Álgebra y Geometría Analítica – Fórmulas Trabajo Práctico N° 8 Prof. DFacultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura U

ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Resumen Unidad 8

RECTA EN EL

PLANO R2

=∈=δδ

δ

//)u,u(u)y,x(P

recta

21000

Ecuación Vectorial

Ecuación Paramétrica ),(),,( 2100 uuzzyyxx λ=−−−

Ecuación Cartesiana Implícita

−=−=

=

02011

2

xuyucub

uasiendo

Ecuación Canónica

resulta (a,b) ⊥ δ y (-b,a) // δ

Ecuación Cartesiana Explícita

−=−

−=

==−=

)origenalabsisa(ac

mq

)origenalordenada(bcq

)pendiente(tguu

bam

siendo

α1

2

Ecua

−=

−=

q

p

Ecuación de la recta dada por la pendiente y un punto

∈==

δα

δ

)y,x(Ptgmpendiente

recta

000

Ecuación de la recta d

∈=∈=δδ

δ

)y,x(P)y,x(P

recta

111000

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

Dadas

+=+=

22221111

qxmy:qxmy:

δδ

Dos rectas son paralelas si tienen igual pendiente.

Dos rectas son perpendiculares, si la pendiente de una de ellas es el opuesto del inverso del

valor de la pendiente de la otra.

Ángulo formado

Dadas

+=+=

22221111

qxmy:qxmy:

δδ

δ

P0(x0,y0) •

P(x,y) • u

y

x

y

y0

x0 x

δ : y – y0 = m (x – x0)

Datos

Datos Datos

δ : 0 xyyy =−

P0(x0,y0) •

P1(

y

y1

y0

x

x

δ1 //δ2 ⇔ m1 = m2 δ1 ⊥ δ2 ⇔ 2

11 mm −=

21

2121 1),(

mmmmtgarc

+−

=δδ

δ

α

y

x

• m = tg α

P0(x0,y0) y0

x0

δ:

+=+=

2010

uyyuxx

λλ

δ: ax + by + c = 0

y = mx + q

δ

α

y

x •

y

•

•

q

(0,q)

m

0)()( 00 =−+− yybxxa

ción Segmentaria

)origenalordenada(bc

)origenalabsisa(ac

ada por dos puntos

⇒ 01

01xxyym

−−

=

por dos rectas

δ: uPP λ=0

)( 001

01 xxxy

−−−

δ

x1,y1) •

x 0 x1

y1 -y0

1 -x0

δ1 y

δ2

δ: 1=+qy

px

δ

x • p

(-c/a,0)

(0,-c/b)=(0,q)

= tg α

aniela Inés Andreoli de Passicot niversidad Nacional del Nordeste

(δ1,δ2)

x

Álgebra y Geometría Analítica – Fórmulas Trabajo Práctico N° 8 PFacultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura

CÓNICAS EN EL

PLANO R2

Se llama cónica a cada una de las curvas planas que se obtienen al

cortar una superficie cónica con un plano que no pasa por su vértice. El tipo de curva que se obtiene

depende del ángulo α de la superficie cónica y del ángulo β que forma el

plano con el eje e. Todas las cónicas responden a la

ecuación cartesiana Ax2 + Bxy + C y2 + Dx + Ey + F = 0

(el coeficiente B del término rectangular es nulo en las cónicas de ejes paralelos

a los ejes coordenados).

La exun nú

y

CIRCUNFERENCIA

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (A=C) e = 0

Ecuación can el centro de la circunferencia es el punto (0,0)

ELIPSE Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (A≠C); sg(A) = sg(C) ; 0<e=c/a<1

Ecua

Siempre a2 > b2, e Las elipses con ce

HIPÉRBOLA Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 sg(A) ≠ sg(C) ; 0<e=c/a>1

Ecua

Siempre a2 es e Las hipérbolas c

PARÁBOLA Ax2 + Dx + Ey + F = 0 Cy2 + Dx + Ey + F = 0 0<e=PF/Pd=1

Ecua

Las parábolas con vértice des

x2 + y2 = r2

y2 = 2px y2 = -2px x

(y-k)2 = 2p (x-h) (y-k)2 = -2p (x-h) (x-h

b

A c

1)()(2

2

2

2=

−+

−

bky

ahx

12

2

2

2=+

by

ax

)()(2

2

2

2=

−−

−

bky

ahx

ab

ab 'y;xy −==

12

2

2

2=−

by

ax

c

puntoF

núme

elipg

de losdel

distaF’ es

puntoF

núme

hlugar de los

del di

distanF’ es

fo

P

Fd=p

P

r

C

centricidad e de una cónica es mero que mide su alargamiento que está relacionado con los

ángulos α y β.

ónica

rof. Da Univ

el centro de la circunferencia es el punto (h,k)

ción canónica

s decir a>b ntro desplazado del origen:

ción

l denomon cen

ción c

plazado

(x-h)2 + (y-k)2 = r2

b a

2 = 2py

)2 = 2p

•

h

k C

1

12

2

2

2=+

ay

bx

canónica

inador del término positivo tro desplazado del origen:

1)()(2

2

2

2=

−+

−

aky

bhx

12

2

2

2=−

bx

ay

1)()(2

2

2

2=

−−

− hxky

b2 = c2–a2

asíntotas

niela Inés Anersidad Nac

anónica

del origen

(y-k) (x

a

b2 = a2–c2 d1 + d2 = 2a

c < a

Dado un punto fijo C, llamado

centro, y un número

positivo r, radio,

llamamos ircunferencia al lugar geo-

métrico de los puntos, P, de

plano cuya distancia a C’

es igual a r.

A’

Dados dos s fijos, F y

’, llamados focos, y un ro positivo 2a, siendo

2a >FF’, llamamos

se al lugar eométrico

puntos, P, plano cuya

suma de ncias a F y igual a 2a

b

Dados dos s fijos, F y

’, llamados focos, y un ro positivo 2a, siendo

2a <FF’, llamamos

ipérbola al geométrico puntos, P, plano cuya ferencia de cias a F y igual a 2a

x2 = -2py

-h)2 = -2p (y-k)

Dado un punto fijo F llamado

co, y una recta fija d, llamada

directriz’, llamamos parábola

al lugar geométrico

de los puntos, , del plano que

equidistan de F y d.

dreoli de Passicot ional del Nordeste

Álgebra y Geometría Analítica – Fórmulas Trabajo PráctFacultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura

RECTA δδδδ EN EL ESPACIO R3

PLANO ππππ EN EL ESPACIO R3

OTRAS FÓRMULAS

Ecuación Vectorial

Datos

=∈=δδ

δ

//),,(),,(

3210000

uuuuzyxP

recta

Ecuación Vectorial

Datos

⊥=∈=

ππ

π

),,(),,( 0000

cbanzyxP

planor

Distancia entre un punto y una recta en el espacio

Datos

∉

−=

−=

−

δ

δ

Qu

zzu

yyu

xx

3

0

2

0

1

0:

Ecuación Paramétrica ),,(),,( 321000 uuuzzyyxx λ=−−−

δδ

//),,(),,(

3210000

uuuuzyxP

=∈=

Ecu,,( cba

Ecuación Simétrica

δδ

//),,(),,(

3210000

uuuuzyxP

=∈=

Ecu

0

dnPr

Recta determinada por dos planos no paralelos

δ:

=∩=+++=+++

δππππ

212222111111

0:0:

dzcybxadzcybxa

Fig(#)

Resolviendo el sistema se halla la ecuación de la recta δ.

Además 22222

11111),,(

),,(ππ

⊥=⊥=

cbancbanr

r

δ//),,( 321 uuuu =

Plano dpun

π :

y con las clos puntos decuación cplano.

Dibujos tomados de Larson, E., Hostetler

P0 = (x0,y0,z0)

P = (x,y,z)

u = (u1,u2,u3)

uPPr

//0

x

z

y

δ

0 = (x0,y0,z0)

P = (x,y,z) = (a,b,c)

π

δ: uPP .0 λ= uxPQr

δ

δ:

+=+=+=

302010

uzzuyyuxx

λλλ

π: ( −xa

π: δ: 3

0

2

0

1

0u

zzu

yyu

xx −=

−=

−

ucbacbakji

nxnrrr

==22211121 )(//δ

vxun ==rrr

δ

π1

π2

P1

r

r

ico N° 8

ación Canónica 0),,)( 000 =−−− zzyyxx

ππ

⊥=∈=

),,(),,( 0000

cbanzyxPr

ación Cartesiana

)(),,(

),,(

000

000

czbyaxcba

zyx

++−=⊥=

∈=π

π

H

eterminado por tres tos no alineados

===

),,(),,(),,(

321332123211

wwwPvvvPuuuP

π⊥= ),,( cbanr

oordenadas de cualquiera de ados, puede determinarse la anónica o cartesiana del

, E., Cálculo y Geometría Analítica

π: 0. 0 =PPn

0)()() 000 =−+−+ zzcyybx

0=+++ dzcybxa

332211332211

uwuwuwuvuvuv

kji

−−−−−−

P2

P3

Prof. Daniela Inés An Universidad Nac

Distancia entre u y un plan

Dados

∉++π

πQbyax:

Haciendo y=0 , z=0 se determ

ππ ⊥∈ nPr

, (La elección de

Distancia entrplanos paralel

coincidente

Datos

≠++++

21212221

111

;//::

ππππππ

cybxacybxa

2222211111

),,(),,(

ππ

⊥=⊥=

cbancbanr

r

aciendo y=0 , z=0 en ambasdeterminan los puntos P y Q

plano.

(La elección de P y Q e

Ángulo determinadplanos no para

Dados

⊥⊥ 221121

,,

ππππ

nnnplanos

Fig(#)

. Mc. Graw Hill.

usenPQD r== θ

r

1

1

.

.cos

n

narc r

r

=θ

π

PPQproyD n ==

1

1.

n

PQ

n

nPQD rr

r

==

n punto o

=+dcz 0

δδ //, uP∈

ina el punto P.

P es arbitraria)

e dos os no s

=+=+

211

00

dzdz

21 // nnrr

ecuaciones, se , uno en cada

s arbiraria)

o por dos lelos

n

nQr

r.

2

2.nr

paraleloso r

dreoli de Passicot ional del Nordeste

2

2

n

nr

ÁlgFa

SUPERFICIES CUÁDRICAS Son el análogo tridimensional de las secciones cónicas . Toda ecuación general de segundo

grado en tres variables, tiene por gráfica una superficie cuádrica. Ax2 + Bxy + Cy2 + Dyz + Ez2 + Fzx + Gx + Hy + Iz + J = 0

La intersección de una superficie con un plano se conoce como la traza de la superficie en ese plano.

Elipsoide Traza Plano Elipse Paralelo al plano xy Elipse Paralelo al plano xz Elipse Paralelo al plano yz Si a = b = c ≠ 0, la superficie es una esfera cuya ecuación es:

Hiperboloide de una hoja Traza Plano

SUPERFICIES CILÍNDRICAS

Dada en un plano una curva C y una recta L no contenida en ese plano, llamamos cilindro al conjunto de todas las rectas paralelas a L y que cortan a C. La curva C recibe el nombre de curva generatriz del cilin-dro, y las rectas paralelas, generatrices. Los cilindros más comunes son aquellos en los cuales, las generatrices son perpen-diculares al plano coordenado que contiene a C.

Enuntrecilsova

12

2

2

2

2

2=++

cz

by

ax

2222 rzyx =++

Elipse Paralelo al plano xy Hipérbola Paralelo al plano xz Hipérbola Paralelo al plano yz El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo.

Hiperboloide de dos hojas Traza Plano Elipse Paralelo al plano xy Hipérbola Paralelo al plano xz Hipérbola Paralelo al plano yz El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es positivo. No hay traza en el plano coordenado perpendicular a este eje.

el espacio, la gráfica de a ecuación en dos de las s variables x, y, z, es un indro cuyas generatrices n paralelas al eje de la riable que falta.

Cilindro Circular Recto

12

2

2

2

2

2=−−

by

ax

cz

12

2

2

2

2

2=−+

cz

by

ax

ebrculta

Cono elíptico Traza Plano Elipse Paralelo al plano xy Hipérbola Paralelo al plano xz Hipérbola Paralelo al plano yz El eje del cono corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. Las trazas en los planos coordenados paralelos a ese eje son rectas que se cortan.

Cil

C

02

2

2

2

2

2=−+

cz

by

ax

Paraboloide elíptico

Traza Plano Elipse Paralelo al plano xy Parábola Paralelo al plano xz

indro z = sen x 22 yx

222 ayx =+

Parábola Paralelo al plano yz El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la potencia unidad.

ilindro z = y2 Paraboloide hiperbólico

22 baz +=

a y Geometría Analítica – Fórmulas Trabajo Práctico N° 8 Prof. Daniela Inés Andreoli de Passicot d de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura Universidad Nacional del Nordeste

Traza Plano Hipérbola Paralelo al plano xy Parábola Paralelo al plano xz Parábola Paralelo al plano yz El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la potencia unidad.

Tomado de Larson, E., Hostetler, E., Cálculo y Geometría Analítica. Mc. Graw Hill.

2

2

2

2

ax

byz −=