t) = C0e rt

Donde: M(t): monto en el instante t. C0: Capital inicial. r : Tasa instantánea, expresada como número decimal. t: Tiempo (en años)

Ejemplos:

1. Javier invierte una suma de S/. 5 000 en 10 años, determina los montos que recibe a:

a. La tasa efectiva del 6%.

b. La tasa del 6% con capitalización mensual.

c. La tasa del 6% instantánea (o continuo).

c. Los datos son C0 = 5 000; t =10; r = 0,06

Reemplazando en: M(t) = C0 e rt

M(10) = 5 000. e 0,06(10) M(10) = 9 110,60

El monto que recibe Javier a la tasa del 6% instantánea (o continuo) es de S/. 9 110,60

Observemos que el monto es mayor cuando la capitalización es continua.

El monto que recibe Javier a la tasa del 6% con capitalización mensual es de S/. 9096,98

Resolución:

a. Los datos son C0 = 5000; t = 10; r = 0,06

Reemplazamos los datos en M (t) = C0 (1+r) t

M (10) = 5 000 (1+0,06)10

M (10) = 8 954,24.

El monto que recibe Javier a la tasa efectiva del 6% es de S/. 8 954,24.

b. Los datos son C0 = 5 000; t =10; n = 12; r = 0,06

Reemplazamos los datos en: , así

M(10) 9 096,98=


15


LOGARÍTMICASEjemplos complementarios:

1. La herencia: Al recibir una signifi cativa herencia, los padres de Jacky quieren establecer un fondo para la educación superior de su hija. Si ne-cesitan un estimado de S/. 9 000 dentro de 10 años, ¿cuánto dinero deben separar si lo invierten a 8,5% compuesto continuamente?

Resolución:

■ Datos: t = 10 ; M(10) = 9 000; r = 0,085 ■ Sea C0 el dinero que deben separar, para calcularlo utilizamos:

M(t) = C0er.t

■ Luego:

■ Por lo tanto, los padres de Jacky deben separar S/. 3 846,7341 (aproximadamente) para establecer el fondo para la educación supe-rior de su hija.

2. La casa: Los Martínez planean comprar una casa dentro de cuatro años. Los expertos de su área han estimado que el costo de los inmuebles aumentará a razón de 5% compuesto continuamente; durante ese periodo, ¿cuánto ten-drán que pagar los Martínez por una casa que ahora cuesta S/. 65 000?

Resolución:

■ Datos: C = 65 000; r = 0,05; t = 4

■ Para calcular el monto que tendrán que pagar los Martínez, utilizamos:

M(t) = Cert

M(t) = 65 000 e(0,05)(4)

= 65 000 e0,2

= 65 000(1,22114)

= 79 401,21

■ Por lo tanto, dentro de cuatro años los Martínez tendrán que pagar S/.79 401,21 por la casa (aproximadamente).

2.4 Eligiendo la mejor opción

Tasa efectiva: la tasa efectiva de interés de una inversión se defi ne como la tasa anual que proporcionaría el mismo crecimiento de la inversión si se compone una vez por año.

Consideramos un capital C que se compone n veces al año a una tasa de interés nominal de i%, entonces

9 000

9 000

9 000 2 339647

9 0002 339

0 085 10

0 85

=

=

=

=

C

C

C

C

0

0

0

0

e

e

, ( )

,

( , )

, 66463 846 7341C0 = ,


16


El concepto de Tasa efectiva es muy importante, ya que nos permite elegir la mejor alternativa al momento de invertir un capital. Veamos dos ejemplos.

Ejemplo 1: La mejor opción. Doña Inés quiere invertir una cantidad de dinero; en el Banco Internacional le ofrecen una tasa de 12% compuesto mensualmente y en el Banco Latinoamericano una tasa de 12,5 % compuesto trimestralmen-te. ¿Cuál es la mejor opción?

Resolución: Debemos comparar las tasas efectivas que ofrece cada uno de los dos bancos.Para el Banco Continental se tiene i = 12% = 0,12 y n = 12; de modo que:

i ef = 1+ 0,1212

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− =( ) − =12

41 1 01 1 0 126825, ,

Para el Banco Latinoamericano se tiene i =12,5% = 0,125 y n = 4; de modo que:

ief = +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− = − =1 0,1254

441 1 03125 1 0 1309823( , ) ,

Luego, la mejor opción para doña Inés es invertir en el Banco Latinoamericano.

Ejemplo 2:

Los Confeccionistas. Juan y Pedro son dos confeccionistas de prendas de vestir y tienen sus talleres en la Av. Gamarra. En una ocasión, Juan le dice a Pedro: “Mi banco ofrece una tasa de 8% compuesto bimestralmente”, a lo que Pedro responde: “el mío ofrece una tasa del 7,5 % compuesto semestral-mente”. ¿Quién recibe más por su dinero en un año?

Resolución: Nuevamente debemos comparar las tasas efectivas que ofrecen cada uno de los bancos.Para el banco de Juan se tiene i = 8% = 0,08 y n = 6

nt

Luego de un año el monto es:

Sea ief la tasa de interés efectiva (anual), luego de un año, y de acuerdo con la defi nición se debe cumplir:

M(1) = C(1 + ief ) ....(2)

De (1) y (2) se deduce que:

http://www.visoterra.com/images/origi-

nal/visoterra-frost-bank-tower-2051.jpg


17


LOGARÍTMICAS

Determinación del tiempo de duplicación de una inversión

Otra forma de comparar alternativas de inversión considera el tiempo ne-cesario que debe pasar para que nuestro capital se duplique; obviamente, la mejor opción será aquella en que el tiempo de duplicación sea menor.Consideramos un capital C que se compone n veces al año a una tasa de in-terés nominal de i %. Como queremos determinar el tiempo t necesario para que el monto sea igual a 2C, utilizamos:

PARA REFLEXIONAR¿De qué manera uno termina en problemas por usar las tarjetas de crédito?A través de com-pras y anticipos de efectivo. La manera principal y más obvia es realizar dema-siadas compras usando las tar-jetas de crédito. Los anticipos de dinero en efectivo pueden ser aún más truculentos, ya que las compañías de tarjetas de crédito frecuentemente cobran una tasa de interés mucho más alta en estos anticipos que la tasa que aplican a las compras. La compañía de crédito no ne-cesariamente igualará su lími-te de crédito con lo que usted puede pagar en forma realista. Aun cuando consiga un lími-te de crédito de $10 000, esto no signifi ca que pueda pagar esos $10 000 (es decir, lo que el límite de crédito represen-ta). Debe estar siempre alerta acerca de cómo evoluciona su balance. ¿Su balance se acerca a un 50% de su límite de cré-dito? ¿Llega a 85%? Cuando esta suma va subiendo o aun cuando usted “exprime” su tar-jeta de crédito (lo que signifi ca que llegó al límite de crédito máximo), usted quizás se en-cuentre ya viviendo por sobre sus posibilidades. Desafortu-nadamente, muchas familias se ven forzadas a colocar en la tarjeta rubros cotidianos como los pagos de compra de alimentos en tiendas y los ser-vicios públicos (gas, teléfono, electricidad), lo que nos lleva a nuestra próxima categoría de cargos que aplican las tarjetas de crédito…

Para mayor información, visita la pá-gina web:

http://www.cambiosinesperados.org/section. cfm/911/2155/2158

Como M (t) = 2C entonces resolvemos la ecuación:

n

n

Cuando el interés es continuo utilizamos:

M(t) = Ce kt

Como M(t) = 2C, 2C = Ce kt 2 = e kt. . Tomando logaritmos:

ln (2) = kt t = ln2k

2.5 Créditos hipotecarios

¿Qué son las hipotecas y préstamos hipotecarios?

Cuando no se tiene todo el dinero que se necesita para comprar una vivien-da, la solución es recurrir a un préstamo de un Banco o Caja de Ahorros y hacer una hipoteca de la casa que compra.

El préstamo hipotecario tiene como característica específi ca que toma como garantía real la vivienda (casa, apartamento, edifi cio, terreno, etc.) a favor de la entidad fi nanciera que presta el dinero. Es decir, en caso de no cumplir las condiciones acordadas en la concesión del préstamo (por ejemplo: impago de los recibos de amortización, de plazos, etc.), el inmueble pasaría a ser propiedad del Banco. Por tanto, usted hipoteca su casa en favor de la entidad fi nanciera, hasta que le haya devuelto la totalidad del préstamo.

Para el banco de Pedro se tiene: i = 7,5% = 0,075 y n = 2 de modo que:

i i ief ef ef = + - = ( ) -0 0752

1 1 0375 12

2, , = 0 076406,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

Entonces, el que recibe más por su dinero en un año es Juan.


18


Ejemplos:

1. La familia Chávez Gómez pide prestados S/. 60 000 de un banco para fi nanciar la compra de una casa. El banco cobra intereses con una tasa de 9% por año sobre el saldo insoluto y los intereses se calculan al fi nal de cada mes. La familia está de acuerdo en pagar el préstamo mediante mensualidades iguales durante 20 años. ¿A cuánto debe ascender cada pago, si el préstamo debe amortizar al fi nal del término?

Resolución:

Datos : P = 60 000; ; n = (20)(12) → n = 240

Para calcular el pago periódico utilizamos:

R Pii n=

- + -1 1( )

Reemplazamos los datos:

Por lo tanto, cada pago es de S/. 539,83573

2. La familia Rojas ha adquirido una casa de S/. 50 000. Ellos han pagado una cuota inicial de S/. 20 000 y solicitan una hipoteca

con una tasa de interés de 7% por año sobre el saldo insoluto. Los intere-ses se calculan al fi nal de cada mes. Si el préstamo debe amortizarse en 30 años, ¿cuál será el monto de cada una de las mensualidades que deben pagar los Rojas?

Esta garantía, la propia vivienda, es lo que explica que el tipo de interés sea más bajo que los préstamos generales o personales existentes en el mercado. Usted hipoteca su casa y el banco, al obtener una garantía en la propia vi-vienda hipotecada, disminuye sus riesgos y sus tipos de interés.

Amortización de préstamos: amortización es el proceso fi nanciero mediante el cual se puede extinguir una deuda, por ejemplo, un préstamo hipotecario, gradualmente, por medio de un fl ujo de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes, que sirve para pagar los intereses y reducir el saldo insoluto.

Fórmula de amortización

El pago periódico R por un préstamo de P soles que se amortizará durante n periodos a una tasa de interés i por periodo está dado por:

El denominador es una función exponencial si se considera a n como variable.

http://www.elblogsalmon.

com/2006/03/06-la-hipoteca-mas-

barata-en-espana


19


LOGARÍTMICAS Resolución: Como se ha pagado una cuota inicial de S/. 20 000 la deuda es de

S/. 30 000.

Datos: P = 30 000; i n= = =0 0712

0 005833 30 12, , ; ( )

Para calcular el monto de cada mensualidad utilizamos:

R Pii n=

- + -1 1( )

R =+( )-

3 0000 0 0058331 360

- 1 0,005833

( , )

=+( )-R 175

1 360- 1 0,005833

=-

R 1751 0,12322

R = 199, 594 Por lo tanto, la mensualidad que deben pagar los Rojas es de

S/. 199, 594.

2.6 Créditos personalesCuando una persona utiliza una tarjeta de crédito debe pagar una cuota men-sual fi ja durante el plazo acordado. Este es un caso particular de amortiza-ción de un préstamo donde los periodos son mensuales y en donde intervie-nen pagos adicionales que se incluyen en la cuota mensual.La cuota mensual (C.M.) que se tiene que cancelar para amortizar la compra de un artículo cuyo costo es P y que se amortizará en n meses a una tasa de interés de i% mensual es:

C. M. = R + portes + S. D.

Donde:R: AmortizaciónPortes: Pago fi jo por gastos administrativosSD: Seguro de desgravamen

Luego: C.M. portes S.D=◊

- +( )+ +-

P ii n1 1

El pago por portes es inde-pendiente del precio P y la tasa de interés i, la determi-na la entidad que emite la tarjeta de crédito.El seguro de desgravamen sí depende del precio P, pero no es un gasto signifi cativo (menos del 0,1 % de P).

Ejemplos:

A Livio le gusta escuchar la música del guitarrista Manuelcha Prado y ha decidido adquirir un minicomponente que cuesta S/. 800. Para ello utiliza su tarjeta de crédito del Banco Continental cuya tasa de interés mensual es de 3%, el pago por porte es de S/. 7 y el seguro desgravamen es de S/. 0,8

a. Calcula la cuota mensual que debe cancelar don Livio si debe liquidar la deuda en 12 meses.

b. Calcula el interés total.

Manuelcha Prado (Lima, 1955).

Se dedica a la música andina desde

los 12 años. Es uno de los músicos

más importantes de nuestro país.

http://www.peru-amazonico.de/ve-

ranstaltungen/start.htm


20


La Refrigeradora: Nora tiene tarjetas de crédito de los centros comerciales Economás y Metroplaza y desea adquirir una refrigeradora.

En Economás la refrigeradora cuesta S/. 1 400, la tasa de interés mensual es de 2,5%. En Metroplaza la refrigeradora cuesta S/. 1 300 y la tasa de interés mensual es de 4,2%.

Considerando que el pago de porte y seguro de desgravamen, y el plazo de 10 meses es el mismo en ambos centros comerciales, ¿con qué tarjeta de crédito Nora comprará la refrigeradora?

Resolución:

Para averiguar cuál oferta es más conveniente para Nora debemos calcular el valor de la amortización mensual (R) en cada caso.

a. Economás: Datos: P = 1400; i = 2,5% = 0,025; n = 10

RP i

iR

R

n=◊

- +( )fi =

( )

- +( )

fi =

- -1 11400 0 025

1 1 0 025159 96

10,

,,

b. Metroplaza: Datos: P = 1300; i = 4,2% = 0,042; n = 10

RP i

iR

R

n=◊

- +( )fi =

( )

- +( )

fi =

- -1 11300 0 042

1 1 0 042161 88

10,

,,

Por lo tanto, Nora comprará la refrigeradora utilizando la tarjeta de cré-dito de Economás.

Resolución:

a. Datos: P = 800; i = 3% = 0,03, n = 12 Portes = 7; S. D. = 0,8• Para calcular la cuota mensual utilizamos la fórmula:

C MP i

iportes S Dn.

.( )

. .,=- +

+ +-1 1reemplazando los datos tenemoss :

C M

C MC M

.( , )

( , ),

. , ,

. ,

=- +

+ +

= + +

=

-

800 0 031 1 0 03

7 0 8

80 37 7 0 888 1

12

77\ La cuota mensual será de 88,17 nuevos solesb. Para calcular el interés total por la compra del equipo de audio utilizamos la fórmula:

I = n (C.M.) – PI = 12 (88,17) – 800I = 258,04

\ El interés total asciende a 258,04 nuevos soles

http://www.scubadogs.net/

scuba/images


21


LOGARÍTMICASActividad 2

En las siguientes situaciones aplica los conceptos de funciones exponenciales y logarítmicas en las operaciones fi nancieras mostrando seguridad en los cálculos realizados.

1. Determina el monto compuesto de S/. 1 000 en 10 años: a. al 5% efectivo anual. c. al 5% capitalizable mensualmente. d. al 5% capitalizable trimestralmente. e. al %5% capitalizable semestralmente. ¿Cuál es para ti la mejor opción?

2. Determina el monto compuesto de: a. S/. 5 000 al 6% capitalizable semestralmente en 20 años. b. S/. 4 000 al 7% capitalizable trimestralmente en 15 años. c. S/. 9 000 al 5% capitalizable bimestralmente en 12 años. d. S/. 6 000 al 4% capitalizable mensualmente en 10 años.

3. Determina el monto de un capital de S/. 20 000 en 8 años a la tasa del 13% de interés conti-nuo. Determina el monto cuando la tasa es del 13% con capitalización mensual y compara los resultados. ¿Por cuál optarías?

4. La refrigeradora. Doña Teresa ha obtenido un préstamo de S/. 1 800 a 4 años con interés del 6% capitalizable anualmente, para poder comprar una refrigeradora. Calcula el monto que debe pagar en la fecha de vencimiento.

5. El cuarto de niños. La familia Pérez deposita S/. 15 000 en una

cuenta de ahorros que paga el 8,5 % con capitalización trimestral, para poder construir el dormitorio de los niños, el cual se estima en S/. 18 000. ¿En qué tiempo se tendrá el monto que permita la cons-trucción?

6. La casa: Los Rodríguez planean comprar una casa dentro de cinco años. Si se espera que el cos-to de los inmuebles aumentará a razón de 6% compuesto continuamente, durante ese periodo, ¿cuánto tendrán que pagar los Rodríguez por una casa que ahora cuesta S/. 45 000?

7. La mejor opción: Don Jacinto quiere invertir una cantidad de di-nero; en el Banco de la Familia le ofrecen una tasa de 7,5% com-puesto anualmente y en el Banco del Progreso le ofrecen una tasa de 7,2 % compuesto semestralmente. ¿Cuál es la mejor opción para don Jacinto?

8. La hipoteca: La familia Velásquez ha adquirido una casa de S/. 35 000. Ellos han pagado una cuota inicial de S/. 17 000 y so-

licitan una hipoteca con una tasa de interés de 6% por año sobre


22


en grupo...investiga con tus compañeros

Junto con tus compañeros y compañeras analiza y resuelve las siguientes situaciones:1. Juan quiere ahorrar un capital de S/. 10 000 en una institución bancaria, durante un

año. En la ciudad hay tres bancos donde los puede depositar: a. El Banco A, ofrece una tasa mensual del 2% b. El Banco B, ofrece una tasa trimestral del 4% c. El Banco C, ofrece una tasa semestral del 6% ¿En cuál banco le conviene a Juan ahorrar su dinero?

2. Los rendimientos de inversiones, como los certifi cados de depósito o los bonos a largo plazo, se adquieren indicando el tiempo necesario para que cada inversión se duplique, triplique o cuadruplique. Para estos cálculos se emplea la fórmula del inte-rés compuesto, es decir: M(t) = C0(1 + r/n)nt

Kathia está en un dilema y no sabe dónde invertir. Tiene dos opciones: a. Adquirir certifi cados de depósito a 12 años que paga intereses al vencimiento con

una tasa de 10% por año compuesto diariamente. b. Adquirir certifi cados de depósito que triplique su inversión en el mismo periodo. Ayuda a Kathia a tomar la decisión óptima.

el saldo insoluto. Los intereses se calculan al fi nal de cada mes. Si el préstamo debe amortizarse en 20 años, ¿cuál será el monto de cada una de las mensualidades que de-ben pagar los Velásquez?

9. Oferta de crédito. Ángela es una periodista gráfi ca que desea comprar a plazos una cá-mara fotográfi ca digital. Ella tiene las tarjetas de crédito de los centros comerciales Compucentro y Dataplus. En Compucentro la cámara cuesta S/. 1 200 y la tasa de in-terés mensual es de 1,5%; en Dataplus la misma cámara cuesta S/. 1 000 y la tasa de interés es de 2,5%. Consi-derando que el pago de portes, seguros de desgravamen y el plazo de 10 meses es el mismo en ambos centros comerciales, ¿con cuál tarjeta de crédito Nora comprará la refrigeradora?

10. Oferta de crédito. Miryan es una confeccionista de pren-das de vestir que desea comprar a plazos una máquina de coser que cuesta S/. 2 200. Para ello utiliza su tarjeta de crédito del centro comercial Maquicentro, cuya tasa de in-terés mensual es de 2,7%, el cobro por portes es de S/. 6 y el seguro de desgravamen es de S/. 0,9.a. Calcula la cuota mensual que deberá cancelar para li-

quidar la deuda en 20 meses.b. Calcula el interés total que deberá pagar por la máqui-

na de coser.

http://www.camarasdigitales.com/

detallesCD.php3?PD=2595

http.www.craftzine.comblogarchi-

vesewing_machines


23


LOGARÍTMICAS

3.1 Crecimiento exponencial

El modelo exponencial para el crecimiento de poblaciones se aplica cuando la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población y está dado por:

P(t) = P 0 e kt

Donde: P(t): población en el instante t; P0 : población inicial

k: tasa relativa de crecimiento t: tiempo

Si P 0 y k permanecen constantes, entonces la población P(t) es una función exponencial cuya variable es el tiempo t.

Ejemplo 1:

Crecimiento exponencial: En el año 2000 la población del pueblo de San Juan de Chota era de 7 000 habitantes. Si la tasa relativa de crecimiento es de 5% al año, ¿cuál es la población aproximada en el 2006?

Resolución:Datos: P 0 = 7 000; k = 5%; t = 2 006 - 2 000 ⇒ t = 6 añosReemplazando en P(t) = P 0 e

kt

P(6) = 7 000e 0,05(6) P(6) = 9 449,012

Luego, en el 2 006 la población de San Juan de Chota será de 9 449 habitantes aproximadamente.

Ejemplo 2:

Tasa relativa: La población de Chulucanas era de 3 000 habitantes en el año 1 998 y en el 2 004 fue de 4 200. Si el crecimiento se dio con una tasa rela-tiva constante, determina dicha tasa.

3. APLICACIONES DEMOGRAFÍA

en la

Modelo matématico del

crecimiento exponencial.

t

P(t) = P0 ekt

P(t)

Decrecimiento de población.

Resolución:

Datos: t = 2004 – 1998 ⇒ t = 6 años ; P 0 = 3000; P(6) = 4200

Reemplazando en: P(t) = P 0e kt

P(6) = 3000e k(6) 4200 = 3000 e 6k 7 = 5e 6k

Tomando logaritmos a ambos miembros en la última igualdad, y aplicando propiedades de los logaritmos, tenemos:

ln 7 = ln 5 + ln e 6k ln 7 = ln 5 + 6k

k = (ln7 - ln5)/6 k = (1,94591 – 1,60943)/ 6 k 0,056


24


Escherichia coli es una bacteria

común que se encuentra en el

intestino humano.

http://www.canariculturacolor.com/

colibacilosis-aves

2. Crecimiento exponencial: La población del distrito de Villa del Sol crece de acuerdo con la fórmula:

P (t) = 4×10 4 e 0,05t

Donde: P (t): población en el instante t. t: tiempo (en años) ¿Cuánto tardará la población en incrementarse en un 50%?

Luego, la tasa relativa de crecimiento fue de 5,6% aproximadamente.


1. La Escherichia coli: es una bacteria común que se encuentra en el intestino humano. La tasa de crecimiento de una población de esta bacteria es propor-cional a su tamaño. En condiciones ideales de laboratorio, la cantidad de espe-címenes en un cultivo se duplica aproximadamente cada 20 minutos. a. Si la población inicial es de 80, determina una fórmula P(t) que

exprese el crecimiento exponencial de la cantidad de bacterias como función del tiempo t (en minutos).

b. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que una colonia de 80 especíme-nes llegue a un millón?

Resolución: a. Como la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la pobla-

ción, el crecimiento es exponencial, luego, P (t) es de la forma.P(t) = P o e

kt…… (1) Como la población se duplica cada 20 minutos, utilizando (1), con

P 0 = 80, obtenemos:

P(20) =160

80 e20k = 160

e20k = 2

20k = ln 2

k = ln2 20

k = 0,034657

Por lo tanto, la fórmula es :

P (t) = 80 e (0,034657)t…….(4)

b. Debemos determinar t, de tal manera que P(t) =1 000 000.

Utilizamos el modelo exponencial dado en (4) tenemos:

80e(0,034657)t = 1 000 000

e (0,034657)t = 12 500

0,034657 t = ln 12 500 t = ln 12 5000,034657

t = 272,1928

Por lo tanto, para que la población llegue a cien millones deben trans-currir 272,1928 minutos.


25


LOGARÍTMICAS

¿SABÍAS QUÉ?

Las bacterias lácticasincluyen un amplio grupo de microorganismos esenciales

en los procesos de fermenta-ción que tienen lugar durante la producción de numerosos

alimentos habituales en nues-tra dieta. “Estos microorga-

nismos producen ácido láctico durante la fermentación, que

ayuda a la conservación de los productos y les confiere sabor y cambia su aspecto.

Además, producen numerosas sustancias que potencian o

son responsables por sí mis-mas del aroma típico de estos

productos”, se explica en la red. En este grupo se inclu-

yen bacterias de los géneros Lactobacillus, Lactococcus, Pediococcus, Enterococcus,

entre otros. Algunos de ellos, como Lactobacillus casei (en la figura), son conocidos por

sus efectos beneficiosos para la salud, por lo que se denomi-

nan probióticos.

http://www.csic.es/ott/rdcsic/

rdcsicesp/rdal12esp.htm

Entonces: Después de 16,5 minutos, aproximadamente, la población de bacterias será de 100 000.

Resolución: La población inicial es P 0 = P(0) P(0) = 4×10 e (0,003)(0) P(0) = 4×10 4

Luego, el 50% de P 0 es 2×10 4

Debemos determinar t, de modo que: P(t) = 150% P 0

Utilizamos la fórmula y tenemos:

2 e 0,05t = 2+1 e t0 05 32

, =

Aplicando logaritmos:

0 05 3

2, lnt =

t =

ln

,

32

0 05 t = 8,109302

Luego, la población de Villa del Sol tardará 8,11 años, aproximada-mente, en incrementarse en un 50% .

3. Bacterias: La población de bacterias en el estómago de una persona que ha ingerido comida infectada crece de forma exponencial. Si inicialmente había 500 bacterias y luego de 5 minutos hay 2 500:

a. ¿Cuántas bacterias habrá luego de 15 minutos? b. ¿Después de cuántos minutos habrá 100 000 bacterias?

Resolución: a: Datos : P 0 = 500; luego P (5) = 2500 Como el crecimiento es de forma exponencial, entonces:

P (t) = P 0 e kt P(t) = 500 e kt …. (1)

Cálculo de R: Haciendo t=5 en (1), se tiene 2 500 = 500 e 5k 5 = e 5k tomando logaritmos

ln (5 ) = 5k k = ln55

k = 0,321887...(2)

Reemplazamos (2) en (1) se tiene el modelo: P(t) = 500 e0,321887t...( )3 Luego: P(15) = P(15) = 500 (124,9989) P(15) = 62 499,45392 Por lo tanto, luego de 15 minutos habrá 62 500 bacterias aproximada-

mente. b: Debemos determinar t de modo que: P(t) = 100 000 500 100 e 000 por 0,321887 (3)t =

e0,321887t = 200 Tomando logaritmos:

0,321887 t = ln 200 t = ln 0,321887

200 t = 16,460178

http://pathmicro.med.sc.edu/

fox/e_coli-dk.jpg


26

Serie 2 / MIS ACTIVIDADES MATEMÁTICAS 4. Demografía: En 1998 la población de palomas en la ciudad de San Pedro era

de 5 000, y su crecimiento es de manera exponencial. Si la tasa relativa de crecimiento es del 5% anual, ¿cuándo rebasará la población la marca de las 8 000 palomas, suponiendo que la tasa relativa de crecimiento es constante?

Resolución: Datos : P 0 = 5 000; R = 0,05 Como el crecimiento es de forma exponencial tenemos: P(t) = P 0 e

kt ⇒ P(t) = 5 000 e 0,05t…(1) Debemos determinar t de modo que: P(t) = 8 000 Utilizamos (1) y se tiene:

Aplicando logaritmos:

t = 9,400 725

Después de pasar los 9,4 años la población supera las 8 000 palomas.

3.2 Crecimiento logísticoCon frecuencia, una población crece de manera exponencial en sus primeras etapas, pero llega el momento en el que la población se nivela y tiende a su capacidad de contención (B), debido a los recursos limitados. En este caso, se aplica el modelo logístico para determinar el tamaño de la población:

P t B

Ae kt( ) =+ −1

, donde A B PP

= − 0

0

Donde: P(t) : población en el instante t P0 : población inicial en el tiempo t = o

B : capacidad de contención k : tasa relativa de crecimiento t : tiempo (en años) inicial Ejemplo 1:Las abejas: La capacidad de contención de una colonia de abejas es de 3 000; si el número actual de abejas es de 500 y la tasa relativa de crecimiento mensual es del 10%, determinar el tiempo necesario para que la colonia sea de 1 500 abejas.

Resolución:

Datos: P0 = 500; k = 0,1; B = 3 000, A = −3000 500500

5A

Para determinar el tiempo, debemos resolver la ecuación. P(t) =1500, pero

sabemos que P t BAe kt( ) =

+ −1 , reemplazando los datos obtenemos:

2 = 1 + 5 e-0,1t −15

0 1e t ,

Tomando logaritmos y aplicando propiedades tenemos:

–ln (5) = ln (e-0,1t) ln (5) = 0,1t t 16,094

Luego, el tiempo necesario para que la población sea de 1 500 abejas es de 16 meses.


27


LOGARÍTMICASEjemplo 2:Lobos marinos: La población de lobos marinos que vive en un islote en la reserva de Paracas está dada por el siguiente modelo logístico:

Donde t es el tiempo en años.a. Determinar la capacidad de contención y la población inicial.b. Determinar el tiempo que debe pasar para que la población sea igual a la

mitad de su capacidad de contención.c. Calcule la población de leones marinos cuando t es igual a 1; 5; 10; 15;

20; 40; 60; 80; 100, grafi que estos datos e interprete la gráfi ca.

Resolución:

a. Como el modelo es logístico, es de la forma P t BA -kt( )

1 e=

+

Donde A B –PP

= 0

0

, luego se deduce que B = 120, A =11 y K=0,08 para

determinar P 0 debemos resolver:

P0 =10

b. Debemos determinar t de modo que: P t( ) =B P t2

60( )

Es decir :

Tomando logaritmos: ln ,111

0 08= − t t = − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

10 08

111,

ln t = 29,97369

Luego, el tiempo que debe pasar es de 30 años aproximadamente.

c. Los valores de P(t) están redondeados, aproximadamente, al entero más cercano.

t 0 5 10 15 20 40 60 80 100P(t) 10 14 20 28 37 83 110 118 120


1. Protozoarios: Un biólogo utilizó el modelo logístico al estudiar el cre-cimiento de un cultivo de protozoarios. La población inicial fue de 20 protozoarios y se estimó la capacidad de contención en 120. Si luego de 10 días la población es de 50, calcula la población luego de 20 días.

Resolución:

Datos: P0 = 20; P(10) =50; B =120;

Reemplazando estos datos en el modelo logístico, se tiene:

P t BAe

P tkt kt( ) ( ) ( )=+ +− −1

1201 5

1 e

⇒

Haciendo t = 10 en (1), tenemos:

-10 ln 120-50

250k =

P(t)

t

20

40

60

20 40 60 80 1000

80

100

120

10

P(t) = 1201 + 11e-0,08t


28


Actividad 3

Tomando logaritmos:

k=- 110

725

ln

Reemplazando (2) en (1) y haciendo t = 20, obtenemos:

P P P20 1201 5 0 0784

20 1201 0 392

20 86 20( ) =+

( )=+

( ) =( , ) ,

, 668

Por tanto, luego de 20 días la población es de 86 protozoarios, aproxi-madamente.

1. Multiplicación de una po-blación: una población cre-ce según el modelo expo-nencial con una tasa relativa de crecimiento de 0,0015 anual; si la población actual es de 1000 habitantes:a. ¿Después de cuánto tiem-

po la población será 5 ve-ces la población actual?

b. ¿Después de cuánto tiempo la población será 10 veces la población actual?

Comenta los resultados obtenidos. ¿Es benefi -cioso para la población?

2. Bacterias: en un cultivo el número de bacterias crece proporcionalmente al nú-mero presente de ellas. Si en un instante dado hay 1 000 bacterias y una hora después 2 000, calcula el número de bacterias 3 ho-ras después.

3. Aves Guaneras: la capacidad de contención de una población de aves guaneras que vive en una isla es de 5 000 aves. Si la po-blación actual es de 2 000 aves, determina el tiempo necesario para que la población sea de 50 000 aves, si

la tasa relativa de crecimiento inicial es de 8% anual.

¿Es importante para el país este crecimiento? ¿Por qué?

4. Una población crece según el modelo logístico:

Determina: a. La tasa inicial de crecimiento relativo. b. La capacidad de contención. c. La población fi nal (luego de 5 y 10 años).

5. Crecimiento de poblaciones: La población del distrito de El Olivar crece de acuerdo con la fórmula:

P(t) = 6 x103 e0,04t

En donde t se da en años. ¿Cuánto tardará la po-blación en incrementarse en un 50% ?

6. La población de pe-lícanos en una isla del litoral peruano en el instante t (me-dido en años) está dada por la fórmu-la: P(t) =P0e

kt

Donde P0 = 100 000 es la población de pelícanos en el año 2004.

Determina la tasa relativa de crecimiento si en el año 2007 la población fue de 105 000 pelí-canos.

Aplica los conceptos de las funciones exponencial y logarítmica en la Demografía mostrando interés y perseverancia al realizar los cálculos.

http://aupec.univalle.edu.

co/informes/abril98/bac-

terias.html

http://www.prensarural.

org/acvc/annc20050607.

htm


29


LOGARÍTMICAS

4. EVALUACIÓNLee con cuidado los ejercicios, y después de resolverlos compara tus respuestas con las de tus compañeros:1. ¿Cuántos años se deberá dejar un depósito de

S/. 6 000 en una cuenta de ahorros que acumu-la el 8% semestral, para que se conviertan en S/. 10 000?

2. Se tiene dos muestras de sustancias radioactivas A y B; luego de t años las masas en mg, de estas muestras son:

mA (t) = 120e-0,0004t, mB(t) = 160 e-0,0006t

a. Determina la vida media de cada sustancia. b. ¿Cuánto tiempo pasará para que ambas masas sean iguales?

(Sug. Resolver: mA(t) = mB(t)). c. Teniendo en cuenta el tiempo de desintegración total, ¿qué sustancia es más per-

judicial para nuestro medio ambiente?3. ¿Cuántos años deben transcurrir para que un capital de S/. 2 000 se triplique si la tasa

es del 3% capitalizado bimestralmente?4. Una entidad bancaria ofrece un tasa del 5% capitalizable trimestralmente. ¿Qué capi-

tal se debe ahorrar en el banco para que luego de un año se obtenga S/. 3 000?5. En un cultivo de bacterias la tasa de crecimiento es proporcional

al número de bacterias. Si la población inicial es de 80 bacterias y luego de 10 horas hay 1 000 bacterias, determina el número de bacterias luego de 15 horas.

6. El crecimiento de la población de un cultivo de protozoarios está dado por el modelo P(t) = P 0 e

-0,04t , donde P 0 es la pobla-ción inicial. Si en el instante t = 2 horas y t = 8 horas hay una población de 100 y 350 protozoarios respectivamente, determi-nar P 0.

7. La familia Illanes va a comprar un televisor a plazos, para ello piensan utilizar sus tarjetas de crédito de tienes de electrodomésticos Electrolux y TV-Plaza. En Elec-trolux el precio del televisor es de S/. 600 y la tasa de interés mensual es de 3,2%; en TV-Plaza el televisor cuesta S/. 650 y la tasa de interés mensual es de 2,8%.

Considerando que el pago de porte, seguro de desgravamen y el plazo de 6 meses es el mismo en ambas tiendas ¿Con cuál tarjeta de crédito la familia Illanes comprará el televisor?

8. María es una estudiante que le gusta mucho la música y en especial el piano ( tecla-dos). Cuando averigua por la venta a plazos de un teclado en un centro comercial Polvos Rosados le dicen que el precio al contado es de S/. 1 500 y utilizando la tarjeta de crédito del centro comercial la tasa de interés mensual es de 2,5%, el pago por portes es de S/. 9 y el seguro de gravamen es de S/. 0,5.a. Calcula la cuota mensual que deberá cancelar para liquidar la deuda en 8 meses.b Calcula el interés total que deberá pagar por el teclado.

http://www.galileog.com/

ciencia/biologia/bacterias/

bacterias.htm


30


Responde en una hoja aparte:

1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades propuestas?

2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué?

3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo?

4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?

5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor difi cultad?

6. ¿Cómo lograste superar estas difi cultades?

7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor difi cultad?

8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas difi cultades?

9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este fascículo?

10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al fi nalizar este fascículo?

5. METACOGNICIÓNMetacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.

Muy bueno Bueno Regular Defi ciente

¿Por qué?

11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo? Explica.

12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus compañeros? ¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?

N O E S C R I B I R


31


LOGARÍTMICAS

1. Max A. Sael y Norbert Lerner. Álgebra. México. Prentice-Hall Hispanoamericana, 1989.

Es un libro que proporciona los conceptos y habilidades esenciales del Álgebra que todo alumno necesita para posteriores estudios de Matemática.

2. Stewart, James; Redlin, Lotear y Watson, Saleem. Precálculo. Matemáticas para el cálculo. México. Internacional Thomson Editores, 2001.

Es un libro que presenta el enfoque en el modelado. En el capítulo 2, presenta la idea básica de modelado, una situación real, utilizando funciones lineales. En el capítulo 4 presenta las aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas.

3. Sullivan, Michael. Trigonometría y Geometría Analítica. México. Prentice Hall His-panoamérica, 1977.

Es un libro que satisface diversas expectativas de los estudiantes, desde aquellos con pocos conocimientos matemáticos hasta aquellos con sólida formación matemática. Se trata de una edición mejorada y constituye una buena herramienta de aprendizaje para los estudiantes, pues refuerza los conceptos tratados en el fascículo.

4. Tan, Soo Tang. Matemáticas para Administración y Economía. México. Thomson y Learning, 2002.

Es un libro que contiene bastante información sobre las aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas, presenta variedad de ejercicios y problemas contextualizados. Muestra a las funciones exponenciales como modelos matemáticos, aborda con bastante claridad los temas de Matemática fi nanciera.


32


1. http://www.ucs.br/ccet/defq/naeq/material_didatico/textos_interativos_29.htm

Página en idioma portugués que trata sobre el carbono 14.

2. http://inmobiliaria.hispavista.com/hipotecas/256/

Página de preguntas y respuestas, las más frecuentes, sobre préstamos hipotecarios.

3. http://www.people.virginia.edu/~am2zb/cursos/res_prob/modelos.htm

Página que trata sobre distintas clases de modelos matemáticos: lineal, potencial, exponencial, etc.

4. http://www.unicentro.br/pesquisa/editora/revistas/exatas/v3n1/modelos.pdf

Interesante lectura sobre los modelos matemáticos, desde el punto de vista de la ciencia física.

5. http://www.cientec.or.cr/matematica/pdf/P-2-Hein.pdf

En este artículo se presentan las principales consecuencias de la Modelación Matemática en la enseñanza de la Matemática. Se da una breve explicación sobre Modelización Matemática y Modelación Matemática.

6. http://www.terra.es/personal/joseantm/Archiv%20pdf/96zoomc.pdf

Trata la relación entre la graduación del zoom de la cámara fotográfi ca y el ángulo de visión que proporciona el objetivo.


funciones exponenciales y logaritmicas med

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