matematica 51 - guia 4 funciones exponenciales y logaritmicas

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1

Bienvenido a la serie de guas resueltas de Exapuni! Esta serie de guas resueltas fue

hecha por estudiantes de la comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor

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Funciones exponenciales y logartmicas

1)

a)

Antes que nada grafiquemos la funcin:

( )

Vemos que tiene una forma bastante particular, esto se debe a que se encuentra en

el exponente, lo que produce ese crecimiento que se ve en el grfico a medida que el

Gua 4 Matemtica

2014

Ejercicio 1. Graficar, hallar

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valor de aumenta. Mirando el grafico podemos determinar que la imagen de la

funcin es:

( ( )) ( ) ( )

Para determinar si tiene asntota horizontal hacemos el lmite tendiendo a infinito.

Por lo tanto tiene una asntota horizontal en .

b)

( )

( ( )) ( ) ( )



c)

( )


( ( )) ( ) ( )



d)

( )

( ( )) ( ) ( )




a)

( )


b)

( )


c)

( )


d)

( )

Ejercicio 2. Calcular



a)

Para resolver este ejercicio tenemos que aplicar logaritmo natural. Record que

.

Aplicamos en ambos miembros:

El exponente de pasa multiplicando al . (El logaritmo de una potencia es igual al

producto del exponente por el logaritmo de la base)

( )

b)

( )

Ejercicio 3. Resolver


c)

( )

d)

( )

a)

( ) (

)

Sabemos que el argumento del logaritmo debe ser mayor a .

Para que

sea mayor a es necesario que tanto denominador como numerador

tenga el mismo signo. Por lo tanto lo resolvemos de la siguiente manera:

Ejercicio 4. Hallar el


En la primera parte la solucin es el intervalo (

).

En la segunda parte la solucin es el intervalo ( ).

( ( )) {

}

b)

( ) (

)

Para que se cumpla la relacin debe ser mayor a .

( ( ))

Ahora vamos a determinar los ceros de la funcin:

(

)

a)

( )

Para obtener la funcin inversa invertimos la posicin de las variables e .

Ejercicio 5. Hallar la


( )

Ahora vamos a determinar el dominio de la funcin, sabemos que el argumento de un

logaritmo debe ser mayor a .

Por lo tanto:

( ( ))

La imagen de la funcin son todos los reales. Esto lo determinamos por medio de un

grafico y sabiendo que la funcin no tiene asntota horizontal.

b)

( ) ( )

Obtenemos la funcin inversa:

( )


No hay ninguna restriccin en la funcin, por lo tanto el dominio son todos los reales.

La imagen hay que determinarla analizando la funcin, vamos a ver si tiene asntota

horizontal:

Analizamos ahora que sucede. Vemos que si el valor de es mayor la imagen decrece. Y

cuando el valor de es menor la imagen se acerca al valor . En base a esto

deducimos:

( ( )) ( )

c)

( )

Obtengamos la funcin inversa:

( )

El argumento del logaritmo debe ser mayor a cero.


( ( ))

La imagen de la funcin son todos los reales. Esto lo determinamos por medio de un

grafico y sabiendo que la funcin no tiene asntota horizontal.

d)

( ) ( )

Vamos a obtener la funcin inversa:

( )

( )

No hay ninguna restriccin en la funcin, por lo tanto el dominio son todos los reales.

La imagen hay que determinarla analizando la funcin, vamos a ver si tiene asntota

horizontal:


Analizamos ahora que sucede. Vemos que si el valor de es mayor la imagen crece. Y

cuando el valor de es menor la imagen se acerca al valor

. En base a esto

deducimos:

( ( )) ( )

a)

( ) ( )

Sabemos que el argumento del logaritmo debe ser mayor a cero.

( ( ))

Ahora vamos a ver si existen asntotas verticales:

( )

( )

Por lo tanto existe una asntota vertical en .

Ahora obtenemos los ceros de la funcin:

( )

Vamos a determinar ahora los conjuntos de positividad y negatividad:

( ) ( ) ( )

( )

Ejercicio 6. Hallar el dominio


( )

( )

b)

( ) ( )


( )( )

El producto debe dar positivo, para que esto suceda existen dos posibilidades.

Por lo tanto el dominio es:

( ( ))

La funcin solo puede tomar valores dentro del conjunto solucin.


( )

( ) ( )


( )

( ) ( )



( )



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

c)

( ) ( )


( ( )) {

}


( )

( )

Por lo tanto existe una asntota vertical en

.


( )

( )


(

) (

) (

)


( )

(

)

(

)

d)

( ) (

)


Obtenemos el vrtice de la funcin:

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Por lo tanto el vrtice de la funcin es (

) y debido a que la funcin es cncava

hacia arriba sabemos que sin importar el valor de que la funcin tome la imagen

siempre ser positiva. Por lo tanto el dominio son todos los reales.

( ( ))


Resolvimos de esta manera debido a que la funcin cuadrtica no tiene ceros en los

nmeros reales. Debido a que el dominio son todos los reales la funcin no tiene

asntota vertical.

A su vez a partir de este anlisis tambin sabemos que la funcin nicamente tiene

conjunto de positividad.

( )

a)

( )

Invertimos las variables e .

( ( ))

no puede tomar el valor debido a que se encuentra en el denominador la expresin

.

b)

( )

Invertimos las variables e .

Ejercicio 7. Hallar la funcin


(

)

(

)

(

)

El argumento del logaritmo debe ser mayor a cero.

Para que

sea mayor a es necesario que tanto denominador como numerador tenga

el mismo signo. Por lo tanto lo resolvemos de la siguiente manera:

En la primera parte la interseccin es el conjunto ( ), en la segunda parte la

interseccin es el conjunto vacio ( ).

( ( ))

Para que la imagen sea mayor a 9 debe existir una asntota horizontal en .

Por lo tanto:

Conociendo ahora el valor de podemos obtener la inversa de la funcin ( ).

Ejercicio 8. Sea


( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Por lo tanto la funcin inversa es:

( ) ( )

( ) ( )

Resolvemos:

a)

( ) ( )

b)

( ) ( )

c)

( ) ( )

d)

En este caso se invierte la situacin. La poblacin del ao es de , el

doble es .

( ) ( )

Ejercicio 9. La poblacin


( )

Tenemos que aplicar logaritmo para despejar la , lo hacemos en base .

( )

( )

Por lo tanto la poblacin ser el doble de lo que es en el ao a fines del ao .

El ejercicio es similar al anterior, resolvemos:

a)

( )

( ) ( )

( )

La temperatura es de luego de los primeros minutos luego de retirar el jarro

del fuego.

b)

( )

Ejercicio 10. La poblacin


El resultado por lo tanto es minutos para que la temperatura se reduzca a .

Tenemos la funcin ( )

a)

Tenemos dos valores y los utilizamos para obtener la funcin:

( )

( )

Ya tenemos el valor de , an tenemos que obtener el valor de .

( )

( )

Entonces ya tenemos la funcin exponencial:

( )

b)

( )

( )

Ejercicio 11. Hallar la funcin


(

)

Ya teniendo el valor de podemos obtener el valor de .

Por lo tanto la funcin exponencial es:

( )

Comenzamos con un nuevo tipo de funciones, las funciones trigonomtricas. Vamos a ir

viendo las propiedades a medida que resolvemos los ejercicios. Est primer ejercicio

trata de completar tablas, lo podemos hacer con la calculadora en mano.

a)

Tener en cuenta que si trabajamos con la calculadora en grados tenemos que tener en

cuenta que . En caso de trabajar con radianes usamos directamente el smbolo

.

Ejercicio 12. Completar la tabla


( ) ( )

Tener en cuenta que:

Reemplazamos en los cuadros para simplificar la lectura.

b)

( ) ( )

a)

( )

(

)

Tenemos que encontrar todos los valores de . Si reemplazamos en la

calculadora solo obtendremos el valor . Sin embargo no es el nico valor de

que hace que ( ) sea

. Para determinar el otro valor vamos a graficar:

El radio de la circunferencia es 1, tenemos que determinar los ngulos en los que

. Los marcamos en la circunferencia con color rojo.

Ejercicio 13. Encontrar todos los


El primer ngulo lo obtuvimos con la calculadora , el segundo podemos obtenerlo

mirando el grfico. Los ngulos y son opuestos por el vrtice. Por lo tanto ambos

tienen el mismo valor ( ). En base a este dato podemos obtener el ngulo que nos

falta. Sabemos que la media circunferencia mide grados o . Si restamos

obtenemos el ngulo que buscamos.

Chequeamos con la calculadora:

( )

Finalmente graficamos la funcin seno y los valores en los que

.

Por lo tanto

y

.

Para el resto de los ejercicios vamos a escribir el resultado directamente sin el

anlisis previo. Para resolverlos se usa la misma lgica planteada.

b)

1 -1


( )

(

)

Ese es el valor que obtenemos con la calculadora. Grafiquemos:

Notar que en el ( )

.

Por lo tanto

y

.

c)

( )

(

)



Notar que en el ( )

.

Por lo tanto

y

.

d)

( )

( )

Grafiquemos:


En ste caso hay un solo valor que cumple en el dominio .

e)

En este caso tenemos que resolver un , en vez de mirar la componente como

venamos haciendo para el , vamos a mirar la componente .

( )

Tenemos que obtener los ngulos de la circunferencia en los que

. Vamos a

graficar:

El punto verde es

, tenemos dos valores que cumplen la condicin del enunciado

( )

. El primero lo podemos obtener con la calculadora:


( )

(

)

El segundo lo obtenemos analizando el grfico. Se puede apreciar que si restamos

obtenemos el segundo ngulo.


( )

Sin embargo nos piden que el valor de . Este segundo valor no cumple el

enunciado. Lo que hay que tener en cuenta es que tambin tenemos que analizar los

ngulos negativos. Para hacerlo tenemos que analizar la circunferencia en sentido

horario. De esa manera obtenemos que existe otro ngulo que cumple la condicin del

enunciado, el ngulo es . Es muy importante tener en cuenta esto para los

ejercicios.


( )

Finalmente graficamos la funcin ( )

:


Por lo tanto

y

.

Para el resto de los ejercicios vamos a escribir el resultado directamente sin el

anlisis previo. Para resolverlos se usa la misma lgica planteada.

f)

( )

(

)



Notar que en el ( )

.

Por lo tanto

y

.

g)

( )

(

)



Notar que en el ( )

.

Por lo tanto

y

.

h)

( )

( )

Grafiquemos:



El ejercicio es muy similar al anterior, lo que cambia es el dominio de restriccin

.

a)

( )

(

)

Ese es el valor que obtenemos con la calculadora, sin embargo no pertenece al dominio.

Vamos a graficar:



Notar que en y en el ( )

Por lo tanto

y

.

No cometer el error de colocar

como solucin.

b)

( )

(

)



Notar que en el ( )

.

Por lo tanto

y

.

c)

( )

(

)



Notar que en el ( )

.

Por lo tanto

y

.

d)

( )

( )

Grafiquemos:



Este ejercicio es similar al anterior con la diferencia que no tenemos el dominio

restringido. Por lo tanto vamos a tener que expresar las soluciones de forma genrica.

a)

( )

(

)

Hasta ahora tenemos solo un valor, tenemos que expresar este valor de forma

genrica para obtener todas las soluciones posibles. Vamos a graficar la

circunferencia (recordar que estamos trabajando con el seno, por lo tanto buscamos

que el valor de sea igual a

).



Uno de los valores que cumple lo obtuvimos por medio de la calculadora . Lo

expresamos de manera genrica

, donde

Notar que al dar una vuelta completa ( ) al ngulo

volvemos al mismo punto.

El otro ngulo lo obtenemos mirando el grfico. Vemos que los ngulos son opuestos

por el vrtice, por lo tanto el ngulo es

. Y tambin lo expresamos

genricamente.

, donde

Con ambas expresiones genricas tenemos todos los resultados posibles de como

solicita el enunciado.

b)

( )

(

)



circunferencia (recordar que estamos trabajando con el seno, por lo tanto buscamos


).




, donde



El otro ngulo lo obtenemos mirando el grfico. Vemos que los ngulos son opuestos

por el vrtice, por lo tanto el ngulo es

. Y tambin lo expresamos

genricamente.

, donde



c)

( )

(

)



circunferencia (recordar que estamos trabajando con el coseno, por lo tanto buscamos


).




, donde



El otro ngulo lo obtenemos mirando el grfico. El mismo es

. Lo

expresamos genricamente.

, donde



f)

( )

( )



circunferencia (recordar que estamos trabajando con el coseno, por lo tanto buscamos

que el valor de sea igual a ).



, donde

Notar que al dar una vuelta completa ( ) al ngulo volvemos al mismo punto.

Con la expresin genrica tenemos todos los resultados posibles de como solicita el

enunciado.

Ejercicio 16. Resolver


a)

( )

(

)

Este valor no es parte del dominio solicitado. Graficamos:

Los resultados validos son

y

.

Para obtener estos valores lo hacemos como en los ejercicios previos. Graficamos la

circunferencia y hacemos en anlisis. (Por ejemplo, recin obtuvimos que una solucin

es , sin embargo la descartamos porque no es parte del dominio que solicita el

enunciado, al sumarle una vuelta completa obtenemos el valor , una de las

posibles soluciones)

b)

( )


( )

(

)



y

.

c)

( )

( )

(

)

Ya tenemos uno de los valores (pertenece al dominio indicado por enunciado).

Graficamos para obtener el resto:


Los resultados son

,

y

.

d)

( )

(

)




y

.

a)

( ) (

)

Nos piden que hallemos los ceros de la funcin en el rango

(

)

( )

Notar que hicimos una sustitucin

. Ahora graficando buscamos todos los

valores de :

Ejercicio 17. Hallar


Obtuvimos dos valores

y

Los expresamos en forma genrica:

y

Ahora recordamos que

.

Para :

Para :

Le damos valores a para obtener las soluciones, marcamos con verde los valores que

pertenecen al intervalo dado por enunciado:

Por lo tanto los ceros son:

,

,

,

,

y

Ahora graficamos para obtener los conjuntos de positividad y negatividad:


(

)(

)(

)

(

)(

)

b)

( ) ( )


( )

( )

( )

Ahora graficando buscamos todos los valores de :


Obtenemos un solo valor

.


Ahora recordamos que .




,

,

,

,

y



(

)(

)(

)(

)(

)

(

)

c)

( ) (

)


(

)

( )

(

)



Obtenemos dos valores

y

.


y


.

Para :

Para :





,

,

,

,

,

,

y

.


(

)(

)(

)(

)

(

)(

)(

)(

)

d)

( ) (

)


(

)


( )

(

)



y

.


y


.

Para :

Para :





,


(

)(

)

(

)(

)

e)

( ) ( ) ( )


Hacemos una sustitucin:

( )

( )


Ahora buscamos los ceros:

( )

Tenemos dos resultados posibles:

Recordemos que ( ).

( ) ( )


Obtenemos cuatro valores ,

, y

.


,

, y




Por lo tanto los ceros son: , ,

,

, y .


( )(

)

(

)(

)

f)

( ) (

( )) ( )


(

( )) ( )

Hay dos posibilidades:


( )

( )

( ) ( )

( )


Obtenemos cuatro valores

,

,

y

.


,

,

y




,

,

, y

.



(

)(

)

(

)(

)(

)

a)

( )

( )

Nos piden el valor mximo y mnimo de la funcin. Para determinarlos podemos tener

en cuenta la amplitud de la funcin. En sta caso la amplitud es

. Por lo tanto la

imagen es:

( ( )) { ( )

( )

}

Vamos a graficar la funcin:



Tenemos que determinar en qu puntos la funcin alcanza el valor mximo y el mnimo.

Sabemos que la funcin ( ) est acotada entre los valores y . Teniendo en

cuenta ste datos y viendo nuestra funcin: ( )

( ). Tenemos que encontrar

los valores en los que el ( ) toma los valores y .

( )

( )

Lo expresamos en forma genrica:

, (Para estos valores la funcin alcanza su valor mximo

)

( )

( )

, (Para estos valores la funcin alcanza su valor mnimo

)

b)

( ) ( )



en cuenta la amplitud de la funcin. En sta caso la amplitud es . Por lo tanto la

imagen es:

( ( )) { ( ) ( ) }




cuenta ste datos y viendo nuestra funcin: ( ) ( ). Tenemos que

encontrar los valores en los que el ( ) toma los valores y .

(

)

( )


,


Notar que aplicamos la sustitucin , por lo tanto:

(Para estos valores la funcin alcanza su valor mnimo )

(

)

( )


,



, (Para estos valores la funcin alcanza su valor mximo )

c)

( ) ( )


en cuenta la amplitud de la funcin. En sta caso la amplitud es . Pero tambin hay

que tener en cuenta que la funcin est desplazada en unidades hacia arriba ( ).

Por lo tanto la imagen es:

( ( )) { ( ) ( ) }





cuenta ste datos y viendo nuestra funcin: ( ) ( ) . Tenemos que


( )

( )



( )

( )



, (Para estos valores la funcin alcanza su valor mnimo )

d)

( ) ( )


en cuenta la amplitud de la funcin. En sta caso la amplitud es . Pero tambin hay

que tener en cuenta que la funcin est desplazada en unidades hacia abajo ( ). Por

lo tanto la imagen es:

( ( )) { ( ) ( ) }






(

)

( )



,




(

)

( )


,



, (Para estos valores la funcin alcanza su valor mnimo )

a)

( ) ( )

La funcin tiene la forma ( ) ( ) donde es la amplitud, es el

perodo y es la fase.



Por lo tanto la amplitud de la funcin es . El perodo es:

b)

( ) ( )




c)

( ) ( )




d)

( ) (

)




( ) ( )

Ejercicio 20. Sea ( )


Nos dan la imagen de la funcin y sabemos que la amplitud es . Para que la imagen sea

el valor de debe ser . Por lo tanto nos queda la funcin:

( ) ( )

Buscamos tal que ( ) :

( ) ( )

( )

( )

( )

Buscamos tal que ( ) :

( ) ( )

( )

( )

( )

a)

( ) (

)

Antes que nada tenemos que obtener los ceros de la funcin:

(

)



( )

( )

( )


Obtenemos dos valores , y .


Recordar que hicimos la sustitucin

Para :

Para :


Graficamos para hallar los conjuntos de positividad y negatividad:

(

)(

)(

)

(

)(

)

Ahora tenemos que determinar en qu puntos la funcin alcanza el valor mximo y el

mnimo.


cuenta ste datos y viendo nuestra funcin: ( ) (

). Tenemos que

encontrar los valores en los que el (

) toma los valores y .

(

)

( )


,


Notar que aplicamos la sustitucin

, reemplazamos:

(Para estos valores la funcin alcanza su valor mximo )

(

)

( )


,


, reemplazamos:


b)

( ) ( )


(

)

( )

( )


(

)



, y

.



Para

:

Para

:



(

)

(

)(

)


mnimo.




(

)

( )


,


Notar que aplicamos la sustitucin , reemplazamos:


(

)

( )


,

Notar que aplicamos la sustitucin , reemplazamos:


c)

( ) (

)


(

)

( )

( )

( )




, y

.



Para

:

Para

:



(

)(

)

(

)(

)


mnimo.



). Tenemos que



(

)

( )


,


, reemplazamos:



(

)

( )


,


, reemplazamos:


d)

( ) (

)


(

)

( )

( )

(

)




, y

.



Para

:

Para

:



(

)(

)(

)(

)

(

)(

)(

)


mnimo.



) . Tenemos que



(

)

( )


,


, reemplazamos:



(

)

( )


,


, reemplazamos:


Ejercicios Surtidos

Tenemos las funciones ( ) y ( ) , necesitamos la funcin

. Resolvamos:

( ) ( )( ) ( ) ( )

Para obtener el dominio tenemos que tener en cuenta que el argumento del logaritmo

debe ser mayor a .

Ejercicio 1. Sean


Es importante notar que para cualquier valor de la funcin da como resultado un

nmero mayor a . Eso se debe a que el termino crece ms rpido que el termino

al darle valores a . Por lo tanto:

( ( ))

Ahora nos pide que obtengamos los ceros de la funcin:

No existe ningn valor de que haga que la funcin tenga valor en los nmeros

reales. Eso lo podes justificar haciendo la formula resolvente (queda una raz de un

nmero negativo). Otra manera de justificarlo sera obteniendo el vrtice de la

funcin y teniendo en cuenta la concavidad de la misma. La funcin no pasa por el eje

. Por lo tanto no tiene ceros. El conjunto de positividad, por lo que venimos diciendo,

es ( ).

( )

( )

Resolvamos:

( ) ( )( ) ( ) ( )

Ya tenemos la funcin ( ), ahora obtenemos la inversa:

( ) ( )

( )

( )

( )

No hay ninguna restriccin en la funcin, por lo tanto ( ( )) .

Ejercicio 2. Sean


Nos queda obtener la imagen. Vamos a ver si tiene asntota horizontal (ya sabemos que

no tiene vertical porque no hay restricciones en el dominio).

Por lo tanto hay una asntota horizontal en

.

Sabemos por el exponente de la que la funcin es creciente. Por lo tanto:

( ( )) { ( ) ( )

}

Tenemos que obtener la funcin inversa:

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

Ahora vamos a obtener el dominio, sabemos que el argumento del logaritmo debe ser

mayor a .

Ejercicio 3. Sean


( ( ))

Tenemos la funcin ( ) y nos dan dos puntos.

{ ( )

{

Despejamos en la primera ecuacin:

Reemplazamos en la segunda:

( )

Ya con el valor de podemos obtener :

( )

Ya tenemos la funcin ( ):



( )

Calculamos ( ):

( )

( ) ( )

La imagen la podes determinar directamente teniendo en cuenta la amplitud de la

funcin ( ) y el desplazamiento ( ).

( ( )) { ( ) ( ) }

Tenemos que obtener los puntos donde la funcin alcanza sus valores mximos en el

intervalo .

Sabemos que la funcin ( ) alcanza su valor mximo en . En base a eso

podemos obtener en que valores de la funcin alcanza los mximos.

(

)

( )

Notar que hicimos la sustiticin . Por lo tanto:

Nos piden que sea en el intervalo



debe ser un entero, por lo tanto los posibles valores son:

. Dando como resultado que los valores de en los que la funcin alcanza

su valor mximo ( ) son:

y

Dejamos el grafico de la funcin:

( ) ( )

Nos dan un cero de la funcin

. Podemos reemplazar:

(

)

(

)

Tenemos el valor de que es la amplitud de la funcin, adems tenemos el

desplazamiento ( ). Por lo tanto:

( ( )) { ( ) ( ) }

Ejercicio 6. Se sabe


( ) ( ) ( )

Simplificamos haciendo factor comn ( ):

( ) ( ) ( ( ) )

Tenemos que obtener los ceros, por lo tanto:

( ) ( ( ) )

Hay dos posibilidades:

( ) y ( ) . Tenemos que resolver ambas para obtener todos los

ceros de la funcin en el intervalo que nos piden.

Primero obtenemos los valores de que satisfacen ( ) :

( )

( )

, siendo .

Tenemos que hallar los valores que pertenecen al intervalo:

Existe un nico valor que cumple para los enteros:

. Reemplazando en

:

( )

es uno de los ceros de la funcin, ahora veamos que pasa con ( ) :

Ejercicio 7. Indicar los


( )

( )

( )

(

)

, siendo .

Tenemos que hallar los valores que pertenecen al intervalo:

Tambin existe un nico valor que cumple para los enteros:

. Reemplazando en

:

( )

es un cero de la funcin. Ahora vamos a graficar para obtener los conjuntos de

positividad y negatividad.


(

)(

)

(

)

( ) (

)

Tenemos que hallar los ceros, por lo tanto:

(

)

( )

( )

( )

, siendo .

Sustituimos

:



No nos dan un intervalo. Los ceros son todos los que responden a la forma

,

siendo .

Vamos a obtener los valores mximos y mnimos. Sabemos que la funcin alcanza su

valor mximo en y su mnimo en . Analicemos, primero buscamos los

mximos:

(

)

( )

( )

, siendo .

Sustituimos

:

Los mximos responden a la forma

, siendo .

Ahora vamos a buscar los mnimos:

(

)

( )

( )

, siendo .

Sustituimos

:


Los mnimos responden a la forma

, siendo .

( ) (

)

Tenemos que buscar todos los valores de en los que .

(

)

(

)

( )

(

)

Obtenemos dos resultados, uno sale directamente de la calculadora:

, siendo .

Sustituimos

:

, siendo .

Y el otro hay que obtenerlo graficando la circunferencia:

Ejercicio 9. Sea


Chequeamos:

( )

(

)

Por lo tanto otro posible resultado es:

, siendo .

Notar que la funcin ( ) tiene dominio , por lo tanto tenemos que obtener los

puntos que cortan a la funcin ( ) en ese intervalo:

Existe un nico :

Por lo tanto uno de los puntos en el que la recta corta a la funcin ( ) en el

intervalo es:

( )

Ahora veamos que pasa con el otro valor:


Existe un nico :

( )

Obtuvimos como resultado dos puntos

y

.

Es muy similar al ejercicio anterior, vamos a resolver:

( ) ( )

Tenemos que buscar todos los valores de en los que ( )

.

( )

(

)

( )

(

)



Obtenemos dos resultados, uno sale directamente de la calculadora:

, siendo .

Sustituimos :

, siendo .

Y el otro hay que obtenerlo graficando la circunferencia:

Chequeamos:

( )

(

)

Por lo tanto otro posible resultado es:

, siendo .

Vamos a ver que pasa en el intervalo , primero con

:

1 -1


Existen dos valores que satisfacen, y .

Reemplazamos en

Si :

( )

Si :

( )

Ahora vamos a ver que pasa en el intervalo , primero con

:

Existen dos valores que satisfacen, y .

Reemplazamos en

Si :

( )

Si :

( )

Por lo tanto los resultados son:


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Funciones exponenciales y logartmicasEjercicios SurtidosTenemos las funciones ,.=,-2.+3+3 y ,.=,ln-., necesitamos la funcin =. Resolvamos:,.=,.,.=,,..=,ln-(,-2.+3+3) .Para obtener el dominio tenemos que tener en cuenta que el argumento del logaritmo debe ser mayor a 0.,-2.+3+3>0Es importante notar que para cualquier valor de la funcin da como resultado un nmero mayor a 0. Eso se debe a que el termino ,-2. crece ms rpido que el termino 3 al darle valores a . Por lo tanto:

matematica 51 - guia 4 funciones exponenciales y logaritmicas

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