0a6cap 7 funciones exponenciales y logaritmicas

7/31/2019 0a6cap 7 Funciones Exponenciales y Logaritmicas

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Funciones exponenciales

y logarítmicas7.1 CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

7.2 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

7.3 LOGARITMOS Y FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Términos y conceptos claveFórmulas importantesEjercicios adicionalesEvaluación del capítuloMinicaso: ¿Hora del fallecimiento?

C A P T U L O 7



Hay dos clases de funciones matemáticas que tienen aplicaciones importantes en los nego-cios, la economía y las ciencias: las funciones exponenciales y las funciones logarítmi-

cas. En este capítulo estudiaremos la naturaleza de estas funciones e ilustraciones de suaplicación.

Características de las funciones exponenciales

El Supertazón es una extravagancia que se convierte en punto de atención pa-ra cientos de millones de fanáticos deportivos cada mes de enero. Para partici-par en el Supertazón XXV en 1991, el costo de un anuncio de 30 segundos era$800 000. ¿Por qué alguna compañía gastaría tanto dinero por un anuncio de30 segundos? Porque el Supertazón atrae un público por televisión increíble-mente alto a nivel mundial. Antes del Supertazón XXV, los supertazones re-

presentaban 5 de los 10 públicos de televisión más grandes en la historia y 17de los principales 50. En el ejemplo 16 se presentarán datos reales que reflejanel costo incremental de la publicidad en este evento. Lo que se desea es deter-minar una función que se pueda utilizar para estimar el costo de los anunciosen el Supertazón en años futuros.

ESCENARIO DEMOTIVACIÓN:El Supertazón:el increíble costode la participación

Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos: (103)2 10(3) 2) 106 1 000 000

( x 2)5 x 5) x 10

Propiedad 3: (bm)n bmn

36

33(3)6 3 33 27

x4

x x4 1 x3

Propiedad 2:bm

bnbm n b 0

2223 22 3 25 32

x5 x 3 x5 3 x2

Propiedad 1: bm bn bm n

7.1

Recordatorio de álgebra

Repetimos aquí algunas propiedades importantes de los exponentes y radicales pararevisarlos. Suponga que a y b son números positivos y m y n tienen valores reales.



Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos:

Si ha olvidado un poco los exponentes, radicales y sus propiedades, es urgente que re-vise la sección A.5 del apéndice A.

Características de las funciones exponenciales

(2) 31

23

1

8

1

x 2

1

1/ x21

x2

1x2

Propiedad 8: b m1

bmb 0

5 0000 1

( xy)0 1, siempre que xy 0

Propiedad 7: b0 1 b 0

3√272 (3

√27)2 (3)2 9

√ √Propiedad 6:n

bm (n

b)m

82/33√82

3√64 4

x1/44√ x

Propiedad 5: bm / n n√bm

3424 [(3)(2)]4 64 1 296

x2 y2 ( xy)2

Propiedad 4: ambm (ab)m

Definición: Función exponencial

Una función con la forma

donde b Ͼ 0, b 1 y x es cualquier número real, recibe el nombre de función ex-ponencial de base b.

f ( x) b x



Como ejemplos de funciones exponenciales podemos incluir

(Excreción de medicamentos) En muchos procesos naturales, el índice con que algo crece o decre-

ce depende de su valor actual. La manera en que el cuerpo elimina los medicamentos es un ejemplode este tipo de proceso. En el caso de un tipo de medicamento particular, suponga que los riñones ex-cretan del torrente sanguíneo la mitad del medicamento en el cuerpo cada 3 horas. Por tanto, para unadosis inicial de 100 miligramos, el contenido en el cuerpo después de 3 horas sería

Después de 6 horas, la cantidad restante en el sistema sería

Luego de 9 horas, la cantidad restante en el sistema sería

Después de n periodos de 3 horas, la cantidad de medicamento que queda en el sistema se des-cribiría por medio de la función

donde A equivale al número de miligramos de medicamento restantes en el sistema y n es igual al nú-

mero de periodos (de 3 horas) desde que se administró la dosis inicial. Cabe señalar que a pesar de quecalculamos valores para A para incrementos de tiempo de 3 horas, la excreción del medicamento tienelugar continuamente. Por ello, nuestra función es válida tanto para valores enteros como no enteros de n.Por consiguiente, la cantidad restante en el sistema después de 10.5 horas es

❑

A f (3.5) (100)(0.5)3.5

(100)(0.5)3(0.5)0.5

(100)(0.125)(√0.5)(100)(0.125)(0.707)8.8375 miligramos

A f (n) 100(12)n

(100)(12)(12)(12) 12.5 miligramos

(100)(12)(12) 25 miligramos

(100)(12) 50 miligramos

f ( x) 10 x

g( x) (0.5) x

Ejemplo 1

Estime la cantidad de medicamento en el sistema después de 15 horas. Luego de 22.5horas. Respuesta: 3.125 miligramos; 0.5523 miligramos.

Ejercicio de práctica



Hay diferentes clases de funciones exponenciales. Una clase importante es la que tie-ne la forma

(7.1)

donde a, b y m son constantes con valores reales. Una restricción es que bϾ 0 pero b 1.

Para que se familiarice con el comportamiento de las funciones exponenciales, estu-diaremos algunas de la forma y ϭ b x [suponiendo que a ϭ m ϭ 1 en la ecuación (7.1)].

Podemos bosquejar la función exponencial f ( x ) ϭ 2 x al determinar un conjunto de pares ordenadosque satisfacen la función. La tabla 7.1 presenta una muestra de valores supuestos para x y los valorescorrespondientes para f ( x ). Nótese que se puede utilizar la propiedad 8 para evaluar 2 x cuando x Ͻ 0.

Observe en la figura 7.1 que f es una función creciente. Es decir, cualquier incremento en el va-lor de x da como resultado un aumento en el valor de f ( x ). Además, la gráfica de f es asintótica parael eje negativo de las x . Conforme x se aproxima a un infinito negativo (expresado como x →Ϫ∞), f ( x ) se aproxima pero nunca llega a un valor de 0.

y f ( x) abmx

x 0 1 2 3 Ϫ1 Ϫ2 Ϫ3

f ( x ) ϭ 2 x 1 2 4 8 0.5 0.25 0.125

f ( x)

x

f ( x) = 2 x

1

2

3

–1–2–3–4–5 1 2 3 4 5

4

5

6

7

8

Figura 7.1❑

Ejemplo 2

Tabla 7.1



f ( x) b x, donde b > 1 La figura 7.2 ilustra gráficas de las tres funciones exponenciales f , g y h.

Nótese que cada función tiene una base positiva b y la única diferencia entre ellas es la magnitud deb. Estas funciones se grafican juntas para ilustrar algunas características del conjunto de funciones.

(7.2) f ( x) b x donde b 1

f ( x) 2 x

g( x) 2.5 x

h( x) 3 x

y

x

f ( x) = 2 x

2

4

6

–5 5

8

10

12

14

16

18

20

g( x) = 2.5 x

h( x) = 3 x

(0, 1)

Figura 7.2 f ( x ) ϭ b x , b Ͼ 1.

Analice la figura 7.2 y luego confirme las siguientes características de este conjunto defunciones.

Ejemplo 3

Características de las funciones f ( x ) b x , donde b Ͼ 1

I Se define cada función para todos los valores de x. El dominio de f es elconjunto de números reales.

II La gráfica de f cae por completo sobre el eje x (el rango es el conjunto de

números reales positivos).

III La gráfica de f es asintótica para el eje x. Esto es, el valor de y se aproxima

pero nunca llega a un valor de 0 conforme x se aproxima al infinito negativo.

❑



Esta clase de funciones es particularmente útil al modelar procesos de crecimiento.

Veremos ejemplos de estos tipos de aplicaciones en la siguiente sección.

f ( x) ϭ b x, donde 0 Ͻ b Ͻ 1 La figura 7.3 ilustra las gráficas de las tres funciones exponenciales

f ( x ) (0.2) x

g( x) (0.6) x

h( x) (0.9) x

y

x

f ( x) = (0.2) x

5

–1–2–3–4–5 1 2 3 4 5

g( x) = (0.6) x

h( x) = (0.9) x

(0, 1)

10

15

20

Figura 7.3 f ( x ) ϭ b x , 0 Ͻ b Ͻ 1.

Estas funciones son representativas del conjunto de funciones exponenciales

(7.3)

Las tres funciones ilustradas difieren sólo en la magnitud de b. ❑

f ( x) b x 0 b 1

Ejemplo 4

IV La intersección con el eje y ocurre en (0, 1).

V y es una función creciente de x; es decir, sobre el dominio de la función

cualquier incremento de x se acompaña de un aumento en y. De modo más

preciso, esta propiedad sugiere que para x 1 Ͻ x 2, f(x 1) Ͻ f(x 2).

VI Cuanto más grande es la magnitud de la base b, mayor es el índice de in-

cremento en f(x) conforme aumenta el valor de x.



Analice la figura 7.3 y confirme las siguientes características de este conjunto de fun-ciones.

Esta clase de funciones es particularmente útil al modelar procesos de decaimiento. Enla siguiente sección veremos ejemplos de estas aplicaciones.

Funciones exponenciales de base e

Una clase especial de las funciones exponenciales es de la forma

(7.4)

La base de esta función exponencial es e, que es un número irracional aproximadamenteigual a 2.71828.

y f ( x) aemx

El número e es el valor de (1ϩ

1/ n)

n

conforme n se aproxima a∞

. Para comprendereste comportamiento, realice cálculos para completar la tabla siguiente.

11

n

n

n


PUNTOS PARAPENSAR Y

ANALIZAR

¿Cuáles son las características gráficas de la función exponencial f ( x ) ϭ b x , donde b ϭ 1?

Características de las funciones f ( x ) b x , 0 < b < 1I Se define cada función para todos los valores de x (el dominio es el con-

junto de números reales).

II La gráfica de f cae totalmente sobre el eje x (el rango es el conjunto de nú-meros reales positivos).

III La gráfica de f es asintótica para el eje x. Esto es, el valor de y se aproxi-

ma pero nunca llega a un valor de 0 conforme x se aproxima al infinito po-

sitivo.

IV La intersección con el eje y ocurre en (0, 1).

V y es una función decreciente de x; es decir, cualquier incremento de x se

acompaña de un decremento en y. De modo más preciso, esta propiedad

sugiere que para x 1 Ͻ x 2, f(x 1) Ͼ f(x 2).VI Cuanto más baja es la magnitud de la base b, mayor es el índice de decre-

mento en f(x) conforme aumenta el valor de x.



Las funciones exponenciales de base e son particularmente apropiadas al modelar pro-cesos de crecimiento y decaimiento (tales como crecimiento de las bacterias, crecimiento

de la población, decaimiento radiactivo y decremento de la población de especies en peli-gro de extinción) y la composición continua del interés en las aplicaciones financieras.

Aunque no profundizaremos en el origen de esta constante, adquirirá discernimientosconforme avancemos en el estudio de por qué se utiliza una constante tan inusual como la ba-se para una clase común de funciones exponenciales. Y, de hecho, las funciones exponencia-les de base e se aplican en mayor medida que cualquier otra clase de función exponencial.

y

x

(0, 1)

y = e– x y = e x

Figura 7.4

1 2

2

3

4

550

500

5000

50000

500000

Respuesta: 2.25, 2.37037, 2.441406, 2.488320, 2.691588, 2.715569, 2.718010, 2.718255, 2.718279.



Dos funciones exponenciales especiales de esta clase son y ϭ e x y y ϭ eϪ x . La figura7.4 ilustra las gráficas de estas dos funciones. Para trazar estas funciones, se deben calcu-lar valores para (2.71828...) x o (2.71828...)Ϫ x . Éste podría ser un proceso muy tedioso. Sinembargo, dado que estos cálculos se efectúan con frecuencia, ya se tienen valores disponiblesde e x y eϪ x . La mayor parte de las calculadoras de mano tienen funciones e x o eϪ x . En caso deque no tenga acceso a una calculadora adecuada, también tiene valores disponibles en las ta-

blas como la tabla 1 de la contraportada frontal del libro. Debe sentirse a gusto calculando va-lores para e x y eϪ x ya sea con una calculadora o una tabla.

(Funciones exponenciales modificadas) Ciertas aplicaciones de las funciones exponenciales impli-can funciones con la forma

(7.5) y f ( x) 1 e mx

x 0 1 2 3 4

eϪ x 1 0.3679 0.1353 0.0498 0.0183

1 Ϫ eϪ x 0 0.6321 0.8647 0.9502 0.9817

y

x

f ( x) = (1 – e– x)

0.5

1.0

1 2 3 4 5Figura 7.5 Funcionesexponenciales modificadas.

Con el fin de ilustrar estas funciones exponenciales modificadas, grafiquemos la función f ( x ) ϭ 1 Ϫ eϪ x , donde x Ն 0. La tabla 7.2 contiene algunos puntos de datos muestra paraesta función. La gráfica de la función se presenta en la figura 7.5. Nótese que la gráfica dela función es asintótica para la línea y ϭ 1. Conforme se incrementa el valor de x , el valorde y se aproxima pero nunca alcanza un valor de 1. Esto sucede porque el segundo térmi-no eϪ x se aproxima pero nunca llega a 0 conforme aumenta el valor de x . Quizá se puedaentender mejor el comportamiento de eϪ x si se reformula eϪ x como 1/ e x . Conforme aumen-ta el valor de x , el denominador se incrementa más y el cociente 1/ e x se acerca pero nuncallega a 0. ❑

Ejemplo 5

Tabla 7.2



Conversión a funciones de base e

Hay casos en que son preferibles las funciones exponenciales de base e que aquellas quetienen otra base b. Las funciones exponenciales que tienen una base distinta de e se puedentransformar en funciones de base e equivalentes. Esto sucede porque es posible expresarcualquier número positivo b en forma equivalente como alguna potencia de la base e; es de-cir, podemos encontrar un exponente n tal que en

ϭ b, donde b Ͼ 0.

Para ilustrarlo, suponga que tenemos una función exponencial

donde la base equivale a 3. Para convertir f en una función de base e equivalente, debemos ex-presar la base en términos de e. Queremos determinar el exponente n que da como resultado

Con base en la tabla 1 (de la contraportada frontal del libro) encontramos que

o

Por consiguiente, podemos expresar la función original como

o

Para probar la equivalencia de estas funciones, calculemos f (2) usando las formas de base3 y base e.

Base 3:

Base e:

Con base en la tabla 1

Se puede atribuir la diferencia (9.0250 Ϫ 9 ϭ 0.0250) al hecho de que no nos es posibleencontrar el valor preciso de n que da como resultado enϭ 3 con base en la tabla 1. Nues-

tro valor de n ϭ 1.1 se acerca, pero es una aproximación. Tablas más detalladas y una cal-culadora con una función e x o el uso de logaritmos (que ilustraremos más adelante) puedenayudarle a obtener una mejor aproximación.

Sección 7.1 Ejercicios de seguimiento

1.

¿Cuáles de las siguientes funciones se puede considerar que son funciones exponenciales? En elcaso de las que no lo son, indique por qué.

f ( x) 3 x ( e1.1) x

f ( x) e1.1 x

e1.1 3.0042

e1.1 3

en 3

f ( x) 3 x

f (2) 32 9

f (2) e1.1(2) e2.2

e2.2 9.0250

a) y f ( x) ( ) x2, donde 3.14 . . .

c) y v(t) (4)t2 2t 1

e) g h( x) 1/ e2 x 1

g) y f ( x) (0.5) x 6

b) y h( x)x√0.50

d) u v(t)4√t3

f ) y f ( x) √2 x5

h) y h( z) 10 z



2. a) Trace las funciones

b) Si se comparan estas funciones con la ecuación (7.1), las diferencias se encuentran en los va-lores del parámetro m. Analice los trazos de la parte a). ¿A qué conclusiones se puede llegarcon respecto del comportamiento de las funciones exponenciales y el valor de m?

3. a) Trace las funciones

b) Si comparamos estas funciones con la ecuación (7.1), las diferencias se encuentran en los va-lores del parámetro a. Con base en los trazos de la parte a), ¿a qué conclusiones podemos lle-gar acerca del comportamiento de las funciones exponenciales y el valor de a?

4. Refiérase a la ecuación (7.2) y las características de tales funciones. Describamos los cambiosen dichas funciones si se agrega una constante. Esto es, dada la función exponencial

a) Describa las características I a IV de estas funciones cuando c Ͼ 0.b) Describa las características de estas funciones cuando c Ͻ 0.

5. Refiérase a la ecuación (7.3) y las características de tales funciones. Dada la función expo-nencial

a) Describa las características I a IV de estas funciones cuando cϾ

0.b) Describa las características I a IV de estas funciones cuando c Ͻ 0.

Para cada una de las siguientes funciones exponenciales, calcule f (0), f (Ϫ3) y f (1).

f ( x) b x c donde 0 b 1

f ( x) b x c donde b 1

y f ( x) 2 x

y g( x) 0.5(2) x

y h( x) 2(2)

x

y f ( x) 2 x

y g( x) 21.5 x

y h( x) 22 x

6. f ( x) 3 x27. f ( x) 2 x /2

8. f ( x) e x 9. f ( x) e x /2

10. f ( x) e x 2 11. f ( x) e x2 /2

12. f ( x) 1 e0.5 x 13. f ( x) 10(1 e2 x)14. f ( x) e x /2 15. f ( x) 5 e x /216. f ( x) (2) x2 2 x 17. f ( x) (3)4 x2

18. f ( x) 4(1 e x) 19. f ( x) 3(4 e2 x)20. f ( x) 10 x e x 21. f ( x) x2 3 x 4 e x



Trace las siguientes funciones.

Convierta cada una de las siguientes funciones exponenciales en funciones exponenciales de base eequivalentes.

46. Trace la función desarrollada en el ejemplo 1.47. Excreción de un medicamento con prescripción En el caso de un medicamento con prescrip-

ción particular, los riñones excretan la mitad de la cantidad del medicamento en el torrente san-guíneo cada 4 horas. Dada una dosis inicial de 300 miligramos:a) Determine la función A ϭ f (t ), donde A equivale a la cantidad del medicamento en el torren-

te sanguíneo (en miligramos) y t es igual al tiempo desde que se administró la dosis, medi-do en incrementos de 4 horas.

b) ¿Qué cantidad se tiene en el sistema luego de 8 horas? ¿Después de 10 horas? ¿Al cabo de

24 horas?c) Trace la función.

Aplicaciones de las funciones exponencialesComo ya se ha mencionado, las funciones exponenciales tienen una aplicación particular

para los procesos de crecimiento y decaimiento. Los ejemplos de los procesos de creci-miento incluyen el crecimiento de la población, la apreciación en el valor de los activos, lainflación, el crecimiento en el índice con que se utilizan recursos específicos (como la ener-gía) y el incremento en el producto interno bruto (PIB). Los ejemplos de los procesos dedecaimiento incluyen el valor reducido de ciertos activos como la maquinaria, la disminu-ción en la tasa de incidencia de ciertas enfermedades conforme se mejoran la investigacióny la tecnología, la reducción en el poder adquisitivo de un dólar y el decremento en la efi-ciencia de una máquina conforme envejece.

Cuando un proceso de crecimiento se caracteriza por un incremento porcentual cons-tante, se denomina proceso de crecimiento exponencial . Cuando un proceso de decaimien-to se caracteriza por una disminución porcentual constante en el valor, recibe el nombre de proceso de decaimiento exponencial . Si la población de un país crece de manera constan-te con un índice de 8 por ciento, el proceso de crecimiento se describe por medio de una

32. f ( x) (1.6) x 33. f ( x) (2) x2

34. f ( x) (0.6) x 35. f ( x) (2.25) x /2

36. f (t) 5(1.6)t2 37. f (t) 10(0.3)t

38. f (t) 2.5(20)t 39. f (t) 2(90)t

40. f (u) 3(0.5)u 41. f (u) 5(0.6)u(1.6)2u

42. f ( z) 2(16) z2

43. f ( z) (10) z(5) z

44. f ( x

) (0.4)

x

(0.8)

x /2 45. f ( x

) (0.5)

x /2

(3)

x2

22. f ( x) e x /2 23. f ( x) e x /224. f ( x) 0.5 e x2

25. f ( x) 2 e x

26. f ( x) 5(1 e x) 27. f ( x) 2(1 e x)28. f ( x) e x /2 29. f ( x) 1 e0.5 x

30. f ( x) 2(1 e x) 31. f ( x) 4(1 e x)

7.2



función de crecimiento exponencial. Si la incidencia de la mortalidad infantil disminuye enforma continua con una tasa de 5 por ciento, se describe el proceso de decaimiento median-te una función de decaimiento exponencial.

A pesar de que las funciones de crecimiento exponencial y decaimiento exponencialpor lo general se expresan como una función del tiempo, la variable independiente puederepresentar algún factor diferente del tiempo. No obstante la naturaleza de la variable inde-pendiente, el efecto es que incrementos iguales en la variable independiente dan como re-

sultado cambios porcentuales constantes (incrementos o decrementos) en el valor de la

variable dependiente.

Los siguientes ejemplos ilustran algunas áreas de aplicación de las funciones exponen-ciales.

(Interés compuesto) Se puede utilizar la ecuación

(7.6)

para determinar la cantidad S que una inversión de P dólares aumentará si recibe interés de i por cien-to por periodo compuesto durante n periodos de interés compuesto, suponiendo que se reinviertecualquier interés acumulado. S se conoce como el interés compuesto y P como el capital. Si se con-sidera que S es una función de n, se puede considerar que la ecuación (7.6) tiene la forma de la ecua-ción (7.1). Es decir,

o

donde a ϭ P, b ϭ 1 ϩ i, y m ϭ 1.Suponga que P ϭ $1000 e i ϭ 0.08 por año. La ecuación (7.6) se convierte en

Para determinar el valor de S dado cualquier valor de n, es necesario evaluar el término ex-ponencial (1.08)n. Si queremos saber a cuánto ascenderá la suma de $1 000 después de 25años, debemos evaluar (1.08)25. Puesto que este tipo de cálculo es tan común, es posibledeterminar valores para la expresión (1 ϩ i)n por medio de teclas especiales de funcionesen muchas calculadoras o mediante tablas. Se puede utilizar la tabla 1 en la página 10 pa-ra evaluar (1 ϩ 0.08)25. Con base en la tabla 1,

y

La figura 7.6 es un bosquejo de esta función.

(1 0.08)25 6.8485

f (25) 1 000(1.08)25 1 000(6.8485) $6848.50

S ϭ f (n) ϭ (1000)(1.08)n

S f (n)

S abmn

S P(1 i)n

Ejemplo 6

S



S

2000

4000

$6000

10

C a n t i d a d c a p i t a l i z a d a

n

Añ os

S = 1000 (1.08)n

20 30

Figura 7.6 Cantidad capitalizada:$1 000 invertidos con una tasa de 8por ciento por año, capitalizableanualmente.

(Interés compuesto: capitalización continua) Cuando se tiene capitalización del interés más deuna vez por año, es posible reformular la ecuación (7.6) como

(7.7)

donde i equivale a la tasa de interés anual, m es igual al número de periodos de capitalización por

año y t expresa el número de años. El producto de mt es igual al número de periodos de capitaliza-ción durante t años.

Los bancos a menudo anuncian la capitalización continua para las cuentas de ahorros como una

manera de promover el negocio. La capitalización continua implica que la capitalización ocurre todoel tiempo. Otra forma de considerar la capitalización continua es que hay un número infinito de pe-riodos de capitalización cada año. En la ecuación (7.7), la capitalización sugeriría que determinamosel valor de S conforme m se aproxima a ϩ∞.

Es posible demostrar que para la capitalización continua, la ecuación (7.7) se simplifica como

(7.8)

En el ejemplo 6, calculamos la cantidad a que ascendería una inversión de $1 000 si se invirtieran conuna tasa de 8 por ciento por año durante 25 años capitalizable anualmente. Si los $1 000 ganan 8 porciento por año capitalizado continuamente, ascenderá a una suma

S $1000 e0.08(25)

1000 e2.0

S f (t) Peit

S P 1i

m

mt

❑

Ejemplo 7

A partir de la tabla 1 (en la contraportada frontal del libro) tenemos



A partir de la tabla 1 (en la contraportada frontal del libro) tenemos

y

Al comparar este valor con el que encontramos en el ejemplo 6, la capitalización continua da como re-

sultado un interés adicional de $7 389.10Ϫ $6848.50 ϭ $540.60 durante el periodo de 25 años. Lasfunciones de capitalización anual y continua aparecen juntas en la figura 7.7.

e2.0 7.3891

S $1000(7.3891)

$7389.10

S

2000

4000

6000

5

C a n t i d a d c a p i t a l i z a d a

Añ os

S = 1000 e0.08t

10 15 20 25

$8000

S = 1000 (1.08)tCapitalizació n continua

Capitalizació n anual

Figura 7.7 Cantidad capitalizada:$1000 invertidos con una tasa de8 por ciento por año, capitalizaciónanual contra continua.

(Proceso de crecimiento exponencial: población) Como se mencionó al principio de esta sección,los procesos de crecimiento exponencial se caracterizan por un incremento porcentual constante enel valor con el paso del tiempo. Tales procesos se pueden describir mediante la función general

o bien (7.9)

donde V es el valor de la función en el momento t, V 0 es el valor de la función en t ϭ 0, k es el índi-

ce de crecimiento porcentual y t es el tiempo medido en las unidades apropiadas (horas, días, sema-nas, años, etcétera).

V V e kt

V f (t)

Ejemplo 8

La población de un país era de 100 millones de habitantes en 1970 Desde esa época se ha



La población de un país era de 100 millones de habitantes en 1970. Desde esa época se haincrementado exponencialmente con un índice constante de 4 por ciento por año. La función queestima el tamaño de la población P (en millones de habitantes) es

donde 100 (millones) es la población en t ϭ 0 (1970) y 0.04 es el índice porcentual de crecimiento

exponencial.Se encuentra la población proyectada para 1995 (suponiendo un crecimiento anual continuo con

el mismo índice) al evaluar f (25), donde t ϭ 25 corresponde a 1995. La población proyectada para elpaís es

En la figura 7.8 se presenta un bosquejo de la función de la población.

P f (25)100 e0.04(25)

100 e271.83 (millones)

P f (t)100 e0.04t

P

100

200

300

400

500

600

700

5

P

o b l a c i ó n , e n m i l l o n e s d e h a b i t a n t e s

Añ os ( t = 0 corresponde a 1970)

P = 100 e0.04t

800

900

10 15 20 25 30 35

t

Figura 7.8

Para confirmar la naturaleza de las funciones de crecimiento exponencial (es decir, incre-

mentos iguales en la variable independiente dan como resultado aumentos porcentuales

constantes en la variable dependiente), calcule f (1), f (2) y f (3) que reflejen incrementos igua-les de 1 en la variable independiente. Luego calcule el incremento porcentual en f (t ) entret ϭ 1 y t ϭ 2 y entre t ϭ 2 y t ϭ 3. ¿Son los mismos?


(Procesos de crecimiento exponencial, continuación) Una pregunta interesante en las funciones deEjemplo 9



( ocesos de c ec e to e po e c a , co t uac ó ) p gcrecimiento es, ¿cuánto tiempo pasará para que la función se incremente por algún múltiplo? En elejemplo 8 puede haber una pregunta relacionada con cuánto tiempo pasará para que la población seduplique. En la ecuación (7.9), el valor de V 0 se duplicará cuando

Al dividir ambos lados de la ecuación (7.9) entre V 0, obtenemos

Por consiguiente, el valor se duplicará cuando

Para ilustrar esto, la población del ejemplo 8 se duplicará cuando V ϭ 200, o bien

Dividir ambos lados entre 100 da

Con base en la tabla 1, vemos que

Para determinar cuánto tiempo tarda en duplicarse la población de 100 millones, debemos encontrarel valor de t que hace que

o

Estas expresiones serán iguales cuando sus exponentes sean iguales, o cuando

O bien ❑

0.04t 0.69

t 17.25 años*

e0.04t 2

e0.04t e0.69

e0.69 2

2 e0.04t

200 100 e0.04t

e kt 2

V

V 0 e kt

V

V 02

* Puede ser más fácil despejar t si comprende los logaritmos. Un planteamiento alternativo y equivalente consis-tiría en encontrar los logaritmos naturales (sección 7.3) de ambos lados de la ecuación e0.04t ϭ 2 y balancearlosal despejar t . Pronto estudiaremos esto.

j p

¿Qué relación existiría entre V y V 0 si se triplica el valor? ¿Si se cuadruplica? ¿Si seincrementa un 50 por ciento? Determine cuánto tiempo tomará en ocurrir en el ejem-plo anterior. Respuesta: V / V 0ϭ 3; V / V 0 ϭ 4; V / V 0 ϭ 1.50; (usando la tabla 1) 27.5 años, 35 años, 10.25

años.


(Funciones de decaimiento exponencial) Un proceso de decaimiento exponencial es caracteriza-

Ejemplo 10



p p p

do por una disminución del porcentaje constante del valor en el tiempo. Esos procesos se describenpor la función general

o (7.10)

donde V es igual al valor de la función en el tiempo t, V 0 es igual al valor de la función en t ϭ 0, yk es el índice porcentual de decaimiento (a veces llamada la constante de decaimiento). Compare laecuación (7.10) con la ecuación (7.9) y note las diferencias.

El valor de reventa V (expresado en dólares) de un cierto tipo de equipo industrial ha sido en-contrado para comportarse de acuerdo a la función V ϭ f (t ) ϭ 100000eϪ0.1t , donde t ϭ años desdela compra original.a) ¿Cuál era el valor original de una pieza del equipo?b) ¿Cuál es el valor de reventa esperado después de 5 años? ¿Después de 10 años?

SOLUCIÓN

a) El valor original es el valor de V cuando t ϭ 0. En t ϭ 0

Por eso el valor original V 0 ϭ $100 000b)

V 100000 e 0.1(0)

100000 e0

100000

V f (t)

V V 0 ekt

f (5) 100000 e 0.1(5)

100000 e 0.5

100000(0.6065)$60650

f (10) 100000 e 0.1(10)

100000 e 1

100000(0.3679)$36790

(de la tabla 1)

(de la tabla 1)

La figura 7.9 presenta una gráfica de esta función de decaimiento.

j p

V



(Cobranza de cuentas) Una importante institución financiera ofrece una tarjeta de crédito que sepuede utilizar a nivel internacional. Los ejecutivos se preguntan cuánto tiempo toma cobrar las cuen-tas por cobrar por el crédito otorgado en cualquier mes determinado. Los datos recopilados durantevarios años han indicado que el porcentaje de cobranza del crédito emitido en cualquier mes deter-minado es una función exponencial del tiempo desde que se otorgó el crédito. Específicamente, la

función que hace una aproximación de esta relación es

o

donde P equivale al porcentaje de las cuentas por cobrar (en dólares) cobradas t meses después

de que se otorgó el crédito. En la tabla 7.3 se presentan algunos puntos de datos muestra. Los va-lores para eϪ0.7t se pueden encontrar en la tabla 1 en la contraportada frontal o usando una calcu-ladora. En la figura 7.10 se traza la función. Observe las cifras de la tabla 7.3. Para t ϭ 0, f (t )ϭ 0, locual sugiere que en el momento en que se otorgó el crédito no se habrá cobrado ninguna cuenta.

P f (t)

P 0.95(1 e 0.7t) t 0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

$100000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V a l o r e n l i b r o s

Añ os desde la compra original

f (t) = 100000 e–0.1t

t

Figura 7.9 Funciónde depreciación.

Ejemplo 11

t 0 1 2 3 4Tabla 7.3



Cuando t ϭ 1, la función tiene un valor de 0.4782. Esto indica que después de 1 mes se habrán co-brado 47.82 por ciento de las cuentas por cobrar (en dólares). Después de 2 meses, se habrán cobra-do 71.56 por ciento. ❑

t 0 1 2 3 4

eϪ0.7t 1 0.4996 0.2466 0.1225 0.06081 Ϫ eϪ0.7t 0 0.5034 0.7534 0.8775 0.93920.95(1 Ϫ eϪ0.7t ) 0 0.4782 0.7156 0.8336 0.8922

P

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1 2 3 4 5

P o r c e n t a j e d e l a s c u e n t a s p o r c o b r a r

Tiempo desde la emisió n de crédito, en meses

f (t) = 0.95(1 – e–0.7t)

t

Figura 7.10 Función derespuesta a la cobranza.


1. Se hace una inversión de $200000 que gana una tasa de interés de 8 por ciento por año. Si el in-

terés se capitaliza continuamente:a) Determine la función exponencial que expresa el interés compuesto como una función de losaños de la inversión t .

b) ¿A cuánto ascenderán $200000 si se invierten durante 5 años? ¿10 años?

PUNTOS PARA

PENSAR YANALIZAR

¿A cuánto se aproxima el valor de P conforme t se incrementa sin lí-mite? ¿Por qué el valor de P nunca será igual a 1? ¿Piensa que se

aplicaría un dominio restringido en este tipo de aplicación?

2. Se hace una inversión de $500 000 que gana una tasa de interés de 7.5 por ciento por año. Si el



interés se capitaliza continuamente:a) Determine la función exponencial que expresa cantidades de interés compuesto S como una

función de los años de la inversión t .b) ¿A cuánto ascenderán $500000 si se invierten durante 10 años? ¿20 años?

3. En el ejercicio 1, determine el tiempo requerido para que se duplique el valor de la inversión.Para que se cuadruplique.

4. En el ejercicio 2, determine el tiempo requerido para que se duplique el valor de la inversión.Para que se triplique.

5. Se hace una inversión de $1 millón que gana una tasa de interés de 8.5 por ciento por año. Si elinterés se capitaliza continuamente, a) ¿a cuánto ascenderá la inversión si se invierte durante 10años? b) ¿25 años? c) ¿Cuánto tiempo pasará para que la inversión aumente 50 por ciento?

6. Se hace una inversión de $250 000 que gana una tasa de interés de 10 por ciento por año. Si elinterés se capitaliza continuamente, a) ¿a cuánto ascenderá la inversión si se invierte durante 10años? b) ¿20 años? c) ¿Cuánto tiempo pasará para que la inversión aumente 150 por ciento?

7. Crecimiento de la población La población P de un país de Sudáfrica ha comenzado a creceren forma exponencial con un índice constante de 2.5 por ciento por año. El 1 de enero de 1985,la población era de 40 millones de habitantes.a) Formule la función de crecimiento exponencial general P ϭ f (t ) para la población del país,

donde t equivale al tiempo medido en años desde el 1 de enero de 1985.b) Si el índice y el patrón de crecimiento continúan, ¿cuál se espera que sea la población al prin-

cipio de 1995? ¿Al principio del año 2010?8. En el ejercicio 7, determine el año en que se espera que se duplique la población. ¿En qué año

se espera que la población se incremente 50 por ciento?9. Desperdicios sólidos En una importante ciudad de Estados Unidos, el tonelaje anual de desper-

dicios sólidos (basura) ha aumentado con un índice exponencial de 8 por ciento por año. Supon-ga que el actual tonelaje diario es de 2500 toneladas y el índice y el patrón de crecimientocontinúan.a) ¿Qué tonelaje diario se espera dentro de 10 años?b) La capacidad actual para manejar desperdicios sólidos es de 4 000 toneladas por día. ¿Cuán-

do dejará de ser suficiente esta capacidad?10. Valor de recuperación Se ha encontrado que el valor de reventa V de un equipo industrial se

comporta de acuerdo con la función

donde t ϭ años desde la compra original.a) ¿Cuál era el valor original del equipo?b) ¿Cuál es el valor de reventa después de 5 años?

11. En el ejercicio 10, ¿cuánto tiempo pasa para que el valor de reventa del activo llegue a 25 por

ciento de su valor original?12. Especies en peligro de extinción El Departamento del Interior de Estados Unidos estimó que el

número de venados de una especie era 60 000 al principio de 1980. Los científicos estiman quela población de la especie disminuye exponencialmente con un índice de 4 por ciento por año.a) Formule la función de decremento P ϭ f (t ), donde P equivale al número de venados y t es

igual al tiempo (en años) medido desde 1980.

V 250000 e 0.06t

b) ¿De cuántos venados se espera que sea la población en el año 2000 si el índice de decaimien-t t t ?



to permanece constante?13. En el ejercicio 12, ¿cuándo se espera que la población sea de 30 000 venados?14. Durante los pasados 3 años, los precios de los bienes raíces en un área del país han aumentado

con un índice exponencial de 4 por ciento por año. Hace 3 años se compró una casa en $120 000.a) ¿Cuál es su valor esperado actualmente?b) Suponiendo que la apreciación sigue con el mismo índice, ¿cuál será su valor dentro de 5 años?

15. Recaudación de fondos Una organización de caridad nacional planea una campaña para reunirfondos. La experiencia pasada indica que el total de contribuciones recaudadas son una funcióndel tiempo que dura una campaña. En una ciudad se ha determinado una función de respuesta queindica el porcentaje de la población R que hará un donativo como una función del número de díast de la campaña. La función es

a) ¿Qué porcentaje de la población hará un donativo después de 10 días? ¿Luego de 20 días?b) ¿Cuál es el límite superior del valor de R?

16. Cobranzas de tarjeta de crédito Un banco importante ofrece una tarjeta de crédito que se pue-de usar nacional e internacionalmente. Los datos recopilados con el paso del tiempo indican queel porcentaje de cobranza para el crédito emitido en cualquier mes es una función exponencialdel tiempo desde que se otorgó el crédito. Específicamente, la función que hace una aproxima-ción de esta relación es

donde P equivale al porcentaje de cuentas por cobrar (en dólares) cobradas t meses después deque se otorgó el crédito.a) ¿Qué porcentaje se espera que se cobre después de 1 mes?b) ¿Qué porcentaje se espera luego de 3 meses?c) ¿A qué valor se aproxima P conforme t aumenta sin límite?

17. Respuesta a la publicidad Una compañía grande de grabaciones vende cintas y discos com-pactos (CD) sólo por correo directo. Se hace publicidad por medio de una red de televisión. Mu-cha experiencia con este tipo de planteamiento de ventas ha permitido que los analistasdeterminen la respuesta esperada a un programa de publicidad. Específicamente, la función derespuesta para los CD y cintas de música clásica es R ϭ f (t ) ϭ 1 Ϫ eϪ0.05t , donde R es el por-centaje de clientes en el mercado objetivo que en realidad compran el CD o la cinta y t es el nú-mero de veces que aparece un anuncio en la televisión nacional.a) ¿Qué porcentaje del mercado objetivo se espera que compre una oferta de música clásica si

se transmite una vez la publicidad por televisión? ¿5 veces? ¿10 veces? ¿20 veces?b) Trace la función de respuesta R ϭ f (t ).

18. Función de la demanda La función de la demanda para una mercancía particular es

a) ¿Cuál se espera que sea la demanda con un precio de $5?b) ¿Cuál se espera que sea la demanda con un precio de $20?

q f ( p) 10 000 e 0.1 p

P f (t) 0.92(1 e0.10t

) t 0

R 0.5(1 e 0.05t)

19. Función exponencial del ingreso Refiérase al ejercicio anterior. Usando la función de la de-manda cree la función del ingreso total R ϭ f(p) ¿Cuánto se espera que sea el ingreso con un



manda, cree la función del ingreso total R ϭ f ( p). ¿Cuánto se espera que sea el ingreso con unprecio de $10? ¿Cuál se espera que sea la demanda con este precio?

7.3

*20. Función de Gompertz Un modelo que se emplea en ocasiones para representar el crecimien-to restringido es la función de Gompertz. Este modelo de crecimiento restringido tiene la formageneral

donde p, c y k son constantes. Si p ϭ 500, c ϭ 0.2 y k ϭ 0.1, determine a) f (0) y b) f (10).*21. Dada la función de Gompertz general del ejercicio 20, a) determine f (0) y b) determine el valor

al que se aproxima y conforme t se incrementa cada vez más.

y f (t) pe ce kt

Logaritmos y funciones logarítmicasEn esta sección estudiaremos los logaritmos, sus propiedades, su uso en la solución de ecua-ciones exponenciales, funciones logarítmicas y aplicaciones selectas.

Logaritmos

Un logaritmo es la potencia a la que se debe elevar una base para dar como resultado unnúmero determinado (es decir, un logaritmo es un exponente). Considere la ecuación

Se puede considerar el exponente 3 como el logaritmo, para la base 2, del número 8. Estoes, 3 es la potencia a la que se tiene que elevar 2 para dar como resultado el número 8.

Podemos expresar esta propiedad de los logaritmos como

En general,

Nos interesaremos en situaciones en que la base b está limitada a valores positivos dife-

rentes de 1.

y b x⇐⇒ x log b y por b 0

3 log 2 8

23 8

Los siguientes son enunciados de pares equivalentes de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.Ejemplo 12



Ecuación logarítmica Ecuación exponencial

4 ϭ log2 16 ⇔ 24ϭ16

2 ϭ log10 100 ⇔ 102ϭ 100

3 ϭ log3 27 ⇔ 33ϭ 27

Ϫ1 ϭ log10 0.1 ⇔ 10Ϫ1 ϭ 0.1

Ecuación logarítmica Ecuación exponencial

104ϭ 10000 ⇔ 4 ϭ log10 10000

43 ϭ 64 ⇔ 3 ϭ log4 6452ϭ 25 ⇔ 2 ϭ log5 25

10Ϫ2ϭ 0.01 ⇔ Ϫ2 ϭ log10 0.01

* A veces estos logaritmos se conocen como logaritmos de Briggs (por H. Briggs, quien los usó primero).† Los logaritmos naturales reciben el nombre de logaritmos napierianos en honor del escocés John Napier.

Las dos bases que se emplean con mayor frecuencia para los logaritmos son la base 10 y la ba-se e. Es probable que la mayoría de nosotros haya experimentado con logaritmos de base 10 o loga-

ritmos comunes.* Los logaritmos que usan e ϭ 2.718 . . . como la base reciben el nombre delogaritmos naturales.† Los logaritmos de esta forma surgen del uso de funciones exponenciales queutilizan e como la base.

Los logaritmos comunes se expresan como

Sin embargo, ya que la mayor parte de los cálculos logarítmicos (distintos de la base e) implican labase 10, una manera muy común de expresar tales logaritmos es

donde la base, aunque no se indica, es implícitamente 10. Los logaritmos de base e o naturales se pue-den expresar como

pero por lo general se expresan por medio de

Un logaritmo que tiene una base b diferente de 10 o e se expresaría como

x log b y

x ln y

x log e y

x log y

x log 10 y

j p

No se presentarán los procedimientos para determinar valores de logaritmos comunes. Los ejem-plos de este libro sólo manejarán logaritmos naturales. La tabla 2 (en la contraportada final del libro)



plos de este libro sólo manejarán logaritmos naturales. La tabla 2 (en la contraportada final del libro)contiene valores de logaritmos naturales. Como una alternativa para las tablas, la mayor parte de lascalculadoras de mano tienen una función de logaritmo natural para determinar estos valores. ❑

Propiedades de los logaritmos

El uso de logaritmos puede dar como resultado cierta eficiencia cuando se requieren cálculosde números muy grandes o muy pequeños. En parte, se puede atribuir esta eficiencia a cier-tas propiedades de los logaritmos. Éstas son algunas de las propiedades más importantes.

Ejemplos:

Ejemplos: log 10

10000

100log 1010000 log 10100

4 2 2

ln 37.5 ln75

2

ln 75 ln 2

3.62444.3175 0.6931 (de la tabla 2)

Propiedad 2: log bu

vlog b u log b v

log 1 [(100)(1000)] log 100 log 1000

2 3 5ln 8 000 ln[(40)(200)]

ln 40 ln 200

3.6889 5.2983 (de la tabla 2)

8.9872

Propiedad 1: log b uv log b u log b v

Propiedad 3: log b un n log b u

Ejemplos:

Propiedad 4: log b 1

log 100 2 log 100

2(2) 4

ln 10000 ln(100)2 ln 100

2(4.6052) (de la tabla 2)

9.2104

Ejemplos: log 10 10 1 (101 10)

l ( 1 )



Ejemplos:

Ejemplo:

Ejemplos:

Solución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales

A lo largo del libro hemos tenido que despejar las raíces de ecuaciones. Por lo general, es-tas ecuaciones han sido de la forma polinomial (con mayor frecuencia lineales, cuadráticaso cúbicas). Los siguientes ejemplos ilustran la solución de ecuaciones logarítmicas y expo-nenciales.

Para resolver la ecuación logarítmica

Se aplica la propiedad 3, lo que da como resultado

Con base en la tabla 2, ln 20 ϭ 2.9957. Por consiguiente, podemos decir que x Џ 20 es la raíz de laecuación que se da.

2 ln x ln x 9

3 ln x 9

ln x 3

ln x2 ln x 9

log 2 25 5

ln e3 3

Propiedad 7: log b b x x

10log 10 100 102 100

Propiedad 6: blog b x x

log 10 1 0 (10 0 1)

ln 1 0 ( e0 1)

Propiedad 5: log b 1 0

ln e 1 ( e 1 e)

Ejemplo 13

Se podría obtener una solución más precisa al expresar la ecuación exponencial que es equiva-lente a la ecuación ln x ϭ 3. La ecuación equivalente es



Con base en la tabla 1 o con una calculadora, la solución más precisa es x ϭ 20.086. ❑

Para resolver la ecuación logarítmica

Se aplica la propiedad 2 en el lado izquierdo de la ecuación, lo que da como resultado

Nuestra comprensión de las relaciones logarítmicas nos permite reformular esta ecuación en la fórmu-

la exponencial equivalente

o con base en la tabla 1,

Para resolver la ecuación exponencial

se toma el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación, lo que da como resultado

o bienCon base en la tabla 2 o con una calculadora, ln 5 es igual a 1.6094 y

2 x 1.6094

x 0.8047

ln e2 x ln 5

2 x ln 5

e2 x 5

7.3891x2 2

x2

7.3891 x2 x2 2

6.3891 x2 2

x22

6.3891

x2 0.3130

x 0.5595

e2x2 2

x2

lnx2 2

x22

ln( x2 2) ln x2 2

e3 x

Ejemplo 14

Ejemplo 15

y

(El Supertazón: el increíble costo de la participación; Escenario de motivación) El Supertazónes una extravagancia que se convierte en punto de atención para cientos de millones de fanáticos de-

Ejemplo 16



es una extravagancia que se convierte en punto de atención para cientos de millones de fanáticos deportivos cada mes de enero. Para participar en el Supertazón XXV en 1991, el costo de un anunciode 30 segundos era $800000. La figura 7.11 es una gráfica que muestra el costo de los anuncios de30 segundos para cada uno de los primeros 25 Supertazones. ¿Por qué alguien gastaría tanto dinero porun anuncio de 30 segundos? Porque el Supertazón atrae un público por televisión increíblemente nume-roso. Antes del Supertazón XXV, los Supertazones representaban 5 de los 10 públicos de televisión másgrandes en la historia y 17 de los principales 50.

A partir de la gráfica, parece que el costo por anuncio de 30 segundos aumenta aproximadamentecon una tasa exponencial con el paso del tiempo. Lo que se desea es determinar una función exponencialque se pueda utilizar para hacer una aproximación del costo de la publicidad con el paso del tiempo.

700

600

500

400

300

200

100

0

800

I1967

E n m i l e s d e

d ó l a r e s

V 71

X 76

XV 81

XX 86

XXV 91

(25, 800)

(16, 325)

Figura 7.11 El costo

de 30 segundos depublicidad durante elSupertazón. (Fuente:Nielsen MediaResearch)

SOLUCIÓN

Determinemos una función de estimación que suponga el crecimiento exponencial en el costo de los

anuncios de 30 segundos. Es decir, determinemos una función que tenga la forma

(7.11)

donde C equivale al costo por anuncio de 30 segundos (en miles de dólares) y t es igual al número

del Supertazón. Esta función exponencial tiene dos parámetros que es necesario determinar, C 0 e i.

C f (t) C0 eit

Necesitaremos por lo menos dos puntos de datos para determinar estos parámetros de la función deestimación. Seleccionemos los puntos de datos asociados con los Supertazones XVI y XXV. En el



caso del Supertazón XVI, el costo por anuncio era de $325000 y para el Súpertazón XXV, el costoera de $800000. Por consiguiente, nuestros dos puntos de datos son (16 ,325) y (25 ,800).

Al sustituir estos puntos de datos en la ecuación (7.11), tenemos

Tomar el logaritmo natural de ambos lados de cada ecuación da

Necesitamos despejar las ecuaciones (7.12) y (7.13) para C 0 e i. Si se sustrae la ecuación (7.12) de laecuación (7.13),

Sustituir este valor en la ecuación (7.13) da

Esta ecuación exponencial equivalente es

Usando una calculadora que tiene una función e x , se obtiene

Por tanto, nuestra función de estimación tiene la forma

❑C f (t) 65.5033 e0.1001t

65.5033 C0

e4.1821 C0

6.6846 ln(C0) 25(0.1001)

6.6846 ln(C0) 2.5025

4.1821 ln(C0)

0.9008 9i

0.1001 i

ln(325) ln(C0 e16i) ln(C0) ln( e 16i ) o 5.7838 ln(C0) 16i

ln(800) ln(C0 e25i) ln(C0) ln( e 25i ) o 6.6846 ln(C0) 25i

325 C0 e16i

800 C0 e25i

(7.12)

(7.13)

(Crecimiento bacterial) Se cree que muchos tipos de bacterias crecen exponencialmente de acuer-do con las funciones de la forma

(7.14) P f (t) P0 e

kt

Ejemplo 17

Usando nuestra respuesta, estime los costos de la publicidad para los SupertazonesXXVI y XXX. Respuesta: $884215; $1 319 622.


donde P equivale a la población en el momento t , P0 da la población en t ϭ 0 y k es la constante de cre-

cimiento (índice porcentual de crecimiento). Las funciones de crecimiento exponencial se estudiaron en



la sección 7.2. Determine el tiempo requerido para que una población inicial duplique su tamaño.

SOLUCIÓN

Si una población inicial se duplica,

Si dividimos ambos lados de la ecuación (7.14) entre P0,

La población se duplicará cuando

Encontrar el logaritmo natural de ambos lados de esta ecuación da

y el tiempo requerido para la duplicación es

(7.15)

Si en el caso de una bacteria dada la constante de crecimiento equivale a 0.4 y t se expresa en horas,el tiempo necesario para que se duplique la población es

❑

tln 2

0.4

0.6932

0.41.733 horas

tln 2

k

kt ln 2

e kt 2

P

P0

e kt

P P0

2

(Vida media) Una función de decaimiento exponencial tiene la forma general

(7.16)V V 0 ekt

Ejemplo 18

PUNTOS PARA

PENSAR Y

ANALIZAR

¿El tiempo de duplicación que se determinó por medio de la ecua-ción (7.15) es apropiado sólo para que la población inicial dupliquesu tamaño, o es generalizado, dada la población en cualquier mo-mento?

donde V equivale al valor de la función en el momento t , V 0 es el valor de la función en t ϭ 0 y k es

la constante de decaimiento (tasa porcentual de decaimiento). Muchos procesos naturales se caracte-i i d d i i i l U d l l d i i d



rizan por un comportamiento de decaimiento exponencial. Uno de tales procesos es el decaimiento deciertas sustancias radiactivas. Una medida que se cita con frecuencia al analizar una sustancia radiac-tiva es su vida media. Ésta es el tiempo requerido para que la cantidad de una sustancia se reduzca porun factor de ᎏ

12ᎏ. Para las funciones de decaimiento exponencial con la forma de la ecuación (7.16), la

vida media es una función del decaimiento constante.

Suponga que la cantidad de una sustancia radiactiva se determina por medio de la ecuación(7.16). La cantidad de la sustancia se reducirá a la mitad cuando

o cuando

Tomar el logaritmo natural de ambos lados de esta ecuación da

y (7.17)

La constante de decaimiento para el estroncio 90 es k ϭ 0.0244, donde t se mide en años. Una

cantidad de estroncio 90 disminuirá a la mitad de su tamaño cuando

❑

Funciones logarítmicas

Cuando se expresa una variable dependiente como una función del logaritmo de otra varia-ble, la función se denomina función logarítmica.

tln 0.5

0.0244

0.6932

0.024428.40 años

kt ln 0.5

tln 0.5

k

V

V 00.5

e kt 0.5

Una función logarítmica de base b tiene la forma

(7.18)

donde u( x ) Ͼ 0, b Ͼ 0, pero b 1.

y f ( x ) log b u( x)

Los siguientes son ejemplos de funciones logarítmicas:

f (x) log x



Suponga que queremos trazar la gráfica de la función y ϭ ln x , donde x Ͼ 0. La función y ϭ ln x sepuede graficar usando dos procedimientos. Si se tienen disponibles valores de ln x (de tablas o unacalculadora de mano), es posible graficar directamente la función. Usando la tabla 2 al final del libro,los valores muestra de ln x aparecen en la tabla 7.4. La forma general de esta función se indica en lafigura 7.12.

f ( x) log x

f ( x) ln x

f ( x) log( x 1)

f ( x) ln( x2 2 x 1)

x 0.1 0.5 1 10 100 200 300ln x Ϫ2.3026 Ϫ0.6932 0 2.3026 4.6052 5.2983 5.7038

y Ϫ1 Ϫ0.5 0 1 2 3 4

x ϭ e y 0.3679 0.6065 1.000 2.7183 7.3891 20.086 54.598

y y = ln x

x(1, 0)

Figura 7.12 ❑

Un procedimiento alternativo para graficar una función logarítmica consiste en refor-

mular la función en su forma exponencial equivalente. La forma exponencial equivalentede y ϭ ln x es

e y x

Ejemplo 19

Tabla 7.4

Tabla 7.5

Al suponer valores para y y calcular los valores correspondientes de x , se puede generar unconjunto de puntos de datos. Se han identificado puntos de datos muestra usando la tabla 1o una calculadora y se presentan en la tabla 7 5 Si se grafican estos puntos (recuerde que



o una calculadora y se presentan en la tabla 7.5. Si se grafican estos puntos (recuerde que x es la variable independiente en la función del interés, y ϭ ln x ), el trazo será idéntico alde la figura 7.12.

Un análisis de la figura 7.12 indica que la función del logaritmo natural yϭ ln x es unafunción creciente; asimismo, y Ͼ 0 cuando x Ͼ 1, y ϭ 0 cuando x ϭ 1 y y Ͻ 0 cuando 0

Ͻ x Ͻ 1.

Para trazar la función logarítmica

se determinan pares ordenados de valores ( x , y). En la tabla 7.6 se presentan valores muestra. En lafigura 7.13 aparece un bosquejo de la función. Nótese que la función es una función decreciente yque la curva tiene una asíntota vertical de x ϭ Ϫ1.

y 5 3 ln( x 1) x 1

x Ϫ0.5 0 1 2 5 10

y ϭ 5 Ϫ 3 ln( x ϩ 1) 7.0796 5 2.9204 1.7042 Ϫ0.3754 Ϫ2.1937

y

x

x = –1 5

10

–5–10 5

–10

–5

10

y = 5 – 3 ln ( x +1)

(Administración del bienestar) Un organismo de bienestar estatal de reciente creación intenta de-terminar el número de analistas que se deben contratar para procesar solicitudes de bienestar. Los ex-pertos en eficiencia estiman que el costo promedio C de procesar una solicitud es una función delnúmero de analistas x . Específicamente, la función del costo es

C f ( x) 0.001 x2 5 ln x 60

Ejemplo 20

Ejemplo 21

Tabla 7.6

Figura 7.13

Dada esta función logarítmica:a) Determine el costo promedio por solicitud si se usan 20 analistas.b) Determine el costo promedio si se emplean 50 analistas.



) p pc) Trace la función.

SOLUCIÓN

c) La figura 7.14 presenta un bosquejo de esta función. Volveremos a revisar esta aplicación en elcapítulo 17.

f (20) 0.001(20)2 5 ln(20) 600.40 5(2.9957) 60$45.42

f (50) 0.001(50)2 5 ln(50) 602.50 5(3.9120) 60$42.94

a)

b)

C

10

20

30

40

$50

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

C o s t o p r o m e d i o p o r s o l i c i t u d

Nú mero de aná lisis

C = 0.001 x2 – 5 ln x + 60

x

(Retención de la memoria) Se efectuó un experimento para determinar los efectos del tiempotranscurrido sobre la memoria de una persona. Se pidió a los sujetos que vieran una fotografía quecontenía muchos objetos diferentes. En distintos intervalos de tiempo después de esto, se les pedíaque recordaran tantos objetos como pudieran. Con base en el experimento, se desarrolló la siguien-te función

donde R representa la memoria porcentual promedio y t es igual al tiempo desde el estudio de la fo-

tografía (en horas).

a) ¿Cuál es la memoria porcentual promedio 1 hora después de estudiar la fotografía?b) ¿Cuál es el porcentaje luego de 10 horas?c) Trace la función.

R f (t) 84 25 ln t t 1

Ejemplo 22

Figura 7.14

SOLUCIÓN

a) f (1) ϭ 84 Ϫ 25 ln(1) ϭ 84 Ϫ 25(0) ϭ 84 por ciento.b) f(10) ϭ 84 25 ln(10) ϭ 84 25(2 3026) ϭ 26 435 por ciento



b) f (10) ϭ 84 Ϫ 25 ln(10) ϭ 84 Ϫ 25(2.3026) ϭ 26.435 por ciento.c) La figura 7.15 presenta un bosquejo de la función.

R

25

50

75

100

5 10 15

Horas desde que se estudió la fotografía

R = 84 – 25 ln t, t 1

t

M e m o r i a p o r c e n t u a l p r o m e d i o

Figura 7.15 Horas desdeque se estudió la fotografía.

❑


Para cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales, formule la ecuación logarítmica equivalente.

Para cada una de las siguientes ecuaciones logarítmicas, formule la ecuación exponencial equivalente.21. log 2 128 7 22. log 2 64 623. log 4 64 3 24. log 4 256 425. log 3 729 6 26. log 3 81 427. log 2 0.0625 4 28. log 2 0.25 229. log 5 3 125 5 30. log 5 625 4

1. 52 25 2. 25 32

3. 43

64 4. 64

12965. 73 343 6. 35 2437. 84 4096 8. 54 6259. 46 4096 10. 103 1000

11. 5 2 0.04 12. 2 3 18

13. (0.2) 4 625 14. (0.5) 3 815. (0.4) 3 15.625 16. (0.1) 4 1000017. 2 4 0.0625 18. 4 3 0.01562519. (0.2) 3 125 20. (0.25) 2 16

31. log 0.1 10 000 4 32. log 0.1 1 000 333. log 0.2 25 2 34. log 0.2 625 435. log 0.25 64 3 36. log 0.25 16 2



Usando la tabla 2 o una calculadora, determine lo siguiente.

Resuelva las ecuaciones siguientes.

Trace las siguientes funciones logarítmicas.

91. Revisión del Supertazón Dado el resultado del ejemplo 16, ¿en qué Supertazón se esperaque los costos de la publicidad superen $1 millón por anuncio de 30 segundos?

92. Disminución de la defensa La figura 7.16 ilustra los gastos reales y proyectados para la com-pra, el desarrollo, la evaluación y el mantenimiento de armas. Los datos para los años fiscalesde 1989 y 1990 son reales, en tanto que los datos para los años fiscales posteriores a 1990 son

proyecciones de la Electronic Industries Association (Asociación de Industrias Electrónicas).Se podría hacer una aproximación de la disminución de los gastos por medio de una funciónde decremento exponencial V ϭ f (t )ϭ V 0eϪit , donde V expresa los gastos anuales (en miles demillones) y t representa el tiempo medido desde el año fiscal de 1989.

93. Tasas de natalidad La figura 7.17 ilustra datos sobre el número de infantes nacidos con vida demujeres no casadas (de 20 a 24 años de edad) por 1000 infantes nacidos con vida de mujeres

81. f ( x) ln( x /4) 82. f ( x) ln x3

83. f ( x) 2 ln( x 8) 84. f ( x) 10 3 ln x

85. f ( x) ln( x2 10) 86. f ( x) ln(3 x 5)87. f ( x) ln( x2 5) 10 88. f ( x) ln(10 x) 589. f ( x) ln( x 3)/2 90. f ( x) 10 ln x

62. ln x3 ln x 264. x ln x ln x 06. ln( x 1) ln x 0.568. e3 x 2070. 5 e x2 40072. 3 e2 x 6074. 5 e 1.5 x 12576. 2 ln x4 ln x2 128. x4 ln x ln x 00. 10 e5 x 25

61. 3 ln 2 x 4 2 ln 2 x63. x2 ln x 4 ln x 065. ln( x2 3) ln x2 167. e 2 x 4069. e 0.25 x 1671. e2.5 x 4073. 3 e 2 x 7575. x2 ln x 9 ln x 077. ln( x 3) ln x 1.579. 3 e 0.5 x 10

42. ln 4044. ln 20046. ln 17.548. ln 0.550. ln 16052. ln 42554. ln 15056. ln 160058. ln 25000

60. ln 1050

41. ln 60043. ln 8045. ln 0.147. ln 0.7549. ln 0.0151. ln 1000053. ln 75055. ln 2 40057. ln 1000000

59. ln 675

37. ln 5 1.6094 38. ln 3 1.098639. ln 100 4.6052 40. ln 20 2.9957

Total:$220 214

190179 171



de todas las edades entre mediados de la década de 1960 y mediados de la década de 1970. Esposible hacer una aproximación del incremento en las tasas de natalidad usando una función

de crecimiento exponencial. Dado que las tasas de natalidad para estas mujeres por un total de1000 nacimientos fueron 71 y 92 durante 1966 y 1971, respectivamente, determine la funciónde crecimiento exponencial

donde R equivale a la tasa de natalidad estimada y t es igual al tiempo medido en años des-de l966.

R f (t) R0 eit

1989 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 2000

179 171 165 159 154 150 148 147 145

Figura 7.16 Total de gastos deprocuración del Pentágono (enmiles de millones de dólares).(Fuente: Electronic IndustriesAssociation)

20

40

60

80

100

120

140

1966 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

N a c i m

i e n t o d e i n f a n t e s c o n v i d a d e m u j e r e s n o c a s a d a s

( d e 2 0 a 2 4 a ñ o s ) p o r u n t o t a l d

e 1 0 0 0 n a c i m i e n t o s

Añ oFunción de crecimiento

Figura 7.17 Nacimientos de

infantes con vida de mujeresno casadas (de 20 a 24 años deedad) por 1000 nacimientosde todas las mujeres. (Fuente:Division of Vital Statistics,National Center for HealthStatistics)

ñ o s d e e d a d



94. Tasas de mortalidad de infantes La figura 7.18 presenta datos sobre las tasas de mortalidad enEstados Unidos en niños de 1 a 4 años de edad. Las tasas de mortalidad son muertes por 100000niños en este grupo de edad. Durante este siglo ha habido un decremento constante en esta tasa, elcual se puede estimar mediante una función de decaimiento exponencial. Dado que las tasas demortalidad por 100000 niños fueron 202 y 94, respectivamente, en los años de 1945 y 1970, de-termine la función de estimación

donde R representa la tasa de mortalidad por 100 000 niños y t expresa el tiempo medido enaños desde 1940.

R f (t) R0 eit

100

200

300

400

500

600

1925 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Añ oFunció n de decaimiento

T a s a s d e m o r

t a l i d a d ( p o r t o d a s l a s c a u s a s ) d e 1 a 4 a ñ

p o r u n t o t a l d e 1 0 0 0 n a c i m i e n t o s

Figura 7.18 Tasas de mortalidad deinfantes. (Fuente: Division of VitalStatistics, National Center forHealth Statistics)

*95. Dada la función logarítmica general

donde a, b y c son constantes, determine la expresión para a) la intersección con el eje x y b)la intersección con el eje y.

*96. Dada la función exponencial general

donde k y c son constantes, determine la expresión para a) la intersección con el eje x y b) laintersección con el eje y.

y e kx c

y a ln( x b) c

97. Una compañía contrata personal para trabajar en su planta. Para el trabajo que las personas rea-lizarán, los expertos en eficiencia estiman que el costo promedio C de hacer la tarea es una fun-ción del número de personas contratadas x . Específicamente,

a) ¿Cuál es el costo promedio esperado si se contrata a 10 personas? ¿20 personas?b) T l f ió d l di

C f ( x) 0.005 x2 0.49 ln x 5



b) Trace la función del costo promedio.98. Crecimiento bacterial Un cultivo de la bacteria E. coli crece en un medio que consiste en sa-

les inorgánicas y glucosa. La bacteria tiene una población inicial de 106 por mililitro y crececon una tasa exponencial de k ϭ 0.7.

a) Determine la función del crecimiento exponencial f (t ), donde t se da en horas.b) ¿En cuánto tiempo se duplica?c) ¿En cuánto tiempo se triplica?

99. Crecimiento bacterial Una bacteria particular crece con una tasa exponencial con la constante decrecimiento k ϭ 0.6. La bacteria tiene una población inicial de 105 por mililitro.a) Determine la función del crecimiento exponencial f (t ), donde t se da en horas.b) ¿En cuánto tiempo se duplica?c) ¿En cuánto tiempo se triplica?

100.

Un cultivo de levadura crece con una tasa exponencial. La población del cultivo se duplica des-pués de 5 horas. Determine la constante de crecimiento k.

101. Una sustancia radiactiva tiene una constante de decaimiento k ϭ 0.350. Si t se mide en horas,determine la vida media para la sustancia. ¿Cuál es el cuarto de vida (tiempo para reducir sucantidad ᎏ

14ᎏ)?

102. Un isótopo radiactivo empleado para revisar la glándula tiroides tiene una constante de decrementok ϭ 0.150. Si se administra un indicador radiactivo en el torrente sanguíneo:a) Determine la función de decaimiento exponencial f (t ), donde t se expresa en días.b) ¿Qué cantidad de radiactividad se espera que haya en la sangre después de 8 días?c) ¿Cuál es la vida media del isótopo?

103. Una sustancia radiactiva tiene una vida media de 20000 años. Determine la constante de de-cremento k .

104. Se puede describir la cantidad de un medicamento particular contenida en el torrente sanguíneo pormedio de una función de decaimiento exponencial donde t se mide en horas. Si la vida media delmedicamento es de 4 horas, ¿cuál es la constante de decaimiento k ?

105. Retención de la memoria Un experimento similar al analizado en el ejemplo 22 dio como re-sultado una función de estimación

donde R equivale a la memoria porcentual promedio y t es igual al tiempo medido en horas des-de que se estudió la fotografía.a) ¿Cuál es la memoria porcentual promedio después de 1 hora? ¿Luego de 5 horas? ¿Después

de 10 horas?b) Trace esta función.

❑ TÉRMINOS Y CONCEPTOS CLAVE

f (t) 90 20 ln t t 1

capitalización continua 279conversión a funciones de base e 275función exponencial 267función exponencial modificada 274

funciones exponenciales de base e 272logaritmo 288logaritmo común 289logaritmo natural 289

proceso de crecimiento exponencial280

proceso de decaimiento exponencial283

solución de ecuaciones logarítmicas yexponenciales 291



y ϭ f ( x) ϭ 1 Ϫ eϪ mx

Función exponencial modificada (7.5)S ϭ P(1 ϩ i) n Interés compuesto (7.6)S ϭ Peit Interés compuesto (capitalización continua) (7.8)V ϭ V 0e kt Proceso de crecimiento exponencial (7.9)

V ϭ V 0eϪ kt Proceso de decaimiento exponencial (7.10)

t ϭᎏln k

2ᎏ Tiempo de duplicación (crecimiento exponencial) (7.15)

t ϭᎏln

Ϫ

0

k

.5ᎏ Vida media (decaimiento exponencial) (7.17)

y ϭ f ( x) ϭ log b a( x) Función logarítmica de base b (7.18)

❑ EJERCICIOS ADICIONALES

SECCIÓN 7.1

En los ejercicios 1 a 10, determine f (Ϫ3), f (0) y f (2).

Convierta cada una de las siguientes funciones en funciones exponenciales de base e.

SECCIÓN 7.2

21. Valor presente: capitalización continua Suponiendo una capitalización continua, el valorpresente P de S dólares t años en el futuro se puede expresar mediante la función

La pregunta que esta función implica es, “¿qué cantidad de dinero P se debe invertir hoy

para que aumente a una cantidad de S en t años?” Se supone que el dinero recibirá una ta-sa de interés de 10 por ciento por año capitalizada continuamente, ¿qué cantidad se debe de-positar hoy si se desea tener $100000 dentro de 12 años?

22. Valor presente: capitalización continua Refiérase al ejercicio 21 para una descripción delconcepto del valor presente. Suponiendo un interés de 8 por ciento por año capitalizadocontinuamente, ¿cuánto dinero se debe invertir hoy para acumular $50000 en 6 años?

P f (t) Se it

11. f ( x) (4.8) x 12. f ( x) 30(2.56) x2

13. f ( x) 5(0.4) x /2 14. f ( x) 6(85) x /3

15. f ( x) 10 x 16. f ( x) 5(200) x2

17. f ( x) 40/(5) x 18. f ( x) 15/(40) x

19. f ( x) 5/(1.31)2 x 20. f ( x) (31.5) x

1. f ( x) e x /3 2. f ( x) e x2 /4

3.

f ( x) 5(1 e

x

)4.

f ( x) 4(1 e

2 x

)5. f ( x) e 2 x 6. f ( x) e 0.5 x

7. f ( x) x2 e x 8. f ( x) x3 e x

9. f ( x) 4 3 x 10. f ( x) x / e x

283

❑ FÓRMULAS IMPORTANTES

23. Se estima que la población de una especie de pez particular es de 500 millones. Los científicosestiman que la población crece exponencialmente con una tasa de 6 por ciento por año.a) Determine la función de crecimiento exponencial Pϭ f (t ), donde P equivale a la pobla-

ción del pez (en millones) y t es igual al tiempo medido en años desde hoy.



p y g p yb) Si la tasa y el patrón de crecimiento continúan, ¿cuál se espera que sea la población del

pez dentro de 25 años?24. Servicios públicos El número de teléfonos nuevos instalados cada día en una ciudad par-

ticular actualmente es de 250. Funcionarios de la compañía de teléfonos creen que el núme-ro de instalaciones nuevas se incrementará en forma exponencial con una tasa de 5.5 porciento por año.a) Determine la función de estimación exponencial N ϭ f (t ), donde N es el número de ins-

talaciones por día y t es igual al tiempo medido en años.b) Si persiste el patrón de crecimiento, ¿cuál es el índice diario de instalaciones que se es-

pera dentro de 5 años desde hoy? ¿Dentro de 20 años desde hoy?25. Especies en peligro de extinción La población de una clase particular de una especie sal-

vaje en peligro de extinción disminuye exponencialmente con una tasa de 4 por ciento por

año.a) Si se estima que la población actual es de 180000 ejemplares, determine la función de

decaimiento exponencial Pϭ f (t ), donde P es la población estimada de la especie y t re-presenta el tiempo medido en años.

b) ¿Cuál se espera que sea la población en 4 años? ¿En 10 años?26. Funciones exponenciales de demanda/ingreso La función de la demanda para un produc-

to particular es

donde q es igual a la demanda (en unidades) y p equivale al precio (en dólares).a) ¿Cuál se espera que sea la demanda con un precio de $20?b) Construya la función del ingreso total R ϭ f ( p).c) ¿Cuál se espera que sea el ingreso total con un precio de $25? ¿Cuál es la demanda con

este precio?27. Distribución de las patrullas policiacas Un departamento de policía determinó que el ín-

dice de crímenes diarios promedio depende del número de oficiales asignados a cada turno.

La función que describe esta relación es

donde N equivale al índice de crímenes diarios y x es el número promedio de oficiales asig-nados a cada turno. ¿Cuál es el índice de crímenes diarios promedio si se asignan 20 oficia-les? ¿Si se asignan 40 oficiales?

28. Confiabilidad del producto Un fabricante de baterías para radios portátiles, juguetes, lin-ternas, etcétera, estima que el porcentaje P de las baterías fabricadas que tienen una vida

útil de por lo menos t horas se describe por medio de la función

¿Qué porcentaje de las baterías se espera que duren como mínimo 5 horas? ¿Por lo menos10 horas?

P f (t) e 0.25t

N f ( x)300 8 xe 0.03 x

q f ( p) 200000 e 0.15 p

29. Curvas de aprendizaje Es posible utilizar funciones exponenciales para describir el pro-ceso de aprendizaje. Dicha función exponencial tiene la forma

y f ( x) a be kx



donde a, b y k son positivos. Para esta función de la curva de aprendizaje general, y represen-ta alguna medida del grado de aprendizaje y x el número de refuerzos de aprendizaje.

Los ingenieros industriales han estudiado una posición específica en una línea de ensam-

blado. La función

es la función de la curva de aprendizaje que describe el número de unidades terminadas porhora y para un empleado común como una función del número de horas de experiencia x

que el empleado tiene con el puesto. a) ¿Cuál es la tasa por hora después de 5 horas de ex-periencia? b) ¿Después de 10 horas?

30. Dada la función de la curva de aprendizaje del ejercicio anterior, trace f ( x ). ¿Hay un límitesuperior para el valor de y?

31. Una organización de investigación de mercados cree que si una compañía gasta x millones dedólares en publicidad por televisión, se estima la utilidad total mediante la función

¿Cuál es la utilidad esperada si se gastan $5 millones en publicidad por televisión? ¿Si segastan $10 millones?

SECCIÓN 7.3

Resuelva las siguientes ecuaciones.

40. Disponibilidad de médicos La figura 7.19 ilustra el crecimiento relativo en el número demédicos en Estados Unidos por una población de 100 000 habitantes. El número de médicos

32

34

. ln x4 ln x2 8 33. x2 ln x 64 ln x 0

. x ln x 6 ln x 0 35. e x2 40036. e 5 x 80 37. 5 e 0.2 x 2038. x ln x 5 ln x 0 39. e3 x2 150

P f ( x) 50 x2 e 0.5 x

y f ( x) 120 80 e 0.30 x

50

0

100

150

200

250

1950 55 60 65 70 75 80 85 88

Figura 7.19 Número de médicospor una población de 100 000habitantes. (Fuente: AmericanMedical Association)

por una población de 100 000 habitantes se estima por medio de una función de crecimientoexponencial. Usando los datos de 1955 (144 médicos) y 1970 (162 médicos):a) Determine la función de estimación exponencial nϭ f (t ), donde n es igual al número de

médicos por 100000 habitantes y t equivale a los años desde 1950.



b) De acuerdo con esta función, estime el número de médicos en el año 2000.41. Medidas enérgicas del combate al narcotráfico La figura 7.20 ilustra una tendencia in-

cremental al número de arrestos por drogas cada año en Estados Unidos. Se puede estimar

que el número de arrestos crece con un índice exponencial. Si el número de arrestos era de800000 en 1985 y 1340000 en 1989:a) Determine la función de estimación exponencial Aϭ f (t ), donde A es el número de arres-

tos por año (en miles) y t es el tiempo medido en años desde 1985.b) De acuerdo con la función de la parte a), estime el número de arrestos para 1995. Esti-

me el número para el año 2000.

1000000

800000

1200000

1400000

1985 86 87 88 89

Figura 7.20 Número dearrestos por delitos de abusode drogas. (Fuentes: FBIUniform Crime Reports, DEA)

42. Problemas de ahorros y préstamo A finales de la década de 1980 y principios de la dé-cada de 1990, las instituciones financieras pasaron por dificultades asociadas con los prés-tamos incobrables. La figura 7.21 indica los montos anuales (en miles de millones dedólares) de bienes raíces recuperados por asociaciones de ahorros y préstamo en EstadosUnidos. Como se puede apreciar, las cantidades recuperadas aumentan con un rápido índi-ce. Se puede hacer una aproximación del incremento como un proceso de crecimiento ex-ponencial. Utilizando los datos de 1982 ($2.6 mil millones) y 1989 ($33.0 mil millones):a) Determine la función de estimación exponencial R ϭ f (t ), donde R equivale a la canti-

dad de bienes raíces recuperados (en miles de millones de dólares) y t es igual al tiem-po medido en años desde 1982.b) Usando la función de la parte a), estime las cantidades recuperadas para 1984 y 1986.

¿Cómo se comparan estos valores con los datos de la figura 7.21?43. Un cultivo bacterial crece con una tasa exponencial. La población del cultivo se duplica des-

pués de 6 horas. Determine la constante de crecimiento k .

44. Un isótopo radiactivo que se usa para revisar la glándula tiroides tiene una constante de de-caimiento k ϭ 0.250. Si se administra un indicador radiactivo de 30 unidades del isótopo enel torrente sanguíneo:



10

20

30

40

1982 83 84 85 86 87 88 89

B i e n e s r a i c e s

r e c u p e r a d o s e n m i l e s d e m

i l l o n e s

d e d ó l a r e s

Figura 7.21 Bienes raícesrecuperados por ahorros ypréstamos. (Fuentes: FDICy Office of Thrift Supervision)

a) Determine la función de decremento exponencial f (t ), donde t se expresa en días.b) ¿Qué cantidad del isótopo se espera que se tenga en la sangre luego de 10 días?c) ¿Cuál es la vida media del isótopo?

45. Una sustancia radiactiva tiene una vida media de 36,000 años. Determine la constante dedecaimiento k.

46. Retención de la memoria Se efectuó un experimento para determinar los efectos del tiem-po transcurrido sobre la memoria de una persona. Se pidió a los sujetos que vieran una fo-tografía que contenía muchos objetos diferentes. En distintos intervalos de tiempo despuésde esto, se les pedía que recordaran tantos objetos como pudieran. Con base en el experi-

mento, se desarrolló la siguiente función.

Para esta función, R representa la memoria porcentual promedio y t es igual al tiempodesde el estudio de la fotografía (medido en horas). a) ¿Cuál es la memoria porcentual pro-medio 1 hora después de estudiar la fotografía? b) ¿Luego de 10 horas? c) Trace f .

47. Un nuevo organismo de bienestar estatal quiere determinar cuántos analistas se deben con-tratar para procesar solicitudes de bienestar. Se estima que el costo promedio C de procesar

una solicitud es una función del número de analistas x . Específicamente, la función del cos-to es

a) ¿Cuál es el costo promedio si se contratan 20 analistas? ¿30 analistas?b) Trace la función del costo promedio.

C 0.005 x2 16 ln x 70

R f (t) 94 22 ln t t 1

48. Una empresa ha estimado que el costo de producción promedio por unidad C – fluctúa con el

número de unidades producidas x . La función del costo promedio es

C 0.002 x2 1 000 ln x 7 500



donde C – se expresa en dólares por unidad y x en cientos de unidades.

a) Determine el costo promedio por unidad si se producen 100 unidades. Si se producen500 unidades.

b) Trace la función del costo promedio.

❑ EVALUACIÓN DEL CAPÍTULO

1. Dada f ( x ) ϭ 1800eϪ2 x , determine f (5).2. Una inversión de $20000 recibe un interés de 10.5 por ciento por año capitalizado continua-

mente. ¿Cuál es la cantidad capitalizada S si la inversión se hace por un periodo de 25 años?¿Cuánto interés se ganará durante este periodo?

3. Dada

escriba la función logarítmica equivalente.4. Una organización de caridad nacional planea una campaña para reunir fondos en una impor-

tante ciudad. La población de la ciudad es de 2.5 millones. El porcentaje de la población quehará un donativo se describe por medio de la función

donde R equivale al porcentaje de la población y x es igual al número de días que se hace lacampaña. La experiencia pasada indica que la contribución promedio por donante es de $2.Se estima que la campaña cuesta $6000 por día. Formule la función N ϭ f ( x ) que exprese lasutilidades netas N (total de contribuciones menos total de costos) como una función de x .

5. Resuelva la ecuación

6. El valor de un equipo decrece exponencialmente de acuerdo con una función de la forma V

ϭ f (t ) ϭ V 0eϪit , donde V equivale al valor del equipo (en dólares) y t es igual a la antigüe-dad del equipo en años. Cuando el equipo tenía 2 años de antigüedad, su valor era de$200 000. Cuando tenía 5 años, su valor era de $120000.a) Determine la función f (t ).b) ¿Cuándo se espera que el valor sea igual a $50000?

ln x4 ln x 24

R 1 e 0.075 x

38 6 561

¿HORA DEL FALLECIMIENTO?

Si l bj á f í l d l bj di i h

MINICASO



Si se coloca un objeto en un entorno más frío, la temperatura del objeto disminuye ha-cia la temperatura del entorno. El modelo matemático que describe este proceso es

T ϭ f (t ) ϭ aeϪkt ϩ C (7.18)

donde T equivale a la temperatura del objeto t tiempo después de que se coloca en elentorno más frío, que está a la temperatura C . La figura 7.22 es un bosquejo de la fun-ción.

Las leyes de la física subyacentes en este proceso tienen muchas aplicaciones im-portantes. Una importante aplicación implica determinar la hora del fallecimiento de unapersona, una función que realiza normalmente un forense. Suponga que se descubre elcuerpo de una persona en un departamento. El forense llega a las 3:00 p.m. y encuentraque la temperatura del cadáver es de 84.6ºF y la temperatura del departamento es de68ºF. El forense espera una hora y después vuelve a tomar la temperatura del cuerpo,encontrando que está a 83.8ºF. Es necesario determinar la hora del fallecimiento. [Su-

gerencia: Primero, suponga que la temperatura del cuerpo en el momento de la muer-te era de 98.6ºF y que en la ecuación (7.18) t ϭ 0 corresponde a la hora del deceso. Estainformación, junto con la temperatura de la habitación, permite determinar a y C en laecuación (7.18). Segundo, sabemos que t horas después de la muerte la temperatura delcuerpo era 84.6ºF y t ϩ 1 hora después de la muerte era de 83.8ºF.]

T

t

T ϭ aeϪ kt ϩ C

C

C ϩ a

Figura 7.22

0a6cap 7 funciones exponenciales y logaritmicas

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