DISTRIBUCIÓN GAMMA

DANIEL AGUILERA

DEFINICIÓN

Una variable aleatoria x tiene una distribución Gamma si su densidad de probabilidad esta dada por:

0k0,,x0 )(

)( 1

kxexk

xF

DEFINICIÓN

Esta distribución continua depende de dos parámetros

parámetro que varia la forma de la distribución

k parámetro que varia la escala de la distribución

Parámetros en R

A continuación veremos una breve explicación de la función gamma que interviene en la definición de la distribución gamma

DEFINICIÓN

Función Gamma o Función factorial o Integral Euleriana de

Segunda especieEs una función que extiende el concepto

de factorial a los números complejos.

Si k es un numero entero positivo entonces)!1()(

0

1 0 x0 )( kdxex xk

Demostración vamos a integrar por partes

y sucesivamente () = ( -1)( -2)( -3)...(1), pero (1) = 1 por integración directa.

( +1) = ()   (5)=4 (4) =4.3 (3)=4.3.2 (2)=4.3.2 (1)=4.3.2.1

0

2 )1()1()1()( dxex x

DEFINICIÓN

x-2

-x1

-e v )1(

edv

dxxdu

dxxu

CASOS PARTICULARES DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA

Distribución exponencial caso particular cuando =1 y sabiendo que (1)=1

kx

kx

kx

kx

keXF

exk

XF

exk

XF

exk

XF

)(

1)(

)1()(

)()(

0

111

1

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA

= E[X] = , 2 = V[X] = 2

PROPIEDADES

El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina

para mantenimiento es una variable aleatoria con distribución

Gamma con parámetros =3, =2

a)Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas

EJEMPLO

22

2133

1

16

1

)3(2

1

)(

1)(

x

x

x

ex

ex

exXF

SoluciónSea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria)Su densidad de probabilidad es:

EJEMPLO

Probabilidad de que el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas

El área Resaltada corresponde a P(x>8)

2381.016

11)8(1

8

0

22 dxexxPx

EJEMPLO